Phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông.

- PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP VỚI CÁC BÀI TOÁN PHỔ THÔNG.
- Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số .
- 1 Kiến thức cơ bản về phương pháp quy nạp toán học 6.
- 1.1 Nguồn gốc của phương pháp quy nạp toán học.
- 1.2 Quy nạp và quy nạp toán học.
- 1.3 Giới thiệu phương pháp quy nạp toán học.
- 1.3.1 Nguyên lí quy nạp toán học.
- 1.3.2 Phương pháp quy nạp toán học.
- 1.4 Một số hình thức của phương pháp quy nạp toán học.
- 1.4.1 Hình thức quy nạp chuẩn tắc.
- 1.4.2 Hình thức quy nạp nhảy bước.
- 1.4.3 Hình thức quy nạp kép.
- 2 Ứng dụng phương pháp quy nạp toán học trong giải toán 35 2.1 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán số học, đại số, giải tích.
- 2.1.1 Một số bài toán chia hết và chia có dư.
- 2.1.2 Một số bài toán về dãy số.
- 2.1.3 Một số bài toán về tính tổng và chứng minh đẳng thức.
- 2.1.4 Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức.
- 2.2 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán hình học 70 2.2.1 Tính toán bằng quy nạp.
- 2.2.2 Chứng minh bằng quy nạp.
- 2.2.3 Dựng hình bằng quy nạp.
- 82 2.2.4 Quy nạp với bài toán quỹ tích.
- 85 2.3 Phương pháp quy nạp toán học trong các bài toán rời rạc.
- 3 Một số đề thi tham khảo 101.
- 3.1 Đề thi Olympic toán học quốc tế.
- Nhà toán học vĩ đại Euclid đã viết "Trong thực tế, nhiều tính chất của các số đã biết đều được tìm ra bằng phép quy nạp và được tìm thấy rất lâu trước khi sự đúng đắn của chúng được chứng minh chặt chẽ.
- Cũng có rất nhiều tính chất quen thuộc với chúng ta nhưng hiện thời chúng ta còn chưa chứng minh được.
- Chỉ có con đường quan sát và tư duy quy nạp mới có thể dẫn chúng ta đến chân lý.".
- Câu nói này đã phần nào lột tả được tầm quan trọng của phép quy nạp trong cuộc sống, khoa học và toán học.
- Tuy nhiên, quá trình quy nạp là quá trình đi từ "tính chất".
- của một số cá thể suy ra "tính chất".
- Trong toán học cũng vậy, quá trình suy luận này chỉ đúng khi nó thỏa mãn nguyên lý quy nạp..
- Trong toán học có nhiều bài toán nếu chúng ta giải hay chứng minh theo phương pháp thông thường thì rất khó khăn và phức tạp, khi đó rất có thể phương pháp quy nạp toán học lại là công cụ đắc lực giúp chúng ta giải bài toán đó..
- Trong chương trình toán học phổ thông, phương pháp quy nạp đã được đề cập đến ở lớp 11, nhưng phương pháp này mới được đề cập trong một phạm vi hạn chế, chưa mô tả được một cách hệ thống, chưa nêu rõ được ứng dụng của phương pháp này trong Số học, Đại số, Hình học,.....
- Từ niềm yêu thích môn Toán nói chung và phương pháp quy nạp nói riêng, cùng mong muốn nghiên cứu phương pháp này một cách sâu hơn và hệ thống, mong muốn được tích lũy kiến thức toán học nhiều hơn, có chuyên môn vững vàng hơn, tác giả đã lựa chọn đề tài.
- "Phương pháp quy nạp với các bài toán phổ thông".
- Cuốn luận văn này nhằm đưa ra cái nhìn tổng quan về phương pháp quy nạp toán học, từ nguyên lý và các hình thức của phương pháp đến những bài tập áp dụng trong các phân môn khác nhau.
- Tác giả đã sưu tầm một số đề thi Olympic toán các quốc gia và quốc tế giải được bằng phương pháp này..
- Chương 1: Trình bày nguồn gốc của phương pháp quy nạp và những kiến thức cơ bản về phương pháp quy nạp toán học..
- Chương 2: Trình bày những ứng dụng của phương pháp quy nạp trong giải toán, bao gồm một số bài toán số học, đại số, giải tích, hình học và một số bài toán rời rạc khác..
- Chương 3: Gồm một số bài toán tham khảo trích trong các đề thi IMO và đề thi vô địch các nước và khu vực..
- Kiến thức cơ bản về phương pháp quy nạp toán học.
- Khi ta tính một số trong tam giác Pascal bằng cách áp dụng công thức truy toán, ta phải dựa vào hai số đã tìm được trước ở cạnh đáy trên.
- Phép tính độc lập dựa vào công thức quen thuộc.
- mà ta sẽ gọi là công thức tường minh để tính các hệ số của nhị thức C n r .
- Công thức tường minh đó có trong công trình của Pascal (trong đó nó được diễn đạt bằng lời chứ không phải bằng các kí hiệu hiện đại).
- Pascal không cho biết ông làm thế nào để ra công thức đó (có thể lúc đầu chỉ là phỏng đoán- ta thường phát hiện ra các quy luật tương tự nhờ quan sát lúc đầu, rồi sau đó thử khái quát các kết quả có được).
- Tuy vậy, Pascal đưa ra một cách chứng minh xuất sắc cho công thức tường minh của mình..
- Công thức tường minh dưới dạng đã viết không áp dụng được trong trường hợp r = 0.
- Còn trong trường hợp, r = n thì công thức không mất ý nghĩa và ta có C n n = n(n − 1)(n − 2)...2.1.
- Như vậy, ta cần chứng minh công thức đúng với 0 <.
- n, tức là ở bên trong tam giác Pascal công thức truy toán có thể sử dụng được.
- Tiếp theo ta trích dẫn Pascal với một số thay đổi không căn bản.
- Mặc dù mệnh đề đang xét (công thức tường minh đối với các hệ số nhị thức) có vô số trường hợp riêng, tôi chứng minh nó một cách hoàn toàn ngắn gọn dựa trên hai bổ đề..
- Bổ đề thứ nhất khẳng định, mệnh đề đó đúng với đáy thứ nhất- điều này là hiển nhiên (khi n = 1 công thức tường minh đúng vì trong trường hợp đó mọi giá trị có thể được của r, nghĩa là r = 0, r = 1 rơi vào điều đã nhận xét ở trên).
- Bổ đề thứ hai khẳng định, nếu mệnh đề đúng với một đáy tùy ý [đối với giá trị n tùy ý] thì nó sẽ đúng với đáy tiếp theo của nó [đối với n + 1]..
- Từ hai bổ đề trên, ta suy ra được sự đúng đắn của mệnh đề đối với mọi giá trị của n.
- Thật vậy, do bổ đề thứ nhất, mệnh đề đúng với n = 1.
- Do đó, theo bổ đề thứ hai nó đúng với n = 2, cho nên theo bổ đề thứ hai nó đúng với n = 3 và cứ như thế đến vô hạn..
- Như vậy, ta chỉ còn phải chứng minh bổ đề thứ hai.
- Theo cách phát biểu của bổ đề đó, ta giả thiết công thức của ta đúng đối với đáy thứ n, nghĩa là đối với giá trị tùy ý n và với mọi giá trị có thể được của r (đối với r = 1, 2.
- Cộng hai đẳng thức đó và áp dụng công thức truy toán, ta được hệ quả C n+1 r = C n r + C n r − 1 = n(n − 1)...(n − r + 2).
- Nói cách khác, sự đúng đắn của công thức tường minh đối với giá trị n nào đó kéo theo tính đúng đắn của nó đối với n + 1.
- Chính điều này được khẳng định trong bổ đề thứ hai.
- Như vậy, ta đã chứng minh được bổ đề đó..
- Những lời của Pascal trích dẫn có một giá trị lịch sử vì chứng minh của ông là sự vận dụng lần đầu tiên của một phương pháp suy luận cơ bản và mới mẻ, thường gọi là phương pháp quy nạp toán học..
- Quy nạp là một quá trình nhận thức những quy luật chung bằng cách quan sát và so sánh những trường hợp riêng.
- Nó được dùng trong các khoa học và cả toán học.
- Còn như quy nạp toán học thì chỉ dùng trong toán học để chứng minh một loại định lý nào đó.
- Thật không may ở chỗ hai tên gọi lại liên quan với nhau, vì rằng giữa hai phương pháp này hầu như không có một liên hệ lôgic nào.
- Tuy nhiên, cũng có một liên hệ thực tế vì người ta thường đồng thời dùng hai phương pháp đó..
- Ta minh họa hai phương pháp đó bằng ví dụ sau..
- [4] Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp quy nạp toán học, NXB Giáo dục..
- [8] Đặng Huy Ruận (2002), Sáu phương pháp giải các bài toán không mẫu mực, NXB Khoa học và Kỹ thuật..
- [9] Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Nho năm Olympic Toán học Quốc tế, NXB Giáo dục..
- [10] G.Polya (2009), người dịch: Hồ Thuần, Bùi Tường, Giải một bài toán như thế nào, NXB Giáo dục..
- [12] G.Polya (2010), người dịch: Nguyễn Sỹ Tuyển, Phan Tất Đắc, Hồ Thuần, Nguyễn Giản, Toán học và những suy luận có lí, NXB Giáo dục..
- [13] L.I.Golovina, I.M.Yaglom (1987), người dịch: Khống Xuân Hiền, Phép quy nạp trong hình học, Sở Giáo Dục Nghĩa Bình.