intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 4

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST
Báo xấu
74
lượt xem 7
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi đh - phần 4', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 4

  1. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 5 B t phương trình cho ⇔ 3 3 − 2x + ≤ 2x + 6 ⇔ f (x ) ≤ g(x ) (*) 2x − 1  1 3 5 Xét hàm s f (x ) = 3 3 − 2x + liên t c trên n a kho ng  ;  2 2 2x − 1 1 3  1 3 −3 5 Ta có : f '(x ) = − < 0, ∀x ∈  ;  ⇒ f (x ) là hàm ngh ch bi n trên n a o n  ;  . 2 2  2 2 3 − 2x ( 2x − 1)3 Hàm s g(x ) = 2x + 6 là hàm ng bi n trên » và f (1) = g(1) = 8 • N u x > 1 ⇒ f (x ) < f (1) = 8 = g(1) < g(x ) ⇒ (*) úng • N u x < 1 ⇒ f (x ) > f (1) = 8 = g(1) > g(x ) ⇒ (*) vô nghi m. 3 V y nghi m c a b t phương trình ã cho là: 1 ≤ x ≤ . 2 Ví d 5 : Gi i b t phương trình sau (x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 ≤ 4 − (x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2 Gi i : 1 i u ki n: x ≥ . 2 (*) B t phương trình cho ⇔ ( x + 2 + x + 6)( 2x − 1 − 3) ≤ 4 • N u 2x − 1 − 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ 5 ⇒ (*) luôn úng. •N u x > 5 ( ) Xét hàm s f (x ) = ( x + 2 + x + 6)( 2x − 1 − 3) liên t c trên kho ng 5; +∞ x +2 + x +6 () 1 1 Ta có: f '(x ) = ( + )( 2x − 1 − 3) + > 0, ∀x > 5 ⇒ f x ng bi n trên 2 x +2 2 x +6 2x − 1 ( ) () kho ng 5; +∞ và f (7) = 4 , do ó * ⇔ f (x ) ≤ f (7) ⇔ x ≤ 7 . 1 ≤x ≤ 7. V y nghi m c a b t phương trình ã cho là: 2 Ví d 6 : Gi i b t phương trình sau 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 < 2 3 + 4 − x Gi i : 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 ≥ 0  ⇔ −2 ≤ x ≤ 4. . i u ki n:  4−x ≥ 0   (*) B t phương trình cho ⇔ 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 − 4 − x < 2 3 ⇔ f (x ) < 2 3 Xét hàm s f (x ) = 2x 3 + 3x 2 + 6x + 16 − 4 − x liên t c trên o n  −2; 4  .  
  2. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 3(x 2 + x + 1) ( ) 1 () Ta có: f '(x ) = + > 0, ∀x ∈ −2; 4 ⇒ f x ng bi n trên n a kho ng 2 4−x 3 2 2x + 3x + 6x + 16 ( −2; 4 ) và f (1) = 2 () 3 , do ó * ⇔ f (x ) < f (1) ⇔ x < 1 . ã cho là: −2 ≤ x < 1 . V y nghi m c a b t phương trình Ví d 7 : Ch ng minh r ng x 4 − x + 1 > 0 , ∀ x Gi i : Xét hàm s f (x ) = x − x + 1 liên t c trên » . 4 1 Ta có f '(x ) = 4x 3 − 1 và f '(x ) = 0 ⇔ x = . 3 4 1 Vì f '(x ) i d u t âm sang dương khi x qua , do ó 3 4 1 1 1 min f (x ) = f ( )= − +1 > 0 3 3 3 4 44 4 V y f (x ) > 0 , ∀x . Ví d 8 : Gi i h phương trình  2x + 3 + 4 − y = 4 (1)  1.   2y + 3 + 4 − x = 4 (2)  (1)  x 3 + 2x = y  2.  3 (2)  y + 2y = x  x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)  3.  x + y = 1 6 6 (2)  Gi i :  2x + 3 + 4 − y = 4 (1)  1.   2y + 3 + 4 − x = 4 (2)  3 − ≤ x ≤ 4 i u ki n:  2 . 3 − ≤ y ≤ 4 2 Cách 1: Tr (1) và (2) ta ư c: (3) 2x + 3 − 4−x = 2y + 3 − 4 −y
  3. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 3  4 − t liên t c trên o n  − ; 4  . Xét hàm s f (t ) = 2t + 3 − 2  3  1 1 > 0, ∀t ∈  − ; 4  ⇒ (3) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y . Ta có: f / (x ) = + 2t + 3 2 4 − t 2  Thay x = y vào (1) ,ta ư c: 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = 3 9 − x ≥ 0   ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔ 2 V y h phương trình có 2 nghi m  x = 11  9x − 38x + 33 = 0   9  11 x = 3 x =  9. , phân bi t   y = 3  y = 11   9 Cách 2: Tr (1) và (2) ta ư c: (2x + 3) − (2y + 3) (4 − y ) − (4 − x ) ( )( )=0⇔ 2x + 3 − 2y + 3 + 4 −y − 4−x + =0 2x + 3 + 2y + 3 4 −y + 4−x   2 1  = 0(*). ⇔ (x − y )  +  2x + 3 + 2y + 3 4 −y + 4 −x  2 1 > 0 nên ( * ) ⇔ x = y + Vì 2x + 3 + 2y + 3 4 −y + 4 −x Thay x = y vào (1) ,ta ư c: 2x + 3 + 4 − x = 4 ⇔ x + 7 + 2 (2x + 3)(4 − x ) = 16 x = 3 9 − x ≥ 0   ⇔ 2 −2x + 5x + 12 = 9 − x ⇔  2 ⇔ 2  x = 11  9x − 38x + 33 = 0   9  11 x = 3 x =  9. V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t  , y=3  11   y=  9  x 3 + 2x = y ( 1 )  2.  3  y + 2y = x ( 2 )  Cách 1 : Xét hàm s f (t ) = t 3 + 2t ⇒ f / (t ) = 3t 2 + 2 > 0, ∀t ∈ » .  f (x ) = y (1)  H phương trình tr thành  .  f (y ) = x (2)  + N u x > y ⇒ f (x ) > f (y ) ⇒ y > x (do (1) và (2) d n n mâu thu n). + N u x < y ⇒ f (x ) < f (y ) ⇒ y < x (mâu thu n).
  4. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Suy ra x = y , th vào h ta ư c ( ) x 3 + x = 0 ⇔ x x 2 + 1 = 0 ⇔ x = 0 vì x 2 + 1 > 0. x = 0  V y h có nghi m duy nh t  . y = 0  Cách 2: Tr (1) và (2) ta ư c: x 3 − y 3 + 3x − 3y = 0 ⇔ (x − y )(x 2 + y 2 + xy + 3) = 0   2 y 3y 2 ⇔ (x − y )   x +  + + 3 = 0 ⇔ x = y   2 4   ( ) Th x = y vào (1) và (2) ta ư c: x 3 + x = 0 ⇔ x x 2 + 1 = 0 ⇔ x = 0 x = 0  V y h phương trình có nghi m duy nh t  . y = 0  x 3 − 3x = y 3 − 3y (1)  3.  x + y = 1 6 6 (2)  T (1) và (2) suy ra −1 ≤ x , y ≤ 1 (1) ⇔ f (x ) = f (y ) (*) Xét hàm s f (t ) = t − 3t liên t c trên o n [ −1;1] , ta có 3 () f '(t ) = 3(t 2 − 1) ≤ 0 ∀t ∈ [ −1;1] ⇒ f t ngh ch bi n trên o n [ −1;1] 1 Do ó: (*) ⇔ x = y thay vào (2) ta ư c nghi m c a h là: x = y = ± . 6 2 Ví d 9 : Gi i h phương trình  1 1 x − = y − (1) 1.  x y  2x 2 − xy − 1 = 0 (2)   1 1 x − = y − (1) 2.  x y  2y = x 3 + 1 (2)  Gi i :  1 1 x − = y − (1) 1.  x y  2x 2 − xy − 1 = 0 (2)  i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 . Ta có:
  5. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu y = x  1  (1) ⇔ (x − y )  1 + =0⇔ 1 y=− .  xy   x • y = x phương trình (2) ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = ±1 . 2 1 • y = − phương trình (2) vô nghi m. x  x = 1  x = −1   ; V y h phương trình có 2 nghi m phân bi t  .  y = 1  y = −1   Bình lu n:  1 1 x − = y − (1) Cách gi i sau ây sai:  x y .  2x 2 − xy − 1 = 0 (2)  i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0 . Xét hàm s 1 1 f (t ) = t − , t ∈ » \ {0} ⇒ f / (t ) = 1 + > 0, ∀t ∈ » \ {0} . t2 t Suy ra (1) ⇔ f (x ) = f (y ) ⇔ x = y ! Sai do hàm s f (t ) ơn i u trên 2 kho ng r i nhau (c th f ( −1 ) = f ( 1 ) = 0 ).  1 1 x − = y − (1) 2.  x y   2y = x + 1 3 (2) Cách 1: i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0. x = y x −y  1  (1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y )  1 + =0⇔ 1 y=− .  xy  xy  x x = 1 • x = y phương trình (2) ⇔   x = −1 ± 5 .   2 1 • y=− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0. x −1 Xét hàm s f (x ) = x 4 + x + 2 ⇒ f / (x ) = 4x 3 + 1 = 0 ⇔ x = . 3 4  −1  3  = 2 − 3 > 0, xlim = xlim = +∞ f 3  4 →−∞ →+∞ 44 ⇒ f (x ) > 0, ∀x ∈ » ⇒ x 4 + x + 2 = 0 vô nghi m. Cách 2:
  6. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu i u ki n: x ≠ 0, y ≠ 0. x = y x −y  1  (1) ⇔ x − y + = 0 ⇔ (x − y )  1 + =0⇔ 1 y=− .  xy  xy  x x = 1 • x = y phương trình (2) ⇔   x = −1 ± 5 .   2 1 • y=− phương trình (2) ⇔ x 4 + x + 2 = 0. x • V i x < 1 ⇒ x + 2 > 0 ⇒ x4 + x + 2 > 0 . • V i x ≥ 1 ⇒ x 4 ≥ x ≥ −x ⇒ x 4 + x + 2 > 0 . Suy ra phương trình (2) vô nghi m.  −1 + 5  −1 − 5 x = x = x = 1    2 2 ∨ ∨ V y h phương trình có 3 nghi m phân bi t   . y = 1 −1 + 5  −1 − 5 y =  y=     2 2 Ví d 10: Gi i các h phương trình  2x y = 1 − x2   2y 1. z = 1 − y2   2z x = 1 − z 2  y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0  2. z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0  Gi i :  2x = y 1 − x2   2y = 1. z 1 − y2   2z = x 1 − z2  x >y >z Gi s () 2t {} Xét hàm s : f t = nh trên D = » \ ±1 .Ta có ,xác 1 − t2
  7. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2(t 2 + 1) () () ft= > 0, ∀x ∈ D ⇒ f t luôn ng bi n trên D . (1 − t 2 )2 () () () Do ó : x > y > z ⇒ f x > f y > f z ⇒ y > z > x . Mâu thu n, do ó i u gi s sai . Tương t x < y < z không tho . V yx =y =z ( )( ) H cho có nghi m : x ; y; z = 0; 0; 0 y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0  2. z 3 − 9y 2 + 27y − 27 = 0 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0  y 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0 y 3 = 9x 2 + 27x − 27 3 3 z − 9y + 27y − 27 = 0 ⇔ z = 9y + 27y − 27 2 2 x 3 − 9z 2 + 27z − 27 = 0 x 3 = 9z 2 + 27z − 27   c trưng : f (t ) = 9t 2 − 27t + 27 ⇒ f '(t ) = 18t − 27 Xét hàm s  3  f '(t ) > 0, ∀t > 2  3 f '(t ) = 0 ⇔ 18t − 27 = 0 ⇔ t = ⇒   f ' t < 0, ∀t < 3 () 2   2 3   3 ng bi n trên kho ng  ; +∞  và ngh ch bi n trên kho ng  −∞;  .Hàm s Hàm s t giá tr nh nh t t i 2 2    3  27 3 t= ⇒f = 2 2 4 27 27 Và f (t ) ≥ ⇔ 9x 2 − 27x + 27 ≥ 4 4  3 3 x ≥ 3 >  27 3 3 42 ⇒ y3 ≥ ⇒y ≥ > ⇒ z ≥ 3 > 3 4 42 3  42 3   f (x ) = y  V y x , y, z thu c mi n ng bi n, suy ra h phương trình  f (y ) = z là h hoán v vòng quanh.  f (z ) = x  Không m t tính t ng quát gi s x ≥ y ⇒ f (x ) ≥ f (y ) ⇒ y 3 ≥ z 3 ⇒ y ≥ z ⇒ f (y ) ≥ f (z ) ⇒ z 3 ≥ x 3 ⇒ z ≥ x ⇒x ≥y ≥z ≥x ⇒x =y =z Thay vào h ta có: x 3 − 9x 2 + 27x − 27 = 0 ⇒ x = 3 . Suy ra: x = y = z = 3
  8. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu BÀI T P T LUY N () 81 1. Gi i phương trình 81sin10 x + cos10 x = * 256 2. Gi i các phương trình 3 1. (7 + 5 2)cos x − (17 + 12 2)cos = cos 3x x  π π 2 2. e t a n x + cosx =2 ,x ∈  - ;  .  2 2 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 4. 3x = 1 + x + log3 (1 + 2x ) 3. Gi i các phương trình 3 x −x 2 −1 ) ( 1 () x 2 − 3x + 2 + 2 +   =2 * 1. log 3 5 ( ) ( ) ( ) 2. x − 3  log 3 x − 5 + log 5 x − 3  = x + 2    3 3 x+ x− 3. log2  x +  + 2 =2 4 2  4. Gi i h phương trình: x + x 2 − 2x + 2 = 3y −1 + 1  (x , y ∈ ») 1.  x −1 y + y − 2y + 2 = 3 + 1 2  (1 + 42x −y )51−2x +y = 1 + 22x −y +1 (1) 2.  3 2 y + 4x + 1 + ln(y + 2x ) = 0 (2)  x y e = 2009 −  y 2 − 1 1 có úng 2 nghi m th a mãn i u ki n () 5. Ch ng minh r ng h phương trình  x e y = 2009 −  x2 − 1  x > 1, y > 1 . () ln(1 + x ) − ln(1 + y ) = x − y 1  6. Gi i h phương trình  2 () 2x − 5xy + y = 0 2 2  7. Gi i các h phương trình x 3 + 3x − 3 + ln(x 2 − x + 1) = y   1. y 3 + 3y − 3 + ln(y 2 − y + 1) = z 3 z + 3z − 3 + ln(z − z + 1) = x 2 
  9. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2  x − 2x + 6 log 3 (6 − y ) = x  2.  y 2 − 2y + 6 log 3 (6 − z ) = y 2  z − 2z + 6 log 3 (6 − x ) = z  Hư ng d n : 1. t t = sin 2 x ; 0 ≤ t ≤ 1 . () 81 , t ∈ 0;1 Khi ó phương trình * ⇔ 81t 5 + (1 − t )5 =  256 Xét hàm s f (t ) = 81t 5 + (1 − t )5 liên t c trên o n 0;1 , ta có:  f '(t ) = 5[81t − (1 − t ) ],t ∈ 0;1 4 4  81t 4 = (1 − t )4  1 f '(t ) = 0 ⇔  ⇔t = 4 t ∈  0;1   1 81 L p b ng bi n thiên và t b ng bi n thiên ta có: f (t ) ≥ f ( ) = 4 256 π 1 1 1 V y phương trình có nghi m t = ⇔ sin x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = + k π (k ∈ Z ) . 2 4 4 2 6 2. 3 1. (7 + 5 2)cos x − (17 + 12 2)cos = cos 3x x 3 ⇔ (1 + 2)3 cos x − (1 + 2)4 cos = 4 cos3 x − 3 cos x x 3 ⇔ (1 + 2)3 cos x + 3 cos x = 4 cos3 x + (1 + 2)4 cos x ( ) + t liên t c trên » ,ta có () t Xét hàm s : f t = 1 + 2 2 ) ln (1 + 2 ) + 1 > 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t ) là hàm s ( t () f ' t = 1+ ng bi n trên » , nên ta có ( ) ( ) f 3 cos x = f 4 cos3 x π kπ ( ) ⇔ 3 cos x = 4 cos3 x ⇔ cos 3x = 0 ⇔ x = + ,k ∈ » 6 3  π π 2 2. e t a n x + cosx =2 ,x ∈  - ;   2 2  π π 2 Xét hàm s : f (x ) = e t a n x + cosx liên t c trên kho ng x ∈  - ;  .  2 2 Ta có  tan2x  − cos3x  1 2e − sin x = sin x  t a n2 x f '(x ) = 2 t a n x . e     cos2x cos3x  
  10. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2 Vì 2e t a n x ≥ 2 > cos3x > 0 Nên d u c a f '(x ) chính là d u c a sin x . T ây ta có f (x ) ≥ f (0) = 2 V y phương trình ã cho có nghi m duy nh t x = 0 . 3. 2003x + 2005x = 4006x + 2 Xét hàm s : f (x ) = 2003x + 2005x − 4006x − 2 liên t c trên » . Ta có: f '(x ) = 2003x ln 2003 + 2005x ln 2005 − 4006 () f ''(x ) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > 0 ∀x ∈ » ⇒ f "(x ) = 0 vô nghi m ⇒ f ' x = 0 có nhi u ó phương trình f ( x ) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m và f ( 0 ) = f (1) = 0 nên nh t là m t nghi m . Do phương trình ã cho có hai nghi m x = 0, x = 1 4. 3x = 1 + x + log3 (1 + 2x ) 1 x >− 2 () Phương trình cho ⇔ 3x + x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) ⇔ 3x + log3 3x = 1 + 2x + log3 (1 + 2x ) * 1 () () ( ) Xét hàm s : f (t ) = t + log3 t liên t c trên kho ng 0; +∞ , ta có f ' t = 1 + > 0, t > 0 ⇒ f t là t ln 3 ( ) ng bi n kho ng 0; +∞ nên phương trình hàm (*) ⇔ f (3x ) = f (1 + 2x ) ⇔ 3x () = 2x + 1 ⇔ 3x − 2x − 1 = 0 * * Xét hàm s : f (x ) = 3x − 2x − 1 ⇒ f '(x ) = 3x ln 3 − 2 ⇒ f "(x ) = 3x ln2 3 > 0 () ⇒ f (x ) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m, và f (0) = f 1 = 0 nên phương trình ã cho có hai nghi m x = 0, x = 1 . 3. 3 x −x 2 −1 ) ( 1 () x 2 − 3x + 2 + 2 +   =2 * 1. log 3 5 i u ki n x 2 − 3x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 t u = x 2 − 3x + 2, u ≥ 0 1− u 2 1 1 2 () ( ) ( ) () Phương trình * ⇔ log 3 u + 2 +   = 2 ⇔ log 3 u + 2 +   .5u = 2, u ≥ 0 * * 5 5 1 2 ) () ( )  Xét hàm s : f u = log 3 u + 2 +   .5u liên t c trên n a kho ng  0; +∞ 5 1 12 () ) ng bi n trên n a kho ng 0; +∞ và Ta có : f ' (u ) = + 5u . ln 5.2u > 0, ∀u ≥ 0 ⇒ f u  (u + 2) ln 3 5 () () f 1 = 2 ⇒ u = 1 là nghi m phương trình * * .
  11. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  3− 5 x = 2 tho x 2 − 3x + 2 = 1 ⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔  Khi ó i u ki n.  3+ 5 x =  2 ( ) ( ) ( ) 2. x − 3  log 3 x − 5 + log 5 x − 3  = x + 2   i u ki n : x > 5 ( ) ( ) ( ) Khi ó phương trình : x − 3 log 3 x − 5 + log5 x − 3  = x + 2   ( ) x +2 ( ) x ⇔ log3 x − 5 + log5 x − 3 = −3 f ( x ) = log ( x − 5 ) + log ( x − 3 ) liên t ( ) c trên kho ng 5; +∞ và có Xét hàm s 3 5 1 1 () () ( ) f' x = + > 0, ∀x > 5 ⇒ f x luôn ng bi n trên kho ng 5; +∞ . (x − 5) ln 3 (x − 3) ln 3 x +2 () ( ) Xét hàm s g x = liên t c trên kho ng 5; +∞ và có x −3 −5 () () ( ) < 0, ∀x > 5 ⇒ g x ngh ch bi n trên kho ng 5; +∞ . g' x = (x − 3 ) 2 M t khác g ( 8 ) = f ( 8 ) = 2 , do ó phương trình cho có nghi m duy nh t x = 8 .  3 3 x+ x− 3. log2  x +  + 2 =2 4 2  i u ki n : x ≥ 0 . tt = x ,t ≥ 0  3 3 t 2 +t − Phương trình cho ⇔ log2  t +  + 2 − 2 = 0, t ≥ 0 4 2   3 3 () ) t 2 +t −  − 2 liên t c trên n a kho ng  0; +∞ . Xét hàm s : f t = log2  t +  + 2 4 2  3 1 () () t 2 +t − Ta có : f ' t = + (2t + 1)2 . ln 2 > 0, ∀t ≥ 0 ⇒ f t luôn ng bi n trên n a kho ng 4  3  t +  . ln 2 2  1 1 ) () 0; +∞ và f   = 0 ⇒ t = là nghi m duy nh t c a phương trình f t = 0  2 2 1 1 1 t= ⇒ x = ⇒x = . 2 2 4 4.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1095 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
29=>2