intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 9

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
86
lượt xem 9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi đh - phần 9', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng ứng dụng hàm số trong luyện thi ĐH - phần 9

  1. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  3  x = 3 x = − y  13 . ng th c x y ra ⇔  ⇔ ⇒ P ≥ −6 .  2 2 x 2 + y 2 = 1 y = ±    13 V y max P = 3; min P = −6 . Tuy nhiên cách làm cái khó là chúng ta làm sao bi t cách ánh giá P − 3 và P + 6 ? i th a: 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50 Ví d 15: Cho b n s nguyên a, b, c, d thay ac Tìm GTNN c a bi u th c P = + (D b i h c - 2002). bd Gi i: Vì 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50 và a, b, c, d là các s nguyên nên c ≥ b + 1 a c 1 b +1 () +≥+ =f b . Suy ra : 50 bdb 1 x +1 () D th y 2 ≤ b ≤ 48 nên ta xét hàm s : f x = + , x ∈ [2; 48] 50 x 1 1 () () Ta có f ' x = − + ⇒ f ' x =0 ⇔x =5 2. x2 50 () () L p b ng bi n thiên ta ư c min f x = f 5 2 [2;48] Do 7 và 8 là hai s nguyên g n 5 2 nh t vì v y:  53 61  53 { ( ) ( )} () min f b = min f 7 ; f 8 = min  = ; . 175 200  175 [2;48] 53 V y GTNN P = . 175 Ví d 16: Cho a, b, c là 3 s th c dương và th a mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1. Ch ng 33 a b c +2 +2 ≥ . minh r ng : b +c a +c a +b 2 2 2 2 2 Gi i : không m t tính t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c và th a mãn h th c a 2 + b 2 + c 2 = 1. Do ó 1 0
  2. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  1  1 () Ta có : f '(x ) = −3x 2 + 1 > 0, x ∈  0;  ⇒ f x liên t c và ng bi n trên n a kho ng  0; .  3  3  1 ( ) ( ) 2 2 2 Và lim f (x ) = lim x 1 − x 2 = 0, f  = ⇒ 0 < f (x ) ≤ hay 0 < x 1 − x 2 ≤ . x →0+ x →0+  3 3 3 33 33  1 1 2 332 x ≥ ⇔ ≥ x , ∀x ∈  0; . Hay ( ) 1 − x2 x 1 − x2 2  3 33 a 332 ≥  a 1 − a 2 2 b ( ) 332 33 2 a b c ≥ b⇒ + + ≥ a + b2 + c2 . Suy ra  1 − b 1−a 1−b 1−c 2 2 2 2 2 2 c 332 1 − c 2 ≥ 2 c  33 1 a b c +2 +2 ≥ . X y ra khi a = b = c = Vy . b2 + c2 a + c2 a + b2 2 3 không m t tính t ng quát , gi s 0 < a ≤ b ≤ c và th a mãn h th c a 2 + b 2 + c 2 = 1. Ta có th Chú ý : suy ra 0 < a ≤ b ≤ c < 1 . ( ) () Khi ó xét hàm s : f (x ) = x 1 − x 2 liên t c trên kho ng 0;1 . 1 () f '(x ) = −3x 2 + 1, x ∈ 0;1 và f '(x ) = 0 ⇔ x = 3  1  1 () • f '(x ) > 0, x ∈  0;  ⇒ f x liên t c và ng bi n trên kho ng  0;   3  3 1  1  () • f '(x ) < 0, x ∈  ;1  ⇒ f x liên t c và ngh ch bi n trên kho ng  ;1  .  3  3 1 2 2 Và lim f (x ) = lim f (x ) = 0, f  = ⇒ 0 < f (x ) ≤ . Ph n còn l i tương t như trên. + −  3 3 3 x →0 x →1 33 x , y, z th a i u ki n: Ví d 17: Xét các s th c không âm thay i x + y + z = 1 . Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a: 1−x 1−y 1−z S= + + . 1+x 1+y 1+z Gi i : Tìm MinS : Không m t t ính t ng quát gi s : 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 . x + y + z = 1  ⇒ x , y, z ∈  0;1 . Vi  x , y, z ≥ 0  
  3. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 1−x 1−x ( )( ) ≥ (1 − x )2 ⇒ ≥1−x. Vì 1 − x 1 + x = 1 − x 2 ≤ 1 nên: 1+x 1+x ng th c x y ra trong trư ng h p x = 0 ho c x = 1 . Du Khi ó S = 1 − x + 1 − y + 1 − z ≥ 1 − x + 1 − y + 1 − z hay S ≥ 2 . 1+x 1+y 1+z x = y = 0, z = 1 thì S = 2 . ng th c x y ra khi V y: min S = 2 . Tìm MaxS: Không m t t ính t ng quát gi s : 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1 . 1 24 Lúc ó: z ≥ ; x +y ≤ < . 3 35 1−z 1−x 1−y 1−z 1 − (x + y ) 1−z z ≤ 1+ =1 + + S= + + + 2−z 1+z 1+x 1+y 1+z 1+x +y 1+z 1−z () z th z = + . Bài toán tr thành giá tr l n nh t c a 2−z 1+z 1  () h z trên o n  ; 1 . 3   1  1    1 2 h '(z ) = 0 ⇔ z = . Maxh(z )=Max h   ; h(1); h    = . 2  3  2    3 1−x 1−y 1−z 2 Do ó : S = + + ≤1+ . 1+x 1+y 1+z 3 1 2 ng th c x y ra khi x = 0, y = z = thì S = 1 + . 2 3 2 V y: m axS = 1 + 3 Ví d 18: Cho ba s th c dương a, b, c tho mãn: abc + a + c = b . 2 2 3 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P = −2 +2 a +1 b +1 c +1 2 Gi i : 1 ( ) Ta có : a + c = b 1 − ac > 0 . D th y ac ≠ 1 ⇒ 0 < a < c 2(1 − ac)2 a +c 2 3 nên b = ⇒ P= 2 − +2 1 − ac a + 1 (a + c) + (1 − ac) c +1 2 2 2(a + c)2 2 3 P= +2 −2+ 2 a + 1 (a + 1)(c + 1) c +1 2 2
  4. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 2(x + c )2 2 3 () Xét f x = +2 +2 −2 x + 1 (x + 1)(c + 1) c + 1 2 2 2(x 2 + 2cx + 2c 2 + 1) 3 1 () fx= +2 − 2, 0 < x < (x 2 + 1)(c 2 + 1) c +1 c −4c(x 2 + 2cx − 1) 1 ⇒ f ' (x ) = , 00 Xét c2 + 1 c2 + 1 2(1 − 8c 2 ) g ' (c ) = (c 2 + 1)2 ( c 2 + 1 + 3c) c > 0  1 g' (c) = 0 ⇔  ⇔c = 1 − 8c = 0 2 22  1 2 24 10 () ⇒ ∀c>0:g c ≤ g( )= + = 39 3 22  1 a = 2   10 . D u "=" x y ra khi b = 2 ⇒P ≤ 3  1 c =  22  10 V y giá tr l n nh t c a P là . 3 Ví d 19 : Cho tam giác ABC không tù. Tìm GTLN c a bi u th c: P = cos 2A + 2 2(cos B + cos C ) ( i h c Kh i A – 2004 ) . Gi i: A Ta có A ≤ 90 ⇒ cos 2A = 2 cos2 A − 1 ≤ 2 cos A − 1 = 1 − 4 sin2 2 ng th c có ⇔ cos2 A = cos A (1). B −C C C cos B + cos C = 2 sin . cos ≤ 2 sin 2 2 2
  5. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu B −C ng th c x y ra ⇔ cos = 1 (2). 2 2 A . Ta có: P ≤ −4t 2 + 4 2t + 1 = f (t ) t t = sin ⇒ 0 B > C . Tìm giá tr nh nh t c a bi u x − sin A x − sin B th c : M = + − 1. x − sin C x − sin C Gi i : ( ) )  nh khi D = −∞; sin C ∪ sin A; +∞ . Bi u th c xác x − sin C sin A − sin C 1 x − sin C sin B − sin C M'= + > 0, ∀x ∈ D ⇒ M liên t c và ng bi n trên m i . . ( ) ( ) x − sin A x − sin C 2 2 x − sin B x − sin C 2 ( ) ) kho ng −∞; sin C , sin A; +∞  sin A − sin B Do ó min M = M ( sin A ) = −1 sin A − sin C Ví d 21: Cho m t tam giác u ABC c nh a . Ngư i ta d ng m t hình ch nh t MNPQ có c nh MN n m trên c nh BC , hai nh P và Q theo th t n m trên hai c nh A C và AB c a tam giác . Xác nh v trí i m M sao cho hình ch nh t có di n tích l n nh t và tìm giá tr l n nh t ó. Gi i : a t BM = x , 0 < x < ⇒ NM = BC − 2BM = a − 2x 2 QM Trong tam giác vuông BMQ có tan QBM = ⇒ QM = BM . tan QBM = x 3 BM () ( ) Di n tích hình ch nh t MNPQ là S x = MN .QM = a − 2x x 3  a () ( ) Bài toán quy v : Tìm giá tr l n nh t c a S x = a − 2x x 3, x ∈  0;   2
  6. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu  a () () a S ' x = −4 3x + a 3, x ∈  0;  S' x =0⇔x =  2 4  a () B ng bi n thiên c a S x trên kho ng  0;   2 a a 0 x 4 2 () + − 0 S' x a2 3 () Sx 8 0 0 a2 3 a khi x = V y di n tích hình ch nh t l n nh t là 4 8 BÀI T P T LUY N 1. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : () a. f x = x 4 − 2x 2 + 3 trên o n  −3;2    3x 2 + 10x + 20 () b. f x = x 2 + 2x + 3 2. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a các hàm s : a. f (x ) = x 2 − 4x + 5 trên o n [−2; 3] . 9 1 b. f ( x ) = x 6 − 3x 4 + x 2 + trên o n [−1; 1] . 4 4 () 3. Tìm giá tr l n nh t c a các hàm s : f x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90 trên o n  −5; 5 .   4. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s f ( x ) = x − 3x + 2 trên o n  –3; 2 . 3   2 2 5. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s : y = 4sin + 4 cos x x Hư ng d n . 1. () a. f x = x 4 − 2x 2 + 3, x ∈  −3;2    Hàm s ã cho xác nh trên o n  −3;2 .  () x = −1, f −1 = 2  () () () Ta có f ' x = 4x 3 − 4x ⇒ f ' x = 0 ⇔ x = 0, f 0 = 3 x = 1, f −1 = 2 ()   () () f −3 = 66, f 2 = 11 B ng bi n thiên
  7. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu −3 −1 0 1 2 x () + − 0+ − 0 0 f' x f (x ) 66 3 11 2 2 () () T b ng bi n thiên suy ra : max f x = 66 khi x = −3 min f x = 2 khi x = −1, x = 1  −3;2   −3;2     3x 2 + 10x + 20 () b. f x = x 2 + 2x + 3 Hàm s ã cho xác nh trên » . () () lim f x = lim f x = 3 x →−∞ x →+∞  5 x = −5 ⇒ y = −4x 2 − 22x − 10 () () 2 Ta có : f ' x = ⇒f' x =0⇔ (x ) 1 2 x = − ⇒ y = 7 + 2x + 3 2   2 B ng bi n thiên 1 −∞ − +∞ −5 x 2 () 0+ 0 − − f' x f (x ) 3 7 5 3 2 1 5 () () T b ng bi n thiên suy ra : max f x = 7 khi x = − min f x = khi x = −5 2 2 2. a. f (x ) = x 2 − 4x + 5 trên o n [−2; 3] . Hàm s ã cho xác nh trên [−2; 3] . x −2 f '(x ) = x 2 − 4x + 5 f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ∈  −2; 3  f (−2) = 17, f ( 2 ) = 1, f(3) = 2. V y: min  f (x ) = 1 khi x = 2 .  x ∈  −2;3  max f (x ) = 17 khi x = −2 . x ∈  −2;3  9 1 b. f ( x ) = x 6 − 3x 4 + x 2 + trên o n [−1; 1] . 4 4 Hàm s ã cho xác nh trên [−1; 1] .
  8. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu t t = x 2 ⇒ t ∈ [0; 1] ,∀x ∈  −1; 1  , ta có:   9 1 f ( t ) = t 3 − 3t 2 + t + liên t c trên o n [0; 1] 4 4  1 t = 9 ⇒ f / ( t ) = 3t 2 − 6t + = 0 ⇔  2  t = 3 ∉  0;1  4  2 1 1 3 1 f (0) = , f   = , f (1) = .  2 4 4 2 V y: 1 1 min f ( t ) = khi t = 0 hay min f ( x ) = khi x = 0 4 4 t ∈  0;1  x ∈  −1;1  3 1 2 max f ( t ) = khi t = hay max  f ( x ) khi x = ± . 4 2 2  x ∈  −1;1  t ∈  0;1  () 3. f x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90 trên o n x ∈  −5; 5 .   Hàm s ã cho xác nh trên  −5;5  .   () t g x = x 3 + 3x 2 − 72x + 90, x ∈  −5; 5    () Ta có : g ' x = 3x 2 + 6x − 72 x = −6 ∉  −5; 5  ()   g' x = 0 ⇔   −5;5  x = 4 ∈    () () () g 4 = −86, g −5 = 400, g 5 = −70 ⇒ −86 ≤ g ( x ) ≤ 400 ⇒ 0 ≤ g ( x ) ≤ 400 ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ 400 V y : max f ( x ) = 400 khi x = −5 . x ∈ −5;5   4. f ( x ) = x 3 − 3x + 2 trên o n  –3; 2    Hàm s ã cho xác nh trên  –3; 2  .   t g ( x ) = x 3 − 3x + 2, x ∈  –3; 2  g / (x ) = 3x 2 − 3 g ' ( x ) = 0 ⇔ x = ±1 ∈ [−3; 2] g(−3) = −16, g(−1) = 4, g(1) = 0, g(2) = 4 ⇒ −16 ≤ g(x ) ≤ 4 ,∀x ∈ [−3; 2] ⇒ 0 ≤ g(x ) ≤ 16 ,∀x ∈ [−3; 2] ⇒ 0 ≤ f ( x ) ≤ 16 ,∀x ∈ [−3; 2] . V y max  f ( x ) = 16, min  f ( x ) = 0   x ∈  –3; 2  x ∈  –3; 2  5.
  9. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu Cách 1 : 4 2 2 2 2 2 + 41− sin y = 4 sin + 4 cos = 4 sin = 4 sin + x x x x x 2 4 sin x 2 2 t t = 4sin x , 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ⇔ 40 ≤ 4sin ≤4 ⇔1≤t ≤4 x t +4 2 () liên t c trên o n 1; 4  . Xét hàm s f t =  t t2 − 4 () () , ∀t ∈ 1; 4  và f ' t = 0 ⇔ x = 2 Ta có : f ' t =  t2 () () B ng bi n thiên suy ra min f t = 4 ⇒ min y = 4 , max f t = 5 ⇒ min y = 5 . t ∈1;4  t ∈1;4    Cách 2: Áp d ng b t ng th c trung bình c ng , trung bình nhân. π π 2 2 2 2 = 4cos ⇔x = +k + 4 cos ≥ 2 4 = 4. ng th c x y ra khi : 4sin x x 4 sin x x . 4 2 4sin2 x ≥ 1 4sin2 x − 1 ≥ 0 ( )( )   2 2 ⇔ ⇔ 4sin x − 1 4sin x − 1 ≥ 0 Và  cos2 x  cos2 x ≥1 −1 ≥ 0 4 4   2 2 ⇔ 4 sin x + 4 cos x ≤ 5 . ng th c x y ra khi ho c sin x = 0 ho c cos x = 0 π π π V y min y = 4 khi x = +k và m a x y = 5 khi x = k . 4 2 2 Bài 4 :TI M C N HÀM S TÓM T T LÝ THUY T 1. ư ng ti m c n ng và ư ng ti m c n ngang: • ư ng th ng y = y 0 ư c g i là ư ng ti m c n ngang ( g i t t là ti m c n ngang) c a th hàm s () () () y = f x n u lim f x = y 0 ho c lim f x = y 0 . x →+∞ x →−∞ • ư ng th ng x = x 0 ư c g i là ư ng ti m c n ng ( g i t t là ti m c n ng) c a th hàm s () () () () () y = f x n u lim− f x = +∞ ho c lim+ f x = +∞ ho c lim− f x = −∞ ho c lim+ f x = −∞ . x →x 0 x →x 0 x →x 0 x →x 0 2. ư ng ti m c n xiên: ( ) ư c g i là ư ng ti m c n xiên ( g i t t là ti m c n xiên) c a th hàm ư ng th ng y = ax + b a ≠ 0 s y = f ( x ) n u lim f ( x ) =  f ( x ) − (ax + b )  = 0 ho c lim f ( x ) =  f ( x ) − (ax + b )  = 0 Trong ó     x →+∞ x →−∞ f (x ) f (x ) , b = lim  f ( x ) − ax  ho c a = lim , b = lim  f ( x ) − ax  . a = lim     x →+∞ x →+∞ x →−∞ x →−∞ x x Chú ý : N u a = 0 thì ti m c n xiên tr thành ti m c n ng.
  10. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 4.2 D NG TOÁN THƯ NG G P Ví d 1 : Tìm ti m c n c a th hàm s : 2x − 1 () 1. y = f x = x +2 x2 − x + 1 2. y = f (x ) = x −1 x2 + 1 () 3. y = f x = x Gi i : 2x − 1 () 1. y = f x = x +2 {} ã cho xác nh trên t p h p » \ 2 . Hàm s 1 2− 2x − 1 () x = 2 và Ta có: lim f x = lim = lim x →−∞ x + 2 x →−∞ x →−∞ 2 1+ x 1 2− 2x − 1 () x = 2 ⇒ y = 2 là ti m c n ngang c a lim f x = lim = lim th khi x → −∞ và x → +∞ . x →+∞ x + 2 x →+∞ x →+∞ 2 1+ x 2x − 1 () lim f x = lim = −∞ và − x +2 − () () x → −2 x → −2 2x − 1 () () () − + th khi x → −2 và x → −2 ; fx= = +∞ ⇒ x = −2 là ti m c n lim lim ng c a x +2 ( )+ ( )+ x → −2 x → −2 ( )= fx 2x − 1 = 0 ⇒ hàm s f không có ti m c n xiên khi x → −∞ . lim lim ( ) x x +2 x → −∞ x → −∞ x 1 ( )= 2− fx 2x − 1 x = 0 ⇒ hàm s f không có ti m c n xiên khi x → +∞ . = lim lim lim ( ) x → +∞ x + 2 x → +∞ x x + 2 x → +∞ x
  11. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x2 − x + 1 2. y = f (x ) = x −1 {} nh trên t p h p D = » \ 1 Hàm s xác 1 Ta có: f (x ) = x + x −1  1  1 ⇒ lim f (x ) = lim  x +  = +∞ và lim f (x ) = lim  x +  = −∞ ⇒ x = 1 là ti m c n ng x − 1 x − 1 x → 1+ x →1+  x → 1− x →1−   1 c a th hàm s khi x → 1+ và x → 1− ; lim f (x ) = lim  x +  = +∞ và x −1 x →+∞ x →+∞   1 lim f (x ) = lim  x +  = −∞ ⇒ hàm s không có ti m c n ngang x −1 x → −∞ x →−∞  1 1 lim (f (x ) − x ) = lim = 0 và lim (f (x ) − x ) = lim =0 x → +∞ x − 1 x → −∞ x − 1 x → +∞ x → −∞ th hàm s khi x → +∞ và x → −∞ . ⇒ y = x là ti m c n xiên c a x2 + 1 () 3. y = f x = x {} ã cho xác nh trên t p h p » \ 0 . Hàm s 1 −x 1 + x 2 = − lim 1 + 1 = −1, ⇒ y = −1 là ti m c n ngang c a () lim f x = lim th hàm s khi x2 x →−∞ x →−∞ x →−∞ x x → −∞ . 1 x 1+ x 2 = lim 1 + 1 = 1, ⇒ y = 1 là ti m c n ngang c a () lim f x = lim th hàm s khi x → +∞ . x2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x2 + 1 x2 + 1 () () lim f x = lim = −∞ , lim f x = lim = +∞ ⇒ x = 0 là ti m c n ng c a th − − x → 0+ x →0 + x x x →0 x →0 hàm s khi x → 0− và x → 0+ 1 −x 1 + ( ) = lim fx x +1 2 x 2 = 0 ⇒ hàm s f không có ti m c n xiên khi x → −∞ = lim lim x2 x2 x →−∞ x →−∞ x →−∞ x 1 x 1+ ( ) = lim fx x +1 2 x 2 = 0 ⇒ hàm s f không có ti m c n xiên khi x → +∞ = lim lim x2 x2 x →+∞ x →+∞ x →+∞ x Chú ý : u(x ) Cho hàm phân th c f (x ) = . v(x )
  12. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu v(x ) = 0  th hàm s là s nghi m c a h  a) S ti m c n ng c a . u(x ) ≠ 0   th hàm s có ti m c n ngang ⇔ deg u(x ) ≤ deg v(x ) , trong ó deg là b c c a a th c. b) th hàm s có ti m c n xiên ⇔ deg u(x ) = deg v(x ) + 1 .Khi ó tìm ti m c n xiên ta chia u(x ) c) u1 (x ) , trong ó deg u1 (x ) < deg v(x ) cho v(x ) , ta ư c: y = ax + b + v(x ) u1 (x ) u1 (x ) ⇒ lim = lim = 0 ⇒ y = ax + b là TCX c a th hàm s . x → +∞ v(x ) x → −∞ v(x ) *N u th hàm s có ti m c n ngang thì không có ti m c n xiên và ngư c l i. Ví d 2: Tìm ti m c n c a các th hàm s sau: 1. y = f (x ) = x 2 − 2x + 2 2. y = f (x ) = x + x 2 − 1 Gi i : 1. y = f (x ) = x 2 − 2x + 2 ã cho xác nh trên » . Hàm s x 2 − 2x + 2 f (x ) 2 2 Ta có: a = lim = lim = lim 1 − + =1 x x2 x → +∞ x x → +∞ x → +∞ x   b = lim (f (x ) − ax ) = lim  x 2 − 2x + 2 − x  x → +∞   x → +∞ 2 −2 + −2x + 2 x = lim = lim = −1 x →+∞ x → +∞ 2 2 2 x − 2x + 2 + x 1− + +1 x x2 ⇒ y = x − 1 là ti m c n xiên c a th hàm s khi x → +∞ . x 2 − 2x + 2 f (x ) 2 2 a = lim = lim = − lim 1 − + = −1 x x2 x → −∞ x x →−∞ x → −∞ x   b = lim (f (x ) − ax ) = lim  x 2 − 2x + 2 + x  x → −∞   x → −∞ 2 −2 + −2x + 2 x = lim = lim =1 x →−∞ x →−∞ 2 2 2 x − 2x + 2 − x − 1− + −1 x x2 ⇒ y = −x + 1 là ti m c n xiên c a th hàm s khi x → −∞ . 2. y = f (x ) = x + x 2 − 1 ( )  nh trên D = −∞; −1 ∪ 1; +∞ . Hàm s ã cho xác
  13. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu   x + x2 − 1 f (x ) 1 = lim  1 + 1 − =2 a = lim = lim x → +∞   x2 x → +∞ x → +∞ x x   −1 ( f (x ) − ax ) = x lim   x 2 − 1 − x  = lim b = lim =0  →+∞   x → +∞ x 2 − 1 + x x → +∞ ⇒ y = 2x là ti m c n xiên c a th hàm s khi x → +∞ .   x + x2 − 1 f (x ) 1 = lim  1 − 1 − =0 a = lim = lim x → +∞   x2 x → −∞ x → +∞ x x   −1   b = lim f (x ) = lim  x 2 − 1 + x  = lim =0 x → −∞   x →−∞ x 2 − 1 − x x →−∞ ⇒ y = 0 là ti m c n ngang c a th hàm s khi x → −∞ . Nh n xét: 1) Xét hàm s f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) . *N ua 0 ) khi x → +∞ và y = − a  x +  khi 2a 2a   x → −∞ . th hàm s y = mx + n + p ax 2 + bx + c (a > 0) có ti m c n là ư ng th ng : 2) b y = mx + n + p a | x + |. 2a Ví d 3: Tùy theo giá tr c a tham s m. Hãy tìm ti m c n c a th hàm s x −1 sau: y = f (x ) = . 3 mx − 1 Gi i : * m = 0 ⇒ y = −x + 1 ⇒ th hàm s không có ti m c n. x −1 ⇒ lim f (x ) = lim f (x ) = 0 ⇒ y = 0 là ti m c n ngang c a * m = 1 ⇒ f (x ) = th hàm s khi x3 − 1 x → +∞ x → −∞ x → +∞ và x → −∞ . 1 Vì lim f (x ) = lim = ⇒ th hàm s không có ti m c n ng x →1+ x →1− 3 m ≠ 0 1    ⇒ hàm s xác nh trên D = » \   * m ≠ 1 3  m    ư ng th ng y = 0 là ti m c n ngang c a th hàm s . 1 ư ng th ng x = là ư ng ti m c n ng c a th hàm s . 3 m
  14. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu x2 + x + 1 () Ví d 4: Cho hàm s y = th là C . Ch ng minh r ng: có x −1 () 1. Tích kho ng cách t m t i m b t kì trên C n hai ti m c n không i () 2. Không có ti p tuy n nào c a C i qua giao i m c a hai ti m c n. Gi i : {} nh trên D = » \ 1 . Hàm s ã cho xác 3 1. Ta có: y = x + 2 + ⇒ hai ti m c n c a th hàm s là ∆1 : x − 1 = 0 và ∆2 : x − y + 2 = 0 x −1  3 ( ) G i M ∈ (C ) ⇒ M  x 0 ; x 0 + 2 +  ⇒ d1 = d M , ∆1 = x 0 − 1   x0 − 1   3 x0 − x0 − 2 − +2 x0 − 1 3 ( ) d2 = d M , ∆2 = = 2 x0 − 1 2 3 32 ⇒ d1 .d2 = x 0 − 1 = pcm. 2 2 x0 − 1 2. G i I = ∆1 ∩ ∆2 ⇒ I (1; 3) Gi s ∆ là ti p tuy n b t kì c a th (C) ⇒ phương trình c a ∆ có d ng   3  (x − x ) + x + 2 + 3 ∆ : y = y '(x 0 )(x − x 0 ) + y 0 =  1 − 0 0   x0 − 1 (x 0 − 1)2     3  (1 − x ) + x + 2 + 3 = 3 ⇒ I ∈ ∆ ⇔ 1 − 0 0   x0 − 1 (x 0 − 1)2   3 3 6 ⇔ 1 − x0 + + x0 + 2 + −3=0⇔ = 0 ta th y phương trình này vô nghi m. V y không x0 − 1 x0 − 1 x0 − 1 có ti p tuy n nào c a th (C) i qua I . mx 2 + (3m 2 − 2)x − 2 Ví d 5: Cho hàm s y = (C), v i m là tham s th c. x + 3m góc gi a hai ti m c n c a th (C) b ng 450 . 1. Tìm m 2. Tìm m th (C) có ti m c n xiên t o c t hai tr c t a t i A, B sao cho tam giác ∆AOB có di n tích b ng 4 . Gi i :
  15. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu 6m − 2 Ta có: y = mx − 2 + x + 3m 1 th hàm s có hai ti m c n ⇔ 6m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ . 3 Phương trình hai ư ng ti m c n là: ∆1 : x = −3m ⇔ x + 3m = 0 Và ∆2 : y = mx − 2 ⇔ mx − y − 2 = 0 . Véc tơ pháp tuy n c a ∆1 và ∆2 l n lư t là : n1 = (1; 0), n2 = (m; −1) 1. Góc gi a ∆1 và ∆2 b ng 450 khi và ch khi n1 .n2 m 2 cos 450 = cos ⇔ 2m 2 = m 2 + 1 ⇔ m = ±1 = = 2 m2 + 1 n1 . n2 V y m = ±1 là nh ng giá tr c n tìm. m ≠ 0 2   2. Hàm s có ti m c n xiên ⇔  1 . Khi ó: A(0; −2), B  ; 0  m ≠ m   3 1 1 2 Ta có: S ∆ABC = OAOB = 4 ⇔ . | −2 | . = 4 ⇔ m = ±2 . 2 2 m V y m = ±2 là nh ng giá tr c n tìm. Bài 5 : PHÉP T NH TI N VÀ TÂM I X NG 5.1 TÓM T T LÝ THUY T 1. i m u n c a th : () Gi s hàm s f có o hàm c p m t liên t c trên kho ng a;b ch a i m x 0 và có o hàm c p hai trên ( ( ) ) là m t ( )( ) kho ng a; x 0 vì x 0 ;b .N u f '' i d u khi x qua i m x 0 thì I x 0 ; f x 0 i mu nc a th c a y = f (x ) . hàm s ( ( ) ) là m t o hàm c p hai t i i m x 0 thì I x 0 ; f x 0 N u hàm s f có i mu nc a th hàm s thì () f '' x 0 = 0 2. Phép t nh ti n h t a : x = X + xo  ( ( )) . trong phép tình ti n theo vectơ OI là  , I x 0; f x 0 Công th c chuy n h t a y = Y + y 0  5.2 D NG TOÁN THƯ NG G P D ng 1 : Chuy n h t a trong phép t nh tuy n theo vectơ OI . 13 12 () Ví d 1:Cho hàm s f x = x − x − 4x + 6 3 2
  16. Nguy n Phú Khánh –Nguy n T t Thu () 1. Gi i phương trình f ' sin x = 0 Gi i phương trình f '' ( cos x ) = 0 2. 3. Vi t phương trình ti p tuy n c a th hàm s ã cho t i i m có hoành () là nghi m c a phương trình f '' x = 0 . Gi i : nh trên » . Hàm s ã cho xác 1 ± 17 () () 1. f ' x = x 2 − x − 4 ⇒ f ' x = 0 ⇔ x = . 2 ( ) u n m ngoài o n  −1;1 . Do ó phương trình f ' sin x = 0 vô nghi m. C hai nghi m x   1 () () 2. f '' x = 2x − 1 ⇒ f '' x = 0 ⇔ x = . Do ó phương trình 2 π 1 ( ) ⇔ x = ± + k 2π , k ∈ » . f '' cos x = 0 ⇔ cos x = 2 3 1  1  47 1 17 () () 3. f '' x = 2x − 1 ⇒ f '' x = 0 ⇔ x = , f   = '  = − ,f 2  2  12 2 4 17  1  47 17 145 Phương trình ti p tuy n c n tìm là : y = − x −  + y=− x+ hay 4 2  12 4 24 () () Ví d 2 : Cho hàm s f x = x 3 − 3x 2 + 1 có th là C () 1. Xác nh i m I thu c th C c a hàm s ã cho , bi t r ng hoành () c a i m I nghi m úng phương trình f '' x = 0 . 2. Vi t công th c chuy n h t a trong phép t nh tuy n theo vectơ OI và () i v i h IXY . T ó suy ra r ng I là vi t phương trình ư ng cong C ng cong (C ) . tâm i x ng c a ư () 3. Vi t phương trình ti p tuy n c a ư ng cong C t i i m I iv ih t a Oxy .Ch ng minh r ng trên kho ng ( −∞;1) ư ng cong (C ) n m phía dư i ti p tuy n t i i m I c a (C ) và trên kho ng (1; +∞ ) ư ng cong (C ) n m phía trên ti p tuy n ó. Gi i : () () () 1. Ta có f ' x = 3x 2 − 6x , f '' x = 6x − 6 f '' x = 0 ⇔ x = 1 . c (C ) là x = 1, f (1) = −1. V y I (1; −1) ∈ (C ) . i m I thu Hoành 2. Công th c chuy n h t a trong phép t nh tuy n theo vectơ OI là  x = X + 1  y = Y − 1 
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
917 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
79=>1