- 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2 0 với M Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng. - Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng. - Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải:. - Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a 4 b 4 c 4 abc ( a b c ) Giải: Ta có : a 4 b 4 c 4 abc ( a b c. - 2 a 2 c 2 0 Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh. - Ví dụ 2: Chứng minh rằng. - Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: cho x.y =1 và x y Chứng minh. - Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh rằng:. - Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 1 2. - Ta có . - Ta có. - Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a. - Chứng minh rằng:. - Ví dụ 5:. - Chứng minh rằng. - 1 (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 ) Chứng minh:. - Ví dụ 1. - x R , ta có:. - Chứng minh rằng: 2. - ta có:. - Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:. - Ví dụ 3: Chứng minh rằng : a 2 b 2 c 2 ab bc ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski. - chứng minh rằng ABC là tam giác đều.. - Ví dụ 2(HS tự giải):. - Chứng minh. - 3 1 Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng. - Giải: Ta có a 2 b 2 2 ab c 2 d 2 2 cd. - Ta có 1 ) 4. - Ví dụ 1 : Chứng minh rằng a b b a 1. - Chứng minh tương tự:. - 0.Chứng minh rằng. - Giải: Ta có. - 0 ta có. - a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b. - 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b. - Chứng minh rằng: 2 a 3 2 b 3 2 c 3 3 a 2 b b 2 c c 2 a Giải:. - Ta có 1 a 2. - 0 .Chứng minh rằng. - (6) ta có 2. - a điều phải chứng minh. - 0 .Chứng minh rằng b a <. - 2 điều phải chứng minh. - Ví dụ 2: Chứng minh rằng:. - Giải: Ta có k k. - n Ví dụ 3: Chứng minh rằng 1 2. - k k n Z Giải: Ta có k k k k k. - 2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải. - Chứng minh rằng : c ( a c. - x Chứng minh rằng:. - 0 Chứng minh rằng. - y=c+a ;z= a+b ta có a=. - ta có (1). - z nên ta có điều phải chứng minh. - Ví dụ 1:Chứng minh rằng f. - x , y x 2 5 y 2 4 xy 2 x 6 y Giải: Ta có (1. - Ví dụ2: Chứng minh rằng: f. - Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. - x 2 4 y 1 y 2 x 4 y 2 0 Ta có. - 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp). - Chứng minh rằng b n. - Ta chứng minh (3). - Ta cần chứng minh. - Ta cần chứng minh:. - a b a b a k b k Vậy (1) được chứng minh. - Vậy (1) đựơc chứng minh. - Ví dụ 7: Chứng minh rằng: n n. - Ví dụ 8: Chứng minh rằng: sin nx n sin x. - Ta cần chứng minh: sin( k 1 ) x. - Ta có:. - 0 Chứng minh rằng a >. - Chứng minh rằng Nếu x+y+z >. - Chứng minh rằng: a b c 3 (Bất đẳng thức Cauchy 3 số). - Ví dụ 2 : Cho a , b 1 .Chứng minh rằng : a b 1 b a 1 ab Giải. - Ví dụ 3: Cho ab 0 .Chứng minh rằng : 2 2 2 4. - b k ( 0 k n ) Ví dụ 1:. - Chứng minh rằng 1 a n 1 na. - (đpcm) Ví dụ 2:. - Ví dụ 2: Chứng minh:. - Chứng minh rằng 3 a 2. - H 0 ta có điều phải chứng minh. - 2 b 1 2 H 0 ta có điều phải chứng minh. - y và xy =1 .Chứng minh rằng. - Giải: Ta có x 2 y 2. - Ta có 1 . - a, b,c <1 .Chứng minh rằng : 2 a 3 2 b 3 2 c 3 3 a 2 b b 2 c c 2 a Giải: Do a <1 a 2 <1 và b <1. - 0 nên ta có. - Vậy ta có a a 2 a. - a) Ta có. - (đpcm) b) Ta có:. - Giải: Ta có |x-1. - x 3 Ví dụ 2. - x+z ta có. - Ta có ( x 2 y 2 z 2 2. - 4 2 x x 2 Giải : Ta có 3 x 2 6 x x 2 2 x. - Ta có z 3 x y z z. - Ta có x x y. - x 0 Đặt x k (k nguyên dương vì x nguyên dương ) Ta có k k. - Bài 1:Chứng minh rằng với mọi a,b,c >. - Bài 2:Chứng minh bất đẳng thức : 1. - Chứng minh rằng a n b n a b n. - Chứng minh rằng: 1 3 1