- Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản 2.Phƣơng pháp tích phân từng phần.. - u x v x dx u x v x b v x u x dx. - Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:. - Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv uv dx ' bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v x dx. - Bước 2: Tính du u dx ' và v. - dv v x dx. - Ví dụ 5: a)Tính tích phân. - I dx 3 dx. - Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:. - xe dx xe e dx. - *Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.. - Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và dv v dx ' thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. - Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv v dx ' là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.. - Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:. - Nếu tính tích phân P x Q x dx. - Nếu tính tích phân I e ax cos bxdx. - Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. - Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.. - Hãy tính các tích phân sau:. - a ) Tính tích phân 2 3 2. - I cos x 1 cos x.dx. - cos x.dx cos x.dx. - Ta có: I 2. - cos x.dx 1 (1 cos2x).dx 2. - cos x.dx cos x.cosx.dx. - b) Ta có . - d x x dx d x x dx. - c) Ta có. - Khi x 2 thì t. - Từ x 2sin t dx 2cos tdt. - Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:. - Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng a 2 x 2 , a 2 x 2 và. - hoặc x a cos , t t. - f x dx g u x u x dx g u du thì. - Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II:. - Giải: a) Đặt u 2 x 1 khi x 0 thì u 1 . - Khi x 1 thì u 3 Ta có 2. - du dx dx du . - x dx u du u. - b)Đặt u ln x . - Khi x e thì u 1 . - Khi x e 2 thì u 2. - Khi x 0 thì u 1 . - Khi x 1 thì u 3 . - Ta có du (2 x 1) dx . - Khi x 1 thì u 1 . - Khi x 2 thì u 3. - Ta có 2. - Ta có 3. - 3.Phƣơng pháp tích phân từng phần.. - hoctoan capba.com Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. - Tích phân hàm số phân thức. - a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:. - dx dx. - b) Tính tích phân: I 2 mx n dx. - +)Ta có I. - Tích phân dx c bx ax. - Tích phân 2 dx ax bx c. - c) Tính tích phân. - Tính tích phân:. - dx dx. - x 3 nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:. - x dx dx. - Ví dụ 8:Tính tích phân:. - Tích phân các hàm lƣợng giác. - 2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau:. - b) Ta có cos (sin x 4 x cos 4 x. - sin 2 x cos 2 x 2 2sin 2 x cos 2 x. - 2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác 2.2.1.Tính. - Ta có: 2 2. - A dx B a sin a cos x x b cos b sin x x c dx C a sin x dx b cos x c. - Tích phân dx tính được. - Tích phân dx a x b x c C. - sin cos cos sin ln sin cos. - Tích phân a sin x dx b cos x c tính được.. - cos x 2sin x A 4cos x 3sin x B 4sin x 3cos x. - cos x 2sin x 4 A 3 B cos x 3 A 4 B sin , x x. - 2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn (Xem ví dụ . - 2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng R sin ,cos x x dx. - với R sin ,cos x x là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx. - Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân.. - Ta có. - Nếu R sin ,cos x x là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là. - R sin ,cos x x thì đặt t tgx hoặc t cot gx , sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.. - Nếu R sin ,cos x x là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:. - R sin ,cos x x thì đặt t cos x. - Nếu R sin ,cos x x là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:. - R sin ,cos x x thì đặt t sin x. - 3.Tích phân hàm vô tỉ. - 3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản. - Ví dụ 15:Tính tích phân. - 3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác (xem ví dụ 2). - 4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối. - Ví dụ 18: Tính tích phân:. - Ta có f(x. - Ví dụ 19 : Tính tích phân:. - Ví dụ 21: Tính tích phân: 2. - BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.Tính các tích phân sau. - dx x x I k Bài 2.Tính các tích phân sau. - Tính các tích phân sau