Đề thi HSG cấp huyện môn Toán 9 năm 2019-2020 Huyện Như Xuân

Câu 1 (4,0 điểm)

\(P = \left[ {\left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }}} \right).\frac{2}{{\sqrt x  + \sqrt y }} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right]:\frac{{\sqrt {{x^3}}  + y\sqrt x  + x\sqrt y  + \sqrt {{y^3}} }}{{\sqrt {{x^3}y}  + \sqrt {x{y^3}} }}\,\left( {x > 0,y > 0} \right)\)

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tính giá trị của P khi \(x = \sqrt {97 - 56\sqrt 3 }  + \sqrt {52 + 16\sqrt 3 } ,y = \sqrt {33 + 20\sqrt 2 }  + \sqrt {24 - 16\sqrt 2 } \)
3. Cho xy = 4. Tìm các giá trị của x, y để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.

Câu 2 (4,0 điểm)

1. Giải phương trình sau: \(\sqrt {2x - 3}  - \sqrt {x + 1}  = x - 4\)
2. Tim nghiệm nguyên của phương trình:  \(3{x^2} + y - 3x = xy - 2\)

Câu 3 (4,0 điểm)

1. Tìm số tự nhiên n sao cho A = n² + 3n + 7 là số chính phương
2. Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Câu 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, \(AH \bot BC,HE \bot AB,HF \bot AC\),  \(\left( {H \in BC,E \in AB,F \in AC} \right)\)

1. Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC, BH = BC.cos² B
2. Chứng minh rằng:  \(\frac{{A{B^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{BE}}{{CF}}\)
3. Chứng minh rằng:  \(\sqrt[3]{{B{C^2}}} = \sqrt[3]{{C{F^2}}} + \sqrt[3]{{B{E^2}}}\)
4. Cho BC = 2a. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHF

Câu 5 (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\frac{a}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}} + \frac{b}{{{{\left( {c + a} \right)}^2}}} + \frac{c}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \ge \frac{9}{{4\left( {a + b + c} \right)}}\)