- VỀ SỰ TỒN TẠI CỦA TRƯỜNG VECTƠ TIẾP XÚC CHỈNH HÌNH TRONG C 2. - DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 3. - 1 Kiến thức chuẩn bị 5. - 6 2 Trường vector chỉnh hình tiếp xúc trong C 2 13. - 2.1 Sự tồn tại của trường vector chỉnh hình tiếp xúc tới siêu mặt thực. - 13 2.2 Họ siêu mặt tồn tại trường vector chỉnh hình tiếp xúc không tầm thường 17 2.3 Sự không tồn tại trường vector chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt thỏa. - mãn điều kiện (I. - 31 2.3.2 Chứng minh Định lý 2.3.1. - DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU. - Ký hiệu cấp của hàm f triệt tiêu tại 0 dùng trong định nghĩa loại điểm vô hạn D’ Angelo.. - • Ký hiệu ≈ kết hợp với ký hiệu . - Dùng cho ký hiệu bất đẳng thức sai khác một hằng số dương.. - Bài toán đặt ra về việc mô tả các trường vector tiếp xúc với M và triệt tiêu tại p . - Chính xác hơn nữa chúng ta có thể miêu tả một trường vector chỉnh hình tiếp xúc với một mầm (M, p) siêu mặt trơn lớp C ∞ kiểu vô hạn tại gốc tọa độ 0 = (0, 0) trong C 2 và triệt tiêu tại 0. - Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả trong tiền ấn phẩm "On the existence of tangential holomorphic vector fields vanishing at an infinite type point". - Bố cục của luận văn gồm hai chương:. - Chương I: Những kiến thức chuẩn bị.. - Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích phức như khái niệm trường vector chỉnh hình tiếp xúc, khái niệm điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’ Angelo, khái niệm hàm thỏa mãn điều kiện (I) và trình bày các bổ đề sẽ được sử dụng trong các chứng minh ở chương II.. - Chương II: Sự tồn tại của trường vector tiếp xúc chỉnh hình trong C 2. - Trong chương này, chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại một trường vector chỉnh hình trong C 2 triệt tiêu tại gốc tọa độ và tiếp xúc với siêu mặt kiểu vô hạn. - Nội dung chủ yếu là chứng minh các Định lý 2.2.1 và 2.3.1.. - Kiến thức chuẩn bị. - 0 trong C thỏa mãn điều kiện (I) nếu. - với mọi k = 1, 2. - và với mọi b ∈ C. - trong đó U. - Hàm số P (z. - 0, thỏa mãn hệ điều kiện (I). - Hơn thế nữa bằng các phép tính toán chúng ta có thể thấy được. - với mọi z ∈ C với Re (z) 6= 0. - Do đó, điều kiện (I.2) được thỏa mãn.. - Bây giờ chúng ta chứng minh P thỏa mãn hệ điều kiện (I.1). - 1 l + l i β , trong đó 0 <. - 1 và β = 1 2 nếu k = 1, với mọi l ∈ N. - Ta có z l → 0 khi l. - 1/l 6= 0 với mọi l ∈ N. - Mặt khác, với mỗi b ∈ C ∗ chúng ta có. - Như vậy hàm P thỏa mãn hệ điều kiện (I).. - Một trường vector chỉnh hình trong C n được cho bởi toán tử:. - Trong đó h 1 , h 2. - h n là các hàm chỉnh hình theo biến z = (z 1 , z 2. - Một trường vector H được gọi là tiếp xúc tới M nếu phần thực của của H tiếp xúc với M có nghĩa là H thỏa mãn biểu thức Re Hρ = 0.. - Kí hiệu ν 0 (f) là cấp triệt tiêu của f tại 0 và nó được quy định bởi cấp của số hạng đầu tiên không bị triệt tiêu trong khai triển Taylor của hàm f tại 0. - 1), chúng ta xem xét cấp triệt tiêu của tất cả các thành phần và giá trị nhỏ nhất trong chúng gọi là cấp triệt tiêu của f , ký hiệu là ν 0 (f).. - Ký hiệu 4 r = {z ∈ C : |z| <. - 0 và ký hiệu 4. - Hơn thế nữa, gốc tọa độ được gọi là điểm kiểu vô hạn theo nghĩa D’ Angelo nếu với mọi số dương ` >. - 0 và nếu tồn tại ánh xạ chỉnh hình h : 4 → C 2 với h(0. - Trong mục này, chúng ta sẽ chứng minh một vài bổ đề và hệ quả được sử dụng trong chứng minh các định lý chính của luận văn.. - ∞ a n z 2 n là hàm chỉnh hình không đồng nhất triệt tiêu trong ∆ 0 (β ∈ R. - 0, a n ∈ C với mọi n ∈ N. - Giả sử Q 0 , P 1 , P là các hàm số. - C 1 -trơn trong ∆ 0 và P 1 , P là các hàm số dương trên. - 0 thỏa mãn các phương trình vi phân sau:. - Khi đó, ta có:. - với mọi z 2. - Chứng minh. - Trước hết, ta sẽ tìm nghiệm cho phương trình vi phân thứ (i). - Thật vậy, từ (i) chúng ta có. - 0 , xét hàm số u(t. - Q 0 (re it ) với mọi t ∈ R . - Khi đó, chúng ta sẽ có u 0 (t. - với mọi t ∈ R . - Với t ∈ R chúng ta lấy tích phân R t. - 0 hai vế của biểu thức trên chúng ta thu được:. - và như vậy ta có. - Vì vậy lời giải dành cho phương trình vi phân (i) mà ta có được là:. - Tiếp theo, ta sẽ tìm nghiệm cho phương trình vi phân (ii). - Thật vậy, từ (ii) chúng ta có. - Q 0 (z 2 )Re a 1 (z 2 ) i với mọi z 2. - Khi đó, chúng ta có. - Cuối cùng, sử dụng lập luận như trên từ phương trình (iii) ta có: