Sự tồn tại nghiệm của mô hình hiệu ứng biến đổi pha của chất bị hút bám với điều kiện biên Neumann

- SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH HIỆU ỨNG BIẾN ĐỔI PHA.
- 1.1 Những không gian hàm cơ bản.
- 1.1.1 Các định nghĩa.
- 1.2 Toán tử quạt.
- 1.2.1 Các định nghĩa.
- 1.2.2 Toán tử quạt liên kết với dạng nửa song tuyến tính.
- 1.2.3 Toán tử quạt trong không gian L 2.
- 2.2.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục.
- Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả bao gồm: Định nghĩa về các không gian hàm cơ bản.
- Định nghĩa toán tử quạt và tính chất liên quan.
- Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan đến không gian H¨ older, không gian Sobolev, toán tử quạt thường được sử dụng khi nghiên cứu các bài toán của phương trình vi phân đạo hàm riêng.
- Định nghĩa 1.1.
- Cho X, Y là các không gian Banach, và tập mở Ω ⊂ X .
- Ta có định nghĩa các không gian hàm cơ bản sau..
- X : f liên tục trên [a, b.
- X : f khả vi liên tục đến cấp m .
- f : X → Y : f tuyến tính liên tục .
- Định nghĩa 1.2.
- Cho X là không gian Banach..
- X) là không gian Banach với chuẩn.
- 0 , không gian B {a} −η ((a, b.
- Không gian trên được trang bị chuẩn.
- Định nghĩa 1.3.
- Cho Ω ⊂ R n là một tập mở..
- a) Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục H¨ older bậc γ nếu tồn tại hằng số C >.
- Khi γ = 1 , hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz..
- b) Không gian C Ω ¯.
- u : Ω → R : u bị chặn và liên tục trên Ω với chuẩn kuk C(Ω.
- 1 , không gian C m,σ ([a, b.
- u (m) (t) liên tục H¨ older bậc σ o.
- 1 , không gian.
- X : u liên tục H¨ older bậc σ tại x = a .
- Ta định nghĩa chuẩn của không gian trên là.
- Không gian hàm liên tục H¨ older có trọng F β,σ ((a, b].
- Cho (X, k.k) là không gian Banach, với hai số mũ 0 <.
- Không gian F β,σ ((a, b].
- X) gồm các hàm liên tục F (t.
- là một không gian Banach..
- Sau đây, ta sẽ định nghĩa lớp không gian Sobolev.
- của một phần tử thuộc không gian L 1 loc (Ω.
- Định nghĩa 1.4.
- Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta cũng có thể định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao như sau: nếu u, v ∈ L 1 loc (Ω) thì v được gọi là đạo hàm yếu cấp α của u , viết là v = D α u , nếu.
- Định nghĩa 1.5.
- Không gian Sobolev được định nghĩa như sau W k,p (Ω).
- Không gian Sobolev W k,p (Ω) được định nghĩa như trên là không gian Banach khả ly.
- Người ta chọn ký hiệu này vì H k (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng được trang bị như sau.
- Tiếp tục, ta định nghĩa không gian H p s (Ω) với s là một số không âm.
- Không gian H p s ( R n ) là không gian Banach với chuẩn.
- Khi Ω = R n + hoặc Ω là một miền bị chặn trong R n với biên Lipschitz, ta định nghĩa.
- Không gian H p s (Ω) là không gian Banach với chuẩn.
- Định lý 1.1 (Định lí 1.36 [5.
- L r (Ω) với phép nhúng liên tục , (1.1) ở đây p ≤ r ≤ pn.
- L r (Ω) với phép nhúng liên tục , (1.2) ở đây p ≤ r <.
- Khi Ω bị chặn, phép nhúng là liên tục..
- Từ Định lý 1.1, Định lý 1.37 [5] và bất đẳng thức H¨ older trong không gian L p , ta thu được các đánh giá thường được dùng sau.
- (1.8) 1.2 Toán tử quạt.
- Định nghĩa 1.6.
- Cho X, Y là không gian Banach với chuẩn k.k , A : D(A.
- D(A) được gọi là miền xác định của toán tử A.
- • Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X × Y thì A được gọi là toán tử đóng, tức là.
- Định nghĩa 1.7.
- Cho A là toán tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật trong không gian Banach X .
- (λ − A) −1 được gọi là giải thức..
- Định nghĩa 1.8.
- Cho X là không gian Banach, A là toán tử tuyến tính đóng và xác định trù mật trên X .Giả sử phổ của A nằm trong miền.
- Khi đó, A được gọi là là toán tử quạt..
- Định nghĩa 1.9.
- Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X .
- được gọi là góc của A .
- a) Hàm mũ sinh bởi toán tử quạt.
- Cho A là toán tử quạt trong không gian Banach X với góc ω A <.
- Chúng ta định nghĩa họ các toán tử tuyến tính bị chặn e −tA bởi tích phân Dunford trong không gian L(X) như sau.
- Khi đó, họ các toán tử e −tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A .
- Họ toán tử trên thỏa mãn tính chất.
- Từ đó, ta mở rộng toán tử e −tA thành e −zA được cho bởi công thức e −zA = 1.
- toán tử e −zA hội tụ mạnh về 1 trên X khi z → 0.
- b) Lũy thừa phân số của toán tử quạt.
- Cho (X, k.k) là một không gian Banach, A là một toán tử quạt trong X với góc 0 ≤ ω A <.
- Với mỗi số nguyên n ∈ Z , toán tử A n được định nghĩa như sau..
- 0 thì A n là một toán tử đóng, xác định trù mật trong X , khi n <.
- 0 thì A n = (A −1 ) −n = (A −n ) −1 là một toán tử bị chặn của X , và khi n = 0 thì A 0 = 1 (toán tử đồng nhất trên X.
- Tiếp theo chúng ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho số mũ thực x ∈ R bất kỳ..
- 0 , ta định nghĩa A −z bởi tích phân Dunford trong L(X) như sau