- Giới thiệu cơ bản về bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):. - Bất đẳng thức Cauchy cho hai số:. - Đẳng thức xảy ra khi a b. - Bất đẳng thức Cauchy cho ba số:. - Đẳng thức xảy ra khi a b c. - Bất đẳng thức Cauchy tổng quát cho n số không âm:. - Đẳng thức xảy ra khi a 1 a 2. - Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):. - Sử dụng bất đẳng thức AM – GM đưa về biến cần tìm:. - ab bc ca 2. - Chiều đánh giá cần có: P. - Chiều cần đánh giá cần tìm: x 3 y 3 f x y. - Đánh giá cần tìm. - Ta có: x 3 y 3. - Ta có đánh giá. - Do đó:. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x y. - Ta có: P f x y. - Do đó ta có bảng biến thiên:. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1. - Chiều cần đánh giá cần tìm: xy x 2 y 2. - Ta có: 1 2. - Chiều cần đánh giá cần tìm: x y 3 3 x 3 y 3. - Biến đổi biểu thức: Ta có: x 3 y 3. - Cũng như các bài toán ở trên, ta thấy để tạo ra x y ta cần có hằng đẳng thức như sau. - Sử dụng bất đẳng thức AM – GM cho bốn số ta có: x y 3 3 x 3 y 3. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y. - Chiều cần đánh giá cần tìm: c a c. - Biến đổi biểu thức: Nhìn thoáng qua, chúng ta có thể đánh giá bài toán dưới dạng bất đẳng thức AM – GM như sau:. - f ab , ta có thể tư duy theo một hướng khác là. - vậy ta cần tạo ra một đánh giá mà sau khi sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta sẽ triệt tiêu toàn bộ các biến. - Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta có:. - Do đó ta có:. - Ta có: c a c. - Theo bất đẳng thức AM – GM cho hai số ta có: c c c c c c c c. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: c c c c. - Vậy: P ab 2 a b 2 2 . - Ta có: P f ab. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 1. - Chiều cần đánh giá cần tìm: ab bc ca f a b c. - Do vậy nếu xét trung bình nhân của hai biểu thức trên ta có: ab ca. - Đánh giá cần tìm: ca ab 2 ca ab 2 b c b c a. - Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: ab bc ab bc bc ca bc ca ca ab ca ab. - Do đó: ab bc ca. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c. - 1 1 do đó: P. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1. - Chiều cần đánh giá cần tìm. - Nhắc đến các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta nhớ đến đánh giá:. - Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số ta có:. - Nhân vế với vế ta có. - độ dài 3 cạnh một tam giác, Do đó ta có: a b c. - Ta có: P f abc. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. - Chiều cần đánh giá cần tìm: x y y z z x f xy yz zx. - Đồng thời áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho m n p. - Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho 13 số ta được:. - Vì xyz 1 do đó ta có đánh giá: x y y z z x xy yz zx 4 4 4. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x y z. - Ta có: P f xy yz zx. - Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:. - t 3 3 t với t 3 ta có. - Do đó: P f xy yz zx. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:. - Chiều cần đánh giá cần tìm: a bc b ca c ab f a b c. - b c a b c , do đó ta có thể biến đổi tương tự:. - Bài giải Ta có: 2. - Vì ta có đánh giá: xy yz zx. - Do đó: P a b c. - ta có. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ. - Chiều cần đánh giá cần tìm: a b c f a b c. - Ta có: a a ab ab ab. - tương tự ta có: b bc c ca. - Khi đó cộng vế với vế ta có: a b c bc ca ab a b c. - Và ta được bất đẳng thức Hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM): 3 ab bc ca. - Từ Hệ quả của bất đẳng thức AM – GM (Đã chứng minh ở phần II), ta có:. - f t t t với t 3 , ta có P f a b c. - Ta có. - Do đó. - Tương tự như vậy ta có: b c c a. - Do đó: a b c a b c. - Đẳng thức xảy ra khi: a b c. - Đẳng thức xảy ra khi: 1. - Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta có: a a ab. - 1 2 b , do đó: a b a. - Tương tự ta có: b bc c c ca a. - Từ Hệ quả của bất đẳng thức AM – GM (Đã chứng minh ở phần I), ta có: 3 ab bc ca. - Do đó: a b c a b c a b c. - Ta có: P f a b c. - Do đó f t. - Chiều cần đánh giá cần tìm:. - Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta có: a a b b b b ab b ab b a b. - Tương tự ta có: a b c. - Sử dụng bất đẳng thức Hệ quả của bất đẳng thức AM – GM:. - Ta có:. - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a b c. - Do đó . - Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu ta có: a b a b c b c a c. - Do đó: a b c b a. - Theo bất đẳng thức AM – GM cho 3 số ta có: b a