- Chuyên đề số chính phương. - Số chính phương hay còn gọi là số hình vuông là số tự nhiên có căn bậc 2 là một số tự nhiên, hay nói cách khác, số chính phương là bình phương (lũy thừa bậc 2) của một số tự nhiên khác.. - Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. - Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng . - Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.. - Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. - Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N).. - Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. - Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N).. - Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn.. - Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.. - Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.. - Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.. - Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.. - Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.. - Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.. - Số chính phương chia cho 4 hoặc 3 không bao giờ có số dư là 2. - số chính phương lẻ khi chia 8 luôn dư 1.. - Công thức để tính hiệu của hai số chính phương: a 2 - b 2 = (a+b).(a-b).. - Số ước nguyên dương của số chính phương là một số lẻ.. - Số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p 2. - Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ . - III- MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.. - A- Dạng 1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.. - y 4 là số chính phương.. - Vậy A là số chính phương.. - Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.. - 1 là số chính phương.. - k(k + 1)(k + 2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương.. - Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.. - n - 1 chữ số 0. - 89 là số chính phương.. - Chứng minh rằng số sau đây là số chính phương.. - 2n chữ số 1 n chữ số 4. - 6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6. - 8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8. - 09 n-2 chữ số 9 n chữ số 0. - 56 n chữ số 1 n-1 chữ số 5. - Bài 5: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương.. - (n 2 + 2) không là số chính phương hay A không là số chính phương.. - Bài 6: Chứng minh rằng số có dạng n 6 - n 4 + 2n 3 + 2n 2 trong đó n N và n >1 không phải là số chính phương.. - n 2 - 2n + 2 không phải là một số chính phương.. - Bài 7: Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. - Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.. - Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. - Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng là số chính phương.. - Bài 8: Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ bất kỳ không phải là số chính phương.. - a 2 + b 2 không thể là số chính phương.. - 1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương.. - Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 và p không thể chia hết cho 4 (1) a- Giả sử p + 1 là số chính phương. - p + 1 không phải là số chính phương.. - p - 1 không là số chính phương.. - Vậy nếu p là tích n (n >1) số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không là số chính phương.. - Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N - 1, 2N và 2N + 1 không có số nào là số chính phương.. - 2N - 1 không là số chính phương.. - 2N không là số chính phương.. - 2N + 1 không là số chính phương.. - DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG. - Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương a) n 2 + 2n + 12 b) n(n + 3). - a) Vì n 2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n 2 + 2n + 12 = k 2 (k N). - Tìm a để các số sau là những số chính phương a) a 2 + a + 43. - n! là một số chính phương.. - 1 = 1 2 là số chính phương. - 3 không là số chính phương. - là số chính phương. - chính phương.. - Bài 3: Có hay không số tự nhiên n để 2010 + n 2 là số chính phương.. - Giả sử 2010 + n 2 là số chính phương thì 2010 + n 2 = m 2 (m N ) Từ đó suy ra m 2 - n m + n) (m – n. - Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n 2 là số chính phương.. - Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương.. - Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi một trong các chữ số 0. - Bài 5: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 đều là các số chính phương.. - Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 2n + 1 bằng 25. - Chỉ có 121 là số chính phương.. - Bài 6: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n + 1 và 2n + 1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24. - Vì n + 1 và 2n + 1 là các số chính phương nên đặt n + 1 = k 2 , 2n + 1 = m 2 (k, m N ) Ta có m là số lẻ m = 2a + 1 m 2 = 4a(a + 1. - Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số n là số chính phương Giả sử n = a 2 (a N) thì. - C.DẠNG 3 : TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG. - Bài 1 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. - Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. - Bài 2: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau một đơn vị.. - Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.. - Gọi số chính phương phải tìm là: aabb = n 2 với a, b N, 1 a 9. - Thay a + b = 11 vào (1) được n a + 1) do đó 9a + 1 là số chính phương Bằng phép thử với a = 1. - Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.. - Gọi số chính phương đó là abcd . - Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x 2 = y 3 với x, y N. - Vì y 3 = x 2 nên y cũng là một số chính phương.. - Ta có : 1000 abcd y 21 và y chính phương. - Bài 5 : Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.. - abcd chính phương d. - k là một số có hai chữ số mà k 2 có tận cùng bằng 5 k tận cùng bằng 5 Tổng các chữ số của k là một số chính phương k = 45. - Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bở hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương. - Để ab 2 - ba 2 là số chính phương thì a – b phải là số chính phương do đó a – b = 1 hoặc a – b = 4. - Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số. - Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương. - Tìm số chính phương ban đầu.. - ab là một lập phương và a + b là một số chính phương Đặt ab = t 3 (t N), a + b N). - Vì 10 ab 99 ab = 27 hoặc ab = 64 Nếu ab = 27 a + b = 9 là số chính phương. - Nếu ab = 64 a + b = 10 không là số chính phương loại Vậy số cần tìm là ab = 27