- MỘT SỐ LỚP BẤT ĐẲNG THỨC HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN. - 1 Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các phép tính số học 5 1.1 Hàm số chuyển đổi từ phép cộng của đối số. - 5 1.2 Hàm số chuyển đổi từ phép nhân của đối số. - 21 1.3 Hàm số chuyển đổi các phép biến đổi hình học của đối số. - 25 2 Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các trung bình cơ bản của đối số 40 2.1 Hàm số chuyển đổi từ trung bình cộng của đối số. - 40 2.2 Hàm số chuyển đổi từ trung bình nhân của đối số. - 42 2.3 Hàm số chuyển đổi từ trung bình điều hòa của đối số. - 43 3 Bất đẳng thức trong lớp hàm lồi, lõm và tựa lồi, lõm 48 3.1 Hàm lồi, lõm. - 48 3.2 Hàm tựa lồi và tựa lõm. - 55 3.3 Hàm tựa lồi, lõm dạng hàm sin và cosin. - 4 Một số dạng toán liên quan 71. - Chuyên đề bất đẳng thức hàm là một trong các lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Giải tích toán học. - Ngay từ Trung học phổ thông chúng ta cũng đã được biết đến một số lớp bất đẳng thức hàm quen biết như hàm đồng biến, nghịch biến và hàm lồi, lõm. - Tức là lớp các hàm số được mô tả tính chất qua bất đẳng thức Jensen như. - Trong những năm gần đây, các nhà toán học cũng rất quan tâm đến bất đẳng thức hàm, mở rộng các bất đẳng thức tổng quát cho lớp hàm đang xét (ví dụ như các bất đẳng thức dạng Karamata cho hàm lồi). - Trong các đề thi Olympic Toán quốc tế, các đề thi chọn học sinh giỏi những năm gần đây cũng có xuất hiện nhiều các dạng bài toán liên quan đến bất đẳng thức hàm, như các bài toán giải bất phương trình hàm, chứng minh các tính chất của lớp các bất đẳng thức hàm. - Luận văn này trình bày về một số lớp bất đẳng thức hàm và một số bài toán liên quan, với hi vọng có thể bước đầu trình bày một cách có hệ thống một số đặc điểm, một số dạng toán có thể thiết lập ở một số lớp bất đẳng thức hàm.. - Luận văn chủ yếu tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn như các sách, bài báo, báo cáo khoa học viết về chuyên đề bất đẳng thức hàm, bất phương trình hàm, các đề thi học sinh giỏi các cấp, các đề thi Olympic Toán quốc tế, các tài liệu trên Internet. - Qua đó trình bày lần lượt, hệ thống lại và đưa ra một số kĩ thuật ra đề, giải các các bài toán liên quan đến bất đẳng thức hàm, cũng như giúp bạn đọc tiếp cận gần gũi hơn với khái niệm bất đẳng thức hàm.. - Trong hai chương đầu luận văn trình bày các về lớp bất đẳng thức hàm chuyển đổi các phép tính và đại lượng trung bình cơ bản.. - Chương 3 trình bày riêng về lớp các hàm khá quen thuộc là hàm lồi, lõm. - Ngoài ra, còn xây dựng phương pháp mô tả các hàm tựa lồi, tựa lõm từ lớp các hàm lồi lõm trên một khoảng, từ đó áp dụng vào một số bài toán giải bất phương trình hàm lượng giác.. - Một số bài toán liên quan cũng như các bài tập đề nghị được trình bày ở chương 4.. - Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các phép tính số học. - Nói đến bất đẳng thức hàm, người ta nhớ đến bất đẳng thức hàm Cauchy cổ điển. - Vì vậy một cách tự nhiên chúng ta xét đến các lớp bất đẳng thức hàm đầu tiên là: Bất đẳng thức hàm chuyển đổi các phép tính số học. - 1.1 Hàm số chuyển đổi từ phép cộng của đối số. - Bất đẳng thức hàm chuyển đổi phép cộng thành phép cộng Dưới đây ta xét một số bài toán nghiên cứu các hàm số thỏa mãn các bất đẳng thức hàm. - f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) và. - f (y), ∀x, y ∈ R (1.1a) Hàm số thỏa mãn bất đẳng thức (1.1) được gọi là hàm trên cộng tính (Subad- ditive), ngược lại nếu hàm số thỏa mãn (1.1a) thì được gọi là hàm dưới cộng tính (Superadditive).. - Bài toán 1.1. - Cho hàm số f : R → R thỏa mãn (1.1):. - trong đó f không âm với mọi x ∈ R mà |x. - Chứng minh rằng f (x. - Do f thỏa mãn (1.1) với mọi x, y ∈ R nên ta dễ dàng chứng minh được f (nx. - 0 với mọi x mà |x. - Bài toán 1.2. - Chứng minh rằng nếu hàm số f : R → R thỏa mãn (1.1) với. - 0 thì f liên tục với mọi x ∈ R. - Suy ra f (x. - f (h) với mọi h . - Bài toán 1.3. - Chứng minh rằng f là hàm trên cộng tính nếu f 0 (x) <. - x , ∀x ∈ I và f là hàm dưới cộng tính nếu f 0 (x) >. - Ta có. - Với x, y ∈ I , ta có. - Suy ra f (x) là hàm trên cộng tính trên I . - Điều ngược lại chứng minh tương tự.. - Bài toán 1.4. - Cho f là hàm trên cộng tính trên R và f khả vi trên (a. - Chứng minh rằng nếu f (x. - thì f 0 (x) là hàm đơn điệu không tăng trên (a. - f là hàm trên cộng tính trên R , f 0 (x) tồn tại trên I = (a. - Suy ra f 0 (x 1 + t. - Do đó f 0 (x) là hàm đơn điệu không tăng trên I. - Bài toán 1.5. - R → R thỏa mãn (1.1) với mọi x, y ∈ R . - Chứng minh rằng f là hàm số chẵn thì f (x. - Thật vậy, cho x = 0 , từ (1.1) ta có f (y. - f (y) suy ra f (0. - Như vậy qua các bài toán trên ta có một số nhận xét về các hàm số trên - dưới cộng tính:. - (i) Hàm f : R → R là hàm trên cộng tính không âm với mọi x ∈ R mà |x. - (ii) Hàm f : R → R là hàm trên cộng tính, liên tục tại 0 với f (0. - x , ∀x ∈ I và là hàm dưới cộng tính nếu f 0 (x) >. - (iv) Hàm f là hàm trên cộng tính trên R và khả vi trên (a. - (v) Hàm trên cộng tính f (x. - R → R là hàm số chẵn thì không âm.. - Ta xét một số bài toán giải bất phương trình hàm liên quan.. - Bài toán 1.6. - Xác định hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:. - Vậy nên ∀x ∈ R , ta có 0 = f (0. - Thử lại ta thấy hàm số f (x. - 0 thỏa mãn điều kiện đề bài ra.. - Bài toán 1.7. - Xác định hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:. - Xét hàm số g(x. - Theo Bài toán 1.6 , ta có g(x. - ax thỏa mãn điều kiện đề bài ra.. - Bài toán 1.8. - R + là hàm liên tục, tăng với g(0. - 0 với mọi x ∈ R. - Hơn thế nữa, y = g(t) với 0 ≤ t ≤ 1 nào đó (g là hàm liên tục, tăng với g(0. - Từ (i) và (iii) ta có. - y ta có x = y + x. - từ (i) ta có f (x. - Nói cách khác, f là hàm đơn điệu không giảm trên R. - [2] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức Định lý và Áp dụng, NXB Giáo Dục, 2006.. - [3] Nguyễn Văn Mậu, Bùi Công Huấn, Đặng Hùng Thắng, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận 2004, Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB Giáo Dục.