- TRƯƠNG MẠNH TUẤN. - Trương Mạnh Tuấn. - Phương pháp toán tử (Operator Method, viết tắt là OM) ñược xây dựng từ thập niên 80 của thế kỉ trước. - Biểu diễn toán tử Hamiltonian qua các toán tử sinh hủy: H x p. - Hoàn thiện các kĩ năng tính toán: tính toán trên các toán tử sinh hủy, biến ñổi giải tích.. - Khảo sát tính hội tụ của phương pháp toán tử theo tham số ω . - Chương 3 : Phương Pháp Toán Tử Bài toán exciton hai chiều. - GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA. - ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành phần:. - trong ñó thành phần H là toán tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác: ˆ 0 ˆ 0. - Ta xét bài toán dao ñộng phi ñiều hòa với toán tử Hamilton có dạng sau:. - Trước hết ta chia toán tử Hamilton thành hai phần như sau:. - Toán tử Hamilton gần ñúng H có nghiệm riêng chính xác là các hàm sóng của ˆ 0 dao ñộng tử ñiều hòa:. - Các yếu tố ma trận của các toán tử H và ˆ ˆ 0 V ứng với các hàm số (1.14) có thể tính ñược như sau ( xem phụ lục 3):. - 1.3 Phương pháp toán tử cho bài toán dao ñộng tử phi ñiều hòa. - Xét phương trình Schrödinger (1.1) cho dao ñộng tử phi ñiều hòa với toán tử Hamilton không thứ nguyên (1.14). - SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 13 Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng cách ñặt biến số ñộng lực (tọa ñộ và toán tử ñạo hàm) thông qua các toán tử sau:. - Ở ñây toán tử ˆ a ñược gọi là “toán tử hủy” và ˆ a + ñược gọi là “toán tử sinh” (xem [1],[4. - Từ ñây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tử. - Thế (1.17) vào (1.12) và sử dụng (1.18), ta ñược biểu thức dạng chuẩn của toán tử Hamilton như sau( phụ lục 1):. - λ ω ) chỉ chứa các toán tử “trung hòa” ˆ n = a a ˆ ˆ. - nghĩa là bao gồm các toán tử có số toán tử sinh và số toán tử hủy bằng nhau:. - SVTH: Trương Mạnh Tuấn Trang 14 Như vậy, tương tự như trong lý thuyết nhiễu loạn, ở ñây ta tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: thành phần H ˆ 0 OM ( a a ˆ ˆ. - λ ω ) giao hoán với toán tử ˆ n = a a ˆ ˆ + và nghiệm của nó dễ dàng xây dựng như sau [4]:. - Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.18), ta dễ dàng kiểm chứng:. - ñiều này có nghĩa là trạng thái (1.23) là nghiệm riêng của toán tử ˆ n = a a ˆ ˆ. - nghĩa là nó cũng là nghiệm riêng của toán tử H ˆ 0 ( a a ˆ ˆ. - Bước bốn: Phương pháp toán tử (OM) tìm nghiệm bằng số:. - Trong phần này ta sẽ tiến hành giải (2.9) theo phương pháp giải tích ñể ñối chiếu với phương pháp toán tử ở phần sau.. - Chuyển toán tử Hamiton trong phương trình (2.9) qua biểu diễn trong tọa ñộ cực ta ñược. - Với toán tử có dạng như trên, khi thay vào phương trình Schrödinger ñể tìm nghiệm sẽ khó vì trong phương trình chứa hai biến số. - Dựa vào biểu thức toán tử này, ta thấy hai toán tử H ˆ và L ˆ z giao hoán với nhau vì ˆ z. - Như vậy hai toán tử. - Phương trình hàm riêng- trị riêng của toán tử L ˆ z là ( xem phụ lục 5):. - PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO. - 3.1 Phương trình Schrödinger cho exciton hai chiều biểu diễn qua toán tử sinh hủy. - 3.2 Phương pháp toán tử giải bài toán exciton hai chiều. - Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy hai chiều bằng cách ñặt biến số ñộng lực (tọa ñộ và toán tử ñạo hàm) thông qua các toán tử sau (xem phụ lục 6):. - ở ñây các toán tử a b ñược gọi là “toán tử hủy” và ˆ, ˆ a ˆ. - b ˆ + ñược gọi là “toán tử sinh” [4];. - Dễ dàng kiểm chứng các toán tử sinh hủy (3.5) thỏa mãn hệ thức giao hoán:. - Mặt khác, ñể thuận tiện trong tính toán ta sử dụng các toán tử:. - b + (3.7) trong ñó ba toán tử N M M ˆ , ˆ , ˆ + tạo thành một ñại số kín, thỏa mãn các hệ thức giao hoán ( xem phụ lục 6):. - ω ) chỉ chứa các số hạng giao hoán với các toán tử a a ˆ ˆ + và ˆ ˆ b b. - chứa các toán tử “trung hòa”:. - ở ñây ta khai triển toán tử ˆ S theo chuỗi Taylor ñể tách các thành phần trung hòa.. - Nghiệm gần ñúng bậc không của phương trình Schrödinger chính là nghiệm riêng chính xác của toán tử H , ˆ 0 còn các bổ chính bậc cao hơn ta có thể tính toán theo sơ ñồ thích hợp.. - Như ñã nói, hàm riêng của toán tử Hamilton cũng ñồng thời là nghiệm riêng của toán tử ˆ. - L và toán tử z M ˆ. - ta viết lại bộ hàm cơ sở cho exciton hai chiều theo trị riêng m của toán tử ˆ. - Phụ lục 1 : Các toán tử sinh – hủy một chiều. - Một số công thức toán tử thông dụng:. - Toán tử sinh-hủy. - Toán tử sinh, hủy một chiều ñược ñịnh nghĩa như sau:. - Ta thấy rằng mỗi toán tử hủy có tác dụng “hủy” (giảm) ñi một bậc của vector trạng thái. - Tương tự, ta cũng thấy rằng mỗi toán tử sinh có tác dụng “sinh” (tăng) lên một bậc của vector trạng thái. - Dạng chuẩn (normal) của một số toán tử trong luận văn. - ω = 0 , chúng ta sẽ biểu diễn tất cả trạng thái còn lại qua biểu thức chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng.. - Trường hợp các toán tử sinh, hủy với số mũ lũy thừa. - Ví dụ: Đưa toán tử a ˆ 2. - Các phép biến ñổi trên thường ñược áp dụng khi các biểu thức toán tử có dạng như các ña thức.. - Trường hợp hàm e mũ của các toán tử sinh, hủy. - 1 nên từ ñây các toán tử a a ˆ ˆ. - Phụ lục 3 : Yếu tố ma trận cho toán tử Hamilton của dao ñộng tử phi ñiều hòa. - Tính các yếu tố ma trận của toán tử Hamilton (phương pháp giải tích) 3.1 Tính các yếu tố ma trận:. - Tính các yếu tố ma trận của toán tử Hamilton( OM) Ta có:. - Khi ñó toán tử Hamitonain có dạng:. - Toán tử Hamilton H ˆ Để chuyển toán tử. - Từ công thức của toán tử Laplace trong tọa ñộ cực, ta có công thức của toán tử Hamilton của electron.. - Toán tử L ˆ x. - Với toán tử L L ˆ y , ˆ z. - Tương tự như toán tử L ˆ x , ta cũng thay các ñạo hàm riêng có ñược ở trên vào:. - Tìm riêng và trị riêng của toán tử L ˆ z Phương trình hàm riêng- trị riêng của L ˆ z. - Vậy hàm riêng của toán tử L ˆ z là. - Phụ lục 6: Các toán tử sinh – hủy hai chiều. - Để thuận tiện trong tính toán, ta sử dụng các toán tử:. - trong ñó từng bộ ba toán tử N A A ˆ. - Chứng minh toán tử H ˆ giao hoán với toán tử L ˆ z. - Phụ lục 7: Dạng chuẩn của toán tử S ˆ = exp. - Do các toán tử M ˆ. - M N ˆ , ˆ tạo thành một ñại số kín, ta có thể sử dụng công thức cho hai toán tử không giao hoán bất kỳ X Y ˆ ˆ. - ta có thể ñưa toán tử S ˆ về dưới dạng chuẩn như sau:. - Nhân (A7.4) với toán tử ngược S ˆ − 1 : với toán tử S S ˆ ˆ. - Bước ba: Đồng nhất các hệ số trước các toán tử M ˆ. - Như vậy ta ñã tìm ñược dạng chuẩn của toán tử. - Phụ lục 8 : Chuyển toán tử Hamilton qua biểu diễn toán tử sinh –hủy. - với toán tử có dạng hàm mũ S ˆ. - Nhận xét: tổng số mũ của hai toán tử a b ˆ. - Mặt khác do toán tử ˆ L là z ñại lượng bảo toàn nên hàm riêng của phương trình Schrödinger phải ñồng thời là hàm riêng của toán tử này:. - Tính các toán tử sau:. - Tính các tác dụng của các toán tử lên hàm sóng này:. - Tính thành phần ma trận của toán tử S ˆ. - Do toán tử S ˆ ñựơc tách làm hai thành phần, ta tiến hành tính lần lượt các thành phần ma trận của toán tử S ˆ là S ,S ˆ ˆ 1 2 như sau:. - Hoàng Đỗ Ngọc Trầm (2008), Phương pháp toán tử giải phương trình Schodinger cho exciton hai chiều trong từ trường ñều với cường ñộ bất kỳ, Luận văn Thạc sĩ. - Chương 1: GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ (OM) QUA BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA. - Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN EXCITON HAI CHIỀU. - Phụ lục 1: Các toán tử sinh – hủy một chiều. - Phụ lục 2: Dạng chuẩn (normal) của một số toán tử trong luận văn. - 41 Phụ lục 3: Yếu tố ma trận của toán tử Hamilton của dao ñộng tử. - Phụ lục 7 : Dạng chuẩn của toán tử S ˆ = exp. - Phụ lục 8: Chuyển toán tử Hamilton qua biểu diễn toán tử sinh –hủy