- PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN ĐA CỰC TRONG CÁC BÀI TOÁN TĨNH ĐIỆN. - Trong nhiều bài toán tĩnh điện, việc tìm các thế tĩnh điện, điện trường trong không gian tạo ra bởi các phân bố điện tích, hay các trường tĩnh điện là một bài toán không dễ. - Tùy vào từng bài mà ta có các phương pháp khác nhau.. - Đối với một phân bố điện tích tương đối phức tạp và có tính đối xứng, một trong những phương pháp thường hay dùng đó là sử dụng phép khai triển đa cực. - Tuy nhiên đối với học sinh chuyên lý phổ thông, phương pháp này còn quá xa lạ và ít được biết đến. - Trong bài viết này, mình sẽ giới thiệu với các bạn những khái niệm và cách tiếp cận phương pháp này một cách cụ thể.. - Trước hết chúng ta phải tìm hiểu về giải phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu.. - Phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu:. - Phương trình Laplace trong không gian đối với một trường vô hướng u có dạng: u 0. - Nếu ta xét trong hệ tọa độ cầu (r. - Như vậy phương trình Laplace. - được đưa về dạng sau trong tọa độ cầu:. - Chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp đơn giản hơn, đó là tính chất đối xứng trụ của trường vô hướng u, nghĩa là u không đổi trong các mặt tọa độ. - Như vậy. - Do đó phương trình Laplace được xét trong sự đối xứng trụ của chúng ta sẽ có dạng đơn giản hơn một chút:. - 0 ) sin (sin. - Bây giờ, ta sử dụng phương pháp tách biến Fourier để giải phương trình trên.. - Thay (2) vào (1) và biến đổi, ta có:. - sin (sin. - Ta nhận xét rằng, ở phương trình trên, vế trái chỉ phụ thuộc vào r, vế phải chỉ phụ thuộc vào nên giá trị của vế trái và vế phải phải là một hằng số nào đó. - Do đó ta đặt:. - Ta xét phương trình:. - Thay các biến số mới x, y vào phương trình trên và biến đổi, ta sẽ được phương trình vi phân sau đây:. - Phương trình này được gọi là phương trình Legendre.. - Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình Legendre dưới dạng chuỗi lũy thừa:. - Thay (4) vào (3), và biến đổi ta sẽ được:. - Cho bằng 0 các hệ số của x k , ta có:. - Do đó: m a k. - Vậy nghiệm của phương trình (3) khi này có dạng:. - các hệ số sau tính theo công thức (5).. - m ( m 1 ) thì phương trình Legendre sẽ có nghiệm là một đa thức bậc m. - Cádc đa thức này hoặc chỉ chứa số hạng bậc chẵn nếu m chẵn, hoặc chỉ chứa số hạng bậc lẻ nếu m lẻ. - Ta sẽ chọn các hệ số a 0 hoặc a 1 sao. - cho các đa thức ấy có giá trị bằng 1 tại x=1. - Các đa thức xác định như vậy gọi là đa thức Legendre, được ký hiệu là P m (x).. - Bây giờ ta tính một vài giá trị đầu của đa thức Legrende:. - Với m=2 thì P 2 (x)=a 0 +a 2 x 2 , trong đó a 2 =-3a 0 , suy ra P 2 (x)=a 0 -3a 0 x 2 , nhưng P 2 (1)=1 do đó a 0 =-1/2. - Ta cũng có thể đưa ra công thức tổng quát của đa thức Legrende như sau:. - +Ta chứng minh công thức Rodrigue như sau:. - Đặt v(x)=(x 2 -1) m , ta có:. - và thế vào phương trình trên:. - Ta thấy rằng phương trình trên cũng là một phương trình Legrende, nên nghiệm của nó sẽ có dạng 1 đa thức Legrende, do đó:. - Với F(x-1) là 1 đa thức bậc m của biến số x-1. - Do đó: F(x-1) x 1 =0.. - Do vậy ta có công thức Rodrigue về đa thức Legrende:. - là một đa thức Legrende với biến số x=cos. - Thay vào phương trình trên ta sẽ được:. - Do đó nghiệm tổng quát của R(r) là:. - Ta có thể xác định A, B dựa trên các điều kiện biên.. - Như vậy nghiệm riêng của phương trình Laplace trong tọa độ cầu là:. - Ta có nghiệm tổng quát là:. - Vậy ta đã tìm được nghiệm của phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu với trường hợp đối xứng trụ là:. - Phương pháp khai triển đa cực trong các bài toán tĩnh điện:. - Phương pháp chung:. - Trong phương pháp này, ta thường chú ý đến các thế tĩnh điện. - Nếu ở môi trường không có điện tích, ta sẽ có phương trình Laplace cho thế tĩnh điện:. - Ta xét bài toán trong hệ tọa độ cầu, và xem bài toán đối xứng trụ, biến sẽ không tham gia vào bài toán, ta phân tích thế tĩnh điện dưới dạng khai triển đa cực như sau:. - Dựa vào các điều kiện biên, ta sẽ tìm được các hệ số A m , B m và như vậy sẽ tìm được giá trị của thế tĩn điện theo tọa độ (r. - Các bài toán áp dụng:. - Một quả cầu điện môi có bán kính a và hằng số điện môi 1 được đặt trong một chất lỏng điện môi có kích thước vô hạn và hằng số điện môi 2 . - Một điện trường đều E có ngay từ đầu trong chất lỏng đó. - Hãy tìm điện trường tổng hợp ở bên trong và bên ngoài quả cầu.. - Ở bài toán này, việc tìm các điện trường trong không gian xung quanh quả cầu là rất khó khăn. - Ta sẽ chuyển qua việc tìm thế tĩnh điện trong không gian và từ đó tìm ra điện trường bằng phép lấy gradien của thế tĩnh điện. - Để tìm các thế tĩnh điện, ta sẽ áp dụng phương pháp khai triển đa cực.. - Lấy gốc tọa độ tại tâm của quả cầu và lấy hướng của điện trường ban đầu E làm trục cực z. - Giả sử điện thế tĩnh điện tại một điểm bên trong quả cầu là. - và một điểm bên ngoài quả cầu là 2 . - Ta thấy bài toán là đối xứng trụ, nên ta biểu diễn 1 và 2 dưới dạng khai triển sau:. - Các phương trình này sẽ thỏa mãn đối với mọi góc. - Do đó các hệ số của P n (cos. - ở hai vế của mỗi phương trình trên phải bằng nhau đối với các giá trị của n. - Do đó:. - Do vậy điện thế bên trong và bên ngoài quả cầu có thể biểu diễn như sau:. - Từ đó ta tính được điện trường bên trong và bên ngoài quả cầu:. - Từ kết quả của bài 1, ta có thể giải quyết được nhiều bài toán khác như tìm mật độ điện tích mặt của quả cầu điện môi đặt trong điện trường, tìm điện trường khi đã biết phân bố điện tích mặt trên quả cầu…. - Chúng ta cũng sẽ có những bài toán tương tự như bài toán 1 như sau:. - Một quả cầu dẫn điện lí tưởng được đặt trong một điện trường đều hướng theo trục z. - Hãy tìm mật độ điện tích mặt trên quả cầu.. - Mật độ điện tích mặt. - Cả bên trong và bên ngoài của vỏ cầu là chân không, không có điện tích. - Hãy tính điện thế và điện trường ở cả bên trong và bên ngoài của quả cầu đó.. - Phương pháp giải quen thuộc để giải bài toán 2, 3 của học sinh chuyên lý là phương pháp chồng chập, nhưng phương pháp này có lẽ sẽ không thuyết phục bằng phương pháp khai triển đa cực.). - Ngoài ra, chúng ta còn có thể chứng minh được các công thức về đa thức Legendre như sau:. - (Công thức này gọi là tính trực giao của đa thức Legendre) Dựa vào tính chất này ta có thể giải quyết được bài toán sau đây:. - Điện thế của một vỏ cầu có chiều dày bằng 0 phụ thuộc vào góc cực có dạng như sau: V. - Tìm điện thế tĩnh điện bên trong, bên ngoài quả cầu và mật độ điện tích mặt trên quả cầu.. - Vì cả bên trong và bên ngoài vỏ cầu đều rỗng nên điện thế trong toàn bộ không gian thỏa mãn phương trình Laplace. - Như vậy điện thế bên trong quả cầu có dạng:. - Còn điện thế bên ngoài quả cầu có dạng là:. - Biểu thức điện thế trên vỏ cầu là:. - Do đó ta được:. - Sự phân bố điện tích trên vỏ cầu:. - *Trên đây mình đã trình bày khái niệm của phương pháp khai triển đa cực, để chúng ta có thể thấy được sự hiệu quả của nó trong một số bài toán tĩnh điện nói riêng, và các bài toán vật lý nói chung. - Hy vọng rằng sau khi đọc bài viết này, các bạn có thể nắm rõ phương pháp này, xem nó như là một công cụ đắc lực để giải quyết những vấn đề khác nhau của vật lý!