Lý thuyết Jacobian xấp xỉ

- ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI.
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN.
- LÝ THUYẾT JACOBIAN XẤP XỈ.
- 1 Hàm khả vi 7 1.1 Hàm khả vi từ R đến R.
- 1.2 Hàm khả vi từ R n đến R.
- 1.2.1 Các định nghĩa và tính chất.
- 1.2.2 Các phép tính đạo hàm.
- 1.3 Hàm khả vi từ R n đến R m.
- 1.3.1 Các định nghĩa và tính chất.
- 1.3.2 Phép tính của đạo hàm.
- 1.4 Bài toán tối ưu trơn.
- 1.4.1 Bài toán trơn không có ràng buộc.
- 1.4.2 Bài toán trơn với ràng buộc đẳng thức.
- 2 Jacobian xấp xỉ 20 2.1 Jacobian xấp xỉ của hàm thực mở rộng.
- 2.2 Phép tính Jacobian xấp xỉ.
- 2.2.4 Định lý giá trị trung bình.
- 2.2.5 Jacobian xấp xỉ của hàm hợp.
- 2.3 Jacobian xấp xỉ của hàm vectơ.
- 2.4 Hessian xấp xỉ.
- 2.4.1 Hessian xấp xỉ của hàm vô hướng.
- 2.4.2 Hessian xấp xỉ của hàm vectơ.
- 3 Ứng dụng của Jacobian xấp xỉ 64 3.1 Nón và các khái niệm liên quan.
- 3.2 Điều kiện tối ưu cấp hai cho bài toán tối ưu vectơ.
- 3.2.1 Bài toán tối ưu không ràng buộc.
- 3.2.2 Bài toán tối ưu có ràng buộc.
- Vào nửa sau thế kỷ XVII, đồng thời và độc lập, nhà toán học người Đức là Leibniz và nhà toán học người Anh là Newton đã phát minh ra phép tính vi phân, một công cụ đắc lực để giải nhiều bài toán trong vật lý, cơ học, hóa học, kỹ thuật.
- Nhưng phép tính vi phân mà Leibniz và Newton phát minh ra chỉ áp dụng được cho các lớp hàm có tính chất khá tốt..
- Một vấn đề đặt ra là đối với các hàm không khả vi, vì đạo hàm của chúng không tồn tại nên có thể thay thế khái niệm đạo hàm bằng khái niệm khác được không? Đây là vấn đề nghiên cứu của nhiều nhà toán học vào nửa cuối thế kỷ XX.
- Môn học này đã giải quyết các bài toán trên các lớp hàm không có đạo hàm theo nghĩa thông thường, bằng cách đưa ra các khái niệm dưới vi phân khác nhau để thay thế khái niệm đạo hàm, tại một điểm cho trước hàm được xấp xỉ bởi một họ các hàm tuyến tính..
- Lục đã đưa ra khái niệm mới về dưới vi phân và gọi là Jacobian xấp xỉ cho các hàm liên tục.
- Khái niệm này cho ta một công cụ hữu ích để nghiên cứu những bài toán về hàm liên tục.
- Jacobian xấp xỉ có những phép tính khá tốt, tương ứng với các phép tính của đạo hàm thông thường như phép lấy tích, tổng, hợp, định lý giá trị trung bình.
- Đặc biệt, nhiều dưới vi phân cũng là Jacobian xấp xỉ như dưới vi phân của hàm lồi, hàm Lipschitz và nhiều dưới vi phân khác như của Michel - Penot, Moduchovich.
- Vì vậy, những kết quả thu được bằng sử dụng Jacobian xấp xỉ cũng đúng cho các hàm có dưới vi phân này.
- Hơn nữa, hàm Lipschitz địa phương có thể có một Jacobian xấp.
- xỉ mà bao lồi của nó là chứa thật sự trong dưới vi phân suy rộng Clarke..
- Khác với những dưới vi phân đã đề cập đến, Jacobian xấp xỉ ở đây chỉ là tập đóng, không nhất thiết bị chặn hoặc lồi.
- Nhờ tính không lồi và không bị chặn mà ta có thể dùng để đặc trưng một số tính chất của hàm liên tục như tính Lipschitz địa phương, tính lồi, tính đơn điệu.
- Việc nghiên cứu Jacobian xấp xỉ đã mở rộng, thống nhất và làm sâu sắc nhiều kết quả trong giải tích không trơn và tối ưu hóa.
- Lý thuyết Jacobian xấp xỉ đang là đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu..
- Trong phạm vi luận văn cao học, tác giả tập trung trình bày có hệ thống một số kết quả về Jacobian xấp xỉ của một hàm liên tục trong không gian hữu hạn chiều, trước hết là hàm vô hướng, tiếp theo là hàm vectơ dựa trên cơ sở các kết quả mà V.
- Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về hàm vô hướng và hàm vectơ nhiều biến khả vi như: Các khái niệm, tính chất, phép toán và ứng dụng của nó trong bài toán cực trị..
- Chương 2 trình bày các khái niệm, tính chất và các phép tính về Jacobian xấp xỉ của hàm thực mở rộng, hàm vectơ.
- Phần cuối của chương trình bày khái niệm Hessian xấp xỉ và công thức Taylor đối với hàm khả vi liên tục..
- Chương 3 trình bày ứng dụng của Jacobian xấp xỉ trong bài toán tối ưu..
- Ở đây, ta đưa ra một số điều kiện cần và đủ cấp hai cho bài toán tối ưu với hàm vectơ khả vi liên tục trong không gian hữu hạn chiều..
- Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà.
- không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ R n vào R m B n : hình cầu đơn vị trong R n.
- đạo hàm của hàm vectơ f tại a f d + (x, v.
- đạo hàm Dini trên.
- đạo hàm Dini dưới f 0 (x, v.
- đạo hàm theo hướng f ◦ (x, v.
- đạo hàm suy rông Clarke f (x, v.
- đạo hàm trên Michel-Penot.
- dưới vi phân Michel-Penot.
- Hessian xấp xỉ coneC : nón sinh bởi C C 0 : nón cực của nón C.
- Hàm khả vi.
- chúng ta thường gặp những bài toán được quy về bài toán dạng min.
- Thông thường, hàm f có nhiều tính chất.
- Ta cần tìm ra những tính chất quan trọng để bài toán trên có nghiệm và thuật toán giải ra nghiệm.
- Ta xét một lớp hàm như vậy, đó là các lớp hàm khả vi..
- Trong chương này ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hàm khả vi trong phép tính vi phân của hàm nhiều biến..
- 1.1 Hàm khả vi từ R đến R.
- Định nghĩa 1.1.1.
- Hàm f được gọi là khả vi tại điểm x 0 ∈ (a, b) nếu tồn tại giới hạn.
- thì A được gọi là đạo hàm của hàm f tại điểm x 0 , ký hiệu là f 0 (x 0.
- Nếu hàm f khả vi tại mọi điểm x ∈ (a, b), ta nói rằng f khả vi trong khoảng (a, b)..
- Định lý 1.1.1.
- R → R là các hàm khả vi tại x 0 ∈ (a, b)..
- Khi đó các hàm f ± g, cf (c bất kỳ thuộc R.
- f · g và f g nếu g(x 0 ) 6= 0 là các hàm khả vi tại x 0 và ta có.
- Định lý 1.1.2 (Đạo hàm của hàm hợp).
- R và các hàm f : (a, b.
- Giả sử f khả vi tại x 0 ∈ (a, b) và g khả vi tại y 0 = f (x 0.
- Khi đó, hàm hợp g · f khả vi tại x 0 và.
- Định lý 1.1.3 (Đạo hàm của hàm ngược).
- R liên tục và đơn điệu thực sự trong (a, b)..
- 2) f có đạo hàm f 0 (x 0 ) 6= 0 tại x 0 ∈ (a, b)..
- Khi đó hàm ngược g = f −1 của hàm f có đạo hàm tại điểm y 0 = f (x 0 ) và g 0 (y 0.
- Định lý 1.1.4 (Định lý giá trị trung bình).
- R có các tính chất:.
- 1) f liên tục trên [a, b];.
- 2) f khả vi trong (a, b);.
- Ta ký hiệu L( R n , R ) là không gian các hàm tuyến tính liên tục từ R n đến R .
- Định nghĩa 1.2.1.
- Hàm f được gọi là khả vi tại điểm a nếu tồn tại một hàm tuyến tính liên tục L ∈ L( R n , R ) sao cho.
- Hàm tuyến tính liên tục L được gọi là đạo hàm của f tại a, ký hiệu là f 0 (a) hay Df (a)..
- Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi x ∈ U.
- Định lý 1.2.1.
- [2] Nếu f khả vi tại a thì đạo hàm tương ứng được xác định duy nhất..
- Định lý 1.2.2.
- [2] Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a..
- Định nghĩa 1.2.2.
- Ta nói f khả vi theo hướng v ∈ R n tại a nếu tồn tại giới hạn.
- Khi đó, giới hạn này được gọi là đạo hàm của f theo hướng v tại a, ký hiệu là f 0 (a, v)..
- 0)) ta có khái niệm sau..
- Định nghĩa 1.2.3.
- Nếu f 0 (a, e i ) tồn tại thì được gọi là đạo hàm riêng thứ i của hàm f tại a, hay đạo hàm riêng theo biến x i của hàm f tại a và ký hiệu là ∂x ∂f (a) hay D i f(a) hoặc f x 0.
- Thanh (2001), Phép tính vi phân và tích phân hàm nhiều biến, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội..
- Minh (2007), Lý thuyết tối ưu không trơn, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội.