- ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA TRÊN ĐA TẠP. - 1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 7 1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann. - 17 2 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA 21 2.1 Ước lượng chuẩn L b 1 cho gradient của hàm p -điều hòa. - 21 2.2 Phương pháp lặp Moser và ước lượng gradient của các hàm p -điều. - C ∞ Tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn.. - C 0 k Tập hợp tất cả các hàm khả vi cấp k có giá compact.. - W k,p Không gian Sobolev chứa các hàm và các đạo hàm yếu của nó tới bậc k có chuẩn L p hữu hạn, với p ≥ 1 cho trước.. - W loc k,p Không gian các hàm khả tích địa phương trong W k,p. - Việc nghiên cứu các hàm điều hòa trên đa tạp Riemann là một trong những đối tượng chính trong hình học vi phân. - Việc nghiên cứu này là cần thiết vì lý thuyết các hàm điều hòa có liên hệ chặt chẽ đến hình học và tôpô của đa tạp.. - Một trong các bài toán được quan tâm trong lý thuyết này là tìm các ước lượng gradient cho các hàm này. - Trong bài báo nổi tiếng của mình, Cheng-Yau [12] đã chứng minh ước lượng gradient cho hàm điều hòa dương trên đa tạp Riemann như sau.. - Định lý 0.1. - (Cheng-Yau) Cho M là một đa tạp Riemann đầy đủ n -chiều với Ric ≥ −(n − 1)κ , với κ ≥ 0 là một hằng số. - Giả sử u là một hàm điều hòa dương trên hình cầu trắc địa B(o, R. - trong đó C n là một hằng số chỉ phụ thuộc vào n. - Điều quan trọng trong ước lượng của Cheng-Yau là vế phải của Định lý 0.1 chỉ phụ thuộc vào n, κ và R. - Có hai phần chính trong chứng minh của định lý trên. - Phần quan trọng đầu tiên là công thức Bochner được sử dụng để ước lượng cận dưới của toán tử Laplace tác động lên |∇u| 2 của một hàm điều hòa u bởi các số hạng chỉ phụ thuộc vào cận dưới của độ cong Ricci. - Phần quan trọng thứ hai là một kỹ thuật thông minh về nguyên lý cực đại. - Kết quả là, bất đẳng thức vi phân mới liên quan đến Laplace của hàm khoảng cách. - Như đã biết, hàm khoảng cách trên đa tạp Riemann là Lipschitz đều và toán tử Laplace tác động lên hàm khoảng cách có một cận trên chỉ phụ thuộc vào cận dưới của tensor Ricci.. - Cách tiếp cận của Cheng-Yau là rất hữu ích và một số kết quả quan trọng. - của nhiều bài toán khác nhau được ảnh hưởng sâu sắc bởi định lý trên. - Các kết quả tương tự cho phương trình nhiệt cũng thu được bởi Li-Yau. - Ngoài ra, S.Y.Cheng [10], H.I.Choi [3] đã chứng minh các ước lượng gradient cho ánh xạ điều hòa,.... - Mặt khác, các hàm p -điều hòa (p >. - 1) được xem là mở rộng tự nhiên của các hàm điều hòa từ quan điểm biến phân. - So với lý thuyết hàm điều hòa, các nghiên cứu về các hàm p -điều hòa nói chung là khó khăn hơn vì phương trình này mặc dù là elliptic, nhưng là suy biến và các kết quả về tính chính quy là yếu hơn.. - Gần đây, các hàm p -điều hòa được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. - Đặc biệt, năm 2007, R.Moser [11] đã thiết lập một liên hệ giữa các hàm p -điều hòa và bài toán ngược cho dòng độ cong trung bình. - Trong một bài báo gần đây vào năm 2009, Kotschwar và Ni [2] đã chứng minh được nhiều kết quả cho hàm p -điều hòa, một trong số đó là một ước lượng gradient địa phương cho các hàm p -điều hòa với giả thiết rằng độ cong nhát cắt bị chặn hạn dưới. - Đáng chú ý là hằng số trong tính toán của họ không bị tăng vọt khi p → 1 , dẫn đến kết quả thú vị về bài toán ngược cho dòng độ cong trung bình. - Phương pháp chứng minh của họ là tương tự với phương pháp được phát triển bởi Cheng và Yau năm 1975 cho các hàm điều hòa (tức là p = 2. - Kotschwar và Ni đã dự đoán rằng ước lượng của họ có thể giữ nguyên nếu chỉ giả thiết về cận dưới của tensor Ricci. - Zhang [13] đã chứng minh phỏng đoán của Kotschwar và Ni bằng cách thiết lập định lý sau.. - Định lý 0.2. - Giả sử v là một hàm p -điều hòa dương trong hình cầu B(o, R. - Chú ý rằng khi p = 2 , các hàm p -điều hòa chính là hàm điều hòa. - ước lượng gradient này có thể xem là tổng quát hóa của ước lượng gradient của Cheng-Yau như đã đề cập đến trong phần đầu của lời giới thiệu.. - Toàn bộ nội dung của luận văn này là để làm rõ cách chứng minh của định lý kể trên của Wang-Zhang. - Trong phần chương một, tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản về hình học vi phân và toán tử Laplace trên đa tạp Riemann. - Trong chương hai, tôi phân tích kỹ và trình bày một cách chi tiết các bước chứng minh của định lý Wang-Zhang. - Trong đó, chúng ta sử dụng một phiên bản của công thức Bochner cho hàm p -điều hòa, công thức này được sử dụng cho toán tử tuyến tính hóa của toán tử phi tuyến ∆ p và được giới thiệu trong bài báo của Kotschwar-Ni.. - Nhờ công thức này, chúng ta thu được một ước lượng chuẩn trong không gian L b 1 của grandient của hàm p -điều hòa với b 1 phù hợp. - Phần tiếp theo là chứng minh một ước lượng cận trên của chuẩn sup theo chuẩn L b 1 này bằng cách sử dụng phép lặp Moser, kết quả là chứng minh được Định lý 0.2. - Tôi cũng đưa ra chứng minh của hai kết quả liên quan đến ước lượng gradient này. - Kết quả đầu tiên là định lý kiểu Harnack và kết quả thứ hai là định lý Liouville cho hàm p -điều hòa.. - TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN. - Đầu tiên, chúng ta nhắc lại các khái niệm đa tạp, đa tạp trơn, định nghĩa đa tạp Riemann. - Tiếp sau đó, chúng ta xây dựng một vài phép toán cơ bản để đưa ra định nghĩa của toán tử Laplace. - 1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann. - Đa tạp trơn. - Định nghĩa 1.1. - Cho M là một không gian tôpô Hausdorff và có cơ sở đếm được. - Nó được gọi là một đa tạp tôpô n chiều nếu với mọi p ∈ M , tồn tại một bộ ba {ϕ, U, V } trong đó U là một lân cận của p trong M , V là một tập con mở của R n , ϕ : U → V là một đồng phôi. - Một bộ ba như vậy gọi là một bản đồ tại p.. - Hai bản đồ {ϕ 1 , U 1 , V 1 } và {ϕ 2 , U 2 , V 2 } được gọi là tương thích nếu hàm chuyển. - là một đồng phôi. - Định nghĩa 1.2. - Một tập A = {ϕ α , U α , V α } trên M được gọi là một tập bản đồ nếu các bản đồ của A đều tương thích với nhau và S. - Hai tập bản đồ trên M được gọi là tương đương nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ trên M. - Định nghĩa 1.3. - Một đa tạp trơn n -chiều M là một đa tạp tôpô n -chiều được trang bị một lớp tương đương các tập bản đồ sao cho các hàm chuyển là các hàm trơn. - Một lớp tương đương của một tập bản đồ trơn được gọi là một cấu trúc trơn trên M. - Một vài đa tạp trơn cùng với cấu trúc trơn. - • R n là một đa tạp trơn.. - • Một tập con mở của đa tạp trơn cũng là một đa tạp trơn.. - x 2 n+1 = 1} là một đa tạp trơn. - {ϕ 2 , U 2 , R n } tạo thành tập bản đồ trên S n . - Có thể tính toán trực tiếp rằng ánh xạ chuyển ϕ 12 là ánh xạ trơn. - Do đó, hình cầu là một đa tạp trơn.. - Định nghĩa 1.6. - Một ánh xạ f : M → N giữa hai đa tạp trơn được gọi là trơn nếu với mỗi bản đồ {ϕ α , U α , V α } bất kì của M và {ψ β , X β , Y β } bất kì của N , khi đó ánh xạ. - Ta nói rằng f : M → N là một vi phôi nếu nó là song ánh và f, f −1 đều là các ánh xạ trơn.. - Khi N = R , ta sẽ gọi f là một hàm trơn giá trị thực. - Tập hợp tất cả các hàm trơn giá trị thực trên M được kí hiệu là C ∞ (M. - Bất kỳ ánh xạ trơn f : M → N đều cảm sinh một ánh xạ kéo-lùi f. - Cho M là một đa tạp trơn n -chiều.. - Định nghĩa 1.7. - Một vectơ tiếp xúc tại một điểm p ∈ M là một ánh xạ tuyến tính X p : C ∞ (U