- 24/10/2013Bài giảng: Chương 3 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ĐỒ THỊ PHẲNG (GRAPH THEORY) (Planar Graph) TRẦN QUỐC VIỆT 1 2Nội dung 1. - Một số đồ thị không phẳng - Không có đường nối trực tiếp giữa các giếng với nhau 4. - Ứng dụng đồ thị phẳng trong. - Mỗi nhà đều có đường đi đến cả 3 giếng Bài toán tô màu đồ thị Bài toán lập lịch thi Có cách làm các đường này mà đôi một không giao nhau hay 3 không (ngoài các điểm là nhà hay giếng Khái niệm và định nghĩa Khái niệm và định nghĩa Biểu diễn bài toán bằng đồ thị: Định nghĩa đồ thị phẳng. - Mỗi nhà ↔ một đỉnh - Một đồ thị được gọi là đồ thị phẳng (Planar Graph) nếu ta - Mỗi giếng ↔ một đỉnh có thể vẽ nó trên một mặt phẳng sao cho không có hai cạnh - Một đường đi giữa một nhà và một giếng ↔ một cạnh nào cắt nhau ở một điểm không phải là đỉnh của đồ thị (việc 1 A vẽ đồ thị trên mặt phẳng gọi là biểu diễn phẳng của đồ thị. - 2 Ví dụ: Đồ thị G: 2 2 B 1 5 K3,3 Vẽ lại G 3 3 4 5 C 3 “Tồn tại hay không cách vẽ đồ thị phân đôi đầy đủ K3,3 trên 4 1một mặt phẳng sao cho không có hai cạnh nào cắt nhau?” G Một biểu diễn phẳng của G Khái niệm và định nghĩa 1 2 Biểu diễn phẳng của G và Q3 (Xem như bài tập) G Gợi ý cách c/m K3,3 không phẳng: 4 3 Biểu diễn phẳng của G. - v3 phải nằm trong các vùng F1 hoặc F2 A B Q3 v1 v5 H G C Biểu diễn phẳng của Q3? R1 D R2 v4 v2 K3,3 Biểu diễn phẳng của K v1 v5 R1 Cạnh (v3,v6) phải cắt ít v1 v5 Cạnh (v2,v6) phải cắt ít R22 nhất 1 trong 2 cạnh R11 v6 nhất 1 trong 2 cạnh (v4,v2), (v2,v5) v3 R2 v6 (v4,v3), (v3,v5) v4 v2 R12 R21 v5TH1:v3 nằm trong R1 v4 v2 v1 v5 v1 v5 v3 v1 v5 R2 R11 R11 Cạnh (v1,v6) phải cắt ít TH2:v3 nằm trong R2 R1 v3 R2 v3 R2 nhất 1 trong 2 cạnh R22 Cạnh (v1,v6) phải cắt ít R12 R12 v6 (v4,v3), (v3,v5) v1 v5 v5 nhất 1 trong 2 cạnh v6 v4 v2 v4 R1 (v4,v2), (v2,v5) v2 v4 v2 v1 v5 R21 R2 R11 Cạnh (v3,v6) phải cắt ít v1 v3 v5 v3 R2 v4 v2 nhất 1 cạnh R12 R21 R1 v5 9 R22 Cạnh (v2,v6) phải cắt v4 v2 v3 R22 ít nhất 1 cạnh khác v6 R2 v4 v2 R21 v6 10 v6 v3 Khái niệm và định nghĩa Khái niệm và định nghĩa Cho G là đồ thị phẳng: Ví dụ. - Các cạnh của đồ thị chia mặt 5 6 1 2 miền 3 phẳng thành các miền (Region) 5 F2 6 miền 1 2 Phần giới hạn bởi một chu trình 1 Vẽ lại Miền 2 đơn không chứa bên trong một chu 8 F5 F1 F3 trình đơn khác được gọi là một 8 7 miền hữu hạn. - F6 F4 7 miền 1, miền 2: hữu hạn Mọi đồ thị phẳng luôn có một 4 3 4 Q3 3 miền 3: vô hạn miền vô hạn duy nhất. - Q3 Q3 là đồ thị Phẳng . - Chu trình giới hạn miền gọi làBiên của miền 1 F1, F2, F3, F4, F5: các miền hữu hạn biên của miền F6: Miền vô hạn Bài tập Một số ứng dụng của đồ thị phẳng Trong các đồ thị sau, đồ thị nào là phẳng? Nếu đồ thị là Sản xuất bảng mạch điện tử: phẳng, hãy biểu diễn phẳng nó. - Biểu diễn bằng đồ thị. - Mỗi đỉnh ↔ mỗi thành phần của board mạch Mỗi cạnh ↔ một nối giữa 2 thành phần Nếu biểu diễn được mạch bằng một đồ thị phẳng. - có thể in trên một bảng mạch đơn (single board) G1 G2 G3 Nếu không biểu diễn được mạch bằng đồ thị phẳng Có thể chia đồ thị thành các đồ thị con phẳng sử dụng bảng mạch đa lớp (chi phí in mạch sẽ lớn hơn) 13 14 Một số ứng dụng của đồ thị phẳng 2. - Xây dựng mạng giao thông: Giả sử cần xây dựng một Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông với m cạnh, n đỉnh, r mạng giao thông kết nối một nhóm các thành phố miền (trên biểu diễn phẳng của G. - Biểu diễn bằng đồ thị: Khi đó: n–m+r=2 Mỗi đỉnh ↔ một thành phố Mỗi cạnh ↔ một đường đi trực tiến giữa hai thành phố c/m: Ta bỏ một số cạnh của G để thu được cây khung G’ của G Nếu biểu diễn được bằng một đồ thị phẳng. - Công thức Euler- Biểu thức: Hệ quả 1: G là một đồ thị phẳng với n đỉnh, m cạnh, r miền, p là số thành phần liên thông. - Một số đồ thị không phẳng Ví dụ: Một đơn đồ thị liên thông, phẳng G có 20 đỉnh. - Các đồ thị K1, K2, K3, K4 là các đồ thị phẳng. - Một biểu diễn phẳng của đồ thị G thị K5 không là đồ thị phẳng chia đồ thị G thành bao nhiêu miền. - Đồ thị Km,n (m,n≥3) không là đồ thị phẳng Ví dụ: K3,3 19 K3,3 không là đồ thị phẳng . - Một số đồ thi không phẳng Định lý: Cho H là đồ thị con của đồ thị G: Như vậy: Một đồ thi G không phẳng nếu nó đồ o Nếu G phẳng thì H phẳng thị con là K3,3 hoặc K5 o Nếu H không phẳng thì G không phẳngVí dụ: Cho đồ thi G như sau G không phẳng vì K3,3≤G, K3,3 G không phẳng 4. - E Cho G là đồ thị liên thông có n đỉnh, m cạnh và đai và thêm vào đỉnh w và 2 cạnh (u,w), (w, v) được gọi là phép là g≥3. - Các đồ thị đồng phôi 5.3. - Định lý Kuratowski: Đồ thị G’ được gọi là đồng phôi (homeomorphic) với đồ thị G Một đồ thị là đồ thị phẳng khi và chỉ khi nó không chứa đồnếu G’ có đuộc từ G bằng một chuỗi các phép chia sơ cấp thị con đồng phôi với K3,3 và K5Ví dụ: a b a b a b Ví dụ: Đồ thị G sau đây không phẳng vì chứa đồ thị con đồng phôi với K5 h i k f g g j d e c d e c d e G1 G2 G3 G2 , G2 và G3 là hai đồ thị đồng phôi G H≤G, H đồng phôi với K5 Trong các đồ thị sau, đồ thị nào phẳng, đồ thị nào không phẳng? Vẽ lại đồ thi nào là phẳng sao cho không có cạnh cắt nhau ngoài đỉnh G1 G2 G3 G Tô màu đồ thị Tô màu đồ thị Bài toán: Để phân biệt các miền trên bản đồ ta phải tô màu Mô hình hoá bài toán:chúng bằng các màu khác nhau. - Mỗi miền tương ứng một đỉnh của đồ thị. - Đồ thị nhận được gọi là đồ thị đối ngẫu của bản đồ. - Đồ thị đối ngẫu của bản đồ là đồ thị phẳng. - B B D B B C G A C C A E F F E C A E D E D D Tô màu đồ thị Tô màu đồ thịBài toán tương đương: tô màu các đỉnh của đồ thị sao cho Định nghĩa: số màu của một đồ thị G (kí hiệu :(G)) là số màu tối thiểu cần để tô màu đồ thị Ghai đỉnh kề nhau thì được tô bởi hai màu khác nhau và sốlượng màu sử dụng là ít nhất Ví dụ: Xét đồ thị G: R B Số màu của đồĐịnh nghĩa: Tô màu một đơn đồ thị là gán mỗi màu cho một thị G là 2đỉnh của đồ thị sao cho không có 2 đỉnh kề được gán cùng Rmột màu . - R B B Định lý 4 màu: số màu của một đồ thị phẳng bất kỳ là một sốVí dụ: không lớn hơn 4. - Số màu của đồ thị lưỡng phân là 2 màu. - R - Số màu của đồ thị đầy đủ Kn là n màu . - Ứng dụng của tô màu đồ thị trong bài toán Ví dụ: Tìm số màu của các đồ thị sau: lập lịch thi Hãy lập lịch thi trong trường đại học sao cho không có sinh viên nào phải thi đồng thời hai môn cùng một lúc Mô hình hoá bài toán. - Bài toán trở thành bài toán tô màu cho đồ thị trên sao cho hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau. - G là đồ thị biểu diễn việc xếp lịch thi cho các sv Nhận xét: Số màu của đồ thị là 4 Sử dụng 4 thời gian khác nhau để xếp lịch Thứ tự thời gian Các môn I 1,6 II 2 II 3,5 35 36 IV 4,7
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt