- Trờn cơ sở cỏc phõn tớch tớnh toỏn đú, ta cú thể hiệu chỉnh thiết kế cũng như điều khiển, tối ưu hoạt động của hệ thống. - Trong phạm vi luận văn này tỏc giả chỉ tập trung vào phõn tớch mụ phỏng cỏc hệ cơ học đó cú sẵn mụ hỡnh cơ học. - Thụng qua cỏc phõn tớch cơ học trờn cơ sở cỏc nguyờn lý, cỏc phương trỡnh cơ học ta sẽ thu được cỏc phương trỡnh vi phõn chuyển động mụ tả hoạt động của hệ. - Bước này thường được gọi là bước xõy dựng phương trỡnh chuyển động. - Từ đú, ta sử dụng cỏc phõn tớch toỏn học, tức là cỏc sơ đồ giải thuật để giải cỏc phương trỡnh chuyển động của cơ hệ. - Cụ thể như sau: Chương I trong luận văn, tỏc giả đề cập đến cỏc nguyờn lý, cỏc phương trỡnh cơ bản trong cơ học làm cơ sở cho cho việc xõy dựng cỏc phương trỡnh chuyển động. - Cỏc nguyờn lý d’Alembert, d’Alembert – Lagrange, cỏc phương trỡnh Lagrange loại 2 và Lagrange nhõn tử sẽ lần lượt được trỡnh bày cụ thể trong chương I này. - Chương II trong luận văn đề cập đến cỏc phõn tớch toỏn học cơ bản phự hợp với kết quả của phõn tớch cơ học ở trờn, tức là cỏc sơ đồ giải phương trỡnh vi phõn chuyển động. - Trờn cơ sở tớnh tổng quỏt và phức tạp trong kết quả phõn tớch cơ học thực tế, tỏc giả tập trung giới thiệu về cỏc phương phỏp số giải hệ phương trỡnh vi phõn và hệ phương trỡnh vi phõn đại số phổ biến và hiệu quả là phương phỏp Euler, Runge – Kutta dạng hiện và ẩn. - Trong chương III và chương IV tỏc giả giới thiệu sơ lược một số phần mềm ỏp dụng giải hệ phương trỡnh vi phõn, vi phõn - đại số (chương III) và mụ phỏng, thiết kế(chương IV). - 3 CHƯƠNG I TỔNG QUAN MỘT SỐ NGUYấN Lí CƠ HỌC 1. - Mở đầu về việc thiết lập cỏc phương trỡnh chuyển động Cựng với sự phỏt triển mạnh mẽ của tin học, để giải cỏc phương trỡnh vi phõn chuyển động bằng mỏy tớnh, người ta thường dựng cỏc phương phỏp số chẳng hạn như phương phỏp Euler, phương phỏp Runge-Kutta… Lý do sử dụng phương phỏp số bởi vỡ do tớnh tổng quỏt và phức tạp của cỏc phương trỡnh vi phõn chuyển động, nờn thật khú khăn khi đi tỡm nghiệm của phương trỡnh này dưới dạng giải tớch. - Trong cơ học, khi thiết lập phương trỡnh chuyển động của cơ hệ ta thấy phương trỡnh chuyển động của một cơ hệ bất kỳ thường là cỏc phương trỡnh vi phõn. - Do vậy việc giải cỏc phương trỡnh chuyển động của cơ hệ thực chất được đưa về giải cỏc phương trỡnh vi phõn . - Phương trỡnh chuyển động của một hệ cơ học sẽ cú dạng một hệ phương trỡnh vi phõn thường (Ordinary Differential Equations-ODEs) hay hệ phương trỡnh vi phõn đại số (Differential Algebraic Equations-DAEs) tựy thuộc vào cỏch chọn hệ tọa độ suy rộng để xỏc định cấu hỡnh của cơ hệ. - Nếu hệ tọa độ suy rộng đủ được lựa chọn, ta thu được hệ phương trỡnh vi phõn thường. - ngược lại, nếu hệ tọa độ suy rộng dư được lựa chọn ta thu được hệ phương trỡnh vi phõn đại số. - Cựng với sự phỏt triển mạnh mẽ của tin học, khi ta đó cú sẵn thuật giải của phương phỏp số, việc triển khai phương phỏp số trờn mỏy tớnh ngày càng thuận tiện và nhanh chúng, do đú cú nhiều phần mềm thụng dụng giải phương trỡnh của cơ hệ. - Sau đõy ta sẽ xột một số nguyờn lý cơ học thường được dựng để xõy dựng phương trỡnh chuyển động. - Việc sử dụng phương phỏp nào phụ thuộc rất nhiều vào việc xõy dựng mụ hỡnh: chất điểm, vật rắn, hệ nhiều chất điểm, hệ vật rắn và cỏc tọa độ suy rộng đủ hay dư. - Nguyờn lý d Alembert 2.1. - Lực quỏn tớnh của chất điểm Xột chất điểm P cú khối lượng m chuyển động với gia tốc ar ở trong hệ quy chiếu quỏn tớnh Oxyz, chịu tỏc dụng của lực tổng hợp F. - Theo tiờn đề Newton II ta cú Famrr= (1.2.1) Phương trỡnh (1.2.1) cú thể biến đổi về dạng 0. - amFrr (1.2.2) Vế trỏi của phương trỡnh (1.2.2) là tổng của hai vộctơ cú cựng thứ nguyờn là lực. - Để thuận tiện người ta quy ước xem (amr−) là một lực gọi là lực quỏn tớnh. - Lực quỏn tớnh d Alembert của chất điểm là một đại lượng vộctơ cựng phương ngược chiều với gia tốc của chất điểm và cú trị số bằng tớch số của khối lượng chất điểm với trị số gia tốc của nú. - Nguyờn lý d Alembert đối với chất điểm. - Với việc đưa vào khỏi niệm lực quỏn tớnh (1.2.3), phương trỡnh (1.2.2) cú thể viết dưới dạng: 0=+qtFFrr (1.2.4) Phương trỡnh (1.2.4) là nội dung của nguyờn lý d Alembert đối với chất điểm. - Nguyờn lý d Alembert: Ở mỗi thời điểm hệ lực gồm những lực tỏc dụng lờn chất điểm và lực quỏn tớnh của nú là một hệ lực thỏa món cỏc điều kiện cõn bằng tĩnh học. - Nguyờn lý d Alembert đối với vật rắn 2.3.1. - Vộctơ chớnh, mụmen chớnh của hệ lực quỏn tớnh của vật rắn Vộctơ chớnh của hệ lực quỏn tớnh của vật rắn được xỏc định bởi cụng thức dmrdmaRBBqt∫∫−=−=&&rrr' (1.2.6) Mụ men chớnh đối với điểm O của hệ lực quỏn tớnh của vật rắn cú dạng ∫∫ì−=ì−=BBqtodmrrdmarM&&rrrrr . - Quan hệ giữa vộctơ chớnh, mụmen chớnh của hệ lực quỏn tớnh của vật rắn và động lượng, mụmen động lượng của vật rắn Định lý: Ta cú cỏc cụng thức quan hệ sau dtpdRqtrr. - (1.2.8) dtLdMOqtorr−= (1.2.9) Trong đú prlà động lượng của vật rắn 0Lrlà mụmen động lượng của vật rắn của vật rắn đối với điểm O cố định Chứng minh: Đạo hàm biểu thức động lượng của vật rắn ta cú 'qtBBRdmrdmrdtddtpdr&&r&&rr. - Đạo hàm biểu thức mụmen động lượng của vật rắn đối với điểm 0 cố định ta được ()qtBBoMdmrrdmrrrrdmrrdtddtLd0r&&rr&&rr&r&r&rrr−=ì=ì+ì=ì. - Thu gọn hệ lực quỏn tớnh của vật rắn về khối tõm C của nú ()CqtCqtamRvmdtddtpdRrrrrr. - (1.2.10) Như thế vộctơ chớnh của hệ lực quỏn tớnh của vật rắn khụng phục thuộc vào dạng chuyển động của vật rắn và được xỏc định bởi cụng thức (1.2.10) Vộctơ mụmen chớnh đối với khối tõm C của hệ lực quỏn tớnh của vật rắn được xỏc định bởi cụng thức ∫ì−=BqtCdmauMrrr (1.2.11) Và phụ thuộc vào dạng chuyển động cụ thể của vật rắn. - Với vật rắn chuyển động tịnh tiến. - Theo (1.2.11) ta cú 0=ì⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∫CBqtCadmuMrrr, do 0==∫CBumdmurr Kết luận 1: Thu gọn hệ lực quỏn tớnh của vật rắn chuyển động tịnh tiến về khối tõm C của nú ta được một hợp lực đặt tại khối tõm C CqtamRrr b. - Với tấm phẳng chuyển động phẳng. - Theo cụng thức (1.2.9) ta cú ()zCzzCzCzqtCzJJdtddtdLMεω. - Kết luận 2: Thu gọn hệ lực quỏn tớnh của tõm phẳng chuyển động phẳng về khối tõm C của nú ta được một lực và một ngẫu lực CqtamRrr. - Nguyờn lý d’Alembert đối với cơ hệ Nguyờn lý: Ở mỗi thời điểm nếu ta đặt vào từng chất điểm và từng vật rắn của cơ hệ cỏc lực quỏn tớnh của nú thỡ hệ gồm cỏc ngoại lực, nội lực và lực quỏn tớnh thu gọn tỏc dụng lờn cơ hệ là một hệ lực thỏa món cỏc điều kiện cõn bằng tĩnh học. - Nguyờn lý d´Alembert-Lagrange 3.1. - Nguyờn lý d´Alembert-Lagrange Nguyờn lý: Đối với cơ hệ chịu cỏc liờn kết hụlụnụm giữ, dừng và lý tưởng, tại mỗi thời điểm tổng cộng cỏc lực hoạt động và cỏc lực quỏn tớnh trong mọi di chuyển ảo của cơ hệ đều bằng khụng. - Mụ hỡnh hệ n chất điểm Xột hệ gồm n chất điểm chịu liờn kết tựy ý. - Ký hiệu là akFr là hợp của cỏc lực hoạt động tỏc dụng lờn chất điểm kP , cũn hợp của cỏc lực liờn kết lý tưởng là ckFr, theo nguyờn lý d Alembert ta cú 0=++ckqtkakFFFrrr (k=1,…,n) (1) Cho hệ thực hiện một di chuyển ảo tựy ý nrrrrrrδδδ,...,,21, nhõn vụ hướng với phương trỡnh (1) với krrδrồi cộng lại ta được ()0.1=++∑=knkckqtkakrFFFrrrrδ (1.3.1) Phương trỡnh (1.3.1) là nguyờn lý d Alembert-Lagrange đối với hệ n chất điểm. - Dưới dạng khai triển theo cỏc tọa độ Descartes, phương trỡnh (1.3.1) cú dạng kxkakzkxkakykxkakxzzmFyymFxxmFδδδ. - Mụ hỡnh hệ p vật rắn Xột hệ gồm p vật rắn chịu liờn kết tựy ý. - là vộctơ chớnh và mụmen chớnh đối với khối tõm của cỏc lực hoạt động và cỏc lực liờn kết lý tưởng tỏc dụng lờn vật rắn thứ k,Ckarlà gia tốc khối tõm vật thứ k. - Di chuyển ảo của vật rắn thứ k bao gồm độ dời ảo của khối tõm Ckrrδ và độ quay ảo quanh trục quay tức thời đi qua khối tõm kϕδr. - Theo nguyờn lý d Alembert ta cú 0=+−ckCkakFamFkrrr (1) 0)( =+ì+−ckkCkkkCkakMJJMr&&rrrr&&rrrrϕϕϕ (2) Trong đú mk là khối lượng vật rắn thứ k CkJrr là tenxơ quỏn tớnh khối của vật rắn thứ k Nhõn vụ hướng phương trỡnh (1) với kCrrδ, nhõn phương trỡnh (2) với kϕδr rồi cộng lại ta được ì+−+−∑=pkkkCkkkCkakCCkakJJMramFkkϕδϕϕϕδr&&rrrr&&rrrrrrr (1.3.3) Do ckckMFrr, là lực và ngẫu lực liờn kết lý tưởng nờn ()0.1=+∑=pkkckCkckMrFϕδδrrrr Phương trỡnh (1.3.3) là nguyờn lý d´Alembert-Lagrange đối với hệ p vật rắn. - Phương trỡnh Lagrange loại hai Phương trỡnh Lagrange loại hai là phương trỡnh vi phõn chuyển động của hệ cỏc chất điểm và cỏc vật rắn chịu liờn kết hụlụnụm. - Phương trỡnh Lagrange loại hai cho hệ n chất điểm a) Một vài cụng thức động học cần thiết Giả sử vị trớ của mỗi chất điểm thuộc hệ là hàm của cỏc tọa độ suy rộng và thời gian ()tqqqrrnkk,,...,,21rr. - ()tqqii= ()ni Đạo hàm hệ thức (1.4.1) theo thời gian t ta được trqtrvdtrdkinikkk∂∂+∂∂==∑=r&rrr1 Từ đú suy ra jkjkqrqv∂∂=∂∂r&r (1.4.2) Do ()tqqqqvvnnk rr= và ()tqqqrqrnjkjk rr nờn ta cú tqrqqqrqvjkniijikjk r&rr212 tqrqqqrqrdtdjkniijikjk r&rr212 So sỏnh hai cụng thức ta rỳt ra hệ thức jkkjjkqvdtrdqqrdtd rrr b) Thiết lập phương trỡnh Lagrange loại hai Xột hệ hụlụnụm gồm n chất điểm và cú f bậc tự do. - Như thế cú thể xỏc định bởi f tọa độ suy rộng đủ: fqqq ,...,,21. - Nguyờn lý d´Alembert-Lagrange đối với hệ n chất điểm cú dạng ()∑==−nkkkkakramF10.rrrδ (1.4.4) Từ (1.4.1) ta cú ∑=∂∂=fiiikkqqrr1δδrr (1.4.5) Thế (1.4.5) vào biểu thức (1.4.4) được hệ thức ifinkikkkfiiiknkakqqrdtrdmqqrFδδrrrr (1.4.6) Theo định nghĩa lực suy rộng ta cú iknkakiqrFQ∂∂=∑=rr.1 (1.4.7) Bõy giờ ta biến đổi biểu thức nknkiknkkkikkkikkkiqrdtdrmqrrmdtdqrdtrdmK11122..r&rr&rrr (1.4.8) Chỳ ý đến cỏc cụng thức (1.4.2) và (1.4.3), biểu thức (1.4.8) cú dạng ∑∑==∂∂−∂∂=nkikkknkikkkiqvvmqvvmdtdK11rr&rr (1.4.9) Cỏc đạo hàm riờng theo iq&và iq của biểu thức động năng ∑==nkkkvmT1221r cú dạng ∑=∂∂=∂∂nkikkkiqvvmqT1&rr&, ∑=∂∂=∂∂nkikkkiqvvmqT1rr (1.4.10) Chỳ ý đến cỏc cụng thức (1.4.10), biểu thức (1.4.9) cú dạng 11 iiiqTqTdtdK. - (1.4.11) Thế (1.4.7) và (1.4.11) vào phương trỡnh (1.4.6) ta được ifiiiiqQqTqTdtdδ& (1.4.12) Cỏc biến phõn iqδ(i=1,…,f) là độc lập nhau, nờn ta cú iiiQqTqTdtd. - (i=1,…,f) (1.4.13) Trong đú iQ là cỏc lực suy rộng. - Nếu ta phõn cỏc lực tỏc dụng lờn cơ hệ thành cỏc lực cú thế và cỏc lực khụng cú thế thỡ lực suy rộng iQ được tớnh theo cụng thức ∗+∂Π∂−=iiiQqQ (1.4.14) Trong đú ∗iQ là lực suy rộng ứng với cỏc lực khụng thế. - Cỏc phương trỡnh vi phõn (1.4.13) được gọi là phương trỡnh Lagrange loai hai, mụ tả chuyển động cỏc hệ hụlụnụm. - Trong trường hợp lực tỏc dụng lờn cơ hệ đều là cỏc lực cú thế thỡ 0=∗iQ. - Khi đú phương trỡnh Lagrange loai hai cú dạng iiiqqTqTdtd∂Π. - thỡ phương trỡnh (1.4.115) cú dạng iiqLqLdtd& (i=1,…,f . - Phương trỡnh Lagrange loại hai cho hệ p vật rắn Trong trường hợp hệ cỏc vật rắn chịu cỏc liờn kết hụlụnụm được mụ tả bằng cỏc toạ độ suy rộng đủ, phương trỡnh Lagrange loại hai vẫn cú dạng như (1.4.13). - Phương trỡnh Lagrange dạng nhõn tử Cho một cơ hệ với liờn kết hụlụnụm cú n bậc tự do. - Chọn iq với i=1,2,3,…,p(p>n) là một hệ tọa độ suy rộng dư để xỏc định cấu hỡnh của cơ hệ. - Do đú chỳng ta cú s = p - n phương trỡnh liờn kết hụlụnụm độc lập mụ tả sự ràng buộc của cỏc đại lượng tọa độ suy rộng cú dạng sau pjqqqf j = 1,2,…,s. - (1.4.17) Phương trỡnh Lagrange dạng nhõn tử viết cho hệ này như sau sjjijiiiqfQqTqTdtd1λ& i = 1,2,…,p (1.4.18) Với T là động năng tổng cộng của cơ hệ. - iQ là cỏc lực suy rộng ứng với cỏc tọa độ suy rộng iq. - iq là cỏc tọa độ suy rộng đư. - i= 1,2,3,…,p là số tọa độ suy rộng. - j= 1,2,3,…,s là số phương trỡnh liờn kết. - s + n = p (1.4.17) và (1.4.18) là hệ phương trỡnh vi phõn đại số với p+s ẩn số là iq và jλ. - Chi tiết cỏc sơ đồ giải cho cỏc hệ phương trỡnh vi phõn thu được trong phần 1.4.2 và hệ phương trỡnh vi phõn đại số trong phần 1.4.3 sẽ được trỡnh bày lần lượt trong phần sau. - Trờn cơ sở cỏc phõn tớch cơ học ở trờn thỡ phương trỡnh chuyển động của cơ hệ thường là cỏc phương trỡnh vi phõn hoặc vi phõn đại số, do vậy việc giải cỏc phương trỡnh chuyển động của cơ hệ được chuyển về giải cỏc phương trỡnh vi phõn và vi phõn đại số. - Việc giải phương trỡnh vi phõn thường (ODE) và phương trỡnh vi phõn đại số (DAE) được trỡnh bày cụ thể ở phần dưới đõy. - Giải phương trỡnh vi phõn thường. - Ta xột phương trỡnh vi phõn thường: ()yxfy. - Bài toỏn (2.2.1) cú thể mở rộng cho n hệ phương trỡnh vi phõn cấp 1: ()nyyyxfy nyyyxfy . - x= (2.2.6) Với điều kiện đầu: ()0yy =0x (2.2.7) Trong đú: []Tnyyy ,...,,21=y []Tnyyy y' []Tnfff ,...,,21=f []Tnyyy y Trong thực tế ta thường gặp bài toỏn ở dạng phương trỡnh vi phõn cấp cao. - Xột phương trỡnh vi phõn cấp n nnyyyyxfy (2.2.8) Với cỏc điều kiện đầu: ()()00iiyy = i=0,1,2,…,(n-1) Trong đú ta ký hiệu ()iy là đạo hàm cấp i của hàm số ()xyy = Ta chuyển hệ (2.2.8) sang hệ (2.2.3) bằng cỏch dưa ra nnyyyyyyyy Do đú ta cú hệ phương trỡnh gồm n phương trỡnh vi phõn cấp một: 21' yy = 32' yy. - nnyxyyxyyxy Do đú,bài toỏn giải cỏc phương trỡnh vi phõn cấp cao cũng cú thể đưa về dạng cú thể ỏp dụng cỏc thuật toỏn để giải phương trỡnh vi phõn thường (2.2.1). - 2.1.Tổng quan về phương phỏp số. - Cú 2 nhúm phương phỏp sau để giải phương trỡnh vi phõn thường. - Phương phỏp chớnh xỏc Là phương phỏp dựa vào cỏc tớch phõn trực tiếp thụng qua cỏc tớch phõn cơ bản tỡm ra cỏc nghiệm ở dạng khộp kớn. - Phương phỏp gần đỳng Theo phương phỏp này chỉ tỡm cỏc xấp xỉ của nghiệm chớnh xỏc được xỏc định từ điều kiện đầu. - Cỏc phương phỏp này cú ưu điểm là tổng quỏt và được sử dụng rộng rói hơn. - Ta chủ yếu tập trung vào nhúm phương phỏp này. - Ở nhúm phương phỏp thứ hai, người ta cú nhiều sơ đồ thuật giải như phương phỏp Euler, phương phỏp Runge-Kutta, phương phỏp của Adams, phương phỏp sai phõn, phương phỏp predictor-correctorr… Sau đõy ta tập trung xột 2 phương phỏp Euler và Runge-Kutta:
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt