Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
H - B T - PH
NG TRÌNH
TRONG CÁC Đ THI THỬ NĂM 2016
Bài 1: Ồi i h ph
3 x y 1 x 3 2 y 2 9 x 5
ng trình:
.
3
3
2
2
x y 12 x 3 y 3 y 6 x 7
L n
– THPT ANồ Ở N
L i gi i tham kh o
x 3
Điều Kiện :
y 1
Phương trình thứ tương đương với ( x 2)3 ( y 1)3 y x 1 (3)
Thay
v|o phương trình thứ nhất ta được
3 x x 2 x3 2 x 2 5 x 3 điều kiện 2 x 3
3 x x 2 x3 2 x 2 5 x 3 3 x x 2 3 x3 2 x 2 5 x 6
2( (3 x)( x 2) 2)
x3 2 x 2 5 x 6
3 x x 2 3
2( x 2 x 2)
( x 1)( x 2)( x 3)
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2( x 2 x 2)
( x 2 x 2)( x 3)
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2
( x 2 x 2)(
( x 3)) 0
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
2
( x 3) 0
Do điều kiện 2 x 3 nên
( 3 x x 2 3)( (3 x)( x 2) 2)
Suy ra x2 x 2 0 x 1; x 2 thoả mãn điều kiện.
Khi x 1 y 0 TMĐK
Khi x 2 y 3 TMĐK
V y hệ đã cho có hai nghiệm -1;0), (2;3)
Bài 2: Ồi i ph
ng trình x3 x 2 x 2 1 x 6 .
L n
– TồPT B C YÊN TồÀNồ
L i gi i tham kh o
ĐK x 0 . Nh n thấy
y khẫng l| nghiệm của hệ phương trình. Xét x 0 .
1 1 1
1 (1) Xét hàm số f t t t t 2 1
Từ phương trình thứ ta có 2 y 2 y 4 y 2 1
2
x x x
2
1
t
1
có f ' t 1 t 2 1
0 nên h|m số đồng bi n. V y 1 f 2 y f 2 y .
x
x
t 2 1
Xét h|m số f t t t t 2 1 có f ' t 1 t 2 1
1 f 2 y
1
1
f 2y .
x
x
t2
t 2 1
0 nên h|m số đồng bi n. V y
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 1
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x x 2 x 1 x 6
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Thay v|o phương trình
3
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2
V tr{i của phương trình l| h|m đồng bi n trên 0; nên có nghiệm duy nhất
1
x 1 v| hệ phương trình có nghiệm 1; .
2
2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y
ng trình:
2
2
9
3 2 x y 3 4 5x 2 x y 9
Bài 3: Ồi i h ph
x, y .
L n 1– THPT B O Tồ NỒ Ở
L i gi i tham kh o
2 x y 0
ĐK :
4
x 5
”i n đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có
2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y x y 1 2x y 3 0 y x 1
Với y x 1 thay v|o phương trình thứ hai ta được phương trình sau
2
2
9
3 x 1 3 4 5x x 10
2 x 10 6 x 1 4 5x 9 9 3 x 1 3 4 5x x 1 4 5x
x 1 4 5x 3 9 x 1 9 4 5x 4x 41 0
4
( Do x 1; nên 9 x 1 9 4 5x 4x 41 0 )
5
x 1 4 5x 3 0
x 1 4 5x 3 2 x 1. 4 5x 4 4x
x 1 0
x 1
x 1. 4 5x 2 x 1 0
x 0
4 5x 2 x 1
Với x 0 y 1; x 1 y 2
Đối chi u với điều kiện v| thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho có nghiệm
( x; y) (0; 1);( x; y) (1; 2)
Bài 4: Ồi i ph
ng trình:
x
1
x2
x
3
2x
2 3 2x
1
3
1
.
L n 1 – THPT BÌNH MINH
L i gi i tham kh o
Điều kiện x
1, x
13
x x6
( x 2)( x 1 2)
1
3
3
2x 1 3
2x 1 3
3
(2 x 1) 2 x 1 ( x 1) x 1 x 1
Pt x 1 2
2
H|m số f (t ) t 3 t đồng bi n trên
x= khẫng l| nghiệm
do đó phương trình 3 2 x 1 x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 2
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 1/ 2
x 1/ 2
3 2
2
3
(2 x 1) ( x 1)
x x x 0
x 1/ 2
1 5
1 5 x 0, x 2
x 0, x
2
V y phương trình có nghiệm S
Bài 5: Ồi i h ph
1
Đặt đk x , y 2
2
{0,
1
5
2
}
32 x5 5 y 2 y ( y 4) y 2 2 x
ng trình:
x, y .
3
(
y
2
1)
2
x
1
8
x
13(
y
2)
82
x
29
L n – TồPT B ồ
L i gi i tham kh o
+) (1) (2 x)5 2 x ( y 2 4 y) y 2 5 y 2 (2 x)5 2 x
y 2 y 2(3)
5
Xét h|m số f (t ) t 5 t , f '(t ) 5t 4 1 0, x R , suy ra h|m số f t liên tục trên R. Từ
f (2 x) f ( y 2) 2 x y 2 Thay 2 x
Thay 2 x y 2( x 0) v|o
y 2( x 0) v|o
được
(2 x 1) 2 x 1 8 x 3 52 x 2 82 x 29
(2 x 1) 2 x 1 (2 x 1)(4 x 2 24 x 29) (2 x 1)
1
x
2
2
2 x 1 4 x 24 x 29 0(4)
1
Với x . Ta có y=3
2
(4) ( 2 x 1 2) (4 x 2 24 x 27) 0
được
2 x 1 4 x 2 24 x 29 0
2x 3
(2 x 3)(2 x 9) 0
2x 1 2
x 3 / 2
1
(2 x 9) 0(5)
2 x 1 2
3
Với x . Ta có y=11 Xét (5). Đặt t 2 x 1 0 2 x t 2 1 . Thay vao
2
1 29
t 3 2t 10 21 0 (t 3)(t 2 t 7) 0 . Tìm được t
.
2
Xét . Đặt t 2 x 1 0 2 x t 2 1 . Thay vao
được
t 3 2t 10 21 0 (t 3)(t 2 t 7) 0 . Tìm được t
Từ đó tìm được x
ta có
13 29
103 13 29
,y
4
2
được
1 29
.
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 3
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x3 y 3 3x 2 3 y 2 24 x 24 y 52 0
ng trình: x 2
.
2
y 1
4
L n 1 – THPT CAM RANH
L i gi i tham kh o
Bài 6: Ồi i h ph
2 x 2
Đk
.
1 y 1
Đặt t y 2 . ”i n đổi phương trình đầu về dạng. x3 3x2 24x t 3 3t 2 24t
Xét h|m số f x x3 3x 2 24 x liên tục trên 2; 2
Chứng minh được x=t=y+
x 2
x y 2
x y 2
y 0
Hệ pt được vi t lại x 2
y
0
2
x 6 / 5
y 1
y 4 / 5
4
y 4 / 5
K T LU N
x 3 - 6x 2 + 13x = y 3 + y + 10
ng trình:
3
2
2x + y + 5 - 3 - x - y = x - 3x - 10y + 6
L n
L i gi i tham kh o
Bài 7: Ồi i h ph
.
– THPT CAM RANH
x 3 6x 2 13x y3 y 10 x 2 ( x 2) y 3 y (*)
XÉT PT(1):
3
Xét h|m số f t t 3 t . Ta có f ' t 3t 2 1 0t
Do đó * y x 2 . Thay y x 2 v|o
3x 3 3 1 5 2 x x3 3 x 2 10 x 24
3 x 2
2 x 2
3x 3 3 1 5 2 x
f t đồng bi n trên
3x 3 5 2 x x 3 3x 2 10 x 26
5
ĐK : x 1 )
2
ta được
x 2 x 2 x 12
x 2
3
2
x 2 x 12 (3)
3x 3 3 1 5 2 x
5
vẫ nghiệm vì với x 1 thì x2 x 12 0 .
2
x
2
Hệ có nghiệm duy nhất
y 0
PT
Bài 8: Ồi i b t ph
ng trình:
x3
3 x1 x 3
2 9x
.
x
L n 1– THPT CAO LÃNH 2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 4
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
L i gi i tham kh o
Điều kiện 1 x 9; x 0
(1)
x 2 3x 2 9 x x 3 3 x 1
x x 3 3 x1
0
( x 3)2 9( x 1) 2 9 x x 3 3 x 1
x 3 3
x x 3 3 x1
x1 x 33 x1 2 9 x
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x x 3 3 x1
0
0
x 1 x 1 3 2 1 9 x
x 33 x1 2 9 x
0
0
x
x
x8
x1
x8
2
00x8
0
x x 1 3 1 9 x
x
K t hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình l| 0 x 8
ng trình: x2 + x – 1 (x + 2) x 2 2 x 2
L n 1 – THPT chuyên LÊ QÚY ĐÔN - KH
L i gi i tham kh o
Bài 9: Gi i b t ph
TA CÓ : x2 2x – 7 + (x + 2)(3 x 2 x 2 ) 0 (x2 2x – 7)
2
( x 1) 1 x 1 x 1 nên :
Vì:
2
( x 1)2 1 ( x 1)
3 x 2 2 x 2
> 0 , x.
( x 1)2 1 ( x 1)
3 x 2 2 x 2
0.
x2 – 2x – 7 0 x 1 2 2 1 + 2 2 x
V y bất pt có t p nghiệm: S = (;1 2 2 ] [1 + 2 2 ;+)
Bài 10: Ồi i b t ph
ng trình: x3 x 2 2 3 3x 2 ..
L n 1 – THPT chuyên NỒUYỄN ồU
L i gi i tham kh o
x3 x 2 2 3 3 x 2
x3 3 x 2 2 3 3 x 2 2 x
x 3x 2 2
3 x 2 x3
3
3
3x 2 x 3 3x 2 x 2
2
2
x3 3 x 2 1
0
2
2
3
3
3x 2 x 3x 2 x
2
x3 3 x 2 0 1
0, x
2
2
3
3
3
x
2
x
3
x
2
x
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 5
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 1
x 2
V y t p nghiệm của bất phương trình l| 1 .
x 3 y3 3x 2 3x 6y 4 0
ng trình:
.
3
y
x
y
x
2
3
7
13
3
1
L n – THPT CồUYÊN NỒUYỄN ồU
L i gi i tham kh o
Bài 11: Ồi i h ph
ta có x3 3 x y 1 3 y 1
Từ phương trình
Xét h|m số f t t 3 3t , f t 3t 2 3
3
f t 0 với mọi t suy ra h|m số f t đồng bi n trên
f x f y 1 x y 1 Th x y 1 v|o phương trình
Th x y 1 v|o phương trình
x 1
2 x 3 3 7 x 6 3 x 1
.
ta được
ta được
3
Ta có x 1 khẫng l| nghiệm phương trình. Từ đó
3 x
2x 3 3 7 x 6
x 1
3 x
Xét h|m số g x 2 x 3 3 7 x 6
x 1
3
TXĐ D \ 1
2
1
7
6
g x
2 x 3 33 7 x 6 2 x 12
3
3
g x 0 ; x 1, g khẫng x{c định.
2
2
3
H|m số đồng bi n trên từng khoảng ;1 và 1; .
2
Ta có g 1 0; g 3 0 . Từ đó phương trình g x 0 có đúng hai nghiệm x 1 và
x 3.
V y hệ phương trình có hai nghiệm 1; 2 và 3; 2 .
Bài 12: Ồi i h ph
xy ( x 1) x 3 y 2 x y
ng trình:
.
2
2
3
y
2
9
x
3
4
y
2
1
x
x
1
0
L n 1 – THPT CồUYÊN Ở N LA
L i gi i tham kh o
y x
”i n đổi PT (1) x y x y 1 0
2
2
y x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 6
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
3x 2 9 x 2 3 4 x 2
ta được 2 x 1
x = y th v|o PT
Xét f (t ) t
2 x 1
t 2 3 2 có f '(t ) 0, t.
y x2 1
Th vào (2) 3( x 2 1) 2 9 x 2 3 4 x 2 1 2
V tr{i luẫn dương, PT vẫ nghiệm.
1
5
V y hệ có nghiệm duy nhất: ;
Bài 13: Ồi i h ph
1
.
5
x 1 y 1
y 1
2 x 1 x 2 x 1
2
Ta co y
x2
1
x 1
x, y .
L n 1 – THPT CồUYÊN VơNồ PồÚC
L i gi i tham kh o
1 x x2 1 0
x3 x x 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
x
x
y 1 .
y
1
x 1
x 1
có f t 3t 2 1 0t
Xét h|m số f t t 3 t trên
3
1
1
y
y x2 1
5
5
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
ng trình:
3x 2 8 x 3 4 x 1 y 1
x 1
Điều kiện
y 1
x3 x 2 x
y 2
1
x 1
x
f
f
x 1
1 x x2 1 0
3 2 (3 x) 2 (3 x) 2 3
f 2 x 1 f 3 x
f l| h|m số đồng bi n nên 2 x 1 3x x
2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2
suy ra f(t) đẫng biên trên
x
y 1 . Thay vao (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
x 1
x 1
2
x 3 2 3
x 6x 3 0
2 x 1 x 1
1
5 2 13
x
x
2 x 1 1 3 x
3
9
9 x 2 10 x 3 0
. Nên
43 3
5 2 13
41 7 13
y
. Vơi x
.
9
72
2
C{c nghiệm n|y đều th̉a mãn điều kiện .
5 2 13 41 7 13
43 3
;
Hệ phương trinh co hai nghiệm x; y 3 2 3;
& x; y
.
2
9
72
Vơi x 3 2 3 y
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 7
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
3
3
2
2
x y 8 x 8 y 3x 3 y
Bài 14: Ồi i h ph ng trình: 2
.
3
2
5 x 5 y 10 y 7 2 y 6 x 2 x 13 y 6 x 32
L n – THPT CồUYÊN VơNồ PồÚC
L i gi i tham kh o
x 2 0
x 2
Điều kiện :
y 7 0
y 7
3
3
Từ phương trình 1 ta có x 1 5 x 1 y 1 5 y 1
3
Thay 4 vào 2 ta được pt: 5 x 2 5 x 10 x 7 2 x 6 x 2 x3 13x 2 6 x 32 5
x 2
5x2 5x 10
x 7 3 2x 6
Xét hàm số f t t 3 5t , trên t p
5x
.
4
2
5x 10
Đ/K
x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 5
, f t 3t 2 5 0, t
hàm số f t đồng bi n trên
3 : f x 1 f y 1 x y
x 7 3 2 x 6 x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 5
Từ
5 x 2 5 x 10
2x 6
2
x 2
x 2 x 5
x2 2
x7 3
4
x 2
y 2 x; y 2;2 th̉a mãn đ/k
5 x 2 5 x 10 2 x 6
5 x 2 5 x 10
2x 6
0
5
2
x7 3
x2 2
5 x 2 5 x 10
2x 6
4
y 2 x; y 2;2
x 2 5 0 x 2
x 2
x2 2
x7 3
đ/k
1
1
1
1
5 x 2 5 x 10
2x 6
0 pt n|y vẫ nghiệm
x 7 3 5 0,x2 x 2 2 2
0,x2
0,x 2
0,x 2
V y hệ phương trình có một nghiệm duy nhất
Bài 15: Ồi i b t ph
th̉a mãn
ng trình:
x; y 2; 2
x2 2
6 x 2x 4 2 x 2
2
1
.
2
L n 3 – THPT chuyên VơNồ PồÚC
L i gi i tham kh o
Điều kiện : x 2
Do đó bất phương trình 2
x 2 2 6 x2 2 x 4 2 x 2
2 x 2 2 x 12 x 2 6 x 2
Ta có
2
6 x 2x 4 2 x 2
2
2 x2 2 x 4
6 x2 2 x 4 2 x 2
x 2 2 6 x2 2 x 4 2 x 2
1
0, x 2 Do đó bất phương trình
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 8
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Nh n xét x 2 không là nghiệm của bất phương trình
t 1
2 2t 0
t2
2 2t 12 6t 2
2
2
2
2 t 2 0
4 8t 4t 12 6t
Khi
2 2
x 2
chia
hai
v
x
x
12 6
x2
x2
bất
2
phương
2 . Đặt t
trinh
1
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
cho
x2 0
2
thì bất phương trình
Bất phương trình có nghiệm duy nhất x 2 2 3 .
được
x 1 97 y 2 y 1 97 x 2 97( x 2 y 2 )
ng trình:
( x, y ). .
27 x 8 y 97
L n
Điều kiện 0 x , y
được
x
thì bất phương trình 2 được
x2
x 0
x
. xĐặt
t 2
2 2
2 2 3 .
x2
x 4 x 8 0
Bài 16: Ồi i h ph
ta
– THPT CồUYÊN ồ
LONỒ
L i gi i tham kh o
1
97
1
1 1
1
Thay ( x; y) bằng một trong c{c cặp số (0; 0), 0;
'0 ,
;
,
vào (1), (2) ta
97
97
97
97
1
thấy c{c cặp n|y đều khẫng l| nghiệm. Do đó 0 x , y
97
1
nên 0 a, b 1 . Khi đó
trở th|nh
Đặt 97 x a, 97 y b . Do 0 x , y
97
a 1 b b 1 a a2 b2 a a 1 b2 b b 1 a2 0
a
b
( a 2 b 2 1)
2
b 1 a2
a 1 b
1
2
2
2
2
.
0 a b 1 . Suy ra x y
97
Với c{c số dương a1 , a2 , b1 , b2 , ta có a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 . Đẳng thức xảy ra khi v| chỉ
khi a1b2 a2b1 . Th t v y,
a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 a1b1 a2 b2 a12 a22 . b12 b22 a1b2 a2 b1 0
2
Do đó 27 x 8 y 97 9 x 4 y 97
Đẳng thức xảy ra khi x = y v| x 2 y 2
9 4
pt đã cho l| x; y ;
97 97
97 x 2 y 2 97 (do x 2 y 2
2
1
)
97
1
Đối chi u với điều kiện ta được nghiệm của hệ
97
9 4
Đối chi u với điều kiện ta được nghiệm của hệ pt đã cho l| x; y ;
97 97
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 9
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
2x x 2 3y 2 7
ng trình:
.
2
2
x 6xy y 5x 3y
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Bài 17: Ồi i h ph
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
L n 1 – THPT CHUYÊN LONG AN
L i gi i tham kh o
uv
x
x y u
2 . Ta có hệ phương trình
Đặt
x y v y u v
2
Lấy
nh}n với − rồi cộng với
ta được
u3 v3 7(1)
2
2
2u 4u v v(2)
u3 6u2 12u 8 v3 3v2 3v 1 0 u 2 v 1 0
3
3
u 1 v . Thay vào phương trình (2), ta được: v2 v 2 0
Thay v|o phương trình , ta được v2 v 2 0
v 1
1 3
+ v 1 suy ra u = 2. Suy ra x, y ,
2 2
v 2
1 3
+ v 1 suy ra u = 2. Suy ra x, y ,
2 2
1 3
+ v 2 suy ra u = − . Suy ra x, y ,
2 2
Bài 18: Ồi i h ph
Điều kiện x
Từ pt
x 3 y 3 3 y 2 3x 6 y 4 0
ng trình:
.
3 7 y 13 3( x 1)
y
2
x
3
L n 1 – TồPT CồUYÊN NỒUYỄN ồU
L i gi i tham kh o
3
2
3
ta có x 3x ( y 1)3 3( y 1)
f (t) 0 với mọi t suy ra h|m số đồng
Xét h|m số f (t ) t 3 3t ; f (t ) 3t 2 3 0, t
bi n trên
f (t) 0 với mọi t suy ra h|m số đồng bi n trên
Mà f ( x) f ( y 1) nên x y 1
Th x y 1 v|o pt
ta được ( x 1)
Ta có x 1 khẫng l| nghiệm của pt
Xét h|m số g( x) 2 x 3 3 7 x 6
3
T p x{c định D ; \1
2
1
7
6
g( x)
2
2 x 3 3 3 (7 x 6)2 ( x 1)
2x 3 3 7 x 6 3( x 1) (3)
. Từ đó
3( x 1)
x 1
2x 3 3 7 x 6
3( x 1)
x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 10
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
3
3
g( x) 0, x ; x 1, g khẫng x{c định.
2
2
3
H|m số đồng bi n trên từng khoảng ;1 và 1; . Ta có g( 1) 0; g(3) 0 . Từ đó pt
2
g( x) 0 có đúng hai nghiệm x 1 và x 3.
Ta có g( 1) 0; g(3) 0 . Từ đó pt g( x) 0 có đúng hai nghiệm x 1 và x 3.
V y hệ phương trình có hai nghiệm (1; 2) và (3; 2)
Bài 19: Ồi i b t ph
+ Đặt t = x2 – , bpt trở th|nh
( t 1)(
1
x 1
ng trình:
2
1
3x 5
2
2
x 2 1
2
.
L n 1 – THPT ĐA PồÚC
L i gi i tham kh o
1
1
2
ĐK t với đk trên, bpt tương đương
t 3
3t 1
t 1
1
1
) 2 . Theo Cô-si ta có:
t 3
3t 1
1 2t
11
2t
t
.
2 3t 1 2 2 3t 1
3t 1
t
t t 1 1 t
t 1
.
t 1 t 3 2 t 1 t 3
1
1 t 1 1 1
t 1
t 3
.
t 1 3t 1 2 t 1 3t 1
3t 1
1
1 2
11
2
.
VT 2t 0.
2 t 3 2 2 t 3
t 3
1 2t
11
2t
t
.
2 3t 1 2 2 3t 1
3t 1
1
1 t 1 1 1
t 1
.
t 1 3t 1 2 t 1 3t 1
3t 1
VT 2t 0.
+ Thay ẩn x được x2 2 x (; 2] [ 2; ) T (; 2] [ 2; ).
Bài 20: Ồi i ph
Điều kiện x
ng trình: 32 x 16 x 9 x 9 2 x 1 2 0 .
4
2
L n
– THPT ĐA PồÚC
L i gi i tham kh o
1
, phương trình đã cho tương đương
2
32 x 4 32 x 2 16 x 2 16 x 7 x 7 9 9 2 x 1 0
32 x 2 x 2 1 16 x x 1 7( x 1) 9 1 2 x 1 0
32 x 2 x 1 ( x 1) 16 x x 1 7( x 1)
9 2 2x
1 2x 1
18
x 1 32 x 2 ( x 1) 16 x 7
0
1 2x 1
18
x 1 32 x3 32 x 2 16 x 7
0 (*)
1 2x 1
0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 11
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Ta có
32
3
32 x 8 4
1
32
8 32 x 3 32 x 2 16 x 7 27
x 32 x 2
2
4
16
16 x 2 8
18
18
1 2x 1 1
1 2x 1
18
32 x 3 32 x 2 16 x 7
9 0.
1 2x 1
V y (*) x 1 .
K t lu n: Phương trình có nghiệm x = .
Bài 21: Ồi i h ph
2
x 3 xy x y y 5 y 4
ng trình:
.
2
4
y
x
2
y
1
x
1
L n 1 – THPT Pồ ỚC BÌNồ
L i gi i tham kh o
xy x y 2 y 0
Đk 4 y 2 x 2 0
. Ta có (1) x y 3
y 1 0
x y y 1 4( y 1) 0
Đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 )
Khi đó
ta được :
u v
Với u v ta có x 2 y 1, thay vào (2)
trở th|nh u 2 3uv 4v2 0
u 4v(vn)
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
Với u v ta có x 2 y 1, thay v|o
4 y 2 2 y 3 2 y 1
y 1 1 0
2
y 2
2
4 y 2 y 3 2 y 1
( vì
2
4 y 2 y 3 2 y 1
2
ta được :
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
2 y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
1
0 y2
y 1 1
y2
0
y 1 1
1
0y 1 )
y 1 1
Với y 2 thì x 5 . Đối chi u điều kiện ta được nghiệm của hệ PT l| 5; 2
Bài 22: Ồi i b t ph
ng trình:
x 1
x2 x 2 3 2 x 1
.
3
2x 1 3
L n
– THPT Pồ ỚC BÌNồ
L i gi i tham kh o
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 12
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
- ĐK x 1, x 13
x 1
- Khi đó:
x2 x 2 3 2 x 1
x2 x 6
x
1
2
3
3
2x 1 3
2x 1 3
1
x 2
3
x 1 2
2x 1 3
- N u 2 x 1 3 0 x 13 (1)
thì (*) 2 x 1 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1
, *
3
Do hàm f (t ) t 3 t l| h|m đồng bi n trên
f
3
2x 1 f
, mà (*):
x 1 3 2 x 1 x 1 x3 x 2 x 0
1 5 1 5 DK(1)
Suy ra: x ;
VN
0;
2
2
- N u 3 2 x 1 3 0 1 x 13 (2)
thì (2*) 2 x 1 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1
Do hàm f (t ) t 3 t l| h|m đồng bi n trên
f
3
2x 1 f
, mà (2*):
1
1 x 2
x 1 3 2 x 1 x 1 1 x 13
2
2
3
2 x 1 x 1
1 5
DK(2)
1 5
;
;13
Suy ra: x 1;0
x 1;0
2
2
1 5
;13
-KL: x 1;0
2
Bài 23: Ồi i h ph
x 2 xy 2y 1 2y3 2y 2 x
ng trình:
.
6
x
1
y
7
4x
y
1
L n 3 – THPT Pồ ỚC BÌNồ
L i gi i tham kh o
ĐK x 1 .
1 2y2 x 1 x y 0 y x 1 vì 2y2 x 0, x 1
Thay v|o
ta được 6 x 1 x 8 4x 2
4x 2 13x 10 0
2x 3 x 1
x 2 y 3
3
x
2
V y nghiệm của phương trình l| ( x; y) (2;3) .
Bài 24: Ồi i h ph
x 1 3 2x 2x x 1 3
2
2
2 x3 4 x 2 3x 1 2 x 3 2 y 3 2 y
ng trình:
3
x 2 14 x 3 2 y 1
1
2
.
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 13
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
L n 4 – THPT Pồ ỚC BÌNồ
L i gi i tham kh o
Ta thấy x 0 khẫng phải l| nghiệm của hệ, chia cả hai v của
4 3 1
1 2 2 3 2 2 y 3 2 y
x x
x
3
1 1
1 1 3 2 y 3 2 y 3 2 y *
x x
Xét hàm f t t 3 t luẫn đồng bi n trên
cho x3 ta được
* 1
1
3 2y
3
x
Th
v|o
ta được x 2 3 15 x 1 x 2 3 2 3 15 x 0
1
1
x 7
0
2
x 2 3 4 2 3 x 15 3 x 15
0
111
V y hệ đã cho có nghiệm x; y 7;
.
98
2 x y 6 1 y
ng trình:
9 1 x xy 9 y 0
Bài 25: Ồi i h ph
2
.
L n 5 – THPT Pồ ỚC BÌNồ
L i gi i tham kh o
x y 6 0
x 1
Đk
+ N u y 0 , để hệ có nghiệm thì 1 y 0 .
VT (1) 2 x y 6 2 5
VT (1) VP(1) hệ vẫ nghiệm.
VP(1) 1 y 1
+ N u y< , từ
suy ra x>
2
3
3
9 1 x xy 9 y 0
9
y 9 y (3)
x
x
9 2t 2
2
Xét h|m số f (t ) t 9 t , t 0; f '(t )
0t 0
9 t2
3
9
3
y x 2
(3) f
f ( y )
y
x
x
2
2
9
y 6 1 y
y2
. H|m số g ( y ) 2
Th v|o pt
ta có phương trình 2
y=- nên pt
có nghiệm duy nhất y=- . V y, hệ có nghiệm duy nhất
9
y6
y2
đồng bi n trên ;0 h|m số h(y)=1-y nghịch bi n trên ;0 v| phương trình có ngiệm
-3).
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 14
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Bài 26: Ồi i h ph
ng trình:
x y 4 0
Điều kiện
x y 4 0
ta được
2 y x 1 th
x 1
2
x 1
x 2
x 1 x 2
x2 x 6
2
x
y
x
y
x3
4
2x 2
3
y
x
y
3
1
L n 1 – THPT ồÙNỒ V
L i gi i tham kh o
x 2
.
NỒ – BÌNồ Pồ ỚC
2 x 3 x3 x 2 x 2
2; 2 1
x 1 x 2
x 1 3x 2 9x 2 .
L n – TồPT ồÙNỒ V
L i gi i tham kh o
NỒ – BÌNồ Pồ ỚC
2
x 1 1
x 5x 6 x 2
2
x 1 3x 2 9x 2
2 x
x 1 2
x 1 2
x 2 5x 6
2
5x 6
x 1 1
x 2
1
x 2 5x 6
2 0
x 1 2
x 1 1
2
x 1 1
1
2
x 5x 6
0
x 1 2
x 1 1
x 1;2 3;
x2
x 1 1 x 2 x 1 2 2x 10x 12
x 6 x 2 x 2 x 3
2x 10x 12
x 6
x
x
ng trình: x 2 x 6
Bài 27: Ồi i b t ph
2
x2
2
2 x 3 x 1 4 2 x 3 2 x 8 0
Hệ có nghiệm x; y 1; 2 ,
x
x
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2
2
2
y 1 2 y 1 x x xy 3 y
Bài 28: Ồi i h ph ng trình:
.
2
2
x
y
3
y
3
x
7
L n 1 – THPT Đ NỒ ợOÀỔ
L i gi i tham kh o
2
Đk y 1, x 0, y 3 x
Từ pt
ta có
1
2 y 1 x 0
y 1 x
y x 1
Suy ra, y = x + 1
Thay vào pt
ta được
x2 x 1 x2 x 1 7 3
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 15
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Xét h|m số f ( x) x2 x 1 x2 x 1
Chứng minh h|m số đồng bi n
Ta có nghiệm duy nhất x =
V y nghiệm của hệ l|
Bài 29: Ồi i h ph
ng trình:
x2
y2
x
y
2xy
x y
x2 y
1
.
L n
– THPT Đ NỒ ợOÀỔ
L i gi i tham kh o
Điều kiện x y 0 .
1
2
2
0 ( x y 1)( x y x y ) 0
xy
(1) ( x y)2 1 2 xy 1
x y 1 0 (vì x y 0 nên x 2 y 2 x y 0 )
ta được 1 x 2 (1 x ) x 2 x 2 0 x 1 y 0
x 2 y 3
Thay x 1 y vào
V y hệ có
nghiệm x y =
Bài 30: Ồi i h ph
, x y = –2; 3)
2y
x
ng trình:
x
3
1
5
2xy y
1
2x 2
x
5x
10y
8x
2y
2
4y (y
6
0
1)
.
L n 3 – THPT Đ NỒ ợOÀỔ
L i gi i tham kh o
+ Điều kiện
x
2y
5
x
2y
x
x2
Dễ thấy x 2
y
x
2y 2
x
2y
2y 2
1
2
2x 2
x
2xy
2y 2
2x 2
8x
5
0
2y
5
4
2y
x
2y
2y
8x
2y
5
0
6
6
0
0
0
x2
y2
2xy
y2
0 vẫ nghiệm với x, y
R.
2x 2
6
1
5
2x 2
7x
x
8x
2y
2y
1
4
0
0
2y
x
1
5
0
y
Do đó hệ
2x
5
2xy
2
1
2y x 2
1
2xy
x
2y
x
2y
x
0
0
x
+Ta có hệ
1
5
x
6
0 (*)
x
2x 2
2y
Giải phương trình
+ Điều kiện
2x
1
1
2
x
5
7x
7
0 (*)
5
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 16
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
+ Phương trình 2x
x 4
2x 8
2x
1
3
1
5
1
(x
4
x
3
1
V y hệ có nghiệm x ; y
Bài 31: Ồi i h ph
5
Th v|o
1)
2x 2
7x
4
(2x
1)
0
4
y
0
0
1
1
3
1
(2x
5
1)
x
0 nên x
2
x
4;2 .
x x2 y 2 x2 2 x y 2 3
ng trình:
x, y
3 x3 2 x y 2 x 2 y 2 2
2
1
y
x
x
2x 1
.
L n – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG
L i gi i tham kh o
ĐK x y 2 0
Từ PT
4)(2x
x
0
1
1
5
2
2
2x
1
x
2x
Dễ thấy
3
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
tìm được x x y 2 x 2 x y 2
đưa về pt chỉ có ẩn x
1
1
2
2
Đưa được về h|m 1 1 1 3 1
x
x
x
x
3
Xét hàm f t t 3 t đồng bi n trên »từ đó được pt 1
5 1
5 1
L , x
N
2
2
5- 1
Nghi m
; ± 5 - 2
2
x
1 3
2
1 giải được
x
x
x y x y 2
ng trình:
.
2
2
2
2
x y 1 3 x y
L n 1 – THPT NỒUYỄN ồỮU C Nồ
L i gi i tham kh o
Điều kiện x+y 0, x-y 0
u v 2 (u v)
u v 2 uv 4
u x y
u 2 v2 2
ta có hệ u 2 v 2 2
Đặt
v x y
uv 3
uv 3
2
2
u v 2 uv 4
(1)
(u v) 2 2uv 2
. Th
v|o
ta có
uv 3 (2)
2
Bài 32: Ồi i h ph
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 17
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv ) 2 uv 0 .
uv 0
K t hợp
ta có
u 4, v 0 (vì u>v).
u v 4
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Từ đó ta có x =2; y = . Th̉a đ/k
KL V y nghiệm của hệ l| x; y)=(2; 2)..
Bài 33: Ồi i h ph
ĐK x 2, y
( x y )( x 2 xy y 2 3) 3( x 2 y 2 ) 2
ng trình:
.
2
4 x 2 16 3 y x 8
L n – THPT NỒUYỄN ồỮU C Nồ
L i gi i tham kh o
16
3
3
(1) ( x 1) ( y 1)3 y x 2 Thay y=x- vao
được
4( x 2)
3( x 2)
4 x 2 22 3x x 2 8
( x 2)( x 2)
22 3x 4
x22
x 2
3
4
( x 2)
0(*)
x 2 2
22 3 x 4
Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x > nên h|m số đồng bi n. suy ra x=- l| nghiệm duy nhất
của *
KL HPT có nghiệm
, -1;-3)
Bài 34: Ồi i h ph
x x 2 x 4
ng trình:
2
2
x y x y 44
y 1 y 3 y 5
.
L n 3– THPT NỒUYỄN ồỮU C Nồ
L i gi i tham kh o
Xéth|m số f t t t 2 t 4 trên 0; , có
f t
1
2 t
1
1
0, t 0;
2 t 2 2 t 4
Nên (1) x x 2 x 4
Thay (*) vào (2):
Nh}n
y 5 4 y 5 2
y 3 y 2 1
với lượng liên hợp 5
(3), (4) y 3 3 y 6
y 5 x y 5 (*)
(3)
y 3 y 2 (4)
ĐS 1; 6
Bài 35: Ồi i h ph
Đk x 1; y 0
x x2 y y x 4 x3 x
ng trình:
9.
x y x 1 y( y 1)
2
L n 1– THPT ồÀ ồUY T P
L i gi i tham kh o
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 18
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
pt(1) x x 2 y y x x 2 x x x
x
y x
1 0
x2 y x2 x
x
x2 y x2 x
L}̣p lu}̣n
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x2 y x2 x x y
1 0 vơi x 1; y 0
Vơi x y thay vao pt(2): x x x 1
x ( x 1)
’ Giải pt(2’) được: x
x x 1 2
Giải pt(2’) được: x
25
25
y
6
6
25 25
V}̣y hpt co nghiệm ;
6 6
Bài 36: Ồi i h ph
x x 1 8 0
2
9
2
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
ng trình:
3x 2 8 x 3 4 x 1 y 1
25
25
y
6
6
x, y R .
L n
– THPT ồÀ ồUY T P
L i gi i tham kh o
x 1
Điều kiện
y 1
3
x x2 x
y 2
1
x 1
x 1 y 1
x3 x x 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
x
x
y 1 .
y
1
x 1
x 1
Xet ham sô f t t 3 t trên R có f t 3t 2 1 0t R suy ra f(t) đẫng biên trên R. Nên
3
y 1
x
x
f
y 1 . Thay vao (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
f y 1
x 1
x 1
3
Xét h|m số f t t t trên R có f t 3t 2 1 0t R suy ra f(t) đẫng biên trên R. Nên
x
f
f
x 1
2 x 1 x 2 x 1
2
Ta co y
x2
1
x 1
2
x
y 1 . Thay vao (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
x 1
x 1
2
x 3 2 3
x 6x 3 0
2 x 1 x 1
1
5 2 13
x
2
1
1
3
x
x
x
3
9
9 x 2 10 x 3 0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 19
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
43 3
5 2 13
41 7 13
. Vơi x
.
y
9
72
2
C{c nghiệm n|y đều th̉a mãn điều kiện .
43 3
KL: Hệ phương trinh co hai nghiệm x; y 3 2 3;
2
5 2 13 41 7 13
& x; y
;
.
9
72
Vơi x 3 2 3 y
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
ng trình: 1 x x2 1 x2 x 1(1 x2 x 2) .
L n – THPT ANH Ở N
L i gi i tham kh o
”ất phương trình đã cho tương đương
Bài 37: Ồi i b t ph
( x x2 1 x2 x 1 x2 x 2) (1 x2 x 1) 0
( x 1)(2 x 2 x 2)
x(1 x)
0
x x2 1 x2 x 1 x2 x 2 1 x2 x 1
2 x2 x 2
x
( x 1)(
)0
x x2 1 x2 x 1 x2 x 2 1 x2 x 1
2 x2 x 2
x
với A
( x 1).A 0
x x2 1 x2 x 1 x2 x 2 1 x2 x 1
2
2
x x 1 x 1
x2 x 1 x2 x 2 x x2 1
N u x 0 thì
2
x x 2 x
x2 x 1 x2 x 2 x x2 1 0 A 0
N u x> , {p dụng bất đẳng thức “M-GM ta có:
2
3
x2 x 1 x2 x 2
2
x2 x
x x 1 x x 2
2
2
2
2
x x2 1 x x 1 x2 1
2
2
x2 x 1 x2 x 2 x x2 1 2 x2 x 2
x
x
1
A 1
0 vì
1 x2 x 1
1 x2 x 1
Tóm lại , với mọi x ta có “> . Do đó
tương đương x 1 0 x 1 .
V y t p nghiệm của bất phương trình đã cho l| (1; ) .
Chú ý : Cách . Ph ng pháp hàm s
Đặt u x 2 x 1 u 2 x 2 x 1 th v|o bpt đã cho ta có
u 2 x 2 x x x 2 1 u (1 u 2 1)
u2 u u u2 1 x2 x x x2 1
Xét f (t ) t 2 t t t 2 1 )
f ' (t ) (t t 2 1) 2 t 2 1 0t nên h|m nghịch bi n trên R
Do đó bpt u x x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 20
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Bài 38: Ồi i h ph
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2 x 2 y 2 2 x 1 x 2 2 x 3 4 x 2 y 1
ng trình:
x, y .
2
xy 2 y 1 x 2 x
L n 1 – THPT TồỰC ồÀNồ CAO NỒUYÊN
L i gi i tham kh o
Từ phương trình thứ hai của hệ ta có y 1 x2 2 x
Thay v|o phương trình thứ nhất ta được
x 1 1 x 1
t
f t t 1 t 2 2 f ' t 1 t 2 2
0, t
t2 2
2
2 x 1
x
2
2
2
1
Cho ta x 1 x x y 0 . Nghiệm của hệ
2
Bài 39: Ồi i b t ph
ng trình:
5x
2
x; y
1
;0
2
5x 10 x 7 2 x 6 x 2 x3 13x 2 6 x 32 .
L n 1 – THPT ĐOÀN TồỊ ĐỔ M
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 2 . ”ất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(5 x 2 5 x 10)
x 7 3 (2 x 6)
x3 13x 2 6 x 32
(5x2 5x 10)
x 2 2 3(5 x 2 5 x 10) 2(2 x 6)
x 7 3 (2 x 6)
x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 0
5 x 2 5 x 10
2x 6
x 2
x2 5 0
x22
x7 3
1
1
2x 6
2x 6
Do x 2 x 2 2 2
và vì 2 x 6 0
x 3 (1)
2
x2 2 2
x2 2
1
1
Do x 2 x 7 3 5 3 5
và vì 5x2 5x 10 0 x
x7 3 5
2
2
5 x 5 x 10 5 x 5 x 10
5 x 2 5 x 10
x2 x 2
x 2 5 x 3 (2)
5
x7 3
x7 3
2
5 x 5 x 10
2x 6
x 2 5 0 . Do đó * x 2 0 x 2
Từ (1) và (2)
x7 3
x2 2
K t hợp điều kiện x 2 2 x 2 .
x y 1 x 1 x 3 y 2 x 3 y 2
Bài 40: Ồi i h ph ng trình:
.
2
x 2 y 4 x 2 x 4 y 2
L n 1 – THPT ĐOÀN Tồ
NỒ
L i gi i tham kh o
2
2
ĐKXĐ x 2, y 4 . (1) y ( x x 3) y x3 x2 2 x 2 0
Giải pt b c
ta được y x 1 hoặc y x 2 2 Với y x 1 thay v|o PT
ta được
x 2 x 5 x2 2x 4 x 1
Với y x 1 thay v|o PT
ta được
x 2 x 5 x2 2x 4 x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 21
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x2
f '(t ) 1
x2
t
t 3
2
2
3 x 1 ( x 1) 2 3 Xét
0, t
f (t ) đồng bi n trên
Xét h|m số f (t ) t t 2 3 có f '(t ) 1
V y f
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
t
t2 3
hàm
0, t
f (t ) đồng bi n trên
x 1
x 1 0
x 2 f x 1 x 2 x 1
3 13
2
x 2 ( x 1)
x
2
x 2 x2 6 x2 2x 4 x2
x 2 1
ta được
Bài 41: Ồi i h ph
.
x2 6 x2 2x 4 x2 1
x 1
2x 2
( x 1)( x 1)
x 2 1
x2 6 x2 2x 4
x 1 0
x 1 y 3
1
2
x 1 x 7 y 81
4
16
x2 6 x2 2x 4
x 2 1
3 13 5 13
7 81
;
V y hệ có nghiệm l|
, 1;3 , ;
2
4 16
2
4 y x 2 7 2 y 85 50 x 7 y 13 y 2 x3
ng trình:
.
2 x 2 3xy 4 y 2 4 x 2 3xy 2 y 2 3( x y )
L n
-
Ta có 2 x 2 3xy 4 y 2 ( x
-
Nên
-
Tương tự
-
Cộng lại ta được
có
.
3 13
5 13
Với y x 2 2 thay v|o PT
y
2
2
2
ta được
Với y x 2 thay v|o PT
x
f (t ) t t 2 3
số
– THPT ĐOÀN Tồ
NỒ
L i gi i tham kh o
11 2 23
7 11
y) (x y) 2 ( x y) 2 .
6
36
6
6
7 11
7 11
7 11
2 x 2 3xy 4 y 2 ( x y)2 x y x y .
6
6
6
6
6
6
7
6
11 7
11 7
11 7
4 x 2 3xy 2 y 2 ( x y)2 x y x y
6
6
6
6
6
6
x y 0.
2 x 2 3 xy 4 y 2 4 x 2 3 xy 2 y 2 3( x y ) dấu bằng xảy ra khi
7 11 23
; ;
trên như sau :
6 6 36
2
2
2
2
2 x 3xy 4 y (ax by) c.(x y)
Do tính đối xứng nên giả sử : 2
2
2
2
4 x 3xy 2 y (b x ay) c.(x y)
Chú ý : Cách tìm các hệ số
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 22
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
a 2 c 2
Khai triển và đồng nhất hệ số ta có hệ số của x là b 2 c 4
a b 3 do VP 3(x y)
Trừ
từng
vế
cho
và
kết
hợp
với
,
7
11
23
a ; b ; c . PT (1) 4 x x 2 7 2 x 85 57 x 13x 2 x3
6
6
36
-
-
được
PT (1) 4 x x 2 7 2 x 85 57 x 13x 2 x3
4 x x 2 7 2x
5 x x 4 2 1
Áp dụng bất đẳng thức bunhia
copki ta có :
Áp dụng bất đẳng thức bunhia copki ta có :
VT 2 (4 x)2 12 .(x 2) (7 2 x) (4 x) 2 12 .(5 x)
4 x x 2 7 2x
-
ta
4 x
x2
1
7 2x
Bài 42: Ồi i ph
Dấu
bằng
xảy
ra
khi
x 3 , nghiệm (x; y) (3;3)
Dấu bằng xảy ra khi
-
5 x x 4 2 1
4 x
x2
1
7 2x
x 3 , nghiệm (x; y) (3;3)
ng trình: 3(2 x 2) 2 x x 6 .
L n 1 – THPT ĐÔNỒ DU
L i gi i tham kh o
ĐK x 2
3(2 x 2) 2 x x 6 2( x 3) x 6 3 x 2 0
8( x 3)
2( x 3)
0
x 6 3 x 2
x 3
x 3
8
0
2
x 6 3 x 2 4
x 6 3 x 2
x 3
x 11 3 5
2
V y pt có t p nghiệm S 3
Bài 43: Ồi i b t ph
ng trình:
2 x 7 5 x 3x 2 .
L n
– THPT ĐÔNỒ DU
L i gi i tham kh o
2
x 5 . ”i n đổi PT về dạng
3
2 x 7 3x 2 5 x
+ ”ình phương hai v , đưa về được 3x2 17 x 14 0
+ ĐK
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 23
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
+ Giải ra được x 1 hoặc x
14
3
+ K t hợp với điều kiện, nh n được
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2
14
x 1 hoặc
x5
3
3
x3 y 3 3 y 2 x 4 y 2 0
ng trình: 3
x x 3 2 x 2 y
Bài 44: Ồi i h ph
( x, y ) .
L n 3 – THPT ĐÔNỒ DU
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 2 .
(1) x3 x 2 y 3 3 y 2 4 y x3 x 2 y 1 y 1 2 . Xét hàm số f t t 3 t 2 trên
2; .
3
Xét h|m số f t t 3 t 2 trên 2; .
Ta có: f ' t 3t 2 1 0, t 2; .
Mà f t liên tục trên 2; , suy ra h|m số f t đồng bi n trên 2; .
Do đó x y 1. Thay y x 1 và phương trình (2) ta được: x3 3 2 x 2 1
Thay y x 1 v| phương trình
x3 8 2
x 2 2 x 2 x2 2x 4
x 2 x 2x 4
2
2 x 2
2
2
x2 2
x 2 x2 2x 4
x22
x2 0 x 2 y 3
x2 2 x 4
ta được x3 3 2 x 2 1
x22
0 x2 2 x 4
Ta có VT x 2 2 x 4 x 1 3 3;VP
2
x2 2
x2 2
2
x2 2
0
x2 2
2
(*)
2
1, x 2;
x2 2
Do đó phương trình * vẫ nghiệm.
V y hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2;3 .
Bài 45: Ồi i b t ph
ng trình:
x ( x 1) x3 5x 2 8x 6 ( x R )..
L n 1 – THPT Đ NỒ ỒỔA
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 0.
(1) x x x ( x3 6 x2 12 x 8) ( x 2 4 x 4) 2
( x )3 x x ( x 2)3 ( x 2)2 ( x 2) (2) Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t, có f’(t) = 3t2 + 2t +
1 > 0, t.
Xét h|m số f t = t3 + t2 + t, có f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0, t.
Do đó h|m số y = f t đồng bi n trên R, mặt kh{c
có dạng
f
x f x 2
x x2
(3).
+) Với 0 x 2 l| nghiệm của
.
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 24
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
+ Với 0 x 2 l| nghiệm của .
+ Với x > , bình phương hai v
ta được x2 5x 4 0 1 x 4
K t hợp nghiệm ta được < x 4 l| nghiệm của .
V y nghiệm của
l| 0 x 4 , c)ng l| nghiệm của bất phương trình .
Bài 46: Ồi i h ph
ĐK
2
2
x xy 2 y 2 y 2 x (1)
ng trình:
.
y
x
y
1
x
2.
(2)
L n
– THPT Đ NỒ ợOÀỔ
L i gi i tham kh o
x y 1 0.
(3)
x y
(1) x 2 y 2 xy y 2 2 y 2 x 0 ( x y )( x 2 y 2) 0
x 2 2 y (4)
Từ
&
Từ
&
ta có x=y=1.
y 0; x 2
x 2 2 y
ta có
y 1; x 8.
y
y
y
3
3
2
3
3
V y hệ phương trình đã cho có
Bài 47: Ồi i h ph
nghiệm x; y 1;1 ; x; y 2;0 ; x; y ; .
x 2 xy 2 y 2 3 y 1 y 1 x
ng trình:
.
3
6
y
2
x
3
y
7
2
x
7
8
3
1
3
L n 1 – THPT Đ NỒ Đ U
L i gi i tham kh o
x 0
Điều kiện 1 y 6
.
2 x 3 y 7 0
Với điều kiện trên ta có
y 1 x
(1)
( y 1 x)( y 1 x) y ( y 1 x) 0
y 1 x
1
( y 1 x)
y 1 x y 0
y 1 x
y x 1
1
y 1 x y 0 (*)
y 1 x
x 0
, suy ra phương trình * vẫ nghiệm
+ Với
1 y 6
+ Với y x 1 thay v|o
ta được 3 5 x 3 5x 4 2 x 7 (3)
4
Điều kiện
x 5 ta có :
5
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 25
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
(3) 7 x 3 5 x 3( x 5 x 4) 0
7 x
2
9 5 x
7 x3 5 x
3 x2 5x 4
x 5x 4
0
1
3
x2 5x 4
0
7 x 3 5 x x 5x 4
2
x 1
x 5x 4 0
x 4
1
3
0(VN )
7 x 3 5 x x 5x 4
V y hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( x; y) (1;2) và ( x; y) (4;5)
Bài 48: Ồi i h ph
3
2
3
2
2 x xy x 2 y 4 x y 2 y 1
ng trình:
.
2
4
x
x
6
5
1
2
y
1
4
y
2
L n
– TồPT ĐỨC TồỌ
L i gi i tham kh o
(1) ( x 2 y )(2 x y 1) 0 x 2 y . Thay v|o
ta có phương trình
2
2
4 x2 x 6 2 x 1 5 x 1 (3)
4 x 2 x 6 (1 2 x) 5 x 1
x 1 0 x 1
2
4 x x 6 1 2 x x 1 (4)
K t hợp
v|
4x x 6 1 2x
x 1
1
2 7
x
x
ta được 2 x 1 2 x 1
2
2
4 x 2 8 x 3 0
K t lu n Phương trình đã cho có
Bài 49: Ồi i h ph
x 1
2
nghiệm x 1; x
2 7
2
3
x 2 y 1 0
ng trình:
(3 x) 2 x 2 y 2 y 1 0
1
2
.
L n
– THPT CAM LÂM
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 2 va y
1
2
(2) 1 2 x 2 x 1 2 y 1 2 y 1
Xét h|m số f(t) = (1 + t2)t = t3 + t
f’ t = t2 + 1 > 0 t R. Vậy hàm số tăng trên R
(2) f
2 x f
2 y 1 2 x 2 y 1 2 – x = 2y – 1
2y = 3 – x
Thay vào (1): x3 + x – 2 = 0 x = . Nghiệm của hệ
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 26
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
5
4
10
6
x xy y y
ng trình:
2
4x 5 y 8 6
Bài 50: Ồi i h ph
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x, y .
L n
– THPT CAM LÂM
L i gi i tham kh o
ĐK x
5
4
N u y 0 thì từ phương trình
ta suy ra x 0 ,
th v|o phương trình
Đặt x=ky k
ta được
ta thấy khẫng th̉a mãn, v y y khác 0.
trở th|nh
k 5 y 5 ky 5 y10 y 6 k 5 k y 5 y (3).
Xét h|m số f (t ) t 5 t trên , ta có f '(t ) 5t 4 1 0t .
Do đó f(t) l| h|m số đồng bi n trên ,
Th v|o
v y (3) f (k ) f ( y ) k y x y 2 . Th vào (2) ta được
ta được
4 x 5 x 8 6 5 x 13 2 4 x 2 37 x 40 36
2 4 x 2 37 x 40 23 5 x
23 5 x 0
2
2
16 x 148 x 160 25 x 230 x 529
23
x
5 x 23
5
x 1
2 378 x 369 0
1
x
9
x
x 41
Với x=1 thì y 1 .
V y cặp nghiệm của hệ phương trình : x, y 1;1 ; x, y 1; 1
Bài 51: Ồi i h ph
x 2 y2
x 2 xy y 2
xy
ng trình:
2
3
x 2 xy 5 x 3 4 xy 5 x 3
L n
L i gi i tham kh o
Ta có
x 2 y2 1
1
= (x+y)2 + (x - y)2
4
4
2
x 2 y2
2
1
x
2
y
(1)
.
(2)
– THPT GDTX NHA TRANG
1
(x+y)2
4
1
(x+y) (3)
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 27
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x xy y
1
1
= (x+y)2 +
(x - y)2
4
12
3
2
và
Từ
2
x 2 xy y 2
3
1
x
2
y
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
1
(x+y)2
4
1
(x+y) (4)
2
x 2 y2
x 2 xy y 2
xy
2
3
và (4) suy ra
Đẳng thức xảy ra khi v| chỉ khi x = y v| x + y
(1)
x = y và x 0.
0.
Thay y = x v|o phương trình
ta được
x 2 x 2 5x 3 = 4x2 -5x –
+ Với x = thì x = khẫng phải l| nghiệm của phương trình ’ .
’
2
5 3
,
x x2
(t
+ Với x > thì
Đặt t =
2
5 3
5
3
2 =4–( + 2 )
x
x
x x
0),
ta có phương trình t2 + t – 6 = 0
- Với t =
2
’.
5 3
=2
x x2
t = hoặc t = –
2+
5
3
+ 2 =4
x x
loại
2x2 – 5x – 3 = 0
1
loại
2
V y hệ phương trình có nghiệm x; y 3;3 .
x=
hoặc x =
Bài 52: Ồi i h ph
x( x y ) y 2 4 x 1
ng trình:
.
2
2
x( x y ) 2 y 7 x 2
+ nh n thấy x= khẫng th̉a
L n
L i gi i tham kh o
– THPT GDTX NHA TRANG
y2 1
4
x
y
x
+ Khi x 0 ta có hệ tương đương
2
( x y ) 2 2 y 1 7
x
x y a
a b 4
ta có hệ phương trình 2
+ Đặt y 2 1
b
a 2b 7
x
a 3 a 5
giải ra ta có
b 1 b 9
x 2 x 5
+ Từ đó tìm được
y 1 y 2
Bài 53: Ồi i h ph
2 x3 4 x 2 3x 1 2 x 3 2 y 3 2 y
ng trình:
3
x 2 14 x 3 2 y 1
1
2
.
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 28
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
L n
L i gi i tham kh o
Ta thấy x 0 khẫng phải l| nghiệm của hệ, chia cả hai v của
4 3 1
1 2 2 3 2 2 y 3 2 y
x x
x
3
1 1
1 1 3 2 y 3 2 y 3 2 y *
x x
Xét hàm f t t 3 t luẫn đồng bi n trên
– TồPT ồ U LỘC
cho x3 ta được
* 1
1
3 2y
3
x
Th
v|o
ta được x 2 3 15 x 1 x 2 3 2 3 15 x 0
1
1
x 7
0
2
x 2 3 4 2 3 x 15 3 x 15
0
111
V y hệ đã cho có nghiệm x; y 7;
.
98
x
x6 .
2
L n – THPT HOÀNG HOA THÁM
L i gi i tham kh o
2
1
1
ĐK 5 x 1, đặt y 5 x 1 x 0 , PT y 2 y 3
x 6 x 6 3 (*)
2
2
1 2
Xét h|m số f t t t 3, t 0 , f / t t 1 0, t 0 nên h|m số luẫn đồng bi n trên
2
0; .
Bài 54: Ồi i ph
ng trình:
5 x 1 x 5 4x x 2
(*) f y f
x6
y x6 x
Bài 55: Ồi i h ph
Điều kiện
y 2
2 41 8
th̉a đk
5
2(4 x 3 y 3 ) 12 x 2 y 2 2 x( y 2 3) 1 0
ng trình:
.
2
3
y 2. x 5 x x 6
L n – THPT HOÀNG HOA THÁM
L i gi i tham kh o
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 29
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Từ phương trình (8 x 12 x 6 x 1) y (2 x 1) 2 y 0
2 x 1 y 3 (2 x 1) y 2 y 3 0
3
2
2
3
3
2 x 1 y (2 x 1) 2 y (2 x 1) 2 y 2 0
7 y2
y
(2 x 1 y ) (2 x 1 ) 2
0
2
4
y 2x 1
2
(2 x 1 y ) 2 7 y 0
2
4
y
2x 1 0
1
y 7y
x
2
Với 2 x 1
0 2
2
2
4
7 y 0
y 0
4
2
2
y 2 3 x 5 x 2 x 6 2. 3
Thay v|o phương trình
Với y 2x 1
9 1 1
6 vô lý.
2 4 2
2 x 3 0
2 x 1 3 x 5 x 2 x 6 Điều kiện 2
x2
x x 6 0
x2 x 6 2x 3 3 x 5 0
Suy ra :
x 2x 3
3
x 5 x x 1 3 x 5 2x 6 0
x( x 3 3x 2 2 x 6)
( x 2 2 x 3) 3 x 5
2x 6 0
x 2x 3
( x 1) 2 ( x 1) 3 x 5 ( 3 x 5) 2
2
3
x( x 2)
( x 1) x 5
0
x 3
2
2
x 2x 3 3
x 1 3( x 1) 2
x5
2
4
x3
x 1 2 x 3
x( x 2 2)
Vì x 2
4 0.
2
x 2x 3
x 1 3( x 1) 2
3
x5
2
4
K T LU N:
Bài 56: Ồi i b t ph
ng trình:
x
1
1 x 1
1
.
x
x
x
L n
.+ ĐK x [-1; 0) [1; + )
Lúc đó VP của
khẫng }m nên
x
L i gi i tham kh o
chỉ có nghiệm khi
1
1
1
1
1 x 1 x 1. V y
x
x
x
x
Trên (1; + ): (1) <=>
x 1 1
– TồPT ồ NỒ LơNồ
chỉ có nghiệm trên
x 1
x 1
x 1
1.
x
x
+ ).
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 30
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Do x 1
x 1 x 1
0 khi x > 1 nên:
x
x
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2
(1)
<=> x 1
x 1
x2 1
1
x2 1
2
1 x 2
1 0
x
x
x
x
x2 1
x2 1
x2 1
1 5
.
2
1 0 (
1)2 0 <=> x
2
x
x
x
x 1
V y nghiệm ”PT l|
1 5
x
2
<=>
Bài 57: Ồi i h ph
3
2
2
6 x 3x y y xy 3x 2
ng trình:
.
2
4
x
y
2
x
1
y
1
L n
HD: Coi phương trình
– TồPT ồ NỒ ỜUANỒ
L i gi i tham kh o
l| phương trình b c hai ẩn y, g{n x 1000 rồi bấm nghiệm ta được
ph}n tích nh}n dạng nh}n tử 1 y 3x 2
y 3x 2
y
x
2
1
0
y 2x 1
Từ phương trình
ta có y 1 nên y 3x 2 khẫng th̉a mãn.
Bài 58: Ồi i h ph
2016 x 2 x
504 y 2 y 1008
ng trình:
.
x 6 x 4 xy 1 8 xy 6 x 1
Thay y 2x 1 v|o phương trình
ta được 4 x2 2 x 3 x 1 2 x
Khảo s{t casio thấy x 2 l| nghiệm đơn nên có thể truy ngược dấu để liên hợp, hoặc bình
phương liên ti p khử căn.
ĐS x 2 y 5
L n
– TồPT ồ NỒ ỜUANỒ
L i gi i tham kh o
HD: Phương trình
tương đương
2016 x 2 x 2016 2 y 2 y
2
y
(Chú ý:
x
2
x 2 a x x x 2 a x 0 a 0 để đảm bảo kh{c khi liên hợp .
Thay vào (2):
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 31
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 2x2 6x 1 4x2 6x 1 0
25 x 2
x
2x2 6x 1 0
4
2
x 1
2 x 2 6 x 1 3x
x 3 11
2 x 2 6 x 1 2 x
2
2
x; y 1;
ĐS
1 3 11 3 11
;
;
2 2
4
ng trình: x 2 x 6
Bài 59: Ồi i ph
x 1 x 2
2
x 1 1 x 2
x 1 1
x 5x 6 x 2
2
2 x
x 1 2
x 1 2
x 2 5x 6
2
5x 6
x 1 1
x 2
1
x 2 5x 6
2 0
x 1 2
x 1 1
2
x 1 1
1
2
x 5x 6
0
x 1 2
x 1 1
x 1;2 3;
Bài 60: Ồi i h ph
x 1 3x 2 9x 2 .
L n – TồPT ồÙNỒ V
L i gi i tham kh o
x 1 2 2x
x x 6 x 2 x 2x 3 2x 10x 12
pt x 2 x 6
2
2
NỒ – BÌNồ Pồ ỚC
10x 12
2
x 3 xy x y y 5 y 4
ng trình:
.
2
4
y
x
2
y
1
x
1
L n – TồPT KồÁNồ Ở N
L i gi i tham kh o
xy x y y 0
Đk 4 y 2 x 2 0
y 1 0
2
Ta có (1) x y 3
x y y 1 4( y 1) 0
Đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 )
u v
Với u v ta có x 2 y 1, thay vào (2)
u 2 3uv 4v2 0
u
4
v
(
vn
)
Khi đó
trở th|nh
ta được :
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 32
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Với u v ta có x 2 y 1, thay v|o
4 y 2 2 y 3 2 y 1
2 y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
y 2 ( vì
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
2 y 2
ta được :
y 1 1 0
2
y 2
2
4 y 2 y 3 2 y 1
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
4 y2 2 y 3 2 y 1
y2
0
y 1 1
1
0
y 1 1
y2
2
0 y 2
2
4 y 2 y 3 2 y 1
y 1 1
2
4 y2 2 y 3 2 y 1
1
0
y 1 1
1
0y 1 )
y 1 1
Với y 2 thì x 5 . Đối chi u Đk ta được nghiệm của hệ PT l| 5; 2
Bài 61: Ồi i h ph
1
x
2
ĐK
. Từ pt
y 2 y 2 x 0
8 2 x 1 2 x 2 x 1 y y 2 2 y 4
ng trình:
x; y .
4 xy 2 y 2 y 2 x 5y 12 x 6
L n – THPT KHOÁI CHÂU
L i gi i tham kh o
dể pt có nghiệm thì y 0
PT 1 2 2 x 1 2 2 2 x 1 4 2 2 x 1 y3 2 y 2 4 y (*)
3
2
Xét h|m số f t t 3 2t 2 4t
đồng bi n Từ pt (*) f 2
t 0 có f t 3t 4t 4 2t t 2
2x 1 f y 2 2x 1 y
2
2
2
0 t 0 nên f(t) luôn
Từ pt * f 2 2 x 1 f y 2 2 x 1 y
Thay v|o pt
ta được pt y3 2 y 2 y 2 3y y 2 Đặt z y 2 ta được pt
y 3 2 z3 3yz2 y z y 2 z 0
2
y 2 z loaïi
yz
t / m
Đặt z y 2 ta được pt y 3 2 z3 3yz2 y z y 2 z 0
2
Với y = z ta được y y 2 y 2 x 1 (t / m)
Bài 62: Ồi i h ph
x y x y 4 x y (1)
ng trình:
.
2
x
9
3
y
3
x
3
2
(2)
y 2 z loaïi
yz
L n
t / m
– THPT KINH MÔN
L i gi i tham kh o
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 33
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Đk
Từ
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
y 0; x y ; 4 x y x 3; y 0
y3
2
x
9;
y
3
x
3
3 x y ; 4 x y;
suy ra VT
0 nên bình phương hai v ta có
2x 2 x2 y 4x y y 2x 2 x2 y
y 2x
y 2x
2
y 0(l )
2
2
y 4 xy 4 x 4( x y )
y 4 x 4
Giải
x2 9 3 x 1 2
2
3( x 5)
x 25
(3) x 2 9 4 3( x 1 2)
2
x 9 4 ( x 1 2)
x 5 y 16
x5
3
(4)
x 2 9 4 ( x 1 2)
Thay y = 4x-4 vào (2) ta có:
x5
Do x 3 x 2 9 x
3
x5
1 1 x 1 x 2 luôn
1 và
x4
( x 1 2)
x2 9 4
vẫ nghiệm.
đúng khi x 3 nên
V y x=
y = l| nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
Bài 63: Ồi i h ph
2
x 3 xy x y y 5 y 4
ng trình:
.
2
4 y x 2 y 1 x 1
L n
– THPT LAM KINH
L i gi i tham kh o
xy x y 2 y 0
Đk 4 y 2 x 2 0
. Ta có (1) x y 3
y 1 0
x y y 1 4( y 1) 0
Đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 )
Khi đó
u v
trở th|nh : u 2 3uv 4v2 0
u 4v(vn)
Với u v ta có x 2 y 1, thay v|o
4 y 2 2 y 3 2 y 1
y 1 1 0
2
y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
y2
ta được :
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
2 y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
1
0 y2
y 1 1
y2
0
y 1 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 34
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
( vì
2
4 y2 2 y 3 2 y 1
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
1
0y 1 )
y 1 1
Với y 2 thì x 5 . Đối chi u điều kiện ta được nghiệm của hệ PT l| 5; 2
2
2
2 x y xy 5 x y 2 y 2 x 1 3 3x
ng trình:
.
2
x y 1 4x y 5 x 2 y 2
L n – TồPT LÊ L Ổ
L i gi i tham kh o
Bài 64: Ồi i h ph
* ĐK y 2x 1 0,4x y 5 0, x 2 y 2 0, x 1
y 2x 1 0
x 1 0 0
Khẫng TM hệ
3 3 x 0
y 1 1 10 1
* Xét trường hợp
* Xét trường hợp x 1, y 1. Đưa PT
( x y 2)(2 x y 1)
về dạng tích ta được
x y2
y 2 x 1 3 3x
1
y 2 x 1 0 . Do y 2x 1 0
( x y 2)
y 2 x 1 3 3x
1
nên
y 2x 1 0 x y 2 0
y 2 x 1 3 3x
* Thay y 2 x v|o PT
ta được x2 x 3 3x 7 2 x
x2 x 2 3x 7 1 2 2 x ( x 2)( x 1)
3x 6
2 x
3x 7 1 2 2 x
3
1
( x 2)
1 x 0 x 2 0
3x 7 1 2 2 x
3
1
(vì x 1 nên
1 x 0 )
3x 7 1 2 2 x
* x 2 0 x 2 y 4 TMĐK . Nghiệm của hệ l| ( x; y) (2; 4)
Bài 65: Ồi i h ph
ng trình:
7 x2 25x 19 x2 2x 35 7 x 2 .
L n
Điều kiện x 7
– THPT LÊ L Ổ
L i gi i tham kh o
Phương trình tương đương 7 x 2 25 x 19 7 x 2 x 2 2 x 35 .
”ình phương v suy ra 3x 2 11x 22 7 ( x 2)( x 5)( x 7)
3( x 2 5 x 14) 4( x 5) 7 ( x 5)( x 2 5 x 14)
Đặt a x2 5x 14; b x 5 .( a ,b
Khi đó ta có phương trình
a b
3a 2 4b2 7ab 3a 2 7ab 4b 2 0
3a 4b
Với a = b suy ra x 3 2 7 (t / m); x 3 2 7 (l ) .
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 35
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
61 11137
61 11137
(t / m); x
(l ) .
18
18
61 11137
.
Đs x 3 2 7 ; x
18
Với a = b suy ra x
Bài 66: Ồi i h ph
ng trình:
3 x 2 2x 3
12
4 x
Điều kiện
7 (*)
x 3
1 x 1 3
x 4 12 7x 16x 24 0
x 1
3 x 4 12 7x 16x 24 0
2 3
7x 2 19x 12
16x 2 11x 27 .
x 4 1
12 7x
L n – TồPT LÊ ỜUÝ ĐÔN
L i gi i tham kh o
x 4 12 7x 9
x4
2
2
12 7x
2
3 x 4 12 7x 3 x 4 12 7x 3 x 4 12 7x
3 x 4 12 7x 1 3 x 4 12 7x 1
9 x 4 12 7x 1 2 12 7x
12
23
x
2 12 7x 16x 23 16
7
48 28x 256x 2 736x 529
12
23
x
12
23
382 6 633
7
x
16
16
x
7
256
256x 2 764x 481 0
x 382 6 633
256
K t lu n nghiệm của phương trình l| x 1 , x
Bài 67: Ồi i h ph
Pt(1) x 3
382 6 633
256
x 3 xy x 3 y 3 x 1 2 y y 1
x, y
ng trình:
2
x 1 2
x 3 y 1 y 1 x 2 x 3
L n
– TồPT L
.
NỒ TÀỔ
L i gi i tham kh o
x 3 y 1 x 2 y 1
y 1
a x 3
a b
Đặt
a, b 0 , (1) trở th|nh a 2 2b2 ab a b 0
a 2b 1 0
b y 1
+ a 2b 1 0 vô nghi m do a, b 0
+ Xét a = b y x 2 thay vào
x 3 x 3 x 1 x2 2x 3
ta đ
c:
x 1 2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 36
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x 3 x 3 x 1 x 2 2x 3 .
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 3
x 1 2
x 3 y 5(tm)
2
x 3 x 1 2 x 1 x 2x 3 *
(*) x 1
ợét hàm s
2
2
2
x 1 2 x 1 2 x 1 2
f t t 2 t 2 2 , t 0 có f ' t 0t
Suy ra f t đ ng bi n mà f
x 1
2
x 3 y 5
x 3x 0
V y hpt có nghi m: 3;5
Bài 68: Ồi i h ph
x 1 f x 1 x 1 x 1
xy y 2 2y x 1 y 1 x
ng trình:
.
3 6 y 3 2x 3y 7 2x 7
L n
– TồPT LÝ TồÁỔ T
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 0, 1 y 6, 2x 3y 7 0 (*)
x 0
Nh n thấy
khẫng l| nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0
y 1
y 1 x
PT (1) x(y 1) (y 1)2
y 1 x
Khi đó, PT (1) x(y 1) (y 1)2
(y 1)(x y 1)
y 1 x
y 1 x
y 1 x
y 1 x
1
0
(x y 1) y 1
y
1
x
x y 1 0 y x 1 (do (*))
Thay v|o PT
Khi đó,
ta được 3 5 x 3 5x 4 2x 7
ĐK 4 / 5 x 5 (**)
3 5 x (7 x) 3( 5x 4 x) 0
3(4 5x x 2 )
4 5x x 2
0
3 5 x (7 x)
5x 4 x
1
3
(4 5x x 2 )
0
3 5 x (7 x)
5x 4 x
x 2 5x 4 0 (do (**)
x 2 5x 4 0 (do (**)
x 1 y 2
th̉a mãn * , **
x
4
y
5
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 37
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
V y nghiệm của hệ phương trình l| (1; 2), (4; 5).
x3 20x2 4x 4x 2x x 4 x .
L n1 – TồPT LÝ Tồ
L i gi i tham kh o
x 0
: pt x x2 20 x 4 x 2 x 4 0
2
x 20 x 4 x 2 x 4 0, (*)
4
2
2
(*) x 20 1 2 x
;t 2 2
0 Đặt t x
x
x
x
1
t
t3
Ta được bất phương trình 2
3t 2 4t 15 0
Đ{p số S [0; 1] [4; )
Bài 69: Ồi i b t ph
ng trình:
Bài 70: Ồi i ph
ng trình:
Điền kiện x 2 (*).
x (x 2)(2x 7)
3
2
4x 4 14x3 3x 2 2 1
. .
x2
x2
L n – TồPT BLÝ TồÁỔ T
L i gi i tham kh o
2x5 3x 4 14x3
PT x 3 ( 2x 2 3x 14) ( 4x 4 14x 3 3x 2 2)
x 3 (x 2)(2x 7)
NỒ KỔ T
x2 2
x 2 2 (4x 14x 3x 2)(x 2)
x 2 2 (4x 4 14x 3 3x 2 2)(x 2 4)
4
3
x 2 0 x 2 (thoûa maõn (*))
3
4
3
2
x (2x 7) x 2 2 4x 14x 3x 2
2
(1)
(1) x3 (2x 7) x 2 4x 4 14x3 4x 4 14x3 3x 2 2
x3 (2x 7) x 2 3x 2 2
Nh n thấy x 0 khẫng l| nghiệm của phương trình x 0.
3 2
Khi đó, PT (2x 4 3) x 2 3
x x
2 3
2(x 2) x 2 3 x 2 3 (2)
x x
3
Xét h|m số f(t) 2t 3t với t .
Ta có: f '(t) 6t 2 3 0 t
H|m số f t đồng bi n trên .
1
1
(2) f x 2 f x 2 x x 2 1
x
x
1 5
x 0
x
th̉a mãn *
2
2
(x 1)(x x 1) 0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 38
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
V y nghiệm của phương trình đã cho l| x
1 5
, x 2.
2
ng trình: 5 1 1 x 3 x 2 4 x 2 25 x 18 .
Bài 71: Ồi i h ph
L n
– THPT MARIE – CURIE
L i gi i tham kh o
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Điều kiện: x 1 .
5 1 1 x 3 x 2 4 x 2 25 x 18
5 5 1 x 3 4 x 4 25 x 3 18 x 2
25 x 3 25 5 1 x 3 4 x 4 18 x 2 20
25 x 3 1 5 1 x 3 4 x 4 16 x 2 16 2 x 2 4
5 1 x3
5 1 x
2
3
2x2 4 2 x2 4
2
Hàm số f t t 2 t đồng bi n trên 0; nên
(1)
(1) f 5 1 x 3 f 2 x 2 4
5 1 x3 2 x2 2
5
x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 1
Đặt: u x 1 0 và v x 2 x 1 0
(2)
u
v 2
u
u
(2) thành: 5uv 2 u 2 v 2 2 5 2 0
v
v
u 1
v 2
x 1
u
vô nghiệm.
Với 2 : x 1 2 x 2 x 1 2
v
x
x
4
5
3
0
x 1
u 1
5 37
.
Với : 2 x 1 x 2 x 1 2
x
v 2
2
x 5x 3 0
2
Phương trình có hai nghiệm x
Bài 72: Ồi i b t ph
(x
2)(x
2 2x
5 37
.
2
ng trình:
5)
9
(x
2)(3 x 2
5
x2
12)
3
5x 2
7.
L n
– THPT MINH CHÂU
L i gi i tham kh o
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 39
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2
4(x 2)
3(x 2)2
5(x 2)
(x 2) x 5x 9
2x 5 3
x 2 5 3 9 3 3 5x 2 7 3 5x 2 7
4(x 2)
4
3(x 2)2
3
(x 2)2
x
(
2);
x2 5 3 5
2x 5 3 3
5
x
5(x 2)
5(x 2)
2
2
9
9 3 3 5x 2 7 3 5x 2 7
x 2 5x 9
4(x 2)
2x 5 3
3(x 2)2
x2 5 3
9 3 5x 7
3
18x 2 57x 127
5
0, x
45
2
2
Do đó * x 2 0 x 2 , k t hợp với điều kiện x
ta suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm l|
Bài 73: Ồi i h ph
5(x 2)
5
x 2
2
3
5x 7
2
0(*) Ta có với
2
2
5
2
2 x 3 xy 2 x 2 y 3 4 x 2 y 2 y
ng trình: 2 y 2 x 2 y 16
1
y x 1 3
x2 8 y 7
2
L n
( x, y ) .
– THPT MINH CHÂU
L i gi i tham kh o
+ ĐKXĐ x 1 (*)
+) pt (1) ( x 2 y ) (2 x 3 4 x 2 y ) ( xy 2 2 y 3 ) 0 ( x 2 y )(1 2 x 2 y 2 ) 0 x 2 y
Vì 1 2 x 2 y 2 0, x, y Th v|o
được:
x
2( )2 x x 16
x 2 4 x 32
x 1
2
x 1 3 2
x 1 x 1 3
x2 4 x 7
x 4x 7
2 2
x 8
x 8 x 4 x 1 x 8
2
x4
x 1
2
x 4x 7
3
x 1 3
x 4 x 7
x 1 3
+) x 8 y 4 (tm). +) pt 3
+) pt 3
x 1 3 x 4 x 1 x 2 4 x 7
x 1 3 x 4 x 1 x 2 4 x 7
x 1 3
x 1
2
2
3 x 2 3 . x 2 3
+ Xét h|m số f t t 3 t 2 3 với t
nên f t đồng bi n trên
+ M| pt
có dạng f
(4)
có f ' t 3 t 1 0, t
2
.
x 1 f x 2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 40
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 2
Do đó 4 x 1 x 2
2
x 1 x 4x 4
x 2
5 13
(T/M)
2
x
2
x 5x 3 0
+ Với x
5 13
11 13
y
2
4
5 13 11 13
;
V y hệ đã cho có t p nghiệm x; y là: T (8;4);
4
2
Bài 74: Ồi i h ph
2 x 3 x 1 3x 2 2 x2 5x 3 16 .
ng trình:
L n
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 1 .
”pt
tương đương
2x 3 x 1
Đặt t 2 x 3 x 1 , t >0
– THPT NAM DUYÊN HÀ
2 x 3 x 1 20
2
t 5
. Đối chi u đk được t 5 .
t 4
”pt trở th|nh t 2 t 20 0
Với t 5 , ta có:
2 x 3 x 1 5 2 2 x2 5x 3 3x 21
3 x 21 0
2
2 x 5 x 3 0
3 x 21 0
2
x 146 x 429 0
x 7
x3
3 x 7
K t hợp với điều kiện x 1 suy ra t p nghiệm bất pt l| S= 3;
Bài 75: Ồi i h ph
( x 2) x 2 4 x 7 y y 2 3 x y 2 0
ng trình:
.
2
x y 1 x y 1
L n
L i gi i tham kh o
Xét h|m số f (t ) t t 2 3 t Có f '(t ) t 2 3
H|m số f t đồng bi n trên R Phương trình
t2
t2 3
– TồPT NỒồ NồA TờANỒ
1 0 t
x 2 y Thay vào (2) ta có
Thay vào (2) ta có
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 41
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
3
3
x
x
x x 1 2x 3
2
2
2
2
x x 1 4 x 12 x 9
x 2 x 1 4 x 2 12 x 9
3
x
2
3
x
x 1 x 1 y 1 (tmdk)
2
3x 2 13x 10 0
10
x
3
2
V y hệ có nghiệm x y = -1;-1).
Bài 76: Ồi i h ph
x 3 x 2 y x 1 12
ng trình: 2
.
x 4 x 2 y 8 0
L n
L i gi i tham kh o
2
x 3x 2 y x 1 12
3x 2 y x x 12
TA CÓ: 2
2
x 4x 2 y 8 0
3x 2 y x x 8
u 3x 2 y
u.v 12
u 6 u 2
thì hệ
Đặt
2
u v 8 v 2 v 6
v x x
– TồPT NỒồ NồA TờANỒ
(1)
x 1
3 x 2 y 6
u 6
y 3/ 2
2
x 2
v 2
x x 2
y 6
x 3
3 x 2 y 2
u 2
y 11/ 2
2
x 2
v 6
x x 6
y 2
K T LU N:
Bài 77: Ồi i h ph
Điều kiện y 0
x 4 x 2 8x 17 y y 2 1
ng trình:
.
x y y 21 1 2 4 y 3x
L n – TồPT NỒồ NỔNồ ồ3A
L i gi i tham kh o
x 4 x 8x 17 y y 1
2
2
( x 4) ( x 4) 1 y y 1
2
Xét h|m số
2
f (t ) t t 1 với t 0
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 42
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Ta có : f '(t ) 1
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
0, t 0
2
t 1
Suy ra f t l| h|m số đồng bi n v| liên tục với t 0
t
Do đó : ( x 4) ( x 4) 1 y y 1
2
2
f(x+4)=f(y)
y= x+ 4
Thay y = x +4 vào phương trình thứ hai, ta có :
x x 4 x 25 1 2 x 16 * , đk x -4
Nh n xét x = - khẫng phải l| nghiệm của phương trình *
Xét h|m số g x = x x 4 x 25 1 2 x 16 với
x (-4; )
1
1
1
Ta có g’ x = 1
2 x 4 2 x 25
x 16
1
1
x 16 1
g’ x =
2 x 4 2 x 25
x 16
1
1
x 15
0
g’ x =
2 x 4 2 x 25
x 16( x 16 1)
với x (-4; )
Suy ra g x l| h|m số đồng bi n v| liên tục với x (-4; )
Do đó phương trình g x = có tối đa một nghiệm với x (-4; )
Mặt kh{c g = nên phương trình * có nghiệm duy nhất x = .
y = x + 4 = 0+ 4 =4
V y hệ phương trình có nghiệm duy nhất : x = 0 ; y = 4
x( x 1) ( 2 x 3 1)
2.
ng trình:
( x 1)(2 x 3)
2
Bài 78: Ồi i b t ph
3
Điều kiện x ; \ 1
2
2
x( x 1) ( 2 x 3 1)
2
Mà
( x 1)(2 x 3)
x( x 1)
2
2 x 3 1 (2 x 3)
L n
– TồPT NỒồ NỔNH HÒA
L i gi i tham kh o
x( x 1) ( 2 x 3 1)
2
2 x 3 1 ( 2 x 3 1)(2 x 3)
1 x( x 1) ( 2 x 3 1)(2 x 3)
2
1
(*)
x 2x x (2 x 3) 2 x 3 2 x 3
3
2
x ( x 2) (2 x 3) 2 x 3 x 3 0
x 2 . V y điều kiện của phương trình l| : x 2
2
* x 1 1 ( x 1) 2
2x 3 1
2x 3
2
Xét h|m số f t = t+ t2 với t > vì x > nên x – 1> 1)
2
Ta có : f(t) = t3 + t2 f '(t ) 3t 2t , t 1
Suy ra f t l| h|m số liên tục v| đồng bi n trên 1;
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 43
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
hay f ( x 1) f ( 2 x 3) . Khi đó:
Khi đó
x 2 4x 2 0
x 2
x 2 6
x 1 2 x 3 x 2
V y S= 2
6;
ng trình: x x 1 2 x 3
Bài 79: Ồi i h ph
TXĐ D 1; .
2
2x 2 x 2 .
L n
– TồPT NỒÔ ỞỸ LỔÊN
L i gi i tham kh o
x x 1 2 x 3 2 x 2 x 2
2
x 1 x 1 x 1 2 x 3 2 x 3 2 x 3
f
3
2
3
x 1 f 2 x 3
2
3
2
2
Xét h|m số f t t t t có f t 3t 2t 1 0, t
Do đó h|m số f t đồng bi n trên
Suy ra: f
x 1 f 2 x 3
.
x 1 2x 3
3
x
2
x 2
2
x 1 4 x 12 x 9
▪ V y x 2 l| nghiệm duy nhất của phương trình.
x2 x y 3 x y y
ng trình:
.
2
2
2
x
y
3
2
x
1
11
Bài 80: Ồi i h ph
L n 1 – THPT NỒUYỄN BÌNồ
x 2 x y 3 x y y 1
Hệ đã cho tương đương với
2
2
2 x y 3 2 x 1 11 2
Từ
suy ra y 0 , vì n u y<0 thì x-y>0, do đó VT > VP 1)
L i gi i tham kh o
1
x2 x y
x2 x y
3
3
x y 1
x y 1
x y
2
x y 1
3
x2 x y y 0
x2 x y y 2
x2 x y y
0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 44
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x2 x y
x y
x y 1
2
0 x y 1 0
3 x y 2 3 x y 1
x x y y
ta được
Th y x 1 v|o phương trình
4 x 2 4 x 2 3 2 x 1 11 2 x 1 3 2 x 1 10 0
2
3
2
Đặt t 2 x 1, t 0 , ta có t 4 3t 10 0 t 2 t 2t 4t 5 0 t 2
Khi đó
2x 1 2 x
Bài 81: Ồi i h ph
ĐK x 2, y
5
3
5 3
y . V y hệ phương trình có nghiệm x; y ; .
2
2
2 2
(x y)(x 2 xy y 2 3) 3(x 2 y 2 ) 2
ng trình:
.
2
4 x 2 16 3y x 8
L n 2 – THPT NỒUYỄN ồU - KHÁNH HÒA
L i gi i tham kh o
16
3
3
(1) (x 1) (y 1)3 y x 2 Thay y=x- vao
được
4(x 2)
3(x 2)
4 x 2 22 3x x 2 8
(x 2)(x 2)
x2 2
22 3x 4
x 2
3
4
(x 2)
0(*)
x 2 2
22 3x 4
Xét f(x)=VT(*) trên [-2;21/3],có f’(x > nên h|m số đồng bi n. suy ra x=- l| nghiệm duy nhất
của *
KL HPT có nghiệm
, -1;-3)
3 x 2 2 xy 2 y 2 3 x 2 y 0
Bài 82: Ồi i h ph ng trình: 2
.
2
5 x 2 xy 5 y 3 x 3 y 2 0
L n 1 – THPT CồUYÊN NỒUYỄN ỜUANỒ DỔ U
L i gi i tham kh o
Nh}n hai v của phương trình
với rồi trừ theo v cho , ta được phương trình
2
4 x 4 xy y2 6 x 3y 2 0
2 x y 1
.
(2 x y)2 3(2 x y) 2 0
2
x
y
2
N u 2 x y 1 thì y 1 2 x , thay v|o
ta được
x 0 y 1
7x 5x 0
x 5 y 3
7
7
N u 2 x y 2 thì y 2 2 x , thay v|o
ta được
2
x 1 y 0
7 x 11x 4 0
x 4 y 6
7
7
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 45
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
5 3 4 6
nghiệm l| 0;1 ; 1; 0 ; ; ; ; .
7 7 7 7
V y hệ phương trình đã cho có
2
xy 2 y x 2
ng trình:
.
2
2
2
y (2 x 3) x 2 x 3 y 2 x 5x.
L n 1 – THPT NỒUYỄN ỞỔÊU
L i gi i tham kh o
Từ phương trình
của hệ ta có
2
xy 2 y x 2 2 y ( x 2 2 x) 2 y 2
x2 2 x
x 2 x
Bài 83: Ồi i h ph
(do x 2 2 x x)
Th vào (2) ta có
2 x 2 2 2 x x 2 2 (2 x 3) x 2 2 x 3 x x 2 2 2 x 2 5 x
Xét hàm số
2( x 1) 1 ( x 1)2 2 2( x 1) (1 2 x) ( x) 2 2 2( x) (3)
t
f (t ) (2t 1) t 2 2 2t , f '(t ) 2 t 2 2 (2t 1)
2 0 t
2
t 2
t
Xét h|m số f (t ) (2t 1) t 2 2 2t , f '(t ) 2 t 2 2 (2t 1)
2 0 t
2
t 2
Suy ra h|m số f t đồng bi n trên R Phương trình (3) f ( x 1) f ( x) x 1 x x
Phương trình
f ( x 1) f ( x) x 1 x x
1
2
1
2
Từ đó ta tìm được y=
V y hệ có nghiệm x y =
Bài 84: Ồi i h ph
Điều kiện x
1
; 1)
2
3
2
2
2
y 5 y y 5 8 xy 8 x xy 3x
ng trình:
4 x 5 x 3x 1 y 0
2
L n
x, y .
– THPT NỒUYỄN ỞỔÊU
L i gi i tham kh o
1
*
3
y2 x 1 0
Phương trình 1 y x 1 y 8 x 5 0
y 8x 5
y2 x 1 0
y 8x 5
1
*) y 2 x 1 0 k t hợp với điều kiện x d n tới phương trình vẫ nghiệm.
3
*) y 8x 5
Thay vào 2 ta được phương trình
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 46
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
4 x 2 3 x 1 13 x 5 0 2 x 3 3 x 1 x 4 5
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Xét phương trình 5 Đặt
3x 1 2t 3 , t
K t hợp với phương trình 5 ta có hệ
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2
3
2
2 x 32 2t x 1
t x
x
t
x
t
2
2
5
0
2t 5 2 x *) Với t x ta được
2
2t 3 3x 1
3
15 97
x
x
3x 1 3 2 x
2
8
4 x 2 15 x 8 0
3
15 97
x
* Với t x ta được 3x 1 3 2 x
x
2
8
4 x 2 15 x 8 0
Khi đó y 10 97
* Với 2t 5 2x ta được
x 1
11 73
3x 1 2 x 2 2
x
8
4 x 11x 3 0
Khi đó y 6 73
Kiểm tra c{c nghiệm trên đều th̉a mãn.
15 97
11 73
;10 97 ;
;6 73
8
8
V y hệ đã cho có nghiệm x; y là
Bài 85: Ồi i h ph
* ĐK : x 0, y 0
2 4 x 4 y 1 5 x y 1 3x 7 y 1
ng trình:
.
(
3
x
2
)
9
y
1
4
x
14
x
3
y
L n 1 – THPT NỒUYỄN TờÃỔ - KONTUM
L i gi i tham kh o
* Đặt a 5 x y 1, b 3x 7 y 1, a, b 0
Từ
2a 2 2b 2 a b (a b) 2 0 a b
5 x y 1 3x 7 y 1 x 3 y
* Thay v|o
được : (3 x 2) 3 x 1 4 x 14x x
(3)
Vì x = khẫng phải l| nghiệm của
nên :
1
1
2
1 4
(3) 3 3 14 Đặt u 3 u 2 3, u 3
x
x
x
x x
Đặt u 3
1
1
u 2 3, u 3
x
x
Từ
ta có pt : 2u 3 4u 2 3u 26 0 u 2 nh n
1
* u = 2 3 2 x 1 y 3
x
Thử lại => hệ có một nghiệm l| ; 3)
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 47
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
4 x 2 y x 9 3x 1 x 2 5 x y 8
ng trình:
.
2
x 12 y y 12 x 12
L n 1 – THPT NỒUYỄN VỔ T ợUÂN
L i gi i tham kh o
Bài 86: Ồi i h ph
1
x 3
Điều kiện y 12
y 12 x 2 0
x 2 5 x y 8 0
*
Ta có
x 12 y 12
y 12 x 2 12 x 12 y
2
12 x 24 x 12 y 12 12 y
y 12 x 2
x 12 y 12
1
2
x 12 y 0
x 2 3; 0 y 12
3
Thay v|o phương trình 1 ta được 3 x 2 x 3 3 x 1 5 x 4
2
3 x 2 x x 1 3x 1 x 2 5 x 4 0
1
1
x2 x 3
0
x 1 3x 1 x 2 5 x 4
x2 x 0 x 0 hoặc x 1 . Khi đó ta được nghiệm x; y là 0;12 và 1;11 .
Bài 87: Ồi i ph
ĐK x
16x 2 208x 96
2 3x 4 6x 3 5x 9 .
12x 16 45x 81
L n 1– THPT NỒUYỄN VĂN TờỖỔ
L i gi i tham kh o
2
16x 208x 96
2 3x 4 6x 3 5x 9
12x 16 45x 81
ng trình: x 2 9 log 2
4
ta có : x 2 9 log 2
3
x 2 6x 13 log 2 x 2 6x 13 2 3x 4 3 5x 9 log 2 2 3x 4 3 5x 9
f x 2 6x 13 f
3x 4 3 5x 9 *
1
0, t 0 nên h|m số f (t) t log 2 t đồng
t ln 2
bi n trên 0; . Từ * suy ra x 2 6x 13 3x 4 3 5x 9
Xét h|m số
f (t) t log 2 t ,(t 0) f'(t) 1
x 2 x 2 (x 2) 3x 4 3 (x 3) 5x 9 0
x
2 x2 x
3 x2 x
2
3
0 x 2 x 1
0
x 2 3x 4 x 3 5x 9
x 2 3x 4 x 3 5x 9
x 0
2
3
3
0, x )
(Do 1
x2 x 0
4
x 2 3x 4 x 3 5x 9
x 1
2
x
Đối chi u với điều kiện ban đầu suy ra phương trình có nghiệm
x 0; x 1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 48
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Bài 88: Ồi i h ph
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
(4 y 1) x 2 1 2 x 2 2 y 1
ng trình:
.
x 4 x 2 y y 2 1
L n 1 – THPT Nồ
ợUÂN
L i gi i tham kh o
Xét phương trình
y-1) x 2 1 2 x 2 2 y 1
x 2 1 1 , ta được pt t2 – (4y-1)t + 2y – 1 = 0
1
y 1
t 1(loai)
Giải ra được 2
thay v|o pt
2
2
x
4
y
4
y
t 2 y 1
Đặt t =
+ y2 – 1 = 0
y 1
thay v|o pt
2
2
x 4 y 4 y
y = 1(do y 1 ) x = 0
ta được
Bài 89: Ồi i h ph
y2(y - 1)2+4y2(y - 1)
y2(y - 1)2+4y2(y - 1) + y2 – 1 = 0
x 0
.
V y nghiệm của phương trình l|
y 1
ng trình:
ta được
x 3 y 1
x 3 2y 2
2 xy y y 3 x 4 y
x 3
x2 x 2 y 4 4
.
L n 1 – THPT Pồ M VĂN Đ NỒ
L i gi i tham kh o
x 1
y 1
▪ Điều kiện
2
x x 2 y 4 0
▪ Đặt a 2 x 1 ; b y ; a, b 0 thay v|o phương trình
a 2b a 2 ab 4b2 0 a 2b 2 y x 1 . Thay v|o pt
được
của hệ phương trình ta
x 3 x 1 x 3 x2 2x 3 4
x 3 x2 2 x 3 x 3 x 1
ta được
t 2 L
x 3 x 1; t 0 ta có pt: t 2 2t 8 0
t 4 N
13 17
Với t 4 giải ra ta được x; y ; l| nghiệm của hệ.
4 8
Đặt t
Bài 90: Ồi i h ph
2
xy 2 y x 2
ng trình:
.
2
2
2
y
2(
x
1)
x
2
x
3
2
x
4
x
L n 1 – THPT PồAN BỘỔ CồÂU
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 49
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
L i gi i tham kh o
Vì
x2 2 x x2 x | x | x 0, x R
x2 x x 0, x R
Nên (1) y ( x 2 2 x) 2 y
Th y x 2 2 x vào (2) :
2
x 2 x
2
x 2 2 x Th y x 2 2 x vào (2) :
x 2 2 x 2( x 1) x 2 2 x 3 2 x 2 4 x 1 x x 2 2 2 x ( x 1) x 2 2 x 3 0
2
( x 1) 1 ( x 1) 2 2 ( x) 1 ( x) 2 2 (*)
Xét h|m số f (t ) t (1 t 2 2)
f '(t ) 1 t 2 2
t2
t2 2
0, t R f đồng bi n trên R.
(*) f ( x 1) f ( x) x 1 x x
Với x
1
2
1
thì y 1. V y nghiệm của hệ phương trình l|
2
Bài 91: Ồi i h ph
2 x 2 5 2 2y x 2
ng trình:
.
2
x 3 xy x y y 5y 4
L n – THPT PồAN BỘỔ CồÂU
L i gi i tham kh o
ĐỔ U KỔ N: xy x y2 y 0 , y 0
2 x 2y 1 3
xy x y 2 y y 1 0
3 y 1
0
x 2y 1 1
2
xy x y y y 1
3 y 1
x 2y 1 0 1
0
xy x y2 y y 1
ta được
Th 2y x 1 v|o
2 x 5 2 x 1 x 2
2
2
x 5 3 2
2
x2
x 5 3
2
x 1 1 x 4
x2
2
x 2
x 2 0 3
x 1 1
x 2 5 3
Vì x 1 nên
1
;1 .
2
2
2
1
2
x 2 x 2
1
0
2
x 1 1
x 1 1
x 5 3
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 50
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
3 x 2 V
1
y nghiệm của hệ phương trình l| 2;
2
( xy 3) y 2 x x5 ( y 3x) y 2
ng trình:
.
9 x 2 16 2 2 y 8 4 2 x
L n 1 – THPT PồAN TồÚC TờỰC
L i gi i tham kh o
Bài 92: Ồi i h ph
0 x 2
Đk
y 2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
(*) .Với đk * ta có
x 1
(1) ( x 1) ( y 3) y 2 ( x 1) x 0
( y 3) y 2 ( x 1) x
31
Với x = thay v|o
ta được 2 2 y 8 1 y (loai)
8
Ta có: (3)
y 2 y 2 ( x )3 x
3
(3)
. Xét h|m số
f (t ) t 3 t f '(t ) 3t 2 1 0; t H|m số f t l| hs đồng bi n, do
đó (4) f ( y 2) f ( x )
(4) f ( y 2) f ( x )
y 2 x y x 2 thay v|o pt
y 2 x y x 2 thay v|o pt
4 2 x 2 2 x 4 9 x 2 16
ta được
ta được
32 8 x 16 2(4 x 2 ) 9 x 2 8(4 x 2 ) 16 2(4 x 2 ) ( x 2 8 x) 0
x
t 2
2
2
2
Đặt: t 2(4 x ) (t 0) PT trở th|nh 4t 16t ( x 8 x) 0
t x 4 0(loai )
2
0 x 2
x
4 2
4 2 6
2
y
Hay 2(4 x ) 2 32 x
2
3
3
x 9
4 2 4 2 6
;
V y hệ pt có nghiệm x y l|
3
3
Bài 93: Ồi i h ph
ng trình:
19
3 x
Điều kiện
3
x 4
”ất phương trình tương đương
x 3 19 3x
2 x 3
x 3 19 3x
5x 13 57 10x 3x 2
x 3 19 3x
2 x 3 x 2 2x 9 .
L n 1 – THPT PồÙ CỪ
L i gi i tham kh o
19 3x
2 x 3 x
2
2x 9
4 x 3 19 3x x 2 2x 9
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 51
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 5
13 x
2
4 x 3
19 3x
x x 2
3
3
4 x 2 x 2
x 2 x 2
x2 x 2
13 x
x 5
9 x 3
9 19 3x
3
3
4
1
2
0
*
x x 2
13 x
x 5
9 x 3
9 19 3x
3
3
19
4
1
Vì
0 với mọi x 3; \ 4
3
13 x
x 5
9 x 3
9 19 3x
3
3
Do đó * x 2 x 2 0 2 x 1 thoả mãn
V y t p nghiệm của bất phương trình l| S 2;1 .
Bài 94: Ồi i b t ph
ng trình:
2 x 4 6 x 3 10 x 2 6 x 8 x 3 x x 2 1 x 2 .
L n 1 – THPT phề ri ng
L i gi i tham kh o
2 x 6 x 10 x 6 x 8 0
Điều kiện : 3
x x 0
4
3
2
x 2 1 2 x 2 6 x 8 0
x 0 Khi đó
x
0
(1) x 2 1 2 x 2 6 x 8 x 2 1 x x 2 1 x 2 0
Khi đó (1) x 2 1 2 x 2 6 x 8 x 2 1 x x 2 1 x 2 0
x2 1
2 x2 6 x 8 x x 2 0
2 x2 6 x 8 x x 2 0
(2) Xét TH1 : Với x 0 khi đó
Xét TH1 : Với x 0 khi đó
vẫ nghiệm
Xét TH2 : Với x>0, chia hai v của (2) cho x ta được :
vẫ nghiệm
4
2
4
2
2 x 6 1 x
0 2 x 6 x
1 (3)
x
x
x
x
2
4
x t 2 4 , thay v|o
Đặt t x
ta được :
x
x
t 1
t 1
2t 2 2 t 1 2
t 1 Với t 1 ta có :
2
t 1 0
t 2t 1 0
x 1(vn)
2
x
1 x x 2 0
x
x 2 x 4
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 52
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x
Với t 1 ta có :
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 1(vn)
2
1 x x 2 0
x
x 2 x 4
K t hợp hai trường hợp v| điều kiện ta thấy bất phương trình
Bài 95: Ồi i h ph
x y x y 2
ng trình:
.
2
2
2
2
x y 1 3 x y
có nghiệm x=4
L n
– THPT phề ri ng
L i gi i tham kh o
Điều kiện x+y 0, x-y 0
u v 2 (u v)
u v 2 uv 4
u x y
Đặt
ta có hệ u 2 v 2 2
u 2 v2 2
v x y
uv 3
uv 3
2
2
u v 2 uv 4
(1)
. Th
v|o
ta có
(u v) 2 2uv 2
uv 3 (2)
2
uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv ) 2 uv 0 .
uv 0
K t hợp
ta có
u 4, v 0 (vì u>v).
u v 4
Từ đó ta có x =2; y = . Th̉a đ/k
KL V y nghiệm của hệ l| x; y)=(2; 2).
Bài 96: Ồi i ph
x 2 2x 8
x 1
ng trình: 2
x 2x 3
x2 2 .
L n 3 – THPT PồÚ ờỔ NỒ
L i gi i tham kh o
ĐK x 2
Pt
x 2
2 x4
x 2 x 3
x 2 x 4 x 1 x 2
x2 2x 3
x2 2
x 2 2 x 1 x 2x 3
x 2 2 x 2 2 x 1 2 x 1
(1) x 4
x 1
x22
(1)
2
2
2
2
(2)
Xét pt t 2 t 2 2 có pt f ' t 3t 2 4t 2 0t
V y f t đồng bi n trên
x 1
3 13
x 2 f x 1 x 2 x 1 2
x
2
x 3x 1 0
3 13
V y pt có nghiệm x = , x
2
2
2
2 x 1 5 xy y
( x, y ). .
Bài 97: Ồi i h ph ng trình:
y
y
x
y
y
y
x
(
2
)
(4
)
1
Do đó
f
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 53
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
L n
– THPT ỜU NỒ ồÀ
L i gi i tham kh o
Điều kiện 4 y x 2 y 0
Trừ v với v ta được : 2 x 2 5 xy y 2 y( xy 2 y 2 4 y 2 xy ) 0
Nh n thấy y= khẫng th̉a mãn hệ.
Do y> ta chia hai v của phương trình cho y2 ta có
x
x
x
x
2 5 1
2 4 0
y
y
y
y
x
Đặt t t 2; 4 . Khi đó ta được 2t 2 5t 1 t 2 4 t 0
y
2t 2 6t t 2( t 2 1) (1 4 t ) 0
2 t(t 3)
t 3
(t 3) t 2
0
t 2 1 1 4 t
t 2
(t 3) 2t
t 2 1 1
t 2
Ta thấy 2t
t 2 1 1
0
1
0, t 2; 4 .
4 t
1
4t
V y t= suy ra x= y th v|o phương trình
2 y2 1 y
của hệ ta được 2 y 2 1 y
1
3
x
2
2
1
3
x
2
2
3 1
K t lu n hệ phương trình có nghiệm (x; y)
;
2 2
Bài 98: Ồi i h ph
3x
2x y
x 2 . 1
y
ng trình:
.
x
3
y2 1
2x2 y 2 4x
y
3x
Điều kiện y 0;1 0 .
y
L n 1 – THPT ỜU C OAỔ
L i gi i tham kh o
x 2
3x 2 x
3x
1
x
x
y
2
.
1
2
(1)
. 1
y
y
y
y y
Hệ phương trình
2
x
3x
4x
y 2 1 3x 2 x 2 y 2 4 x
2 1 2
1
y
y
y
y
x
a y
a 2b 1 3a 2a 1
Đặt
. Khi đó ta có được hệ
2
b 1
1 3a 2a 4ab 1
y
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 54
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Cộng theo v hai phương trình cho nhau, ta được
a 2b 1 1 3a 2a 2 2a 4ab
a 2b 1
a 1 2b
1 3a 2a
Với a 1 2b
1 3a 2a 0
x
2
1 x y 2 .
y
y
ta được
3 2 y
3 2 y 2 2 y
2 2 y y 1
1
y
y
y
Th v|o
y 1
2 y
y 2 x 0
y 0
2 y
2 y
7
0
4
y 8 x 14
y
2 y 7
y
11
11
y 4
8
14
Thay y ; x
v|o hệ, khẫng th̉a mãn.
11
11
a 0
Với 1 3a 2a 2
a 1 x y
4a 3a 1 0
Khi đó 1 2 x 2 x x 4; y 4
2
Hệ phương trình có hai nghiệm
x; y 0; 2 ; 4; 4 .
9 x 2 9 xy 5 x 4 y 9 y 7
Bài 99: Ồi i h ph ng trình:
.
2
x y 2 1 9 x y 7 x 7 y
L n 1 – THPT ỜUỲNồ L U
L i gi i tham kh o
Đk x y 0 . N u x = y thì
vẫ nghiệm nên x > y
(2)
x y 2 - 7 x 7 y + 1 – [3(x- y )]2 = 0
2 6x 6 y
1 3x 3 y 1 3x 3 y 0
x y 2 7x 7 y
2
1 3 x 3 y 0
1 3 x 3 y
x y 2 7 x 7 y
2
1 3 x 3 y > 0 suy ra 1–3x + 3y =0
x > y 0 nên
x y 2 7 x 7 y
1
ta được
Thay y = x – v|o phương trình
3
1
1
1
9x2 + 9x(x - ) + 5x – 4(x - ) + 9 x = 7
3
3
3
18x2 – 8x + 6x 2x(9x – 4 ) +
1
8
+ 9 x - 3 = 0
3
3
2
(9x – 4 ) +3(
3
9x 3 - 1 ) = 0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 55
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
2
3
4
= 0 x=
vì x > 0
(9x – 4 ) 2 x
3
9
9 x 3 1
4
1
4 1
thì y =
. V y hệ có nghiệm x y =
; )
Với x =
9
9
9 9
2 x 2. y 2
ng trình:
Bài 100: Ồi i h ph
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
y 8 x y 4 x
xy 2 x 11 12 x y 7 3x 0
.
L n 1 – THPT ỜUỲNồ L U
Điều kiện 2 x
L i gi i tham kh o
7
,y0
3
Ta có
4x 8 y
. Dấu = xẩy ra khi y= x-8
2
4x y 8
2 y 8 x y 8 4 x
. Dấu = xẩy ra khi y= x-8
2
Suy ra 2 x 2. y 2 y 8 x y 4 x . Dấu = xẩy ra khi y= x-8
2 x 2. y 4( x 2) y
y=4x-8. Th v|o pt
4 x 6 x 11 4 3 x 7 3 x 0
Như v y, pt
4 x 2 x 3
2
4 x x 3
4 3x x 1
x
x 3
ta có
7 3x x 2 0
x
x 3
7
0 do x 2;
4 3x x 1
7 3x x 2
3
1
1
x 2 x 3 4
0
4 3x x 1
7 3 x x 2
2
2
2
x2 x 3 0
()
1
1
4 (3)
4 3 x x 1
7 3x x 2
1 13
1 13
x
2
2
1 13
1 13
;2 13 6
, hệ có nghiệm
Đối chi u điều kiện ta có x
2
2
+ pt () x 2 x 3 0 x
+Xét pt(3)
1
1
7
x 2; 4 3x x 1 3 10 6
4 3x x 1 6
3
3
2 7 3x 3
7
x 2; : g ( x) 7 3x x 2 g '( x)
1
0
2 7 3x
2 7 3x
3
Xét h|m số
1
7 1
g ( x) g
3
7 3x x 2
3 3
Do đó,
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 56
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
7
x 2; :
3
1
1
1
3 4 hay pt
4 3x x 1
7 3x x 2 6
1 13
;2 13 6
V y, hệ có nghiệm duy nhất
2
Bài 101: Ồi i h ph
x 2 xy 2y 1 2y3 2y 2 x
ng trình:
.
6
x
1
y
7
4x
y
1
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
vẫ nghiệm
L n 1 – THPT Ở
B O YÊN
L i gi i tham kh o
ĐK x 1 .
1 2y2 x 1 x y 0 y x 1 vì 2y2 x 0, x 1 Thay vào (2) ta được
6 x 1 x 8 4x 2
x 1 3 2x 2x x 1 3
2
2
ta được 6 x 1 x 8 4x 2
Thay v|o
4x 2 13x 10 0
2x 3 x 1
x 2 y 3
3
x
2
V y nghiệm của phương trình l| ( x; y) (2;3) .
Bài 102: Ồi i h ph
2
2
8 2 x 1 2 x 2 x 1 y y 2 2 y 4
ng trình:
x; y .
4 xy 2 y 2 y 2 x 5y 12 x 6
L n – THPT Ở
B O YÊN
L i gi i tham kh o
1
x
2
ĐK
. Từ pt
y 2 y 2 x 0
x 1 3 2x 2x x 1 3
dể pt có nghiệm thì y 0
PT 1 2 2 x 1 2 2 2 x 1 4 2 2 x 1 y3 2 y 2 4 y (*)
3
2
Xét h|m số f t t 3 2t 2 4t
đồng bi n Từ pt (*) f 2
t 0 có f t 3t 4t 4 2t t 2
2x 1 f y 2 2x 1 y
2
2
2
0 t 0 nên f(t) luôn
Từ pt * f 2 2 x 1 f y 2 2 x 1 y
Thay v|o pt
ta được pt y3 2 y 2 y 2 3y y 2
Đặt z y 2 ta được pt y 3 2 z3 3yz2 y z y 2 yz 2 z2 0
Với y = z ta được y y 2 y 2 x 1 (t / m)
y 2 z loaïi
yz
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
t / m
Trang 57
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x3 7 y 3 3xy ( x y ) 24 y 2 3x 27 y 14
ng trình:
x, y . .
3
2
3
4
5
x
y
x
y
L n 1 – THPT Ở B C ỒỔANỒ
L i gi i tham kh o
Bài 103: Ồi i h ph
x 3
Đkxđ
y 4
Từ
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
ta có ( x y)3 3( x y) 2 y 2 3 2 y 2
3
x y 2 ( x y)2 ( x y) 2 y 2 2 y 2 3 0
y x 2 . Suy ra 2 x 3 .
Th vào (2) ta được
2
Th v|o
ta được
1
1
x 2 3 x x3 x 2 4 x 1 x 2 ( x 4) 3 x ( x 5) ( x 2 x 2)( x 2)
3
3
x 2
1
1
x2 x 2 3 x 2
0 x 2 x 1 0 x 1
3 x 2 x 4 3 3 x 5 x
x 2
x 2 x 1 0
x 1
Với x 2 y 0; x 1 y 3 .
KL ( x; y ) 1; 3 , ( x; y) 2;0
x
2
x x 1 y 2 x 1 y 1
ng trình:
3x 2 8 x 3 4 x 1 y 1
Bài 104: Ồi i h ph
x, y .
L n 1 – THPT Ở
L i gi i tham kh o
x 1
Điều kiện
y 1
x3 x 2 x
y 2
1
x 1
x 1 y 1
x3 x x 1
x 1
x 1
y 2 y 1
3
x
x
y 1 y 1 .
x 1
x 1
Xét h|m số f t t 3 t trên
có f t 3t 2 1 0t
3
x
f
f
x 1
y 1
2 x 1 x 2 x 1
2
VơNồ PồÚC
2
suy ra f(t) đẫng biên trên
x
y 1 . Thay vao (2) ta được 3x 2 8 x 3 4 x x 1 .
x 1
x 1
2
x 3 2 3
x 6x 3 0
2 x 1 x 1
1
5 2 13
x
x
2 x 1 1 3 x
3
9
2
9 x 10 x 3 0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
. Nên
Trang 58
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Ta co y
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x
1
x 1
2
43 3
5 2 13
41 7 13
. Vơi x
.
y
9
72
2
C{c nghiệm n|y đều th̉a mãn điều kiện .
5 2 13 41 7 13
43 3
;
Hệ phương trinh co hai nghiệm x; y 3 2 3;
& x; y
2
9
72
Vơi x 3 2 3 y
Bài 105: Ồi i b t ph
4 x2 x 6 x 1 4x 2 .
L n 1 – THPT Ở
L i gi i tham kh o
ng trình:
Điều kiện x 1.
Ta có:
2x 1
4 x2 x 6 x 1 4x 2
2
BÀ ờỊA VŨNỒ TÀU
5 x 1 x 1 2 2 x 1 . (1)
Dễ thấy x 1 l| một nghiệm của bất phương trình.
Với x 1 , ta có: 1
2 x 1
x 1
2
5 1
2 2 x 1
x 1
2x 1
. Ta thu được ”PT t 2 5 2t 1.
x 1
2
Ta có: t 2 5 2t 1 t .
3
2x 1 2
10 5
2 x 1 6 x 3 1 x
.
18
x 1 3
10 5
V y ”PT có t p nghiệm T 1;
.
18
Đặt t
Bài 106: Ồi i h ph
Điều kiện 0 x 1.
2x
ng trình:
2x
2
2 x 1 2 x 1 8 x 2 8 x 1 x 2 x 0 .
L n 1 – THPT Ở
ồÀ TơNồ
L i gi i tham kh o
2 x 1 2 x 1 8 x 2 8 x 1 x 2 x 0
1 2 x 2 x 2 x 1 2 2 x 1 1
2
..
2
x2 x 0
Đặt a 2x 1; b x2 x . Phương trình đã cho trở th|nh
ab
1 2b2 a 2a2 1 b 0 a b 2ab 1 0 2ab 1 0
1
1
5 5
x
x
2
x
Với a b , ta có: 2 x 1 x x
2
2
10
x 2 x 4 x 2 4 x 1 5 x 2 5 x 1 0
Với 2ab 1 0 , ta có 2 2 x 1 x 2 x 1 0 2 1 2 x x 2 x 1
Phương trình có nghiệm khi 0 x
1
0 1 2x 1
2
1
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 59
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Mặt kh{c 2 x 2 x 2 x 1 x x 1 x 1 .Suy ra 2 1 2 x x 2 x 1 .
Do khẫng tồn tại x để đẳng thức xảy ra nên phương trình vẫ nghiệm.
Vạy nghiệm của phương trình l| x
5 5
.
10
5
( xy 3) y 2 x x ( y 3x) y 2
ng trình:
.
2
9 x 16 2 2 y 8 4 2 x
L n 1 – THPT Ở
L i gi i tham kh o
Bài 107: Ồi i h ph
0 x 2
Điều kiện
y 2
LÀO CAỔ
(*) . Với điều kiện * ta có
x 1
(1) ( x 1) ( y 3) y 2 ( x 1) x 0
( y 3) y 2 ( x 1) x (3)
31
Với x 1 thay v|o
ta được 2 2 y 8 1 y
Khẫng th̉a mãn điều kiện Ta có:
8
(3)
y2
Ta có: (3)
3
y 2 ( x )3 x (4).
y2
3
y 2 ( x )3 x (4).
Xét h|m số f (t ) t 3 t trên ; f '(t ) 3t 2 1 0, t
Suy ra, h|m số f t đồng bi n v| liên tục trên . Khi đó
(4) f ( y 2) f ( x )
Thay y x 2 v|o
y2 x y x2
ta được
4 2 x 2 2 x 4 9 x 2 16
32 8 x 16 2(4 x 2 ) 9 x 2 8(4 x 2 ) 16 2(4 x 2 ) ( x 2 8 x) 0
x
t
Đặt t 2(4 x 2 ) (t 0) PT trở th|nh 4t 2 16t ( x 2 8 x) 0 2
t x 4 0(loai )
2
0 x 2
x
4 2
4 2 6
2
y
Ta có: 2(4 x ) 2 32 x
2
3
3
x 9
4 2 4 2 6
;
V y hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y
3
3
Bài 108: Ồi i h ph
x 3y 2 xy y 2 x y 0
ng trình:
.
2
3
8
x
4
y
1
x
14y
12
L n 1 – THPT Ở
L i gi i tham kh o
ỜU NỒ NAM
x y (x y)(y 1) 2(y 1) 0 (1)
(I)
2
3 8 x 4 y 1 x 14y 12 (2)
Điều kiện x 8, y – 1, (x – y)(y + 1) 0 (*)
N u x y l| nghiệm của hệ I thì y > – 1. Suy ra x – y 0.
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 60
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Do đó (1)
Thay x = y +
xy
xy
20
y 1
y 1
v|o
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
xy
xy
1
1 x 2y 1
y 1
y 1
ta được
3 7 2y 4 y 1 (2y 1)2 14y 12 4 y 1 3 7 2y 4y 2 10y 11 0
4( y 1 2) 3( 7 2y 1) 4y2 10y 6 0
2
3
(y 3)
2y 1 0 (3)
y 1 2
7 2y 1
3
3
7
2
2 2
, 2y + 1 > –1
,
Vì 1 y nên
2
7 2y 1 4
y 1 2 3 2 2
2
3
2y 1 0 . Do đó (3) y 3 0 y 3
y 1 2
7 2y 1
x=
th̉a * . V y hệ phương trình đã cho có một nghiệm x y =
Bài 109: Ồi i h ph
2 y 3 y 2 x 1 x 3 1 x
ng trình:
2
2
2
9 4 y 2 x 6 y 7
.
(x, y ) .
L n 1 – THPT Ở
3 3
Điều kiện x 1; y ; . Ta có
2 2
ỜU NỒ NỒÃỔ
L i gi i tham kh o
(1) 2 y 3 y 2 1 x 2 x 1 x 1 x
2 y 3 y 2(1 x) 1 x 1 x
Xét h|m số f (t ) 2t 3 t , ta có f '(t ) 6t 2 1 0, t
y 0
V y (1) f ( y) f ( 1 x ) y 1 x 2
y 1 x
4x 5 2x2 6x 1
Th v|o
ta được
Pt 2 4 x 5 4 x 2 12 x 2
1
x
2
x 1 2(l )
x 1 2
f (t ) đồng bi n trên
4 x 5 2 x 3(vn)
2
2
4x 5 1 2x 2
4x 5 1 2x
y42
Với x 1 2
V y hệ có hai nghiệm.
y 4 2
Bài 110: Ồi i b t ph
ng trình: 2 x 2
Gọi bất phương trình đã cho l|
(1) 2
x 2 x x2 x 3
.
x2 5 2
x 2 x x2 x 3 x .
L n 1 – THPT Ở
TồANồ ồ2A
L i gi i tham kh o
. Điều kiện x{c định x 2 .
x 2 x 2x2 2x 5
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 61
2x 2x 6 1 2x 2x 5
x 2 x2 x 2 x 6 1 (2 x 2 x 5)
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x2 x
2
2
2
2
2x2 2x 6 1
x 2 x 2 x 2 x 6 1 (Do 2 x 2 x 5 0, x R )
2
2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 2 x 1 2( x 1) 2 2( x 2) (2)
trở th|nh
Đặt a x 2 , b x 1(a 0) ,
a b 0
a b 0
ab0
a b 2a 2 2b 2
2
2
2
2
(a b) 0
(a b) 2a 2b
x 1
x 1 0
3 13
.
Do đó ta có x 2 x 1
x
2
2
2
x 3x 1 0
x 2 ( x 1)
V y bất phương trình đã cho có nghiệm x
3 13
.
2
Bài 111: Ồi i h ph
2
x
ĐK
3
x 3 xy 0
(1) 1 y 2 1
x 2 1 y 2 1 x 2 1 xy
ng trình:
.
(2 x 7 xy ) 3x 2 x 3xy 5
L n 1 – THPT Ở
ồÀ NỘỔ
L i gi i tham kh o
1 1
1
1
y y 1 y 2 1 2 (3)
2
x
x
x
x
Xét h|m số f (t ) t 1 t 2 , t . Do f (t ) 0 h|m số đồng bi n trên
1
1
Do đó (3) f ( y) f y
x
x
Khi đó, (2) (2 x 7)
nghiệm
3x 2 x 3 5 3x 2 x 3
5
7
0 (vì x không là
2x 7
2
5
2
7
, với x ; \
2x 7
3
2
3
1
10
2
7
g( x)
0 , với x ; \
2
2 3x 2 2 x 3 (2 x 7)
3
2
2 7
7
Suy ra g( x) đồng bi n trên ; và ;
3 2
2
Mà g(1) g(6) 0 nên phương trình có hai nghiệm x 1; x 6
Xét h|m số g( x) 3x 2 x 3
1
V y hệ có nghiệm l| (1;1); 6;
6
Bài 112: Ồi i h ph
2 x2 6 xy 17 y 2 17 x2 6 xy 2 y 2 5( x y)
ng trình:
.
2
2
(
x
1)
x
2
2
y
(6
y
11)
x
2
x
L n 1– THPT Ở NAM ĐỊNồ
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 62
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 2
Từ
x y 0 và
VT(1) ( x 4 y)2 ( x y)2 (4 x y)2 ( x y)2 ( x 4 y)2 (4 x y)2 x 4 y 4 x y 5
Dấu = xảy ra x y 0
Th x y v|o pt
( x2 1)
Th x y v|o pt
ta được
ta được
x 2 2x (6x 11) x 2 x2
( x 2 6 x 12) x 2 2 x 3 x 2 2 x 2 x 3 x( x 2) x 2 6( x 2) x 2 0
2x3 x
x2
x
2
2
x2 6
x2
3
0
x x
x
2
6 0(do x 0)
x2
x2 x2
3
x
, pt trên trở th|nh 2t 3 t 2 t 6 0 (2t 3)(t 2 2t 2) 0 t
Đặt t
2
x2
9 369
(t / m)
x
x
3
2
8
3 x 2 2 x 4 x 9 x 18 0
x2 2
9 369
(l)
x
8
9 369 9 369
9 369
9 369
y
;
Với x
V y hệ phương trình có nghiệm
8
8
8
8
3
2
2016 x y ( x 2
Bài 113: Ồi i h ph
ng trình:
x)( y 2
2
25 x 2 9 x 9 x 2
4
2
2
y)
2
L n
Điều kiện : | x |
). .
( x, y
18 y 2
y2 1
– THPT SÔNG LÔ
L i gi i tham kh o
2
3
(1) 2016 x ( x 2 2 x) 2016 y ( y 2 2 y)
x ln 2016 ln( x 2 2 x) y ln 2016 ln[ ( y) 2 2 ( y)]
Xét h|m số : f (t ) t ln 2016 ln( t 2 2 t ), t R có f ' t ln 2016
Do đó h|m số đồng bi n trên
, do đó x y .
2
2
Thay vào (2) ta có : 25 x 9 x 9 x 4 2
N u x
1
t2 2
0, t
.
18 x 2
(3)
x2 1
18 x 2
2
2
,7 x 2 2 VT (3) VP(3) loại
thì 18 x 2
x 1
3
4
2
18
2
N u x thì 25 9 9 2 2 2
x
x
x 1
3
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 63
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Đặt t
1
9
(0
t
) ta được
x2
4
18t
18t
12 2t 4 9 9 4t 9 0
25 9 9 4t 2t
t 1
t 1
t 2
6
36(t 2)
0 6
(t 2) 2(t 2)
36
2
0 (4)
t 1
9 4t 1
9 4t 1
t 1
t 2
6
36
2
0 (4)
t 1
9 4t 1
36
9
Vì 0 9 4t 3 12
36 VT (4) 0, t 0;
9t 4 1
4
1
1
,y
t 2 . Từ đó tìm được x
2
2
4
x 2 x3 2 x 1
Bài 114: Ồi i b t ph ng trình: x
x .
x3 2 x 2 2 x
L n 1 – THPT TAM Đ O
L i gi i tham kh o
dùng casio nhóm nh}n tử ta có
x y x 2 y 1 0
HD: Từ phương trình
y x
2
y x 1
TH1: y x2 1 thay v|o pt , suy ra pt vẫ nghiệm.
TH2: y x thay v|o
ta được phương trình:
3x 2 9 x 2 3 4 x 2
Đưa về dạng h|m
3x 2 9 x 2 3 2 x 1
ĐS
x; y
1 1
;
5 5
Bài 115: Ồi i b t ph
1 x x2 1 0
2 2 x 1 2 3x 2 x 1 x
ng trình:
2
x2 x 2
x2
x3
2
x2 3
1
5
1.
L n 1 – THPT Tồ Cồ TồÀNồ
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 3. Bất pt đã cho tương đương với
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 64
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x2 x 2
x3
x
2
x 3
2
x2 1 0
1 x 2 x 6
x 3 x 2 3
2
x x2
x3
2
4
x x2
2
x3
x 3 x2 1 0
2
2
x x2
2
x3
x 3
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2
2
x2 1 0
x 3
2
2
6
x
x
x 2 1
1 0
2
2
x 3 x2 3 x x 2
2
3
x
3
x
2
x 1 0 1 x 1 Với x 3 thì biểu thức trong ngoặc vuẫng luẫn dương .
V y t p nghiệm của bất pt l| S 1;1
Bài 116: Ồi i h ph
3
3
2 x 9 y x y 2 xy 3
ng trình: 2
.
2
x y 3 xy.
L n
L i gi i tham kh o
– THPT Tồ Cồ TồÀNồ
2x 3 - 9y3 = (x - y)(2xy + 3)
2 x3 9 y 3 ( x y)(2 xy x 2 y 2 xy)
2
Ta có
2
x 2 + y 2 = 3 + xy
x y xy 3
2 x3 9 y 3 x3 y 3
x3 8 y 3
x 2 y
2
2
2
2
2
2
x y xy 3
x y xy 3 x y xy 3
x 2
x 2y
y 1
2
x 2
3 y 3
y 1
x; y
2;1 ; x; y
2; 1 .
V y h có nghi m
Bài 117: Ồi i h ph
x10 2 x 6 y 5 2 x 4 y
ng trình:
.
2
x
5
2
y
1
6
L n 3 – THPT Tồ Cồ TồÀNồ
L i gi i tham kh o
Điều kiện 2 y 1 0 y
1
2
- Xét x= , từ pt đầu suy ra y= , thay x=y= v|o pt thứ hai khẫng th̉a mãn loại Xét x 0 ,
y
y
v của pt đầu cho x 0 , ta được x 2 x 2 (1)
x
x
5
chia
5
5
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 65
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
y
y
- Xét x 0 , chia v của pt đầu cho x 0 , ta được x 2 x 2 (1)
x
x
5
'
4
Xét h|m số f t t 2t , t . Ta có f t 5t 2 0, t .
5
5
5
V y h|m số f t t 5 2t đồng bi n trên
Thay v|o pt thứ
x
. Do đó
y 5 2 y 1 6 (2)
của hệ ta được
y
y x2 .
x
1
Xét h|m số g ( y) y 5 2 y 1, y .
2
1
1
1
0, y . V y g y đồng bi n trên khoảng
Ta có g ' ( y )
2
2 y 5
2 y 1
Mà g(4)=6 nên (2) y 4
x 2
Suy ra y x 2 4
hoặc
y 4
1
; .
2
x 2
y 4
9 y 2 2 y 3 y x 4 xy 7 x
ng trình:
.
2 y 1 1 x 2 y 1 1 x 2 y
L n 1 – THPT TồANồ Cồ
L i gi i tham kh o
2
Điều kiện 9 y 2 y 3 y x 0; xy 0; 1 x 1.
Bài 118: Ồi i h ph
NỒ
Từ phương trình thứ nhất, ta có được x 0 y 0
x 0
, th̉a mãn hệ phương trình.
+ Xét
y 0
+ Xét x, y khẫng đồng thời bằng , phương trình thứ nhất tương đương với
9 y 2 2 y 3 y x 3x 4 xy 4 x 0
9 y 2 2 y 3 y x 9 x 2
9 y 2 2 y 3 y x 3x
4 xy x 2
xy x
0
9 x y 2 y 3
4x
0
y x
xy x
9 y 2 2 y 3 y x 3x
yx
Th y x v|o phương trình thứ hai, ta được
2 x 1
2x
1 x 2 x 1 1 x 2 x
1 x 1 x 1
a 1 x ; a 0
2 x a 2 b2 .
Đặt
b 1 x ; b 0
1 x 1 x 0
Phương trình trở th|nh a 2 b2 a b 1 a b 0 .
a b
a b
a b a b a b 1 1 0
2
a b 1 5
a b a b 1 0
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 66
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
+ Với a b 1 x 1 x x 0 loại
1 5
1 5
5 5
5 5
1 x 1 x
x
y
.
2
2
8
8
5 5 5 5
.
;
Hệ phương trình có nghiệm x; y 0;0 ;
8
8
+ Với a b
Bài 119: Ồi i h ph
xy x y 2 y 0
Đk 4 y 2 x 2 0
y 1 0
Ta có (1) x y 3
2
x 3 xy x y y 5 y 4
ng trình:
.
2
4 y x 2 y 1 x 1
L n 1– THPT TồANồ Cồ
L i gi i tham kh o
NỒ
x y y 1 4( y 1) 0
Đặt u x y , v y 1 ( u 0, v 0 )
Khi đó
u v
trở th|nh u 2 3uv 4v2 0
u 4v(vn)
Với u v ta có x 2 y 1, thay v|o
4 y 2 2 y 3 2 y 1
2 y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
y 2 ( vì
ta được :
y 1 1 0
4 y2 2 y 3 y 1 2 y
y2
2
0 y 2
4 y2 2 y 3 2 y 1
y 1 1
2
4 y2 2 y 3 2 y 1
1
0y 1 )
y 1 1
1
0
y 1 1
Với y 2 thì x 5 . Đối chi u Đk ta được nghiệm của hệ PT l| 5; 2
x 3 y 3 3( x y ) 6 y ( y 2) 14
Bài 120: Ồi i h ph ng trình:
.
27 x 3 27 x 2 20x 4 4.3 y 2 x 1
L n 1 – THPT Tồ NỒ Nồ T
L i gi i tham kh o
3
3
x 3x y 6 y 2 15 y 14
Phương trình
x 3 3x 2 y 32 y
Xét h|m số f (t ) t 3 3t liên tục trên R.
Ta có f ' (t ) 3t 2 3 0 với t R h|m số đồng bi n trên R.
pt : f ( x) f (2 y) x 2 y y 2 x
Th y = -x v|o phương trình
ta được.
3
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 67
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
27x 2 x 20x 4 43 1 x 3x 1 4(3x 1) x 1 43 x 1
Xét h|m số g (t ) t 3 4t liên tục trên R.
Ta có g ' (t ) 3t 2 4 0 h|m số đồng bi n trên R.
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
3
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
3
2
Suy ra: g (3x 1) g (3 x 1) 3x 1 3 x 1 27x 3 27x 2 9 x 1 x 1
x 0 y 2
27 x 3 27 x 2 8 x 0
2
27 x 27 x 8 0(vn)
V y hệ phương trình có nghiệm x y =
Bài 121: Ồi i h ph
2
2
2
2
2 x 6 xy 5 y 2 x 2 xy 13 y 2( x y ) (1)
ng trình:
.
2
4
(
x
2
y
)
x
2
4
y
.
y
8
y
.
y
2
x
2
(2)
L n 1 – THPT BÌNH LONG
L i gi i tham kh o
x 2
Điều kiện y 0
x y 0
Xét y = , hệ vẫ nghiệm nên y kh{c
. Chia cả
x
x
x
x
x
2 6 5 2 2 13 2( 1)
y
y
y
y
y
x
Dat t= (t 1)
y
2
v của
cho y ta được
2
PT : 2t 2 6t 5 2t 2 2t 13 2(t 1)
t 4 2t 3 3t 2 4t 4 0
t 1(loai)
2
2
t 1 t 2 0
t 2(t / m)
Với t = => x= y, th v|o
ta được
2
4
4y 2y 2 4y . y 8y . y 2 2y 2
4 y 2 y 2 2 2 y 2 8 y4. y 4 y2. y
4
2
2
2
y
y
2
2 8 y3 4 y
y
2
2
2
3
2
22
2 2 y 2. 2 y
(3)
y
y
y
Xét h|m số f u =u3+ u với u> có f’ u = u2 + > , mọi u> => h|m số đồng bi n
2
2
f
2 f 2 y
2 2 y 4 y3 2 y 2 0 y 1
Từ
y
y
Hệ có nghiệm duy nhất
Bài 122: Ồi i h ph
y x y 1 x3 3 y ( x 2 xy y 1) 1
ng trình:
.
2
y y 5 x 5
L n – THPT BÌNH LONG
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 68
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
L i gi i tham kh o
y 0
Điều kiện
( vì y= khẫng th̉a hpt
x
y
1
( x 1)
(1)
( x 1)( x 2 x 1) 3 y ( x 1)( x y 1)
y x y 1
1
( x 1)[ x 2 x 3 xy 3 y 2 3 y 1
]
y x y 1
1
] (3)
( x 1)[ x 2 (3 y 1) x 3 y 2 3 y 1
y x y 1
Xét A = x2 + (3y – 1 )x + 3y2 – 3y + 1 ; = -3(y - 1)2 0 x R => A 0 x, y R
(3) x = -1
1 17
y
2
Thay x = -1 vào (2) ta có : y 2 y 5 5
1 17
(l )
y
2
1 17
V y hệ phương trình có nghiệm - 1 ;
)
2
3
2
2
y y 4( x y 1) xy
ng trình: 2
.
2
2
2
( x 1) y x (2 y 1) x 3 x 2
L n 3 – THPT BÌNH LONG
L i gi i tham kh o
y 2
”i n đổi pt ban đầu về dạng ( y 2)( y 2)( y 1 x) 0 y 2
y x 1
Bài 123: Ồi i h ph
TH
TH
Với y = thay v|o pt
8x2 3x 6 0 vẫ nghiệm
Với y = - 2 thay vào (2): 3x 6 0 x 2 suy ra nghiệm x y = -2;-2)
1
1
5
Với y x 1 thay vào (2): x 4 x 3 0 ( x 2 )2 ( x )2 0 (vn)
2
2
2
Kl hệ phương trình có nghiệm ( x; y) (2; 2)
TH
Bài 124: Ồi i b t ph
Điều kiện x 2.
2
2
ng trình: (4 x x 7) x 2 4 x 8x 10 .
L n 1 – THPT CồUYÊN LÊ ỜUÝ ĐÔN – ĐÀ NẴNỒ
L i gi i tham kh o
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 69
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
(1) (4 x x 7) x 2 8 x 2 x 14 2 x 4
x 2 2 2 x 2
(4 x x 7) x 2 2 2 x 2 2 x 2 2 0
x 2 2 (4 x x 7) 2 x 2 2 0
x2 20
4 x x 7 2 x 2 2 0 do
2
2
(4 x 2 x 7)
2
2
2
4 x 2 x 3 2 x 2 do
x2 20
x 2
4 x 2 x 3 0
(2)
2
2
4
x
x
3
4 x 2 (3)
3
2 x 1 v x
4
4
3
3 16 x 8 x 23x 2 2 x 1 0
x 1 4 x 1 4 x 2 5 x 1 0
L p bảng xét dấu của biểu thức VT. Khi đó, phương trình
có t p nghiệm l|
5 48 1 5 48
T3 ; 1
;
;
8
4
8
K t hợp với
v| điều kiện ban đầu, bất phương trình đã cho có t p nghiệm
5 48
T 2; 1
;
8
Bài 125: Ồi i h ph
ng trình:
x2
2x 1
x x2
2 xy
2x2
xy 1
3y 2
4y 1
3y 2
xy
2y 1
.
9
x
L n 1 – THPT ồÙNỒ V
NỒ
L i gi i tham kh o
1
2
x
2x 1 0
2y 1 0
+ ĐK
x2
xy 1
y
0
+) Ta có PT (1)
2 x
2x
y 1
2x 1
x
x2
+ Với x
x 2x2
0
2y 1
y 1 x
x2
4 y 3y 2
2 xy
3y 1
1
x
2y 1
y 1 0
x
1 2x
y
3y 1
0(*)
, Vì x
1
x
y 1
1
,y
2
1
2
0
0
2
2x
1
x
2y 1
y 1
1
2
xy 1
x 1 thay v|o phương trình
4x2
2x
6
x
2x2
x
1 2
0
2
2x
x
1
2y 1
x
3y 1
0
3y 1 0 nên * vẫ nghiệm.
ta có x 2 x 2
2 2x2
2x
x
1
4x2
4x
6
3
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 70
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x 2x2
2x
3
x
2x2
x
1
Với 2 x 2
x
3
2 2x
x
3
0
0
1
3
(l )
2
x
2
1
2 2x
x
1
x
2
+ K t lu n Hệ có nghiệm l|
x
y
0
x
2
1
x
Hệ có nghiệm
2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
3
x
2x2
x
2x2
x
2
x
Với
2
2
4
2
1
2
x
y
x
7x2
x
4
12 x 12
0
x
4
6
2 30
(l )
7
1
2
2
2
x xy y 3
ng trình: 3
.
3
2 x 9 y ( x y )(2 xy 3)
L n 1 – THPT LÊ ồ NỒ PồONỒ
L i gi i tham kh o
3
3
ta được 2 x 9 y ( x y )(2 xy x 2 xy y 2 )
Bài 126: Ồi i h ph
v|o
Thay
2
x 2 xy y 2 3
x xy y 3
(*) 3
3
3
3
x 2 y
2 x 9 y x y
2
y2 1
x 2 y
x 2 x 2
v
y 1 y 1
K T LU N:
Bài 127: Ồi i h ph
2x 2 2x x y y x y
ng trình:
.
2
x 1 xy y 21
Điều kiện x{c định x 1, x y 0
Khi đó
L n 1 – THPT LỘC NỔNồ
L i gi i tham kh o
2x 2 2x x y y x y 2x 2 xy y 2 2x x y 0
xy
1
0 x y 2x y
0 .
2x x y
2x
x
y
Do x 1, x y 0 2x y 0 , từ đó suy ra x y .
x y 2x y
x 1 x 2 x 2 21 x 1 1 x 2 4 x 2 21 5
1
x2
x 2
x2
0 (3)
x 2 21 5
x 1 1
1
x2
x 2 1
Vì x 2
suy ra x 2
0 , từ
2
x 2 21 5
10 x 91
Thay vào (2) ta có
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 71
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
V y nghiệm của hệ phương trình l| 2; 2 .
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
5x
5x 10 x 7 2 x 6 x 2 x3 13x 2 6 x 32 .
Bài 128: Ồi i b t ph
2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
ng trình:
L n
– THPT LỘC NINH
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 2 . ”ất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(5x 2 5x 10)
x 7 3 (2 x 6)
(5x2 5x 10)
x 7 3 (2 x 6)
5 x 2 5 x 10
x 2
x7 3
x 2 2 3(5x 2 5x 10) 2(2 x 6) x3 13x 2 6 x 32
x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 0
2x 6
x 2 5 0 (*)
x22
1
1
2x 6
2x 6
Do x 2 x 2 2 2
và vì 2 x 6 0
x 3 (1)
2
x2 2 2
x2 2
1
1
Do x 2 x 7 3 5 3 5
và vì 5x2 5x 10 0 x
x7 3 5
5 x 2 5 x 10 5 x 2 5 x 10
5 x 2 5 x 10 2
x2 x 2
x 5 x 3 (2)
5
x7 3
x7 3
5 x 2 5 x 10
2x 6
Từ
v|
x 2 5 0 . Do đó * x 2 0 x 2
x7 3
x2 2
K t hợp điều kiện x 2 2 x 2 .
Bài 129: Ồi i h ph
ng trình: 4 x 2 1 3x 2 2 x 1 2 x x 2 2 x 2 .
– TồPT B ồ
L i gi i tham kh o
1
Điều kiện x 1 v x .
3
Phương trình
4 x 2 1 3x 2 2 x 1 2 x x 2 2 x 2
L n
8 x 2 2 2 3x 2 2 x 1 4 x x 2 2 x 2 0
3x 2 2 x 1 3x 2 2 x 1 1 x 2 2 x 2 4 x x 2 2 x 2 4 x 2 0
3x 2 2 x 1 1
2
x2 2x 2 2x
0
2
3x 2 2 x 1 1 0
3x 2 2 x 1 1
2
2
x 2 x 2 2 x 0 x 2 x 2 2 x
3x 2 2 x 1 1
3x 2 2 x 2 0
1 7
x 0
x 0
x
2
x2 2 x 2 4x2
3x 2 2 x 2 0
1 7
.
V y, phương trình đã cho có nghiệm x
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 72
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
(x 2 x 2)y x 0
Bài 130: Ồi i h ph ng trình:
.
(x 4 4x 2 1)y 2 (2x 3 x)y x 2 0.
L n 1 – THPT NỒUYỄN DU
L i gi i tham kh o
+ x y =
l| một nghiệm của I .
+ Mọi cặp số x
v|
y với x0, y đều khẫng phải l| nghiệm của I .
+ Trường hợp x 0, y 0:
x 2 y xy 2y x 0
x(xy 1) 2y xy
(I)
2
2
2
2 2
x (xy 1) xy(xy 1) y 5x y
x 4 y2 4x 2 y 2 y 2 2x 3 y xy x 2 0
1 2
(x y ) x 1
2
x 1 x 1 1 1 5
y
y x x2
a 2b 1
II 2
2
a ab b 5
Giải hệ II được a b =
–1) và (a ; b) = (–7 ; 4)
1
+ Với a b =
–1) thì: x; y 1;
4
4
1
+ Với a b = –7 ; 4) thì: x; y ;
4 29
1
1
b≠
Đặt a x , b
y
x
Bài 131: Ồi i h ph
, hệ trên trở th|nh
xy x 2 0
ng trình: 3
2
2
2
2x x y x y 2xy y 0
(x, y R) .
L n
– THPT NỒUYỄN DU
L i gi i tham kh o
(2) <=> x²(2x – y + 1) – y(2x – y + 1) = 0 <=> (x² – y)(2x – y + 1) = 0
<=> y = x hoặc y = x +
Với y = x ,
trở th|nh x + x – 2 = 0 <=> (x – 1)(x² + x + 2) = 0 <=> x = 1 → y = 1
1 5
→y= 5
Với y = x + ,
trở th|nh x + 2x – 2 = 0 <=> x =
2
1 5
1 5
; 5), (
; 5) }
V y hệ phương trình đã cho có t p nghiệm S = {
, (
2
2
Bài 132: Ồi i b t ph
ng trình:
5x
2
5x 10 x 7 2 x 6 x 2 x3 13x 2 6 x 32 .
L n 1 – THPT NỒUYỄN VĂN TờỖỔ
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 2 . ”ất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(5x 2 5x 10)
x 7 3 (2 x 6)
x 2 2 3(5x 2 5x 10) 2(2 x 6) x3 13x 2 6 x 32
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 73
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
(5x2 5x 10)
x 7 3 (2 x 6)
5 x 2 5 x 10
x 2
x
7
3
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 2 2 x3 2 x 2 5 x 10 0
2x 6
x 2 5 0 (*)
x22
1
1
2x 6
2x 6
Do x 2 x 2 2 2
và vì 2 x 6 0
x 3 (1)
2
x2 2 2
x2 2
1
1
Do x 2 x 7 3 5 3 5
và vì 5x2 5x 10 0 x
x7 3 5
2
2
5 x 5 x 10 5 x 5 x 10
5 x 2 5 x 10
x2 x 2
x 2 5 x 3 (2)
5
x7 3
x7 3
2
5 x 5 x 10
2x 6
Từ
v|
x 2 5 0 . Do đó * x 2 0 x 2
x7 3
x2 2
K t hợp điều kiện x 2 2 x 2 .
Bài 133: Ồi i h ph
2
2
2 y 3 y 1 y 1 x x xy
ng trình:
; x, y R .
2
2
2
3
4
3
14
8
0
x
y
y
x
x
x
L n 1 – THPT THANH HOA
L i gi i tham kh o
x 0
Đk y 1
(nhận thấy x =
2 y 3x 4 0
và y = không thỏa hệ đã cho)
(1) : 2 y 2 3 y 1 y 1 x 2 x xy
y 1 x
x 2 xy 2 y 2 3 y 1
y 1 x
( y x 1)(
y x 1
x 0
1
1
)
x 2 y 1) 0; (
x 2 y 1 0,
y 1 x
y 1 x
y 1
(2) : 2 x y 2 y 3x 4 3x 2 14 x 8 0
3x 1 6 x 3x 2 14 x 8 0
( 3x 1 4) (1 6 x ) ( x 5)(3 x 1) 0
3
1
( x 5)(
3x 1) 0
3x 1 4 1 6 x
x5
x 5
V y nghiệm của hệ l|
y 6
Bài 134: Ồi i h ph
x x 2 y y x 4 x3 x
ng trình:
9.
x y x 1 y ( x 1)
2
L n
– THPT THANH HOA
L i gi i tham kh o
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 74
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 1
Đk
y 0
(1) x( x 2 y x 2 x) ( x y ) 0
yx
x
x y 0 ( x y )( x 2 y x 2 x x) 0
x y x x
x 1
9
Vì
Do đó (1) x y . Thay vào pt (2) : x x x 1 x( x 1)
2
y 0
2
2
Đặt t x x 1(t 0) t 2 2 x 1 2 x( x 1)
Pt trở th|nh t2+1+2t=9 hay t2+2t- = chỉ lấy t= x 1 x 2
5
25
x
x
2 x( x 1) 5 2 x
2
16
4 x 2 4 x 25 20 x 4 x 2
25 25
V y hệ có nghiệm duy nhất
; )
16 16
2 x 2 5 xy y 2 y xy 2 y 2 4 y 2 xy
Bài 135: Ồi i h ph ng trình:
.
3y x2 2x x x 2 9 y 2 0
L n 1 – THPT CHUYÊN BIÊN HÒA
L i gi i tham kh o
Điều kiện 4 y x 2 y 0
Với y 0 thì x 0 .
y 0,(1) 2 x 2 5 xy y 2 y
xy 2 y 2 4 y 2 xy 0
x
x
x
x
2 5 1
2 4 0
y
y
y
y
x
Đặt t t [2; 4]
y
Với
2
2t 2 5t 1 t 2 4 t 0 2t(t 3) t 2( t 2 1) (1 4 t ) 0
2t(t 3)
(t 3) t 2
t3
t 2 1 1 4 t
Thay x 3y v|o
ta được
0 t 3 x 3y
x x2 2x x x x2 2 0 x 1 x 2 x 1 x2 2
Xét h|m số f (t ) t 1 t 2 2 , f (t ) 1 t 2 2
x 0 y 0
f x f x x x
x 1 y 1
3
1
V y hệ phương trình có nghiệm (0; 0), 1;
3
t2
t2 2
0, t
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 75
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Bài 136: Ồi i ph
ng trình: 2
x 2 1
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
.log 2 x x 2 1 4 x.log 2 (3 x) .
L n 2 – THPT CồUYÊN Đ Ổ ồỌC VỔNồ
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 0 . Phương trình đã cho tương đương với
2 x
x2 1
.log 2 x x 2 1 2 3 x.log 2 (3 x) (1)
Xét hai trường hợp sau 2 x
x 2 1
.log 2 x x 2 1 2 0 2 3 x.log 2 (3 x) (1)
Suy ra
khẫng th̉a mãn
1
TH2: x . Ta có x x2 1 và 3x đều thuộc khoảng [1; )
3
Xét h|m số f (t ) 2t.log 2 t trên khoảng [1; )
Ta có f (t ) 2t ln 2.log 2 t 2t.
1
0 với mọi t thuộc khoảng [1; )
t ln 2
Suy ra f (t) đồng bi n trên khoảng [1; )
Do đó
tương đương với x x 2 1 3x . Từ đó giải ta được x
V y phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x
1
3
1
3
x y x 2 y 2x 3y 2 0
ng trình:
3
3
2
2
2
8 xy x 2015 x x y 4 2016 x
Bài 137: Ồi i h ph
.
L n 1 – THPT LỔÊN Ở N
L i gi i tham kh o
8 xy x 0
ĐK
2
x x y 4 0
1 y 3 2 y 2 3 y x3 x 2 2 x 2
y 3 2 y 2 3 y x3 3x 2 3x 1 2 x 2 2 x 1 3x 3
y 3 2 y 2 3 y x 1 2 x 1 3 x 1
Xét h|m số f t t 2t 3t , t
3
2
t 3t 2 4t 3 0 t , suy ra f t đồng bi
Ta được 1 f y f x 1 y x 1
Thay y x 1 vào 2 v| rút gọn được phương trình
x 2 8 2015 x 2 3 2016 x *
3
Có f
Ta có
2
'
x 2 8 x 2 3 2016 x 2015 0 x
Xét h|m số g x
n trên
2015
2016
x 2 8 x 2 3 2016 x 2015 , x
2015
2016
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 76
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
g' x
x
x2 8
x
x
x2 3
2016
x2 3 x2 8
x
2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
8 x 2 3
2016 0
x
Suy ra g x nghịch bi n trên
2015
;
2016
2015
2016
Suy ra phương trình g x 0 Phương trình * có tối đa
Mặt kh{c g 1 0
nghiệm
Từ đó ta được x 1 l| nghiệm duy nhất của phương trình *
Với x 1 y 2 th̉a mãn điều kiện ban đầu
V y hệ đã cho có nghiệm duy nhất x; y 1; 2
3 2
2
2
2
3
x 3x 3 2 y 3 y 2 x y 3 x y 3
ng trình:
.
2 y 2 3x 2 y 3 3 x y 3 5 x 2 x 2
Bài 138: Ồi i h ph
L n 3 – THPT NỒUYỄN KồUY N
L i gi i tham kh o
của hệ ta có c{c đ{nh gi{
x2 3x 3.1.1
HD: Từ phương trình
x 2 3x 5
và
3
2 y2 3y 4
2
2
3
3
2 y 3 y 2 2 y 3 y 2 .1.1
3
x 2 3x 2 y 2 3 y 9
2
3 2
2
3
Từ
suy ra x y x 1 x 3x 3 2 y 3 y 2
3
3
2
x y 0 x y 0 . Thay y x v|o phương trình , rồi liên hợp ta tìm được
3
x 2 3x 3
nghiệm
3
1 1
; , 3;3
2 2
x; y
3
2
5 x 26 x 44 x 20 5 1 y y 1 4 y 0
ng trình:
.
2
x x 6 3 x 1 6x 3y 4 0
Bài 139: Ồi i h ph
L n 1 – THPT TồỪA L U
L i gi i tham kh o
về dạng h|m số
Đưa phương trình
5 x 2 4 x 2 5
3
y x2 4 x 5
2
y 1 4
3
y 1
2
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 77
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
Thay v|o phương trình
ta được phương trình x2 x 6 3 x 1 3x2 6 x 19 0
Chuyển v bình phương liên ti p giải phương trình b c
viet đảo + casio hoặc đặt ẩn phụ
đưa về b c ,
23 341
353 19 341
y
x
2
2
thử lại có nghiệm
23 341
353 19 341
y
x
2
2
x 1 x 2 2 x 2 3y 1
ng trình:
.
y 1 y 2 2 y 2 3 x 1
L n 1– THPT ISCHOOL – KHÁNH HÒA
L i gi i tham kh o
u u2 1 3v (1)
Đặt u = x – 1 , v = y – , hệ trở th|nh
v v 2 1 3u (2)
Bài 140: Ồi i h ph
v theo v ta có u u2 1 3u v v2 1 3v (*).
t
Xét h|m số f (t) t t 2 1 3t trên R , f ' (t ) 1
3t ln 3 0, t R.
2
t 1
Do đó (*) f (u) f (v) u v. Với u = v thay v|o
ta được
1
u u2 1 3u
3u 3u u2 1 u 1(**).
2
u u 1
1
0, u R.
Xét h|m số g(u) 3u u2 1 u , g' (u) 3u u2 1 u ln 3
u2 1
Mặt kh{c g = do đó ** có nghiệm duy nhất u = . Với u = v= 0 x = y = 1.
V y hệ có nghiệm duy nhất x y =
.
Trừ
v|
Bài 141: Ồi i h ph
2x y 1 3y 1 x x 2y
ng trình:
.
2
x
x
3y
17
6
x
7
2x
3y
1
0
L n
– THPT TồU N TồÀNồ
L i gi i tham kh o
x 0
1
y
ĐK
3
2x y 1 0
x 2y 0
1 2x y 1 x 3y 1 x 2y 0
* Nh n xét
2x y 1 0
-N u
x 0
x 0
y 1
L
2x y 1 x 0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 78
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2
3y 1 0 x 3
-N u
. Thay v|o PT
1
x 2y 0
y
3
3y 1 x 2y 0
x y 1
x y 1
0
2x y 1 x
3y 1 x 2y
x y 1 0
2x y 1 x 3y 1 x 2y
+ TH1: x y 1 0 y x 1 . Th v|o PT
x 2 4x 14 6 x 7 2x 3x 2 0
thấy khẫng th̉a mãn
ta được
. ĐK x
2
3
2
(3) 2 6 x 7 x 16 x 4 3x 2 3x 2 x 4x 4 0
2
9x
x 2 4x 4
1 0
6 x 7 x 16 4 3x 2 3x 2
2
6x 2 4 3x 2
2
x 2
0
6
x
7
x
16
4
3x
2
3x
2
2
2 3x 2 1
2
2
x 2
0
6 x 7 x 16 4 3x 2 3x 2
x 2 (TM) y 1 (TM). + TH2: 2x y 1 x 3y 1 x 2y
2x y 1 x 3y 1 x 2y
+ TH2:
2x y 1 3y 1 x x 2y
Ta có:
2x y 1 x 3y 1 x 2y
Trừ hai v tương ứng của hai phương trình ta được
x 3y 1 3y x 1. Th vào PT (2) ta được:
Th v|o PT
ta được
x 2x 16 6 x 7 2x x 0
2
PT(4)
x 7 3 x x
2
2
0
. ĐK x 0
x 7 3 0 x 2
(vô lý) PT vẫ nghiệm
x 0
x x 0
V y hệ phương trình đã cho có nghiệm x y =
Bài 142: Ồi i h ph
ng trình:
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 79
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x
2 6 y y x 2 y
x x 2 y 2 2 x 6 y 3
2
9.22 x 6 y 3 2
.2
3
Phương trình (1) 2 y x 2 y
2 3
Từ
x x2 y
4 x 3 y 2 3
3
x x2 y
4
1
x x2 y
.3x 3 y 18.4
x x 2 y 1
1 4
x x 2 y
.
L n 1 – THPT TơNồ ỒỔA
L i gi i tham kh o
2 y x 2 y
3y x 2 y 0
3 y x 2 y
.22 x 6 y 4 22 x 6 y 4 2
x x2 y
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x x2 y
3x 3 y 2 1
x 3 y 2
4
2 x x2 y
3
x 3 y 2
.3x 3 y 2 4
1
x x2 y
x x 2 y x 3y 2
x 5 y 2
2
x 12
2 y x 2 y
4 y 2 y x
TH1:
y 2
x x 2 y x 3 y 2
y 0
x 2 y
9 y 2 2 y x
8
x
3 y x 2 y
x 3y 4
3
TH2:
x x 2 y x 3 y 2
y 0
y 4
x 2 y
9
x 2 y 3 y 2 3x 7
Bài 143: Ồi i h ph ng trình:
.
2
2
y 1 2 y 1 x x xy 3 y
L n 1 – THPT TÔ VĂN
L i gi i tham kh o
2
2
x y 3 y 3x 7 (1)
Ta có hệ phương trình
2
2
y 1 2 y 1 x x xy 3 y (2)
Điều kiện y 1, x 0, y 2 3 x . (2) y 1 x ( y 2 2 y 1) x 2 ( y 2 xy y ) 0
y 1 x
( y 1) 2 x 2 y ( y x 1) 0
y 1 x
( y x 1)
N
1
2 y 1 x 0
y 1 x
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 80
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
y x 1 Do
+) Th y v|o
1
2 y 1 x 0, y 1, x 0
y 1 x
ta được
x 2 x 1 x 2 x 1 7 3 (3)
Xét f ( x) x2 x 1 x2 x 1 ,
2x 1
2x 1
f ' ( x)
2 x2 x 1 2 x2 x 1
Xét g (t )
t
t 3
2
, g '(t )
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
3
(t 3)3
2
2x 1
(2x 1)2 3
0, t
2x 1
(2x 1)2 3
suy ra g t đồng bi n trên
Do 2x 1 2x 1 nên g (2x 1) g (2x 1) suy ra f '( x) g (2x 1) g (2x 1) 0, x
Do đó f (x) đồng bi n trên , nên (3) f ( x) f (2) x 2 y 3
V y hệ đã cho có nghiệm ( x; y) (2;3)
Bài 144: Ồi i h ph
3
x( x y ) x y 2 y ( 2 y 1)
ng trình:
.
2
2
3 xy x 1
x
y
5
x
7(
x
y
)
4
6
L n
L i gi i tham kh o
– THPT TÔ VĂN
N
+ĐK x+ y 0 ; y 0
+ y = hệ khẫng có nghiệm
+ y > 0 , ta có : x 2 y y 2 y 2 x y 2 y 0
( x y )( x 2 y ) x y 2 y 0
1
)0 x= y
( x y )( x 2 y
x y 2y
+ Ta có : x3 5 x 2 14 x 4 6 3 x 2 x 1
( x 1)3 3( x 1) 8x2 8x 8 3 3 8x2 8x 8
+ Xét h|m số f t = t3 + 3t trên R , y' = 3t2 + > , mọi t thuộc R
Mà f(x+1) = f ( 3 8x2 8x 8) x+1 =
V y hệ có nghiệm duy nhất
3
8x2 8x 8 x = 1
(1 y)( x 3 y 3) x 2 ( y 1)3 . x
Bài 145: Ồi i h ph ng trình:
( x, y ) .
3 3
2
x y 2 x 4 2( y 2)
L n 1– THPT TÔN ĐỨC Tồ NỒ
L i gi i tham kh o
2
2
x y 0
x y
ĐKXĐ
x 0, y 1
x 1, y 1
Nh n xét x 1, y 1 khẫng l| nghiệm của hệ. Xét y 1 thì pt
của hệ I
x 2 x( y 1) 3( y 1) 2 ( y 1) x( y 1) 0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 81
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
x
x
x
t
3
0
y 1
y 1 y 1
x
trở thành:
t
, t 0 . Khi đó, pt
y 1
2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x
, t 0 . Khi đó, pt
y 1
trở thành:
t 4 t 2 t 3 0 t 1 t 3 t 2 2t 3 0 t 1.
Với t = , thì
x
1 y x 1 , th v|o pt
y 1
, ta được
x 2 x 1 2 3 x 3 4 2 x 1 x 2 x 1 2 3 x 3 4 x 1 0
x2 x 1
2
x x 1 6
0
2
2
3 3
3 x3 4
x 1 x 4 x 1
x x 1 1
2
3
x
0
2
3
x 4 x 1
6 x2 x 1
3
4 x 1 3
2
1 5
2
1 5
3 5
Với x
y
.
2
2
x2 x 1 0 x
x 1 .
1 5 3 5
;
Đối chi u ĐK, hệ phương có nghiệm : x; y
.
2
2
Bài 146: Ồi i h ph
6
4
2
3
2
y 3 y 4 y x 6 x 13x 12
ng trình:
.
2
3
2
3
4
x
y
L n 1– THPT Tờ N BÌNồ TờỌNỒ
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 2 y 1 0
t 2
Đặt t = x 2 y 1 (t 0) Phương trình (1) trở thành : 2t – t – 6 = 0
t 3 loaïi
2
t 2
Phương trình
trở th|nh t 2 – t – 6 = 0
t 3 loaïi
2
x 2 y 3
+ Hệ 2
2
x 4 y 3xy 6
x 2
x 5
1
y
y 1
2
2
K T LU N:
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 82
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Bài 147: Ồi i h ph
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2
2x 2x x y y x y
ng trình:
.
2
x
1
xy
y
21
Điều kiện x{c định x 1, x y 0
L n 1– THPT Tờ N PồÚ
L i gi i tham kh o
Khi đó 2x 2 2x x y y x y 2x 2 xy y2 2x x y 0
x y 2x y
xy
1
0 x y 2x y
0.
2x x y
2x x y
Do x 1, x y 0 2x y 0 , từ đó suy ra x y . Thay vào (2) ta có
x 1 x 2 x 2 21 x 1 1 x 2 4 x 2 21 5
x 1 x 2 x 2 21 x 1 1 x 2 4 x 2 21 5
1
x2
x 2
x 2
0 (3)
2
x 21 5
x 1 1
Thay vào (2) ta có
1
x 2 1
0 , từ
2
x 2 21 5
10
x
91
V y nghiệm của hệ phương trình l| 2; 2 .
Vì x 2
x2
Bài 148: Ồi i h ph
suy ra x 2
x 2 xy 2y 1 2y3 2y 2 x
ng trình:
.
6 x 1 y 7 4x y 1
L n
– THPT Tờ N PồÚ
L i gi i tham kh o
ĐK x 1 .
1 2y2 x 1 x y 0 y x 1 vì 2y2 x 0, x 1
Thay v|o
ta được 6 x 1 x 8 4x 2
x 1 3 2x 2x x 1 3
4x 2 13x 10 0
2x 3 x 1
x 2 y 3
3
x
2
V y nghiệm của phương trình l| ( x; y) (2;3)
2
2
2
xy y 2y x 1 y 1 x
Bài 149: Ồi i h ph ng trình:
.
3
6
3
2
3
7
2
7
.
y
.
x
y
x
L n 3 – THPT Tờ N ỜUANỒ Kồ Ổ
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 0, 1 y 6, 2x 3y 7 0 (*)
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 83
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 0
Nh n thấy
khẫng l| nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0 Khi đó,
y
1
y 1 x
PT (1) x(y 1) (y 1)2
y 1 x
Khi đó, PT (1) x(y 1) (y 1)2
y 1 x
y 1 x
1
0
(x y 1) y 1
y
1
x
x y 1 0 y x 1 (do (*))
ĐK 4 / 5 x 5
ta được: 3 5 x 3 5x 4 2x 7
Thay v|o PT
(7 x) 3 5 x 3(x 5x 4 ) 0
1
3
(4 5x+x 2 )
0
3 5 x (7 x)
5
4
x
x
x 1 y 2
x 2 5x+4 0
x 4 y 5
V y nghiệm của hệ phương trình l| (1; 2), (4; 5).
x3 y 3 3 y 2 x 4 y 2 0
ng trình: 3
x x 3 2 x 2 y
Bài 150: Ồi i h ph
( x, y ) .
L n 1 – THPT Tờ N ỜUÝ CÁP
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 2 .
(1) x3 x 2 y 3 3 y 2 4 y x3 x 2 y 1 y 1 2 . Xét hàm số f t t 3 t 2 trên
2; .
3
Xét h|m số f t t 3 t 2 trên 2; .
Ta có: f ' t 3t 2 1 0, t 2; .
Mà f t liên tục trên 2; , suy ra h|m số f t đồng bi n trên 2; .
Do đó x y 1.
Thay y x 1 v| phương trình
x3 8 2
ta được x3 3 2 x 2 1
x 2 2 x 2 x2 2x 4
2 x 2
2
x2 2
x2 2
x2 2
2
x 2 x2 2x 4
x22
x2 2
x2 0 x 2 y 3
2
2
0 x2 2 x 4
x2 2 x 4
(*)
x22
x2 2
x 2 x2 2 x 4
0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 84
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Ta có VT x 2 2 x 4 x 1 3 3;VP
2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
2
1, x 2;
x2 2
Do đó phương trình * vẫ nghiệm.
V y hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x; y 2;3
2
2
(2 x 4 x 1)(2 y 4 y 1) 1
ng trình:
3 x4 x2 4 4 y 2 3 y
Bài 151: Ồi i h ph
x, y .
L n 1 – THPT Tờ N PồÚ – VơNồ PồÚC
L i gi i tham kh o
2 y 4 y 2 1 4 x 2 1 2 x 2 y (2 y) 2 1 (2 x) 2 1 (2 x) (*)
Xét h|m số f (t ) t t 2 1 trên R
Ta có f '(t ) 1
t
t 2 1
(*) x y
ta được
Thay v|o
Đặt
3
3
3
t 2 1 t
t 2 1
0, t suy ra h|m số đồng bi n trên R (*) x y
x 4 x 2 4 4 x 2 3x 3 x4 x2 4( x2 1) 3x 0
( x 2 1)
x2 1
4
3 0 chia
x
x
v cho x vì x= khẫng th̉a mãn
( x 2 1)
t . PTTT: 4t 3 t 3 0 t 1
x
1 5
x
( x 1)
2
1 x2 1 x x2 x 1 0
suy ra
Với t= 3
x
1 5
x
2
V y, hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm x; y .
2
Bài 152: Ồi i b t ph
ng trình:
x 1
L n 1 – THPT TờỔ U Ở N
L i gi i tham kh o
- ĐK x 1, x 13
- Khi đó
x2 x 2 3 2 x 1
x 1
.
3
2x 1 3
1 5
y
2
1 5
y
2
x2 x 2 3 2 x 1
x2 x 6
x
1
2
3
3
2x 1 3
2x 1 3
2 x 1 3 0 x 13 (1)
1
x 2
3
x 1 2
2x 1 3
, *
thì (*) 2 x 1 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1
-N u
3
Do hàm f (t ) t 3 t là hàm đồng bi n trên
f
3
2x 1 f
, mà (*):
x 1 3 2 x 1 x 1 x3 x 2 x 0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 85
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
1 5 1 5 DK(1)
Suy ra: x ;
VN
0;
2
2
- N u 3 2 x 1 3 0 1 x 13 (2)
thì (2*) 2 x 1 3 2 x 1 x 1 x 1 x 1
Do hàm f (t ) t 3 t l| h|m đồng bi n trên
f
3
2x 1 f
, mà (2*):
1
1 x 2
x 1 3 2 x 1 x 1 1 x 13
2
2
3
2 x 1 x 1
1 5
DK(2)
1 5
;
;13
Suy ra: x 1;0
x 1;0
2
2
1 5
;13
-KL: x 1;0
2
Bài 153: Ồi i h ph
x 1
Đk
y 0
x x 2 y y x 4 x3 x
(1)
ng trình:
.
9
(2)
x y x 1 y ( x 1)
2
L n 1 – TồPT DÂN L P LÊ TồÁNồ TÔN
L i gi i tham kh o
(1) x( x 2 y x 2 x ) ( x y ) 0
x
yx
x y x x
2
2
x y 0 ( x y )( x 2 y x 2 x x) 0
( x 2 y x 2 x x) 0(vn)
Do đ ó x=y thay v |o pt
x x x 1 x( x 1)
Đ ặt t x x 1(t 0) t 2 2 x 1 2 x ( x 1)
9
2
Pt trở th|nh t2+1+2t=9 hay t2+2t- = chỉ lấy t= x 1 x 2
5
25
x
x
2 x( x 1) 5 2 x
2
16
4 x 2 4 x 25 20 x 4 x 2
25 25
V y hệ có nghiệm duy nhất
; )
16 16
Bài 154: Ồi i h ph
( xy 3) y 2 x x5 ( y 3x) y 2
ng trình:
.
9 x 2 16 2 2 y 8 4 2 x
L n 1 – THPT T
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
NỒ D
NỒ
Trang 86
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
0 x 2
Đk
y 2
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
L i gi i tham kh o
(*) .Với đk * ta có
x 1
(1) ( x 1) ( y 3) y 2 ( x 1) x 0
( y 3) y 2 ( x 1) x
31
Với x = thay v|o
ta được 2 2 y 8 1 y (loai)
8
Ta có: (3)
(3)
y 2 y 2 ( x )3 x (4). Xét hàm số
3
f (t ) t 3 t f '(t ) 3t 2 1 0; t H|m số f t l| hs đồng bi n, do đó
(4) f ( y 2) f ( x )
y 2 x y x 2 thay v|o pt
4 2 x 2 2 x 4 9 x 2 16
ta được
32 8 x 16 2(4 x 2 ) 9 x 2 8(4 x 2 ) 16 2(4 x 2 ) ( x 2 8 x) 0
x
t 2
2
2
2
Đặt t 2(4 x ) (t 0) PT trở th|nh 4t 16t ( x 8 x) 0
t x 4 0(loai )
2
0 x 2
x
4 2
4 2 6
2
y
Hay 2(4 x ) 2 32 x
2
3
3
x 9
4 2 4 2 6
;
V y hệ pt có nghiệm x y l|
3
3
Bài 155: Ồi i h ph
y
1
2 y 1
3
x
ng trình: x
2x
4 .
x2 y 3 y 1
Điều kiện x 0; y
L n 1 – THPT VĂN ỒỔANỒ
L i gi i tham kh o
1
2
y
1
2 y 1
2 y 2 x 2 1 3x 2 y 1
1 x 3
x
2x
4
2 y 1 3 x 2 y 1 2 x 2 0
2 y 1
x 2 y 1
1
2 y 1
2 y 1
x
3
20
x 1 2 y 1
2 y 1
x2
x
2
2
x
Với x 2 y 1 thay v|o phương trình
y 1
5 17
3 y 1 y 1 2
y
2
y 5y 2 0
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 87
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Suy ra x 4 17 thoả mãn Với x
Với x
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
1
2 y 1 thay v|o phương trình
2
1
2 y 1 thay v|o phương trình
2
y 1
y 1
1
Ta được 3 y 1 . Do y 0 . V y phương trình vẫ nghiệm
2 4
2
2 4
x 4 17
K t lu n Hệ có nghiệm duy nhất
5 17
y
2
Bài 156: Ồi i h ph
x 3 xy x y 2 y 5 y 4
ng trình:
( y x)( y 1) ( y 2 2) 1 x 1
( x, y ) .
L n 1 – THPT V N NỔNồ
L i gi i tham kh o
xy x y y 0
ĐK
x 1
2
Từ
ta có ( x y ) 3 ( x y )( y 1) 4( y 1) 0
x y
x y
3
4 0
y 1
y 1
x y
1 x 2 y 1 (3)
y 1
y 2 2 ( x 1) 2
(4)
Từ
ta có ( y 2 2)( 1 x 1) ( x 1)( y 1)
y 1
x 1 1
1
t2 2
f , (t ) 1
0; t 1 f (t ) đồng bi n trên 0;
Xét hàm f (t )
(t 1) 2
t 1
y 0
Do đó từ
ta có: f ( y) f ( x 1) y x 1
(5)
2
x y 1
Từ
v|
giải được : y 1 3 loại ; y 1 3 nh n x 3 2 3
(Vì y 1 khẫng thoả
Hệ có nghiệm : ( x 3 2 3 ; y 1 3 )
Bài 157: Ồi i h ph
x y x y 2
ng trình:
.
2
2
2
2
x y 1 3 x y
L n
– THPT V N NỔNồ
L i gi i tham kh o
Điều kiện x+y 0, x-y 0
u v 2 (u v)
u v 2 uv 4
u x y
u 2 v2 2
ta có hệ u 2 v 2 2
Đặt
v x y
uv 3
uv 3
2
2
u v 2 uv 4
(1)
(u v) 2 2uv 2
.
uv 3 (2)
2
Th
v|o
ta có
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 88
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
uv 8 uv 9 uv 3 uv 8 uv 9 (3 uv ) 2 uv 0 .
uv 0
K t hợp
ta có
u 4, v 0 (vì u>v).
u v 4
Từ đó ta có x = 2; y = . Th̉a đ/k
KL V y nghiệm của hệ l| x; y)=(2; 2).
4 x 2 y x 9 1 3x y x 2 5 x 8
ng trình:
.
x 4 x 3 11x 2 y x 2 y 12x 12 y
L n – TồPT VỔ T TờÌ
L i gi i tham kh o
Phương trình
tương đương với
2
x x 1y 12 x 2 0 y 12 x 2
Bài 158: Ồi i h ph
Thay v|o phương trình 1 ta được 3 x 2 x 3 3 x 1 5 x 4
3 x 2 x x 1 3x 1 x 2 5 x 4 0
1
1
x2 x 3
0
x 1 3x 1 x 2 5 x 4
x2 x 0 x 0 hoặc x 1 .
Khi đó ta được nghiệm x; y là 0;12 và 1;11 .
x 1 x 1 y 2 x 5 2 y y 2
Bài 159: Ồi i h ph ng trình: x 8 y 1
.
2
y 2 x 1 3
x 4x 7
L n 1 – THPT ợUÂN Tờ
L i gi i tham kh o
Điều kiện x 1; y 2 .
x 1 a; y 2 b a, b 0 , từ
NỒ
a ab a 2 1 5 2 b 2 2 b a b ab b 2 a 2 b 2 0
Đặt
ta có
a b 1 2a b 0
a b (do a, b 0 1 2a b 0
x 1
y2 y x3
Th v|o
ta được
x 8 x 4
x 8 x 4 x 1 x 8
x
x
1
1
3
x2 4 x 7
x2 4x 7
x 1 3
x 8
x4
x 1
2
*
x 1 3
x 4 x 7
+ x 8 y 11;
+ *
x 1 3 x 4 x 1 x 2 4 x 7
x 1 3
x 1
2
2
3 x 2 3 . x 2 3 (**)
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 89
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
Xét h|m số f t t 3 t 2 3 với t
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
trên
.
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
có f ' t 3 t 1 0 t
2
nên f t đồng bi n
x 2
x 1 f x 2 x 1 x 2
2
x 1 x 4x 4
x 2
5 13
(T/M)
2
x
2
x 5x 3 0
Do đó ** f
x
5 13
11 13
y
2
2
5 13 11 13
;
V y hệ đã cho có nghiệm x; y là 8;11 và
2
2
x 2 y 3 y 2 3x 7
Bài 160: Ồi i h ph ng trình:
.
2
2
y 1 2 y 1 x x xy 3 y
L n – THPT YÊN PồONỒ Ở
L i gi i tham kh o
2
+ Đk y 1, x 0, y 3x
+ (2) y 1 x ( y 1) 2 x 2 y 2 xy y 0
( y x 1)
1
2 y 1 x 0
y 1 x
y x 1 0 do
+ Th y = x + v|o pt
1
2 y 1 x 0y 1, x 0
y 1 x
x 2 x 1 x 2 x 1 7 3 (3)
Xét h|m số f ( x) x 2 x 1 x 2 x 1
2x 1
2x 1
2x 1
2x 1
f '( x )
2
2
2
2 x x 1 2 x x 1
(2 x 1) 3
(2 x 1) 2 3
Xét h|m số g t =
t
t 3
2
, g’ t =
3
t2 3
3
0t R nên hs g t đồng bi n trên R
Do 2x + 1 > 2x – 1 nên g(2x + 1) > g(2x – 1), suy ra:
F’ x = g x + - g(2x – 1) > 0 x R
Do đó h|m số f x đồng bi n trên R, nên
f(x) = f(2) x = 2
V y hệ có nghiệm x y =
Bài 161: Ồi i b t ph
ng trình: 1 4 x2 20 x 4 x2 9 .
L n
– THPT YÊN L C
L i gi i tham kh o
”ất phương trình tương đương
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 90
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
4 x 2 9 x 4 x 2 20 1 0
4x 8
4x 8
x 2
1 0
2
4 x 2 20 6
4x 9 5
Từ ”ất phương trình ban đầu suy ra x 1 4 x2 20 4 x2 9 0 x 1 .
Do đó
4x 8
4 x2 9 5
4x 8
4 x 2 20 6
1 4 x 8
Nên nghiệm của bpt l| x 2
Bài 162: Ồi i h ph
x 33
ng trình:
x 3 3 x 1 2 9 x
0
x
x 1
4 x 20 6
2
1 0
x .
L n
– THPT YÊN Tồ
L i gi i tham kh o
x 1 x 3 3 x 1 2 9 x
4x 9 5
2
x 3
2 9 x
x
3 x 1
”ất phương trình tương đương
x 3 x 1 x 3
1 4 x 2 20 4 x 2 9
x 1 3 2 1 9 x
x
0
0
2
x 8
x 1
0
x x 1 3 1 9 x
x 8
00 x8
x
Bài 163: Ồi i h ph
x y x 1 x y y
1
.
3
2
x 6 x 20 171y 40 y 1 5 y 1 2
ng trình:
L n 3 – TồPT YÊN Tồ
1
L i gi i tham kh o
x y x 1 y x y 0
Phương trình
1 y
x y
x y x 1 y
x y
Thay v|o pt
1
0
x y
ta được
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 91
Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
x3 6 x 2 20 171x 40 x 1 5 x 1
TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
CHUYÊN ĐỀ PT – BPT – HPT
x 1 2 5 x 1 2 x 8 5 x 1 x 2 27 x 12 0
x 1 2 5 x 1 0 x 11 2 29 y 11 2 9
K T LU N
x 2 y 3 y 2 3x 7
Bài 164: Ồi i h ph ng trình:
.
2
2
y 1 2 y 1 x x xy 3 y
L n – THPT YÊN PồONỒ Ở
L i gi i tham kh o
2
+ Đk y 1, x 0, y 3x
+ (2) y 1 x ( y 1) 2 x 2 y 2 xy y 0
( y x 1)
1
2 y 1 x 0
y 1 x
y x 1 0 do
+ Th y = x + v|o pt
1
2 y 1 x 0y 1, x 0
y 1 x
x 2 x 1 x 2 x 1 7 3 (3)
Xét h|m số f ( x) x 2 x 1 x 2 x 1
2x 1
2x 1
2x 1
2x 1
f '( x )
2 x2 x 1 2 x2 x 1
(2 x 1) 2 3
(2 x 1) 2 3
Xét h|m số g t =
t
t 3
2
, g’ t) =
3
t 3
2
3
0t R nên hs g t đồng bi n trên R
Do 2x + 1 > 2x – 1 nên g(2x + 1) > g(2x – 1), suy ra:
F’ x = g x + - g(2x – 1) > 0 x R
Do đó h|m số f x đồng bi n trên R, nên
f(x) = f(2) x = 2
V y hệ có nghiệm x y) = (2; 3)
VÌ CỘNG ĐỒNG – THẦY TÀI – 0977.413.341 MINH CHÂU – YÊN MỸ - HƯNG YÊN
Trang 92
Luật Nguyen