PH ƯƠNG TRÌNH – BẤT PH ƯƠNG TRÌNH H Ệ PHƯƠNG TRÌNH(2015- 2016) (PH ẦN 1)  2x 2  2x   x  y  y  x  y .  2  x  1  xy  y  21 Đáp số : Câu 2. (Sở - GD – Bình D ương - 2015) 4x  1  6x  4  2x 2  2x  3. Đáp số : 0  x  2 . Câu 3. (Lê H ồng Phong – Lần 1 - 2015) 7 x  24 x  11  x  5 x  14  5 x  1. Đáp số : Câu 4. 2   3 2 x 3  4 x 2  x  2  23 x 2  68x  60 . Đáp số : x    1 1  13 . 2 (x  2)   1  Đáp số : S  { 1}   ; 3 .  2    Câu 9. (THPT-Trần Thị Tâm – 2015)  xy  2 x  5 y  3  x 2  2 y 2   x 2 y  2  y x  1  x  1  2 x  2 y  2 Đáp số : (5;1) Câu 10. (THPT – Nguyễn Viết Xuân - 2015)  4 x 2  y  x  9  3x  1  x 2  5 x  y  8  .  2 x 12 y y 12 x 12        Đáp số : (0;12); (1;11). Câu 11. (THPT – Lương Thế Vinh – L4-2015) 1  2 x  2 x2  3x  1 1  2 x2  x  1 8x2  10x 11  14x 18  11. Đáp số : -1; 1/ 2.  1. Câu 12. (THPT – Như Thanh – 2015) 13 105 13 105 Đáp số : . x 8 8 1 Câu 6. (THPT-M inh Châu 2 – Lần 2 - 2015) 2 1 2    ( x  y )2 x  y(2x  y) y  x(2x  y)  2( y  4) 2x  y 3  (x  6) x  y 1  3( y  2)  Đáp số : (4;4); (6;6) Câu 7. (THTP-Chí Linh – H ải D ương - 2015)   2x  3  2 x  1  2x 2  5x  3  1 Câu 5. (THPT-Hiền Đa-Phú Thọ - Lần - 2015)   8x  2x  4  x 1 x 14  8 x 1 . 3 17  17 . 8 Câu 8. (THPT- Chu Văn An – An Giang - 2015) Câu 1. (THPT - Trần Phú – Hà Tĩnh - 2015) 2 Đáp số : x  3 1  3x  2x (x  R). 2 Đáp số : 1. Câu 13. (THPT – Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2015) 1  2 x  y  1  4  2 x  y 2  6 x  3 y   2 2  x  1 2 x  x  4  8 x  4 xy  4 Đáp số : (1/ 2;-1/ 2). Câu 14. (THPT – Lương Ngọc Quyến-2015)    x2 y 2  2 4 y2  1 x2  1  x  1    x3 4 y 2  1  2 x2  1 x  6      Đáp số : (1;1/ 2). Câu 15. (THPT- Chuyên ĐH Vinh - 2015)   1 x 1 2x  3 x 1  0. Đáp số : 1  x  2. 3 Câu 16. (THPT-Hàn Thuyên – Lần 4 -2015) 4x  9  x2  3 x2  5  2 8x  3x 2 . Đáp số : x  2. Câu 17. (THPT – Nguyễn Trãi – Lần 3 -2015) x 2  2 x  2 x  1  3x 2  4 x  1 . 1 5 Đáp số : x  . 2 Câu 18. (THPT- Lâm Thao – Phú Thọ - 2015)  x  1  2 x x  1  y  1  2 y y  1  0 .   x y  y x  16 Đáp số : (4;4) Câu 19. (THPT – Lương Thế Vinh – L3 -2015) x  x  2  x3  4 x2  5 x  x3  3x 2  4 . Đáp số : x  4 . Câu 20. (THPT – Ngô Gia Tự - 2015) 2 x  3 y  2  3 y  x  2  2  y  1  4  x  8  x  0 Đáp số : (3;5). Câu 21. (Sở - GD – Bắc Giang - 2015) (4 x 2  x  7) x  2  10  4 x  8 x 2 .  5  41  ;   . Đáp số :  2; 1    8  Câu 22. (THPT- Nguyễn Thông - 2015)  x 2  xy  y 2  3  2  x  2 xy  7 x  5 y  9  0. Đáp số : (1;1);(2;-1) Câu 23. (THPT – Quãng Xương 4 - 2015) (1  y )( x  3 y  3)  x 2  ( y  1)3 . x  ( x, y  )   x 2  y  2 3 x3  4  2( y  2) 1 5 3  5  Đáp số :  x; y    ; . 2   2 Câu 25. (THPT- Nguyễn Xuân Nguyên - 2015)  x 3  y 3  6 y 2  3  x  5 y   14 .  3 2 3 4 5       x y x y  Đáp số : (-1;-3); (2;0) Câu 26. (THPT – Cẩm Lý – Bắc Giang - 2015)  x  x 2  2 x  2  3y 1  1 .   y  y 2  2 y  2  3x 1  1 Đáp số : (1;1). Câu 27. (THPT – Bắc Bình - 2015)  x 3  y 3  3 y 2  3x  2  0  2 2 2  x  1  x  3 2 y  y  2  0 Đáp số : (0 ; 1). Câu 28. (Sở - GD -Cà M au - 2015) 2   x  3 xy  x  y  y  5 y  4 . Đáp số : (5;2).   4 y 2  x  2  y  1  x  1 Câu 29. (THPT – Huỳnh M ẫn Đạt - 2015) 2  ( y  1)2  y  y 2  2 x  2  x  x 1 y    y2  y x  y x  8 x 3  y 3  8 x 2  y 2  4 x  y  1  0  2  x  4 y 2  3 y  1  0 Đáp số : ( 11 19 5  2 19 11 19 ; ); ( ; 17 17 17 Đáp số : (4;2).   5  2 19 ). 17 Câu 36. (THPT – Cao Bá Quát - 2015) Câu 30. (THPT – Thạch Thành – Lần 3 -2015) Đáp số : x  2  19 . x2  2 1  y  x  y  x  2 y  2   x  y  1 y  2 4 2  y  2 x  3 y  2 y  4 Đáp số : (-1;2); (2;1). Câu 31. (Sở - GD-ĐT-Bình D ương - 2015) 4x 1  6x  4  2x  2x  3 . 2 Đáp số : Câu 32. (THPT- Nghĩa Hưng - 2015) 2 x2  x  x  2  2 y 2  y  2 y  1    x 2  2 y 2  2 x  y  2  0 Đáp số : (1 ;1) ; (-2/ 3 ;1/ 6) Câu 33. (THPT- Yên Phong– 2–Bắc Ninh- 2015) 2   x  3 xy  x  y  y  5 y  4 .   4 y 2  x  2  y  1  x  1 15  x 2  x  15  3 15 x  x 3  4 x . Câu 37. (THPT – Núi Thành - 2015)  xy ( x2  y 2 )  2  ( x  y)2  4 2 3x y  6 x y( x  y )  4x  3xy. 3 81x  8  32 6  32 6 x  x  3 3 ,  . Đáp số :  3 3 y  y   3  2 6  3 2 6    Câu 38. (THPT – Nguyễn Bỉnh Khiêm - 2015)  x  2015  x 2 . y  2015  y 2  2015    x 6 x  2 xy  1  4 xy  6 x  1  3  11 3  11  ; Đáp số : (1; 1) ,   . 2 2   Câu 39. (THPT – Phan Bội Châu - 2015) x 2  20 x  4  x  2 x  4 . Đáp số : (5;2). Đáp số : S = [0;1] Câu 34. (THPT – Nam Đàn – Lần 3 - 2015) Câu 40. (THPT – Nguyễn Huệ - Lần 3 -2015)    x  x x 2  3x  3  3 y  2  y  3  1  3 x  1  x 2 6 x  6  3 y  2  1 Đáp số : (5;62). Câu 35. (Sở GD – ĐT – TPHCM - 2015) [4;+ ].  x  y  2y  1  x  y  5  2  y  2  xy  y Đáp số : (2;1). Đáp số : x  2  3 . Câu 41. (THPT-Số 3 – Bảo Thắng – 2016)  2x 2  y 2  x  3( xy  1)  2 y  . 2 2 9   3  2 x  y  3  4  5x  2 x  y  9  Đáp số : ( x; y )  (0; 1); ( x; y )  ( 1; 2) . Câu 42. (THPT – Kim Liên – Lần 1- 2016) 2 y 3  y  2 x 1  x  3 1  x .   9  4 y 2  2 x 2  6 y 2  7 Đáp số : x  1  2 . Câu 43. (THPT – Bình M inh – Lần 1-2016) x 1  Đáp số : x  0; x  x 2  x  23 2x  1 3 5 ( xy  3) y  2  x  x  ( y  3 x) y  2   9 x 2  16  2 2 y  8  4 2  x  4 2 4 2 6 ; Đáp số :   . 3 3   Câu 48. (THPT – Nguyễn Viết Xuân- 2016) 2  2  4 x  y  x  9  3x  1  x  5 x  y  8  2  x 12  y  y 12  x   12 Đáp số : (0;12); (1;11). Câu 49. (THPT – Đa Phúc - 2016) 1 x2 1 2x  1  3 1 5 2 x  y 2  x  2 y2  2   2 x  2  4 y  8 y xy  2 y  34  15 x  Đáp số : (x=30/ 17;y=2\sqrt{17}/ 17); (x=2;y=0). x  3  19  3x  x 2  2x  9 . 3x 2  5  2 x2  2 1     8 2 x  1 2 x  2 x  1  y y 2  2 y  4   ( x 2  1) x 2  3x  5  3 x 3  y 2  2 x  20  1  x. Đáp số : Câu 51. (THPT – Lương Thế Vinh - 2016) 2x  2  2 3  x  12 x  20 9 x 2  18 x  25 0. Đáp số : Câu 52. (THPT – Tân Yên – Số 1 - 2016) Đáp số : x=-2;x=1.  x2 2 6( x  2 x  4)  2( x  2)    2 2 12  8 x  13x 2   x  1 4  2  7x y y   2  4 x  1  xy 4  y  0 Câu 46. (THPT – Chuyên V ĩnh Phúc – Lần 3) 2 1 Câu 50. (Nhóm Toán – Lần 7) Câu 45. (THPT – Phù Cừ - Lần 1 - 2016) 5x  13  57  10x  3x 2  Đáp số : (;  2]  [ 2; ). Câu 44. (THPT – Lương Ngọc Quyến – 2016)  Câu 47. (THPT – Phan Thúc Trực - 2016) 1 2 Đáp số : H ƯỚNG D ẪN Câu 2. Câu 4. 12 x6  48x5  36 x 4  48x3  68x2  56 x  48  0 4   (x 2  x  3)  x 4  3x3  3x 2  2x    0 3  Chứng minh bậc 4 vô nghiệm … Kết luận : x   1 1  13 2  Câu 5. x  0  Điều kiện:  x 2  3 x  1  0  x0  2 1  2 x  x  1  0 1 3 Ta có 2 x 2  x  1  2  x     3  1 (x  0) 2 4  2 suy ra 1  2 x 2  x  1  0 BPT  x  x 2  x  1  x 2  3 x  1  1 x  Đặt x  1 1  1  x   3 (Vì x = 0 không thỏa mãn bất phương trình) x x 1  t  t  2 vì x  0 . x Ta có 1  t  1  t  3  2 t 1  3  t  13 4 Suy ra 2  t  13 1 13 2 x  4 x 4  1 2 x  2  13 105 13 105  x  x1 0     x 2 8 8 x1 13 4x 13x40  x 4 Câu 6. x  0 x  0   ĐK  y  0 y  0 2 x  y  0  N ếu y=0 thì (1)  2 1 2   (vô lý) x x 2x2 Tương tự x=0 không thỏa mãn, v ậy x,y > 0. Đặt x  ty , t  0 , phương trình đầu trở thành: 2 1 2 (1’)   2 ( t  1) t  2t  1 1  t (2t  1) Ta có 1 2 2 2    t  2t  1 2t  2 2t  1 (2t  1)  2 2t  1  1 ( 2t  1  1) 2 (1')  2 2 2 1 1 1 (2)      2 2 2 2 ( t  1) ( 2t  1  1) 1  t (2t  1) ( t  1) ( 2t  1  1) 1  t (2t  1) a  t 1 1 1   (*) Đặt  (a, b  0) , (2) (2)  2 2 (1  a ) (1  b ) 1  ab  2  1 b t  Bổ đề : 1 1 1   2 2 (1  a ) (1  b) 1  ab Áp d ụng BĐT Cauchy-Schawarz ta có: 1  ab  a  b   ( a  ab . b )2  a (1  b) 2  1 1 a  . (3) 2 a b ab (1  b) b 1 1  tt . (4) 2 ab a b (1  a) Cộng v ế v ới v ế ta được đpcm. D ấu “ =” xảy ra  a  b (*)  t  2t  1  t  1  x  y 2(x  4) x  3  ( x  6) 2 x  1  3( x  2)   4( x  4) 2 ( x  3)  ( x  6) 2 (2 x  1) 4( x  4) 2 ( x  3)  ( x  6) 2 (2 x  1) x x x 2(x  4)  3  (  6) 2  1    3( x  2) x x x 2(x  4)  3  (  6) 2  1  ( Do đk x  3 nên x-2 > 0)  2(x  4) x  3  ( x  6) 2 x  1  3( x  2)    2(x  4) x  3  ( x  6) 2 x  1   (5) 2 x  7 x  28 (6) 3 2 Cộng v ế v ới v ế (5) và (6) ta được: 4(x  4) x  3  2 x 2  7 x  28  3( x  2)  12( x  4) x  3  2( x  4)( x  12) 3  2( x  4)(6 x  3  x  12)  0  2( x  4)(x  3  6 x  3  9)  0  2( x  4)( x  3  3) 2  0 x  4  y  4  x  6  y  6 Vậy hpt đã cho có tập nghiệm T={(4;4),(6;6)} Câu 7. Câu 8. Điều kiện: x  1 x  2  a2  b2  2x  3  a     Đặt  x  1  b   2x 2  5x  3  ab .   a, b  0 1  a 2  2b2   Bất phương trình trở thành: (a 2  b2 )(a  2b)  ab  a2  2b2  (a2  b2 )(a  2b)  b(a  b)  (a2  b2)  0  (a  b)(a  2b)  (a  2b)  0 (do a  b  0)  (a  2b)(a  b  1)  0 x  1 x  1   1 1    TH1:  2x  3  2 x  1  0  x    x 3   2 2  2x  3  x  1  1  0 1  x  3   x  1  x  1   2x  3  2 x  1  0  x   1 TH2:   x  1   2  2x  3  x  1  1  0 x  1; x  3    1  Vậy bất phương trình có nghiệm S  { 1}   ; 3  2    Câu 9.  y  1 ĐK :  x  1 Pt đầu của hệ tương đương v ới  x  y  1 2 y  x  3  0  2 y  x  3  0 (do đk) Thay vào pt thứ hai, được:  2 y  3  2 y  2  y 2 y  2  2 y  2  2 y  4   y  2 (thỏa đk )  H ệ pt có nghiệm duy nhất : x  5, y  1 Câu 10.  2y  2  2  0  2y  2  2  0  y 1  x 12  y  12 y 12  x 2   12  x 12  y   2 12 x  24 x 12  y  12 12  y  Ta có  2    y  12  x 2  x 12  y  12     1 2  x  12  y  0    x  2 3; 0  y  12  3   (0,25) Thay vào phương trình 1 ta được: 3x 2  x  3  3 x  1  5 x  4      3  x 2  x   x  1  3x  1  x  2  5 x  4  0 1 1     x2  x   3   0 x  1  3x  1 x  2  5 x  4    x 2  x  0  x  0 ho ặc x  1 . Khi đó ta được nghiệm  x; y  là  0;12 và 1;11 . Câu 11. Câu 12. Giải phương trình: 1  Điều kiện: x   1 (*). 3 3 1  3x  2x (1). 2 (0,25) Đặt y  1 1  3x  1  3x  2y (2) 2 (1) trở thành 1  3 y  2 x (3)  x  0, y  0  1  3x  2 y  Từ (2) và (3) ta có hệ   1  3x  4 y 2 (4) .  1  3 y  2x 1  3 y  4x 2 (5)  Trừ v ế v ới v ế (4) và (5) ta có 3( x  y )  4( x 2  y 2 )  ( x  y )(3  4 x  4 y )  0  y  x (vì x  0, y  0 ). x  1 Thế y = x vào (5) ta có 4x 2  3x  1  0   1. x    4 Kết hợp v ới x  0 , suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 1. Câu 13. Điều kiện: 2 x  y  0 (1)  1  4  2 x  y   2 x  y  1  6 x  3 y  0 2 1 4x  2 y 0 2 x  y  1  6x  3  1  4 x  2 y 1  4 x  2 y     1  1  4 x  2 y  1  4 x  2 y   0     2 x y 1 6 x 3   Do điều kiên 2 x  y  0 nên 1  2  2 x  y   1 0 2x  y  1  6x  3 Suy ra 4 x  2 y  1  0  4 x  2 y  1 thế vào phương trình (2) ta được  x  1 2 x 2  x  4  2 x  4 x  2 y   4   x  1 2 x 2  x  4  2 x  4  0 Đặt f  x    x  1 2 x 2  x  4  2 x  4 f '  x   2x 2  x  4   x  1 4 x  1 2 x2  x  4 2 8x2  x  7 2 2 x2  x  4  0, x   1 1 Suy ra hàm số đồng biến trên R mà f    0 nên x  là nghiệm duy nhất 2 2 Với x  1 1  y   (thảo đk) 2 2 1 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    ;   2 2 Câu 14. Câu 15. Câu 16. Câu 17. x2  2 x  2 x  1  3x 2  4 x  1 (1) ĐK : x  1 2 (1)  ( x 2  2 x)(2 x  1)  x 2  1  ( x 2  2 x)(2 x  1)  ( x 2  2 x )  (2 x  1) u  x 2  2 x Đặt:  (u; v  0) . Thay vào pt trên ta được : v  2 x  1 u  v u  v (3  5)  u.v  u  v   2 v  (3  5)  u  2 2 v u  3uv  v  0 u  2  Do đó : x 2  2 x  (3  5) 1 5 (2 x  1)  2 x 2  2(1  5) x  3  5  0  x  (TMĐK) 2 2 Vậy nghiệm của pt(1) là : x  1 5 2 Câu 18. Từ PT (1): x  1  2x x  1  y 1  2y y 1 Đk: x, y  1 Đặt f(t)= t  2(t  1) t f ' (t )  1 2 t 2 t  ,t  0 2(t  1) 2 t  0, t  0  hàm số f(t) đồng biến mà f(x-1)=f(y-1) nên x=y Thế x=y vào (2) ta được: 2 x x  16  x  4 vậy hệ có nghiệm x=y=4 Câu 19. Giải bất phương trình: x  Bpt  x  x  2  x3  4 x2  5 x  x3  3x 2  4 . 2 x  2  x  x  2   1     ( x  2)  | x  2 | x  1  x 1    x  2 : (1)  0  2 2  x  2  x  2 (lo ại). 2 2 ( x  1)  1 .   x  0 . (1) x  0 : (1)  2  2 (lo ại).   2 x  2 : (1)  ( x  2) 1  x  1  x 1   x  2   1    1 1 1 1 .  1   1 Chia 2 v ế cho x .( x  2)  0 ta được: (1)  2 x x2 x  x  2  Xét hàm f (t )  t  1  t 2 , t  0  f '(t )  1  (1)  t 1 t 2  0 t  0  f (t ) đồng biến t  0 1 1 .  x x2  x  2  x  x 2  5 x  4  0  x  4; x  1 . Kết hợp x  2  x  4 .  0 x  2:   (1)  ( x  2) 1  x  1  x 1   Chia 2 v ế cho  x  2 2  1 .  x .( x  2)  0 ta được: (1)  Xét hàm f (t )  t  1  t , t    f '(t )  1  2 1 1 1 1 .  1   1 2 x x2 x  x  2 t 1 t2  1 t2  t 1 t2  0 t  f (t ) đồng biến t . Từ đó 1 1 1 . Trường hợp này vô nghiệm vì  0.  x2 x x2 (1)  Đáp số: x  4 . Câu 20. 2  x  4 Điều kiện:  . y 1 (1)  2 x  3 y  2    x2  y  2 x  2  3 y  4  x  3 y  2  x  2  9 y  6 y  x  2  0 y  x2 Thay (3) Vào (2) ta được: (4)      3 x  1  4  x  8  x 2  0 (4), ( -1  x  4)  x  1  2  1  4  x  9  x2  0  x 3 x 3    9  x2   0 x 1  2 4  x 1 x  3  y  5  1 1    x3 4  x 1  x  1  2 1 1   x  1  2  2 Xét (5). Ta co ́ :   1  1  4  x  1  5 1 1 3   , x   -1;4 x 1 1 4  x 1 2 Mặt khác x  3  2, x  -1;4 Vậy phương trình (5) vô nghiệm. Nghiệm của hệ là:  x; y    3;5  Câu 21. ĐK: x  -2 (4 x 2  x  7) x  2  10  4 x  8 x 2  (4 x 2  x  7) x  2  2(4 x 2  x  7)  2[( x  2)  4]  (4 x 2  x  7)( x  2  2)  2( x  2  2)( x  2  2)  4 x2  x  7  2 x  2  4  4 x 2  x  2  2 x  2  1  (2 x) 2  ( x  2  1) 2  0  (2 x  x  2  1)(2 x  x  2  1)  0  x  2  2 x  1  ho ặc  x  2  2 x  1  x  2  2 x  1   x  2  2 x  1  5  41  Giải các hệ bất pt trên được tập nghiệm là: T =  2; 1   ;    8  Câu 22. Cộng hai v ế pt ta được : (x + y – 2 )2 + x( x + y – 2 ) – (x + y – 2 ) = 0   x  y  2  .  2 x  y  3  0 x  y  2  0  2x  y  3  0 Với x + y – 2 =0 , ta có hệ : x  y  2  0 x  1   2 2 y 1  x  xy  y  0 Với 2x + y – 3 =0 , ta có hệ :  x  1  2 x  y  3  0 y 1    2 2  x  2  x  xy  y  0    y  1 Câu 23. 2 2  x  y  0  x  y  ĐKXĐ:   x  0, y  1  x  1, y  1 Nhận xét x  1, y  1 không là nghiệm của hệ. Xét y  1 thì pt (1) của hệ (I) x 2  x( y  1)  3( y  1)2  ( y  1) x( y  1)  0  x  x x  3 0   y 1 y 1  y 1  x t , t  0 . Khi đó, pt (1) trở thành y 1 2 t 4  t 2  t  3  0   t  1  t 3  t 2  2t  3  0  t  1. Với t = 1, thì x  1  y  x  1 , thế vào pt(2), ta được y 1 x 2  x  1  2 3 x 3  4  2  x  1  x 2  x  1  2  3 x3  4   x  1   0     x2  x 1  0 2  x  x 1  6   2 2 3 3 3  3  x  4     x  1 x  4   x  1     x  x  1 1    2 3 x   0  2 3  x  4   x  1  6 x2  x 1 3  4     x  1 3 2 1 5 2 1 5 3 5  y . Với x  2 2  x2  x  1  0  x   x  1 . 1 5 3  5  Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm  x; y    ; . 2   2 Câu 25.  x3  y 3  6 y 2  3  x  5 y   14 (1) Giải hệ:  3 2  3  x  y  4  x  y  5 (2) Đkxđ  x  3  y  4 3 2 Từ (1) ta có x3  3x   y  2   3  y  2    x  y  2   x 2  x  y  2    y  2   3  0    y  x  2  3 . Thế (3) vào (2) ta được x  2  3  x  x3  x 2  4 x  1  x3  x 2  4 x  4  2  x  2  1  3  x  0 x2 x2   x  2  x  2  x  1   0 2  x  2 1 3  x 1 1     x  2    x  2  x  1   0 2  x  2 1 3 x   1 1 1 1    x  2    x  2  x  1      0 3 2  x  2 1 3 x 3    x 1 x 1   x  2    x  2  x  1    3 2 x2 x  2 1 3 1  3  x 2  3  x   1 1   x  2  x  1   x  2     3 2 x2 x  2 1 3 1  3  x 2  3  x    Vì  y  4  x  2  x  2      x 1 3 2 x2    3 1  x 1 x  2 1 x  2  x  1  x  2  x  1  0   trên tương đương v ới Với x  2  y  0; x  1  y  3 .         0    0   3 x 2  3 x  Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là S   1;  3 ;  2;0 . Câu 26. u  x  1 Đặt  . H ệ PT  v  y  1 u  u 2  1  3v  v  v 2  1  3u  3u  u  u 2  1  3v  v  v2  1  f (u )  f (v) , v ới f (t )  3t  t  t 2  1 Ta có: f  (t )  3t ln 3  t  t2  1 t2 1  0  f(t) đồng biến v ới t u  u  v  u  u 2  1  3  u  log3 (u  u 2  1)  0 (2)   Xét hàm số: g (u )  u  log 3 u  u 2  1  g '(u )  0  g(u) đồng biến u Mà g (0)  0  u  0 là nghiệm duy nhất của (2). 0 Từ đó p.trình KL: x  y  1 là nghiệm duy nhất của hệ PT. Câu 27. 1  x  1 Điều kiện:  0  y  2 Phương trình (1) của hệ tương đương v ới: x 3  3 x  2  ( y  1)3  3( y  1)  2 (*) Xét hàm số f (t )  t 3  3t  2 , t  [ 1;1] Ta có: f '(t )  3t 2  3  0 , t  [ 1;1] Suy ra: f nghịch biến trên đoạn [-1;1] Do đó: (*)  f(x)=f(y-1)  x  y  1 Thế vào pt (2) của hệ ta có: (2 y  y 2 )  2 2 y  y 2  3  0  2 y  y2  1  y  1 Vậy: hệ phương trình có nghiệm (x=0;y=1) Câu 28.  xy  x  y 2  y  0  Đk: 4 y 2  x  2  0  y 1  0  Ta có (1)  x  y  3  x  y  y  1  4( y  1)  0 Đặt u  x  y , v  y  1 ( u  0, v  0 ) u  v Khi đó (1) trở thành : u 2  3uv  4v 2  0   u  4v (vn) Với u  v ta có x  2 y  1 , thay vào (2) ta được :  4 y 2  2 y  3   2 y  1  2  y  2 4 y2  2 y  3  2 y 1    4 y2  2 y  3  y 1  2 y y 1 1  0  2 y2   0   y  2  2  y 1  1  4 y  2 y  3  2 y 1  1 0 y  1  1   y  2 ( vì  2 4 y  2 y  3  2 y 1 2  1  0y  1 ) y 1 1 Với y  2 thì x  5 . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là  5; 2  . Câu 29. + Biến đổi phương trình thứ 1: 8x3 - y 3 - 8x2 - y2 + 4x - y - 1 = 0  8x3 - 8x2 + 4x = y 3 + y 2 + y + 1  (2x )3 - 2(2x)2 + 2(2x) + 1 = ( y + 1 )3 - 2(y + 1)2 + 2(y+1) + 1 ( *) + Xét hàm f(t) = t3 - 2t2 + 2t + 1  f'(t) = 3t2 - 4t + 2 > 0 v ới t  R  hàm f(t) luôn luôn đồng biến trên R Mà từ ( *) ta có f( 2x ) = f( y + 1 )  2x = y + 1  y = 2x - 1 + Thay vào phương trình thứ 2 : x2 + 4(2x -1 )2 - 3( 2x - 1 ) - 1 = 0  11  19  x1  17  17x2 - 22x + 6 = 0    11  19  x2  17  + Với x1  11  19 17  y1  5  2 19 17 + Với x 2  11  19 17  y2  5  2 19 17 Vậy hệ có 2 nghiệm : ( Câu 30. Đặt u  x  y ; v  1  v  u  u 11 19 5  2 19 11 19 5  2 19 ; ); ( ; ) 17 17 17 17 y  u  0; v  0   x  u 2  v 2  .  v 2  2v 2  2   u 2  1 v   u  1 v  1 u  v  2   0 Pt đầu của hệ trở thành: 2 2 TH 1 : u=1  x  y  1  x  1  y . Thế vào pt thứ hai của hệ ta được: y 2  2  2 y  3 y4  2 y2  4  y 2  2 y   y  y  2  3     y  2  y   y 3 y4  2 y2  8 4 y  3  2 y  2 y  2 y  4 2 y 4 3  2y 2 4  2  y  2 2 2  y4  2 y2  2  0 0   0 y2 4 2 3  2 y 2y  4  Khi đó x=-1. TH 2: v=1. Suy ra y=1; x=2. TH 3: u+v+2=0: Vô nghiệm. Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:  x; y    1; 2  ,  2;1 Câu 32.  x  2 ĐKXĐ: + Điều kiện:   1  x   2 + Từ phương trình thứ hai của hệ, ta có: x 2  2 y 2  2 x  y  2 ; Thay vào phương trình   thứ nhất của hệ, ta được: x 2  2 y 2  2 x  y  2  x  x  2  2 y 2  y  2 y  1  x2  2x  1  x  1  2   x  1  x  1   x  1  1  4 y 2  2 y   x  1  1   2 y 2  2 y  + Xét hàm số f  t   t 2  t  t  1 , v ới + Ta có: f /  t   2t  1  1 2 t 1 2y 1 2 y  1 (*). t  1 . ; f / / t   2  t  t  13 1 4 1 ; f / / t   0  t    3 4 3 4  + Bảng biến thiên: f / / t   t   0 + + Từ bảng biến thiên suy ra: f / t   1  0; t   1;   2 + Do đó: Hàm số f  t  đồng biến trên nửa kho ảng f /  1 2  1;   . + Suy ra phương trình (*)  f  x  1  f  2 y   x  1  2 y . x  2 y  1 vào phương trình thứ hai của hệ, ta được: + Thay  2 y  12  2 y 2  2  2 y  1  y  2  0 y 1 x 1  6y  7 y 1  0   1 2 y   x   6 3  2 * Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là:  x; y   1;1 ,   ;  . 2 1  3 6 Câu 33.  xy  x  y 2  y  0  Đk: 4 y 2  x  2  0  y 1  0  Ta có (1)  x  y  3  x  y  y  1  4( y  1)  0 Đặt u  x  y , v  y  1 ( u  0, v  0 ) u  v Khi đó (1) trở thành : u 2  3uv  4v 2  0   u  4v (vn) Với u  v ta có x  2 y  1 , thay vào (2) ta được : 4 y2  2 y  3  y 1  2 y  4 y 2  2 y  3   2 y  1  2  y  2 4 y2  2 y  3  2 y 1  y  2 ( vì     y 1 1  0  2 y2   0   y  2  2  y 1  1     y y y 4 2 3 2 1  2 4 y  2 y  3  2 y 1 2   1 0 y  1  1  1  0y  1 ) y 1 1 Với y  2 thì x  5 . Đối chiếu Đk ta được nghiệm của hệ PT là  5; 2  Câu 34.   x x 2  3x  3  0  x  3  3   y  3  0 Đk:   1  x  3  3 * x  1  0   y  3 x2  6 x  6  0  Đặt a  3 y  2  1  y  3  a 3  1 . Khi đó , phương trình 1 trở thành x  13  1  x  1  f ' t   3t 2 2 t3 1 2   3 a 3  1  a 3 . Xét hàm số f t   t 3  1  t , t  1 .  1  0, t  f t  là hàm đồng biến trên R. Khi đó 3  f  x  1  f a   x  1  a x  1  x 2 6 x  6  x  x 2  6x  6  3 x  1  x 3 x  1  x  0 * *   x 2  6 x  6  9 x  1  x 2  6 x x  1 3 x  1  x 1  0   x  0 3  2 x x  1  5x  1   5 x  1  2 x  4 x 2  25 x  25  0  x  1   x  1  x  0    x  5   x  5    5   x  5 x   4  4 Đối chiếu v ới (**) và * thấy x  5 thỏa mãn  a  4  y  62 . Vậy hệ có nghiệm là  x; y   5;62 Câu 35. Câu 36. Điều kiện 0  x  15  Biến đổi phương trình tương đương: 15  x   3 x . 15  x 2  4 x  2 2  15  x 2  x  0 Đặt u  15  x 2 , v  x (u, v  0) , khi đó phương trình trở thành: u 2  3uv  4v  2  u  v 2   0  u 2   3v  2  u  2v 2  4v  0 u   3v  2   4  2v 2  4v   v 2  4v  4   v  2  2 Khi đó u  2 3v  2  v  2 3v  2  v  2  2v hoặc u   v2 2 2 Với u  2v , khi đó 15  x 2  2 x  15  x 2  4 x  x 2  4 x  15  0  x  2  19 hay x  2  19 (loại) Với u  v  2 , khi đó 15  x 2  x  2 (*) Với điều kiện: 0  x  15  x 2 15  2  16  2  0 nên phương trình (*) vô nghiệm. Vậy phương trình co ́ nghiệm:  x  2  19 Câu 37. Xét phương trình (1): xy ( x 2  y 2 )  2  ( x  y )2  xy ( x 2  y 2 )  2  x 2  y 2  2 xy  xy( x2  y 2 )  ( x2  y 2 )  2 xy  2  0  ( x 2  y 2 )( xy  1)  2( xy  1)  0  ( xy  1)( x2  y2  2)  0  xy  1 thay vào (2) ta được : 3 3 4  3 81x  8  3 2 2 81x  8 (*) 3 x  2 x  x  2  81x  8  ( x  )  3( x  )    3.   3 3 3  3 3  3 2 Xét f (t )  t 3  3t , f(t) đồng biến trên R. Khi đó pt(*) trở thành:  f   2 f (x  )  3  x  0  3 81x  8  2 3 81x  8 3  24  3  3 x  2  81x  8   x    x   3 3 3 3   3  24   x  3  32 6  32 6 x  x  3 3 Suy ra hệ phương trình đã cho có hai nghiệm:  ,  3 3 y  y   3  2 6  3 2 6 Câu 38.  Điều kiện : 6 x  2 xy  1  0   Ta có : x  2015  x 2  x  2015  x 2   y   2015  y 2  2015 2015 y  2015  y 2   y  2015  y 2  x  2015  x 2  (  y )  2015  (  y ) 2 Xét hàm số : f (t )  t  2015  t 2 là hàm số xác định và liên tục trên R (1) f ' (t )  1  t 2015  t 2 2015  t 2  t  2015  t 2 t t  2015  t 2 0  f ' (t )  0, t  R : f (t ) là hàm số luôn đồng biến trên (; )  Khi đó pt(1) được viết lại : f ( x)  f ( y)  x   y Thay y   x vào phương trình thứ hai của hệ, được : x 6 x  2 x 2  1  4 x 2  6 x  1  (2 x 2  6 x  1)  x 2 x 2  6 x  1  6 x 2  0 (2) u  3 x Lại đặt : u  2 x 2  6 x  1 , u  0 ; pt(2) thành u 2  xu  6 x 2  0   u  2 x 3 x  0 x  0  Với u  3x  2 x 2  6 x  1  3x   2  2 2 2 x  6 x  1  9 x 7 x  6 x  1  0  x  1 suy ra y  1 : thỏa đk 2 x  0 x  0  Với u  2 x  2 x 2  6 x  1  2 x   2  2 2 2 x  6 x  1  4 x 2 x  6 x  1  0 x 3  11 3  11 suy ra y  : thỏa đk 2 2  3  11 3  11  Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm : (1; 1) ,    2 ; 2   Câu 39. Điều kiện: x 0 (*) + x=0 là nghiệm bpt (1) + x>0 chia 2 v ế bpt cho √ ta được: Đặt t = √ + √ => x+ = t2 - 4 Bất phương trình thành:√   t≥ 3 ≥ + 16 ≤ 4 + −4 + 1 + 16 2t-1 + 20 +1 2(√ + ) √ Với t 3 ta có: √ +  x 4 ; 0< ≤1 √ 3 Kết hợp v ới điều kiện (*) và nghiệm x = 0 ta được tập nghiệm bpt là S = [0;1] Câu 40. Điều kiện x  y  1 2 Đặt a  2y  1  0, b  x  y  0 2 2 Phương trình thứ nhất trở thành a  b  a  b  4(3) 2 2 2 2 Phương trình thứ hai trở thành a b  a  b  3(4) S 2  S  2 P  4 S  a  b Giải hệ (3), (4) đặt  (S, P  0) ta được :  2 2  P  S  2 P  3 P  a.b (5) (6) Trừ (5) cho (6) ta được S  P 2  1  S  P 2  1 Thay vào (6): P 2  P 4  2 P 2  1  2P  3  (P  1)( P 3  P 2  4 P  2)  0 P  1 Kết hợp điều kiên P  0 ta được P=1; S=2  3 2  P  P  4P  2  0 Giải hệ P=1; S=2 ta thu được a = b =1 Suy ra hệ có nghiệm duy nhất (x  2; y  1) Câu 41. 2 x  y  0  ĐK :  4  x  5 Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có : 2x 2  y 2  x  3( xy  1)  2 y   x  y  1 2x  y  3  0  y  x  1 Với y  x  1 thay vào phương trình thứ hai ta được phương trình sau : 2 2 9   3  x  1 3  4  5x x  10     2  x  10  6  x  1  4  5x  9 9  3 x  1  3 4  5x  x  1 4  5x    x  1  4  5x  3 9 x  1  9 4  5x  4x  41  0  [4;+ ]  4 ( Do x   1;  nên 9 x  1  9 4  5x  4x  41  0 )  5  x  1  4  5x  3  0  x  1  4  5x  3  2 x  1. 4  5x  4  4x    x 1  0  x  1 4  5x  2 x  1  0    x  0  4  5x  2 x  1 Với x  0  y  1; x  1  y  2 Đối chiếu v ới điều kiện và thay lại hệ phương trình ban đầu ta thấy hệ đã cho có nghiệm : ( x; y )  (0; 1); ( x; y )  ( 1; 2)  x  1. Câu 42. ĐK: x  1 , ta có: 2 y 3    y  2 x 1  x  3 1  x  2 y 3  y  2. 1  x  1  x  y  1  x Vì h/ s f t   2t 3  t đồng biến trên R. 3 Thế vào pt kia ta được pt: 2x 2  6x 1  4x  5  4 x 2  8x  4  4 x  5  2 4 x  5  1  2 x  2  2   4x  5  1 2  2  2 x  4 x  5  1 vì x  1  x  1 2 tmđk. Câu 43. Điều kiện: x  1, x  13 Pt  x 1  2  x2  x  6 ( x  2)( x  1  2) 1 ( x=3 không là nghiệm) 3 3 2x  1  3 2x 1  3  (2 x  1)  3 2 x  1  ( x  1) x  1  x  1 Hàm số f (t )  t 3  t đồng biến trên  do đó phương trình  3 2 x  1  x  1  x  1/ 2  x  1 / 2  3 2  2 3 (2 x  1)  ( x  1) x  x  x  0  x  1/ 2 1 5   1  5  x  0, x  2  x  0, x   2 Vậy phương trình có nghiệm S  { 0, 1 5 } 2 Câu 44. Ta kí hiệu các phương trình trong hệ như sau:  x  y 2  x  2 y 2  2 1   2 x  2  4 y  8 y xy  2 y  34  15 x  2  2  x  2 Điều kiện:  . y  0  2 x  y . 1  2  x  2  x . y  2 y 2  0    2  x  2 y + Với 2  x  y thay vào (2) ta được   2   x  2  4 2  x  8 4  x 2  34  15 x  3  . Đặt t  x  2  4 2  x  t 2  34  15x  8 4  x2 t  0 . Khi đó  3  trở thành 2t  t 2   t  2  30 2 17  x2 4 2 x  0 y x    17 17   x  2  4 2  x  2  x  2  y  0 + Với 2  x  2 y . Vì y  0  2 y  0 mà 2  x  0 nên chỉ có thể xảy ra khi x  2 và y  0 thử vào (2) thấy thỏa mãn. 30   x  17 x  2 . Kết luận: H ệ phương trình có hai nghiệm:  và  y  0  y  2 17  17 Câu 45.  19 3  x  Điều kiện  3 x  4  Bất phương trình t ương đương  x  3  19  3x 2 x  3  x  3  19  3x 19  3x  x 2  2x  9  2 x  3  19  3x  x 2  2x  9  13  x  x  5  2  2 x  3     19  3x   x x 2 3   3    2 x 2  x  2  x 2  x  2    x2  x  2   x  5 13  x  9 x  3   9  19  3x   3  3        2 1 0  x2  x  2       13  x  x  5 9 x  3   9  19  3x   3  3       Vì  2  x  5 9 x  3   3       19   0 với m ọi x   3;  \ 4  3 13  x   9  19  3x   3   1 Do đó *  x 2  x  2  0  2  x  1 (t ho ả mãn) Vậy t ập nghi ệm của b ất phương trình là S   2;1 . Câu 46. *  Câu 47. 0  x  2 Đk:   y  2 (*) .Với đk(*) ta có (1)  x 1 ( x  1)  ( y  3) y  2  ( x  1) x   0    ( y  3) y  2  ( x  1) x (3) Nội dung Với x = 1 thay vào (2) ta được: 2 2 y  8  1  y   Ta có: (3)    31 (loai ) 8 y  2  y  2  ( x )3  x (4). Xét hàm số f (t )  t 3  t  f '(t )  3t 2  1  0; t  Hàm số 3 f(t) là hs đồng biến, do đó: (4)  f ( y  2)  f ( x )  y  2  x  y  x  2 thay vào pt(2) ta được: 4 2  x  2 2 x  4  9 x 2  16  32  8 x  16 2(4  x 2 )  9 x 2  8(4  x 2 )  16 2(4  x 2 )  ( x 2  8 x)  0 Đặt : t  2(4  x 2 ) Hay  x t  2 2 2 (t  0) ; PT t r ở t hành: 4t  16t  ( x  8 x )  0   t   x  4  0(loai)  2 0  x  2 x 4 2 4 2 6  2(4  x )    2 32  x  y 2 3 3  x  9 2  4 2 4 2 6 ;  3 3   Vậy h ệ pt có nghi ệm (x; y) là:   Câu 48. Điều ki ện: 1  x   3   y  12   y 12  x 2   0   x 2  5 x  y  8  0  2  Ta có  *  x 12  y  12 y 12  x 2   12  x 12  y   2 12 x  24 x 12  y  12 12  y   y  12  x 2  x 12  y  12     1 2  x  12  y  0    x  2 3; 0  y  12  3   (0,25) Thay vào phương trình 1 ta được: 3 x 2  x  3  3x  1  5 x  4      3  x 2  x   x  1  3x  1  x  2  5 x  4  0 1 1     x  x3   0 x  1  3x  1 x  2  5 x  4   2  x 2  x  0  x  0 ho ặc x  1 . Khi đó ta được nghi ệm  x; y  là  0;12  và 1;11 . Câu 49. +) Đặt t = x2 – 2, bpt tr ở thành: ( t  1)( 1 1 2   ĐK: t  0 với đk trên, bpt tương đương t 3 3t  1 t 1 1 1  )  2 . Theo Cô-si ta có: t 3 3t  1 t t t 1 1  t t 1   .    t  1 t  3 2  t  1 t  3  t 3 1 1 2 11 2  .      2 t 3 2 2 t 3 t 3 t 1 2t 11 2t      .  2 3t  1 2  2 3t  1  3t  1 1 1 t 1 1  1 t 1   .     t  1 3t  1 2  t  1 3t  1  3t  1  VT  2t  0. +) Thay ẩn x được x  2 2  x  (;  2]  [ 2; )  T  (;  2]  [ 2; ). (0,25)