Tính duy nhất và ổn định của bài toán Calderón

- TÍNH DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CỦA BÀI TOÁN CALDERÓN.
- 0.1 Giới thiệu bài toán.
- 2 Tính duy nhất 19 2.1 Phương trình Schr¨ odinger.
- 2.3 Chứng minh tính duy nhất.
- 3.2 Kết quả chính về tính ổn định.
- 4 Tính duy nhất trên ∂ Ω −,ε 54.
- 54 4.2 Tính duy nhất trên ∂Ω −,ε.
- Cho u : Ω ⊂ R n → C n được xác định bởi u(x.
- • ∇u : được định nghĩa ∇u.
- được định nghĩa |∇u.
- • D j u: được định nghĩa bởi D j u = 1 i ∂ j u..
- • Du: được định nghĩa bởi Du = (D 1 u, D 2 u.
- • |Du|: được định nghĩa bởi |Du.
- • D α u: được định nghĩa bởi D α u = D α 1 1 D α 2 2.
- • ∇u · ∇v : được định nghĩa ∇u · ∇v.
- Phương trình (0.2) được gọi là phương trình vật dẫn..
- Với giả thiết trên miền Ω vật thể không có nguồn hoặc tụ, cho một điện thế f trên biên ∂ Ω sẽ cảm sinh một điện thế u trong Ω, thỏa mãn bài toán biên Dirichlet.
- Bài toán biên Dirichlet có duy nhất nghiệm u ∈ H 1 (Ω) với mỗi f ∈ H 1 2 (∂Ω) nên ta có thể định nghĩa ánh xạ Dirichlet - Neumann (DN).
- Ánh xạ Λ γ f, f ∈ H 1 2 (∂Ω) biểu thị dòng qua biên.
- Một cách hiểu khác của ánh xạ DN như sau.
- γ∇u · ∇vdx, f, g ∈ H 1 2 (∂Ω), (0.4) trong đó u là nghiệm của bài toán (0.3) và v là hàm thuộc H 1 (Ω) thỏa mãn v| ∂Ω = g..
- Công thức (0.4) không phụ thuộc vào việc chọn hàm v ∈ H 1 (Ω) sao cho v| ∂Ω = g, (Λ γ f, f ) ∂Ω là năng lượng cần để duy trì dòng trên biên, với định nghĩa trên Λ γ là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ H 1 2 (∂Ω) tới H − 1 2.
- Bài toán ngược Calderón đi xác định hàm γ khi biết thông tin về ánh xạ Λ γ , tức là nếu như ta đo được dòng trên biên Λ γ f, ∀f ∈ H 1 2 (∂Ω), ta muốn xác định γ.
- Một trong số các ứng dụng của bài toán ngược Calderón là bài toán như thăm dò địa vật lý, khi đó Ω sẽ được hiểu là Trái Đất, hay bài toán điện não đồ với Ω là não của con người..
- Xoay quanh bài toán ngược này người ta thường nghiên cứu một số dạng sau:.
- Xét bài toán điện não đồ, ta đo dòng điện trên bề mặt vỏ não để tìm bệnh của một người, ta quan tâm tới việc nếu tại hai thời điểm khác nhau cùng một người, nếu cho ta cùng dòng điện đo được trên bề mặt vỏ não thì có giúp cho chúng ta xác định được cùng một bệnh hay không? Hay nói cách khác, bài toán ngược Calderón có duy nhất nghiệm hay không? Theo ngôn ngữ toán học tính duy nhất.
- của bài toán ngược Calderón được phát biểu như sau.
- Nếu Λ γ 1 = Λ γ 2 thì có suy ra được γ 1 = γ 2 hay không?.
- Cho biết dòng trên biên Λ γ f, ∀f ∈ H 1 2 (∂Ω) hãy tìm cách xây dựng lại hàm γ..
- Trong Luận Văn này, chúng ta không tìm hiểu bài toán này..
- bé liệu có thể suy ra được ||γ 1 − γ 2.
- L ∞ (Ω) bé hay không?.
- Bài toán duy nhất nghiệm ta nghiên cứu tính duy nhất của bài toán khi ta biết được dòng trên toàn bộ biên ∂ Ω.
- Vậy nếu như ta chỉ đo được dòng trên một phần của biên thì ta có suy ra được tính duy nhất của vật dẫn hay không? Theo ngôn ngữ toán học: Nếu Γ là tập con của ∂ Ω và nếu Λ γ 1 f| Γ = Λ γ 2 f | Γ , với mọi hàm f thì có suy ra được γ 1 = γ 2 hay không?.
- Một số kết quả liên quan tới bài toán ngược Calderón: trong trường hợp n = 2, K..
- Nachman đưa ra một cách xây dựng lại hàm γ từ ánh xạ Λ γ .
- Wang trong [8] chỉ ra ước lượng ổn định dạng log − log trên ∂Ω cho hàm γ ∈ H s+3 (Ω) cho bài toán dữ liệu không đầy đủ..
- Trong Luận Văn này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả trong trường hợp n ≥ 3 dựa trên tài liệu tham khảo chính [14].
- Cụ thể ở chương 2, chúng tôi sẽ trình bày kết quả về tính duy nhất của J.
- sự tồn tại nghiệm CGO (complex geometrical optics) của bài toán cho phương trình Schr¨ odinger.
- Ta sử dụng nghiệm CGO để chứng minh tính duy nhất của ánh xạ Λ q từ đó suy ra tính duy nhất của ánh xạ Λ γ .
- Chương 3, chúng ta trình bày kết quả về tính ổn định của G.
- Chương 4, chúng tôi trình bày kết quả về tính duy nhất của ánh xạ Λ γ của A.
- Trong chương này, chúng ta đưa ra các khái niệm và một số kết quả.
- Các kết quả này chúng tôi không đưa ra chứng minh ở trong Luận Văn này.
- Các khái niệm và kết quả này sẽ được dùng tới ở các chương sau..
- Định nghĩa 1.1.
- {u : Ω → C : u đo được , Z