ích chập với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân cosine Fourier và ứng dụng

- 433 Một số ứng dụng 493.1 Giải phương trình đạo hàm riêng.
- 493.2 Giải phương trình tích phân.
- 533.2.1 Giải phương trình tích phân hệ số hằng số.
- 533.2.2 Giải phương trình tích phân hệ số hàm số.
- 57i 3.3 Giải hệ phương trình tích phân có hệ số hàm số.
- 603.4 Giải phương trình vi phân thường.
- Chẳng hạn,năm 1951, tích chập của hai hàm số f (x) và g(x) đối với phép biến đổi tíchphân Fourier do Sneddon đề xuất [13]f ∗ g(x) =1√2πZ+∞−∞f(x − t) g(t) dt (1)và đẳng thức nhân tử hóaFf ∗ g(x) =F f(y) .F g(y), ∀y ∈ R (2)Trong cùng năm đó, Sneddon nghiên cứu tích chập cosine Fourier của haihàm số f(x) và g(x) đối với phép biến đổi tích phân cosine Fourierf ∗Fcg(x) =1√2πZ∞0f(t)g(x + t.
- g(| x − t |)dt (3)thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóaFcf ∗Fcg(y.
- cos yFcf(y).Fcg(y), ∀y ∈ R+(6)Năm 2010, Nguyễn Thanh Hồng [7], giới thiệu các bất đẳng thức tích chậpcosine Fourier trong không gian Lp(R+) và ứng dụng nó để đánh giá nghiệmcủa một số phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng.Hiện nay, việc nghiên cứu và ứng dụng tích chập với hàm trọng đối vớiphép biến đổi tích phân cosine Fourier vẫn còn là vấn đề mang tính thời sựtrong giải tích Toán học.
- −r−1Xn=0(−1)na2r−2n−1y2n+ (−1)ry2r.Fc{f(x)} (1.45)Fc{f(2r+1)(x.
- Sử dụng định nghĩa của phép biến đổi ngược cosine Fourier, tacóFc{Fc(y)Gc(y)} =r2πZ∞0Fc(y)Gc(y) cos kx dy=2πZ∞0Gc(y) cos yx dyZ∞0f(ξ) cos yξ dξDo đó,Fc{Fc(y)Gc(y)} =2πZ∞0f(ξ)dξZ∞0cos yx cos yξ Gc(y)dy=12r2πZ∞0f(ξ)dξr2πZ∞0[cos y(x + ξ.
- Fc(y).Thay vào đẳng thức ( 1.49), ta có:Z∞0| Fc(y) |2dy =Z∞0| f(x) |2dx (1.50)Đẳng thức( 1.50) gọi là đẳng thức Parseval đối với phép biến đổi tích phâncosine Fourier.Tương tự, ta định nghĩa phép biến đổi tích phân sine Fourier và phép biếnđổi tích phân sine Fourier ngược như sau:Fs{f(x.
- cos αyFcf(y).Fcg(y), ∀y ∈ R+(2.2)Chứng minh.
- (2.8)Sau đây, chúng ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa ( 2.2).Từcos αxFcf(x).Fcg(x) =2πZ∞0Z∞0cos αx cos xu cos xv f(u) g(v) dudvvàcos αx cos xu cos xv ==14cos x(u + α + v.
- cos x(u − α − v)28 Suy racos αxFcf(x).Fcg(x) ==12πZ∞0Z∞0cos x(u + α + v.
- cos x(u + α − v)f(u) g(v)dudv=12πZ∞0Z∞0cos xt f(y)g(| t − y − α.
- 2.15) và ( 2.16)12πZ∞0Z∞0cos x(u − α + v.
- cos x(u − α − v)f(u) g(v)dudv=12πZ∞0Z∞0cos xtg(| t − y + α.
- 2.17), tính đượccos αx.Fcf(x).Fcg(x) =12πZ∞0cos xtZ∞0f(y)hg(t + α + y.
- g(| t − α − y |)idydt (2.18)31 Từ đẳng thức ( 2.1) và ( 2.18), ta suy ra đượccos αxFcf(x).Fcg(x) =r2π.Z∞0cos xtfγα∗ g(t)dt = Fcfγα∗ g(x).Định lý được chứng minh hoàn toàn!Hệ quả 2.1.
- Khi đó tích chập với hàm trọng γα(y) =cos αy của hai hàm số f (x) và g(x) đối với phép biến đổi tích phân cosineFourier liên tục, bị chặn và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parsevalfγα∗ g(x) =r2πZ∞0(Fcf)(y)Fcg)(y) cos αy cos xydyĐịnh lí 2.2.
- cos αy.Fcf(y).Fcg(y.
- cos αy.Fcg(y).Fcf(y).NênFcfγα∗ g(y.
- Fcgγα∗ f(y).Suy rafγα∗ g(x) =gγα∗ f(x).32 • Tính chất kết hợpfγα∗ gγα∗ h = fγα∗gγα∗ h.Với mọi x > 0, ta cóFcfγα∗ gγα∗ h(y.
- cos yFcfγα∗ g(y) .Fch(y)= cos αy cos yFcf(y)Fcg(y)Fch(y)= cos αyFcf(y)cos yFcg(y)Fch(y.
- cos αyFcf(y)Fcgγα∗ h(y).Do đóFcfγα∗ gγα∗ h(y.
- Fcfγα∗gγα∗ h(y) ∀y > 0.Suy rafγα∗ gγα∗ h = fγα∗gγα∗ h.
- Fcfγα∗ h(y)Áp dụng đẳng thức nhân tử hóa ( 2.2),Fcfγα∗ (g + h)(y.
- cos αy.Fcf(y).Fc(g + h)(y)= cos αy.Fcf(y).hFcg(y) +Fch(y)i= cos αy.hFcf(y).Fcg(y)i+ cos αy.hFcg(y).Fch(y)i= Fcfγα∗ g(y.
- Fcfγα∗ h(y).33 Suy raFcfγα∗ (g + h)(y.
- Fcfγα∗ h(y).Định lý được chứng minh.Định nghĩa 2.2.
- thìfγα∗ g(x) =12f ∗Fcg(x + α) +f ∗Fcg.
- ∀x Ở đây,f ∗Fcgđược định nghĩa trong ( 3) như sau:f ∗Fcg(x) =1√2πZ∞0f(y)g(| x − y.
- x − α | −t |)dt.Vậyfγα∗ g(x) =12f ∗Fcg(x + α) +f ∗Fcg.
- (Fcg)(y),∀y > 0.cos αy.Fce(y).Fcg(y) =Fcg(y),∀y > 0.Fcg(y).cos αy.Fce(y.
- 0 khiy → ∞.Suy racos αy (Fce)(y.
- Từ đẳng thức nhân tử hóa ( 2.2) của định lý 1.8, ta có:cos αy.Fcf(y).Fcg(y.
- Tương tự,Fcg(y)là giải tích với y > 0.
- 0 với mọi y > 0, hoặcFcg(y.
- h(x) dx≤r2πkfkLp(R+)kgkLq(R+)khkLr(R+)(2.23)Chứng minh.
- h(x) dx≤r2πkfkLp(R+)kgkLq(R+)khkLr(R+)Định lý được chứng minh!Hệ quả 2.2.
- Lq(R+) thì tích chập ( 2.1)thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa ( 2.2) và đẳng thức kiểu Parseval:fγα∗ g(x) =r2πZ∞0(Fcf)(y)Fcg)(y) cos αy cos xydy (2.42)Chứng minh.
- thìZ∞0f ∗Fcg(x.
- thìf ∗Fcg(x.
- Lr(R+) vàkf ∗FcgkLr(R.
- Sau đây, ta quan tâm đến bất đẳng thức trọng kiểu Saitoh trongkhông gian Lp(R+) đối với tích chậpf ∗Fcg(x)Định lí 2.10.
- i = 1, 2 ),bất đẳng thức trọng đối với tích chập cosine Fourierk(F1ρ1) ∗Fc(F2ρ2)ρ1∗Fcρ21p−1kLp(R+)≤r2πkF1kLp(R+,ρ1).
- Nâng vế trái của bất đẳng thức ( 2.49) lên lũy thừa p, ta cók(F1ρ1) ∗Fc(F2ρ2)ρ1∗Fcρ21p−1kpLp(R+)=1√2πZ∞0Z∞0(F1ρ1)(y)(F2ρ2)(x + y.
- x − y |)dy1q(2.56)Thay ( 2.56) vào ( 2.51)k(F1ρ1) ∗Fc(F2ρ2)ρ1∗Fcρ21p−1kpLp(R+)≤1√2πZ∞0Z∞0|Fp1(y)|ρ1(y)|Fp2(x + y)|ρ2(x + y) dy++ |Fp2(| x − y |)|ρ2(| x − y |)dx dy=1√2πZ∞0Z∞0|Fp1(y)|ρ1(y)|Fp2(x + y)|ρ2(x + y) dy++ |Fp2(| x − y |)|ρ2(| x − y |)dx|Fp1(y)|ρ1(y)dy=1√2πZ∞0|Fp1(y)|ρ1(y)|Fp2(x + y)|ρ2(x + y) dy++ |Fp2(| x − y |)|ρ2(| x − y |)dx .Z∞0|Fp1(y)|ρ1(y)dy (2.57)Ta cók(F1ρ1) ∗Fc(F2ρ2)ρ1∗Fcρ21p−1kpLp(R+)≤r2πZ∞0|Fp2(x)|ρ2(x) dx .Z∞0|Fp1(y)|ρ1(y) dyDo vậyk(F1ρ1) ∗Fc(F2ρ2)ρ1∗Fcρ21p−1kLp(R+)≤r2πkF1kLp(R+,ρ1).
- Tích chập với hàm trọng đối với phép biến đổitích phân cosine Fourier còn được ứng dụng để giải phương trình tích phâncó hệ số hàm số, hệ phương trình tích phân có hệ số hàm số.
- (Bài toán Dirichlet trong phần tư thứ nhất của hình tròn)Xét phương trình Laplaceuxx+ utt= 0 0 < x, t.
- 0 (3.24)với điều kiện biênFcu(y, 0) =Fc(fρ)(y) (3.25)Nghiệm của phương trình ( 3.24) với điều kiện biên ( 3.25) có dạngFcu(y, t) =Fc(fρ)(y).e−ytSử dụng công thức (1.4.1) trong [1] và đẳng thức nhân tử hóa ( 4), ta cóFcu(y, t) =Fc(fρ)(y).Fctt2+ τ2(y, t)= Fc(fρ) ∗Fctt2+ τ2(y, t) (3.26)52 Do vậyu(x, t) =(fρ) ∗Fctt2+ τ2(x, t) (3.27)Sử dụng bất đẳng thức ( 2.58), ta thu đượckukLp(R.
- Với điều kiện 1 +λ cos αyFcg(y) 6= 0, ∀y ∈ R+, phương trình( 3.30) tồn tại duy nhất nghiệm f(x.
- L(R+) và ϕ(x) được định nghĩa:Fcϕ(y) =Fcg(y)1 + λ cos αyFcg(y).53 Chứng minh.
- Phương trình ( 3.30) có thể viết lại dưới dạngf(x.
- h(x) (3.32)Tác động phép biến đổi tích phân cosine Fourier vào hai vế của phương trình( 3.32), ta cóFcf(y.
- λ Fcfγ∗ g(y) =Fch(y).Theo định lý 2.1, ta đượcFcf(y.
- λ cos αyFcf(y)Fcg(y) =Fch(y).Hay là,Fcf(y)1 + λ cos αyFcg(y)=Fch(y).Theo giả thiết của định lý 1 + λ cos αyFcg(y) 6= 0, suy raFcf(y) =Fch(y)11 + λ cos yFcg(y)Fcf(y) =Fch(y)h1 −λ cos yFcg(y)1 + λ cos αyFcg(y)i(3.33)Theo định lý Wiener - Levi, tồn tại hàm số liên tục ϕ ∈ L(R+) thỏa mãnFcϕ(y) =Fcg(y)1 + λ cos αyFcg(y)Do đó, phương trình ( 3.33) trở thànhFcf(y) =Fch(y)1 − λ cos αyFcϕ(y)Fcf(y) =Fch(y.
- λ cos αyFch(y)Fcϕ(y)Suy ra,Fcf(y) =Fch(y.
- λ Fchγα∗ ϕ(y) (3.34)54 Từ đó ta cóf(x.
- Xét phương trình tích phân.f(x) +λ2√2πZ∞0(1 − cos at)t2ψ(g)(x, t) dt = h(x).
- h(x) đã biết, f(x) là hàm phải tìm.Phương trình ( 3.36) có thể viết lại như sau:f(x.
- Ta cần tìm hàm ϕ(x) thỏa mãnFcϕ(t) =Fcg(t)1 + λ cos αtFcg(t).Ta cóϕ(x) =r2πZ∞0cos xt .Fcg(t)1 + λ cos αtFcg(t)dt=r2πZa0cos xt .r2π(a − t)1 + λr2π(a − t) cos αtdt=√2Za0(a − t) cos xt√2 + λ√π (a − t) cos αtdt.Nghiệm của phương trình ( 3.36) có dạngf(x.
- Xét phương trình tích phânf(x) +Z∞0f(y)[g(x + y.
- Lp(R+, ρ) là các hàmđã biết và f(x) là hàm số phải tìm.Phương trình ( 3.37) có thể viết lại như sauf(x) +√2πf ∗Fcg(x.
- h(x)ρ(x) (3.38)Tác động phép biến đổi cosine Fourier vào hai vế của phương trình ( 3.38)và sử dụng đẳng thức nhân tử hóa ( 4), ta được(Fcf)(y) +√2π(Fcf)(y)(Fcg)(y.
- (Fc(hρ))(y)(Fcl)(y)= (Fc(hρ))(y) −r2πFc(hρ) ∗Fcl(y).Nênf(x.
- h(x)ρ(x) −r2π(hρ) ∗Fcl(x)Sử dụng bất đẳng thức ( 2.58), ta thu đượckfkLp(R.
- Với điều kiện 1 + cos αyFcg(y) 6= 0, ∀y ∈ R+, phương trình( 3.40) tồn tại duy nhất nghiệmf(x.
- h(x) −hλγα∗ ϕ(x).λ(x) (3.42)thuộc L(R+).Ở đây, ϕ(x) là hàm số liên tục thuộc L(R+) và ϕ(x) được xác định bởi:Fcϕ(y) =Fcg(y)1 + cos αyFcg(y)Chứng minh.
- Ta có thể viết lại phương trình ( 3.40) dưới dạng sau đâyf(x.
- h(x) (3.43)Chia cả hai vế phương trình ( 3.43) cho λ(x), ta đượcf(x)λ(x)+fλγα∗ g(x) =h(x)λ(x)(3.44)Tác động phép biến đổi cosine Fourier vào hai vế của phương trình ( 3.44),ta cóFcfλ(y.
- cos αyFcfλ(y).Fcg(y) =Fchλ(y)Fcfλ(y)h1 + cos αyFcg(y)i=Fchλ(y)Theo giả thiết, ta có 1 + cos αyFcg(y) 6= 0, suy raFcfλ(y) =Fchλ(y)1 + cos αyFcg(y)58 Ta viết lạiFcfλ(y) =Fchλ(y)h1 −cos αyFcg(y)1 + cos αyFcg(y)i(3.45)Theo định lý Wiener - Levi, tồn tại hàm liên tục ϕ(x.
- L(R+) thỏa mãnFcϕ(y) =Fcg(y)1 + cos αyFcg(y).Do vậy, phương trình ( 3.45) trở thànhFcfλ(y) =Fchλ(y)h1 − cos αyFcϕ(y)i=Fchλ(y.
- cos αyFchλ(y).Fcϕ(y)Fcfλ(y) =Fchλ(y.
- Fchλγα∗ ϕ(y) (3.46)Từ đó ta cóf(x)λ(x)=h(x)λ(x)−hλγα∗ ϕ(x).Do đó, nghiệm của phương trìnhf(x.
- L(R+).Định lý được chứng minh.59 3.3 Giải hệ phương trình tích phân có hệ sốhàm sốXét hệ phương trình tích phânf(x) +λ1(x)2√2πZ∞0g(t) h(ϕ)(x, t)dt = p (x)λ2(x)2√2π∞Z0f(t) k(ψ)(x, t)dt + g(x.
- Với điều kiện 1 − cos αy Fcϕγα∗ ψ(y) 6= 0, ∀y > 0 thì hệphương trình ( 3.47) tồn tại duy nhất nghiệmf(x.
- L(R+).60 Ở đây, ξ(x) là hàm số liên tục thuộc L(R+) và ξ(x) được xác định:Fcξ(y) =Fcϕγα∗ ψ(y)1 − cos y Fcϕγα∗ ψ(y)(3.51)Chứng minh.
- Hệ phương trình ( 3.47) có thể viết dưới dạngf(x.
- q(x)(3.52)Tác động phép biến đổi cosine Fourier lên hai vế, lần lượt từng phương trìnhcủa hệ phương trình ( 3.52), ta được hệ phương trìnhFcfλ1(y.
- cos αy Fcgλ2(y)Fcϕ(y.
- Fcpλ1(y)cos αy Fcfλ1(y)Fcψ(y.
- Fcqλ2(y)(3.53)Ta có,D cos αyFcϕ(y)cos αyFcψ(y) 1.
- 1 − cos αy Fcϕγα∗ ψ(y) (3.54)D Fcpλ1(y) cos αyFcϕ(y)Fcqλ2(y) 1.
- Fcqλ2γα∗ ϕ}(y)= Fcpλ1−qλ2γα∗ ϕ(y) (3.55)61 D Fcpλ1(y)cos αyFcψ(y) Fcqλ2(y.
- Fcpλ1γα∗ ψ}(y)= Fcqλ2−pλ1γα∗ ψ(y).
- (3.56)Theo giả thiết của định lý, ta có D 6= 0, nên hệ phương trình ( 3.53) cónghiệm duy nhất Fcfλ1(y) =Fcpλ1−qλ2γα∗ ϕ(y)1 − cos αy Fcϕγα∗ ψ(y).Fcgλ2(y) =Fcqλ2−pλ1γα∗ ψ(y)1 − cos αy Fcϕγα∗ ψ(y).Ta có thể viết Fcfλ1(y.
- Fcpλ1−qλ2γα∗ ϕ(y).h1 +cos αy Fcϕγα∗ ψ(y)1 − cos αy Fcϕγα∗ ψ(y)i.Fcgλ2(y.
- Fcqλ2−pλ1γα∗ ψ(y).h1 +cos αy Fcϕγα∗ ψ(y)1 − cos αy Fcϕγα∗ ψ(y)i.Theo định lý Wiener - Levi, tồn tại hàm liên tục ξ ∈ L(R+) sao choFcξ(y) =Fcϕγα∗ ψ(y)1 − cos αy Fcϕγα∗ ψ(y).Do đó,Fcfλ1(y.
- Fchpλ1−qλ2γα∗ ϕi(y).1 + cos αyFcξ(y).Fcgλ2(y.
- Fchqλ2−pλ1γα∗ ψi(y).1 + cos αyFcξ(y).62 Suy ra,Fcfλ1(y.
- Fchpλ1−qλ2γα∗ ϕγα∗ ξi(y).Fcgλ2(y.
- Fchqλ2−pλ1γα∗ ψγα∗ ξi(y).Từ đó ta cóf(x)λ1(x)=pλ1−qλ2γα∗ ϕ(x) +hpλ1−qλ2γα∗ ϕγα∗ ξi(x).g(x)λ2(x)=qλ2−pλ1γα∗ ψ(x) +hqλ2−pλ1γα∗ ψγα∗ ξi(x).Nghiệm duy nhất của hệ phương trình f(x.
- M, (j = 1, 2), p, q ∈ L(R+) suy rapλ1,qλ2∈ L(R+) và theo định lý 2.1, dễ thấy f(x) và g(x) thuộc L(R+).Định lý được chứng minh!3.4 Giải phương trình vi phân thườngVí dụ 3.5.
- n − 1 (3.60)Ứng dụng phép biến đổi cosine Fourier vào hai vế của phương trình ( 3.58)và sử dụng các điều kiện ( 3.59.
- Fc(gρ)(y) (3.61)Thay ( 3.57) vào ( 3.61), được(Fcf)(y) =Fc(gρ)(y.
- Fc(gρ) ∗FcQ(y) (3.63)Suy raf(x) =(gρ) ∗FcQ(x) (3.64)Sử dụng bất đẳng thức ( 2.58), ta thu đượckfkLp(R.
- kQkLp(R+)(3.65)Như vậy, ngoài ứng dụng tích chập để giải một lớp phương trình tích phâncó hệ số hằng số, ứng dụng bất đẳng thức tích chập cosine Fourier để đánhgiá nghiệm của phương trình tích phân có hệ số hằng số và phương trình viphân thường.
- Nghiên cứu tích chập cosine Fourier với một lớp hàm trọng, ứng dụngtích chập này để giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phâncó hệ số hàm số.2

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt