PHĐẠING PHỄP S KHOA NG D TP. NGHCM TRƯ NG HỌC BÁCH Ch ng 1: C s ph ng pháp Sai phơn h u h n Khoa Kyõ Thuaät Xaây Döïng - BM KTTNN Gi ng viên: PGS. TS. NGUY N TH NG E-mail: nthong56@yahoo.fr or nguyenthong@hcmut.edu.vn Web: http://www4.hcmut.edu.vn/~nguyenthong/index PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch 1 Tél. (08) 38 691 592 - 098 99 66 719 NG PHỄP S ng 1: C s ph PH ng pháp Sai phơn h u h n NG PHỄP S ng 1: C s ph M C ĐệCH MỌN H C NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n N I DUNG MỌN H C CH CH CH CH CH CH CH CH CH NG 1: C s pp. Sai phân h u h n. NG 2: Bài toán khu ch tán. NG 3: Bài toán đ i l u - khu ch tán. NG 4: Bài toán th m. NG 5: Dòng không n đ nh trong kênh h . NG 6: ĐƠn h i tóm t t & pp. Ph n t hǜu h n. NG 7: Ph n t lò xo & thanh dàn. NG 8: Ph n t thanh ch u u n. NG 9: Gi i thi u s l c v ph n t phẳng (bi n d ng phẳng, ng su t phẳng, t m v ch u 2 PGS. TS. Nguy nuThn). ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n KIEÅM TRA - Trong tröôøng hôïp coù kieåm tra giöõa kyø  thôøi gian laø 45 ph. - Thi t lu n cuoái moân hoïc 90ph. Chuù yù: Mang theo maùy tính laøm baøi taäp trong l p.  Cho phép tham kh o tài li u cá nhân. 4 PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n  Gi i thi u các ph ng pháp s xác đ nh g n đúng l i gi i c a các bài toán vi phân đ o hàm riêng (tuy n tính ho c phi tuy n) mà ta KHÔNG th tìm đ c l i gi i gi i tích chính xác.  Trong s các ph ng pháp s có: Ph ng pháp Sai phân h u h n (SPHH) & Ph n t h u h n (PTHH), & Th tích h u h n (TTHH). 5  . PGS. TS. Nguy n Th ng Ch NG D NG TẨI LI U THAM KH O 1. Phương pháp s trong cơ học kết cấu. PGS. PTS. Nguyễn Mạnh Yên. NXB KHKT 1999 2. Water Resources systems analysis. Mohamad Karamouz and all. 2003 3. Phương pháp PTHH. Hồ Anh Tuấn-Trần Bình. NXB KHKT 1978 4. Phương pháp PTHH thực hành trong cơ học. Nguyễn Văn Phái-Vũ văn Khiêm. NXB GD 2001. 5. Phương pháp PTHH. Chu Qu c Thắng. NXB KHKT 1997 6. The Finite Element Method in Engineering. S. S. RAO 1989. 3 7. TS. Bài giảng PGS. Nguy n ThPP ng S ỨNG DỤNG. TS. Lê đình Hồng. Ch PH PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n C S PH NG PHỄP SAI PHÂN H U H N (SPHH) 6 PGS. TS. Nguy n Th ng 1 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n Hi n t ng v t lý  bi u di n toán h c b ng ph ng trình đ o hàm riêng  l i gi i cho phép nghiên c u hi n t ng. 7 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph PH Đ o hàm riêng (ĐHR) f (x,y,z,t): hàm xác đ nh trong m t mi n không gian R3 x, y, z: ba bi n không gian đ c l p ; t: bi n th i gian đ c l p. * Ký hi u ĐHR c p 1 c a f: f or f x đ iv ix: x T ng t v i y & z 8 PGS. TS. Nguy n Th ng Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n D ng t ng quát: F(x, y, z, t, U, Ut, Ux, Uy, Uz, Uxy, Uxz, Uyz, ầ) = 0 Bi n ph thu c U (ẩn số phải tìm) * C p c a PTĐHR lƠ c p cao nh t c a các ĐHR có trong PT PH * PTĐHR là tuy n tính n u:  T t c các ĐHR có m t trong PT đ u d ng tuy n tính  Không có h s liên k t v i các ĐHR ch a bi n ph thu c. N u không  PTĐHR là phi tuy n. 11 10 PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n Đ NH NGHƾA PT Đ O HẨM RIểNG PGS. TS. Nguy n Th ng ng pháp Sai phơn h u h n Đ NH NGHƾA PT Đ O HẨM RIểNG 9 NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG NG TRỊNH Đ O HẨM RIểNG PH ng pháp Sai phơn h u h n PGS. TS. Nguy n Th ng ng 1: C s ph PH NG D NG * ÑHR caáp 2 cuûa f : 2f/ x2 = (/ x)(f/ x) = fxx , 2f/ y2 = (/ y)(f/ y) = fyy 2  f/ t2 = (/ t)(f/ t) = ftt , 2f/ xy = (/ x)(f/ y) = fxy ÑHR caáp 2 lieân tuïc  fxy = fyx , fxz = fzx , fyz = fzy , .... Ch Ch NG PHỄP S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n PHÂN LO I PT ĐHR Theo ý nghƿa v t lý  Theo toán h c PGS. TS. Nguy n Th ng 12 2 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n Phân bi t bài toán theo ý nghƿa v t lý Bài toán cân b ng (giá tr biên)  mi n kín th a mãn các đi u ki n biên cho s n: Ví d : Bài toán th m n đ nh  Bài toán phân b ng su t t nh trong k t c u. 13 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph ng pháp Sai phơn h u h n u(x,y)  hàm n s c n tìm x,y  các bi n đ c l p ch không gian a, b,c,d,e,f : các hàm s tuy n tính c a x,y g(x,y)  hàm đư xác đ nh PGS. TS. Nguy n Th ng 15 PH NG PHỄP S ng 1: C s ph  Mô t v n đ kỹ thu t: Cơn b ng  2u  2u   0  P / t Laplace 2x 2y  2u  2u     P / t Poisson 2x 2y PGS. Dr. PGS. TS.Nguyễn Nguy nThống Th ng Ch 17 t lý th a n và ch t 14 NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n Phơn lo i v m t toán h c ậ 4ac > 0  bài toán d ng hyperbol b2 ậ 4ac < 0  bài toán d ng ellip b2 ậ 4ac = 0  bài toán d ng parabol b2 16 PGS. TS. Nguy n Th ng PH D NG TOỄN H C ELLIP ng pháp Sai phơn h u h n PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n NG D NG Phân bi t bài toán theo ý nghƿa v Bài toán lan truy n  mi n h mãn các đi u ki n biên cho s đi u ki n ban đ u: Ví d : Bài toán khu ch tán, đ i l u trong môi tr ng ch t l ng. PH  2u  2u  2u u u b  c   d  e  f .u  g( x, y) 2 2 x xy y x y Ch ng 1: C s ph NG D NG Ph ng trình đ o hàm riêng tuy n tính b c 2 d ng t ng quát: a Ch NG PHỄP S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n D NG TOỄN H C HYPERBOL  Mô t v n đ kỹ thu t: Lan truy n 2  2u 2  u a t 2 x 2 u u  t x PGS. TS. Nguy n Th ng  P / t Song  P / t Doi luu 18 3 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n D NG TOỄN H C PARABOL  Mô t v n đ kỹ thu t: Khu ch tán u  2u  2 t x  P / t Fourier 19 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph  : h s khu ch tán (> 0). a = , b = c = 0 = b2 ậ 4ac = 0  PTĐHR tuy n tính c p 2, lo i parabolic. 21 PH NG PHỄP S ng 1: C s ph ftt = c2 fxx c: t c đ truy n sóng. a = c2, b = 0, c = -1  b2 ậ 4ac = 4c2 > 0  PTĐHR tuy n tính c p 2, lo i hyperbolic. 20 NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n HI N T NG V T LÝ  BÀI TOÁN LAN TRUY N & KHU CH TÁN (Đ NG TH I) C A N NG Đ CH T f TRONG MÔI TR NG DÒNG CH Y PT đ i l u - khuếch tán: ft + ufx = fxx PTĐHR tuy n tính c p 2 22 PGS. TS. Nguy n Th ng PH HI N T NG V T LÝ  BÀI TOÁN LAN TRUY N SÓNG PGS. TS. Nguy n Th ng Ch NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n ng pháp Sai phơn h u h n PGS. TS. Nguy n Th ng PH ng pháp Sai phơn h u h n PGS. TS. Nguy n Th ng ng 1: C s ph NG D NG HI N T NG V T LÝ  BÀI TOÁN LAN TRUY N N NG Đ CH T f TRONG MÔI TR NG DÒNG CH Y U PT đ i l u (không khuếch tán) : ft + ufx = 0 f(x,t): n ng đ ch t, u(x, t): thành ph n l u t c theo ph ng x. PTĐHR tuy n tính c p 1, lo i hyperbolic. NG D NG HI N T NG V T LÝ  BÀI TOÁN KHU CH TÁN CH T f TRONG MÔI TR NG (T NH) PT khu ch tán (không đối lưu) ft = fxx Ch Ch NG PHỄP S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph HI N T TH M NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n NG V T LÝ  BÀI TOÁN PT Laplace fxx + fyy = 0 PT Poisson fxx + fyy = G(x, y) G(x,y): s h ng ngu n a = 1, b = 0, c = 1  b2 ậ 4ac = - 4 < 0 PTĐHR tuy n tính c p 2, lo i elliptic. 23 PGS. TS. Nguy n Th ng 24 4 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n MI N KệN & MI N H Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n MI N KệN Y Mi n l i gi i Đi u ki n biên U(x,y) =??? Biên O BẨI TOỄN GIỄ TR BIểN 25 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch PGS. TS. Nguy n Th ng NG PHỄP S ng 1: C s ph t Đi u ki n biên NG D NG MI N H Ph ng lan truy n Mi n l i gi i Đi u ki n ban đ u Biên X, Y BẨI TOỄN GIỄ TR BAN Đ U 27 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch PH ng pháp Sai phơn h u h n U(x,y,t) =??? O NG PHỄP S ng 1: C s ph Ch H=z+p/  Bi t H=? 29 THAÁM COÙ AÙP DÖÔÙI COÂNG TRÌNH NG PHỄP S ng 1: C s ph 26 NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n ĐI U KI N BIểN  Khi gi i các ph ng trình đa hàm riêng bi u di n m t hi n t ng v t lý b t kǶ đ u c n ph i có ĐI U KI N BIÊN.  ĐI U KI N BIÊN là giá tr (ho c gradient) c a bi n nghiên c u đư đ c xác đ nh t i các v trí biên (không còn là n s c a bài toán). 28 PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n ĐI U KI N BIểN PGS. TS. Nguy n Th ng X PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n CỄC LO I ĐI U KI N BIểN  Biên Dirichlet: Giá tr trên biên c a hàm n ph i tìm U là đư bi t t i các v trí trên biên: u  f (x, y, z, t ) PGS. TS. Nguy n Th ng 30 5 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n Mi n l i gi i U c n tìm Y U(bien)= Know U(x,y) =??? Biên Ch ng 1: C s ph PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph u   f ( x, y, z, t ) n PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph Mi n l i gi i U c n tìm Y 32 PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n ng pháp Sai phơn h u h n  Biên Neuman: Giá tr đ o hàm theo ph ng (thẳng góc v i biên) c a hàm n U đư bi t. O 31 NG D NG CỄC LO I ĐI U KI N BIểN X PGS. TS. Nguy n Th ng NG PHỄP S NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n ĐI U KI N BIểN lo i Neuman H  0 n U(x,y) =??? Biên O PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch  n u   f ( x, y, z, t ) n NG PHỄP S ng 1: C s ph 33 PH CỄC LO I ĐI U KI N BIểN h p 2 lo i u ( x, y, z)u  ( x, y, z)   f ( x, y, z, t ) n  , , f  đư bi t PGS. TS. Nguy n Th ng 34 THAÁM COÙ AÙP DÖÔÙI COÂNG TRÌNH PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n  Biên Cauchy: Là t biên trên. H(x,y)=? X 35 Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n Chú ý: Biên C th ng g m nhi u ph n và trên m i ph n ph i có m t và ch m t lo i ĐKB. Tuy nhiên ĐKB này có th thay đ i trong quá trình gi i bài toán (tr ng h p bài toán mô ph ng theo th i gian). PGS. TS. Nguy n Th ng 36 6 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n ĐKBĐ ch c n khi xét bƠi toán lan truy n (PT parabolic hay hyperbolic v i bi n th i gian t).  PTĐHR c p 1: ĐI U KI N BAN Đ U (x,y,z) t = 0, f (x,y,z,0) = g(x,y,z)  PTĐHR c p 2: (x,y,z) (x,y,z) t = 0, f (x,y,z,0) = g(x,y,z) 37 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph và ft (x,y,z,0) = h(x,y,z) g(x,y,z) , h(x,y,z): hàm s đư bi t. PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n Ch TịM T T Gi i bài toán ĐHR c n có:  Đi u ki n biên  Đi u ki n ban đ u (khi bài toán có bi n th i gian trong n s ph i tìm) 39 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph 41 ng pháp Sai phơn h u h n 40 PGS. TS. Nguy n Th ng PH SPHH là ph ng pháp s ng d ng đ gi i các ph ng trình đ o hàm riêng v i các b c c b n sau:  R i r c hoá mi n tính toán  1D ho c 2D (ô l i ch nh t), ho c 3D (kh i ch nh t)  Ch xét tính toán bi n nghiên c u t i các đi m nút ô l i.  PGS. TS. Nguy n Th ng ng 1: C s ph NG D NG SAI PHÂN H U H N (SPHH) NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n NG PHỄP S 38 Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n S giá tr Y (vô c c) trên mi n liên t c X gi m xu ng ch còn m t s v tr h u h n trên X y=f(x) y1 y2 1D PGS. TS. Nguy n Th ng y3 Yn-1 yn x Yn+1 x V trí xác đ nh giá tr bi n 42 nghiên c u (h u h n v trí) 7 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n 1D Y, j 43 Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph Z, k 3D zi (i,j+1,k) (i-1,j,k) yi (i,j-1,k) xi (i,j,k-1) (i,j,k) X, i 45 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph Y, j (i+1,j,k) PGS. TS. Nguy n Th ng Ch 47 (i+1,j) X, i 44 NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n T i các nút ô l i  Các đ o hàm riêng (ho c đ o hàm) đ c x p x b ng các sai phân  ph ng trình đ is .  Áp d ng cho ắt t c Ằ các nút ô l i  nh n đ c h ph ng trình tuy n tính c a các n s đ i l ng nghiên c u t i nút l i.  46 PGS. TS. Nguy n Th ng PH  H ph ng trình này K T H P v i các ph ng trình bi u th các ĐI U KI N BIÊN s đ h g m có N ph ng trình đ c l p tuy n tính đ xác đ nh N n s . (i,j) PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n (i-1,j) xi PH (i,j,k+1) ng pháp Sai phơn h u h n (i,j-1) NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n NG D NG (i,j+1) yi X (i+1) (i+2) i =0 N nút m ng l i: v trí xác đ nh giá tr bi n c n tìm xi : b c l i  kho ng cách 2 nút k ti p (có th khác nhau từ v trí này sang v trí khác). PGS. TS. Nguy n Th ng PH ng 1: C s ph 2D (xi) (i-2) (i-1) i Ch NG PHỄP S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n Bài toán cân b ng:  h ph ng trình đ c gi i 1 l n  Bài toán mô ph ng hi n t ng theo th i gian:  h ph ng trình đ c gi i m t l n & k t qu t ng ng t i 1 th i đi m & sau đó ti p t c ti n lên theo th i gian. PGS. TS. Nguy n Th ng 48 8 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n CHÚ Ý  Bài toán PHI TUY N (các h s h ph ng trình ph thu c giá tr bi n nghiên c u !)  C N PH I GI I L P  L i gi i là m t x p x t t c a l i gi i chính xác (v nguyên t c KHÔNG BI T) C N XEM XÉT:  xét sai s c t b , tính nh t quán, tính n đ nh. 49 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph PH PH ng pháp Sai phơn h u h n Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n  Thông th ng ng i ta hay ch n x= y  Th ng ta hay dùng ch s d i đ ch KHÔNG GIAN & ch s TRÊN đ ch bi n TH I GIAN. U t i, j PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n SAI PHÂN TI N FORWARD (KHÔNG GIAN) 53 PGS. TS. Nguy n Th ng 50 CHÚ Ý 51 NG PHỄP S ng 1: C s ph ng pháp Sai phơn h u h n Ví d xét bài toán 2D Thi t l p l i ch nh t và thay th U(x,y) b i U(ix,jy).  Đ nh v các nút theo i, j  Ph ng trình sai phân đ c vi t theo i, j và các đi m lân c n c a nó.  Gi thi t xem Ui,j nh là U(x0,y0): NG D NG PGS. TS. Nguy n Th ng ng 1: C s ph NG D NG PGS. TS. Nguy n Th ng Quy c: Ui+1,j = U(x0+x,y0) & Ui-1,j = U(x0-x,y0) Ui,j+1 = U(x0,y0 +y ) & Ui,j-1 = U(x0,y0- y ) Ch Ch NG PHỄP S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph Ch th i gian Ch không gian 52 NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n Đ nh nghƿa v đ o hàm riêng c a U(x,y) t i v trí (x0,y0): U( x 0  x, y 0 )  U( x 0 , y 0 ) U  lim x x  0  Hy v ng r ng [U(x0+x,y0)U(x0,y0)]/ x s là m t x p x ắh p lỦẰ c a U PGS. TS. Nguy n Th ng x 54 9 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n Tri n khai chu i Taylor c a U(x0+x,y0) chung quanh (x0,y0): U ( x 0  x , y 0 )  U ( x 0 , y 0 )   2U x 2 x 2  ...   n 1U x n 1 U x x x n 1 x0 (n  1)!  n U x  with x 0    x 0  x  n! x n PGS. TS. Nguy n Th ng x0 2! x0 Ch PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph  i d ng ch s :     sai s c t b Ui 1, j  Ui, j / x Ta g i  bi u th c SAI PHÂN c a U / x i , j 57 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph  2 U x   .... x 2 x 2! Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph Ch   0 x   0x  59 ng pháp Sai phơn h u h n NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n SAI PHÂN LÙI BACKWARD V i K là s th c d ng Không bi t giá tr chính xác c a 0(x) & ch xét đ c nó thay đ i th nào khi x  0. 2  Thừa nh n: PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG U i 1, j  U i , j U  0(x )  58 x x i , j PGS. TS. Nguy n Th ng PH G A THI T & TệNH CH T Khi x đ nh : 0(x )  K x 56 CHÚ Ý Sai s c t b  đ c hi u là: [Sai s c t b ] = [Đ o hàm riêng] ậ [Bi u th c SPHH] Ng i ta hay s d ng ký hi u 0 cho sai s c t b : NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n  PGS. TS. Nguy n Th ng PH ng pháp Sai phơn h u h n ng pháp Sai phơn h u h n 0 NG D NG U i 1, j  U i , j U   x i , j x Vi t d ng 1: C s ph NG D NG S đ sai phân ắti nẰ (không gian): (Forward) U( x 0  x, y 0 )  U( x 0 , y 0 ) U  x x 0 , y0 x n 55 NG PHỄP S (KHÔNG GIAN) 60 PGS. TS. Nguy n Th ng 10 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n Tri n khai chu i Taylor c a U(x0x,y0) chung quanh (x0,y0): U( x 0  x, y 0 )  U( x 0 , y 0 )   U x x x 0  U x  U n  ...   1  ... 2 n 1 x x 2! x x n 1 2 2 0 61 Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph UI-1,J UI,J UI+1,J V trí khai tri n Taylor X,i (x0+x) S đ sai phơn Backward theo không gian S đ sai phơn Forward theo không gian 63 PGS. TS. Nguy n Th ng PH NG PHỄP S ng 1: C s ph TịM T T Sai phân ti n: U x Sai phân lùi: U x  i, j  i, j Sai phân trung tâm: PGS. TS. Nguy n Th ng U i 1, j  U i , j x Ch U i , j  U i 1, j x  0(x ) U i 1, j  U i 1, j U  0(x ) 2  2x x i , j 65 NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n BẨI T P 1 Ch ng minh: U i 1, j  U i 1, j U  0(x ) 2  2x x i , j (S đ sai phân trung tâm) 64 PGS. TS. Nguy n Th ng PH  0(x ) 62 PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n ng pháp Sai phơn h u h n i d ng ch s : U i , j  U i 1, j U   0(x ) x i , j x PH ng pháp Sai phơn h u h n (x0- x) x0 Ch D NG D NG TịM T T ng 1: C s ph NG D NG S đ sai phân ắlùiẰ (không gian): U( x 0 , y 0 )  U( x 0  x, y 0 ) U  0(x )  x x x 0 , y0 0 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n BẨI T P 2 Hãy dùng ý nghƿa đ th đ gi i thích v x p x sai phân c a đ o hàm b c C B 1 t i C: U A x x (x0-x) x0 (x0+x) PGS. TS. Nguy n Th ng X 66 11 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n BẨI T P 3 Trong không gian 2D, tìm x p x c a đ o hàm riêng b c 2: NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n 69 ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n Các nghiên c u trên ch t p trung xem xét đ o hàm riêng theo không gian c a bi n nghiên c u U(x,y,z,t).  Trong ph ng trình đ o hàm riêng còn g p các s h n:  c n x p x trong p/p SPHH. 70 PGS. TS. Nguy n Th ng NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n T ng t nh khai tri n Taylor áp d ng v i bi n không gian, v i bi n th i gian ta cǜng có sai phân ti n, sai phân lùi cho x p x : U t PGS. TS. Nguy n Th ng Ch NG PHỄP S U  2 U ; t t 2 PGS. TS. Nguy n Th ng PH 68 PGS. TS. Nguy n Th ng X P X THEO TH I GIAN Ch ng pháp Sai phơn h u h n  2 U( x 0 , y 0 ) ? x.y i, j PGS. TS. Nguy n Th ng Ch ng 1: C s ph NG D NG BẨI T P 4 Trong không gian 2D, tìm x p x c a đ o hàm riêng b c 2:   U   2 U( x 0 , y0 ) ?& ? K( x, y) 2  x  x  x i, j PH Ch NG PHỄP S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n SAI PHÂN THEO TH I GIAN Sai phân ti n: U t U it,j1  U it, j Sai phân lùi: t  i, j t  0(t ) t U it, j  U it,j1 U  0(t )  t t i , j  Xem gi i thích b ng đ th sau  71 PGS. TS. Nguy n Th ng 72 12 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n GI I THệCH B NG Đ Sai phân ti n: time TH (2D) Ut+1(i,j)  Unknown  Known Y Ch X ng 1: C s ph 73 75 NG PHỄP S ng 1: C s ph Ví d : Xét ph 1D: Y PGS. TS. Nguy n Th ng Ch 74 X NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n SAI PHÂN S Đ HI N 76 PGS. TS. Nguy n Th ng Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph Hay: Tjt 1  Tjt t t 1 j T 77 Ut-1(i,j) Ut(i,j-1)  S đ sai phân hi n (Explicit) đ c g i khi ta dùng s đ SAI PHÂN TI N (forward difference) khi x p x theo th i gian.  Các s h ng sai phân trong các s h ng đ o hàm (riêng) theo không gian đ u l y th i đi m cǜ. ng trình truy n nhi t Dùng sai phân ti n đ i v i đ o hàm theo th i gian & sai phân trung tâm cho s h ng đ o hàm theo không gian  Ph ng trình sai phân vi t cho đi m (j): PGS. TS. Nguy n Th ng  Unknown  Known Ut(i,j+1) Ut(i+1,j) NG PHỄP S PH T( x, t )  2 T( x, t )  t x 2 TH (2D) Ut(i,j) ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n ng pháp Sai phơn h u h n Ut(i-1,j) PH ng pháp Sai phơn h u h n PGS. TS. Nguy n Th ng PH tt NG D NG SAI PHÂN S Đ HI N & SAI PHÂN S Đ N Ch time Ut(i+1,j) Ut(i,j-1) NG D NG GI I THệCH B NG Đ Sai phân lùi: tt-1 Ut(i,j) NG PHỄP S NG PHỄP S ng 1: C s ph Ut(i-1,j) PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch Ut(i,j+1) tt+1 tt PH  Tjt1  2Tjt  Tjt1  T  t t j t 1 NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n x 2 Tjt1  2Tjt  Tjt1 x 2  Giá tr Tj  đ c xác đ nh ắtr c ti pẰ từ các giá tr c a nó & giá tr c a các nút lân c n trong ắquá kh Ằ đư bi t (th i đi m t). PGS. TS. Nguy n Th ng 78 13 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n BƠi t p 1 Hãy xác đ nh sai s c t b cho ph ng trình truy n nhi t 1D nói trên. Chú ý: Theo đ nh nghƿa: [Sai s c t b ] = [P/t đ o hàm riêng] ậ [P/t sai phân] 79 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph N  S đ sai phân n (Implicit) đ c g i khi ta dùng s đ SAI PHÂN TI N (forward difference) khi x p x theo th i gian.  Các s h ng sai phân trong các s h ng đ o hàm (riêng) theo không gian đ u l y th i đi m M I. 81 PGS. TS. Nguy n Th ng PH NG PHỄP S ng 1: C s ph Tjt 1  Tjt t   x (Kx x ) y (Ky y ) 80 Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n Ví d : L y l i ph ng trình truy n nhi t 1D nói trên và vi t ph ng trình sai phân n: Dùng sai phân lùi đ i v i s h n T(x, t ) t  Dùng sai phân trung tâm cho T 2 ( x, t ) x 2 82 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Tjt11  2Tjt 1  Tjt11 ng pháp Sai phơn h u h n S h s ph thu c tính ch t n c & đ t (g/t h ng th m. PGS. TS. Nguy n Thsng), K x ; K y  f ( x, y) h s NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n t S PH ng pháp Sai phơn h u h n Đ ng 1: C s ph NG D NG BƠi t p 2 Hãy vi t ph ng trình sai phân HI N cho ph ng trình n c ng m bão hoà và có áp 2D trong môi tr ng không đ ng ch t và không đẳng h ng: h( x, y, t )   h h NG D NG SAI PHÂN S Ch Ch NG PHỄP S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n NH N XÉT x 2  tTjt11  x  Tjt 1  tTjt11  2 x 2 Tjt  2t * Tjt 1 t 1 t 1 t 1  Các giá tr Tj , Tj1 , Tj1  Hình thành 1 PH NG TRÌNH PGS.TUY TS. Nguy N n ThTÍNH ng 83 S khác bi t gi a s đ hi n & s đ n:  S đ hi n  M i n s t i nút (theo th i gian) đ c xác đ nh ắtr c ti pẰ từ giá tr c a b n thân và các nút chung quanh th i đi m CǛ (th i đi m t). S đ n  Các n s nút t o thành m t h ph ng trình tuy n tính & nó ch s đ c xác đ nh khi gi i h ph ng trình này (ph i h p v i đi u ki n biên). 84 PGS. TS. Nguy n Th ng 14 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n BƠi t p 3 Hãy vi t ph ng trình sai phân N (i,j,t+1) cho theo s đ ph ng trình n c ng m bão hoà (th m không n đ nh-th m thay đ i theo th i gian) và có áp 2D trong môi tr ng không đ ng ch t và không đẳng h ng: 85 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch H NG PHỄP S ng 1: C s ph ng d n: a1.h t 1 i, j  a 2 .h  a 3 .h a 4 .h it,j11  a 5 .h it,j11  b t 1 i 1, j PH Ch  87 NG PHỄP S ng 1: C s ph b ]0 h  h    h ( x, y, t )    Kx, y    Kx, y   y  x  x  y  t c&đ t PGS. TS. Nguy n Th ng Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph 86 NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n CHÚ Ý  Ch tìm đ c l i gi i ph ng trình sai phân h u h n ([P/t đ o hàm riêng][Sai s c t b ]) v i hy v ng là sai s làm tròn là bé & b qua.  Ch p nh n l i gi i sai phân v i đi u ki n sai phân pha th a tính NH T QUÁN & tính N Đ NH (theo đ nh lý Lax  h i t ). 88 PGS. TS. Nguy n Th ng PH 89 ng pháp Sai phơn h u h n S h s ph thu c tính ch t n (g/t h ng s ), K h s th m. NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n TệNH NH T QUỄN (Consistency) Đ nh nghƿa: S khác bi t gi a bi u th c sai phân h u h n và ph ng trình đ o hàm riêng s BI N M T khi ta thu nh l i M T CÁCH B T Kǵ.  Lim l i 0 [P/t đa hàm riêng]-[P/t sai phân h u h n] = Lim l i 0 [Sai s c t PGS. TS. Nguy n Th ng S PH Xác đ nh bi u th c tính ai và b theo K & h .t PGS. TS. Nguy n Th ng ng 1: C s ph NG D NG Tr ng h p 1: M ng l i tính K trùng v i m ng l i tính h (Ki,j) Tr ng h p 2: M ng l i tính K so le v i m ng l i tính h (ví d  Ki+1/2,j) NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n t 1 i 1, j Ch NG PHỄP S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n TệNH CH T  Sai s làm tròn d ng 0(t), 0(x),ầ  có tính NH T QUÁN  Sai s c t b d ng 0(t/x),ầ  không có tính NH T QUÁN vì t/x b t đ nh khi t  0 & x  0, trừ khi l i thu nh theo cách mà t/x  0. PGS. TS. Nguy n Th ng 90 15 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n TệNH N Đ NH Ta nói s đ sai phân n đ nh (dùng khi bài toán gi i l p ho c bài toán gi i theo th i gian): Sai s vì b t kǶ lý do nào KHÔNG Đ C PHÉP tăng liên t c qua các b c gi i từ th i đi m này sang th i đi m k . 91 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n TệNH N Đ NH Ch ng minh tính n đ nh đòi h i kh i l ng tính toán l n & ph c t p. Quan h gi a tính NH T QUÁN, H I T & N Đ NH  Đ nh lý t ng đ ng c a Lax: V i m t bài toán giá tr ban đ u đ c thi t l p th a đáng & m t x p x sai phân h u h n c a nó th a đ/k nh t quán, tính ổn định là điều kiện cần & đủ để lời giải hội tụ. 92 PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n TệNH H I T L I GI I THEO TH I GIAN Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n Khi s đ sai phân h i t  L i gi i c a ph ng trình sai phân TI N V l i gi i ph ng trình đ o hàm riêng khi kích th c l i thu nh  Thông th ng khi s đ là nh t quán & n đ nh  l i gi i nói chung là h i t theo th i gian. 93 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n CỄC LO I SAI S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n Sai s làm tròn s : Đ chính xác máy tính là h u h n  các giá tr s s ắb Ằ làm tròn.  95 PGS. TS. Nguy n Th ng 94 PGS. TS. Nguy n Th ng PGS. TS. Nguy n Th ng 96 16 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n Sai s r i r c hoá: Do vi c thay th mi n nghiên c u là m t mi n ắliên t cẰ thành m t mi n ắr i r cẰ (ch chú ý t i m t s h u h n đi m nút) gây nên sai s và đ c đ nh nghƿa B NG: [L i gi i chính xác (không có sai s làm tròn s ) c a p/t đ o hàm riêng] - [L i gi i chính xác (không có sai s làm tròn s ) c a p/t sai phân h u h n] 97 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph ng pháp Sai phơn h u h n 99 PH NG PHỄP S q0 B L PGS. TS. Nguy n Th ng 101 98 NG PHỄP S ng 1: C s ph Ghi chú: NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n  2 U U it1  2U it  U it1  x 2 x 2 (i  1) U it i x (i  1) 100 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Bài t p 1: Xác đ nh momen u n & đ võng c a m t d m đ n gi n. Lý thuy t: Xét m t d m đ n gi n ch u t i tr ng phân b sau: A Ch NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n ng pháp Sai phơn h u h n PGS. TS. Nguy n Th ng PH PGS. TS. Nguy n Th ng ng 1: C s ph ng 1: C s ph NG D NG T NG H P [L i gi i chính xác c a pt. đ o hàm riêng] - [L i gi i máy tính c a pt. sai phân h u h n] = [Sai s r i r c hóa]+[Sai s làm tròn s ] NG D NG BẨI T P ỄP D NG PH NG PHỄP SAI PHÂN XỄC Đ NH N I L CM TS K TC U Đ N GI N Ch Ch NG PHỄP S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n Ph ng trình vi phân xác đ nh momen nh sau: 2 d M q dx 2 1  Ph ng trình vi phân xác đ nh đ võng tr ng h p ti t di n không đ i: 2 d y M  2 dx EJ PGS. TS. Nguy n Th ng 2 102 17 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n Trong đó: M  momen u n (+ n u th d i b căng) q  c ng đ t i phân b (+ từ d i lên) y  đ võng (+ h ng lên trên) E  module đƠn h i d m khi kéo ho c nén J  momen quán tính ti t di n 103 PGS. TS. Nguy n Th ng PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph 0 h=L/4 3 h L h 4 PH NG PHỄP S ng 1: C s ph 105 Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n Đáp s : Momen M1 = 0.0391q0L2 M2 = 0.0625q0L2 M3 = 0.0547q0L2 Đ võng y1 = -0.00463q0L4/EJ y2 = -0.00682q0L4/EJ y3 = -0.00513q0L4/EJ 106 PGS. TS. Nguy n Th ng NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n Bài t p 2: Xét m t d m có ti t di n không đ i trên n n đƠn h i. Ph ng trình vi phân chuy n v y có d ng: d4y EJ 4  ky  q dx Ch 107 NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n a. G i m là s đo n chia d m, vi t ph ng trình sai phân t i nút i. b. Bi t r ng momen M & l c c t Q trong d m có quan h v i chuy n v y nh sau: EJ k  h s n n, q t i tr ng phân b , E module đƠn h i, J momen quán tính PGS. TS. Nguy n Th ng 104 h PGS. TS. Nguy n Th ng Ch q0 ng pháp Sai phơn h u h n PGS. TS. Nguy n Th ng PH ng pháp Sai phơn h u h n 2 ng 1: C s ph NG D NG Yêu c u: Dùng pp. SPHH chia chi u dài d m thành 4 đo n b ng nhau và xác đ nh Momen & đ võng c a d m t i các v trí này. NG D NG H ng d n: Gi i M tr c v i M0=M4=0 Vi t pt. sai phân v i s đ trung tâm cho pt. đ o hàm riêng c a M, pt (1).  Áp d ng pt. này l n l t cho các đi m 1, 2, 3  có 3 pt. bi u di n quan h Mi 1 Ch NG PHỄP S d2y dM d3 y  M & Q   EJ dx 2 dx dx 3 Gi thi t 2 đ u d m là t do (M=0, Q=0). Vi t ph ng trình sai phân 2 đ u d m. PGS. TS. Nguy n Th ng 108 18 PH Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph HD:  L chi NG D NG PH ng pháp Sai phơn h u h n u dài d m, h=L/m  h   yi 2  4 yi 1   6  4  yi  4 yi 1  yi  2  qi m  EJ  4 4   L4 h EJ y1  2y0  y1  0 &  y2  2y 1  2y1  y 2  0 ym1  2ym  ym1 & ym2  4ym  4ym1  ym2 109 PGS. TS. Nguy n Th ng PH NG PHỄP S q0h 4 q h4 q h4 ; y1  0.245 0 ; y 2  0.493 0 ; EJ EJ EJ q0h 4 q0h 4 ; y4   y 3  0.751 EJ EJ y q0 -2 -1 0 1 3 2 4 PGS. TS. Nguy n Th ng h=L/4 ng pháp Sai phơn h u h n 110 PGS. TS. Nguy n Th ng PH y 0  0.007 L ng 1: C s ph NG D NG Chú ý: V i m đo n  (m+1) n s t i nút  ph i có (m+1) ph ng trình (đltt).  Sau khi gi i có yi  s xác đ nh đ c M & Q theo ph ng trình vi phân t ng ng. NG D NG Ch ng 1: C s ph ng pháp Sai phơn h u h n Áp d ng Xem s đ sau. Cho m=4, =L(h/EJ)1/4= 4: h Ch NG PHỄP S Ch NG PHỄP S ng 1: C s ph NG D NG ng pháp Sai phơn h u h n HEÁT CHÖÔNG x 111 112 PGS. TS. Nguy n Th ng 19