BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Nhật Duật MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM LOGARIT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đoàn Nhật Duật MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC KHÁI NIỆM LOGARIT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 60 14 01 11 NGƯỜI HƯỚNG DẦN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên cho tôi xin phép gửi đến PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu lời cảm ơn chân thành vì sự tận tình hướng dẫn của Cô đối với tôi trong thời gian tôi nghiên cứu lẫn thực nghiệm để tôi có thể hoàn thành được luận văn của mình. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến tất cả các quý Thầy, Cô đang công tác tại khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và truyền đạt cho tôi những tri thức quý báu, cũng như giúp tôi từng bước tiếp cận đến nghiên cứu khoa học trong thời gian tôi theo học chương trình đào tạo Sau đại học tại quý trường. Tôi xin cám ơn quý Thầy, Cô là Giáo sư trong đoàn làm việc người Pháp đã giúp đỡ tôi trong bước đầu định hướng cho nghiên cứu của luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 23, gia đình và người thân đã luôn động viên, khích lệ và quan tâm tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn. Đoàn Nhật Duật DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên SBT Sách bài tập THPT Trung học phổ thông HS Học sinh GV Giáo viên MỤC LỤC Trang MỤC LỤC ............................................................................................ 1 MỞ ĐẦU .............................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1 2. Cơ sở lý thuyết............................................................................................... 2 3. Câu hỏi nghiên cứu ....................................................................................... 3 4. Mục đích và phương pháp nghiên cứu ....................................................... 3 5. Một số nghiên cứu về khái niệm logarit dựa trên cơ sở của didactic toán 4 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA 8 1.1. Dạy học tích hợp ........................................................................................ 8 1.2. Mô hình hóa trong dạy học Toán ........................................................... 12 1.2.1. Khái niệm dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa ..............12 1.2.2. Quá trình mô hình hóa toán học .................................................................13 1.2.3. Dạy học mô hình hóa xét trên phương diện tiếp cận bằng vai trò công cụ của khái niệm logarit..............................................................................................15 CHƯƠNG 2: SỰ XUẤT HIỆN CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT Ở MỘT SỐ MÔN HỌC KHÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT .. 17 2.1. Sự xuất hiện của khái niệm logarit trong các tình huống thực tế ở một số môn khoa học khác như lý, hóa, sinh. ...................................................... 17 2.1.1. Bài học ở môn vật lý có xuất hiện khái niệm logarit .................................18 2.1.1.1. Phóng xạ ....................................................................................................18 2.1.1.2. Độ to của âm, cường độ âm, mức cường độ âm........................................23 2.1.2. Bài học ở môn hóa học có xuất hiện khái niệm logarit .............................28 2.1.3. Giới thiệu tình huống ở bộ môn sinh học có liên quan đến việc vận dụng khái niệm logarit để giải quyết ..............................................................................31 2.2. Vai trò công cụ của khái niệm logarit .................................................... 32 f ( x) 2.2.1. Giải PT mũ dạng a = b với 0 < a ≠ 1, b > 0 , trường hợp b không đưa được về dạng a r ( 0 < a ≠ 1, b > 0, r ∈ Q ) ..................................................................33 2.2.2. Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi ..................................................................................................................................33 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM: XÂY DỰNG ĐỒ ÁN DẠY HỌC ............................................................................................................. 36 3.1. Mục đích 36 3.2. Đối tượng 36 3.3. Bài toán thực nghiệm............................................................................... 37 3.4. Phân tích tiên nghiệm bộ câu hỏi thực nghiệm ..................................... 38 3.4.1. Biến tình huống, biến didactic và các giá trị của biến ..............................40 3.4.1.1 Biến tình huống ..........................................................................................40 3.4.1.2. Biến didactic ..............................................................................................41 3.4.2. Cách lựa chọn giá trị của biến.....................................................................42 3.4.3. Các chiến lược có thể ...................................................................................44 3.4.4. Các lời giải có thể quan sát được ................................................................46 3.4.5. Tổ chức thực nghiệm....................................................................................59 3.5. Phân tích hậu nghiệm .............................................................................. 68 KẾT LUẬN ........................................................................................ 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................ 90 PHỤ LỤC ........................................................................................... 92 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Logarit, một nội dung được giảng dạy tại trường phổ thông nước ta, từ lâu đã chiếm một vai trò quan trọng trong chương trình học môn toán của học sinh. Điều này được khẳng định bằng sự xuất hiện thường xuyên của khái niệm này trong những đề thi đại học nhiều năm liền. Tuy nhiên, dựa trên chương trình học và cách trình bày của sách giáo khoa hiện nay, chúng tôi nhận thấy cách đề cập và tiếp cận logarit khi chúng được giảng dạy ở trường phổ thông chưa thực sự làm nổi bật chức năng công cụ của khái niệm này thông qua một số ứng dụng trong đời sống mà nó mang lại. Điều này làm cho sự tiếp xúc khái niệm logarit ở học sinh THPT phần nào mang tính lý thuyết và vì thế, khái niệm này đã chưa thực sự mang lại hứng thú cho học sinh khi học. Với lý do trên, chúng tôi đưa ra câu hỏi xuất phát cho đề tài nghiên cứu của luận văn như sau: - Những nghĩa nào của khái niệm logarit được xem xét trong Didactic toán giúp hỗ trợ cho việc sử dụng chúng trong các lĩnh vực khoa học khác nhau? Các khái niệm toán học được xây dựng đều gắn liền với việc giải quyết những vấn đề trong thực tế, và logarit được hình thành cũng xuất phát từ nhu cầu giúp giải quyết cho công việc tính toán của con người. Tuy nhiên, khi được đưa vào giảng dạy ở trường phổ thông, vai trò công cụ của khái niệm logarit chưa được quan tâm khai thác. Vì lẽ đó, khái niệm logarit ở môn toán gần như bị tách rời với các môn khoa học khác. Học sinh chưa thấy rõ được khả năng áp dụng của khái niệm này từ các tình huống đặt ra trong cuộc sống dẫn đến sự liên hệ những kiến thức đã học cùng với việc sử dụng chúng phần nào còn nhiều hạn chế. Dựa trên câu hỏi đã đề ra, chúng tôi quyết định lựa chọn hướng nghiên cứu của mình ở khía cạnh mô hình hóa trong dạy học khái niệm logarit ở trường phổ thông, xét trong việc sử dụng khái niệm này với mục đích giải quyết các tình huống thực tế ở một số môn khoa học khác được giảng dạy ở trường phổ thông. 2 2. Cơ sở lý thuyết Luận văn dựa trên phạm vi lý thuyết của didactic toán, cụ thể, chúng tôi sử dụng các lý thuyết sau đây: - Trong didactic toán, dựa trên việc chọn lọc các bài học ở một số môn học khác như lý, hóa, sinh được giảng dạy trong chương trình phổ thông có xuất hiện khái niệm logarit, chúng tôi xem xét khả năng xuất hiện của khái niệm này trong các tình huống thực tế gắn liền với mỗi môn học. Kết hợp với việc tìm hiểu các tổ chức toán học của khái niệm logarit trong bộ môn toán, chúng tôi chỉ ra các nghĩa của khái niệm logarit cùng phạm vi áp dụng của chúng trong mỗi tình huống. Việc phân tích chương trình, phân tích SGK cho phép chúng tôi thấy được mối liên hệ giữa khái niệm logarit trong toán học và các kiến thức ở những môn học khác gắn liền với những tình huống cụ thể mà chúng tôi xem xét trong chương trình học của các em. Điều này cho chúng tôi có được cái nhìn tổng thể về sự liên hệ giữa các kiến thức mà các em có được trong quá trình học của mình. Các khái niệm của lý thuyết nhân chủng học trong didactic toán mà chúng tôi sử dụng bao gồm: quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một tri thức, khái niệm tổ chức toán học. - Căn cứ vào sự trang bị kiến thức cho học sinh ở từng môn học có liên quan đến khái niệm logarit đã được lựa chọn và xem xét, chúng tôi tiến hành xây dựng đồ án dạy học mô hình hóa khái niệm này ở trường phổ thông. Thông qua các tình huống thực tế, chúng tôi chỉ ra cho học sinh thấy được một số nghĩa của khái niệm logarit mà mình nghiên cứu trong luận văn. Bên cạnh đó, chúng tôi mong muốn kiểm chứng sự liên hệ về kiến thức giữa toán học và các môn khoa học khác mà học sinh hình thành được trong quá trình học tập của mình. Việc làm này cho phép chúng tôi tìm ra những mặt hạn chế của việc dạy toán trên phương diện lý thuyết thuần túy, hơn nữa, nó giúp chúng tôi có điều kiện chỉ ra những mặt tích cực của dạy học mô hình hóa trong toán học ở 3 trường phổ thông. Để thực hiện đồ án dạy học khái niệm logarit, chúng tôi vận dụng lý thuyết tình huống để hỗ trợ cho nghiên cứu của mình. 3. Câu hỏi nghiên cứu Khi nói về logarit, nhà toán học Pháp Pierre - Simon Laplace nhận định rằng khái niệm này đã giúp rút ngắn lao động tính toán trên nhiều lĩnh vực của nhiều ngành khoa học khác nhau. Với tinh thần đó, chúng tôi mong muốn dựa trên các ứng dụng thực tế của logarit, mang chúng giới thiệu đến đối tượng học sinh với mục đích hỗ trợ cho việc giảng dạy và học tập nội dung này được hiệu quả hơn. Cụ thể, chúng tôi đề xuất một hướng tiếp cận khác trong giảng dạy khái niệm logarit ở trường phổ thông, đó là mô hình hóa trong dạy học khái niệm logarit nhằm trả lời cho những câu hỏi sau đây: Q1: Khái niệm logarit được sử dụng như thế nào trong các môn khoa học khác ở trường trung học phổ thông? Q2: Học sinh đã vận dụng những kiến thức mà mình có được như thế nào để mô hình hóa toán học giúp giải quyết cho vấn đề thực tế đặt ra? 4. Mục đích và phương pháp nghiên cứu Chúng tôi tổng hợp một số công trình khoa học có liên quan đến khái niệm logarit trên cơ sở của didactic toán nhằm tìm ra các nghĩa của khái niệm này phục vụ cho hướng nghiên cứu dạy học mô hình hóa của luận văn. Từ các vai trò công cụ của logarit đã thu thập được, chúng tôi tìm hiểu và chọn lọc các vấn đề trong thực tế ở đó có sự vận dụng chúng trong việc hỗ trợ giải quyết. Song song đó, chúng tôi tiến hành nghiên cứu thể chế dạy học ở các môn khoa học khác như lý, hóa, sinh với mục đích tìm điểm chung giữa tình huống thực tế mà chúng tôi lựa chọn với các tri thức mà học sinh được trang bị trong quá trình học của mình. Tiếp đến, chúng tôi phân tích sự xuất hiện của logarit trong từng tình huống cụ thể mà mình có được để thấy rõ khả năng xuất hiện của khái niệm này trong mỗi trường hợp. Kết hợp những phân tích tri thức toán học có liên quan đến logarit được giảng dạy ở trường phổ thông với các môn học khác, chúng tôi xây dựng đồ án dạy học đối 4 tượng học sinh trung học phổ thông nhằm giúp các em hiểu thêm về vai trò công cụ của khái niệm này cũng như tạo điều kiện cho học sinh hình thành kỹ năng mô hình hóa các tình huống thực tế vào toán học. Từ đó, chúng tôi tìm ra một số ưu điểm của việc dạy học mô hình hóa dựa trên sự kết hợp giữa toán học với các môn khoa học khác có liên quan đến khái niệm logarit như lý, hóa, sinh. 5. Một số nghiên cứu về khái niệm logarit dựa trên cơ sở của didactic toán Chúng tôi tiến hành tổng hợp một số công trình nghiên cứu về khái niệm logarit, cụ thể là các đề tài dựa trên phương pháp luận là didactic toán phục vụ cho nhu cầu nghiên cứu của luận văn như sau: 5.1 Khái niệm hàm số Logarit trong trường trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ của tác giả Phạm Trần Hoàng Hùng, 2008. Trong phần trình bày của mình, tác giả Hoàng Hùng chỉ ra vai trò công cụ của khái niệm logarit. Với những dẫn chứng có được từ việc nghiên cứu các tổ chức toán học ở trường phổ thông có liên quan đến khái niệm này, tác giả nhận định cách trình bày của SGK chưa tạo điều kiện cho học sinh được tiếp cận nghĩa của khái niệm logarit trong việc hỗ trợ tính toán và giải quyết các vấn đề thực tế. Trong phần nghiên cứu các tổ chức toán học có liên quan đến khái niệm logarit của tác giả, chúng tôi nhận thấy hệ thống bài tập được trình bày trong SGK và SBT chủ yếu giúp kiểm chứng những công thức toán học mà học sinh được học, các tình huống thực tế có liên quan đến khái niệm logarit chưa được lồng ghép vào các bài tập để cho học sinh thấy sự ảnh hưởng của khái niệm này. Hơn nữa, sự lựa chọn hệ thống bài tập chỉ dừng lại ở mức độ tạo điều kiện cho học sinh sử dụng những kỹ thuật biến đổi đại số mà các em có được trong quá trình tiếp thu kiến thức của mình. 5.2. Khái niệm Logarit ở trường trung học phổ thông, Khóa luận tốt nghiệp của tác giả Tôn Nữ Khánh Bình, 2009. Tác giả tiến hành phân tích SGK Giải tích 12 ở cả hai phần cơ bản và nâng cao để thấy được quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với khái niệm logarit. Qua nghiên cứu của mình ở SGK giải tích 12 cơ bản, tác giả nhận định các dạng bài tập mà SGK đưa ra không nhiều, trong đó thiếu dạng bài tập về việc sử dụng các 5 ứng dụng của logarit để giải toán. Sự nối kết giữa toán học và những dụng thực tế được giải quyết dựa trên môn học này chưa được khai thác nhiều trong nội dung giảng dạy ở trường phổ thông hiện nay, trong đó có khái niệm logarit. Những bài tập được thiết kế mang nặng tính lý thuyết tạo sự khó khăn cho học sinh trong quá trình tiếp cận kiến thức mới, các em không thấy được những ứng dụng thực tế từ các bài học của mình. SGK giải tích 12 nâng cao giới thiệu mối liên hệ giữa logarit với các ứng dụng thực tế thông qua những ví dụ trong bài học và phần đọc thêm được giới thiệu cuối bài. Tuy nhiên, SGK chỉ dừng lại ở việc chỉ ra những ứng dụng có liên quan đến khái niệm này đến học sinh, các em không có điều kiện được thao tác với những vấn đề thực tế mà ở đó logarit đóng vai trò then chốt để thấy rõ được tính ứng dụng của khái niệm này. Bên cạnh đó, tác giả nhận định vai trò công cụ của khái niệm logarit đa phần không được học sinh lưu tâm, thay vào đó, các em chỉ quan tâm đến các quy tắc biến đổi đại số giúp giải quyết các dạng bài tập được cho. Với việc so sánh cách trình bày ở SGK Giải tích 12 cơ bản và nâng cao, tác giả chỉ ra rằng SGK Giải tích 12 cơ bản không đề cập đến những ứng dụng thực tế có liên quan đến logarit, những ví dụ này chỉ được tìm thấy ở SGK Giải tích nâng cao. Tác giả tiến hành dạy học đặt và giải quyết vấn đề đối với khái niệm logarit để học sinh thấy được sự xuất hiện của khái niệm này. Tuy nhiên, việc dạy học tích hợp môn toán với các môn học khác chưa được tác giả đề cập trong phần nghiên cứu của mình. Qua phần thực nghiệm của tác giả, chúng tôi thấy rằng khái niệm logarit bị tách rời khỏi các ứng dụng thực tế mà nó mang lại. Điều này hoàn toàn trái ngược với sự hình thành cũng như phát triển của logarit trong lịch sử. Kiến thức học sinh nhận được qua bài học chỉ dừng lại ở các công thức, tính chất, sự liên hệ logarit với thực tế của học sinh hầu như không được tìm thấy. 5.3. Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán ở bậc trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Viết Hiếu, 2013. Tác giả tổng hợp một số cách tiếp cận khái niệm logarit, hàm số logarit và chỉ ra một số lợi điểm của từng cách tiếp cận mang lại. Tuy nhiên, để tránh lặp lại những 6 kết quả đã được trình bày ở những công trình nghiên cứu đã có, chúng tôi chỉ giới thiệu sơ nét mà không trình bày cụ thể những kết quả này. Tác giả tiến hành nghiên cứu một số nghĩa của khái niệm logarit. Trong đó, tác giả dẫn chứng một số ví dụ thực tế mà logarit tham gia giải quyết, cụ thể như: - Tính số tiền gửi theo thể thức lãi kép. - Tính số năm phân rã của chất phóng xạ. Thông qua nghiên cứu của một số tác giả đã được chúng tôi tổng hợp và trình bày dựa trên cơ sở didactic toán, chúng tôi nhận thấy với vai trò mạnh mẽ mà logarit mang lại, khái niệm này đã thể hiện được tầm ảnh hưởng của nó trong mối quan hệ với các ngành khoa học khác. Tuy nhiên, thể chế dạy học môn toán ở trường phổ thông chưa tạo nhiều điều kiện cho học sinh tiếp cận với những ứng dụng này. Chính vì thế, việc học tập khái niệm logarit của học sinh phần nào mang nặng tính chất lý thuyết, các em chưa được tiếp xúc để thấy rõ các vai trò công cụ của khái niệm này mà chương trình học muốn truyền tải. Từ những nhận định và thông tin đã thu thập được, chúng tôi mong muốn đề xuất một hướng hỗ trợ khác trong việc giúp học sinh hiểu thêm về logarit thông qua những ứng dụng thực tế mà khái niệm này đã giúp giải quyết, đó chính là dạy học mô hình hóa khái niệm logarit. Căn cứ đặc điểm của hệ thống bài tập cùng những kiểu nhiệm vụ được ghi nhận trong quá trình tổng hợp của mình, chúng tôi lựa chọn và trình bày đến đối tượng học sinh hai kiểu nhiệm vụ sau đây: x) - Giải phương trình dạng a f (= b ( a, b > 0; a ≠ 1) . - Đơn giản các biểu thức phức tạp để hỗ trợ tính toán bằng công cụ logarit. Chúng tôi lựa chọn hai kiểu nhiệm vụ được nêu ra bên trên làm tư tưởng cốt lõi cho luận văn của mình. Song song đó, kết hợp với việc nghiên cứu thể chế dạy học ở một số bộ môn khoa học khác có sử dụng hai kiểu nhiệm vụ này để giải quyết vấn đề trong thực tế, chúng tôi nghiên cứu để chỉ ra sự tồn tại cùng khả năng vận dụng của hai kiểu nhiệm vụ này đối với từng tình huống cụ thể. Cuối cùng, chúng tôi lựa chọn một số tình huống thực tế tiêu biểu làm đề tài cho đồ án dạy học mô hình hóa của mình để minh họa cho học sinh thấy được các vai trò công cụ của khái niệm logarit mà chúng 7 tôi muốn gửi đến các em, đồng thời chúng tôi kiểm chứng khả năng liên kết và vận dụng kiến thức mà các em có được. 8 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VỀ DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA Để phục vụ cho nghiên cứu của luận văn về dạy học mô hình hóa, chúng tôi tổng hợp và đưa vào một số khái niệm như: 1.1. Dạy học tích hợp Một số kết quả được chúng tôi tổng hợp và trình bày ở các tài liệu sau:  Nguyễn Kim Hồng, Huỳnh Công Minh Hùng (2013), “Dạy học tích hợp trong trường phổ thông Australia”, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp. HCM (42), 7 – 16. Trong phần trình bày của tác giả, chúng tôi chú ý một số quan điểm: - Tác giả đề cao phương pháp dạy học giúp phát huy tính sáng tạo của người học. Bên cạnh đó, tác giả cho rằng cách thức mà người học vận dụng và liên hệ những kiến thức với nhau góp phần giải quyết cho một vấn đề chung đóng vai trò quan trọng. Với lý luận này, tác giả nêu lên những lợi điểm mà phương pháp dạy học tích hợp mang lại. Dạy học tích hợp tạo cơ hội cho học sinh thấy được sự gắn kết giữa các kiến thức mà các em đã được học, bám sát thực tế cuộc sống, giúp học sinh hình thành các kỹ năng giải quyết vấn đề bằng cách kết hợp các kiến thức lại với nhau. Trong thực trạng giáo dục hiện nay, chúng tôi nhận thấy quá trình dạy học trong đó có sự lồng ghép việc giải quyết các vấn đề thực tiễn thường được quan tâm với mục đích giúp học sinh liên hệ được giữa lý thuyết được học và thực tiễn cuộc sống. - Tác giả giới thiệu các hình thức dạy học tích hợp bao gồm tích hợp ngang (Horizontal integration) và tích hợp dọc (Vertical integration). Chúng tôi lưu ý đến khái niệm Dạy học tích hợp ngang, cụ thể được tác giả trình bày như sau: “ Tích hợp ngang (Horizontal integration): Tích hợp dựa trên cơ sở liên kết các đối tượng học tập, nghiên cứu thuộc các lĩnh vực khác nhau xung quanh một chủ đề. ” [10, tr.8]. 9 Chúng tôi thực hiện dạy học tích hợp môn toán và một số môn học khác được giảng dạy trong chương trình phổ thông. Từ tình huống thực tế mà mình lựa chọn, chúng tôi xây dựng hệ thống câu hỏi tạo điều kiện cho học sinh vận dụng các lý thuyết đã được học ở toán học và một số môn học khác, kết hợp chúng lại với nhau tìm câu trả lời cho vấn đề được đặt ra. - Tác giả nêu lên một số mô hình dạy học tích hợp phổ biến bao gồm: Mô hình đa môn (interdisciplinary model), mô hình dựa trên chuỗi vấn đề (problem – based model), mô hình dựa trên các chủ đề (theme – based model). Căn cứ vào mục đích đặt ra cho hướng nghiên cứu của luận văn là mô hình hóa trong dạy học khái niệm logarit, chúng tôi quan tâm đến việc dạy học mô hình dựa trên chuỗi vấn đề (problem – based model) cho phần nghiên cứu của mình, với mô hình này mang một số đặc điểm như: “ Mô hình đòi hỏi nội dung học tập được thiết kế thành một chuỗi vấn đề, muốn giải quyết phải huy động kiến thức kỹ năng của những môn học khác nhau. ” [10, tr.9]. Với những đặc điểm mà mô hình dựa trên chuỗi vấn đề (problem – based model) mang lại, chúng tôi có điều kiện chỉ ra cho học sinh thấy được tầm ảnh hưởng của khái niệm logarit đến những môn học khác, vừa giúp các em ứng dụng những lý thuyết đã học vào thực tiễn.  Lê Thị Hoài Châu, Vũ Như Thư Hương (2013), Tích hợp trong dạy học Toán (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên), Kiên Giang.  Lê Thị Hoài Châu, Vũ Như Thư Hương (2013), Mô hình hóa với phương pháp tích cực trong dạy học Toán (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên), Kiên Giang. Trong phần trình bày của mình, tác giả nêu lên quá trình dạy học tích hợp giúp con người hoàn thiện kỹ năng sống thông qua việc ứng dụng những kiến thức đã có vào thực tiễn. Dạy học tích hợp tạo cho người học không chỉ lĩnh hội kiến thức từ những môn khoa học nhất định, mà đó còn là sự kết hợp trên nhiều phương diện ở những bộ môn khác nhau. Xoay quanh một vấn đề được đặt ra, người học xác định và 10 lựa chọn những kiến thức, những khái niệm hỗ trợ nhau, cùng nhau giải quyết vấn đề đó. Tác giả cho rằng nhiệm vụ của dạy học tích hợp là chỉ ra cách thức chuyển từ những lý thuyết, những nghiên cứu sang việc vận dụng chúng vào thực tiễn. Dạy học tích hợp phải đảm bảo được việc chuyển tải tính ứng dụng từ những lý thuyết được giảng dạy trong chương trình học đến người học nhằm chỉ ra được sự xuất hiện của những kiến thức cùng khả năng vận dụng chúng trong các tình huống khác nhau. Tác giả chỉ ra những mục tiêu của dạy học tích hợp bao gồm: • Gắn lý luận với thực tiễn: Phương pháp dạy học tích hợp với mục tiêu không những làm cho quá trình giảng dạy của giáo viên thêm phần sinh động mà còn hỗ trợ cho quá trình tiếp thu kiến thức của người học thêm phần vững chắc. Việc truyền đạt kiến thức mang nặng tính lý thuyết phần nào tạo cho người học đôi khi phải chấp nhận những bài học mà mình có được học trong khi họ không hiểu được khả năng xuất hiện và tính ứng dụng của các kiến thức này. • Tạo sự liên kết chặt chẽ giữa những kiến thức với nhau, góp phần đặt nền móng vững chắc cho sự tiếp thu và phát triển những kiến thức ở những cấp độ cao hơn. • Giúp người học hiểu kỹ, hiểu sâu những kiến thức đã học thông qua khả năng tổng hợp và chọn lọc những điểm kiến thức phù hợp để giải quyết cho những tình huống nhất định. • Tạo sự gắn kết giữa các môn khoa học, kiến thức của người học hình thành được sẽ là một khối vững chắc, không rời rạc nhau. Ngoài việc tiếp thu những bài học cụ thể ở từng môn học, dạy học tích hợp tạo điều kiện cho học sinh vận dụng các kiến thức có được một cách tổng hợp. Bênh cạnh đó, dạy học tích hợp giúp học sinh hình thành kỹ năng hệ thống hóa các bài học và lựa chọn kiến thức một cách phù hợp nhằm giải quyết chung cho tình huống thực tế được đặt ra. Tác giả đưa ra quan điểm về sự cần thiết của dạy học tích hợp như sau: 11 “ Nếu không có sự kết hợp các môn học khác nhau thì khó mà vận dụng được vào thực tiễn.” [4, tr.10]. Những lý thuyết được truyền đạt một cách máy móc mà không có sự liên hệ vào thực tế sẽ làm cho học sinh khó nắm bắt được vai trò của bài học mà các em được học, dẫn đến việc vận dụng bài học mang nặng tính chất lý thuyết. Điều này dẫn đến việc học sinh không hình dung được các kiến thức mình đã có được trang bị cho cuộc sống như thế nào. Ở phần nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm đến nội dung Tích hợp trong dạy học Toán được tác giả trình bày như sau: “ Trong lịch sử, mọi khái niệm, mọi lý thuyết toán học, đều được sinh ra từ việc giải quyết các vấn đề của thực tiễn. Sau này, càng phát triển thì toán học càng trở nên hình thức, khiến người ta có cảm giác như nó chỉ là môn “thể thao của trí tuệ”. Nhưng thực ra, dù trừu tượng đến đâu, các khái niệm đều tìm thấy ứng dụng của mình trong thực tiễn hay trong các khoa học khác. ” [4, tr.13]. Các kiến thức toán học đều xuất phát từ việc giải quyết những vấn đề thực tiễn. Tuy nhiên, khi xem xét quá trình lĩnh hội tri thức toán học của học sinh dựa trên chương trình học và SGK, chúng tôi nhận thấy quá trình này có phần hạn chế khi các kiến thức chưa được đề cập nhiều trong mối liên hệ với thực tế. Đối với môn toán, hệ thống bài tập mà chương trình đặt ra chủ yếu dừng lại ở việc luyện tập cho học sinh khả năng giải quyết những bài tập minh họa cho phần lý thuyết đã học, những bài tập mang tính ứng dụng vào thực tiễn ít được quan tâm khai thác. Khi nói về tích hợp trong dạy học toán, tác giả nêu các hướng như sau: Tích hợp trong nội bộ môn toán, tích hợp đa môn, tích hợp xuyên môn và tích hợp theo phương thức liên môn và gắn toán học với thực tiễn. Tác giả giới thiệu về đặc điểm và cách thức cho hướng dạy học này, cụ thể như sau: “ Trong cách tiếp cận tích hợp liên môn, GV kết nối các nội dung học tập chung nằm trong các môn học để nhấn mạnh các khái niệm và kỹ năng liên môn. Đây là điểm chung với xu hướng tích hợp đa môn. Tuy nhiên, việc tổ chức học tập có thể chỉ đặt trong khuôn khổ một môn học, ở đó GV tổ chức chương trình học tập những chủ đề, khái niệm cụ thể của môn học trong mối quan hệ với các khái niệm, kỹ năng liên môn.” [4, tr.11]. 12 Với những lợi ích mà cách tiếp cận tích hợp liên môn mang lại kết hợp với mục đích nghiên cứu của luận văn, chúng tôi lựa chọn hướng dạy học này với mong muốn cho học sinh thấy được tầm ảnh hưởng của toán học đối với các ngành khoa học khác, cụ thể ở khái niệm logarit. Bên cạnh đó, phương thức dạy học tích hợp liên môn cũng là điều kiện để chúng tôi thiết lập các chuyên đề hỗ trợ cho việc tiếp thu các kiến thức và kỹ năng mà các em đã học được tốt hơn với chủ đề “Ứng dụng của toán học vào thực tiễn”. 1.2. Mô hình hóa trong dạy học Toán Chúng tôi nghiên cứu xoay quanh việc giải quyết những tình huống trong thực tế mà ở đó, toán học đóng vai trò quan trọng trong việc tìm lời giải đáp. Khi tiếp cận một vấn đề thực tiễn có liên quan đến toán học, học sinh gặp khó khăn không chỉ ở việc giải một bài toán cụ thể mà còn ở giai đoạn chuyển tình huống thực tế cần giải quyết vào toán học. Việc chuyển tình huống thực tế vào toán học thường là vấn đề mà các em e ngại bởi lẽ nó đòi hỏi sự lựa chọn và sử dụng những kiến thức tổng hợp trong toán học và cả ở những môn khoa học khác có liên quan. Với lý do này, việc mô hình hóa trong dạy học toán ngày càng được quan tâm phát triển. 1.2.1. Khái niệm dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa Tác giả trình bày các khái niệm dạy học bằng mô hình hóa và dạy học mô hình hóa: “ Dạy học bằng mô hình hóa: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức → Vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp. Dạy học mô hình hóa: Trình bày tri thức toán học lý thuyết (giới thiệu định nghĩa khái niệm hay định lý, công thức) → Vận dụng tri thức vào giải quyết các bài toán thực tiễn, ở đó phải xây dựng mô hình toán học. ” [5, tr.3]. Chúng tôi sử dụng khái niệm dạy học mô hình hóa làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình. Cách thức dạy học này đòi hỏi ở người học sự vận dụng các tri 13 thức toán học kết hợp với một số kiến thức ở những bộ môn khoa học khác có liên quan đến vấn đề cần giải quyết. Từ đó, họ xây dựng một mô hình trung gian chuyển từ tình huống đang xem xét sang làm việc với các kiến thức toán học. Giáo dục ngày nay chú trọng phương diện tự học, tự nghiên cứu của người học nhằm hướng đến sự lĩnh hội tri thức cùng với việc trang bị những kỹ năng sống cho người học một cách toàn diện. Vì thế, việc truyền đạt kiến thức của GV đến HS dần chuyển hướng đến mục tiêu liên hệ tri thức với thực tiễn. Việc tiếp thu kiến thức của người học không chỉ dừng lại ở phương diện lý thuyết mà còn hướng đến sự liên kết các kiến thức với nhau. Chúng tôi nhận thấy phương thức dạy học mô hình hóa có những điều kiện nhất định và những đặc điểm nổi bật có thể phục vụ tốt cho mục đích dạy học tích cực này. Đối với môn toán ở bậc học THPT hiện nay, chúng ta thường gặp không ít những ý kiến của học sinh khi thắc mắc về các ứng dụng của những kiến thức được học. Nắm bắt được quan điểm trên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu mô hình hóa trong giảng dạy môn toán ở cấp học trung học phổ thông, cụ thể với việc dạy học khái niệm logarit. 1.2.2. Quá trình mô hình hóa toán học Tác giả nêu lên 4 bước trong quá trình mô hình hóa toán học như sau: “ Bước 1: Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các quy luật mà chúng ta phải tuân theo. Bước 2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian. Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng. Bước 3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bước hai. Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp. Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Ở đây người ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia. ” [5, tr.1]. 14 Căn cứ vào các bước của quá trình mô hình hóa các tình huống thực tế vào toán học, chúng tôi nhận thấy các bước này tạo điều kiện cho học sinh nhận thấy được những điểm kiến thức mà mình vận dụng, thể hiện ở sự lựa chọn và sự kết hợp các lý thuyết, các khái niệm không chỉ ở toán học mà còn ở các môn khoa học khác có liên quan. Học sinh lựa chọn các kiến thức toán học và các tri thức ở những bộ môn khoa học khác xoay quanh tình huống đang xem xét. Bước này hình thành cho các em có một cái nhìn tổng quát về vấn đề được nói đến. Thay vì bị ảnh hưởng bởi những kiểu nhiệm vụ toán học mang tính rời rạc chỉ phục vụ cho việc minh họa những lý thuyết đã học, bước thứ nhất của quá trình này giúp học sinh thoát ly khỏi cách nhìn nhận vấn đề một cách khuôn mẫu. Sự nối kết giữa các môn khoa học tạo điều kiện cho học sinh xem xét tình huống trên nhiều phương diện, điều này không những tạo cho các em sự chủ động trong suy nghĩ mà còn rèn luyện cho các em năng lực tư duy dựa trên yếu tố khách quan có được từ vấn đề thực tế. Những lập luận trên cho phép chúng tôi chỉ ra một trong những lợi điểm mà phương pháp dạy học mô hình hóa mang lại, đó là sự kích thích tính sáng tạo trong tư duy của học sinh. Vấn đề trong thực tế được chuyển qua ngôn ngữ toán học bởi sự lựa chọn và vận dụng những khái niệm, những kiến thức toán học. Bước thứ hai đòi hỏi học sinh phải có một sự hiểu biết nhất định đối với những kiến thức đã học để phục vụ cho việc lựa chọn và vận dụng chúng. Sau đó, học sinh tiến hành giải bài toán của mô hình mà mình xây dựng được. Bước này tạo điều kiện cho học sinh thao tác lại với những kỹ thuật mà mình có được trong quá trình tiếp cận với các kiểu nhiệm vụ toán học trong các bài học ở môn toán. Cuối cùng, học sinh thực hiện đối chiếu kết quả tìm được với vấn đề thực tế để tìm ra sự tương thích hoặc hạn chế ở mô hình toán học đã xây dựng được. Các kết quả thu được có thể phù hợp hoặc không phù hợp với vấn đề đang giải quyết. Tùy theo khả năng áp dụng và những ràng buộc của vấn đề thực tế lên mô hình đang xét mà ta chấp nhận hoặc loại bỏ mô hình đã đặt ra và thay vào đó bằng một mô hình phù hợp hơn, giải quyết triệt để hơn cho vấn đề được nói đến. Bước bốn của quá trình mô hình hóa tình huống thực tế vào toán học giúp học sinh kiểm chứng lại cho những kiến thức mà 15 mình đã sử dụng, từ đó hình thành nên kinh nghiệm giải quyết vấn đề khi áp dụng vào những tình huống tương đồng trong cuộc sống. 1.2.3. Dạy học mô hình hóa xét trên phương diện tiếp cận bằng vai trò công cụ của khái niệm logarit Với việc chỉ ra một số kiểu nhiệm vụ của khái niệm logarit kết hợp với dạy học mô hình hóa cho đối tượng học sinh trung học phổ thông, chúng tôi tiến hành nghiên cứu tình huống trong đó có sự vận dụng những kiến thức liên quan đến khái niệm logarit để mô hình hóa chúng vào toán học. Sau khi chuyển tình huống thực tế sang ngôn ngữ toán học, chúng tôi sự dụng khái niệm logarit để giải quyết cho vấn đề được đặt ra. Để làm rõ cho mục đích nghiên cứu của mình, chúng tôi tổng quát những lý luận của mình bằng sơ đồ như sau: Tình huống thực tế được tìm thấy ở một số môn học khác Lựa chọn các khái niệm toán học có liên quan (cụ thể là các khái niệm liên quan đến logarit) Sử dụng các khái niệm có liên quan đến logarit trong toán học để hình thành mô hình chung cho phép giải quyết tình huống Có sự kết hợp các kiến thức ở môn khoa học liên quan một cách tổng quát Vấn đề thực tế được chuyển sang ngôn ngữ toán học Làm việc với bài toán cụ thể Kiểm chứng các kết quả thu được trong tình huống Vận dụng logarit để giải quyết (chỉ ra vai trò công cụ của khái niệm logarit) Đối chiếu để với kiến thức toán học và các môn học khác để tìm ra tính đúng đắn hay những mặt hạn chế của mô hình. 16 Thông qua việc nghiên cứu cơ sở lý luận của dạy học mô hình hóa xét trên tư tưởng chủ đạo là làm rõ vai trò công cụ của khái niệm logarit trong chương 1, chúng tôi đã chỉ ra: - Lợi ích của việc dạy học tích hợp xét trong mối quan hệ với sự phát triển tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề cho đối tượng học sinh trung học phổ thông. - Dạy học mô hình hóa chiếm một phần quan trọng trong sự liên kết giữa toán học và các môn khoa học khác khi chúng cùng hỗ trợ và bổ sung cho nhau để giải quyết cho một tình huống trong thực tế được đặt ra. - Dạy học mô hình hóa khái niệm logarit ở trường phổ thông mang tính thu hút bởi những ứng dụng mà khái niệm này mang lại cùng những vai trò công cụ của nó khi hỗ trợ giải quyết vấn đề. 17 CHƯƠNG 2: SỰ XUẤT HIỆN CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT Ở MỘT SỐ MÔN HỌC KHÁC TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG VAI TRÒ CÔNG CỤ CỦA KHÁI NIỆM LOGARIT Để hiểu thêm về các ứng dụng thực tế liên quan đến khái niệm logarit, chúng tôi phân tích một số tình huống ở các môn lý, hóa, sinh trong chương trình THPT có sự ảnh hưởng của khái niệm này. Cụ thể hơn, chúng tôi phân tích chương trình cùng một số sách giáo khoa trung học phổ thông hiện hành với những mục đích: • Tìm ra sự ảnh hưởng của khái niệm logarit thông qua một số các tình huống được đề cập trong chương trình THPT ở các môn học khác. • Phân tích các bài học cụ thể trong từng môn học gắn với khái niệm logarit nhằm chỉ ra những vai trò công cụ mà khái niệm này mang lại. Chúng tôi kết hợp cả hai bộ sách nâng cao và cơ bản cho nghiên cứu của luận văn bởi một số điểm đáng chú ý như sau:  Đối với bộ sách nâng cao: được chúng tôi lựa chọn chủ yếu cho phân tích của mình với những lý do sau: - Những bài đọc thêm được các tác giả minh họa cho bài học nhằm củng cố hoặc mở rộng kiến thức khá phong phú. - Hệ thống bài tập mà bộ sách nâng cao đưa ra đáp ứng khá tốt cho nhu cầu nghiên cứu của luận văn.  Đối với bộ sách cơ bản: Cho phép chúng tôi so sánh và đối chiếu với bộ sách nâng cao để có được cái nhìn tổng quan về kiến thức mà mình muốn nghiên cứu. 2.1. Sự xuất hiện của khái niệm logarit trong các tình huống thực tế ở một số môn khoa học khác như lý, hóa, sinh. Sau khi tổng hợp một số tình huống có sự xuất hiện của khái niệm logarit được giảng dạy ở trường phổ thông, chúng tôi tìm thấy một số bài học sau:  Môn Sinh: Sinh trưởng của vi sinh vật 18 Giảng dạy: HKII, chương trình Sinh học lớp 10, THPT  Môn Hóa: Sự điện li của nước. pH. Chất chỉ thị axit – bazơ Giảng dạy: HKI, chương trình Hóa học lớp 11, THPT  Môn Lý: Cường độ âm, mức cường độ âm Giảng dạy: HKI, chương trình Vật lý lớp 12 ở trường THPT Phóng xạ Giảng dạy: HKII, chương trình Vật lý lớp 12 ở trường THPT Chúng tôi tiến hành phân tích các tình huống xuất hiện ở những môn học mà mình đề cập và xét sự tương quan của những khái niệm này với khái niệm logarit được giảng dạy ở chương trình toán học lớp 12, HKI ở trường trung học phổ thông. Các kết quả được chúng tôi nghiên cứu và trình bày lần lượt sau đây: 2.1.1. Bài học ở môn vật lý có xuất hiện khái niệm logarit 2.1.1.1. Phóng xạ Ở môn Vật lý, bài học phóng xạ được đưa vào chương trình lớp 12, HKII; chương IX: Hạt nhân nguyên tử; bài 53: Phóng xạ; phần 3: Định luật phóng xạ, độ phóng xạ. Ở thời điểm này, học sinh đã được trang bị các khái niệm mũ, logarit cùng những công thức biến đổi, tính toán có liên quan đến hai khái niệm này. Trong phần trình bày của luận văn, có một số khái niệm ở bộ môn vật lý có thể phần nào gây khó khăn cho người đọc trong việc tiếp nhận. Vì vậy, chúng tôi bổ sung một số khái niệm trước khi đi vào phân tích như sau: - Phóng xạ: Hiện tượng một hạt nhân không bền tự phát phân rã, phát ra các tia phóng xạ và biến đổi thành hạt nhân khác. - Đồng vị phóng xạ: Các nguyên tử có tính phóng xạ. - Nguyên tố phóng xạ: Các nguyên tố hóa học chỉ gồm các đồng vị phóng xạ (không có đồng vị bền). - Tia phóng xạ: Các dòng hạt chuyển động nhanh phóng ra từ các chất phóng xạ. - Ký hiệu hạt nhân: Hạt nhân nguyên tử của nguyên tố có ký hiệu hóa học X được ký hiệu là ZA X , trong đó: A là số khối, Z là số proton của hạt nhân. - Các đại lượng phóng xạ 19  Becquerel (Bq): Đơn vị đo độ phóng xạ, bằng 1 phân rã/ giây.  Curie (Ci): 1 Ci = 3,7 × 1010 Bq, xấp xỉ bằng độ phóng xạ của 1 gam Ra226. - Công thức tính số hạt nhân thu được của một chất phóng xạ sau khoảng thời gian t: N (t ) = N 0 .2 − t T = N (t ) N= N 0 .e − lt 0 .e − = l ln 2 t T ln 2 0, 693 = T T Trong đó: N 0 : Số hạt nhân (số nguyên tử) lúc đầu ứng với thời điểm t = 0. N : Số hạt nhân (số nguyên tử) thu được sau khoảng thời gian t. T : Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ. l : Hằng số phóng xạ, đặc trưng cho từng loại chất phóng xạ. - Công thức tính khối lượng chất phóng xạ thu được sau khoảng thời gian t:   “ m(t ) = m0 .e − lt = l ln 2 0, 693  =  ” T T  [12, tr.270]. Trong đó: m0 : Khối lượng chất phóng xạ ban đầu m : Khối lượng chất phóng xạ thu được sau khoảng thời gian t. T : Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ. l : Hằng số phóng xạ, đặc trưng cho từng loại chất phóng xạ. - Công thức tính độ phóng xạ của một chất phóng xạ sau khoảng thời gian t:   “ H = H 0 .e − lt = l ln 2 0, 693  =  ” T T  [12, tr.270 - 271]. Trong đó: H 0 : Độ phóng xạ ban đầu của chất phóng xạ H : Độ phóng xạ của chất phóng xạ sau khoảng thời gian t. T : Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ. l : Hằng số phóng xạ, đặc trưng cho từng loại chất phóng xạ.  Giới thiệu tình huống liên quan đến khái niệm logarit 20 Chúng tôi lựa chọn và đưa ra một số tình huống tiêu biểu đại diện cho kiểu nhiệm vụ có xuất hiện khái niệm logarit ở bộ môn vật lý như sau: “ Hạt nhân 146C là một chất phóng xạ, nó phóng ra tia β − có chu kỳ bán rã là 5730 năm. c) Trong cây cối có chất phóng xạ C . Độ phóng xạ của một mẩu gỗ tươi và một 14 6 mẩu gỗ cổ đại đã chết cùng khối lượng lần lượt là 0,250 Bq và 0,215 Bq. Xác định xem mẩu gỗ cổ đại đã chết cách đây bao lâu? Bài giải Ký hiệu t là khoảng thời gian mà mẩu gỗ cổ đại đã chết, ta có: H = H 0 .e − lt Với H 0 0,= = 250 Bq; H 0, 215 Bq H0 0, 250 Từ đó:= lt ln= = 0,1508 ln = ln(1,162) 0, 215 H 0,1508 0,1508T 0,1508.5730 Và = t = = l 0, 693 0, 693 Hay - t ≈ 1250 năm ” [12, tr.280]. Một số phân tích đối với dạng bài tập nêu trên: Các kiến thức được đề cập trong tình huống : Ở môn Vật lý: - Định luật phóng xạ - Độ phóng xạ - Khái niệm chu kỳ bán rã Ở môn Toán: - Hàm số mũ - Khái niệm logarit Kiểu nhiệm vụ: Xác định thời gian phân rã t của một mẩu chất phóng xạ khi biết được độ phóng xạ ban đầu và độ phóng xạ còn lại sau khoảng thời gian t của mẩu chất phóng xạ. • Xuất hiện: Bài tập 2b, trang 280, SGK Vật lý 12 nâng cao, NXB GD Bài tập 9.18, trang 59, SBT Vật lý 12 nâng cao, NXB GD Bài tập 9.19a, trang 59, SBT Vật lý 12 nâng cao, NXB GD 21 Bài tập 2c, SGK Vật lý nâng cao, NXB GD, trang 280 • Kỹ thuật giải: - Sử dụng khái niệm: Độ phóng xạ, chu kỳ bán rã của một chất phóng xạ. - Sử dụng công thức tính độ phóng xạ của một chất phóng xạ sau khoảng thời gian t: H = H 0 .e − lt ln 2 0, 693   = l =  T T   - Xác định các dữ kiện giả thiết đã cho gồm có: H , H 0 , T - Thay các giá trị của H , H 0 , T vào công thức: H = H 0 .e − lt , với l = 0, 693 . Lúc T này tình huống được đưa về việc giải phương trình mũ ẩn số là t (t và T cùng một đơn vị đo). - Thực hiện phép biến đổi tương đương phương trình mũ: H = H 0 .e − lt đưa về dạng t = - l 1 ln H0 . H Giải bài toán tìm t. • Yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật trên:  Công thức tính độ phóng xạ của một chất phóng xạ sau khoảng thời gian t: H = H 0 .e − lt ln 2 0, 693   = l =  T T   Trong đó: H 0 : Độ phóng xạ ban đầu của chất phóng xạ H : Độ phóng xạ của chất phóng xạ sau khoảng thời gian t. T : Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ. l : Hằng số phóng xạ, đặc trưng cho từng loại chất phóng xạ. • Yếu tố lý thuyết : “ Định luật phóng xạ: Trong quá trình phân rã, số hạt nhân phóng xạ giảm theo thời gian theo định luật hàm số mũ. Độ phóng xạ của một lượng chất phóng xạ giảm theo thời gian theo cùng quy luật hàm số mũ giống như số hạt nhân (số nguyên tử) của nó.” [12, tr.270 - 271]. 22 Từ phân phối chương trình dạy học vật lý 12 bài phóng xạ và khái niệm mũ, logarit trong toán học, chúng tôi nhận thấy khi tiếp cận bài học phóng xạ, học sinh đã được trang bị các kiến thức có liên quan đến khái niệm mũ, khái niệm logarit. Đối với tình huống trên, khái niệm logarit được đưa vào hỗ trợ cho việc giải phương trình mũ tìm thời gian phân rã t của chất phóng xạ. Ở tình huống này, chúng tôi tìm ra một vai trò công cụ quan trọng của khái niệm logarit trong chương trình phổ thông, đó là giải phương trình mũ dạng a f ( x ) = b ( 0 < a ≠ 1, b > 0 ) . Vai trò công cụ nêu trên được đưa vào giải quyết cho tình huống trong vật lý mà chúng tôi nêu trên thể hiện qua phép biến đổi tương đương của kỹ thuật giải phương trình mũ: a f ( x ) = b ⇔ f ( x) = log a b ( 0 < a ≠ 1, b > 0 ) . Chúng được trình bày rõ ràng đến học sinh vì các em đã được tiếp cận với mũ, logarit cùng một số tổ chức toán học có liên quan đến những khái niệm này. Chúng tôi thấy rằng, nếu không có sự xuất hiện của khái niệm logarit trong tình huống trên, vấn đề sẽ không thể được giải quyết triệt để. Cụ thể, công thức t H= H 0 .e − lt ⇔ e − l= H . Nếu chỉ dừng lại ở kỹ thuật giải phương trình mũ H0 a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) sẽ làm mất đi tính tổng quát của vấn đề đang xét vì tỷ số H H không thể đưa về dạng = e g ( x ) cho tất cả mọi trường hợp. Việc xuất hiện của H0 H0 tình huống nêu trên là sự minh họa rõ ràng cho ứng dụng đầu tiên của khái niệm logarit mà chúng tôi muốn đề cập đến. Ý kiến được nêu ra trong tình huống trên minh họa cho sự xuất hiện khái niệm logarit đóng vai trò làm công cụ hỗ trợ tính toán. Việc giải bài toán sẽ gặp trở ngại khá lớn nếu không có sự can thiệp của khái niệm này. Trong phần lưu ý của SGV về bài tập phóng xạ, chúng tôi ghi nhận một số điểm đáng chú ý như sau: “ Các công thức: = N N0 m0 được áp dụng nếu t = kT , với k là số nguyên = ,m t t 2T 2T hay số bán nguyên là thuận tiện nhất. 23 − lt Khi tính theo công= thức N N= , m m0 .e − lt thì dùng trực tiếp máy tính 0 .e hoặc tính qua logarit.” [12, tr.280]. Chú ý giới thiệu ở SGV cho thấy sự ràng buộc của thể chế dạy học đối với dạng bài tập nói trên, cụ thể là: Các số liệu được cho trong bài toán là các số nguyên hoặc các số thập phân mà máy tính bỏ túi giải quyết được. Đối với bài học phóng xạ cùng hệ thống bài tập được đưa vào chương trình học xuất phát từ việc giải quyết những vấn đề trong thực tế, chúng tôi nhận thấy logarit đóng vai trò là công cụ tính toán thông qua việc giải phương trình mũ dạng a f ( x ) = b ( 0 < a ≠ 1, b > 0 ) được truyền tải đến học sinh một cách tường minh. Khái niệm logarit xuất hiện qua phép biến đổi tương đương từ phương trình mũ. Tuy nhiên, sự lựa chọn số liệu của những tình huống mà SGK đặt ra chưa cho thấy được vai trò công cụ thứ hai của khái niệm logarit mà chúng tôi muốn đề cập cho nghiên cứu của luận văn. Phần này sẽ được chúng tôi trình bày rõ hơn trong những phân tích tiếp theo. 2.1.1.2. Độ to của âm, cường độ âm, mức cường độ âm Khái niệm thứ hai trong vật lý mà chúng tôi muốn đề cập trong nghiên cứu của mình là độ to của âm, cường độ âm, mức cường độ âm được giảng dạy trong chương trình vật lý 12, HKI, chương III: Sóng cơ, bài 17: Sóng âm. Nguồn nhạc âm, phần 4c. Độ to của âm, cường độ âm, mức cường độ âm.  Một số khái niệm có liên quan đến bài học - Cường độ âm: Là năng lượng được sóng âm truyền qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với phương truyền sóng trong một đơn vị thời gian. Đơn vị cường độ âm: W/ m 2 . Cường độ âm càng lớn, cảm giác nghe thấy âm càng to. Tuy nhiên độ to của âm không tỷ lệ thuận với cường độ âm. - Cường độ âm chuẩn I 0 : Là âm có tần số 1000 Hz ứng với cường độ âm 10−12 W/ m 2 nhỏ nhất. Cường độ âm lớn nhất bằng 10 W/ m 2 - Mức cường độ âm (đơn vị là ben, ký hiệu là B): Là đại lượng dùng để so sánh độ to của một âm với độ to của âm chuẩn, được định nghĩa bằng công thức: 24 L( B) = lg I I hoặc L(dB) = 10 lg (1dB = 0,1B) I0 I0 - Siêu âm: Những âm có tần số lớn hơn 20 000 Hz. - Hạ âm: Những âm có tần số nhỏ hơn 16 Hz. - Tai con người chỉ có thể nghe thấy (cảm nhận) được những âm có tần số trong khoảng từ 16 Hz đến 20.000 Hz. Người ta dùng thuật ngữ âm thanh để chỉ những âm mà tai con người có thể nghe được. - Ngưỡng nghe: Là giá trị cực tiểu của mức cường độ âm mà âm thanh gây được cảm giác nghe đến tai người. - Ngưỡng đau: Giá trị cực đại của mức cường độ âm mà tai người có thể chịu đựng được.  Giới thiệu tình huống liên quan đến khái niệm logarit Chúng tôi lựa chọn trình bày một số bài tập liên quan đến khái niệm logarit như sau: “Tiếng la hét 80dB có cường độ lớn gấp bao nhiêu lần tiếng nói thầm 20dB? ” [12, tr.98]. “ Bài giải: Ta có: 10 lg Vậy: 10 lg Do đó: I2 I I = 10 lg 2 − 10 lg 1 = L2 − L 1 I1 I0 I0 I2 = 80 − 20 = 60 I1 I2 = 106 I1 Kết luận: tiếng la hét có cường độ âm I2 lớn hơn tiếng nói thầm có cường độ âm I1 là 106 lần.” [14, tr.105]. “Một mức cường độ âm nào đó được tăng thêm 30 dB. Hỏi cường độ của âm tăng lên gấp bao nhiêu lần?” [13, tr.24]. “Bài giải: Gọi cường độ âm ban đầu là I1, sau khi đã tăng lên là I2, I0 là cường độ âm chuẩn. Ta có: L2 (dB ) − L1 (dB ) = 30dB 25 I2 I I I I ⇔ 10 lg 2 − 10 lg 1 = 10 lg 0 = 10 lg 2 = 30 I1 I0 I0 I1 I0 3 2 Vậy = 10 1000 = I I1 Cường độ âm được tăng lên 1000 lần khi mức cường độ âm tăng thêm 30dB.” [13, tr.88]. - Một số phân tích đối với dạng bài tập nêu trên: Các kiến thức đề cập trong bài toán : Ở môn Vật lý : - Khái niệm cường độ của âm - Khái niệm mức cường độ âm Ở môn Toán : - Khái niệm mũ - Khái niệm logarit Kiểu nhiệm vụ: Xác định sự chênh lệch giữa cường độ âm (hoặc mức cường độ âm) của các nguồng âm dựa vào các yếu tố cho trước. • Xuất hiện: Bài tập 6, trang 98, SGK Vật lý 12 nâng cao, NXB GD Bài tập 3.21, trang 24, SBT Vật lý 12 nâng cao, NXB GD • Kỹ thuật giải: - Gọi L 1 , L2 lần lượt là mức cường độ âm của các nguồn âm tương ứng ở đề bài. - Viết công thức tính cường độ âm: L2 10 = = lg 2 ; L1 10 lg - Sử dụng công thức biến đổi của logarit: lg A − lg B = lg - Lập hiệu của hai mức cường độ âm, kết hợp với công thức biến đổi logarit, ta I I0 I1 I0 A B I2 I0 I I1 I nhận được: L2 −= L1 10 lg 2 − 10 lg= 10 lg= 10 lg 2 I I0 I0 I1 1 I0 26 - Tình huống vật lý được chuyển sang giải phương trình L2 − L1 = 10 lg số là - I2 với ẩn I1 I2 ( L2 − L1 là số liệu đã biết). I1 Giải phương trình tìm I2 , trong đó có sự xuấ hiện của phép biến đổi tương I1 đương giữa khái niệm mũ và logarit: L2 − L1 = 10 lg ⇔ lg ⇔ - I 2 L2 − L1 = I1 10 I2 I1 L −L 2 1 I2 10 10 = I1 Kết luận cho tình huống: Tỷ số I2 tìm được là sự chênh lệch về cường độ âm I1 của hai nguồn âm căn cứ vào mối liên hệ giữa hai mức cường độ âm đã cho. • Yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật trên:  Công thức tính mức cường độ âm:  I I  “ L( B) lg= =  L(dB) 10 lg  ” [12, tr.93 – 94]. I0 I0   Trong đó I 0 : Là âm có tần số 1000 Hz (ứng với cường độ âm 10−12 W/ m 2 nhỏ nhất). • Yếu tố lý thuyết : Trong phần giới thiệu về mức cường độ âm của các nguồn âm, SGK có giới thiệu như sau: “ Để so sánh độ to của một âm với độ to âm chuẩn, người ta dùng đại lượng mức cường độ âm đo bằng đơn vị ben, kí hiệu là B. Mức cường độ âm được định nghĩa bằng công thức:  I I  L( B) lg= =  L(dB ) 10 lg  ” I0 I0   [12, tr.93 – 94]. Trong tình huống ở bộ môn vât lý có liên quan đến khái niệm logarit, chúng tôi nhận thấy khái niệm này được đề cập trên một số khía cạnh như sau: 27 - Sự chuyển đổi qua lại giữa khái niệm mũ và khái niệm logarit: - Sử dụng công thức biến đổi của khái niệm logarit: log a b − log a c = log a log a b = c ⇔ b = a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0) để tìm lời giải cho bài toán. b c (a, b, c > 0, a ≠ 1) . Xét về mối tương quan giữa khái niệm logarit trong toán học và bài học độ to của âm, cường độ âm, mức cường độ âm ở bộ môn vật lý được giảng dạy trong chương trình phổ thông lớp 12, bài học này được giảng dạy sau khi học sinh tiếp cận với khái niệm logarit. Từ tình huống đưa ra, chúng tôi nhận thấy vai trò công cụ thứ hai của khái niệm logarit được trình bày đến học sinh đó là chức năng hỗ trợ tính toán. Khái niệm logarit đã giúp giảm đi thời gian và công sức tính toán cho học sinh khi thao tác với các tình huống này. Chúng tôi đưa ra sự so sánh và nhận xét về một số lợi điểm mà khái niệm logarit mang lại, cụ thể như sau: - Ở SGK Vật lý 12 nâng cao, bài tập 6 trang 98, giả thiết bài toán cho mức cường độ âm L1 , L2 là những con số cụ thể. Với I 0 là cường độ âm chuẩn được cho trong bài học của mình, học sinh có thể tiến hành tìm lần lượt các giá trị của I1 , I 2 : 1 I L1 10 lg 1 ⇔= I1 I 0 .1010 = I0 L = L2 10 lg 2 I2 ⇔= I 2 I 0 .10 10 I0 L Sau đó, các em lập tỷ lệ giữa I1 , I 2 để tìm ra sự chênh lệch giữa các cường độ âm trả lời cho yêu cầu bài toán. Với cách làm được chúng tôi đề xuất bên trên, khái niệm logarit xuất hiện thông qua sự chuyển đổi giữa mũ và logarit. Cách tính trực tiếp I1 , I 2 có lợi điểm giúp học nhận thấy được sự tường minh của các bước tính toán mà mình thực hiện. Tuy nhiên, việc tính toán qua nhiều giai đoạn có thể khiến các em mất nhiều thời gian để đi đến kết quả cho bài toán. Hơn nữa, sự sai sót trong quá trình tính toán là điều khó tránh khỏi. 28 Cách làm thứ hai chúng tôi đề cập ứng với lời giải SGK đưa ra có sự can thiệp của khái niệm logarit cụ thể ở hai khía cạnh: o Định nghĩa logarit: log a b = c ⇔ b = a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0) o Công thức biến đổi logarit: log a b − log a c = log a (a, b, c > 0, a ≠ 1) . b c Cách làm này được SGK lựa chọn trình bày đến học sinh theo chúng tôi nhận thấy có một số lợi thế như: Học sinh không cần tính trực tiếp các giá trị I1 , I 2 để lập tỷ số giữa cường độ âm của các nguồn âm trả lời cho yêu cầu bài toán. Vấn đề đặt ra được can thiệp bằng phép biến đổi logarit và học sinh chỉ cần lập hiệu giữa hai mức cường độ âm L1 , L2 để giải phương trình tìm tỷ số giữa I1 , I 2 : I2 = 10 I1 L2 − L1 10 Sự can thiệp của logarit đã giúp giảm thời gian và gánh nặng tính toán cho học sinh. Hơn nữa, tình huống 2 trình bày ở bài tập 3.21 trang 24, SBT Vật lý 12 nâng cao cho thấy cách tính trực tiếp I1 , I 2 để lập tỷ số I2 không có khả năng xuất hiện vì đề bài I1 không cho L1 , L2 cụ thể để tính toán mà chỉ căn cứ vào sự chênh lệch giữa hai mức cường độ âm này để tìm tỷ lệ giữa I1 và I 2 . Sự ảnh hưởng của khái niệm logarit lên kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi đề xuất ứng với bài tập này chẳng những giúp học sinh giảm thiểu được thời gian và công sức tính toán, mà còn đảm bảo được tính tổng quát giúp cho việc giải quyết nhiều trường hợp của tình huống được đặt ra. Tình huống nêu trên sẽ không thể giải quyết một cách triệt để nếu không có sự can thiệp của khái niệm logarit. 2.1.2. Bài học ở môn hóa học có xuất hiện khái niệm logarit Nội dung chúng tôi lựa chọn và trình bày ở môn hóa học có liên quan đến khái niệm logarit là bài học: Sự điện li của nước. pH. Chất chỉ thị axit – bazơ. Bài học này được giảng dạy trong chương trình hóa học 11 ở trường phổ thông, chương I: Sự điện ly. Chúng tôi tiến hành nghiên cứu phần II. Khái niệm về pH. Chất chỉ thị axit – bazơ 29 để tìm ra sự xuất hiện của logarit cùng các tiện ích tính toán mà khái niệm này mang lại. Để thuận tiện cho đọc giả trong việc theo dõi luận văn, chúng tôi nêu ra một số khái niệm có liên quan đến bài học ở bộ môn hóa học như sau: “ Khái niệm về pH Dựa vào nồng độ H+ trong dung dịch nước có thể đánh giá được độ axit và độ kiềm của dung dịch. Nhưng dung dịch thường dùng có nồng độ H+ nhỏ, để tránh ghi nồng độ H+ với số mũ âm, người ta dùng pH với quy ước như sau:  H +  = 1, 0.10− pH M . Nếu  H +  = 1, 0.10− a M thì pH = a Về mặt toán học pH = − lg  H +  ” [21, tr.18]. Một số môi trường của dung dịch và độ pH tương ứng: “ Môi trường trung tính là môi trường trong đó [H+] = [OH-] = 1,0.10-7M Môi trường axit là môi trường trong đó [H+] > [OH-] hay [H+] > 1,0.10-7M Môi trường kiềm là môi trường trong đó [H+] < [OH-] hay [H+] < 1,0.10-7M ” [21, tr.17 – 18].  Giới thiệu tình huống có sự xuất hiện của khái niệm logarit Ở phần trình bày bài tập, SGK và SBT đưa ra hệ thống bài tập liên quan đến cách tính độ pH của dung dịch với công thức được sử dụng có liên quan đến logarit: pH = -lg [H+] (1) • Tổng kết bài tập SGK: - Bài 4 (SGK hóa học 11 nâng cao trang 20): Có 5/10 bài sử dụng (1). - Bài 5 (SGK hóa học 11 nâng cao trang 23): Có 3/10 bài sử dụng (1). • Tổng kết bài tập SBT: - Bài 4 (SBT hóa học 11 nâng cao trang 7): Có 5/16 bài sử dụng (1). - Bài 5 (SBT hóa học 11 nâng cao trang 8): Có 3/6 bài sử dụng (1). - Một số phân tích đối với dạng bài tập nêu trên Các kiến thức được đề cập trong tình huống: Ở môn Hóa học : - Khái niệm về độ pH Ở môn Toán : 30 - Khái niệm logarit Kiểu nhiệm vụ: Xác định độ pH của dung dịch khi biết nồng độ mol và ngược lại. • Xuất hiện: - SGK hóa học nâng cao 11 Bài tập 5, 9/ 20 Bài tập 5/ 23 Bài tập 2, 4, 10/ 20 Bài tập 2, 3, 5/ 23 - SBT hóa học nâng cao 11 Bài tập 1.26, 1.27, 1.30/ 7 Bài tập 1.36/ 8 Bài tập 1.25/ 7 • Kỹ thuật giải: Bài tập 1.35/ 8  Khi đề bài cho giá trị pH của dung dịch: - Từ giá trị pH của dụng dịch đề bài cho, áp dụng công thức: pH = - lg [H+] tìm số mol của ion [H+]. - Sử dụng các công thức hóa học có liên quan tìm nồng độ mol của dung dịch. - Sử dụng các công thức hóa học có liên quan tìm số mol của ion [H+]. - Áp dụng công thức: pH = - lg [H+] tìm giá trị pH của dung dịch.  Khi đề bài cho nồng độ mol của dung dịch: • Yếu tố Công nghệ - Lý thuyết liên quan đến kiểu nhiệm vụ nêu trên: “  H +  = 1, 0.10− pH M . Nếu  H +  = 1, 0.10− a M thì pH = a Về mặt toán học pH = − lg  H +  Môi trường trung tính là môi trường trong đó [H+] = [OH-] = 1,0.10-7M Môi trường axit là môi trường trong đó [H+] > [OH-] hay [H+] > 1,0.10-7M Môi trường kiềm là môi trường trong đó [H+] < [OH-] hay [H+] < 1,0.10-7M ” [21, tr.17 – 18] Khái niệm độ pH của dung dịch được giảng dạy trong chương trình hóa học lớp 11 ở trường phổ thông. Vào thời điểm này, học sinh chưa được học tập và làm quen 31 với khái niệm logarit trong toán học. Logarit được tiếp cận đến học sinh trong bài học này đóng vai trò là công cụ giúp cho việc tính toán với những con số nhỏ được thuận tiện hơn, thể hiện qua quy ước mà SGK trình bày đến học sinh. Logarit xuất trong kiểu nhiệm vụ nêu trên không rõ ràng mà được các em thừa nhận dựa trên quy ước mà SGK đề cập. Quy ước SGK trình bày giải thích cho sự xuất hiện của khái niệm logarit thông qua ký hiệu lg, việc tính toán tìm lời giải đều dựa trên công cụ tính toán là máy tính bỏ túi. Vai trò công cụ của khái niệm logarit được trình bày trong tình huống này là sự hỗ trợ tính toán với những con số nhỏ. 2.1.3. Giới thiệu tình huống ở bộ môn sinh học có liên quan đến việc vận dụng khái niệm logarit để giải quyết Tình huống được chúng tôi lựa chọn và đề cập ở bộ môn sinh học là bài học Sinh trưởng của vi sinh vật, được giảng dạy ở HKII, chương trình Sinh học lớp 10, THPT. Sau đây chúng tôi trình bày một số khái niệm có liên quan đến nội dung bài học, cụ thể như: “ Nếu ta cấy một vi khuẩn (sinh sản bằng phân đôi) vào bình chứa môi trường thì sự tăng số lượng tế bào sẽ diễn ra như sau: 1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → ... Có thể biểu thị sự tăng số lượng tế bào nói trên theo cấp số nhân: 1 → 21 → 22 → 23 → 24 → 25 → 26 → ...2n (Ở đây n là số lần phân chia tế bào) Thời gian từ khi sinh ra một tế bào cho đến khi tế bào đó phân chia hoặc số tế bào trong quần thể tăng gấp đôi gọi là thời gian thế hệ (ký hiệu là g). Mỗi loài vi sinh vật có g riêng, thậm chí cùng một loài nhưng với điều kiện nuôi cấy khác nhau cũng thể hiện g khác nhau. Trong thực tế, số lượng tế bào vi khuẩn ban đầu cấy vào không phải là một mà là rất nhiều (N0), do đó số lượng tế bào sau thời gian nuôi (N) sẽ là: N = N 0 .2n .” [23, tr. 127].  Giới thiệu tình huống ở bộ môn sinh học trong đó có liên quan đến kiểu nhiệm vụ của logarit trong toán học “ Nếu lúc bắt đầu nuôi có 13 tế bào vi khuẩn, thì chúng phải phân chia bao nhiêu lần để có quần thể gồm 208 tế bào? 32 A. 1 B. 4 C. 13 D. 208 ” [19, tr.121] Tình huống được chúng tôi đưa ra tương ứng với kiểu nhiệm vụ: Tìm số lần phân đôi của vi khuẩn khi biết số lượng vi khuẩn ban đầu và số lượng vi khuẩn lúc sau thu được trong quần thể. Tuy nhiên, tình huống này được trình bày trong sách dưới dạng câu hỏi nâng cao cho học sinh, SBT không trình bày cụ thể cách giải mà chỉ đưa ra kết quả cho phần trả lời trắc nghiệm. Bài học Sinh trưởng của vi sinh vật được giảng dạy trong chương trình sinh học lớp 10, khi học sinh chưa được tiếp cận với khái niệm logarit. Với sự lựa chọn của các số liệu trong thể chế dạy học trung học phổ thông, các bài tập mà SBT đưa f ( x) ra hướng học sinh đến việc giải phương trình mũ a= a n (n ∈ N *) trong toán học. Logarit ở thời điểm này chưa xuất hiện nhưng với lý thuyết SGK đưa ra về sự tăng lên của tế bào trong quần thể tuân theo quy luật hàm số mũ, kết hợp với hệ thống bài tập tìm số lần phân đôi của tế bào trong quần thể cho phép chúng tôi đưa ra nhận định về khả năng xuất hiện của logarit thông qua vai trò công cụ giải phương trình mũ a f ( x ) = b của chúng. Sự ràng buộc của thể chế dạy học trung học phổ thông đối với bài học nêu trên đã loại bỏ đi khả năng vận dụng khái niệm logarit để giải quyết tình huống, tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy đây là tình huống tiềm năng có thể kết hợp với bộ môn toán, cụ thể đối với logarit nhằm chỉ ra vai trò công cụ của khái niệm này xét trên phương diện dạy học mô hình hóa cho đối tượng học sinh trung học phổ thông. 2.2. Vai trò công cụ của khái niệm logarit Căn cứ vào sự phân tích các tình huống thực tế có sự xuất hiện của khái niệm logarit ở các môn học khác như lý, hóa, sinh, chúng tôi xem xét và đưa ra hai vai trò công cụ khái niệm logarit cho nghiên cứu trong luận văn, cụ thể như sau: 33 f ( x) 2.2.1. Giải PT mũ dạng a = b với 0 < a ≠ 1, b > 0 , trường hợp b không đưa được về dạng a r ( 0 < a ≠ 1, b > 0, r ∈ Q )  Xuất hiện: Bài tập 66, 68, 70/124, 125 SGK Giải tích 12 nâng cao  Kỹ thuật giải: - Lấy logarit cơ số a ở 2 vế của phương trình a f ( x ) = b , ta được: f ( x) = log a b - Phương trình mũ ban đầu được đưa về phương trình đại số để giải, trong đó log a b hoàn toàn xác định ( log a b ∈ R ).  Yếu tố công nghệ giải thích cho kỹ thuật trên: “ Phương trình mũ cơ bản có dạng a x = m , trong đó m là số đã cho. Phương trình này xác định với mọi x. Nếu m ≤ 0 thì phương trình a x = m vô nghiệm. Nếu m > 0 thì phương trình a x = m có một nghiệm duy nhất x = log a m . Nói x cách khác, ∀m ∈ ( 0; +∞ ) , a = m ⇔ x = log a m .” [18, tr.118 – 119]. Thông qua những tình huống có liên quan đến khái niệm logarit được giới thiệu, chúng tôi nhận thấy khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong việc hỗ trợ tính toán khi người làm toán phải làm việc với những con số rất lớn hoặc rất nhỏ. Tuy nhiên, nghĩa này chưa được làm rõ thông qua các tình huống mà chương trình học giới thiệu đến học sinh. Vì thế, chúng tôi lựa chọn vai trò công cụ thứ hai cho nghiên cứu của mình như sau: 2.2.2. Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi Vai trò công cụ này không được đề cập trong thể chế dạy học môn Toán ở THPT. Tuy nhiên, căn cứ trên các ứng dụng của logarit trong thực tế ở các bộ môn lý, hóa, sinh, chúng tôi nhận thấy chúng đóng vai trò quan trọng giúp hỗ trợ học sinh trong vấn đề tính toán. Từ những nhận xét rút ra được khi nghiên cứu thể chế dạy học các bộ môn lý, hóa, sinh trong chương trình phổ thông, chúng tôi nhận thấy chức năng công cụ của 34 khái niệm logarit vẫn chưa có điều kiện được truyền tải đến đối tượng học sinh, cụ thể với hai vai trò mà chúng tôi đã đề cập trong phần trình bày của mình: • Giải phương trình mũ dạng a f ( x=) b (a, b > 0, a ≠ 1) • Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi. Một số nhận xét rút ra được từ chương 2: Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu một số tình huống ở các môn học khác được giảng dạy trong chương trình phổ thông để tìm ra tính ứng dụng của khái niệm logarit trong thực tế. Các tình huống liên quan đến những môn học chúng tôi lựa chọn bao gồm: - Môn vật lý: Chúng tôi nghiên cứu tri thức liên quan đến khái niệm phóng xạ, mức cường độ âm và từ đó rút ra một số tình huống có sự can thiệp của khái niệm logarit trên con đường đi tìm câu trả lời cho tình huống. Trong phần nghiên cứu này, chúng tôi tìm ra hai vai trò công cụ của khái niệm logarit là giải phương trình mũ và là công cụ hỗ trợ tính toán. Bài học chúng tôi lựa chọn được giới thiệu ở thời điểm học sinh được tiếp xúc khái niệm logarit, nên việc thao tác với khái niệm logarit được học sinh thực hiện căn cứ trên những kiểu nhiệm vụ ở môn toán đã được học, khái niệm logarit lúc này không còn là ký hiệu hình thức mà các em phải chấp nhận. - Môn hóa học: Chúng tôi nghiên cứu và tìm thấy sự xuất hiện của logarit thông qua khái niệm độ pH trong chương trình hóa học 11 trung học phổ thông. Ở thời điểm này, học sinh chưa được học khái niệm logarit nên sự xuất hiện của khái niệm logarit chỉ đóng vai trò là ký hiệu toán học giúp giải quyết vấn đề tính toán. Các tình huống cụ thể cùng các bài tập đặt ra trong chương trình học được giải quyết bằng máy tính bỏ túi, khái niệm logarit được đưa vào qua công thức pH = − lg  H +  đi kèm với quy ước từ SGK. - Môn sinh học: Tình huống được chúng tôi phát hiện liên quan đến bài học sinh trưởng của vi sinh vật, được giới thiệu đến đối tượng học sinh trong chương trình sinh học lớp 10. Mặc dù không có sự xuất hiện của khái 35 niệm logarit nhưng qua tình huống mà chúng tôi giới thiệu trong phần phân tích bên trên, chúng tôi nhận thấy khả năng xuất hiện của khái niệm logarit là khá lớn. Việc đưa vào tình huống trên là cơ sở để chúng tôi phát triển cho phần thực nghiệm của mình cụ thể ở chương sau. - Trong cả 3 phần nghiên cứu các bài học ở các môn vật lý, hóa học, sinh học, khái niệm logarit được xuất hiện cụ thể trên hai khía cạnh: logarit cơ số 10 (lg) và logarit Neper (ln). Lý giải cho sự xuất hiện này, chúng tôi nhận thấy, những môn khoa học khác sử dụng khái niệm logarit trên phương diện gắn liền với các công thức ở từng môn, các thao tác tính toán chủ yếu dựa trên sự hỗ trợ của máy tính bỏ túi. Hơn nữa, những ràng buộc của thể chế dạy học trung học phổ thông lựa chọn những số liệu không cho phép học sinh thấy được chức năng công cụ mạnh mẽ của mình. Bên cạnh đó, sự xuất hiện mạnh mẽ của logarit trong các môn khoa học khác cho phép chúng tôi đưa ra nhận định về chức năng công cụ mạnh mẽ của khái niệm này khi nó tồn tại và phát triển cho đến ngày nay. Với cơ sở lý luận của dạy học mô hình hóa khái niệm logarit được nghiên cứu ở chương 1 kết hợp với những nghiên cứu thể chế dạy học có được trong chương 2, chúng tôi củng cố thêm tầm ảnh hưởng của phương pháp dạy học tích cực này đến đối tượng học sinh trung học phổ thông, cụ thể đối với khái niệm logarit. Chúng tôi tiến hành xây dựng đồ án dạy học mô hình hóa khái niệm logarit với mục đích rèn luyện kỹ năng mô hình hóa các tình huống thực tế vào toán học và làm rõ hai vai trò công cụ của khái niệm logarit. Cụ thể hơn, các vấn đề nêu trên sẽ được chúng tôi trình bày ở chương sau. 36 CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM: XÂY DỰNG ĐỒ ÁN DẠY HỌC 3.1. Mục đích Với mục đích trình bày cho học sinh hiểu thêm về chức năng công cụ của khái niệm logarit, chúng tôi tiến hành dạy học tích hợp bộ môn Toán – Vật lý, Toán – Sinh học ở đối tượng học sinh lớp 12. Trong phần nghiên cứu của luận văn về vai trò công cụ của khái niệm logarit, chúng tôi trình bày hai ý: - Giải phương trình dạng a f ( x ) = b(0 < a ≠ 1, b > 0) . - Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi. Tuy nhiên, các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hai khía cạnh nói trên xuất hiện trong thể chế dạy học THPT dưới dạng những bài tập toán học thuần túy đã được chúng tôi đề cập ở chương 2. Với cách giới thiệu này, học sinh không thấy được sự liên kết giữa toán học và những môn khoa học khác. Điều này dẫn tới kiến thức học sinh tiếp thu phần nào mang tính rời rạc, các em không thấy được tính ứng dụng mà khái niệm này mang lại. Với lý do trên, chúng tôi tiến hành xây dựng đồ án dạy học mô hình hóa khái niệm logarit với những mục đích: - Trình bày cho học sinh thấy được ứng dụng của logarit trong trường hợp nếu không có sự xuất hiện của khái niệm này, các em khó có thể đi đến kết quả của bài toán. Từ đó, chúng tôi giúp học sinh hiểu thêm về hai vai trò công cụ của khái niệm logarit mà mình muốn đề cập. - Bồi dưỡng năng lực ứng dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh, giúp các em tự trang bị kiến thức và dần hoàn thiện các kỹ năng giải quyết vấn đề. 3.2. Đối tượng Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên đối tượng học sinh lớp 12 THPT với những đặc điểm: - Ở môn Toán, các em đã học khái niệm mũ và logarit cùng tính chất của chúng, được làm quen với các tổ chức toán học có liên quan đến những khái 37 niệm này như giải phương trình dạng a f ( x ) = b(0 < a ≠ 1, b > 0) hoặc vận dụng khái niệm logarit như là một công cụ để hỗ trợ cho tính toán. - Ở môn Vật lý, học sinh được giới thiệu khái niệm Chu kỳ bán rã của một chất phóng xạ cùng những đặc trưng và công thức có liên quan ở chương trình Vật lý 12. - Đối với môn Sinh học, các em đã được tiếp cận khái niệm Sự phân đôi của tế bào, sự sinh trưởng của vi sinh vật cùng những cơ chế ảnh hưởng đến hiện tượng này ở chương trình Sinh học 10. 3.3. Bài toán thực nghiệm Chúng tôi xây dựng thực nghiệm dựa trên 2 tình huống như sau: Hoạt động 1 Bài tập 1 Vi khuẩn E.coli sinh sản theo kiểu phân đôi tế bào với thời gian thế hệ 20 phút. Giả sử rằng số lượng vi khuẩn không bị chết trong quá trình phân đôi. Với số lượng tế bào trong quần thể lúc đầu có được là 1 tế bào. Em hãy trả lời cho các câu hỏi sau đây: a) Số lượng tế bào trong quần thể thu được là bao nhiêu sau những khoảng thời gian t tính từ lúc số tế bào có trong quần thể là 1 tế bào? Thời gian t (phút) 20 40 60 80 100 120 Số lượng tế bào thu được b) Số tế bào trong quần thể nhận được là bao nhiêu sau 5 ngày tính từ thời điểm 1 tế bào ban đầu? c) Số tế bào trong quần thể có được là bao nhiêu sau 30 phút; 119,5 phút tính từ lúc có 1 tế bào trong quần thể? d) Cần khoảng thời gian t là bao nhiêu giờ để với 1 tế bào vi khuẩn E.coli ban đầu phân đôi cho số lượng vi khuẩn thu được lúc sau lần lượt là 2345 và 3210 tế bào? Hoạt động 2 38 Bài tập 2 Chất phóng xạ Radon 222 86 Rn có chu kỳ bán rã 3,8 ngày. Biết khối lượng mẩu phóng xạ ban đầu là 120 (gam). a) Tìm thời gian phân rã t của 222 86 Rn , biết khối lượng mẩu phóng xạ thu được lúc sau lần lượt được cho trong bảng: Khối lượng Rn thu được (gam) 60 30 15 7,5 3,75 Thời gian t (ngày) b) Cần bao nhiêu ngày để từ 120 (gam) Rn ban đầu phân rã còn 2 (gam)? c) Sau 4,3 năm phân rã thì với 13110 (gam) Rn ban đầu, chúng ta sẽ thu được số Rn còn lại là bao nhiêu gam? Giả sử 1 năm được tính là 365 ngày. Bài tập 3 a) Hai mẩu phóng xạ là Poloni 210 84 Po và Urani U có khối lượng lần lượt là 3222 235 92 (gam) và 2333 (gam). Em hãy tìm tỷ số khối lượng của hai mẩu phóng xạ nêu trên? b) Cũng với hai mẩu phóng xạ nói trên với khối lượng lần lượt là 2334 (gam) và 9 (gam), em hãy lập tỷ số để cho thấy được sự chênh lệch về khối lượng của hai mẩu phóng xạ này? 3.4. Phân tích tiên nghiệm bộ câu hỏi thực nghiệm Ở bài tập 1, chúng tôi xây dựng tình huống dạy học tích hợp môn Toán – Sinh học cho học sinh với nội dung ở môn sinh học được đề cập đến là Sự phân đôi của tế bào và sự sinh trưởng của vi sinh vật. Trong phần thực nghiệm 1, chúng tôi xin lý giải về cách sử dụng từ ngữ của mình dựa trên cấu tạo tế bào của vi khuẩn E.coli như sau: Vi khuẩn E.coli có cấu tạo đơn bào, sinh sản bằng cơ chế phân đôi. Vì thế giữa số lượng tế bào và lượng vi khuẩn có sự tương ứng 1 – 1. Với đặc trưng này, cách sử 39 dụng từ ngữ giữa “tế bào” và “vi khuẩn” được chúng tôi sử dụng trong phân tích của luận văn hoàn toàn không ảnh hưởng đến kết quả thu được của bài toán. Với thời gian thế hệ cho trước, ở câu 1a, b, c chúng tôi thiết lập hệ thống câu hỏi cho học sinh tính số lượng tế bào thu được trong quần thể sau những khoảng thời gian t được chúng tôi lựa chọn. Thông qua các khoảng thời gian t và những số liệu cụ thể mà các em thao tác, chúng tôi giúp học sinh hình thành quy luật cho phép giải quyết tình huống một cách tổng quát. Với việc thao tác với các câu hỏi 1a, b, c, chúng tôi đã tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận và thực hiện bước 1 của quá trình mô hình hóa. Kết hợp với khái niệm về sự phân đôi của tế bào ở bộ môn sinh học, các em tìm những điều kiện ảnh hưởng đến quy luật mà mình xây được. Với tình huống được xây dựng, chúng tôi đưa vào nội dung thực nghiệm của mình giúp học sinh vận dụng kiến thức về hàm số mũ để xây dựng một mô hình trung gian cho phép giải quyết tình huống được đặt ra. Thao tác này ứng với bước 2 của quá trình mô hình hóa mà chúng tôi muốn học sinh thực hiện. Câu 1d chúng tôi trình bày nhằm cho các em áp dụng mô hình toán học mà mình xây dựng được kết hợp với vai trò công cụ đầu tiên của khái niệm logarit mà chúng tôi muốn trình bày, đó là: Giải phương trình mũ dạng a f ( x ) = b (a, b > 0, a ≠ 1) để trả lời cho tình huống. Với mô hình toán học đã thao tác được ở bước 1 và bước 2 , học sinh áp dụng nó kết hợp với việc Giải phương trình mũ dạng a f ( x ) = b để tìm khoảng thời gian phân đôi của tế bào, việc làm này ứng với quá trình thao tác bước 3 và bước 4 của quá trình mô hình hóa tình huống thực tế vào toán học. Câu hỏi 2, 3 chúng tôi tiến hành dạy học tích hợp môn Toán – Vật lý với nội dung ở môn vật lý được lựa chọn là Chu kỳ bán rã của một chất phóng xạ. Chúng tôi xây dựng câu hỏi 2 giúp học sinh rèn luyện kỹ năng mô hình hóa tình huống thực tế vào toán học. Với chu kỳ bán rã của chất phóng xạ đã cho, câu 2a, 2b đòi hỏi học sinh tính toán tìm thời gian phân rã của một lượng chất phóng xạ. Căn cứ vào những số liệu cụ thể đã thao tác, học sinh vận dụng khái niệm hàm số mũ kết hợp với khái niệm chu kỳ bán rã của chất phóng xạ hình thành mô hình toán học tổng quát cho phép giải quyết tình huống mà chúng tôi đang xét. Câu 2c chúng tôi đưa vào hệ 40 thống câu hỏi giúp học sinh thao tác và kiểm chứng lại tính đúng đắn cho mô hình toán học mà các em xây dựng được. Với việc xây dựng hệ thống câu hỏi xuất phát từ những số liệu cụ thể, chúng tôi tạo điều kiện cho học sinh lần lượt thao tác với 4 bước của quá trình mô hình hóa. Ở câu hỏi 2, chúng tôi luyện tập cho học sinh kỹ năng mô hình hóa tình huống thực tế vào toán học đồng thời củng cố thêm cho vai trò công cụ thứ nhất của khái niệm logarit là Giải phương trình mũ dạng a f ( x=) b (a, b > 0, a ≠ 1) . Câu hỏi 3 chúng tôi đưa ra mới mục đích hình thành cho học sinh kỹ năng tính toán với sự hỗ trợ của công cụ tính toán là khái niệm logarit. Các số liệu được lựa chọn là những con số lớn, vượt khỏi khả năng tính toán của máy tính bỏ túi. Với tình huống này, chúng tôi chỉ ra cho học sinh thấy được vai trò công cụ thứ hai của khái niệm logarit mà mình muốn truyền tải, đó là Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi. 3.4.1. Biến tình huống, biến didactic và các giá trị của biến 3.4.1.1 Biến tình huống  Biến A1: Cách thức làm việc của học sinh Các giá trị của biến nhận được là: - Làm việc cá nhân - Làm việc theo nhóm - Làm việc tập thể lớp Ở phần thực nghiệm của mình, chúng tôi lựa chọn làm việc theo nhóm vì cách làm việc này kích thích sự giao tiếp, chia sẻ tư tưởng và cách giải quyết vấn đề giữa các thành viên trong nhóm. Mặt khác, hoạt động theo nhóm giúp khích lệ mọi thành viên tham gia học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau, giúp phát huy khả năng phối hợp giữa các thành viên để đưa đến quyết định đúng đắn nhất, loại trừ những ý tưởng chưa mang lại hiệu quả.  Biến A2: Công cụ hỗ trợ tính toán Các giá trị của biến: - Cho sử dụng máy tính bỏ túi 41 - Không cho sử dụng máy tính bỏ túi. Chúng tôi lựa chọn giá trị cho biến A2 là cho sử dụng máy tính bỏ túi. Tuy nhiên ở phần thực nghiệm, số liệu được lựa chọn ở câu hỏi 3 dẫn học sinh đến tình huống máy tính bỏ túi không giúp giải quyết được. Việc này làm rõ cho mục đích của chúng tôi là tạo tình huống cho học sinh tìm ra một công cụ tính toán khác tối ưu hơn, góp phần tạo sự thuận lợi cho chiến lược mà chúng tôi mong đợi có khả năng xuất hiện cao hơn, đó chính là logarit. 3.4.1.2. Biến didactic Kiểu nhiệm vụ được chúng tôi lựa chọn cho đồ án dạy học của mình gồm: - Tính giá trị biểu thức= A a f (a ) (0 < a ≠ 1, a ∈ R) - Giải phương trình a f ( x =) b (0 < a ≠ 1, b > 0) - Tính giá trị các tỷ số có dạng:  Biến A3: Cách cho thời gian t aa ( 0 < a, b ≠ 1;a , β ∈ N ) bβ Các giá trị của biến được chúng tôi đưa ra gồm có: - Thời gian t tỷ lệ với thời gian thế hệ của vi khuẩn (ở hoạt động 1) và chu kỳ bán rã của chất phóng xạ (hoạt động 2). - Thời gian t không tỷ lệ với thời gian thế hệ của vi khuẩn (ở hoạt động 1) và chu kỳ bán rã của chất phóng xạ (hoạt động 2). Sự thay đổi về cách cho số liệu từ tỷ lệ sang không tỷ lệ giúp chúng tôi tạo nên tình huống có vấn đề, góp phần kích thích khả năng tư duy trong quá trình tìm lời giải của học sinh, từ đó các em có thể cho chúng tôi sản phẩm tối ưu nhất trong quá trình làm việc của mình.  Biến A4: Dạng phương trình mũ được đề cập Các giá trị của biến được chúng tôi đưa ra gồm có: f ( x) - Dạng a= a g ( x ) (0 < a ≠ 1) . - Dạng a f ( x =) b (0 < a ≠ 1, b > 0) . Sự lựa chọn những con số trong dạng phương trình mũ nêu trên cho phép chúng tôi kiểm chứng khả năng vận dụng khái niệm logarit vào giải phương trình mũ, đồng 42 thời chỉ ra cho các em thấy được vai trò công cụ thứ nhất mà chúng tôi muốn đề cập trong luận văn.  Biến A5: Máy tính bỏ túi có giúp tính toán được đối với các số liệu đã cho hay không? Mục đích chúng tôi đưa ra biến A4 nhằm cho học sinh nhận thấy chức năng công cụ của logarit khi khái niệm này được sử dụng đóng vai là là một công cụ hỗ trợ tính toán khi máy tính bỏ túi không tính toán được các con số quá lớn hoặc quá nhỏ. 3.4.2. Cách lựa chọn giá trị của biến - Đối với biến A1, chúng tôi lựa chọn các giá trị lần lượt là làm làm việc theo nhóm và làm việc tập thể lớp. Cụ thể, chúng tôi chia quá trình làm việc của mình làm hai giai đoạn chính: o Giai đoạn 1: Học sinh tiến hành làm việc theo nhóm. Sự lựa chọn giá trị này của biến cho phép chúng tôi quan sát cách thức tư duy và vận dụng kiến thức của mỗi thành viên trong nhóm. Sự hỗ trợ qua lại giữa các cá nhân cho phép chúng tôi thu thập được các ý kiến đa dạng. Hơn nữa, các thành viên trong nhóm bổ sung cho nhau giúp chúng tôi nhận được kết quả là sản phẩm tối ưu nhất ở mỗi nhóm. o Giai đoạn 2: Làm việc tập thể lớp. Ở giá trị này của biến, chúng tôi tạo điều kiện cho học sinh có cơ hội trình bày những kết quả mà các em có được. Bên cạnh đó, việc thảo luận giữa các nhóm tạo điều kiện cho học sinh có cơ hội lập luận trình bày cho những ý kiến mà mình có được. Sự trao đổi qua lại giữa học sinh giúp các em củng cố lại kiến thức được học và rút được kinh nghiệm lẫn nhau để từ đó hình thành được những kỹ thuật giải toán cho mình. - Đối với biến A2, chúng tôi lựa chọn giá trị của biến là Cho sử dụng máy tính bỏ túi. Mục đích chúng tôi lựa chọn giá trị này nhằm cho học sinh thấy được một số mặt hạn chế của công cụ tính toán là máy tính bỏ túi. Với sự lựa chọn các số liệu được cho trong tình huống, chúng tôi loại trừ khả năng máy tính bỏ túi có thể giúp ích trong việc giải quyết. Từ việc này, chúng tôi giúp học 43 sinh nhận ra được sự cần thiết trong việc lựa chọn một công cụ hỗ trợ tính toán khác tối ưu hơn, đó là khái niệm logarit. Sự lựa chọn của biến A2 cho phép chúng tôi chỉ ra cho học sinh thấy được vai trò công cụ thứ hai của khái niệm logarit mà mình muốn truyền tải đến các em, đó là Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi. - Đối với biến A3, chúng tôi lựa chọn giá trị của biến là Thời gian t tỷ lệ với thời gian thế hệ của vi khuẩn (ở hoạt động 1) và chu kỳ bán rã của chất phóng xạ (hoạt động 2) và Thời gian t không tỷ lệ với thời gian thế hệ của vi khuẩn (ở hoạt động 1) và chu kỳ bán rã của chất phóng xạ (hoạt động 2) được chia làm hai giai đoạn như sau : o Giai đoạn 1 : Chúng tôi lựa chọn giá trị Thời gian t tỷ lệ với thời gian thế hệ của vi khuẩn (ở hoạt động 1) và chu kỳ bán rã của chất phóng xạ (hoạt động 2) cụ thể ở những câu hỏi 1a, b, 2a. Với cách lựa chọn này, chúng tôi đưa ra hệ thống câu hỏi cho học sinh thao tác với những con số cụ thể để từ đó các em hình thành nên quy luật chung trong quá trình tính toán của mình. Đây là tiền đề cho việc hình thành nên mô hình toán học tổng quát mà chúng tôi muốn học sinh xây dựng. o Giai đoạn 2 : Chúng tôi lựa chọn giá trị Thời gian t không tỷ lệ với thời gian thế hệ của vi khuẩn (ở hoạt động 1) và chu kỳ bán rã của chất phóng xạ (hoạt động 2) tương ứng với câu hỏi 1c, 2b. Số liệu được chúng tôi lựa chọn trong các câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải hình thành một quy tắc chung để có thể giải quyết triệt để cho tình huống được đặt ra. Kết hợp với những kết quả mà học sinh có được khi làm việc với câu hỏi 1a, b, 2a, chúng tôi muốn các em vận dụng khái niệm toán học mà mình có được xây dựng một mô hình trung gian cho phép trả lời một cách tổng quát cho tình huống mà chúng tôi đặt ra. - Ở biến A4, chúng tôi lựa chọn các giá trị gồm có : Giải phương trình mũ f ( x) ) dạng a= a g ( x ) (0 < a ≠ 1) và a f ( x = b (0 < a ≠ 1, b > 0) như sau : o Giai đoạn 1: Chúng tôi lựa chọn giá trị của biến là Giải phương trình mũ f ( x) dạng a= a g ( x ) (0 < a ≠ 1) thể hiện ở ý thứ nhất của câu 1d. Mục đích 44 chúng tôi lựa chọn giá trị này nhằm giúp học sinh vận dụng mô hình mà các em đã xây dựng được để tính toán giải quyết những tình huống mà chúng tôi đề ra. Hơn nữa, từ việc thao tác với mô hình mà học sinh xây dựng được, các em có điều kiện kiểm tra lại tính đúng đắn cho mô hình này. o Giai đoạn 2: Chúng tôi lựa chọn giá trị của biến là Giải phương trình mũ dạng a f ( x =) b (0 < a ≠ 1, b > 0) thể hiện ở ý thứ hai câu hỏi 1d và 2b. Chúng tôi chỉ ra cho học sinh thấy được nghĩa thứ nhất của khái niệm logarit là giải phương trình dạng a f ( x ) = b(0 < a ≠ 1, b > 0) . Sự lựa chọn của số liệu không cho phép học sinh vận dụng quy tắc giải phương trình mũ cùng cơ số. Điều này tạo tình huống có vấn đề cho các em phải vận dụng khái niệm logarit vào giải quyết cho bài toán. Từ đây, chúng tôi chỉ ra cho học sinh thấy được tính tổng quát trong việc vận dụng khái niệm logarit vào giải quyết tinh huống đặt ra ở câu hỏi 1d và 2b. - Biến A5 chúng tôi đưa ra thể hiện ở các câu hỏi 2c, 3a, 3b. Chúng tôi tạo điều kiện cho học sinh thao tác tính toán với các con số để nhận thấy được sự hạn chế trong việc sử dụng máy tính bỏ túi làm công cụ hỗ trợ cho việc tính toán. Từ đây, chúng tôi muốn học sinh vận dụng khái niệm logarit như là một công cụ giúp tính toán tìm kết quả được tối ưu hơn. Nội dung câu hỏi 2c, 3a, 3b chúng tôi đặt ra nhằm chỉ ra cho các em thấy lợi ích của việc vận dụng khái niệm logarit vào giải quyết tính toán, thể hiện ở vai trò công cụ thứ hai mà chúng tôi muốn trình bày : Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi. 3.4.3. Các chiến lược có thể  STyLe: Chiến lược chia tỷ lệ • Áp dụng giải quyết cho bài toán 1a, 2a. - Lập ra sơ đồ dựa vào thời gian T đề bài cho với khoảng thời gian t đề bài yêu cầu. - Căn cứ tỷ lệ giữa T với t đề tính toán tìm t. 45  SHamMu: Chiến lược đưa về hàm số mũ • Áp dụng giải quyết cho bài toán 1a, 1b, 1c, 2a, 2b. - Xem xét số lượng vi khuẩn tăng lên (hoặc khối lượng chất phóng xạ giảm đi) sau những khoảng thời gian t tỷ lệ với T. - Thiết lập một hàm số mũ để tính toán.  SHamLog: Chiến lược đưa về hàm số logarit • Áp dụng giải quyết cho bài toán 2b. - Xem xét mối tương quan giữa số lượng vi khuẩn lúc đầu và lúc sau (hoặc khối lượng chất phóng xạ lúc đầu và lúc sau). - Tìm ra một quy luật tương ứng để tính toán tìm t.  SPhuongTrinhMu: Chiến lược giải phương trình mũ • Áp dụng giải quyết cho bài toán 1d, 2a - Phạm vi áp dụng: khi số liệu đề bài yêu cầu có thể đưa về dạng - Dựa vào mô hình đã xây dựng được, đưa bài toán về giải phương trình mũ x) a f (= a g ( x ) ( a > 0, a ≠ 1) . có cùng cơ số. - Áp dụng a f ( x ) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) ( a > 0, a ≠ 1) để giải quyết bài toán.  SBienĐoiLuyThua: Chiến lược biến đổi lũy thừa • Áp dụng giải quyết cho bài toán 3a - Phạm vi áp dụng: Khi số liệu đề bài cho có thể biến đổi về lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ, chiến lược này dùng để tính giá trị biểu thức trong đó số liệu được cho có liên quan đến lũy thừa. - Sử dụng các công thức biến đổi thu gọn biểu thức cần tính toán. - Sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ để tìm kết quả cho bài toán.  SLog: Chiến lược Logarit hóa • Áp dụng giải quyết cho bài toán 1d, 2a, 2b, 2c, 3a, 3b - Phạm vi áp dụng: Khi số liệu đề bài cho không thể đưa về giải phương trình mũ cùng cơ số. - Lấy logarit hai vế của đẳng thức cần tính toán. 46 - Thu gọn đẳng thức logarit. Áp dụng định nghĩa log a b = c ⇔ b = a c (a, b > 0, a ≠ 1) 3.4.4. Các lời giải có thể quan sát được Hoạt động 1 Câu 1a)  Chiến lược STyLe : Lời giải 1: 20 phut 1  →2 20 phut 20 phut 1  → 2  →4 20 phut 20 phut 20 phut 1  → 2  → 4  →8 20 phut 20 phut 20 phut 20 phut 1  → 2  → 4  → 8  →16 20 phut 20 phut 20 phut 20 phut 20 phut 1  → 2  → 4  → 8  →16  → 32 20 phut 20 phut 20 phut 20 phut 20 phut 20 phut 1  → 2  → 4  → 8  →16  → 32  → 64 Với lý luận tương tự, HS lập sơ đồ tìm số lượng tế bào thu được sau khoảng thời gian t đã cho trong bảng. Lời giải 2: Số lượng tế bào cần tìm được lập luận và chuyển sang việc chia tỷ lệ giữa các khoảng thời gian như sau: Số lần phân đôi tế bào Số lượng tế bào thu (tính từ thời điểm 1 tế bào được sau khoảng thời ban đầu) gian t 20 1 1.2 = 2 40 2 1.2.2 = 4 60 3 1.2.2.2 = 8 80 4 1.2.2.2.2 = 16 100 5 Khoảng thời gian t (phút) 5 1.2.2...2 = 2= 32  5 47 120 6 6 1.2.2...2 = 2= 64  6 Từ bảng thống kê một số trường hợp cụ thể nêu trên, có một quy luật được thiết lập trong tình huống này như sau: Khi khoảng thời gian t tỷ lệ với thời gian phân đôi của tế bào, giả sử rằng t = 20k ( k ∈ Z , k ≥ 1 ) thì k chính là số lần phân đôi của tế bào tính từ số lượng tế bào ban đầu có trong quần thể (tính từ lúc có 1 tế bào trong quần thể ứng với tình huống được đặt ra). Nếu t = 20k ( k ∈ Z , k ≥ 1 ) thì số tế bào nhận được sau khoảng thời gian t là : k 1.2.2...2  = 2 (tế bào). k Việc giải quyết bằng chiến lược STyLe có thể được lý giải một cách tường minh bằng lời giải lập sơ đồ phân tích. Hai lời giải lập sơ đồ phân tích và lập bảng tỷ lệ bổ sung và hỗ trợ cho nhau. Lời giải bằng cách lập bảng tỷ lệ giúp giải quyết bài toán nhanh hơn, lời giải lập sơ đồ phân tích minh họa cho kỹ thuật mà lời giải bằng cách lập bảng tỷ lệ xây dựng được, trong trường hợp thời gian phân đôi T của tế bào tỷ lệ với khoảng thời gian t mà đề bài yêu cầu tính toán. Với cách lập luận suy diễn có được từ chiến lược STyLe, chiến lược SHamMu có điều kiện xuất hiện.  Chiến lược SHamMu : Chiến lược SHamMu xây dựng dựa trên cơ sở những lập luận của SChiaTyLe. Điều k này có nghĩa, nếu t = 20k ( k ∈ Z , k ≥ 1 ), chúng ta nhận được= t ( t ∈ N *, t  20 ) . 20 Chúng ta xác lập được một mô hình toán học dựa vào hàm số mũ như sau: Gọi t là khoảng thời gian phân đôi của tế bào ( t ∈ N *, t  20 ) . Khi đó, số lượng tế bào nhận được (gọi là N) sau khoảng thời gian t cho trước được tính bởi công thức: 20 = N 1.2 = 1.2k ( t ∈ N *, t  20 ) . t Học sinh áp dụng mô hình vừa tìm được, thế giá trị t tương ứng được cho trong bảng tìm N. Kết quả được cho trong bảng: 48 Thời gian t (phút) 20 40 60 80 100 120 Số lượng tế bào thu được 2 4 8 16 32 64 Câu 1b)  Chiến lược STyLe : Lời giải 1: Lập sơ đồ phân tích. Cách giải này không có khả năng xuất hiện vì thời gian t đề bài yêu cầu tính quá lớn. Tuy nhiên, lời giải 2 cho phép chúng ta giải quyết một cách triệt để tình huống đặt ra, cụ thể như sau: Khoảng thời gian t (phút) 5 ngày = 7200 phút Số lần phân đôi tế bào Số lượng tế bào thu (tính từ thời điểm 1 tế bào được sau khoảng thời ban đầu) gian t 7200 = 360 20 360 1.2.2...2  = 2 360  Chiến lược SHamMu : Công thức được lập luận từ câu 1a: = N 1.2 20 ( t ∈ N *, t  20 ) được sử dụng để tính t số lượng tế bào thu được sau khoảng thời gian t = 5 ngày (hay t = 7200 phút). 20 Ta nhận được kết quả như sau: = N 1.2 = 2360 (tế bào). 7200 Câu 1c)  Chiến lược STyLe không có khả năng xuất hiện vì chiến lược này đòi hỏi khoảng thời gian t đề bài yêu cầu tính toán phải là một bội của thời gian thế hệ T của vi khuẩn.  Chiến lược SHamMu : Sự khó khăn trong mô hình bước đầu thiết lập được ở 1a, b và đối với chiến lược STyLe và SHamMu là không tìm được số lượng tế bào thu được trong trường hợp các khoảng thời gian t đề bài cho không là bội của thời gian thế hệ T. Điều này tạo tình 49 huống có vấn đề cho học sinh khi thao tác với mô hình đã đặt ra cùng những chiến lược đã áp dụng. Có hai khả năng xảy ra mà HS phải lựa chọn cách xử lý, cụ thể như sau: - Mô hình đặt ra là chưa đúng: Cần tìm một mô hình khác phù hợp hơn cho phép giải quyết được triệt để cho mọi tình huống đặt ra. - Có sự ảnh hưởng từ các tri thức của bộ môn Sinh học trong mối quan hệ với mô hình vừa xây dựng. Vì thế, mô hình toán học đã đặt ra là chưa phù hợp với tất cả các tình huống. Nhiệm vụ của học sinh lúc này là phải tìm mối liên hệ giữa bộ môn sinh học với mô hình toán học đang xét để có sự điều chỉnh phù hợp nhằm giúp giải quyết cho tình huống khi khoảng thời gian t không tỷ lệ với thời gian thế hệ T. Sự chọn lựa số liệu ở câu 1c còn nhằm mục đích giúp chúng tôi củng cố thêm cho sự liên kết và vận dụng các khái niệm của học sinh ở hai môn Toán – Sinh học. Giải thích: Tế bào phân đôi theo cơ chế từ 1 tế bào phân đôi thành 2 tế bào giống hệt nhau, và chúng ta chỉ nhận được 2 tế bào sau một khoảng thời gian t nhất định ứng với cơ chế phân đối của tế bào. Số lượng tế bào được xem như không thay đổi trong quá trình phân đôi. Sự giải thích trên cho chúng ta thấy được sự không phù hợp của mô hình đã xây dựng rơi vào trường hợp thứ hai. Vấn đề đặt ra đối với học sinh lúc này là điều chỉnh lại mô hình, hoặc bổ sung thêm điều kiện cho mô hình vừa tìm được để nó có thể được vận dụng tốt hơn cho mọi tình huống đặt ra. Mô tả kỹ thuật: - Trường hợp t ≥ T , t T : Khi đó, số lượng tế bào nhận được (gọi là N) sau một khoảng thời gian t (phút) phân đôi cho trước được tính bởi công thức: N = 1.2 . t T - Trường hợp t ≥ T , t không chia hết cho T: Ta áp dụng tính số lượng tế bào nhận được sau khoảng thời gian phân đôi t theo quy tắc: Chọn t’ là khoảng thời gian phân đôi gần t nhất (với t ' ∈ N *, t  20, t ' ≤ t ). Khi đó, số lượng tế 50 bào thu được sau khoảng thời gian t mà đề bài yêu cầu bằng đúng số lượng tế bào thu được sau khoảng thời gian phân đôi t’ đã được chọn. Chúng ta trở về với cách tính toán như đã lập luận trong trường hợp t ∈ N *, t  20 . - Trường hợp 0 ≤ t < T . Số lượng vi khuẩn thu được sau khoảng thời gian t 0 được tính bởi công thức:= N N= N 0 (tế bào) 02 Thời gian t (phút) 30 119,5 Thời gian t’ (phút) 20 100 Số lượng tế bào thu được 2 32 Một cách tổng quát, số lượng vi khuẩn thu được trong khoảng thời gian t bất kỳ được tính bằng công thức:   t t  N = 1.2  T  (tế bào). Trong đó,   là phần nguyên của tỷ số . T T  t  Câu 1d) Bài 1d ứng với kiểu nhiệm vụ giải phương trình a f ( x )= b ( a, b > 0; a ≠ 1) T = 20  Với giả thiết đã cho, ta có:  N= 1 ⇒ t (giờ) ? 0  345 N = 2 Đối với trường hợp N = 2345 , tình huống được đưa về giải phương trình mũ f ( x) a g ( x ) ( 0 < a ≠ 1) . dạng a=  Chiến lược SPhuongTrinhMu: Áp dụng mô hình toán học đã xây dựng được ở bài 1c tính số lượng vi khuẩn thu được sau khoảng thời gian t cho trước, ta có: N = 1.2  t   20    (tế bào) Với số lượng tế bào thu được lúc sau là 2345 , ta có phương trình: 2 345 = 1.2  t   20     t  ⇔ 345 =  20  51 t ⇔ 345 = 20 ⇔t= 345.20 ⇔t= 6900 (phút) ⇒t = 115 (giờ) Vậy cần khoảng thời gian là 115 giờ để từ 1 tế bào vi khuẩn ban đầu phân đôi thành 2345 tế bào. Với N = 3210 , SPhuongTrinhMu khó có khả năng xuất hiện vì không thể đưa bài toán x) a g ( x ) ( a > 0, a ≠ 1) nếu không có sự can thiệp của khái niệm logarit. Tình về dạng a f (= huống này tạo điều kiện cho chiến lược SLog được triển khai.  Chiến lược SLog :  t    Với số lượng tế bào thu được lúc sau là 3210 , ta có: 3210 = 1.2 20  (*) Lấy logarit cơ số 2 của 2 vế trong phương trình (*), ta được: log 2 3 210  t  ⇔ 210 log 2 3 =  20  = log 2 2  t   20     t  ⇔   ≈ 332,8  20  ⇒ t = 332 20 ⇒t = 6640 (phút) 332 (giờ) ⇒t = 3 Vậy cần khoảng thời gian xấp xỉ đôi thành 3210 tế bào. Hoạt động 2 Câu 2a)  Chiến lược STyLe : Lời giải 1: 332 giờ để từ 1 tế bào vi khuẩn ban đầu phân 3 52 3,8 ngay 120 → 60 3,8 ngay 3,8 ngay 120 → 60 → 30 3,8 ngay 3,8 ngay 3,8 ngay 120 → 60 → 30 → 15 3,8 ngay 3,8 ngay 3,8 ngay 3,8 ngay 120 → 60 → 30 → 15 → 7,5 3,8 ngay 3,8 ngay 3,8 ngay 3,8 ngay 3,8 ngay 120 → 60 → 30 → 15 → 7,5 → 3, 75 Lời giải 2: Thời gian phân rã Rn được tính bằng cách chuyển về việc lập tỷ lệ giữa khối lượng lúc sau còn lại và khối lượng có được ban đầu của Rn như sau: Số lần khối lượng Khối lượng Rn giảm đi một Rn nửa so với ban còn lại (gam) Mối liên hệ giữa khối lượng Thời gian phân rã lúc đầu và lúc sau t (ngày) đầu 60 1 1 120. = 60 2 3,8.1 = 3,8 30 2 1 1 120. . = 30 2 2 3,8.2 = 7, 6 15 3 1 1 1 120. . . = 15 2 2 2 3,8.3 = 11, 4 7,5 4 1 1 1 1 120. . . . = 7,5 2 2 2 2 3,8.4 = 15, 2 3,75 5 1 1 1 1 1 120. . . . . = 3, 75 2 2 2 2 2 3,8.5 = 19 Nhận xét từ bảng: Trong trường khối lượng Rn (đặt là a (gam)) nhận được lúc sau được cho dưới 1 dạng = a 120.   ( k > 0, k ∈ Z ) , khi đó, thời gian phân ra t (ngày) được tính bằng quy 2 k tắc t = 3,8.k . 53 Đặt k = t , khối lượng Rn thu được sau khoảng thời gian t (ngày) được tính 3,8  1  3,8 bởi: a = 120.   (gam). 2 t Chiến lược SPhuongTrinhMu được hình thành trên cơ sở của chiến lược STyLe như sau:  Chiến lược SPhuongTrinhMu: Với công thức tìm được ở STyLe, ta thế giá trị a (gam) tương ứng được cho trong bảng tìm thời gian t bằng cách: a  1  3,8  1  3,8 = a 120.   ⇔  = (*) 120 2 2 t t 3,8 Với a = 60 : (*) ⇔  1  = 60 120 2 t  1  3,8  1  ⇔  =   2 2 t ⇔ = 1 3,8 t 1 ⇔t= 3,8 (ngày) Bài toán trở về giải quyết kiểu nhiệm vụ: Giải phương trình a f ( x ) = b (0 < a ≠ 1; b > 0) , trường hợp b = a g ( x ) . f ( x) a g ( x ) ( 0 < a ≠ 1) . Kết Tương tự, chúng ta áp dụng giải phương trình mũ a= quả nhận được cho trong bảng sau: Khối lượng Rn thu được (gam) 60 30 15 7,5 3,75 Thời gian t (ngày) 3,8 7,6 11,4 15,2 19  Chiến lược SLog : Bên cạnh việc sử dụng chiến lược SPhuongTrinhMu để đưa bài toán về dạng f ( x) a= a g ( x ) ( 0 < a ≠ 1) , chiến lược SLog được sử dụng như là một công cụ tổng quát hơn cho phép tính thời gian t. 54 1  1  3,8 1 Với a 60 của 2 vế ở (**), ta được : :  (**) . Lấy logarit cơ số = = 2 2 2 t 1  1  3,8 log 1   = log 1 2 2 2 2 t t = 1 ⇔ t = 3,8 (ngày) 3,8 Các trường hợp còn lại được giải quyết tương tự. Câu 2b)  Chiến lược STyLe không có khả năng xuất hiện vì khối lượng Rn còn lại (ký 1 hiệu là a (gam)) không được cho dưới dạng a = 120.   . 2 k  Chiến lược SPhuongTrinhMu : a  1  3,8  1  3,8 = , chiến lược SPhuongTrinhMu gặp trở Từ công thức a 120.   ⇔   = 120 2 2 t t ngại vì học sinh khó tìm được một số a ∈ R sao cho: a 1 =   để giải phương trình 120  2  a t  1  3,8  1  mũ   =   ⇔ = a tìm thời gian t. 3,8 2 2 t a Không như quá trình phân đôi của của vi khuẩn đối với sự phân rã của chất phóng xạ, mẫu phóng xạ phân rã liên tục trong khoảng thời gian t (giáo viên đã đề cập cho học sinh ở phần thông báo được in trong phiếu). Điều này có nghĩa, khối lượng mẫu phóng xạ thay đổi liên tục trong một khoảng thời gian t. Với lập luận trên, chúng tôi nhận thấy chiến lược SLog có cơ hội xuất hiện.  Chiến lược SLog : Lời giải 1: 2  1  3,8 Với a = 2 , ta có:   = 120 2 t  1  3,8 1 (1) ⇔  = 60 2 t 55 Lấy log cơ số 1 ở 2 vế của (1), ta được: 2 1  1  3,8 log 1   = log 1 2 2 2 60 t ⇔ t 1 = log 1 3,8 2 60 ⇔ t ≈ 5,9 3,8 ⇔ t ≈ 22, 42 (ngày) Lời giải 2: 1 1  1  3,8 1 Từ   = , ta có : =  60 60  2  2 t log 1 2 1 60  1  3,8  1    =  2 2 t Khi đó: log 1 2 1 60 ⇔ t 1 = log 1 3,8 2 60 ⇔ t ≈ 5,9 3,8 ⇔ t ≈ 22, 42 (ngày) Mô tả kỹ thuật: - Khối lượng chất phóng xạ giảm đi một nửa cho với lượng phóng xạ ban đầu ứng với các thời gian t lần lượt là bội của chu kỳ bán rã T. - Mặt khác, cho tính liên tục của sự phân rã chất phóng xạ, chúng ta luôn xác định được lượng chất phóng xạ còn lại sau khoảng thời gian t phân rã tính từ thời điểm ban đầu.  Tổng quát hơn so với hai chiến lược đã đưa ra là SPhuongTrinhMu và SLog, chúng tôi thiết lập hai chiến lược để tìm thời gian phân rã t cho chất phóng xạ như sau:  Chiến lược SHamMu : Gọi : - m0 là khối lượng chất phóng xạ ban đầu ở thời điểm t = 0. - m là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian phân rã t. 56 - T là chu kỳ bán rã của chất phóng xạ. - t là thời gian phân rã của chất phóng xạ tính từ thời điểm đầu. Với m0 và m lấy cùng đơn vị đo, t và T được tính cùng một đơn vị thời gian, khi đó, khối lượng chất phóng xạ thu được sau thời gian phân rã t tính từ thời điểm ban đầu được tính bởi công thức :  1 T m = m0   2 t  Chiến lược SHamLog :  1 T Xét công thức: m = m0   2 t m  1 T ⇔ =   (1) m0  2  t m 1  1 T Lấy logarit cơ số ở 2 vế của (1) ta được: log 1   = log 1   2 2  m0  2 2 t m  1 T ⇔ log 1   = log 1   2  m0  2 2 t m t ⇔ log 1   = T 2  m0  m t ⇔ T .log 1   = 2  m0  Các yếu tố được cho bao gồm: - Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ T - Khối lượng ban đầu của chất phóng xạ m0 - Khối lượng lúc sau của chất phóng xạ m Ta áp dụng một trong hai quy tắc đã xây dựng kết hợp với số liệu giả thiết cho tính toán tìm lời giải. Câu 2c)  1 T Từ công thức đã xây dựng được : m = m0   2 t 57 Ta có: m0 = 13110 (gam). T = 3,8 (ngày) t = 4,3 (năm) ⇒ t = 1569,5 (ngày) 1 Khi đó: m 13 .   = 2 110 1569,5 3,8  Chiến lược SLog : 1 1 ≈ 13 .   2 413 110 Với m ≈ 13110.   , lấy log cơ số ở 2 vế, ta được: 2 2 413 1 413  1  log 1 m ≈ log 1 13110.      2   2 2  ⇔ log 1 m ≈ 110 log 1 13 + 413.log 1 2 2 ⇔ log 1 m ≈ −407 + 413 2 1 2 ⇔ log 1 m ≈ 6 2 1 ⇔m≈  2 2 6 ⇔ m ≈ 0, 015625 (gam) So sánh hai lời giải nhận được từ câu 2c, chúng tôi nhận thấy lời giải có sự xuất hiện của khái niệm logarit cho kết quả là những con số cụ thể. Sự vận dụng logarit vào giải quyết trong tình huống này mang tính tối ưu hơn. Câu 3a)  Chiến lược SBienĐoiLuyThua : Gọi m là tỷ số khối lượng hai chất phóng xạ 3222 = m = 2333 ( 3 )= (2 ) Vậy m ≈ 476354 2 111 3 111  32  9  3=   =  8 2  111 111 210 84 Po và 235 92 U , ta có: (1,125) 111  Chiến lược SLog : Gọi m là tỷ số khối lượng hai chất phóng xạ 210 84 Po và U , ta có: m = 235 92 3222 (1) 2333 58 Lấy logarit cơ số 2 ở 2 vế của (1), ta nhận được kết quả như sau:  3222  log 2 m = log 2  333  2  ⇔ log 2 m = log 2 3222 − log 2 2333 ⇔ log 2 m = 222.log 2 3 − 333log 2 2 ⇔ log 2 m ≈ 351,861675 − 333 ⇔ log 2 m ≈ 18,861675 ⇔ m ≈ 218,861675 ⇔ m ≈ 476354 Vậy khối lượng 210 84 Po gấp 476354 khối lượng 235 92 U. Câu 3b)  Chiến lược SBienĐoiLuyThua : Chiến lược này không có khả năng xuất hiện vì các phép biến đổi lũy thừa không thể áp dụng thu gọn và tính toán cho ra kết quả cụ thể của biểu thức.  Chiến lược SLog : Gọi m là tỷ số khối lượng hai chất phóng xạ 210 84 Po và U , ta có: m = 235 92 Lấy logarit cơ số 2 ở 2 vế của (1), ta nhận được kết quả như sau:  2334  log 2 m = log 2    9  ⇔ log 2 m = log 2 2334 − log 2 9 ⇔ log 2 m = 334.log 2 2 − log 2 9 ⇔ log 2 m ≈ 334 − 3,1 ⇔ log 2 m ≈ 330.9 ⇔ m ≈ 2330,9 Vậy khối lượng 210 84 Po gấp 2330,9 khối lượng 235 92 U. 2334 (1) 9 59 3.4.5. Tổ chức thực nghiệm Chúng tôi chia HS thành các nhóm, mỗi nhóm 4 - 5 học sinh, cùng thảo luận trong thời gian cho trước, tù đó đưa ra câu trả lời cho một số tình huống nhận được từ các phiếu học tâp. Đồ án dạy học gồm 7 pha, chia thành 2 buổi: - Buổi 1: Chúng tôi tiến hành dạy học liên môn Toán – Sinh học. Thời gian làm việc trong buổi thứ nhất được chúng tôi dự kiến khoảng 90 phút. - Buổi 2: Chúng tôi tổ chức cho học sinh xây dựng mô hình toán học để giải quyết các tình huống thực tế trong Vật lý. Thời gian dự kiến cho buổi làm việc thứ hai là 70 phút.  Dàn dựng kịch bản  Buổi 1: Pha 1 (Làm việc theo nhóm, dự kiến 15 phút): Giáo viên phát cho học sinh hai phiếu: Phiếu số 1, phiếu thảo luận nhóm kèm giấy nháp. Phiếu số 1 với hoạt động 1 gồm 4 câu hỏi. Bên cạnh đó, giáo viên đưa ra thông báo củng cố về khái niệm Sự phân đôi của tế bào, sự sinh trưởng của vi sinh vật cho học sinh được in kèm trong phiếu. Thông báo - Thời gian từ khi sinh ra một tế bào cho đến khi số tế bào của quần thể tăng gấp đôi gọi là thời gian thế hệ. - Trong sự phân đôi của tế bào, số lượng vi khuẩn trong quần thể tăng lên gấp đôi sau khi kết thúc thời gian thế hệ. Chúng tôi tổ chức cho học sinh thảo luận nhóm nhằm trả lời cho câu hỏi 1a. Giáo viên khuyến khích học sinh thao tác tất cả quá trình làm việc của nhóm mình vào phiếu thảo luận nhóm. Chúng tôi khuyến khích học sinh lưu lại những ý tưởng cùng những thảo luận của nhóm mình vào nháp, kể cả những lời giải mà các em không lựa chọn làm phương án tối ưu cho nhóm mình. Pha 2: Dự kiến chúng tôi chia thành 2 giai đoạn: - Giải đoạn 1: Làm việc theo nhóm, dự kiến 10 phút. 60 Giáo viên tổ chức cho các nhóm tiến hành giải quyết câu hỏi 1b. - Giai đoạn 2: Làm việc tập thể lớp, dự kiến 15 phút. Giáo viên cho đại diện từng nhóm trình bày câu trả lời của nhóm mình trước lớp. Tiếp theo, giáo viên gọi ngẫu nhiên đại diện của 2 hoặc 3 nhóm giải thích cho lời giải của nhóm mình và yêu cầu các nhóm còn lại nhận xét, so sánh các kỹ thuật giữa các nhóm với nhau. Pha 3: Chúng tôi chia làm 2 giai đoạn: - Giai đoạn 1: Làm việc theo nhóm, dự kiến 15 phút Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận trả lời bài tập 1c. Giáo viên kích thích sự cạnh tranh giữa các nhóm bằng cách cho điểm khuyến khích những nhóm nào đưa ra nhiều lời giải chính xác nhất. - Giai đoạn 2: Làm việc tập thể lớp, dự kiến 10 phút. Giáo viên tiến hành cho ngẫu nhiên 2 – 3 nhóm trình bày câu trả lời và giải thích cho kỹ thuật mà nhóm xây dựng được, các nhóm còn lại nhận xét và cho ý kiến. Pha 4: Gồm 2 giai đoạn: - Giai đoạn 1: Làm việc nhóm, dự kiến 10 phút. Giáo viên tiến hành cho các nhóm thảo luận câu hỏi 1d, bên cạnh đó giáo viên khuyến khích các em đưa ra càng nhiều câu trả lời chính xác thì số điểm của các nhóm nhận được càng cao. - Giai đoạn 2: Làm việc tập thể lớp, dự kiến 15 phút. Giáo viên cho các nhóm viết câu trả lời của nhóm mình lên bảng. Từ đó, giáo viên tổ chức cho các nhóm đánh giá các câu trả lời có được để tìm chiến lược tối ưu cho bài toán được đặt ra.  Buổi 2: Pha 5 (Làm việc theo nhóm, dự kiến 20 phút) Chúng tôi tiến hành phát phiếu số 2 và phiếu thảo luận nhóm cho học sinh. Ở phiếu số 2, chúng tôi thiết kế hoạt động 2 gồm 4 câu hỏi và phần giới thiệu cho học sinh về khái niệm Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ. 61 Thông báo - Chu kỳ bán rã T của một lượng chất phóng xạ là khoảng thời gian để lượng chất phóng xạ đó giảm đi một nửa so với ban đầu. - Chất phóng xạ phân rã liên tục theo thời gian. Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận nhóm và đưa ra câu trả lời cho câu hỏi 2a, 2b. Quá trình làm việc cùng những lời giải cụ thể, giáo viên đề nghị học sinh thao tác lên phiếu thảo luận nhóm cùng giấy nháp được phát trước đó. Pha 6: Chúng tôi chia làm 2 giai đoạn: - Giai đoạn 1: Làm việc nhóm, dự kiến 10 phút Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận và giải quyết bài tập 2c. - Giai đoạn 2: Làm việc tập thể lớp, dự kiến 15 phút. Giáo viên lần lượt cho các nhóm trình bày ý kiến thảo luận của nhóm mình lên bảng. Sau đó, giáo viên cho đại diện các nhóm phát biểu và giải thích về kỹ thuật cùng như cách lựa chọn các chiến lược giải mà nhóm mình đề ra. Pha 7: Pha làm việc này chia làm 2 giai đoạn: - Giai đoạn 1: Làm việc nhóm, dự kiện 10 phút Học sinh thảo luận và giải quyết bài tập 3. - Giai đoạn 2: Làm việc tập thể lớp, dự kiến 15 phút. Giáo viên tổ chức cho học sinh trình bày và nhận xét về các câu trả lời mà các nhóm có được.  Phân tích kịch bản Sự tiến triển kiến thức qua hệ thống các câu hỏi ở từng pha: Hoạt động 1: Mục đích: - Xây dựng tình huống thực tế trong sinh học cho học sinh mô hình hóa và giải quyết bằng toán học. - Làm rõ vai trò công cụ thứ nhất của khái niệm logarit: Giải phương trình dạng a f ( x ) = b(0 < a ≠ 1, b > 0) . Pha 1: Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận và trả lời cho câu hỏi 1a 62 a) Thời gian t được cho lần lượt là các bội của thời gian thế hệ T = 20 phút. Thông qua đặc điểm của thời gian t lần lượt bằng hoặc gấp 2, 3, 4, 5, 6 lần so với thời gian thế hệ, chiến lược STyLe cho học sinh có một cái nhìn trực quan về sự tăng lên của số lượng vi khuẩn trong quần thể tế bào. Từ tế bào có được ban đầu, số lượng vi khuẩn tăng lên gấp đôi sau mỗi 20 phút. Chúng tôi lựa chọn các khoảng thời gian lần lượt t = T, t = 2T, t = 3T, … đưa vào bài toán nhằm mục đích cho học sinh thấy rõ sự tiến triển về số lượng tế bào trong quần thể tuân theo một quy luật nhất định. Quy luật này được học sinh tìm thấy trong quá trình thao tác với các số liệu mình có được. Mức độ yêu cầu đối bài tập a chỉ dừng lại ở việc tính toán những con số cụ thể. Tuy nhiên, các số liệu được cho hơn kém nhau 20 phút – trùng khớp với thời gian thế hệ T của tế bào, tạo điều kiện cho học sinh suy luận tìm ra số lượng tế bào thu được mà không qua các thao tác tính toán. Ở pha 1, học sinh hình thành được kỹ thuật tính toán số lượng tế bào có được sau một khoảng thời gian t cho trước trong trường hợp t là một bội của thời gian thế hệ T và t được cho không quá lớn. Kỹ thuật được trình bày như sau: - Sau những khoảng thời gian t hơn kém nhau 20 phút (thời gian thế hệ của vi khuẩn), số lượng tế bào nhận được trong quần thể vi khuẩn gấp đôi số lượng tế bào ban đầu. Pha 2: Giáo viên cho học sinh thảo luận đưa ra câu trả lời cho câu hỏi 1b. Ở câu hỏi b, chúng tôi đưa ra tình huống tạo bước nhảy thông tin cho học sinh. Trong quá trình thao tác cùng những kết quả thu được ở câu a, học sinh nhận thấy mối liên hệ với khái niệm hàm số mũ ở Toán học, từ đó tìm ra quy luật giải quyết cho những trường hợp tương tự được tối ưu hơn. Quy luật trong tình huống đặt ra ở câu a: N = 1.2k (tế bào), với k là số lần phân đôi của tế bào sau khoản thời gian t được tính bởi: k = t cho phép học sinh thế số vào T công thức: N = 1.2T tính số lượng tế bào trong quần thể thu được sau khoảng thời gian t t đề bài yêu cầu. 63 Ở thời điểm này, sự liên hệ giữa kỹ thuật tính toán với hàm số mũ được áp dụng: Thời gian t là 5 ngày được quy đổi sang đơn vị phút – cùng đơn vị với thời gian thế hệ T để lập tỷ lệ. Khi đó, số lượng tế bào nhận được trong quần thể N được tính theo công thức N = 1.2 . Học sinh có thể liên hệ giữa công thức tính N với bộ môn t T toán thông qua kiểu nhiệm vụ: Tính giá trị của hàm số f (t ) = 2 , với t là số dương và t t 20 là một bội của 20. Suy ra: f (7200) = 2= 2360 . Số lượng tế bào thu được sau 5 ngày là 2360 (tế 7200 20 bào). Kết thúc pha 2, học sinh hình thành được phương pháp tính toán tìm số lượng tế bào thu được sau khoảng thời gian t cho trước, trong trường hợp t là một bội của thời gian thế hệ T, tuân theo quy luật hàm số mũ. Kết quả ở bài tập b được chúng tôi chấp nhận khi để dưới dạng 2360 vì ở pha làm việc này, chúng tôi chỉ quan tâm đến việc áp dụng hàm số mũ trong sự liên hệ với tình huống được đặt ra, các đặc trưng của số liệu cùng những kỹ thuật tính toán vẫn chưa được chúng tôi quan tâm khai thác. Pha 3: Chúng tôi tiến hành cho học sinh làm việc với câu hỏi 1c. Ở câu c, học sinh tuy được giải quyết cùng một kiểu nhiệm vụ với câu a, b là tính toán số lượng tế bào thu được sau một khoảng thời gian t cho trước, nhưng ở câu hỏi c tạo ra một tình huống hoàn toàn khác với đặc trưng tính toán mà học sinh được thao tác ở hai câu hỏi trước đó. Thời gian t trong câu hỏi c không tỷ lệ với thời gian thế hệ T. Thêm vào đó, ngoài cách cho số liệu là các số nguyên, các con số trong trường hợp này được chúng tôi đưa vào có xen lẫn số thập phân. Mục đích chúng tôi đưa ra câu hỏi này nhằm tạo điều kiện cho học sinh xử lý tình huống thời gian t được cho bất kỳ. Việc lựa chọn số liệu ở câu c cho phép chúng tôi liên hệ bài toán với tình huống thực tế được chặt chẽ hơn. Bên cạnh đó, tình huống này còn là điều kiện cho học sinh thấy được các bước trong một quy trình mô hình hóa tình huống thực tế vào toán học. Nhiệm vụ của học sinh ở thời điểm này là kiểm tra về khả năng áp dụng của công thức mà các em tìm được ở hai câu trước đó. Với t không là bội của T, tỷ số k= t nhận được trong trường hợp này không là một số nguyên ( k ∉ Z ), và do đó, số T 64 lượng tế bào nhận được trong quần thể sau một khoảng thời gian t là N = 1.2k cũng không là một số nguyên. Điều này dẫn đến sự vô lý trong quá trình lập luận đi tìm lời giải của các em. Vấn đề đặt ra cho học sinh là cần có sự liên hệ giữa công thức đã xây dựng được với kiến thức của bộ môn sinh học giúp củng cố phương pháp tính toán nhằm giúp giải quyết được triệt để các tình huống t được cho bất kỳ. Sự tiến triển kiến thức giúp bổ sung cho công thức toán học trong trường hợp này là khái niệm phần nguyên. Cách mô tả về việc chọn một thời gian t’ thích hợp thỏa: t ' ≤ t , t ' ∈ Z , (với lựa chọn t’ là giá trị gần với t nhất), t’ là một bội của T để thay cho thời gian t mà đề bài yêu cầu tính toán, cho học sinh liên hệ đến khái niệm phần nguyên được huy động để bổ sung thêm cho công thức tìm N. Khi đó, số lượng tế bào được tính bằng công thức: N = 1.2T , với điều kiện của t’ được đưa ra như trên. t' Chúng tôi lựa chọn số liệu t lần lượt là 35 phút và 119,5 phút để phục vụ cho mục đích mình đặt ra như sau: t = 35 phút, t là số nguyên nhưng không là bội của T = 20 (phút), t = 119,5 phút, t không là số nguyên và do đó cũng không là bội của T. Với công thức đã được đưa ra ở câu a, b; N được tính: N = 1.2T lúc này nhận được kết t quả không là một số nguyên dẫn đến điều vô lý với số lượng tế bào thu được. Kết hợp với kiến thức ở bộ sinh học, học sinh cần lựa chọn các mốc thời gian phù hợp là 20 phút (hoặc 40 phút) đối với t = 35 phút và 100 phút (hoặc 120 phút) đối với t = 119,5 phút. Từ những lập luận đưa ra, học sinh sử dụng thêm khái niệm phần nguyên của một số để củng cố thêm cho công thức tính của mình. Nói cách khác, N lúc này được tính bằng công thức: N = 1.2 t  T    t t với   là phần nguyên thu được của tỷ số . T T  Kết thúc pha 3, kiến thức toán học được học sinh huy động tiến thêm một bước trong sự kết hợp giữa khái niệm hàm số mũ và khái niệm phần nguyên của một số để giải quyết được triệt để cho tình huống được đặt ra. Pha 4: Học sinh thảo luận câu hỏi 1d. 65 Mục đích chúng tôi đưa ra câu hỏi này là tạo điều kiện cho học sinh sử dụng kiến thức về giải phương trình mũ và phương trình logarit để tìm thời gian phân đôi t của tế bào bằng cách sử dụng công thức N = 1.2T kết hợp với số lượng vi khuẩn thu t được lúc sau của bài toán đưa ra. Với N = 2345 : Chúng tôi lựa chọn số liệu ở dạng mũ có cơ số là 2, bằng với cơ số mà công thức ở câu a xây dựng được, đưa bài toán trở về giải phương trình mũ 2 T = 2345 . t Với N = 3210 : Số liệu đưa ra ở dạng mũ nhưng không đưa được về dạng 2r ( r ∈ Q ) , bài toán về giải phương trình mũ 2 T = 3210 . t Ở cách đặt câu hỏi tìm thời gian t, chúng tôi tạo điều kiện cho học sinh vận dụng công thức mình đã xây dựng được để giải quyết vấn đề được đặt ra, từ đây học sinh thấy được sự cần thiết trong việc thiết lập một mô hình toán học để giải quyết cho tình huống thực tế. Bên cạnh đó, kiến thức được học sinh vận dụng trong câu hỏi này là sự kết hợp giữa khái niệm mũ cùng kiểu nhiệm vụ có liên quan đến khái niệm này là giải phương trình. Cách lựa chọn số liệu từ việc giải phương trình a f ( x ) = a g ( x ) chuyển sang giải phương trình a f ( x ) = b cho phép chúng tôi thấy được sự tiến triển trong cách vận dụng khái niệm thông qua những kỹ thuật mà học sinh thao tác. Nếu phương trình a f ( x ) = a g ( x ) được giải quyết bằng cách đưa về làm việc với các số mũ (a f ( x) = a g ( x ) ⇔ f ( x) = g ( x) ) thì phương trình a f ( x ) = b không tạo điều kiện cho học sinh có thể giải quyết một cách tương tự. Sự cần thiết vận dụng một chiến lược mới tạo điều kiện cho khái niệm logarit có nhiều khả năng xuất hiện, đúng như chiến lược mà chúng tôi mong đợi. Câu hỏi d cũng tạo điều kiện cho sự xuất hiện của một mô hình toán học cho phép tìm thời gian phân đôi t có liên quan đến khái niệm hàm số logarit. Tuy nhiên ở câu hỏi này, chúng tôi chỉ dừng lại ở việc học sinh vận dụng kỹ thuật giải phương trình mũ a f ( x ) = b để giúp giải quyết triệt để cho câu hỏi tìm thời gian phân đôi của tế bào vi khuẩn. 66 Kết thúc pha 4, kiến thức của học sinh hình thành thêm một bước chính là việc vận dụng công thức toán học đã xây dựng được kết hợp với giải phương trình mũ tìm thời gian t. Bên cạnh đó, học sinh nhận thấy được sự cần thiết trong việc xuất hiện khái niệm logarit trong quá trình tìm lời giải cho bài toán. Hoạt động 2: Mục đích: - Luyện tập cho học sinh xây dựng mô hình toán học dựa trên tình huống thực tế của vật lý. - Làm rõ vai trò công cụ thứ hai mà chúng tôi muốn đề cập: Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi. Pha 5: Giáo viên tổ chức cho học sinh làm việc với bài tập 2a và 2b. a) Khối lượng chất phóng xạ thu được lúc sau lần lượt được cho bằng 1 1 1 1 1 so với khối lượng ban đầu. Chúng tôi đưa ra những số liệu giảm đi , , , , 21 22 23 24 25 một nửa liên tiếp nhằm tạo điều kiện cho chiến lược STyLe xuất hiện. Thông qua đó, học sinh có cơ hội hình thành nên quy luật hàm số mũ mà chúng tôi muốn đề cập trong bài toán. Mối liên hệ giữa khối lượng lúc đầu và khối lượng lúc sau của chất phóng xạ 1 thông qua thời gian phân rã t được cho bằng công thức: m = m0 .   , trong đó k là tỷ 2 k số giữa thời gian phân rã t và chu kỳ bán rã T, k = t ứng với hàm số mũ được thiết T  1 T lập như sau: f (t ) = m0   (trong đó T và m0 là các hằng số cho trước với f(t) là khối 2 t lượng chất phóng xạ thu được sau thời gian phân rã t. Bên cạnh đó, qua cách hỏi tìm thời gian t, chúng tôi tạo điều kiện cho một mô hình mới được xuất hiện – mô hình cho phép tính trực tiếp thời gian t mà không cần thông qua hàm số mũ đã đề cập bên trên, cụ thể như sau: m m m t  1 T  1 T ⇔ = log 1   ⇔ t= T .log 1   m= m0 .   ⇔   = m0 T 2 2 2  m0  2  m0  t t 67 Khi đó, một hàm số được thiết lập cho phép tính thời gian phân rã t của chất  x   , trong đó T và m0 là hằng số cho trước, với h(x) 2  m0  phóng xạ như sau: h( x) = T .log 1  là hàm số cho phép tính thời gian phân rã phụ thuộc biến số x là khối lượng chất phóng xạ thu được lúc sau. Kết thúc câu a, kiến thức học sinh liên hệ được để giải quyết cho tình huống vật lý đặt ra bao gồm: -  1 T Khái niệm hàm số mũ: f (t ) = m0   2 - Khái niệm hàm số logarit: h( x) = T .log 1  - Mối liên hệ giữa khái niệm mũ và logarit: log a b = c ⇔ b = a c (0 < a ≠ 1, b > 0) t  x   2  m0  Khối lượng chất phóng xạ thu được lúc sau là 2 (gam). Khi đó, ta nhận b) m 1 1 1 = = ≠   ( k ∈ Z , k > 0 ) . Điều này có nghĩa, học sinh không tìm thấy tỷ số m0 120 60  2  k 1 1 được số nguyên k sao cho   = khác với các số liệu được cho ở bài tập a với tỷ 60 2 k số k = t là một số nguyên dương. Từ đây, chúng tôi tạo tình huống cho học sinh thao T t 1 tác với điều kiện của k trong công thức m = m0 .   , k = . Trong trường hợp k không T 2 k là số nguyên dương, học sinh có điều kiện xử lý tình huống được đưa ra dựa vào mối liên hệ giữa bộ môn vật lý và toán học, cụ thể như sau: - Chất phóng xạ phân rã liên tục theo thời gian. - Hàm số mũ và hàm số logarit là những hàm số liên tục trên tập xác định của nó. Kết thúc câu b, kiến thức học sinh vận dụng ở thời điểm này là tính liên tục của hàm số mũ và hàm số logarit. 68 Ở pha 6 và 7, chúng tôi đề cập đến vai trò công cụ thứ hai của khái niệm logarit được nói đến trong luận văn của mình, đó là Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi. Pha 6: Học sinh thảo luận và giải quyết bài tập 2c Học sinh vận dụng công thức đã xây dựng được ở câu a và b để áp dụng tính khối lượng chất phóng xạ thu được. Tuy nhiên, số liệu mà chúng tôi lựa chọn để tính toán vượt khỏi khả năng giải quyết của máy tính bỏ túi. Học sinh không thể tìm được lời giải cụ thể cho bài toán nếu chỉ dùng kỹ thuật đã áp dụng ở câu a và b. Việc này tạo điều kiện cho các em tìm ra một cách tính khác tối ưu hơn thoát ly khỏi sự lệ thuộc vào máy tính bỏ túi. Pha 7: Học sinh trả lời cho bài tập 3a và 3b a) Bài tập này được đặt ra không dựa trên mô hình toán học mà học sinh xây dựng được ở phần trước đó. Chúng tôi đưa ra câu hỏi này nhằm kiểm chứng kỹ thuật tính toán mà học sinh hình thành được qua việc sử dụng các khái niệm về lũy thừa và logarit. Chúng tôi lựa chọn các số liệu là những con số rất lớn mà máy tính bỏ túi không giải quyết được. Từ đó, chúng tôi mong muốn học sinh vận dụng những kỹ thuật liên quan đến các tính chất của lũy thừa, logarit để cho ra được đáp án cho bài toán một cách triệt để nhất. b) Trong trường hợp các kỹ thuật biến đổi của lũy thừa không còn được áp dụng một cách rộng rãi, chúng tôi mong muốn cho học sinh nhận thấy được phương án giải quyết bằng chiến lược logarit hóa là chiến lược tối ưu để từ đó khẳng định tầm quan trọng của khái niệm này. 3.5. Phân tích hậu nghiệm Thực nghiệm được chúng tôi triển khai tại lớp 12A1 (45 học sinh) trường THPT Trưng Vương, thời gian vào cuối tháng 8. Các số liệu chúng tôi thu thập được từ 9 nhóm bao gồm hình chụp từ kết quả thảo luận của các nhóm, phiếu làm bài, giấy nháp và file ghi âm. Buổi thứ 1: Pha 1: Làm việc với câu hỏi 1a. 69 Các nhóm hầu hết sử dụng chiến lược STyLe để tìm câu trả lời cho tình huống đặt ra. Học sinh đa phần vận dụng được sơ đồ phân tích để làm rõ cho từng trường hợp cụ thể tương ứng với các khoảng thời gian 20, 40, 60, 80, 100, 120 phút được cho trong bảng. Bên cạnh đó, các em chỉ ra được số lần phân bào căn cứ vào tỷ số giữa khoảng thời gian t đề bài yêu cầu và thời gian thế hệ, góp phần hình thành cho chiến lược SHamMu có điều kiện được xuất hiện, từ đó chứng minh cho lập luận của các nhóm rằng số lượng tế bào thu được trong khoảng thời gian t tuân theo quy luật hàm số mũ. Sau đây là một số kết quả tiêu biểu: Ngoài ra, một số ít các nhóm còn đưa ra nhận xét về số lượng tế bào thu được sau một khoảng thời gian t tuân theo quy luật là một cấp số nhân với số hạng đầu là 1, công bội q = 2. 70 Sau đây là đoạn đối thoại giữa GV và HS của các nhóm: GV: Em có nhận xét gì về các khoảng thời gian t được cho trong bảng? HS1: Dạ, các thời gian đó gấp thời gian thế hệ một số lần nào đó. GV: Các thời gian t được cho như vậy gấp thời gian thế hệ là một số lần nguyên hay không nguyên? Hay nói cách khác, thời gian t được cho có tỷ lệ với thời gian thế hệ hay không? HS2: Dạ, nguyên. Dạ, có! GV: Em hãy phát biểu cụ thể đối với trường hợp t = 120 phút: HS3: Cứ sau 20 phút, số tế bào trong quần thể nhân đôi một lần. Vậy thì sau 120 phút, ta lấy 120 : 20 = 6, ta được 6 lần nhân đôi. GV: Cám ơn em.  Sự lựa chọn các khoảng thời gian t tỷ lệ liên tiếp với thời gian thế hệ cho phép chúng tôi từng bước giúp học sinh hình thành mối quan hệ giữa thời gian phân đôi của tế bào với số lượng tế bào thu được trong quần thể. Học sinh đã thiết lập sơ đồ trực quan về sự tăng lên của các tế bào trong quần thể để tìm câu trả lời cho bài toán. Bên cạnh đó, sơ đồ phân tích mà học sinh thiết lập được còn cho phép các em lý giải được về công thức tổng quát để tính số tế bào trong quần thể thu được sau một khoảng thời gian t. Như dự đoán của chúng tôi, các em đã dựa vào tỷ số giữa thời gian phân đôi t và thời gian thế hệ để suy ra được số lần phân bào trong quần thể. Một kết quả khác được học sinh trình bày dựa trên kiến thức được huy động là khái niệm cấp số nhân phần nào cho thấy được học sinh đã phát hiện được quy luật về sự tăng lên của tế bào trong quần thể. 71 Pha 2: Làm việc với câu hỏi 1b Tất cả các nhóm đều lựa chọn chiến lược SHamMu làm phương án trả lời của mình. Việc giải quyết các trường hợp số liệu được cho ở câu 1a tạo tiền đề cho sự hình thành một quy tắc tính toán trong trường hợp thời gian t được cho tỷ lệ với thời gian thế hệ của tế bào. Dựa vào tỷ lệ giữa thời gian phân đôi t và thời gian thế hệ, học sinh đã chỉ ra được số lần phân bào của quần thể. Sau đây là đoạn phỏng vấn của GV dành cho HS của các nhóm: GV: Số liệu trong trường hợp câu 1b là 5 ngày, em có nhận xét gì về đơn vị đã cho? HS1: Đơn vị được cho là ngày không cùng đơn vị với thời gian thế hệ. GV: Em sẽ giải quyết thế nào trong tình huống này? HS1: Dạ thưa thầy, vì một chu kỳ nhân đôi của quần thể là 20 phút, vì vậy muốn tính số tế bào trong quần thể ta phải đổi 5 ngày thành 7200 phút để tìm số lần nhân đôi của tế bào. GV: Kết quả chúng ta tìm được ở câu hỏi này là 2360, em hãy cho thầy biết, kết quả này em có chấp nhận hay không? HS2: Dạ chấp nhận, vì kết quả nhận được là con số quá lớn.  Tình huống đặt ra ở câu 1b giúp chúng tôi tạo điều kiện cho học sinh kiểm chứng lại tính đúng đắn của quy luật mà các em đã phát hiện trong quá trình thao tác câu 1a. Thời gian t = 5 ngày được cho tỷ lệ với thời gian thế hệ của vi 72 khuẩn. Tuy nhiên, sự chênh lệch quá lớn giữa thời gian t và thời gian thế hệ gây khó khăn cho học sinh trong việc lập sơ đồ phân tích như ở chiến lược STyLe mà các em đã triển khai trước đó. Lập luận này cho thấy chiến lược SHamMu chiếm ưu thế hơn cả. Nói cách khác, từ một số tình huống được tạo ra ban đầu, các em từng bước hình thành được mô hình toán học liên quan đến khái niệm hàm số mũ. Pha 3: Làm việc với câu hỏi 1c Các nhóm lập luận và chỉ ra được số tế bào nhận được sau khoảng thời gian t đã cho trong trường hợp t không là bội của thời gian thế hệ. Khi giáo viên mời các nhóm trình bày các kết quả, chúng tôi nhận được một số ý kiến như sau: Kết quả 1: Kết quả 2: Kết quả 3: 73 Sau đây là đoạn đối thoại giữa giáo viên và học sinh nhằm làm rõ cho câu trả lời trên: GV: Em hãy giải thích trong trường hợp t = 30, tại sao e lại nghĩ rằng số tế bào trong quần thể phân đôi 1 lần? HS1: Dạ thưa thầy, vì thời gian thế hệ là 20 phút, nên ở mốc thời gian 20 phút tế bào phân đôi lần 1, cần 40 phút để tế bào phân đôi lần 2. Vì thế, với thời gian 30 phút thì vẫn tính ở lần phân đôi thứ 1. GV: Cám ơn e. Vậy, trong trường hợp t = 119,5 phút, em sẽ chọn mốc thời gian là 100 phút để tính hay 120 phút? HS2: Dạ 100 phút GV: Số tế bào nhận được lúc này ở thời gian t = 119,5 phút và 100 phút như thế nào với nhau? HS2: Dạ, bằng nhau. Để đảm bảo tính xác đáng cho lập luận của các em, chúng tôi đặt ra câu hỏi phụ trong quá trình làm việc tập thể lớp như sau: GV: Các em hãy đề xuất một quy luật cho phép giải quyết trường hợp thời gian t được cho là một số tùy ý? Em hãy trình bày quy luật em tìm thấy lên bảng. Nhóm thứ 1: 74 Nhóm thứ 2:  Bài làm cụ thể dựa trên sự áp dụng công thức đã triển khai:  Với thời gian t được cho không tỷ lệ với thời gian thế hệ, chúng tôi nhận thấy học sinh có sự liên hệ giữa kiến thức của môn Sinh học trong thông tin được thông báo ở phần đầu thực nghiệm và kiến thức của Toán học. Các kết quả học sinh trình bày có phần khác nhau về hình thức, tuy nhiên các em đã vận dụng được khái niệm hàm số mũ kết hợp với kiến thức về phần nguyên của một số để tìm câu trả lời cho bài toán. 75 Pha 4: Làm việc với câu hỏi 1d Với số liệu được cho là 2345 , các nhóm vận dụng kết quả đã tìm được ở các câu hỏi trước để áp dụng tính toán. Sự lập luận dựa trên chiến lược SPhuongTrinhMu xuất hiện ở các nhóm dưới nhiều hình thức khác nhau. Một số kết quả thu thập được bao gồm: - Sự lập luận dựa trên số lần phân đôi của các tế bào trong quần thể - Giải phương trình mũ - Ngoài ra, chúng tôi chú ý đến một kết quả học sinh biến đổi từ công thức có được ở câu hỏi 1c liên quan đến khái niệm phần nguyên như sau: Sau đây là đoạn đối thoại giữa GV và học sinh: GV: Em có nhận xét gì về phương trình mũ mà nhóm em đã giải? HS: Dạ, chúng có cùng cơ số là 2.  Các kết quả cho chúng tôi thấy được khả năng vận dụng kỹ thuật giải phương trình mũ a f ( x ) = a g ( x ) của học sinh. Đặc biệt, lời giải thứ 3 tuy chưa đạt được sự chính xác hoàn toàn nhưng sự chuyển đổi từ hàm số mũ sang hàm số logarit để tính thời gian t giúp chúng tôi xác định được khả năng nắm bắt và vận dụng nghĩa của khái niệm logarit trong tính toán của học sinh. Mặc dù mang tính tổng quát hơn nhưng việc sử dụng khái niệm logarit trong trường hợp này vẫn chưa được học sinh ưu tiên lựa chọn, kỹ thuật giải phương trình mũ cùng cơ số vẫn chiếm ưu thế. 76 Với số liệu được cho là 3210, như chúng tôi dự đoán, chiến lược SPhuongTrinhMu hoàn toàn vắng bóng. Các nhóm đa phần đưa ra được chiến lược SLog. Ở chiến lược này, chúng tôi quan sát và thu thập được một số câu trả lời tiêu biểu như sau: - Dựa trên số lần phân bào trong quần thể - Dựa vào công thức được chỉ ra có liên quan đến khái niệm phần nguyên Đoạn đối thoại giữa giáo viên và học sinh: GV: Ở trường hợp 3210, phương trình mũ mà chúng ta phải giải quyết có đặc điểm gì? HS: Dạ, chúng không cùng cơ số.  Với số liệu được đưa ra lúc sau là 3210 , học sinh đã có sự liên hệ giữa kỹ thuật giải phương trình mũ af(x )= b và khái niệm logarit, các kết quả nhận được đều có sự xuất hiện của khái niệm này. Kết thúc pha 4, chúng tôi trình bày cho học sinh thấy được một nghĩa của khái niệm logarit: Giải phương trình mũ af(x )= b. Bảng thống kê câu trả lời của học sinh: 77 Chiến lược STyLe SHamMu SPhuongTrinhMu SLog 1a 9/9 nhóm 0/9 nhóm - - 1b 0/9 nhóm 8/9 nhóm - - 1c 7/9 nhóm 2/9 nhóm - - 1d (N = 2345) - - 7/9 nhóm 2/9 nhóm (N = 3210) - - 0/9 nhóm 7/9 nhóm Câu Nhận xét rút ra từ kết quả thực nghiệm bài tập 1: - Ở câu 1a, qua việc thao tác với các số liệu cụ thể được đặt ra, hầu hết học sinh sử dụng chiến lược STyLe để giải quyết bài toán. Một số ít câu trả lời có sự liên hệ với kiến thức toán học để chỉ ra quy luật chung giúp giải quyết cho tình huống. Tuy nhiên việc này chỉ dừng lại ở mức độ lý giải cho kết quả mà các em đưa ra, sự đề cập đến mô hình toán học chung giúp giải quyết cho bài toán vẫn chưa được chú trọng. - Ở câu 1b, có 8/9 nhóm sử dụng được mối liên hệ giữa thời gian thế hệ T và thời gian phân rã t, điều này cho chúng tôi nhận thấy được sự vận dụng kiến thức toán học cụ thể ở khái niệm mũ của học sinh trong việc giải quyết tình huống đặt ra. - Ở câu 1c, học sinh đã có sự liên kết giữa kiến thức toán học với sinh học. Mặc dù chiến lược SHamMu xuất hiện không nhiều nhưng qua đó, chúng tôi thấy được sự vận dụng kiến thức ở những bộ môn khác nhau mà học sinh có được cùng nhau hỗ trợ giải quyết một vấn đề thực tế đặt ra. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng nhận thấy rằng kỹ năng mô hình hóa các tình huống thực tế vào toán học chưa được hình thành một cách đầy đủ ở học sinh. - Ở câu 1d, học sinh đã có sự so sánh giữa các chiến lược và qua đó, chúng tôi đã trình bày rõ đến học sinh vai trò công cụ thứ nhất của khái niệm logarit. Buổi thứ 2: Pha 5: Làm việc với câu hỏi 2a, 2b 78 Câu hỏi 2a và 2b củng cố cho học sinh các thao tác trong quá trình xây dựng một mô hình toán học dựa trên tình huống thực tế. Ở câu 2a, chúng tôi nhận được câu trả lời đa dạng rơi vào các chiến lược STyLe, SHamMu, SHamLog. Một số kết quả nhận được như sau:  STyLe : Sử dụng sơ đồ phân tích để lập luận tìm ra kết quả.  SHamMu : Dùng sơ đồ phân tích làm cơ sở thiết lập một hàm số mũ để tính toán. - Thiết lập một quy luật dựa trên những lập luận. 79  SHamLog : Đưa ra một hàm số logarit cho phép tính trực tiếp khối lượng thu được sau khoảng thời gian t. Sau đây là đoạn đối thoại giữa giáo viên và học sinh: GV: Em có nhận xét gì về khối lượng chất phóng xạ được cho trong bài? HS: Dạ, khối lượng chất phóng xạ giảm đi một nửa. GV: Thời gian mình nhận được như vậy sẽ như thế nào so với chu kỳ bán rã? HS: Dạ, thời gian tăng lên theo cấp số cộng với công sai d = 3,8  Từ sơ đồ phân tích mối liên hệ giữa thời gian phân rã và khối lượng chất phóng xạ, học sinh hình thành quy tắc tính thời gian phân rã dựa trên khái niệm hàm số mũ. Đáng chú ý hơn, các em đã có sự chuyển đổi từ khái niệm mũ sang logarit để tính trực tiếp thời gian phân rã của chất phóng xạ. Thoát ly ra khỏi những trường hợp cụ thể, các chiến lược STyLe, SPhuongTrinhMu được thay thế bằng SHamMu và SHamLog. Chúng tôi nhận thấy, học sinh đã từng bước nhận thấy tầm quan trọng trong việc thiết lập một mô hình toán học trong quá trình xử lý các tình huống thực tế. 80  Bên cạnh những lời giải đáp ứng được mong muốn của tình huống đặt ra, chúng tôi nhận được lời giải chưa chính xác như sau: Học sinh gặp khó khăn trong việc thiết lập mối quan hệ giữa thời gian phân rã và khối lượng chất phóng xạ thu được. Từ điều này, chúng tôi nhận thấy sự ảnh hưởng mạnh mẽ của thể chế dạy học trung học phổ thông ở môn toán lên học sinh. Học sinh đã quen với việc xử lý các bài tập toán học thuần túy nên việc chuyển từ tình huống thực tế sang ngôn ngữ toán học đã ít nhiêu tạo nên sai lầm cho các em khi vận dụng các kiến thức mà mình có được. Đối với câu hỏi 2b, tất cả các nhóm đều lập luận và tính được thời gian phân rã của chất phóng xạ, các lập luận chúng tôi thu thập được chủ yếu dựa trên hai chiến lược tiêu biểu - Sự kết hợp giữa SHamMu và SPhuongTrinhMu. Học sinh ứng xử khá tốt khi gặp dạng phương trình af(x) = b. Điều này cho phép chúng tôi tạo điều kiện giúp học sinh làm rõ thêm về nghĩa thứ nhất của khái niệm logarit: Giải phương trình mũ af(x) = b mà chúng tôi muốn huy động trong phần thực nghiệm của mình. - Thế số giải trực tiếp bằng chiến lược SHamLog 81 Chiến lược SHamLog mà chúng tôi mong đợi được khoảng 50% số nhóm thể hiện cho phần bài làm của mình. Kết quả này làm cho học sinh thấy rõ được tính ưu việt của khái niệm logarit trong việc tiết kiệm thời gian và công sức cho tính toán. Sau đây là đoạn đối thoại giữa giáo viên và học sinh: GV: Số liệu đề bài đã cho giúp em giải quyết được gì cho bài toán của mình? HS: Chúng ta tính được số lần bán rã của chất phóng xạ? GV: Số lần bán rã thường được lấy là một số nguyên, vậy sao chúng ta lại lấy số lần bán rã trong trường hợp này là 5,9? HS: Dạ, vì quá trình bán rã diễn ra với số lần không cần phải là một số nguyên giống như trường hợp vi khuẩn E.coli, và chúng ta nhận được khối lượng còn lại lúc sau là 2g ứng với số lần bán rã là 5,9 lần.  Việc xây dựng hàm số mũ hoặc hàm số logarit và dựa trên những hàm số này tính toán cho thấy học sinh dần thấy được được nhu cầu đưa của mô hình toán học trung gian phục vụ cho việc giải quyết các tình huống thực tế. Ở câu 2b, kiến thức học sinh huy động được là cách xây dựng một hàm số mũ (hoặc một hàm số logarit) và tính chất liên quan đến hai hàm số này là tính liên tục. Pha 6: Làm việc với câu hỏi 2c Tất cả học sinh đều vận dụng được mô hình toán học đã xây dựng để thế các giá trị vào tính toán tìm khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 4,3 năm. Tuy nhiên, như chúng tôi dự đoán, một số nhóm chỉ dừng lại ở việc thế số vào công thức, kết quả các em nhận được chỉ dừng lại ở dạng lũy thừa của các số. 82 Bên cạnh đó, có 2 trên 9 nhóm đã áp dụng logarit và cho ra kết quả cụ thể. Cuộc đối thoại giữa giáo viên và học sinh: GV: Em có nhận xét gì về các số liệu mà đề bài đã cho? HS: Dạ thưa thầy, các số đã cho rất lớn, máy tính bỏ túi không thể tính được.  Với cách lựa chọn số liệu vượt khỏi khả năng tính toán của máy tính bỏ túi, chúng tôi có cơ hội kiểm chứng được cách học sinh nắm bắt vấn đề và vận dụng những kiến thức đã học để xử lý. Như chúng tôi mong đợi, học sinh đã áp dụng được một số kỹ thuật biến đổi có liên quan đến logarit để giải quyết bài toán, mặc dù chiến lược này được không nhiều các nhóm sử dụng đến. Bên cạnh đó, sự so sánh các kết quả giữa các nhóm, cụ thể ở chiến lược áp dụng khái niệm logarit và những chiến lược tính toán thông thường từng bước giúp học sinh nhận thấy được những ưu thế mà logarit mang lại, mục đích thực nghiệm của chúng tôi dần được làm rõ. Bảng thống kê câu trả lời của học sinh: Chiến lược STyLe SPhuongTrinhMu SLog Kết quả khác 2a 9/9 nhóm 0/9 nhóm 0/9 nhóm 0/9 nhóm 2b 0/9 nhóm 0/9 nhóm 9/9 nhóm 0/9 nhóm 2c - - 6/9 nhóm 3/9 nhóm Câu Một số nhận xét rút ra từ bài tập 2: 83 - Câu 2a, 2b được xây dựng nhằm củng cố cho kỹ năng mô hình hóa tình huống thực tế vào toán học cho học sinh. Với kinh nghiệm có được từ bài tập 1, hai câu hỏi này được học sinh thao tác đúng như chúng tôi mong đợi. - Ở câu 2c, học sinh gặp trở ngại qua việc sử dụng logarit làm công cụ hỗ trợ tính toán. Điều này cho thấy, vai trò công cụ thứ hai của khái niệm logarit mà chúng tôi nêu ra chưa được học sinh chú trọng áp dụng cho các kỹ thuật tính toán của mình. Pha 7: Làm việc với câu hỏi 3a và 3b Ở câu 3a, chúng tôi lựa chọn số liệu là những số rất lớn, máy tính bỏ túi không thể cho kết quả ngay khi tính tỷ số khối lượng của hai chất phóng xạ. Tuy nhiên, với sự lựa chọn những con số nói trên, HS vẫn có thể chọn một trong hai chiến lược để tính toán là SBienĐoiMu và SLog. Với mục đích thiết lập tình huống nhằm tạo điều kiện cho học sinh lựa chọn các phương án giải quyết, chúng tôi muốn kiểm chứng về mức độ ưu tiên của HS đối với từng chiến lược. Kết quả nhận được như sau: - Có 8 trên 9 nhóm lựa chọn chiến lược SBienĐoiMu để giải quyết cho câu hỏi đặt ra, kết quả cụ thể đối với chiến lược này như sau: - Chỉ có 1 nhóm chọn chiến lược SLog để giải quyết cho bài toán. 84  Dù chiến lược SLog mang tính tổng quát hơn, cho phạm vi giải quyết trong nhiều trường hợp hơn, song, chiến lược này không được học sinh chú trọng và thể hiện trong bài làm của mình. Đối với câu 3b, chúng tôi lựa chọn số liệu với mục đích khống chế khả năng xuất hiện của SBienĐoiMu. Từ đây, chúng tôi tạo điều kiện cho học sinh thấy được phạm vi áp dụng rộng rãi của chiến lược SLog cùng nghĩa thứ hai của khái niệm logarit mà chúng tôi huy động cho phần thực nghiệm của mình. Như dự đoán, hầu hết các em đều sử dụng chiến lược SLog để giải quyết trong tính toán. Các kết quả thu được cụ thể như sau: - Lấy logarit cơ số 2 để chuyển từ phép chia sang phép trừ.  Lời giải 1:  Lời giải 2 85 - Sử dụng công thức chuyển đổi giữa mũ và logarit để đưa về 2 lũy thừa cùng cơ số và tính toán với các số mũ. Như chúng tôi dự đoán chiến lược SBienĐoiMu hoàn toàn không được học sinh lựa chọn làm hướng giải quyết của mình, các nhóm chỉ sử dụng một chiến lược duy nhất là SLog. Mặc dù lời giải đa dạng nhưng kết quả mà các nhóm thể hiện được đều có sự có mặt của khái niệm logarit.  Từ tình huống được thiết lập ở câu 3a và 3b, chúng tôi trình bày cho học sinh thấy được tính tổng quát trong việc vận dụng khái niệm logarit trong hỗ trợ tính toán. Chiến lược SBienĐoiMu tuy gần gũi với những kỹ thuật biến đổi của học sinh nhưng trong một số trường hợp, chiến lược này đã không còn khả năng vận dụng. Từ đó, chúng tôi cho học sinh thấy được nghĩa thứ hai của khái niệm logarit mà mình muốn truyền tải đến học sinh trong nghiên cứu của luận văn là Tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi. Bảng thống kê câu trả lời của học sinh: Chiến lược SBienĐoiLuyThua SLog Kết quả khác 3a 8/9 nhóm 1/9 nhóm 0/9 nhóm 3b 0/9 nhóm 8/9 nhóm 1/9 nhóm Câu 86 Một số kết quả rút ra được từ bài tập 3: - Ở câu 3a, số liệu được lựa chọn cho phép học sinh lựa chọn cả hai chiến lược cho phần trả lời của mình. Tuy nhiên, chiến lược SBienĐoiLuyThua chiếm ưu thế, chiến lược SLog không được học sinh ưu tiên lựa chọn mặc dù chiến lược này thể hiện tính tổng quát hơn. Kết quả này cho thấy vai trò công cụ của khái niệm logarit trong việc giải quyết tính toán chưa tạo ấn tượng mạnh mẽ khi được truyền tải đến học sinh. - Đối với câu 3b, khi các số liệu được lựa chọn ngăn cản chiến lược SBienĐoiLuyThua xuất hiện, học sinh đã hoàn thành triệt để tình huống đặt ra bằng việc vận dụng khái niệm logarit thể hiện qua chiến lược SLog. Cách lựa chọn số liệu như trên giúp chúng tôi nhận ra được sự tồn tại các kỹ thuật liên quan đến khái niệm lgoarit ở học sinh. Qua việc thao tác với khái niệm logarit, chúng tôi đã làm rõ cho học sinh thấy được vai trò công cụ thứ hai của khái niệm logarit khi khái niệm này đóng vai trò là một công cụ hỗ trợ tính toán với những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi. Qua phần thực nghiệm ở chương 3, chúng tôi đạt được một số kết quả như sau: - Thông qua tình huống đã xây dựng trong đó có sự kết hợp giữa Toán – Sinh học và Toán – Vật lý, chúng tôi đã cho học sinh từng bước thực hiện 4 bước của quá trình mô hình hóa các tình huống thực tế vào toán học. - Học sinh đã vận dụng được kiến thức toán học mà mình có được kết hợp với khái niệm mà các em được củng cố ở môn vật lý và sinh học. - Với mô hình xây dựng được, chúng tôi đã lồng ghép các câu hỏi qua đó, khái niệm logarit đã được giới thiệu tường minh đến đối tượng học sinh thông qua hai vai trò công cụ của nó là giải phương trình mũ và tính toán những số liệu vượt khỏi khả năng hỗ trợ của máy tính bỏ túi. - Hầu hết học sinh tham gia bài học đều vận dụng được những kiến thức và giải quyết đúng như mong muốn của thực nghiệm mà chúng tôi đưa ra. Một số ít thành viên của nhóm chưa quen với cách vận dụng toán học để xử lý các tình huống trong thực tế. Tuy nhiên, với biến tình huống được lựa 87 chọn là làm việc theo nhóm và làm việc tập thể lớp, chúng tôi đã tạo điều kiện cho các thành viên trong nhóm có cơ hội tương tác lẫn nhau nhằm mục đích cho các em tự nhận ra những thiếu sót qua đó hình thành nên kinh nghiệm giải quyết vấn đề của bản thân. Chúng tôi đã thấy được một số khó khăn của học sinh trong quá trình mô hình hóa các tình huống thực tế vào toán học. Tuy nhiên, chúng tôi đã tạo môi trường làm việc giúp các em tiếp thu ý kiến lẫn nhau để từng bước sữa chữa những sai lầm mắc phải, vì thế, kết quả nhận được của thực nghiệm là những kết quả tối ưu, đúng như mong đợi của chúng tôi. 88 KẾT LUẬN Trong chương 1, chúng tôi tìm hiểu một số nội dung về dạy học mô hình hóa cùng những khái niệm có liên quan để định hướng cho nghiên cứu của luận văn. Dựa trên những lợi ích của việc kết hợp giữa toán học và một số môn khoa học khác, chúng tôi thấy được sự cần thiết của việc dạy học mô hình hóa các tình huống thực tế vào toán học. Phương thức này chẳng những giúp học sinh củng cố các kiến thức đã học mà còn tạo điều kiện cho các em có sự liên kết và vận dụng các lý thuyết giữa các môn học với nhau, hỗ trợ cùng nhau giải quyết các vấn đề trong thực tế. Ở chương 2, chúng tôi thực hiện nghiên cứu các bài học được giảng dạy ở trường phổ phổ thông của một số môn học khác để tìm khả năng xuất hiện của khái niệm logarit. Với những thông tin thu thập được, chúng tôi nhận thấy sự liên kết giữa toán học và các môn khoa học khác chưa được quan tâm khai thác. Điều này dẫn đến những khái niệm toán vốn được hình thành dựa trên cơ sở giải quyết các vấn đề trong thực tế ngày càng trở nên mờ nhạt. Việc giảng dạy môn toán trên phương diện lý thuyết đã chưa cho học sinh thấy được tầm quan trọng của các khái niệm mà các em được học trong bài học của mình. Bên cạnh đó, căn cứ vào việc tổng hợp các tình huống thực tế có liên quan đến khái niệm logarit đã nghiên cứu, chúng tôi xác định hai nghĩa của khái niệm logarit làm trọng tâm cho nghiên cứu của mình. Chúng tôi tiến hành thực nghiệm với mục đích cho học sinh thấy được sự hiện diện của những kiến thức mà các em đã được học thông qua tình huống thực tế, mà cụ thể là khái niệm logarit. Chúng tôi thiết lập hệ thống câu hỏi giúp học sinh huy động những kiến thức toán học kết hợp với các môn học khác cùng nhau giải quyết cho vấn đề được đặt ra. Trong thực nghiệm 1, chúng tôi trình bày cho học sinh nghĩa thứ nhất của khái niệm logarit : “Giải phương trình dạng a f ( x ) = b(0 < a ≠ 1, b > 0) ” qua việc dạy học tích hợp toán học và sinh học. Với những số liệu chúng tôi đưa ra, học sinh từng bước thiết lập được mô hình toán học dựa trên kiến thức của hàm số mũ để chuyển từ vấn đề thực tế sang toán học và vận dụng các khái niệm toán học để giải quyết. Ở phần thực nghiệm này, nghĩa thứ nhất của chúng tôi được truyền tải thành công đến học sinh. 89 Các em đã cho chúng tôi thấy được sự cần thiết trong việc vận dụng khái niệm logarit để giải phương trình mũ trong trường hợp công cụ hỗ trợ là máy tính bỏ túi không giải quyết được. Ở phần thực nghiệm 2, chúng tôi kết hợp giữa toán học và vật lý với hai mục đích. Thứ nhất, chúng tôi củng cố cho học sinh khả năng thiết lập một mô hình toán học để giải quyết vấn đề ở môn vật lý mà chúng tôi đang xét. Tiếp đến, chúng tôi tạo điều kiện cho học sinh thấy rõ nghĩa thứ hai trong nghiên cứu của mình, đó là việc vận dụng khái niệm logarit như một công cụ để hỗ trợ tính toán. Một bộ phận nhỏ học sinh gặp khó khăn trong vấn đề tính toán với những con số rất lớn khi công cụ hỗ trợ là máy tính bỏ không thể giải quyết được. Tuy nhiên, với sự lựa chọn những kỹ thuật biến đổi có liên quan đến khái niệm mũ và logarit, các em đã chỉ ra cho chúng tôi thấy được tầm ảnh hưởng của logarit trong vấn đề giải quyết tính toán. Mang tính tổng quát và thuận lợi, rút ngắn thời gian và công sức tính toán, chúng tôi đã chỉ ra cho học sinh thấy được hai nghĩa cơ bản nhưng quan trọng của khái niệm logarit trong chương trình học của các em. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Lương Duyên Bình và cộng sự (2012), Vật lý 12, Nxb Giáo dục. 2. Lương Duyên Bình và cộng sự (2008), Sách giáo viên vật lý 12, Nxb Giáo dục. 3. Tôn Nữ Khánh Bình (2009), Khái niệm logarit ở trường trung học phổ thông, Khóa luận tốt nghiệp đại học, Trường Đại học sư phạm TP.Hồ Chí Minh. 4. Lê Thị Hoài Châu, Vũ Như Thư Hương (2013), Tích hợp trong dạy học Toán (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên), Kiên Giang. 5. Lê Thị Hoài Châu, Vũ Như Thư Hương (2013), Mô hình hóa với phương pháp tích cực trong dạy học Toán (Tài liệu bồi dưỡng giáo viên), Kiên Giang. 6. Ngô Viết Diễn (2000), Phương pháp chọn lọc giải toán hàm số mũ và logarit, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội. 7. Trần Văn Hạo và cộng sự (2012), Giải tích 12, Nxb Giáo dục. 8. Nguyễn Viết Hiếu (2013), Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán ở bậc trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Trường Đại học sư phạm TP.Hồ Chí Minh. 9. Nguyễn Kim Hồng, Huỳnh Công Minh Hùng (2013), “Dạy học tích hợp trong trường phổ thông Australia”, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp. HCM (42), 7 – 16. 10. Phạm Trần Hoàng Hùng (2008), Khái niệm hàm số Logarit trong trường trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, Trường Đại học sư phạm TP.Hồ Chí Minh. 11. Nguyễn Thế Khôi và cộng sự (2008), Vật lý 12 nâng cao, Nxb Giáo dục. 12. Nguyễn Thế Khôi và cộng sự (2008), Bài tập vật lý 12 nâng cao, Nxb Giáo dục. 13. Nguyễn Thế Khôi và cộng sự (2008), Sách giáo viên vật lý 12 nâng cao, Nxb Giáo dục. 14. Nguyễn Thị Nga (2013), “Nghiên cứu một đồ án dạy học các hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa trong môi trường hình học động”, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp. HCM (phần 1) (45), 5 – 14. 15. Nguyễn Thị Nga (2013), “Nghiên cứu một đồ án dạy học các hàm số tuần hoàn bằng mô hình hóa trong môi trường hình học động”, Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm Tp. HCM (phần 2) (48), 14 – 24. 16. Vũ Quang và cộng sự (2008), Bài tập vật lý 12, Nxb Giáo dục. 17. Đoàn Quỳnh và cộng sự (2010), Giải tích 12 nâng cao, Nxb Giáo dục. 18. Lê Xuân Trọng và cộng sự (2007), Bài tập hóa học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục. 19. Lê Xuân Trọng và cộng sự (2007), Hóa học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục. 20. Lê Xuân Trọng (2007), Sách giáo viên hóa học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục. 21. Phạm Văn Ty và cộng sự (2011), Bài tập sinh học 10, Nxb Giáo dục. 22. Vũ Văn Vụ và cộng sự (2007), Sinh học 10 nâng cao, Nxb Giáo dục. 23. Vũ Văn Vụ và cộng sự (2006), Sách giáo viên sinh học 10 nâng cao, Nxb Giáo dục. PHỤ LỤC PHIẾU THỰC NGHIỆM 1 Tên nhóm: ______________ Hoạt động 1: Thông báo - Thời gian từ khi sinh ra một tế bào cho đến khi số tế bào của quần thể tăng gấp đôi gọi là thời gian thế hệ. - Trong sự phân đôi của tế bào, số lượng vi khuẩn trong quần thể tăng lên gấp đôi sau khi kết thúc thời gian thế hệ. Bài tập 1 Vi khuẩn E.coli sinh sản theo kiểu phân đôi tế bào với thời gian thế hệ 20 phút. Giả sử rằng số lượng vi khuẩn không bị chết trong quá trình phân đôi. Với số lượng tế bào trong quần thể lúc đầu có được là 1 tế bào. Em hãy trả lời cho các câu hỏi sau đây: a) Số lượng tế bào trong quần thể thu được là bao nhiêu sau những khoảng thời gian t tính từ lúc số tế bào có trong quần thể là 1 tế bào? Thời gian t (phút) 20 40 60 80 100 120 Số lượng tế bào thu được Giải thích: ____________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ b) Số tế bào trong quần thể nhận được là bao nhiêu sau 5 ngày tính từ thời điểm 1 tế bào ban đầu? Trả lời: ______________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ c) Số tế bào trong quần thể có được là bao nhiêu sau 30 phút; 119,5 phút tính từ lúc có 1 tế bào trong quần thể? Trả lời: ______________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ d) Cần khoảng thời gian t là bao nhiêu giờ để với 1 tế bào vi khuẩn E.coli ban đầu phân đôi cho số lượng vi khuẩn thu được lúc sau lần lượt là 2345 và 3210 tế bào? Trả lời: ______________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ PHIẾU THỰC NGHIỆM 2 Tên nhóm: ______________ Hoạt động 2: Thông báo - Chu kỳ bán rã T của một lượng chất phóng xạ là khoảng thời gian để lượng chất phóng xạ đó giảm đi một nửa so với ban đầu. - Chất phóng xạ phân rã liên tục theo thời gian. Bài tập 2 Chất phóng xạ Radon 222 86 Rn có chu kỳ bán rã 3,8 ngày. Biết khối lượng mẩu phóng xạ ban đầu là 120 (gam). a) Tìm thời gian phân rã t của 222 86 Rn , biết khối lượng mẩu phóng xạ thu được lúc sau lần lượt được cho trong bảng: Khối lượng Rn thu được (gam) 60 30 15 7,5 3,75 Thời gian t (ngày) Giải thích: ____________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ b) Cần bao nhiêu ngày để từ 120 (gam) Rn ban đầu phân rã còn 2 (gam)? Trả lời: ______________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ c) Sau 4,3 năm phân rã thì với 13110 (gam) Rn ban đầu, chúng ta sẽ thu được số Rn còn lại là bao nhiêu gam? Giả sử 1 năm được tính là 365 ngày. Trả lời: ______________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ Bài tập 3 a) Hai mẩu phóng xạ là Poloni 210 84 Po và Urani U có khối lượng lần lượt là 235 92 3222 (gam) và 2333 (gam). Em hãy tìm tỷ số khối lượng của hai mẩu phóng xạ nêu trên? Trả lời: ______________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ b) Cũng với hai mẩu phóng xạ nói trên với khối lượng lần lượt là 2334 (gam) và 9 (gam), em hãy lập tỷ số để cho thấy được sự chênh lệch về khối lượng của hai mẩu phóng xạ này? Trả lời: _______________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________