- -PHẠM VĂN DUẨNBÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHOHỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CÓ SỐ CHIỀU LỚNLUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCChuyên ngành: TOÁN TINHÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI. - -PHẠM VĂN DUẨNBÀI TOÁN RÚT GỌN MÔ HÌNH CHOHỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH CÓ SỐ CHIỀU LỚNChuyên ngành: TOÁN TINLUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:TS. - HÀ B ÌNH MINHHÀ NỘI - 2015 Mục lụcLời cảm ơn 3Lời mở đầu 41 Các kiến thức chuẩn bị 11.1 Các khái niệm cơ bản của hệ động lực tuyến tính. - 11.1.1 Hệ động lực tuyến tính. - 11.1.2 Hệ động lực tuyến tính ổn định. - 41.1.3 Không gian H2và chuẩn H2của hệ ổn định. - 51.2 Bài toá n rút gọn mô hình theo chuẩn H2. - 81.2.1 Bài toá n rút gọn mô hình theo chuẩn H2. - 91.2.2 Ý nghĩa chuẩ n H2của hiệu giữa hai hàm truyền . - 92 Điều kiện tối ưu cho bài toán rút gọn mô hình 112.1 Điều kiện tối ưu trực giao. - 173 Thuật toán và ví dụ số 203.1 Thuật toán Iterative rationa l Krylov algorithm (IRKA) 203.2 Thuật toán trực giao hóa Gra m–Schmidt (GSLike. - 253.4 Ví dụ số. - 352 Lời cảm ơnLuận văn "Bài toán rút gọn mô hình cho hệ đ ộng lực tuyếntính có số chiều lớn" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình củaTS. - Vì vậy, em m ong nhậ n đượcnhững góp ý của các thầy, cô và các đồng nghi ệp để nội dung luận vănđược hoàn thiện hơn.Cuối cùng, em xin được cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên và giúpđỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và ho àn thành luận văn.Hà Nộ i, Ngày 1 tháng 4 năm 2015Học viênPHẠM VĂN DUẨN3 Lời mở đầuTrong thế giới công nghệ ngày nay, các vấn đề kỹ thuật hầu hết đượcmô tả và giải quyết t hông qua mô hình toán học. - Các mô hình này đượcsử dụng để mô phỏng các thuộc tính của vấ n đề thực tế. - Sử dụng cácmô hình toán học giúp tiết kiệm thời gian và chi phí, thay thế cho cácthực nghiệm tố n kém.Hệ động l ực là một trường hợp cụ thể mà mô hình toán họ c giúp giảiquyết rất nhiều vấn đề. - Hệ động lực có thể được hiểu tổng quát là mộtthực thể hệ thống mà trạng thái đặc trưng của nó thay đổi theo thờigian, trong đó trạng thái tại mỗi thời điểm được xá c định bở i cấu trúccủa hệ thống, bởi trạng thái của nó trong quá khứ và tác động bên ng oàilên hệ thống. - Phương pháp mô hình toán học là công cụ hữu hiệu đểnghiên cứu các tính chất của hệ động lực và xây dựng các tác động lênhệ một cách tốt nhất theo các mục tiêu nào đó. - Ví dụ: mô hình to án họcmiêu tả dao động của con lắc đồng hồ, dòng chảy của nước trong đườngống, và số lượng cá mỗi mùa xuân trong một hồ.Với hệ phức tạp, việc mô phỏng và tính toán gặp nhiều tr ở ngại. - Một hướng đi tự nhiên là xác định những m ô hình thay thế,đơn giản hơn mô hình phức tạp ban đầu nhưng vẫn đảm bảo giữ đượcnhững đặc tính quan trọng của hệ ban đầu. - Đó là mô t ả cơ bản nhất vềbài toán rút gọ n mô hình cho hệ động lực.4 Bài t oán rút gọn mô hình đã được nghiên cứu từ rất lâu với nhiềuphương pháp, với những ưu nhược điểm khác nhau. - Chương 1 giới thiệu cáckiến thức cơ bản về hệ động lực tuyến tính và bài toán rút gọn mô hình.Chương 2: Điều kiện tối ưu cho bài toán rút gọn mô hìnhChương 2 trình bày các điều kiện để xác định mô hình tối ưu địa phươngtrong bài toán rút gọn mô hình.Chương 3: Thuật toán và ví dụ số Chương 3 đưa ra và giải thíchcác bước của thuật toán rút g ọn mô hình IRKA. - Các ví dụ số t hể hiệntính hiệu quả của thuật t oán. - Thuật toán và các ví dụ số được viết vàchạy trên phầ n mềm MATLAB R2007b.5 Chương 1Các kiến thức chuẩn bịChương này sẽ trình bày các khái niệm cơ bản của hệ động lực tuyếntính và giới thiệu về bài toán rút gọn mô hình hệ độ ng lực tuyến tínhtheo chuẩn H2.1.1 Các khái niệm cơ bản của hệ động lực tuyếntính1.1.1 Hệ động lực tuyến tínhĐịnh nghĩa 1.1.1. - Một hệ động lực t uyến tí nh l iên tục dạng đơn giảnđược biểu diễn qua hệ phương trình sau:.x(t. - cx(t), (1.2)trong đó:• t ∈ (0. - 2) được gọi là phương trình đầ u ra,• Biểu diễn được gọi là một biểu diễn tr ong không giantrạng thái của hệ động lực.Độ lớn của một hệ động lực đặc trưng bởi số chiều của vector trạngthái x(t), gọi là bậc của hệ. - RnHình 1.1: Mô tả của một hệ động lực tuyến tínhVí dụ 1.1.2. - Các phương trình mô tả sau:u = ir+ il+ ic,ic= CdeCdt,eC= LdiLdt= RiR.Nếu ta định nghĩa các biến tr ạng thái x1= iLvà x2= eCthì mạch điệnđược mô tả bởi hệ động l ực:.x= Ax + bu,y = cx,2 Hình 1.2: Mạch RLC.trong đó: x = [x1, x2]TvàA =0 1/L−1/C −1/RC. - c =h0 1i.Một hệ động lực còn có thể được mô tả q ua k hái niệm hàmtruyền.Định nghĩa 1.1.3. - Xét hệ động lực . - Hàm truyền của hệ đượcxác định qua công thứcg(s. - (1.3)Mỗi hệ động lực tương ứng với một hàm truyền g(s) duynhất. - Ngược lại với mỗi hàm truyền g(s) tồn tại nhiều hơn một biểu diễnA, b, c.Với dạng biểu diễn qua hàm truyền chúng ta quan tâm đến các cựcđiểm cấp 1 của hàm t ruyền g(s), được định nghĩa như sau:Định nghĩa 1.1.4. - ∞.Ví dụ 1.1.5. - Xét hệ động lực với các ma trận tham sốA . - c(sI − A)−1b=h0 1i s + 6s2+ 3s + 2.Hàm truyền g(s) có hai cực điểm cấp 1 là −1 và −2 .1.1.2 Hệ động lực tuyến tính ổn địnhĐịnh nghĩa 1.1.6. - Xét hệ động lực tuyến tính x(t. - cx(t).Hệ được gọi là ổn định nếu tất cả các giá trị riêng của A nằ mbên trái trục ảo.Xét trường hợp đơn giản, các trị riêng của ma trận A đều đôi mộtkhác nhau. - Ngược lại , một hàm giải tích bất kỳ trên C+sẽ là hàm truyền của một hệ ổn định nào đó.4 1.1.3 Không gian H2và chuẩn H2của hệ ổn địnhĐịnh nghĩa 1.1.7. - Một hệ động lực ổn định cho bởi hàm truyền g(s) =c(sI − A)−1b, có chuẩn H2được xác định bởi công thứckgkH2:=qhg, giH2= Z∞−∞|g(iω)|2dω!1/2. - (1.4)Nếu hàm truyền g(s. - Hệ tuyến tính ổn định (1. - Giả sử g(s) có các cực điểm cấp 1 là λ1, λ2. - Với R > 0 bất kỳ, định nghĩaΓR= {z|z = iω với ω ∈ [−R, R. - Giả sử hàm truyền g(s) có các cực điểm cấp 1 tạiλ1, λ2. - Xem [4].Ví dụ 1.1.12. - X ét hệ độ ng lực trong ví dụ 1.1.5.7 Hàm truyền g(s) =2s+6s2+3s+2có hai điểm cực cấp 1 là −1 và −2. - res[g(s), −2]g(2)1/2,= lims→−1(s + 1)2s + 6s2+ 3s + 2×86+ l ims→−2(s + 2)2s + 6s2+ 3s + 2×1012= lims→−12s + 6s + 2×86+ l ims→−22s + 6s Vậy kgkH2=q113.1.2 Bài toán rút gọn mô hình theo chuẩn H2Xét hệ động lực ổn định số chiều n cho bởi hệ phương trình sau.x(t. - Bài toán rút gọn mô hì nh làbài toán xây dựng hệ động lực mới xác định bởi hệ.xr(t. - crxr(t), (1.11 )trong đó x(t) là vectơ trạng thái r chiều, với r nhỏ hơn rất nhi ều so vớin (số chiều của vectơ trạng thái trong hệ gốc). - H ệ rút gọn cần thỏa mãn các điều kiện sau• Bảo t oàn các tính chất quan trọng của của hệ ban đầu.• Sai số nhỏ.• Tính toán hiệu quả và ổn định.8 1.2.1 Bài toán rút gọn mô hình theo chuẩn H2Gọi g(s. - c( sI − A)−1b là hàm truyền của hệ gốc và gr(s. - cr(sI −Ar)−1brlà hàm truyền của hệ rút gọn. - Bà i toán rút gọn mô hình theochuẩn H2được phát biểu như sau. - Tìm các ma trận Ar, br, crcủa hệ rútgọn sa o cho chuẩn H2của hiệu giữa hai hàm truyền là nhỏ nhất, tức làkg − grkH2→ mi n .Ta có thể phát biểu bài to án trên dưới dạng bài toán tối ưu trong khônggian hàm H2. - Bài toán rút gọn mô hình theo chuẩn H2có thể phátbiểu như sau:Bài toán 1. - Tìm gr∈ Mrsao chokg − grkH2= min˜gr∈Mrkg − ˜grkH2.Việc giải bài toán này sẽ được trình bày chi tiết trong Chương 2 vàChương 3 của luận văn.1.2.2 Ý nghĩa chuẩn H2của hiệu giữa hai hàm truyềnGiả sử tín hiệu đầu vào u(t) bị chặn, tức làR∞0|u(t)|2≤ 1
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt