ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ HUYỀN DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC THÁI NGUYÊN- 2021 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐẶNG THỊ HUYỀN DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán học Mã số: 8.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Danh Nam THÁI NGUYÊN - 2021 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2021 Tác giả luận văn Đặng Thị Huyền Xác nhận của Xác nhận của Khoa chuyên môn Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. Nguyễn Danh Nam i LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Danh Nam đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Phòng Đào tạo – trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu tại trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, toàn thể bạn bè đã giúp đỡ và động viên khuyến khích tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành khoá học này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 5 năm 2021 Tác giả luận văn Đặng Thị Huyền ii MỤC LỤC Trang LỜI CAM ĐOAN ..........................................................................................................i LỜI CẢM ƠN.............................................................................................................. ii MỤC LỤC .................................................................................................................. iii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ........................................................................vi DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH, BIỂU ĐỒ ........................................................ vii MỞ ĐẦU .......................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................................1 2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................................3 3. Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu ............................................................4 4. Giả thuyết khoa học ...................................................................................................4 5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................................4 6. Phương pháp nghiên cứu ...........................................................................................4 7. Cấu trúc luận văn .......................................................................................................4 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ..................................................6 1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề ......................................................................................6 1.1.1. Thế giới ................................................................................................................6 1.1.2. Trong nước...........................................................................................................7 1.2. Một số vấn đề về kỹ năng .......................................................................................8 1.2.1. Khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán .................................................................8 1.2.2. Đặc điểm của kỹ năng........................................................................................10 1.2.3. Sự hình thành kĩ năng ........................................................................................10 1.2.4. Điều kiện để có kỹ năng ....................................................................................11 1.2.5. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng ..............................................12 1.3. Kỹ năng giải quyết vấn đề ....................................................................................12 1.3.1. Khái niệm kỹ năng giải quyết vấn đề ................................................................ 12 1.3.2. Các thành tố của kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán . ............................................................................................................14 1.4. Những khái niệm cơ bản của dạy học giải quyết vấn đề ......................................21 iii 1.4.1. Vấn đề ................................................................................................................21 1.4.2. Tình huống gợi vấn đề .......................................................................................22 1.4.3. Dạy học giải quyết vấn đề ................................................................................24 1.5. Nội dung chương trình chủ đề Phương trình, Hệ phương trình trong chương trình môn Toán trung học cơ sở ...........................................................................................25 1.6. Thực trạng dạy học phương trình, hệ phương trình theo hướng phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường THCS...........................................................26 1.6.1. Mục đích khảo sát .............................................................................................. 26 1.6.2. Đối tượng, nội dung và phương pháp điều tra ...................................................26 1.6.3. Kết quả khảo sát .................................................................................................27 1.7. Tiểu kết chương 1 .................................................................................................37 CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HS TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ .................38 2.1. Một số nguyên tắc xây dựng biện pháp dạy học phương trình, hệ phương trình cho học sinh nhằm phát triển một số kỹ năng giải quyết vấn đề ở trường THCS .......38 2.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa, phát triển Chương trình, SGK hiện hành ......................................................................................................................38 2.1.2. Nguyên tắc 2: Phù hợp với học sinh ..................................................................38 2.1.3. Nguyên tắc 3: Đảm bảo tính khả thi góp phần đổi mới phương pháp dạy học .39 2.2. Các biện pháp nhằm phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường trung học cơ sở thông qua dạy học nội dung Phương trình, Hệ phương trình ............39 2.2.1. Biện pháp 1: Trang bị tri thức phương pháp cho học sinh qua việc giải các dạng toán thuộc nội dung Phương trình, Hệ phương trình ...................................................39 2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải phương trình, hệ phương trình .............................................................................................................................. 55 2.2.3. Biện pháp 3: Tạo cơ hội cho HS phát hiện và tìm sai lầm trong lời giải ..........60 2.2.4. Biện pháp 4: Giúp HS thấy được vai trò và ứng dụng của phương trình, hệ phương trình trong các bài toán thực tế .......................................................................67 CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................ 74 iv 3.1. Mục đích của thực nghiệm....................................................................................74 3.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ..........................................................................74 3.3.2. Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm sư phạm ............................................................. 75 3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm ............................................................... 75 3.4.1. Đánh giá định tính.............................................................................................. 75 3.4.2. Đánh giá định lượng ..........................................................................................77 3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................................80 KẾT LUẬN CHUNG ..................................................................................................81 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................82 PHỤ LỤC....................................................................................................................... v DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ GV Giáo viên GQVĐ Giải quyết vấn đề HS Học sinh THCS Trung học cơ sở SGK Sách giáo khoa PP Phương pháp PT Phương trình HPT Hệ phương trình PPDH Phương pháp dạy học ĐKXĐ Điều kiện xác định vi DANH MỤC CÁC BẢNG, HÌNH, BIỂU ĐỒ Trang Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học 2020 – 2021 của hai lớp 9A và 9B ................................................................................................................74 Bảng 3.2. Kết quả bài kiểm tra của HS hai lớp 9B và lớp 9C Trường Trung học cơ sở Phong Hải ....................................................................................................................77 Biểu đồ 3.1. Kết quả bài kiểm tra của HS hai lớp 9B và lớp 9C Trường Trung học cơ sở Phong Hải ................................................................................................................77 Bảng 3.3. Bảng thống kê kết quả .................................................................................77 Biểu đồ 3.2. Biểu đồ thống kê kết quả .........................................................................78 vii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Thế kỉ XXI là thế kỉ của tri thức và phát triển năng lực con người. Hội nhập quốc tế, cách mạng khoa học công nghệ và thông tin truyền thông, nền kinh tế tri thức,... đã tạo nên cơ hội và nhứng thách thức cho nền giáo dục nước ta trong việc đào tạo nguồn nhân lực cho sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Vì vậy ngành giáo dục cần thực hiện công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện về mục tiêu, chương trình đào tạo, PPDH... để đáp ứng yêu cầu phát triển của đất nước. Định hướng đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục đã được xác định trong Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04 tháng 11 năm 2013 của Hội nghị lần thứ 8 Ban chấp hành Trung ương Đảng khóa XI về đổi mới chương trình giáo dục phổ thông: “Đổi mới chương trình nhằm phát triển năng lực và phẩm chất người học, hài hòa đức, trí, thể, mỹ; dạy người, dạy chữ và dạy nghề. Đổi mới nội dung giáo dục theo hướng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ và ngành nghề; tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung cách dạy học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực” [2]. Để thực hiện các mục tiêu trên, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã phát động phong trào đổi mới giáo dục, nhấn mạnh vào đổi mới phương pháp dạy học trong toàn quốc. Theo nghiên cứu của nhiều nhà toán học, giáo dục học, tâm lý học thì việc đổi mới phương pháp dạy học cần được thực hiện theo định hướng hoạt động hóa người học, tức là tổ chức cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Vì thế, việc dạy học toán ở trường phổ thông phải luôn gắn bó mật thiết với thực tiễn, nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng và giáo dục họ ý thức sẵn sàng ứng dụng toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Như trong Nghị quyết 29 của Đảng cộng sản Việt Nam khóa XI đã nêu rõ: “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị 1 kiến thức sang phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Vì vậy, giáo viên trong tương lai phải có và hiểu biết rõ về những phẩm chất, kỹ năng mình cần phát triển ở HS. Theo định hướng đổi mới, một trong những kỹ năng chủ chốt mà GV cần hình thành và phát triển cho HS là kỹ năng giải quyết vấn đề (GQVĐ), bởi trong quá trình học tập cũng như trong cuộc sống có nhiều tình huống thực tiễn đòi hỏi các em phải có phương án GQVĐ một cách hiệu quả nhất. Hơn nữa, trong bối cảnh nền kinh tế tri thức và hội nhập quốc tế hiện nay, người lao động không đơn thuần chỉ có kiến thức mà phải có kỹ năng GQVĐ linh hoạt và sáng tạo. Xu hướng giáo dục của thế giới nói chung và giáo dục của nước ta nói riêng đã và đang thực hiện từng bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận theo hướng phát triển một số kỹ năng nhằm phát triển phẩm chất và năng lực người học. Từ trước đến nay Toán học luôn được coi là môn khoa học gắn với thực tiễn cuộc sống, có tính ứng dụng cao và có nhiều đóng góp to lớn cho sự phát triển của thế giới. Bên cạnh đó Toán học còn là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác. Trong dạy học toán ở trường THCS, việc thiết kế và tổ chức hoạt động dạy học theo hướng phát triển một số kỹ năng GQVĐ sẽ gây được hứng thú cho HS trong học tập, tăng cường hiệu quả của việc dạy học trọng tâm phát triển năng lực. Theo chương trình Giáo dục phổ thông tổng thể (2018): “ Giáo dục toán học góp phần hình thành và phát triển cho HS các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học - biểu hiện tập trung của năng lực tính toán với các thành phần sau: tư duy và lập luận toán học, mô hình hóa toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học, sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn. Giáo dục toán học tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và các hoạt động khác”[3]. Phương trình, hệ phương trình là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình Toán THCS. Thông qua nội dung phương trình, hệ phương trình, thông 2 qua học tập nội dung phương trình, hệ phương trình HS sẽ được rèn luyện các hoạt động trí tuệ và kỹ năng GQVĐ. Những năm gần đây có rất nhiều đề tài nghiên cứu về dạy học theo hướng phát triển năng lực GQVĐ như: luận văn thạc sĩ “Dạy học nội dung véctơ và tọa độ ở trường THPT theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS” của tác giả Phạm Thị Vũ Hồng (2019), “ Tổ chức hoạt động ngoại khóa phần nhiệt học vật lý 10 nhằm phát triển năng lực GQVĐ của HS” của tác giả Lê Huyền Nga (2019), tác giả Dương Triệu Lan (2019) với đề tài “ Dạy học phương trình lượng giác cho HS THPT nhằm rèn luyện năng lực GQVĐ”, tác giả Nguyễn Thị Yến (2018) “ Thiết kế và sử dụng bài tập thực tiễn nhằm phát triển năng lực GQVĐ cho HS trong dạy học “ Sinh học cơ thể người và vệ sinh””... Những đề tài trên các tác giả đã tập trung đến việc rèn luyện, bồi dưỡng và phát triển năng lực GQVĐ cho HS THPT. Ngoài ra, tác giả Bùi Thị Liễu cũng đã nghiên cứu vấn đề dạy học toán theo hướng phát triển năng lực GQVĐ với đề tài “Dạy học tổ hợp xác suất theo định hướng phát triển năng lực GQVĐ cho HS THPT” (2019). Có thể thấy dạy học theo hướng phát triển năng lực GQVĐ đã và đang được rất nhiều nhà giáo dục quan tâm. Tuy nhiên, tác giả luận văn nhận thấy vẫn còn chưa nhiều tác giả trình bày về việc dạy học môn Toán theo hướng phát triển một số kỹ năng GQVĐ cho HS ở trường THCS. Với những lí do trên, nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Toán ở trường THCS tác giả luận văn lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình ở trường THCS theo hướng phát triển một số kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh”. 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở nghiên cứu về việc dạy học phát triển một số kỹ năng giải quyết vấn đề ở trường THCS tác giả luận văn đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển một số kỹ năng giải quyết vấn đề cho HS trong dạy học môn Toán ở trường THCS. 3 3. Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học ở trường THCS. - Đối tượng nghiên cứu: Dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình theo hướng phát triển một số kỹ năng giải quyết vấn đề. - Phạm vi nghiên cứu: HS ở trường THCS. 4. Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình thì có thể phát triển một số kỹ năng GQVĐ cho học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THCS. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu các quan điểm mang tính lý luận: Làm rõ khái niệm kỹ năng, kỹ năng GQVĐ, các thành tố của kỹ năng GQVĐ. - Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển kỹ năng GQVĐ cho học sinh trong dạy học phương trình, hệ phương trình ở trường THCS. - Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng và đánh giá tính khả thi của giả thuyết khoa học và các câu hỏi nghiên cứu. 6. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn. - Phương pháp điều tra - quan sát: Quan sát hoạt động dạy của GV, hoạt động học của HS; thực trạng việc dạy học môn toán theo hướng phát triển một số kỹ năng GQVĐ của HS: dự giờ, phỏng vấn. - Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số kế hoạch bài học dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình theo hướng phát triển một số kỹ năng GQVĐ để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất. 7. Cấu trúc luận văn Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Tài liệu tham khảo”, nội dung khóa luận gồm 3 chương: Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn 4 Chương 2: Một số biện pháp sư phạm nhằm phát triển một số kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học phương trình, hệ phương trình ở trường trung học cơ sở. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 5 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Lịch sử nghiên cứu vấn đề 1.1.1. Thế giới Thuật ngữ “dạy học GQVĐ” được xuất phát từ thuật ngữ “Orixtic” còn được gọi là PP tìm tòi, pháp kiến. Nó có tên gọi là “Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề”, xuất hiện vào năm 1970 tại trường Đại học Hamilton - Canada, sau đó phát triển nhanh chóng tại trường Đại học Maastricht - Hà Lan. Vào những năm 50 của thế kỉ XX, xã hội bắt đầu phát triển mạnh, đôi lúc xuất hiện mẫu thuẫn trong giáo dục đó là mâu thuẫn giữa yêu cầu giáo dục ngày càng cao, khả năng sáng tạo của học sinh ngày càng tăng với tổ chức dạy học còn lạc hậu. Chính vì vậy, “dạy học GQVĐ” hay còn gọi là dạy học nêu vấn đề chính thức ra đời. PP này đặc biệt được chú trọng ở Ba Lan. V. Okon – nhà giáo dục học Ba Lan đã làm sáng tỏ PP này thật sự là một PP dạy học tích cực, tuy nhiên những nghiên cứu này chỉ dừng ở việc ghi lại những thực nghiệm thu được từ việc sử dụng PP này chứ chưa đưa ra đầy đủ cơ sở lí luận cho phương pháp này [26]. Dạy học GQVĐ phát triển mạnh từ những năm 1960 trở lại đây. Các nhà giáo dục Mỹ đã chú ý đến việc tiếp cận nêu vấn đề khi dạy các môn tự nhiên thể hiện qua cuốn sách “Dạy học khoa học tự nhiên bằng con đường khám phá”. Nội dung của cuốn sách mới chỉ nêu được việc đặt câu hỏi nêu vấn đề [12]. Dạy học GQVĐ đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu như A. Ja -Ghecđơ, B. E Raicôp,... vào những năm 70 của thế kỉ XIX. Các nhà khoa học này đã nêu lên phương án tìm tòi, phát kiến trong dạy học nhằm hình thành năng lực nhận thức của HS bằng cách đưa HS vào hoạt động tìm kiếm ra tri thức, học sinh là chủ thể của hoạt động học, là người sáng tạo ra hoạt động học. Đây có thể là một trong những cơ sở lý luận của dạy học GQVĐ. Trên thế giới cũng có rất nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục nghiên cứu về dạy học GQVĐ này như Xcatlin, Machiuskin, Lecne,.... Dạy học GQVĐ lần đầu tiên được áp dụng tại đại học y khoa (Case Western University – Hoa Kỳ) vào thập niên 50 của thế kỷ XX và sau đó là học viên y học (đại học McMasters, Hamilton, Canada)[5]. 6 Theo Erwin và T.Dary (năm 2000) đã đưa ra ý kiến đồng tình với quan điểm của Jones: là sự hiểu biết vấn đề, có thể có được nền kiến thức, tạo ra giải pháp khả thi, xác định và đánh giá được các khó khăn, lựa chọn giải pháp, hoạt động trong nhóm GQVĐ, đánh giá quá trình và GQVĐ. Xây dựng các chỉ số đánh giá hành vi của kỹ năng này [1]. Tuy nhiên, dạy học theo hướng phát triển một số kỹ năng GQVĐ không phải dễ dàng được chấp nhận và sử dụng trong thực tiễn dạy học ở các trường, mà đã phải trải qua nhiều thử thách, thực nghiệm trong gần một thế kỷ XX để đến gần đây mới được sử dụng thực sự ở nhiều trường đại học ở Hoa Kỳ và trở thành một yếu tố chủ đạo trong cải cách giáo dục ở một số nước khác. 1.1.2. Trong nước Người đầu tiên đưa PP này vào Việt Nam là dịch giả Phan Tất Đắc “Dạy học nêu vấn đề” (Lecne) (1977). Dạy học GQVĐ đã được ứng dụng vào các môn học như Toán, Lý, Hóa. Trong lĩnh vực dạy học Hóa học, GS Nguyễn Ngọc Quang là người đã nghiên cứu và vận dụng dạy học GQVĐ; Lê Văn Nam (2001) “Sử dụng dạy học nêu vấn đề - Ơrictic đã nâng cao hiệu quả dạy học chương trình Hóa đại cương và Hóa vô cơ ở trường THPT”, Luận án Tiến sĩ giáo dục học. Trong lĩnh vực dạy học toán học, nghiên cứu dạy học GQVĐ có một số tác giả như Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim. Còn trong lĩnh vực Vật lý thì tiêu biểu như Lê Nguyên Phong, Nguyễn Đức Thâm, Phạm Hữu Tòng đã nghiên cứu vận dụng dạy học GQVĐ. Những năm cuối thế kỷ XX, giáo dục Việt Nam đang triển khai đổi mới chương trình giáo dục, thực chất là sự thay đổi trong từng thành tố của quá trình giáo dục, từ mục tiêu tới nội dung, PP và đánh giá kết quả người học. Chiến lược giáo dục giai đoạn 2011 - 2020 ban hành kèm quyết định 711/QĐ - TTg của Thủ tướng Chính phủ đã nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới PPDH và đánh giá kết quả học tập, rèn luyện theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo và NL tự học của người học” [4]. Trong những năm gần đây đã có một số công trình nghiên cứu về năng lực GQVĐ như: luận văn thạc sĩ “Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học chương tam giác đồng dạng toán lớp 8 ở trường Trung học cơ 7 sở” của tác giả Nguyễn Thanh Bình (2008), “Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học giải bài tập chương “Véc tơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian” hình học 11 Trung học phổ thông” của tác gải Đỗ Thị Hồng Minh (2008), của tác giả Nguyễn Thị Hợp (2008) với đề tài “Rèn luyện cho học sinh khá giỏi kỹ năng giải quyết vấn đề liên quan đến chủ đề chia hết trong môn toán Trung học cơ sở”, ... 1.2. Một số vấn đề về kỹ năng 1.2.1. Khái niệm kỹ năng, kỹ năng giải toán Thực tiễn cuộc sống luôn đặt ra cho con người những nhiệm vụ thuộc các lĩnh vực lí luận, thực hành hay nhận thức. Để giải quyết được công việc, con người ta cần vận dụng vốn hiểu biết và kinh nghiệm để xử lí vấn đề được đặt ra. Yêu cầu cốt lõi nằm ở chỗ phải vận dụng được những kiến thức chung nhất cho từng trường hợp cụ thể. Trong quá trình đó, con người dần hình thành cho mình các kĩ năng để giải quyết vấn đề. Theo Từ điển Tiếng Việt: “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đó vào thực tế” [25]. Theo giáo trình Tâm lí học đại cương: “Kĩ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng để phát hiện những thuộc tính bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lí luận hay thực hành xác định” [17]. Theo Polya [19] “Kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được ở bạn để đạt được mục đích của mình, kĩ năng còn có thể đặc trưng như toàn bộ các thói quen nhất định, kĩ năng là khả năng làm việc có phương pháp”. Theo [24] “Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn”. Như vậy, dù phát biểu ở dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng, kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, ...) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra. Theo [18] “Trong toán học kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”. 8 Theo [14], giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích, do đó chủ thể giải toán cần phải nắm vững tri thức về hành động, thực hiện hành động theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó, biết hành động có kết quả trong những điều kiện khác nhau. Theo Nguyễn Cảnh Toàn: Dạy toán là dạy kiến thức, kỹ năng tư duy và tính cách cho HS. Việc hình thành và rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS là một trong những yêu cầu cơ bản và cần thiết của hoạt động dạy toán, giúp HS hiểu sâu sắc kiến thức toán trong trường phổ thông, đồng thời rèn luyện cho HS các thao tác tư duy, các hoạt động trí tuệ. Từ đó, bồi dưỡng các phẩm chất trí tuệ, phát triển năng lực giải toán cho HS. Dựa trên quan niệm về kỹ năng và giải toán, ta có thể hiểu kỹ năng giải toán của HS như sau: “Đó là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức, kỹ năng và kinh nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải bài toán một cách khoa học”.Giải toán thực chất là việc giải quyết các bài tập toán học. Do đó, trong khuôn khổ đề tài này tác giả luận văn đồng nhất khái niệm kỹ năng giải toán với khái niệm kỹ năng giải bài tập toán. Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng tựu trung lại thì đều nói rằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức đã tiếp thu được để giải quyết một nhiệm vụ mới. Giữa việc tiếp thu kiến thức và hình thành kỹ năng có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Việc tiếp thu kiến thức sẽ tạo nên cơ sở, nền tảng cho việc hình thành kỹ năng. Cho nên kỹ năng cũng có thể được hiểu là sự thể hiện của kiến thức trong hành động. Ngược lại khi kỹ năng được hình thành và phát triển sẽ làm sâu sắc hơn sự hiểu biết về kiến thức. Theo Trần Bá Hoành [10] kỹ năng giải toán có thể chia thành ba mức độ: - Biết làm: Vận dụng được lý thuyết để giải những bài tập cơ bản để hình thành các thao tác cơ bản như: Viết đại lượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, kí hiệu, ... giải được những bài tập tương tự như bài mẫu. 9 - Thành thạo: Học sinh có thể giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài toán theo cách giải đã biết và một số bài tập tổng hợp. - Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Tìm ra được những cách giải ngắn gọn, chuyển hóa vấn đề khéo léo, cách giải quyết vấn đề độc đáo. 1.2.2. Đặc điểm của kỹ năng Trong vận dụng, ta thường chú ý đến những đặc điểm của kỹ năng: Bất kỳ kỹ năng nào được chọn phải dựa trên cơ sở lý thuyết và cơ sở thực tiễn, cấu trúc của kỹ năng bao gồm: hiểu mục đích – biết cách thức để dẫn đến kết quả - hiểu những điều kiện của nó để triển khai các cách thức đó. Kiến thức là cơ sở hình thành của các kỹ năng khi các kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của mục tiêu và của các đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức của từng đối tượng. Theo [8] kỹ năng có những đặc điểm như: - Mức độ tham gia của ý chí cao. - Hành động luôn có sự kiểm tra của thị giác. - Chưa bao quát toàn bộ hành động, thường chú ý ở phạm vi hẹp hay động tác đang làm. - Tốn nhiều năng lượng thần kinh và cơ bắp. 1.2.3. Sự hình thành kĩ năng Sự hình thành kỹ năng - đó là một quá trình nắm vững cả một hệ thống phức tạp các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu được từ các đối tượng, qua một quá trình đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động. Kỹ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh và những thuộc tính mới. Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa,... cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho. 10 Con đường hình thành kĩ năng rất phong phú và nó phụ thuộc vào các tham số như: Kiến thức xác định kĩ năng, yêu cầu rèn luyện kĩ năng, mức độ tích cực, chủ động của học sinh, ... Có hai con đường để hình thành kĩ năng cho HS, đó là: Truyền thụ cho HS những tri thức cần thiết, rồi sau đó đề ra cho HS những bài toán vận dụng tri thức đó. Từ đó, HS sẽ phải tìm tòi ra cách giải, bằng những con đường thử nghiệm đúng đắn hoặc sai lầm, qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động. + Dạy học cho HS nhận biết những dấu hiệu mà từ đó có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường lối giải đó vào bài toán cụ thể. Thực chất của sự hình thành kỹ năng này là tạo dựng cho HS khả năng biết được một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán. Theo [9] khi hình thành kỹ năng cho HS cần tiến hành: + Giúp HS biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng. + Giúp HS hình thành một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại. + Xác lập được mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng: Sự dễ dàng hay khó khăn trong sự vận dụng kiến thức phụ thuộc ở khả năng nhận dạng kiểu nhiệm vụ, dạng bài tập tức là tìm kiếm phát hiện những thuộc tính và quan hệ vốn có trong nhiệm vụ hay bài tập để thực hiện một mục đích nhất định. 1.2.4. Điều kiện để có kỹ năng Theo [22], muốn có kĩ năng về hành động nào đó chủ thể cần phải: - Có kiến thức để hiểu được mục đích của hành động, biết được điều kiện, cách thức để đến kết quả, để thực hiện hành động. - Tiến hành hành động đối với yêu cầu của nó. - Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đã đề ra. - Có thể hành động có hiệu quả trong những điều kiện khác nhau. 11 - Có thể qua bắt chước, rèn luyện để hình thành kỹ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài. 1.2.5. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng Việc hình thành kỹ năng cho HS có thể bị ảnh hưởng bởi các yếu tố sau [22]: Nội dung bài toán: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hoá hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng; Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kỹ năng. Việc tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp HS dễ dàng trong việc hình thành kỹ năng; Kỹ năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức cao hay thấp; Biết quy lạ về quen, đưa các dạng bài tập về mô hình các bài tập quen thuộc; Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa, ...; Tần số và số lần luyện tập. 1.3. Kỹ năng giải quyết vấn đề 1.3.1. Khái niệm kỹ năng giải quyết vấn đề Kỹ năng GQVĐ là kỹ năng hoạt động trí tuệ để chia nhỏ thông tin về sự vật, hiện tượng, phát hiện ra nhiều khía cạnh khác nhau của vấn đề, kỹ năng này được phát triển thông qua quá trình luyện tập của người học, quá trình luyện tập hữu ích nhất là tranh luận trên các diễn đàn hoặc nhóm học tập. Phân tích được những yếu tố tác động chủ yếu, yếu tố tác động thứ yếu vào quá trình hoạt động cũng như kết quả học tập để đưa ra cách giải quyết phù hợp. Kỹ năng này được biểu hiện như: Khả năng ghi nhớ kiến thức đã học, đối chiếu các nguồn thông tin, suy đoán vấn đề để phân tích định tính sự vật hiện tượng, đề ra giải pháp thực hiện và thực hiện thành công [23]. Kỹ năng giải quyết vấn đề gồm [8]: - Nhận ra vấn đề: Trước khi bạn tìm ra phương hướng giải quyết vấn đề, bạn nên xem xét vấn đề đó có thực sự là vấn đề theo nghĩa nào? Để nhận ra vấn đề bạn phải lập được kế hoạch và thực hiện nó. Một mình không giải quyết được vấn đề thì bạn có thể cùng làm vấn đề đó với nhóm để thực hiện một cách dễ dàng hơn. - Xác định chủ sở hữu của vấn đề: Không phải tất cả vấn đề đều có thể giải quyết. Nếu khả năng của mình còn hạn chế thì có thể chuyển cho những người có khả năng làm vấn đề đó. 12 - Nhìn nhận và phân tích để hiểu rõ vấn đề: Chưa hiểu rõ vấn đề có thể bị lệch hướng về phương pháp để giải quyết chúng, chúng ta cần xác định rõ vấn đề cần giải quyết. - Đề ra mục tiêu: Sau khi giải quyết vấn đề này thì mục tiêu đạt được là gì? - Đánh giá giải pháp: Sau khi tìm hiểu rõ được các vấn đề đó thì chúng ta cần chọn một trong các giải pháp đã được đề ra để thực hiện và xem giải pháp đó được chọn đã hợp lý chưa? - Chọn lựa và xác định giải pháp: Trong các phương pháp trên chúng ta chọn giải pháp tối ưu nhất để thực hiện giải quyết vấn đề. - Thực hiện: Khi đã chọn được giải pháp thì chúng ta bắt đầu vào thực hiện để giải quyết vấn đề. - Đánh giá kết quả: Khi thực hiện xử lí được vấn đề chúng ta đánh giá phương pháp đó và kết quả vừa tìm ra được. Trong Toán học, kỹ năng giải quyết vấn đề của một bài toán giữa HS thường khác nhau. Mỗi em lại có một hướng giải quyết bài tập khác nhau, có em sử dụng kiến thức này, có em sử dụng kiến thức kia. Vì vậy, sự hình thành nên kỹ năng GQVĐ thường không giống nhau. Nhưng thông thường để giải quyết một vấn đề, về cơ bản gồm các bước sau [8]: - Nhìn nhận và phân tích - Xác định vấn đề - Hiểu vấn đề - Chọn giải pháp - Thực thi giải pháp - Đánh giá giải pháp 1.3.2. Các thành tố của kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh trong quá trình dạy học môn Toán Theo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể 2018 [3] năng lực GQVĐ và sáng tạo bao gồm các thành tố và yêu cầu cần đạt đối với học sinh THCS như sau: Một là, nhận ra ý tưởng mới: Học sinh cần biết xác định và làm rõ thông tin, ý tưởng mới; biết phân tích, tóm tắt những thông tin liên quan từ nhiều nguồn khác 13 nhau. Hai là, phát hiện và làm rõ vấn đề: HS cần phân tích được tình huống trong học tập; phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập. Ba là, hình thành và triển khai ý tưởng mới: HS biết phát hiện yếu tố mới, tích cực trong những ý kiến của người khác; hình thành ý tưởng dựa trên các nguồn thông tin đã cho; đề xuất giải pháp cải tiến hay thay thế các giải pháp không còn phù hợp; so sánh và bình luận được về các giải pháp đề xuất. Dựa trên cấu trúc của năng lực giải quyết vấn đề, tác giả luận văn đã đưa ra các thành tố của kỹ năng giải quyết vấn đề gồm: Kỹ năng dự đoán phát hiện vấn đề; Kỹ năng định hướng giải quyết vấn đề; Kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề; Kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá. 1.3.2.1. Kỹ năng dự đoán phát hiện vấn đề Để có kỹ năng dự đoán phát hiện vấn đề HS cần được rèn luyện các kỹ năng: - Kỹ năng so sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự hoá. - Kỹ năng xem xét các đối tượng toán học, các quan hệ toán học trong mối quan hệ giữa cái chung và cái riêng, trong mối quan hệ nhân quả; phát hiện những bước chuyển hóa về lượng sẽ dẫn đến sự thay đổi về chất; Xem xét đối tượng toán học trong sự mâu thuẫn và thống nhất giữa các mặt đối lập; xem xét một đối tượng toán học đồng thời xem xét phủ định của đối tượng đó. Dự đoán trong giải bài tập toán có thể hiểu: từ dữ kiện của bài toán ban đầu, hoặc các kiến thức đã có bằng một số hoạt động Toán học có thể dự kiến, định lượng được kết quả bài toán. Khi xét về nguồn gốc và sự phát triển của toán học tác giả Nguyễn Bá Kim đã phát biểu: “Nếu nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi, dự đoán, vẫn có "thực nghiệm" và "quy nạp" ” (dẫn theo [14]). Còn nhà toán học và là nhà sư phạm nổi tiếng người Mỹ - G.Polya cho rằng: “Kết quả công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận, là chứng minh. Nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lý, nhờ dự đoán. Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó thì việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lý” [19, tr.173]. 14 Ví dụ 1.1. Giải phương trình x − 2 + 10 − x = x2 − 12 + 40 (*) Thực tế cho thấy rằng, không nhiều HS giải được những dạng bài như thế này. Nhiều HS cũng nghĩ đến phương pháp giải như là bình phương hai vế để mất căn bậc hai, tuy nhiên sau khi bình phương, phương trình trở thành phương trình bậc cao và khó giải hơn là một sai lầm thường gặp. Tuy nhiên nếu HS có thói quen mò mẫm, dự đoán, sử dụng các bất đẳng thức đã học thì có thể tìm ra hướng giải của bài toán bằng cách sử dụng phương pháp đánh giá. Ta thấy rằng, vế phải của (*)  ( x 2 − 12 x + 36 ) + 4 = ( x − 6 ) + 4  4 2 Bây giờ ta chỉ cần chứng minh vế trái của (*) là x − 2 + 10 − x  4 , dựa vào x − 2 + 10 − x  4 . Cũng bất đẳng thức Cô - si có thể dễ dàng chứng minh được cần phải chú ý đến điều kiện của x − 2, 10 − x để sử dụng bất phương trình sao cho hợp lý. Vậy để giải bài toán này bằng phương pháp ta thực hiện như thế nào?  x−20 Ta có: Điều kiện   2  x  10 . 10 − x  0 Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số không âm ta có x − 2 + 10 − x = ( x − 2 ) .4 2 + (10 − x ) .4 2  x − 2 + 4 10 − x + 4 + =4 4 4 Lại có x 2 − 12 x + 40  ( x 2 − 12 x + 36 ) + 4 = ( x − 6 ) + 4  4 2  x−6 = 0  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  x − 2 = 4  x = 6 10 − x = 4  Vậy phương trình có nghiệm x = 6 . Như vậy, khâu mấu chốt, “nút thắt” chính là sử dụng bất đẳng thức Cô - si để chứng minh x − 2 + 10 − x  4 . Tại sao có nhiều cách giải mà lại không sử dụng? (là bởi vì quá trình dự đoán, biến đổi cho ta thấy vế phải của phương trình x2 − 12x + 40  4 ). 15 Như vậy, chúng ta thấy rằng, nhờ khả năng quan sát, dự đoán, góp phần quan trọng trong quá trình giải quyết vấn đề. Do đó GV cần luyện tập cho HS năng lực dự đoán nhằm phát huy tính tích cực hoạt động của HS. 1.3.2.2. Kỹ năng định hướng giải quyết vấn đề Theo [15] các thành tố của kỹ năng này chủ yếu là: - Kỹ năng nhận dạng các đối tượng và các phương pháp. - Kỹ năng phát hiện các đối tượng trong mối liên hệ tương tự. - Kỹ năng nhìn nhận một vấn đề theo nhiều quan điểm khác nhau. Ví dụ 1.2. Để giải hệ phương trình, người ta thường dùng hai phương pháp chính là cộng đại số hoặc phương pháp thế. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, không phải lúc nào cũng sử dụng được hai phương pháp đó được ngay mà phải trải qua một số bước biến đổi bằng cách nhờ xem xét các quy tắc, khái niệm, các định lý qua nhiều thể hiện khác nhau sẽ giúp HS định hướng tốt cho lời giải. Chẳng hạn, khi giải hệ  x + y + 2 xy = 2 phương trình  3 3  x + y =8 Từ hệ phương trình ta có thể coi x + y là một ẩn và x. y là một ẩn khác. Khi đó ta có hướng giải như sau: S = x + y Đặt  điều kiện S 2  4P hệ phương trình đã cho trở thành P = x . y  2−S  = P   S + 2P = 2 2    2  S ( S − 3P ) = 8  S  S 2 − 6 − 3S  = 8   S   2S 3 + 3S 2 − 6S − 16 = 0  ( S − 2) ( 2S 2 + 7S + 8) = 0  S = 2  P = 0 Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình X 2 − 2 X = 0  X = 0, X = 2 x = 0 x = 2 Vậy  .  y = 2 y = 0 Khi giải hệ phương trình, đặc biệt là những dạng phương trình khó, GV nên khuyến khích HS nhìn vấn đề bằng nhiều quan điểm khác nhau, đề xuất hướng giải quyết vấn đề trên cơ sở các góc nhìn nhận đó. 16 Khuyến khích HS nhìn một vấn đề bằng nhiều quan điểm khác nhau, đề xuất hướng giải quyết vấn đề trên cơ sở các góc nhìn nhận đó. Chẳng hạn cần giải phương trình ta có thể nhìn phương trình dưới dạng phương trình tích hoặc phương trình bậc hai; Giải hệ phương trình ta có thể nhìn phương trình dưới dạng hai phương trình đường thẳng hoặc hai phương trình bậc nhất... 1.3.2.3. Kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề Các thành tố của kỹ năng này chủ yếu là [15]: - Kỹ năng lựa chọn các công cụ thích hợp để GQVĐ. - Kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi vấn đề. - Kỹ năng lập luận logic, lập luận có căn cứ. Kỹ năng tìm phương pháp GQVĐ đòi hỏi ở mức độ cụ thể cao hơn so với kỹ năng định hướng. HS cần lựa chọn công cụ thích hợp để GQVĐ; Chẳng hạn: Đối với những dạng phương trình không mẫu mực (hai vế là hai loại hàm số có bản chất khác nhau; hoặc phương trình có bậc quá cao không thể nghĩ tới hạ bậc, hoặc phương trình nhiều ẩn số,...) thì nên nghĩ tới phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức để ước lượng hai vế hoặc tìm min, max của mỗi vế. HS tìm được phương pháp GQVĐ còn tùy thuộc vào khả năng chuyển đổi ngôn ngữ trong nội tại một nội dung toán học và chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác để diễn đạt cùng một nội dung toán học. Nhờ việc chuyển đổi ngôn ngữ, biến đổi vấn đề HS có thể đưa vấn đề mới, các bài toán lạ về dạng quen thuộc, các bài toán tương tự đã giải. Để khai thác tốt các chức năng của bài tập toán, cần nắm vững các yêu cầu của lời giải bài toán và một trong những yêu cầu đó là lập luận phải có căn cứ chính xác. Yêu cầu này đòi hỏi từng bước biến đổi trong lời giải phải có cơ sở lý luận, phải dựa vào các định nghĩa, định lý, công thức... đã học, đặc biệt phải chú ý đảm bảo thoả mãn điều kiện nêu trong giả thiết. Quá trình giải một bài toán phụ thuộc chủ yếu vào việc thiết lập mối liên hệ giữa bài đó với kiến thức thích hợp tích luỹ được từ trước. Lúc chúng ta cố gắng tìm cách diễn đạt lại bài toán, dưới một hình thức nhiều triển vọng hơn, thực chất là đi tìm mối liên hệ ấy. 17 Khi giải một bài toán, việc chúng ta liên tưởng, và gọi ra (huy động) được những kiến thức cần thiết để phục vụ cho việc giải quyết vấn đề đã là đáng quý nhưng trong những kiến thức mà chúng ta liên tưởng đến trong thời điểm đó thì cũng có khi không thể dùng được liên tưởng nào cả vì những liên tưởng đó qua quá trình thử đều thất bại. Lúc này đòi hỏi người làm toán phải có năng lực lập luận có căn cứ chính xác, giả thiết của bài toán là gì? kết luận của bài toán là gì? Những định lý nào có liên quan, những công thức nào đúng?.. Sự xem xét lại vấn đề, các bước biến đổi một cách tỉ mỉ cũng là một yếu tố cần có trong việc rèn luyện năng lực lập luận có căn cứ. Ví dụ 1.3. Giải phương trình x + 1 + x − 1 = 10 (*) Để giải phương trình này HS thường trình bày như sau: Trường hợp 1: x +1  0  x  −1   x 1  x −1  0  x 1 Phương trình (*) tương đương với phương trình x + 1 + x − 1 = 10  x = 5 thỏa mãn x 1 Trường hợp 2: x +1  0  x  −1   −1  x  1  −  x  x 1 0 1   (*)  x + 1 − x + 1 = 10  2 = 10 vô nghiệm Trường hợp 3 x +1  0  x  −1 không xảy ra   x −1  0  x 1 Trường hợp 4 x +1  0  x  −1   x  −1  −   x x 1 0 1   (*)  − ( x + 1) − ( x − 1) = 10  −2 x = 10 thỏa mãn điều kiện x  −1 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5; x = −5 Vấn đề đặt ra là các em đã biết cách giải bài toán (*). Hãy thử suy nghĩ xem nếu lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối liệu có thể giải quyết được vấn đề đặt ra không? 18 Lập bảng phá dấu Giải phương trình theo các khoảng x  −1: −2x = 10  x = −5 thỏa mãn điều kiện x  −1 − 1  x  1: x = 10 vô nghiệm x  1: 2x = 10  x = 5 thỏa mãn điều kiện x  1 Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 5; x = −5 Như vậy để có được năng lực lập luận có căn cứ để giải quyết vấn đề thì phải luôn rèn luyện việc xem kỹ giả thuyết, kết luận của bài toán, thiết lập mối liên hệ thích hợp giữa bài toán đang giải với kiến thức đã có, kiểm tra độ tin cậy của kiến thức trung gian, của các công thức dùng để giải quyết vấn đề. 1.3.2.4. Kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá Tự kiểm tra, đánh giá là hành động tự mình rèn luyện phẩm chất đạo đức, mức độ lĩnh hội và nắm vững các tri thức, kỹ năng, kỹ xảo so với các chuẩn mực, những yêu cầu của nhà trường trong từng giai đoạn giáo dục đào tạo. Tự kiểm tra, đánh giá là hành động không thể tách rời quá trình tự học và tự giáo dục vì nó đảm bảo cho các quá trình này tiến triển đúng hướng và vững chắc theo mục tiêu đã định. Mặt khác, kết luận và áp dụng kết quả của quy trình GQVĐ đòi hỏi HS phải luôn tự kiểm tra, đánh giá. HS phải hiểu biết chính xác bản thân mình, mới có thể tự tin trong GQVĐ và áp dụng kiến thức. Điều quan trọng nhất trong việc tự đánh giá là phải có thái độ khách quan, trung thành với kết quả của việc làm và với chính bản thân mình, có như vậy thì sự tự đánh giá mới trở thành động lực thúc đẩy tiến bộ, trái lại nó sẽ làm mê hoặc và cản trở bước tiến của chính mình. Trong kiểm tra đánh giá nội dung kiểm tra, đánh giá phải toàn diện, bao gồm cả kiến thức, kỹ năng và phương pháp, không phải chỉ yêu cầu HS tái hiện kiến thức và kỹ năng. Mặt khác cần có biện pháp hướng dẫn HS biết cách tự đánh giá, có thói 19 quen đánh giá lẫn nhau. Việc kiểm tra đánh giá còn có tác dụng giáo dục HS: Tính thần trách nhiệm trong học tập, thói quen làm việc có kế hoạch và đúng thời hạn, thái độ trung thực. Nội dung kiểm tra và cách kiểm tra của GV có tác dụng lớn đến thái độ, tinh thần học tập, đến tư tưởng, tình cảm của HS đối với bộ môn. Để rèn luyện kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá cho HS [15], GV cần bồi dưỡng cho các em: - Khả năng so sánh đối chiếu kết luận của thầy và ý kiến của bạn đối với kết quả của bản thân để tự điều chỉnh, sửa chữa hoặc hoàn thiện kết quả mà mình đã tìm được. Giúp HS tự kiểm tra kết quả học tập của mình, tự phát hiện ra các lỗ hổng kiến thức, những sai lầm trong nhận thức để bổ sung, khắc phục, khuyến khích khả năng tự đánh giá. - Khả năng đánh giá cách giải quyết các vấn đề của thầy, bạn. Từ đó rút ra kinh nghiệm về phương pháp học tập của mình và luôn luôn biết cách tự điều chỉnh, hoàn thiện, lựa chọn cách học tốt nhất. Thực tế cho thấy HS ít có thói quen tự kiểm tra, đánh giá kết quả của mình, điều đó tạo thói quen thoả mãn với những gì đã làm được, hạn chế sự sáng tạo trong học tập. Ví dụ 1.4. Giải phương trình x − 2 ( x2 − x − 6) = 0 Có nhiều HS sẽ giải như sau:  x=2  x−2 =0   x = −2 x − 2 ( x − x − 6) = 0   2 x − x − 6 = 0  x = 3 2 GV có thể phân tích đánh giá lời giải như sau: - Sai lầm khi biến đổi tương đương là HS không ý thức được được điều kiện của x . Rõ ràng với nghiệm x = −2 thì x − 2 vô nghĩa. - Để tránh khỏi những sai lầm trên khi làm các dạng toán liên quan đến căn thức cần phải lưu ý đến điều kiện biểu thức chứa trong căn. Lời giải đúng cho bài toán trên là 20  x=2  x−2 =0    x = −2  2 x = 2 2  x − 2 ( x − x − 6) = 0   x − x − 6 = 0     x = 3 x = 3  x − 2  0      x  2 Từ ví dụ trên cho thấy tầm quan trọng của việc kiểm tra, đánh giá lại lời giải bài toán. 1.4. Những khái niệm cơ bản của dạy học giải quyết vấn đề 1.4.1. Vấn đề Các nhà nghiên cứu Polya [27], Schoenfeld, Reys, Fanghaenel, Stoliar, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Văn Cường, ....đã đề cập đến các thuật ngữ “vấn đề”, “bài toán” và có nhiều định nghĩa khác nhau. Theo Nguyễn Hữu Châu, vấn đề là tình huống mà cá nhân hoặc một nhóm cá nhân có nhu cầu giải quyết, lời giải không có sẵn, cách thức giải quyết không vượt quá xa khả năng của người học. Theo Nguyễn Bá Kim [14] cho rằng: “Một bài toán được gọi là một vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán”. Polya [21] cho rằng: “ Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” và giải bài toán tức là tìm ra phương tiện đó. Từ những quan niệm này cho thấy, bài toán là: Một yêu cầu đặt ra cho chủ thể; Chủ thể chưa có trong tay cách giải; Chủ thể nhận thức được sự cần thiết, ý nghĩa của nó và mong muốn tìm ra cách giải quyết; Chủ thể tích cực suy nghĩ tìm kiếm phương tiện giải quyết nó. Theo Nguyễn Văn Cường [6] khẳng định: “ Vấn đề là những câu hỏi hay nhiệm vụ đặt ra mà việc giải quyết chúng chưa có quy luật sẵn cũng như những tri thức, kỹ năng sẵn có chưa đủ giải quyết mà còn khó khăn, cản trở cần vượt qua” và ông nêu ra ba thành phần đặc trưng của một vấn đề là “Trạng thái xuất phát: không mong muốn; Trạng thái đích: trạng thái mong muốn; Sự cản trở”. Ông phân biệt vấn đề khác với nhiệm vụ thông thường ở chỗ khi giải quyết một nhiệm vụ thì có sẵn 21 trình tự và cách thức giải quyết, cũng như những kiến thức kỹ năng đã có đủ để giải quyết nhiệm vụ đó. Một số nhà nghiên cứu [6] cho rằng: Một vấn đề có liên quan đến một tình huống, trong đó người ta muốn đạt một cái gì đó và ngay lúc đó không biết cần phải làm gì để có được nó. Điều này có nghĩa, vấn đề được đặt vào một “tình huống” mà người GQVĐ “không biết phải làm gì” nghĩa là với kiến thức hiện có chưa thể giải quyết được hay chưa có sẵn câu trả lời, nhưng người GQVĐ lại “muốn” nghĩa là vấn đề thực sự thu hút, lôi cuốn và người GQVĐ thực sự có nguyện vọng, có tham vọng “đạt một cái gì” nghĩa là tìm được một giải pháp. Như vậy vấn đề được đề cập đến ở đây có đặc điểm: Chưa có sẵn câu trả lời; Có mong muốn tìm giải pháp. Như vậy, vấn đề mang tính chất tương đối, cùng một bài toán có thể đối với HS này là vấn đề nhưng HS khác lại không là vấn đề và trong tình huống này vấn đề trong tình huống khác lại không phải là vấn đề. Vấn đề trong toán học, gồm: Vấn đề thuần túy toán học; Vấn đề ứng dụng. Các vấn đề khác nhau được giải quyết theo nhiều cách khác nhau. Ở nội dung toán THCS, vấn đề xuất hiện trong tất cả các tình huống dạy học điển hình: dạy học khái niệm, dạy học định lý, dạy học quy tắc phương pháp, dạy học giải bài tập dưới dạng những câu hỏi xây dựng khái niệm, câu hỏi chỉ ra thuộc tính đặc trưng của khái niệm, yêu cầu thực hiện thao tác để phát hiện ra định lý và tính chất, bài toán có thuật giải, bài toán tìm tòi, bài toán chứng minh,... Từ phân tích các quan niệm về “bài toán” và “vấn đề”, tác giả luận văn quan niệm: Bài toán trong dạy học toán THCS là một yêu cầu đặt ra, HS nhận thức được sự cần thiết, mong muốn và tích cực suy nghĩ tìm ra cách thức để giải quyết. Vấn đề trong dạy học toán THCS là một bài toán mà HS chưa biết cách giải quyết nhưng có đủ kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết. 1.4.2. Tình huống gợi vấn đề Trong dạy học GQVĐ ta quan tâm đến tình huống có vấn đề, theo Trần Kiều [13]: Tình huống có vấn đề là những lúng túng về lý thuyết và thực hành để GQVĐ, tức là vào thời điểm đó vào tình huống đó thì những kiến thức và kĩ năng vốn có chưa đủ để tìm ra ngay lời giải; Tình huống có vấn đề luôn chứa đựng một nội dung cần xác định, một nhiệm vụ cần giải quyết, một vướng mắc cần tháo gỡ, và kết quả của 22 việc nghiên cứu và giải quyết sẽ là những tri thức mới, nhận thức mới, hoặc phương thức hành động mới đối với chủ thể; Tình huống có vấn đề được cấu thành bởi ba thành phần (Nhu cầu nhận thức hoặc hành động của người học; Sự tìm kiếm những tri thức và phương thức hành động chưa biết; Khả năng trí tuệ của chủ thể, thể hiện ở năng lực và kinh nghiệm). Nguyễn Bá Kim [14] cho rằng: “Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho HS những khó khăn về mặt lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có”. Ông cho rằng tình huống gợi vấn đề phải thỏa mãn ba điều kiện: Tồn tại một vấn đề; Gợi nhu cầu nhận thức; gây niềm tin ở khả năng. Từ những quan điểm trên cho thấy: Tình huống gợi vấn đề là tồn tại một vấn đề, HS mong muốn giải quyết và HS có niềm tin là sẽ giải quyết được. Tình huống vấn đề trong dạy học toán THCS có thể là tình huống xuất phát từ quá trình học tập của cá nhân HS, có thể xuất phát từ đời sống thường ngày của HS, gia đình, cộng đồng, tình huống khoa học mà ta dùng kiến thức toán THCS để giải quyết; việc hiểu và giải quyết các tình huống này sẽ đạt được kiến thức, kỹ năng và phương pháp. Ví dụ 1.5. Giải phương trình ( x + 3) x − 1 = 0 (1) Trước bài toán “Giải phương trình ( x + 3) x − 1 = 0 (1) ”, một học sinh cho lời giải như sau: x + 3 = 0  x = −3 . PT(1)    x 1 = x 1 0 − =   Vậy phương trình có nghiệm là x = −3, x = 1. Tận dụng lời giải trên có thể tạo ra một tình huống có vấn đề như sau: Yêu cầu học sinh nhận xét lời giải trên. Sau khi xem xét, nếu cả lớp cho rằng lời giải trên đúng thì GV khẳng định lời giải trên là sai và yêu cầu HS tìm chỗ sai. Nếu cả lớp không nhận ra sai lầm, GV yêu cầu HS thử kiểm tra giá trị x = −3 có là nghiệm của phương trình không, bằng cách thay trực tiếp vào PT ban đầu. Kết quả, HS nhận ra x = −3 không là nghiệm của phương trình, trong khi lời giải trên lại cho 23 đáp số là x = −3, x = 1 . Mâu thuẫn này tạo ra ở HS sự ngạc nhiên và nhu cầu muốn tìm hiểu xem sai lầm ở đâu. Đến đây, có thể nhiều khả năng ta đã đạt được một tình huống gợi vấn đề. Nếu cả lớp không nhận ra sai lầm đó, giáo viên trình bày một lời giải, giả định là của một học sinh khác như sau: x −1  0 x  1   “PT(1)    x + 3 = 0    x = −3  x − 1 = 0  x = 1   Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 ” Dự đoán rằng, HS vẫn công nhận lời giải này là đúng. Điều này gây ra mâu thuẫn: hai lời giải trên đều đúng nhưng kết quả lại khác nhau. Đến đây, ta đã đạt được một tình huống gợi vấn đề vì nó gây niềm tin ở HS khả năng giải quyết bài toán hơn. HS nhận ra một số biến đổi khác biệt trong hai cách giải và từ đó tạo được niềm tin rằng nguyên nhân sai lầm chỉ quanh quẩn đâu đó xung quanh các biến đổi này. 1.4.3. Dạy học giải quyết vấn đề Dạy học GQVĐ là một quan điểm dạy học tích cực được đặc biệt chú ý. Quan điểm dạy học này được hình thành dựa trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết nhận thức vận dụng vào quá trình dạy học nhằm phát triển khả năng nhận thức của HS, đặc biệt là khả năng tư duy và năng lực GQVĐ. Có nhiều định nghĩa khác nhau về dạy học GQVĐ, tuy nhiên chúng đều giống nhau và có thể định nghĩa như sau: Dạy học GQVĐ là dạy học trong đó học sinh tham gia một cách có hệ thống vào quá trình GQVĐ, các vấn đề đưa ra đã được xây dụng theo chu trình [5]. Dạy học GQVĐ là một trong những tiếp cận dạy học mà ở đó GV là người tạo ra tình huống có vấn đề, tổ chức, điều khiển HS phát hiện vấn đề, HS tích cực, chủ động, tự giác giải quyết vấn đề thông qua đó mà lĩnh hội tri thức, kỹ năng, kỹ xảo nhằm đạt được mục tiêu dạy học. Nghiên cứu [14] chỉ ra ba đặc trưng của dạy học GQVĐ: HS được đặt vào một tình huống gợi vấn đề; HS hoạt động tích cực, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để GQVĐ; Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho HS lĩnh hội kết quả 24 của quá trình GQVĐ mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy, nghĩa là HS không chỉ học kết quả của việc học mà trước hết là học bản thân việc học. Theo Bernd Meier và Nguyễn Văn Cường [5] trong dạy học GQVĐ: HS được đặt trong một tình huống có vấn đề, đó là tình huống chứa đựng những mâu thuẫn nhận thức, thông qua việc GQVĐ, giúp HS lĩnh hội tri thức, kỹ năng và phương pháp nhận thức. Nguyễn Bá Kim [14] cho rằng: Trong dạy học GQVĐ, thầy giáo tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo để GQVĐ, thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng và đạt được những mục tiêu học tập khác. Dạy học GQVĐ là một trong những hướng tiếp cận dạy học mà ở đó GV là người tạo ra tình huống có vấn đề, tổ chức, điều khiển HS phát hiện vấn đề, HS tích cực, chủ động, tự giác giải quyết vấn đề thông qua đó mà lĩnh hội tri thức, kỹ năng, kỹ xảo nhằm đạt được mục tiêu dạy học. Như vậy, trong dạy học GQVĐ điều quan trọng nhất không phải là việc tìm kiếm câu trả lời đúng, mà là việc làm thế nào một người đi đến được câu trả lời đúng. GQVĐ tập trung vào quá trình chứ không phải là sản phẩm. Dạy học GQVĐ có một mục tiêu là hình thành kỹ năng GQVĐ, một kỹ năng có vị trí quan trọng để con người có thể thích ứng với sự phát triển của xã hội tương lai. 1.5. Nội dung chương trình chủ đề Phương trình, Hệ phương trình trong chương trình môn Toán trung học cơ sở Theo tài liệu chuẩn kiến thức môn Toán THCS của Bộ Giáo dục và Đào tạo, nội dung phương trình, hệ phương trình, được hướng dẫn như sau: Chủ đề Kiến thức Kỹ năng Phương - Biết được dạng cơ bản của - Biết đưa phương trình về dạng trình phương trình bậc nhất và bậc hai phương trình cơ bản. một ẩn. - Biết giải phương trình thông qua - Biết được dạng của phương các thuật giải. trình tích và phương trình chứa ẩn - Vận dụng các kiến thức về phương 25 ở mẫu. trình để giải các bài toán thực tế. - Biết được một số phương pháp giải phương trình. Hệ - Biết được dạng của hệ phương - Biết giải các hệ phương trình cơ phương trình bậc nhất hai ẩn. trình - Biết được một số phương pháp phương pháp cộng đại số. bản bằng phương pháp thế và giải hệ phương trình. - Ngoài ra còn biết giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ và dùng định thức. - Vận dụng các kiến thức về hệ phương trình để giải các bài toán thực tế. 1.6. Thực trạng dạy học phương trình, hệ phương trình theo hướng phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường THCS. Dựa trên cơ sở lý luận về dạy học phương trình, hệ phương trình theo định hướng phát triển một số kỹ năng giải quyết vấn đề cho HS THCS, đề tài khảo sát thực tiễn dạy học phương trình, hệ phương trình theo định hướng phát triển một số kỹ năng giải quyết vấn đề cho HS THCS hiện nay. 1.6.1. Mục đích khảo sát - Tìm hiểu nhận thức của GV về dạy học phương trình, hệ phương trình theo định hướng phát triển một số kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS THCS. - Thực trạng dạy học phương trình, hệ phương trình theo định hướng phát triển một số kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS THCS. - Biểu hiện phát triển kĩ năng GQVĐ của HS trong quá trình học tập. - Những khó khăn của GV khi dạy học GQVĐ. 1.6.2. Đối tượng, nội dung và phương pháp điều tra - Đối tượng điều tra: Xin ý kiến phản hồi bằng hình thức phỏng vấn và phiếu điều tra từ GV dạy Toán THCS (20 GV) và 300 HS khối 9 của trường THCS Phong Hải, THCS Yên Hải và THCS Nam Hòa, thị xã Quảng Yên, tỉnh Quảng Ninh. - Nội dung điều tra: 26 + Tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình ở trường THCS, những thuận lợi khó khăn của GV và HS khi dạy học nội dung này. + Tìm hiểu thực trạng dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình theo hướng phát triển một số kỹ năng GQVĐ cho HS ở trường THCS. - Phương pháp tiến hành: Đã đến 3 trường THCS tại thị xã Quảng Yên để thực hiện phỏng vấn, dự giờ một số giờ giảng dạy trực tiếp của các GV tại trường (3 GV) về nội dung này, phỏng vấn HS lớp 9 (15 HS) đồng thời sử dụng phiếu khảo sát để thăm dò ý kiến của GV (15GV) và HS (300 HS). 1.6.3. Kết quả khảo sát Để điều tra về hiện trạng sử dụng và phát triển kỹ năng GQVĐ trong dạy và học chủ đề phương trình, hệ phương trình ở trường THCS hiện nay, tác giả luận văn cũng đã tiến hành trao đổi trực tiếp và phát phiếu điều tra đối với 15 giáo viên và 300 học sinh ở ba trường: Trường THCS Phong Hải, trường THCS Nam Hòa và trường THCS Yên Hải. Mẫu phiếu điều tra được thiết kế và trình bày ở phụ lục trong luận văn này. Kết quả khảo sát được trình bày như sau: - Về phía GV Câu 1: Thầy/ Cô cho rằng chủ đề giải PT, HPT ở trường THCS là một chủ đề: Rất khó Trả lời Khó 2/15 (13,3%) Bình thường 12/15(80%) Dễ 1/15 (6,7%) Câu 2: Để dạy học chủ đề PT, HPT ở trường THCS, thầy (cô) đã sử dụng phương pháp dạy học nào? Nội dung Trả lời Thuyết trình 13/15 (86,7%) Vấn đáp 12/15 (80%) Trực quan 5/15 (33,3%) Phân nhóm 7/15 (46,7%) Dạy học theo PISA 0 Dạy học theo hướng giải quyết vấn đề 6/15 (40%) 27 Câu 3: Thầy/ Cô đã sử dụng phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn dề trong dạy học toán, Thầy/Cô cho rằng Mức độ Nội dung Hoàn Đồng ý toàn Không Rất đồng ý không đồng ý đồng ý Hướng dạy học này mang lại hiệu quả 2/15 13/15 tích cực trong dạy học (86,7%) (13,3%) Mất nhiều thời gian và trí tuệ cho việc 2/15 12/15 1/15 chuẩn bị bài giảng và các hoạt động (13,3%) (80%) (6,4%) Dạy học theo hướng giải quyết vấn đề 2/15 11/15 2/15 tuy hay nhưng ít cơ hội thực hiện do (13,3%) (73,4%) (13,3%) HS rất hứng thú đối với những giờ 2/15 9/15 4/15 học này (60%) (26,7%) Để HS thực hiện quá trình tìm tòi và 4/15 7/15 4/15 giải quyết vấn đề mất nhiều thời gian (26,7%) (46,6%) (26,7%) dạy học khó tạo được tình huống gợi vấn đề (13,3%) và dễ “cháy giáo án” Câu 4: Đánh giá của Thầy/Cô về tiết dạy phát triển kỹ năng GQVĐ cho HS? (Có thể lựa chọn nhiều tiêu chí): Mức độ STT Hoàn Nội dung Đồng ý toàn Không Rất đồng ý không đồng ý 1 đồng ý HS biết thực hiện gộp các bước 2/15 12/15 1/15 tính trong bài giải; tìm nhiều (13,3%) (80%) (6,7%) cách giải, chỉ ra được cách giải hay nhất; có bài giải bằng những suy luận gián tiếp, những nhận 28 xét sắc sảo, những lập luận chặt chẽ, lôgic. 2 HS biết hệ thống hóa và sử dụng 3/15 10/15 2/15 các kiến thức, kĩ năng, thuật giải (20%) (66,7%) (13,3%) HS biết lập kế hoạch giải, lập 5/15 6/15 4/15 dàn bài, dàn ý, chương trình thực (33,3%) (40%) (26,7%) HS phát hiện ra hoặc giải thích 6/15 5/15 4/15 được vấn đề mới dựa trên kiến (40%) (33,3%) (26,7%) HS giải quyết được các bài tập 2/15 6/15 7/15 khó với những tình huống và dữ (13,3%) (40%) (46,7%) HS có được cách giải quyết vấn 8/15 6/15 1/15 đề, cách suy luận vấn đề linh (53,3%) (40%) (6,7%) Có nhiều bài làm hoặc bài giải 5/15 7/15 3/15 súc tích, sáng sủa, độc đáo của (33,3%) (46,7%) (20%) Không khí lớp học sôi nổi, HS 6/15 8/15 1/15 tích cực, chủ động hăng hái phát (40%) (53,3%) (6,7%) HS biết nhanh chóng thiết lập 3/15 7/15 5/15 mối liên hệ, lập kế hoạch ứng (20%) (46,7%) (33,3%) trong quá trình luyện tập, ôn tập một chủ đề kiến thức cụ thể. 3 hiện cho từng vấn đề cụ thể (theo quy trình, các bước thực hiện). 4 thức của bài học. 5 liệu đã biến đổi. 6 hoạt. 7 HS. 8 biểu. 9 phó với vấn đề; phản xạ nhạy bén với những vấn đề mới phát sinh trong quá trình giải quyết 29 nhiệm vụ học tập. Câu 5: Khi dạy học theo hướng GQVĐ, Thầy/Cô đã rèn luyện và phát triển những kỹ năng nào cho HS? Mức độ Nội dung Hoàn Đồng ý toàn đồng Không Rất đồng ý không đồng ý ý - Kỹ năng xác định các yếu tố - Kỹ năng nhận biết câu hỏi - Kỹ năng đọc được hình ảnh 3/15 10/15 2/15 (20%) (66,7%) (13,3%) 1/15 14/15 (6,7%) (93,3%) 2/15 13/15 (13,3%) (86,7%) - Kỹ năng thể hiện các dữ kiện (biểu 2/15 10/15 3/15 đồ, đồ thị, ...) (13,3%) (66,7%) (20%) - Kỹ năng ước lượng, phỏng đoán 3/15 7/15 5/15 (20%) (46,7%) (33,3%) 2/15 9/15 4/15 (13,3%) (60%) (26,6%) 1/15 8/15 6/15 (6,7%) (53,3%) (40%) 3/15 11/15 1/15 (20%) (73,3%) (6,7%) 2/15 12/15 1/15 (13,3%) (80%) (6,7%) 2/15 6/15 7/15 (13,3%) (40%) (46,7%) 6/15 6/15 3/15 (40%) (40%) (20%) 5/15 7/15 - Kỹ năng phân tích - Kỹ năng tổng hợp - Kỹ năng suy luận logic - Kỹ năng vẽ hình - Kỹ năng tưởng tượng - Kỹ năng tính toán - Kỹ năng khái quát hóa, đặc biệt 3/15 30 hóa (20%) (33,3%) (46,7%) - Kỹ năng so sánh, tương tự 3/15 6/15 6/15 (20%) (40%) (40%) 1/15 6/15 8/15 (6,7%) (40%) (53,3%) 3/15 11/15 1/15 (20%) (73,3%) (6,7%) - Kỹ năng đánh giá - Kỹ năng sáng tạo bài toán mới Câu 6: Để kiểm tra đánh giá HS khi học chủ đề PT, HPT ở trường THCS, Thầy/ Cô đã sử dụng hình thức kiểm tra nào? Nội dung Số lượng Tự luận 3/15 (20%) Trắc nghiệm khách quan 4/15 (26,7%) Tự luận và trắc nghiệm 8/15 (53,3%) Câu 7: Đề kiểm tra đánh giá HS khi học chủ đề PT, HPT ở trường THCS, theo thầy cô nên sử dụng hình thức kiểm tra: Nội dung Số lượng Tự luận 5/15 (33,3%) Trắc nghiệm khách quan 0 Tự luận và trắc nghiệm 10/15 (66,7%) Câu 8: Theo Thầy/Cô những biểu hiện về phát triển kỹ năng GQVĐ của HS trong giờ học như thế nào? Mức độ thực hiện Tiêu chí đánh giá Rất tốt Tốt Không Rất tốt không tốt Biết phát hiện vấn đề và nêu vấn đề 2/15 trong học tập. 12/15 (13,3%) (80%) 1/15 (6,7%) Biết đề xuất các ý tưởng của giả 1/15 9/15 5/15 thuyết. (60%) (33,3%) 10/15 3/15 (6,7%) Biết xác định các kiến thức cần cho 2/15 31 việc GQVĐ. (13,3%) (66,7%) Biết tìm hiểu kiến thức mới có liên 2/15 quan. 9/15 (13,3%) (60%) (20%) 4/15 (26,7%) Biết lựa chọn giải pháp tốt và đánh 1/15 8/15 6/15 giá giải pháp. (53,3%) (40%) (6,7%) Câu 9: Theo thầy (cô) những khó khăn thường gặp trong tổ chức dạy học nhằm phát triển kỹ năng GQVĐ cho HS là: (Có thể chọn nhiều tiêu chí): Mức độ Hoàn Nội dung STT Đồng ý toàn Không Rất đồng ý không đồng ý 1 2 3 đồng ý GV cần dành nhiều thời gian, 10/15 4/15 1/15 công sức. (66,7%) (26,6%) (6,7%) Không có nhiều tài liệu. 9/15 5/15 1/15 (60%) (33,3%) (6,7%) Thời lượng tiết học ngắn, không 11/15 4/15 cho phép đưa nhiều kiến thức bên (73,4%) (26,6%) ngoài vào bài dạy. 4 Trình độ của HS không đồng đều. 8/15 7/15 (53,3%) (46,7%) Câu 10. Thầy/Cô cho biết khi dạy chủ đề PT, HPT HS có hay mắc phải những sai lầm giải toán không và đó là sai lầm gì? - Trả lời: Có. Không chú ý điều kiện, biến đổi sai, tính toán không chính xác... Câu 11. Theo Thầy/ Cô thì nguyên nhân dẫn đến những sai lầm trên là gì? - Trả lời: không hiểu bản chất, chưa nắm vững kiến thức, một phần sai lầm do gv chưa quan tâm đến kĩ năng giải toán cho HS.... Như vậy, qua các câu hỏi khảo sát có thể thấy một số vấn đề khi dạy học chủ đề PT, HPT như sau: 32 - 80% các thầy cô cho rằng chủ đề PT, HPT là một chủ đề không khó đối với các HS, do đó có nhiều cơ hội để HS rèn luyện các kĩ năng toán học cần thiết. - Trong dạy học toán thầy cô cho rằng khi dạy học theo hướng giải quyết vấn đề sẽ mang lại hiệu quả tích cực trong dạy học so với các phương pháp dạy học truyền thống, phương pháp theo hướng giải quyết vấn đề rất hứng thú đối với học sinh. Tuy là phương pháp nhưng ít có cơ hội thực hiện do khó tạo tình huống gợi vấn đề, để chuyển bị được một bài giảng tốt mất nhiều thời gian và trí tuệ của GV. Hơn nữa để HS thực hiện tìm tòi và GQVĐ mất nhiều thời gian dẫn đến “cháy giáo án”. - Khi dạy học theo hướng phát triển kỹ năng GQVĐ cho HS, GV nhận thấy HS biết thực hiện gộp các bước tính trong bài giải; tìm hiểu cách giải, chỉ ra được cách giải hay nhất; có bài giải bằng những suy luận gián tiếp, những nhận xét sắc sảo, những lập luận chặt chẽ, logic. HS biết hệ thống hóa và sử dụng các kiến thức, kỹ năng, thuật giải trong quá trình luyện tập, ôn tập một chủ đề kiến thức cụ thể. HS có được cách giải quyết vấn đề, cách suy luận vấn đề linh hoạt. Có nhiều bài làm hoặc bài giải súc tích, sáng sủa, độc đáo của HS. Không khí lớp học sôi nổi, HS tích cực, chủ động hăng hái phát biểu. HS biết nhanh chóng thiết lập mối liên hệ, lập kế hoạch ứng phó với vấn đề; phản xạ nhạy bén với những vấn đề mới phát sinh trong quá trình giải quyết nhiệm vụ học tập. Tuy HS phát hiện hoặc giải thích được vấn đề mới dựa trên kiến thức bài học nhưng với những bài tập khó, những tình huống và dữ liệu biến đổi HS mức độ giải quyết chưa cao. - Đa số thầy cô cho rằng dạy học theo hướng GQVĐ cho HS đã rèn luyện và phát triển những kĩ năng sau: Kỹ năng dự đoán phát hiện vấn đề; Kỹ năng định hướng giải quyết vấn đề; Kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề; Kỹ năng tự kiểm tra, đánh giá. Có thể thấy rằng khi dạy học theo hướng này mang lại hiệu quả cao khi giúp học sinh phát triển được nhiều kĩ năng. - Để kiểm tra đánh giá học sinh chủ đề PT, HPT ở trường THCS, thầy cô đã thường xuyên kết hợp sử dụng hình thức tự luận và trắc nghiệm khách quan. Theo các thầy cô khi kiểm tra đánh giá học sinh chủ đề này nên sử dụng hình thức kiểm tra tự luận kết hợp trắc nhiệm khác quan. Khi kết hợp hai hình thức này HS phát triển 33 được khả năng tư duy, lập luận logic hơn nữa hình thức này đánh giá đúng, khách quan năng lực của học sinh. Kết hợp với trắc nghiệm khác quan sẽ bao quát được nhiều kiến thức. - Phương pháp dạy học theo hướng phát triển kỹ năng GQVĐ cho học sinh là phương pháp hay tuy nhiên việc tổ chức theo phương pháp này vẫn gặp phải một số khó khăn như sau: GV cần dành nhiều thời gian, công sức; Không có nhiều tài liệu; Thời lượng tiết học ngắn, không cho phép đưa nhiều kiến thức bên ngoài vào bài dạy; Trình độ của HS không đồng đều. - Khi phỏng vấn trực tiếp các thầy cô khi dạy học chủ đề PT, HPT các thầy cô cho biết rằng HS mắc phải những sai lầm khi giải toán như tính toán không chính xác, biến đổi sai hay thường xuyên không chú ý đến điều kiện,…. Nguyên nhân chủ yếu đến những sai lầm trên là do HS không hiểu bản chất, chưa nắm vững kiến thức, một phần sai lầm cũng đến từ GV khi chưa thực sự quan tâm đến kỹ năng giải toán cho HS. - Về phía HS Câu 1: Em có hứng thú với chủ đề PT, HPT ở trường THCS hay không Nội dung Số lượng Rất hứng thú 101/300 (33,7%) Hứng thú 183/300 (61%) Bình thường 16/300 (5,3%) Không hứng thú 0 Câu 2. Để chuẩn bị trước cho bài học chủ đề PT, HPT, em thường Nội dung Số lượng Nghiên cứu trước theo nội dung hướng 201/300 (67%) dẫn của giáo viên (nếu có) Tham khảo, tìm đọc các tài liệu có liên 52/300 (17,3%) quan đến chủ đề Không chuẩn bị gì cả 47/300 (15,7%) Câu 3. Trong giờ học, khi giáo viên đưa ra câu hỏi/bài tập chủ đề giải phương trình, hệ phương trình, em thường 34 Nội dung Số lượng Suy nghĩ tìm cách trả lời câu hỏi/bài tập để phát biểu 189/300 (63%) Suy nghĩ tìm cách trả lời câu hỏi/bài tập nhưng không 40/300 (13,3%) dám phát biểu vì sợ không đúng Chờ câu hỏi hoặc cách giải của bạn 36/300 (12%) Chờ giáo viên trả lời/giải bài tập 35/300(11,7%) Câu 4. Sau khi học xong mỗi bài chủ đề PT, HPT về nhà em thường Nội dung Số lượng Tìm đọc thêm các tài liệu liên quan đến chủ đề PT, HPT ở 12/300 (4%) ngoài SGK để hiểu rõ hơn các kiến thức đã học Chủ động học bài cũ, trả lời câu hỏi và làm bài tập về nhà 168/300 (56%) Học bài cũ nhưng chỉ thuộc một cách máy móc 85/300 (28,3%) Không học bài cũ vì không hiểu bài 22/300 (7,3%) Không học bài cũ vì không thích học 13/300 (4,3%) Câu 5. Em cho rằng chủ đề PT, HPT ở trường THCS là một chủ đề Nội dung Số lượng Rất khó 43/300 (14,3%) Khó 68/300 (22,7%) Bình thường 157/300 (52,3%) Dễ 32/300 (10,7%) Câu 6: Trong giờ học Toán, nếu giáo viên có sử dụng các phương tiện dạy học như máy chiếu, biểu đồ, hình vẽ trực quan thì Nội dung Số lượng Em hào hứng, tập trung chú ý đến bài 148/300 (49,3%) giảng của giáo viên Em tập trung vào các phương tiện dạy 37/300 (12,3%) học hơn là tập trung nghe giảng Em không quan tâm đến phương tiện dạy 48/300 (16%) học, chỉ quan tâm đến bài giảng của giáo viên 35 Em cảm thấy mình tiếp thu được kiến 67 (22,3%) thức tốt hơn nhờ đó em có thể làm được các bài tập Câu 7. Em hãy tự đánh giá mức độ tiếp thu các kiến thức Toán học của bản thân trong quá trình học chủ đề PT, HPT? Nội dung Số lượng Rất tốt 51/300 (17%) Tốt 187/300 (62,3%) Bình thường 57/300 (19%) Không tốt 5/300 (1,7%) Qua các câu hỏi khảo sát có thể thấy một số vấn đề gặp phải của HS như sau: - Theo các em chủ đề PT, HPT ở trường THCS là chủ đề không khó, nội dung trong SGK cơ bản không quá nặng về mặt kiến thức. Đa số HS đều hứng thú khi học tập chủ đề này nguyên nhân có thể là nội dung dễ hiểu, nhiều ứng dụng trong thực tế. - Có thể thấy rằng để chuẩn bị trước bài học chủ đề PT, HPT phần lớn HS thường nghiên cứu trước theo nội dung hướng dẫn của GV hoặc tham khảo, tìm các tài liệu có liên quan đến nội dung chủ đề. Điều này thực sự tốt cho HS khi có sự chuẩn bị sẽ giúp cho việc tiếp thu kiến thức đạt hiệu quả cao. - Trong giờ học, khi GV đưa ra câu hỏi hoặc bài tập chủ đề giải PT, HPT HS thường suy nghĩ cách giải và trả lời câu hỏi, tuy vậy vẫn có một số HS biết cách giải nhưng vẫn chưa mạnh dạn phát biểu trả lời do sợ không đúng, bên cạnh đó một số ít HS vẫn thụ động phụ thuộc vào câu trả lời hoặc đáp án từ GV điều này thực sự không tốt cho việc phát triển một số kỹ năng. - Sau khi học xong mỗi bài chủ đề PT, HPT HS có ý thức chủ động học bài cũ, tuy nhiên chỉ học bài cũ thôi thì việc rèn luyện các kĩ năng giải quyết vấn đề chưa thể đạt được. HS cần tìm đọc thêm các tài liệu có liên quan đến chủ đề này ngoài SGK để “va chạm” nhiều bài toán hay khi đó sẽ hiểu các kiến thức đã học. Bên cạnh đó vẫn còn một số HS không học bài cũ nguyên nhân là do không hiểu bài, không thích học điều này cho thấy rằng khả năng tiếp thu kiến thức của HS là không đồng đều. 36 - Trong giờ học toán, khi GV có sử dụng các phương tiện dạy học như máy chiếu, biểu đồ, hình vẽ trực quan thì đa số HS hào hứng, tập trung chú ý đến bài giảng của GV. Khi đó HS sẽ tiếp thu kiến thức rõ ràng tốt hơn và chất lượng dạy học cũng được nâng cao. Tuy nhiên vẫn có một bộ phận HS chỉ tập trung vào các phương tiện dạy học hơn là tập trung nghe giảng dẫn đến các em không hiểu nội dung bài học, gặp khó khăn trong việc phát triển một số kỹ năng giải quyết vấn đề cho HS. - Đối với chủ đề PT, HPT đa số HS tự đánh giá mức độ tiếp thu các kiến thức cơ bản là khá tốt, do đó thuận lợi cho GV tổ chức các hoạt động nhằm phát triển một số kĩ năng giải quyết vấn đề cho HS. 1.7. Tiểu kết chương 1 Chương 1 đã nghiên cứu, trình bày lý luận về lịch sử nghiên cứu vấn đề, các yếu tố, đặc điểm, khái niệm, sự hình thành của kỹ năng và các thành tố cơ bản của kỹ năng. Ngoài ra còn trình bày về những khái niệm cơ bản của dạy học GQVĐ và nội dung PT, HPT trong trường THCS. Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS hiện nay, việc vận dụng hình thức dạy học GQVĐ nhằm phát triển một số kỹ năng cho HS còn nhiều hạn chế. Nội dung PT, HPT là một nội dung gây nhiều khó khăn cho cả GV và HS trong quá trình dạy và học. Vì vậy đa phần các GV vẫn chủ yếu dạy học theo lối truyền thụ một chiều. Như vậy, để việc dạy và học chủ đề “Phương trình, hệ phương trình” được nâng cao thì người GV phải thay đổi cách dạy, đồng thời người HS cũng phải thay đổi cách học. Muốn như vậy GV phải rèn cho HS cách tư duy để HS có thể phát triển một số kỹ năng GQVĐ trong quá trình học. Điều này sẽ giúp HS tích cực hơn trong học tập, có khả năng phân tích và tìm ra phương pháp giải, tránh tình trạng học bài nào biết bài đó như hiện nay. Từ cơ sở lý luận và thực tiễn đó tác giả luận văn thấy việc dạy học nhằm phát triển một số kỹ năng GQVĐ cho HS là quan trọng và cần thiết, đó cũng là những căn cứ quan trọng về mặt lý luận và thực tiễn để tôi đề xuất các biện pháp sư phạm ở chương 2. 37 CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN MỘT SỐ KỸ NĂNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HS TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ 2.1. Một số nguyên tắc xây dựng biện pháp dạy học phương trình, hệ phương trình cho học sinh nhằm phát triển một số kỹ năng giải quyết vấn đề ở trường THCS Mỗi biện pháp dạy học khi thực hiện cần dựa trên các nguyên tắc nhất định nào đó. Trên cơ sở lý luận và thực tiễn của chương 1, cùng với điều kiện đơn vị tiến hành thực nghiệm sư phạm, việc dạy học để phát triển một số kỹ năng GQVĐ cần dựa trên các nguyên tắc cơ bản sau: 2.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo sự tôn trọng, kế thừa, phát triển Chương trình, SGK hiện hành Chương trình và SGK môn Toán được xây dựng trên cơ sở kế thừa những kinh nghiệm tiên tiến ở trong và ngoài nước theo một hệ thống quan điểm nhất quán về phương diện toán học cũng như về phương diện sư phạm, nó đã được thực hiện thống nhất trong phạm vi toàn quốc trong nhiều năm và được điều chỉnh nhiều lần cho phù hợp với mục tiêu đào tạo mới, phù hợp với mục tiêu giáo dục ở nước ta. Vì vậy, các biện pháp phải phù hợp với yêu cầu đổi mới căn bản toàn diện nền giáo dục Việt Nam trong giai đoạn hiện nay, đặc biệt trong Chương trình GDPT mới. Nghĩa là: Các biện pháp thể hiện rõ ý tưởng trang bị, hình thành và phát triển kỹ năng GQVĐ cho HS; Phù hợp với quan điểm chuyển từ trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện phẩm chất, kỹ năng của người học. Các biện pháp phát triển kỹ năng GQVĐ cho học sinh THCS phải được dựa trên cơ sở nội dung phần Phương trình – Hệ phương trình trong chương trình, SGK, chuẩn kiến thức kỹ năng hiện hành. Cụ thể là: Phải xác định được các nội dung Phương trình – Hệ phương trình có cơ hội để hình thành và phát triển kỹ năng GQVĐ và phải chứa đựng tình huống bộc lộ những chướng ngại, khó khăn đòi hỏi người học phải tìm hiểu, biến đổi đối tượng để giải quyết nó. 2.1.2. Nguyên tắc 2: Phù hợp với học sinh Việc rèn luyện kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình phải phù hợp với 38 từng đối tượng HS. Nguyên tắc này đảm bảo tính vừa sức trong hoạt động dạy học nói chung và dạy học môn Toán nói riêng, cụ thể trong nội dung phương trình, hệ phương trình GV sắp xếp bài tập theo từng dạng dựa trên nội dung phương trình, hệ phương trình trong SGK và sách bài tập, mức độ bài tập cũng được nâng dần từ dễ đến khó, có dạng cơ bản và dạng nâng cao đảm bảo HS với sự nỗ lực trí tuệ nhất định chỉ có thể lĩnh hội được những tri thức phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý của từng cá nhân. Trong cùng lớp học, HS có khả năng tiếp thu, trình độ nhận thức không đồng đều. Vì vậy, khi xây dựng các biện pháp để rèn luyện kỹ năng giải toán cho HS ta phải chú ý sao cho phù hợp với từng đối tượng HS. 2.1.3. Nguyên tắc 3: Đảm bảo tính khả thi góp phần đổi mới phương pháp dạy học “Khả thi” theo từ điển Tiếng Việt nghĩa là khả năng thực hiện một biện pháp sư phạm có tính khả thi, theo người viết phải khả thi với hai nhóm đối tượng là GV và HS. Nếu không khả thi với GV thì mục đích của việc đề xuất biện pháp sư pham không đạt được. Nếu không khả thi với đối tượng HS thì biện pháp đưa ra không có ý nghĩa và không đem lại giá trị thực tiễn. Biện pháp sư phạm để rèn luyện kỹ năng giải toán muốn có tính khả thi phải phù hợp với yêu cầu của chương trình. Mỗi bài, mỗi chương trình đều có yêu cầu về kiến thức và kỹ năng. Trên quan điểm chỉ đạo đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục là chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Phương pháp dạy và học cần khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học, tập trung dạy cách học, cách nghĩ và tự học, theo phương châm “giảng ít, học nhiều”. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần phải sắp xếp lại nội dung, cấu trúc bài giảng sao cho phù hợp với các đối tượng, vùng miền khác nhau đảm bảo cho học sinh hiểu một cách vững chắc, có hệ thống các kiến thức quy định trong chương trình. 2.2. Các biện pháp nhằm phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh ở trường trung học cơ sở thông qua dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình 2.2.1. Biện pháp 1: Trang bị tri thức phương pháp cho học sinh qua việc giải các 39 dạng toán thuộc nội dung phương trình, hệ phương trình 2.2.1.1. Mục đích của biện pháp Việc trang bị cho học sinh các tri thức về phương trình, hệ phương trình cơ bản nhằm chú trọng giúp học sinh: - Biết xác định dạng bài tập, phương pháp giải khi gặp những phương trình, hệ phương trình cụ thể; - Biết vận dụng các kiến thức đã biết để giải được những phương trình, hệ phương trình đã có thuật giải (tựa thuật giải). - Củng cố kiến thức về các khái niệm, tính chất, quy tắc biến đổi phương trình, hệ phương trình; vận dụng thành thạo các tính chất, quy tắc biến đổi của phương trình, hệ phương trình. Đây là kỹ năng rất quan trọng, là cơ sở để HS có thể thực hiện được việc giải PT, HPT đúng. - Biện pháp nhằm giúp HS rèn luyện các kỹ năng dự đoán phát hiện vấn đề, kỹ năng định hướng phát hiện vấn đề. 2.2.1.2. Nội dung và cách thức thực hiện của biện pháp Người có kỹ năng GQVĐ là người có thể giải quyết thành công các vấn đề. Polya [27] cho rằng để một người GQVĐ thành công điều quan trọng là người đó phải có cơ sở tri thức toán học đầy đủ để GQVĐ. Nguyễn Bá Kim [14], khẳng định rằng tri thức không phải là cái dễ dàng cho không. Để truyền thụ được một tri thức nào đó cho HS là việc làm không dễ nếu không có cách thức và con đường đúng đắn. Để HS có được một nền tảng kiến thức toán học chắc chắn thì người thầy cần hướng dẫn HS cách lĩnh hội thông qua các hoạt động nhận thức. Với bài học được thiết kế đặc biệt HS không những chiếm lĩnh được các tri thức mà còn được hình thành tri thức, phương pháp chiếm lĩnh tri thức đó. - Đầu tiên GV cần trang bị cho HS những tri thức phương pháp để giải bài toán phương trình, hệ phương trình. Phương pháp dạy học mà GV có thể sử dụng đó là “dạy học tường minh tri thức phương pháp” hoặc “thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động” để trang bị cho HS tri thức phương pháp. Dạy học tường minh tri thức phương pháp được qui định trong chương trình: Dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát là một 40 trong những cách làm đối với những tri thức phương pháp được quy định tường mình trong chương trình và SGK hoặc cũng có khi được GV tự quyết định đối với điều kiện cụ thể của lớp học. Đối với cấp độ này, GV cần rèn luyện cho HS những hoạt động dựa trên tri thức phương pháp được phát biểu một cách tổng quát, không chỉ dừng ở mức độ thực hành theo trình tự mẫu có sẵn ăn khớp với tri thức phương pháp này. Tuy nhiên, từng bước làm GV phải dẫn dắt HS hiểu dựa trên phương tiện ngôn ngữ đó. GV trang bị cho HS những tri thức mới dựa trên những tri thức tổng quát về phương trình, hệ phương trình, phương pháp để giải phương trình, hệ phương trình. Cụ thể như sau: Bước 1: Giúp HS trang bị các tri thức phương pháp về các dạng phương trình. . Bước 2: Giúp HS thực hiện được quy trình giải toán đối với phương trình, hệ phương trình đã được phân dạng. 2.2.1.3. Ví dụ minh họa Ví dụ 2.1 : Giải các phương trình sau b) 2 x − (3 − 5x) = 4( x + 3) a) 2 x( x − 3) + 5( x − 3) = 0 c) x x 2x + = 2( x − 3) 2 x + 2 ( x + 1)( x − 3) d) 3x 2 + 5 x − 1 = 0 Đối với bài toán trên, GV có thể sử dụng cách thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động: Bước 1: Đầu tiên là nêu đầy đủ quy trình các bước để giải phương trình tích, phương trình dạng ax + b = 0 , phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình bậc hai một ẩn. ☺ Các phương pháp giải:  Phương trình đưa về dạng ax + b = 0 + Thực hiện phép tính (bỏ ngoặc nếu có) + Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang vế trái và các hạng tử tự do sang vế phải + Giải phương trình ax + b = 0  ax = −b  x = + Kết luận 41 −b a  A(x) = 0  Phương trình tích A(x).B(x) = 0    B(x) = 0 + Phân tích đa thức thành nhân tử và đặt nhân tử chung + Đưa phương trình về dạng A(x).B(x) = 0 + Giải phương trình + Kết luận  Phương trình chứa ẩn ở mẫu + Tìm điều kiện xác định của phương trình + Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu + Giải phương trình vừa nhận được + (Kết luận). Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.  Phương trình dạng ax 2 + bx + c = 0(a  0) + Xác định hệ số a, b, c + Tính  = b2 − 4ac + Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − b 2a Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm Nếu   0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 = −b +  −b −  ; x2 = 2a 2a Bước 2: Sau khi HS đã biết tri thức phương pháp trên, GV tổ chức cho HS vận dụng để giải phương trình. a) Phân tích: - GV: Có nhận xét gì về phương trình đã cho? - HS: Có nhân tử chung là x − 3 - GV: Bước đầu tiên, ta cần làm đó là? - HS: Trước tiên, ta cần đặt nhân tử chung trước - GV: Sau khi đặt nhân tử chung thì phương trình trở thành dạng nào? - HS: Phương trình tích. 42 - GV: Hãy nêu cách giải của phương trình tích? -HS: Cách giải của phương trình trên là:  A(x) = 0 Phương trình tích A(x).B(x) = 0    B(x) = 0 - GV: Vậy đối với cách giải như trên, hãy tìm nghiệm của phương trình 2x( x − 3) + 5( x − 3) = 0 - Lời giải 2 x( x − 3) + 5( x − 3) = 0  ( x − 3)(2 x + 5) = 0 x = 3 x − 3 = 0    x = −5 2 5 0 + = x  2   −5  Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 3,   2 b) Phân tích: - GV: Bước đầu tiên, ta cần làm đó là? - HS: Trước tiên, cần xác định dạng của phương trình đã cho. - GV: Ở bài toán này, dạng của phương trình là? - HS: Phương trình đưa về dạng ax + b = 0(a  0) - GV: Hãy nêu cách giải của phương trình đưa về dạng ax + b = 0(a  0) ? -HS: Cách giải của phương trình trên là: • Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc • Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia • Thu gọn và giải phương trình ax + b = 0  ax = −b  x = −b a - GV: Vậy đối với cách giải như trên, hãy tìm nghiệm của phương trình 2 x − (3 − 5x) = 4( x + 3) ? - Lời giải 2 x − (3 − 5 x) = 4( x + 3)  2 x − 3 + 5 x = 4 x + 12  2 x + 5 x − 4 x = 12 + 3  3x = 15  x = 5 43 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 5 c) Phân tích: - GV: Bước đầu tiên, ta cần làm đó là? - HS: Trước tiên, cần xác định dạng của phương trình đã cho. - GV: Ở bài toán này, dạng của phương trình là? - HS: Phương trình chứa ẩn ở mẫu. - GV: Hãy nêu cách giải của phương trình chứa ẩn ở mẫu? -HS: Cách giải của phương trình trên là: + Tìm điều kiện xác định của phương trình + Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu + Giải phương trình vừa nhận được + (Kết luận). - GV: Vậy đối với cách giải như trên, hãy tìm nghiệm của phương trình x x 2x ? + = 2( x − 3) 2 x + 2 ( x + 1)( x − 3) - Lời giải: x − 3  0 x  3 ĐKXĐ:   x +1  0  x  −1 2x x x + = 2( x − 3) 2 x + 2 ( x + 1)( x − 3) 4x x( x + 1) + x( x − 3)  = 2( x − 3)( x + 1) 2( x − 3)( x + 1)  x( x + 1) + x( x − 3) = 4 x  x 2 + x + x 2 − 3x − 4 x = 0  2x2 − 6 x = 0  2 x( x − 3) = 0 2 x = 0 x = 0   x − 3 = 0 x = 3 Ta thấy x = 3 không thỏa mãn ĐKXĐ nên không là nghiệm của PT. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 0 d) Phân tích: 44 - GV: Bước đầu tiên, ta cần làm đó là? - HS: Trước tiên, cần xác định dạng của phương trình đã cho. - GV: Ở bài toán này, dạng của phương trình là? - HS: Phương trình bậc hai dạng ax 2 + bx + c = 0 . - GV: Hãy nêu cách giải của phương trình bậc hai? -HS: Cách giải của phương trình trên là: + Xác định hệ số a, b, c + Tính  = b2 − 4ac + Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = − b 2a Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm Nếu   0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = −b +  −b −  ; x2 = 2a 2a + Kết luận - GV: Vậy đối với cách giải như trên, hãy tìm nghiệm của phương trình 3x 2 + 5 x − 1 = 0 ? - Lời giải: + Phương trình 3x 2 + 5 x − 1 = 0 có hệ số a = 3, b = 5, c = −1  = b 2 − 4ac = 52 − 4.3.(−1) = 37 −5 + 37 −5 − 37 ; x2 = + Do   0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 10 10  −5 + 37 −5 − 37  ; Vậy tập nghiệm của phương trình là S =   10   10 Thông qua ví dụ trên góp phần giúp HS phát triển kỹ năng dự đoán, phát hiện vấn đề, kỹ năng định hướng giải quyết vấn đề là nhận dạng đối tượng (phương trình tích, phương trình bậc 2), phát hiện đối tượng trong mối quan hệ tương tự (ví dụ 2.1a: đặt nhân tử chung để đưa về phương trình tích); kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề (lập luận logic các bước giải). 45 Ví dụ 2.2. Giải hệ phương trình 1 1 x + y = 3  ( II ) b)  3 2  − = −1  x y 2 x − y = 1 a)  (I ) + x 2 = y  Bước 1: Tri thức phương pháp:  Dạng tổng quát của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c  a ' x + b ' y = c ' + Cặp số ( x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình nếu nó là nghiệm chung của cả hai phương trình đó. + Hệ có thể có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hoặc vô số nghiệm tùy theo vị trí tương đối của hai đường thẳng biểu diễn nghiệm của hai phương trình. + Muốn giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta tìm cách biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới tương đương, trong đó, một phương trình của nó chỉ có một ẩn. Một trong các cách giải là áp dụng quy tắc sau gọi là quy tắc thế. Ngoài ra để đạt được mục đích trên ta cũng có thể áp dụng quy tắc sau gọi là quy tắc cộng đại số.  Quy tắc thế + B1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thứ nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn). + B2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thứ hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1). + B3: Kết luận  Quy tắc cộng đại số + B1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới. 46 + B2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia). + B3: Kết luận Bước 2: Sau khi HS đã biết tri thức phương pháp trên, GV tổ chức cho HS vận dụng để giải phương trình. a) Phân tích: Yêu cầu của bài toán là giải hệ phương trình, do đó để HS rèn luyện thành thạo kĩ năng giải hệ phương trình, GV cần yêu cầu HS nêu quy tắc cộng đại số và các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. - Lời giải: Cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta được phương trình (2x − y) + ( x + y) = 3  3x = 3  x = 1 Do đó 3x = 3 x = 1 x = 1 ( II )     x + y = 2 x + y = 2 y =1 Vậy hệ (II) có nghiệm duy nhất ( x; y ) = (1;1) . GV đã gợi mở để thông báo tri thức phương pháp giúp HS dễ dàng tìm ra lời giải. Qua đó, HS rèn luyện được thành thạo kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. b) Phân tích: Yêu cầu của bài toán là giải hệ phương trình, tuy nhiên khi nhìn vào bài toán HS sẽ gặp khó khăn trong việc tìm lời giải. Do đó, GV hướng dẫn HS đặt ẩn u; v để đưa về dạng hệ phương trình cơ bản và vận dụng phương pháp thể để giải. - Lời giải: Đặt u = 1 1 ; v = . Theo đề bài ra ta có hệ phương trình: x y v = 3 − u u + v = 3 v = 3 − u 5u = 5 u = 1       3u − 2v = −1 3u − 2v = −1  v = 2 3u − 2 ( 3 − u ) = −1 v = 3 − u Từ đó suy ra: x = 1 1 1 = 1; y = = . v 2 u 47  1 Vậy hệ (III) có nghiệm duy nhất là ( x; y ) = 1;   2 Thông qua các ví dụ trên góp phần giúp HS rèn luyện kĩ năng dự đoán, phát hiện vấn đề: (phân tích, tổng hợp vấn); kĩ năng định hướng giải quyết vấn đề: nhận dạng hệ phương trình; kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề: lựa chọn cách giải hpt, lập luận sử dụng ngôn ngữ toán học để giải phương trình. Ví dụ 2.3: Giải các phương trình sau: a) x +1 = x −1 b) x +3 = 5− x −2 c) x − x −1 − x − 4 + x + 9 = 0 Bước 1: Tri thức phương pháp: Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh rằng vấn đề chính trong giải phương trình vô tỉ là làm sao để mất căn thức đi và đưa phương trình về phương trình bậc nhất, bậc hai. Cách đơn giản nhất để làm mất căn thức đi là nâng lũy thừa tương ứng với bậc của căn thức, song không phải phương trình nào cũng giải được theo cách này. Vì vậy giáo viên có thể khái quát hóa những dạng phương trình có thể giải theo phương pháp nâng lên lũy thừa bằng cách dẫn dắt học sinh xây dựng các phương trình sau và cách giải: Dạng 1:  g ( x)  0 f ( x) = g ( x)   2  f ( x) = g ( x) Dạng 2: f ( x) + g ( x) = h( x) Điều kiện: h( x)  0 , bình phương hai vế đưa về dạng 1. Dạng 3: f ( x ) + g ( x ) = h( x ) + k ( x ) Điều kiện: f ( x), g ( x), h( x), k ( x)  0, bình phương hai vế đưa về dạng 1. GV cần hướng dẫn HS một số lưu ý: - Trước khi bình phương hai vế của một phương trình nên sắp xếp lại các số hạng ở hai vế để sau khi bình phương ẩn x nằm ngoài căn thức triệt tiêu hay có bậc thấp nhất, đồng thời phải lưu ý đến điều kiện cùng dấu của hai vế phương trình. 48 - Có thể nâng lũy thừa nhiều lần trong một bài tập. - Cần sử dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ. Bước 2: Sau khi HS đã biết tri thức phương pháp trên, GV tổ chức cho HS vận dụng để giải phương trình. a) Phân tích: GV hướng dẫn HS nhận biết phương trình này ở dạng 1 với f ( x) = x + 1, g ( x) = x − 1. Như vậy HS sẽ có ngay cách giải nhờ công thức khái quát ở trên. Từ đó HS sẽ làm được các bài tương tự một cách nhanh chóng khi gặp phương trình dạng đặc biệt điển hình này. - Lời giải: x −1  0 x  1 x  1 x +1 = x −1       2 2 x = 3  x + 1 = ( x − 1)  x − 3x = 0 Vậy phương trình có tập nghiệm S = 3 . Qua ví dụ này, HS được rèn luyện kĩ năng tính toán và thành thạo trong việc giải phương trình vô tỉ. b) Phân tích: GV hướng dẫn HS nhận biết phương trình này ở dạng 2 với f ( x) = x + 3, g ( x) = x − 2, h( x) = 5 . Song GV cũng cần gợi ý để HS phát hiện rằng chưa thể bình phương hai vế khi chưa chuyển vế đưa về dạng 2 . Như vậy trước khi nâng lên lũy thừa thì cần chuyển vế x−2. - Lời giải: x+3 = 5− x−2  x − 2  0   x + 3 + x − 2 = 5  x  2  2 x + 1 + 2 ( x + 3)( x − 2) = 25 x  2   12 − x  0  x 2 + x − 6 = 144 + x 2 − 24 x  2  x  12   x=6 25 150 x =  49 Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 6. Qua ví dụ này, HS không những có cách giải nhờ công thức khái quát ở trên mà còn có kỹ năng tương tự hóa khi giải bài tập. c) Phân tích: GV hướng dẫn HS nhận biết phương trình này ở dạng 3 đầy đủ với f ( x) = x, g ( x) = x + 9, h( x) = x −1, k ( x) = x − 4. Có được dạng 3 là sau khi chuyển vế x − 4 . Khi đó HS có thể tự GQVĐ. x − 1 và Lời giải: x − x −1 − x − 4 + x + 9 = 0  x + x + 9 = x −1 + x − 4  x − 4  0  2 2 + + = − + − 9 1 4 x x x x   x  4   x( x + 9) + 7 = ( x − 4)( x − 1)  x  4   x( x + 9) + 49 + 14 x( x + 9) = ( x − 4)( x − 1) ( ) ( ) x  4   −14 x − 45  0 196 x 2 + 1764 x = 196 x 2 + 1260 x + 2025  x  4  45   x  −  x= 14  504 x = 2025 Vậy phương trình vô nghiệm. Qua ví dụ này, HS rèn luyện được các kỹ năng biến đổi phương trình, kỹ năng GQVĐ. Qua các ví dụ trên góp phần giúp HS phát triển kỹ năng dự đoán, phát hiện vấn đề: kỹ năng định hướng giải quyết vấn đề: là nhận dạng đối tượng (phương 50 trình); kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề (phương pháp giải phương trình chứa căn thức, lập luận logic để giải phương trình). Ví dụ 2.4. Giải hệ phương trình  x + y + 2 xy = 4 a)  2 2 x + y = 2 2 2  2 x − 3x = y − 2 b)  2 2  2 y − 3 y = x − 2 Bước 1: Tri thức phương pháp:  Hệ phương trình đối xứng loại I đối với ẩn x và y là hệ gồm các phương trình không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x .  Hệ đối xứng loại I thường được giải như sau: + Đặt S = x + y, P = x. y, điều kiện S 2  4P. + Đưa hệ đã cho về hệ với 2 ẩn S , P. Giải hệ này tìm S , P, kiểm tra điều kiện S 2  4P. + Tìm x, y : x, y là hai nghiệm của phương trình X 2 − SX + P = 0. + Kết luận  Hệ phương trình đối xứng loại II đối với hai ẩn x và y là hệ mà thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình này chuyển thành phương trình kia.  Hệ đối xứng loại II thường được giải như sau: + Trừ từng vế tương ứng của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai x = y ta được phương trình tích: ( x − y ) f ( x, y ) = 0    f ( x, y ) = 0 + Giải hệ cho từng trường hợp + Kết luận Bước 2: Sau khi HS đã biết tri thức phương pháp trên, GV tổ chức cho HS vận dụng để giải phương trình. a) Phân tích: GV đưa ra câu hỏi gợi mở giúp HS tìm ra hướng giải quyết vấn đề + Đây có phải hệ phương trình đối xứng loại I không? + Biểu thức nào không thay đổi khi ta thay x bởi y và y bởi x ? + Có thể đưa hệ trên về hệ đơn giản hơn được không? Đưa bằng cách nào? 51 Từ những câu hỏi trên dẫn dắt để học sinh tìm lời giải. - Lời giải: Đặt S = x + y, P = xy. Điều kiện S 2  4P. (*) S + 2P = 4 S 2 + S − 6 = 0 Hệ đã cho trở thành  2  S − 2P = 2 2 P = 4 − S S = 2 (I )  S = 2  P = 1    S = −3      S = −3  4−S    P = 7 ( II )  P = 2   2 Ta thấy (I) thỏa mãn điều kiện (*) còn (II) không thỏa mãn điều kiện (*). S = 2  x + y = 2   x, y là hai nghiệm của phương trình: Do đó, với   P = 1  x. y = 1 x = 1 X 2 − 2X +1 = 0  X = 1    y = 1. Vậy hệ phương trình có một nghiệm là: (1;1). Qua ví dụ này, HS rèn luyện được kĩ năng giải quyết vấn đề, kĩ năng tính toán, kĩ năng giải thành thạo hệ phương trình đối xứng loại I. b) Phân tích: GV đưa ra câu hỏi gợi mở giúp HS tìm ra hướng giải quyết vấn đề + Đây có phải hệ phương trình đối xứng loại II không? + Thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình này có chuyển thành phương trình kia không? + Có thể đưa hệ trên về hệ đơn giản hơn được không? Đưa bằng cách nào? Từ những câu hỏi trên dẫn dắt để học sinh tìm lời giải. - Lời giải: Trừ từng vế tương ứng của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai ta được: 52 2( x 2 − y 2 ) − 3( x − y ) = y 2 − x 2  x2 − y 2 − ( x − y) = 0 x = y  ( x − y )( x + y − 1) = 0    x + y = 1. x = y x + y = 1 hoặc Hệ đã cho   2 ( ) I ( II )  2 2 2 − = 2 − 3 x x 2 y − = − x x y 2 3 2   x = 1 Giải hệ (I) ta được  hoặc y = 1  x = 2   y = 2. Giải hệ (II) ta có hệ (II) vô nghiệm. Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là: (1;1),(2;2) . Qua ví dụ này, HS rèn luyện được kĩ năng giải quyết vấn đề, kĩ năng tính toán, kĩ năng giải thành thạo hệ phương trình đối xứng loại II. Thông qua các ví dụ trên góp phần giúp HS rèn luyện kĩ năng dự đoán, phát hiện vấn đề: (phân tích, tổng hợp vấn); kĩ năng định hướng giải quyết vấn đề: nhận dạng hệ phương trình đối xứng; kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề: lựa chọn cách giải HPT, lập luận sử dụng ngôn ngữ toán học để giải phương trình.  3x − y = 5 Ví dụ 2.5: Giải hệ phương trình  (bằng phương pháp dùng định 5 x + 2 y = 23 thức) Bước 1: Tri thức phương pháp: + Tính các định thức: D= a1 b1 = a1b2 − a2b1; a2 b2 Dx = c1 b1 = c1b2 − c2b1; c2 b2 Dy = a1 a2 c1 = a1c2 − a2c1 c2 + Biện luận: 53 Dx   x = D Nếu D  0 thì hệ (I) có nghiệm duy nhất:   y = Dy  D D = 0  Nếu   Dx  0 thì hệ (I) vô nghiệm  D  0  y D = 0 thì hệ (I) có vô số nghiệm Nếu   Dx = Dy = 0 + Kết luận Bước 2: Sau khi HS đã biết tri thức phương pháp trên, GV tổ chức cho HS vận dụng để giải phương trình. + Ta có: D= 3 −1 = 3.2 − (−1).5 = 11 5 2 Dx = 5 −1 = 5.2 − (−1).23 = 33 23 2 Dy = 3 5 = 3.23 − 5.5 = 44 5 23 + Biện luận: Dx 33   x = D = 11 = 3 Ta thấy D = 11  0 nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất:   y = Dy = 44 = 4  D 11 + Vậy hệ đã cho có duy nhất một nghiệm là (3; 4) Trong các ví dụ trên, GV gợi mở để HS tìm ra lời giải cho bài toán làm cho bài toán trở nên rất đơn giản, HS có thể vận dụng từng bước để giải quyết bài toán một cách dễ dàng, nhanh chóng. Qua đó HS rèn luyện được kĩ năng biến đổi phương trình, vận dụng linh hoạt các phương pháp vào giải các dạng phương trình, kỹ năng xác định được yếu tố, kỹ năng phân tích tổng hợp và trình bày lời giải. 54 Rèn luyện những hoạt động tương tự với những tri thức phương pháp. Cách làm này tùy theo yêu cầu có thể sử dụng được cả trong hai trường hợp: Tri thức được quy định hoặc không được quy định trong chương trình. Đôi khi, đối với HS ở trình độ thấp, GV chỉ yêu cầu HS biết cách thực hành quy tắc, phương pháp đó nhờ quá trình làm việc theo mẫu. Như vậy, thông qua các ví dụ trên thì giáo viên tập trung rèn luyện các kỹ năng phân tích, tổng hợp, kỹ năng trình bày lời giải, kỹ năng tính toán và kỹ năng xác định các yếu tố. 2.2.2. Biện pháp 2: Lồng ghép rèn luyện các kỹ năng dự đoán, phát hiện vấn đề, tìm và trình bày cách GQVĐ cho HS thông qua dạy học phương trình, hệ phương trình. 2.2.2.1. Mục đích của biện pháp Mỗi dạng bài tập PT và HPT thường có cách giải riêng. Do đó, để HS có được kĩ năng giải PT và HPT thì GV nên đưa hệ thống bài tập phân bậc theo từng dạng để HS nắm chắc được các dạng cơ bản và phương pháp giải từng dạng đó. Đó là cơ sở để học sinh có thể chủ động đề xuất được cách giải trong các trường hợp cụ thể hay khi gặp một tình huống lạ HS có thể huy động và kết nối các kiến thức để tìm ra cách giải độc đáo. Rèn luyện cho học sinh một số kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình cơ bản nhằm tăng cường các biểu hiện sau của học sinh: - Biết xác định dạng bài tập, phương pháp giải khi gặp phương trình, hệ phương trình cụ thể; - Vận dụng được các kiến thức đã biết để giải được những phương trình, hệ phương trình đã có thuật giải (tựa thuật giải); - Trình bày lời giải đầy đủ, rõ ràng, chính xác. Biện pháp nhằm giúp HS rèn luyện các kỹ năng dự đoán phát hiện vấn đề, kỹ năng định hướng phát hiện vấn đề, kỹ năng tìm và trình bày cách GQVĐ. 2.2.2.2. Nội dung và cách thực hiện của biện pháp Hệ thống bài tập có phân bậc theo mức độ từ dễ đến khó và theo các dạng nhằm rèn luyện và nâng cao dần kĩ năng giải toán về PT và HPT cho HS. Trên cơ sở 55 đó HS có thể khái quát hóa, trừu tượng hóa để tự mình tìm ra phương pháp chung để giải quyết một lớp bài tập cùng dạng. Qua đó, người học cũng hiểu được hệ thống dạng bài tập về PT và HPT, rèn luyện được kĩ năng hệ thống hóa, trừu tượng hóa, phân chia, so sánh. Nhờ đó, người học đạt được không phải chỉ là những tri thức riêng lẻ, không chỉ là những kĩ năng giải toán PT, HPT mà quan trọng hơn người học còn có được kĩ năng giải quyết vấn đề. Trong dạy học toán, mỗi nội dung thường tiềm tàng nhiều loại bài tập. Tuy nhiên, nếu khuyến khích HS thực hiện tất cả các bài tập như thế thì có thể sa vào tình trạng dàn trải, làm cho HS thêm rối ren. Để khắc phục được tình trạng này, cần phải sàng lọc các bài tập đó thành một hệ thống bài tập có phân chia các dạng rõ ràng và cách thức thực hiện các dạng bài tập đó để HS có thể dễ dàng nhận dạng và thực hiện khi gặp bài toán cụ thể. Bên cạnh đó khi đặt ra một tình huống bài tập yêu cầu HS giải quyết, GV phải chọn bài tập nào sao cho HS có thể có nhiều cách giải khác nhau. Tùy vào năng lực của mỗi cá nhân HS mà các em lựa chọn các cách giải khác nhau. Vì vậy cần phải xây dựng hệ thống bài tập giải PT, HPT có nội dung phong phú, có những đối tượng, vấn đề, quan hệ có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh và góc độ khác nhau. Sau khi HS đã biết được các tri thức cơ bản về PT, HPT để giải bài tập phương trình, hệ phương trình, GV cần tập luyện cho HS các kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình. Bởi điều kiện để hình thành năng lực giải phương trình, hệ phương trình là phải có kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình. Kĩ năng giải hệ phương trình của HS được dựa trên những bình diện khác nhau: + Kỹ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán, ở đây được hiểu là kỹ năng vận dụng quy trình thuật giải, tựa thuật giải trong giải phương trình, hệ phương trình; + Kỹ năng vận dụng tri thức tri thức toán học trong những môn học khác nhau; 2.2.2.3. Ví dụ minh họa Như đã trình bày ở trên, một số phương trình, hệ phương trình đã có sẵn thuật giải, để giải những ví dụ này HS cần nắm vững những quy tắc giải đã 56 học, đây là cơ sở để giải các bài toán phức tạp hơn. Vì vậy, GV cần rèn luyện cho HS: - Nắm vững những phương pháp giải đã học; - Nhận dạng được đúng dạng toán; - Vận dụng thành thạo các phương pháp giải đối với từng dạng. mx − y = 2m Ví dụ 2.6. Giải và biện luận hệ phương trình:  4 x − my = m + 6 Đây là bài toán biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Vì vậy ta có thể áp dụng một trong ba phương pháp: dùng định thức, phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải. Tuy nhiên với bài toán biện luận hệ phương trình thì phương pháp dùng định thức là phương án tối ưu nhất. - Lời giải: Ta có: D= m −1 = −m2 + 4 = − ( m − 2 )( m + 2 ) 4 −m Dx = 2m −1 3 = −2m2 + m + 6 = −2 ( m − 2 ) (m + ) ; m + 6 −m 2 Dy = m 2m = m2 − 2m = m(m − 2) 4 m+6 Biện luận:  2m + 3 − m  + Nếu m  2 thì D  0 nên hệ có một nghiệm  ;   m+2 m+2 + Nếu m = −2 thì D = 0, Dx = −4  0 nên hệ có vô số nghiệm. + Nếu m = 2 thì D = Dx = Dy = 0 nên hệ có vô số nghiệm thỏa mãn 2 x − y = 4 . Qua ví dụ trên góp phần giúp HS phát triển kỹ năng dự đoán và phát hiện vấn đề: phân tích, tổng hợp, có thể xem xét hai phương trình của hệ như hai đường thẳng trong hệ trục tọa độ Oxy; kỹ năng định hướng giải quyết vấn đề: nhận dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số, phát hiện mỗi phương trình trong hệ có mối quan hệ như đường thẳng trong hệ trục Oxy ; kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề: lựa chọn cách sử dụng định thức để giải quyết bài tập. 57  x2 + y 2 − 2x − 2 y = 6 Ví dụ 2.7: Giải hệ phương trình:   x + y − xy = 5 Khi hoán đổi vai trò của x, y thì các phương trình của hệ không đổi nên đây là hệ phương trình đối xứng loại 1. - Lời giải: x + y = S Đặt  xy = P  (S2  4 P)  S 2 − 2 P − 2S = 6  S 2 − 4S + 4 = 0 S = 2      Khi đó, hệ đã cho trở thành: S − P = 5  P = −3  P = S − 5  x = 3  y = −1 = 3 X     Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình X 2 − 2 X − 3 = 0    x = −1  X = −1    y = 3 Vậy tập nghiệm của hệ đã cho là: S = ( 3; −1) , ( −1;3) Thông qua ví dụ giúp HS rèn luyện kỹ năng định hướng giải quyết vấn đề: nhận dạng hệ phương trình đối xứng, kỹ năng dự đoán và phát hiện vấn đề: phân tích, tổng hợp; kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề: lựa chọn cách sử dụng định thức để giải quyết bài tập. Ví dụ 2.8: Giải phương trình sau: 5x2 − 6 x + 1 = 0 . Dễ thấy phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn. Vì vậy ta có thể dễ dàng áp dụng một số phương pháp sau để giải.  Phương pháp 1: Đưa phương trình về dạng phương trình tích rồi giải phương trình tích đó. (Lớp 8)  Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm tổng quát (hoặc công thức nghiệm thu gọn) để giải phương trình bậc hai.  Phương pháp 3: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm: c a Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1, x2 = . c a Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = −1, x2 = − . 58 - Lời giải: Phương pháp 1: Đưa về giải phương trình tích bằng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 5 x 2 − 6 x + 1 = 0  5 x 2 − 5 x − x + 1 = 0  5 x( x − 1) − ( x − 1) = 0 1  x= 5 x − 1 = 0   (5 x − 1)( x − 1) = 0    5   x −1 = 0 x = 1  1  5 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1;  Phương pháp 2: Sử dụng công thức nghiệm thu gọn (công thức nghiệm tổng quát) để giải: Ta có a = 5; b = − 6  b' = b −6 = = -3; c = 1 2 2  ' = b2 − ac = (−3)2 − 5.1 = 9 − 5 = 4  0 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: x1 = −b '+  ' −(−3) + 4 3 + 2 = = =1 5 5 a x2 = −b '−  ' −(−3) − 4 3 − 2 1 = = = 5 5 5 a Phương pháp 3: Giải bằng cách nhẩm nghiệm. Ta có a = 5; b = − 6; c = 1 và a + b + c = 5 + (−6) + 1 = 0 vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt là x1 = 1 và x2 = c 1 = . a 5 Như vậy, ví dụ trên tập trung vào việc giúp HS nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau. Đó là, nhìn bài toán dưới dạng phương trình tích, nhìn bài toán dưới góc độ phương trình bậc hai để sử dụng công thức nghiệm. Ví dụ 2.9: Cho phương trình : mx 2 – 2 ( m − 2 ) x + m – 3 = 0  với m là tham số. Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình  - Lời giải 3 4 – m ( m − 3) = − m + 4 Nếu m = 0 thay vào  ta có : 4x – 3 = 0  x = Nếu m  0 . Lập biệt số  / = ( m – 2 ) / < 0  − m + 4  0  m > 4 : phương trình  vô nghiệm 2 / = 0  − m + 4 = 0  m = 4 : phương trình  có nghiệm kép 59 −b / m − 2 4 − 2 1 = = = x1 = x2 = 2 2 a m / > 0  − m + 4  0  m < 4: phương trình  có 2 nghiệm phân biệt x1 = m − 2 − −m + 4 m ; x2 = m − 2 + −m + 4 m Vậy : m > 4 : phương trình vô nghiệm 1 2 m = 4 : phương trình Có nghiệm kép x = 0  m  4 : phương trình  có hai nghiệm phân biệt: x1 = m − 2 − −m + 4 m ; x2 = m = 0 : Phương trình (1) có nghiệm đơn x = m − 2 + −m + 4 m 3 4 Hai ví dụ trên nhằm tạo điều kiện cho HS phát triển các kỹ năng suy luận logic, kỹ năng phân tích, tổng hợp và kỹ năng tính toán. Như vậy, thông qua biện pháp 2 đã tập trung rèn luyện cho HS một số kỹ năng giải phương trình, hệ phương trình như: kỹ năng tính toán, kỹ năng trình bày lời giải, kỹ năng nhìn bài toán dưới nhiều góc độ, kỹ năng phân tích, tổng hợp. Việc rèn luyện các kỹ năng này giúp HS GQVĐ một cách nhanh chóng và hiệu quả hơn. 2.2.3. Biện pháp 3: Lồng ghép rèn luyện các kỹ năng định hướng, phát hiện vấn đề, phân tích tổng hợp đánh giá cho HS, thông qua việc tìm sai lầm trong lời giải của chủ đề phương trình, hệ phương trình 2.2.3.1. Mục đích của biện pháp Cho HS phát hiện và sửa chữa sai lầm là một cách tốt nhất để HS có thể tự kiểm tra về năng lực, mức độ tiếp thu kiến thức của mình. Nội dung PT, HPT chứa rất nhiều quy tắc, phép biến đổi, phương pháp giải dễ gây nhầm lẫn cho HS trong quá trình học tập. Do đó việc giúp HS nhận biết và sửa chữa sai lầm là điều rất quan trọng trong việc dạy học nội dung này. Tư tưởng này hoàn toàn phù hợp với quan điểm của J.Piaget: “Chỉ có sự hoạt động được GV thường xuyên định hướng và khích lệ, nhưng vẫn luôn luôn tự do trong việc mò mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đưa đến sự độc lập về mặt trí tuệ” [11]. Điều này giúp HS hoạt động độc lập và linh 60 hoạt trong suy nghĩ, giúp HS khắc sâu hơn nội dung bài học và hạn chế được những sai lầm đáng tiếc. Biện pháp này nhằm giúp HS thấy được những sai lầm thường mắc phải khi giải toán, nguyên nhân các sai lầm đó từ hạn chế và khắc phục những sai lầm mà HS thường xuyên mắc phải trong giải PT, HPT. Biện pháp nhằm giúp HS rèn luyện các kỹ năng dự đoán phát hiện vấn đề, kỹ năng định hướng phát hiện vấn đề, kỹ năng phân tích tổng hợp, kỹ năng đánh giá. 2.2.3.2. Nội dung và cách tiến hành của biện pháp Việc sửa chữa sai lầm cho HS là một hoạt động quan trọng, G. Polya cho rằng: “con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình”. A.A.Stoliar phát biểu: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của HS”, còn J.A.Komenxkee thì cho rằng: “Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho HS kém đi nếu như GV không chú ý ngay đến sai lầm đó và hướng dẫn HS nhận ra, sửa chữa, khắc phục sai lầm”. Khi HS được yêu cầu tìm sai lầm trong một lời giải do GV đưa ra thì tức là tình huống bao hàm một vấn đề, vì tất nhiên là không có thuật giải chung nào để phát hiện sai lầm. Tình huống này gợi nhu cầu GQVĐ cho HS vì bản thân HS cũng rất muốn tìm ra sai lầm của HS, không thể chấp nhận một lời giải sai. Việc cho HS tiếp cận với các bài toán có chứa sai lầm cũng là một trong những cách giúp HS huy động được những kiến thức mà mình đã được học, những kĩ năng sẵn có của bản thân để thoàn thành yêu cầu của GV. Sau khi phát hiện thấy một sai lầm khi giải một bài toán nào đó, HS đứng trước một nhiệm vụ nhận thức đó là tìm ra nguyên nhân và sửa chữa sai lầm. 2.2.3.3. Ví dụ minh họa Ví dụ 2.10: Giải phương trình 3x 2 − 6 x = 9( x − 2) (1) Một HS trình bày như sau: (1)  3x( x − 2) = 9( x − 2)  3x = 9  x = 3 GV: Theo em bài làm trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? HS: Bài làm trên giải còn thiếu nghiệm. GV: Nguyên nhân sai lầm là gì? 61 HS: Nguyên nhân sai lầm: Lời giải trên đã chia cả hai vế cho x − 2. Mà muốn chia hai vế cho một biểu thức thì biểu thức đó phải chắc chắn khác 0. GV: Các em hay mắc sai lầm ở dạng này là chia cả hai vế cho nhân tử chung, nhưng chưa biết chắc chắn biểu thức đó khác 0 nên dễ dẫn đến kết luận thiếu nghiệm của phương trình đã cho. GV: Nếu đã tìm ra nguyên nhân sai lầm, theo em sửa bài toán trên bằng cách nào? Biện pháp khắc phục: + Chú ý khi xuất hiện nhân tử chung của cả hai vế ta phải sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để đưa phương trình về phương trình tích để làm. Lời giải đúng: (1)  3x( x − 2) − 9( x − 2) = 0  (3x − 9)( x − 2) = 0 3 x − 9 = 0 x = 3   x − 2 = 0  x = 2. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 2;3. Ví dụ 2.11. Giải phương trình x −1 x −1 x −1 + − = 2 (3) 2 3 6 Một HS trình bày lời giải như sau: 3( x − 1) + 2( x − 1) − x − 1 12 = 6 6  3( x − 1) + 2( x − 1) − x − 1 = 12  4 x = 18  x = 4,5 (3)  GV: Theo em bài làm trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? HS: Bài làm trên sai ngay ở bước biến đổi đầu tiên. Vì dấu “-“ đứng trước biểu thức x − 1 chứ không phải đứng trước x . GV: Nguyên nhân sai lầm là gì? HS: Nguyên nhân sai lầm: Không chú ý đến dấu “-“ trước phân thức x − 1 . Dẫn đến việc biến đổi biểu thức bị sai. 62 GV: Các em hay mắc sai lầm ở dạng này là không chú ý đến dấu “-“ trước một phân thức dẫn đến sai dấu khi biến đổi. GV: Nếu đã tìm ra nguyên nhân sai lầm, theo em sửa bài toán trên bằng cách nào? Biện pháp khắc phục: + Chú ý khi có dấu “-“ trước một phân thức mà muốn đưa dấu “-“ lên tử thức thì cần đóng mở ngoặc cho tử thức sau đó tiến hành phá ngoặc đổi dấu thì sẽ tránh được những sai lầm về dấu. Lời giải đúng: (3)  3( x − 1) + 2( x − 1) − ( x − 1) 12 = 6 6  3x − 3 + 2 x − 2 − x + 1 = 12  4 x = 16 x=4 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 4. Ví dụ 2.12. Giải phương trình 2 x+2 1 (4) − = x − 2 x x( x − 2) Một HS trình bày lời giải như sau: ĐKXĐ: x  2; x  0 x( x + 2) − 1( x − 2) 2 = x( x − 2) x( x − 2)  x( x + 2) − 1( x − 2) = 2 (4)  (4')  x2 + 2x − x + 2 = 2  x2 + x = 0  x( x + 1) = 0 x = 0 x = 0   x +1 = 0  x = −1 Vậy phương trình có tập nghiệm là S = 0;1 . GV: Theo em bài làm trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? HS: Bài làm trên sai và sai ở bước khử mẫu. Vì khi khử mẫu thì ta sẽ thu được phương trình hệ quả của phương trình trên. 63 GV: Nguyên nhân sai lầm là gì? HS: Nguyên nhân sai lầm: Khi nhân hai vế của phương với biểu thức x( x − 2) chưa chắc khác 0 thì ta thu được phương trình hệ quả (làm mở rộng tập nghiệm). GV: Dùng kí hiệu “  ” không chính xác. Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho, nên ta dùng ký hiệu “  ” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình (4’) chưa chắc là tập nghiệm của phương trình (4). Kết luận thừa nghiệm, cần kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận. GV: Nếu đã tìm ra nguyên nhân sai lầm, theo em sửa bài toán trên bằng cách nào? HS: Biện pháp khắc phục: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu cần chú ý bước khử mẫu phải dùng dấu  . Lời giải đúng: ĐKXĐ: x  2;x  0 x(x + 2) − 1(x − 2) 2 = x(x − 2) x(x − 1)  x(x + 2) − 1(x − 2) = 2 (4)   x 2 + 2x − x + 2 = 2  x2 + x = 0  x(x + 1) = 0 x = 0 x = 0   x + 1 = 0  x = −1 Ta thấy x = 0 không thỏa mãn điều kiện xác định. Do đó, x = 0 không phải là nghiệm của phương trình. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −1. Ví dụ 2.13. Giải phương trình: ( x + 2011) x − 2010 = 0 (* ) Một HS trình bày như sau: Ta có : (x + 2011) x − 2010 = 0  x + 2011 = 0  x = −2011  x = −2011     x − 2010 = 0  x = 2010  x − 2010 = 0 64 Vậy phương trình có tập nghiệm là S = −2011;2010. GV: Theo em bài làm trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? HS: Bài làm trên sai và sai ở bước khử mẫu. Vì kết luận thừa nghiệm. GV: Nguyên nhân sai lầm là gì? HS: Nguyên nhân sai lầm: Rõ ràng thử lại thì x = −2011 không phải là nghiệm của phương trình. Do quên không đặt điều kiện cho phương trình dẫn đến việc kết luận nghiệm sai. GV: Đối với dạng toán trên các em rất dễ mắc sai lầm trong việc kết luận nghiệm của phương trình. GV: Nếu đã tìm ra nguyên nhân sai lầm, theo em sửa bài toán trên bằng cách nào? HS: Biện pháp khắc phục: Khi giải phương trình chứa dấu căn thì cần phải đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn. Lời giải đúng: Điều kiện: x  2010  x + 2011  0 Do đó: ( x + 2011) x − 2010 = 0  x − 2010 = 0 (Vì: x + 2011 > 0)  x − 2010 = 0  x = 2010 Vậy x = 2010 là nghiệm của phương trình (*). Ví dụ 2.14. Giải phương trình: x − 1 − 5x − 1 = 3x − 2 (1) Một HS trình bày lời giải như sau: (1)  x − 1 = 5 x − 1 − 3x − 2  x − 1 = 5 x − 1 + 3 x − 2 + 2 15 x 2 − 13 x + 2  2 − 7 x = 2 15 x 2 − 13x + 2 (4)  4 − 14 x + 49 x 2 = 4 (15 x 2 − 13x + 2 ) ( 5 )  11x 2 − 24 x + 4 = 0  (11x − 2 )( x − 2 ) = 0 65 2  x= 11x − 2 = 0    11  x − 2 = 0 x = 2 GV: Theo em bài làm trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? HS: Bài làm trên sai vì không đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn và phương trình (4), (5) không tương đương với nhau. GV: Nguyên nhân sai lầm là gì? HS: Nguyên nhân sai lầm: Rõ ràng thử lại thì x = 2 , x = 2 không phải là nghiệm 11 của phương trình. Do quên không đặt điều kiện cho phương trình dẫn đến việc kết luận nghiệm sai. GV: Đối với dạng toán trên các em rất dễ mắc sai lầm trong việc biến đổi tương đương hai phương trình và kết luận nghiệm của phương trình. GV: Nếu đã tìm ra nguyên nhân sai lầm, theo em sửa bài toán trên bằng cách nào? HS: Biện pháp khắc phục: Khi giải phương trình chứa dấu căn thì cần phải đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn và chú ý đến việc biến đổi phương trình. Lời giải đúng: Cách 1: Giải xong thử lại Cách 2: Đặt điều kiện căn thức xác định 1  x  phương trình vô nghiệm. 2 . Do đó khi giải xong kết luận 7 Cách 3: Chứng minh: Vế trái số âm .Còn vế phải không âm. Kết luận phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2.15. Giải phương trình : 2x4 – 3x2 – 2 = 0 (*) Một HS giải như sau: Đặt x 2 = t, (*) trở thành : 2t2 – 3t – 2 = 0 (1)  = 9 + 16 = 25 3+5  t1 = 4 = 2 PT (1) có 2 nghiệm phân biệt :  t = 3 − 5 = −1  2 4 2 Với t = 2 ta có x2 = 2  x = 2 và x = − 2 66 Với t = −1 −1 2 − 2 ta có x2 = và x = x= 2 2 2 2 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm : x1 = 2; x2 = − 2; x3 = 2 − 2 ; x4 = 2 2 GV: Theo em bài làm trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu? HS: Kết luận nghiệm sai. GV: Nguyên nhân sai lầm là gì? HS: Nguyên nhân sai lầm: chưa đặt điều kiện cho ẩn t nên xuất hiện những nghiệm không phải là nghiệm của phương trình. GV: Đối với dạng toán trên các em phải chú ý khi đăt ẩn phụ thì cần có điều kiện cho ẩn phụ đó. GV: Nếu đã tìm ra nguyên nhân sai lầm, theo em sửa bài toán trên bằng cách nào? HS: Biện pháp khắc phục: Đặt điều kiện cho ẩn phụ x 2 = t ( t  0) Lời giải đúng : Đặt x 2 = t ( t  0), khi đó (*) trở thành : 2t2 – 3t – 2 = 0 ( 1) Ta có:  = 9 + 16 = 25 3+5  t1 = 4 = 2 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt :  t = 3 − 5 = −1 (loai vi t  0)  2 4 2 Với t = 2 ta có x2 = 2  x = 2 hoặc x = − 2 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : x1 = 2; x2 = − 2 Thông qua biện pháp 3 rèn luyện cho HS một số kỹ năng giải quyết vấn đề như kỹ năng tính toán, kỹ năng xác định các yếu tố, kỹ năng phân tích, tổng hợp, kỹ năng đánh giá. Ngoài việc rèn luyện cho học sinh thói quen làm rõ phương pháp GQVĐ cụ thể sau khi GQVĐ đó sẽ giúp HS rèn luyện khả năng suy luận và hiểu rõ hơn về các bước giải sau khi đã tìm ra được các sai lầm cụ thể. Vì vậy mà khi gặp các bài toán tương tự HS sẽ giải quyết bài toán nhanh hơn. 2.2.4. Biện pháp 4: Giúp HS thấy được vai trò và ứng dụng của phương trình, hệ phương trình trong các bài toán thực tế 2.2.4.1. Mục đích của biện pháp 67 Mỗi nội dung kiến thức toán học đều có ứng dụng để giải các bài toán thực tế. Quan trọng là phải khai thác được những hoạt động trong mỗi nội dung cụ thể để thực hiện nhiệm vụ dạy học. Nội dung PT, HPT có thể được đánh giá khá trừu tượng nhưng chúng ta lại không thể phủ nhận ứng dụng của chủ đề này trong các bài toán thực tế. Do đó, để tạo hứng thú cho người học thì GV cần tạo cơ hội cho HS tiếp cận các bài toán thực tế... Biện pháp nhằm giúp HS rèn luyện các kỹ năng dự đoán phát hiện vấn đề, kỹ năng định hướng phát hiện vấn đề, kỹ năng phân tích tổng hợp, kỹ năng đánh giá. 2.2.4.2. Nội dung và cách thực hiện biện pháp Từ những tri thức, kinh nghiệm, kĩ năng, kiến thức đã học con người sử dụng để giải quyết những nhu cầu mới hơn, cao hơn nhằm giải quyết một số bài toán thực tiễn với mục đích cao nhất là chinh phục thế giới từ đó hình thành năng lực GQVĐ của cá nhân. Như vậy, có thể coi bài toán thực tế là cơ sở, là khởi nguồn để hình thành năng lực GQVĐ. Những bài toán thực tế chính là động cơ, là nhu cầu thiết thực để HS tìm ra những giải pháp giải quyết trên cơ sở kiến thức, kĩ năng vốn có của mình. Thông qua các bài toán thực tế, có thể khơi gợi sự hứng thú của HS trong quá trình học tập, khơi gợi sự tò mò, trải nghiệm, khám phá tìm hiểu thế giới xung quanh. Từ sự chủ động dung nạp kiến thức, sẽ tự kiến tạo được kiến thức, do đó kiến thức mang tính bền vững là điều kiện hình thành năng lực cho mình giúp HS thấy được vai trò và ứng dụng thực tiễn của PT, HPT nhằm tạo sự hứng thú, cũng như phát triển được nhiều năng lực thành tố trong đó có năng lực GQVĐ của HS. Cách thực hiện biện pháp này như sau: - Đưa ra các dạng toán thực tế. - Cho HS tiếp xúc với các dạng toán cụ thể. - Hướng dẫn phân tích bài toán. - Đưa ra lời giải bài toán. - Cách thức tiến hành: Bước 1: Giáo viên đưa ra một số ví dụ, tổng quát các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình; Bước 2: Hướng dẫn HS thực hành theo các bước; 68 Bước 3: Học sinh đưa ra mô hình toán học khi đứng trước một bài toán thực tiễn cần giải quyết.  Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Bước 1: Lập hệ phương trình + Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn; + Biểu diễn các đại lưỡng chưa biết thông qua các đại lượng đã biết; + Lập phương trình và hệ phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ phương trình. Bước 3: Kiểm tra nghiệm vừa giải được với điều kiện của ẩn số (nếu có) và kết luận.  Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình: Bước 1: Lập phương trình + Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn; + Biểu diễn các đại lưỡng chưa biết thông qua các đại lượng đã biết; + Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải phương trình. Bước 3: Kiểm tra nghiệm vừa giải được với điều kiện của ẩn số (nếu có) và kết luận. 2.2.4.3. Ví dụ minh họa Ví dụ 2.16: Để đi được quãng đường từ A đến B, xe máy phải đi hết 3h30 phút, ô tô đi hết 2h30 phút. Tính quãng đường AB, biết vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h. Trước tiên cần cho HS nắm chắc các kiến thức, công thức liên quan, đơn vị các đại lượng. Trong dạng toán chuyển động cần phải hiểu rõ các đại lượng quãng đường, vận tốc, thời gian, mối quan hệ của chucngs qua công thức s = v.t GV hướng dẫn HS lập bảng phân tích để dễ hình dung bài toán hơn Quãng đường Thời gian Vận tốc Xe máy x.3,5 3h30’=3,5h x Ô tô (x+20).2,5 2h30’=2,5h x+20 - Vì quãng đường AB không đồi nên có PT: 69 3,5 x = 2,5 ( x + 20 ) Tóm tắt lời giải: Bước 1: Đổi 3h30' = 3,5h; 2h30' = 2,5h Gọi vận tốc xe máy là x (km/h): x  0. Vận tốc của ô tô là : x + 20 Bước 2: Vì quãng đường AB không đổi nên ta có phương trình 3,5 x = 2,5 ( x + 20 )  x = 50 ( km / h ) Bước 3: Vậy quãng đường AB là: 3,5.50 = 175km Sau khi giải xong bài toán, GV cần cho HS thấy rằng: ngoài việc chọn vận tốc là ẩn, ta cũng có thể chọn quãng đường là ẩn. Qua ví dụ trên góp phần giúp HS phát triển kỹ năng dự đoán và phát hiện vấn đề: xem xét phương trình toán học trong bài toán thực tiễn; kỹ năng định hướng giải quyết vấn đề: nhận dạng phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn, nhìn bài toán thực tiễn theo quan điểm toán học; kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề: lựa chọn cách giải phương trình phù hợp, chuyển đổi ngôn ngữ thực tiễn sang mô hình toán học, lập luận logic để giải quyết bài toán ; kỹ năng tự kiểm tra đánh giá kết quả. Ví dụ 2.17. Hai người cùng làm một công việc trong 24 giờ thì xong. Năng suất của người thứ nhất bằng 3 năng suất của người thứ hai. Hỏi nếu mỗi người 2 làm một mình cả công việc thì phải mất thời gian bao lâu? GV hướng dẫn HS lập bảng: Thời gian Năng suất Người thứ nhất 24 − x 3 1 . 2 x Người thứ hai x 1 x 70 Tổng 1 24 24 Theo bài toán ta có PT: 1 3 1 + = x 2 x 24 Tóm tắt lời giải Bước 1: Gọi thời gian người thứ hai làm một mình song công việc là x (h) ĐKXĐ: x > 24 Năng suất của người thứ 2 là 1 1 (mỗi giờ người thứ 2 làm được công việc) x x Năng suất của người thứ nhất là Năng suất của cả hai người là 3 2x 1 24 Bước 2: Theo bài toán ta có phương trình: 1 3 1 + = x 2 x 24 Giải phương trình ta tìm được x = 60 (thỏa mãn điều kiện) Bước 3: Vậy thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là 40h Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là 60h Thông qua ví dụ trên góp phần giúp HS rèn luyện các kỹ năng dự đoán và phát hiện vấn đề: xem xét phương trình toán học trong bài toán thực tiễn; kỹ năng định hướng giải quyết vấn đề: nhận dạng phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn, nhìn bài toán thực tiễn theo quan điểm toán học; kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn đề: lựa chọn cách giải phương trình phù hợp, chuyển đổi ngôn ngữ thực tiễn sang mô hình toán học, lập luận logic để giải quyết bài toán; kỹ năng tự kiểm tra đánh giá kết quả. Ví dụ 2.18: Lan mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 120 nghìn đồng, trong đó đã tính cả 10 nghìn đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng 71 thuế VAT đối với loại hàng thứ nhất là 10% ; Thuế VAT đối với loại hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì Lan phải trả mỗi loại hàng là bao nhiêu tiền? Ghi chú: Thuế VAT là thuế mà người mua hàng phải trả, người bán hàng thu và nộp cho nhà nước. Giả sử thuế VAT đối với mặt hàng A được qui định là 10%. Khi đó nếu giá bán của A là a đồng thì kể cả thuế VAT, người mua mặt hàng này phải trả tổng cộng là a + 10%.a đồng. GV hướng dẫn HS lập bảng Tiền chưa có thuế Tổng tiền chưa có Tiền thuế VAT VAT thuế VAT Loại hàng 1 x Loại hàng 2 110.000 − x 120.000 − 10.000 = 110.000 10 0 0 .x (110.000 − x ) .8 0 0 Tóm tắt lời giải: Bước 1: Gọi số tiền Lan phải trả cho loại hàng thứ nhất là x (đồng) (x > 0) Số tiền Lan phải trả cho loại hàng thứ 2 là 110.000 − x Tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ nhất là 10 0 0 .x Tiền thuế phải trả cho loại hàng thứ hai là (110.000 − x ) .8 0 0 Bước 2: Vì tiền thuế VAT cho cả hai loại hàng là 10.000 đ nên ta có phương trình: 10 0 0 .x + (110.000 − x ) .8 0 0 = 10.000  x (110.000 − x ) .8 + = 10.000 10 100 Giải phương trình ta được x = 60 thỏa mãn điều kiện. Bước 3: Vậy nếu không kể thuế Lan phải trả số tiền cho loại hàng thứ nhất là: 60.000 và loại hàng thứ hai là 50.000 Thông qua ví dụ trên giúp HS phát triển kỹ năng dự đoán và phát hiện vấn đề: xem xét phương trình toán học trong bài toán thực tiễn; kỹ năng định hướng giải quyết vấn đề: nhận dạng phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn, nhìn bài toán thực tiễn theo quan điểm toán học; kỹ năng tìm và trình bày cách giải quyết vấn 72 đề: lựa chọn cách giải phương trình phù hợp, chuyển đổi ngôn ngữ thực tiễn sang mô hình toán học, lập luận logic để giải quyết bài toán. 2.3. Tiểu kết chương 2 Trong chương 2 đã đưa ra một số biện pháp nhằm bồi dưỡng kỹ năng GQVĐ trong dạy học giải phương trình, hệ phương trình cho HS ở trường THCS, đó là: - Trang bị tri thức, phương pháp cho HS qua việc giải phương trình, hệ phương trình; - Rèn luyện cho HS kĩ năng giải phương trình, hệ phương trình; - Tạo cơ hội cho HS phát hiện và tìm sai lầm trong lời giải; - Giúp HS thấy được vai trò và ứng dụng của phương trình, hệ phương trình trong các bài toán thực tế; Như vậy, để bồi dưỡng kỹ năng GQVĐ trong dạy học giải phương trình, hệ phương trình cho học sinh, giáo viên cần trước hết cần phải trang bị cho học sinh có kiến thức, kĩ năng, phương pháp cụ thể; đồng thời chú trọng đến thái độ, hứng thú học tập, khả năng linh hoạt, sáng tạo tìm được nhiều cách giải của HS. 73 CHƯƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích của thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của việc vận dụng các biện pháp sư phạm nhằm hướng HS phát triển một số kỹ năng GQVĐ đã được đề xuất. Đồng thời kiểm nghiệm tính đúng đắn của giả thuyết khoa học. 3.2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành với 2 kế hoạch bài dạy, với 4 tiết thực nghiệm ở lớp 9C trường THCS Phong Hải thị xã Quảng Yên, tỉnh Quảng Ninh, lớp đối chứng cùng trường 9B. Căn cứ vào số lượng HS trong mỗi lớp cũng như kết quả của bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học học kì I năm học 2020 - 2021 của khối 9, tác giả luận văn nhận thấy: Lớp 9B (41 HS) và lớp 9C (42 HS) có số lượng HS gần bằng nhau, trình độ nhận thức, kết quả học tập toán khi bắt đầu khảo sát là tương đương nhau (xem Bảng 3.1). Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm học 2020- 2021 của hai lớp 9A và 9B Điểm kiểm tra xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x Lớp 9B 0 1 2 5 7 9 8 6 3 7,04 Lớp 9C 0 1 2 6 6 8 9 6 4 7,11 Sĩ số các lớp và GV dạy từng lớp như sau: - Lớp 9B sĩ số 41 HS là lớp thực nghiệm do cô giáo Lê Thị Hương Loan giảng dạy. - Lớp 9C sĩ số 42 HS là lớp đối chứng do cô giáo Lê Thị Hương Loan giảng dạy. 3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm 3.3.1. Nội dung thực nghiệm Căn cứ vào phân phối chương trình môn toán THCS (chương trình cơ bản), quá trình thử nghiệm được thực hiện linh hoạt vào trong quá trình dạy học một số tiết học cụ thể như sau: 74 Tiết 1 Tên bài dạy Mục đích, yêu cầu Chủ đề: - Qua bài học này HS biết được dạng của phương trình Phương trình bâc nhất và bậc hai một ẩn. - HS biết cách giải phương trình bậc nhất một ẩn, bậc hai một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu. Ngoài ra HS còn biết giải bài toán bằng cách lập phương trình. 2 Chủ đề: Hệ - Sau bài học HS biết được dạng của phương trình bậc phương trình nhất hai ẩn. - HS biết cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ và phương pháp sử dụng định thức. Tổng số tiết thực nghiệm: 4 tiết. Thời gian thực nghiệm tiến hành từ ngày 01/03/2021 đến ngày 15/03/2021 tại trường THCS Phong Hải, tỉnh Quảng Ninh. 3.3.2. Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm sư phạm Nội dung các tiết dạy được soạn theo hướng tăng cường tổ chức các hoạt động học tập cho HS, trong đó dụng ý phối hợp một số biện pháp cụ thể đã nêu ở Chương 2 của luận văn. Xây dựng một số tình huống sư phạm thể hiện một số biện pháp nhằm hướng HS phát triển được năng lực GQVĐ thông qua dạy học phần phương trình, hệ phương trình thông qua đó thể hiện tính hiệu quả, tính khả thi của các biện pháp đã đề ra. Thiết kế và sử dụng các phiếu học tập để hoạt động nhóm, tạo niềm vui và hứng thú học tập của các em trong việc lĩnh hội tri thức. 3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 3.4.1. Đánh giá định tính Qua quá trình tổ chức thực nghiệm sư phạm, tác giả luận văn nhận thấy: Trong các giờ dạy tại lớp thực nghiệm HS rất sôi nổi và hứng thú với các tiết dạy thực nghiệm, HS hăng hái phát biểu ý kiến xây dựng bài, tích cực chủ động tham gia vào 75 các hoạt động học tập, bàn luận và trao đổi để thực hiện tốt những yêu cầu bài toán mà GV đặt ra, bước đầu rèn luyện cho HS có thói quen tự học, có kỹ năng giải quyết các vấn đề đặt ra, chủ động trong việc lĩnh hội kiến thức mới. Những chuyển biến tích cực này được cụ thể như sau: - HS hứng thú trong giờ học Toán: Do trong quá trình học tập, GV đã hệ thống các kiến thức cơ sở nền tảng của nội dung Phương trình, Hệ phương trình, GV đã hệ thống một cách khoa học. GV áp dụng phương pháp đã nêu khiến bài giảng thêm sinh động và cuốn hút được nhiều HS hứng thú, chăm chú nghe giảng hơn. Các em được chủ động, được tham gia hoạt động, được suy nghĩ, được tự do trình bày quan điểm cá nhân, được tham vào quá trình phát hiện và định hướng lời giải nhiều hơn, hơn thế nữa HS còn được tham gia vào quá trình khám phá và kiến tạo kiến thức mới. - Khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa của HS tiến bộ hơn: Điều này có thể được giải thích là do GV đã thay đổi phương pháp giảng dạy, đã chú ý hơn trong việc phát triển năng lực biến đổi bài toán về dạng thuận lợi, phù hợp với kiến thức đã có của HS và điều kiện đã cho của bài toán để tìm hướng giải quyết bài toán, lấy phương châm người học làm trung tâm là tiền đề cho sự phát triển. - HS đã tập trung chú ý nghe giảng, thảo luận nhiều hơn, tranh luận để đưa ra ý kiến hoặc lời giải của mình: Điều này được giải thích là năng lực nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau của HS được GV đã chú ý và phát triển từ đó tìm nhiều cách giải, đồng thời qua đó HS có thể vận dụng tổng hợp kiến thức đã học và chọn lựa được lời giải phù hợp, tạo phản xạ khi tiếp xúc với bài toán. - Việc đánh giá, tự đánh giá bản thân của HS được sát thực hơn: Để HS có được điều này là do trong quá trình dạy học, GV đã cho HS trao đổi, thảo luận trực tiếp giữa thầy và trò, trò với trò được trả lời bằng các phiếu trắc nghiệm, khả năng suy luận của bản thân, cũng như sự lý luận của HS trước bài toán của mình. - HS tự học, tự nghiên cứu bài ở nhà thuận lợi hơn: Vì trong các tiết học ở trên lớp, GV đã quan tâm tới việc hướng dẫn HS tổ chức việc tự học, tự nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo ở nhà nên HS đã hình thành nên khả năng tự học, tự giác, chủ động trong học tập. 76 - HS tham gia vào bài học sôi nổi hơn, tự tin, mạnh dạn hơn: trong việc bộc lộ kiến thức, dám nói lên suy nghĩ của chính mình về một bài toán, một vấn đề, không dập khuôn một cách máy móc, thiếu tư duy khi nhìn nhận bài toán hay một vấn đề cụ thể. Điều này là do trong quá trình dạy học, GV phát triển cho HS thói quen không suy nghĩ cứng nhắc theo những quy tắc đã học, không máy móc áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử trước những tình huống mới. 3.4.2. Đánh giá định lượng 3.4.2.1. Đề kiểm tra (Phụ lục 5) 3.4.2.2. Kết quả kiểm tra Đánh giá về mặt định lượng thông qua kết quả kiểm tra của HS cuối đợt thực nghiệm. Kết quả này được cụ thể hóa bằng bảng điểm chi tiết sau: Bảng 3.2. Kết quả bài kiểm tra của HS hai lớp 9B và lớp 9C Trường Trung học cơ sở Phong Hải Điểm kiểm tra xi Lớp 9B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 0 0 3 5 10 8 9 5 1 6,8 7 3 7,4 Lớp 9C 0 0 0 5 6 10 11 Quan sát trực quan kết quả trên thông qua biểu đồ 3.1 sau: Biểu đồ 3.1. Kết quả bài kiểm tra của HS hai lớp 9B và lớp 9C Trường Trung học cơ sở Phong Hải Tác giả luận văn so sánh kết quả bài kiểm tra của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng dựa trên các số liệu số HS đạt điểm theo mức điểm: yếu, kém; trung bình; khá; giỏi và được thể hiện trong bảng sau: 77 Bảng 3.3. Bảng thống kê kết quả Kết quả Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm Lớp 9B Lớp 9C Yếu, kém (< 4 điểm) 3 7,3% 0 0% Trung bình (5 – 6 điểm) 15 36,6% 11 26,2% Khá (7 – 8 điểm) 17 41,5% 21 50% Giỏi (9 – 10 điểm) 6 14,6% 10 23,8% Có thể quan sát trực quan thông qua biểu đồ: 50% 50% 41.50% 36.60% 40% 30% 26.20% 23.80% 20% 10% 7.3% 14.60% Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm 0% 0% Yếu, kém Trung bình Khá Giỏi Biểu đồ 3.2. Biểu đồ thống kê kết quả Từ các kết quả trên ta có nhận xét sau: - Tỉ lệ HS đạt điểm khá và giỏi ở lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng, chênh lệch 17,7%. - Lớp thực nghiệm không có HS bị điểm yếu kém, trong khi đó, tỉ lệ này ở lớp đối chứng chiếm 7,3%. Tác giả luận văn cũng tiến hành xử lý số liệu để đánh giá mức độ phân tán của các điểm đạt được xung quanh điểm trung bình theo từng lớp. Nội dung Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm 6,8 7,4 N Điểm trung bình x =  x .n i =1 i i N 78 1 N 2 Phương sai s =  ( xi − x ) .ni N i =1 2,289 2,008 Độ lệch chuẩn s = s 2 1,51 1,42 2 Như vậy, điểm trung bình chung của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng; phương sai và độ lệch chuẩn ở lớp thực nghiệm nhỏ hơn so với lớp đối chứng. Điều đó chứng tỏ rằng, kết quả kiểm tra của lớp thực nghiệm ít chênh lệch hơn, chất lượng học tập đồng đều hơn. Sử dụng phép thử t – Student để xem xét, kiểm tra tính hiệu quả của thực nghiệm sư phạm, ta có kết quả: t = xTN = 2,28. . sTN Tra bảng phân phối t – Student với bậc tự do F = 42 và với mức ý nghĩa  = 0 ,05 ta được t = 1,68. Ta có t  t . Như vậy thực nghiệm sư phạm đạt kết quả. Tiến hành kiểm định phương sai của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng với giả thuyết E0: “Sự khác nhau giữa các phương sai ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là không có ý nghĩa” . Ta có kết quả: F = 2 sTN = 0,877. 2 sNC Giá trị tới hạn F tra trong bảng phân phối F ứng với mức ý nghĩa  = 0 ,05 , với các bậc tự do FTN = 42 và FNC = 41 là F = 1,68. Ta thấy F  F nên chấp nhận E0, tức là sự khác nhau giữa phương sai ở nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng là không ý nghĩa. Để so sánh kết quả thực nghiệm sư phạm, chúng tôi tiến hành kiểm định giả thuyết H0: “Sự khác nhau giữa điểm trung bình ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là không có ý nghĩa với phương sai như nhau”. Với mức ý nghĩa  = 0 ,05 , tra bảng phân phối t – Student với bậc tự do NTN + N NC − 2 = 81 ta được t = 1,67. Ta có giá trị kiểm định: xTN − xNC t= s. 1 1 + NTN N NC = 1,865 với s = 2 2 NTN − 1.sTN + N NC − 1.sNC NTN + N NC − 2 79 Ta có t  t . Như vậy, giả thuyết H0 bị bác bỏ. Điều đó chứng tỏ sự khác nhau giữa điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng là có ý nghĩa. Kết quả kiểm định chứng tỏ chất lượng học tập của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Đồng thời thể hiện tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất. 3.5. Tiểu kết chương 3 Quá trình thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm định tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp đã nêu ở Chương 2. Cụ thể là các biện pháp sư phạm dạy học theo hướng phát triển một số kỹ năng GQVĐ cho HS đã đề ra trước đó. Kết quả thu được qua đợt thực nghiệm sư phạm bước đầu đã kết luận rằng: Các biện pháp sư phạm đề ra có tính khả thi và góp phần phát triển một số kỹ năng GQVĐ cho HS trong Toán học nói chung và trong phương trình, hệ phương trình nói riêng. Giúp HS đã khắc sâu hơn những kiến thức cần có đồng thời từ đó có khả năng vận dụng kỹ năng GQVĐ khi thực hiện hoạt động tìm hiểu và nhận biết vấn đề, hoạt động tìm giải pháp trong tình huống vận dụng kiến thức phương trình, hệ phương trình sau thực nghiệm tốt hơn trước thực nghiệm, HS lớp thực nghiệm tốt hơn lớp đối chứng và có khả năng phát triển một số kỹ năng GQVĐ để đề xuất giải pháp mới, đề xuất vấn đề mới, áp dụng vào tình huống thực tế. Chất lượng làm bài kiểm tra của HS lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng. Qua kết quả trên, chứng tỏ năng lực GQVĐ của HS bắt đầu được nâng cao và có hiệu quả tương đối tốt. HS có hứng thú và tự tin học khi giải quyết những vấn đề liên quan đến nội dung này. Từ đó cho thấy mục đích của thực nghiệm sư phạm đã đạt được và giả thuyết khoa học nêu ra đã được kiểm nghiệm. 80 KẾT LUẬN CHUNG Qua thời gian nghiên cứu đề tài Dạy học Phương trình, hệ phương trình ở trường trung học cơ sở nhằm phát triển một số kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh, tác giả luận văn nhận thấy tuy khả năng còn hạn chế nhưng dưới sự nỗ lực của bản thân và sự chỉ bảo nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Danh Nam, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài đặt ra đã hoàn thành, mục đích nghiên cứu đã đạt được như mong muốn. Luận văn đã thu được những kết quả chính sau đây: 1. Đã hệ thống hóa quan điểm của các nhà khoa học về kỹ năng, sự hình thành kỹ năng, đặc điểm của kỹ năng, các yếu tố ảnh hưởng đến kỹ năng, một số quan niệm về vấn đề, GQVĐ, kỹ năng GQVĐ, các thành tố của kỹ năng GQVĐ, thực trạng phát triển kỹ năng GQVĐ cho HS ở trường THCS... 2. Đã tìm hiểu thực tiễn việc dạy học nội dung phần Phương trình, hệ phương trình ở trường THCS. 3. Đã đề xuất được 03 nguyên tắc và 04 biện pháp sư phạm nhằm phát triển kỹ năng GQVĐ cho HS THCS qua dạy học nội dung Phương trình, Hệ phương trình. Trong mỗi biện pháp sư phạm, ngoài việc trình bày mục đích, nội dung của biện pháp, chúng tôi đã thể hiện minh hoạ qua các ví dụ cụ thể một cách tường minh nhất. 4. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm, đã dạy thực nghiệm được 4 tiết để minh họa tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất. Toàn bộ những kết quả trên cho thấy nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn đã được hoàn thành, giả thiết khoa học đặt ra trong luận văn đã được khẳng định. 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Nguyễn Tuấn Anh (2000), Bồi dưỡng NL phát hiện và GQVĐ cho HS trung học cơ sở trong dạy học khái niệm Toán học (thể hiện qua một số khái niệm mở đầu đại số ở trung học cơ sở). Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Viện khoa học Giáo dục Việt Nam. 2. Ban Chấp hành Trung ương (2013), Nghị quyết số 29- NQ/TW ngày 04/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế. 3. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Thông tư số 32/2018/TT – BGDĐT ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo về việc ban hành Chương trình giáo dục phổ thông – Chương trình tổng thể. 4. Chiến lược phát triển giáo dục giai đoạn 2011 - 2020 ban hành kèm quyết định 711/QĐ - TTg của Thủ tướng Chính phủ. 5. Trần Thị Chuyền (2011), Phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học giải phương trình vô tỉ ở trường trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội. 6. Nguyễn Văn Cường (2010), Một số vấn đề chung về đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học phổ thông, Bộ Giáo dục và Đào tạo, Dự án phát triển giáo dục trung học phổ thông. 7. Dự án Việt - Bi (2000), Dạy học các kỹ năng tư duy, Hà Nội. 8. Nguyễn Thị Thúy Hà (2017), Phân tích kĩ năng giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 ban nâng cao, Luận văn thạc Thạc sĩ Sư phạm Toán, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội. 9. Nguyễn Thị Hằng (2017), Rèn luyện kĩ năng giải toán trong dạy học giải bài tập phương trình đường thẳng cho học sinh lớp 10, Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội. 10. Trần Bá Hoành (1996), Kĩ thuật dạy học sinh học, NXB Giáo dục Việt Nam. 11. Irem Grenoble (1997), Một số kinh nghiệm giảng dạy Toán ở Pháp, NXB 82 Giáo dục, Hà Nội. 12. Trần Văn Kiên (2006), Vận dụng tiếp cận GQVĐ trong dạy học DTH ở trường THPT, Luận án tiến sĩ khoa học giáo dục, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Hà Nội. 13. Trần Kiều (1999), Đổi mới phương pháp dạy học ở trường Trung học cơ sở, Viện khoa học giáo dục. 14. Nguyễn Bá Kim (2009), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB Đại học Sư Phạm. 15. Bùi Thị Lô (2008), Rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học bài tập toán ở trường trung phổ thông, Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, Đại học Vinh. 16. Nguyễn Thị Minh (2007), Rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông một số kỹ năng cần thiết trong dạy học Đại số, Giải tích, Luận văn Thạc sĩ dục học, trường Đại học Vinh. 17. Petrovski A. V. Tâm lí lứa tuổi và tâm lí sư phạm, tập 2, NXB giáo dục Hà Nội, 1982. 18. G. Polya (1975), Giải một bài toán như thế nào (bản dịch), sách dịch. NXB giáo dục. 19. G.Polya (1977), Sáng tạo toán học (bản dịch), sách dịch. NXB Giáo dục. 20. G. Pôlya (1995), Toán học và những suy luận có lý, Nxb giáo dục, Hà Nội. 21. G.Polya (2010), Sáng tạo toán học, NXB Giáo dục Việt Nam. 22. Đào Thị Phương Thảo (2012), Rèn luyện kỹ năng giải hệ phương trình cho học sinh khá giỏi trung học phổ thông, Luận văn Thạc sĩ Sư phạm Toán, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội. 23. Hà Thị Thúy (2015), Tổ chức dạy học dự án Sinh học 10 THPT góp phần nâng cao năng lực tự học cho học sinh, Luận án tiến sĩ khoa học giáo dục, Đại học Sư phạm Hà Nội. 24. Từ điển Bách khoa Việt nam 2, NXB Từ điển Bách khoa 2002. 25. Viện ngôn ngữ học (2005), Từ điển Tiếng Việt, Nhà xuất bản Thành phố Hồ Chí Minh. 83 Tiếng Anh 26. Alam, M.S. (1997), Effectiveness of inductive thinking and inquiry training models for teaching biology to the students of secondary schools, Unpublished doctoral dissertation, Jamia Millia Islamia. 27. G.Polya (1957), How to solve it: A new aspect of mathematical method (2nded.). Princeton. 84 PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1 PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN GIÁO VIÊN Kính gửi: Để góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học toán ở trường trung học cơ sở vì sự nghiệp giáo dục của nước nhà nói chung, vì sự nghiệp dạy và học toán ở trường phổ thông nói riêng, tôi biên soạn phiếu thăm dò ý kiến này. Những thông tin thu được từ phiếu chỉ nhằm phục vụ cho mục đích nghiên cứu, ngoài ra không vì mục đích nào khác. Xin thầy (cô) vui lòng cho biết ý kiến của mình bằng cách đánh dấu (x) vào các ô phù hợp trong bảng dưới đây, có thể đánh nhiều ô cho mỗi câu hỏi Xin trân trọng cảm ơn Thầy/ Cô! PHẦN CÁC CÂU HỎI Câu hỏi 1: Thầy/ Cô cho rằng chủ đề giải PT, HPT ở trường THCS là một chủ đề: . Rất khó đối với HS . Khó đối với HS . Bình thường với HS . Dễ với HS Câu hỏi 2: Để dạy học chủ đề PT, HPT ở trường THCS, thầy (cô) đã sử dụng phương pháp dạy học (Có thể lựa chọn nhiều đáp án) . Thuyết trình . Vấn đáp . Trực quan . Phân nhóm . Dạy học theo PISA . Dạy học theo hướng giải quyết vấn đề . Ý kiến khác: ............................................................................................................. ......................................................................................................................................... Câu hỏi 3: Thầy/ Cô đã sư dụng dạy học theo hướng giải quyết vấn dề trong dạy học Toán, Thầy/Cô cho rằng Mức độ Nội dung Hoàn toàn Đồng ý Không Rất đồng ý không đồng ý đồng ý Hướng dạy học này mang lại hiệu quả tích cực trong dạy học Mất nhiều thời gian và trí tuệ cho việc chuẩn bị bài giảng và các hoạt động dạy học Dạy học theo hướng giải quyết vấn đề tuy hay nhưng ít cơ hội thực hiện do khó tạo được tình huống gợi vấn đề HS rất hứng thú đối với những giờ học này Để HS thực hiện quá trình tìm tòi và giải quyết vấn đề mất nhiều thời gian và dễ “cháy giáo án” Câu hỏi 4: Đánh giá của Thầy/Cô về tiết dạy phát triển kỹ năng GQVĐ cho HS? (Có thể lựa chọn nhiều tiêu chí): Mức độ STT Nội dung 1 HS biết thực hiện gộp các bước tính trong bài giải; tìm nhiều cách giải, chỉ ra được cách giải hay nhất; có bài giải bằng những suy luận gián tiếp, những nhận xét sắc sảo, những lập luận chặt chẽ, lôgic. 2 HS biết hệ thống hóa và sử dụng các kiến thức, kĩ năng, thuật giải trong quá trình luyện tập, ôn tập một chủ đề kiến thức cụ thể. 3 HS biết lập kế hoạch giải, lập dàn bài, dàn ý, chương trình thực hiện cho từng vấn đề cụ thể (theo quy trình,các bước thực hiện). 4 HS phát hiện ra hoặc giải thích được vấn đề mới dựa trên kiến thức của bài học. Hoàn toàn đồng ý Đồng ý Không Rất đồng ý không đồng ý 5 HS giải quyết được các bài tập khó với những tình huống và dữ liệu đã biến đổi. 6 HS có được cách giải quyết vấn đề, cách suy luận vấn đề linh hoạt. 7 Có nhiều bài làm hoặc bài giải súc tích, sáng sủa, độc đáo của HS. 8 Không khí lớp học sôi nổi, HS tích cực, chủ động hăng hái phát biểu. 9 HS biết nhanh chóng thiết lập mối liên hệ, lập kế hoạch ứng phó với vấn đề; phản xạ nhạy bén với những vấn đề mới phát sinh trong quá trình giải quyết nhiệm vụ học tập. Câu hỏi 5: Khi dạy học theo hướng GQVĐ, Thầy/Cô đã rèn luyện và phát triển những kỹ năng nào cho HS? Mức độ Nội dung - Kỹ năng xác định các yếu tố - Kỹ năng nhận biết câu hỏi - Kỹ năng đọc được hình ảnh - Kỹ năng thể hiện các dữ kiện (biểu đồ, đồ thị, ...) - Kỹ năng ước lượng, phỏng đoán - Kỹ năng phân tích - Kỹ năng tổng hợp - Kỹ năng suy luận logic - Kỹ năng vẽ hình - Kỹ năng tưởng tượng - Kỹ năng tính toán - Kỹ năng khái quát hóa, đặc biệt hóa - Kỹ năng so sánh, tương tự - Kỹ năng đánh giá Hoàn toàn đồng ý Đồng ý Không Rất đồng ý không đồng ý - Kỹ năng sáng tạo bài toán mới Câu hỏi 6: Để kiểm tra đánh giá HS khi học chủ đề PT, HPT ở trường THCS, Thầy/ Cô đã sử dụng hình thức kiểm tra nào? . Tự luận . Trắc nghiệm khách quan Câu hỏi 7: Đề kiểm tra đánh giá HS khi học chủ đề PT, HPT ở trường THCS, theo thầy cô nên sử dụng hình thức kiểm tra: . Tự luận . Trắc nghiệm khách quan Câu hỏi 8: Theo Thầy/Cô những biểu hiện về phát triển kỹ năng GQVĐ của HS trong giờ học như thế nào? Mức độ thực hiện Tiêu chí đánh giá Rất Tốt tốt Không Rất không tốt tốt Biết phát hiện vấn đề và nêu vấn đề trong học tập. Biết đề xuất các ý tưởng của giả thuyết. Biết xác định các kiến thức cần cho việc GQVĐ. Biết tìm hiểu kiến thức mới có liên quan. Biết lựa chọn giải pháp tốt và đánh giá giải pháp. Câu hỏi 9: Theo thầy (cô) những khó khăn thường gặp trong tổ chức dạy học nhằm phát triển kỹ năng GQVĐ cho HS là: (Có thể chọn nhiều tiêu chí): Mức độ Nội dung STT Hoàn toàn đồng ý 1 GV cần dành nhiều thời gian, công sức. Đồng ý Không đồng ý Rất không đồng ý 2 Không có nhiều tài liệu. 3 Thời lượng tiết học ngắn, không cho phép đưa nhiều kiến thức bên ngoài vào bài dạy. 4 Trình độ của học sinh không đồng đều. Câu 10. Thầy/Cô cho biết khi dạy chủ đề PT, HPT HS có hay mắc phải những sai lầm giải toán không và đó là sai lầm gì? Trả lời: ........................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... Câu 11. Theo Thầy/ Cô thì nguyên nhân dẫn đến những sai lầm trên là gì? Trả lời: ........................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... ......................................................................................................................................... Cuối cùng, nếu không phiền xin thầy (cô) cho biết một số thông tin về bản thân: Họ và tên:........................................................................................................................ Đơn vị công tác: ............................................................................................................. Xin chân thành cảm ơn sự tham gia đóng góp ý kiến của quý thầy (cô)! PHỤ LỤC 2 PHIẾU THĂM DÒ Ý KIẾN HỌC SINH Kính gửi: Để góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả dạy học toán ở trường trung học cơ sở vì sự nghiệp giáo dục của nước nhà nói chung, vì sự nghiệp dạy và học toán ở trường phổ thông nói riêng, tôi biên soạn phiếu thăm dò ý kiến này. Những thông tin thu được từ phiếu chỉ nhằm phục vụ cho mục đích nghiên cứu, ngoài ra không vì mục đích nào khác. Xin các em vui lòng cho biết ý kiến của mình bằng cách đánh dấu (x) vào các ô phù hợp trong bảng dưới đây, có thể đánh nhiều ô cho mỗi câu hỏi Xin trân trọng cảm ơn các em! PHẦN CÁC CÂU HỎI Câu 1. Đánh dấu x vào ô tương ứng mà em cho là phù hợp. Các hoạt động Mức độ đồng ý Rất đồng ý Đồng ý Không đồng ý Rất không đồng ý Em thấy nội dung kiến thức của bài học dễ hiểu, liên quan đến thực tế cuộc sống. Em có yêu thích môn học. Bài học giúp em rèn luyện kĩ năng thực hành Bài học giúp em phát triển năng lực tư duy Em chủ động tìm hiểu kiến thức mới có liên quan Các nhiệm vụ học tập được giao giúp em phát triển khả năng sáng tạo Các hoạt động giúp em tăng cường năng lực hợp tác Câu 2: Em có hứng thú với chủ đề PT, HPT ở trường THCS hay không? . Rất hứng thú . Hứng thú . Bình thường . Không hứng thú Câu 3. Để chuẩn bị trước cho bài học chủ đề PT, HPT, em thường . Nghiên cứu trước theo nội dung hướng dẫn của giáo viên (nếu có) . Tham khảo, tìm đọc các tài liệu có liên quan đến nội dung chủ đề . Không chuẩn bị gì cả Câu 4. Trong giờ học, khi giáo viên đưa ra câu hỏi/bài tập chủ đề giải phương trình, hệ phương trình, em thường . Suy nghĩ tìm cách trả lời các câu hỏi/ bài tập để phát biểu . Suy nghĩ tìm cách trả lời câu hỏi/bài tập nhưng không dám phát biểu vì sợ không đúng . Chờ câu hỏi hoặc cách giải của bạn . Chờ giáo viên trả lời/ giải bài tập Câu 5. Sau khi học xong mỗi bài chủ đề Pt, HPT về nhà em thường . Tìm đọc thêm các tài liệu có liên quan đến chủ đề này ở ngoài SGK để hiểu rõ hơn các kiến thức đã học . Chủ động học bài cũ, trả lời câu hỏi và làm bài tập về nhà . Học bài cũ nhưng chỉ thuộc một cách máy móc . Không học bài cũ vì không hiểu bài . Không học bài cũ vì không thích học Câu 6. Em cho rằng chủ đề PT, HPT ở trường THCS là một chủ đề . Rất khó . Khó . Bình thường . Dễ Câu 7: Trong giờ học Toán, nếu giáo viên có sử dụng các phương tiện dạy học như máy chiếu, biểu đồ, hình vẽ trực quan thì . Em hào hứng, tập trung chú ý đến bài giảng của giáo viên . Em tập trung vào các phương tiện dạy học hơn là tập trung nghe giảng . Em không quan tâm đến phượng tiện dạy học, chỉ quan tâm đến bài giảng của giáo viên . Em cảm thấy mình tiếp thu được kiến thức tốt hơn nhờ đó em có thể làm được các bài tập Câu 8. Em hãy tự đánh giá mức độ tiếp thu các kiến thức Toán học của bản thân trong quá trình học chủ đề PT, HPT? . Rất tốt . Tốt . Bình thường . Không tốt Cuối cùng, nếu không phiền xin các em cho biết một số thông tin về bản thân: Họ và tên:........................................................................................................................ Lớp: ................................................................................................................................. Trường: .......................................................................................................................... Xin chân thành cảm ơn sự tham gia đóng góp ý kiến của các em! PHỤ LỤC 3 KẾ HOẠCH BÀI DẠY CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH Môn học: Toán-Lớp 9 Thời gian thực hiện (2 tiết) I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: - HS được củng cố và hệ thống hóa các kiến thức và các dạng bài tập liên quan đến hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.. 2. Năng lực: - Năng lực chung: năng lực giải quyết vấn đề Toán học, năng lực tư duy và lập luận Toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học toán. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. - Năng lực chuyên biệt: Năng lực tính toán, NL giải phương trình. 3. Phẩm chất: - Nhân ái: Tôn trọng sự khác biệt về nhận thức, phong cách cá nhân của những người khác. - Chăm chỉ: Luôn cố gắng vươn lên đạt kếtquả tốt trong học tập. Có ý thức vận dụng kiến thức,kĩ năng học được ở nhà trường,trong sách báo và từ các nguồntin cậy khác vào học tập và đời sống hằng ngày. - Trách nhiệm: Có ý thức tiết kiệm thời gian; sử dụng thời gian hợp lí; xây dựng và thực hiện chế độ học tập, sinh hoạt hợp lí. II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU 1. Thiết bị dạy học: SGK, thước thẳng, phấn màu, bảng phụ. 2. Học liệu: SGK. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: HOẠT ĐỘNG 1: Mở đầu - Mục tiêu: HS tiếp cận kiến thức thông qua nội dung bài tập về nhà tiết trước. - Nội dung: HS trình bày các kiến thức trọng tâm về phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn. - Sản phẩm: Sơ đồ tư duy của nhóm 1+2. - Tổ chức thực hiện: Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung - Gv mời đại diện hai nhóm 1+2 lên bảng (Sơ đồ tư duy nhóm 1+2) treo nội dung sơ đồ tư duy về chủ đề phương trình đã được chuẩn bị trước. - Mời đại điện nhóm 1 thuyết trình sơ đồ tư duy của nhóm. - Gọi nhóm 2 nhận xét phần trình bày của nhóm 1. - Gv nhận xét, chốt kiến thức và cho điểm. HOẠT ĐỘNG 2: Hệ thống kiến thức - Mục tiêu: Nhắc lại kiến thức trọng tâm của phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn. - Nội dung: Hoạt động cá nhân trả lời các câu hỏi của giáo viên. - Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh. - Tổ chức thực hiện: Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung Giao nhiệm vụ: I. Hệ thống kiến thức - Nhóm 1: Nêu dạng và cách giải của 1. Phương trình bậc nhất và cách giải phương trình bậc nhất một ẩn. a) Dạng: ax + b = 0 ( a  0 ) - Nhóm 2: Nêu dạng và cách giải của b) Cách giải phương trình bậc hai một ẩn. - Nhóm 3: Nêu cách giải phương trình tích. ax + b = 0  ax = −b  x = −b a 2. Phương trình bậc hai và cách giải - Nhóm 4: Nêu cách giải phương trình a) Dạng: ax 2 + bx + c = 0 ( a  0 ) chứa ẩn ở mẫu. b) Cách giải Các nhóm thảo luận 5 phút sau đó đại + B1: Xác định hệ số a, b, c diện trình bày kết quả. + B2: Tính  = b2 − 4ac + B3: Nếu  = 0 thì phương trình có nghiệm Gv chốt đáp án. kép x1 = x2 = − b 2a Nếu   0 thì phương trình vô nghiệm Nếu   0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = −b +  −b −  ; x2 = 2a 2a 3. Phương trình tích  A(x) = 0 A(x).B(x) = 0    B(x) = 0 4. Phương trình chứa ẩn ở mẫu + B1: Tìm điều kiện xác định của phương trình + B2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu + B3: Giải phương trình vừa nhận được + B4: (Kết luận). Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho HOẠT ĐỘNG 3: Luyện tập - Mục tiêu: HS được luyện tập, củng cố các kiến thức về nội dung phương trình. - Nội dung: HS làm các bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6 theo các dạng và trả lời một số câu hỏi. - Sản phẩm: Kết quả học tập của học sinh. - Tổ chức thực hiện: Hoạt động của GV và HS Nội dung - Giao nhiệm vụ: II. Luyện tập Gv trình chiếu bài tập 1, 2 Dạng 1: Giải phương trình đưa về dạng Bài 1: Giải phương trình ax + b = 0 ( a  0 ) a) 3x − 2 = 2 x − 3 Bài 1: b) 5 − ( x − 6 ) = 4 ( 3 − 2 x ) a) c) −6 (1,5 − 2 x ) = 3 ( −15 + 2 x ) 3x − 2 = 2 x − 3  3x − 2x = −3 + 2  x = −1 Vậy tập nghiệm của phương trình là H1: Em có nhận xét gì về các phương trình trên? (!) Các phương trình trên chưa đưa về dạng ax + b = 0 H2: Vậy làm cách nào để đưa các phương trình trên về dạng ax + b = 0 ? Nêu các bước thực hiện? - B1: Thực hiện phép tính (bỏ ngoặc) - B2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hạng tử tự do sang một vế - B3: Giải phương trình - B4: Kết luận S = −1 . b) 5 − ( x − 6 ) = 4 ( 3 − 2 x )  5 − x + 6 = 12 − 8 x  − x + 8 x = 12 − 11 1  7x = 1  x = 7 1  Vậy tập nghiệm của phương trình là S =   . 7  c) −6 (1,5 − 2 x ) = 3 ( −15 + 2 x )  −9 + 12 x = −45 + 6 x  12 x − 6 x = −45 + 9  6 x = −36  x = −6 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = −6 . Bài 2: Giải phương trình Bài 2: 2 (1 − 3x ) 2 + 3x 3 ( 2 x + 1) − =7− a) 5 10 4 a) 5 x − 2 5 − 3x = b) 3 2  H1: Em có nhận xét gì về các phương trình trên? (!) Phương trình trên là dạng phương trình đưa về dạng ax + b = 0 H2: Em hãy nêu các bước để giải dạng phương trình trên? - B1: Quy đồng và khử mẫu - B2: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hạng tử tự do sang một vế - B3: Giải phương trình 2 (1 − 3x ) 2 + 3x 3 ( 2 x + 1) − =7− 5 10 4 8 (1 − 3x ) 2 ( 2 + 3x ) 140 15 ( 2 x + 1) − = − 20 20 20 20  8 (1 − 3x ) − 2 ( 2 + 3 x ) = 140 − 15 ( 2 x + 1)  4 − 30 x = 125 − 30 x  −30 x + 30 x = 125 − 4  0 x = 121 Vậy phương trình vô nghiệm - B4: Kết luận - Thực hiện nhiệm vụ + HS chia nhóm theo bàn thực hiện nhiệm vụ trong 5 phút + GV quan sát và hỗ trợ các nhóm - Báo cáo, thảo luận 2 ( 5 x − 2 ) 3 ( 5 − 3x ) 5 x − 2 5 − 3x =  = 3 2 6 6 b)  2 ( 5 x − 2 ) = 3 ( 5 − 3x )  10 x + 9 x = 15 + 4  19 x = 19  x = 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 1 . + Đại diện các nhóm báo cáo kết quả + HS bổ sung, đánh giá - Kết luận, nhận định + GV nhận xét và chốt kiến thức - Giao nhiệm vụ: Dạng 2: Giải phương trình bậc hai một ẩn Bài 3: Giải phương trình ax 2 + bx + c = 0 ( a  0 ) a) 3x 2 + 5 x − 2 = 0 Bài 3: b) 5 x 2 − 6 x + 1 = 0 Ta có a = 3,b = 5,c = −2 H1: Em có nhận xét gì về các phương trình trên?  = b2 − 4ac = 52 − 4.3.( −2 ) = 25 + 24 = 49  0 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân (!) Các phương trình trên là phương biệt: trình bậc hai một ẩn. x1 = −b +  −5 + 49 −5 + 7 2 1 = = = = 2a 2.3 6 6 3 x2 = −b −  −5 − 49 −5 − 7 −12 = = = = −2 2a 2.3 6 6 H2: Em hãy nêu cách giải phương trình bậc hai một ẩn? (!) HS trả lời Bài 4: Cho phương trình 2 x − x + m = 0 (1) 2 Vậy tập nghiệm của phương trình là a) Giải phương trình khi m = −11 1  S =  ; −2 3  b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 4. kép. Hướng dẫn a) Khi m = −11 , phương trình (1) có dạng 2 x 2 − x − 11 = 0 a) H1: Khi thay m = -11 thì phương trình trở thành phương trình gì? (!) Phương trình bậc hai một ẩn H2: Hãy nêu cách giải của dạng phương trình trên?  = 1 + 88 = 89  0 , phương trình có hai nghiệm x1 = 1 − 89 1 + 89 ; x2 = 4 4 b)  = 1 − 8m . Để phương trình (1) có nghiệm kép thì  = 0  m = 1 8 (!) HS trả lời các bước làm b) H3: Để phương trình có nghiệm kép thì cần điều kiện gì? (!) Để phương trình có nghiệm kép thì =0 - Thực hiện nhiệm vụ + HS hoạt động cá nhân thực hiện nhiệm vụ + GV quan sát và hỗ trợ - Báo cáo, thảo luận + Gọi HS lên bảng trình bày kết quả + HS bổ sung, đánh giá - Kết luận, nhận định + GV nhận xét và chốt kiến thức - Giao nhiệm vụ: Dạng 3: Giải phương trình tích Bài 5: Giải phương trình Bài 5: a) 2 x ( 3x − 1) = ( 3x − 1) a) 2 x ( 3x − 1) = ( 3x − 1) b) 3( x − 5)( x + 2 ) = x 2 − 5x  ( 3x − 1)( 2 x − 1) = 0 c) ( x − 1)( 2 x + 3) + 2 x = 2 1  x=  3 x − 1 = 0 3   2 x − 1 = 0 x = 1  2 d) 7−x 2 + ( x − 7 )( x − 3) = 0 2 3 Vậy tập nghiệm của phương trình là H1: Em có nhận xét gì về các phương trình trên? 1 1  S = ;  3 2  (!) Ở mỗi phương trình đều thấy xuất b) 3( x − 5)( x + 2 ) = x 2 − 5x hiện nhân tử chung. Do đó có thể đưa  3 ( x − 5 )( x + 2 ) = x ( x − 5 ) các phương trình về dạng phương trình tích. H2: Vậy em hãy nêu cách giải phương trình tích? (!) Nêu các bước giải phương trình tích. - Thực hiện nhiệm vụ + HS hoạt động cặp đôi thực hiện nhiệm vụ + GV quan sát và hỗ trợ - Báo cáo, thảo luận + Gọi HS lên bảng trình bày kết quả + HS bổ sung, đánh giá - Kết luận, nhận định + GV nhận xét và chốt kiến thức  ( x − 5) 3 ( x + 2 ) − x  = 0  ( x − 5)( 2 x + 6 ) = 0 x − 5 = 0 x = 5   2 x + 6 = 0  x = −3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 5; −3 c) ( x − 1)( 2 x + 3) + 2 x = 2  ( x − 1)( 2 x + 3) + ( 2 x − 2 ) = 0  ( x − 1)( 2 x + 3) + 2 ( x − 1) = 0  ( x − 1)( 2 x + 3 + 2 ) = 0 x = 1  x −1 = 0   x = − 5 x 2 5 0 + =  2  Vậy tập nghiệm của phương trình là  5 S = 1; −  . 2  d) 7−x 2 + ( x − 7 )( x − 3) = 0 2 3 x−7 2 + ( x − 7 )( x − 3) = 0 2 3  −1 2   ( x − 7 )  + ( x − 3)  = 0  2 3   −5 2   ( x − 7) + x  = 0  2 3  x − 7 = 0 x = 7   −5 2   + x=0  x = 15 4  2 3 − Vậy tập nghiệm của phương trình là  15  S = 7;  .  4 - Giao nhiệm vụ: Dạng 4: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu Bài 6: Giải phương trình Bài 6: a) b) x +1 x −1 4 − = 2 (1) x −1 x +1 x −1 1 3x 2 2x − 3 = 2 ( 2) x −1 x −1 x + x + 1 x2 − x + 8 2x c) = x + 1 ( x + 1)( x − 4 ) ( 3) a) ĐKXĐ: x  1,x  −1 ( x + 1) − ( x − 1) = 4 (1)  ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) 2  ( x + 1) 2 − ( x − 1) = 4  ( x + 1 + x − 1)( x + 1 − x + 1) = 4 2 2  2 x.2 = 4 H1: Hãy nêu nhận xét về các phương trình trên?  x = 1 (không thỏa mãn đkxđ) (!) Các phương trình trên là phương Vậy phương trình vô nghiệm. trình chứa ẩn ở mẫu. b) ĐKXĐ: x  1 H2: Vậy hãy nêu các bước để giải 2 x ( x − 1) x 2 + x + 1 3x 2 − 3 = ( 2)  3 x −1 x −1 x3 − 1  x 2 + x + 1 − 3x 2 = 2 x ( x − 1) phương trình chứa ẩn ở mẫu? (!) Nêu 4 bước giải. - Thực hiện nhiệm vụ + HS hoạt động cá nhân thực hiện nhiệm vụ + GV quan sát và hỗ trợ - Báo cáo, thảo luận  4x2 + x + 1 − 2 x2 + 2 x = 0  2 x 2 + 3x + 1 = 0  2x2 + 2x + x + 1 = 0  2 x ( x + 1) + ( x + 1) = 0  ( x + 1)( 2 x + 1) = 0 + HS bổ sung, đánh giá  x = −1 x +1 = 0   x = − 1 2 1 0 x + =  2  - Kết luận, nhận định Vậy tập nghiệm cùa phương trình là + GV nhận xét và chốt kiến thức 1  S = −1; −  2  + Gọi HS lên bảng trình bày kết quả c) ĐKXĐ: x  −1,x  4 2x ( x − 4) x2 − x + 8 = ( 3)  ( x + 1)( x − 4 ) ( x + 1)( x − 4 )  2 x2 − 8x = x2 − x + 8  x2 − 7 x − 8 = 0  x = −1  x = 8 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 8 . HOẠT ĐỘNG 4: Vận dụng - Mục tiêu: HS vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài toán thực tế. - Nội dung: HS đọc và giải bài toán thực tế sau: - Sản phẩm: Kết quả của HS. - Tổ chức thực hiện: Hoạt động của giáo viên và học sinh - Giao nhiệm vụ: Bài toán: Năm ngoái, tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu. Năm nay, dân số của tỉnh A tăng thêm 1,1%, còn dân số của tỉnh B tăng thêm 1,2%. Tuy vậy, số dân của tỉnh A năm nay vẫn nhiều hơn tỉnh B là 807 200 người. Tính số dân năm ngoái của mỗi tỉnh. - Đọc đề và trả lời một số câu hỏi: H1: Đề bài cho biết những yếu tố nào, yếu tố nào chưa biết, yếu tố nào cần phải tìm ? H2: Dân số tỉnh A tăng 1,1% tức là gì? H3: Tương tự dân số tỉnh B tăng thêm 1,2% tức là gì? H4: Dân số tỉnh A năm nay nhiều hơn dân số tỉnh B là 807 200 người thì ta có Nội dung điều gì? - Thực hiện nhiệm vụ + Trả lời câu hỏi của GV + HS hoạt động nhóm thực hiện nhiệm vụ + GV quan sát và hỗ trợ - Báo cáo, thảo luận + Gọi đại diện lên bảng trình bày kết quả + HS bổ sung, đánh giá - Kết luận, nhận định + GV nhận xét và chốt kiến thức *Hướng dẫn về nhà: - Xem lại các dạng bài tập đã chữa. - Tiết sau ôn tập về giải hệ phương trình. - Nhóm 3+4: chuẩn bị sơ đồ tư duy hệ thống kiến thức về hệ phương trình. PHỤ LỤC 4 KẾ HOẠCH BÀI DẠY CHỦ ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Môn học: Toán - Lớp 9 Thời gian thực hiện (2 tiết) I. MỤC TIÊU: 1. Kiến thức: - HS được củng cố và hệ thống hóa các kiến thức và các dạng bài tập liên quan đến hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. 2. Năng lực: - Năng lực chung: năng lực giải quyết vấn đề Toán học, năng lực tư duy và lập luận Toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng công cụ và phương tiện học toán. Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. - Năng lực chuyên biệt: Năng lực tính toán, NL giải hệ phương trình. 3. Phẩm chất: - Nhân ái: Tôn trọng sự khác biệt về nhận thức, phong cách cá nhân của những người khác. - Chăm chỉ: Luôn cố gắng vươn lên đạt kết quả tốt trong học tập. Có ý thức vận dụng kiến thức,kĩ năng học được ở nhà trường,trong sách báo và từ các nguồntin cậy khác vào học tập và đời sống hằng ngày. - Trách nhiệm: Có ý thức tiết kiệm thời gian; sử dụng thời gian hợp lí; xây dựng và thực hiện chế độ học tập, sinh hoạt hợp lí. II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU 1. Thiết bị dạy học: SGK, thước thẳng, phấn màu, bảng phụ. 2. Học liệu: SGK. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC: HOẠT ĐỘNG 1: Mở đầu - Mục tiêu: HS tiếp cận kiến thức thông qua nội dung bài tập về nhà tiết trước. - Nội dung: HS trình bày các kiến thức trọng tâm về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. - Sản phẩm: Sơ đồ tư duy của nhóm 3+4. - Tổ chức thực hiện: Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung - Gv mời đại diện hai nhóm 3+4 lên bảng (Sơ đồ tư duy nhóm 3+4) treo nội dung sơ đồ tư duy về chủ đề phương trình đã được chuẩn bị trước. - Mời đại điện nhóm 3 thuyết trình sơ đồ tư duy của nhóm. - Gọi nhóm 4 nhận xét phần trình bày của nhóm 3. - Gv nhận xét, chốt kiến thức và cho điểm. HOẠT ĐỘNG 2: Hệ thống kiến thức - Mục tiêu: Nhắc lại kiến thức trọng tâm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. - Nội dung: Hoạt động cá nhân trả lời các câu hỏi của giáo viên. - Sản phẩm: Câu trả lời của học sinh. - Tổ chức thực hiện: Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung - Giao nhiệm vụ: I. Hệ thống kiến thức Yêu cầu HS trả lời một số câu hỏi: 1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn + Nêu dạng tổng quát của hệ phương Cho hệ phương trình: trình bậc nhất hai ẩn? ax + by = c , a  0 (d)  a ' x + b ' y = c ', a '  0 (d') + Nêu các cách giải hệ phương trình? - Thực hiện nhiệm vụ + HS làm việc theo cặp đôi trả lời các câu hỏi của Gv + Gv quan sát và hỗ trợ - Báo cáo, thảo luận + Gv gọi HS trình bày câu trả lời + HS nhận xét, bổ sung - Kết luận, đánh giá • (d) cắt (d’)  a b   Hệ a' b' phương trình có nghiệm duy nhất. • (d) // (d’)  a b c =   Hệ a' b' c' phương trình vô nghiệm. • (d)  (d’)  a b c = =  Hệ a' b' c' + Gv nhận xét, đánh giá và chốt kiến thức trọng tâm. phương trình có vô số nghiệm 2. Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Cách 1: Sử dụng phương pháp thế - Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phưpơng trình đã cho để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn - Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho Cách 2: Sử dụng phương pháp cộng đại số - Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau - Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn số) - Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho Cách 3: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Cách 4: Sử dụng định thức HOẠT ĐỘNG 3: Luyện tập - Mục tiêu: HS được luyện tập, củng cố các kiến thức về nội dung hệ phương trình. - Nội dung: HS làm các bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6 theo các dạng và trả lời một số câu hỏi. - Sản phẩm: Kết quả học tập của học sinh. - Tổ chức thực hiện: Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung - Giao nhiệm vụ: II. Luyện tập Gv yêu cầu HS đọc đề và làm bài tập 1, 2 Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và Bài 1: Giải hệ phương trình đưa về dạng cơ bản 4x − 3 y = 1 − x + 3 y = 2 Bài 1:  2 x − y = −7 2 x + 7y = 1 3x = 3 x = 1 4x − 3 y = 1    − x + 3 y = 2 −1 + 3 y = 2 − x + 3 y = 2 x = 1 x = 1   3 y = 3  y = 1 a)  b)  H1: Có nhận xét gì về các hệ phương trình trên? (!) Các hệ phương trình trên đều là các hệ phương trình cơ bản có dạng a) Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x; y ) = (1;1) ax + by = c , a  0 (d)  a ' x + b ' y = c ', a '  0 (d') 2x − y = −7 8y = 8 y = 1   b)   2 x + 7y = 1 2x − y = −7 2x − 1 = −7 H2: Nêu cách giải của các hệ phương trình y = 1 y = 1   2x = −6  x = −3 trên? (!) Giải bằng phương pháp thế và cộng đại số Bài 2: x + y = 5 a) Giải hệ phương trình  2x − y = 1 b) Tìm tham số a để hệ phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = (−3;1) Bài 2: x + y = 5 3x = 6 x = 2 a)    2x − y = 1  y = 5 − x y = 3 Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất: ( x; y ) = ( 2;3) x − y = a  7x − 2y = 5a − 1 b) Hệ phương trình có có nghiệm duy nhất ( x; y ) thỏa mãn 1 −1   hệ pt 7 −2 y = 2x (Dành cho HS Khá – Giỏi) Hướng dẫn a) H1: Nêu cách giải của dạng phương trình (1) x − y = a  7x − 2y = 5a − 1 (2) có nghiệm duy nhất với mọi a. Theo đề bài ta có hệ pt có nghiệm duy nhất trên? thỏa mãn y = 2x (!) Giải bằng phương pháp cộng đại số Thay y = 2x vào (1) ta được: b) H2: Nhận xét gì về hệ phương trình trên? (!) Hệ phương trình trên có chứa tham số a HD: Thay y = 2x vào phương trình (1) tìm x − 2x = a  x = −a  y = −2a Thay x = −a; y = −2a vào (2) ta được: 7 ( −a ) − 2 ( −2a ) = 5a − 1 nghiệm tổng quát của x và y  −7a + 4a − 5a = −1 - Thực hiện nhiệm vụ  −8a = −1  a = + HS chia nhóm theo bàn thực hiện nhiệm vụ Vậy a = + GV quan sát và hỗ trợ các nhóm 1 8 1 8 - Báo cáo, thảo luận + Đại diện các nhóm báo cáo kết quả + HS bổ sung, đánh giá - Kết luận, nhận định + GV nhận xét và chốt kiến thức Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng - Giao nhiệm vụ: ìï 1 ïï ïï x Bài 3: Giải hệ phương trình: íï 3 ïï + ïïî x 1 = 1 y 4 = 5 y H1: Nêu cách giải các dạng bài tập trên? phương pháp đặt ẩn phụ Bài 3: 1 x Đặt u = ; v = 1 y (Điều kiện: x, y, u, v ≠ 0) (!) Giải hệ phương trình trên bằng phương Hệ phương trình (I) trở thành: pháp đặt ẩn phụ. ìï u - v = 1 ìï 3u - 3v = 3 ï ï Û í í ïï 3u + 3v = 5 ïï 3u + 3v = 5 î î ìï 6u = 8 Û ïí ïï 3u + 3v = 5 î 1 x H2: Đặt u = ; v = 1 ta được hệ phương y trình như thế nào? u − v = 1 3u + 4v = 5 (!)  Gv: Sau khi đặt ẩn phụ thì hệ đã trở về dạng ìï ìï ïï u = 4 ïï u = 4 ï 3 Û í Û í 3 ïï ïï 4 3. + 3v = 5 ïïî 3u + 3v = 5 ïïîï 3 cơ bản. - Thực hiện nhiệm vụ + HS hoạt động cá nhân thực hiện nhiệm vụ + GV quan sát và hỗ trợ ìï ìï ïï u = 4 ïï x = 3 ï 3 Û í Þ í ïï 1 (TM) ïï y = 34 ïï v = ïïî 3 ïî Vậy hệ phương trình (I) có nghiệm là - Báo cáo, thảo luận + Gọi HS lên bảng trình bày kết quả 3 (x; y) =  ;3  4   + HS bổ sung, đánh giá - Kết luận, nhận định + GV nhận xét và chốt kiến thức Dạng 3. Hệ phương trình chứa tham số - Giao nhiệm vụ: mx + y = 1  x + my = 2 Bài 4: Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình khi m = 2 b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m. c) Tìm m để hệ phương trình có (Giải và biện luận hệ phương trình) Bài 4 mx + y = 1  x + my = 2 a) Hệ phương trình: (I)  Thay m = 2 vào hệ phương trình (I) ta có hệ nghiệm phương trình: (x; y) thoả mãn x – y = 1.  y = 1 − 2 x 2 x + y = 1    x + 2 (1 − 2 x ) = 2 x + 2 y = 2 d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m (Các phần b, c, d dành cho HS Khá – Giỏi) b) H1: Có cách nào để biện luận được hệ phương trình trên? (!) Rút y ở phương trình (1) và thế vào phương trình (2) sau đó mới biện luận.  y = 1− 2x  x + 2 − 4x = 2  y = 1− 2x y =1   −3x = 0 x = 0 Vậy với m = 2 thì hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 1) c) H2: Để hê phương trình có nghiệm (x; y) b) Giải hệ phương trình theo tham số m thoả mãn x – y = 1 ta phải làm như thế nào? Ta có: (!) Từ ý b) biểu diễn x và y theo m sau đó thay vào x – y = 1 ta sẽ được một phương trình theo ẩn m.  mx + y = 1  y = 1 − mx    x + my = 2   x + m (1 − mx ) = 2 d) H3: Để hệ phương trình không phụ thuộc  y = 1 − mx  2 x + m − m x = 2 vào tham số ta làm thế nào? (!) Ta rút m từ một phương trình và thế vào   y = 1 − mx  2   1− m x + m = 2 ( phương trình còn lại. ) (*) (II) Bài 5: Giải và biện luận hệ phương trình: + Xét m = 1  Phương trình (*) mx − y = 2m  4 x − my = m + 6  0x = 1(vô nghiệm) H: Nêu cách biện luận hệ phương trình  hpt (II) vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm. bằng phương pháp dùng định thức? + Xét m = –1  Phương trình (*) - Thực hiện nhiệm vụ  0x = 3(vô nghiệm)  hpt (II) vô + HS hoạt động cặp đôi thực hiện nhiệm vụ nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm. + GV quan sát và hỗ trợ Vậy hệ phương trình (I) có 1 nghiệm duy - Báo cáo, thảo luận nhất (x; y) =  + Gọi HS lên bảng trình bày kết quả  2 − m 1 − 2m  với ; 2 2   1− m 1− m  + HS bổ sung, đánh giá m≠1 - Kết luận, nhận định c) Hệ phương trình (I) có 1 nghiệm duy + GV nhận xét và chốt kiến thức nhất (x; y) =   2 − m 1 − 2m  với m ≠  1 ; 2 2   1− m 1− m  Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x–y=1 2 − m 1 − 2m 2 − m − 1 + 2m 1 − m 2 1 − =  = 1 − m2 1 − m2 1 − m2 1 – m2  1 + m = 1 – m2   m 2 + m = 0  m ( m + 1) = 0 m = 0   m = −1 (KTM) Vậy với m = 0 thì hpt (I) có nghiệm (x; y) thoả mãn x – y = 1. d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Xét hệ phương trình: (I) mx + y = 1 (1)   x + my = 2 (2) Từ phương trình (1)  mx = 1 – y  m = Thay m = 1− y x 1− y vào phương trình (2) ta x có phương trình: 1− y x2 + y − y 2 2x =2 = x x x 2 2 2  x + y − y = 2x  x − 2x + y − y2 = 0 x + y. Vậy x 2 − 2 x + y − y 2 = 0 là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Bài 5: Ta có: D= Dx = m −1 = −m2 + 4 = − ( m − 2 )( m + 2 ) 4 −m −1 2m = −2m2 + m + 6 m + 6 −m 3  = −2 ( m − 2 )  m +  2  Dy = m 2m = m2 − 2m = m(m − 2) 4 m+6 Biện luận: + Nếu m  2 thì D  0 nên hệ có một  2m + 3 − m  nghiệm  ;   m+2 m+2 + Nếu m = −2 thì D = 0, Dx = −4  0 nên hệ có vô số nghiệm. + Nếu m = 2 thì D = Dx = D y = 0 nên hệ có vô số nghiệm thỏa mãn 2 x − y = 4 . HOẠT ĐỘNG 4: Vận dụng - Mục tiêu: HS vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài toán thực tế. - Nội dung: HS đọc và giải bài toán thực tế sau: - Sản phẩm: Kết quả của HS. - Tổ chức thực hiện: Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung - Giao nhiệm vụ: Bài toán: Hai vòi nước cùng chảy vào Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình một cái bể không có nước thì trong 5 đầy bể là x (giờ), thời gian vòi thứ hai chảy giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là y (giờ). Điều kiện trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 x; y  5 giờ thì được 2 bể nước. Hỏi nếu mỗi 3 vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể. - Đọc đề và trả lời một số câu hỏi: H1: Đề bài cho biết những yếu tố nào, yếu tố nào chưa biết, yếu tố nào cần phải tìm ? H2: Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được 2 bể nước ta được phương trình như thế 3 nào? - Thực hiện nhiệm vụ + Trả lời câu hỏi của GV + HS hoạt động nhóm thực hiện nhiệm vụ Trong 1 giờ: vòi thứ nhất chảy được vòi thứ hai chảy được 1 bể; x 1 bể y Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được 1 bể 5 Vì hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể nên ta có phương trình: 1 1 1 + = x y 5 (1) Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được 1 x 1 y 2 3 2 bể nên ta 3 có phương trình: 3. + 4. = + 2 (2) 3 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: + GV quan sát và hỗ trợ - Báo cáo, thảo luận + Gọi đại diện lên bảng trình bày kết quả + HS bổ sung, đánh giá - Kết luận, nhận định + GV nhận xét và chốt kiến thức 1 1 1 x + y = 5   3 + 4 = 2  x y 3 Giải hệ phương trình trên ta được x = 7,5; y = 15 (thỏa mãn điều kiện) Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 7,5 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 15 giờ. Dụng ý sư phạm của hai bài soạn: - Ở hoạt động 1, GV cho HS thuyết trình sơ đồ tư duy bài học. Việc này giúp HS rèn luyện kỹ năng thuyết trình, kỹ năng sáng tạo. - Ở hoạt động 2, GV yêu cầu HS trả lời một số câu hỏi bài học nhằm giúp HS trang bị các kiến thức về phương trình, hệ phương trình và góp phần giúp HS có căn cứ khi lập luận, thực hiện biện pháp 1. - Ở hoạt động 3, GV xây dựng hệ thống bài tập theo dạng toán theo mức độ từ dễ đến khó để HS rèn luyện các kỹ năng giải quyết vấn đề, thực hiện biện pháp 2. Ngoài ra, ở hoạt động này sau khi HS lên bảng trình bày xong, GV có thể bổ sung, chỉ ra sai lầm trong lời giải của HS, thực hiện biện pháp 3. - Ở hoạt động 4, vận dụng, GV đưa ra các ví dụ thực tế mà ở đó HS có thể phân tích, tìm tòi đi tìm lời giải theo nhiều hướng, từ đó rèn luyện cho HS cách phân tích bài toán thực tế để đi xác định, tìm cách giải, tìm cách lập PT, HPT. PHỤ LỤC 5 (sau thực nghiệm) ĐỀ KIỂM TRA – 45 PHÚT Câu 1(4 đ): Giải phương trình a) 2 1 3x − 11 − = x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2) b) x −1 x − 2 x −3 − = x− 2 3 4 Câu 2 (3 đ): Giải hệ phương trình ìï 1 1 ïï + = 2 ïï x - 1 y - 2 b) íï 2 3 ïï = 1 ïïî y - 2 x - 1 x − y = 2   a) 3 x + 2 y = 11 Câu 3 (2 đ): Số học sinh của lớp 9A hơn số học sinh của lớp 9B là 5 bạn. Nếu chuyển 10 bạn từ lớp 9A sang lớp 9B thì số học sinh của lớp 9B sẽ gấp đôi số học sinh của lớp 9A. Tính số học sinh lúc đầu của mỗi lớp. Câu 4 (1 đ): Giải phương trình 1 1 1 1 + 2 + 2 = x + 9 x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 2 Những dụng ý sư phạm về đề kiểm tra Mục đích của đề kiểm tra là nhằm đánh giá kỹ năng GQVĐ của HS trong việc giải toán nội dung phương trình, hệ phương trình: - Câu 1 nhằm đánh giá: Khả năng vận dụng kiến thức bài học tìm tập xác định của biểu thức, quy đồng mẫu số; Khả năng huy động kiến thức trong giải toán, kỹ năng tính toán chính xác và kỹ năng trình bày lời giải rõ ràng, chặt chẽ, bài toán này được đánh giá nằm trong phần kiến thức khá dễ, dành cho tất cả HS từ trung bình đều có thể làm được. Khả năng vận dụng các bước giải phương trình. - Câu 2 ở ý a) HS dễ dàng giải được hệ bằng phương pháp thế, ở ý b) học sinh có thể đặt ẩn phụ với u = 1 1 ,v= . Khi đó, học sinh dễ dàng nhận ra x −1 y−2 đây là hệ phương trình cơ bản và thực hiện giải với thuật giải có sẵn. - Câu 3, nhằm đánh giá các kỹ năng như: Vận dụng được các kiến thức để xác định bài toán thuộc dạng nào; khả năng vận dụng các kiến thức vào bài toán đòi hỏi mức độ hiểu sâu; nhằm tăng cường rèn luyện khả năng huy động kiến thức trong lập luận; rèn luyện kỹ năng trình bày logic, lời giải chặt chẽ rõ ràng. - Câu 4 (dành cho học sinh khá, giỏi), để giải được câu này đòi hỏi học sinh cần có sự linh hoạt, sáng tạo, quy lạ về quen để từ đó vận dụng thuật giải đã biết. Đáp án Đáp án Câu 1 a) 2 1 3x − 11 − = (1) x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2) Điểm 0,5 ĐKXĐ: x  −1; x  2 2( x − 2) ( x + 1) 3 x − 11 − = ( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2)  2( x − 2) − ( x + 1) = 3 x − 11  −2 x = −6  x = 3(tmdk ) 1,0 Vậy S = 3 . 0,5 (1)  x −1 x − 2 x −3 − = x− 2 3 4 6( x − 1) 4( x − 2) 12 x 3( x − 3)  − = − 12 12 12 12  6( x − 1) − 4( x − 2) = 12 x − 3( x − 3)  −7 x = 7  x = −1 c) 0,5 1,0 0,5 Vậy S = −1 2 x − y = 2 x = 2 + y  3x + 2 y = 11 3(2 + y ) + 2 y = 11 a)  x = 2 + y x = 3   5 y = 5 y =1 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y) = (3;1) 0,25 0,5 0,25 ìï 1 1 ïï + = 2 ïï x - 1 y - 2 b) íï 2 3 ïï = 1 ïïî y - 2 x - 1 Đặt u = 0,5 1 1 ;v = ( x  1; y  2) . Khi đó hệ phương trình trở thành x −1 y−2 u + v = 2  2v − 3u = 1 1,0 u = 2 − v u = 2 − v   2v − 3(2 − v) = 1 5v = 7 3 8   u = x =     5 3   (tmdk ) 7 19 v = y =   5 7   0,5  8 19   3 7  Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) =  ; 3 - Gọi số HS lớp 9B là x ( x  + ). Khi đó: Số HS lớp 9A x + 5 (HS). 0,25 0,25 - Khi chuyển 10 bạn từ lớp 9A sang lớp 9B thì: + Số học sinh của lớp 9A còn: x + 5 −10 = x − 5 (HS) + Số học sinh của lớp 9B có x + 10 (HS) 0,5 - Vì khi chuyển 10 bạn từ lớp 9A sang lớp 9B thì số học sinh của lớp 9B sẽ gấp đôi số học sinh của lớp 9A nên ta có phương trình: x + 10 = 2 ( x − 5 )  x = 20 (TMĐK) Vậy số học sinh lúc đầu của lớp 9B là 20 HS, của lớp 9A là 20 + 5 = 25 (HS). 1,25 0,25 (HS giải cách khác đúng vẫn được điểm tối đa) 4 ĐKXĐ x  −4; x  −5; x  −6; x  −7 Phương trình trở thành: 0,25 0,5 1 1 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1  − = x + 4 x + 7 18 Giải phương trình tìm được x = -13; x = 2 0,25