BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Lê Văn Hà - Giáo viên trường THCS Định Liên - Yên Định - Thanh Hoá Gmail: hadinhlien@gmail.com Điện thoại: 0977442256 Bài 1. Nếu trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh ấy bằng 30◦ . 1 Lời giải. Xét △ABC vuông tại A có AC = BC. Trên tia đối của tia AC lấy A 2 điểm D sao cho AD = AC. △ABD = △ABC(c.g.c) ⇒ BD = BC. 1 1 Do AC = BC, AC = DC nên BC = DC. 2 2 Tam giác BDC có BD = BC = DC nên là tam giác đều, do đó Cb = 60◦ . Suy d = 30◦ . C D A ra ABC d Bài 2. Tính các góc của tam giác ABC. Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằng nhau. Lời giải. Vẽ MK⊥AC thì △KAM = △HAM(cạnh huyền-góc nhọn) nên MK = MH. MB MC = . Do đó MK = 2 2 MC nên Cb = 30◦ . △MKC vuông có MK = 2 d = 90◦ , Bb = 60◦ . [ = 60◦ , BAC Suy ra HAC Bài 3. Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABE, ACF. Gọi I là trung điểm của BC, H là trực tâm của tam giác ABE. Tính các góc của tam giác FIH. Hướng dẫn. Đối với bài tập này cần xét ba trường hợp: d < 90◦ . + Trường hợp 1: BAC Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IH = IK thì E △IBH = △ICK(c.g.c) A K B H C M A H ⇒ CK = BH = HA. Chú ý rằng: d = 60◦ + 30◦ + A b < 180◦ . FAH I d = HBI d = Bb + 30◦ . Suy ra KCI B     d + ACF d = 360◦ − 90◦ + Bb + ACB d = 90◦ + A b = FAH. d [ = 360◦ − KCN [ + ACB FCK F C K và AF = CF. Do đó △AHF = △CKF(c.g.c). Suy ra FH = FK nên tam giác FHK cân tại đỉnh F. d = 60◦ nên HFK [ = CFK, [ mà AFC [ = Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên AFH 60◦ . d = 90◦ , IHF d = 60◦ , IFH d = 30◦ . Vậy tam giác FHK đều. Suy ra HIF Chú ý. Ta cũng có thể vẽ điểm K sao cho I là trung điểm KF thì △BIK = △CIF(c.g.c) ⇒ BK = CF = AF (1) Vì H là trực tâm của tam giác đều ABE nên AH = BH (2) 1 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Lại có   d + 60◦ d − ABC d − IBG d = 360◦ − 30◦ − ABC d − BCA [ = 360◦ − HBA HBK   d + BCA d = 90◦ + BAC d = HAF [ = 270◦ − ABC (3) Từ (1), (2), (3) suy ra △BHK = △AHF(c.g.c) ⇒ HK = HF. Tam giác HKF cân tại H, có HI là đường trung tuyến F d = 90◦ . đồng thời là đường cao nên HI⊥KF. Vậy HIF d = 90◦ . Ta thấy H, A, F thẳng hàng; + Trường hợp 2: BAC E A E, H, I thẳng hàng và EI//AC đồng thời IF//AB. Do đó EI⊥IF suy ra H d = 90◦ , IHF d = 60◦ , IFH d = 30◦ . HIF d > 90◦ chứng minh tương tự trường + Trường hợp 3: BAC d < 90◦ . hợp BAC C I B Chú ý. Trực tâm H của tam giác ABE (giao của ba đường cao) có thể thay bằng trọng tâm G hoặc giao của ba đường phân giác (tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE) hoặc giao của ba đường trung trực (đường tròn đi qua ba điểm A, B, E) là như nhau. d = 45◦ , ACB d = 120◦ . Trên tia Bài 4. Cho tam giác ABC có ABC A đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính số đo góc d ADB. 1 ◦ ◦ c c c c Lời giải. Vì C1 và C2 là hai góc kề bù, mà C1 = 120 nên C2 = 60 . [ = 30◦ Vẽ DH⊥CA ta được tam giác CDH vuông tại H có CDH H 1 1 nên CH = CD, mà BC = CD (giả thiết, CD = 2BC) nên CH = 1 2 2 BC hay tam giác BCH cân tại H suy ra HB = HD. (1) 2 1 2 c1 = 15◦ nên tam giác HAB cân tại H. Do đó c1 = 15◦ và A C B D Ta có B HB = HA. (2) ◦ [ = 90 . Suy ra tam giác AHD vuông cân tại H. Từ (1) và (2) suy ra tam giác HAD cân tại H, mà AHD d = 30◦ + 45◦ = 75◦ . Từ đó tính được ADB d tù, đường cao AH, đường phân giác BD thoả mãn AHD [ = 45◦ . Bài 5. Cho tam giác ABC có BAC d Tính ADB. Lời giải. Cách 1. Vẽ BK⊥AC. Xét tam giác ABH có K x BD là đường phân giác trong; HD là đường A 2 phân giác ngoài đỉnh H nên AD là đường phân 1 c1 = A c2 . giác ngoài đỉnh A, suy ra A 1 D c1 = KBH b nên A c1 = [ (cùng phụ với C) Mà A 2 c1 . [ K BD + B (1) 1 c2 = D c1 + B c2 . Mặt khác A (2) C H B c c c c Vì A1 = A2 ; B1 = B2 nên từ (1) và (2) suy ra d = 45◦ . c1 . Do đó tam giác KBD vuông cân tại đỉnh K, suy ra K [ [ K BD = D BD = ADB [ = 135◦ , rồi vẽ điểm A sau đó vẽ điểm C. Cách 2. Để vẽ hình chính xác, ta vẽ tam giác BHD có BHD Xét △ABH ta có: d = ABH c2 + 90◦ . [ + 90◦ = 2B HAx 2 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 d = 2A c2 . Do đó Ta lại có HAx Mặt khác, xét △ABD ta có c2 = 2B c2 = B c2 + 90◦ ⇒ A c2 + 45◦ 2A (1) c2 = B c2 + D c1 A (2) c1 = 45◦ . Từ (1) và (2) suy ra D Chú ý. Trước khi làm bài tập này, ta giải bài toán phụ dưới đây: Cho F C tam giác ABC. Chứng minh rằng hai tia phân giác ngoài của hai góc tại hai đỉnh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một A điểm (xem một số bài tập liên qua đến bài toán này sau bài tập này). I D Lời giải. Thật vậy, gọi I là giao điểm hai tia phân giác ngoài của góc B B và C. E Từ I kẻ IE⊥AB; IF⊥AC theo tính chất tia phân giác ta có IE = IF và ID = IF. Điều đó chứng tỏ I nằm trên tia phân giác của góc A. Nói cách khác hai tia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một điểm. b = 120◦ , các đường phân giác AD và BE. Tính số đo của B [ Bài 5.1. Cho tam giác ABC có A ED. d d Lời giải. Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB, ta có BAD = CAD = x d = 60◦ . A 60◦ nên CAx Xét tam giác ABD có AE là phân giác ngoài tại đỉnh A, BD là phân giác trong tại đỉnh B. Do đó DE là phân giác ngoài tại đỉnh D. Do đó ◦ d d d c1 − B c1 = ADC − ABC = BAD = 60 = 30◦ . [ B ED = D 2 2 2 E 2 B 1 2 1 D C d và A b tù. Kẻ tia BD cắt tia đối của tia CA ở D sao cho CBD d = ABC. d Bài 5.2. Cho tam giác ABC có ACB [ Kẻ AH vuông góc với BD tại H. Tính CHD. Lời giải. Gọi tia đối của tia AB là tia Ax. x Xét tam giác ABH, theo tính chất góc ngoài của tam A 2 d = 90◦ + 2B c1 (hình vẽ bài 5). giác ta có HAx 1 1 C Xét tam giác ABC có c2 = C c1 + B d c1 = 45◦ + B c1 = 1 HAx. A 2 2 1 d Suy ra AC là tia phân giác của HAx. H D B [ suy Kết hợp với giả thiết BC là tia phân giác của ABH, [ Vậy CHD [ = 45◦ . ra HC là tia phân giác của AHD. Bài 5.3. Cho tam giác ABC, Bb = 120◦ , phân giác BD và CE. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng. [=B [ a) ADF DF. b) Ba điểm D, E, F thẳng hàng. Lời giải. 3 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 d = ABF d = FBy d = 60◦ . a) Vẽ tia đối của tia phân giác BD là By. Khi đó dễ thấy ABD Xét tam giác ABD có hai tia phân giác ngoài của góc A và B cắt nhau tại F suy ra DF là tia phân giác [=B [ trong của góc D. Vậy ADF DF. b) Xét tam giác BCD có tia phân giác của góc C và tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt nhau tại E, suy d ra DE là tia phân giác của ADB. d nên ba điểm D, E, F thẳng hàng. Ta có DE, DF đều là tia phân giác của góc ADB d = 45◦ . Chứng Bài 5.4. Cho tam giác ABC, Bb = 45◦ , phân giác BD, đường cao AH. Cho biết BDA minh rằng HD//AB. d là góc ngoài của Lời giải. Xét tam giác BCD có ADB d =B d − c2 + Cb suy ra Cb = ADB tam giác BCD nên ADB b c2 hay Cb = 45◦ − B . B 2 c1 là góc ngoài tại đỉnh A nên Xét tam giác ABC có A b b c1 = Bb + Cb = Bb + 45◦ − B ⇒ A c1 = 45◦ + B A 2 2 (1) c2 = 90◦ − Cb = 45◦ + Xét tam giác AHC vuông tại H có A x A 2 1 1 D 2 1 B Bb 2 H C (2) c1 = A c2 . Từ (1), (2) suy ra A Xét tam giác ABH có D là giao điểm của một tia phân giác ngoài với một tia phân giác trong không [ = 45◦ , suy ra HD//AB (vì có cặp góc kề nên tia HD là tia phân giác ngoài tại điểm H do đó DHC đồng vị bằng nhau). b = 120◦ , các đường phân giác AD, BE,CF. Bài 5.5. Cho tam giác ABC, A a) Chứng minh rằng DE là tia phân giác ngoài của tam giác ADB. [ b) Tính EDF. d và CAx là Lời giải. a) Vẽ Ax là tia đối của AB. Khi đó BAC x d = CAD d = CAx d = 60◦ . A hai góc kề bù nên BAD 3 1 2 Xét tam giác ABD có AE là tia phân giác ngoài tại đỉnh A; BE E F là tia phân giác trong tại B nên DE là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác ADB. C B D b) Chứng minh tương tự DF là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác ACD. d và ADB là hai góc kề bù nên EDF [ = 90◦ . Mặt khác, ADC Bài 5.6. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD,CE cắt nhau tại I và ID = IE. Chứng minh rằng Bb = Cb hoặc Bb + Cb = 120◦ . Lời giải. d = IDK d Cách 1. Kẻ IH⊥AB, IK⊥AC, ta có △HIE = △KID (cạnh huyền-cạnh góc vuông) suy ra IEH (1) Xét bốn trường hợp sau: a) H thuộc BE; K thuộc CD. b b b+ C = A b + B . Do đó Cb = B. b Từ (1) suy ra A 2 2 b) H thuộc AE; K thuộc AD. b Chứng minh tương tự phần a) ta được Bb = C. c) H thuộc BE; K thuộc AD. 4 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Từ (1) ta có b b b b b= B +C b + C = Cb + B ⇒ A A 2 2 2 2 b = Bb + Cb ⇒ 3A b=A b + Bb + Cb = 180◦ ⇒ A b = 60◦ , Bb + Cb = 120◦ . ⇒2A d) H thuộc AE; K thuộc CD. Chứng minh tương tự phần c), ta được Bb + Cb = 120◦ . Cách 2. Không mất tính tổng quát, giả sử AD ≥ AE, xét hai trường hợp: a) AD = AE. A d d △ADI = △AEI(c.c.c) ⇒ ADI = AEI. b chung, ADI d = AEI d nên A △ADB và △AEC có A c1 . Do đó Bb = C. b c1 = C B F 1 D b) AD > AE. Lấy F trên AD sao cho AF = AE. D E 1 △AFI = △AEI(c.g.c) ⇒ IF = IE, E1 c1 . Fb1 = E I I 1 1 b c 2 2 Do IE = ID nên IF = ID, do đó F1 = D1 . Suy B C C b B b b + B = Bb + C . c1 = E c1 , tức là A ra D 2 2 Biến đổi như cách 1, ta được Bb + Cb = 120◦ . b 6= 90◦ , B và C là các góc nhọn, các đường trung trực của AB và AC cắt Bài 5.7. Tam giác ABC có A d nhau tại O và cắt BC thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng AO là tia phân giác của EAF. Lời giải. Ta xét hai trường hợp: b < 90◦ . Trường hợp 1: A d Ta có EA = EB nên EO là tia phân giác của AEB. d Chứng minh tương tự FO là tia phân giác của AFE. Vì EO và FO là các tia phân giác trong tại đỉnh E và đỉnh F của d tam giác AEF nên AO là tia phân giác của EAF. ◦ b > 90 . Trường hợp 2: A A O B F E Vì O là giao điểm của các đường trung trực AB và AC nên OA = OB = OC. Điểm E nằm trên đường trung trực của AB nên EA = EB. Điểm F nằm trên đường trung trực của AC nên FA = FB. c1 = B c1 . △AOE = △BOM(c.c.c) ⇒ A A c c Tương tự △AOF = △COF(c.c.c) ⇒ A1 = C1 . c1 (vì △BOC cân tại O). c1 = C Mặt khác B 12 c1 = A c2 suy ra AO là tia phân giác của EAF. d Suy ra A Chú ý. 1E B F 1 Từ bài toán trên ta thấy nếu Bb > 90◦ khi đó AO là tia phân giác O ngoài tại đỉnh A. Thật vậy, xét △AEF, EO là tia phân giác trong b FO là tia phân giác ngoài tại đỉnh F. Khi đó AO là tia của E, phân giác ngoài tại đỉnh A (hình vẽ bên). C Bài 5.8. Tam giác ABC có Bb = 60◦ , Cb = 30◦ . Lấy điểm D trên cạnh AC, điểm E trên cạnh AB sao d = 20◦ , ACE d = 10◦ . Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính các góc của tam giác KDE. cho ABD d và KCB. d Khi đó KI là tia phân giác của BKC. d Lời giải. Gọi I là giao điểm của các tia phân giác KBC d = 120◦ (vì KBC d = 40◦ , KCB d = 20◦ ), do đó BKI d =B d = CKI [ Mặt khác, tam giác KBC có BKC KE = ◦ [ CKD = 60 (dễ dàng tính được điều này). 5 C BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 + Xét △BKI và △BKE có  c c   B2 = B3 (giả thiết) BK (chung)   d [ BKI = BKE = 60◦ Suy ra △BKI = △BKE(g.c.g) ⇒ KE = KI (1) + Chứng minh tương tự KD = KI (2) Từ (1), (2) suy ra KE = KD hay △KED cân tại K. d (đối đỉnh). [ = 120◦ = BKC Mặt khác, EKD 180◦ − 120◦ [ [ Do đó KED = KDE = = 30◦ . 2  b 6= 90◦ , B, b Cb < 90◦ , kẻ AH vuông góc với BC vẽ các điểm D và E Bài 5.9. Cho tam giác ABC A sao cho AB là đường trung trực của HD, AC là đường trung trực của HE. Gọi I, K thứ tự là giao điểm d AKB. d của DE với AB và AC. Tính AIC, Hướng dẫn. Ta xét hai trường hợp: b < 90◦ . a) Nếu A b > 90◦ . b) Nếu A Chú ý. 1) Ở bài tập này ta đã sử dụng hai kết quả sau: + Hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau (ở kết quả này ta cần dùng đến bài toán d + zOy d = 180◦ thì Ox sau: Nếu Ox, Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Oz sao cho zOx và Oy đối nhau). + Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông. 2) + Trong trường hợp Bb > 90◦ , tam giác HIK có IB và KB là các tia phân giác trong, IC, KC là các tia phân giác ngoài. + Trong trường hợp Cb > 90◦ , tam giác HIK có IB và KB là các tia phân giác ngoài, IC, KC là các tia d = AKB d = 90◦ . phân giác trong. Các trường hợp này ta vẫn có AIC d = 45◦ . Bài 5.10. Cho tam giác ABC có Bb = 75◦ , Cb = 45◦ . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BAD d tại E. Tính CBE. d Đường vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của ADC d = Bài 6. Cho tam giác ABC cân có Bb = Cb = 50◦ . Gọi K là điểm trong của tam giác sao cho KBC d = 30◦ . Chứng minh rằng tam giác ABK cân và tính BAK. d 10◦ , KCB Hướng dẫn. Cách 1. Vẽ tam giác đều EBC sao cho E và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC. Cách 2. Vẽ tam giác đều ACE sao cho E và A khác phía đối với BC. d Cách 3. Vẽ tia phân giác của ABK. b = 20◦ . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính ACD. d Bài 7. Cho tam giác ABC cân có A Hướng dẫn. Cách 1. Vẽ tam giác đều BCE sao cho A và E cùng phía đối với BC. Cách 2. Vẽ tam giác đều ADE sao cho C và E nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB. Cách 3. Vẽ tam giác đều ACE sao cho D và E khác phía đối với AC. Cách 4. Vẽ tam giác đều ABE sao cho C và E cùng phía đối với AB. Bài 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm E nằm trong tam giác, tam giác EAC cân ở E và d góc ở đáy bằng 15◦ . Tính AEB. Hướng dẫn. Cách 1. Vẽ về phía trong tam giác ABC sao cho tam giác AED đều. Cách 2. Về phía trong tam giác ABC lấy điểm D sao cho tam giác ABD cân ở D và có góc ở đáy bằng 6 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 15◦ . Cách 3. Vẽ tam giác đều ACD sao cho E và D khác phía đối với AC. Cách 4. Vẽ tam giác CDE đều sao cho E và D khác phía đối với BC. Bài 9. Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Kẻ NH vuông góc với CM tại H. Kẻ HE vuông góc với AB tại E. Chứng minh rằng tam giác ABH cân và [ HM là tia phân giác của BHE. Bài 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC, G là điểm thuộc cạnh AB 1 sao cho AG = AB, E là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG. Các đường thẳng MG và AC cắt 3 nhau tại D. So sánh độ dài DE và BC. d = 80◦ . Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A với BAC [ = 20◦ và MCA [ = 30◦ . Tính MBC. [ MAC Hướng dẫn. Trên đường cao AH lấy điểm P sao cho AP = AB = AC. d = 60◦ . Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho AB + Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A và ABC [ BM = AC + CM. Tính CAM. d = 55◦ , ABC d = 115◦ . Trên tia phân giác của ACB d lấy điểm M sao Bài 13. Cho tam giác ABC có BAC [ = 25◦ . Tính BMC. cho MAC Bài 14. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi E là điểm tuỳ ý nằm giữa B và C. Đường thẳng qua E vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Gọi K là trung điểm của [ BE. Tính độ lớn của AKD. Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường thẳng AC lấy điểm M tuỳ ý. Đường thẳng vuông d góc với BC qua M cắt đường thẳng BC tại H. Gọi I là trung điểm của BM. Tính HAI. d < 90◦ và các đường cao BD, AH. Trên tia BD lấy điểm Bài 16. Cho tam giác ABC cân tại A với BAC [ K sao cho BK = BA. Tính HAK. ◦ d > 90 ta có kết quả HAK [ = 135◦ . Chú ý. Nếu BAC d = 15◦ . Đặt BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A với ACB rằng a2 = 4bc. Hướng dẫn. d = 15◦ . Cách 1. + Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CBD + Sử dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác ABD và tam giác ABC ta có đpcm. Cách 2. Kẻ đường cao AH và gọi M là trung điểm BC để làm. d ≥ 90◦ . Lấy điểm M nằm giữa A và C, hạ AH và CK Bài 18. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC d cùng vuông góc với BM (H, K thuộc BM) sao cho BH = HK + KC. Tính BAC. d = 100◦. Điểm M thuộc tia CA sao cho CM = AB. Tính Bài 19. Cho tam giác ABC cân tại C có ACB [ CMB. Bài 20. Trong hình vuông ABCD lấy hai điểm P, Q sao cho BP song song với DQ với BP2 + DQ2 = d PQ2 . Tính PAQ. d = 80◦ . Lấy điểm I ở trong tam giác sao cho Bài 21. Cho tam giác ABC có AB = AC và BAC d = 10◦ , ICA d = 20◦ . Tính CBI. d IAC d = 45◦ , AM là trung tuyến, AD là phân giác trong của tam giác Bài 22. Cho tam giác ABC có BAC MAC, kẻ DK vuông góc với AB (K ∈ AB). Gọi giao điểm của AM và DK là I. Chứng minh rằng nếu d thì BI là tia phân giác của ABD. d AM là tia phân giác của BAD d = ABD. d Bài 23. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho DAE d = ECB. d Chứng minh rằng DAE 7 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 [ = MBA [ = MCB. [ Bài 24. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho MAC Hãy so sánh diện tích hai tam giác ABM và CBM. Bài 25. Cho tam giác ABC vuông tại A có Bb = 75◦ . Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho [ BH = 2AC. Tính BHC. Hướng dẫn. Cách 1. Vẽ tam giác đều BCD sao cho A và D cùng phía đối với BC, lấy E là trung điểm của BH. Cách 2. Vẽ tam giác đều HBD sao cho D và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ HC, sau đó gọi M là trung điểm BD và chứng minh cho C, M, H thẳng hàng từ đó suy ra đpcm. d = 75◦ . Gọi H ′ là Cách 3. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Cy sao cho BCy giao điểm của tia Cy và BA, sau đó tìm cách chứng minh H ≡ H ′ . Cách 4. Gọi D là giao điểm của đường trung trực của BC với AB, khi đó tam giác DBC cân tại D, cuối cùng tìm cách chứng minh D ≡ H. d = 20◦ . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ các Bài 26. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC d = 20◦ , CAy d = 130◦ . Gọi D là giao điểm của hai tia Ax và Cy. Tính ABD. d tia Ax,Cy sao cho CAx Hướng dẫn. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AD có chứa B vẽ tam giác đều ADE. d = 40◦ , đường cao AH. Các điểm E, F thứ tự thuộc các Bài 27. Cho tam giác ABC cân tại A có BAC d = FBC d = 30◦ . Chứng minh rằng AE = AF. đoạn thẳng AH, AC sao cho EBA d = 30◦ . Trên Bài 28. Cho tam giác ABC cân có Bb = Cb = 50◦ . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CAD d = 30◦ . Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng tam cạnh AC lấy điểm E sao cho ABE giác IDE cân và tính các góc của tam giác đó. Hướng dẫn. Trên nửa mặt phẳng bờ BC vẽ tam giác ABH đều sao cho A và H thuộc hai nửa mặt phẳng bờ BC. b = 40◦ . Trên nửa mặt bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Bx Bài 29. Cho tam giác ABC cân tại A có A d = 10◦ . Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA. Tính BDC. d sao cho CBx Hướng dẫn Cách 1. Vẽ tam giác ABE đều sao cho E và C cùng phía đối với AB. Cách 2. Vẽ tam giác ACM đều sao cho B và M cùng phía đối với AC. Cách 3. Vẽ tam giác BCE đều sao cho E và A cùng phía đối với BC. [ Bài 30. Điểm M nằm trong tam giác đều ABC sao cho MA : MB : MC = 3 : 4 : 5. Tính AMB. Hướng dẫn. Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a, sau đó ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1. Vẽ tam giác MBK đều sao cho K và C khác phía đối với BM. Cách 2. Vẽ tam giác AME đều sao cho E và C khác phía đối với AM. Bài 31. Điểm M nằm bên trong tam giác vuông cân tại B sao cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3. Tính [ AMB. SỬ DỤNG MỘT TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CÂN ĐỂ GIẢI TOÁN Tính chất. Trong tam giác cân ABC (AB = AC ) thì ! ◦ − BAC d b + Cb 180 B d = ACB d = ABC = . 2 2 Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ba cạnh BC,CA, AB. d = OAC. d Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng BAH 8 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Lời giải A O C B H Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác A ABC nên OA = OB = OC. D ◦ − BOC d 180 E K d = . Tam giác OBC cân tại O nên OBC 2 ◦ d 3 d = 180 − AOC . Tam giác OAC cân tại O nên OAC 2 I 2 1 Tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác đó, suy B ra   d = 90◦ − ABC d = 90◦ − OBC d + OBA d BAH ! ◦ ◦ d d 180 − BOC 180 − AOB + = 90◦ − 2 2   d d 180◦ − AOC AOC d = OCA d . = = OAC = 90◦ − 2 2 C d d = BCF. Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao BE,CF. Chứng minh rằng BEF Lời giải A E F C B M [ [ Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho MFB = MBF. [ = 90◦ ; MBF [ = 90◦ nên MFC [ = MCF, [ [ + MFC [ + MCF Lại có MFB suy ra MC = MF = MB. Tương tự ME = MB = MC. 9 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Do các tam giác MBF, MEF và MCE cân tại M nên ◦ [ [ = 180 − BMF ; MBF 2 ◦ [ [ = 180 − EMF ; MEF 2 ◦ [ [ = 180 − CME . MEC 2 Vậy d + CEF [ = MBF [ + MEF [ + MEC [ CBF [ 180◦ − EMF [ [ 180◦ − CME 180◦ − BMF + + = 90◦ . = 2 2 2 d d = BCF. nên BEF Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy điểm D sao cho d = ACB. d Chứng minh rằng BAC d = BDC. d ADB Lời giải. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC thì O nằm trong tam giác ABC và ◦ ◦ d d d = 180 − AOC . d = 180 − BOC ; OCA OA = OB = OC. Do các tam giác OBC, OAC cân tại O nên OCB 2 2 Suy ra ◦ ◦ d d d d d = OCA d + OCB d = 180 − AOC + 180 − BOC = AOB ⇒ ADB d = AOB ACB (1) 2 2 2 2 D≡H A O B Trên tia OD lấy điểm H sao cho OH = OA. Khi đó C ◦ ◦ d [ [ [ = AHO [ − BHO [ = 180 − AOH − 180 − BOH = AOB AHB 2 2 2 (2) d = AHB [ nên H ≡ D. Từ đó OD = OA = OB = OC. Từ (1) và (2) suy ra ADB d d d = BOC ; BDC d = BOC ⇒ BAC d = BDC. d Tương tự ta có BAC 2 2 d cắt BC tại Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Tia phân giác của góc BAC D, cắt đường tròn tại E khác A. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB. Lời giải 10 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 A K O B C D E Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB. Trong tam giác KBD cân tại K ta có Lại có d [ 180◦ − B KD 180◦ − 2BAD d [ [ K BD = = ⇒K BD = 90◦ − BAD. 2 2 ⌢ d = EBC d = EAC d ⇒⌢ d EAB EB = EC ⇒ EAB d = 90◦ − BAD d + BAD d = 90◦ hay BE⊥KB, [ [ ⇒K BE = K BD + EBC suy ra BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ADB. Ví dụ 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn bờ AB kẻ các tiếp tuyến Ax, By.C là điểm nằm giữa A và O.M là điểm nằm trên nửa đường tròn (M khác A và B). Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax tại P, đường thẳng qua C vuông góc với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP và MA, E là giao điểm của CQ và MB. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MDP và đường tròn ngoại tiếp tam giác MEQ tiếp xúc với nhau. Lời giải y K x M P I E D C O A B Gọi I, K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác MDP và MEQ. Tam giác MKE cân tại K nên ◦ ◦ [ [ [ [ = 180 − MKE = 180 − 2MQE = 90◦ − MQE. KME 2 2 11 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Tam giác MID cân tại I nên ◦ ◦ d [ d = 180 − MID = 180 − 2MPD = 90◦ − MPD. [ IMD 2 2 ⌢ [ = MAP, [ mà MBC [ = MAP [ (cùng chắn cung MA) suy ra MCD [ = Tứ giác MPAC nội tiếp nên MCD [ ⇒ MCQ [ = MBQ. [ MBC [ = MBC. [ Từ đó Do đó tứ giác MCBQ nội tiếp, dẫn đến MQE d + DME [ [ + KME [ = 90◦ − MPD [ + 90◦ + 90◦ − MQE IMD   d = 180◦. [ + MBC [ = 180◦ ⇒ IMK =270◦ − MAC Do đó ba điểm I, M, K thẳng hàng. Vậy đường tròn tâm I và đường tròn tâm K tiếp xúc nhau tại M. Bài tập d và ACB d cắt AC, AB theo thứ tự tại Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Các tia phân giác của ABC F, E. Chứng minh rằng EF //BC. d + Bài 2. Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A lấy điểm D sao cho BFC ◦ d = 180 . Chứng minh rằng BCA d = BDA. d BAC d d nhọn. Vẽ tia Oz nằm trong góc xOy d sao cho xOz d = yOz . Qua A trên tia Ox kẻ Bài 3. Cho góc xOy 2 AH vuông góc với Ox tại H.AH cắt Oz tại B. Trên tia Bz lấy điểm D sao cho BD = BA. Chứng minh rằng tam giác AOD cân. 1 Bài 4. Cho tam giác đều ABC. Trên cạnh AB, BC thứ tự lấy các điểm E, F sao cho AE = EB, BF = 2 1 FC. AF cắt CE tại I.BI cắt EF tại H. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB. 2 Bài 5. Cho hình thang ABCD(AB//CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAB và OCD tiếp xúc nhau. BÀI TOÁN TÍNH GÓC TỔNG QUÁT Bài toán 1. d = ABC d = α (30◦ < α < 60◦ ). M là điểm trong tam giác sao cho MAB [ = Cho △ABC có BAC [ [ = 60◦ − α . Tính số đo CMB. 30◦ , MBA Lời giải (h.1a) D A D C C M B B A M b) a) 12 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Về cùng phía với △ABC vẽ △ABD đều. Khi đó d = 30◦ = MAB, d = 60◦ − α = MAB [ [ CBD CDB [ = 2α − 60◦ nên ta có △BAM = △BDC (g.c.g) suy ra BC = BM, mà CBM [ = (180◦ − 2α + 60◦ ) : 2 = 120◦ − α nên suy ra CMB Hãy giải bài toán đã cho trong trường hợp α = 50◦ Bài toán 2. d = ACB d = α > 60◦ . M là điểm nằm khác phía A so với BC sao cho BCM [ = Cho △ABC có ABC ◦ ◦ [ [ = α − 60 . Tính số đo AMC. 150 , CBM Lời giải (h.1b) Về phía trong △ABC, vẽ △BCD đều. Khi đó ta có d = 150◦ = BCM, d = α − 60◦ = MBC [ ABD [ ADB nên △BDA = △BCM (g.c.g) ⇒ BA = BM, mà [ = α + (α − 60◦ ) = 2α − 60◦ ABM nên suy ra [ = [180◦ − (2α − 60◦ )] : 2 = 120◦ − α AMB (1) Mặt khác [ = 180◦ − MBC [ − MCB [ = 180◦ − (α − 60◦ ) − 120◦ BMC = 90◦ − α (2) [ = (120◦ − α ) − (90◦ − α ) = 30◦ Từ (1), (2) có AMC Chú ý: [ luôn không đổi và bằng 30◦ , mặt khác hai bài Với mọi giá trị của góc α > 60◦ thì giá trị của AMC toán trên có quan hệ với nhau. Bài toán 3. d = α (30◦ < α < 60◦ ), ABC d = 60◦ + α . Trên tia phân giác của ACB d lấy điểm M Cho △ABC có BAC [ = 30◦ . Tính số đo của BMC. [ sao cho BAM 13 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Lời giải (h.2a) B D D A A M C E C B E F b) a) ở D. Khi đó ta có Kéo dài CM cắt AB ◦ ◦ d d = BAC d + ACB = α + 180 − α − 60 − α = 60◦ BDC 2 2 [ = 30◦ nên △DAM cân tại D. Mà DAM Vẽ DE vuông góc với AM (E ∈ AC ), suy ra [ = EDM [ = MDB [ = 60◦ ADE Do đó ta có △CDB = △CDE (g.c.g) ⇒ DB = DE. Từ đó dễ thấy ba tam giác ADE, MDE, MDB bằng nhau theo trường hợp (c.g.c). d = α , hay BMC [ = 180◦ − α . [ = BAC Vì vậy BMD d = 100◦. Trong tam giác lấy điểm M Với α = 40◦ hãy giải bài toán: Cho △ABC cân tại B, có ABC [ = 10◦ , MCA [ = 20◦ . Tính số đo BMC. [ sao cho MAC Bài toán 4. d = α , ACB d = 60◦ + α (α < 60◦ ). Trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy các điểm Cho △ABC có ABC d = 90◦ − 3α . Tính số đo của CDE. d = 30◦ + α , CAE [ D và E sao cho ACD 2 Lời giải (h.2b) d = 120◦ − 2α . Do đó Dễ thấy BAC d = 180◦ − BAC d − ACD d ADC = 180◦ − (120◦ − 2α ) − (30◦ + α ) d = 30◦ + α = ACD Vậy △ACD cân tại A. Vẽ AF vuông góc với CD (F ∈ BC ). Khi đó ta có d = AFD d − FAC d = 180◦ − (60◦ + α ) − (60◦ − α ) = 60◦ . [ = 180◦ − FCA AFC [ = 60◦ . Suy ra FE là phân giác ngoài của △AFD Do đó DFE Mặt khác có   d FAB 3α α ◦ ◦ d d d = 30◦ − = EAB = BAC − CAE = 120 − 2α − 90 − 2 2 2 d nên AE là phân giác của FAD [ Từ (1), (2) suy ra DE là phân giác của F DB 14 (1) (2) (3) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 α d = 60◦ + α nên F [ = ACF [ [ Vì ADF DB = 120◦ − α , do đó B DE = 60◦ − . 2  α α ◦ ◦ ◦ ◦ d [ [ = 90◦ − . Vậy CDE = 180 − ADC − BDE = 180 − (30 + α ) − 60 − 2 2 Với α = 20◦ ta có bài toán quen thuộc sau: d = 20◦ . Trên các cạnh BA và BC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho Cho △ABC cân tại B, có ABC d = 50◦ , CAE d = 60◦ . Tính số đo của AED. [ ACD Bài toán 5. d = α , (60◦ < α < 120◦ ). Trong tam giác lấy điểm M sao cho MCB [= Cho △ABC cân tại A có BAC α [ = 90◦ − . Tính số đo của MAB. [ 120◦ − α , MBC 2 Lời giải (h.3) A M P N C tương ứng cân tại N và P, và Trong △ABC ta lấy các điểm NBvà P sao cho các tam giác ANB và APC α có các góc ở đáy bằng − 30◦ . Ta sẽ chứng minh P ≡ M. 2 α d d Thật vậy, vì ABC = ACB = 90◦ − , nên 2   d = ACB d − ACP d = 90◦ − α − α − 30◦ = 120◦ − α = MCB [ BCP 2 2 do đó tia CM trùng với tia CP Mặt khác     d = BAC d − NAB d − PAC d = α − α − 30◦ − α − 30◦ = 60◦ NAP 2 2 và có AN = AP, nên △ANP đều.Suy ra (1) AP = AN = NP = BN = CP. d nên NM//BC, suy ra Dễ thấy MN và BC có chung trục đối xứng là tia phân giác của BAC mà Vì vậy d = NBP d = PBC d NPB  α α ◦ ◦ d d d − 30 = 120◦ − α NBC = ABC − ABN = 90 − − 2 2 d d = NBC = 60◦ − α = MBC. [ PBC 2 2 do đó tia BP trùng với tia BM Từ (1), (2) suy ra P ≡ M.   d = 60◦ + α − 30◦ = 30◦ + α . [ = PAB Vậy MAB 2 2 TÍNH SỐ ĐO GÓC 15 (2) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 1. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền. d thành ba Bài toán 1. Tính các góc của △ABC. Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia ABC góc bằng nhau. Lời giải (h.4a) F A 1 2 3 A E K H B H M C 2 B N a) 1 C 3 b) K Vẽ MK⊥AC. △ABM cân tại đỉnh A (đường cao AH đồng thời là đường phân giác) nên H là trung điểm của BM. 1 1 HM = BM = BC 2 4 Từ △AHM = △AKM suy ra HM = MK. 1 1 Vậy MK = BC, hay MK = MC. 4 2 Ta có MKC là tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền nên Cb = 30◦ . b = 90◦ , Bb = 60◦ . Từ đó tính được A b = 90◦ , Bb = 60◦ , Cb = 30◦ . △ABC đã cho có ba góc A Bài toán 2. Cho △ABC có ba góc nhọn. Về phía ngoài của △ABC ta vẽ các tam giác đều ABE và [ ACF. Gọi H là trực tâm của △ABE, N là trung điểm của BC. Tính số đo FNH. Lời giải (h.4b) Trên tia đối của tia NH ta lấy điểm K sao cho NH = NK thì △NBH = △NCK (c.g.c) ⇒ CK = BH = HA Chú ý rằng d = 60◦ + 30◦ + A b < 180◦ FAH [ = Bb + 30◦ . Cb3 = HBN 16 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Suy ra   ◦ b b b [ FCK = 360 − C3 + C2 + C1   = 360◦ − 90◦ + Bb + Cb2 d = 90◦ + Ab = FAH; AF = CF Do đó △AHF = △CKF (c.g.c) ⇒ FH = FK nên △FHK cân tại đỉnh F. d = 60◦ nên HFK [ = CFK, [ mà AFC [ = Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên AFH 60◦ . [ = 90◦ , NHF [ = 60◦ , NFH [ = 30◦ . Vậy △FHK đều. Suy ra HNF 2. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông cân d = 45◦ , ACB d = 120◦ . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho Bài toán 3. Cho △ABC có ABC d CD = 2CB. Tính số đo ADB. Lời giải (h.5a) A 1 K A 2 1 1 H 1 2 B 1 2 1 2 C D D B H b) a) Cb1 và Cb2 là hai góc kề bù, mà Cb1 = 120◦ nên Cb2 = 60◦ . [ = 30◦ nên CH = 1 CD; mà BC = 1 CD nên △CBH cân tại đỉnh Vẽ DH⊥AC ta được △HCD có CDH 2 2 C. Suy ra Bb2 = 30◦ . Vậy △HBD cân tại đỉnh H. b1 = 15◦ nên △HBA cân tại đỉnh H. Vậy △HAD vuông cân ở H. Ta có Bb1 = 15◦ và A d = 45◦ + 30◦ = 75◦ . Từ đó ta tính được ADB d tù, đường cao AH, đường phân giác BD thỏa mãn AHD [ = 45◦ . Tính Bài toán 4. Cho △ABC có BAC d số đo ADB. Lời giải (h.5b). Vẽ BK⊥AC. Xét △ABH có BD là đường phân giác trong; HD là đường phân giác góc b1 = A b2 . ngoài tại đỉnh H nên AD là đường phân giác ngoài tại đỉnh A, suy ra A b1 = KBH b1 = K [ (góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên A [ Mà A BD + Bb1 (1) b b b Mặt khác A2 = D1 + B2 (2) b b b b b [ Vì A1 = A2 , B1 = B2 nên từ (1), (2) suy ra K BD = D1 . d = 45◦ . [ Do đó △KBD vuông cân tại đỉnh K, suy ra K BD = ADB 3. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác đều d = 75◦ . Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho Bài toán 5. Cho △ABC vuông ở A và BAC [ BH = 2AC. Tính số đo BHC. Lời giải (h.6a) 17 C BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 B H K E K A E B C A b) a) Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A vẽ △EBC thì E ở miền trong △HBC. ◦ ◦ ◦ d [   K BE = 75 − 60 = 15 = ACB C Gọi K là trung điểm của BH. Ta có KB = AC    EB = BC d = 90◦ . [ Suy ra △ABC = △KEB (c.g.c) nên E KB = BAC Vì K là trung điểm của BH nên △EHB cân tại E. [ = EBH [ = 15◦ nên BEH [ =150◦ . Vì EHB   EH chung [ = 150◦ [ = CEH Ta có △EHC = △EHB (c.g.c) vì BEH    EB = EC [ = 15◦ hay BHC [ = 30◦ . [ = CHE Suy ra BHE d = ECA d = 15◦ . Bài toán 6. Cho △ABC vuông cân ở đỉnh. Điểm E nằm trong tam giác sao cho EAC d Tính số đo AEB. Lời giải (h.6b) d = KAB d = 15◦ thì Trong △ABC lấy điểm K sao cho KBA △KAB = △EAC (c.g.c) ⇒ AK = AE [ = 90◦ − 2 · 15◦ = 60◦ . Lại có KAE d = 150◦ = E [ Vậy △KAE đều. Suy ra KAB KB. d = 15◦ . Vậy BEA d = 75◦ . [ Ta có △BAK = △BEK (c.g.c) nên BEK = BAK 4. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác cân có một góc đã biết số đo d = 50◦ , ABC d = 20◦ . Trên đường phân giác BE của tam giác ta lấy Bài toán 7. Cho △ABC có BAC d = 20◦ . Gọi N là trung điểm AF, EN cắt AB tại K. Tính số đo KCB. d điểm F sao cho FAB Lời giải (h.7a) 18 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 C 3 M 2 2 1 1 2 N 1 A K E A F O B B J N K H b) b1 + Bb1 = 30◦ (góc ngoài của △FAB). Giả sử CK cắta) BE tại M. Ta có Fb2 = A b2 = 30◦ ⇒ Fb2 = A b2 . Suy ra △EAF cân tại đỉnh E nên AEF d = 120◦ . Từ A ◦ ◦ b b b Trung tuyến EN là đường phân giác của △EAF nên E1 = E2 = 60 từ đó E3 = 60   EB chung d = 20◦ . Vậy Ta có △BEK = △BEC (g.c.g) vì Eb3 = Eb2 = 60◦ ⇒ △BCK cân tại đỉnh B mà CBK   b B1 = Bb2 = 10◦ d = 80◦ . CKB d = ACB d = 50◦ , N là điểm thuộc miền trong của tam giác thỏa mãn Bài toán 8. Cho △ABC với ABC d = 10◦ , NCB d = 20◦ . Tính số đo ANB. d NBC Lời giải (h.7b). Đường cao AH của △ABC cắt BN tại O; vẽ AK⊥BN và AK cắt CN tại J. [ = HAK [ = 10◦ (góc có cạnh tương ứng vuông góc). OBH d = 30◦ , mà NCA d = 30◦ nên △JAC cân tại đỉnh J, suy ra JA = JC [ = 40◦ ⇒ KAC HAC (1) ◦ ◦ d d d d △OBC cân tại O vì OH là đường trung trực, do đó OCB = OBC = 10 suy ra OCA = OAC = 40 . Vậy △OAC cân tại đỉnh O nên OA = OC (2) d d d Từ (1), (2) suy ra OJ là đường trung trực của AC và cũng là phân giác của AOC nên AOJ = JOC = 50◦ (3) d = 30◦ [ là góc ngoài của △OBC nên NOC [ = 20◦ . Từ đó và (3) có NOJ Vì NOC d là góc ngoài của △NBC nên BNJ d = 30◦ . [ = 80◦ , mà BNJ Do đó AON Vậy △NOJ cân tại đỉnh J, mà JK là đường cao nên JK là đường trung trực của ON, hay AK là trung trực của ON. d = AON [ = 80◦ . Do đó △AON cân ở đỉnh A và ANB Bài tập 1. Cho △ABC nhọn, ở miền ngoài của tam giác ta vẽ các tam giác đều ABC′ và ACB′ . Gọi K và L theo thứ tự là trung điểm của C′ A và B′C. Điểm M thuộc cạnh BC sao cho BM = 3MC. Tính số đo các góc của △KLM. d = 2. Cho △ABD và △ CBD, hai điểm A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BD. Biết BAC d = 60◦ , CBD d = 20◦ , CDB d = 30◦ . Tính số đo các góc DAC d và ADB. d 50◦ , ABD d = 20◦ . Lấy các điểm M, N theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao 3. Cho △ABC cân ở đỉnh A, BAC d = 60◦ . Tính số đo góc MNA. [ = 50◦ , CBN [ cho BCM 19 C