- HÀ BÌNH MINHHà Nội - 2013 Mục lụcLời cảm ơn ivLời mở đầu vDanh mục các kí hiệu và chữ viết tắt vii1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11.1 Bảo hiểm nhân thọ. - 21.1.1 Khái quát về Bảo hiểm nhân thọ. - 21.1.2 Luật số lớn trong Bảo hiểm nhân thọ. - 31.1.3 Các loại hình bảo hiểm nhân thọ. - 81.4 Phí bảo hiểm. - 91.4.2 Tính phí bảo hiểm. - 111.4.4 Phí bảo hiểm thuần đơn. - 12i 1.4.5 Phí bảo hiểm thuần năm. - 191.5.2 Danh mục đầu tư. - 201.5.3 Lợi nhuận và rủi ro của danh mục đầu tư. - 242 BÀI TOÁN TÍNH TRỌNG PHẦN TỐI ƯU CHO CÁC SẢN PHẨMBẢO HIỂM NHÂN THỌ 262.1 Danh mục sản phẩm bảo hiểm nhân thọ. - 272.1.1 Tính phí thuần giả định cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ . - 282.1.2 Tính phí thuần thực tế cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ. - 292.1.3 Tính tỷ suất lợi nhuận biên cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ 302.1.4 Lợi nhuận và rủi ro của danh mục bảo hiểm nhân thọ. - 41ii 3.4 Tính toán lợi nhuận và rủi ro của danh mục BHNT. - Cụ thể:Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương này dành để giới thiệu một sốkhái niệm toán học dùng trong tính phí và quản lý rủi ro bảo hiểm nhân thọ: các kháiniệm cơ bản về các loại sản phẩm bảo hiểm nhân thọ, tỷ lệ tử vong/bảng tỷ lệ tử vong,nguyên tắc tính phí bảo hiểm, cách thức tính phí cho các loại sản phẩm khác nhau.Ngoài ra, chương trình còn trình bày về quản lý danh mục đầu tư dựa trên bài toántối ưu theo mô hình Mean-Variance và hai thước đo rủi ro phổ dụng là Value-at-Risk(VaR), Conditional Value-at-Risk (CVaR).Chương 2: Bài toán tính trọng phần tối ưu cho các sản phẩm bảo hiểmnhân thọ Mục đích của chương này là tính toán trọng phần tối ưu của danh mục cácsản phẩm bảo hiểm nhân thọ sao cho lợi nhuận kỳ vọng đạt được giá trị như mongmuốn trong khi rủi ro của danh mục là thấp nhất. - Bằng cách tính tỷ suất lợi nhuận củacác sản phẩm bảo hiểm nhân thọ trong danh mục, áp dụng mô hình Mean-Variancevới ràng buộc CVaR, ta sẽ tìm được trọng phần sản phẩm tối ưu đáp ứng mục đíchtrên.Chương 3: Tính toán trọng phần tối ưu cho các sản phẩm bảo hiểm nhânthọ bằng ngôn ngữ R Chương này trình bày việc xây dựng phần mềm để tính toántrọng phần tối ưu cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ đã được trình bày trong chương2. - M x không thuộc tập M∀ x ∈ M với mọi x thuộc tập MBHNT Bảo hiểm nhân thọθxHiệu suất tính tửν Tỉ lệ chiết khấulxsố người sống tại độ tuổi xdxsố người tử vong tại độ tuổi xpxTỷ lệ sinh tồn ở độ tuổi xqxTỷ lệ tử vong ở độ tuổi xnpxXác suất một người ở độ tuổi x sống tiếp được n nămnqxXác suất một người ở độ tuổi x chết trong vòng n nămAtk:1x:nphí thuần đơn cho Bảo hiểm tử kỳAsktt:1x:nphí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ thuần túyAsk:1x:nphí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳA1xphí thuần đơn cho Bảo hiểm trọn đời¨a1x:nphí thuần đơn cho niên kim nhân thọ có kỳ hạn¨a1xphí thuần đơn cho Niên kim nhân thọ trọn đờiV aR Value-at-RiskCV aR Conditional Value-at-Riskβ mức tin cậyˆµ Kỳ vọng mẫuˆσ2Phương sai mẫuvii Chương 1MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊChương này trình bày một số khái niệm toán học dùng trong bảo hiểm nhân thọcần sử dụng trong các chương tiếp theo của luận văn. - Nội dung chính của chương đượctham khảo trong [7 - Nhóm Actuary OLICD].Mục 1.1 giới thiệu tổng quan về Bảo hiểm nhân thọ, vai trò của Luật số lớn thốngkê trong kinh doanh bảo hiểm nhân thọ, các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ thông dụngđược đề cập trong luận văn này.Mục 1.2 trình bày về tỉ lệ sinh tồn, tỉ lệ tử vong, các hàm nhân thọ cơ bản. - Mụcnày cũng giới thiệu về Bảng tỉ lệ tử vong được xây dựng từ dữ liệu thống kê dân số vàđược dùng làm dữ liệu cơ sở cho các tính toán phí và rủi ro trong Bảo hiểm nhân thọ.Mục 1.3 trình bày khái niệm về tiền lãi, lãi suất và công thức tính các loại lãi suấtkhác nhau. - Ngoài ra, khái niệm về giá trị hiện tại, giá trị đáo hạn và các loại niên kimcũng được giải thích trong mục này.Mục 1.4 trình bày về Nguyên lý cân bằng áp dụng trong việc tính phí cho các sảnphẩm bảo hiểm nhân thọ và các công thức tính phí bảo hiểm của các sản phẩm này.Mục 1.5 giới thiệu mô hình toán học của danh mục đầu tư, định nghĩa về lợi nhuậnvà rủi ro của danh mục đầu tư cũng như cách thức tính những chỉ số này.Cuối cùng, mục 1.6 trình bày về khái niệm VaR và CVaR và ứng dụng của hai kháiniệm này trong quản lý rủi ro đầu tư.1 1.1 Bảo hiểm nhân thọ1.1.1 Khái quát về Bảo hiểm nhân thọBảo hiểm nhân thọ ([11 - Wikipedia]) là một hợp đồng giữa một cá nhân hoặc tổchức (chủ hợp đồng bảo hiểm) và một công ty bảo hiểm nhân thọ, trong đó công tybảo hiểm cam kết sẽ trả cho người được hưởng bảo hiểm một khoản tiền (gọi là "trợcấp") khi một sự kiện nằm trong hợp đồng bảo hiểm (thường là cái chết) có liên quanđến người được bảo hiểm xảy ra. - Chủ hợp đồng bảo hiểm phải trả một khoản tiền gọilà phí bảo hiểm, trọn gói một lần hoặc rải đều ra nhiều lần. - Khi sự kiện bảo hiểm xảyra, Công ty bảo hiểm nhân thọ sẽ căn cứ vào điều khoản hợp đồng tương ứng của sảnphẩm mà khách hàng tham gia để chi trả quyền lợi bảo hiểm. - Quyền lợi bảo hiểm màkhách hàng sẽ nhận được ghi rõ trong Hợp đồng bảo hiểm nhân thọ.Bảo hiểm nhân thọ dựa trên cơ chế chuyển giao và chia sẻ rủi ro (tài chính). - Bằngviệc tham gia bảo hiểm nhân thọ, các tổ chức, cá nhân đã chuyển giao thiệt hại vềmặt tài chính phát sinh khi gặp rủi ro cho công ty bảo hiểm. - Bằng việc lập ra một quỹtài chính dài hạn để các cá nhân tham gia bảo hiểm đóng góp vào nhằm chia sẻ rủi rocho một số ít người không may, công ty bảo hiểm san sẻ rủi ro của số ít người cho tấtcả những người tham gia. - Đối với công ty bảo hiểm, quá trình này thực chất là kinhdoanh, trong đó công ty bảo hiểm sẽ dùng tiền quỹ (tạm thời chưa sử dụng) để đầutư lấy lãi, đồng thời trích tiền vốn và một phần lãi để chi trả dần khi có sự kiện bảohiểm phát sinh. - Tuy nhiên, việc lập và điều hành quỹ bảo hiểm cũng gặp nhiều rủi ronếu việc tính toán phí bảo hiểm không chính xác hoặc số người tham gia quá ít, thukhông đủ chi, dẫn đến thâm hụt quỹ. - Do đó, công ty bảo hiểm nhân thọ cần dựa trênthống kê toán học để tính toán phí (gọi là định phí bảo hiểm) với hai cơ sở nền tảng:• Luật số lớn trong xác suất - thống kê.• Tỷ lệ tử vong của dân số và của người tham gia bảo hiểm.2 1.1.2 Luật số lớn trong Bảo hiểm nhân thọPhát biểu Luật số lớnLuật số lớn đóng vai trò hết sức quan trọng và là nguyên lý nền tảng cho định phíbảo hiểm cũng như quản lý rủi ro trong kinh doanh bảo hiểm nhân thọ.Về mặt toán học, Luật số lớn được phát biểu như sau:Gọi x là biến số thể hiện số lần thành công trong n phép thử Bernoulli. - 0 (1.1)Vai trò của Luật số lớn trong Bảo hiểm nhân thọViệc tính Phí bảo hiểm mà những người tham gia bảo hiểm cần đóng vào quỹ phụthuộc vào tỷ lệ người tham gia bảo hiểm sẽ chết trong tương lai. - Như vậy, nếu công ty bảohiểm tập hợp một nhóm bao gồm những thành viên đồng nhất về giới tính, độ tuổi,tình trạng sức khỏe (thậm chí điều kiện sinh hoạt), tại mỗi thời điểm nhất định, nếusố lượng thành viên của nhóm mà ta quan sát càng nhiều thì tỷ lệ thành viên bị chết(hiểu như là phép thử thành viên X có chết hay không?) thu được càng gần đến mộttỉ lệ nhất định - được gọi là tỷ lệ tử vong - sẽ được trình bày trong mục 1.2, trang 5.Như vậy, để đảm bảo xác định được chính xác tỷ lệ tử vong phục vụ cho việc địnhphí bảo hiểm (thông qua Luật số lớn), công ty bảo hiểm nhân thọ phải duy trì một sốlượng đủ lớn các hợp đồng bảo hiểm với các đối tượng tham gia phải được lựa chọnthông qua giám định y khoa để đảm bảo tính đồng nhất của các thành viên trong tậphợp những người tham gia bảo hiểm. - Mỗi hợp đồng bảo hiểm cho một nhóm đồng nhấtnhững người tham gia bảo hiểm tạo nên một sản phẩm bảo hiểm nhân thọ.3 1.1.3 Các loại hình bảo hiểm nhân thọNhằm đáp ứng những nhu cầu dự phòng trong các tình huống phát sinh rủi ro khácnhau, công ty bảo hiểm nhân thọ đã xây dựng nhiều loại hình bảo hiểm để tạo ra cácsản phẩm bảo hiểm đa dạng, phong phú cho người tham gia lựa chọn.Bảo hiểm tử kỳBảo hiểm tử kỳ là loại hình bảo hiểm tử vong có kỳ hạn xác định. - Số tiền bảo hiểmsẽ được trả một lần khi người được bảo hiểm chết trong thời hạn bảo hiểm.Bảo hiểm sinh kỳ thuần túyBảo hiểm sinh kỳ thuần túy là loại hình bảo hiểm sinh tồn có kỳ hạn xác định. - Sốtiền bảo hiểm được trả một lần khi người được bảo hiểm sống đến hết thời hạn bảohiểm. - Loại hình này được hiểu như một hình thức gửi tiết kiệm có sinh lãi cho đếnmột thời điểm nhất định thì người tham gia sẽ được nhận lại.Bảo hiểm sinh kỳBảo hiểm sinh kỳ là loại hình bảo hiểm sinh tồn có kỳ hạn xác định, trong thời hạnbảo hiểm, người mua bảo hiểm còn được hưởng chính sách bảo hiểm tử vong trong kỳhạn đó. - Số tiền bảo hiểm được trả một lần khi người được bảo hiểm sống đến cuối thờihạn bảo hiểm, hoặc chết trong thời hạn bảo hiểm.Nói đơn giản là: Bảo hiểm sinh kỳ = Bảo hiểm tử kỳ + Bảo hiểm sinh kỳ thuầntúy.Bảo hiểm trọn đờiBảo hiểm trọn đời là loại hình bảo hiểm tử vong vô thời hạn, tức là thời hạn bảohiểm kéo dài trong suốt cuộc đời của người được bảo hiểm. - Số tiền bảo hiểm sẽ đượctrả một lần khi người được bảo hiểm chết.Niên kim nhân thọNiên kim nhân thọ là việc thanh toán các khoản tiền đều đặn hàng năm cho mộtngười trong một khoảng thời gian xác định (thời hạn bảo hiểm) mà việc thanh toán4 đó phụ thuộc vào việc người đó còn sống trong thời hạn bảo hiểm. - Các khái niệm đầyđủ hơn về Niên kim được trình bày trong mục 1.3.3, trang 8.Nhận xét: Bảo hiểm tử kỳ hoặc Bảo hiểm trọn đời nhắm đến việc bù đắp mất mát,còn Bảo hiểm sinh kỳ và Niên kim nhân thọ nhắm đến việc đảm bảo an sinh cho ngườitham gia bảo hiểm về sau.1.2 Tỉ lệ sinh tồn và tử vong1.2.1 Khái niệm về Tỉ lệ tử vongGọi lx,tlà số người sống tại độ tuổi x, xét tại năm thứ t.Gọi dx,tlà số người tử vong giữa độ tuổi x và x + 1, xét tại năm thứ t. - Các hàm nhân thọ được sửdụng trong mục 1.4.2 (trang 10) để tính phí bảo hiểm thuần.Hàmnpx: Xác suất một người ở độ tuổi x sống tiếp được n năm. - Hiệusuất tính tử được ký hiệu là θxvà được tính theo công thức toán học: θx= −1lxdlxdx.1.2.4 Bảng tỷ lệ tử vongBảng tỉ lệ tử vong dân sốBảng này cho biết mức tử vong của dân số của một nước hay một vùng cụ thể nàođó, được xây dựng thông qua điều tra thống kê dân số.Bảng tỉ lệ tử vong kinh nghiệmBảng này cho biết tình hình tử vong của những người được bảo hiểm tại các côngty bảo hiểm nhân thọ, phản ánh mức tử vong thực tế đã xảy ra. - Bảng kinh nghiệmnày được sử dụng để tính phí bảo hiểm và dự phòng phí bảo hiểm.1.3 Tính toán lãi suất1.3.1 Khái niệm về tiền lãi và lãi suấtTính toán tiền lãiTrong đầu tư, việc tính toán kết quả thu được sau một khoảng thời gian nhất địnhđược gọi là tính toán tiền lãi. - Liên quan đến công việc này, ta có các khái niệm:• Tiền gốc: là số tiền bỏ ra đầu tư kinh doanh để thu lãi.• Tiền lãi: là số tiền thu nhập từ quá trình đầu tư.• Lãi suất: là tỉ lệ phần trăm tiền lãi thu được trên tổng quỹ đầu tư sau nhữngquãng thời gian đều đặn nhất định, thường là một tháng hoặc một năm.6 Để thuận tiện cho việc minh họa tiền lãi và lãi suất dưới dạng công thức trongnhững nội dung bên dưới, ta ký hiệu P là tiền gốc, n là số lượng lần quay vòng vốn(còn gọi là thời kỳ đầu tư), i là lãi suất.Tính tiền lãi đơnTính tiền lãi đơn là phương pháp tính tiền lãi sinh lợi trực tiếp từ tiền gốc mà tiềnlãi này không được tái đầu tư qua các quãng thời gian đầu tư.Công thức tính phần tiền lãi đơn: I = P × n × iCông thức tính tổng tiền gốc lẫn lãi: S = P × {1 + n × i}Tính tiền lãi gộpTính tiền lãi gộp là phương pháp tính tiền lãi trong đó Tiền lãi sinh ra được táiđầu tư và sinh lợi giống như tiền gốc (tiền lãi được gộp vào tiền gốc).Công thức tính phần tiền lãi gộp: I = P × inCông thức tính tổng tiền gốc lẫn lãi: S = P × {1 + in}Lưu ý : Trong kinh doanh dài hạn như Bảo hiểm Nhân thọ, hầu hết đều sử dụngphương pháp tính tiền lãi gộp.Lãi suất và tần suất gộp lãiGiả sử trong khoảng thời gian một năm được chia thành các quãng thời gian bằngnhau và tiền lãi thu được trong mỗi quãng thời gian đó được gộp vào tiền gốc để táiđầu tư sinh lãi trong các quãng thời gian tiếp theo. - Qua đó, tùy theo tần suất gộp lãicủa từng kênh đầu tư khác nhau mà nhà đầu tư có thể tính được lãi suất trong từngphân đoạn gộp lãi.7 1.3.2 Giá trị hiện tại và Giá trị đáo hạnGiá trị hiện tạiGiá trị hiện tại là giá trị (khoản tiền) cần được đầu tư tại thời điểm hiện tại để thuđược một giá trị (khoản tiền) mong đợi tại một thời điểm nhất định trong tương lai.Như đã giải thích trong mục 1.3.1 (trang 7), phương pháp tính lãi gộp được sử dụngtrong các tính toán Bảo hiểm nhân thọ.Ví dụ 1.1. - Tính giá trị đáo hạn của đồng sau mười năm đầu tư với lãisuất 8% một năm.Giá trị đáo hạn sẽ bằng Niên kimNiên kim là một chuỗi các khoản tiền được công ty bảo hiểm chi trả sau nhữngkhoảng thời gian đều đặn.Các loại niên kimKhi các khoản thanh toán được trả cho một người mà không phụ thuộc vào việcngười đó sống hay chết, niên kim được gọi là Niên kim xác định.Khi việc thanh toán cho một người phụ thuộc vào việc sống hay chết của người đó,niên kim được gọi là Niên kim nhân thọ.8 Ở đây ta chỉ xét đến niên kim xác định. - Niênkim có khoản thanh toán đầu tiên được thực hiện sau một số năm được gọi làNiên kim trả chậm.• Niên kim cố định và niên kim biến đổi: Niên kim có số tiền thanh toán không đổiđược gọi là Niên kim cố định, ngược lại được gọi là niên kim thay đổi.Trong toàn bộ nội dung luận văn này, khái niệm niên kim được hiểu là niên kimđầu kỳ, tạm thời, trả ngay và cố định.1.4 Phí bảo hiểm1.4.1 Nguyên lý cân bằngTrong bảo hiểm nhân thọ, nếu nhóm người được bảo hiểm (khách hàng bảo hiểm)có số lượng lớn và mỗi thành viên của nhóm có rủi ro tử vong đồng nhất thì Luật sốlớn đúng và ta có thể tính được mức tử vong một cách chắc chắn, từ đó có thể xácđịnh được tiền bảo hiểm và các chi phí khác.Chính vì vậy, khi tạo ra một sản phẩm bảo hiểm nhân thọ, công ty bảo hiểm sẽxác định độ tuổi và áp dụng các quy định để những người mua sản phẩm bảo hiểmđó có độ rủi ro tử vong đồng nhất, loại trừ các trường hợp có độ rủi ro bất thường (vídụ: ốm đau bệnh tật, có hành vi dễ gây ra tử vong cao. - Kết quả là, ta có thể giữ được sự cân bằng giữa số thu (phí bảo hiểm) và số chi(tiền bảo hiểm và các chi phí) của nhóm khách hàng trong suốt thời hạn bảo hiểm.9 Nguyên tắc trong đó sản phẩm bảo hiểm có số lượng khách hàng lớn, các thànhviên của nhóm có rủi ro tử vong đồng nhất và luôn giữ được sự cân bằng giữa số thuvà số chi được gọi là Nguyên lý cân bằng trong bảo hiểm nhân thọ.1.4.2 Tính phí bảo hiểmNguyên tắc tính phí bảo hiểmPhí bảo hiểm cần phải được tính sao cho khách hàng không phải mất chi phí quácao cho một sản phẩm, nhưng cũng không thấp hơn tổng chi phí chi trả tiền bảo hiểmcũng như chi phí khác, đảm bảo để công ty bảo hiểm không bị lỗ. - Giả sử, thu nhập chỉ bao gồm phíbảo hiểm, còn chi phí chỉ tính bao gồm tiền bảo hiểm, nếu tính tại thời điểm tham giabảo hiểm, thì ta phải đảm bảo:(Giá trị hiện tại của tổng thu phí bảo hiểm. - (Giá trị hiện tại của tổng chi trảbảo hiểm)Nếu chọn thời điểm tính là thời điểm mãn kỳ, ta có:(Giá trị đáo hạn của tổng thu phí bảo hiểm. - (Giá trị đáo hạn của tổng chi trảbảo hiểm)Phí tự nhiênPhí tự nhiên là phí được xác định sao cho số phí thu được và số tiền bảo hiểm phảitrả trong mỗi năm cân bằng với nhau. - Tuy nhiên, trong thực tế khó áp dụng theo cách tính phí tự nhiên vì:• Mức phí tính theo cách này thay đổi theo từng năm, do đó việc thu phí gặp khókhăn (rất khó giải thích cho người tham gia bảo hiểm về việc thay đổi phí).10 • Người được bảo hiểm ở độ tuổi càng cao thì mức phí càng cao, do đó tạo ra mộtgánh nặng lớn về tài chính đối với người tham gia bảo hiểm.Phí quân bìnhPhí quân bình là phí bảo hiểm được xác định không thay đổi qua các năm nhưngvẫn đảm bảo Nguyên lý cân bằng trong toàn bộ thời hạn bảo hiểm và do đó loại bỏđược các nhược điểm của phí tự nhiên.1.4.3 Tính phí thuầnCác giả định tính phíPhí thuần là phí bảo hiểm được tính theo Nguyên lý cân bằng mà số chi chỉ baogồm tiền bảo hiểm mà không bao gồm các chi phí nào khác (ví dụ chi phí quản lý, chiphí rủi ro. - Đểthuận tiện cho tính toán, ta định nghĩa các tổng này dưới hình thức là các hàm, gọi làhàm thay thế như sau:Dx= lxνx, Nx=∞t=0Dx+t(1.5)Cx= dxνx+1, Mx=∞t=0Cx+t(1.6)Các Hàm thay thế Dx, Nx, Cx, Mxcùng với Bảng giá trị hàm thay thế được tínhtoán sẵn sẽ giúp cho tính toán định phí bảo hiểm trở nên dễ dàng hơn.11 1.4.4 Phí bảo hiểm thuần đơnPhí thuần đơn là phí bảo hiểm trong đó người tham gia chỉ đóng một lần vào lúcký kết hợp đồng. - Phần này trình bày các công thức tính phí thuần đơn cho các loạihình sản phẩm bảo hiểm tiêu biểu (xem mục 1.1.3, trang 4).Phí thuần đơn cho Bảo hiểm tử kỳKý hiệu Atk:1x:nlà phí thuần đơn cho Bảo hiểm tử kỳ (Số tiền bảo hiểm là 1, độ tuổix, thời hạn bảo hiểm n).Theo Nguyên lý cân bằng, đặt số thu bằng số chi, ta có:Atk:1x:nlx= dxν + dx+1ν2. - dx+n−1νn=n−1i=01lxdx+iνi+1=n−1i=0lx+1lxlx+2lx+1...lx+ilx+i−1dx+ilx+iνi+1=n−1i=0ipxqx+iνi+1(1.9)Phí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ thuần túyKý hiệu Asktt:1x:nlà phí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy (Số tiền bảo hiểmlà 1, độ tuổi x, thời hạn bảo hiểm n).12 Theo Nguyên lý cân bằng, đặt số thu bằng số chi, ta có:Asktt:1x:nlx= lx+nνn(1.10)Từ đó, ta có công thức tính phí thuần đơn cho bảo hiểm sinh kỳ thuần túy dựatrên các hàm thay thế như sau:Asktt:1x:n=lx+nlxνn=lx+nνx+nlxνx=Dx+nDx(1.11)hoặc dựa trên hàm nhân thọ và tỷ lệ tử vong:Asktt:1x:n=lx+nlxνn=lx+nlx+n−1...lx+2lx+1lx+1lxνn=npxνn(1.12)Phí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳKý hiệu Ask:1x:nlà phí thuần đơn cho Bảo hiểm sinh kỳ (Số tiền bảo hiểm là 1, độtuổi x, thời hạn bảo hiểm n).Vì Bảo hiểm sinh kỳ = Bảo hiểm tử kỳ + Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy, do đó ta cócông thức tính dựa trên hàm thay thế như sau:Ask:1x:n= Atk:1x:n+ Asktt:1x:n=Mx− Mx+n+ Dx+nDx(1.13)hoặc dựa trên hàm nhân thọ và tỷ lệ tử vong:Ask:1x:n=n−1i=0ipxqx+iνi+1+npxνn(1.14)Phí thuần đơn cho Bảo hiểm trọn đờiKý hiệu A1xlà phí thuần đơn cho Bảo hiểm trọn đời (Số tiền bảo hiểm là 1, độ tuổix).Theo Nguyên lý cân bằng, số thu phải bằng số chi, ta có:A1xlx= dxν + dx+1ν2. - =∞i=0dx+iνi+1(1.15)Từ đó ta có công thức tính phí thuần đơn cho bảo hiểm trọn đời tính dựa trên hàmthay thế:13 A1x=1lx∞i=0dx+iνi+1=1lxνx∞i=0dx+iνx+i+1=1Dx∞i=0Cx+i=MxDx(1.16)hoặc dựa trên hàm nhân thọ và tỷ lệ tử vong:A1x=1lx∞i=0dx+iνi+1=∞i=01lxdx+iνi+1=∞i=0lx+1lxlx+2lx+1...lx+ilx+i−1dx+ilx+iνi+1=∞i=0ipxqx+iνi+1(1.17)Phí thuần đơn cho Niên kim nhân thọ có kỳ hạnKý hiệu ¨a1x:nlà phí thuần đơn cho Niên kim nhân thọ có kỳ hạn trả niên kim trongn năm (Số tiền hàng năm là 1, trả trong n năm, bắt đầu từ độ tuổi x, niên kim đầukỳ).Theo Nguyên lý cân bằng, số thu phải bằng số chi, ta có:¨a1x:nlx= lx+ lx+1ν + lx+2ν2. - =NxDx(1.21)hoặc dựa trên hàm nhân thọ và tỷ lệ tử vong:¨a1x=∞i=0ipxνi Phí bảo hiểm thuần nămPhí thuần (hàng) năm là phí bảo hiểm thuần được chia nhỏ và đóng theo từng năm.Lưu ý là nếu thời hạn đóng phí là tháng, thì khi đó ta có phí bảo hiểm thuần tháng. - Ởđây ta chỉ xét các công thức tính với phí thuần (hàng) năm, phí thuần (hàng) thángđược tính tương tự.Phí thuần năm cho Bảo hiểm tử kỳKý hiệumPtk:1x:nlà phí thuần năm cho Bảo hiểm tử kỳ (số tiền bảo hiểm là 1, tuổitham giax, thời hạn bảo hiểmn, thời hạn đóng phím).Tổng giá trị hiện tại của số thu từ phí bảo hiểm (thuần) do người tham gia bảohiểm đóng sau m năm:SoT hu =mPtk:1x:nlx+ lx+1ν. - lx+m−1νm−1(1.23)Tổng giá trị hiện tại của số chi cho tiền trả bảo hiểm sau n năm (tính tương tựcách tính Số chi trong phần tính Phí thuần đơn cho Bảo hiểm tử kỳ - xem công thức15 1.7 p.12):SoChi =dxν + dx+1ν2. - dx+n−1νn(1.25)Từ đó, ta tính được phí thuần năm cho Bảo hiểm tử kỳ như sau:mPtk:1x:n=dxν + dx+1ν2. - Dx+m−1)=Mx− Mx+nNx− Nx+m(1.26)Phí thuần năm cho Bảo hiểm sinh kỳ thuần túyKý hiệumPsktt:1x:nlà phí thuần năm cho Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy (số tiền bảohiểm là 1, tuổi tham gia x, thời hạn bảo hiểm n, thời hạn đóng phí m).Tổng giá trị hiện tại của số thu từ phí bảo hiểm (thuần) do người tham gia bảohiểm đóng sau m năm:SoT hu =mPsktt:1x:nlx+ lx+1ν. - lx+m−1νm−1(1.27)Tổng giá trị hiện tại của số chi cho tiền trả bảo hiểm cho những người tham gia bảohiểm còn sống sau n năm (tính tương tự cách tính Số chi trong phần tính Phí thuầnđơn cho bảo hiểm sinh kỳ thuần túy - xem công thức 1.10 trang 13):SoChi = lx+nνn(1.28)Theo Nguyên lý cân bằng, số thu phải bằng số chi, ta có:16 mPsktt:1x:n=lx+nνnlx+ lx+1ν. - Dx+m−1)=Dx+nNx− Nx+m(1.29)Phí thuần năm cho Bảo hiểm sinh kỳKý hiệumPsk:1x:nlà phí thuần năm cho Bảo hiểm sinh kỳ (số tiền bảo hiểm là 1, tuổitham gia x, thời hạn bảo hiểm n, thời hạn đóng phí m).Vì Bảo hiểm sinh kỳ = Bảo hiểm tử kỳ + Bảo hiểm sinh kỳ thuần túy, do đó ta cócông thức tính như sau:mPsk:1x:n=mPtk:1x:n+mPsktt:1x:n=Mx− Mx+n+ Dx+nNx− Nx+m(1.30)Phí thuần năm cho Bảo hiểm trọn đời (đóng phí m năm)GọimPxlà phí thuần năm cho Bảo hiểm trọn đời (số tiền bảo hiểm là 1, tuổi thamgia x, thời hạn bảo hiểm là trọn đời, thời hạn đóng phí m).Tính phí thuần năm cho bảo hiểm trọn đời cũng tương tự cách tính phí thuần nămcho Bảo hiểm tử kỳ, chỉ khác là thời hạn bảo hiểm sẽ kéo dài trọn đời, tức là n → ∞.Lập luận tương tự công thức 1.26 trang 16, ta thu được công thức:mPx=dxν + dx+1ν2+ ...lx+ lx+1ν. - Dx+m−1)=MxNx− Nx+m(1.31)Phí thuần năm cho Bảo hiểm trọn đời (đóng phí trọn đời)Gọi Pxlà phí thuần năm cho Bảo hiểm trọn đời (số tiền bảo hiểm là 1, tuổi thamgia x, thời hạn bảo hiểm và thời hạn đóng phí là trọn đời).17 Cách tính phí thuần năm cho bảo hiểm trọn đời với thời hạn đóng phí trọn đờicũng tương tự cách tính phí thuần năm cho bảo hiểm trọn đời với thời hạn đóng phím năm, chỉ khác là thời hạn đóng phí sẽ kéo dài trọn đời, tức là m. - Lập luậntương tự công thức 1.31 trang 17, ta thu được công thức:Px=dxν + dx+1ν2+ ...lx+ lx+1ν + ...=(dxνx+1+ dx+1νx+2+ ...)(lxνx+ lx+1νx+1+ ...)=(Cx+ Cx+1+ ...)(Dx+ Dx+1+ ...)=MxNx(1.32)Các công thức tính phí thuần đơn và phí thuần năm ở trên được dùng để tính phívà lợi nhuận cho danh mục bảo hiểm nhân thọ trong phần 2.1.1 (trang 28) và 2.1.2(trang 29).1.5 Tối ưu danh mục đầu tư với mô hình MVNăm 1952, Harry Markowitz đã đưa ra các khái niệm về Lý thuyết danh mục đầutư hiện đại (Modern Portfolio Theory) ([4 - Markowitz]) và nhờ ý tưởng sáng tạo này,ông đã được nhận giải thưởng Nobel vào năm 1990 cùng với Merton Miller và WilliamSharpe. - Bài toán tối ưu hóa CV aR có thể được chuyển thành bài toán quy hoạch lồi,thậm chí là quy hoạch tuyến tính trong một số trường hợp.Kết luậnChương này đã trình bày về các kiến thức chuẩn bị, trong đó bao gồm khái niệm vàcông thức tính Tỷ lệ tử vong, Hàm nhân thọ, cách sử dụng Bảng tỷ lệ tử vong, Nguyênlý cân bằng để tính toán phí bảo hiểm, từ đó làm cơ sở để tính tỷ suất lợi nhuận biênvà rủi ro cho Danh mục bảo hiểm nhân thọ trong chương 2. - Cuối cùng, chương này trìnhbày khái niệm về hai thước đo rủi ro phổ biến trong toán học bảo hiểm - tài chính làV aR và CV aR.25 Chương 2BÀI TOÁN TÍNH TRỌNG PHẦNTỐI ƯU CHO CÁC SẢN PHẨMBẢO HIỂM NHÂN THỌChương này sẽ trình bày nội dung trọng tâm của luận văn, đó là tính toán trọngphần tối ưu của các sản phẩm bảo hiểm nhân thọ, hiểu theo nghĩa là với trọng phầntính được, rủi ro của danh mục sản phẩm bảo hiểm áp dụng theo mô hình Mean-Variance (mục 1.5) đạt giá trị nhỏ nhất, trong khi lợi nhuận biên của danh mục sảnphẩm bảo hiểm sẽ bằng một giá trị định trước.Để áp dụng mô hình MV (mục 1.5, trang 18) cho danh mục sản phẩm bảo hiểmnhân thọ, ta cần xác định tỷ suất lợi nhuận cũng như rủi ro của tổng thể danh mục.Để làm điều này, ta tính tỷ suất lợi nhuận biên của từng sản phẩm bảo hiểm nhân thọtừ độ chênh lệch giữa số tiền bảo hiểm dự đoán (xác định thông qua tỷ lệ tử vong dựđoán dựa trên mô hình dự đoán tỷ lệ tử vong với dữ liệu nguồn là bảng tỷ lệ tử vongdân số - mục 1.2.4, trang 6) và tiền bảo hiểm thực nghiệm (thông qua tỷ lệ tử vongkinh nghiệm quan sát được - mục 1.2.4, trang 6). - Quá trình tính toán được thực hiệnnhư sau:• Trước tiên, công ty bảo hiểm cần tính tỷ lệ tử vong dự đoán ([8 - Renshaw et al.]),sau đó tính phí bảo hiềm thuần giả định thông qua tỷ lệ tử vong dự đoán vừatính được. - Phần này được trình bày trong mục 2.1.1, trang 28.26 • Tiếp đến, dựa trên số liệu tử vong kinh nghiệm quan sát được, công ty bảo hiểmtính được tỷ lệ tử vong thực tế, từ đó tính được phí bảo hiểm thuần thực tế.Phần này được trình bày trong mục 2.1.2, trang 29.• Sau khi đã có phí bảo hiểm thuần giả định và phí bảo hiểm thuần thực tế, với lưuý rằng theo nguyên tắc tính phí bảo hiểm (mục 1.4.2, trang 10), phí thuần bằngvới số tiền bảo hiểm chi trả cho người tham gia bảo hiểm khi có sự cố xảy ra, dođó công ty bảo hiểm có thể tính được tỷ suất lợi nhuận từ độ chênh lệch giữa haihình thức phí tính được ở trên. - Từ đó giải bài toán tối ưu theo môhình MV (mục 2.2, trang 32) hoặc theo mô hình MV kết hợp với ràng buộc CVaR(mục 2.3, trang 33) để tìm trọng phần tối ưu của danh mục.2.1 Danh mục sản phẩm bảo hiểm nhân thọXét bài toán quản lý danh mục đầu tư PN, trong đó công ty bảo hiểm bán N(N > 0) sản phẩm bảo hiểm nhân thọ tại các thời điểm t = 1. - Các sản phẩmbảo hiểm này bao gồm cả sản phẩm bảo hiểm nhân thọ lẫn sản phẩm niên kim nhânthọ. - Đối chiếu với khái niệm Danh mục đầu tư (mục 1.5.2, trang 20), mỗi loại hợpđồng bảo hiểm bán ra có thể xem tương đương với một chứng khoán được phát hành.Để thuận tiện, ta quy ước sẽ gọi danh mục đầu tư gồm các sản phẩm bảo hiểm nhânthọ như trên là danh mục bảo hiểm nhân thọ. - N là trọng phần giátrị của loại hợp đồng bảo hiểm thứ i trong danh mục bảo hiểm nhân thọ. - wN)T, được gọi là vector trọng phần của danh mục.Mỗi khi ký kết một hợp đồng bảo hiểm, công ty bảo hiểm sẽ thu một khoản phí từngười tham gia bảo hiểm, trọn gói một lần (gọi là phí đơn) hoặc chia thành nhiều lần(giả sử mỗi chu kỳ đóng phí là một năm, được gọi là phí năm). - Để đơn giản, chúng tagiả sử công ty bảo hiểm thu một khoản phí đơn tại thời điểm ký hợp đồng bảo hiểm,và trả lại tiền bảo hiểm tử vong (đối với bảo hiểm nhân thọ) hoặc tiền niên kim nhânthọ (đối với niên kim nhân thọ) vào cuối chu kỳ đóng phí (ở đây tính là năm). - Ta gọi27 chung tiền bảo hiểm tử vong và tiền niên kim nhân thọ là tiền chi trả. - Để thuận tiệncho tính toán, ta quy ước sẽ tính phí bảo hiểm cần phải đóng để chi trả số tiền là 1đơn vị.Nhắc lại rằng, theo nguyên tắc cân bằng (mục 1.4.2, trang 10), giá trị hiện tại củatiền chi trả phải bằng với giá trị hiện tại của phí bảo hiểm tối thiểu cần đóng. - Phí tốithiểu này chính là phí thuần1, được tính dựa trên tỷ lệ tử vong và các giả định tínhphí.2.1.1 Tính phí thuần giả định cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọXét hợp đồng bảo hiểm cho độ tuổi x được ký vào thời điểm t. - Dựa trên công thức 1.2 (trang 5) ta có:j¯px,t=1 với j = 0¯px,t¯px+1,t+1...¯px+j−1,t+j−1với j ≥ 1(2.1)Dựa trên công thức 1.9 (trang 12) ta tính được Phí thuần đơn của bảo hiểm tử kỳcho lứa tuổi x, kỳ hạn bảo hiểm k năm, phát hành vào thời điểm t như sau:¯A1x:k,t=k−1j=0j¯px,t¯qx+j,t+jνj+1(2.2)Phí thuần đơn của bảo hiểm sinh kỳ cho lứa tuổi x, kỳ hạn bảo hiểm k năm, pháthành vào thời điểm t được tính dựa trên công thức 1.14 (trang 13):¯A1x:k,t=k−1j=0j¯px,t¯qx+j,t+jνj+1+k¯px,tνk(2.3)Phí thuần đơn của bảo hiểm nhân thọ trọn đời Ax,tcũng được tính tương tự bảohiểm tử kỳ, chỉ khác là cho k. - Do đó, ta có công thức tính:1Trong thực tế, số phí cần đóng bao gồm phí thuần, cộng thêm chi phí hoạt động và chi phí rủi ro28 ¯A1x,t=∞j=0j¯px,t¯qx+j,t+jνj+1(2.4)Phí thuần đơn cho niên kim nhân thọ trọn đời cho lứa tuổi x, phát hành vào thờiđiểm t, thanh toán cuối kỳ được tính dựa trên công thức 1.17 (trang 14):¯¨ax,t=∞j=0j¯px,tνj(2.5)Tổng hợp lại, ta có với sản phẩm bảo hiểm thứ i trong danh mục PN, phát hànhvào thời điểm t, có phí thuần đơn giả định được tính như sau:¯Pi,t k−1j=0j¯px,t¯qx+j,t+jνj+1, với i là sp bảo hiểm tử kỳk−1j=0j¯px,t¯qx+j,t+jνj+1+k¯px,tνk, với i là sp bảo hiểm sinh kỳ∞j=0j¯px,t¯qx+j,t+jνj+1, với i là sp bảo hiểm nhân thọ trọn đời∞j=0j¯px,tνj, với i là sp niên kim nhân thọ trọn đời(2.6)Theo nguyên tắc tính phí bảo hiểm (mục 1.4.2, trang 10), phí thuần đơn giả định¯Pi,tở trên cũng chính là số tiền chi trả giả định mà công ty bảo hiểm ước lượng sẽ chitrả cho người tham gia bảo hiểm.2.1.2 Tính phí thuần thực tế cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọKết quả tử vong thực tế được quan sát và ghi nhận theo từng năm sau t. - Sau knăm, công ty bảo hiểm thu thập được tỷ lệ tử vong thực tế ˜qx+j,t+j, với j = 0. - k − 1.Tương tự cách tính phí thuần đơn giả định, dựa vào tỷ lệ tử vong thực tế, ta có thểtính được phí thuần đơn thực tế (cũng chính là tiền chi trả thực tế)˜Pi,tcủa sản phẩmbảo hiểm thứ i trong danh mục như sau:˜Pi,t k−1j=0j˜px,t˜qx+j,t+jνj+1, với i là sp bảo hiểm tử kỳk−1j=0j˜px,t˜qx+j,t+jνj+1+k˜px,tνk, với i là sp bảo hiểm sinh kỳ∞j=0j˜px,t˜qx+j,t+jνj+1, với i là sp bảo hiểm nhân thọ trọn đời∞j=0j˜px,tνj, với i là sp niên kim nhân thọ trọn đời Tính tỷ suất lợi nhuận biên cho các sản phẩm bảo hiểm nhân thọXét tỉ lệ:ˆri,t=¯Pi,t−˜Pi,t˜Pi,t=¯Pi,t˜Pi,t− 1 (2.8)Nếu ˆri,t> 0 thì công ty bảo hiểm chỉ phải trả một lượng tiền bảo hiểm nhận thọ(hoặc niên kim nhân thọ) thấp hơn tiền bảo hiểm đã dự đoán trước đó, và ngược lại.Người ta gọi ˆri,tlà lợi nhuận biên thuần của sản phẩm bảo hiểm thứ i trong danh mục.Thông thường, công ty bảo hiểm thu thêm một khoản phí rủi ro cộng vào phí bảohiểm. - Khoản phí rủi ro này nhằm bảo đảm chi phí nếu công ty bảo hiểm phá sản cũngnhư những rủi ro giả định khác. - Vì biến ˆr2i,tđại diện cho xác suất khủng hoảngvề mặt tài chính do sản phẩm bảo hiểm thứ i gây ra,nên c > 0 được gọi là hệ số chi phíkhủng hoảng. - Khi rủi ro kinh doanh càng cao sẽ tương ứng với chi phí khủng hoảngcàng cao, và công ty bảo hiểm sẽ thu phí rủi ro tăng theo.Tỷ suất lợi nhuận biên ˆmi,tcủa dòng sản phẩm i (i = 1. - N) trong danh mục bảo hiểm nhân thọ. - Mục tiếp theo sẽ trình bàycách tính tỷ suất lợi nhuận biên và rủi ro của tổng thể danh mục bảo hiểm nhân thọ.2.1.4 Lợi nhuận và rủi ro của danh mục bảo hiểm nhân thọGọi milà biến ngẫu nhiên với tỷ suất lợi nhuận biên ˆmi,tlà các giá trị quan sáttheo từng thời điểm t (t = 1, ...k). - k là tỷ suất lợi nhuận biên của toàn danhmục trong riêng năm thứ t.Rủi ro thực nghiệm của danh mục bảo hiểm nhân thọ được tính thông qua phươngsai mẫu:ˆσ2(w) =1kkt=1[ˆµt(w. - ˆµ(w)]2=1kkt=1[Ni=1ˆmi,twi−Ni=1ˆµiwi]2=1kkt=1[Ni=1( ˆmi,t− ˆµi)wi]2=1kkt=1Ni=1Nj=1( ˆmi,t− ˆµi)( ˆmj,t− ˆµj)wiwj=Ni=1Nj=11kkt=1( ˆmi,t− ˆµi)( ˆmj,t− ˆµj)wiwj=ni=1nj=1ˆσijwiwj Tính trọng phần tối ưu danh mục BHNT theo mô hìnhMVTrong các phần trước, ta đã tính được tỷ suất lợi nhuận biên (kỳ vọng mẫu) ˆµ(w)và rủi ro (phương sai mẫu) ˆσ2(w) của danh mục bảo hiểm nhân thọ PNdựa trên tỷlệ tử vong giả định, tỷ lệ tử vong quan sát và các giả định tính phí. - Áp dụng mô hìnhMean-Variance (mục 1.5.4, trang 22) để xác định trọng phần tối ưu cho danh mục cácsản phẩm bảo hiểm nhân thọ, ta giải bài toán sau:Cực tiểu ˆσ2(w),Với điều kiện: ˆµ(w. - N(2.16)Trong đó µ0là tỷ suất lợi nhuận biên định trước, N là số lượng sản phẩm trongdanh mục, ˆµilà kỳ vọng mẫu của mi, ˆσijlà hiệp phương sai mẫu giữa mivà mj, trongđó milà biến ngẫu nhiên thể hiện tỷ suất lợi nhuận biên của sản phẩm bảo hiểm thứi trong danh mục (i = 1. - Rủi ro ˆσ2(w) của danh mục đạt giá trị cực tiểu.3. - Giá trị CV aR của trọng phần sản phẩm bảo hiểm w với mức tin cậy β lớn hơnmột giá trị ζ cho trước: CV aRβ(w. - ζ(2.17)Trong đó CV aRβ(w) của danh mục bảo hiểm nhân thọ được xác định bằng côngthức:CV aRβ(w. - V aRβ(w)] (2.18)Trong công thức này:33 • V aRβ(w) xác định giá trị nhỏ nhất sao cho với xác suất là β, tỷ suất lợi nhuậnbiên của danh mục không vượt quá giá trị này.• Biến ngẫu nhiên m(w) =Ni=1wimilà tỷ suất lợi nhuận biên của danh mục,với milà tỷ suất lợi nhuận biên của sản phẩm bảo hiểm thứ i trong danh mục(i = 1. - s(2.22)Trong đó µ0là tỷ suất lợi nhuận biên định trước, ngưỡng tổn thất ζ có giá trị chotrước, N là số lượng sản phẩm trong danh mục, ˆµilà kỳ vọng mẫu của mi, ˆσijlà hiệpphương sai mẫu giữa mivà mj(tính bằng công thức 2.12, mục 2.1.4, trang 30), trongđó milà biến ngẫu nhiên thể hiện tỷ suất lợi nhuận biên của sản phẩm bảo hiểm thứi trong danh mục (i = 1. - Chương trình giải bài toán bằngngôn ngữ R được trình bày trong mục 3.5, trang 45.Kết luậnChương này đã trình bày quá trình áp dụng mô hình MV kết hợp với ràng buộcCVaR để xác định trong phần tối ưu của các sản phẩm bảo hiểm trong danh mục bảo35 hiểm nhân thọ. - Phần này cũng giới thiệu một số thư viện quan trọng phục vụ giải bài toán tối ưutrong luận văn.Mục 3.3 dành cho việc tính toán tỷ lệ tử vong dự đoán, phục vụ cho việc tính toánphí thuần giả định (mục 2.1.1, trang 28), là cơ sở để tính tỷ suất lợi nhuận và rủi rocủa danh mục bảo hiểm nhân thọ sẽ trình bày trong mục 3.4.Mục 3.4 trình bày phần chương trình (dưới dạng các hàm viết bằng R) tính tỷ suấtlợi nhuận biên và phương sai của danh mục, dựa trên các công thức tính toán trìnhbày trong mục 2.1.4 (trang 30).Mục 3.5 sẽ đề cập đến việc giải bài toán tối ưu theo mô hình MV+CVaR bằngchương trình lập trình bằng R. - Phần mềm được xây dựng dưới hình thức mộtgói thư viện của R, với các chức năng cơ bản sau:• Phần mềm có sẵn bảng tỷ lệ tử vong dân số của Nhật, Hoa Kỳ, Đức.• Phần mềm có sẵn bảng tỷ lệ tử vong kinh nghiệm của các công ty bảo hiểm nhânthọ Nhật, Hoa Kỳ, Đức.• Phần mềm cung cấp hàm tính tỷ lệ tử vong dự đoán.• Phần mềm cung cấp hàm để tính kỳ vọng mẫu, phương sai mẫu để tiện cho việcxem so sánh đối chiều lời giải.• Phần mềm cung cấp các hàm giải bài toán tối ưu theo mô hình MV và MV+CVaR.• Phần mềm hỗ trợ gọi thông qua dịch vụ web.3.3 Tính toán tỷ lệ tử vong dự đoán3.3.1 Chuẩn bị dữ liệuDữ liệu tỷ lệ tử vong dân số được nạp sẵn vào biến vn.mrdata1thuộc kiểu demogdatakhi gói thư viện chương trình được nạp vào chạy.Dữ liệu tỷ lệ tử vong kinh nghiệm được nạp vào từ Cơ sở dữ liệu, và lưu vào biếnvn.mrdata.exp2thuộc kiểu demogdata. - Dữ liệu tỷ lệ tử vong kinh nghiệm này đượccông ty bảo hiểm thu thập và xử lý dựa trên thông tin trong các hợp đồng bảo hiểmmà công ty đang quản lý.1mrdata: Mortality Rate Data - Dữ liệu về tỷ lệ tử vong2mrdata.exp: Mortality Rate Data Experience40 3.3.2 Dự đoán tỷ lệ tử vongĐể dự đoán tỷ lệ tử vong từ năm thứ x, dự đoán trong vòng k (k > 0) năm, ta thựchiện theo các bước sau:1. - sim , type=" l " )Kết quả, ta thu được biểu đồ như sau:Hình 3.1: Tỷ lệ tử vong dự đoán trong năm 2008Tỷ lệ tử vong dự đoán được sử dụng trong việc định phí bảo hiểm khi công ty bảohiểm tạo ra sản phẩm bảo hiểm. - Sau k năm kinh doanh, công ty bảo hiểm sẽ sử dụng41 lại tỷ lệ tử vong này trong việc xác định tỷ suất lợi nhuận thực tế (mục 2.1.4, trang30).3.4 Tính toán lợi nhuận và rủi ro của danh mục BHNTGiả sử drt là mảng chứa dữ liệu về tỷ lệ tử vong, bao gồm 2 chiều: Độ tuổi và năm.Khi đó, ta xây dựng các hàm bằng ngôn ngữ R để tính các tỷ lệ sinh tồn - tử vong, cáchàm nhân thọ, phí thuần đơn, tỷ suất lợi nhuận biên và cuối cùng là lợi nhuận và rủiro của danh mục bảo hiểm nhân thọ
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt