- -NGUYỄN MINH PHƯƠNGTÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁCPHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂNChuyên ngành: Toán TinLUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌCNGÀNH: TOÁN TINNGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS. - Biến đổi Fourier. - Tính chất. - Tích chập Fourier. - Định nghĩa tích chập Fourier. - Định lí về tích chập Fourier. - Tính chất đại số của tích chập Fourier. - Phép biến đổi Fourier Cosine và Sine. - Tính chất biến đổi Fourier Cosine và Sine. - Định lí tích chập biến đổi Fourier Cosine. - Phép biến đổi Laplace và ứng dụng thực tế . - Phép biến đổi Laplace. - Ứng dụng về phép biến đổi Laplace. - Phương trình vi phân cấp hai. - Phương trình vi phân với độ trễ. - Phương trình vi- tích phân. - Tích chập suy rộng đối với Fourier-Laplace và ứngdụng. - Một số tích chập đã biết. - Tính chất toán tử. - Phương trình và hệ phương trình tích phân. - Phương trình vi - tích phân. - Lí do chọn đề tàiTích chập đối với biến đổi tích phân được nghiên cứu rất sớm vào đầunhững năm của thế kỉ 20, như là tích chập đối với biến đổi Fourier(xem[4,13,17. - biến đổi Laplace(xem . - biến đổi Mellin(xem[12,17. - biến đổi Hilbert(xem [4,5. - biến đổi Fourier Cosine và Sine(xem và ....Các loại tích chập này có nhiều ứng dụng quantrọng trong xử lý ảnh, phương trình vi phân, phương trình tích phân,bài toán truyền nhiệt ngược(xem Các phép biến đổi tích phân ra đời rất sớm và có vai trò đặc biệt quantrọng trong đó bản thân phép biến đổi Fourier cũng ra đời từ bài toánthực tế, khi Fourier nghiên cứu quá trình truyền nhiêt.Phép biến đổi Fourier có dạng ( xem [3,27])(F f)(x. - limN→∞1√2πNR−Ne−ixyg(y)dy.iv Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập đối với các phépbiến đổi tích phân cũng xuất hiện vào khoảng đầu thế kỉ 20. - Tích chậpđầu tiên được xây dựng là tích chập đối với phép biến đổi Fourier, cụthể là tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổi Fourier códạng như sau (xem [18])(f∗Fg)(x) =1√2π∞Z−∞f(y)g(x − y)dy, x ∈ R.mà thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau (xem [18])F [f∗Fg](y. - γ(y)(K2f)(y)(K3g)(y).Ý tưởng này đã mở ra nhiều nghiên cứu mới và nhiều tích chập mới vớitính chất xuất hiện trong [9], nhưng cho đến nay chỉ có một loại tíchchập đối với biến đổi Laplace xác định như sau(xem [4,31]):(f∗Lg)(x) =xZ0f(x − t)g(t)dt, x > 0,mà thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa như sauL(f∗Lg)(y. - (Lf)(y)(Lg)(y).v ở đây L kí hiệu biến đổi Laplace(Lf)(y) =Z∞0f(x)e−yxdx, y > 0.Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu 2 loại tích chập suy rộng mới với hàm trọngđối với biến đổi Fourier Cosine-Laplace và biến đổi Fourier Sine-Laplacevà có được một vài chuẩn bất đẳng thức của các tích chập này và cáctính chất đại số của toán tử tích chập trên L1(R+) và Lα,βp(R. - Việcvận dụng các tích chập này cho việc giải lớp bài toán về phương trìnhtích phân giống như hệ phương trình tích phân, phương trình vi- tíchphân có thể giải được và cho nghiệm dưới dạng đóng.Với những lí do nêu trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để viết luận văn vớitên gọi " Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân".2. - Mục đích nghiên cứuMục đích chính của luận văn là nghiên cứu các phép biến đổi tích phânkiểu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các nhóm phép biến đổiFourier, Fourier Cosine và Laplace. - Chúng tôi nghiên cứu các tính chấttoán tử tích phân được xây dựng trong không gian L1(R. - Từ đó, chúngtôi đưa ra ứng dụng cụ thể để đánh giá nghiệm của các bài toán phươngtrình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi- tích phân có nghiệmdưới dạng đóng.3. - Phương pháp nghiên cứuPhương pháp chính của luận văn là chúng tôi sử dụng các kĩ thuật phépbiến đổi tích phân, các kĩ thuật phép biến đổi Fourier, Fourier Cosine,Fourier Sine và Laplace để giải các bài toán về phương trình và hệ phươngtrình tích phân, phương trình vi -tích phân.vi 4. - Mục đích chính là nhắc lại các kiến thứccơ bản nhất về định nghĩa phép biến đổi Fourier, các tính chất cơ bảncủa chúng. - tiếp đến là định nghĩa về tích chập Fourier, có tìm hiểu vềđịnh lí và tính chất đại số của tích chập Fourier, đẳng thức Parseval’s ;ngoài ra còn tìm hiểu cụ thể về định nghĩa biến đổi Fourier Cosine vàSine, từ đó đưa ra các tính chất của biến đổi Fourier Cosine và Sine. - Kiến thức của chương cũng là nền tảng đểnghiên cứu sâu ở chương 3.Chương 2: Phép biến đổi Laplace và ứng dụng thực tế. - Trong chươngnày chúng ta nghiên cứu hai vấn đề đó là phép biến đổi Laplace và ứngdụng. - thông qua phép biến đổi Laplace chúng ta nhắc lại các loại địnhnghĩa về Laplace xuôi và ngược, từ đó đưa ra các tính chất của chúng;bên cạnh đó cũng không thể không nhắc đến định lí kinh điển là định líTaberian và bổ đề Watson. - Vì vậy , các ứng dụng thực tiễn cho chúngta thấy được rằng việc vận dụng kiến thức về phép biến đổi Laplace làrất hữu ích và nó là nền tảng cho nhiều lĩnh vực trong thực tế. - Nội dungcủa chương 2 chính là cơ sở để vận dụng cho chương 3.Chương 3: Tích chập suy rộng đối với Fourier-Laplace và ứng dụng.Trong chương này chúng ta nghiên cứu sâu về các tích chập Fourier-Laplace, đưa ra các định nghĩa, định lí và hệ quả về các tích chập, nhắclại một số tích chập đã biết. - từ đó nghiên cứu các phương trình và hệvii phương trình tích phân có nghiệm dưới dạng đóng. - Trên cơ sở nghiên cứucác chương 1,2 ở trên, chúng tôi đã tìm ra hướng nghiên cứu để giải đượcbài toán về phương trình vi- tích phân có nghiệm dưới dạng đóng và kếtquả này đã được hội đồng phản biện của tạp chí khoa học Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội đánh giá tốt và chuẩn bị được đăng bài trên tạp chí.Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, trườngĐại học Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. - Xinchân thành cảm ơn.Hà Nội, ngày 05 tháng 09 năm 2014viii Danh mục các kí hiệu và chữ viết tắtR tập số thựcR+tập số thực dươngL1(R+) tập hợp các hàm số f(x) xác định trên R+sao cho∞R0|f(x)|dx < +∞L1(R+, ρ) tập hợp các hàm số f(x) xác định trên R+,trong đó ρ là một hàm trọng dương,sao cho∞R0|f(x)|ρ(x)dx < +∞Lp(R+) tập hợp các hàm số f(x) xác định trên R+sao cho∞R0|f(x)|pdx < +∞Lα,βp(R+) tập hợp các hàm số f(x) xác định trên R+sao cho∞R0xαe−βx|f(x)|pdx < +∞Co(R+) tập hợp các hàm hội tụ trên R+và tính liên tục trên ∞(·∗L·) tích chập đối với phép biến đổi Laplace(·∗Fc·) tích chập đối với phép biến đổi Fourier Cosine(·γ∗Fs·) tích chập với hàm trọng γ(y. - sin y đối với phépbiến đổi Fourier Sine(·∗1·) tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier Sinevà Fourier Cosine(·∗2·) tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fourier Cosinevà Fourier Sine(·γ. - tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y. - e−µyđối với phépbiến đổi Fourier Cosine-Laplace và Fourier Sine-Laplaceix Chương 1Kiến thức bổ sungTrong chương này, chúng ta dẫn ra một số kiến thức cơ bản đối vớicác phép biến đổi Fourier, Fourier Cosine, Fourier Sine và tích chập biếnđổi Fourier Cosine liến quan đến luận văn.1.1. - Biến đổi Fourier1.1.1. - Định nghĩaBiến đổi Fourier của f(x) được kí hiệu F{f(x. - F (k) =1√2π∞Z−∞e−ikxf(x)dx (1.1)Trong đó: F được gọi là toán tử phép biến đổi Fourier và nhân tử1√2πđược xác định bằng cách chia từ nhân tử12πliên quan đến công thứctích phân Fourierf(x) =12π∞Z−∞"∞Z−∞f(ξ)e−ikξdξ#eikxdk1 Đây thường gọi là phép biến đổi Fourier phức. - Tốc độhội tụ của tích phân (1.1)dẫn đến hàm f (x) khả tích tuyệt đối. - Trênthực tế tốc độ hội tụ của tích phân liên quan tới k.1.1.2. - Tích chập Fourier1.2.1. - Định nghĩa tích chập FourierTích chập của hai hàm tích phân f(x) và g(x) được kí hiệu (f ∗g)(x),xác định bằng (xem [4])(f ∗ g)(x) =1√2π∞Z−∞f(x − ξ)g(ξ)dξ (1.2)trong đó, nhân tử1√2πđược chọn tùy ý. - Định lí về tích chập FourierNếu F{f(x. - Tính chất đại số của tích chập Fourier+) Giao hoán f ∗ g = g ∗ f+) Kết hợp f ∗ (g ∗h. - Phép biến đổi Fourier Cosine và SineTừ công thức (xem [4])f(x) =1π∞Z0dk∞Z−∞f(ξ) cos k(x − ξ)dξ (1.3)1.3.1. - Một số định nghĩaĐịnh nghĩa biến đổi Fourier Cosine Giả sử f(x) là hàm số chẵnvà mở rộng hàm số Cosine trong công thức (1.3) ta cóf(x. - f (−x) =2π∞Z0cos kxdk∞Z0f(ξ) cos kξdξđây là công thức tích phân Fourier Cosine dẫn đến biến đổi FourierCosine được xác địnhFc{f(x. - Fc(k) =r2π∞Z0cos kxf (x)dxtrong đó, Fclà toán tử của phép biến đổi Fourier Cosine.Định nghĩa biến đổi Fourier Sine Giả sử f(x) là hàm số lẻ và mở4 rộng hàm số Sine trong công thức (1.3) ta cóf(x. - −f (−x) =2π∞Z0sin kxdk∞Z0f(ξ) sin kξdξđây là công thức tích phân Fourier Sine dẫn đến biến đổi Fourier Sineđược xác địnhFs{f(x. - Fs(k) =r2π∞Z0sin kxf (x)dxtrong đó, Fslà toán tử của phép biến đổi Fourier Sine.1.3.2. - Tính chất biến đổi Fourier Cosine và SineTính chất thứ nhất Nếu Fc{f(x. - Định lí tích chập biến đổi Fourier CosineNếu Fc{f(x. - Ví dụVí dụ 1: Tìm biến đổi Fourier của e−ax2
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt