BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH
__________________________________________________________
MAI THÙY LINH
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
NGHỆ AN, 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH
__________________________________________________________
MAI THÙY LINH
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4
Chuyên ngành: Giáo dục học (bậc Tiểu học)
Mã số: 8.14.01.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN TIẾN DŨNG
NGHỆ AN, 2019
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Nguyễn Tiến
Dũng, người đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt tôi trong thời gian qua.
Tôi xin trân trọng cám ơn sự hợp tác, giúp đỡ từ phía giáo viên, học
sinh các trường Tiểu học Nghi Phú 1, Tiểu học Nghi Ân, Tiểu học Hưng
Dũng 2 trong thời gian tôi thực nghiệm đề tài.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
luôn động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Do điều kiện chủ quan và khách quan, luận văn không tránh khỏi thiếu
sót. Tôi rất mong những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và quý bạn đọc
để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng vấn đề nghiên cứu của luận văn.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết
quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kì công trình
nào khác.
Nghệ An, ngày 28 tháng 6 năm 2019
Tác giả
Mai Thùy Linh
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỤC LỤC
DANH MỤC SƠ ĐỒ, BẢNG, BIỂU, HÌNH
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN NĂNG LỰC MÔ
HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ
HỌC LỚP 4 ....................................................................................................... 7
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu ......................................................................... 7
1.1.1 Nghiên cứu ở ngoài nước ......................................................................... 7
1.1.2 Nghiên cứu trong nước............................................................................. 9
1.2. Một số khái niệm ...................................................................................... 11
1.2.1. Mô hình và mô hình hóa ....................................................................... 11
1.2.2. Toán học hóa và mô hình hóa toán học ................................................ 16
1.2.3. Năng lực mô hình hóa toán học ............................................................ 31
1.3. Nội dung số học trong môn Toán lớp 4 ................................................... 38
1.3.1. Mục tiêu................................................................................................. 38
1.3.2. Nội dung ................................................................................................ 39
1.4. Đặc điểm nhận thức của học sinh lớp 4 ................................................... 40
1.5. Kết luận chương 1 .................................................................................... 44
Chương 2 THỰC TRẠNG RÈN LUYỆN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4 45
2.1. Khái quát về quá trình khảo sát thực trạng .............................................. 45
2.1.1. Mục đích khảo sát ................................................................................. 45
2.1.2. Nội dung khảo sát.................................................................................. 45
2.1.3. Địa bàn, thời gian, đối tượng khảo sát .................................................. 45
2.1.4. Phương pháp khảo sát ........................................................................... 45
2.2. Nghiên cứu thực trạng rèn luyện năng lực mô hình hóa cho học sinh
thông qua dạy học số học lớp 4 ....................................................................... 46
2.2.1. Khảo sát nội dung toán học thực tiễn sử dụng kiến thức số học trong
chương trình sách giáo khoa Toán 4 ............................................................... 46
2.2.2. Thực trạng nhận thức của giáo viên về việc rèn luyện năng lực mô hình
hóa toán học trong dạy học nội dung số học và dạy học Toán theo hướng tăng
cường liên hệ thực tiễn cho học sinh lớp 4 ..................................................... 49
2.2.3. Thực trạng năng lực mô hình hóa toán học của học sinh lớp 4 ............ 56
2.3. Đánh giá chung thực trạng ....................................................................... 62
2.4. Kết luận chương 2 .................................................................................... 63
Chương 3 QUY TRÌNH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN
HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4 ............ 64
3.1. Nguyên tắc xây dựng quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học . 64
3.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học của toán học và sự phù hợp với
mục tiêu, nội dung, chuẩn kiến thức kĩ năng Toán 4 ...................................... 64
3.1.2. Nguyên tắc 2: Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn ...... 64
3.1.3. Nguyên tắc 3: Chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề ............. 65
3.1.4. Nguyên tắc 4: Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức ............................ 65
3.2. Quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông
qua dạy học số học lớp 4 ................................................................................. 66
3.2.1. Quy trình 1: Rèn luyện năng lực chuyển đổi từ tình huống thực tế sang
tình huống toán học ......................................................................................... 66
3.2.2. Quy trình 2: Rèn luyện kĩ năng sử dụng mô hình toán học để giải bài
toán .................................................................................................................. 76
3.2.3. Quy trình 3: Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi kết quả toán sang kết quả
thực tế và phản ánh những hạn chế ................................................................. 99
3.3. Minh họa một số hoạt động phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho
học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 ...................................................... 104
4. Hoạt động vận dụng (Rèn luyện 3 quy trình) ........................................... 107
3.4. Thực nghiệm tính khả thi và sự cần thiết của các quy trình đề xuất...... 108
3.4.1. Mục đích và yêu cầu thực nghiệm ...................................................... 108
3.4.2. Nhiệm vụ ............................................................................................. 108
3.4.3. Các nguyên tắc tổ chức thực nghiệm .................................................. 108
3.4.4. Thời gian, đối tượng thực nghiệm....................................................... 109
3.4.5. Phân tích kết quả thực nghiệm ............................................................ 109
3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................. 116
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 117
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 120
PHỤ LỤC
DANH MỤC SƠ ĐỒ, BẢNG, BIỂU, HÌNH
Sơ đồ
Sơ đồ 1.1. Các hoạt động của quá trình toán học hóa ..................................... 17
Sơ đồ 1.2. Quy trình mô hình hóa (Pollak, 1979, [55]) .................................. 21
Sơ đồ 1.3. Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler 1991) [57] .......... 21
Sơ đồ 1.4. Quy trình mô hình hóa (theo Blum và Lei, 2006, [44]) .............. 23
Sơ đồ 1.5. Quy trình MHH mô phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown,
Edwards ........................................................................................................... 26
Sơ đồ 1.6. Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa trong dạy học Toán .... 27
Sơ đồ 1.7. Phân loại các tình huống có vấn đề ............................................... 28
Sơ đồ 1............................................................................................................. 74
Sơ đồ 2............................................................................................................. 74
Hình
Hình 1.1. Ly cooktail thủy tinh ....................................................................... 29
Hình 1.2. Phần thân ly cùng với đường kính và dung tích ............................. 30
Hình 1.3. Phần thân ly với chiều cao H và thể tích V ..................................... 31
Hình 1.4. Tám năng lực Toán học đặc trưng .................................................. 34
Hình 1 .............................................................................................................. 73
Hình 2 .............................................................................................................. 73
Bảng
Bảng 2.1.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên quan tâm đến
việc dạy học số học theo hướng tăng cường hoạt động rèn luyện MHH toán
học ................................................................................................................... 49
Bảng 2.1.b. Kết quả đánh giá về mức độ thường xuyên quan tâm đến dạy học
số học theo hướng tăng cường hoạt động rèn luyện MHH toán học .............. 50
Bảng 2.2.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên tìm hiểu những
ứng dụng của MHH toán học trong dạy học số học ....................................... 50
Bảng 2.2.b. Kết quả đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng
dụng của MHH toán học trong dạy học số học ............................................... 50
Bảng 2.3.a. Thống kê ý kiến của GV về tầm quan trọng của việc đưa mô hình
toán học vào dạy học số học ........................................................................... 51
Bảng 2.3.b. Kết quả đánh giá của GV về tầm quan trọng của việc đưa mô
hình toán học vào dạy học số học ................................................................... 51
Bảng 2.4.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên đưa mô hình
toán học vào dạy học số học ........................................................................... 51
Bảng 2.4.b. Kết quả đánh giá của GV về mức độ thường xuyên đưa mô hình
toán học vào dạy học số học ........................................................................... 51
Bảng 2.5.a. Thống kê về mức độ thường xuyên hướng dẫn HS giải quyết
những tình huống thực tế ngoài SGK ............................................................. 52
Bảng 2.5.b. Kết quả đánh giá về mức độ thường xuyên hướng dẫn HS giải
quyết những tình huống thực tế ngoài SGK ................................................... 52
Bảng 2.6.a. Thống kê tầm quan trọng của việc tăng cường các câu hỏi có nội
dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán ........................................................... 53
Bảng 2.6.b. Kết quả đánh giá tầm quan trọng của việc tăng cường các câu hỏi
có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán ................................................ 53
Bảng 2.7.a. Thống kê mức độ đưa các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm
tra môn Toán ................................................................................................... 53
Bảng 2.7.b. Kết quả đánh giá mức độ đưa các câu hỏi có nội dung thực tiễn
vào kiểm tra môn Toán ................................................................................... 53
Bảng 2.8. Thống kê về ý kiến của GV trong dạy học ..................................... 54
Bảng 2.9. Bảng tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học MHH của GV ............ 55
Bảng 2.10.a. Thống kê về mong muốn của HS được biết thêm những kiến
thức ứng dụng của thực tiễn toán học ............................................................. 57
Bảng 2.10.b. Kết quả đánh giá mong muốn của HS được biết thêm những
kiến thức ứng dụng của thực tiễn toán học ..................................................... 57
Bảng 2.11.a. Thống kê của HS về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những
ứng dụng trong thực tiễn của toán học ............................................................ 57
Bảng 2.11.b. Kết quả đánh giá mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những ứng
dụng trong thực tiễn của toán học ................................................................... 57
Bảng 2.12.a. Thống kê đánh giá của HS về mức độ thường xuyên giảng giải
mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV ..................................................... 58
Bảng 2.12.b. Kết quả đánh giá của HS về mức độ thường xuyên giảng giải
mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV ..................................................... 58
Bảng 2.13.a. Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa toán học và các
môn học khác .................................................................................................. 59
Bảng 2.13.b. Kết quả đánh giá ý kiến của HS về mối liên hệ giữa toán học và
các môn học khác ............................................................................................ 59
Bảng 2.14.a. Thống kê ý kiến của HS về tầm quan trọng của toán học ......... 59
Bảng 2.14.b. Kết quả đánh giá ý kiến của HS về tầm quan trọng của toán học .. 59
Bảng 2.15.a. Thống kê ý kiến HS về mức độ khô khan của môn toán ........... 60
Bảng 2.15.b. Kết quả đánh giá ý kiến HS về mức độ khô khan của môn toán..... 60
Bảng 2.16. Tự đánh giá khả năng của HS khi học toán thực tiễn................... 60
Bảng 3.1. Phân phối tần số điểm trước khi thực nghiệm .............................. 110
Bảng 3.2. Phân phối tỉ lệ phần trăm kiểm tra đầu vào theo mức độ đánh giá . 110
Bảng 3.3. Phân phối các tham số có đặc trưng và kết quả kiểm tra trước thực
nghiệm ........................................................................................................... 111
Bảng 3.4. Phân phối tần số điểm kiểm tra sau thực nghiệm ......................... 113
Bảng 3.5. Phân phối các tham số có đặc trưng về kết quả kiểm tra sau thực
nghiệm ........................................................................................................... 114
Biểu đồ
Biểu đồ 3.1. Tỉ lệ phần trăm mức độ điểm số bài kiểm tra trước thực nghiệm . 110
Biểu đồ 3.2. Tỉ lệ phần trăm mức độ điểm số bài kiểm tra sau thực nghiệm.... 114
DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
TT
Từ viết tắt
Từ đầy đủ
1.
ĐC
Đối chứng
2.
GDPT
3.
GV
Giáo viên
4.
HS
Học sinh
5.
MHH
Mô hình hóa
6.
SGK
Sách giáo khoa
7.
THCS
Trung học cơ sở
8.
THPT
Trung học phổ thông
9.
TN
Giáo dục phổ thông
Thực nghiệm
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thời xưa khi con người chưa có sự hỗ trợ của máy móc nên bản thân
các bài toán phát sinh chỉ là những bài đơn giản, số lượng tính toán cỡ nhỏ. Vì
vậy những công cụ toán học sử dụng cũng vô cùng đơn giản và sơ khai như
phép cộng, phép trừ, hay khai căn gần đúng… Ngày nay, cùng với sự hỗ trợ
của công nghệ, các tình huống có vấn đề do con người đặt ra là vô cùng trừu
tượng và phức tạp với số lượng phép tính lớn, vượt xa ra khỏi khả năng tự
nhiên của một con người. Vì vậy các công cụ tính toán và các khái niệm mới
cũng hết sức trừu tượng (nên khó có thể tìm một ứng dụng tự nhiên của nó
trong đời sống hằng ngày, chúng ta có thể chỉ ra nó ứng dụng vào công việc
gì mà khó có thể giải thích cụ thể xem nó ứng dụng như thế nào). Nói về đặc
điểm toán học, cùng với tính trừu tượng của đối tượng toán học, các phương
pháp chứng minh và tìm tòi, phát kiến trong toán học, người ta đã chú ý đến
mô hình hóa toán học. Nhiều nhà nghiên cứu đã khẳng định rằng, mô hình
hóa toán học có vai trò quan trọng trong sự phát triển nhận thức toán học của
học sinh (HS) tiểu học. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn đóng vai trò
quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học cho
HS. Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, HS cần hiểu và vận dụng những kiến
thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng và mô hình hóa các
vấn đề trong cuộc sống.
Xu hướng phát triển năng lực trong giáo dục phổ thông (GDPT) của
quốc tế và yêu cầu đổi mới GDPT ở Việt Nam hiện nay hướng tới 4 trụ cột
giáo dục thế kỉ 21 của UNESCO là học để biết, học để làm, học để làm người
và học để chung sống. Chương trình GDPT nhiều nước tiên tiến trên thế giới
đã xác định rõ những lĩnh vực cơ bản và yêu cầu về phẩm chất, thái độ. Chiến
lược phát triển giáo dục 2011 - 2020 của Việt Nam cũng xác định năng lực
2
của HS là định hướng quan trong để phát triển chương trình và sách giáo khoa
(SGK) sau năm 2015. Cho đến nay, nhiều công trình nghiên cứu trong nước
và ở nước ngoài đã quan tâm đến năng lực toán học. Trong đó, phải kể đến
các nghiên cứu của V.A Crutexki và Niss Mogens. Chương trình đánh giá HS
quốc tế (PISA) ở lĩnh vực toán học xác định 8 năng lực đánh giá hiểu biết
toán cho HS 15 tuổi. Trong đó, năng lực mô hình hóa (MHH) là một năng lực
quan trọng, được xác định là một trong 4 năng lực thuộc nhóm năng lực “khả
năng đặt ra và giải đáp các vấn đề trong, với và về toán học”. Trong dự thảo
chương trình giáo dục phổ thông (GDPT) mới nhất 12/2018 của Bộ Giáo dục
và Đào tạo nêu rõ mục tiêu năng lực MHH của HS tiểu học đó là: “Lựa chọn
được các phép toán, công thức số học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ để trình bày,
diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng của tình huống xuất hiện
trong bài toán thực tiễn đơn giản; giải quyết được những bài toán xuất phát
từ sự lựa chọn trên; nêu được câu trả lời cho tình huống xuất hiện trong bài
toán thực tiễn [4]. Trong dự thảo đã cho thấy rằng việc thực hiện mục tiêu
năng lực MHH được thể hiện chủ yếu qua kiến thức về nội dung số học. Qua
đó hình thành cho HS cách học toán - cấp độ của HS lớp 4. [9, tr.22]
Quan điểm dạy học hình thành năng lực toán học cho HS thông qua
thực tiễn và hoạt động học tập đã được nhiều nhà giáo dục toán học khẳng
định. Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng lấy HS làm trung tâm đã
được triển khai thực hiện ở các nhà trường. Tuy nhiên, có thể nói cho đến nay
không có nhiều bằng chứng cho thấy sự thay đổi đáng kể trong phương pháp
dạy học. Trong các lớp học, mặc dù đã có cải tiến về biện pháp, kĩ thuật và
phương tiện dạy học nhưng việc rèn luyện năng lực cho học sinh vẫn chưa
thực sự rõ nét. Khảo sát qua phiếu hỏi, dự các giờ dạy toán ở Tiểu học, đặc
biệt là lớp 4, với vị trí là cuối cấp và khả năng tư duy tốt hơn thì kết quả cho
thấy HS còn gặp nhiều khó khăn trong khi liên hệ thực tiễn và trình bày các
3
nội dung toán học. HS quen các biểu diễn số học mà lúng túng khi sử dụng và
vận dụng các biểu diễn hình ảnh, biểu đồ, công thức trong suy luận nên gặp
khó khăn khi tìm kiếm các giải pháp toán học trong học tập và thực tiễn. Thực
tế trong đào tạo, bồi dưỡng GV hiện nay cũng chưa đề cập nhiều đến năng lực
MHH toán học trong dạy học Tiểu học và cũng chưa có nghiên cứu cụ thể,
rạch ròi về vấn đề này ở một lớp học nào. Những ứng dụng của toán học vào
thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng như trong thực tế dạy học Toán
chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên. Trong các SGK
môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý
những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví dụ, bài tập
Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các sách Toán để HS học và rèn
luyện còn rất ít. Chương trình SGK và các phương pháp dạy học hiện nay vẫn
chưa giúp HS hiểu rõ về những ứng dụng của MHH toán học. Với định hướng
dạy học hướng vào sự phát triển năng lực của người học, bám sát mục tiêu
năng lực MHH của chương trình GDPT mới và cấp độ cách học toán của học
sinh lớp 4, việc dạy các nội dung số học lớp 4 góp phần chủ yếu vào việc rèn
luyện và phát triển kĩ năng tính toán, năng lực MHH toán học, một trong
những năng lực cốt lõi trong mục tiêu chương trình GDPT mới.
Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn vấn đề “Phát triển năng lực
mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4” làm đề
tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài đề xuất quy trình phát triển năng lực MHH toán học cho HS thông
qua dạy học nội dung số học lớp 4 và minh họa một số hoạt động rèn luyện
năng lực này, góp phần đáp ứng yêu cầu của đổi mới GDPT cấp tiểu học.
4
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
3.1 Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy học số học cho HS lớp 4 ở trường tiểu học và vận dụng
số học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn.
3.2 Đối tượng nghiên cứu
Quy trình phát triển năng lực MHH toán học cho HS thông qua dạy học
số học lớp 4.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu thiết kế và thực hiện được quy trình phát triển năng lực MHH toán
học thông qua dạy học số học cho HS lớp 4 thì sẽ sẽ hình thành và phát triển
năng lực MHH toán học cho HS, giúp GV làm chủ chương trình GDPT mới
đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học số học cho HS lớp 4 theo
tiếp cận năng lực.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lí luận về rèn luyện năng lực MHH toán học cho
học sinh thông qua dạy học số học lớp 4.
5.2. Nghiên cứu thực trạng rèn luyện năng lực MHH toán học cho học
sinh thông qua dạy học số học lớp 4.
5.3. Đề xuất quy trình phát triển năng lực MHH toán học cho học sinh
thông qua dạy học số học lớp 4 và thử nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính
khả thi của quy trình đề xuất.
6. Phạm vi nghiên cứu
Lớp 4 ở trường Tiểu học Nghi Phú 1, Tiểu học Nghi Ân, Tiểu học
Hưng Dũng.
5
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận, phân
tích tổng hợp và hệ thống hóa một số vấn đề lí luận liên quan đến đề tài, khái
quát hóa các nhận định độc lập.
7.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Sử dụng phương pháp
điều tra thực tiễn, khảo sát và thực nghiệm.
7.3. Phương pháp xử lí thống kê toán học kết quả thực nghiệm: Sử
dụng phương pháp thống kê toán học trong nghiên cứu khoa học giáo dục để
xử lí số liệu.
8. Đóng góp của luận văn
8.1. Đóng góp về mặt lí luận
- Góp phần làm rõ vai trò của việc phát triển năng lực MHH cho HS
thông qua dạy học số học lớp 4.
- Minh họa được một số hoạt động thể hiện quy trình phát triển năng
lực MHH toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 và xây dựng
hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn và đưa ra được những gợi ý, những
chỉ dẫn về vận dụng phương pháp mô hình hóa để giải quyết hệ thống bài
tập đó.
8.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn
- Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung số học lớp 4 ở trường Tiểu
học, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chương trình môn
Toán ở trường Tiểu học.
- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS
trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán ở trường Tiểu học.
6
9. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận nội dung của luận văn gồm 3 chương:
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận của việc rèn luyện năng lực mô hình hóa toán
học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4
Chƣơng 2. Thực trạng rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học cho
học sinh thông qua dạy học số học lớp 4
Chƣơng 3. Quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học
sinh thông qua dạy học số học lớp 4
7
Chƣơng 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN NĂNG LỰC
MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY
HỌC SỐ HỌC LỚP 4
1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu
1.1.1 Nghiên cứu ở ngoài nước
Một trong những chủ đề trọng tâm của giáo dục toán học trong suốt ba
thập kỉ qua đó là mô hình toán học và những ứng dụng của toán học trong
thực tiễn cuộc sống. Nói tổng quát hơn, đó chính là mối quan hệ giữa toán học
với thực tiễn (thế giới bên ngoài toán học). MHH trong giáo dục toán chính
thức xuất hiện đầu tiên tại Hội nghị của Freudenthal năm 1968. Tại đây các
nhà giáo dục toán đã đưa ra nhiều vấn đề liên quan đến MHH. Tại sao phải
dạy toán để có ích? Tại sao nhiều học sinh không thể sử dụng kiến thức toán
học để giải quyết những vấn đề thực tế mặc dù đạt được kết quả xuất sắc về
môn học này? Dạy toán cần phải tiến hành sao cho học sinh có thể áp dụng
toán vào những tình huống đơn giản trong cuộc sống. Mối liên hệ giữa toán
và MHH tiếp tục được đề cập đến tại Hội nghị các nước nói tiếng Đức (1977)
bao gồm các thảo luận về những khía cạnh của toán học ứng dụng trong giáo
dục. Dấu mốc quan trọng là việc MHH được đưa vào nhà trường sau nghiên
cứu của Pollak năm 1979: Ảnh hưởng của toán học lên các môn học khác ở
nhà trường. Theo ông, giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho học sinh
cách sử dụng toán trong cuộc sống hằng ngày. Từ đó, dạy và học MHH trong
nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu (Blum, 2006,
[44]). Ví dụ như nghiên cứu của chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA
nhấn mạnh mục đích của giáo dục toán là phát triển khả năng học sinh sử
dụng toán trong cuộc sống hiện tại và tương lai.
Nghiên cứu của Hội đồng quốc tế về giảng dạy toán học ICMI
(International Commission on Mathematical Instruction) lần thứ 14 năm
8
2007 về “MHH và ứng dụng trong giáo dục toán học” đã trình bày tương đối
đầy đủ về tăng cường vận dụng phương pháp MHH trong dạy học Toán;
năng lực MHH toán học; cấp độ MHH; đánh giá các giai đoạn của quá trình
MHH; vai trò của phương pháp MHH trong học tập môn Toán; MHH trong
đào tạo giáo viên; điều kiện triển khai MHH trong lớp học, MHH và áp dụng
chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA. Ngoài ra, từ hội nghị lần thứ 4
(2005) đến hội nghị lần thứ 8 (2013) của Hiệp hội nghiên cứu giáo dục toán
châu Âu CERME (Congress of European Research in Mathematics
Education), MHH và áp dụng toán là một trong những chủ đề chính của thảo
luận: “MHH liên kết giữa toán học trong nhà trường với cuộc sống, công
việc và việc đưa ra quyết định. Nó là quá trình lựa chọn và sử dụng những
kiến thức toán học để phân tích tình huống thực tế, hiểu chúng rõ hơn và ra
quyết định phù hợp”. Có nhiều quan điểm khác nhau trong các nghiên cứu
về mô hình toán học, cụ thể:
Quan điểm “thực tế” quan tâm đến khả năng người học áp dụng toán để
giải quyết những vấn đề thực tế xuất phát từ khoa học, kinh tế, công
nghiệp,… giúp họ hiểu viết hơn về thế giới thực và giải quyết vấn đề trong
thực tiễn cuộc sống. Quá trình MHH là một quá trình hoàn chỉnh, được thực
hiện như một nhà toán học ứng dụng, với mục đích giải quyết một vấn đề
thực tế chứ không phải để phát triển một lí thuyết mới như một quan điểm
nhận thức luận. Một số nhà giáo dục toán tiêu biểu cho cách tiếp cận này là
các tác giả Pollak, Burkhardt, Galbraith, Stillman, Kaiser và Schwarz.
Quan điểm “giáo dục”: phần lớn các tiếp cận được phát triển trong lĩnh
vực MHH thuộc quan điểm này như Blum, Niss, Blomh∅j, Maab, Stillman.
Quan điểm này chú trọng tích hợp MHH vào dạy học toán; thông qua các ví
dụ thực tế và mối quan hệ của chúng đối với toán học để xây dựng việc hiểu
các khái niệm và thúc đẩy quá trình học toán; quan tâm đến các bước của quá
9
trình MHH, nhiệm vụ MHH, phát triển năng lực MHH cũng như ý nghĩa của
việc học toán [43].
Quan điểm “phản ánh”: nhấn mạnh vai trò, chức năng của toán học nói
chung, của mô hình hóa toán học nói riêng đối với sự phát triển tư duy phê
phán, tư duy phản ánh của người học trước những tình huống trong xã hội, y
tế và môi trường. Cả kinh tế vĩ mô và vi mô đều được xây dựng dựa trên
những mô hình toán học. Nó góp phần vào sự phát triển của xã hội [43].
Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn đặc biệt được các nước OECD
(Organisation for Economic Cooperation and Development) quan tâm thông
qua chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA. Năng lực toán học, theo
PISA là “khả năng của mỗi cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học
trong thế giới…”. PISA nhấn mạnh đến khả năng sử dụng kiến thức toán học
ở nhiều tình huống và ngữ cảnh khác nhau. Ở nhiều nước, kết quả PISA được
thảo luận để đổi mới chương trình môn Toán ở nhà trường, đặc biệt là vấn đề
MHH toán học. Ứng dụng của toán học trong thực tiễn để hiểu thế giới tốt
hơn, giải thích các hiện tượng, giải quyết vấn đề, ra quyết định.
1.1.2 Nghiên cứu trong nước
Dạy học MHH toán học vẫn còn khá mới mẻ đối với giáo viên trong
nhà trường ở Việt Nam. Chưa có nhiều công trình nghiên cứu về việc vận
dụng phương pháp dạy học này trong dạy và học toán ở nhà trường tiểu học.
Cho đến bây giờ, các công trình nghiên cứu về MHH toán học chủ yếu thuộc
cấp trung học cơ sở (THCS) và trung học phổ thông (THPT), có thể kể đến
một số tác giả với các công trình. Tác giả Nguyễn Thị Tân An [2] trong
nghiên cứu của mình cũng đã đưa ra một cách phân loại các tình huống toán
học và xây dựng quá trình toán học hóa phù hợp với chương trình. Nghiên
cứu cung cấp các hướng dẫn cụ thể đối với mỗi bước của quá trình toán học
hóa giúp học sinh có thể định hướng khi đứng trước một tình huống toán học
hóa, GV có thể sử dụng để lên kế hoạch dạy học. Ngoài ra, nghiên cứu cũng
10
chỉ rõ mối liên hệ giữa các năng lượng hiểu biết định lượng và quá trình toán
học hóa. Do đó, việc giải quyết những tình huống chứa đựng các yếu tố định
lượng thông qua quá trình toán học hóa sẽ giúp phát triển các năng lực hiểu
biết định lượng của HS. Đặc biệt nghiên cứu này đã xây dựng được thang
đánh giá giúp đo các năng lực hiểu biết định lượng khi học sinh giải quyết
một tình huống toán học hóa chứa đựng yếu tố định lượng. Mỗi năng lực
được chấm điểm trong ba giai đoạn của quá trình toán học hóa theo bốn mức
từ 0 đến 3. Tác giả Bùi Huy Ngọc [28] trong nghiên cứu “Tăng cường khái
thác nội dung thực tế trong dạy học số học và đại số nhằm nâng cao năng lực
vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS bậc THCS” đã xây dựng các biện
pháp khai thác nội dung thực tế trong dạy học nội dung Số học và Đại số ở
trường trung học cơ sở nhằm phát triển năng lực vận dụng toán học trong thực
tiễn cho HS. Nghiên cứu của tác giả Phan Anh [3] “Góp phần phát triển năng
lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh THPT qua dạy học Đại số
và Giải tích” cũng đã làm rõ việc xây dựng mô hình toán học hóa các tình
huống thực tiễn trong quá trình dạy học học sinh phổ thông thông qua phần
Đại số và Giải tích.
Trong nghiên cứu gần đây của tác giả Nguyễn Danh Nam [25, tr.12] đã
trình bày khái quát về “Quy trình phát triển năng lực MHH Toán học cho học
sinh THPT”. Quy trình này giúp HS hình dung ra được các giai đoạn chuyển
từ tình huống thực tiễn sang mô hình toán học, từ mô hình toán học sử dụng
công cụ toán học để giải quyết bài toán; từ kết quả toán rút ra những nhận xét
phản hồi. Qua đó, giúp HS tìm hiểu sâu và nắm chắc kiến thức toán học.
Ngoài ra, sử dụng MHH toán học trong dạy học giúp học HS phát triển các kĩ
năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp
phát hiện và giải quyết vấn đề hiệu quả hơn. Hơn nữa, sử dụng phương pháp
này giúp việc học toán của HS trở nên ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và
làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn. Năng lực phân tích và giải
11
quyết vấn đề thực tiễn cũng được quan tâm khi sử dụng phương pháp này bởi
các quy trình mô hình hóa giúp HS rèn luyện các thao tác tư duy toán học như
phân tích và tổng hợp, trừu tượng hóa và tổng quát hóa, so sánh và tương tự,
hệ thống hóa và đặc biệt hóa, suy diễn và quy nạp… Qua đó, tăng cường tính
liên môn như Địa lí, Khoa học, Lịch sử, Môi trường. Những kết quả này sẽ là
cơ sở cho những nghiên cứu tiếp theo về khả năng vận dụng quy trình MHH
toán học trong dạy học tiểu học hiện nay, đặc biệt là tiếp cận hướng tăng
cường đưa các bài toán thực tiễn vào chương trình SGK môn Toán.
1.2. Một số khái niệm
1.2.1. Mô hình và mô hình hóa
1.2.1.1.Mô hình
Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, dưới đây là một số cách
hiểu thường sử dụng:
Mô hình có thể được hiểu là đối tượng vật lí (ví dụ như mô hình hình
không gian), mô hình trong trí não sử dụng trong nhiều ngữ cảnh học tập
khác nhau hoặc mô hình tổng quát (như tiên đề của hình học Ơclit).
Mô hình là một biểu tượng trong đầu hay một hệ thống đã được vật
chất. Hệ thống này phản ánh hay tái hiện đối tượng nghiên cứu có thể thay
cho nó và khi nghiên cứu hệ thống này ta thu được những thông tin mới về
đối tượng đó (V.A. Shoff) [39]).
Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả
cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một
khái niệm. Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa
vật lý. (Swetz và Hartzler, 1991, [58]).
Mô hình thực của một tình huống thực tế: là tình huống thực tế sau khi
đã được đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm
của người giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của
tình huống thực tế ban đầu (Blum và Niss, 1991, [45]).
12
Tóm lại, “Mô hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua đó ta
có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô
hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không
cần đến vật thật.”
Như vậy, mô hình có một số đặc trưng cơ bản sau đây:
* Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu
Mô hình là sản phẩm của quá trình hành động nhằm đạt được quá trình
nhận thức nên mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật
gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải
đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc
theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất
và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây dựng
những mô hình đơn giản hơn vật gốc. Vì thế mô hình bao giờ cũng “nghèo
nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả và mô hình có thể là “thô thiển và chưa hoàn
thiện”, song nó phải xét đến khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà
chúng ta quan tâm tới. Tuy nhiên không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản
hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con người sử
dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên
mô hình có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể dự báo được những
hiện tượng có thể xảy ra trong thực tiễn.
* Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tƣ duy
Mô hình ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng
cụ thể. Trong quá trình trừu tượng hóa, con người đã bỏ đi những dấu hiệu
không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối
tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng,
tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có
trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp MHH có tính chất cách
13
mạng, có tính phát triển. Như vậy, quá trình xây dựng mô hình là một quá
trình nhận thức khoa học tích cực.
* Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc
Một mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó
của vật gốc. Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng
nhiều mô hình để mô tả chúng. Tuy nhiên để lắp ráp chúng lại để có một sự
đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải là một việc đơn giản.
* Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình
không phải là cái bất biến
Phát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát
hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể,
trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước
đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó
vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn.
Trong dạy học môn Toán ở trường tiểu học, mô hình toán học là một
cấu trúc toán học (hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô
hình ảo trên máy tính điện tử,…) gồm các kí hiệu và các quan hệ toán học
biểu diễn, mô tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tượng hay một
đối tượng thực được nghiên cứu [24]. Đặc điểm quan trọng của mô hình toán
học là sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả hiện thực khách quan. Mô hình
toán học theo cách hiểu vật lí khác các mô hình trong các khoa học khác ở
chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ sử dụng ngôn ngữ chính xác để
diễn tả những quan hệ số lượng hoặc những mối quan hệ trong không gian,
từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác. Thông qua mô hình, ta có thể thao
tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật
nhưng điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối
cảnh áp dụng của mô hình đó.
14
1.2.1.2. Mô hình hóa
Ý tưởng sử dụng mô hình và MHH trong dạy học được đề xuất bởi
Aristides C. Barreto từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước, ông quan niệm:
“MHH là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết một vấn đề nào đó”.
MHH nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực
tế, tìm kiếm kiến thức toán để giải quyết, sau đó quay lại thực tế xem xét tính
hiệu quả của mô hình đã sử dụng để mô tả và phân tích và đối chứng phương
pháp giải quyết tình huống thực. Sẽ có nhiều công cụ khác nhau hữu ích đối
với mỗi tình huống, tùy thuộc vào cách phân tích tình huống đó, vì vậy đứng
trước một nhiệm vụ MHH, câu hỏi đặt ra là: kiến thức nào phù hợp để giải
quyết. Từ quan điểm này, chúng tôi nghiên cứu MHH ở hai cách tiếp cận sau:
*MHH nhƣ một phƣơng pháp dạy học
Cung cấp cho học sinh hiểu khái niệm của vấn đề; giúp học sinh đọc,
hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế, phát
triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán. Để áp dụng phương pháp này, GV
có thể lựa chọn các chủ đề thuộc bất cứ lĩnh vực nào mà học sinh quan tâm
hoặc yêu thích (dựa trên nội dung kiến thức của bài học) và thiết kế các mô
hình toán học để dạy. Chúng tôi thiết kế 7 bước dạy học với MHH đó là:
- Đưa ra vấn đề: Đưa cho cả lớp mô tả ngắn gọn về chủ đề, hướng dẫn
học sinh đặt câu hỏi về chủ đề đó.
- Đơn giản hóa vấn đề: GV lựa chọn một hoặc vài câu hỏi để phát triển
kiến thức. Có thể khuyến khích HS tìm hiểu vấn đề, đọc lịch sử nghiên cứu
hoặc phỏng vấn chuyên gia về vấn đề nghiên cứu.
- Thiết lập vấn đề: GV bắt đầu thiết lập vấn đề bằng cách đưa ra giả
thuyết, tính toán và sắp xếp dữ liệu theo cách mà HS có thể sử kiến thức toán
học trong bài để giải quyết.
- Phát triển kiến thức của bài học: GV đưa ra khái niệm, định nghĩa hay
tính chất có liên hệ chặt chẽ với vấn đề vừa giải quyết.
15
- Trình bày ví dụ tương tự: Ngay sau các bước trên, các vấn đề tương tự
được nêu ra, trình bày ứng dụng. Kích thích và hướng dẫn sử dụng các phương
tiện kĩ thuật như máy tính cầm tay, máy vi tính để thực hành trong lớp.
- Thiết lập mô hình và lời giải cho vấn đề xuất phát từ mô hình: GV đề
nghị HS quay lại vấn đề và tổng quát hóa, giải nó.
- Hiểu lời giải và cải tiến mô hình: Kết thúc giai đoạn này, HS phải đánh
giá lời giải. Điều này cho phép HS hiểu sâu hơn về kết quả đạt được.
*MHH nhƣ một phƣơng pháp nghiên cứu
Giúp HS biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào
các lĩnh vực khác. HS được làm việc theo nhóm tùy theo sở thích và thế mạnh
cá nhân. Có thể chia làm 5 giai đoạn sau đây:
- Lựa chọn chủ đề: Nhóm được tạo bởi ít nhất 4 HS và mỗi nhóm lựa
chọn một chủ đề theo sở thích. Các nhóm với sự hướng dẫn của GV, chịu
trách nhiệm về sự lựa chọn và cách thức tổ chức nhóm. GV gợi ý những dữ
liệu có thể thu nhập qua lịch sử nghiên cứu hoặc qua phỏng vấn chuyên gia.
- Làm quen với chủ đề mô hình: ở giai đoạn này HS làm quen với chủ
đề và có dữ liệu. GV hướng dẫn đặt các câu hỏi mà các em đã tổng hợp được
từ dữ liệu. Tổng hợp này cho phép các em học về chủ đề, khoảng 3 câu hỏi
gợi ý cho nhóm.
- Đơn giản vấn đề và thiết lập công thức: sau khi đơn giản vấn đề và
lựa chọn câu hỏi để trả lời, GV bắt đầu thiết lập vấn đề từ câu hỏi để giải. Khi
nhóm có kiến thức cơ bản về chủ đề, phỏng vấn chuyên gia sẽ có hiệu quả.
- Thiết kế mô hình, giải và đối chiếu: Khi vấn đề được thiết lập, nhóm
cố gắng chi tiết mô hình làm cho lời giải cụ thể hơn cho từng câu hỏi, áp dụng
lời giải để dự đoán các kết quả khác.
- Tổ chức viết báo cáo của nhóm và thuyết trình.
Từ những cách tiếp cận trên, có hai hướng khai thác mô hình hóa. Thứ
nhất, mô hình đươc sử dụng để hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn như là
16
một phương tiện để dạy và học ở trường. Thứ hai, mô hình được sử dụng để
phục vụ nghiên cứu khoa học. Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu tập trung nhiều
vào hướng khai thác thứ nhất. Barbosa [42] cho rằng mô hình đóng vai trò
quan trọng trong dạy học toán. MHH là môi trường để học sinh tìm hiểu,
khám phá các kiến thức toán học cũng như các kiến thức liên môn khác. Đây
là phương pháp tiếp cận tích cực, hướng HS làm trung tâm, kết nối với thực
tiễn và rèn luyện các kĩ năng toán học, giải quyết vấn đề, lập giả thuyết, toán
học hóa, biểu diễn bội và tư duy phê phán,…Nó là một phương tiện để phát
triển các ý tưởng toán học và giúp HS hiểu được bản chất các khái niệm toán
học.
Tóm lại, có thể nói mô hình được dùng để mô tả một tình huống thực
tiễn nào đó, mô hình toán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể
hiện nó dưới dạng ngôn ngữ toán học, trong đó mô hình hóa là quá trình tạo ra
mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề nào đó. Quá trình này tuân
theo một quy trình sử dụng các quy tắc đặc biệt để thành lập giả thuyết hay
cấu trúc toán học như; công thức, thuật toán, bảng biểu, biểu đồ, biểu tượng,...
để từ đó HS có cái nhìn rõ ràng hơn về các vấn đề tồn tại trong thực tiễn.
1.2.2. Toán học hóa và mô hình hóa toán học
1.2.2.1. Toán học hóa
Freudenthal (xem Van den Heuvel-Panhuizen, 2003) quan niệm rằng
“toán học có quan hệ mật thiết với thực tế” và “toán học là kết quả hoạt
động của con người”. Vì vậy, học toán không phải là tiếp nhận kiến thức có
sẵn mà học toán là quá trình thiết lập và giải quyết vấn đề xuất hiện từ thực tế
hay trong nội tại toán học để xây dựng lại kiến thức toán và ông gọi quá trình
đó là toán học hóa (mathematization).
Sau đó, Treffer (xem Gellert và Jablonka, 2007, [50]) đã trình bày khái
niệm này rõ ràng hơn bằng cách phân biệt hai hình thức khác nhau của toán
học hóa trong bối cảnh giáo dục:
17
- Toán học hóa theo chiều ngang: chỉ quá trình mô tả một vấn đề thực
tế theo ngôn ngữ toán học để có thể giải quyết vấn đề đó với công cụ toán.
Trong trường hợp này, toán học hóa là hoạt động chuyển đổi từ thế giới thực
vào thế giới toán học.
- Toán học hóa theo chiều dọc: là quá trình xảy ra trong thế giới toán
học. Thông qua quá trình này, học sinh đạt được một trình độ toán học cao hơn
so với trước đó.
Trong thực tế ranh giới của hai quá trình này không phải luôn luôn rõ
ràng. Sơ đồ dưới đây biểu diễn một số hoạt động có thể xuất hiện khi thực
hiện quá trình toán học hóa theo hai chiều (De Lange, 1996, [47]):
Sơ đồ 1.1. Các hoạt động của quá trình toán học hóa
Các hoạt động của toán học hóa theo chiều dọc
Phát biểu một khái niệm toán học mới
Chứng minh các quy tắc
Biểu diễn mối quan hệ toán học bởi một công thức. Sử dụng các
phương pháp giải khác nhau
Khám phá các quy luật
Khám phá các mối quan hệ , hình dung vấn đề
theo những cách khác nhau
Chuyển một vấn đề thực tế sang một mô hình toán học, nhận ra những nội dung
toán trong tình huống được cho
Các hoạt động của toán học hóa theo chiều ngang
Như vậy, theo quan điểm này, quá trình toán học hóa xảy ra không chỉ
khi giải quyết một vấn đề thực tế mà ngay cả khi giải quyết một vấn đề toán
học, nhằm khám phá các cấu trúc toán học. Các tình huống thực tế chỉ đóng
vai trò là môi trường tạo động cơ hoặc minh họa cho sự xuất hiện các kiến
thức toán. Để có thể rèn luyện cho HS khả năng vận dụng tốt các tri thức toán
18
học vào đời sống thực tiễn thì phải rèn luyện cho HS khả năng xây dựng tình
huống đó bằng ngôn ngữ toán học.
1.2.2.2. Mô hình hóa toán học
Hiện nay có rất nhiều định nghĩa mô tả khái niệm Mô hình hóa toán
học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý
thuyết mà mỗi tác giả lựa chọn.
Theo định nghĩa Mô hình hóa toán học của Singapore: “Mô hình hóa
toán học: là quá trình thành lập và cải thiện một mô hình toán học để biểu
diễn và giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn”. Thông qua Mô hình hóa
toán học, học sinh học cách lựa chọn và áp dụng một loạt các kiểu dữ liệu,
các phương pháp và công cụ toán học phù hợp trong việc giải quyết các vấn
đề thế giới thực tiễn. Cơ hội để xử lí các dữ liệu thực tế và sử dụng các công
cụ toán học để phân tích dữ liệu nên là một phần của việc học tập toán học ở
tất cả các cấp.
Theo tài liệu của Nguyễn Danh Nam [26, tr.16] về mô hình hoá toán
học: “Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống
của thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một
mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá
trình này được gọi là mô hình hoá toán học.” Một vài cấu trúc toán học cơ
bản có thể dùng để mô hình hoá là các đồ thị, phương trình (công thức) hoặc
hệ phương trình hay bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các thuật toán. Mô
hình hóa toán học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với thế giới
thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng toán, đồng thời cung cấp một bức
tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý
nghĩa hơn.
Từ những định nghĩa về mô hình hóa toán học, chúng tôi có nhận xét:
Mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang
vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ
19
bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp,
làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình
huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình
nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý. Tuy nhiên, nếu nói một
cách ngắn gọn thì mô hình hóa toán học chỉ là quá trình giải quyết những vấn
đề thực tế bằng công cụ toán học.
Lịch sử hình thành và phát triển toán học đã cho thấy toán học có
nguồn gốc từ thực tế, chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối
với các nội dung toán học. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và hoàn
thiện các lý thuyết toán học.Toán học không phải là một sản phẩm thuần túy
của trí tuệ mà được phát sinh và phát triển do nhu cầu thực tế của cuộc sống,
trở lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực tiễn phát triển
với vai trò là công cụ, toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do chính thực
tiễn đặt ra.
Một trong những lí do mà toán học luôn chiếm thời lượng lớn của
chương trình giáo dục ở hầu hết các nước trên thế giới là vì lợi ích của toán
học trong thực tiễn; toán học được áp dụng dưới nhiều cách khác nhau trong
nhiều môn học như vật lí, hóa học, sinh học, địa lí, kĩ thuật, trong công việc
và cuộc sống hằng ngày của mỗi người.
Bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng liên
quan đến toán học như khái niệm, định lí, công thức, quy tắc thì dạy toán
cần giúp học sinh phát triển kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giải quyết
những vấn đề thực tiễn. Khi sử dụng toán học để giải quyết vấn đề ngoài
lĩnh vực toán học thì mô hình toán học và quá trình toán học hóa là những
công cụ cần thiết. Đối với học sinh, MHH toán học là thực sự cần thiết vì
những lí do sau đây:
- MHH toán học cho phép HS hiểu được giữa toán học với cuộc sống
môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở
nên ý nghĩa hơn.
20
- MHH toán học trang bị cho HS khả năng sử dụng toán học như một
công cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán,
từ đó giúp HS thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế. Khả năng
sử dụng toán học vào các tình huống ngoài toán không phải là kết quả tự
động của sự thành thạo toán học thuần túy mà đòi hỏi phải có sự chuẩn bị và
rèn luyện.
- MHH toán học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện và
phong phú của toán học, giúp HS thấy được đó không chỉ là một ngành khoa
học mà còn là một phần của lịch sử văn hóa loài người.
- Các nội dung toán học có thể được hình thành củng cố bởi những ví
dụ thực tiễn, điều này giúp HS hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển
thái độ tích cực của các em đối với toán học, từ đó tạo động cơ thúc đẩy việc
học toán.
- MHH toán học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng lực
toán học của HS như suy luận, khám phá, sáng tạo và giải quyết vấn đề.
1.2.2.3. Một số quy trình mô hình hóa toán học
Có nhiều nhà nghiên cứu đã xây dựng sơ đồ quy trình mô hình hóa. Sau
đây là một số ví dụ:
1. Sơ đồ của Pollak [55]
Sơ đồ về quá trình MHH của Pollak (1979) [55] là một trong những sơ
đồ đầu tiên biểu diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả
hai chiều khi thực hiện MHH. Trong sơ đồ này ta thấy từ một mô hình trong
thực tế, người MHH thực hiện “phiên dịch” sang ngôn ngữ toán học hay tạo
ra một mô hình toán, rồi giải bài toán trong mô hình đó và áp dụng kết quả
đối với tình huống ban đầu. Chiều của các mũi tên biểu diễn một vòng lặp,
cho phép đi quanh sơ đồ giữa thế giới thực và thế giới toán học nhiều lần.
21
Sơ đồ 1.2. Quy trình mô hình hóa (Pollak, 1979, [55])
Thế giới
Thế giới
toán học
thực
2. Sơ đồ của Swetz & Hartzler (1991) [57]
Những sơ đồ phát triển sau đó đã cung cấp những hình ảnh chi tiết hơn
về quy trình MHH. MHH các tình huống thực tế trong dạy học toán sử dụng
các công cụ và ngôn ngữ toán học phổ biến như công thức, thuật toán, bảng
biểu, biểu đồ, kí hiệu,… Quá trình giải quyết vấn đề và mô hình hóa có những
đặc điểm tương tự nhau, rèn luyện cho học sinh những kĩ năng toán học cần
thiết. Do đó chúng hỗ trợ và bổ sung cho nhau. Quy trình này được xem là
khép kín vì nó được dùng để mô tả các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết
quả của nó lại được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn.
Vì thế quy trình MHH được Swetz & Hartzler (1991) mô tả gồm bốn giai đoạn
Sơ đồ 1.3. Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler 1991) [57]
Quan sát, hiểu và
xây dựng mô hình
Tình huống thực
tiễn
Mô hình toán học
Áp
dụng
Phân
tích
Hiểu và thông dịch
Kết luận,
Thông báo
Kết luận toán học
22
Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và
phát hiện các yếu tố quan trọng có tác động đến vấn đề đó;
Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng
ngôn ngữ toán học. Từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng;
Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp để
MHH bài toán và phân tích mô hình;
Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa
ra kết luận.
Tuy nhiên chúng ta có thể mô tả quy trình MHH một sự kiện nào đó
thường xảy ra với ba giai đoạn cơ bản sau đây:
Giai đoạn xây dựng mô hình, đó lá quá trình tìm “vật” đại diện thông
thường cần sự liên tưởng những vấn đề tương tự. Trong giai đoạn này, vai trò
của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng. Nhờ trí tưởng tượng và trực
giác, người ta loại bỏ những mối quan hệ thứ yếu của đối tượng nghiên cứu,
thay nó bằng một “hình mẫu” chỉ mang những tính chất, những mối quan hệ
chủ yếu. “Hình mẫu” chỉ có trong tưởng tượng và căn cứ vào đó, người ta xây
dựng mô hình thật (nếu như người đó sử dụng mô hình vật chất) hoặc liên
tưởng tới những mô hình đã sẵn có.
Giai đoạn nghiên cứu trên mô hình: Trong giai đoạn này, mô hình trở
thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người ta áp dụng các phương pháp lí
thuyết và thực nghiệm khác nhau.
Giai đoạn xử lí kết quả và điều chỉnh mô hình: Trong giai đoạn này, kết
quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu để đối
chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình.
2. Sơ đồ mô hình hóa của Blum và Lei, 2006, [44]
Trong phần lớn các sơ đồ đều tập trung vào khám phá các giai đoạn tồn
tại trong quá trình và một đại diện điển hình là sơ đồ của Blum và Lei (2006)
23
[44] gồm 7 bước để mô tả quá trình giải quyết một nhiệm vụ MHH. Sơ đồ này
được xem là cơ sở cho phần lớn các hoạt động MHH và các phiên bản khác của
sơ đồ hiện nay. Điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình
huống với tình huống thực tiễn và mô hình thực bởi Blum cho rằng đây là một
giai đoạn quan trọng của quá trình MHH mà mỗi HS ít nhiều phải trải qua.
Sơ đồ 1.4. Quy trình mô hình hóa (theo Blum và Lei, 2006, [44])
Theo sơ đồ trên, ta có thể thấy:
Bước 1: Hiểu tình huống thực tế đã cho, xây dựng một mô hình cho
tình huống đó; khám phá tình huống, thiết lập mục tiêu giải quyết tình huống.
Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa vào các biến phù hợp để được
mô hình thực của tình huống; xác định các biến trong tình huống và lựa chọn
các biến quan trọng mô tả tình huống.
Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán; thiết lập mô hình
bằng cách tạo và lựa chọn cách biểu diễn hình học, bảng biểu, thống kê, hình
vẽ, sơ đồ,… tả mối quan hệ giữa các biến số.
Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán;
phân tích và biểu thị các mối quan hệ để rút ra kết luận, nếu mô hình chưa
phù hợp cần lựa chọn lại các biến số được sử dụng để điều chỉnh mô hình.
24
Bước 5: Thể hiện (hiểu) kết quả trong ngữ cảnh thực tế.
Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hoặc thực hiện quá trình lần 2.
Bước 7: Áp dụng mô hình cho những tình huống tương tự.
Tóm lại, tuân theo quy trình và các bước cụ thể trên, HS cần xuất phát
từ tình huống thực tiễn, diễn đạt vấn đề thực tiễn bằng lời (lập giả thuyết,
công thức, phương trình,…); sau đó sử dụng công cụ toán học để giải bài toán
và hiểu ý nghĩa của lời giải bài toán trong thực tiễn. Cuối cùng, HS xem xét
lại mô hình (hoặc chấp nhận mô hình), diễn đạt lại bài toán ban đầu (hoặc
thông báo kết quả) và tìm hiểu những hạn chế và khó khăn có thể gặp phải khi
áp dụng kết quả của bài toán vào tình huống thực tiễn. Tuy nhiên, trong thực
tế dạy học, quy trình MHH ở trên luôn tuân theo một cơ chế điều chỉnh phù
hợp nhằm làm đơn giản hóa và dễ hiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông.
Cơ chế điều chỉnh này cho thấy mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các
vấn đề trong thực tiễn. Cơ chế điều chỉnh trên gồm các bước cụ thể như sau:
- Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn
đề, xác định giả thuyết trong phạm vi của vấn đề thực tế;
- Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra;
- Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giải quyết vấn đề và quá
trình MHH;
- Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợ với tình huống
thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó;
- Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mô hình đã đưa ra, sau đó cải
tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn;
- Hiểu được ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có
độ phức tạp cao hơn;
- Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng.
25
4. Quy trình MHH trong dạy học Toán
Tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tế
được xem xét, hoặc mục đích nghiên cứu,… mà chúng ta có những sơ đồ
khác nhau để chỉ ra bản chất của quá trình MHH, nhưng tất cả sơ đồ đều
nhằm minh họa các bước chính trong một quá trình lặp, bắt đầu với một tình
huống thực tế và kết thúc với việc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để đạt
được kết quả tốt hơn.
Trong quá trình sử dụng MHH ở trường học nhằm giúp HS giải quyết
vấn đề bằng cách: (i) thu thập, hiểu và phân tích các thông tin toán học; (ii) áp
dụng toán học để mô hình hóa các tình huống thực tiễn. Quy trình cần nêu rõ:
mô tả tóm tắt quá trình MHH, cung cấp cho những người mới bắt đầu MHH
các bước hướng dẫn khi đứng tước một nhiệm vụ thách thức và mơ hồ cũng
như khi gặp khó khăn trong quá trình giải quyết một tình huống thực tế; cung
cấp một công cụ giúp giáo viên lên kế hoạch dạy học MHH và dự kiến những
can thiệp, hỗ trợ khi sử dụng các tình huống thực tế trong dạy học; hướng dẫn
các quan sát và phân tích trong nghiên cứu về quá trình MHH của HS để xác
định những giai đoạn nào được thực hiện, các hoạt động nhận thức nào xảy ra,
những khó khăn nào HS gặp phải trong quá trình MHH; nhận ra các yếu tố cơ
bản của hoạt động MHH; cơ sở để lựa chọn và thiết kế các tình huống MHH
[24]. Chính vì thế, trong phạm vi nghiên cứu của luận văn, chúng tôi đã sử
dụng sơ đồ được mô phỏng theo quá trình mô hình hóa của Stillman,
Galbraith, Brown và Edwards [56] để áp dụng vào quy trình dạy học hình
thành năng lực MHH toán học cho HS lớp 4:
26
Sơ đồ 1.5. Quy trình MHH mô phỏng theo Stillman, Galbraith,
Brown, Edwards
Xây dựng mô hình
Thực tiễn
Vấn đề thực
tiễn
(1)
Mô hình
thực tế
Không
Trình bày cách
giải quyết
(5)
Có
Toán học
(2)
Mô hình toán học
(3)
(6)
Ý nghĩa của kết
quả thực tế
(4)
Công cụ
toán học
Kết quả toán
học
Hiểu tình huống trong thực tế
Để vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học toán, GV
cần giúp HS nắm được yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quá trình
MHH các bài toán:
Quy trình 1 (Toán học hóa): Bao gồm bước 1 và bước 2
Bước 1: Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả thuyết để đơn giản
hóa vấn đề, tạo ra một mô hình thực tế của tình huống.
Bước 2: Mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán
học. Tức là xây dựng mô hình toán biểu diễn trung thực cho mô hình thực tế.
Đây là quá trình chuyển các vấn đề từ thực tiễn sang toán học bằng
cách tạo ra các mô hình toán học tương ứng của chúng. Qúa trình này đòi hỏi
phải hiểu vấn đề, có thể là vấn đề mở hoặc có độ phức tạp khác nhau. Lập các
giả thuyết, đơn giản hóa vấn đề để có thể giải được bài toán. Xác định các
khái niệm toán học liên quan, biểu diễn bằng ngôn ngữ toán học và lập mô
hình toán học như bảng biểu, công thức, hình vẽ, biểu đồ,…
27
Quy trình 2 (Giải quyết vấn đề toán học):
Bước 3: Trong môi trường toán học, cần sử dụng các công cụ và
phương pháp toán học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được
toán học hóa. Yêu cầu HS lựa chọn, sử dụng các phương pháp và công cụ
toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán
học. Ở giai đoạn này, công nghệ thông tin sẽ hỗ trợ HS phân tích dữ liệu, thực
hiện tính toán phức tạp và đưa ra đáp số của bài toán.
Quy trình 3 (Thông hiểu và đối chiếu): Bước 4 và bước 5: Hiểu ý
nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán bắt
đầu), trong đó cần nhận ra được những hạn chế và khó khăn có thể áp dụng
kết quả này vào tình huống thực tiễn.
Bước 6: Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình
toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp
toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng nếu
cần. Đây là giai đoạn đòi hỏi HS có hiểu biết rõ về công cụ toán học cũng như
việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Từ đó,
xem lại các phương pháp và công cụ toán học đã sử dụng; xem lại các giả
thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của
bài toán.
Sơ đồ 1.6. Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa
trong dạy học Toán
28
Trong quá trình trên bước 1 giúp phân biệt một nhiệm vụ MHH với
một nhiệm vụ toán học khác. Ngoài ra, dựa vào sơ đồ, chúng tôi nhận thấy
rằng để giải quyết một nhiệm vụ MHH, HS sẽ phải trải qua ba giai đoạn của
một tình huống toán học được đặt ra trong ngữ cảnh thực tế từ đơn giản đến
phức tạp và nó tuân thủ theo sơ đồ sau:
Sơ đồ 1.7. Phân loại các tình huống có vấn đề
Tình huống có vấn đề
Tình huống xuất hiện trong
ngữ cảnh thực tế
Tình huống không xuất
hiện trong ngữ cảnh thực tế
Tình huống
thực tế
Tình
huống toán
học hóa
Tình
huống mô
hình toán
Hiện nay, các bài tập trong SGK Toán 4 chủ yếu là bài tập có chứa
“tình huống không đặt ra trong ngữ cảnh thực tế và tình huống mô hình toán”.
Do đó, nếu đưa MHH vào dạy học, bắt đầu với tình huống thực tế sẽ gây khó
khăn cho HS. Theo quan điểm của chúng tôi:
- Tình huống thực tế: là tình huống xuất phát từ thế giới hiện thực bên
ngoài lĩnh vực toán học, không có các đối tượng, kí hiệu, công thức toán học.
Trong tình huống này, thông tin có thể không đầy đủ, dữ liệu có thể quá nhiều
hoặc quá ít, yêu cầu đặt ra thường không rõ ràng dẫn đến có nhiều cách để
giải quyết, tùy thuộc vào khía cạnh mà HS quan tâm.
29
- Tình huống toán học hóa (tương ứng với mô hình thực tế): là tình
huống vẫn chứa đựng những yếu tố bản chất của tình huống thực tế ban đầu
nhưng đã được đơn giản hóa, lí tưởng hóa, đặc biệt hóa, thêm các điều kiện,
giả thuyết phù hợp, hạn chế những yếu tố không cần thiết cho phép người
MHH tiếp cận với một số công cụ toán học theo ý đồ của mình những vẫn
phản ảnh đúng một phần nào đó tình huống thực tế ban đầu. Nói cách khác
từ tình huống thực tế ban đầu đã được phát biểu dưới dạng một bài toán có
lời văn. Có thể xây dựng được nhiều tình huống toán học khóa khác nhau
của cùng một tình huống thực tế, tùy thuộc vào kiến thức, mục đích, quan
tâm của HS.
- Tình huống mô hình toán (tương ứng với mô hình toán học): là tình
huống thu được sau quá trình MHH toán học, bao gồm các đối tượng toán học
và mối quan hệ giữa các đối tượng đó tương ứng với các yếu tố cơ bản và mối
quan hệ của chúng trong tình huống thực tế.
Ví dụ: LY COCKTAIL
Tình huống 1 (Tình huống thực tế): Trong cuộc thi những người pha
chế cocktail giỏi, ban tổ chức chuẩn bị các ly thủy tinh có dạng như hình vẽ.
Thí sinh được yêu cầu pha nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Nếu em là
thí sinh dự thi, em sẽ làm như thế nào, tại sao?
Hình 1.1. Ly cooktail thủy tinh
30
Khi giải quyết tình huống này, học sinh cần phải xem xét nhiều yếu tố
liên quan đến tình huống thực tiễn, chẳng hạn như hình dạng hình học của
thân ly, chiều cao thân ly, kích thước miệng ly, dung tích của ly… sao cho có
thể xác định được vị trí để rót cocktail vào ly. Tuy nhiên, từ tình huống này
chúng ta có thể xây dựng các tình huống toán học hóa ở những mức độ khó
khác nhau. Hai tình huống sau được xây dựng với dự kiến những kiến thức, kĩ
năng toán mà học sinh cần sử dụng là thể tích hình nón, trong đó tình huống 3
có độ khó thấp hơn vì thông tin được cung cấp chi tiết hơn, cụ thể hơn và yêu
cầu đặt ra đơn giản hơn.
Tình huống 2 (Tình huống toán học hóa): Trong cuộc thi những người
pha chế cocktail giỏi, ban tổ chức chuẩn bị một loại ly thủy tinh có dạng hình
nón với thể tích chứa là 160 ml và độ rộng miệng ly là 10 cm. Thí sinh được
yêu cầu pha nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Nếu em là thí sinh, em
sẽ rót cocktail vào ly theo tỉ lệ nào so với chiều cao của thân ly? Giải thích.
A.
1
2
B.
2
3
C.
3
4
D.
Hình 1.2. Phần thân ly cùng với đường kính và dung tích
4
5
So với tình huống thực tế, tình huống toán học hóa mô tả thông tin chi
tiết hơn, cung cấp các số liệu phù hợp, đặt ra câu hỏi rõ ràng, giúp đem lại
nhiều thông tin khác về những gì học sinh đã học được và có thể làm được.
Mặc dù, tình huống 3 dưới đây cũng đặt trong ngữ cảnh thực tế nhưng các đối
tượng toán học (chiều cao, thể tích) đã được xác định và học sinh chỉ cần tìm
ra mối quan hệ giữa các đối tượng đó nên tình huống được phân loại là tình
huống mô hình toán.
31
Tình huống 3 (Tình huống mô hình toán) Trong cuộc thi những người
pha chế cocktail giỏi, ban tổ chức chuẩn bị một loại ly thủy tinh có dạng
hình nón như hình vẽ. Thí sinh được yêu cầu pha nửa ly cocktail loại Martini
rồi trang trí. Gọi H là chiều cao của thân ly và V là thể tích của ly. Hãy xác
định chiều cao của lượng cocktail đổ vào theo H để thể tích cocktail trong ly
bằng
V
.
2
Hình 1.3. Phần thân ly với chiều cao H và thể tích V
Như vậy, để có thể hướng đến việc sử dụng kiến thức, kĩ năng toán vào
giải quyết các vấn đề thực tế, học sinh cần được tạo điều kiện tiếp xúc với các
tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế từ mức độ đơn giản đến phức tạp, từ
tình huống mô hình toán đến tình huống toán học hóa và cuối cùng là tình
huống thực tế. Mức độ phức tạp của các tình huống đặt ra trong ngữ cảnh
thực tế sẽ tăng dần:
Mức độ 3
Tình huống thực tế
Mức độ 2
Tình huống toán học hóa
Mức độ 1
Tình huống mô hình toán
Mức độ phức tạp của các tình huống đặt ra trong ngữ cảnh thực tế
1.2.3. Năng lực mô hình hóa toán học
1.2.3.1.Khái niệm năng lực
Năng lực là một khái niệm thuộc phạm trù tâm lí học. Có rất nhiều
chuyên gia trong các lĩnh vực xã hội học, giáo dục học, triết học, tâm lý học
và kinh tế học đã cố gắng định nghĩa khái niệm năng lực. Ngày nay quan
niệm về “năng lực” vẫn còn chưa thống nhất trên phạm vi thế giới. Tuy nhiên,
32
có thể kể đến một số quan niệm phổ biến về năng lực như sau:
- Theo Tâm lí học, năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá
nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho
hoạt động đó có kết quả [31].
- Năng lực là “khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kĩ
năng, thái độ và hứng thú để hành động một cách phù hợp và có hiệu quả
trong các tình huống đa dạng của cuộc sống”(dẫn theo [18])
- Năng lực là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kĩ năng, thái
độ và vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lí vào thực hiện thành công
nhiệm vụ hoặc giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra của cuộc sống [19].
Xavier Roegiers khẳng định: Năng lực là sự tích hợp các kĩ năng tác
động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loại tình huống cho trước
để giải quyết những vấn đề do những tình huống này đặt ra [40].
Năng lực trong Chương trình GDPT tổng thể 2018 là “thuộc tính cá
nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập,
rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và
thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí… thực hiện thành
công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những
điều kiện cụ thể.”
Hướng nghiên cứu của luận văn phù hợp với quan niệm về năng lực
của Chương trình GDPT tổng thể. Hiểu theo nghĩa: Năng lực là tập hợp các
kĩ năng (các hoạt động) tác động lên các nội dung trong một tình huống có ý
nghĩa đối với HS. Ở đây, kĩ năng là một hoạt động được thực hiện trong
những điều kiện cụ thể và kĩ năng đạt được dần dần trong suốt cả cuộc đời.
Như vậy, có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực nhưng đều có sự
thống nhất như sau:
Về đặc điểm: Năng lực được hình thành và bộc lộ trong hoạt động;
33
Năng lực gắn với một hoạt động cụ thể; Năng lực chịu sự chi phối của các
yếu tố bẩm sinh di truyền, môi trường và hoạt động của bản thân.
Về mối quan hệ với tri thức, kĩ năng: Tri thức, kĩ năng là điều kiện cần
thiết để hình thành năng lực; năng lực góp phần cho quá trình lĩnh hội tri thức,
kĩ năng trong lĩnh vực hoạt động nhất định được nhanh chóng, thuận lợi, dễ
dàng; có năng lực hoạt động tức là có tri thức, kĩ năng trong lĩnh vực đó,
nhưng ngược lại, có tri thức, kĩ năng không có nghĩa là có năng lực về lĩnh
vực đó.
Những đặc điểm và mối quan hệ nói trên của năng lực đã định hướng
con đường hình thành, phát hiện và bồi dưỡng năng lực (thông qua hoạt động)
và đánh giá năng lực (qua sự vận dụng kiến thức, kĩ năng trong tình huống cụ
thể). Bởi, “năng lực của mỗi người dựa trên cơ sở tư chất, nhưng điều chủ yếu
là năng lực hình thành, phát triển và thể hiện trong hoạt động tích cực của con
người dưới sự tác động của rèn luyện, dạy học và giáo dục” [32].
1.2.3.2. Năng lực toán học
Quan niệm về năng lực toán học của HS theo nghiên cứu của V.A
Krutexki cho rằng: “Năng lực học tập toán học là đặc điểm tâm lí cá nhân
(trước hết là đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng nhu cầu hoạt động học toán
và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm
một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo
toán học” [39]. Đây là cơ sở cho định hướng phát hiện và bồi dưỡng HS giỏi
toán của Phạm Văn Hoàn [15] và Hoàng Chúng [10]. Ý tưởng này đã dược cụ
thể phần nào trong các nghiên cứu về năng lực toán học của Trần Luận [22]
và của Trần Đình Châu [8].
Cho đến nay, quan niệm năng lực toán học đã có những thay đổi, phát
triển đáng kể. Một trong những nguyên nhân quan trọng cho sự thay đổi đó là
do quan niệm về mục tiêu giáo dục toán học đã có sự điều chỉnh để phù hợp
34
hơn với yêu cầu của sự phát triển kinh tế xã hội.
Trong bối cảnh đó, Niss Mogens từ dự án nghiên cứu về năng lực toán
học tại Đan Mạch cuối thế kỉ 20, đã đưa quan niệm về năng lực toán học được
PISA lựa chọn ([53], [54]). Theo đó, PISA 2015 quan niệm: Năng lực toán
học là khả năng cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và
giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh. Nó bao gồm suy luận toán
học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, công cụ toán học để mô tả, giải
thích và dự đoán các hiện tượng. Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán
học trên thế giới và đưa ra phán đoán, quyết định của công dân biết góp ý,
tham gia và suy ngẫm” ([11], [30]). Đây cũng là quan niệm về năng lực toán
học được chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của Luận văn.
Theo OECD/PISA (dựa trên công trình của Niss (1999) và các đồng
nghiệp Đan mạch của ông) có tám năng lực Toán học đặc trưng sau đây:
Hình 1.4. Tám năng lực Toán học đặc trưng
Năng lực tư duy và suy luận toán học
Để rèn luyện năng lực này, chúng ta cần đặt có các câu hỏi đặc trưng
như (“Có hay không…?”, “Nếu như vậy, có bao nhiêu?”, “Làm thế nào chúng
ta tìm..?”); biết loại câu trả lời mà toán học có thể đáp ứng cho những câu hỏi
như vậy; 21 phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý, phỏng
đoán, giả thuyết, ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định phạm vi
35
cũng như các hạn chế của các khái niệm toán đã cho.
Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề
Năng lực đạt được qua việc: đặt, định dạng và xác định những loại khác
nhau của các vấn đề toán (ví dụ: “thuần túy toán”, “ứng dụng”, “kết thúc mở”
và “đóng”); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau theo nhiều cách. Qua
quá trình học tập trên lớp, HS sẽ phân tích được tình huống, phát hiện và nêu
được tình huống có vấn đề trong học tập, trong cuộc sống. Các em sẽ thu thập
và làm rõ các thông tin có liên quan đến vấn đề. Đề xuất và phân tích được
một số giải pháp giải quyết vấn đề, lựa chọn được giải pháp phù hợp. Ngoài
ra, HS còn đề xuất được giả thuyết khoa học khác nhau. Lập được kế hoạch
để giải quyết vấn đề đặt ra. Thực hiện kế hoạch độc lập sáng tạo hoặc hợp tác
trên cơ sở các giả thuyết đã đề ra. Môn Toán sẽ giúp các em HS thực hiện và
đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề, suy ngẫm về cách thức và tiến trình giải
quyết vấn đề để điều chỉnh và vận dụng trong bối cảnh mới
Năng lực mô hình hoá toán học
Năng lực mô hình hóa gắn liền với cấu trúc lĩnh vực hay bối cảnh được
mô hình hóa; chuyển thể “thực tế” thành các cấu trúc toán; giải thích các mô
hình toán học theo nghĩa “thực tế”; làm việc với một mô hình toán; xây dựng
mô hình thỏa đáng; phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng như các
kết quả của nó; giao tiếp về mô hình và các kết quả của nó (bao gồm hạn chế
của các kết quả như vậy); và giám sát và điều khiển quá trình mô hình hóa.
Năng lực lập luận toán học
Cần biết các chứng minh toán học là gì và chúng khác với các loại suy
luận khác như thế nào; theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán của nhiều
loại khác nhau; thu được cảm nhận về giải quyết vấn đề bằng kinh nghiệm
(“Điều có thể (không thể) xảy ra, và tại sao?); tạo nên và trình bày các lập
luận toán.
36
Năng lực giao tiếp toán học
Là sự bộc lộ mình, theo nhiều cách, về những vấn đề với một nội
dung toán, theo dạng nói cũng như dạng viết, hiểu được những mệnh đề
được nói hay viết bởi những người khác về những vấn đề như vậy.
Năng lực trình bày toán học
Liên quan đến việc giải mã, mã hóa, chuyển thể, giải thích và phân biệt
giữa các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng và bối cảnh
toán học, và những mối quan hệ bên trong giữa các biểu diễn khác nhau; chọn
và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn tùy theo bối cảnh và
mục đích.
Năng lực sử dụng các công thức, kí hiệu, các yếu tố kĩ thuật
Đó là việc giải mã và giải thích các ngôn ngữ ký hiệu và hình thức, và
hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyển thể ngôn ngữ tự
nhiên thành ngôn ngữ ký hiệu hay hình thức; xử lý các mệnh đề và biểu thức
chứa các ký hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương trình và
thực hiện các phép tính.
Năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ toán học
Là khả năng sử dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau (bao
gồm cả công cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, và
biết các hạn chế của những loại công cụ đó.
Như vậy, năng lực mô hình hóa là một năng lực quan trọng, được xác
định là một trong 4 năng lực thuộc nhóm năng lực “khả năng đặt ra và giải
đáp các vấn đề trong, với và về toán học”.
1.2.3.3. Năng lực mô hình hóa toán học
Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực MHH toán học và nó gồm
có nhiều kĩ năng thành phần. Theo Blom và Jensen [43] định nghĩa năng lực
MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH trong
37
một tình huống cho trước. Maab [52] định nghĩa năng lực MHH bao gồm các
kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình MHH nhằm đạt được mục tiêu xác
định. Như vậy có thể hiểu năng lực MHH toán học là khả năng thực hiện đầy
đủ các giai đoạn của quy trình MHH trong dạy học Toán nhằm giải quyết vấn
đề Toán học được đặt ra.
Nhiều nhà nghiên cứu đã thiết kế hệ thống các tình huống và bài tập mô
hình hóa dành cho các đối tượng trung học cơ sở, trung học phổ thông để xác
định những kĩ năng mà HS cần đạt được để giải quyết tình huống thực tiễn
dựa theo quy trình MHH. Từ đó, các nghiên cứu đã chỉ ra các kĩ năng thành
phần của năng lực MHH toán học đó là:
(1) Đơn giản giả thuyết (2) Làm rõ mục tiêu (3) Thiết lập vấn đề
(4) Xác định biến, tham số, hằng số (5) Thiết lập mệnh đề toán học
(6) Lựa chọn mô hình (7) Biểu diễn mô hình thích hợp (8) Liên hệ lại
vấn đề trong thực tiễn.
1.2.3.4. Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh
Theo quan điểm của Triết học, Phát triển là: phạm trù triết học chỉ ra
tính chất của những biến đổi đang diễn ra trong thế giới. Phát triển là một
thuộc tính của vật chất. Mọi sự vật và hiện tượng của hiện thực không tồn tại
trong trạng thái khác nhau từ khi xuất hiện đến lúc tiêu vong,… nguồn gốc
của phát triển là sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập.
Trong dạy học, “Phát triển” là “rèn luyện” những tri thức cập nhật
trên cơ sở những cái đã có để củng cố, mở mang, phát triển thêm, có giá trị
làm tăng hệ thống những tri thức, kĩ năng, làm giàu vốn hiểu biết, nâng cao
hiệu quả học tập.
Định hướng đổi mới dạy học trong giai đoạn hiện nay là: “Chuyển
mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn
diện năng lực và phẩm chất người học” (Nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày
38
04/11/2013). Từ quan điểm hoạt động trong giáo dục, Nguyễn Bá Kim khẳng
định: “Năng lực có thể và chỉ có thể được hình thành, phát triển và biểu hiện
trong hoạt động và bằng hoạt động của chính người học” [20]. Như vậy, để
phát triển một năng lực cụ thể cho người học, cần tạo ra cho HS những tình
huống học tập mà ở đó, HS phải thể hiện mức độ thành thạo của các kĩ năng
khi tiến hành các hoạt động đặc thù của năng lực đó.
Trên cơ sở mối quan hệ mật thiết giữa năng lực và hoạt động, có thể
xác định bản chất của việc bồi dưỡng năng lực toán học cho HS là nhằm nâng
cao hiệu quả học tập, hoàn thiện một quá trình dạy học. Nói một cách khái
quát, phát triển năng lực toán học cho HS là quá trình tổ chức, rèn luyện cho
HS vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học để thực hiện các hoạt động học tập
tương thích với thành tố và các biểu hiện đặc trưng của từng năng lực.
Trên cơ sở của rèn rèn luyện năng lực toán học và năng lực MHH toán
học, ta có thể khẳng định rằng: “Phát triển năng lực MHH toán học là quá
trình tổ chức cho HS vận dụng kiến thức, kĩ năng và các phẩm chất cần thiết
cho hoạt động MHH toán học để thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình
MHH nhằm giải quyết các vấn đề toán học đặt ra.”
1.3. Nội dung số học trong môn Toán lớp 4
Trong chương trình toán học cấp tiểu học hiện hành, nội dung số học
trong môn Toán 4 bao gồm:
1.3.1. Mục tiêu
- Biết đọc, viết, so sánh các số đến lớp triệu. Biết đọc, viết phân số, so
sánh các phân số có cùng mẫu số
- Học thuộc lòng các bảng tính và biết thực hiện các phép tính cộng, trừ
các số có đến 5 hoặc 6 chữ số, biết thực hiện phép nhân số có 4 chữ số với số
có 2 hoặc 3 chữ số, biết thực hiện các phép tính chia (chia hết và chia có dư)
số có 4 hoặc 5 chữ số cho số có 2 hoặc 3 chữ số. Biết tính nhẩm trong những
39
trường hợp đặc biệt và đơn giản.
- Học thuộc lòng các quy tắc về thứ tự thực hiện các phép tính trong
biểu thức số và biết tính giá trị của biểu thức số không quá 3 phép tính.
Biết vận dụng một số tính chất của phép cộng và phép nhân để tính một
cách hợp lí.
1.3.2. Nội dung
*Số tự nhiên. Các phép tính về số tự nhiên
- Lớp triệu. Đọc, viết, so sánh các số đến lớp triệu. Giới thiệu lớp tỉ.
- Tổng kết về số tự nhiên và hệ thập phân.
- Phép cộng và phép trừ các số có đến 5 hoặc 6 chữ số, không nhớ và có
nhớ tới 3 lần. Tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng các số tự nhiên.
- Phép nhân các số có nhiều chữ số với số có không quá 3 chữ số, tích
có không quá 6 chữ số. Tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân các số
tự nhiên, tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng.
- Phép chia các số có nhiêu chữ số cho số có không quá 3 chữ số,
thương có không quá 4 chữ số.
- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 9
- Giới thiệu bước đầu về cách sử dụng máy tính bỏ túi.
- Giới thiệu cách ghi số bằng chữ số La Mã (trường hợp đơn giản
thường gặp)
*Phân số. Các phép tính về phân số
- Giới thiệu khái niệm ban đầu về phân số đơn giản; đọc, viết, so sánh
các phân số, phân số bằng nhau. Giới thiệu về hỗn số.
- Phép cộng, phép từ hai phân số có cùng hoặc không có cùng mẫu số
(trường hợp đơn giản, mẫu số của tổng hoặc hiệu không quá 100).
Giới thiệu về tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng các phân số.
- Giới thiệu quy tắc nhân phân số với phân số, nhân phân số với số tự
40
nhiên (trường hợp đơn giản, mẫu số của tích không có quá 2 chữ số).
Giới thiệu về tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân các phân số.
Giới thiệu nhân một tổng hai phân số với một phân số.
- Giới thiệu quy tắc chia phân số cho phân số, chia phân số cho số tự
nhiên khác 0.
- Thực hành tính: Tính nhẩm về cộng, trừ hai phân số có cùng mẫu số,
tử số của tổng hoặc hiệu có không quá hai chữ số, phép tính không có nhớ.
Tính nhẩm về nhân phân số với phân số hoặc với số tự nhiên, tử số và mẫu
của tích có không quá 2 chữ số. phép tính không có nhớ.
Tính giá trị các biểu thức có không quá 3 dấu phép tính với các phân số
đơn giản (mẫu số chung của kết quả tính có không quá 2 chữ số).
*Tỉ số
- Giới thiệu khái niệm ban đầu về tỉ số.
- Giới thiệu các bài toán: tìm hai số khi biết tổng hoặc hiệu và tỉ số của
chúng.
- Giới thiệu bước đầu và sơ giản về đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ
lệ nghịch.
1.4. Đặc điểm nhận thức của học sinh lớp 4
Hệ thần kinh đang trong thời kì phát triển mạnh
Đến chín, mười tuổi hệ thần kinh căn bản được hoàn thiện và chất
lượng của nó sẽ được giữ lại trong suốt cuộc đời. Trong thời kì này các em sẽ
có những đặc điểm tâm lý như khả năng kìm hãm (khả năng ức chế) của hệ
thần kinh còn yếu, dễ bị kích thích. Tri giác mang tính đại thể, toàn bộ, ít đi
sâu vào chi tiết, mang tính không chủ động, gắn với hành động và với hoạt
động thực tiễn. Tuy vậy HS cũng bắt đầu có khả năng phân tích tách dấu hiệu,
chi tiết nhỏ của một đối tượng cụ thể.
41
Khả năng chú ý có chủ định, bền vững, tập trung cao
Do thiếu khả năng tổng hợp nên sự chú ý chưa bền vững, hay bị phân
tán nhất là đối với các đối tượng ít thay đổi, dễ bị lôi cuốn vào cái trực quan,
gợi cảm. Đồng thời do trường chú ý hẹp nên HS tiểu học không biết tổ chức
sự chú ý, sự chú ý thường hướng ra bên ngoài vào các hoạt động chứ chưa
hướng vào bên trong, vào hoạt động trí tuệ. Chẳng hạn, trong giờ học mà GV
sử dụng đồ dùng trực quan mới mẻ, bất ngờ, rực rỡ, khác thường thì sẽ làm
cho các em thích thú, chăm chú vào những đồ vật đó mà quên mất rằng đồ vật
đó chỉ có tính minh họa cho bài học, cái các em cần nắm bắt là những kiến
thức trong bài học chứ không phải nhận biết các đồ vật rực rỡ nhiều màu sắc
đó. Tuy nhiên với HS cuối cấp tiểu học khả năng chú ý có chủ định, bền
vững, tập trung là rất cao ngay cả khi với động cơ xa (không phải học chỉ để
được điểm cao, để được cô giáo khen, để được bố mẹ thưởng,..).
Trí nhớ tuy đã phát triển nhưng còn chịu nhiều tác động từ hứng
thú và các hình mẫu tác động mạnh
Nhiều HS còn chưa biết tổ chức việc ghi nhớ có ý nghĩa mà có khuynh
hướng phát triển trí nhớ máy móc. Trí nhớ trực quan - hình tượng và trí nhớ
máy móc phát triển hơn trí nhớ lôgic, trí nhớ hình ảnh phát triển hơn trí nhớ
ngôn ngữ. Điều này do những nguyên nhân như HS chưa hiểu cụ thể cần phải
ghi nhớ cái gì, trong bao lâu, vốn ngôn ngữ còn hạn chế, chưa biết sử dụng sơ
đồ logic và dựa vào các điểm tựa để ghi nhớ, chưa biết xây dựng dàn ý tài liệu
cần ghi nhớ,... Tuy nhiên theo các thực nghiệm về trí nhớ của HS tiểu học cho
thấy trí nhớ của HS ở các lớp cuối cấp đã dần mang tính chủ định, bền vững,
logic và có ý nghĩa. Nó tương ứng với yêu cầu nhận thức các khái niệm, các
công thức, quy tắc mang tính trừu tượng cao ở các lớp cuối cấp. Tưởng tượng
của HS tiểu học đã phát triển phong phú. Tuy vậy, tưởng tượng của HS đầu
cấp vẫn còn tản mạn, ít có tổ chức, hình ảnh của tưởng tượng còn đơn giản,
42
hay thay đổi, chưa bền vững. Ví dụ các em HS lớp 1, 2 vẽ người có tay to hơn
chân; vẽ về một người nhưng lúc vẽ thế này, lúc vẽ thế khác; vẽ con mèo lại
trông giống ra con chó, vẽ con chó lại giống con mèo,... Càng về những năm
cuối cấp học, tưởng tượng của các em càng gần hiện thực hơn. Sở dĩ có như
vậy là vì các em đã có vốn kiến thức và kinh nghiệm khá phong phú. Về mặt
cấu tạo hình tượng, tưởng tượng các em chỉ lặp lại hoặc thay đổi chút ít về
kích thước, về hình dạng những tưởng tượng đã được tri giác. Ở cuối cấp, HS
đã có khả năng nhào nặn, gọt giũa những hình tượng cũ để sáng tạo ra những
hình tượng mới, đã biết dựa vào ngôn ngữ để xây dựng hình tượng mang tính
khái quát và trừu tượng cao. Chẳng hạn, HS đã biết sáng tác tiếp câu chuyện
vừa nghe kể, viết một bài văn về chú bộ đội, về bác sĩ, sáng tác bài toán dựa
vào số liệu đã cho, hay từ một bài toán cụ thể để sáng tác những bài toán
tương tự,... Điều này chứng tỏ HS cuối cấp tiểu học đã biết tưởng tượng sáng
tạo, một trong những yếu tố cơ bản, cần thiết của tư duy.
Khả năng phân tích - tổng hợp, trừu tượng hóa - khái quát hóa
trong tư duy có sự phát triển vượt bậc
Trong Tâm lý học nhận thức, Piaget đã đưa ra thuyết hoạt động hóa
nhằm mô tả các cấu trúc lôgic khác nhau có tính kế thừa trong quá trình phát
triển trí tuệ của con người từ khi sinh ra tới tuổi trưởng thành. Ông cho rằng
tư duy của HS hình thành và phát triển liên tục theo từng giai đoạn cụ thể.
Theo ông, ở giai đoạn từ 0 đến 2 tuổi, trẻ chỉ sử dụng công cụ TD là tri giác
và động tác có khả năng biểu hiện. Đó là thời kì trí tuệ cảm giác - vận động
tiền ngôn ngữ. Từ 2 tuổi đến khoảng 7 tuổi là khởi đầu cho một thời kì mới. Ở
giai đoạn này, các em có tư duy mang chức năng tượng trưng (kí hiệu),
chuyển từ trí tuệ cảm giác - vận động sang trí tuệ biểu tượng. Có nghĩa là các
em nhận thức đối tượng chủ yếu và trực tiếp thông qua các giác quan. Như
vậy tư duy của các em đã chuyển từ tiền hoạt động sang thời kì hoạt động cụ
43
thể, từ tiền thao tác sang thao tác. Sở dĩ có nhận định như vậy bởi HS trong
giai đoạn mẫu giáo và đầu tiểu học tư duy chủ yếu diễn ra trong trường hành
động. Tức những hành động trên đồ vật và hành động tri giác (phối hợp hoạt
động của các giác quan). Thực chất của loại tư duy này là các em tiến hành
các hành động để phân tích, so sánh, đối chiếu các sự vật. Trong giai đoạn
tiếp theo (thường là HS từ lớp 3, lớp 4), các em đã chuyển được các hành
động phân tích, khái quát, so sánh từ bên ngoài thành các thao tác trí óc bên
trong, mặc dù tiến hành các thao tác này vẫn phải dựa vào các hành động đối
với đối tượng thực, chưa thoát ly khỏi chúng. Đồng thời tư duy của các em
hình thành tính thuận - nghịch. Ở thời kì này, biểu hiện rõ nhất của bước phát
triển trong tư duy của các em là đã hình thành các hoạt động tinh thần, xuất
hiện sự phân loại, chia loại. HS đã có khả năng đảo ngược các hình ảnh tri
giác, khả năng bảo tồn sự vật khi có sự thay đổi các hình ảnh tri giác về
chúng. Nhưng những khả năng mới cũng chỉ trong trường hoạt động hạn chế
vì vẫn phải bám giữ trên đối tượng cụ thể (đồ vật, sự vật, hiện tượng). Từ lớp
4 trở đi, tư duy của HS đã chuyển dần sang hoạt động hình thức hay còn gọi
là hoạt động giả thuyết - suy diễn, không còn bám giữ vào đối tượng (đồ vật,
hiện tượng) cụ thể, mà căn cứ vào “giả thuyết”. Thời kì tư duy hình thức phát
triển ở tuổi thiếu niên (vị thành niên). Các thao tác tư duy như phân tích - tổng
hợp, khái quát - trừu tượng hóa còn sơ đẳng ở các lớp đầu cấp tiểu học, chủ
yếu chỉ tiến hành hoạt động phân tích - trực quan - hành động khi tri giác trực
tiếp đối tượng. Nhưng trong quá trình học tập ở các lớp trên thì khả năng phân
tích - tổng hợp, trừu tượng hóa - khái quát hóa trong tư duy của các em có sự
phát triển vượt bậc. HS lớp 4 trở đi có thể phân tích đối tượng mà không cần
tới những hành động thực tiễn đối với đối tượng đó. Các em có khả năng phân
biệt những dấu hiệu, những khía cạnh khác nhau của đối tượng dưới dạng
ngôn ngữ. Như vậy, theo thời gian, hoạt động tư duy của HS tiểu học có nhiều
44
biến đổi cơ bản. Tư duy của HS tiểu học đã tương đối phát triển, chủ yếu là ở
cuối cấp. Qua mỗi năm học ở nhà trường tiểu học, khả năng tư duy trừu
tượng, tư duy logic và tư duy sáng tạo của HS được hình thành và phát triển
dần từ thấp đến cao. Sự thay đổi mối quan hệ giữa tư duy hình tượng, trực
quan cụ thể sang tư duy trừu tượng, khái quát chiếm ưu thế và là đặc điểm
mới, nổi bật về hoạt động tư duy của HS cuối cấp tiểu học.
Từ những đặc điểm của quá trình nhận thức của học sinh lớp 4, chúng
tôi cho rằng việc đưa kĩ năng rèn luyện MHH toán học cho học sinh lớp 4 là
phù hợp về đặc điểm tâm sinh lí, lứa tuổi HS.
1.5. Kết luận chƣơng 1
Chương 1 đã trình bày khá cụ thể về MHH toán học, năng lực MHH
toán học, quy trình MHH toán học. Mỗi chủ đề đều gồm định nghĩa khái
niệm, đưa ra các mối quan hệ giữa khái niệm đó với khái niệm khác giúp làm
rõ hơn bản chất của khái niệm, đồng thời giới thiệu sơ lược lịch sử cùng với
các kết quả nghiên cứu liên quan để mô tả phần nào xu hướng phát triển của
chủ đề này trong nghiên cứu toán học hiện nay. Hiện nay có nhiều quan điểm
về quy trình MHH toán học nhưng chúng tôi quan tâm đến quan điểm của
Stillman (2008) - quy trình phục vụ nhiều mục đích dạy học và nghiên cứu.
Cũng trong chương này, chúng tôi trình bày nội dung số học lớp 4 và
đặc điểm tâm sinh lí của học sinh lớp 4 phù hợp cho việc phát triển năng lực
MHH. Luận văn cũng đề cập vấn đề liên quan đến chương trình, mối liên hệ
giữa toán học và thực tiễn. Đây là cơ sở quan trọng để khảo sát tình hình
thực trạng rèn luyện năng lực MHH toán học cho học sinh thông qua dạy học
số học lớp 4 trong chương 2.
45
Chƣơng 2
THỰC TRẠNG RÈN LUYỆN NĂNG LỰC
MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY
HỌC SỐ HỌC LỚP 4
2.1. Khái quát về quá trình khảo sát thực trạng
2.1.1. Mục đích khảo sát
Tìm hiểu thực trạng rèn luyện năng lực MHH toán học và năng lực
MHH toán học của HS trong dạy và học nội dung số học lớp 4.
2.1.2. Nội dung khảo sát
Tìm hiểu mức độ phù hợp của năng lực MHH toán học trong SGK. Tìm
hiểu khả năng hiểu, sử dụng mô hình của HS trong giải quyết các vấn đề toán
học và thực tiễn; việc tổ chức các hoạt động MHH trong dạy học toán; việc
rèn luyện năng lực MHH toán học trong dạy học số học cho HS lớp 4.
2.1.3. Địa bàn, thời gian, đối tượng khảo sát
Khảo sát GV và HS lớp 4, cụ thể: 78 GV của 3 trường Tiểu học thuộc
địa bàn thành phố Vinh: Trường Tiểu học Nghi Phú 1, trường Tiểu học Nghi
Ân, trường Tiểu học Hưng Dũng 2; 468 HS lớp 4 các trường: Trường Tiểu
học Nghi Phú 1, trường Tiểu học Nghi Ân, trường Tiểu học Hưng Dũng 2.
Thời gian: Từ tháng 9/2018 đến tháng 5/2019
2.1.4. Phương pháp khảo sát
- Phương pháp điều tra bằng phiếu hỏi, phương pháp đàm thoại, phỏng
vấn đối với GV, HS trường Tiểu học.
- Phương pháp quan sát qua việc dự giờ môn Toán ở trường Tiểu học.
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: phân tích, phiếu học tập, bài tập
kiểm tra của HS.
- Phương pháp xử lí số liệu: phương pháp tính tỉ lệ phần trăm.
46
2.2. Nghiên cứu thực trạng rèn luyện năng lực mô hình hóa cho học
sinh thông qua dạy học số học lớp 4
2.2.1. Khảo sát nội dung toán học thực tiễn sử dụng kiến thức số học
trong chương trình sách giáo khoa Toán 4
*Số tự nhiên. Các phép tính về số tự nhiên
TT
1.
2.
Tên bài
Ôn tập các số đến 100000 (tiếp
theo). Bài 5
Ôn tập các số đến 100000 (tiếp
theo). Bài 5
Dạng bài
Số trang
Giải toán có lời văn
5
Giải toán có lời văn
5
3.
Triệu và lớp triệu. Bài 4
Giải toán có lời văn
15
4.
Luyện tập. Bài 3
Giải toán có lời văn
17
5.
Luyện tập. Bài 4
Sử dụng lược đồ
18
6.
Trung bình cộng. Bài toán 1, 2
Giải toán có lời văn
26, 27
7.
Phép trừ. Bài 3
Giải toán có lời văn
40
8.
Luyện tập. Bài 4
Giải toán có lời văn
41
Giải toán có lời văn
45
Giải toán có lời văn
46
Giải toán có lời văn
47
12. Luyện tập. Bài 2, 3, 4, 5
Giải toán có lời văn
48
13. Phép nhân. Bài 4
Giải toán có lời văn
57
Giải toán có lời văn
61
Giải toán có lời văn
62
9.
Tính chất kết hợp của phép công.
Bài 2
10. Luyện tập. Bài 4
11.
14.
15.
Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của
2 số đó. Bài 1, 2, 3
Tính chất kết hợp của phép nhân.
Bài 3
Nhân với số có tận cùng là chữ số
0. Bài 3
47
16. Nhân một số với một hiệu. Bài 3
Giải toán có lời văn
68
17. Luyện tập. Bài 3, 4, 5
Giải toán có lời văn
70
Giải toán có lời văn
71
19. Luyện tập. Bài 4
Giải toán có lời văn
74
20. Phép chia. Bài 3
Giải toán có lời văn
76
21. Chia một số cho một tích. Bài 3
Giải toán có lời văn
79
Giải toán có lời văn
82
23. Luyện tập. Bài 2
Giải toán có lời văn
84
24. Thương có chữ số 0. Bài 2
Giải toán có lời văn
85
25. Luyện tập. Bài 2
Giải toán có lời văn
87
Dạng bài
Số trang
18.
22.
Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ
số với 11. Bài 3, 4
Chia cho số có hai chữ số (tiếp).
Bài 2
*Phân số. Các phép tính về phân số
TT
Tên bài
26. Phân số và phép chia số tự nhiên. Giải toán có lời văn
Bài toán a
27. Phân số và phép chia số tự nhiên. Giải toán có lời văn
Ví dụ 1, 2
108
109
28. So sánh phân số khác mẫu số. Bài 3 Giải toán có lời văn
122
29. Phép trừ phân số. Bài 3
Giải toán có lời văn
129
30. Luyện tập. Bài 5
Giải toán có lời văn
131
Dạng bài
Số trang
31. Giới thiệu tỉ số. Bài 4
Giải toán có lời văn
147
32. Luyện tập. Bài 1
Giải toán có lời văn
149
33. Luyện tập chung. Bài 4
Giải toán có lời văn
152
*Tỉ số
TT
Tên bài
48
Nhận xét: Qua bảng số liệu thống kê trên, chúng tôi có nhận xét sau
- Chương trình Toán 4 có trình bày một vài câu hỏi tình huống, đem
đến cho học sinh kiến thức sát thực tế và có sự liên môn. Ví dụ trích từ bài 3
SGK Toán 4 tr.70 “Tim của người khỏe mạnh bình thường mỗi phút đập
khoảng 75 lần. Hãy tính số lần đập của người đó trong 24 giờ?”. Qua bài
này, HS được rèn luyện khả năng nhân với số có 2 chữ số và còn được biết
thêm thông tin: tim người khỏe mạnh đập 75 lần trong 1 phút. Hay khi luyện
tập về phép trừ trong phạm vi 100000, bài 4 SGK Toán tr.41 đã đưa ra như
sau: “Núi Phan-xi-păng (ở tỉnh Lào Cai) cao 3143 m. Núi Tây Côn Lĩnh (ở
tỉnh Hà Giang) cao 2428m. Hỏi núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu mét?”
Bài toán đã lấy ví dụ thực tế về chiều cao của hai ngọn núi ở Việt Nam để HS
so sánh và làm phép toán trừ để biết phần hơn kém…
- Hầu như kiến thức thực tế chỉ thể hiện qua các bài toán giải có lời văn
đã được toán học hóa hoặc mô hình hóa. Các bài toán trong bảng thống kê
phần lớn là bài toán giải có lời văn. Sách giáo khoa viết chung cho cả nước
nên dữ liệu chỉ đơn thuần đã toán học hóa, chỉ giữ lại những bản chất của toán
học và sự phù hợp với thực tế chung. Ví dụ bài 3 SGK tr.61: “Có 8 phòng
học, mỗi phòng học có 15 bộ bàn ghế, mỗi bộ bàn ghế có 2 học sinh đang
ngồi học. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh đang ngồi học?”. Dữ kiện đề bài
được lấy từ một trường thực tế nào đó ở nông thôn, dựa trên tiêu chuẩn 1
phòng học có 15 đến 18 bộ bàn ghế, 1 bộ bàn ghế thì nên có 2 em ngồi. Thay
vì có dữ kiện như trên, một vấn đề thực tiễn ban đầu có thể là: “Trường Tiểu
học Nghi Phú 1 có 8 phòng học, mỗi phòng học chỉ xếp được 15 bộ bàn ghế,
mỗi bộ bàn ghế có 2 học sinh đang ngồi học. Hỏi trường có tất cả bao nhiêu
em học sinh?”
- Sách giáo khoa đang nặng về trình bày nội dung theo dạng bài mà
chưa có định hướng cụ thể theo mô hình toán học. Phần trình bày lí thuyết
còn hàn lâm, chủ yếu viết cho người dạy và phải nhờ đến sự hỗ trợ của sách
49
giáo viên, rất ít người học tự học và tự hiểu được. Hình ảnh minh họa cho các
bước truyền đạt kiến thức rất ít, hầu như không có, chỉ nặng về diễn đạt bằng
lời và kí hiệu toán học. Bài tập được phân theo dạng toán mà tên bài đã định
sẵn. Ví dụ tên bài: “Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó hay Tìm hai số
khi biết tổng hoặc hiệu và tỉ số của hai số đó” thì GV sẽ hướng dẫn cho HS
cách làm bài tập là vẽ sơ đồ. HS thụ động tiếp nhận rập khuôn theo lối mòn
kiến thức và không phát triển được khả năng tư duy mở rộng. Vì vậy, các
công trình nghiên cứu về những khó khăn, sai lầm của HS khi học các dạng
toán ra đời. Nhận thức được vấn đề này, chúng ta nên đề xuất một quy trình
rèn luyện mà trong đó một mô hình toán học có thể áp dụng nhiều dạng toán
khác nhau.
2.2.2. Thực trạng nhận thức của giáo viên về việc rèn luyện năng lực
mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung số học và dạy học Toán theo
hướng tăng cường liên hệ thực tiễn cho học sinh lớp 4
Thông qua phiếu điều tra dành cho GV (xem phần phụ lục 1), chúng tôi
đã tiến hành trao đổi, điều tra 78 GV dạy văn hóa thuộc các trường Tiểu học
Nghi Phú I, Tiểu học Nghi Ân, Tiểu học Hưng Dũng 2. Đối với mỗi câu hỏi ý
kiến GV sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy chọn theo mức độ đồng ý của bản
thân. Sau khi thu lại các phiếu, chúng tôi tính điểm trung bình cho mỗi câu
hỏi và kết quả thu được thể hiện theo các bảng dưới đây:
(1) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên quan tâm đến việc
dạy học số học theo hướng tăng cường hoạt động rèn luyện MHH toán học:
Bảng 2.1.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thƣờng xuyên quan tâm đến
việc dạy học số học theo hƣớng tăng cƣờng hoạt động rèn luyện
MHH toán học
Trường Tiểu
Số GV
Thường
Không bao
Thỉnh thoảng
học
(người)
xuyên
giờ
Nghi Phú 1
16
10
6
0
Nghi Ân
22
14
8
0
Hưng Dũng 2
40
32
8
0
50
Bảng 2.1.b. Kết quả đánh giá về mức độ thƣờng xuyên quan tâm đến dạy
học số học theo hƣớng tăng cƣờng hoạt động rèn luyện MHH toán học
Mức độ
Thường xuyên
Thỉnh thoảng
Không bao giờ
Giá trị phần trăm
71.79
28.21
0
Dựa vào thống kê trên chúng ta có thể thấy rằng các GV đều quan tâm
đến việc dạy học số học theo hướng tăng cường rèn luyện MHH toán học. Có
nhiều GV thường xuyên quan tâm đến vấn đề này.
(2) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên tìm hiểu những
ứng dụng của MHH toán học trong dạy học số học
Bảng 2.2.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thƣờng xuyên tìm hiểu
những ứng dụng của MHH toán học trong dạy học số học
Trường Tiểu
Số GV
Thường
học
(người)
xuyên
Nghi Phú 1
16
8
2
6
Nghi Ân
22
18
4
0
Hưng Dũng 2
40
32
5
3
Thỉnh thoảng
Không bao
giờ
Bảng 2.2.b. Kết quả đánh giá về mức độ thƣờng xuyên tìm hiểu những
ứng dụng của MHH toán học trong dạy học số học
Mức độ
Thường xuyên
Thỉnh thoảng
Không bao giờ
Giá trị phần trăm
74.36
14.1
11.24
Dựa vào thống kê trên ta có thể thấy GV đã chú trọng tìm hiểu những
ứng dụng của mô hình hóa toán học trong dạy học số học. Sự tìm hiểu này
được diễn ra thường xuyên nhưng vẫn có đến 11,24% chưa thường xuyên
tìm hiểu.
51
(3) Thống kê ý kiến của GV về tầm quan trọng của việc đưa mô hình
toán học vào dạy học số học
Bảng 2.3.a. Thống kê ý kiến của GV về tầm quan trọng của việc
đƣa mô hình toán học vào dạy học số học
Trường Tiểu
học
Số GV
(người)
Rất quan
trọng
Quan trọng
Không
quan trọng
Nghi Phú 1
16
10
4
2
Nghi Ân
22
12
5
5
Hưng Dũng 2
40
33
5
2
Bảng 2.3.b. Kết quả đánh giá của GV về tầm quan trọng của việc
đƣa mô hình toán học vào dạy học số học
Mức độ
Rất quan trọng
Quan trọng
Không quan
trọng
Giá trị phần trăm
70.51
17.95
11.54
(4) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên đưa mô hình toán
học vào dạy học số học
Bảng 2.4.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thƣờng xuyên
đƣa mô hình toán học vào dạy học số học
Trường Tiểu
học
Số GV
(người)
Rất
thường
xuyên
Thường
xuyên
Thỉnh
thoảng
Không
bao giờ
Nghi Phú 1
16
3
8
2
3
Nghi Ân
22
3
10
7
2
Hưng Dũng 2
40
4
20
11
5
Bảng 2.4.b. Kết quả đánh giá của GV về mức độ thƣờng xuyên đƣa mô
hình toán học vào dạy học số học
Mức độ
Rất thường
xuyên
Thường
xuyên
Thỉnh thoảng
Không bao
giờ
Giá trị phần
trăm
12.82
48.72
25.64
12.82
52
Dựa vào thống kê trên ta thấy hầu hết các GV đều nhận định việc đưa
mô hình toán học là quan trọng. GV cũng chú ý đến việc đưa mô hình toán
học vào dạy học toán. Tuy nhiên mức độ thường xuyên chưa cao, vẫn có
nhiều GV không bao giờ đưa mô hình toán học vào dạy học.
(5) Thống kê về mức độ thường xuyên hướng dẫn HS giải quyết những
tình huống thực tế ngoài SGK:
Bảng 2.5.a. Thống kê về mức độ thƣờng xuyên hƣớng dẫn HS giải quyết
những tình huống thực tế ngoài SGK
Trường Tiểu
Số GV
học
(người)
Nghi Phú 1
16
Nghi Ân
22
Hưng Dũng
2
40
Rất
Thường
Thỉnh
Không
xuyên
thoảng
bao giờ
2
2
1
11
6
6
4
6
thường
xuyên
6
7
5
22
Bảng 2.5.b. Kết quả đánh giá về mức độ thƣờng xuyên hƣớng dẫn HS
giải quyết những tình huống thực tế ngoài SGK
Mức độ
Giá trị phần
trăm
Rất thường
Thường
xuyên
xuyên
17.95
19.23
Thỉnh thoảng
12.82
Không bao
giờ
50
Dựa vào thống kê trên ta thấy có đến 50 % GV không thường xuyên
cho HS giải những tình huống thực tế ngoài SGK. Điều này có thể lí giải do
việc tự tìm hiểu về những ứng dụng thực tế của toán học còn ít.
53
(6) Thống kê tầm quan trọng của việc tăng cường các câu hỏi có nội
dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán:
Thống kê tầm quan trọng của việc tăng cường các câu hỏi có nội dung
thực tiễn vào kiểm tra môn Toán:
Bảng 2.6.a. Thống kê tầm quan trọng của việc tăng cƣờng các câu hỏi
có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán
Trường Tiểu
Số GV
Rất quan
Không quan
Quan trọng
học
(người)
trọng
trọng
Nghi Phú 1
16
6
5
4
Nghi Ân
22
12
10
0
Hưng Dũng 2
40
20
20
0
Bảng 2.6.b. Kết quả đánh giá tầm quan trọng của việc tăng cƣờng các
câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán
Không quan
Mức độ
Rất quan trọng
Quan trọng
trọng
Giá trị phần trăm
48.72
44.87
6.41
Dựa vào các thống kê trên, ta thấy hầu như các GV đều đồng ý với
quan điểm tăng cường câu hỏi thực tiễn vào kiểm tra môn Toán. Dưới đây là
bảng thống kê ý kiến của GV về việc đưa tình huống thực tiễn vào giảng dạy
(7) Thống kê mức độ đưa các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm
tra môn Toán:
Bảng 2.7.a. Thống kê mức độ đƣa các câu hỏi có nội dung thực tiễn
vào kiểm tra môn Toán
Trường Tiểu Số GV Rất thường Thường
Thỉnh
Không
học
(người)
xuyên
xuyên
thoảng
bao giờ
Nghi Phú 1
16
1
2
8
5
Nghi Ân
22
2
4
13
3
Hưng Dũng 2
40
2
7
24
7
Bảng 2.7.b. Kết quả đánh giá mức độ đƣa các câu hỏi có nội dung thực
tiễn vào kiểm tra môn Toán
Rất thường
Thường
Thỉnh
Không bao
Mức độ
xuyên
xuyên
thoảng
giờ
Giá trị phần trăm
6.41
16.67
57.69
19.23
54
(8) Bảng thống kê về ý kiến của GV trong dạy học
Bảng 2.8. Thống kê về ý kiến của GV trong dạy học
Khó khăn
Thuận lợi
1. Có cơ sở vật chất tốt, HS giỏi
1. Hình thức đánh giá thi cử có vận
2. Ban giám hiệu quan tâm, tạo dụng vào tình huống thực tiễn rất ít.
điều kiện cho nghiên cứu.
2. Việc chọn nội dung, những câu hỏi,
3. Có giờ ngoại khóa và có thời tình huống thực tiễn là khó, đặc biệt là
gian tổ chức hoạt động cho HS.
4. GV có nhu cầu đưa thực tiễn
vào giảng dạy.
5. Có sự hỗ trợ của máy tính và
phần mềm hỗ trợ dạy học.
số học.
3. Nội dung kiến thức không có nhiều
ví dụ, mô hình thực tiễn rõ ràng.
4. Khả năng liên hệ kiến thức toán học
vào thực tiễn còn hạn chế.
5. Bản thân trong quá trình đào tạo tại
các trường sư phạm ít khi được học tập
một cách hệ thống về phương pháp khai
thác, vận dụng kiến thức toán học vào
thực tế
Về việc tìm hiểu ứng dụng toán học trong thực tế: Hầu hết những GV
đều có quan tâm đến việc khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán
và điều này được thể hiện ở những cấp độ sau:
- Một số ít quan tâm và chủ động tìm hiểu để ứng dụng toán học vào
thực tế.
- Số còn lại quan tâm nhưng không chủ động tìm hiểu mà chủ yếu sử
dụng các bài tập có sẵn trong SGK, sách bài tập.
Về khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán: Qua trao đổi
với những GV trên thì gần 100% các thầy cô đều cho rằng nếu tăng cường
khai thác các tình huống thực tế vào dạy học và sử dụng mô hình toán học thì
55
có thể làm cho HS tích cực hơn trong việc học môn Toán. Nhiều GV cũng
quan tâm đến việc dạy học theo hướng tăng cường mối liên hệ toán học với
thực tiễn nhưng sự quan tâm này chỉ dừng lại ở cấp độ thấp và mức độ chưa
thường xuyên. Chính tư tưởng này cùng với các đề thi không có bài tập có
liên quan đến thực tiễn nên dẫn đến việc dạy học có lồng ghép các mô hình
toán bị xem nhẹ, thậm chí bỏ qua. Tuy nhiên, qua quá trình khảo sát chúng tôi
nhận được thông tin phản hồi rằng: việc dạy học theo hướng tăng cường mối
liên hệ toán học với thực tiễn cần được lãnh đạo quan tâm, HS giỏi, cơ sở vật
chất tốt… và sự quan tâm và điều kiện tùy thuộc vào điều kiện của từng
trường. Chẳng hạn, những thuận lợi này thể hiện rõ nét nhất ở trường Tiểu
học Hưng Dũng 2 nhưng ở trường Tiểu học Nghi Phú 1 và Tiểu học Nghi Ân
thì khó khăn hơn.
(9) Bảng tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học mô hình hóa của GV
Bảng 2.9. Bảng tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học MHH của GV
TT
Thành tố của năng lực tổ chức dạy học
MHH
1.
Các mức độ
Tốt
Khá
Trung
bình
Năng lực liên hệ kiến thức toán học với
những vấn đề trong thực tiễn
32.05
38.46
29.49
2.
Năng lực xây dựng và phát triển một bài
toán nảy sinh từ tình huống thực tế
19.23
29.49
51.28
3.
Năng lực sử dụng công nghệ thông tin
trong MHH các bài toán thực tiễn
28.21
32.05
39.74
4.
Năng lực hướng dẫn HS giải bài toán có
nội dung thực tiễn
38.46
32.05
29.49
5.
Năng lực hướng dẫn HS xây dựng bài toán
có nội dung thực tiễn
19.23
46.15
36.42
6. Năng lực đánh giá năng lực học sinh
39.74
46.15
14.11
7. Năng lực dạy học theo dự án
15.38
19.23
65.42
56
Về khả năng MHH toán học các bài toán thực tiễn: Hầu như GV đều
đánh giá cao những hoạt động MHH trong dạy học môn Toán. Tuy nhiên việc
tìm hiểu, khai thác tình huống thực tế vào dạy học và sử dụng MHH còn
nhiều khó khăn và hạn chế. Có hơn 50% số GV được khảo sát cho rằng họ có
năng lực hướng dẫn cho HS giải quyết những tình huống thực tế ngoài SGK.
Thật vậy, việc tìm ra các tình huống liên quan đến thực tiễn hoặc các mô hình
toán học để minh họa cho bài giảng đòi hỏi GV phải có sự tìm tòi, suy nghĩ
tích cực và mất nhiều thời gian trong khi sự am hiểu các lĩnh vực của cuộc
sống của nhiều GV còn hạn chế và thực trạng “thi gì, học nấy” vẫn còn tồn
tại. Do đó, năng lực MHH của GV còn hạn chế, đặc biệt là năng lực thành lập
và biểu diễn các mô hình toán học nhằm làm sáng tỏ các vấn đề trong thực
tiễn cuộc sống. Năng lực sử dụng công nghệ thông tin trong MHH còn rất ít,
hoạt động thực hành theo dự án còn hạn chế nên năng lực này rất kém. Chính
vì vậy, những kết quả nghiên cứu của luận văn sẽ góp phần khắc phục được
những khó khăn và hạn chế nói trên, góp phần đưa ý tưởng toán học gắn liền
với thực tiễn trong nhà trường Tiểu học.
2.2.3. Thực trạng năng lực mô hình hóa toán học của học sinh lớp 4
Thông qua phiếu điều tra dành cho HS (xem phần phụ lục 2), chúng tôi
đã tiến hành điều tra 468 HS ở lớp 4 của các trường Tiểu học Nghi Phú 1,
trường Tiểu học Nghi Ân, trường Tiểu học Hưng Dũng 2. Đối với mỗi câu
hỏi trong phiếu HS sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy theo mức độ đồng ý của
bản thân. Sau khi thu lại các phiếu chúng tôi sẽ tính điểm trung bình cho mỗi
câu hỏi và kết quả thu được như sau:
(1) Thống kê về mong muốn của HS được biết thêm những kiến thức
ứng dụng của thực tiễn toán học:
57
Bảng 2.10.a. Thống kê về mong muốn của HS đƣợc biết thêm những kiến
thức ứng dụng của thực tiễn toán học
Trường Tiểu
Số HS
học
(người)
Nghi Phú 1
Không
Rất muốn
Bình thường
86
56
30
0
Nghi Ân
178
154
24
0
Hưng Dũng 2
204
190
14
0
muốn
Bảng 2.10.b. Kết quả đánh giá mong muốn của HS đƣợc biết thêm những
kiến thức ứng dụng của thực tiễn toán học
Mức độ
Rất muốn
Bình thường
Không muốn
Giá trị phần trăm
85.47
14.53
0
(2) Thống kê của HS về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những ứng
dụng trong thực tiễn của toán học:
Bảng 2.11.a. Thống kê của HS về mức độ thƣờng xuyên tự tìm hiểu
những ứng dụng trong thực tiễn của toán học
Rất
Trường Tiểu
Số HS
Thường
Thỉnh
Không bao
học
(người)
xuyên
thoảng
giờ
Nghi Phú 1
86
6
12
25
43
Nghi Ân
178
12
25
65
76
Hưng Dũng 2
204
14
28
79
83
thường
xuyên
Bảng 2.11.b. Kết quả đánh giá mức độ thƣờng xuyên tự tìm hiểu những
ứng dụng trong thực tiễn của toán học
Mức độ
Giá trị phần trăm
Rất thường
Thường
Thỉnh
Không bao
xuyên
xuyên
thoảng
giờ
6.83
13.89
36.14
43.14
58
Dựa vào thống kê trên, chúng ta thấy phần lớn HS đều muốn biết
những ứng dụng của toán học vào thực tiễn nhưng ngược lại hầu hết các em
đều không thường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn
của toán học. Việc HS không thường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng
trong thực tiễn của toán học có thể do các nguyên nhân sau:
- Toán là môn học trừu tượng, để nắm được một vấn đề các em phải
dành một lượng thời gian không nhỏ, điều này dẫn tới việc các em ít quan tâm
tới vấn đề khác của toán học.
- Các em chưa biết tìm hiểu bằng cách nào và ở đâu.
- Do tính sự bị động của HS, luôn trông chờ vào GV hay còn do
phương pháp dạy học của GV ảnh hưởng đến cách học của HS.
(3) Thống kê đánh giá của HS về mức độ thường xuyên giảng giải mối
liên hệ toán học với thực tiễn của GV:
Bảng 2.12.a. Thống kê đánh giá của HS về mức độ thƣờng xuyên
giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV
Trường Tiểu
Số HS
học
(người)
Nghi Phú 1
86
Nghi Ân
Hưng Dũng 2
Rất
Thường
Thỉnh
Không bao
xuyên
thoảng
giờ
13
34
20
19
178
22
92
55
9
204
50
99
50
5
thường
xuyên
Bảng 2.12.b. Kết quả đánh giá của HS về mức độ thƣờng xuyên giảng
giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV
Mức độ
Giá trị phần
trăm
Rất thường
Thường
Thỉnh
Không bao
xuyên
xuyên
thoảng
giờ
18.16
48.08
26.71
7.05
59
Dựa vào thống kê trên chúng ta thấy GV đã có những sự quan tâm nhất
định đến việc giảng giải về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn nhưng sự
quan tâm này còn dừng lại ở cấp độ thấp, mức độ chưa thường xuyên.
(4) Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa toán học và các môn
học khác:
Bảng 2.13.a. Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa toán học
và các môn học khác
Trường Tiểu
Số HS
học
(người)
Nghi Phú 1
Không liên
Mật thiết
Bình thường
86
83
3
0
Nghi Ân
178
147
31
0
Hưng Dũng 2
204
150
54
0
quan
Bảng 2.13.b. Kết quả đánh giá ý kiến của HS về mối liên hệ
giữa toán học và các môn học khác
Mức độ
Mật thiết
Bình thường
Không liên quan
Giá trị phần trăm
81.2
18.8
0
(5) Thống kê ý kiến của HS về tầm quan trọng của toán học:
Bảng 2.14.a. Thống kê ý kiến của HS về tầm quan trọng của toán học
Trường Tiểu
Số HS
học
(người)
Nghi Phú 1
Không
Quan trọng
Bình thường
86
62
24
0
Nghi Ân
178
160
18
0
Hưng Dũng 2
204
178
26
0
quan trọng
Bảng 2.14.b. Kết quả đánh giá ý kiến của HS về tầm quan trọng
của toán học
Mức độ
Quan trọng
Bình thường
Giá trị phần trăm
85.47
14.53
Không quan
trọng
0
60
(6) Thống kê ý kiến HS về mức độ khô khan của môn toán
Bảng 2.15.a. Thống kê ý kiến HS về mức độ khô khan của môn toán
Trường Tiểu
học
Số HS
(người)
Khô khan
Bình thường
Ý kiến
khác
Nghi Phú 1
86
58
28
0
Nghi Ân
178
160
18
0
Hưng Dũng 2
204
185
19
0
Bảng 2.15.b. Kết quả đánh giá ý kiến HS về mức độ khô khan của môn toán
Mức độ
Khô khan
Bình thường
Ý kiến khác
Giá trị phần trăm
86.11
13.89
0
(7) Bảng tự đánh giá khả năng của HS khi học toán thực tiễn
Bảng 2.16. Tự đánh giá khả năng của HS khi học toán thực tiễn
STT
Các biểu hiện
Tỉ lệ
1.
HS không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay
viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề.
26.71
2.
HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và
đơn giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một
ý tưởng toán học nào.
18.37
3.
Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật qua
cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi
thành một vấn đề toán học.
15.82
4.
HS có thể làm việc với bài toán với kiến thức toán học có
sẵn theo dạng và có kết quả cụ thể.
33.12
5.
HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm
nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống
đã cho.
5.98
Dựa vào thống kê trên chúng ta thấy đại đa số HS đều đánh giá môn
Toán là môn học khô khan. Đặc biệt, thông qua phỏng vấn HS, ta thống kê
được một số khó khăn các em gặp phải trong quá trình học môn Toán như sau:
61
- Khó hiểu, nhiều công thức số học phải ghi nhớ (lớp 4), không thực tế,
nhiều lí thuyết.
- Dễ nản lòng bởi các bài toán khó.
- Môn số học trừu tượng, rất ít mô hình trực quan.
- Không thấy có ứng dụng gì trong thực tế, không áp dụng được cho
cuộc sống hằng ngày.
- Chương trình học nặng, khó tiếp thu.
- GV ít đổi mới phương pháp, vẫn thiên về dạy lí thuyết và giải bài tập.
- Học nhiều kiến thức khó mà lại ít áp dụng vào cuộc sống.
- Học không thực tiễn, quá nhiều và thừa thãi, tốn nhiều thời gian học
vô ích, không có sự đầu tư vào các hoạt động ngoại khóa, chương trình dạy
lỗi thời, không có hứng thú.
- Vì không thấy mối liên hệ với thực tiễn nên thấy môn Toán rất khó và
cũng không muốn học nhiều.
- Chỉ quen giải các bài tập áp dụng theo dạng đã có sẵn.
Trên đây là những tâm sự về khó khăn các em gặp phải trong quá trình
học môn Toán. Khó khăn này không chỉ dừng lại ở mức độ trừu tượng của
toán học, hay sự quá tải của chương trình mà nó còn bao gồm cả nhu cầu
muốn được biết mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn không được thỏa mãn.
Đại đa số HS muốn biết những mô hình toán học trong thực tiễn nhưng các
em đều không thường xuyên tự mình tìm hiểu điều này. Đặc biệt để giải quyết
các bài tập có liên quan đến xây dựng mô hình toán học đòi hỏi HS phải có
những kiến thức, kĩ năng và sự hiểu biết nhất định về chính các tình huống
thực tiễn trong mô hình đó. Để giải quyết những khó khăn này, các em HS đã
đưa ra một vài mong muốn của mình trong quá trình học môn này, các em HS
đã đưa ra một vài mong muốn của mình trong quá trình học môn Toán lớp 4
như sau: Được ứng dụng những gì mình học vào thực tế cuộc sống; Được
62
giảng về mối quan hệ giữa lí thuyết và ứng dụng kĩ càng hơn; Có nhiều ví dụ
sinh động hơn từ thực tế, có thêm nhiều liên hệ với thực tiễn; Giảm bớt kiến
thức, thêm bài tập thực tế; Có thêm nhiều hình vẽ, mô hình, ứng dụng trong
các giờ học; Môi trường học tập thật sự tập trung, im lặng.
Thông qua điều tra ta cũng thấy được nhu cầu muốn biết mối liên hệ
giữa toán học và thực tiễn của HS là rất lớn. Việc không được thỏa mãn nhu
cầu này cũng là một rào cản để các em có sự yêu thích với môn Toán.
2.3. Đánh giá chung thực trạng
Dạy học mô hình hóa toán học là một quy trình phức tạp và đầy thách
thức. Nghiên cứu lí thuyết và thực hành dạy học đã chỉ ra những khó khăn
thường gặp của HS như: Không có động lực để học Toán, không đủ thời gian
giải quyết, hay thiếu kĩ năng làm bài, thiếu công cụ, phương tiện mô hình hóa
bài toán. Ngoài những khó khăn thường gặp trên thì HS còn vấp phải nhiều
biểu hiện cụ thể trong quy trình mô hình hóa Toán học. Thứ nhất là vấn đề
hiểu tình huống: HS không thể tự nhận ra hết những thông tin quan trọng của
tình huống cần để chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học và thường bị chi phối
bởi những hình ảnh minh họa. Điều này dẫn đến xây dựng mô hình toán học
chưa phù hợp. Thứ hai là vấn đề toán học hóa: HS khó khăn trong trong việc
đơn giản bài toán, xử lí điều kiện bài toán, chuyển bài toán sang ngôn ngữ
toán học. Thứ ba là vấn đề giải bài toán: HS quên kiến thức cũ, không linh
hoạt trong tìm phương pháp giải, quen giải theo dạng, khả năng liên tưởng
còn hạn chế. Thứ tư là kinh nghiệm thực tiễn của HS: MHH gồm việc chuyển
đổi giữa toán học và thực tiễn đều rất cần thiết. Tuy nhiên HS thường thiếu
kiến thức thực tiễn, khả năng liên hệ kiến thức liên môn còn yếu. Cuối cùng là
vấn đề đối chiếu thực tế: HS chỉ quan tâm đến kết quả toán tìm được mà
không quan tâm việc trả lời cho kết quả tình huống; mối quan hệ giữa kết quả
và yếu tố đã cho.
63
Quy trình MHH rất linh hoạt và có thể điều khiển được bởi người GV
hơn là học tập theo phương pháp truyền thống. MHH rất có ích cho dạy học
Toán ở tiểu học nhưng GV lại gặp không ít khó khăn. Thứ nhất là lựa chọn
một vấn đề ngoài toán học để ủy thác cho HS không phải dễ: Bài toán liên hệ
với thực tế có độ khó cao, chương trình SGK hàn lâm. Vì vậy, cần một tình
huống thực tiễn thật sự hay biến đổi đến mức nào thì phù hợp trong việc giảng
dạy. Thứ hai là năng lực xây dựng và phát triển một bài toán nảy sinh từ tình
huống thực tế còn hạn chế: GV khó xây dựng hoặc lựa chọn mô hình toán
học; HS thường không thích thử phương pháp mới. Thứ ba là nội dung kiến
thức trong sách giáo khoa nhiều với các bài toán thực tế chỉ mang tính lí
thuyết, ít thực hành, không có trong nội dung thi: Thông thường nếu không có
trong nội dung thi sẽ không được thực hiện nghiêm túc bởi GV và HS (theo
bảng 8). Dạy học MHH đòi hỏi GV cần nhiều thời gian để hướng dẫn HS so
với dạy học truyền thống. Cuối cùng là hiểu biết xã hội, kinh nghiệm sống và
kiến thức liên môn của GV còn hạn chế: Không chỉ HS mà GV cũng không
hiểu hoặc hiểu không hết về MHH. Ngoài ra kinh nghiệm giảng dạy các bài
toán liên hệ còn ít, kĩ năng sử dụng công nghệ thông tin trong MHH còn hạn
chế, tài liệu tham khảo ít nên dạy học MHH vẫn chưa phổ biến.
2.4. Kết luận chƣơng 2
Nhận thức về dạy học MHH Toán học trong dạy học nội dung số học
lớp 4 được HS và GV Tiểu học quan tâm. Qua khảo sát, chúng tôi thấy rằng
GV hiểu được tầm quan trọng và vai trò của dạy học MHH toán học và HS
cũng có hứng thú đối với những bài toán thực tiễn. Tuy nhiên, nghiên cứu
cho thấy cả GV và HS đều rất mơ hồ khi thực hiện các bước của quy trình
MHH toán học và gặp nhiều khó khăn khách quan và chủ quan.
Để khắc phục những khó khăn của GV và HS, chúng ta cần rèn luyện
năng lực MHH toán học thông qua các quy trình cụ thể, rõ ràng ở chương
kế tiếp.
64
Chƣơng 3
QUY TRÌNH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4
3.1. Nguyên tắc xây dựng quy trình phát triển năng lực mô hình
hóa toán học
3.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học của toán học và sự phù
hợp với mục tiêu, nội dung, chuẩn kiến thức kĩ năng Toán 4
Các mô hình được thiết kế phải đảm bảo tính khoa học, tính chính xác
của toán học và mô tả được các tình huống trong thực tiễn. HS sử dụng các
phương pháp toán học để giải bài toán, từ đó đối chiếu kết quả với thực tế để
điều chỉnh mô hình toán học cho phù hợp.
Môn Toán có khả năng to lớn phát triển trí tuệ của HS thông qua rèn
luyện các thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái
quát hóa và cụ thể hóa), năng lực lĩnh hội các khái niệm trừu tượng, năng lực
suy luận và logic. MHH được sử dụng trong môn Toán lớp 4 vừa là nội dung
cần dạy cho HS vừa là công cụ, phương tiện quan trọng và chủ yếu để phát
triển tư duy, hình thành phẩm chất trí tuệ cho HS. Do đó việc Phát triển năng
lực mô hình hóa toán học cho HS vừa là mục tiêu, vừa là định hướng xây
dựng quy trình phát triển cho HS lớp 4.
3.1.2. Nguyên tắc 2: Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn
Toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng
trong không gian của thế giới khách quan. Toán học có ứng dụng to lớn trong
thực tiễn cũng như trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là
điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất. Việc vận dụng toán học
vào thực tiễn thực chất là vận dụng toán học vào giải quyết một tình huống
thực tế, tức là dùng những công cụ toán học thích hợp để tác động, nghiên
cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa biết nào đó, dựa vào một
65
số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp những yếu tố
trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đề ra.
3.1.3. Nguyên tắc 3: Chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề
HS phân tích những cái đã cho, những mối quan hệ ràng buộc, và mục
tiêu. Lập giả thuyết, lập kế hoạch tìm kiếm lời giải hơn là thử ngay kết quả
của nó. Xét các bài toán tương tự, cố gắng đơn giản hóa bài toán ban đầu để
có thể tìm hiểu sâu và dễ dàng đi tìm kết quả. Kiểm soát và đánh giá quá trình
và thay đổi giả thuyết nếu thấy cần thiết. Phụ thuộc vào ngữ cảnh tình huống
thực tế, thay đổi biểu thức đại số, thay đổi biểu diễn của mô hình, giải thích
tương ứng giữa các phương trình, mô tả bằng lời, bảng biểu, đồ thị hoặc biểu
đồ, sơ đồ của những đặc trưng, tính chất quan trọng, mối quan hệ, biểu diễn
số liệu, xu hướng. Phụ thuộc vào các đối tượng hoặc hình ảnh cụ thể để giải
bài toán. Kiểm tra câu trả lời sử dụng các phương pháp khác nhau, hiểu được
ưu thế của từng phương pháp. Thông qua MHH, HS được phát triển các kĩ
năng giải quyết vấn đề, đặc biệt là những vấn đề trong thực tiễn.
3.1.4. Nguyên tắc 4: Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức
Tính khả thi của hoạt động MHH và hệ thống bài tập có nội dung thực
tiễn được hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được).
Điều này phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: Chương trình, SGK, kế hoạch dạy
học và quỹ thời gian thực hiện, trình độ nhận thức chung của HS, khả năng và
trình độ thực hiện của GV, sự tương hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa
đựng trong các tình huống,... Vì vậy, các hoạt động và hệ thống các bài tập
MHH cần phải được tinh lọc một cách thận trọng, vừa mức về số lượng và
mức độ. Các hoạt động và bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp
xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Việc HS tự mình giải quyết
được một bài toán có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngược lại, việc thất bại
ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm cho HS mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất
66
lợi cho quá trình tổ chức hoạt động tiếp theo. Do đó, trong khi thiết kế các
quy trình MHH, GV cần chú ý đến các các cấp độ nhận thức của HS, cụ thể:
- Cấp độ 0: HS không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay
viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề.
- Cấp độ 1: HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không biết cấu
trúc và đơn giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý
tưởng toán học nào.
- Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật
qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn
đề toán học.
- Cấp độ 3: HS có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch
nó thành vấn đề toán học, nhưng không thể giải quyết vấn đề này bằng công
cụ toán học.
- Cấp độ 4: HS có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn
và làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể.
- Cấp độ 5: HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm
nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho.
Tùy từng đối tượng HS mà GV giao nhiệm vụ ở những cấp độ phù hợp,
vừa sức, đảm bảo đúng trình độ của HS nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt
động MHH vấn đề thực tiễn trong dạy
3.2. Quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học
sinh thông qua dạy học số học lớp 4
3.2.1. Quy trình 1: Rèn luyện năng lực chuyển đổi từ tình huống
thực tế sang tình huống toán học
3.2.1.1. Mục tiêu của quy trình
- Giao tiếp với toán học: Đọc và làm rõ ý nghĩa lời văn, đối tượng, hình
ảnh, câu hỏi, nhiệm vụ,… để hiểu tình huống.
67
- Phân tích và xây dựng mô hình toán học: Nhận ra các biến số và
cấu trúc toán học ẩn phía sau tình huống. Xây dựng mô hình toán học của
tình huống.
- Mô hình hóa: Mô hình thông tin thực tế một cách toán học.
- Suy luận: Dùng suy luận để hiểu đúng các mối quan hệ của tình huống.
- Giải quyết vấn đề: Lựa chọn một phương pháp để trình bày lại tình
huống thực tế một cách toán học.
- Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán: Sử
dụng các kí hiệu, ngôn ngữ toán học phù hợp để biểu diễn tình huống.
3.2.1.2. Cơ sở khoa học của quy trình
Quy trình này tác động lên bước đầu nhận thức vấn đề của HS hay nói
cách khác quy trình giúp HS giải quyết các tình huống chứa đựng các vấn đề.
HS cần trang bị khả năng nhận biết được nội dung toán học chứa đựng trong
tình huống đó và các kiến thức, kĩ năng toán học mà HS cần sử dụng để thiết
lập mô hình toán học.
3.2.1.3. Cách thực hiện quy trình
Bước 1: Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm
toán học và xác định các kiến thức toán học có liên quan.
- Nhận ra các biến trong tình huống và biểu diễn các đặc điểm cần thiết.
- Thu thập các dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình
huống, những dữ liệu này sẽ gợi ý loại mô hình phù hợp cho tình huống.
- Các kĩ năng và chiến lược tư duy: thiết lập trình tự, vẽ tranh, đơn giản
bài toán, sơ đồ, phát biểu lại bài toán, mô phỏng (làm thực nghiệm trực tiếp
trên vật thật: que tăm, ống hút, thẻ, sợi dây, nước, cát, bút chì, giấy…).
Bước 2: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán chứa mô hình đại diện
trung thực cho hoàn cảnh thực tế
- Đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa vấn đề.
68
- Đưa ra giả thuyết phù hợp, tổng quát, hình thức hóa.
3.2.1.4. Ví dụ
Ví dụ 1. “Giá sách” (Trích từ tài liệu PISA). Sau khi học xong bài
toán chia hết, GV có thể đƣa ra bài toán
Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận sau: 4 tấm
gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 12 cái kẹp nhỏ, 2 cái kẹp lớn và 14 cái ốc vít.
Người thợ mộc đang có 26 tấm gỗ dài, 33 tấm gỗ ngắn, 200 kẹp nhỏ,
20 kẹp lớn, 510 cái ốc vít. Câu hỏi: Người thợ mộc có thể làm được nhiều
nhất là bao nhiêu cái giá sách?
Vấn đề thực tiễn đặt ra là tìm số giá sách người thợ mộc có thể làm
được. Câu hỏi được đặt trong bối cảnh thế giới thực và sự thực tế này là xác
thực tuy nhiên ít phức tạp hơn so với hầu hết các vấn đề thực tế do hầu như
không có thông tin không liên quan hoặc dư thừa được đưa ra.
Bước 1: Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm
toán học và xác định các kiến thức toán học có liên quan. (bằng lời và bảng)
Một cái giá sách cần số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc
vít theo thứ tự là: 4, 6, 12, 2 và 14, Theo đề bài số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn,
kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là: 26, 33, 200, 20, 510.
GV có thể hướng dẫn HS tóm tắt theo bảng sau:
Tên vật liệu
Cho biết
Số tấm
Số tấm
Số kẹp Số kẹp
gỗ dài
gỗ ngắn
nhỏ
lớn
4
6
12
2
14
26
33
200
20
510
Số ốc vít
Vật liệu cần thiết để
làm một cái giá
sách
Vật liệu đang có
Yêu cầu
Tìm số cái giá sách người thợ có thể làm được nhiều nhất từ vật
liệu đã có?
69
Bước 2: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho
hoàn cảnh thực tế.
Học sinh sẽ có mô hình toán học của bài toán thực tế trên thực chất là
đi tìm k là số tự nhiên lớn nhất (k khác 0) đồng thời thỏa mãn các điều kiện: 4
lần k nhỏ hơn hoặc bằng 26; 6 lần k nhỏ hơn hoặc bằng 33; 12 lần k nhỏ hơn
hoặc bằng 200; 2 lần k nhỏ hơn hoặc bằng 20; 14 lần k nhỏ hơn hoặc
bằng 510
Như vậy qua 2 bước của quy trình, từ một vấn đề thực tế, chúng ta đã
toán học hóa thành một bài toán sử dụng dạng chia hết.
Ví dụ 2 (Trích tài liệu Toán tài năng [33])
Một con chó đuổi con thỏ ở cách xa nó 17 bước của chó. Con thỏ ở
cách hang của nó 80 bước của thỏ. Khi thỏ chạy được 3 bước thì chó chạy
được 1 bước. Một bước của chó bằng tám bước của thỏ. Hỏi chó có bắt được
thỏ không?
Vấn đề thực tiễn đặt ra là “Chó có bắt được thỏ hay không?”
Bước 1: Chuyển về vấn đề đơn giản hơn
Chó cách thỏ: 17 bước của chó
Thỏ cách hang: 80 bước của thỏ
Thỏ chạy được 3 bước thì chó chạy được 1 bước (Thỏ đã chạy trước
chó)
70
1 bước của chó = 8 bước thỏ nên 10 bước chó = 80 bước thỏ
Chó có bắt được thỏ hay không?
Bước 2:
Muốn biết chó có bắt được thỏ hay không thì phải so sánh số bước
chạy để đến hang thỏ giữa 2 con: “ chó chạy tính bằng bước thỏ” và “thỏ”.
Nếu số bước của chó chạy tính bằng bước thỏ nhỏ hơn số bước của thỏ chạy
tức là chó không đuổi kịp thỏ và ngược lại. Tức là quy về bài toán “Rút về
cùng đơn vị”.
Cách 1: Có thể phát biểu lại bài toán theo “bước của chó” như sau: Một
con chó đuổi con thỏ ở cách xa nó 27 bước của chó. Con thỏ ở cách hang của
nó 80 bước của thỏ. Khi thỏ chạy được 3 bước thì chó chạy được 1 bước. Hỏi
chó có bắt được thỏ không?
Với định hướng này thì bài toán giải như sau:
80 bước của thỏ bằng số bước của chó là:
80 : 8 = 10 (bước)
Nếu chó chạy đến hang thỏ thì thỏ đã chạy được số bước là:
27 3= 81 (bước)
Vì 81 > 80 tức là thỏ đã chạy vào hang được một bước rồi. Do đó, chó
không bắt được thỏ.
Cách 2: Bài toán trên có thể trình bày lại bằng cách đưa về “bước của
thỏ”
Chó cách thỏ: 17 bước của chó
1 bước của chó = 8 bước thỏ
Chó cách thỏ số bước của thỏ là:
17 × 8= 156 (bước)
Có thể phát biểu lại bài toán theo “bước của thỏ” và trong đó ta sẽ gọi
đơn giản là bước như sau: Một con chó đuổi bắt một con thỏ ở cách nó 156
71
bước. Biết rằng, thỏ còn cách hang của nó 80 bước. Hỏi chó có bắt được thỏ
hay không nếu thỏ chạy được 1 bước thì chó chạy được 3 bước?
Ví dụ 3: (Trích tài liệu Toán tài năng [34])
Trong phong trào làm đẹp trường lớp, một tổ học sinh tham gia quét
vôi hai bức tường, diện tích bức tường này gấp đôi diện tích bức tường kia.
Sau nửa ngày, cả tổ quét vôi ở bức tường lớn được một phần thì chia làm hai:
một nửa tổ ở lại quét nốt bức tường lớn và làm hết ngày mới xong, nửa tổ kia
sang quét vôi ở bức tường nhỏ và khi làm hết ngày vẫn còn để lại một mảng
tường mà một người phải quét cả ngày hôm sau mới xong. Hỏi tổ học sinh có
mấy người (năng suất mỗi người như nhau và không thay đổi)?
Bước 1: Chuyển về vấn đề đơn giản hơn
Đặt trong tình huống làm công việc: Có 1 số học sinh quét 2 bức tường
lớn và tường bé trong khoảng thời gian nhất định và yêu cầu “tìm số học sinh
trong tổ?”
Bức tường lớn = 2 × bức tường bé (Slớn= 2 × Sbé : tường bé 1 phần thì
tường lớn sẽ là 2 phần tương ứng.)
Bức tường lớn: Sau nửa ngày, cả tổ quét được một phần thì chia làm
hai:
1
tổ ở lại quét nốt và làm hết ngày mới xong => Trong cùng nửa ngày,
2
72
cả tổ làm được số phần gấp 2 lần
1
tổ làm. Nói cách khác: Tường lớn sẽ
2
được chia thành: 2× 3= 6 phần và tường bé sẽ là 3 phần như thế. Vậy số phần
công việc
1
tổ làm là: 2 phần.
2
Bức tường nhỏ: Nửa tổ kia quét bức tường nhỏ và khi hết ngày vẫn
còn một mảng tường mà một người phải quét cả ngày hôm sau mới xong.
Bước 2: Đưa về bài toán chia phần như sau:
Cả tổ
tổ
Tường lớn
Tường nhỏ
tổ
Hỏi tổ đó có bao nhiêu người?
Ví dụ 4: (Trích tài liệu Toán tài năng [33])
Văn phòng phẩm dùng chung của lớp 4A gồm: giấy A0, bút dạ và hộp
màu vẽ. Biết rằng cứ 5 tờ A0 thì dùng hết 1 hộp màu và khi 3 hộp màu được
sử dụng hết cũng là lúc lớp dùng hết 7 bút dạ. Trong 1 tháng, lớp 4A dùng hết
30 tờ giấy A0. Tìm số bút dạ và hộp mực màu tương ứng?
Để toán học hóa bài toán này, ta làm như sau:
Bước 1: Nhận ra và biểu diễn các biến trong tình huống
Cần xác định được yếu tố cần tìm: số tờ giấy, hộp màu và bút dạ dùng
trong 1 tháng và mối quan hệ đã cho giữa chúng: “cứ 5 tờ A0 thì dùng hết 1
hộp màu và khi 3 hộp màu được sử dụng hết cũng là lúc lớp dùng hết 7 bút
dạ” và tìm cách biểu thị mối quan hệ giữa các yếu tố đó.
Phát biểu lại bài toán dưới dạng mô hình toán học
73
: giấy
: mực
: bút
Hình 1
Hình 2
Bước 2: Phiên dịch ra ngôn ngữ viết:
5 cuộn giấy hết : 1 hộp màu
3 hộp màu: 7 bút dạ
30 cuộn giấy: …? hộp màu…? bút dạ
Qua 2 bước của quy trình, vấn đề thực tiễn tìm số bút dạ và hộp màu
tương ứng được quy về bài toán “Rút về đơn vị”.
Ví dụ 5: (Trích tài liệu Toán tài năng [34])
Lúc đầu An và Bình có số bi bằng nhau. Nếu An cho Bình 10 viên thì số
bi của An bằng một nửa số bi của Bình hiện có. Hỏi số bi ban đầu của 2 bạn
là bao nhiêu?
Bước 1: Dùng sơ đồ mở rộng
Biểu diễn số bi ban đầu của 2 bạn là
Biểu diễn số bi của An là A (lúc sau)
74
Biểu diễn số bi của Bình là B (lúc sau)
Thể hiện trên sơ đồ:
−10
+10
+10
A
×2
+10
B
B
Sơ đồ 1
Bước 2: Từ sơ đồ 2, B - A = 20 (Hiệu)
A
×2
Sơ đồ 2
Mà B = 2 × A
Vậy sau khi toán học hóa vấn đề đã trở thành bài toán Tìm 2 số khi biết
Hiệu và Tỉ số của hai số đó: Tìm hai số biết rằng hiệu của 2 số là 20, số lớn
gấp 2 lần số bé?
Ví dụ 6: (Trích tài liệu Toán tài năng [33])
Bài toán: Cỏ trên đồng mọc với tốc độ đều đặn mỗi ngày. Có rất nhiều
bò ăn cỏ, số bò càng ít thì cỏ càng lâu hết. 200 con bò ăn hết đồng cỏ trong
100 ngày. 150 con bò ăn hết đồng cỏ trong 150 ngày. Hỏi 100 con bò ăn hết
đồng cỏ trong bao nhiêu ngày?
Bước 1: Hiểu vấn đề, thu thập những dữ liệu thực tế để hiểu tình huống
Bài toán xoay quanh mối quan hệ giữa số lượng đàn bò và lượng cỏ ở
trên đồng. Vấn đề là lượng cỏ trên đồng không phải là một số cố định mà tăng
theo thời gian.
75
Nếu đàn bò càng đông thì cỏ mọc thêm càng chậm, thậm chí chưa kịp
mọc đã bị bò ăn hết. Như vậy với số lượng đàn bò nêu trong giả thiết đã vượt
mức giới hạn về số lượng một đàn bò cần thiết để trong một ngày chỉ ăn đủ
lượng cỏ mọc thêm trên cánh đồng đó. Từ dữ kiện bài toán cho ta biết tổng
lượng cỏ có sẵn và lượng cỏ mọc thêm trong 100 ngày và trong 150 ngày.
Những câu hỏi cần được đặt ra trong giai đoạn này có thể là: Vấn đề ở
đây là gì? Có những yếu tố nào trong đó? Mối quan hệ giữa các yếu tố đó?
Dữ kiện được nếu ra cho ta biết điều gì?
Bước 2: Thiết lập mô hình
Các dữ kiện cần thiết ở đây là: Cỏ mọc đều đặn mỗi ngày; lượng cỏ
(tính theo một đơn vị, chẳng hạn như kg, bó hoặc đấu) có sẵn và mọc thêm
trong 100 ngày và 150 ngày; số lượng bò ăn hết cỏ trong khoảng thời gian
tương ứng.
Ta có thể giả định: Trung bình mỗi con bò trong một ngày ăn hết 1 đơn
vị cỏ.
Sử dụng các phép toán cộng và nhân trên các dữ liệu:
Lượng cỏ mà đàn bò 200 con ăn hết trong 100 ngày là:
200×100=20000 (đơn vị)
Lượng cỏ này bằng lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau
100 ngày
Lượng cỏ mà đàn bò 150 con ăn hết trong 150 ngày là:
150×150=22500 (đơn vị)
Lượng cỏ này bằng lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau
150 ngày
Muốn biết đàn bò 100 con ăn hết đồng cỏ trong bao nhiêu ngày thì ta
phải biết tổng lượng cỏ đàn bò đã ăn. Do đó phải biết lượng cỏ mọc thêm mỗi
ngày. Từ đó sẽ biết được số lượng bò vượt mức ăn đủ lượng cỏ mọc thêm mỗi
76
ngày trong số 100 con bò. Do vậy sẽ tìm được thời gian mà số bò vượt mức
ăn hết lượng cỏ ban đầu có sẵn trên cánh đồng.
3.2.2. Quy trình 2: Rèn luyện kĩ năng sử dụng mô hình toán học để
giải bài toán
3.2.2.1. Mục tiêu của quy trình
- Giao tiếp với toán học: Chỉ ra các công việc liên quan để tìm lời giải
và trình bày lời giải.
- Phân tích và xây dựng mô hình toán học: Thiết kế và sử dụng các ưu
thế của mô hình để hướng dẫn quá trình giải quyết vấn đề toán học.
- Mô hình hóa: Liên kết nhiều mô hình toán học khác nhau khi tương
tác để tìm ra phương pháp giải.
- Suy luận: Sử dụng suy luận cùng với các quá trình toán học, kết nối
các thông tin được cho để đi đến lời giải toán.
- Giải quyết vấn đề: Lựa chọn và thực hiện một phương pháp giải để đi
đến kết quả toán.
- Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán: Hiểu
và sử dụng các kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán dựa trên
các khái niệm, quy tắc, thuật toán, quá trình, suy luận toán học để đi đến kết
quả toán.
3.2.2.2. Cơ sở khoa học của quy trình
Trong dạy học toán ở tiểu học thường xuyên phải sử dụng các kí hiệu,
hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, bảng… HS có thể phát hiện và làm sâu sắc thêm sự
hiểu biết của mình về các khái niệm và quan hệ toán học được tạo ra, so sánh
và biểu diễn các mô hình khác nhau [16]. Chúng giảm bớt đi sự trừu tượng
của toán học, làm cho các công thức, các phép biến đổi toán học gần gũi hơn
với nhận thức của HS. Do đó, trước hết HS cần hiểu và sử dụng hợp lí các mô
hình toán học quy ước sẵn như kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, bảng, công thức… toán
77
học. Tiếp theo là tổ chức các hoạt động liên kết, biến đổi hoặc tạo ra những
mô hình toán học mới trong quá trình giải toán.
3.2.2.3. Cách thực hiện quy trình
Trong quy trình 2 này, chúng tôi chia làm 2 nhóm rèn luyện a và b.
Trong mỗi nhóm, chúng tôi có nêu đặc điểm nhận diện, các bước tiến hành và
những lưu ý cần thiết khi thực hiện.
a. Bước 1: Rèn luyện kĩ năng hiểu và sử dụng hợp lí mô hình toán học
có sẵn
- Tình huống có vấn đề thường là tình huống không gắn liền với thực
tiễn hoặc tình huống đã được toán học hóa.
- Trước hết, mỗi GV cần phải tự rèn luyện năng lực mô hình hóa cho
bản thân trong quá trình dạy học. Không chỉ sử dụng đúng, hợp lí và chuẩn
mực các mô hình có sẵn, GV phải biết tạo ra các biểu diễn khác nhau cho
cùng một nội dung toán học một cách hợp lí, linh hoạt, sáng tạo.
- Cần nắm chắc, sử dụng đúng và hướng dẫn HS sử dụng đúng các mô
hình toán học có sẵn của môn Toán 4 như:
(1) Các dạng bảng, biểu đồ: Biểu đồ cột, biểu đồ quạt, biểu đồ hình chữ
nhật, các dạng bảng,…
(2) Các dạng sơ đồ, hình vẽ: Các hình hình học, sơ đồ Ven, sơ đồ cây,
sơ đồ đoạn thẳng, ô vuông, sơ đồ mở rộng.
(3) Các kí hiệu, công thức, biểu thức hay phương trình toán học ở
lớp 4…
Trước mỗi bài lên lớp, GV cần làm rõ những mô hình toán học HS đã
biết có liên quan và những mô hình được giới thiệu để thiết kế được các hoạt
động liên kết, biến đổi mô hình một cách phù hợp.
Đối với các mô hình toán học theo quy ước, được dạy tường minh như
là một nội dung toán học, GV cần thực hiện các bước sau:
78
Bước 1: GV giới thiệu một cách ngắn gọn, rõ ràng cách gọi tên, cách
viết; sử dụng các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, bảng… Mô tả cấu tạo, ý
nghĩa của mô hình bằng lời. Yêu cầu HS quan sát và mô tả lại bằng lời hoặc
viết/ vẽ ra.
Bước 2: Thực hiện các hoạt động nhận dạng và thể hiện các mô hình
toán học. Phân tích các kí hiệu, biểu tượng, những ưu điểm, hạn chế (nếu có)
của các dạng mô hình khác nhau cho cùng một đối tượng hay quan hệ toán
học theo từng trường hợp.
Bước 3: Vận dụng các mô hình toán học trong các tình huống cụ thể,
có tính minh họa. GV gợi ý, định hướng giúp HS sử dụng mô hình một
cách hợp lí.
Lưu ý:
- Với các mô hình dạng: sơ đồ hướng dẫn, hình vẽ…không theo những
quy ước chặt chẽ, có tính trực quan, dễ cảm nhận, thường được sử dụng như
công cụ để tư duy, ghi nhớ, tóm tắt, tổng kết, hệ thống hóa…
- GV cần phối hợp giữa mô tả bằng lời và bằng hình ảnh (viết, vẽ…)
đảm bảo sự chuẩn mực, tính chính xác, có điểm nhấn để thu hút sự tập trung
của HS khi quan sát, nhận diện và làm theo.
Ví dụ 1: Bài “Tính chất giao hoán của phép nhân” (SGK Toán 4
tr.58 [5])
(1) Viết số thích hợp vào ô trống. Mô hình hóa các số bằng
a.
46=6
207 7 = 207
Nhận xét: Đề bài sử dụng mô hình có sẵn thay thế cho chữ số cần
tìm. Sử dụng tính chất của toán học đó là tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các
thừa số trong một tích thì tích không thay đổi. Vì vậy không cần thực hiện
phép tính ta có thể dễ dàng điền các số thích hợp vào ô trống.
79
Ví dụ 2. Bài “Phân số bằng nhau”, (SGK Toán 4, tr.111 [5])
Ta có nhận xét:
3 3 2 6
6 6:2 3
(1)
và
4 4 2 8
8 8: 2 4
Bài 1: Viết số thích hợp vào chỗ trống: (SGK Toán 4, tr 112 [5])
2
3 6
Nhận xét: Ở đây, SGK mô tả nhiệm vụ theo sơ đồ trong bài 1 là khá
tường minh, HS dễ dàng “giải mã” (hiểu nhiệm vụ) và thực hiện. Tuy nhiên,
nội dung nhận xét bằng bằng nhận xét bằng phép tính (1), HS đã có nhiều
cách hiểu khác nhau, như: “Nếu nhân cả tử số và mẫu số của
phân số
3
với 2 ta được
4
6
6
3
”; “Phân số =
vì 6 = 3 2 và 8 = 4 2”; “Nhân 2 với tử số
8
8
4
và mẫu số của phân số
6
3
ta được phân số .
8
4
Ở đây, nhận xét trong (1) nhằm hướng HS đến tính chất: “Nếu nhân
hay chia cả tử và mẫu của một phân số với một số tự nhiên khác 0 thì ta được
một phân số bằng phân số đã cho”. Từ đó, HS đi đến biểu diễn tổng quát:
a am
a a:m
với m 0 và
với m 0
b bm
b b:m
Có thể nói, các mô hình toán học hỗ trợ tích cực quá trình nhận thức
của HS. Để rèn kĩ năng “giải mã”, làm cơ sở để HS có thể “tạo mô hình”
trong các hoạt động học tập sau này, GV cần chú trọng ngay từ những biểu
diễn đơn giản trong mỗi nội dung dạy học.
Ví dụ 3. Để củng cố về phân số và phép chia số tự nhiên (Toán 4, trang
110), GV cho HS thực hiện bài tập sau:
80
Bài 2: Có hai phân số
7
7
và , phân số nào chỉ phần đã tô màu của
6
12
hình 1? Phân số nào chỉ phần đã tô màu của hình 2?
a.
Hình 1
b.
Hình 2
Bài tập như trên rèn cho HS hiểu và sử dụng đúng dạng hình vẽ. Trong
dạy học chủ đề phân số, HS cần được luyện tập bằng các dạng tương tự có sử
dụng mô hình hình học. Muốn giải bài toán này, GV cần yêu cầu HS quan sát
kĩ hai hình và tìm ra phân số chỉ phần tô màu của từng hình.
Các câu hỏi: Hình 1: + Hình chữ nhật chia làm mấy phần bằng nhau?
(Hình chữ nhật được chia thành 6 phần bằng nhau).
+ Đã tô màu mấy phần? (Tô màu hết 1 hình chữ nhất, tô thêm 1 phần
nữa. Vậy tô tất cả 7 phần).
+ Vậy đã tô màu mấy phần hình chữ nhật? (Đã tô màu
7
hình chữ nhật)
6
Hình 2: + Hình chữ nhật được chia thành mấy phần bằng nhau? (Hình
chữ nhật chia thành 12 phần bằng nhau).
+ Mỗi phần bằng nhau tương ứng với mấy hình vuông nhỏ?
+ Đã tô màu mấy phần? (Đã tô màu 7 phần).
81
+ Vậy đã tô màu mấy phần hình chữ nhật? (Đã tô màu
7
hình chữ nhật).
12
Ví dụ 4: (Toán 4, tr.149 [5])
Nêu bài toán rồi giải bài toán theo sơ đồ sau:
?l
Thùng 1
180 l
Thùng 2
?l
Bước 1: Giới thiệu qua một số kí hiệu có trong sơ đồ: số phần, móc và,
đơn vị.
Bước 2: Trước khi nêu được bài toán, ta phải hiểu những kí hiệu trong
sơ đồ này cung cấp những thông tin gì cho bài:
- 2 sự vật được nhắc đến: Thùng 1, thùng 2. Đây là 2 số cần phải tìm.
- Đơn vị của 2 số được quy định là lít
- Dựa vào số phần biểu thị ta suy ra tỉ số của thùng 1 và thùng 2 là
1
4
- Dấu móc tổng thể hiện rằng tổng số lít 2 thùng là 180 l
Đây là bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số.
Bước 3: Dựa vào thông tin được mã hóa, GV gợi ý cho HS cách nêu
bài toán bằng cách đưa ra câu hỏi:
- Có mấy thùng chứa gì? (dầu, nước, xăng…)
- Tổng số lít là bao nhiêu?
- Thể hiện tỉ số có thể bằng nhiều cách: “Thùng 2 gấp mấy lần thùng
1?” hoặc “Nếu gấp số lít thùng 1 lên bao nhiêu lần thì được số lít thùng 2?”
hoặc “Tỉ số lít của thùng 1 và thùng 2 là bao nhiêu?”
82
b. Bước 2: Rèn luyện kĩ năng xây dựng các mô hình toán học mới trong
quá trình giải toán
Để thực hiện hiệu quả quy trình này, GV cần rèn luyện cho HS biết
khai thác, sử dụng mô hình toán học như là công cụ, phương tiện, là điểm tựa
để tiến hành thao tác giải toán như: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu
tượng hóa nhằm tìm kiếm giải pháp cho bài toán đặt ra.
GV cần quan tâm đến các vấn đề sau:
- Nghiên cứu kĩ sách giáo khoa, sách bài tập,… lựa chọn các nội dung
toán học, các bài tập, tình huống có sử dụng các mô hình đa dạng. Khuyến
khích HS sử dụng mô hình để bộc lộ sự sáng tạo, thể hiện ý tưởng của mình.
- Bám sát mục tiêu bài học để thiết kế các nhiệm vụ học tập, luôn yêu
cầu HS có sản phẩm dưới dạng tóm tắt, mô phỏng hay phác thảo, giúp HS bộc
lộ khả năng sử dụng các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, bảng,… Cần chuẩn
bị sẵn các gợi ý để giúp HS đỡ lúng túng với kiểu nhiệm vụ này và có thể
thao tác được.
- Tập cho HS có thói quen sử dụng mô hình để hiểu, tóm tắt, ghi nhớ;
để xây dựng, tìm kiếm ý tưởng hay giải thích, trình bày giải pháp.
- Rèn kĩ năng sử dụng mô hình trong tất cả các khâu của quá trình học
tập: trong hình thành kiến thức mới, trong luyện tập, củng cố, trong ôn tập, hệ
thống hóa kiến thức, trong giải bài tập toán, v.v…
- Để HS tự nhận xét, lựa chọn mô hình các mô hình tiêu biểu. Điều này
giúp HS nhận ra điểm mạnh, điểm yếu của mỗi mô hình toán học. Qua đó học
được các sử dụng mô hình hợp lí trong từng tình huống toán học.
Các cơ hội để thực hiện: Trong các tình huống đã được phát biểu thành
mô hình toán học, GV đều có cơ hội để dạy cho HS liên kết, biến đổi hay tạo
ra các mô hình toán học. Đặc biệt trong giờ luyện tập, thực hành, GV nên
chọn một vài bài tập đặc trưng phù hợp để bồi dưỡng năng lực mô hình toán
83
học. Tập trung vào các bài tập yêu cầu bộc lộ khả năng sử dụng và tạo ra các
kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, bảng,… như là một yếu tố quan trọng của lời
giải đúng. Qua đó giúp HS thấy được việc sử dụng các mô hình toán học là
một phần không thể tách rời của toán học.
*Nhóm ví dụ sử dụng kí hiệu toán học
Khi giải một bài toán số học, vấn đề cần giải quyết thường là các số
chưa biết. Những số cần tìm này ở dạng ẩn và được đặc trưng mô hình hóa
bằng một kí hiệu nào đó phù hợp (có thể là ?, *, , hoặc các chữ cái a, b, c, x,
y, z,…). Đây là nhóm mô hình được sử dụng nhiều trong các bài toán số học
có dạng số và chữ số; các bài toán về điền số vào phép tính hay mô tả các bài
toán có lời văn. Rèn luyện kĩ năng sử dụng kí hiệu toán học trong dạy học số
học cho HS lớp 4 đồng thời giúp HS tiếp cận từ số học đến một số vấn đề liên
quan đến đại số.
Ví dụ 1: Phải bớt 100 đi bao nhiêu để được số nhỏ nhất có hai chữ số
giống nhau?
Số nhỏ nhất có hai chữ số giống nhau là 11. Nếu coi số cần tìm là X thì
bài toán có thể mô tả như sau:
100 − X = 11
X = 100 − 11
X = 89
Số cần tìm là 89
Ví dụ 2: Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái một số tự nhiên có ba chữ
số thì nó tăng gấp 17 lần. Tìm số đó?
Đối với bài này, chúng ta có vẽ sơ đồ để giải. Tuy nhiên vì số phần
nhiều mà thể hiện trên sơ đồ thu gọn thì gây khó khăn cho HS trong tưởng
tượng nên ta sẽ mô hình hóa tình huống này bằng kí hiệu.
Vì số cần tìm có 3 chữ số nên ta sẽ gọi số cần tìm có dạng:
hình hóa)
abc
(mô
84
Khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái số này được số:
2abc .
Theo bài ra ta có:
=
abc
× 17
2000 +
abc
=
2abc
abc
× 17 (dựa vào số học để phân tích cấu tạo số)
abc
× 17 −
abc
× (17−1) = 2000 (nhân một số với một hiệu)
abc
× 16 = 2000
abc
= 2000 ÷ 16 (tìm thừa số)
abc
= 125
abc
= 2000 (tìm số hạng)
Thử lại: 2125 ÷ 125 = 17 (chọn)
Vậy số cần tìm là: 125.
*Nhóm ví dụ sử dụng mô hình sơ đồ
Đây là nhóm mô hình được sử dụng nhiều nhất trong các dạng toán ở
lớp 4. Đó là cách mô hình thông tin trong bài toán thành hình ảnh dưới dạng
các đơn vị đoạn thẳng. Bằng việc vẽ thành sơ đồ, học sinh sẽ biết được đại
lượng nào đã cho, đại lượng nào chưa biết, đại lượng nào cần tìm, thậm chí
còn biết được những cách nào cần sử dụng để giải bài toán đó. Có thể áp dụng
đối với bài toán cộng, trừ, nhân, chia, liên quan đến phân số, tỉ số,…
Ví dụ: Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng
Ví dụ 1: Sơ đồ liên quan đến phép cộng/ trừ
(1) Mỹ Linh có 1730 hạt vòng màu xanh và 3143 hạt vòng màu đỏ. Hỏi
bạn ấy có tất cả bao nhiêu hạt vòng? (Theo Thách thức Toán Singapore [35])
?
1730
3143
1730 + 3143 = 4873
85
(2) Năm ngoái và năm nay, công ty Tân Phát sản xuất được 3730 chiếc ô
tô. Năm nay sản xuất được 1315 chiếc ô tô. Hỏi năm ngoái, công ty Tân Phát
sản xuất được bao nhiêu chiếc ô tô? (Theo Thách thức Toán Singapore [35])
3730
1315
?
3730 − 1315 = 2415
Ví dụ 2: Sơ đồ liên quan đến phép nhân
(1). Phép nhân với số có tận cùng là chữ số 0
Một trường tiểu học có 8 phòng học, mỗi phòng học có 15 bộ bàn ghế,
mỗi bộ bàn ghế lại có 2 học sinh đang ngồi học. Hỏi có tất cả bao nhiêu học
sinh đang ngồi học ở trường?(Theo Thách thức Toán Singapore [36])
Bàn ghế
15
Học sinh
? học sinh
Phòng học
Từ sơ đồ, HS có thể giải bài toán như sau:
Mỗi phòng học có số học sinh ngồi học là:
15 × 2 = 30 (học sinh)
Có tất cả số học sinh đang ngồi học là:
30 × 8 = 240 (học sinh)
(2) Phép nhân và hiệu số
Bình có 20 cái kẹo. An có nhiều hơn lớp Bình 5 cái kẹo. Số kẹo của
Phước nhiều gấp đôi số kẹo của Bình. Hỏi cả ba bạn có tất cả bao nhiêu
cái kẹo?(Theo Thách thức Toán Singapore [35])
Bình
An
Phước
20
5
? cái
86
Dựa vào sơ đồ, ta thấy Tổng số kẹo của 3 bạn bằng 4 lần số kẹo của
bạn An cộng với 5 nên cả 3 bạn có tất cả số kẹo là:
(20 × 4) + 5 = 85 (cái kẹo)
Ví dụ 3: Liên quan đến thiết lập một tổng thể
Mai, Lan và Hương làm 111 chiếc bánh nướng. Lan làm được số bánh
nhiều gấp đôi Hương. Mai làm được ít hơn Lan 9 chiếc bánh. Hỏi Mai làm
được bao nhiêu bánh?(Theo Thách thức Toán Singapore [36])
?
Mai
9
111 + 9
Lan
Hương
Dựa vào sơ đồ, ta thấy Nếu thêm cho Mai 9 cái bánh nướng thì tổng số
bánh lúc này sẽ gấp 5 lần số bánh của Hương nên
Số bánh của Hương là:
(111+ 9) ÷ 5 = 24 (cái bánh)
Số bánh của Mai là:
(2 × 24)−9 = 39 (cái bánh)
Ví dụ 4: Liên quan đến sự phân chia
Có 183 quả cam trong rổ A và 97 quả cam trong rổ B. Hỏi phải chuyển
bao nhiêu quả cam từ rổ A sang rổ B để hai rổ chứa số cam bằng
nhau?(Theo Thách thức Toán Singapore [35])
183
Rổ A
Rổ B
?
97
87
Từ sơ đồ, ta thấy “Rổ A chuyển bao nhiêu quả cam thì rổ B nhận được
bấy nhiêu quả cam” Mặt khác sau khi chuyển thì số cam trong 2 rổ bằng
nhau nên phải chuyển số cam là:
(183 - 97)÷ 2 = 43 (quả cam)
Ví dụ 5: Sơ đồ liên quan đến tỉ số
(1) Lúc đầu An và Bình có số kẹo bằng nhau. Biết rằng khi An cho Bình
10 viên kẹo thì số kẹo của Bình gấp đôi số kẹo của An. Tính số kẹo lúc đầu An
và Bình có? (Theo Thách thức Toán Singapore [35])
Ban đầu:
An
Bình
Sau khi An cho Binh 10 viên kẹo
An còn
10v
An
10v
Bình
Bình có
Từ sơ đồ ta có thể thấy, giá trị 1 phần là:
10 + 10 = 20 (viên)
Số kẹo ban đầu của An là:
20 +10 = 30 (viên)
Số kẹo ban đầu của Bình là:
30 + 10 = 40 (viên)
(2) Tính diện tích của một hình chữ nhật có chu vi bằng 20 cm. Chiều
rộng bằng
2
chiều dài. (Theo SGK Toán 4, tr.148)
3
88
Phân tích: Xuất phát từ câu hỏi: “Muốn tính diện tích hình chữ nhật ?”
S= D × R. Chúng ta cần biết chiều dài và chiều rộng (tìm 2 số)
Chu vi: (D + R) × 2 = 20
Bài toán tìm 2 số khi biết tổng số đó.
Nên D + R = 20 : 2 = 10
và tỉ số của 2
Dùng sơ đồ
R 2
D 3
?cm
Chiều dài
10 cm
Chiều rộng
?cm
Ví dụ: Sử dụng sơ đồ Ven
Ví dụ 1: Đội tuyển thi Toán và Văn có 20 em. Trong đó có 12 em thi
Văn và có 13 em thi Toán. Hỏi có bao nhiêu em thi cả 2 môn? (Theo Toán tài
năng [33])
Dựa vào sơ đồ Ven trên ta thấy rằng, 13 em thi Toán sẽ bao gồm số em
chỉ thi Toán và thi cả Toán + Văn. Do đó ta tìm được:
Số em chỉ thi Văn là:
20 - 13 = 7 (em)
Số em thi cả hai môn là:
12 - 7 = 5 (em)
89
Ví dụ 2: Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu
nói 1, 2 hoặc 3 thứ tiếng Nga, Anh, Pháp. Biết có 39 đại biểu chỉ nói tiếng
Anh, 35 đại biểu nói được tiếng Pháp, 8 đại biểu nói được cả tiếng Anh và
tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được tiếng Nga? (Theo Toán
tài năng [33]).
Sử dụng sơ đồ Ven, chúng ta dễ dàng nhận thấy “8 đại biểu nói được
tiếng Anh và tiếng Nga là phần tô đậm”.
Vậy nếu trừ đi 39 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh thì số đại biểu nói
được tiếng Pháp và Nga sẽ là:
100 - 39 = 61 (người)
Nếu trừ đi 35 đại biểu chỉ nói được tiếng Pháp thì số đại biểu nói được
tiếng Nga nhưng không nói được tiếng Pháp là:
61 - 35 = 26 (người)
Nhìn sơ đồ Ven trên, ta có thể thấy số người nói tiếng Nga nhưng
không nói được tiếng Pháp bao gồm số người chỉ nói được tiếng Nga và nói
được cả tiếng Nga và tiếng Anh.
Số đại biểu chỉ nói được tiếng Nga là:
26 - 8 = 18 (người)
Ví dụ: Sử dụng sơ đồ mở rộng
Ví dụ 1: Tìm X
X÷3−2=6
90
Thông thường khi tư duy đại số, sẽ có cách như sau:
Cách 1:
X÷3−2=6
X÷3=6+2
X÷3=8
X=8 3
X = 24
Tuy nhiên để mô hình hóa cho bài toán dễ hiểu. Chúng ta có thể dùng
sơ đồ mở rộng như sau:
Cách 2:
÷3
− 2
?x
24
×3
6
+2
8
Khi thể hiện bằng sơ đồ mở rộng, ta có thể dễ dàng tìm được X theo
quy trình ngược lại của mũi tên bắt đầu từ kết quả cuối.
Nếu trên là - 2 thì dưới là + 2, được: 6 + 2 = 8 (Bước 1)
Nếu trên là ÷ 3 thì dưới là × 3, được: x = 8×3= 24
Ví dụ 2: Một người bán vải, lần (I) bán một nửa số vải và
thứ 2 bán được một nửa số vải còn lại và
vải còn lại và
1
m. Lần
2
1
m. Lần thứ 3 bán đi một nửa số
2
1
m thì vừa hết. Hỏi số vải lúc đầu có là bao nhiêu? (Theo
2
Toán tài năng [34])
Áp dụng phương pháp sơ đồ mở rộng này, ta có thể biểu diễn các lần
bán vải như sau:
91
Lần 1
÷2
−
?X
7
T1
×2
+
3
Lần 2
÷2
−
T1
3
T2
×2
+
1
Lần 3
÷2
−
T2
1
0
×2
+
Số vải ban đầu cần tìm sẽ bắt đầu tính ngược từ lần 3, lần 2 và về lần 1.
Ví dụ 3: Trên bàn là 3 cuốn sách giáo khoa: Toán, Tiếng Việt và Mĩ
thuật được bọc 3 màu khác nhau: trắng, hồng, tím. Cho biết cuốn bọc bìa
mùa tím đặt giữa hai cuốn Tiếng Việt và Mĩ thuật.Cuốn Mĩ thuật và cuốn màu
hồng cùng mua một ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn bọc bìa màu gì? (Theo
Toán tài năng [34])
92
Trong bài toán này xuất hiện hai nhóm đối tượng là tên sách và màu
bìa. Ta mô tả bài toán bằng một sơ đồ gồm hai đường (dưới dạng 2 cột đứng).
Mỗi cột biểu diễn một nhóm đối tượng nói trên. Mối quan hệ cho trong đề bài
ta biểu diễn bởi một đoạn thẳng. Điều kiện “là” được nối bằng một nét liền và
điều kiện “không” được nối bằng một nét gạch đứt. Dựa vào sơ đồ sau:
Toán
Hồng
Tiếng Việt
Tím
Mĩ thuật
Trắng
Theo đề bài ta có:
- Cuốn bọc bìa màu tím đặt giữa hai cuốn tiếng Việt và Mĩ thuật nên hai
cuốn này không bọc bìa màu tím. Ta nối nét đứt giữa tím - tiếng Việt; tím Mĩ thuật.
- Cuốn Mĩ thuật không bọc bìa màu hồng (vì hai cuốn mua cùng ngày).
Ta nối nét đứt giữa Mĩ thuật - hồng.
- Cuốn Mĩ thuật không bọc bìa màu hồng và màu tím. Vậy nó chỉ có thể
bọc bìa màu trắng. Ta nối nét liền giữa Mĩ thuật - trắng.
- Cuốn tiếng Việt không bọc bìa màu tím, không bọc bìa màu trắng.
Vậy nó bọc bìa màu hồng. Ta nối nét liền giữa tiếng Việt - hồng.
- Vậy cuốn Toán sẽ bọc bìa màu tím.
Ví dụ 4: Cho bốn chữ số 0, 1, 2, 3
Viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho?
Đối với bài này chúng ta có thể dùng phương pháp thử - chọn để tìm lời
giải. Tuy nhiên cách này hơi trừu tượng và khó hiểu với HS. Thay vì thử chọn ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây.
93
Chọn số 1 làm chữ số hàng nghìn ta được các số:
2 – 3: 1023
0
3 - 2 :1032
0 – 3 : 1203
1
2
3
3 – 0 : 1230
0 – 2 : 1302
2 – 0 : 1320
Nhìn vào sơ đồ ta thấy: từ bốn chữ số đã cho, ta viết được 6 số có chữ
số hàng nghìn bằng 1 thỏa mãn các điều kiện của đề bài.
Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn. Vậy số các số thỏa mãn
điều kiện của đề bài là:
6 × 3 = 18 (số)
*Nhóm ví dụ sử dụng mô hình vẽ
Ví dụ 1: Mô hình vẽ để giải bài tập
(1) An năm nay 8 tuổi. Một hôm, bạn ấy hỏi tuổi của mẹ, mẹ đã trả lời
bạn ấy rằng: “Khi tuổi con bằng tuổi mẹ thì mẹ 54 tuổi”. Hỏi năm nay mẹ
của An bao nhiêu tuổi? (Theo Thách thức Toán Singapore [35])
Đối với bài toán này, ta sẽ sử dụng hình vẽ để biểu diễn tuổi An, tuổi
mẹ hiện nay, mẹ 54 tuổi.
8
Tuổi của mẹ An hiện nay
54
Nhìn vào hình vẽ, ta có thể thấy rằng: An cần bao nhiêu năm để bằng
tuổi mẹ thì mẹ của An cũng cần bấy nhiêu năm để tới 54 tuổi.
Nên số năm An cần để bằng tuổi mẹ là:
(54 - 8)÷2= 23 (tuổi)
94
Số tuổi của mẹ hiện nay là:
23 + 8 = 31 (tuổi)
(2) Một cửa hàng bán một số mét vải trong 3 ngày. Ngày thứ nhất bán
được
3
2
số mét vải; Ngày thứ hai bán được số mét vải còn lại. Ngày thứ ba
5
7
bán nốt 40 mét vải. Tính tổng số mét vải cửa hàng đã bán? (Theo Thách thức
Toán Singapore [36])
Tùy thuộc vào khả năng lựa chọn mà HS có thể tóm tắt bài này bằng
lời hoặc bằng sơ đồ đoạn thẳng hay hình vẽ. Dưới đây là cách tóm tắt bằng
hình vẽ:
Ngày 1: 3/5
tổng số m vải
Ngày 3: 40m
Ngày 1: 2/7 số
m vải còn lại
Từ hình vẽ trên, ta thấy rằng:
- Ban đầu số mét vải được chia làm 5 phần, sau ngày bán thứ nhất tiếp
tục chia làm 7 phần. Như vậy, tổng số mét vải có thể chia thành là:
7×5= 35 (phần)
Ta có 40 mét vải bán trong ngày thứ 3 ứng với 10 phần.
Mỗi phần sẽ ứng với số mét vải là
40 ÷ 10 = 4 (m)
Vậy tổng số vải là:
4×35= 140 (m)
95
Ví dụ 2: Mô hình vẽ để hiểu các bƣớc của phép tính trong phạm vi
10000 (hình thành kiến thức mới)
(1) (Giới thiệu bài Phép cộng Toán 4 tr.39 [5])
Đặt tính rồi tính
a. 4682+ 2305
b.2968 + 6524
Theo như trình bày trong SGK thì bài tập sẽ làm như sau:
a. 4682+ 2305
+
Cộng theo thứ tự từ phải sang trái
4681
- 2 cộng 5 bằng 7, viết 7
2305
- 8 cộng 0 bằng 8, viết 8
6987
- 6 cộng 3 bằng 9, viết 9
- 4 cộng 2 bằng 6, viết 6
b.2968 + 6524
2968
+ 6524
9492
Cộng theo thứ tự từ phải sang trái
- 8 cộng 4 bằng 12, viết 2 nhớ 1.
- 6 cộng 2 bằng 8, thêm 1 bằng 9, viết 9.
- 9 cộng 5 bằng 14, viết 4 nhớ 1.
- 2 cộng 6 bằng 8, thêm 1 bằng 9, viết 9.
Đây là cách đặt tính truyền thống của chương trình hiện hành. Trong
quá trình dạy, GV thường áp đặt HS nhớ quy trình cộng / trừ từ phải sang trái
và thuộc lòng cách phát biểu khi cộng/ trừ. Tuy nhiên, áp dụng mô hình hóa
bằng hình vẽ, chúng tôi khai thác cách hiểu khác cho HS theo 4 bước cụ thể
rõ ràng đến từng hàng, lớp. Việc cộng không nhớ và có nhớ từng đơn vị hàng,
lớp được MHH bằng các mô hình giúp HS dễ quan sát, hiểu vấn đề nhanh
chóng. 4 bước cụ thể như sau:
96
97
98
*Nhóm ví dụ sử dụng mô hình bảng
Ví dụ 1: Một bác nông dân nuôi tất cả 30 con gà và thỏ. Tổng cộng có
100 chân. Tìm số gà và số thỏ bác nông dân nuôi? (Theo Thách thức Toán
Singapore [34])
Đối với bài toán này thì có thể dùng “giả thiết tạm”. Tuy nhiên cách
này khá phức tạp, đòi hòi các em phải có khả năng tư duy trừu tượng. Do đó,
thay vì dùng lời, chúng ta sẽ dùng mô hình bảng để đoán và kiểm tra.
Bước 1: Bắt đầu với nửa số động vật.
(Lưu ý rằng gà có 2 chân, thỏ có 4 chân)
Số gà
Số chân
Số thỏ
Số chân
Tổng số chân
15
30
15
60
90
Bước 2: Tổng số chân là 100
Hiệu của số chân là:
100 - 90 = 10 (chân)
Số chân chênh lệch giữa hai con vật là:
4− 2=2 (chân)
Vậy cần thêm vào số con thỏ hay trừ đi số con gà so với dự đoán ban
đầu là:
10÷2=5 (con)
Số gà
Số chân
Số thỏ
Số chân
Tổng số chân
15
30
15
60
90
10
20
20
80
100
Vậy bác nông dân có 10 con gà và 20 con thỏ
Ví dụ 2: Ba bạn Hồng, Đào và Cúc tham gia hội thi “Khéo tay hay
làm”. Bạn Hồng nhận xét:
99
- Cả ba chúng mình đều làm hoa trùng với tên của ba chúng ta. Bạn
làm hoa cúc học cùng với tôi một lớp và ở cùng phố với bạn Đào.
Bạn làm hoa đào hưởng ứng:
- Hồng nói đúng!
Hỏi mỗi bạn đã làm hoa gì?
(Theo Thách thức Toán Singapore [35])
Theo nhận xét của Hồng thì ba bạn đã làm hoa hồng, đào và cúc. Ta có
bảng sau:
Hoa
Hồng
Đào
Hồng
Tên ngƣời
x
Cúc
1
0
2
0
3
Đào
4
x
5
0
6
Cúc
7
8
x
9
- Bạn làm hoa cúc học cùng lớp với Hồng mà lại ở cùng phố với bạn
Đào nên bạn làm hoa cúc không phải tên Hồng và tên Đào. Điền số 0 vào ô số
3 và 6.
- Bạn làm hoa đào hưởng ứng lời nói của bạn Hồng nên bạn làm hoa
đào cũng không phải tên Hồng. Điền số 0 vào ô số 2.
- Bạn Hồng không làm hoa đào, không làm hoa cúc vậy bạn Hồng làm
hoa hồng. Ghi dấu x vào ô số 1.
- Bạn Hồng và bạn Đào không làm hoa cúc. Vậy bạn Cúc làm hoa cúc.
Ghi dấu x vào ô số 9. Còn lại bạn Đào làm hoa đào. Điền dấu x vào ô số 5.
- Vậy bạn Đào làm hoa đào, bạn Hồng làm hoa hồng, bạn Cúc làm
hoa cúc.
3.2.3. Quy trình 3: Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi kết quả toán sang
kết quả thực tế và phản ánh những hạn chế
3.2.3.1. Mục tiêu của quy trình
- Giao tiếp với Toán học: giải thích kết quả toán trong tình huống
thực tế.
100
- Phân tích và xây dựng mô hình toán học: nhận ra phạm vi và hạn chế
của mô hình toán học đã xây dựng.
- Mô hình hóa toán học: Mô hình hóa kết quả thực tế dưới dạng phù
hợp.
- Suy luận: Đưa ra những lập luận ủng hộ hay bác bỏ kết quả đối với
tình huống. Đánh giá tính khả thi và hạn chế của kết quả.
- Giải quyết vấn đề: Lựa chọn cách để giải thích, đánh giá và làm cho
kết quả toán có ý nghĩa đối với tình huống ban đầu.
- Sử dụng mô hình, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán:
Hiểu mối quan hệ giữa ngôn ngữ toán và ngôn ngữ thực tế để có thể chuyển
kết quả toán sang kết quả thực tế.
3.2.3.2. Cơ sở khoa học của quy trình
Đây là bước cuối cùng nhưng cũng rất quan trọng của quy trình: hiểu
lời giải bài toán trong thực tiễn và xem xét lại mô hình (hoặc chấp nhận mô
hình), diễn đạt lại bài toán ban đầu (hoặc thông báo kết quả) và tìm hiểu
những hạn chế và khó khăn gặp phải khi áp dụng kết quả của bài toán vào
tình huống thực tiễn. [25, tr 33]
3.2.3.3. Cách thực hiện quy trình
Bước 1: Giải thích kết quả toán
Bước 2: So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí của lời giải và chia sẻ kết
quả thực tế (nếu thỏa đáng); Nếu không thì lặp lại quá trình (không thỏa đáng)
3.2.3.4. Ví dụ
Ví dụ 1. “Giá sách” (Trích từ tài liệu PISA). Sau khi học xong bài
toán chia hết.
Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận sau: 4 tấm
gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 12 cái kẹp nhỏ, 2 cái kẹp lớn và 14 cái ốc vít.
Người thợ mộc đang có 26 tấm gỗ dài, 33 tấm gỗ ngắn, 200 kẹp nhỏ,
20 kẹp lớn, 510 cái ốc vít. Câu hỏi: Người thợ mộc có thể làm được nhiều
nhất là bao nhiêu cái giá sách?
101
Sau khi thực hiện các bước của quy trình 1: “Rèn luyện kĩ năng chuyển
đổi từ tình huống thực tế sang tình huống toán học”, ta sẽ giải quyết bài toán
như sau:
Quy trình 2: Giải toán
Cách 1: Học sinh trung bình có thể giải bài toán bằng cách liệt kê theo
bảng dưới đây:
Tên vật liệu
Vật liệu cần thiết để làm một
cái giá sách
Vật liệu cần thiết để làm hai
cái giá sách
Vật liệu cần thiết để làm ba
cái giá sách
Vật liệu cần thiết để làm bốn
cái giá sách
Vật liệu cần thiết để làm năm
cái giá sách
Vật liệu cần thiết để làm sáu
cái giá sách
So với vật liệu đang có
Số tấm Số tấm Số kẹp Số kẹp
gỗ dài gỗ ngắn
nhỏ
lớn
Số ốc vít
4
6
12
2
14
8
12
24
4
28
12
18
36
6
42
16
24
48
8
56
20
30
60
10
70
24
36
72
12
84
26
33
200
20
510
Quy trình 3:
Bước 1: Giải thích kết quả toán
Tiếp tục liệt kê đến khi thấy một con số vượt ra ngoài giá trị của tập
còn lại. Ở bài toán trên, học sinh sẽ thấy rằng nếu làm 6 giá sách thì cần có 36
tấm gỗ ngắn trong khi theo dữ kiện đề bài ta chỉ có 33 tấm gỗ ngắn. Vậy
người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là 5 giá sách.
102
Tuy nhiên cách này khá dài dòng và nếu số liệu đưa ra là những con số
rất lớn thì cách làm này không khả thi. Vậy còn cách làm nào khác không?
Cách 2: Học sinh khá giỏi có thể giải quyết bài toán rất nhanh dựa theo
sự ước tính: 26 ÷ 4 = 6 + số còn lại; 33÷ 6 = 5 + số còn lại, các phép chia
200÷12; 20÷ 2 ; 510÷14 đều lớn hơn hoặc bằng 10. Vậy câu trả lời là 5.
Bước 2: So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí của lời giải và chia sẻ
kết quả thực tế
Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm xác định
cả những hạn chế của lời giải
Ý nghĩa thực tế của bài toán là với các thành phần được liệt kê ở đầu
bài người thợ có thể làm được 5 cái giá sách tuy nhiên dựa trên việc quan sát
số liệu đã được liệt kê ở cách 1 ta nhận thấy rằng chỉ cần có thêm 3 tấm gỗ
ngắn, ta có thể đóng thêm được một cái giá sách nữa.
Và trên thực tế ta có thể cưa 2 tấm gỗ dài còn thừa thành 3 tấm gỗ ngắn
chẳng hạn. Bài tập trên giúp học sinh có vận kiến thức toán học vào thực tế
một cách rất tự nhiên. Đó là những kiến thức về tìm số tự nhiên thỏa mãn một
số với điều kiện cho trước.
Hơn nữa bài toán cũng cho thấy một khía cạnh rất thực tế khi làm
việc là xảy ra vấn đề thừa thiếu nguyên vật liệu trong sản xuất, người lao
động phải xem xét đánh giá lựa chọn phương án để có được hiệu quả kinh
tế cao nhất.
Ví dụ 2: Có 1 cái bánh pizza được chia cho nhiều người. Biết rằng 1
lần cắt chia bánh pizza thành 2 phần và 2 lần cắt chia bánh pizza thành 4
phần. Hỏi nếu sau 10 lần cắt chia bánh pizza thành mấy phần? (Theo Thách
thức Toán Singapore [36])
Quy trình 1:
1 lần cắt: 2 phần
2 lần cắt: 4 phần
10 lần cắt: …? phần
103
Bài toán rút về đơn vị
Quy trình 2:
10 lần cắt thì có số phần là:
10× 2 = 20 (phần)
Quy trình 3:
Kết quả trên đã phản ánh đúng dạng “Rút về đơn vị” của bài toán
nhưng vấn đề đặt ra là tại sao bài toán lại cho dữ kiện “1 lần cắt chia bánh
pizza thành 2 phần và 2 lần cắt chia bánh pizza thành 4 phần” trong khi để
giải toán chỉ cần một trong hai là đủ. Mặt khác, quá trình mô hình hóa theo
quy trình 1 đã lược bỏ hết những yếu tố cụ thể, chỉ giữ lại những yếu tố đặc
trưng. Do đó kết quả đã phản ánh sự mâu thuẫn khi thực hiện quá trình mô
hình hóa ở quy trình 1.
Nên cần thực hiện lại từ “Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi từ tình huống
thực tế sang tình huống toán học” như sau:
1 lần cắt chia bánh pizza thành 2 phần.
2 lần cắt chia bánh pizza thành 4 phần.
Vậy 3 lần cắt chia bánh pizza thành mấy phần?
Ta sẽ biểu diễn qua hình vẽ sau:
1 lần cắt
2 lần cắt
3 lần cắt
2 phần
4 phần
7 phần
104
Chúng ta hãy cùng quan sát:
1 lần cắt 2 phần = 1+ 1
2 lần cắt 4 phần = 1+ 1 + 2
3 lần cắt 7 phần = 1+ 1 + 2 + 3
…
10 lần cắt 1+ 1 + 2 + 3+…+ 9 +10
Như chúng ta đã biết, chúng ta có thể tạo ra 5 cặp số có tổng bằng 11 từ
(1+10), (9+2), (8+3), (7+4), (6+5) và đừng quên số 1 đầu tiên!
Vậy 10 lần cắt chia bánh pizza thành số phần là:
11×5+1=56 (phần)
3.3. Minh họa một số hoạt động phát triển năng lực mô hình hóa
toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4
Bài soạn 1: PHÉP CỘNG PHÂN SỐ (Toán 4. Tr 126 [5])
I. Mục tiêu
Sau khi học xong bài này, HS có thể đạt được những yêu cầu sau:
- Lấy được ví dụ trong thực tiễn về phép cộng hai phân số cùng mẫu số.
- Nói đúng cách thực hiện phép cộng hai phân số cùng mẫu số.
- Viết đúng quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu số.
- Tính đúng các phép cộng phân số.
- Liên hệ được phép cộng phân số trong tình huống thực tiễn.
II. Chuẩn bị
- Giáo viên: băng giấy màu, kéo, phiếu học tập,…
- Học sinh: băng giấy màu, kéo, bút,…
III. Các hoạt động dạy học
1. Hoạt động tạo hứng thú (Rèn luyện quy trình 1)
- Giáo viên tổ chức trò chơi cho HS: đưa các ví dụ trong thực tiễn nhằm
xuất hiện phép cộng hai phân số.
105
- Tiêu chí:
+ Lựa chọn được tình huống thích hợp với thực tiễn.
+ Đề xuất được nhiều và nhanh các tình huống phù hợp.
- Cách thực hiện:
+ Giáo viên chia lớp thành nhóm từ 4 đến 6 em học sinh.
+ Học sinh thảo luận và trình bày kết quả của nhóm.
+ Các nhóm học sinh nhận xét chéo kết quả của nhóm khác.
+ GV đánh giá và trao giải thưởng.
- Tình huống có thể xảy ra:
+ Tình huống 1: HS chỉ đưa ra các ví dụ về phép cộng hai phân số cùng
mẫu số.
+ Tình huống 2: HS đưa ra cả hai loại ví dụ phép cộng hai phân số cùng
mẫu số và phép cộng hai phân số khác mẫu số.
Nếu rơi vào tình huống 2, GV chỉ khoanh vùng ví dụ phép cộng hai
phân số cùng mẫu số và tình huống 1.
2. Hoạt động khám phá (Rèn luyện quy trình 2)
Hoạt động 1: Khám phá cách cộng hai phân số cùng mẫu số.
- GV tổ chức cho mỗi HS tô màu băng giấy của mình (đã chia sẵn
thành 8 phần bằng nhau)
Ví dụ:
Sau lần 1:
Sau lần 2:
106
Hoạt động của giáo viên (dự kiến)
Hoạt động của học sinh (dự kiến)
- GV yêu cầu HS tô màu trên băng - HS quan sát số phần đã tô màu
giấy 2 lần:
trong lần 1 và lần 2 và viết các phân
+ Lần 1: tô 2 phần bằng nhau.
số tương ứng (
+ Lần 2: tô tiếp 3 phần bằng nhau
2
3
và ).
8
8
trong các phần còn lại.
- GV yêu cầu HS viết phân số biểu
thị số phần đã tô màu của lần 1 và
lần 2.
- Quan sát và liên hệ số phần sau 2
lần tô màu với các phân số biểu thị
số phần khác nhau của băng giấy
2
8
3
8
5
8
( + = ).
- GV yêu cầu HS viết tiếp phép tính - Các HS đánh giá chéo kết quả của
để thể hiện số phần đã tô màu sau 2 bạn bên cạnh…
lần.
- GV mời 2 - 3 em HS lên bảng trình - HS trình bày kết quả trên máy.
bày kết quả trên máy chiếu.
- GV phân tích, nhận xét, đánh giá
kết quả làm bài của các HS trên.
- GV yêu cầu một số HS nói cách - HS: Muốn cộng hai phân số cùng
thực hiện phép cộng hai phân số mẫu số, ta lấy tử số của phân số biểu
cùng mẫu số từ hoạt động tô màu thị số phần tô màu ở lần 1 cộng với
bằng giấy nói trên.
tử số của phân số biểu thị số phần tô
- Kết luận cách thực hiện phép cộng màu ở lần 2, còn mẫu số giữ nguyên.
hai phân số cùng mẫu số: Muốn cộng (phát biểu theo mô hình thực)
hai phân số cùng mẫu số, ta cộng tử
số với nhau và giữ nguyên mẫu số.
(phát biểu theo mô hình đại diện)
107
3. Hoạt động thực hành (Rèn luyện quy trình 2, 3)
Hoạt động của giáo viên (dự kiến)
Hoạt động của học sinh (dự kiến)
- Yêu cầu HS nói quy tắc thực hiện - HS nói quy tắc thực hiện
các phép cộng hai phân số cùng mẫu.
- Phân tích, nhận xét và kết luận
- Lắng nghe
- Phát phiếu học tập
- HS hoàn thành phiếu
- GV chọn một số bài làm có tình - Hoàn thành nội dung phiếu, trao đổi
huống, phân tích tính đúng sai, nhận với bạn bên cạnh.
xét và kết luận.
NỘI DUNG PHIẾU
1. Tính:
5
9
a. +
2
9
b.
35
7
+
25
25
2. Người ta cho một vòi nước chảy vào bể chưa có nước. Lần thứ nhất chảy
được
3
2
bể, lần thứ hai chảy được bể. Hỏi cả hai lần chả được mấy phần
7
7
bể?
4. Hoạt động vận dụng (Rèn luyện 3 quy trình)
Hoạt động của giáo viên (dự kiến)
Hoạt động của học sinh (dự kiến)
- Yêu cầu mỗi HS lấy 1 ví dụ từ các - HS suy nghĩ, phát biểu, tự giải các
hoạt động trong lớp, ở trường hoặc bài toán do mình đề xuất.
sinh hoạt ở gia đình mình dẫn tới
phép cộng hai phân số có cùng mẫu
số.
- Tiến hành cho HS chia sẻ, nhận xét, - Chia sẻ, trao đổi kết quả đề xuất bài
sửa chữa.
toán và giải các bài toán với bạn bên
cạnh.
- Chọn bài làm của một số HS trong - Lắng nghe, rút kinh nghiệm.
lớp, nhận xét, đánh giá kết quả; yêu
cầu HS khác tự đối chiếu.
108
3.4. Thực nghiệm tính khả thi và sự cần thiết của các quy trình
đề xuất
3.4.1. Mục đích và yêu cầu thực nghiệm
3.4.1.1.Mục đích: Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm
nghiệm giả thuyết khoa học. Bước đầu khẳng định tính khả thi và tính hiệu
quả của các quy trình được đề xuất qua thực tiễn dạy học. Cụ thể:
+ Các quy trình mà luận văn đề xuất có thể thực hiện trong quá trình
dạy học số học môn Toán 4 hay không?
+ Thực hiện các quy trình có thực sự phát triển được năng lực MHH
toán học cho HS thông qua dạy học số học lớp 4 hay không?
3.4.1.2.Yêu cầu: Thực nghiệm sư phạm phải đảm bảo tính trung thực,
khách quan và phù hợp với đối tượng HS lớp 4, sát với thực tế dạy học.
3.4.2. Nhiệm vụ
- Biên soạn tài liệu thực nghiệm, hướng dẫn GV cách chuẩn bị và thực
hiện các tiết dạy học phát triển năng lực MHH toán học cho HS thông qua dạy
học số học lớp 4 và tiến hành thực nghiệm các quy trình sư phạm đã đề xuất
trong chương.
- Quan sát, thu thập các thông tin phản ánh quá trình và kết quả thực
nghiệm liên quan đến tính khả thi và hiệu quả của các quy trình đã đề xuất.
- Phân tích, xử lý số liệu thực nghiệm bằng phương pháp thống kê các
kết quả đánh giá năng lực MHH toán học.
- Đánh giá kết quả thực nghiệm theo hai phương diện: tính khả thi và
tính hiệu quả của các quy trình được đề xuất.
3.4.3. Các nguyên tắc tổ chức thực nghiệm
- Giúp GV và HS hiểu được vai trò, tầm quan trọng của phát triển năng
lực MHH toán học cho HS thông qua dạy học số học lớp 4.
- Hướng dẫn HS nắm vững những kiến thức, kĩ năng cơ bản về mô hình
109
toán học nhằm hình thành năng lực MHH toán học qua dạy học số học cho HS
lớp 4.
- Tổ chức cho HS được thực hiện và luyện tập những hoạt động MHH
toán học tương thích với nội dung và mục tiêu bài học nhằm hình thành và
phát triển được năng lực MHH toán học.
- Trong quá trình dạy học, luôn gợi động cơ, tạo hứng thú, tạo cơ hội
để HS tham gia các hoạt động học tập hướng tới hình thành năng lực MHH
toán học. Đảm bảo được mục tiêu dạy học, góp phần nâng cao kết quả học
tập môn Toán.
3.4.4. Thời gian, đối tượng thực nghiệm
3.4.4.1. Đối tượng thực nghiệm
Được sự đồng ý của Ban Giám hiệu trường Tiểu học Nghi Phú 1,
chúng tôi đã đề xuất chọn lớp 4A làm thực nghiệm (TN) và lớp 4B làm đối
chứng (ĐC) thể hiện cho các kết quả của luận văn.
3.4.4.2. Thời gian thực nghiệm
- Đợt 1: Từ tháng 12 năm 2018 đến tháng 1 năm 2019 tại trường Tiểu
học Nghi Phú 1.
- Đợt 2: Từ tháng 2 đến tháng 4 năm 2019 tại trường Tiểu học Nghi
Phú 1.
3.4.5. Phân tích kết quả thực nghiệm
3.4.5.1. Khảo sát đầu vào vào phân tích kết quả ở 2 nhóm thực nghiệm
và đối chứng
Để thu được số liệu đáng tin cậy, trước khi dạy thực nghiệm, chúng tôi
tiến hành kiểm tra đầu vào phụ lục 3.
Sau khi chấm bài, tôi thu được kết quả như sau:
110
Bảng 3.1. Phân phối tần số điểm trƣớc khi thực nghiệm
Nhóm Lớp
Điểm số
Số
HS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TN
4A
41
0
0
0
4
13
15
5
4
0
0
5.80
ĐC
4B
43
0
0
0
3
15
14
6
5
0
0
5.88
Bảng 3.2. Phân phối tỉ lệ phần trăm kiểm tra đầu vào
theo mức độ đánh giá
Yếu -
Trung
Kém
bình
41
9.75
43
6.97
Nhóm
Số HS
TN
ĐC
Khá
Giỏi
68.29
21.95
0
67.44
25.58
0
Biểu đồ 3.1. Tỉ lệ phần trăm mức độ điểm số bài kiểm tra
trước thực nghiệm
70
60
50
TN
40
ĐC
30
20
10
0
Yếu - Kém
Trung bình
Khá
Giỏi
Nhìn vào bảng và đồ thị chúng ta thấy tỉ lệ giữa các mức điểm số gần
như tương đương nhau, vẫn có tỉ lệ yếu kém từ 6,97% - 9,75%, tỉ lệ điểm
trung bình của 2 lớp từ 67,44% - 68.29%. Cả 2 lớp không có điểm giỏi.
111
Để có cơ sở chính xác hơn về trình độ ban đầu giữa 2 nhóm TN và ĐC,
chúng tôi đã tìm hiểu độ phân tán điểm số so với điểm trung bình của lớp TN,
ĐC bằng cách đặt giả thuyết. “Sự khác nhau giữa kết quả điểm trung bình của
2 lớp TN và ĐC là không có ý nghĩa.”
Giả thuyết: H0: =
Đối thuyết K: ≠
+ Dùng đại lượng kiểm định T (Student) để kiểm tra giả thuyết:
X Y
Tkd=
S12 S 2 2
N
M
n
+ Công thức tính phương sai:
s
2
n (x X )
i 1
1
1
N
n
+ Công thức tính độ lệch chuẩn: s
n (x X )
i 1
1
1
N
Bảng 3.3. Phân phối các tham số có đặc trƣng và kết quả
kiểm tra trƣớc thực nghiệm
Nhóm
Số
HS
Thực
41
nghiệm
Đối
chứng
43
Ni
Xi
4
13
15
5
4
3
15
14
6
5
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
X
5.8
5.88
Xi− X
−1.8
−0.8
0.2
1.2
2.2
−1.88
−0.88
0.12
1.12
2.12
(Xi− X )2 Ni(Xi− X )2
3.24
0.64
0.04
1.44
4.84
3.53
0.77
0.014
1.25
4.49
12.96
8.32
0.6
7.2
19.36
10.59
11.55
0.196
7.5
22.45
S2
S
1.18 1.09
1.21
1.1
112
Từ bảng phân phối đặc trưng trên, ta suy ra:
S12=1.21
S22=1.18
+ Sử dụng các giá trị để tính đại lượng T kiểm định
Tkd
X Y
S12 S2 2
n
m
5.88 5.80
1.21 1.18
43
41
0.33
Tra bảng Student (Tα k) với mức ý nghĩa α = 0.05 và bậc tự do k = n +
m - 2 = 43+41−2=82.
Tìm α trong khoảng 1.66 - 1.67 như vậy Tkd= 0.33< T vậy giả thuyết
H0 không được chấp nhận. Do đó, kết quả của nhóm TN và ĐC trước thực
nghiệm là tương đương nhau
3.2.5.2. Tiến hành thực nghiệm
Hình thức kiểm tra đánh giá qua bài kiểm tra 40 phút, với nội dung
kiểm tra như phần phụ lục 4
Chúng tôi chia thang điểm theo mức độ sau:
Giỏi:
9 - 10
Khá:
7-8
Trung bình:
5-6
Yếu, kém:
dưới 5
+ Về mặt định lượng, chúng tôi sử dụng phương pháp toán học để xử lí
số liệu trong đó chủ yếu là sử dụng các thông số sau:
- Công thức tỉ lệ phần trăm: %.
n
- Công thức tính trung bình cộng: X
X
: là điểm trung bình cộng
xi: điểm số
n x
i i
i 1
N
trong đó:
113
ni: số lần xuất hiện điểm số (tần số)
N: tổng số bài kiểm tra
n
- Công thức tính phương sai:
s
2
n (x X )
i 1
1
1
N
n
- Công thức tính độ lệch chuẩn:
s
n (x X )
i 1
1
1
N
- Đại lượng kiểm định T (Student) để so sánh 2 giá trị trung bình:
Tkd=
X Y
S12 S 2 2
n
m
Tα k: tra trong bảng student với bậc tự do k = n + m - 2
Tkđ: là đại lượng tới hạn nếu Tkđ < Tα ta bác bỏ X > Y chấp nhận
X
= Y . Tkđ ≥Tα ta bác bỏ X = Y chấp nhận X > Y
+ Về mặt định tính: Từ kết quả thống kê sản phẩm (bài kiểm tra), qua
phiếu trưng cầu ý kiến, qua trò chuyện, quan sát ở lớp học sinh thực nghiệm.
Kết thúc thực nghiệm, kết quả được phản ánh như sau:
Bảng 3.4. Phân phối tần số điểm kiểm tra sau thực nghiệm
Nhóm Lớp
Điểm số
Số
HS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
X
TN
4A
41
0
0
0
1
7
7
14
9
3
0
6.78
ĐC
4B
43
0
0
0
2
10
15
9
6
1
0
6.23
Bảng 3.5. Phân phối tỉ lệ phần trăm kiểm tra sau thực nghiệm
Nhóm
Số HS
Yếu - Kém Trung bình
TN
41
2.43
ĐC
43
4.65
Khá
Giỏi
31.14
56.09
7.31
58.13
34.88
2.32
114
Biểu đồ 3.2. Tỉ lệ phần trăm mức độ điểm số bài kiểm tra sau thực nghiệm
60
50
40
TN
30
ĐC
20
10
0
Yếu - Kém
Trung bình
Giỏi
Khá
Bảng 3.5. Phân phối các tham số có đặc trƣng về kết quả
kiểm tra sau thực nghiệm
Nhóm
Thực
nghiệm
Đối
chứng
Số
HS
41
43
Xi− X
(Xi− X )2 Ni(Xi− X )2
Ni
Xi
1
4
−2.78
7.73
7.73
7
5
−1.78
3.17
22.19
7
6
−0.78
0.61
4.27
14
7
0.22
0.05
0.7
9
8
1.22
1.49
13.41
3
9
2.22
4.93
14.79
2
4
−2.23
4.97
9.94
10
5
−1.23
1.51
15.1
15
6
0.23
0.05
0.75
9
7
0.77
0.59
5.31
6
8
1.77
3.13
18.78
1
9
2.77
7.67
7.67
X
6.78
6.23
S2
S
1.54 1.24
1.34 1.16
115
Nhìn trong bảng 3.5 và biểu đồ 3.2, chúng tôi nhận xét như sau:
- Lớp thực nghiệm có X = 6.78, lớp đối chứng có X = 6.23, sự chênh
lệch giữa 2 lớp thực nghiệm và đối chứng là 6.78 - 6.23 = 0.05. Tỉ lệ chênh
lệch này đã thể hiện sự khác biệt rõ ràng và thực nghiệm có kết quả tương
đối cao.
- Có sự khác biệt về điểm số ở các mức độ: giỏi, khá, trung bình, yếu kém và lớp thực nghiệm có tỉ lệ HS đạt điểm cao hơn lớp đối chứng:
+ Điểm giỏi ở lớp thực nghiệm là 7.31%, lớp đối chứng chỉ có 2.32%.
+ Điểm khá ở lớp thực nghiệm là 56.09%, lớp đối chứng có 34.88%.
+ Điểm trung bình ở lớp thực nghiệm là 31.14% thấp hơn hẳn so với
lớp đối chứng chiếm 58.13%.
+ Điểm yếu của lớp thực nghiệm là 2.43% cũng thấp hơn so với lớp đối
chứng là 4.65%.
Để kiểm tra sự chênh lệch giữa tỉ lệ điểm trung bình của lớp thực
nghiệm và lớp đối chứng có ý nghĩa hay không? Chúng tôi đặt giả thuyết: “Sự
khác nhau giữa kết quả điểm trung bình cộng của hai lớp thực nghiệm và đối
chứng là không có ý nghĩa”.
Giả thuyết H0:
X
−Y
Đối thuyết K:
X
>Y
Dùng đại lượng kiểm định T để kiểm tra giả thuyết với công thức
n
Tkd=
X Y
S12 S 2 2
n
m
với
s
n (x X )
i 1
1
1
N
2
2
Từ bảng…, ta có s1 = 1.54 và s2 = 1.34 nên
Tkd=
6.78 6.23
1.54 1.34
41
43
=
0.55
=2.12
0.04 0.03
116
Tra bảng Tα k với mức ý nghĩa α=0.05 và bậc tự do k = n + m - 2 = 82
Ta tìm được Tα trong khoảng {2.042 - 1.960}, tức là Tα<2.042.
Như vậy Tkd > Tα, suy ra giả thuyết H0 bị bác bỏ, nghĩa là kết quả của
lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng là có ý nghĩa về thống kê.
3.5. Kết luận chƣơng 3
Từ kết quả thực nghiệm sư phạm, chúng tôi nhận thấy rằng:
- Việc đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy tiếp cận
năng lực MHH, những gợi ý về quy trình MHH đã góp phần rèn luyện, phát
triển cho HS năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn.
- Sự thiết kế một cách khéo léo các bài toán có nội dung thực tiễn trên cơ sở những mô hình đã trình bày trong chương 3 - giúp GV thực hiện
giảng dạy tự nhiên, không miễn cưỡng và không có những khó khăn lớn về
mặt thời gian.
- Năng lực MHH toán học các bài toán có nội dung thực tiễn đã trình
bày ở chương 3 được chuyển giao cho GV thực nghiệm một cách thuận lợi và
được vận dụng một cách sinh động, không gặp phải những trở ngại gì lớn và
mục đích dạy học được thực hiện một cách toàn diện, vững chắc.
117
KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận
Qua nghiên cứu đề tài, chúng tôi rút ra một số kết luận sau:
1.1. Hệ thống hóa các quan điểm của nhiều nhà khoa học về mô hình,
MHH, năng lực MHH toán học, quy trình phát triển năng lực MHH. Trình
bày rõ quan điểm phát triển năng lực MHH cho HS thông qua dạy học số học
lớp 4
1.2. Khẳng định phát triển năng lực MHH toán học cho HS là một vấn
đề cần thiết và quan trọng trong dạy học số học lớp 4. Đặc biệt phát triển năng
lực MHH toán học phù hợp với xu thế phát triển năng lực của chương trình
GDPT mới.
1.3. Dựa vào cơ sở lí luận và thực tiễn, chúng tôi đã đề xuất các quy
trình phát triển năng lực MHH toán học cho HS thông qua dạy học số học
lớp 4
1.4. Phương pháp thực nghiệm đã chứng minh được tính hiệu quả và
tính khả thi khi rèn luyện năng lực MHH toán học trong dạy học số học cho
HS lớp 4. Việc đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy trên cơ
sở dựa vào những mô hình, những gợi ý về phương pháp dạy học đã góp phần
rèn luyện cho HS những năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn.
Việc rèn các quy trình giúp HS không chỉ có hứng thú với hoạt động học tập
mà còn giúp phát triển được năng lực tư duy tích cực, biết cách giải quyết mô
hình hóa các tình huống thực tiễn.
1.5. Từ quá trình nghiên cứu thực trạng rèn luyện năng lực MHH toán
học cho HS thông qua dạy học số học lớp 4 ở các trường Tiểu học chúng tôi
thấy: Nhận thức về rèn luyện năng lực MHH và ý thức thực hiện đổi mới của
một bộ phận GV chưa cao. Năng lực của đội ngũ GV về vận dụng năng lực
MHH trong dạy học còn hạn chế. Chỉ chú trọng đến đánh giá cuối kỳ mà chưa
118
chú trọng việc phát triển năng lực thường xuyên trong quá trình dạy học.
Năng lực MHH của HS được đánh giá chủ yếu thiên về đánh giá chuẩn kiến
thức, kĩ năng ít chú ý đến đánh giá năng lực thái độ của học sinh và khả năng
vận dụng để giải quyết các tình huống trong thực tiễn. Cơ sở vật chất một số
trường học chưa đảm bảo... Với những thực tế như trên chúng tôi có một số
khuyến nghị
2. Khuyến nghị
2.1. Đối với Bộ Giáo dục và Đào tạo
- Xây dựng chuẩn năng lực MHH toán học theo từng khối, cấp học.
- Tổ chức các hoạt động nghiên cứu khoa học, hội thảo khoa học, bồi
dưỡng, tập huấn năng lực MHH toán học cho cán bộ quản lý, giáo viên.
- Thiết kế SGK mới theo hướng tiếp cận năng lực MHH toán học.
2.2. Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Vinh
- Quan tâm hơn nữa xây dựng chương trình, kế hoạch đào tạo, bồi
dưỡng cán bộ quản lý, GV về phát triển năng lực MHH toán học.
2.3. Đối với Phòng Giáo dục và Đào tạo
- Xây dựng, chỉ đạo điểm mô hình về phát triển năng lực MHH toán
học, từ đó rút kinh nghiệm và nhân rộng ở các trường Tiểu học khác trên địa
bàn toàn thành phố.
- Tăng cường công tác kiểm tra, đánh giá ở các trường Tiểu học để
công tác này được thực hiện một cách thường xuyên, đầy đủ và có chất lượng.
- Chỉ đạo các trường làm đề kiểm tra phát triển năng lực MHH toán học
cho học sinh.
2.4. Đối với các trường Tiểu học
- Cần có sự chỉ đạo, kiểm tra sát sao việc thực hiện kiểm tra, đánh
giá của giáo viên.
119
- Cần tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên đề cho giáo viên về kiến thức
MHH toán học, phương pháp dạy học, ra đề, kĩ thuật đánh giá theo hướng
phát triển năng lực.
2.5. Đối với mỗi giáo viên Tiểu học
- Cần quan tâm nhiều đến phát triển năng lực MHH toán học cho bản
thân. Vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học để đánh giá nâng cao kết
quả học tập của học sinh.
120
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu tham khảo bằng Tiếng Việt
[1].
Nguyễn Thị Tân An (2012), “Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy
học toán”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh, ISSN 1859-3100, 37 (71), trang 114-121.
[2].
Nguyễn Thị Tân An (2013), “Xây dựng các tình huống dạy học hỗ trợ
quá trình toán học hóa”, Tạp chí Khoa học ĐH sư phạm tp Hồ Chí
Minh, ISSN 1859- 3100, 48 (82), trang 5-13.
[3].
Phan Anh (2012), Góp phần phát triển năng lực toán học hóa để phát
triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10, Luận án
Tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ
Chí Minh
[4].
Bộ Giáo dục và Đào tạo (12/2018), Dự thảo chương trình giáo dục phổ
thông tổng thể.
[5].
Bộ Giáo dục và Đào tạo (2000), Sách giáo khoa Toán 4, NXB Giáo
dục.
[6].
Bộ Giáo dục và Đào tạo (2013), Đề án Đổi mới chương trình và sách
giáo khoa sau 2015.
[7].
Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề cơ bản về chương trình và
quá trình dạy học, NXB Giáo dục.
[8].
Trần Đình Châu (1996), Xây dựng hệ thống bài tập số học nhằm bồi
dưỡng một số yếu tố của năng lực toán học cho học sinh khá giỏi đầu
cấp THCS, Luận án tiến sĩ, Viện KHGDVN.
[9].
Vũ Quốc Chung (Chủ biên), Đào Thái Lai, Đỗ Tiến Đạt, Trần
Ngọc Lan, Nguyễn Hùng Quang, Lê Ngọc Sơn (2007), Phương pháp
dạy học toán ở Tiểu học, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.
121
[10]. Hoàng Chúng (1995), Phương pháp dạy học toán học ở trường phổ
thông trung học cơ sở, NXB Giáo dục, Hà Nội.
[11]. Lê Thị Mỹ Hà (chủ biên, 2014), Tài liệu tập huấn PISA 2015 và các
dạng câu hỏi do OECD phát hành lĩnh vực toán học, Bộ Giáo dục và
Đào tạo, PISA Việt Nam, Hà Nội, tr.14-15.
[12]. Trần Diên Hiển (Chủ biên), Bùi Huy Hiền (2007), Các tập hợp số,
NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.
[13]. Đỗ Trung Hiệu, Đỗ Đình Hoan, Vũ Dương Thụy, Vũ Quốc Chung
(2009), Giáo trình phương pháp dạy học môn Toán ở Tiểu học,
NXBĐHSP.
[14]. Đỗ Đình Hoan, Phân tích ưu điểm và hạn chế, tồn tại của SGK môn
Toán cấp Tiểu học hiện hành theo định hướng chương trình giáo dục
phổ thông sau năm 2015, Tài liệu hội thảo.
[15]. Phạm Văn Hoàn (chủ biên), Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981).
Giáo dục học môn Toán, NXB Giáo dục. Hà Nội.
[16]. Lê Văn Hồng - Lê Ngọc Lan - Nguyễn Văn Thàng (2008), Tâm lý học
lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm, NXB Thế giới.
[17]. Bùi Văn Huệ, Phan Thị Hạnh Mai, Nguyễn Xuân Thức, Giáo trình tâm
lí học Tiểu học, NXB Đại học sư phạm.
[18]. Nguyễn Công Khanh (2015), Giáo trình kiểm tra đánh giá trong giáo
dục, NXB ĐHSP.
[19]. Nguyễn Công Khanh (2015), Giáo trình kiểm tra đánh giá trong giáo
dục, NXB ĐHSP,tr.107.
[20]. Nguyễn Bá Kim (2015), “Giáo dục toán học tập trung vào phát triển
năng lực”, Tạp chí toán học trong nhà trường, (số 1) tháng 7.
122
[21]. Trần Kiều, Nguyễn Thị Lan Phương (2003), Đổi mới phương pháp
giảng dạy môn Toán, Tài liệu dành cho học viên cao học PPDH môn
Toán.Viện Chiến lược và Chương trình giáo dục.
[22]. Trần Luận (1996), Vận dụng tư tưởng sư phạm của Polya xây dựng nội
dung và phương pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống theo chủ đề
nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên toán cấp II,
Luận án tiến sĩ, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam.
[23]. Nguyễn Đức Minh (chủ biên) (2014), Hướng dẫn đánh giá năng lực
của học sinh cuối cấp Tiểu học, NXB Giáo dục Việt Nam.
[24]. Nguyễn Danh Nam (12/8/2015), Quy trình mô hình hóa trong dạy học
Toán ở trường phổ thông.
[25]. Nguyễn Danh Nam (2015), “Quy trình mô hình hóa trong dạy học toán
ở trường phổ thông”, Tạp chí Khoa học ĐHQG Hà Nội, Nghiên cứu
giáo dục, 31 (3), tr.01-10.
[26]. Nguyễn Danh Nam, Phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn
Toán ở trường phổ thông, NXB ĐH Thái Nguyên.
[27]. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn
Toán ở trường phổ thông, NXB Đại học Sư phạm.
[28]. Bùi Huy Ngọc (2003), Tăng cường khai thác nội dung thực tế trong
dạy học số học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học
vào thực tiễn cho học sinh THCS, Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục,
Trường Đại học Vinh.
[29]. Nguyễn Thị Lan Phương, Phan Doãn Thoại, “Đề xuất mô hình sách
giáo khoa định hướng phát triển năng lực”, Tạp chí GD (Kì 3 tháng 8
năm 2017.
[30]. OECD, Learning Mathematics for Life. A view perspective from PISA.
2009, tr.5.
123
[31]. Nguyễn Quang Uẩn, Trần Hữu Luyến, Trần Quốc Thành (2013), Tâm
lí học đại cương, NXB ĐHQG Hà Nội, tr.178.
[32]. Nguyễn Quang Uẩn, Trần Hữu Luyến, Trần Quốc Thành (2013), Tâm
lí học đại cương, NXB ĐHQG Hà Nội, tr.180.
[33]. Terry Chew B. SC, Đánh thức tài năng Toán học 03 (Dành cho 10 - 12
tuổi), NXB Thế giới.
[34]. Terry Chew B. SC, Đánh thức tài năng Toán học 03 (Dành cho 9 - 10
tuổi), NXB Thế giới.
[35]. Terry Chew B. SC, Thách thức Toán Singapore (Dành cho 10 - 12
tuổi), NXB Thế giới.
[36]. Terry Chew B. SC, Thách thức Toán Singapore (Dành cho 8 - 10 tuổi),
NXB Thế giới.
[37]. Thái Huy Vinh (2014), Rèn luyện kĩ năng sử dụng ngôn ngữ toán học
trong dạy học môn toán lớp 4, lớp 5 trường tiểu học, Luận án tiến sĩ,
Đại học Vinh, Nghệ An.
[38]. A.Cruchetxki (1973), Tâm lí năng lực toán học của HS, NXB Giáo
dục, Hà Nội, tr.13-14.
[39]. V.A.Shof, Mô hình và triết học, NXB Đại học Sư phạm.
[40]. Xavier Roegiers (1996), Khoa sư phạm tích hợp hay làm thế nào để
phát triển các năng lực ở nhà trường, NXB Giáo dục, tr.80.
[41]. Xavier Roegiers (1996), Khoa sư phạm tích hợp hay làm thế nào để
phát triển các năng lực ở nhà trường, NXB Giáo dục, tr.91.
Tài liệu tham khảo bằng Tiếng Anh
[42]. Barbosa, J. (2006), Mathematical Modelling in classrooms: a socio critical and discursive perpective. Zentralblattfur Didaktik der
Mathematik, 38 (3), 293 - 30.
124
[43]. Blomh∅j,M., Jensen, T. (2007). What „s all the fuss about
competencies? In W.Blum, P.L.Galbraith, H.Henn, M.Niss, (Eds):
Modelling and Applications in Mathematics Education (ICMI Study
14), 45 - 56, Springer.
[44]. Blum, W. & Leiβ, D. (2006). How do students and teachers deal with
mathematical modelling problems? The example “Sugarloaf”. In
Haines, C. Galbraith P., Blum, W. and Khan, S. (2006), Mathematical
modelling (ICTMA 12): Education, engineering and economics.
Chichester: Horwood Publishing, 222-231.
[45]. Blum, W., & Niss, M. (1991), “Applied mathematical problem solving,
modelling, applications, and links to other subjects-State, trends
and issues in mathematics instruction”, Educational studies in
mathematics, 22(1), pp.37-68.
[46]. Clare Lee (2006), Language for learning Mathematics Assessment for
learning in Practice, Open University Preess., tr.92.
[47]. De Lange, J. (1996), “Using and applying
mathematics in
education”, International Handbook of Mathematics Education, vol. 1,
pp. 49-97.
[48]. Dr Evelyn Tan. Neo Seow Ling. Katharine Edgar, (2009), Maths Smart
4A, National Instilute of Education Education, Singapore.
[49]. Dr Evelyn Tan. Neo Seow Ling. Katharine Edgar, (2009), Maths Smart
4B, National Instilute of Education Education, Singapore.
[50]. Gellert,
U.,
&
Jablonka,
E.
(2007),
“Mathematisation
-
Demathematisation”, Mathematisation and demathematisation: Social,
philosophical and educational ramifications, pp.1-18.
[51]. Heather Gould, Chair Diane, R. Murray, Andrew Sanfratello (2012),
Mathematical Modeling Handbook, Colombia University, USA.
125
[52]. Maab, K. (2006). What are modelling competencies? The international
Journal on Mathematics Education, 38 (2), 113 - 142.
[53]. Niss Mogens (2003), “Quantitative Literacy and Mathematical
Competencies”, Quantitative literacy, Princeton: National Council on
Education and the Disciplines, pp. 215-220.
[54]. Niss Mogens, Mathematical Competencies and the Learning of
Mathematics: The Danish KOM Project, mn@mmf.ruc.dk.
[55]. Pollak, H. (1969).
How can we tech application of mathematics?
Educational Studies in Mathematics, 2, 393 - 404.
[56]. Stillman, G., Brown, J., & Galbraith, P. (2008). Research into the
teaching and learning of applications and modelling in Australia. In H.
Forgasz, A. Barkatsas, A. Bishop, B. Clarke, S. Keast, W. T. Seah, &
P. Sullivan (Eds), Research in mathematics education in Australia 2004
- 2007 (141 - 164). Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers.
[57]. Stillman, G., Brown, J., & Galbraith, P. (Eds) (2010). Applications and
mathematical modelling in mathematics learning and teaching. Special
issue. Mathematics Education Research Journal, 22(2).
[58]. Swetz, F., & Hartzler, J. S. (Eds) (1991), Mathematical modelling in
the secondary school curriculum. Reston, VA: National Council of
Teachers of Mathematics.
PL1
PHỤ LỤC
Phụ lục 1
PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN
Câu hỏi 1: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên quan tâm
đến việc dạy học số học theo hướng tăng cường mô hình hóa toán học.
Thường xuyên
Thỉnh thoảng
Không bao giờ
Câu hỏi 2: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu
về những ứng dụng của mô hình hóa toán học trong dạy học số học
Thường xuyên
Thỉnh thoảng
Không bao giờ
Câu hỏi 3: Thầy (cô) hãy đánh giá về tầm quan trọng của việc đưa mô
hình toán học vào dạy học số học
Rất quan trọng
Quan trọng
Không quan trọng
Câu hỏi 4: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên đưa mô
hình toán học vào dạy học số học
Rất thường xuyên
Thường xuyên
Thỉnh thoảng
Không bao giờ
2
Câu hỏi 5: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên hướng dẫn
HS giải quyết những tình huống thực tế ngoài SGK
Rất thường xuyên
Thường xuyên
Thỉnh thoảng
Không bao giờ
Câu hỏi 6: Thầy (cô) hãy đánh giá tầm quan trọng của việc tăng cường
các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán
Rất quan trọng
Quan trọng
Không quan trọng
Câu hỏi 7: Thầy (cô) hãy đánh giá mức độ đưa các câu hỏi có nội dung
thực tiễn vào kiểm tra môn Toán
Rất thường xuyên
Thường xuyên
Thỉnh thoảng
Không bao giờ
Câu hỏi 8: Thầy (cô) cho biết những thuận lợi và khó khăn gặp phải
trong quá trình tổ chức rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học trong dạy
học nội dung số học cho HS lớp 4?
...............................................................................................................
...............................................................................................................
...............................................................................................................
...............................................................................................................
...............................................................................................................
3
Câu hỏi 9: Thầy (cô) tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học mô hình
hóa toán học trong dạy học nội dung số học cho HS lớp 4 ra sao? (Lưu ý: Mỗi
thành tố chỉ tự nhận 1 mức.)
Bảng tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học mô hình hóa của GV
TT
1.
2.
3.
4.
5.
Các mức độ
Thành tố của năng lực tổ chức dạy học
mô hình hóa
Năng lực liên hệ kiến thức toán học với
những vấn đề trong thực tiễn
Năng lực xây dựng và phát triển một bài
toán nảy sinh từ tình huống thực tế
Năng lực sử dụng công nghệ thông tin
trong mô hình hóa các bài toán thực tiễn
Năng lực hướng dẫn HS giải bài toán có
nội dung thực tiễn
Năng lực hướng dẫn HS xây dựng bài
toán có nội dung thực tiễn
6. Năng lực đánh giá năng lực học sinh
7. Năng lực dạy học theo dự án
Tốt
Khá
Trung
bình
4
Phụ lục 2
PHIẾU ĐIỀU TRA HỌC SINH
Câu hỏi 1: Em mong muốn biết thêm những kiến thức ứng dụng của
thực tiễn Toán học như thế nào?
Rất muốn
Bình thường
Không muốn
Câu hỏi 2: Em tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán
học như thế nào?
Rất thường xuyên
Thường xuyên
Thỉnh thoảng
Không bao giờ
Câu hỏi 3: Em đánh giá như thế nào về mức độ thường xuyên giảng
giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV?
Rất thường xuyên
Thường xuyên
Thỉnh thoảng
Không bao giờ
Câu hỏi 4: Em đánh giá về mối liên hệ giữa toán học và các môn học
khác như thế nào?
Mật thiết
Bình thường
Không liên quan
Câu hỏi 5: Em hiểu tầm quan trọng của toán học như thế nào?
5
Rất quan trọng
Quan trọng
Không quan trọng
Câu hỏi 6: Em cảm thấy mức độ khô khan của môn toán như thế nào?
Khô khan
Bình thường
Khác: ………………………………
Câu hỏi 7: Em tự đánh giá mình thuộc biểu hiện năng lực mô hình hóa
tình huống thực tiễn nào dưới đây: (chỉ chọn 1 biểu hiện)
STT
1.
Các biểu hiện
HS không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay
viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề.
HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và
2.
đơn giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một
ý tưởng toán học nào.
Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật qua
3.
cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi
thành một vấn đề toán học.
4.
HS có thể làm việc với bài toán với kiến thức toán học có
sẵn theo dạng và có kết quả cụ thể.
HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm
5.
nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống
đã cho.
6
Phụ lục 3
ĐỀ KIỂM TRA TRƢỚC THỰC NGHIỆM
Bài toán 1: Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu
nói 1, 2 hoặc 3 thứ tiếng Nga, Anh, Pháp. Biết có 39 đại biểu chỉ nói tiếng
Anh, 35 đại biểu nói được tiếng Pháp, 8 đại biểu nói được cả tiếng Anh và
tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được tiếng Nga?
Bài toán 2: Không dùng cách thử chọn, hay giải bài toán sau:
Cho bốn chữ số 0, 1, 2, 3
Viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho?
Bài toán 3: Mai, Lan và Hương làm 111 chiếc bánh nướng. Lan làm
được số bánh nhiều gấp đôi Hương. Mai làm được ít hơn Lan 9 chiếc bánh.
Hỏi Mai làm được bao nhiêu bánh?
Bài toán 4: Cho bài toán và lời giải bài toán như sau. Hãy nhận xét lời
giải và giải thích cách làm khác (nếu có)?
Bài toán: Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận
sau: 4 tấm gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 12 cái kẹp nhỏ, 2 cái kẹp lớn và 14 cái ốc
vít.
Người thợ mộc đang có 26 tấm gỗ dài, 33 tấm gỗ ngắn, 200 kẹp nhỏ,
20 kẹp lớn, 510 cái ốc vít. Câu hỏi: Người thợ mộc có thể làm được nhiều
nhất là bao nhiêu cái giá sách?
Lời giải: Liệt kê theo bảng dưới đây:
7
Tên vật liệu
Vật liệu cần thiết để làm một
cái giá sách
Vật liệu cần thiết để làm hai
cái giá sách
Vật liệu cần thiết để làm ba
cái giá sách
Vật liệu cần thiết để làm bốn
cái giá sách
Vật liệu cần thiết để làm năm
cái giá sách
Vật liệu cần thiết để làm sáu
cái giá sách
So với vật liệu đang có
Số tấm Số tấm Số kẹp Số kẹp
gỗ dài gỗ ngắn
nhỏ
lớn
Số ốc vít
4
6
12
2
14
8
12
24
4
28
12
18
36
6
42
16
24
48
8
56
20
30
60
10
70
24
36
72
12
84
26
33
200
20
510
Ta thấy rằng nếu làm 6 giá sách thì cần có 36 tấm gỗ ngắn trong khi
theo dữ kiện đề bài ta chỉ có 33 tấm gỗ ngắn. Vậy người thợ mộc có thể làm
được nhiều nhất là 5 giá sách.
8
Phụ lục 4
ĐỀ KIỂM TRA SAU THỰC NGHIỆM
Bài toán 1: Nêu bài toán rồi giải bài toán theo sơ đồ sau
?l
Thùng 1
180 l
Thùng 2
?l
Bài toán 2: Lúc đầu An và Bình có số bi bằng nhau. Nếu An cho Bình
10 viên thì số bi của An bằng một nửa số bi của Bình hiện có. Số bi ban đầu
của 2 bạn là bao nhiêu?
Bài toán 3: Không dùng cách giải sử dụng yếu tố đại số, hãy giải bài
toán sau và nêu kiến thức đã áp dụng để giải:
Một người bán vải, lần (I) bán một nửa số vải và
được một nửa số vải còn lại và
và
1
m. Lần thứ 2 bán
2
1
m. Lần thứ 3 bán đi một nửa số vải còn lại
2
1
m thì vừa hết. Hỏi số vải lúc đầu có là bao nhiêu?
2
Bài toán 4: Cho bài toán và lời giải bài toán như sau. Biết rằng lời giải
bài toán đã bị sai. Hãy chỉ ra lỗi sai, giải thích và trình bày lại mời giải đúng?
Bài toán: Có 1 cái bánh pizza được chia cho nhiều người. Biết rằng 1
lần cắt chia bánh pizza thành 2 phần và 2 lần cắt chia bánh pizza thành 4
phần. Hỏi nếu sau 10 lần cắt chia bánh pizza thành mấy phần?
9
Lời giải
1 lần cắt: 2 phần
2 lần cắt: 4 phần
10 lần cắt: …? phần
Bài toán rút về đơn vị
Quy trình 2:
10 lần cắt thì có số phần là:
10× 2 = 20 (phần)