BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH __________________________________________________________ MAI THÙY LINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGHỆ AN, 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH __________________________________________________________ MAI THÙY LINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4 Chuyên ngành: Giáo dục học (bậc Tiểu học) Mã số: 8.14.01.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN TIẾN DŨNG NGHỆ AN, 2019 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Nguyễn Tiến Dũng, người đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt tôi trong thời gian qua. Tôi xin trân trọng cám ơn sự hợp tác, giúp đỡ từ phía giáo viên, học sinh các trường Tiểu học Nghi Phú 1, Tiểu học Nghi Ân, Tiểu học Hưng Dũng 2 trong thời gian tôi thực nghiệm đề tài. Cuối cùng, tôi xin chân thành cám ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Do điều kiện chủ quan và khách quan, luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong những ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo và quý bạn đọc để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng vấn đề nghiên cứu của luận văn. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kì công trình nào khác. Nghệ An, ngày 28 tháng 6 năm 2019 Tác giả Mai Thùy Linh MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC SƠ ĐỒ, BẢNG, BIỂU, HÌNH DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4 ....................................................................................................... 7 1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu ......................................................................... 7 1.1.1 Nghiên cứu ở ngoài nước ......................................................................... 7 1.1.2 Nghiên cứu trong nước............................................................................. 9 1.2. Một số khái niệm ...................................................................................... 11 1.2.1. Mô hình và mô hình hóa ....................................................................... 11 1.2.2. Toán học hóa và mô hình hóa toán học ................................................ 16 1.2.3. Năng lực mô hình hóa toán học ............................................................ 31 1.3. Nội dung số học trong môn Toán lớp 4 ................................................... 38 1.3.1. Mục tiêu................................................................................................. 38 1.3.2. Nội dung ................................................................................................ 39 1.4. Đặc điểm nhận thức của học sinh lớp 4 ................................................... 40 1.5. Kết luận chương 1 .................................................................................... 44 Chương 2 THỰC TRẠNG RÈN LUYỆN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4 45 2.1. Khái quát về quá trình khảo sát thực trạng .............................................. 45 2.1.1. Mục đích khảo sát ................................................................................. 45 2.1.2. Nội dung khảo sát.................................................................................. 45 2.1.3. Địa bàn, thời gian, đối tượng khảo sát .................................................. 45 2.1.4. Phương pháp khảo sát ........................................................................... 45 2.2. Nghiên cứu thực trạng rèn luyện năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 ....................................................................... 46 2.2.1. Khảo sát nội dung toán học thực tiễn sử dụng kiến thức số học trong chương trình sách giáo khoa Toán 4 ............................................................... 46 2.2.2. Thực trạng nhận thức của giáo viên về việc rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung số học và dạy học Toán theo hướng tăng cường liên hệ thực tiễn cho học sinh lớp 4 ..................................................... 49 2.2.3. Thực trạng năng lực mô hình hóa toán học của học sinh lớp 4 ............ 56 2.3. Đánh giá chung thực trạng ....................................................................... 62 2.4. Kết luận chương 2 .................................................................................... 63 Chương 3 QUY TRÌNH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4 ............ 64 3.1. Nguyên tắc xây dựng quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học . 64 3.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học của toán học và sự phù hợp với mục tiêu, nội dung, chuẩn kiến thức kĩ năng Toán 4 ...................................... 64 3.1.2. Nguyên tắc 2: Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn ...... 64 3.1.3. Nguyên tắc 3: Chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề ............. 65 3.1.4. Nguyên tắc 4: Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức ............................ 65 3.2. Quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 ................................................................................. 66 3.2.1. Quy trình 1: Rèn luyện năng lực chuyển đổi từ tình huống thực tế sang tình huống toán học ......................................................................................... 66 3.2.2. Quy trình 2: Rèn luyện kĩ năng sử dụng mô hình toán học để giải bài toán .................................................................................................................. 76 3.2.3. Quy trình 3: Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế và phản ánh những hạn chế ................................................................. 99 3.3. Minh họa một số hoạt động phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 ...................................................... 104 4. Hoạt động vận dụng (Rèn luyện 3 quy trình) ........................................... 107 3.4. Thực nghiệm tính khả thi và sự cần thiết của các quy trình đề xuất...... 108 3.4.1. Mục đích và yêu cầu thực nghiệm ...................................................... 108 3.4.2. Nhiệm vụ ............................................................................................. 108 3.4.3. Các nguyên tắc tổ chức thực nghiệm .................................................. 108 3.4.4. Thời gian, đối tượng thực nghiệm....................................................... 109 3.4.5. Phân tích kết quả thực nghiệm ............................................................ 109 3.5. Kết luận chương 3 .................................................................................. 116 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ ............................................................... 117 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 120 PHỤ LỤC DANH MỤC SƠ ĐỒ, BẢNG, BIỂU, HÌNH Sơ đồ Sơ đồ 1.1. Các hoạt động của quá trình toán học hóa ..................................... 17 Sơ đồ 1.2. Quy trình mô hình hóa (Pollak, 1979, [55]) .................................. 21 Sơ đồ 1.3. Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler 1991) [57] .......... 21 Sơ đồ 1.4. Quy trình mô hình hóa (theo Blum và Lei, 2006, [44]) .............. 23 Sơ đồ 1.5. Quy trình MHH mô phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown, Edwards ........................................................................................................... 26 Sơ đồ 1.6. Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa trong dạy học Toán .... 27 Sơ đồ 1.7. Phân loại các tình huống có vấn đề ............................................... 28 Sơ đồ 1............................................................................................................. 74 Sơ đồ 2............................................................................................................. 74 Hình Hình 1.1. Ly cooktail thủy tinh ....................................................................... 29 Hình 1.2. Phần thân ly cùng với đường kính và dung tích ............................. 30 Hình 1.3. Phần thân ly với chiều cao H và thể tích V ..................................... 31 Hình 1.4. Tám năng lực Toán học đặc trưng .................................................. 34 Hình 1 .............................................................................................................. 73 Hình 2 .............................................................................................................. 73 Bảng Bảng 2.1.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên quan tâm đến việc dạy học số học theo hướng tăng cường hoạt động rèn luyện MHH toán học ................................................................................................................... 49 Bảng 2.1.b. Kết quả đánh giá về mức độ thường xuyên quan tâm đến dạy học số học theo hướng tăng cường hoạt động rèn luyện MHH toán học .............. 50 Bảng 2.2.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng dụng của MHH toán học trong dạy học số học ....................................... 50 Bảng 2.2.b. Kết quả đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng dụng của MHH toán học trong dạy học số học ............................................... 50 Bảng 2.3.a. Thống kê ý kiến của GV về tầm quan trọng của việc đưa mô hình toán học vào dạy học số học ........................................................................... 51 Bảng 2.3.b. Kết quả đánh giá của GV về tầm quan trọng của việc đưa mô hình toán học vào dạy học số học ................................................................... 51 Bảng 2.4.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên đưa mô hình toán học vào dạy học số học ........................................................................... 51 Bảng 2.4.b. Kết quả đánh giá của GV về mức độ thường xuyên đưa mô hình toán học vào dạy học số học ........................................................................... 51 Bảng 2.5.a. Thống kê về mức độ thường xuyên hướng dẫn HS giải quyết những tình huống thực tế ngoài SGK ............................................................. 52 Bảng 2.5.b. Kết quả đánh giá về mức độ thường xuyên hướng dẫn HS giải quyết những tình huống thực tế ngoài SGK ................................................... 52 Bảng 2.6.a. Thống kê tầm quan trọng của việc tăng cường các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán ........................................................... 53 Bảng 2.6.b. Kết quả đánh giá tầm quan trọng của việc tăng cường các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán ................................................ 53 Bảng 2.7.a. Thống kê mức độ đưa các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán ................................................................................................... 53 Bảng 2.7.b. Kết quả đánh giá mức độ đưa các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán ................................................................................... 53 Bảng 2.8. Thống kê về ý kiến của GV trong dạy học ..................................... 54 Bảng 2.9. Bảng tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học MHH của GV ............ 55 Bảng 2.10.a. Thống kê về mong muốn của HS được biết thêm những kiến thức ứng dụng của thực tiễn toán học ............................................................. 57 Bảng 2.10.b. Kết quả đánh giá mong muốn của HS được biết thêm những kiến thức ứng dụng của thực tiễn toán học ..................................................... 57 Bảng 2.11.a. Thống kê của HS về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học ............................................................ 57 Bảng 2.11.b. Kết quả đánh giá mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học ................................................................... 57 Bảng 2.12.a. Thống kê đánh giá của HS về mức độ thường xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV ..................................................... 58 Bảng 2.12.b. Kết quả đánh giá của HS về mức độ thường xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV ..................................................... 58 Bảng 2.13.a. Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa toán học và các môn học khác .................................................................................................. 59 Bảng 2.13.b. Kết quả đánh giá ý kiến của HS về mối liên hệ giữa toán học và các môn học khác ............................................................................................ 59 Bảng 2.14.a. Thống kê ý kiến của HS về tầm quan trọng của toán học ......... 59 Bảng 2.14.b. Kết quả đánh giá ý kiến của HS về tầm quan trọng của toán học .. 59 Bảng 2.15.a. Thống kê ý kiến HS về mức độ khô khan của môn toán ........... 60 Bảng 2.15.b. Kết quả đánh giá ý kiến HS về mức độ khô khan của môn toán..... 60 Bảng 2.16. Tự đánh giá khả năng của HS khi học toán thực tiễn................... 60 Bảng 3.1. Phân phối tần số điểm trước khi thực nghiệm .............................. 110 Bảng 3.2. Phân phối tỉ lệ phần trăm kiểm tra đầu vào theo mức độ đánh giá . 110 Bảng 3.3. Phân phối các tham số có đặc trưng và kết quả kiểm tra trước thực nghiệm ........................................................................................................... 111 Bảng 3.4. Phân phối tần số điểm kiểm tra sau thực nghiệm ......................... 113 Bảng 3.5. Phân phối các tham số có đặc trưng về kết quả kiểm tra sau thực nghiệm ........................................................................................................... 114 Biểu đồ Biểu đồ 3.1. Tỉ lệ phần trăm mức độ điểm số bài kiểm tra trước thực nghiệm . 110 Biểu đồ 3.2. Tỉ lệ phần trăm mức độ điểm số bài kiểm tra sau thực nghiệm.... 114 DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT TT Từ viết tắt Từ đầy đủ 1. ĐC Đối chứng 2. GDPT 3. GV Giáo viên 4. HS Học sinh 5. MHH Mô hình hóa 6. SGK Sách giáo khoa 7. THCS Trung học cơ sở 8. THPT Trung học phổ thông 9. TN Giáo dục phổ thông Thực nghiệm 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Thời xưa khi con người chưa có sự hỗ trợ của máy móc nên bản thân các bài toán phát sinh chỉ là những bài đơn giản, số lượng tính toán cỡ nhỏ. Vì vậy những công cụ toán học sử dụng cũng vô cùng đơn giản và sơ khai như phép cộng, phép trừ, hay khai căn gần đúng… Ngày nay, cùng với sự hỗ trợ của công nghệ, các tình huống có vấn đề do con người đặt ra là vô cùng trừu tượng và phức tạp với số lượng phép tính lớn, vượt xa ra khỏi khả năng tự nhiên của một con người. Vì vậy các công cụ tính toán và các khái niệm mới cũng hết sức trừu tượng (nên khó có thể tìm một ứng dụng tự nhiên của nó trong đời sống hằng ngày, chúng ta có thể chỉ ra nó ứng dụng vào công việc gì mà khó có thể giải thích cụ thể xem nó ứng dụng như thế nào). Nói về đặc điểm toán học, cùng với tính trừu tượng của đối tượng toán học, các phương pháp chứng minh và tìm tòi, phát kiến trong toán học, người ta đã chú ý đến mô hình hóa toán học. Nhiều nhà nghiên cứu đã khẳng định rằng, mô hình hóa toán học có vai trò quan trọng trong sự phát triển nhận thức toán học của học sinh (HS) tiểu học. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn đóng vai trò quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học cho HS. Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, HS cần hiểu và vận dụng những kiến thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng và mô hình hóa các vấn đề trong cuộc sống. Xu hướng phát triển năng lực trong giáo dục phổ thông (GDPT) của quốc tế và yêu cầu đổi mới GDPT ở Việt Nam hiện nay hướng tới 4 trụ cột giáo dục thế kỉ 21 của UNESCO là học để biết, học để làm, học để làm người và học để chung sống. Chương trình GDPT nhiều nước tiên tiến trên thế giới đã xác định rõ những lĩnh vực cơ bản và yêu cầu về phẩm chất, thái độ. Chiến lược phát triển giáo dục 2011 - 2020 của Việt Nam cũng xác định năng lực 2 của HS là định hướng quan trong để phát triển chương trình và sách giáo khoa (SGK) sau năm 2015. Cho đến nay, nhiều công trình nghiên cứu trong nước và ở nước ngoài đã quan tâm đến năng lực toán học. Trong đó, phải kể đến các nghiên cứu của V.A Crutexki và Niss Mogens. Chương trình đánh giá HS quốc tế (PISA) ở lĩnh vực toán học xác định 8 năng lực đánh giá hiểu biết toán cho HS 15 tuổi. Trong đó, năng lực mô hình hóa (MHH) là một năng lực quan trọng, được xác định là một trong 4 năng lực thuộc nhóm năng lực “khả năng đặt ra và giải đáp các vấn đề trong, với và về toán học”. Trong dự thảo chương trình giáo dục phổ thông (GDPT) mới nhất 12/2018 của Bộ Giáo dục và Đào tạo nêu rõ mục tiêu năng lực MHH của HS tiểu học đó là: “Lựa chọn được các phép toán, công thức số học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ để trình bày, diễn đạt (nói hoặc viết) được các nội dung, ý tưởng của tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn đơn giản; giải quyết được những bài toán xuất phát từ sự lựa chọn trên; nêu được câu trả lời cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn [4]. Trong dự thảo đã cho thấy rằng việc thực hiện mục tiêu năng lực MHH được thể hiện chủ yếu qua kiến thức về nội dung số học. Qua đó hình thành cho HS cách học toán - cấp độ của HS lớp 4. [9, tr.22] Quan điểm dạy học hình thành năng lực toán học cho HS thông qua thực tiễn và hoạt động học tập đã được nhiều nhà giáo dục toán học khẳng định. Đổi mới phương pháp dạy học theo hướng lấy HS làm trung tâm đã được triển khai thực hiện ở các nhà trường. Tuy nhiên, có thể nói cho đến nay không có nhiều bằng chứng cho thấy sự thay đổi đáng kể trong phương pháp dạy học. Trong các lớp học, mặc dù đã có cải tiến về biện pháp, kĩ thuật và phương tiện dạy học nhưng việc rèn luyện năng lực cho học sinh vẫn chưa thực sự rõ nét. Khảo sát qua phiếu hỏi, dự các giờ dạy toán ở Tiểu học, đặc biệt là lớp 4, với vị trí là cuối cấp và khả năng tư duy tốt hơn thì kết quả cho thấy HS còn gặp nhiều khó khăn trong khi liên hệ thực tiễn và trình bày các 3 nội dung toán học. HS quen các biểu diễn số học mà lúng túng khi sử dụng và vận dụng các biểu diễn hình ảnh, biểu đồ, công thức trong suy luận nên gặp khó khăn khi tìm kiếm các giải pháp toán học trong học tập và thực tiễn. Thực tế trong đào tạo, bồi dưỡng GV hiện nay cũng chưa đề cập nhiều đến năng lực MHH toán học trong dạy học Tiểu học và cũng chưa có nghiên cứu cụ thể, rạch ròi về vấn đề này ở một lớp học nào. Những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên. Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các sách Toán để HS học và rèn luyện còn rất ít. Chương trình SGK và các phương pháp dạy học hiện nay vẫn chưa giúp HS hiểu rõ về những ứng dụng của MHH toán học. Với định hướng dạy học hướng vào sự phát triển năng lực của người học, bám sát mục tiêu năng lực MHH của chương trình GDPT mới và cấp độ cách học toán của học sinh lớp 4, việc dạy các nội dung số học lớp 4 góp phần chủ yếu vào việc rèn luyện và phát triển kĩ năng tính toán, năng lực MHH toán học, một trong những năng lực cốt lõi trong mục tiêu chương trình GDPT mới. Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn vấn đề “Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài đề xuất quy trình phát triển năng lực MHH toán học cho HS thông qua dạy học nội dung số học lớp 4 và minh họa một số hoạt động rèn luyện năng lực này, góp phần đáp ứng yêu cầu của đổi mới GDPT cấp tiểu học. 4 3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu 3.1 Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học số học cho HS lớp 4 ở trường tiểu học và vận dụng số học vào giải quyết các vấn đề thực tiễn. 3.2 Đối tượng nghiên cứu Quy trình phát triển năng lực MHH toán học cho HS thông qua dạy học số học lớp 4. 4. Giả thuyết khoa học Nếu thiết kế và thực hiện được quy trình phát triển năng lực MHH toán học thông qua dạy học số học cho HS lớp 4 thì sẽ sẽ hình thành và phát triển năng lực MHH toán học cho HS, giúp GV làm chủ chương trình GDPT mới đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học số học cho HS lớp 4 theo tiếp cận năng lực. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu cơ sở lí luận về rèn luyện năng lực MHH toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4. 5.2. Nghiên cứu thực trạng rèn luyện năng lực MHH toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4. 5.3. Đề xuất quy trình phát triển năng lực MHH toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 và thử nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra tính khả thi của quy trình đề xuất. 6. Phạm vi nghiên cứu Lớp 4 ở trường Tiểu học Nghi Phú 1, Tiểu học Nghi Ân, Tiểu học Hưng Dũng. 5 7. Phƣơng pháp nghiên cứu 7.1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận, phân tích tổng hợp và hệ thống hóa một số vấn đề lí luận liên quan đến đề tài, khái quát hóa các nhận định độc lập. 7.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Sử dụng phương pháp điều tra thực tiễn, khảo sát và thực nghiệm. 7.3. Phương pháp xử lí thống kê toán học kết quả thực nghiệm: Sử dụng phương pháp thống kê toán học trong nghiên cứu khoa học giáo dục để xử lí số liệu. 8. Đóng góp của luận văn 8.1. Đóng góp về mặt lí luận - Góp phần làm rõ vai trò của việc phát triển năng lực MHH cho HS thông qua dạy học số học lớp 4. - Minh họa được một số hoạt động thể hiện quy trình phát triển năng lực MHH toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 và xây dựng hệ thống bài toán có nội dung thực tiễn và đưa ra được những gợi ý, những chỉ dẫn về vận dụng phương pháp mô hình hóa để giải quyết hệ thống bài tập đó. 8.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn - Nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung số học lớp 4 ở trường Tiểu học, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của toán học trong chương trình môn Toán ở trường Tiểu học. - Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập môn Toán ở trường Tiểu học. 6 9. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận nội dung của luận văn gồm 3 chương: Chƣơng 1. Cơ sở lí luận của việc rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 Chƣơng 2. Thực trạng rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 Chƣơng 3. Quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 7 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VIỆC RÈN LUYỆN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4 1.1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu 1.1.1 Nghiên cứu ở ngoài nước Một trong những chủ đề trọng tâm của giáo dục toán học trong suốt ba thập kỉ qua đó là mô hình toán học và những ứng dụng của toán học trong thực tiễn cuộc sống. Nói tổng quát hơn, đó chính là mối quan hệ giữa toán học với thực tiễn (thế giới bên ngoài toán học). MHH trong giáo dục toán chính thức xuất hiện đầu tiên tại Hội nghị của Freudenthal năm 1968. Tại đây các nhà giáo dục toán đã đưa ra nhiều vấn đề liên quan đến MHH. Tại sao phải dạy toán để có ích? Tại sao nhiều học sinh không thể sử dụng kiến thức toán học để giải quyết những vấn đề thực tế mặc dù đạt được kết quả xuất sắc về môn học này? Dạy toán cần phải tiến hành sao cho học sinh có thể áp dụng toán vào những tình huống đơn giản trong cuộc sống. Mối liên hệ giữa toán và MHH tiếp tục được đề cập đến tại Hội nghị các nước nói tiếng Đức (1977) bao gồm các thảo luận về những khía cạnh của toán học ứng dụng trong giáo dục. Dấu mốc quan trọng là việc MHH được đưa vào nhà trường sau nghiên cứu của Pollak năm 1979: Ảnh hưởng của toán học lên các môn học khác ở nhà trường. Theo ông, giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho học sinh cách sử dụng toán trong cuộc sống hằng ngày. Từ đó, dạy và học MHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu (Blum, 2006, [44]). Ví dụ như nghiên cứu của chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA nhấn mạnh mục đích của giáo dục toán là phát triển khả năng học sinh sử dụng toán trong cuộc sống hiện tại và tương lai. Nghiên cứu của Hội đồng quốc tế về giảng dạy toán học ICMI (International Commission on Mathematical Instruction) lần thứ 14 năm 8 2007 về “MHH và ứng dụng trong giáo dục toán học” đã trình bày tương đối đầy đủ về tăng cường vận dụng phương pháp MHH trong dạy học Toán; năng lực MHH toán học; cấp độ MHH; đánh giá các giai đoạn của quá trình MHH; vai trò của phương pháp MHH trong học tập môn Toán; MHH trong đào tạo giáo viên; điều kiện triển khai MHH trong lớp học, MHH và áp dụng chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA. Ngoài ra, từ hội nghị lần thứ 4 (2005) đến hội nghị lần thứ 8 (2013) của Hiệp hội nghiên cứu giáo dục toán châu Âu CERME (Congress of European Research in Mathematics Education), MHH và áp dụng toán là một trong những chủ đề chính của thảo luận: “MHH liên kết giữa toán học trong nhà trường với cuộc sống, công việc và việc đưa ra quyết định. Nó là quá trình lựa chọn và sử dụng những kiến thức toán học để phân tích tình huống thực tế, hiểu chúng rõ hơn và ra quyết định phù hợp”. Có nhiều quan điểm khác nhau trong các nghiên cứu về mô hình toán học, cụ thể: Quan điểm “thực tế” quan tâm đến khả năng người học áp dụng toán để giải quyết những vấn đề thực tế xuất phát từ khoa học, kinh tế, công nghiệp,… giúp họ hiểu viết hơn về thế giới thực và giải quyết vấn đề trong thực tiễn cuộc sống. Quá trình MHH là một quá trình hoàn chỉnh, được thực hiện như một nhà toán học ứng dụng, với mục đích giải quyết một vấn đề thực tế chứ không phải để phát triển một lí thuyết mới như một quan điểm nhận thức luận. Một số nhà giáo dục toán tiêu biểu cho cách tiếp cận này là các tác giả Pollak, Burkhardt, Galbraith, Stillman, Kaiser và Schwarz. Quan điểm “giáo dục”: phần lớn các tiếp cận được phát triển trong lĩnh vực MHH thuộc quan điểm này như Blum, Niss, Blomh∅j, Maab, Stillman. Quan điểm này chú trọng tích hợp MHH vào dạy học toán; thông qua các ví dụ thực tế và mối quan hệ của chúng đối với toán học để xây dựng việc hiểu các khái niệm và thúc đẩy quá trình học toán; quan tâm đến các bước của quá 9 trình MHH, nhiệm vụ MHH, phát triển năng lực MHH cũng như ý nghĩa của việc học toán [43]. Quan điểm “phản ánh”: nhấn mạnh vai trò, chức năng của toán học nói chung, của mô hình hóa toán học nói riêng đối với sự phát triển tư duy phê phán, tư duy phản ánh của người học trước những tình huống trong xã hội, y tế và môi trường. Cả kinh tế vĩ mô và vi mô đều được xây dựng dựa trên những mô hình toán học. Nó góp phần vào sự phát triển của xã hội [43]. Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn đặc biệt được các nước OECD (Organisation for Economic Cooperation and Development) quan tâm thông qua chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA. Năng lực toán học, theo PISA là “khả năng của mỗi cá nhân để xác định và hiểu vai trò của toán học trong thế giới…”. PISA nhấn mạnh đến khả năng sử dụng kiến thức toán học ở nhiều tình huống và ngữ cảnh khác nhau. Ở nhiều nước, kết quả PISA được thảo luận để đổi mới chương trình môn Toán ở nhà trường, đặc biệt là vấn đề MHH toán học. Ứng dụng của toán học trong thực tiễn để hiểu thế giới tốt hơn, giải thích các hiện tượng, giải quyết vấn đề, ra quyết định. 1.1.2 Nghiên cứu trong nước Dạy học MHH toán học vẫn còn khá mới mẻ đối với giáo viên trong nhà trường ở Việt Nam. Chưa có nhiều công trình nghiên cứu về việc vận dụng phương pháp dạy học này trong dạy và học toán ở nhà trường tiểu học. Cho đến bây giờ, các công trình nghiên cứu về MHH toán học chủ yếu thuộc cấp trung học cơ sở (THCS) và trung học phổ thông (THPT), có thể kể đến một số tác giả với các công trình. Tác giả Nguyễn Thị Tân An [2] trong nghiên cứu của mình cũng đã đưa ra một cách phân loại các tình huống toán học và xây dựng quá trình toán học hóa phù hợp với chương trình. Nghiên cứu cung cấp các hướng dẫn cụ thể đối với mỗi bước của quá trình toán học hóa giúp học sinh có thể định hướng khi đứng trước một tình huống toán học hóa, GV có thể sử dụng để lên kế hoạch dạy học. Ngoài ra, nghiên cứu cũng 10 chỉ rõ mối liên hệ giữa các năng lượng hiểu biết định lượng và quá trình toán học hóa. Do đó, việc giải quyết những tình huống chứa đựng các yếu tố định lượng thông qua quá trình toán học hóa sẽ giúp phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của HS. Đặc biệt nghiên cứu này đã xây dựng được thang đánh giá giúp đo các năng lực hiểu biết định lượng khi học sinh giải quyết một tình huống toán học hóa chứa đựng yếu tố định lượng. Mỗi năng lực được chấm điểm trong ba giai đoạn của quá trình toán học hóa theo bốn mức từ 0 đến 3. Tác giả Bùi Huy Ngọc [28] trong nghiên cứu “Tăng cường khái thác nội dung thực tế trong dạy học số học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS bậc THCS” đã xây dựng các biện pháp khai thác nội dung thực tế trong dạy học nội dung Số học và Đại số ở trường trung học cơ sở nhằm phát triển năng lực vận dụng toán học trong thực tiễn cho HS. Nghiên cứu của tác giả Phan Anh [3] “Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh THPT qua dạy học Đại số và Giải tích” cũng đã làm rõ việc xây dựng mô hình toán học hóa các tình huống thực tiễn trong quá trình dạy học học sinh phổ thông thông qua phần Đại số và Giải tích. Trong nghiên cứu gần đây của tác giả Nguyễn Danh Nam [25, tr.12] đã trình bày khái quát về “Quy trình phát triển năng lực MHH Toán học cho học sinh THPT”. Quy trình này giúp HS hình dung ra được các giai đoạn chuyển từ tình huống thực tiễn sang mô hình toán học, từ mô hình toán học sử dụng công cụ toán học để giải quyết bài toán; từ kết quả toán rút ra những nhận xét phản hồi. Qua đó, giúp HS tìm hiểu sâu và nắm chắc kiến thức toán học. Ngoài ra, sử dụng MHH toán học trong dạy học giúp học HS phát triển các kĩ năng toán học, đồng thời nó còn hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề hiệu quả hơn. Hơn nữa, sử dụng phương pháp này giúp việc học toán của HS trở nên ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn. Năng lực phân tích và giải 11 quyết vấn đề thực tiễn cũng được quan tâm khi sử dụng phương pháp này bởi các quy trình mô hình hóa giúp HS rèn luyện các thao tác tư duy toán học như phân tích và tổng hợp, trừu tượng hóa và tổng quát hóa, so sánh và tương tự, hệ thống hóa và đặc biệt hóa, suy diễn và quy nạp… Qua đó, tăng cường tính liên môn như Địa lí, Khoa học, Lịch sử, Môi trường. Những kết quả này sẽ là cơ sở cho những nghiên cứu tiếp theo về khả năng vận dụng quy trình MHH toán học trong dạy học tiểu học hiện nay, đặc biệt là tiếp cận hướng tăng cường đưa các bài toán thực tiễn vào chương trình SGK môn Toán. 1.2. Một số khái niệm 1.2.1. Mô hình và mô hình hóa 1.2.1.1.Mô hình Có nhiều quan niệm khác nhau về mô hình, dưới đây là một số cách hiểu thường sử dụng: Mô hình có thể được hiểu là đối tượng vật lí (ví dụ như mô hình hình không gian), mô hình trong trí não sử dụng trong nhiều ngữ cảnh học tập khác nhau hoặc mô hình tổng quát (như tiên đề của hình học Ơclit). Mô hình là một biểu tượng trong đầu hay một hệ thống đã được vật chất. Hệ thống này phản ánh hay tái hiện đối tượng nghiên cứu có thể thay cho nó và khi nghiên cứu hệ thống này ta thu được những thông tin mới về đối tượng đó (V.A. Shoff) [39]). Mô hình là một mẫu, một đại diện, một minh họa được thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành của một sự vật, hiện tượng, một hệ thống hay một khái niệm. Về mặt trực giác, người ta thường nghĩ đến mô hình theo ý nghĩa vật lý. (Swetz và Hartzler, 1991, [58]). Mô hình thực của một tình huống thực tế: là tình huống thực tế sau khi đã được đơn giản hóa, cụ thể hóa, xây dựng lại theo mục đích và quan tâm của người giải quyết vấn đề, nhưng vẫn phản ánh đúng một phần nào đó của tình huống thực tế ban đầu (Blum và Niss, 1991, [45]). 12 Tóm lại, “Mô hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật.” Như vậy, mô hình có một số đặc trưng cơ bản sau đây: * Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự nghiên cứu Mô hình là sản phẩm của quá trình hành động nhằm đạt được quá trình nhận thức nên mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc. Vì thế mô hình bao giờ cũng “nghèo nàn” hơn hiện thực mà nó mô tả và mô hình có thể là “thô thiển và chưa hoàn thiện”, song nó phải xét đến khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới. Tuy nhiên không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát triển của khoa học kĩ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô phỏng đối tượng nghiên cứu, cho nên mô hình có thể phức tạp hơn vật gốc, đồng thời nó có thể dự báo được những hiện tượng có thể xảy ra trong thực tiễn. * Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tƣ duy Mô hình ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong quá trình trừu tượng hóa, con người đã bỏ đi những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất; hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Bởi vậy, mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Điều này đã làm cho phương pháp MHH có tính chất cách 13 mạng, có tính phát triển. Như vậy, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực. * Mô hình không thể thay thế hoàn toàn vật gốc Một mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một vài mặt nào đó của vật gốc. Để nghiên cứu các sự vật hiện tượng phức tạp, người ta dùng nhiều mô hình để mô tả chúng. Tuy nhiên để lắp ráp chúng lại để có một sự đánh giá tổng quát về đối tượng ban đầu không phải là một việc đơn giản. * Thực tiễn cuộc sống luôn vận động và biến đổi, bởi vậy mô hình không phải là cái bất biến Phát triển mô hình ở mức độ thấp lên mức độ cao hơn đòi hỏi phải phát hiện được tính quy luật chung của các nhóm mô hình của các quá trình cụ thể, trong đó mô hình tổng quát hơn phải tương thích với các mô hình cụ thể trước đó. Một mô hình có thể là chưa thành công về nhiều phương diện nhưng nó vẫn có vai trò quan trọng trong việc phán đoán tình huống thực tiễn. Trong dạy học môn Toán ở trường tiểu học, mô hình toán học là một cấu trúc toán học (hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử,…) gồm các kí hiệu và các quan hệ toán học biểu diễn, mô tả các đặc điểm của một tình huống, một hiện tượng hay một đối tượng thực được nghiên cứu [24]. Đặc điểm quan trọng của mô hình toán học là sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả hiện thực khách quan. Mô hình toán học theo cách hiểu vật lí khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ sử dụng ngôn ngữ chính xác để diễn tả những quan hệ số lượng hoặc những mối quan hệ trong không gian, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác. Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật nhưng điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó. 14 1.2.1.2. Mô hình hóa Ý tưởng sử dụng mô hình và MHH trong dạy học được đề xuất bởi Aristides C. Barreto từ giữa những năm 70 của thế kỉ trước, ông quan niệm: “MHH là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyết một vấn đề nào đó”. MHH nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực tế, tìm kiếm kiến thức toán để giải quyết, sau đó quay lại thực tế xem xét tính hiệu quả của mô hình đã sử dụng để mô tả và phân tích và đối chứng phương pháp giải quyết tình huống thực. Sẽ có nhiều công cụ khác nhau hữu ích đối với mỗi tình huống, tùy thuộc vào cách phân tích tình huống đó, vì vậy đứng trước một nhiệm vụ MHH, câu hỏi đặt ra là: kiến thức nào phù hợp để giải quyết. Từ quan điểm này, chúng tôi nghiên cứu MHH ở hai cách tiếp cận sau: *MHH nhƣ một phƣơng pháp dạy học Cung cấp cho học sinh hiểu khái niệm của vấn đề; giúp học sinh đọc, hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế, phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán. Để áp dụng phương pháp này, GV có thể lựa chọn các chủ đề thuộc bất cứ lĩnh vực nào mà học sinh quan tâm hoặc yêu thích (dựa trên nội dung kiến thức của bài học) và thiết kế các mô hình toán học để dạy. Chúng tôi thiết kế 7 bước dạy học với MHH đó là: - Đưa ra vấn đề: Đưa cho cả lớp mô tả ngắn gọn về chủ đề, hướng dẫn học sinh đặt câu hỏi về chủ đề đó. - Đơn giản hóa vấn đề: GV lựa chọn một hoặc vài câu hỏi để phát triển kiến thức. Có thể khuyến khích HS tìm hiểu vấn đề, đọc lịch sử nghiên cứu hoặc phỏng vấn chuyên gia về vấn đề nghiên cứu. - Thiết lập vấn đề: GV bắt đầu thiết lập vấn đề bằng cách đưa ra giả thuyết, tính toán và sắp xếp dữ liệu theo cách mà HS có thể sử kiến thức toán học trong bài để giải quyết. - Phát triển kiến thức của bài học: GV đưa ra khái niệm, định nghĩa hay tính chất có liên hệ chặt chẽ với vấn đề vừa giải quyết. 15 - Trình bày ví dụ tương tự: Ngay sau các bước trên, các vấn đề tương tự được nêu ra, trình bày ứng dụng. Kích thích và hướng dẫn sử dụng các phương tiện kĩ thuật như máy tính cầm tay, máy vi tính để thực hành trong lớp. - Thiết lập mô hình và lời giải cho vấn đề xuất phát từ mô hình: GV đề nghị HS quay lại vấn đề và tổng quát hóa, giải nó. - Hiểu lời giải và cải tiến mô hình: Kết thúc giai đoạn này, HS phải đánh giá lời giải. Điều này cho phép HS hiểu sâu hơn về kết quả đạt được. *MHH nhƣ một phƣơng pháp nghiên cứu Giúp HS biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác. HS được làm việc theo nhóm tùy theo sở thích và thế mạnh cá nhân. Có thể chia làm 5 giai đoạn sau đây: - Lựa chọn chủ đề: Nhóm được tạo bởi ít nhất 4 HS và mỗi nhóm lựa chọn một chủ đề theo sở thích. Các nhóm với sự hướng dẫn của GV, chịu trách nhiệm về sự lựa chọn và cách thức tổ chức nhóm. GV gợi ý những dữ liệu có thể thu nhập qua lịch sử nghiên cứu hoặc qua phỏng vấn chuyên gia. - Làm quen với chủ đề mô hình: ở giai đoạn này HS làm quen với chủ đề và có dữ liệu. GV hướng dẫn đặt các câu hỏi mà các em đã tổng hợp được từ dữ liệu. Tổng hợp này cho phép các em học về chủ đề, khoảng 3 câu hỏi gợi ý cho nhóm. - Đơn giản vấn đề và thiết lập công thức: sau khi đơn giản vấn đề và lựa chọn câu hỏi để trả lời, GV bắt đầu thiết lập vấn đề từ câu hỏi để giải. Khi nhóm có kiến thức cơ bản về chủ đề, phỏng vấn chuyên gia sẽ có hiệu quả. - Thiết kế mô hình, giải và đối chiếu: Khi vấn đề được thiết lập, nhóm cố gắng chi tiết mô hình làm cho lời giải cụ thể hơn cho từng câu hỏi, áp dụng lời giải để dự đoán các kết quả khác. - Tổ chức viết báo cáo của nhóm và thuyết trình. Từ những cách tiếp cận trên, có hai hướng khai thác mô hình hóa. Thứ nhất, mô hình đươc sử dụng để hiểu và giải quyết các vấn đề thực tiễn như là 16 một phương tiện để dạy và học ở trường. Thứ hai, mô hình được sử dụng để phục vụ nghiên cứu khoa học. Tuy nhiên, các nhà nghiên cứu tập trung nhiều vào hướng khai thác thứ nhất. Barbosa [42] cho rằng mô hình đóng vai trò quan trọng trong dạy học toán. MHH là môi trường để học sinh tìm hiểu, khám phá các kiến thức toán học cũng như các kiến thức liên môn khác. Đây là phương pháp tiếp cận tích cực, hướng HS làm trung tâm, kết nối với thực tiễn và rèn luyện các kĩ năng toán học, giải quyết vấn đề, lập giả thuyết, toán học hóa, biểu diễn bội và tư duy phê phán,…Nó là một phương tiện để phát triển các ý tưởng toán học và giúp HS hiểu được bản chất các khái niệm toán học. Tóm lại, có thể nói mô hình được dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nào đó, mô hình toán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện nó dưới dạng ngôn ngữ toán học, trong đó mô hình hóa là quá trình tạo ra mô hình nhằm hướng tới giải quyết một vấn đề nào đó. Quá trình này tuân theo một quy trình sử dụng các quy tắc đặc biệt để thành lập giả thuyết hay cấu trúc toán học như; công thức, thuật toán, bảng biểu, biểu đồ, biểu tượng,... để từ đó HS có cái nhìn rõ ràng hơn về các vấn đề tồn tại trong thực tiễn. 1.2.2. Toán học hóa và mô hình hóa toán học 1.2.2.1. Toán học hóa Freudenthal (xem Van den Heuvel-Panhuizen, 2003) quan niệm rằng “toán học có quan hệ mật thiết với thực tế” và “toán học là kết quả hoạt động của con người”. Vì vậy, học toán không phải là tiếp nhận kiến thức có sẵn mà học toán là quá trình thiết lập và giải quyết vấn đề xuất hiện từ thực tế hay trong nội tại toán học để xây dựng lại kiến thức toán và ông gọi quá trình đó là toán học hóa (mathematization). Sau đó, Treffer (xem Gellert và Jablonka, 2007, [50]) đã trình bày khái niệm này rõ ràng hơn bằng cách phân biệt hai hình thức khác nhau của toán học hóa trong bối cảnh giáo dục: 17 - Toán học hóa theo chiều ngang: chỉ quá trình mô tả một vấn đề thực tế theo ngôn ngữ toán học để có thể giải quyết vấn đề đó với công cụ toán. Trong trường hợp này, toán học hóa là hoạt động chuyển đổi từ thế giới thực vào thế giới toán học. - Toán học hóa theo chiều dọc: là quá trình xảy ra trong thế giới toán học. Thông qua quá trình này, học sinh đạt được một trình độ toán học cao hơn so với trước đó. Trong thực tế ranh giới của hai quá trình này không phải luôn luôn rõ ràng. Sơ đồ dưới đây biểu diễn một số hoạt động có thể xuất hiện khi thực hiện quá trình toán học hóa theo hai chiều (De Lange, 1996, [47]): Sơ đồ 1.1. Các hoạt động của quá trình toán học hóa Các hoạt động của toán học hóa theo chiều dọc Phát biểu một khái niệm toán học mới Chứng minh các quy tắc Biểu diễn mối quan hệ toán học bởi một công thức. Sử dụng các phương pháp giải khác nhau Khám phá các quy luật Khám phá các mối quan hệ , hình dung vấn đề theo những cách khác nhau Chuyển một vấn đề thực tế sang một mô hình toán học, nhận ra những nội dung toán trong tình huống được cho Các hoạt động của toán học hóa theo chiều ngang Như vậy, theo quan điểm này, quá trình toán học hóa xảy ra không chỉ khi giải quyết một vấn đề thực tế mà ngay cả khi giải quyết một vấn đề toán học, nhằm khám phá các cấu trúc toán học. Các tình huống thực tế chỉ đóng vai trò là môi trường tạo động cơ hoặc minh họa cho sự xuất hiện các kiến thức toán. Để có thể rèn luyện cho HS khả năng vận dụng tốt các tri thức toán 18 học vào đời sống thực tiễn thì phải rèn luyện cho HS khả năng xây dựng tình huống đó bằng ngôn ngữ toán học. 1.2.2.2. Mô hình hóa toán học Hiện nay có rất nhiều định nghĩa mô tả khái niệm Mô hình hóa toán học được chia sẻ trong lĩnh vực giáo dục toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả lựa chọn. Theo định nghĩa Mô hình hóa toán học của Singapore: “Mô hình hóa toán học: là quá trình thành lập và cải thiện một mô hình toán học để biểu diễn và giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn”. Thông qua Mô hình hóa toán học, học sinh học cách lựa chọn và áp dụng một loạt các kiểu dữ liệu, các phương pháp và công cụ toán học phù hợp trong việc giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn. Cơ hội để xử lí các dữ liệu thực tế và sử dụng các công cụ toán học để phân tích dữ liệu nên là một phần của việc học tập toán học ở tất cả các cấp. Theo tài liệu của Nguyễn Danh Nam [26, tr.16] về mô hình hoá toán học: “Để vận dụng kiến thức toán học vào việc giải quyết những tình huống của thực tế, người ta phải toán học hóa tình huống đó, tức là xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống. Quá trình này được gọi là mô hình hoá toán học.” Một vài cấu trúc toán học cơ bản có thể dùng để mô hình hoá là các đồ thị, phương trình (công thức) hoặc hệ phương trình hay bất phương trình, chỉ số, bảng số hay các thuật toán. Mô hình hóa toán học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với thế giới thực, chỉ ra khả năng áp dụng các ý tưởng toán, đồng thời cung cấp một bức tranh rộng hơn, phong phú hơn về toán học, giúp việc học toán trở nên ý nghĩa hơn. Từ những định nghĩa về mô hình hóa toán học, chúng tôi có nhận xét: Mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ 19 bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý. Tuy nhiên, nếu nói một cách ngắn gọn thì mô hình hóa toán học chỉ là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học. Lịch sử hình thành và phát triển toán học đã cho thấy toán học có nguồn gốc từ thực tế, chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với các nội dung toán học. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và hoàn thiện các lý thuyết toán học.Toán học không phải là một sản phẩm thuần túy của trí tuệ mà được phát sinh và phát triển do nhu cầu thực tế của cuộc sống, trở lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực tiễn phát triển với vai trò là công cụ, toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do chính thực tiễn đặt ra. Một trong những lí do mà toán học luôn chiếm thời lượng lớn của chương trình giáo dục ở hầu hết các nước trên thế giới là vì lợi ích của toán học trong thực tiễn; toán học được áp dụng dưới nhiều cách khác nhau trong nhiều môn học như vật lí, hóa học, sinh học, địa lí, kĩ thuật, trong công việc và cuộc sống hằng ngày của mỗi người. Bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng liên quan đến toán học như khái niệm, định lí, công thức, quy tắc thì dạy toán cần giúp học sinh phát triển kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giải quyết những vấn đề thực tiễn. Khi sử dụng toán học để giải quyết vấn đề ngoài lĩnh vực toán học thì mô hình toán học và quá trình toán học hóa là những công cụ cần thiết. Đối với học sinh, MHH toán học là thực sự cần thiết vì những lí do sau đây: - MHH toán học cho phép HS hiểu được giữa toán học với cuộc sống môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn. 20 - MHH toán học trang bị cho HS khả năng sử dụng toán học như một công cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ đó giúp HS thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế. Khả năng sử dụng toán học vào các tình huống ngoài toán không phải là kết quả tự động của sự thành thạo toán học thuần túy mà đòi hỏi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện. - MHH toán học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện và phong phú của toán học, giúp HS thấy được đó không chỉ là một ngành khoa học mà còn là một phần của lịch sử văn hóa loài người. - Các nội dung toán học có thể được hình thành củng cố bởi những ví dụ thực tiễn, điều này giúp HS hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển thái độ tích cực của các em đối với toán học, từ đó tạo động cơ thúc đẩy việc học toán. - MHH toán học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng lực toán học của HS như suy luận, khám phá, sáng tạo và giải quyết vấn đề. 1.2.2.3. Một số quy trình mô hình hóa toán học Có nhiều nhà nghiên cứu đã xây dựng sơ đồ quy trình mô hình hóa. Sau đây là một số ví dụ: 1. Sơ đồ của Pollak [55] Sơ đồ về quá trình MHH của Pollak (1979) [55] là một trong những sơ đồ đầu tiên biểu diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều khi thực hiện MHH. Trong sơ đồ này ta thấy từ một mô hình trong thực tế, người MHH thực hiện “phiên dịch” sang ngôn ngữ toán học hay tạo ra một mô hình toán, rồi giải bài toán trong mô hình đó và áp dụng kết quả đối với tình huống ban đầu. Chiều của các mũi tên biểu diễn một vòng lặp, cho phép đi quanh sơ đồ giữa thế giới thực và thế giới toán học nhiều lần. 21 Sơ đồ 1.2. Quy trình mô hình hóa (Pollak, 1979, [55]) Thế giới Thế giới toán học thực 2. Sơ đồ của Swetz & Hartzler (1991) [57] Những sơ đồ phát triển sau đó đã cung cấp những hình ảnh chi tiết hơn về quy trình MHH. MHH các tình huống thực tế trong dạy học toán sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học phổ biến như công thức, thuật toán, bảng biểu, biểu đồ, kí hiệu,… Quá trình giải quyết vấn đề và mô hình hóa có những đặc điểm tương tự nhau, rèn luyện cho học sinh những kĩ năng toán học cần thiết. Do đó chúng hỗ trợ và bổ sung cho nhau. Quy trình này được xem là khép kín vì nó được dùng để mô tả các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại được dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn. Vì thế quy trình MHH được Swetz & Hartzler (1991) mô tả gồm bốn giai đoạn Sơ đồ 1.3. Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler 1991) [57] Quan sát, hiểu và xây dựng mô hình Tình huống thực tiễn Mô hình toán học Áp dụng Phân tích Hiểu và thông dịch Kết luận, Thông báo Kết luận toán học 22 Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố quan trọng có tác động đến vấn đề đó; Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngôn ngữ toán học. Từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng; Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp để MHH bài toán và phân tích mô hình; Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận. Tuy nhiên chúng ta có thể mô tả quy trình MHH một sự kiện nào đó thường xảy ra với ba giai đoạn cơ bản sau đây: Giai đoạn xây dựng mô hình, đó lá quá trình tìm “vật” đại diện thông thường cần sự liên tưởng những vấn đề tương tự. Trong giai đoạn này, vai trò của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng. Nhờ trí tưởng tượng và trực giác, người ta loại bỏ những mối quan hệ thứ yếu của đối tượng nghiên cứu, thay nó bằng một “hình mẫu” chỉ mang những tính chất, những mối quan hệ chủ yếu. “Hình mẫu” chỉ có trong tưởng tượng và căn cứ vào đó, người ta xây dựng mô hình thật (nếu như người đó sử dụng mô hình vật chất) hoặc liên tưởng tới những mô hình đã sẵn có. Giai đoạn nghiên cứu trên mô hình: Trong giai đoạn này, mô hình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người ta áp dụng các phương pháp lí thuyết và thực nghiệm khác nhau. Giai đoạn xử lí kết quả và điều chỉnh mô hình: Trong giai đoạn này, kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu để đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình. 2. Sơ đồ mô hình hóa của Blum và Lei, 2006, [44] Trong phần lớn các sơ đồ đều tập trung vào khám phá các giai đoạn tồn tại trong quá trình và một đại diện điển hình là sơ đồ của Blum và Lei (2006) 23 [44] gồm 7 bước để mô tả quá trình giải quyết một nhiệm vụ MHH. Sơ đồ này được xem là cơ sở cho phần lớn các hoạt động MHH và các phiên bản khác của sơ đồ hiện nay. Điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tiễn và mô hình thực bởi Blum cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình MHH mà mỗi HS ít nhiều phải trải qua. Sơ đồ 1.4. Quy trình mô hình hóa (theo Blum và Lei, 2006, [44]) Theo sơ đồ trên, ta có thể thấy: Bước 1: Hiểu tình huống thực tế đã cho, xây dựng một mô hình cho tình huống đó; khám phá tình huống, thiết lập mục tiêu giải quyết tình huống. Bước 2: Đơn giản hóa tình huống và đưa vào các biến phù hợp để được mô hình thực của tình huống; xác định các biến trong tình huống và lựa chọn các biến quan trọng mô tả tình huống. Bước 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán; thiết lập mô hình bằng cách tạo và lựa chọn cách biểu diễn hình học, bảng biểu, thống kê, hình vẽ, sơ đồ,… tả mối quan hệ giữa các biến số. Bước 4: Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán; phân tích và biểu thị các mối quan hệ để rút ra kết luận, nếu mô hình chưa phù hợp cần lựa chọn lại các biến số được sử dụng để điều chỉnh mô hình. 24 Bước 5: Thể hiện (hiểu) kết quả trong ngữ cảnh thực tế. Bước 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hoặc thực hiện quá trình lần 2. Bước 7: Áp dụng mô hình cho những tình huống tương tự. Tóm lại, tuân theo quy trình và các bước cụ thể trên, HS cần xuất phát từ tình huống thực tiễn, diễn đạt vấn đề thực tiễn bằng lời (lập giả thuyết, công thức, phương trình,…); sau đó sử dụng công cụ toán học để giải bài toán và hiểu ý nghĩa của lời giải bài toán trong thực tiễn. Cuối cùng, HS xem xét lại mô hình (hoặc chấp nhận mô hình), diễn đạt lại bài toán ban đầu (hoặc thông báo kết quả) và tìm hiểu những hạn chế và khó khăn có thể gặp phải khi áp dụng kết quả của bài toán vào tình huống thực tiễn. Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình MHH ở trên luôn tuân theo một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và dễ hiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông. Cơ chế điều chỉnh này cho thấy mối liên hệ mật thiết giữa toán học với các vấn đề trong thực tiễn. Cơ chế điều chỉnh trên gồm các bước cụ thể như sau: - Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết trong phạm vi của vấn đề thực tế; - Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra; - Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phương pháp giải quyết vấn đề và quá trình MHH; - Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợ với tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó; - Tìm hiểu các ưu điểm và hạn chế của mô hình đã đưa ra, sau đó cải tiến mô hình cho phù hợp với thực tiễn; - Hiểu được ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có độ phức tạp cao hơn; - Kiểm tra tính hợp lí và tối ưu của mô hình đã xây dựng. 25 4. Quy trình MHH trong dạy học Toán Tùy thuộc vào cách tiếp cận, mức độ phức tạp của tình huống thực tế được xem xét, hoặc mục đích nghiên cứu,… mà chúng ta có những sơ đồ khác nhau để chỉ ra bản chất của quá trình MHH, nhưng tất cả sơ đồ đều nhằm minh họa các bước chính trong một quá trình lặp, bắt đầu với một tình huống thực tế và kết thúc với việc đưa ra lời giải hoặc lặp lại quá trình để đạt được kết quả tốt hơn. Trong quá trình sử dụng MHH ở trường học nhằm giúp HS giải quyết vấn đề bằng cách: (i) thu thập, hiểu và phân tích các thông tin toán học; (ii) áp dụng toán học để mô hình hóa các tình huống thực tiễn. Quy trình cần nêu rõ: mô tả tóm tắt quá trình MHH, cung cấp cho những người mới bắt đầu MHH các bước hướng dẫn khi đứng tước một nhiệm vụ thách thức và mơ hồ cũng như khi gặp khó khăn trong quá trình giải quyết một tình huống thực tế; cung cấp một công cụ giúp giáo viên lên kế hoạch dạy học MHH và dự kiến những can thiệp, hỗ trợ khi sử dụng các tình huống thực tế trong dạy học; hướng dẫn các quan sát và phân tích trong nghiên cứu về quá trình MHH của HS để xác định những giai đoạn nào được thực hiện, các hoạt động nhận thức nào xảy ra, những khó khăn nào HS gặp phải trong quá trình MHH; nhận ra các yếu tố cơ bản của hoạt động MHH; cơ sở để lựa chọn và thiết kế các tình huống MHH [24]. Chính vì thế, trong phạm vi nghiên cứu của luận văn, chúng tôi đã sử dụng sơ đồ được mô phỏng theo quá trình mô hình hóa của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards [56] để áp dụng vào quy trình dạy học hình thành năng lực MHH toán học cho HS lớp 4: 26 Sơ đồ 1.5. Quy trình MHH mô phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown, Edwards Xây dựng mô hình Thực tiễn Vấn đề thực tiễn (1) Mô hình thực tế Không Trình bày cách giải quyết (5) Có Toán học (2) Mô hình toán học (3) (6) Ý nghĩa của kết quả thực tế (4) Công cụ toán học Kết quả toán học Hiểu tình huống trong thực tế Để vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học toán, GV cần giúp HS nắm được yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quá trình MHH các bài toán: Quy trình 1 (Toán học hóa): Bao gồm bước 1 và bước 2 Bước 1: Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, tạo ra một mô hình thực tế của tình huống. Bước 2: Mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học. Tức là xây dựng mô hình toán biểu diễn trung thực cho mô hình thực tế. Đây là quá trình chuyển các vấn đề từ thực tiễn sang toán học bằng cách tạo ra các mô hình toán học tương ứng của chúng. Qúa trình này đòi hỏi phải hiểu vấn đề, có thể là vấn đề mở hoặc có độ phức tạp khác nhau. Lập các giả thuyết, đơn giản hóa vấn đề để có thể giải được bài toán. Xác định các khái niệm toán học liên quan, biểu diễn bằng ngôn ngữ toán học và lập mô hình toán học như bảng biểu, công thức, hình vẽ, biểu đồ,… 27 Quy trình 2 (Giải quyết vấn đề toán học): Bước 3: Trong môi trường toán học, cần sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa. Yêu cầu HS lựa chọn, sử dụng các phương pháp và công cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học. Ở giai đoạn này, công nghệ thông tin sẽ hỗ trợ HS phân tích dữ liệu, thực hiện tính toán phức tạp và đưa ra đáp số của bài toán. Quy trình 3 (Thông hiểu và đối chiếu): Bước 4 và bước 5: Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán bắt đầu), trong đó cần nhận ra được những hạn chế và khó khăn có thể áp dụng kết quả này vào tình huống thực tiễn. Bước 6: Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng nếu cần. Đây là giai đoạn đòi hỏi HS có hiểu biết rõ về công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Từ đó, xem lại các phương pháp và công cụ toán học đã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến mô hình cũng như lời giải của bài toán. Sơ đồ 1.6. Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa trong dạy học Toán 28 Trong quá trình trên bước 1 giúp phân biệt một nhiệm vụ MHH với một nhiệm vụ toán học khác. Ngoài ra, dựa vào sơ đồ, chúng tôi nhận thấy rằng để giải quyết một nhiệm vụ MHH, HS sẽ phải trải qua ba giai đoạn của một tình huống toán học được đặt ra trong ngữ cảnh thực tế từ đơn giản đến phức tạp và nó tuân thủ theo sơ đồ sau: Sơ đồ 1.7. Phân loại các tình huống có vấn đề Tình huống có vấn đề Tình huống xuất hiện trong ngữ cảnh thực tế Tình huống không xuất hiện trong ngữ cảnh thực tế Tình huống thực tế Tình huống toán học hóa Tình huống mô hình toán Hiện nay, các bài tập trong SGK Toán 4 chủ yếu là bài tập có chứa “tình huống không đặt ra trong ngữ cảnh thực tế và tình huống mô hình toán”. Do đó, nếu đưa MHH vào dạy học, bắt đầu với tình huống thực tế sẽ gây khó khăn cho HS. Theo quan điểm của chúng tôi: - Tình huống thực tế: là tình huống xuất phát từ thế giới hiện thực bên ngoài lĩnh vực toán học, không có các đối tượng, kí hiệu, công thức toán học. Trong tình huống này, thông tin có thể không đầy đủ, dữ liệu có thể quá nhiều hoặc quá ít, yêu cầu đặt ra thường không rõ ràng dẫn đến có nhiều cách để giải quyết, tùy thuộc vào khía cạnh mà HS quan tâm. 29 - Tình huống toán học hóa (tương ứng với mô hình thực tế): là tình huống vẫn chứa đựng những yếu tố bản chất của tình huống thực tế ban đầu nhưng đã được đơn giản hóa, lí tưởng hóa, đặc biệt hóa, thêm các điều kiện, giả thuyết phù hợp, hạn chế những yếu tố không cần thiết cho phép người MHH tiếp cận với một số công cụ toán học theo ý đồ của mình những vẫn phản ảnh đúng một phần nào đó tình huống thực tế ban đầu. Nói cách khác từ tình huống thực tế ban đầu đã được phát biểu dưới dạng một bài toán có lời văn. Có thể xây dựng được nhiều tình huống toán học khóa khác nhau của cùng một tình huống thực tế, tùy thuộc vào kiến thức, mục đích, quan tâm của HS. - Tình huống mô hình toán (tương ứng với mô hình toán học): là tình huống thu được sau quá trình MHH toán học, bao gồm các đối tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối tượng đó tương ứng với các yếu tố cơ bản và mối quan hệ của chúng trong tình huống thực tế. Ví dụ: LY COCKTAIL Tình huống 1 (Tình huống thực tế): Trong cuộc thi những người pha chế cocktail giỏi, ban tổ chức chuẩn bị các ly thủy tinh có dạng như hình vẽ. Thí sinh được yêu cầu pha nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Nếu em là thí sinh dự thi, em sẽ làm như thế nào, tại sao? Hình 1.1. Ly cooktail thủy tinh 30 Khi giải quyết tình huống này, học sinh cần phải xem xét nhiều yếu tố liên quan đến tình huống thực tiễn, chẳng hạn như hình dạng hình học của thân ly, chiều cao thân ly, kích thước miệng ly, dung tích của ly… sao cho có thể xác định được vị trí để rót cocktail vào ly. Tuy nhiên, từ tình huống này chúng ta có thể xây dựng các tình huống toán học hóa ở những mức độ khó khác nhau. Hai tình huống sau được xây dựng với dự kiến những kiến thức, kĩ năng toán mà học sinh cần sử dụng là thể tích hình nón, trong đó tình huống 3 có độ khó thấp hơn vì thông tin được cung cấp chi tiết hơn, cụ thể hơn và yêu cầu đặt ra đơn giản hơn. Tình huống 2 (Tình huống toán học hóa): Trong cuộc thi những người pha chế cocktail giỏi, ban tổ chức chuẩn bị một loại ly thủy tinh có dạng hình nón với thể tích chứa là 160 ml và độ rộng miệng ly là 10 cm. Thí sinh được yêu cầu pha nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Nếu em là thí sinh, em sẽ rót cocktail vào ly theo tỉ lệ nào so với chiều cao của thân ly? Giải thích. A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. Hình 1.2. Phần thân ly cùng với đường kính và dung tích 4 5 So với tình huống thực tế, tình huống toán học hóa mô tả thông tin chi tiết hơn, cung cấp các số liệu phù hợp, đặt ra câu hỏi rõ ràng, giúp đem lại nhiều thông tin khác về những gì học sinh đã học được và có thể làm được. Mặc dù, tình huống 3 dưới đây cũng đặt trong ngữ cảnh thực tế nhưng các đối tượng toán học (chiều cao, thể tích) đã được xác định và học sinh chỉ cần tìm ra mối quan hệ giữa các đối tượng đó nên tình huống được phân loại là tình huống mô hình toán. 31 Tình huống 3 (Tình huống mô hình toán) Trong cuộc thi những người pha chế cocktail giỏi, ban tổ chức chuẩn bị một loại ly thủy tinh có dạng hình nón như hình vẽ. Thí sinh được yêu cầu pha nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Gọi H là chiều cao của thân ly và V là thể tích của ly. Hãy xác định chiều cao của lượng cocktail đổ vào theo H để thể tích cocktail trong ly bằng V . 2 Hình 1.3. Phần thân ly với chiều cao H và thể tích V Như vậy, để có thể hướng đến việc sử dụng kiến thức, kĩ năng toán vào giải quyết các vấn đề thực tế, học sinh cần được tạo điều kiện tiếp xúc với các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế từ mức độ đơn giản đến phức tạp, từ tình huống mô hình toán đến tình huống toán học hóa và cuối cùng là tình huống thực tế. Mức độ phức tạp của các tình huống đặt ra trong ngữ cảnh thực tế sẽ tăng dần: Mức độ 3 Tình huống thực tế Mức độ 2 Tình huống toán học hóa Mức độ 1 Tình huống mô hình toán Mức độ phức tạp của các tình huống đặt ra trong ngữ cảnh thực tế 1.2.3. Năng lực mô hình hóa toán học 1.2.3.1.Khái niệm năng lực Năng lực là một khái niệm thuộc phạm trù tâm lí học. Có rất nhiều chuyên gia trong các lĩnh vực xã hội học, giáo dục học, triết học, tâm lý học và kinh tế học đã cố gắng định nghĩa khái niệm năng lực. Ngày nay quan niệm về “năng lực” vẫn còn chưa thống nhất trên phạm vi thế giới. Tuy nhiên, 32 có thể kể đến một số quan niệm phổ biến về năng lực như sau: - Theo Tâm lí học, năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả [31]. - Năng lực là “khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng, thái độ và hứng thú để hành động một cách phù hợp và có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống”(dẫn theo [18]) - Năng lực là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kĩ năng, thái độ và vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lí vào thực hiện thành công nhiệm vụ hoặc giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra của cuộc sống [19]. Xavier Roegiers khẳng định: Năng lực là sự tích hợp các kĩ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loại tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do những tình huống này đặt ra [40]. Năng lực trong Chương trình GDPT tổng thể 2018 là “thuộc tính cá nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể.” Hướng nghiên cứu của luận văn phù hợp với quan niệm về năng lực của Chương trình GDPT tổng thể. Hiểu theo nghĩa: Năng lực là tập hợp các kĩ năng (các hoạt động) tác động lên các nội dung trong một tình huống có ý nghĩa đối với HS. Ở đây, kĩ năng là một hoạt động được thực hiện trong những điều kiện cụ thể và kĩ năng đạt được dần dần trong suốt cả cuộc đời. Như vậy, có nhiều quan niệm khác nhau về năng lực nhưng đều có sự thống nhất như sau: Về đặc điểm: Năng lực được hình thành và bộc lộ trong hoạt động; 33 Năng lực gắn với một hoạt động cụ thể; Năng lực chịu sự chi phối của các yếu tố bẩm sinh di truyền, môi trường và hoạt động của bản thân. Về mối quan hệ với tri thức, kĩ năng: Tri thức, kĩ năng là điều kiện cần thiết để hình thành năng lực; năng lực góp phần cho quá trình lĩnh hội tri thức, kĩ năng trong lĩnh vực hoạt động nhất định được nhanh chóng, thuận lợi, dễ dàng; có năng lực hoạt động tức là có tri thức, kĩ năng trong lĩnh vực đó, nhưng ngược lại, có tri thức, kĩ năng không có nghĩa là có năng lực về lĩnh vực đó. Những đặc điểm và mối quan hệ nói trên của năng lực đã định hướng con đường hình thành, phát hiện và bồi dưỡng năng lực (thông qua hoạt động) và đánh giá năng lực (qua sự vận dụng kiến thức, kĩ năng trong tình huống cụ thể). Bởi, “năng lực của mỗi người dựa trên cơ sở tư chất, nhưng điều chủ yếu là năng lực hình thành, phát triển và thể hiện trong hoạt động tích cực của con người dưới sự tác động của rèn luyện, dạy học và giáo dục” [32]. 1.2.3.2. Năng lực toán học Quan niệm về năng lực toán học của HS theo nghiên cứu của V.A Krutexki cho rằng: “Năng lực học tập toán học là đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng nhu cầu hoạt động học toán và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp cho việc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo toán học” [39]. Đây là cơ sở cho định hướng phát hiện và bồi dưỡng HS giỏi toán của Phạm Văn Hoàn [15] và Hoàng Chúng [10]. Ý tưởng này đã dược cụ thể phần nào trong các nghiên cứu về năng lực toán học của Trần Luận [22] và của Trần Đình Châu [8]. Cho đến nay, quan niệm năng lực toán học đã có những thay đổi, phát triển đáng kể. Một trong những nguyên nhân quan trọng cho sự thay đổi đó là do quan niệm về mục tiêu giáo dục toán học đã có sự điều chỉnh để phù hợp 34 hơn với yêu cầu của sự phát triển kinh tế xã hội. Trong bối cảnh đó, Niss Mogens từ dự án nghiên cứu về năng lực toán học tại Đan Mạch cuối thế kỉ 20, đã đưa quan niệm về năng lực toán học được PISA lựa chọn ([53], [54]). Theo đó, PISA 2015 quan niệm: Năng lực toán học là khả năng cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh. Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp, công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng. Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán học trên thế giới và đưa ra phán đoán, quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm” ([11], [30]). Đây cũng là quan niệm về năng lực toán học được chúng tôi sử dụng trong nghiên cứu của Luận văn. Theo OECD/PISA (dựa trên công trình của Niss (1999) và các đồng nghiệp Đan mạch của ông) có tám năng lực Toán học đặc trưng sau đây: Hình 1.4. Tám năng lực Toán học đặc trưng  Năng lực tư duy và suy luận toán học Để rèn luyện năng lực này, chúng ta cần đặt có các câu hỏi đặc trưng như (“Có hay không…?”, “Nếu như vậy, có bao nhiêu?”, “Làm thế nào chúng ta tìm..?”); biết loại câu trả lời mà toán học có thể đáp ứng cho những câu hỏi như vậy; 21 phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý, phỏng đoán, giả thuyết, ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định phạm vi 35 cũng như các hạn chế của các khái niệm toán đã cho.  Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề Năng lực đạt được qua việc: đặt, định dạng và xác định những loại khác nhau của các vấn đề toán (ví dụ: “thuần túy toán”, “ứng dụng”, “kết thúc mở” và “đóng”); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau theo nhiều cách. Qua quá trình học tập trên lớp, HS sẽ phân tích được tình huống, phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập, trong cuộc sống. Các em sẽ thu thập và làm rõ các thông tin có liên quan đến vấn đề. Đề xuất và phân tích được một số giải pháp giải quyết vấn đề, lựa chọn được giải pháp phù hợp. Ngoài ra, HS còn đề xuất được giả thuyết khoa học khác nhau. Lập được kế hoạch để giải quyết vấn đề đặt ra. Thực hiện kế hoạch độc lập sáng tạo hoặc hợp tác trên cơ sở các giả thuyết đã đề ra. Môn Toán sẽ giúp các em HS thực hiện và đánh giá giải pháp giải quyết vấn đề, suy ngẫm về cách thức và tiến trình giải quyết vấn đề để điều chỉnh và vận dụng trong bối cảnh mới  Năng lực mô hình hoá toán học Năng lực mô hình hóa gắn liền với cấu trúc lĩnh vực hay bối cảnh được mô hình hóa; chuyển thể “thực tế” thành các cấu trúc toán; giải thích các mô hình toán học theo nghĩa “thực tế”; làm việc với một mô hình toán; xây dựng mô hình thỏa đáng; phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng như các kết quả của nó; giao tiếp về mô hình và các kết quả của nó (bao gồm hạn chế của các kết quả như vậy); và giám sát và điều khiển quá trình mô hình hóa.  Năng lực lập luận toán học Cần biết các chứng minh toán học là gì và chúng khác với các loại suy luận khác như thế nào; theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán của nhiều loại khác nhau; thu được cảm nhận về giải quyết vấn đề bằng kinh nghiệm (“Điều có thể (không thể) xảy ra, và tại sao?); tạo nên và trình bày các lập luận toán. 36  Năng lực giao tiếp toán học Là sự bộc lộ mình, theo nhiều cách, về những vấn đề với một nội dung toán, theo dạng nói cũng như dạng viết, hiểu được những mệnh đề được nói hay viết bởi những người khác về những vấn đề như vậy.  Năng lực trình bày toán học Liên quan đến việc giải mã, mã hóa, chuyển thể, giải thích và phân biệt giữa các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng và bối cảnh toán học, và những mối quan hệ bên trong giữa các biểu diễn khác nhau; chọn và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn tùy theo bối cảnh và mục đích.  Năng lực sử dụng các công thức, kí hiệu, các yếu tố kĩ thuật Đó là việc giải mã và giải thích các ngôn ngữ ký hiệu và hình thức, và hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyển thể ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ ký hiệu hay hình thức; xử lý các mệnh đề và biểu thức chứa các ký hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương trình và thực hiện các phép tính.  Năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ toán học Là khả năng sử dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau (bao gồm cả công cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, và biết các hạn chế của những loại công cụ đó. Như vậy, năng lực mô hình hóa là một năng lực quan trọng, được xác định là một trong 4 năng lực thuộc nhóm năng lực “khả năng đặt ra và giải đáp các vấn đề trong, với và về toán học”. 1.2.3.3. Năng lực mô hình hóa toán học Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực MHH toán học và nó gồm có nhiều kĩ năng thành phần. Theo Blom và Jensen [43] định nghĩa năng lực MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH trong 37 một tình huống cho trước. Maab [52] định nghĩa năng lực MHH bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình MHH nhằm đạt được mục tiêu xác định. Như vậy có thể hiểu năng lực MHH toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình MHH trong dạy học Toán nhằm giải quyết vấn đề Toán học được đặt ra. Nhiều nhà nghiên cứu đã thiết kế hệ thống các tình huống và bài tập mô hình hóa dành cho các đối tượng trung học cơ sở, trung học phổ thông để xác định những kĩ năng mà HS cần đạt được để giải quyết tình huống thực tiễn dựa theo quy trình MHH. Từ đó, các nghiên cứu đã chỉ ra các kĩ năng thành phần của năng lực MHH toán học đó là: (1) Đơn giản giả thuyết  (2) Làm rõ mục tiêu  (3) Thiết lập vấn đề  (4) Xác định biến, tham số, hằng số  (5) Thiết lập mệnh đề toán học  (6) Lựa chọn mô hình  (7) Biểu diễn mô hình thích hợp  (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. 1.2.3.4. Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh Theo quan điểm của Triết học, Phát triển là: phạm trù triết học chỉ ra tính chất của những biến đổi đang diễn ra trong thế giới. Phát triển là một thuộc tính của vật chất. Mọi sự vật và hiện tượng của hiện thực không tồn tại trong trạng thái khác nhau từ khi xuất hiện đến lúc tiêu vong,… nguồn gốc của phát triển là sự thống nhất và đấu tranh giữa các mặt đối lập. Trong dạy học, “Phát triển” là “rèn luyện” những tri thức cập nhật trên cơ sở những cái đã có để củng cố, mở mang, phát triển thêm, có giá trị làm tăng hệ thống những tri thức, kĩ năng, làm giàu vốn hiểu biết, nâng cao hiệu quả học tập. Định hướng đổi mới dạy học trong giai đoạn hiện nay là: “Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học” (Nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 38 04/11/2013). Từ quan điểm hoạt động trong giáo dục, Nguyễn Bá Kim khẳng định: “Năng lực có thể và chỉ có thể được hình thành, phát triển và biểu hiện trong hoạt động và bằng hoạt động của chính người học” [20]. Như vậy, để phát triển một năng lực cụ thể cho người học, cần tạo ra cho HS những tình huống học tập mà ở đó, HS phải thể hiện mức độ thành thạo của các kĩ năng khi tiến hành các hoạt động đặc thù của năng lực đó. Trên cơ sở mối quan hệ mật thiết giữa năng lực và hoạt động, có thể xác định bản chất của việc bồi dưỡng năng lực toán học cho HS là nhằm nâng cao hiệu quả học tập, hoàn thiện một quá trình dạy học. Nói một cách khái quát, phát triển năng lực toán học cho HS là quá trình tổ chức, rèn luyện cho HS vận dụng kiến thức, kĩ năng toán học để thực hiện các hoạt động học tập tương thích với thành tố và các biểu hiện đặc trưng của từng năng lực. Trên cơ sở của rèn rèn luyện năng lực toán học và năng lực MHH toán học, ta có thể khẳng định rằng: “Phát triển năng lực MHH toán học là quá trình tổ chức cho HS vận dụng kiến thức, kĩ năng và các phẩm chất cần thiết cho hoạt động MHH toán học để thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình MHH nhằm giải quyết các vấn đề toán học đặt ra.” 1.3. Nội dung số học trong môn Toán lớp 4 Trong chương trình toán học cấp tiểu học hiện hành, nội dung số học trong môn Toán 4 bao gồm: 1.3.1. Mục tiêu - Biết đọc, viết, so sánh các số đến lớp triệu. Biết đọc, viết phân số, so sánh các phân số có cùng mẫu số - Học thuộc lòng các bảng tính và biết thực hiện các phép tính cộng, trừ các số có đến 5 hoặc 6 chữ số, biết thực hiện phép nhân số có 4 chữ số với số có 2 hoặc 3 chữ số, biết thực hiện các phép tính chia (chia hết và chia có dư) số có 4 hoặc 5 chữ số cho số có 2 hoặc 3 chữ số. Biết tính nhẩm trong những 39 trường hợp đặc biệt và đơn giản. - Học thuộc lòng các quy tắc về thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức số và biết tính giá trị của biểu thức số không quá 3 phép tính. Biết vận dụng một số tính chất của phép cộng và phép nhân để tính một cách hợp lí. 1.3.2. Nội dung *Số tự nhiên. Các phép tính về số tự nhiên - Lớp triệu. Đọc, viết, so sánh các số đến lớp triệu. Giới thiệu lớp tỉ. - Tổng kết về số tự nhiên và hệ thập phân. - Phép cộng và phép trừ các số có đến 5 hoặc 6 chữ số, không nhớ và có nhớ tới 3 lần. Tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng các số tự nhiên. - Phép nhân các số có nhiều chữ số với số có không quá 3 chữ số, tích có không quá 6 chữ số. Tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân các số tự nhiên, tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. - Phép chia các số có nhiêu chữ số cho số có không quá 3 chữ số, thương có không quá 4 chữ số. - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 4, 5, 9 - Giới thiệu bước đầu về cách sử dụng máy tính bỏ túi. - Giới thiệu cách ghi số bằng chữ số La Mã (trường hợp đơn giản thường gặp) *Phân số. Các phép tính về phân số - Giới thiệu khái niệm ban đầu về phân số đơn giản; đọc, viết, so sánh các phân số, phân số bằng nhau. Giới thiệu về hỗn số. - Phép cộng, phép từ hai phân số có cùng hoặc không có cùng mẫu số (trường hợp đơn giản, mẫu số của tổng hoặc hiệu không quá 100). Giới thiệu về tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng các phân số. - Giới thiệu quy tắc nhân phân số với phân số, nhân phân số với số tự 40 nhiên (trường hợp đơn giản, mẫu số của tích không có quá 2 chữ số). Giới thiệu về tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân các phân số. Giới thiệu nhân một tổng hai phân số với một phân số. - Giới thiệu quy tắc chia phân số cho phân số, chia phân số cho số tự nhiên khác 0. - Thực hành tính: Tính nhẩm về cộng, trừ hai phân số có cùng mẫu số, tử số của tổng hoặc hiệu có không quá hai chữ số, phép tính không có nhớ. Tính nhẩm về nhân phân số với phân số hoặc với số tự nhiên, tử số và mẫu của tích có không quá 2 chữ số. phép tính không có nhớ. Tính giá trị các biểu thức có không quá 3 dấu phép tính với các phân số đơn giản (mẫu số chung của kết quả tính có không quá 2 chữ số). *Tỉ số - Giới thiệu khái niệm ban đầu về tỉ số. - Giới thiệu các bài toán: tìm hai số khi biết tổng hoặc hiệu và tỉ số của chúng. - Giới thiệu bước đầu và sơ giản về đại lượng tỉ lệ thuận và đại lượng tỉ lệ nghịch. 1.4. Đặc điểm nhận thức của học sinh lớp 4  Hệ thần kinh đang trong thời kì phát triển mạnh Đến chín, mười tuổi hệ thần kinh căn bản được hoàn thiện và chất lượng của nó sẽ được giữ lại trong suốt cuộc đời. Trong thời kì này các em sẽ có những đặc điểm tâm lý như khả năng kìm hãm (khả năng ức chế) của hệ thần kinh còn yếu, dễ bị kích thích. Tri giác mang tính đại thể, toàn bộ, ít đi sâu vào chi tiết, mang tính không chủ động, gắn với hành động và với hoạt động thực tiễn. Tuy vậy HS cũng bắt đầu có khả năng phân tích tách dấu hiệu, chi tiết nhỏ của một đối tượng cụ thể. 41  Khả năng chú ý có chủ định, bền vững, tập trung cao Do thiếu khả năng tổng hợp nên sự chú ý chưa bền vững, hay bị phân tán nhất là đối với các đối tượng ít thay đổi, dễ bị lôi cuốn vào cái trực quan, gợi cảm. Đồng thời do trường chú ý hẹp nên HS tiểu học không biết tổ chức sự chú ý, sự chú ý thường hướng ra bên ngoài vào các hoạt động chứ chưa hướng vào bên trong, vào hoạt động trí tuệ. Chẳng hạn, trong giờ học mà GV sử dụng đồ dùng trực quan mới mẻ, bất ngờ, rực rỡ, khác thường thì sẽ làm cho các em thích thú, chăm chú vào những đồ vật đó mà quên mất rằng đồ vật đó chỉ có tính minh họa cho bài học, cái các em cần nắm bắt là những kiến thức trong bài học chứ không phải nhận biết các đồ vật rực rỡ nhiều màu sắc đó. Tuy nhiên với HS cuối cấp tiểu học khả năng chú ý có chủ định, bền vững, tập trung là rất cao ngay cả khi với động cơ xa (không phải học chỉ để được điểm cao, để được cô giáo khen, để được bố mẹ thưởng,..).  Trí nhớ tuy đã phát triển nhưng còn chịu nhiều tác động từ hứng thú và các hình mẫu tác động mạnh Nhiều HS còn chưa biết tổ chức việc ghi nhớ có ý nghĩa mà có khuynh hướng phát triển trí nhớ máy móc. Trí nhớ trực quan - hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ lôgic, trí nhớ hình ảnh phát triển hơn trí nhớ ngôn ngữ. Điều này do những nguyên nhân như HS chưa hiểu cụ thể cần phải ghi nhớ cái gì, trong bao lâu, vốn ngôn ngữ còn hạn chế, chưa biết sử dụng sơ đồ logic và dựa vào các điểm tựa để ghi nhớ, chưa biết xây dựng dàn ý tài liệu cần ghi nhớ,... Tuy nhiên theo các thực nghiệm về trí nhớ của HS tiểu học cho thấy trí nhớ của HS ở các lớp cuối cấp đã dần mang tính chủ định, bền vững, logic và có ý nghĩa. Nó tương ứng với yêu cầu nhận thức các khái niệm, các công thức, quy tắc mang tính trừu tượng cao ở các lớp cuối cấp. Tưởng tượng của HS tiểu học đã phát triển phong phú. Tuy vậy, tưởng tượng của HS đầu cấp vẫn còn tản mạn, ít có tổ chức, hình ảnh của tưởng tượng còn đơn giản, 42 hay thay đổi, chưa bền vững. Ví dụ các em HS lớp 1, 2 vẽ người có tay to hơn chân; vẽ về một người nhưng lúc vẽ thế này, lúc vẽ thế khác; vẽ con mèo lại trông giống ra con chó, vẽ con chó lại giống con mèo,... Càng về những năm cuối cấp học, tưởng tượng của các em càng gần hiện thực hơn. Sở dĩ có như vậy là vì các em đã có vốn kiến thức và kinh nghiệm khá phong phú. Về mặt cấu tạo hình tượng, tưởng tượng các em chỉ lặp lại hoặc thay đổi chút ít về kích thước, về hình dạng những tưởng tượng đã được tri giác. Ở cuối cấp, HS đã có khả năng nhào nặn, gọt giũa những hình tượng cũ để sáng tạo ra những hình tượng mới, đã biết dựa vào ngôn ngữ để xây dựng hình tượng mang tính khái quát và trừu tượng cao. Chẳng hạn, HS đã biết sáng tác tiếp câu chuyện vừa nghe kể, viết một bài văn về chú bộ đội, về bác sĩ, sáng tác bài toán dựa vào số liệu đã cho, hay từ một bài toán cụ thể để sáng tác những bài toán tương tự,... Điều này chứng tỏ HS cuối cấp tiểu học đã biết tưởng tượng sáng tạo, một trong những yếu tố cơ bản, cần thiết của tư duy.  Khả năng phân tích - tổng hợp, trừu tượng hóa - khái quát hóa trong tư duy có sự phát triển vượt bậc Trong Tâm lý học nhận thức, Piaget đã đưa ra thuyết hoạt động hóa nhằm mô tả các cấu trúc lôgic khác nhau có tính kế thừa trong quá trình phát triển trí tuệ của con người từ khi sinh ra tới tuổi trưởng thành. Ông cho rằng tư duy của HS hình thành và phát triển liên tục theo từng giai đoạn cụ thể. Theo ông, ở giai đoạn từ 0 đến 2 tuổi, trẻ chỉ sử dụng công cụ TD là tri giác và động tác có khả năng biểu hiện. Đó là thời kì trí tuệ cảm giác - vận động tiền ngôn ngữ. Từ 2 tuổi đến khoảng 7 tuổi là khởi đầu cho một thời kì mới. Ở giai đoạn này, các em có tư duy mang chức năng tượng trưng (kí hiệu), chuyển từ trí tuệ cảm giác - vận động sang trí tuệ biểu tượng. Có nghĩa là các em nhận thức đối tượng chủ yếu và trực tiếp thông qua các giác quan. Như vậy tư duy của các em đã chuyển từ tiền hoạt động sang thời kì hoạt động cụ 43 thể, từ tiền thao tác sang thao tác. Sở dĩ có nhận định như vậy bởi HS trong giai đoạn mẫu giáo và đầu tiểu học tư duy chủ yếu diễn ra trong trường hành động. Tức những hành động trên đồ vật và hành động tri giác (phối hợp hoạt động của các giác quan). Thực chất của loại tư duy này là các em tiến hành các hành động để phân tích, so sánh, đối chiếu các sự vật. Trong giai đoạn tiếp theo (thường là HS từ lớp 3, lớp 4), các em đã chuyển được các hành động phân tích, khái quát, so sánh từ bên ngoài thành các thao tác trí óc bên trong, mặc dù tiến hành các thao tác này vẫn phải dựa vào các hành động đối với đối tượng thực, chưa thoát ly khỏi chúng. Đồng thời tư duy của các em hình thành tính thuận - nghịch. Ở thời kì này, biểu hiện rõ nhất của bước phát triển trong tư duy của các em là đã hình thành các hoạt động tinh thần, xuất hiện sự phân loại, chia loại. HS đã có khả năng đảo ngược các hình ảnh tri giác, khả năng bảo tồn sự vật khi có sự thay đổi các hình ảnh tri giác về chúng. Nhưng những khả năng mới cũng chỉ trong trường hoạt động hạn chế vì vẫn phải bám giữ trên đối tượng cụ thể (đồ vật, sự vật, hiện tượng). Từ lớp 4 trở đi, tư duy của HS đã chuyển dần sang hoạt động hình thức hay còn gọi là hoạt động giả thuyết - suy diễn, không còn bám giữ vào đối tượng (đồ vật, hiện tượng) cụ thể, mà căn cứ vào “giả thuyết”. Thời kì tư duy hình thức phát triển ở tuổi thiếu niên (vị thành niên). Các thao tác tư duy như phân tích - tổng hợp, khái quát - trừu tượng hóa còn sơ đẳng ở các lớp đầu cấp tiểu học, chủ yếu chỉ tiến hành hoạt động phân tích - trực quan - hành động khi tri giác trực tiếp đối tượng. Nhưng trong quá trình học tập ở các lớp trên thì khả năng phân tích - tổng hợp, trừu tượng hóa - khái quát hóa trong tư duy của các em có sự phát triển vượt bậc. HS lớp 4 trở đi có thể phân tích đối tượng mà không cần tới những hành động thực tiễn đối với đối tượng đó. Các em có khả năng phân biệt những dấu hiệu, những khía cạnh khác nhau của đối tượng dưới dạng ngôn ngữ. Như vậy, theo thời gian, hoạt động tư duy của HS tiểu học có nhiều 44 biến đổi cơ bản. Tư duy của HS tiểu học đã tương đối phát triển, chủ yếu là ở cuối cấp. Qua mỗi năm học ở nhà trường tiểu học, khả năng tư duy trừu tượng, tư duy logic và tư duy sáng tạo của HS được hình thành và phát triển dần từ thấp đến cao. Sự thay đổi mối quan hệ giữa tư duy hình tượng, trực quan cụ thể sang tư duy trừu tượng, khái quát chiếm ưu thế và là đặc điểm mới, nổi bật về hoạt động tư duy của HS cuối cấp tiểu học. Từ những đặc điểm của quá trình nhận thức của học sinh lớp 4, chúng tôi cho rằng việc đưa kĩ năng rèn luyện MHH toán học cho học sinh lớp 4 là phù hợp về đặc điểm tâm sinh lí, lứa tuổi HS. 1.5. Kết luận chƣơng 1 Chương 1 đã trình bày khá cụ thể về MHH toán học, năng lực MHH toán học, quy trình MHH toán học. Mỗi chủ đề đều gồm định nghĩa khái niệm, đưa ra các mối quan hệ giữa khái niệm đó với khái niệm khác giúp làm rõ hơn bản chất của khái niệm, đồng thời giới thiệu sơ lược lịch sử cùng với các kết quả nghiên cứu liên quan để mô tả phần nào xu hướng phát triển của chủ đề này trong nghiên cứu toán học hiện nay. Hiện nay có nhiều quan điểm về quy trình MHH toán học nhưng chúng tôi quan tâm đến quan điểm của Stillman (2008) - quy trình phục vụ nhiều mục đích dạy học và nghiên cứu. Cũng trong chương này, chúng tôi trình bày nội dung số học lớp 4 và đặc điểm tâm sinh lí của học sinh lớp 4 phù hợp cho việc phát triển năng lực MHH. Luận văn cũng đề cập vấn đề liên quan đến chương trình, mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn. Đây là cơ sở quan trọng để khảo sát tình hình thực trạng rèn luyện năng lực MHH toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 trong chương 2. 45 Chƣơng 2 THỰC TRẠNG RÈN LUYỆN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4 2.1. Khái quát về quá trình khảo sát thực trạng 2.1.1. Mục đích khảo sát Tìm hiểu thực trạng rèn luyện năng lực MHH toán học và năng lực MHH toán học của HS trong dạy và học nội dung số học lớp 4. 2.1.2. Nội dung khảo sát Tìm hiểu mức độ phù hợp của năng lực MHH toán học trong SGK. Tìm hiểu khả năng hiểu, sử dụng mô hình của HS trong giải quyết các vấn đề toán học và thực tiễn; việc tổ chức các hoạt động MHH trong dạy học toán; việc rèn luyện năng lực MHH toán học trong dạy học số học cho HS lớp 4. 2.1.3. Địa bàn, thời gian, đối tượng khảo sát Khảo sát GV và HS lớp 4, cụ thể: 78 GV của 3 trường Tiểu học thuộc địa bàn thành phố Vinh: Trường Tiểu học Nghi Phú 1, trường Tiểu học Nghi Ân, trường Tiểu học Hưng Dũng 2; 468 HS lớp 4 các trường: Trường Tiểu học Nghi Phú 1, trường Tiểu học Nghi Ân, trường Tiểu học Hưng Dũng 2. Thời gian: Từ tháng 9/2018 đến tháng 5/2019 2.1.4. Phương pháp khảo sát - Phương pháp điều tra bằng phiếu hỏi, phương pháp đàm thoại, phỏng vấn đối với GV, HS trường Tiểu học. - Phương pháp quan sát qua việc dự giờ môn Toán ở trường Tiểu học. - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm: phân tích, phiếu học tập, bài tập kiểm tra của HS. - Phương pháp xử lí số liệu: phương pháp tính tỉ lệ phần trăm. 46 2.2. Nghiên cứu thực trạng rèn luyện năng lực mô hình hóa cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 2.2.1. Khảo sát nội dung toán học thực tiễn sử dụng kiến thức số học trong chương trình sách giáo khoa Toán 4 *Số tự nhiên. Các phép tính về số tự nhiên TT 1. 2. Tên bài Ôn tập các số đến 100000 (tiếp theo). Bài 5 Ôn tập các số đến 100000 (tiếp theo). Bài 5 Dạng bài Số trang Giải toán có lời văn 5 Giải toán có lời văn 5 3. Triệu và lớp triệu. Bài 4 Giải toán có lời văn 15 4. Luyện tập. Bài 3 Giải toán có lời văn 17 5. Luyện tập. Bài 4 Sử dụng lược đồ 18 6. Trung bình cộng. Bài toán 1, 2 Giải toán có lời văn 26, 27 7. Phép trừ. Bài 3 Giải toán có lời văn 40 8. Luyện tập. Bài 4 Giải toán có lời văn 41 Giải toán có lời văn 45 Giải toán có lời văn 46 Giải toán có lời văn 47 12. Luyện tập. Bài 2, 3, 4, 5 Giải toán có lời văn 48 13. Phép nhân. Bài 4 Giải toán có lời văn 57 Giải toán có lời văn 61 Giải toán có lời văn 62 9. Tính chất kết hợp của phép công. Bài 2 10. Luyện tập. Bài 4 11. 14. 15. Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của 2 số đó. Bài 1, 2, 3 Tính chất kết hợp của phép nhân. Bài 3 Nhân với số có tận cùng là chữ số 0. Bài 3 47 16. Nhân một số với một hiệu. Bài 3 Giải toán có lời văn 68 17. Luyện tập. Bài 3, 4, 5 Giải toán có lời văn 70 Giải toán có lời văn 71 19. Luyện tập. Bài 4 Giải toán có lời văn 74 20. Phép chia. Bài 3 Giải toán có lời văn 76 21. Chia một số cho một tích. Bài 3 Giải toán có lời văn 79 Giải toán có lời văn 82 23. Luyện tập. Bài 2 Giải toán có lời văn 84 24. Thương có chữ số 0. Bài 2 Giải toán có lời văn 85 25. Luyện tập. Bài 2 Giải toán có lời văn 87 Dạng bài Số trang 18. 22. Giới thiệu nhân nhẩm số có hai chữ số với 11. Bài 3, 4 Chia cho số có hai chữ số (tiếp). Bài 2 *Phân số. Các phép tính về phân số TT Tên bài 26. Phân số và phép chia số tự nhiên. Giải toán có lời văn Bài toán a 27. Phân số và phép chia số tự nhiên. Giải toán có lời văn Ví dụ 1, 2 108 109 28. So sánh phân số khác mẫu số. Bài 3 Giải toán có lời văn 122 29. Phép trừ phân số. Bài 3 Giải toán có lời văn 129 30. Luyện tập. Bài 5 Giải toán có lời văn 131 Dạng bài Số trang 31. Giới thiệu tỉ số. Bài 4 Giải toán có lời văn 147 32. Luyện tập. Bài 1 Giải toán có lời văn 149 33. Luyện tập chung. Bài 4 Giải toán có lời văn 152 *Tỉ số TT Tên bài 48 Nhận xét: Qua bảng số liệu thống kê trên, chúng tôi có nhận xét sau - Chương trình Toán 4 có trình bày một vài câu hỏi tình huống, đem đến cho học sinh kiến thức sát thực tế và có sự liên môn. Ví dụ trích từ bài 3 SGK Toán 4 tr.70 “Tim của người khỏe mạnh bình thường mỗi phút đập khoảng 75 lần. Hãy tính số lần đập của người đó trong 24 giờ?”. Qua bài này, HS được rèn luyện khả năng nhân với số có 2 chữ số và còn được biết thêm thông tin: tim người khỏe mạnh đập 75 lần trong 1 phút. Hay khi luyện tập về phép trừ trong phạm vi 100000, bài 4 SGK Toán tr.41 đã đưa ra như sau: “Núi Phan-xi-păng (ở tỉnh Lào Cai) cao 3143 m. Núi Tây Côn Lĩnh (ở tỉnh Hà Giang) cao 2428m. Hỏi núi nào cao hơn và cao hơn bao nhiêu mét?” Bài toán đã lấy ví dụ thực tế về chiều cao của hai ngọn núi ở Việt Nam để HS so sánh và làm phép toán trừ để biết phần hơn kém… - Hầu như kiến thức thực tế chỉ thể hiện qua các bài toán giải có lời văn đã được toán học hóa hoặc mô hình hóa. Các bài toán trong bảng thống kê phần lớn là bài toán giải có lời văn. Sách giáo khoa viết chung cho cả nước nên dữ liệu chỉ đơn thuần đã toán học hóa, chỉ giữ lại những bản chất của toán học và sự phù hợp với thực tế chung. Ví dụ bài 3 SGK tr.61: “Có 8 phòng học, mỗi phòng học có 15 bộ bàn ghế, mỗi bộ bàn ghế có 2 học sinh đang ngồi học. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh đang ngồi học?”. Dữ kiện đề bài được lấy từ một trường thực tế nào đó ở nông thôn, dựa trên tiêu chuẩn 1 phòng học có 15 đến 18 bộ bàn ghế, 1 bộ bàn ghế thì nên có 2 em ngồi. Thay vì có dữ kiện như trên, một vấn đề thực tiễn ban đầu có thể là: “Trường Tiểu học Nghi Phú 1 có 8 phòng học, mỗi phòng học chỉ xếp được 15 bộ bàn ghế, mỗi bộ bàn ghế có 2 học sinh đang ngồi học. Hỏi trường có tất cả bao nhiêu em học sinh?” - Sách giáo khoa đang nặng về trình bày nội dung theo dạng bài mà chưa có định hướng cụ thể theo mô hình toán học. Phần trình bày lí thuyết còn hàn lâm, chủ yếu viết cho người dạy và phải nhờ đến sự hỗ trợ của sách 49 giáo viên, rất ít người học tự học và tự hiểu được. Hình ảnh minh họa cho các bước truyền đạt kiến thức rất ít, hầu như không có, chỉ nặng về diễn đạt bằng lời và kí hiệu toán học. Bài tập được phân theo dạng toán mà tên bài đã định sẵn. Ví dụ tên bài: “Tìm hai số biết tổng và hiệu của hai số đó hay Tìm hai số khi biết tổng hoặc hiệu và tỉ số của hai số đó” thì GV sẽ hướng dẫn cho HS cách làm bài tập là vẽ sơ đồ. HS thụ động tiếp nhận rập khuôn theo lối mòn kiến thức và không phát triển được khả năng tư duy mở rộng. Vì vậy, các công trình nghiên cứu về những khó khăn, sai lầm của HS khi học các dạng toán ra đời. Nhận thức được vấn đề này, chúng ta nên đề xuất một quy trình rèn luyện mà trong đó một mô hình toán học có thể áp dụng nhiều dạng toán khác nhau. 2.2.2. Thực trạng nhận thức của giáo viên về việc rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung số học và dạy học Toán theo hướng tăng cường liên hệ thực tiễn cho học sinh lớp 4 Thông qua phiếu điều tra dành cho GV (xem phần phụ lục 1), chúng tôi đã tiến hành trao đổi, điều tra 78 GV dạy văn hóa thuộc các trường Tiểu học Nghi Phú I, Tiểu học Nghi Ân, Tiểu học Hưng Dũng 2. Đối với mỗi câu hỏi ý kiến GV sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy chọn theo mức độ đồng ý của bản thân. Sau khi thu lại các phiếu, chúng tôi tính điểm trung bình cho mỗi câu hỏi và kết quả thu được thể hiện theo các bảng dưới đây: (1) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên quan tâm đến việc dạy học số học theo hướng tăng cường hoạt động rèn luyện MHH toán học: Bảng 2.1.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thƣờng xuyên quan tâm đến việc dạy học số học theo hƣớng tăng cƣờng hoạt động rèn luyện MHH toán học Trường Tiểu Số GV Thường Không bao Thỉnh thoảng học (người) xuyên giờ Nghi Phú 1 16 10 6 0 Nghi Ân 22 14 8 0 Hưng Dũng 2 40 32 8 0 50 Bảng 2.1.b. Kết quả đánh giá về mức độ thƣờng xuyên quan tâm đến dạy học số học theo hƣớng tăng cƣờng hoạt động rèn luyện MHH toán học Mức độ Thường xuyên Thỉnh thoảng Không bao giờ Giá trị phần trăm 71.79 28.21 0 Dựa vào thống kê trên chúng ta có thể thấy rằng các GV đều quan tâm đến việc dạy học số học theo hướng tăng cường rèn luyện MHH toán học. Có nhiều GV thường xuyên quan tâm đến vấn đề này. (2) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng dụng của MHH toán học trong dạy học số học Bảng 2.2.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thƣờng xuyên tìm hiểu những ứng dụng của MHH toán học trong dạy học số học Trường Tiểu Số GV Thường học (người) xuyên Nghi Phú 1 16 8 2 6 Nghi Ân 22 18 4 0 Hưng Dũng 2 40 32 5 3 Thỉnh thoảng Không bao giờ Bảng 2.2.b. Kết quả đánh giá về mức độ thƣờng xuyên tìm hiểu những ứng dụng của MHH toán học trong dạy học số học Mức độ Thường xuyên Thỉnh thoảng Không bao giờ Giá trị phần trăm 74.36 14.1 11.24 Dựa vào thống kê trên ta có thể thấy GV đã chú trọng tìm hiểu những ứng dụng của mô hình hóa toán học trong dạy học số học. Sự tìm hiểu này được diễn ra thường xuyên nhưng vẫn có đến 11,24% chưa thường xuyên tìm hiểu. 51 (3) Thống kê ý kiến của GV về tầm quan trọng của việc đưa mô hình toán học vào dạy học số học Bảng 2.3.a. Thống kê ý kiến của GV về tầm quan trọng của việc đƣa mô hình toán học vào dạy học số học Trường Tiểu học Số GV (người) Rất quan trọng Quan trọng Không quan trọng Nghi Phú 1 16 10 4 2 Nghi Ân 22 12 5 5 Hưng Dũng 2 40 33 5 2 Bảng 2.3.b. Kết quả đánh giá của GV về tầm quan trọng của việc đƣa mô hình toán học vào dạy học số học Mức độ Rất quan trọng Quan trọng Không quan trọng Giá trị phần trăm 70.51 17.95 11.54 (4) Thống kê ý kiến của GV về mức độ thường xuyên đưa mô hình toán học vào dạy học số học Bảng 2.4.a. Thống kê ý kiến của GV về mức độ thƣờng xuyên đƣa mô hình toán học vào dạy học số học Trường Tiểu học Số GV (người) Rất thường xuyên Thường xuyên Thỉnh thoảng Không bao giờ Nghi Phú 1 16 3 8 2 3 Nghi Ân 22 3 10 7 2 Hưng Dũng 2 40 4 20 11 5 Bảng 2.4.b. Kết quả đánh giá của GV về mức độ thƣờng xuyên đƣa mô hình toán học vào dạy học số học Mức độ Rất thường xuyên Thường xuyên Thỉnh thoảng Không bao giờ Giá trị phần trăm 12.82 48.72 25.64 12.82 52 Dựa vào thống kê trên ta thấy hầu hết các GV đều nhận định việc đưa mô hình toán học là quan trọng. GV cũng chú ý đến việc đưa mô hình toán học vào dạy học toán. Tuy nhiên mức độ thường xuyên chưa cao, vẫn có nhiều GV không bao giờ đưa mô hình toán học vào dạy học. (5) Thống kê về mức độ thường xuyên hướng dẫn HS giải quyết những tình huống thực tế ngoài SGK: Bảng 2.5.a. Thống kê về mức độ thƣờng xuyên hƣớng dẫn HS giải quyết những tình huống thực tế ngoài SGK Trường Tiểu Số GV học (người) Nghi Phú 1 16 Nghi Ân 22 Hưng Dũng 2 40 Rất Thường Thỉnh Không xuyên thoảng bao giờ 2 2 1 11 6 6 4 6 thường xuyên 6 7 5 22 Bảng 2.5.b. Kết quả đánh giá về mức độ thƣờng xuyên hƣớng dẫn HS giải quyết những tình huống thực tế ngoài SGK Mức độ Giá trị phần trăm Rất thường Thường xuyên xuyên 17.95 19.23 Thỉnh thoảng 12.82 Không bao giờ 50 Dựa vào thống kê trên ta thấy có đến 50 % GV không thường xuyên cho HS giải những tình huống thực tế ngoài SGK. Điều này có thể lí giải do việc tự tìm hiểu về những ứng dụng thực tế của toán học còn ít. 53 (6) Thống kê tầm quan trọng của việc tăng cường các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán: Thống kê tầm quan trọng của việc tăng cường các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán: Bảng 2.6.a. Thống kê tầm quan trọng của việc tăng cƣờng các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán Trường Tiểu Số GV Rất quan Không quan Quan trọng học (người) trọng trọng Nghi Phú 1 16 6 5 4 Nghi Ân 22 12 10 0 Hưng Dũng 2 40 20 20 0 Bảng 2.6.b. Kết quả đánh giá tầm quan trọng của việc tăng cƣờng các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán Không quan Mức độ Rất quan trọng Quan trọng trọng Giá trị phần trăm 48.72 44.87 6.41 Dựa vào các thống kê trên, ta thấy hầu như các GV đều đồng ý với quan điểm tăng cường câu hỏi thực tiễn vào kiểm tra môn Toán. Dưới đây là bảng thống kê ý kiến của GV về việc đưa tình huống thực tiễn vào giảng dạy (7) Thống kê mức độ đưa các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán: Bảng 2.7.a. Thống kê mức độ đƣa các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán Trường Tiểu Số GV Rất thường Thường Thỉnh Không học (người) xuyên xuyên thoảng bao giờ Nghi Phú 1 16 1 2 8 5 Nghi Ân 22 2 4 13 3 Hưng Dũng 2 40 2 7 24 7 Bảng 2.7.b. Kết quả đánh giá mức độ đƣa các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán Rất thường Thường Thỉnh Không bao Mức độ xuyên xuyên thoảng giờ Giá trị phần trăm 6.41 16.67 57.69 19.23 54 (8) Bảng thống kê về ý kiến của GV trong dạy học Bảng 2.8. Thống kê về ý kiến của GV trong dạy học Khó khăn Thuận lợi 1. Có cơ sở vật chất tốt, HS giỏi 1. Hình thức đánh giá thi cử có vận 2. Ban giám hiệu quan tâm, tạo dụng vào tình huống thực tiễn rất ít. điều kiện cho nghiên cứu. 2. Việc chọn nội dung, những câu hỏi, 3. Có giờ ngoại khóa và có thời tình huống thực tiễn là khó, đặc biệt là gian tổ chức hoạt động cho HS. 4. GV có nhu cầu đưa thực tiễn vào giảng dạy. 5. Có sự hỗ trợ của máy tính và phần mềm hỗ trợ dạy học. số học. 3. Nội dung kiến thức không có nhiều ví dụ, mô hình thực tiễn rõ ràng. 4. Khả năng liên hệ kiến thức toán học vào thực tiễn còn hạn chế. 5. Bản thân trong quá trình đào tạo tại các trường sư phạm ít khi được học tập một cách hệ thống về phương pháp khai thác, vận dụng kiến thức toán học vào thực tế Về việc tìm hiểu ứng dụng toán học trong thực tế: Hầu hết những GV đều có quan tâm đến việc khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán và điều này được thể hiện ở những cấp độ sau: - Một số ít quan tâm và chủ động tìm hiểu để ứng dụng toán học vào thực tế. - Số còn lại quan tâm nhưng không chủ động tìm hiểu mà chủ yếu sử dụng các bài tập có sẵn trong SGK, sách bài tập. Về khai thác tình huống thực tế vào dạy học môn Toán: Qua trao đổi với những GV trên thì gần 100% các thầy cô đều cho rằng nếu tăng cường khai thác các tình huống thực tế vào dạy học và sử dụng mô hình toán học thì 55 có thể làm cho HS tích cực hơn trong việc học môn Toán. Nhiều GV cũng quan tâm đến việc dạy học theo hướng tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn nhưng sự quan tâm này chỉ dừng lại ở cấp độ thấp và mức độ chưa thường xuyên. Chính tư tưởng này cùng với các đề thi không có bài tập có liên quan đến thực tiễn nên dẫn đến việc dạy học có lồng ghép các mô hình toán bị xem nhẹ, thậm chí bỏ qua. Tuy nhiên, qua quá trình khảo sát chúng tôi nhận được thông tin phản hồi rằng: việc dạy học theo hướng tăng cường mối liên hệ toán học với thực tiễn cần được lãnh đạo quan tâm, HS giỏi, cơ sở vật chất tốt… và sự quan tâm và điều kiện tùy thuộc vào điều kiện của từng trường. Chẳng hạn, những thuận lợi này thể hiện rõ nét nhất ở trường Tiểu học Hưng Dũng 2 nhưng ở trường Tiểu học Nghi Phú 1 và Tiểu học Nghi Ân thì khó khăn hơn. (9) Bảng tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học mô hình hóa của GV Bảng 2.9. Bảng tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học MHH của GV TT Thành tố của năng lực tổ chức dạy học MHH 1. Các mức độ Tốt Khá Trung bình Năng lực liên hệ kiến thức toán học với những vấn đề trong thực tiễn 32.05 38.46 29.49 2. Năng lực xây dựng và phát triển một bài toán nảy sinh từ tình huống thực tế 19.23 29.49 51.28 3. Năng lực sử dụng công nghệ thông tin trong MHH các bài toán thực tiễn 28.21 32.05 39.74 4. Năng lực hướng dẫn HS giải bài toán có nội dung thực tiễn 38.46 32.05 29.49 5. Năng lực hướng dẫn HS xây dựng bài toán có nội dung thực tiễn 19.23 46.15 36.42 6. Năng lực đánh giá năng lực học sinh 39.74 46.15 14.11 7. Năng lực dạy học theo dự án 15.38 19.23 65.42 56 Về khả năng MHH toán học các bài toán thực tiễn: Hầu như GV đều đánh giá cao những hoạt động MHH trong dạy học môn Toán. Tuy nhiên việc tìm hiểu, khai thác tình huống thực tế vào dạy học và sử dụng MHH còn nhiều khó khăn và hạn chế. Có hơn 50% số GV được khảo sát cho rằng họ có năng lực hướng dẫn cho HS giải quyết những tình huống thực tế ngoài SGK. Thật vậy, việc tìm ra các tình huống liên quan đến thực tiễn hoặc các mô hình toán học để minh họa cho bài giảng đòi hỏi GV phải có sự tìm tòi, suy nghĩ tích cực và mất nhiều thời gian trong khi sự am hiểu các lĩnh vực của cuộc sống của nhiều GV còn hạn chế và thực trạng “thi gì, học nấy” vẫn còn tồn tại. Do đó, năng lực MHH của GV còn hạn chế, đặc biệt là năng lực thành lập và biểu diễn các mô hình toán học nhằm làm sáng tỏ các vấn đề trong thực tiễn cuộc sống. Năng lực sử dụng công nghệ thông tin trong MHH còn rất ít, hoạt động thực hành theo dự án còn hạn chế nên năng lực này rất kém. Chính vì vậy, những kết quả nghiên cứu của luận văn sẽ góp phần khắc phục được những khó khăn và hạn chế nói trên, góp phần đưa ý tưởng toán học gắn liền với thực tiễn trong nhà trường Tiểu học. 2.2.3. Thực trạng năng lực mô hình hóa toán học của học sinh lớp 4 Thông qua phiếu điều tra dành cho HS (xem phần phụ lục 2), chúng tôi đã tiến hành điều tra 468 HS ở lớp 4 của các trường Tiểu học Nghi Phú 1, trường Tiểu học Nghi Ân, trường Tiểu học Hưng Dũng 2. Đối với mỗi câu hỏi trong phiếu HS sẽ trả lời bằng cách cho điểm tùy theo mức độ đồng ý của bản thân. Sau khi thu lại các phiếu chúng tôi sẽ tính điểm trung bình cho mỗi câu hỏi và kết quả thu được như sau: (1) Thống kê về mong muốn của HS được biết thêm những kiến thức ứng dụng của thực tiễn toán học: 57 Bảng 2.10.a. Thống kê về mong muốn của HS đƣợc biết thêm những kiến thức ứng dụng của thực tiễn toán học Trường Tiểu Số HS học (người) Nghi Phú 1 Không Rất muốn Bình thường 86 56 30 0 Nghi Ân 178 154 24 0 Hưng Dũng 2 204 190 14 0 muốn Bảng 2.10.b. Kết quả đánh giá mong muốn của HS đƣợc biết thêm những kiến thức ứng dụng của thực tiễn toán học Mức độ Rất muốn Bình thường Không muốn Giá trị phần trăm 85.47 14.53 0 (2) Thống kê của HS về mức độ thường xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học: Bảng 2.11.a. Thống kê của HS về mức độ thƣờng xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học Rất Trường Tiểu Số HS Thường Thỉnh Không bao học (người) xuyên thoảng giờ Nghi Phú 1 86 6 12 25 43 Nghi Ân 178 12 25 65 76 Hưng Dũng 2 204 14 28 79 83 thường xuyên Bảng 2.11.b. Kết quả đánh giá mức độ thƣờng xuyên tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học Mức độ Giá trị phần trăm Rất thường Thường Thỉnh Không bao xuyên xuyên thoảng giờ 6.83 13.89 36.14 43.14 58 Dựa vào thống kê trên, chúng ta thấy phần lớn HS đều muốn biết những ứng dụng của toán học vào thực tiễn nhưng ngược lại hầu hết các em đều không thường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học. Việc HS không thường xuyên tự mình tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học có thể do các nguyên nhân sau: - Toán là môn học trừu tượng, để nắm được một vấn đề các em phải dành một lượng thời gian không nhỏ, điều này dẫn tới việc các em ít quan tâm tới vấn đề khác của toán học. - Các em chưa biết tìm hiểu bằng cách nào và ở đâu. - Do tính sự bị động của HS, luôn trông chờ vào GV hay còn do phương pháp dạy học của GV ảnh hưởng đến cách học của HS. (3) Thống kê đánh giá của HS về mức độ thường xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV: Bảng 2.12.a. Thống kê đánh giá của HS về mức độ thƣờng xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV Trường Tiểu Số HS học (người) Nghi Phú 1 86 Nghi Ân Hưng Dũng 2 Rất Thường Thỉnh Không bao xuyên thoảng giờ 13 34 20 19 178 22 92 55 9 204 50 99 50 5 thường xuyên Bảng 2.12.b. Kết quả đánh giá của HS về mức độ thƣờng xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV Mức độ Giá trị phần trăm Rất thường Thường Thỉnh Không bao xuyên xuyên thoảng giờ 18.16 48.08 26.71 7.05 59 Dựa vào thống kê trên chúng ta thấy GV đã có những sự quan tâm nhất định đến việc giảng giải về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn nhưng sự quan tâm này còn dừng lại ở cấp độ thấp, mức độ chưa thường xuyên. (4) Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa toán học và các môn học khác: Bảng 2.13.a. Thống kê ý kiến của HS về mối liên hệ giữa toán học và các môn học khác Trường Tiểu Số HS học (người) Nghi Phú 1 Không liên Mật thiết Bình thường 86 83 3 0 Nghi Ân 178 147 31 0 Hưng Dũng 2 204 150 54 0 quan Bảng 2.13.b. Kết quả đánh giá ý kiến của HS về mối liên hệ giữa toán học và các môn học khác Mức độ Mật thiết Bình thường Không liên quan Giá trị phần trăm 81.2 18.8 0 (5) Thống kê ý kiến của HS về tầm quan trọng của toán học: Bảng 2.14.a. Thống kê ý kiến của HS về tầm quan trọng của toán học Trường Tiểu Số HS học (người) Nghi Phú 1 Không Quan trọng Bình thường 86 62 24 0 Nghi Ân 178 160 18 0 Hưng Dũng 2 204 178 26 0 quan trọng Bảng 2.14.b. Kết quả đánh giá ý kiến của HS về tầm quan trọng của toán học Mức độ Quan trọng Bình thường Giá trị phần trăm 85.47 14.53 Không quan trọng 0 60 (6) Thống kê ý kiến HS về mức độ khô khan của môn toán Bảng 2.15.a. Thống kê ý kiến HS về mức độ khô khan của môn toán Trường Tiểu học Số HS (người) Khô khan Bình thường Ý kiến khác Nghi Phú 1 86 58 28 0 Nghi Ân 178 160 18 0 Hưng Dũng 2 204 185 19 0 Bảng 2.15.b. Kết quả đánh giá ý kiến HS về mức độ khô khan của môn toán Mức độ Khô khan Bình thường Ý kiến khác Giá trị phần trăm 86.11 13.89 0 (7) Bảng tự đánh giá khả năng của HS khi học toán thực tiễn Bảng 2.16. Tự đánh giá khả năng của HS khi học toán thực tiễn STT Các biểu hiện Tỉ lệ 1. HS không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề. 26.71 2. HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và đơn giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào. 18.37 3. Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học. 15.82 4. HS có thể làm việc với bài toán với kiến thức toán học có sẵn theo dạng và có kết quả cụ thể. 33.12 5. HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho. 5.98 Dựa vào thống kê trên chúng ta thấy đại đa số HS đều đánh giá môn Toán là môn học khô khan. Đặc biệt, thông qua phỏng vấn HS, ta thống kê được một số khó khăn các em gặp phải trong quá trình học môn Toán như sau: 61 - Khó hiểu, nhiều công thức số học phải ghi nhớ (lớp 4), không thực tế, nhiều lí thuyết. - Dễ nản lòng bởi các bài toán khó. - Môn số học trừu tượng, rất ít mô hình trực quan. - Không thấy có ứng dụng gì trong thực tế, không áp dụng được cho cuộc sống hằng ngày. - Chương trình học nặng, khó tiếp thu. - GV ít đổi mới phương pháp, vẫn thiên về dạy lí thuyết và giải bài tập. - Học nhiều kiến thức khó mà lại ít áp dụng vào cuộc sống. - Học không thực tiễn, quá nhiều và thừa thãi, tốn nhiều thời gian học vô ích, không có sự đầu tư vào các hoạt động ngoại khóa, chương trình dạy lỗi thời, không có hứng thú. - Vì không thấy mối liên hệ với thực tiễn nên thấy môn Toán rất khó và cũng không muốn học nhiều. - Chỉ quen giải các bài tập áp dụng theo dạng đã có sẵn. Trên đây là những tâm sự về khó khăn các em gặp phải trong quá trình học môn Toán. Khó khăn này không chỉ dừng lại ở mức độ trừu tượng của toán học, hay sự quá tải của chương trình mà nó còn bao gồm cả nhu cầu muốn được biết mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn không được thỏa mãn. Đại đa số HS muốn biết những mô hình toán học trong thực tiễn nhưng các em đều không thường xuyên tự mình tìm hiểu điều này. Đặc biệt để giải quyết các bài tập có liên quan đến xây dựng mô hình toán học đòi hỏi HS phải có những kiến thức, kĩ năng và sự hiểu biết nhất định về chính các tình huống thực tiễn trong mô hình đó. Để giải quyết những khó khăn này, các em HS đã đưa ra một vài mong muốn của mình trong quá trình học môn này, các em HS đã đưa ra một vài mong muốn của mình trong quá trình học môn Toán lớp 4 như sau: Được ứng dụng những gì mình học vào thực tế cuộc sống; Được 62 giảng về mối quan hệ giữa lí thuyết và ứng dụng kĩ càng hơn; Có nhiều ví dụ sinh động hơn từ thực tế, có thêm nhiều liên hệ với thực tiễn; Giảm bớt kiến thức, thêm bài tập thực tế; Có thêm nhiều hình vẽ, mô hình, ứng dụng trong các giờ học; Môi trường học tập thật sự tập trung, im lặng. Thông qua điều tra ta cũng thấy được nhu cầu muốn biết mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn của HS là rất lớn. Việc không được thỏa mãn nhu cầu này cũng là một rào cản để các em có sự yêu thích với môn Toán. 2.3. Đánh giá chung thực trạng Dạy học mô hình hóa toán học là một quy trình phức tạp và đầy thách thức. Nghiên cứu lí thuyết và thực hành dạy học đã chỉ ra những khó khăn thường gặp của HS như: Không có động lực để học Toán, không đủ thời gian giải quyết, hay thiếu kĩ năng làm bài, thiếu công cụ, phương tiện mô hình hóa bài toán. Ngoài những khó khăn thường gặp trên thì HS còn vấp phải nhiều biểu hiện cụ thể trong quy trình mô hình hóa Toán học. Thứ nhất là vấn đề hiểu tình huống: HS không thể tự nhận ra hết những thông tin quan trọng của tình huống cần để chuyển đổi sang ngôn ngữ toán học và thường bị chi phối bởi những hình ảnh minh họa. Điều này dẫn đến xây dựng mô hình toán học chưa phù hợp. Thứ hai là vấn đề toán học hóa: HS khó khăn trong trong việc đơn giản bài toán, xử lí điều kiện bài toán, chuyển bài toán sang ngôn ngữ toán học. Thứ ba là vấn đề giải bài toán: HS quên kiến thức cũ, không linh hoạt trong tìm phương pháp giải, quen giải theo dạng, khả năng liên tưởng còn hạn chế. Thứ tư là kinh nghiệm thực tiễn của HS: MHH gồm việc chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn đều rất cần thiết. Tuy nhiên HS thường thiếu kiến thức thực tiễn, khả năng liên hệ kiến thức liên môn còn yếu. Cuối cùng là vấn đề đối chiếu thực tế: HS chỉ quan tâm đến kết quả toán tìm được mà không quan tâm việc trả lời cho kết quả tình huống; mối quan hệ giữa kết quả và yếu tố đã cho. 63 Quy trình MHH rất linh hoạt và có thể điều khiển được bởi người GV hơn là học tập theo phương pháp truyền thống. MHH rất có ích cho dạy học Toán ở tiểu học nhưng GV lại gặp không ít khó khăn. Thứ nhất là lựa chọn một vấn đề ngoài toán học để ủy thác cho HS không phải dễ: Bài toán liên hệ với thực tế có độ khó cao, chương trình SGK hàn lâm. Vì vậy, cần một tình huống thực tiễn thật sự hay biến đổi đến mức nào thì phù hợp trong việc giảng dạy. Thứ hai là năng lực xây dựng và phát triển một bài toán nảy sinh từ tình huống thực tế còn hạn chế: GV khó xây dựng hoặc lựa chọn mô hình toán học; HS thường không thích thử phương pháp mới. Thứ ba là nội dung kiến thức trong sách giáo khoa nhiều với các bài toán thực tế chỉ mang tính lí thuyết, ít thực hành, không có trong nội dung thi: Thông thường nếu không có trong nội dung thi sẽ không được thực hiện nghiêm túc bởi GV và HS (theo bảng 8). Dạy học MHH đòi hỏi GV cần nhiều thời gian để hướng dẫn HS so với dạy học truyền thống. Cuối cùng là hiểu biết xã hội, kinh nghiệm sống và kiến thức liên môn của GV còn hạn chế: Không chỉ HS mà GV cũng không hiểu hoặc hiểu không hết về MHH. Ngoài ra kinh nghiệm giảng dạy các bài toán liên hệ còn ít, kĩ năng sử dụng công nghệ thông tin trong MHH còn hạn chế, tài liệu tham khảo ít nên dạy học MHH vẫn chưa phổ biến. 2.4. Kết luận chƣơng 2 Nhận thức về dạy học MHH Toán học trong dạy học nội dung số học lớp 4 được HS và GV Tiểu học quan tâm. Qua khảo sát, chúng tôi thấy rằng GV hiểu được tầm quan trọng và vai trò của dạy học MHH toán học và HS cũng có hứng thú đối với những bài toán thực tiễn. Tuy nhiên, nghiên cứu cho thấy cả GV và HS đều rất mơ hồ khi thực hiện các bước của quy trình MHH toán học và gặp nhiều khó khăn khách quan và chủ quan. Để khắc phục những khó khăn của GV và HS, chúng ta cần rèn luyện năng lực MHH toán học thông qua các quy trình cụ thể, rõ ràng ở chương kế tiếp. 64 Chƣơng 3 QUY TRÌNH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC SỐ HỌC LỚP 4 3.1. Nguyên tắc xây dựng quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học 3.1.1. Nguyên tắc 1: Đảm bảo tính khoa học của toán học và sự phù hợp với mục tiêu, nội dung, chuẩn kiến thức kĩ năng Toán 4 Các mô hình được thiết kế phải đảm bảo tính khoa học, tính chính xác của toán học và mô tả được các tình huống trong thực tiễn. HS sử dụng các phương pháp toán học để giải bài toán, từ đó đối chiếu kết quả với thực tế để điều chỉnh mô hình toán học cho phù hợp. Môn Toán có khả năng to lớn phát triển trí tuệ của HS thông qua rèn luyện các thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa và cụ thể hóa), năng lực lĩnh hội các khái niệm trừu tượng, năng lực suy luận và logic. MHH được sử dụng trong môn Toán lớp 4 vừa là nội dung cần dạy cho HS vừa là công cụ, phương tiện quan trọng và chủ yếu để phát triển tư duy, hình thành phẩm chất trí tuệ cho HS. Do đó việc Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS vừa là mục tiêu, vừa là định hướng xây dựng quy trình phát triển cho HS lớp 4. 3.1.2. Nguyên tắc 2: Làm rõ tính ứng dụng của toán học trong thực tiễn Toán học nghiên cứu những mối quan hệ về số lượng và hình dạng trong không gian của thế giới khách quan. Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng như trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lượng sản xuất. Việc vận dụng toán học vào thực tiễn thực chất là vận dụng toán học vào giải quyết một tình huống thực tế, tức là dùng những công cụ toán học thích hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa biết nào đó, dựa vào một 65 số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp xếp những yếu tố trong khách thể, nhằm đạt một mục đích đề ra. 3.1.3. Nguyên tắc 3: Chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề HS phân tích những cái đã cho, những mối quan hệ ràng buộc, và mục tiêu. Lập giả thuyết, lập kế hoạch tìm kiếm lời giải hơn là thử ngay kết quả của nó. Xét các bài toán tương tự, cố gắng đơn giản hóa bài toán ban đầu để có thể tìm hiểu sâu và dễ dàng đi tìm kết quả. Kiểm soát và đánh giá quá trình và thay đổi giả thuyết nếu thấy cần thiết. Phụ thuộc vào ngữ cảnh tình huống thực tế, thay đổi biểu thức đại số, thay đổi biểu diễn của mô hình, giải thích tương ứng giữa các phương trình, mô tả bằng lời, bảng biểu, đồ thị hoặc biểu đồ, sơ đồ của những đặc trưng, tính chất quan trọng, mối quan hệ, biểu diễn số liệu, xu hướng. Phụ thuộc vào các đối tượng hoặc hình ảnh cụ thể để giải bài toán. Kiểm tra câu trả lời sử dụng các phương pháp khác nhau, hiểu được ưu thế của từng phương pháp. Thông qua MHH, HS được phát triển các kĩ năng giải quyết vấn đề, đặc biệt là những vấn đề trong thực tiễn. 3.1.4. Nguyên tắc 4: Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức Tính khả thi của hoạt động MHH và hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn được hiểu là khả năng thực hiện được (xây dựng được, sử dụng được). Điều này phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: Chương trình, SGK, kế hoạch dạy học và quỹ thời gian thực hiện, trình độ nhận thức chung của HS, khả năng và trình độ thực hiện của GV, sự tương hợp giữa các nội dung thực tiễn chứa đựng trong các tình huống,... Vì vậy, các hoạt động và hệ thống các bài tập MHH cần phải được tinh lọc một cách thận trọng, vừa mức về số lượng và mức độ. Các hoạt động và bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Việc HS tự mình giải quyết được một bài toán có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm cho HS mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất 66 lợi cho quá trình tổ chức hoạt động tiếp theo. Do đó, trong khi thiết kế các quy trình MHH, GV cần chú ý đến các các cấp độ nhận thức của HS, cụ thể: - Cấp độ 0: HS không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề. - Cấp độ 1: HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không biết cấu trúc và đơn giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào. - Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học. - Cấp độ 3: HS có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch nó thành vấn đề toán học, nhưng không thể giải quyết vấn đề này bằng công cụ toán học. - Cấp độ 4: HS có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn và làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể. - Cấp độ 5: HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho. Tùy từng đối tượng HS mà GV giao nhiệm vụ ở những cấp độ phù hợp, vừa sức, đảm bảo đúng trình độ của HS nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt động MHH vấn đề thực tiễn trong dạy 3.2. Quy trình phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 3.2.1. Quy trình 1: Rèn luyện năng lực chuyển đổi từ tình huống thực tế sang tình huống toán học 3.2.1.1. Mục tiêu của quy trình - Giao tiếp với toán học: Đọc và làm rõ ý nghĩa lời văn, đối tượng, hình ảnh, câu hỏi, nhiệm vụ,… để hiểu tình huống. 67 - Phân tích và xây dựng mô hình toán học: Nhận ra các biến số và cấu trúc toán học ẩn phía sau tình huống. Xây dựng mô hình toán học của tình huống. - Mô hình hóa: Mô hình thông tin thực tế một cách toán học. - Suy luận: Dùng suy luận để hiểu đúng các mối quan hệ của tình huống. - Giải quyết vấn đề: Lựa chọn một phương pháp để trình bày lại tình huống thực tế một cách toán học. - Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán: Sử dụng các kí hiệu, ngôn ngữ toán học phù hợp để biểu diễn tình huống. 3.2.1.2. Cơ sở khoa học của quy trình Quy trình này tác động lên bước đầu nhận thức vấn đề của HS hay nói cách khác quy trình giúp HS giải quyết các tình huống chứa đựng các vấn đề. HS cần trang bị khả năng nhận biết được nội dung toán học chứa đựng trong tình huống đó và các kiến thức, kĩ năng toán học mà HS cần sử dụng để thiết lập mô hình toán học. 3.2.1.3. Cách thực hiện quy trình Bước 1: Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm toán học và xác định các kiến thức toán học có liên quan. - Nhận ra các biến trong tình huống và biểu diễn các đặc điểm cần thiết. - Thu thập các dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình huống, những dữ liệu này sẽ gợi ý loại mô hình phù hợp cho tình huống. - Các kĩ năng và chiến lược tư duy: thiết lập trình tự, vẽ tranh, đơn giản bài toán, sơ đồ, phát biểu lại bài toán, mô phỏng (làm thực nghiệm trực tiếp trên vật thật: que tăm, ống hút, thẻ, sợi dây, nước, cát, bút chì, giấy…). Bước 2: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán chứa mô hình đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế - Đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa vấn đề. 68 - Đưa ra giả thuyết phù hợp, tổng quát, hình thức hóa. 3.2.1.4. Ví dụ Ví dụ 1. “Giá sách” (Trích từ tài liệu PISA). Sau khi học xong bài toán chia hết, GV có thể đƣa ra bài toán Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận sau: 4 tấm gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 12 cái kẹp nhỏ, 2 cái kẹp lớn và 14 cái ốc vít. Người thợ mộc đang có 26 tấm gỗ dài, 33 tấm gỗ ngắn, 200 kẹp nhỏ, 20 kẹp lớn, 510 cái ốc vít. Câu hỏi: Người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là bao nhiêu cái giá sách? Vấn đề thực tiễn đặt ra là tìm số giá sách người thợ mộc có thể làm được. Câu hỏi được đặt trong bối cảnh thế giới thực và sự thực tế này là xác thực tuy nhiên ít phức tạp hơn so với hầu hết các vấn đề thực tế do hầu như không có thông tin không liên quan hoặc dư thừa được đưa ra. Bước 1: Diễn đạt lại nội dung vấn đề được đặt ra theo các khái niệm toán học và xác định các kiến thức toán học có liên quan. (bằng lời và bảng) Một cái giá sách cần số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là: 4, 6, 12, 2 và 14, Theo đề bài số tấm gỗ dài, tấm gỗ ngắn, kẹp nhỏ, kẹp lớn, ốc vít theo thứ tự là: 26, 33, 200, 20, 510. GV có thể hướng dẫn HS tóm tắt theo bảng sau: Tên vật liệu Cho biết Số tấm Số tấm Số kẹp Số kẹp gỗ dài gỗ ngắn nhỏ lớn 4 6 12 2 14 26 33 200 20 510 Số ốc vít Vật liệu cần thiết để làm một cái giá sách Vật liệu đang có Yêu cầu Tìm số cái giá sách người thợ có thể làm được nhiều nhất từ vật liệu đã có? 69 Bước 2: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán đại diện trung thực cho hoàn cảnh thực tế. Học sinh sẽ có mô hình toán học của bài toán thực tế trên thực chất là đi tìm k là số tự nhiên lớn nhất (k khác 0) đồng thời thỏa mãn các điều kiện: 4 lần k nhỏ hơn hoặc bằng 26; 6 lần k nhỏ hơn hoặc bằng 33; 12 lần k nhỏ hơn hoặc bằng 200; 2 lần k nhỏ hơn hoặc bằng 20; 14 lần k nhỏ hơn hoặc bằng 510 Như vậy qua 2 bước của quy trình, từ một vấn đề thực tế, chúng ta đã toán học hóa thành một bài toán sử dụng dạng chia hết. Ví dụ 2 (Trích tài liệu Toán tài năng [33]) Một con chó đuổi con thỏ ở cách xa nó 17 bước của chó. Con thỏ ở cách hang của nó 80 bước của thỏ. Khi thỏ chạy được 3 bước thì chó chạy được 1 bước. Một bước của chó bằng tám bước của thỏ. Hỏi chó có bắt được thỏ không? Vấn đề thực tiễn đặt ra là “Chó có bắt được thỏ hay không?” Bước 1: Chuyển về vấn đề đơn giản hơn Chó cách thỏ: 17 bước của chó Thỏ cách hang: 80 bước của thỏ Thỏ chạy được 3 bước thì chó chạy được 1 bước (Thỏ đã chạy trước chó) 70 1 bước của chó = 8 bước thỏ nên 10 bước chó = 80 bước thỏ Chó có bắt được thỏ hay không? Bước 2: Muốn biết chó có bắt được thỏ hay không thì phải so sánh số bước chạy để đến hang thỏ giữa 2 con: “ chó chạy tính bằng bước thỏ” và “thỏ”. Nếu số bước của chó chạy tính bằng bước thỏ nhỏ hơn số bước của thỏ chạy tức là chó không đuổi kịp thỏ và ngược lại. Tức là quy về bài toán “Rút về cùng đơn vị”. Cách 1: Có thể phát biểu lại bài toán theo “bước của chó” như sau: Một con chó đuổi con thỏ ở cách xa nó 27 bước của chó. Con thỏ ở cách hang của nó 80 bước của thỏ. Khi thỏ chạy được 3 bước thì chó chạy được 1 bước. Hỏi chó có bắt được thỏ không? Với định hướng này thì bài toán giải như sau: 80 bước của thỏ bằng số bước của chó là: 80 : 8 = 10 (bước) Nếu chó chạy đến hang thỏ thì thỏ đã chạy được số bước là: 27  3= 81 (bước) Vì 81 > 80 tức là thỏ đã chạy vào hang được một bước rồi. Do đó, chó không bắt được thỏ. Cách 2: Bài toán trên có thể trình bày lại bằng cách đưa về “bước của thỏ” Chó cách thỏ: 17 bước của chó 1 bước của chó = 8 bước thỏ Chó cách thỏ số bước của thỏ là: 17 × 8= 156 (bước) Có thể phát biểu lại bài toán theo “bước của thỏ” và trong đó ta sẽ gọi đơn giản là bước như sau: Một con chó đuổi bắt một con thỏ ở cách nó 156 71 bước. Biết rằng, thỏ còn cách hang của nó 80 bước. Hỏi chó có bắt được thỏ hay không nếu thỏ chạy được 1 bước thì chó chạy được 3 bước? Ví dụ 3: (Trích tài liệu Toán tài năng [34]) Trong phong trào làm đẹp trường lớp, một tổ học sinh tham gia quét vôi hai bức tường, diện tích bức tường này gấp đôi diện tích bức tường kia. Sau nửa ngày, cả tổ quét vôi ở bức tường lớn được một phần thì chia làm hai: một nửa tổ ở lại quét nốt bức tường lớn và làm hết ngày mới xong, nửa tổ kia sang quét vôi ở bức tường nhỏ và khi làm hết ngày vẫn còn để lại một mảng tường mà một người phải quét cả ngày hôm sau mới xong. Hỏi tổ học sinh có mấy người (năng suất mỗi người như nhau và không thay đổi)? Bước 1: Chuyển về vấn đề đơn giản hơn Đặt trong tình huống làm công việc: Có 1 số học sinh quét 2 bức tường lớn và tường bé trong khoảng thời gian nhất định và yêu cầu “tìm số học sinh trong tổ?” Bức tường lớn = 2 × bức tường bé (Slớn= 2 × Sbé : tường bé 1 phần thì tường lớn sẽ là 2 phần tương ứng.) Bức tường lớn: Sau nửa ngày, cả tổ quét được một phần thì chia làm hai: 1 tổ ở lại quét nốt và làm hết ngày mới xong => Trong cùng nửa ngày, 2 72 cả tổ làm được số phần gấp 2 lần 1 tổ làm. Nói cách khác: Tường lớn sẽ 2 được chia thành: 2× 3= 6 phần và tường bé sẽ là 3 phần như thế. Vậy số phần công việc 1 tổ làm là: 2 phần. 2 Bức tường nhỏ: Nửa tổ kia quét bức tường nhỏ và khi hết ngày vẫn còn một mảng tường mà một người phải quét cả ngày hôm sau mới xong. Bước 2: Đưa về bài toán chia phần như sau: Cả tổ tổ Tường lớn Tường nhỏ tổ Hỏi tổ đó có bao nhiêu người? Ví dụ 4: (Trích tài liệu Toán tài năng [33]) Văn phòng phẩm dùng chung của lớp 4A gồm: giấy A0, bút dạ và hộp màu vẽ. Biết rằng cứ 5 tờ A0 thì dùng hết 1 hộp màu và khi 3 hộp màu được sử dụng hết cũng là lúc lớp dùng hết 7 bút dạ. Trong 1 tháng, lớp 4A dùng hết 30 tờ giấy A0. Tìm số bút dạ và hộp mực màu tương ứng? Để toán học hóa bài toán này, ta làm như sau: Bước 1: Nhận ra và biểu diễn các biến trong tình huống Cần xác định được yếu tố cần tìm: số tờ giấy, hộp màu và bút dạ dùng trong 1 tháng và mối quan hệ đã cho giữa chúng: “cứ 5 tờ A0 thì dùng hết 1 hộp màu và khi 3 hộp màu được sử dụng hết cũng là lúc lớp dùng hết 7 bút dạ” và tìm cách biểu thị mối quan hệ giữa các yếu tố đó. Phát biểu lại bài toán dưới dạng mô hình toán học 73 : giấy : mực  : bút Hình 1        Hình 2 Bước 2: Phiên dịch ra ngôn ngữ viết: 5 cuộn giấy hết : 1 hộp màu 3 hộp màu: 7 bút dạ 30 cuộn giấy: …? hộp màu…? bút dạ Qua 2 bước của quy trình, vấn đề thực tiễn tìm số bút dạ và hộp màu tương ứng được quy về bài toán “Rút về đơn vị”. Ví dụ 5: (Trích tài liệu Toán tài năng [34]) Lúc đầu An và Bình có số bi bằng nhau. Nếu An cho Bình 10 viên thì số bi của An bằng một nửa số bi của Bình hiện có. Hỏi số bi ban đầu của 2 bạn là bao nhiêu? Bước 1: Dùng sơ đồ mở rộng Biểu diễn số bi ban đầu của 2 bạn là Biểu diễn số bi của An là A (lúc sau) 74 Biểu diễn số bi của Bình là B (lúc sau) Thể hiện trên sơ đồ: −10 +10 +10 A ×2 +10 B B Sơ đồ 1 Bước 2: Từ sơ đồ 2, B - A = 20 (Hiệu) A ×2 Sơ đồ 2 Mà B = 2 × A Vậy sau khi toán học hóa vấn đề đã trở thành bài toán Tìm 2 số khi biết Hiệu và Tỉ số của hai số đó: Tìm hai số biết rằng hiệu của 2 số là 20, số lớn gấp 2 lần số bé? Ví dụ 6: (Trích tài liệu Toán tài năng [33]) Bài toán: Cỏ trên đồng mọc với tốc độ đều đặn mỗi ngày. Có rất nhiều bò ăn cỏ, số bò càng ít thì cỏ càng lâu hết. 200 con bò ăn hết đồng cỏ trong 100 ngày. 150 con bò ăn hết đồng cỏ trong 150 ngày. Hỏi 100 con bò ăn hết đồng cỏ trong bao nhiêu ngày? Bước 1: Hiểu vấn đề, thu thập những dữ liệu thực tế để hiểu tình huống Bài toán xoay quanh mối quan hệ giữa số lượng đàn bò và lượng cỏ ở trên đồng. Vấn đề là lượng cỏ trên đồng không phải là một số cố định mà tăng theo thời gian. 75 Nếu đàn bò càng đông thì cỏ mọc thêm càng chậm, thậm chí chưa kịp mọc đã bị bò ăn hết. Như vậy với số lượng đàn bò nêu trong giả thiết đã vượt mức giới hạn về số lượng một đàn bò cần thiết để trong một ngày chỉ ăn đủ lượng cỏ mọc thêm trên cánh đồng đó. Từ dữ kiện bài toán cho ta biết tổng lượng cỏ có sẵn và lượng cỏ mọc thêm trong 100 ngày và trong 150 ngày. Những câu hỏi cần được đặt ra trong giai đoạn này có thể là: Vấn đề ở đây là gì? Có những yếu tố nào trong đó? Mối quan hệ giữa các yếu tố đó? Dữ kiện được nếu ra cho ta biết điều gì? Bước 2: Thiết lập mô hình Các dữ kiện cần thiết ở đây là: Cỏ mọc đều đặn mỗi ngày; lượng cỏ (tính theo một đơn vị, chẳng hạn như kg, bó hoặc đấu) có sẵn và mọc thêm trong 100 ngày và 150 ngày; số lượng bò ăn hết cỏ trong khoảng thời gian tương ứng. Ta có thể giả định: Trung bình mỗi con bò trong một ngày ăn hết 1 đơn vị cỏ. Sử dụng các phép toán cộng và nhân trên các dữ liệu: Lượng cỏ mà đàn bò 200 con ăn hết trong 100 ngày là: 200×100=20000 (đơn vị) Lượng cỏ này bằng lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau 100 ngày Lượng cỏ mà đàn bò 150 con ăn hết trong 150 ngày là: 150×150=22500 (đơn vị) Lượng cỏ này bằng lượng cỏ có sẵn ban đầu + lượng cỏ mọc thêm sau 150 ngày Muốn biết đàn bò 100 con ăn hết đồng cỏ trong bao nhiêu ngày thì ta phải biết tổng lượng cỏ đàn bò đã ăn. Do đó phải biết lượng cỏ mọc thêm mỗi ngày. Từ đó sẽ biết được số lượng bò vượt mức ăn đủ lượng cỏ mọc thêm mỗi 76 ngày trong số 100 con bò. Do vậy sẽ tìm được thời gian mà số bò vượt mức ăn hết lượng cỏ ban đầu có sẵn trên cánh đồng. 3.2.2. Quy trình 2: Rèn luyện kĩ năng sử dụng mô hình toán học để giải bài toán 3.2.2.1. Mục tiêu của quy trình - Giao tiếp với toán học: Chỉ ra các công việc liên quan để tìm lời giải và trình bày lời giải. - Phân tích và xây dựng mô hình toán học: Thiết kế và sử dụng các ưu thế của mô hình để hướng dẫn quá trình giải quyết vấn đề toán học. - Mô hình hóa: Liên kết nhiều mô hình toán học khác nhau khi tương tác để tìm ra phương pháp giải. - Suy luận: Sử dụng suy luận cùng với các quá trình toán học, kết nối các thông tin được cho để đi đến lời giải toán. - Giải quyết vấn đề: Lựa chọn và thực hiện một phương pháp giải để đi đến kết quả toán. - Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán: Hiểu và sử dụng các kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán dựa trên các khái niệm, quy tắc, thuật toán, quá trình, suy luận toán học để đi đến kết quả toán. 3.2.2.2. Cơ sở khoa học của quy trình Trong dạy học toán ở tiểu học thường xuyên phải sử dụng các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, bảng… HS có thể phát hiện và làm sâu sắc thêm sự hiểu biết của mình về các khái niệm và quan hệ toán học được tạo ra, so sánh và biểu diễn các mô hình khác nhau [16]. Chúng giảm bớt đi sự trừu tượng của toán học, làm cho các công thức, các phép biến đổi toán học gần gũi hơn với nhận thức của HS. Do đó, trước hết HS cần hiểu và sử dụng hợp lí các mô hình toán học quy ước sẵn như kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, bảng, công thức… toán 77 học. Tiếp theo là tổ chức các hoạt động liên kết, biến đổi hoặc tạo ra những mô hình toán học mới trong quá trình giải toán. 3.2.2.3. Cách thực hiện quy trình Trong quy trình 2 này, chúng tôi chia làm 2 nhóm rèn luyện a và b. Trong mỗi nhóm, chúng tôi có nêu đặc điểm nhận diện, các bước tiến hành và những lưu ý cần thiết khi thực hiện. a. Bước 1: Rèn luyện kĩ năng hiểu và sử dụng hợp lí mô hình toán học có sẵn - Tình huống có vấn đề thường là tình huống không gắn liền với thực tiễn hoặc tình huống đã được toán học hóa. - Trước hết, mỗi GV cần phải tự rèn luyện năng lực mô hình hóa cho bản thân trong quá trình dạy học. Không chỉ sử dụng đúng, hợp lí và chuẩn mực các mô hình có sẵn, GV phải biết tạo ra các biểu diễn khác nhau cho cùng một nội dung toán học một cách hợp lí, linh hoạt, sáng tạo. - Cần nắm chắc, sử dụng đúng và hướng dẫn HS sử dụng đúng các mô hình toán học có sẵn của môn Toán 4 như: (1) Các dạng bảng, biểu đồ: Biểu đồ cột, biểu đồ quạt, biểu đồ hình chữ nhật, các dạng bảng,… (2) Các dạng sơ đồ, hình vẽ: Các hình hình học, sơ đồ Ven, sơ đồ cây, sơ đồ đoạn thẳng, ô vuông, sơ đồ mở rộng. (3) Các kí hiệu, công thức, biểu thức hay phương trình toán học ở lớp 4… Trước mỗi bài lên lớp, GV cần làm rõ những mô hình toán học HS đã biết có liên quan và những mô hình được giới thiệu để thiết kế được các hoạt động liên kết, biến đổi mô hình một cách phù hợp. Đối với các mô hình toán học theo quy ước, được dạy tường minh như là một nội dung toán học, GV cần thực hiện các bước sau: 78 Bước 1: GV giới thiệu một cách ngắn gọn, rõ ràng cách gọi tên, cách viết; sử dụng các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, bảng… Mô tả cấu tạo, ý nghĩa của mô hình bằng lời. Yêu cầu HS quan sát và mô tả lại bằng lời hoặc viết/ vẽ ra. Bước 2: Thực hiện các hoạt động nhận dạng và thể hiện các mô hình toán học. Phân tích các kí hiệu, biểu tượng, những ưu điểm, hạn chế (nếu có) của các dạng mô hình khác nhau cho cùng một đối tượng hay quan hệ toán học theo từng trường hợp. Bước 3: Vận dụng các mô hình toán học trong các tình huống cụ thể, có tính minh họa. GV gợi ý, định hướng giúp HS sử dụng mô hình một cách hợp lí. Lưu ý: - Với các mô hình dạng: sơ đồ hướng dẫn, hình vẽ…không theo những quy ước chặt chẽ, có tính trực quan, dễ cảm nhận, thường được sử dụng như công cụ để tư duy, ghi nhớ, tóm tắt, tổng kết, hệ thống hóa… - GV cần phối hợp giữa mô tả bằng lời và bằng hình ảnh (viết, vẽ…) đảm bảo sự chuẩn mực, tính chính xác, có điểm nhấn để thu hút sự tập trung của HS khi quan sát, nhận diện và làm theo. Ví dụ 1: Bài “Tính chất giao hoán của phép nhân” (SGK Toán 4 tr.58 [5]) (1) Viết số thích hợp vào ô trống. Mô hình hóa các số bằng  a. 46=6 207  7 =   207 Nhận xét: Đề bài sử dụng mô hình có sẵn  thay thế cho chữ số cần tìm. Sử dụng tính chất của toán học đó là tính chất giao hoán: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích không thay đổi. Vì vậy không cần thực hiện phép tính ta có thể dễ dàng điền các số thích hợp vào ô trống. 79 Ví dụ 2. Bài “Phân số bằng nhau”, (SGK Toán 4, tr.111 [5]) Ta có nhận xét: 3 3 2 6 6 6:2 3  (1)   và  4 4 2 8 8 8: 2 4 Bài 1: Viết số thích hợp vào chỗ trống: (SGK Toán 4, tr 112 [5]) 2  3 6 Nhận xét: Ở đây, SGK mô tả nhiệm vụ theo sơ đồ trong bài 1 là khá tường minh, HS dễ dàng “giải mã” (hiểu nhiệm vụ) và thực hiện. Tuy nhiên, nội dung nhận xét bằng bằng nhận xét bằng phép tính (1), HS đã có nhiều cách hiểu khác nhau, như: “Nếu nhân cả tử số và mẫu số của phân số 3 với 2 ta được 4 6 6 3 ”; “Phân số = vì 6 = 3  2 và 8 = 4  2”; “Nhân 2 với tử số 8 8 4 và mẫu số của phân số 6 3 ta được phân số . 8 4 Ở đây, nhận xét trong (1) nhằm hướng HS đến tính chất: “Nếu nhân hay chia cả tử và mẫu của một phân số với một số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho”. Từ đó, HS đi đến biểu diễn tổng quát: a am a a:m  với m  0 và  với m  0 b bm b b:m Có thể nói, các mô hình toán học hỗ trợ tích cực quá trình nhận thức của HS. Để rèn kĩ năng “giải mã”, làm cơ sở để HS có thể “tạo mô hình” trong các hoạt động học tập sau này, GV cần chú trọng ngay từ những biểu diễn đơn giản trong mỗi nội dung dạy học. Ví dụ 3. Để củng cố về phân số và phép chia số tự nhiên (Toán 4, trang 110), GV cho HS thực hiện bài tập sau: 80 Bài 2: Có hai phân số 7 7 và , phân số nào chỉ phần đã tô màu của 6 12 hình 1? Phân số nào chỉ phần đã tô màu của hình 2? a. Hình 1 b. Hình 2 Bài tập như trên rèn cho HS hiểu và sử dụng đúng dạng hình vẽ. Trong dạy học chủ đề phân số, HS cần được luyện tập bằng các dạng tương tự có sử dụng mô hình hình học. Muốn giải bài toán này, GV cần yêu cầu HS quan sát kĩ hai hình và tìm ra phân số chỉ phần tô màu của từng hình. Các câu hỏi: Hình 1: + Hình chữ nhật chia làm mấy phần bằng nhau? (Hình chữ nhật được chia thành 6 phần bằng nhau). + Đã tô màu mấy phần? (Tô màu hết 1 hình chữ nhất, tô thêm 1 phần nữa. Vậy tô tất cả 7 phần). + Vậy đã tô màu mấy phần hình chữ nhật? (Đã tô màu 7 hình chữ nhật) 6 Hình 2: + Hình chữ nhật được chia thành mấy phần bằng nhau? (Hình chữ nhật chia thành 12 phần bằng nhau). + Mỗi phần bằng nhau tương ứng với mấy hình vuông nhỏ? + Đã tô màu mấy phần? (Đã tô màu 7 phần). 81 + Vậy đã tô màu mấy phần hình chữ nhật? (Đã tô màu 7 hình chữ nhật). 12 Ví dụ 4: (Toán 4, tr.149 [5]) Nêu bài toán rồi giải bài toán theo sơ đồ sau: ?l Thùng 1 180 l Thùng 2 ?l Bước 1: Giới thiệu qua một số kí hiệu có trong sơ đồ: số phần, móc và, đơn vị. Bước 2: Trước khi nêu được bài toán, ta phải hiểu những kí hiệu trong sơ đồ này cung cấp những thông tin gì cho bài: - 2 sự vật được nhắc đến: Thùng 1, thùng 2. Đây là 2 số cần phải tìm. - Đơn vị của 2 số được quy định là lít - Dựa vào số phần biểu thị ta suy ra tỉ số của thùng 1 và thùng 2 là 1 4 - Dấu móc tổng thể hiện rằng tổng số lít 2 thùng là 180 l Đây là bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số. Bước 3: Dựa vào thông tin được mã hóa, GV gợi ý cho HS cách nêu bài toán bằng cách đưa ra câu hỏi: - Có mấy thùng chứa gì? (dầu, nước, xăng…) - Tổng số lít là bao nhiêu? - Thể hiện tỉ số có thể bằng nhiều cách: “Thùng 2 gấp mấy lần thùng 1?” hoặc “Nếu gấp số lít thùng 1 lên bao nhiêu lần thì được số lít thùng 2?” hoặc “Tỉ số lít của thùng 1 và thùng 2 là bao nhiêu?” 82 b. Bước 2: Rèn luyện kĩ năng xây dựng các mô hình toán học mới trong quá trình giải toán Để thực hiện hiệu quả quy trình này, GV cần rèn luyện cho HS biết khai thác, sử dụng mô hình toán học như là công cụ, phương tiện, là điểm tựa để tiến hành thao tác giải toán như: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa nhằm tìm kiếm giải pháp cho bài toán đặt ra. GV cần quan tâm đến các vấn đề sau: - Nghiên cứu kĩ sách giáo khoa, sách bài tập,… lựa chọn các nội dung toán học, các bài tập, tình huống có sử dụng các mô hình đa dạng. Khuyến khích HS sử dụng mô hình để bộc lộ sự sáng tạo, thể hiện ý tưởng của mình. - Bám sát mục tiêu bài học để thiết kế các nhiệm vụ học tập, luôn yêu cầu HS có sản phẩm dưới dạng tóm tắt, mô phỏng hay phác thảo, giúp HS bộc lộ khả năng sử dụng các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, bảng,… Cần chuẩn bị sẵn các gợi ý để giúp HS đỡ lúng túng với kiểu nhiệm vụ này và có thể thao tác được. - Tập cho HS có thói quen sử dụng mô hình để hiểu, tóm tắt, ghi nhớ; để xây dựng, tìm kiếm ý tưởng hay giải thích, trình bày giải pháp. - Rèn kĩ năng sử dụng mô hình trong tất cả các khâu của quá trình học tập: trong hình thành kiến thức mới, trong luyện tập, củng cố, trong ôn tập, hệ thống hóa kiến thức, trong giải bài tập toán, v.v… - Để HS tự nhận xét, lựa chọn mô hình các mô hình tiêu biểu. Điều này giúp HS nhận ra điểm mạnh, điểm yếu của mỗi mô hình toán học. Qua đó học được các sử dụng mô hình hợp lí trong từng tình huống toán học. Các cơ hội để thực hiện: Trong các tình huống đã được phát biểu thành mô hình toán học, GV đều có cơ hội để dạy cho HS liên kết, biến đổi hay tạo ra các mô hình toán học. Đặc biệt trong giờ luyện tập, thực hành, GV nên chọn một vài bài tập đặc trưng phù hợp để bồi dưỡng năng lực mô hình toán 83 học. Tập trung vào các bài tập yêu cầu bộc lộ khả năng sử dụng và tạo ra các kí hiệu, hình vẽ, sơ đồ, biểu đồ, bảng,… như là một yếu tố quan trọng của lời giải đúng. Qua đó giúp HS thấy được việc sử dụng các mô hình toán học là một phần không thể tách rời của toán học. *Nhóm ví dụ sử dụng kí hiệu toán học Khi giải một bài toán số học, vấn đề cần giải quyết thường là các số chưa biết. Những số cần tìm này ở dạng ẩn và được đặc trưng mô hình hóa bằng một kí hiệu nào đó phù hợp (có thể là ?, *, , hoặc các chữ cái a, b, c, x, y, z,…). Đây là nhóm mô hình được sử dụng nhiều trong các bài toán số học có dạng số và chữ số; các bài toán về điền số vào phép tính hay mô tả các bài toán có lời văn. Rèn luyện kĩ năng sử dụng kí hiệu toán học trong dạy học số học cho HS lớp 4 đồng thời giúp HS tiếp cận từ số học đến một số vấn đề liên quan đến đại số. Ví dụ 1: Phải bớt 100 đi bao nhiêu để được số nhỏ nhất có hai chữ số giống nhau? Số nhỏ nhất có hai chữ số giống nhau là 11. Nếu coi số cần tìm là X thì bài toán có thể mô tả như sau: 100 − X = 11 X = 100 − 11 X = 89 Số cần tìm là 89 Ví dụ 2: Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái một số tự nhiên có ba chữ số thì nó tăng gấp 17 lần. Tìm số đó? Đối với bài này, chúng ta có vẽ sơ đồ để giải. Tuy nhiên vì số phần nhiều mà thể hiện trên sơ đồ thu gọn thì gây khó khăn cho HS trong tưởng tượng nên ta sẽ mô hình hóa tình huống này bằng kí hiệu. Vì số cần tìm có 3 chữ số nên ta sẽ gọi số cần tìm có dạng: hình hóa) abc (mô 84 Khi viết thêm chữ số 2 vào bên trái số này được số: 2abc . Theo bài ra ta có: = abc × 17 2000 + abc = 2abc abc × 17 (dựa vào số học để phân tích cấu tạo số) abc × 17 − abc × (17−1) = 2000 (nhân một số với một hiệu) abc × 16 = 2000 abc = 2000 ÷ 16 (tìm thừa số) abc = 125 abc = 2000 (tìm số hạng) Thử lại: 2125 ÷ 125 = 17 (chọn) Vậy số cần tìm là: 125. *Nhóm ví dụ sử dụng mô hình sơ đồ Đây là nhóm mô hình được sử dụng nhiều nhất trong các dạng toán ở lớp 4. Đó là cách mô hình thông tin trong bài toán thành hình ảnh dưới dạng các đơn vị đoạn thẳng. Bằng việc vẽ thành sơ đồ, học sinh sẽ biết được đại lượng nào đã cho, đại lượng nào chưa biết, đại lượng nào cần tìm, thậm chí còn biết được những cách nào cần sử dụng để giải bài toán đó. Có thể áp dụng đối với bài toán cộng, trừ, nhân, chia, liên quan đến phân số, tỉ số,… Ví dụ: Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng Ví dụ 1: Sơ đồ liên quan đến phép cộng/ trừ (1) Mỹ Linh có 1730 hạt vòng màu xanh và 3143 hạt vòng màu đỏ. Hỏi bạn ấy có tất cả bao nhiêu hạt vòng? (Theo Thách thức Toán Singapore [35]) ? 1730 3143 1730 + 3143 = 4873 85 (2) Năm ngoái và năm nay, công ty Tân Phát sản xuất được 3730 chiếc ô tô. Năm nay sản xuất được 1315 chiếc ô tô. Hỏi năm ngoái, công ty Tân Phát sản xuất được bao nhiêu chiếc ô tô? (Theo Thách thức Toán Singapore [35]) 3730 1315 ? 3730 − 1315 = 2415 Ví dụ 2: Sơ đồ liên quan đến phép nhân (1). Phép nhân với số có tận cùng là chữ số 0 Một trường tiểu học có 8 phòng học, mỗi phòng học có 15 bộ bàn ghế, mỗi bộ bàn ghế lại có 2 học sinh đang ngồi học. Hỏi có tất cả bao nhiêu học sinh đang ngồi học ở trường?(Theo Thách thức Toán Singapore [36]) Bàn ghế 15 Học sinh ? học sinh Phòng học Từ sơ đồ, HS có thể giải bài toán như sau: Mỗi phòng học có số học sinh ngồi học là: 15 × 2 = 30 (học sinh) Có tất cả số học sinh đang ngồi học là: 30 × 8 = 240 (học sinh) (2) Phép nhân và hiệu số Bình có 20 cái kẹo. An có nhiều hơn lớp Bình 5 cái kẹo. Số kẹo của Phước nhiều gấp đôi số kẹo của Bình. Hỏi cả ba bạn có tất cả bao nhiêu cái kẹo?(Theo Thách thức Toán Singapore [35]) Bình An Phước 20 5 ? cái 86 Dựa vào sơ đồ, ta thấy Tổng số kẹo của 3 bạn bằng 4 lần số kẹo của bạn An cộng với 5 nên cả 3 bạn có tất cả số kẹo là: (20 × 4) + 5 = 85 (cái kẹo) Ví dụ 3: Liên quan đến thiết lập một tổng thể Mai, Lan và Hương làm 111 chiếc bánh nướng. Lan làm được số bánh nhiều gấp đôi Hương. Mai làm được ít hơn Lan 9 chiếc bánh. Hỏi Mai làm được bao nhiêu bánh?(Theo Thách thức Toán Singapore [36]) ? Mai 9 111 + 9 Lan Hương Dựa vào sơ đồ, ta thấy Nếu thêm cho Mai 9 cái bánh nướng thì tổng số bánh lúc này sẽ gấp 5 lần số bánh của Hương nên Số bánh của Hương là: (111+ 9) ÷ 5 = 24 (cái bánh) Số bánh của Mai là: (2 × 24)−9 = 39 (cái bánh) Ví dụ 4: Liên quan đến sự phân chia Có 183 quả cam trong rổ A và 97 quả cam trong rổ B. Hỏi phải chuyển bao nhiêu quả cam từ rổ A sang rổ B để hai rổ chứa số cam bằng nhau?(Theo Thách thức Toán Singapore [35]) 183 Rổ A Rổ B ? 97 87 Từ sơ đồ, ta thấy “Rổ A chuyển bao nhiêu quả cam thì rổ B nhận được bấy nhiêu quả cam” Mặt khác sau khi chuyển thì số cam trong 2 rổ bằng nhau nên phải chuyển số cam là: (183 - 97)÷ 2 = 43 (quả cam) Ví dụ 5: Sơ đồ liên quan đến tỉ số (1) Lúc đầu An và Bình có số kẹo bằng nhau. Biết rằng khi An cho Bình 10 viên kẹo thì số kẹo của Bình gấp đôi số kẹo của An. Tính số kẹo lúc đầu An và Bình có? (Theo Thách thức Toán Singapore [35]) Ban đầu: An Bình Sau khi An cho Binh 10 viên kẹo An còn 10v An 10v Bình Bình có Từ sơ đồ ta có thể thấy, giá trị 1 phần là: 10 + 10 = 20 (viên) Số kẹo ban đầu của An là: 20 +10 = 30 (viên) Số kẹo ban đầu của Bình là: 30 + 10 = 40 (viên) (2) Tính diện tích của một hình chữ nhật có chu vi bằng 20 cm. Chiều rộng bằng 2 chiều dài. (Theo SGK Toán 4, tr.148) 3 88 Phân tích: Xuất phát từ câu hỏi: “Muốn tính diện tích hình chữ nhật ?” S= D × R. Chúng ta cần biết chiều dài và chiều rộng (tìm 2 số) Chu vi: (D + R) × 2 = 20 Bài toán tìm 2 số khi biết tổng số đó. Nên D + R = 20 : 2 = 10 và tỉ số của 2 Dùng sơ đồ R 2  D 3 ?cm Chiều dài 10 cm Chiều rộng ?cm Ví dụ: Sử dụng sơ đồ Ven Ví dụ 1: Đội tuyển thi Toán và Văn có 20 em. Trong đó có 12 em thi Văn và có 13 em thi Toán. Hỏi có bao nhiêu em thi cả 2 môn? (Theo Toán tài năng [33]) Dựa vào sơ đồ Ven trên ta thấy rằng, 13 em thi Toán sẽ bao gồm số em chỉ thi Toán và thi cả Toán + Văn. Do đó ta tìm được: Số em chỉ thi Văn là: 20 - 13 = 7 (em) Số em thi cả hai môn là: 12 - 7 = 5 (em) 89 Ví dụ 2: Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu nói 1, 2 hoặc 3 thứ tiếng Nga, Anh, Pháp. Biết có 39 đại biểu chỉ nói tiếng Anh, 35 đại biểu nói được tiếng Pháp, 8 đại biểu nói được cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được tiếng Nga? (Theo Toán tài năng [33]). Sử dụng sơ đồ Ven, chúng ta dễ dàng nhận thấy “8 đại biểu nói được tiếng Anh và tiếng Nga là phần tô đậm”. Vậy nếu trừ đi 39 đại biểu chỉ nói được tiếng Anh thì số đại biểu nói được tiếng Pháp và Nga sẽ là: 100 - 39 = 61 (người) Nếu trừ đi 35 đại biểu chỉ nói được tiếng Pháp thì số đại biểu nói được tiếng Nga nhưng không nói được tiếng Pháp là: 61 - 35 = 26 (người) Nhìn sơ đồ Ven trên, ta có thể thấy số người nói tiếng Nga nhưng không nói được tiếng Pháp bao gồm số người chỉ nói được tiếng Nga và nói được cả tiếng Nga và tiếng Anh. Số đại biểu chỉ nói được tiếng Nga là: 26 - 8 = 18 (người) Ví dụ: Sử dụng sơ đồ mở rộng Ví dụ 1: Tìm X X÷3−2=6 90 Thông thường khi tư duy đại số, sẽ có cách như sau: Cách 1: X÷3−2=6 X÷3=6+2 X÷3=8 X=8  3 X = 24 Tuy nhiên để mô hình hóa cho bài toán dễ hiểu. Chúng ta có thể dùng sơ đồ mở rộng như sau: Cách 2: ÷3 − 2 ?x 24 ×3 6 +2 8 Khi thể hiện bằng sơ đồ mở rộng, ta có thể dễ dàng tìm được X theo quy trình ngược lại của mũi tên bắt đầu từ kết quả cuối. Nếu trên là - 2 thì dưới là + 2, được: 6 + 2 = 8 (Bước 1) Nếu trên là ÷ 3 thì dưới là × 3, được: x = 8×3= 24 Ví dụ 2: Một người bán vải, lần (I) bán một nửa số vải và thứ 2 bán được một nửa số vải còn lại và vải còn lại và 1 m. Lần 2 1 m. Lần thứ 3 bán đi một nửa số 2 1 m thì vừa hết. Hỏi số vải lúc đầu có là bao nhiêu? (Theo 2 Toán tài năng [34]) Áp dụng phương pháp sơ đồ mở rộng này, ta có thể biểu diễn các lần bán vải như sau: 91 Lần 1 ÷2 − ?X 7 T1 ×2 + 3 Lần 2 ÷2 − T1 3 T2 ×2 + 1 Lần 3 ÷2 − T2 1 0 ×2 + Số vải ban đầu cần tìm sẽ bắt đầu tính ngược từ lần 3, lần 2 và về lần 1. Ví dụ 3: Trên bàn là 3 cuốn sách giáo khoa: Toán, Tiếng Việt và Mĩ thuật được bọc 3 màu khác nhau: trắng, hồng, tím. Cho biết cuốn bọc bìa mùa tím đặt giữa hai cuốn Tiếng Việt và Mĩ thuật.Cuốn Mĩ thuật và cuốn màu hồng cùng mua một ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn bọc bìa màu gì? (Theo Toán tài năng [34]) 92 Trong bài toán này xuất hiện hai nhóm đối tượng là tên sách và màu bìa. Ta mô tả bài toán bằng một sơ đồ gồm hai đường (dưới dạng 2 cột đứng). Mỗi cột biểu diễn một nhóm đối tượng nói trên. Mối quan hệ cho trong đề bài ta biểu diễn bởi một đoạn thẳng. Điều kiện “là” được nối bằng một nét liền và điều kiện “không” được nối bằng một nét gạch đứt. Dựa vào sơ đồ sau: Toán Hồng Tiếng Việt Tím Mĩ thuật Trắng Theo đề bài ta có: - Cuốn bọc bìa màu tím đặt giữa hai cuốn tiếng Việt và Mĩ thuật nên hai cuốn này không bọc bìa màu tím. Ta nối nét đứt giữa tím - tiếng Việt; tím Mĩ thuật. - Cuốn Mĩ thuật không bọc bìa màu hồng (vì hai cuốn mua cùng ngày). Ta nối nét đứt giữa Mĩ thuật - hồng. - Cuốn Mĩ thuật không bọc bìa màu hồng và màu tím. Vậy nó chỉ có thể bọc bìa màu trắng. Ta nối nét liền giữa Mĩ thuật - trắng. - Cuốn tiếng Việt không bọc bìa màu tím, không bọc bìa màu trắng. Vậy nó bọc bìa màu hồng. Ta nối nét liền giữa tiếng Việt - hồng. - Vậy cuốn Toán sẽ bọc bìa màu tím. Ví dụ 4: Cho bốn chữ số 0, 1, 2, 3 Viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho? Đối với bài này chúng ta có thể dùng phương pháp thử - chọn để tìm lời giải. Tuy nhiên cách này hơi trừu tượng và khó hiểu với HS. Thay vì thử chọn ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây. 93 Chọn số 1 làm chữ số hàng nghìn ta được các số: 2 – 3: 1023 0 3 - 2 :1032 0 – 3 : 1203 1 2 3 3 – 0 : 1230 0 – 2 : 1302 2 – 0 : 1320 Nhìn vào sơ đồ ta thấy: từ bốn chữ số đã cho, ta viết được 6 số có chữ số hàng nghìn bằng 1 thỏa mãn các điều kiện của đề bài. Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí hàng nghìn. Vậy số các số thỏa mãn điều kiện của đề bài là: 6 × 3 = 18 (số) *Nhóm ví dụ sử dụng mô hình vẽ Ví dụ 1: Mô hình vẽ để giải bài tập (1) An năm nay 8 tuổi. Một hôm, bạn ấy hỏi tuổi của mẹ, mẹ đã trả lời bạn ấy rằng: “Khi tuổi con bằng tuổi mẹ thì mẹ 54 tuổi”. Hỏi năm nay mẹ của An bao nhiêu tuổi? (Theo Thách thức Toán Singapore [35]) Đối với bài toán này, ta sẽ sử dụng hình vẽ để biểu diễn tuổi An, tuổi mẹ hiện nay, mẹ 54 tuổi. 8 Tuổi của mẹ An hiện nay 54 Nhìn vào hình vẽ, ta có thể thấy rằng: An cần bao nhiêu năm để bằng tuổi mẹ thì mẹ của An cũng cần bấy nhiêu năm để tới 54 tuổi. Nên số năm An cần để bằng tuổi mẹ là: (54 - 8)÷2= 23 (tuổi) 94 Số tuổi của mẹ hiện nay là: 23 + 8 = 31 (tuổi) (2) Một cửa hàng bán một số mét vải trong 3 ngày. Ngày thứ nhất bán được 3 2 số mét vải; Ngày thứ hai bán được số mét vải còn lại. Ngày thứ ba 5 7 bán nốt 40 mét vải. Tính tổng số mét vải cửa hàng đã bán? (Theo Thách thức Toán Singapore [36]) Tùy thuộc vào khả năng lựa chọn mà HS có thể tóm tắt bài này bằng lời hoặc bằng sơ đồ đoạn thẳng hay hình vẽ. Dưới đây là cách tóm tắt bằng hình vẽ: Ngày 1: 3/5 tổng số m vải Ngày 3: 40m Ngày 1: 2/7 số m vải còn lại Từ hình vẽ trên, ta thấy rằng: - Ban đầu số mét vải được chia làm 5 phần, sau ngày bán thứ nhất tiếp tục chia làm 7 phần. Như vậy, tổng số mét vải có thể chia thành là: 7×5= 35 (phần) Ta có 40 mét vải bán trong ngày thứ 3 ứng với 10 phần. Mỗi phần sẽ ứng với số mét vải là 40 ÷ 10 = 4 (m) Vậy tổng số vải là: 4×35= 140 (m) 95 Ví dụ 2: Mô hình vẽ để hiểu các bƣớc của phép tính trong phạm vi 10000 (hình thành kiến thức mới) (1) (Giới thiệu bài Phép cộng Toán 4 tr.39 [5]) Đặt tính rồi tính a. 4682+ 2305 b.2968 + 6524 Theo như trình bày trong SGK thì bài tập sẽ làm như sau: a. 4682+ 2305 + Cộng theo thứ tự từ phải sang trái 4681 - 2 cộng 5 bằng 7, viết 7 2305 - 8 cộng 0 bằng 8, viết 8 6987 - 6 cộng 3 bằng 9, viết 9 - 4 cộng 2 bằng 6, viết 6 b.2968 + 6524 2968 + 6524 9492 Cộng theo thứ tự từ phải sang trái - 8 cộng 4 bằng 12, viết 2 nhớ 1. - 6 cộng 2 bằng 8, thêm 1 bằng 9, viết 9. - 9 cộng 5 bằng 14, viết 4 nhớ 1. - 2 cộng 6 bằng 8, thêm 1 bằng 9, viết 9. Đây là cách đặt tính truyền thống của chương trình hiện hành. Trong quá trình dạy, GV thường áp đặt HS nhớ quy trình cộng / trừ từ phải sang trái và thuộc lòng cách phát biểu khi cộng/ trừ. Tuy nhiên, áp dụng mô hình hóa bằng hình vẽ, chúng tôi khai thác cách hiểu khác cho HS theo 4 bước cụ thể rõ ràng đến từng hàng, lớp. Việc cộng không nhớ và có nhớ từng đơn vị hàng, lớp được MHH bằng các mô hình giúp HS dễ quan sát, hiểu vấn đề nhanh chóng. 4 bước cụ thể như sau: 96 97 98 *Nhóm ví dụ sử dụng mô hình bảng Ví dụ 1: Một bác nông dân nuôi tất cả 30 con gà và thỏ. Tổng cộng có 100 chân. Tìm số gà và số thỏ bác nông dân nuôi? (Theo Thách thức Toán Singapore [34]) Đối với bài toán này thì có thể dùng “giả thiết tạm”. Tuy nhiên cách này khá phức tạp, đòi hòi các em phải có khả năng tư duy trừu tượng. Do đó, thay vì dùng lời, chúng ta sẽ dùng mô hình bảng để đoán và kiểm tra. Bước 1: Bắt đầu với nửa số động vật. (Lưu ý rằng gà có 2 chân, thỏ có 4 chân) Số gà Số chân Số thỏ Số chân Tổng số chân 15 30 15 60 90 Bước 2: Tổng số chân là 100 Hiệu của số chân là: 100 - 90 = 10 (chân) Số chân chênh lệch giữa hai con vật là: 4− 2=2 (chân) Vậy cần thêm vào số con thỏ hay trừ đi số con gà so với dự đoán ban đầu là: 10÷2=5 (con) Số gà Số chân Số thỏ Số chân Tổng số chân 15 30 15 60 90 10 20 20 80 100 Vậy bác nông dân có 10 con gà và 20 con thỏ Ví dụ 2: Ba bạn Hồng, Đào và Cúc tham gia hội thi “Khéo tay hay làm”. Bạn Hồng nhận xét: 99 - Cả ba chúng mình đều làm hoa trùng với tên của ba chúng ta. Bạn làm hoa cúc học cùng với tôi một lớp và ở cùng phố với bạn Đào. Bạn làm hoa đào hưởng ứng: - Hồng nói đúng! Hỏi mỗi bạn đã làm hoa gì? (Theo Thách thức Toán Singapore [35]) Theo nhận xét của Hồng thì ba bạn đã làm hoa hồng, đào và cúc. Ta có bảng sau: Hoa Hồng Đào Hồng Tên ngƣời x Cúc 1 0 2 0 3 Đào 4 x 5 0 6 Cúc 7 8 x 9 - Bạn làm hoa cúc học cùng lớp với Hồng mà lại ở cùng phố với bạn Đào nên bạn làm hoa cúc không phải tên Hồng và tên Đào. Điền số 0 vào ô số 3 và 6. - Bạn làm hoa đào hưởng ứng lời nói của bạn Hồng nên bạn làm hoa đào cũng không phải tên Hồng. Điền số 0 vào ô số 2. - Bạn Hồng không làm hoa đào, không làm hoa cúc vậy bạn Hồng làm hoa hồng. Ghi dấu x vào ô số 1. - Bạn Hồng và bạn Đào không làm hoa cúc. Vậy bạn Cúc làm hoa cúc. Ghi dấu x vào ô số 9. Còn lại bạn Đào làm hoa đào. Điền dấu x vào ô số 5. - Vậy bạn Đào làm hoa đào, bạn Hồng làm hoa hồng, bạn Cúc làm hoa cúc. 3.2.3. Quy trình 3: Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế và phản ánh những hạn chế 3.2.3.1. Mục tiêu của quy trình - Giao tiếp với Toán học: giải thích kết quả toán trong tình huống thực tế. 100 - Phân tích và xây dựng mô hình toán học: nhận ra phạm vi và hạn chế của mô hình toán học đã xây dựng. - Mô hình hóa toán học: Mô hình hóa kết quả thực tế dưới dạng phù hợp. - Suy luận: Đưa ra những lập luận ủng hộ hay bác bỏ kết quả đối với tình huống. Đánh giá tính khả thi và hạn chế của kết quả. - Giải quyết vấn đề: Lựa chọn cách để giải thích, đánh giá và làm cho kết quả toán có ý nghĩa đối với tình huống ban đầu. - Sử dụng mô hình, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán: Hiểu mối quan hệ giữa ngôn ngữ toán và ngôn ngữ thực tế để có thể chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế. 3.2.3.2. Cơ sở khoa học của quy trình Đây là bước cuối cùng nhưng cũng rất quan trọng của quy trình: hiểu lời giải bài toán trong thực tiễn và xem xét lại mô hình (hoặc chấp nhận mô hình), diễn đạt lại bài toán ban đầu (hoặc thông báo kết quả) và tìm hiểu những hạn chế và khó khăn gặp phải khi áp dụng kết quả của bài toán vào tình huống thực tiễn. [25, tr 33] 3.2.3.3. Cách thực hiện quy trình Bước 1: Giải thích kết quả toán Bước 2: So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí của lời giải và chia sẻ kết quả thực tế (nếu thỏa đáng); Nếu không thì lặp lại quá trình (không thỏa đáng) 3.2.3.4. Ví dụ Ví dụ 1. “Giá sách” (Trích từ tài liệu PISA). Sau khi học xong bài toán chia hết. Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận sau: 4 tấm gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 12 cái kẹp nhỏ, 2 cái kẹp lớn và 14 cái ốc vít. Người thợ mộc đang có 26 tấm gỗ dài, 33 tấm gỗ ngắn, 200 kẹp nhỏ, 20 kẹp lớn, 510 cái ốc vít. Câu hỏi: Người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là bao nhiêu cái giá sách? 101 Sau khi thực hiện các bước của quy trình 1: “Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi từ tình huống thực tế sang tình huống toán học”, ta sẽ giải quyết bài toán như sau: Quy trình 2: Giải toán Cách 1: Học sinh trung bình có thể giải bài toán bằng cách liệt kê theo bảng dưới đây: Tên vật liệu Vật liệu cần thiết để làm một cái giá sách Vật liệu cần thiết để làm hai cái giá sách Vật liệu cần thiết để làm ba cái giá sách Vật liệu cần thiết để làm bốn cái giá sách Vật liệu cần thiết để làm năm cái giá sách Vật liệu cần thiết để làm sáu cái giá sách So với vật liệu đang có Số tấm Số tấm Số kẹp Số kẹp gỗ dài gỗ ngắn nhỏ lớn Số ốc vít 4 6 12 2 14 8 12 24 4 28 12 18 36 6 42 16 24 48 8 56 20 30 60 10 70 24 36 72 12 84 26 33 200 20 510 Quy trình 3: Bước 1: Giải thích kết quả toán Tiếp tục liệt kê đến khi thấy một con số vượt ra ngoài giá trị của tập còn lại. Ở bài toán trên, học sinh sẽ thấy rằng nếu làm 6 giá sách thì cần có 36 tấm gỗ ngắn trong khi theo dữ kiện đề bài ta chỉ có 33 tấm gỗ ngắn. Vậy người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là 5 giá sách. 102 Tuy nhiên cách này khá dài dòng và nếu số liệu đưa ra là những con số rất lớn thì cách làm này không khả thi. Vậy còn cách làm nào khác không? Cách 2: Học sinh khá giỏi có thể giải quyết bài toán rất nhanh dựa theo sự ước tính: 26 ÷ 4 = 6 + số còn lại; 33÷ 6 = 5 + số còn lại, các phép chia 200÷12; 20÷ 2 ; 510÷14 đều lớn hơn hoặc bằng 10. Vậy câu trả lời là 5. Bước 2: So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lí của lời giải và chia sẻ kết quả thực tế Làm cho lời giải có ý nghĩa của hoàn cảnh thực tiễn bao gồm xác định cả những hạn chế của lời giải Ý nghĩa thực tế của bài toán là với các thành phần được liệt kê ở đầu bài người thợ có thể làm được 5 cái giá sách tuy nhiên dựa trên việc quan sát số liệu đã được liệt kê ở cách 1 ta nhận thấy rằng chỉ cần có thêm 3 tấm gỗ ngắn, ta có thể đóng thêm được một cái giá sách nữa. Và trên thực tế ta có thể cưa 2 tấm gỗ dài còn thừa thành 3 tấm gỗ ngắn chẳng hạn. Bài tập trên giúp học sinh có vận kiến thức toán học vào thực tế một cách rất tự nhiên. Đó là những kiến thức về tìm số tự nhiên thỏa mãn một số với điều kiện cho trước. Hơn nữa bài toán cũng cho thấy một khía cạnh rất thực tế khi làm việc là xảy ra vấn đề thừa thiếu nguyên vật liệu trong sản xuất, người lao động phải xem xét đánh giá lựa chọn phương án để có được hiệu quả kinh tế cao nhất. Ví dụ 2: Có 1 cái bánh pizza được chia cho nhiều người. Biết rằng 1 lần cắt chia bánh pizza thành 2 phần và 2 lần cắt chia bánh pizza thành 4 phần. Hỏi nếu sau 10 lần cắt chia bánh pizza thành mấy phần? (Theo Thách thức Toán Singapore [36]) Quy trình 1: 1 lần cắt: 2 phần 2 lần cắt: 4 phần 10 lần cắt: …? phần 103 Bài toán rút về đơn vị Quy trình 2: 10 lần cắt thì có số phần là: 10× 2 = 20 (phần) Quy trình 3: Kết quả trên đã phản ánh đúng dạng “Rút về đơn vị” của bài toán nhưng vấn đề đặt ra là tại sao bài toán lại cho dữ kiện “1 lần cắt chia bánh pizza thành 2 phần và 2 lần cắt chia bánh pizza thành 4 phần” trong khi để giải toán chỉ cần một trong hai là đủ. Mặt khác, quá trình mô hình hóa theo quy trình 1 đã lược bỏ hết những yếu tố cụ thể, chỉ giữ lại những yếu tố đặc trưng. Do đó kết quả đã phản ánh sự mâu thuẫn khi thực hiện quá trình mô hình hóa ở quy trình 1. Nên cần thực hiện lại từ “Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi từ tình huống thực tế sang tình huống toán học” như sau: 1 lần cắt chia bánh pizza thành 2 phần. 2 lần cắt chia bánh pizza thành 4 phần. Vậy 3 lần cắt chia bánh pizza thành mấy phần? Ta sẽ biểu diễn qua hình vẽ sau: 1 lần cắt 2 lần cắt 3 lần cắt 2 phần 4 phần 7 phần 104 Chúng ta hãy cùng quan sát: 1 lần cắt  2 phần = 1+ 1 2 lần cắt  4 phần = 1+ 1 + 2 3 lần cắt  7 phần = 1+ 1 + 2 + 3 … 10 lần cắt  1+ 1 + 2 + 3+…+ 9 +10 Như chúng ta đã biết, chúng ta có thể tạo ra 5 cặp số có tổng bằng 11 từ (1+10), (9+2), (8+3), (7+4), (6+5) và đừng quên số 1 đầu tiên! Vậy 10 lần cắt chia bánh pizza thành số phần là: 11×5+1=56 (phần) 3.3. Minh họa một số hoạt động phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh thông qua dạy học số học lớp 4 Bài soạn 1: PHÉP CỘNG PHÂN SỐ (Toán 4. Tr 126 [5]) I. Mục tiêu Sau khi học xong bài này, HS có thể đạt được những yêu cầu sau: - Lấy được ví dụ trong thực tiễn về phép cộng hai phân số cùng mẫu số. - Nói đúng cách thực hiện phép cộng hai phân số cùng mẫu số. - Viết đúng quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu số. - Tính đúng các phép cộng phân số. - Liên hệ được phép cộng phân số trong tình huống thực tiễn. II. Chuẩn bị - Giáo viên: băng giấy màu, kéo, phiếu học tập,… - Học sinh: băng giấy màu, kéo, bút,… III. Các hoạt động dạy học 1. Hoạt động tạo hứng thú (Rèn luyện quy trình 1) - Giáo viên tổ chức trò chơi cho HS: đưa các ví dụ trong thực tiễn nhằm xuất hiện phép cộng hai phân số. 105 - Tiêu chí: + Lựa chọn được tình huống thích hợp với thực tiễn. + Đề xuất được nhiều và nhanh các tình huống phù hợp. - Cách thực hiện: + Giáo viên chia lớp thành nhóm từ 4 đến 6 em học sinh. + Học sinh thảo luận và trình bày kết quả của nhóm. + Các nhóm học sinh nhận xét chéo kết quả của nhóm khác. + GV đánh giá và trao giải thưởng. - Tình huống có thể xảy ra: + Tình huống 1: HS chỉ đưa ra các ví dụ về phép cộng hai phân số cùng mẫu số. + Tình huống 2: HS đưa ra cả hai loại ví dụ phép cộng hai phân số cùng mẫu số và phép cộng hai phân số khác mẫu số. Nếu rơi vào tình huống 2, GV chỉ khoanh vùng ví dụ phép cộng hai phân số cùng mẫu số và tình huống 1. 2. Hoạt động khám phá (Rèn luyện quy trình 2) Hoạt động 1: Khám phá cách cộng hai phân số cùng mẫu số. - GV tổ chức cho mỗi HS tô màu băng giấy của mình (đã chia sẵn thành 8 phần bằng nhau) Ví dụ: Sau lần 1: Sau lần 2: 106 Hoạt động của giáo viên (dự kiến) Hoạt động của học sinh (dự kiến) - GV yêu cầu HS tô màu trên băng - HS quan sát số phần đã tô màu giấy 2 lần: trong lần 1 và lần 2 và viết các phân + Lần 1: tô 2 phần bằng nhau. số tương ứng ( + Lần 2: tô tiếp 3 phần bằng nhau 2 3 và ). 8 8 trong các phần còn lại. - GV yêu cầu HS viết phân số biểu thị số phần đã tô màu của lần 1 và lần 2. - Quan sát và liên hệ số phần sau 2 lần tô màu với các phân số biểu thị số phần khác nhau của băng giấy 2 8 3 8 5 8 ( + = ). - GV yêu cầu HS viết tiếp phép tính - Các HS đánh giá chéo kết quả của để thể hiện số phần đã tô màu sau 2 bạn bên cạnh… lần. - GV mời 2 - 3 em HS lên bảng trình - HS trình bày kết quả trên máy. bày kết quả trên máy chiếu. - GV phân tích, nhận xét, đánh giá kết quả làm bài của các HS trên. - GV yêu cầu một số HS nói cách - HS: Muốn cộng hai phân số cùng thực hiện phép cộng hai phân số mẫu số, ta lấy tử số của phân số biểu cùng mẫu số từ hoạt động tô màu thị số phần tô màu ở lần 1 cộng với bằng giấy nói trên. tử số của phân số biểu thị số phần tô - Kết luận cách thực hiện phép cộng màu ở lần 2, còn mẫu số giữ nguyên. hai phân số cùng mẫu số: Muốn cộng (phát biểu theo mô hình thực) hai phân số cùng mẫu số, ta cộng tử số với nhau và giữ nguyên mẫu số. (phát biểu theo mô hình đại diện) 107 3. Hoạt động thực hành (Rèn luyện quy trình 2, 3) Hoạt động của giáo viên (dự kiến) Hoạt động của học sinh (dự kiến) - Yêu cầu HS nói quy tắc thực hiện - HS nói quy tắc thực hiện các phép cộng hai phân số cùng mẫu. - Phân tích, nhận xét và kết luận - Lắng nghe - Phát phiếu học tập - HS hoàn thành phiếu - GV chọn một số bài làm có tình - Hoàn thành nội dung phiếu, trao đổi huống, phân tích tính đúng sai, nhận với bạn bên cạnh. xét và kết luận. NỘI DUNG PHIẾU 1. Tính: 5 9 a. + 2 9 b. 35 7 + 25 25 2. Người ta cho một vòi nước chảy vào bể chưa có nước. Lần thứ nhất chảy được 3 2 bể, lần thứ hai chảy được bể. Hỏi cả hai lần chả được mấy phần 7 7 bể? 4. Hoạt động vận dụng (Rèn luyện 3 quy trình) Hoạt động của giáo viên (dự kiến) Hoạt động của học sinh (dự kiến) - Yêu cầu mỗi HS lấy 1 ví dụ từ các - HS suy nghĩ, phát biểu, tự giải các hoạt động trong lớp, ở trường hoặc bài toán do mình đề xuất. sinh hoạt ở gia đình mình dẫn tới phép cộng hai phân số có cùng mẫu số. - Tiến hành cho HS chia sẻ, nhận xét, - Chia sẻ, trao đổi kết quả đề xuất bài sửa chữa. toán và giải các bài toán với bạn bên cạnh. - Chọn bài làm của một số HS trong - Lắng nghe, rút kinh nghiệm. lớp, nhận xét, đánh giá kết quả; yêu cầu HS khác tự đối chiếu. 108 3.4. Thực nghiệm tính khả thi và sự cần thiết của các quy trình đề xuất 3.4.1. Mục đích và yêu cầu thực nghiệm 3.4.1.1.Mục đích: Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm nghiệm giả thuyết khoa học. Bước đầu khẳng định tính khả thi và tính hiệu quả của các quy trình được đề xuất qua thực tiễn dạy học. Cụ thể: + Các quy trình mà luận văn đề xuất có thể thực hiện trong quá trình dạy học số học môn Toán 4 hay không? + Thực hiện các quy trình có thực sự phát triển được năng lực MHH toán học cho HS thông qua dạy học số học lớp 4 hay không? 3.4.1.2.Yêu cầu: Thực nghiệm sư phạm phải đảm bảo tính trung thực, khách quan và phù hợp với đối tượng HS lớp 4, sát với thực tế dạy học. 3.4.2. Nhiệm vụ - Biên soạn tài liệu thực nghiệm, hướng dẫn GV cách chuẩn bị và thực hiện các tiết dạy học phát triển năng lực MHH toán học cho HS thông qua dạy học số học lớp 4 và tiến hành thực nghiệm các quy trình sư phạm đã đề xuất trong chương. - Quan sát, thu thập các thông tin phản ánh quá trình và kết quả thực nghiệm liên quan đến tính khả thi và hiệu quả của các quy trình đã đề xuất. - Phân tích, xử lý số liệu thực nghiệm bằng phương pháp thống kê các kết quả đánh giá năng lực MHH toán học. - Đánh giá kết quả thực nghiệm theo hai phương diện: tính khả thi và tính hiệu quả của các quy trình được đề xuất. 3.4.3. Các nguyên tắc tổ chức thực nghiệm - Giúp GV và HS hiểu được vai trò, tầm quan trọng của phát triển năng lực MHH toán học cho HS thông qua dạy học số học lớp 4. - Hướng dẫn HS nắm vững những kiến thức, kĩ năng cơ bản về mô hình 109 toán học nhằm hình thành năng lực MHH toán học qua dạy học số học cho HS lớp 4. - Tổ chức cho HS được thực hiện và luyện tập những hoạt động MHH toán học tương thích với nội dung và mục tiêu bài học nhằm hình thành và phát triển được năng lực MHH toán học. - Trong quá trình dạy học, luôn gợi động cơ, tạo hứng thú, tạo cơ hội để HS tham gia các hoạt động học tập hướng tới hình thành năng lực MHH toán học. Đảm bảo được mục tiêu dạy học, góp phần nâng cao kết quả học tập môn Toán. 3.4.4. Thời gian, đối tượng thực nghiệm 3.4.4.1. Đối tượng thực nghiệm Được sự đồng ý của Ban Giám hiệu trường Tiểu học Nghi Phú 1, chúng tôi đã đề xuất chọn lớp 4A làm thực nghiệm (TN) và lớp 4B làm đối chứng (ĐC) thể hiện cho các kết quả của luận văn. 3.4.4.2. Thời gian thực nghiệm - Đợt 1: Từ tháng 12 năm 2018 đến tháng 1 năm 2019 tại trường Tiểu học Nghi Phú 1. - Đợt 2: Từ tháng 2 đến tháng 4 năm 2019 tại trường Tiểu học Nghi Phú 1. 3.4.5. Phân tích kết quả thực nghiệm 3.4.5.1. Khảo sát đầu vào vào phân tích kết quả ở 2 nhóm thực nghiệm và đối chứng Để thu được số liệu đáng tin cậy, trước khi dạy thực nghiệm, chúng tôi tiến hành kiểm tra đầu vào phụ lục 3. Sau khi chấm bài, tôi thu được kết quả như sau: 110 Bảng 3.1. Phân phối tần số điểm trƣớc khi thực nghiệm Nhóm Lớp Điểm số Số HS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TN 4A 41 0 0 0 4 13 15 5 4 0 0 5.80 ĐC 4B 43 0 0 0 3 15 14 6 5 0 0 5.88 Bảng 3.2. Phân phối tỉ lệ phần trăm kiểm tra đầu vào theo mức độ đánh giá Yếu - Trung Kém bình 41 9.75 43 6.97 Nhóm Số HS TN ĐC Khá Giỏi 68.29 21.95 0 67.44 25.58 0 Biểu đồ 3.1. Tỉ lệ phần trăm mức độ điểm số bài kiểm tra trước thực nghiệm 70 60 50 TN 40 ĐC 30 20 10 0 Yếu - Kém Trung bình Khá Giỏi Nhìn vào bảng và đồ thị chúng ta thấy tỉ lệ giữa các mức điểm số gần như tương đương nhau, vẫn có tỉ lệ yếu kém từ 6,97% - 9,75%, tỉ lệ điểm trung bình của 2 lớp từ 67,44% - 68.29%. Cả 2 lớp không có điểm giỏi. 111 Để có cơ sở chính xác hơn về trình độ ban đầu giữa 2 nhóm TN và ĐC, chúng tôi đã tìm hiểu độ phân tán điểm số so với điểm trung bình của lớp TN, ĐC bằng cách đặt giả thuyết. “Sự khác nhau giữa kết quả điểm trung bình của 2 lớp TN và ĐC là không có ý nghĩa.” Giả thuyết: H0: = Đối thuyết K: ≠ + Dùng đại lượng kiểm định T (Student) để kiểm tra giả thuyết: X Y Tkd= S12 S 2 2  N M n + Công thức tính phương sai: s  2  n (x  X ) i 1 1 1 N n + Công thức tính độ lệch chuẩn: s   n (x  X ) i 1 1 1 N Bảng 3.3. Phân phối các tham số có đặc trƣng và kết quả kiểm tra trƣớc thực nghiệm Nhóm Số HS Thực 41 nghiệm Đối chứng 43 Ni Xi 4 13 15 5 4 3 15 14 6 5 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 X 5.8 5.88 Xi− X −1.8 −0.8 0.2 1.2 2.2 −1.88 −0.88 0.12 1.12 2.12 (Xi− X )2 Ni(Xi− X )2 3.24 0.64 0.04 1.44 4.84 3.53 0.77 0.014 1.25 4.49 12.96 8.32 0.6 7.2 19.36 10.59 11.55 0.196 7.5 22.45 S2 S 1.18 1.09 1.21 1.1 112 Từ bảng phân phối đặc trưng trên, ta suy ra: S12=1.21 S22=1.18 + Sử dụng các giá trị để tính đại lượng T kiểm định Tkd  X Y S12 S2 2  n m  5.88  5.80 1.21 1.18  43 41  0.33 Tra bảng Student (Tα k) với mức ý nghĩa α = 0.05 và bậc tự do k = n + m - 2 = 43+41−2=82. Tìm α trong khoảng 1.66 - 1.67 như vậy Tkd= 0.33< T vậy giả thuyết H0 không được chấp nhận. Do đó, kết quả của nhóm TN và ĐC trước thực nghiệm là tương đương nhau 3.2.5.2. Tiến hành thực nghiệm Hình thức kiểm tra đánh giá qua bài kiểm tra 40 phút, với nội dung kiểm tra như phần phụ lục 4 Chúng tôi chia thang điểm theo mức độ sau: Giỏi: 9 - 10 Khá: 7-8 Trung bình: 5-6 Yếu, kém: dưới 5 + Về mặt định lượng, chúng tôi sử dụng phương pháp toán học để xử lí số liệu trong đó chủ yếu là sử dụng các thông số sau: - Công thức tỉ lệ phần trăm: %. n - Công thức tính trung bình cộng: X  X : là điểm trung bình cộng xi: điểm số n x i i i 1 N trong đó: 113 ni: số lần xuất hiện điểm số (tần số) N: tổng số bài kiểm tra n - Công thức tính phương sai: s  2  n (x  X ) i 1 1 1 N n - Công thức tính độ lệch chuẩn: s  n (x  X ) i 1 1 1 N - Đại lượng kiểm định T (Student) để so sánh 2 giá trị trung bình: Tkd= X Y S12 S 2 2  n m Tα k: tra trong bảng student với bậc tự do k = n + m - 2 Tkđ: là đại lượng tới hạn nếu Tkđ < Tα ta bác bỏ X > Y chấp nhận X = Y . Tkđ ≥Tα ta bác bỏ X = Y chấp nhận X > Y + Về mặt định tính: Từ kết quả thống kê sản phẩm (bài kiểm tra), qua phiếu trưng cầu ý kiến, qua trò chuyện, quan sát ở lớp học sinh thực nghiệm. Kết thúc thực nghiệm, kết quả được phản ánh như sau: Bảng 3.4. Phân phối tần số điểm kiểm tra sau thực nghiệm Nhóm Lớp Điểm số Số HS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X TN 4A 41 0 0 0 1 7 7 14 9 3 0 6.78 ĐC 4B 43 0 0 0 2 10 15 9 6 1 0 6.23 Bảng 3.5. Phân phối tỉ lệ phần trăm kiểm tra sau thực nghiệm Nhóm Số HS Yếu - Kém Trung bình TN 41 2.43 ĐC 43 4.65 Khá Giỏi 31.14 56.09 7.31 58.13 34.88 2.32 114 Biểu đồ 3.2. Tỉ lệ phần trăm mức độ điểm số bài kiểm tra sau thực nghiệm 60 50 40 TN 30 ĐC 20 10 0 Yếu - Kém Trung bình Giỏi Khá Bảng 3.5. Phân phối các tham số có đặc trƣng về kết quả kiểm tra sau thực nghiệm Nhóm Thực nghiệm Đối chứng Số HS 41 43 Xi− X (Xi− X )2 Ni(Xi− X )2 Ni Xi 1 4 −2.78 7.73 7.73 7 5 −1.78 3.17 22.19 7 6 −0.78 0.61 4.27 14 7 0.22 0.05 0.7 9 8 1.22 1.49 13.41 3 9 2.22 4.93 14.79 2 4 −2.23 4.97 9.94 10 5 −1.23 1.51 15.1 15 6 0.23 0.05 0.75 9 7 0.77 0.59 5.31 6 8 1.77 3.13 18.78 1 9 2.77 7.67 7.67 X 6.78 6.23 S2 S 1.54 1.24 1.34 1.16 115 Nhìn trong bảng 3.5 và biểu đồ 3.2, chúng tôi nhận xét như sau: - Lớp thực nghiệm có X = 6.78, lớp đối chứng có X = 6.23, sự chênh lệch giữa 2 lớp thực nghiệm và đối chứng là 6.78 - 6.23 = 0.05. Tỉ lệ chênh lệch này đã thể hiện sự khác biệt rõ ràng và thực nghiệm có kết quả tương đối cao. - Có sự khác biệt về điểm số ở các mức độ: giỏi, khá, trung bình, yếu kém và lớp thực nghiệm có tỉ lệ HS đạt điểm cao hơn lớp đối chứng: + Điểm giỏi ở lớp thực nghiệm là 7.31%, lớp đối chứng chỉ có 2.32%. + Điểm khá ở lớp thực nghiệm là 56.09%, lớp đối chứng có 34.88%. + Điểm trung bình ở lớp thực nghiệm là 31.14% thấp hơn hẳn so với lớp đối chứng chiếm 58.13%. + Điểm yếu của lớp thực nghiệm là 2.43% cũng thấp hơn so với lớp đối chứng là 4.65%. Để kiểm tra sự chênh lệch giữa tỉ lệ điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng có ý nghĩa hay không? Chúng tôi đặt giả thuyết: “Sự khác nhau giữa kết quả điểm trung bình cộng của hai lớp thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa”. Giả thuyết H0: X −Y Đối thuyết K: X >Y Dùng đại lượng kiểm định T để kiểm tra giả thuyết với công thức n Tkd= X Y S12 S 2 2  n m với s  n (x  X ) i 1 1 1 N 2 2 Từ bảng…, ta có s1 = 1.54 và s2 = 1.34 nên Tkd= 6.78  6.23 1.54 1.34  41 43 = 0.55 =2.12 0.04  0.03 116 Tra bảng Tα k với mức ý nghĩa α=0.05 và bậc tự do k = n + m - 2 = 82 Ta tìm được Tα trong khoảng {2.042 - 1.960}, tức là Tα<2.042. Như vậy Tkd > Tα, suy ra giả thuyết H0 bị bác bỏ, nghĩa là kết quả của lớp thực nghiệm cao hơn lớp đối chứng là có ý nghĩa về thống kê. 3.5. Kết luận chƣơng 3 Từ kết quả thực nghiệm sư phạm, chúng tôi nhận thấy rằng: - Việc đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy tiếp cận năng lực MHH, những gợi ý về quy trình MHH đã góp phần rèn luyện, phát triển cho HS năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn. - Sự thiết kế một cách khéo léo các bài toán có nội dung thực tiễn trên cơ sở những mô hình đã trình bày trong chương 3 - giúp GV thực hiện giảng dạy tự nhiên, không miễn cưỡng và không có những khó khăn lớn về mặt thời gian. - Năng lực MHH toán học các bài toán có nội dung thực tiễn đã trình bày ở chương 3 được chuyển giao cho GV thực nghiệm một cách thuận lợi và được vận dụng một cách sinh động, không gặp phải những trở ngại gì lớn và mục đích dạy học được thực hiện một cách toàn diện, vững chắc. 117 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận Qua nghiên cứu đề tài, chúng tôi rút ra một số kết luận sau: 1.1. Hệ thống hóa các quan điểm của nhiều nhà khoa học về mô hình, MHH, năng lực MHH toán học, quy trình phát triển năng lực MHH. Trình bày rõ quan điểm phát triển năng lực MHH cho HS thông qua dạy học số học lớp 4 1.2. Khẳng định phát triển năng lực MHH toán học cho HS là một vấn đề cần thiết và quan trọng trong dạy học số học lớp 4. Đặc biệt phát triển năng lực MHH toán học phù hợp với xu thế phát triển năng lực của chương trình GDPT mới. 1.3. Dựa vào cơ sở lí luận và thực tiễn, chúng tôi đã đề xuất các quy trình phát triển năng lực MHH toán học cho HS thông qua dạy học số học lớp 4 1.4. Phương pháp thực nghiệm đã chứng minh được tính hiệu quả và tính khả thi khi rèn luyện năng lực MHH toán học trong dạy học số học cho HS lớp 4. Việc đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy trên cơ sở dựa vào những mô hình, những gợi ý về phương pháp dạy học đã góp phần rèn luyện cho HS những năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn. Việc rèn các quy trình giúp HS không chỉ có hứng thú với hoạt động học tập mà còn giúp phát triển được năng lực tư duy tích cực, biết cách giải quyết mô hình hóa các tình huống thực tiễn. 1.5. Từ quá trình nghiên cứu thực trạng rèn luyện năng lực MHH toán học cho HS thông qua dạy học số học lớp 4 ở các trường Tiểu học chúng tôi thấy: Nhận thức về rèn luyện năng lực MHH và ý thức thực hiện đổi mới của một bộ phận GV chưa cao. Năng lực của đội ngũ GV về vận dụng năng lực MHH trong dạy học còn hạn chế. Chỉ chú trọng đến đánh giá cuối kỳ mà chưa 118 chú trọng việc phát triển năng lực thường xuyên trong quá trình dạy học. Năng lực MHH của HS được đánh giá chủ yếu thiên về đánh giá chuẩn kiến thức, kĩ năng ít chú ý đến đánh giá năng lực thái độ của học sinh và khả năng vận dụng để giải quyết các tình huống trong thực tiễn. Cơ sở vật chất một số trường học chưa đảm bảo... Với những thực tế như trên chúng tôi có một số khuyến nghị 2. Khuyến nghị 2.1. Đối với Bộ Giáo dục và Đào tạo - Xây dựng chuẩn năng lực MHH toán học theo từng khối, cấp học. - Tổ chức các hoạt động nghiên cứu khoa học, hội thảo khoa học, bồi dưỡng, tập huấn năng lực MHH toán học cho cán bộ quản lý, giáo viên. - Thiết kế SGK mới theo hướng tiếp cận năng lực MHH toán học. 2.2. Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Vinh - Quan tâm hơn nữa xây dựng chương trình, kế hoạch đào tạo, bồi dưỡng cán bộ quản lý, GV về phát triển năng lực MHH toán học. 2.3. Đối với Phòng Giáo dục và Đào tạo - Xây dựng, chỉ đạo điểm mô hình về phát triển năng lực MHH toán học, từ đó rút kinh nghiệm và nhân rộng ở các trường Tiểu học khác trên địa bàn toàn thành phố. - Tăng cường công tác kiểm tra, đánh giá ở các trường Tiểu học để công tác này được thực hiện một cách thường xuyên, đầy đủ và có chất lượng. - Chỉ đạo các trường làm đề kiểm tra phát triển năng lực MHH toán học cho học sinh. 2.4. Đối với các trường Tiểu học - Cần có sự chỉ đạo, kiểm tra sát sao việc thực hiện kiểm tra, đánh giá của giáo viên. 119 - Cần tổ chức các buổi sinh hoạt chuyên đề cho giáo viên về kiến thức MHH toán học, phương pháp dạy học, ra đề, kĩ thuật đánh giá theo hướng phát triển năng lực. 2.5. Đối với mỗi giáo viên Tiểu học - Cần quan tâm nhiều đến phát triển năng lực MHH toán học cho bản thân. Vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học để đánh giá nâng cao kết quả học tập của học sinh. 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tham khảo bằng Tiếng Việt [1]. Nguyễn Thị Tân An (2012), “Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học toán”, Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, ISSN 1859-3100, 37 (71), trang 114-121. [2]. Nguyễn Thị Tân An (2013), “Xây dựng các tình huống dạy học hỗ trợ quá trình toán học hóa”, Tạp chí Khoa học ĐH sư phạm tp Hồ Chí Minh, ISSN 1859- 3100, 48 (82), trang 5-13. [3]. Phan Anh (2012), Góp phần phát triển năng lực toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của học sinh lớp 10, Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh [4]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (12/2018), Dự thảo chương trình giáo dục phổ thông tổng thể. [5]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2000), Sách giáo khoa Toán 4, NXB Giáo dục. [6]. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2013), Đề án Đổi mới chương trình và sách giáo khoa sau 2015. [7]. Nguyễn Hữu Châu (2005), Những vấn đề cơ bản về chương trình và quá trình dạy học, NXB Giáo dục. [8]. Trần Đình Châu (1996), Xây dựng hệ thống bài tập số học nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của năng lực toán học cho học sinh khá giỏi đầu cấp THCS, Luận án tiến sĩ, Viện KHGDVN. [9]. Vũ Quốc Chung (Chủ biên), Đào Thái Lai, Đỗ Tiến Đạt, Trần Ngọc Lan, Nguyễn Hùng Quang, Lê Ngọc Sơn (2007), Phương pháp dạy học toán ở Tiểu học, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. 121 [10]. Hoàng Chúng (1995), Phương pháp dạy học toán học ở trường phổ thông trung học cơ sở, NXB Giáo dục, Hà Nội. [11]. Lê Thị Mỹ Hà (chủ biên, 2014), Tài liệu tập huấn PISA 2015 và các dạng câu hỏi do OECD phát hành lĩnh vực toán học, Bộ Giáo dục và Đào tạo, PISA Việt Nam, Hà Nội, tr.14-15. [12]. Trần Diên Hiển (Chủ biên), Bùi Huy Hiền (2007), Các tập hợp số, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội. [13]. Đỗ Trung Hiệu, Đỗ Đình Hoan, Vũ Dương Thụy, Vũ Quốc Chung (2009), Giáo trình phương pháp dạy học môn Toán ở Tiểu học, NXBĐHSP. [14]. Đỗ Đình Hoan, Phân tích ưu điểm và hạn chế, tồn tại của SGK môn Toán cấp Tiểu học hiện hành theo định hướng chương trình giáo dục phổ thông sau năm 2015, Tài liệu hội thảo. [15]. Phạm Văn Hoàn (chủ biên), Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981). Giáo dục học môn Toán, NXB Giáo dục. Hà Nội. [16]. Lê Văn Hồng - Lê Ngọc Lan - Nguyễn Văn Thàng (2008), Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm, NXB Thế giới. [17]. Bùi Văn Huệ, Phan Thị Hạnh Mai, Nguyễn Xuân Thức, Giáo trình tâm lí học Tiểu học, NXB Đại học sư phạm. [18]. Nguyễn Công Khanh (2015), Giáo trình kiểm tra đánh giá trong giáo dục, NXB ĐHSP. [19]. Nguyễn Công Khanh (2015), Giáo trình kiểm tra đánh giá trong giáo dục, NXB ĐHSP,tr.107. [20]. Nguyễn Bá Kim (2015), “Giáo dục toán học tập trung vào phát triển năng lực”, Tạp chí toán học trong nhà trường, (số 1) tháng 7. 122 [21]. Trần Kiều, Nguyễn Thị Lan Phương (2003), Đổi mới phương pháp giảng dạy môn Toán, Tài liệu dành cho học viên cao học PPDH môn Toán.Viện Chiến lược và Chương trình giáo dục. [22]. Trần Luận (1996), Vận dụng tư tưởng sư phạm của Polya xây dựng nội dung và phương pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống theo chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên toán cấp II, Luận án tiến sĩ, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam. [23]. Nguyễn Đức Minh (chủ biên) (2014), Hướng dẫn đánh giá năng lực của học sinh cuối cấp Tiểu học, NXB Giáo dục Việt Nam. [24]. Nguyễn Danh Nam (12/8/2015), Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán ở trường phổ thông. [25]. Nguyễn Danh Nam (2015), “Quy trình mô hình hóa trong dạy học toán ở trường phổ thông”, Tạp chí Khoa học ĐHQG Hà Nội, Nghiên cứu giáo dục, 31 (3), tr.01-10. [26]. Nguyễn Danh Nam, Phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông, NXB ĐH Thái Nguyên. [27]. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông, NXB Đại học Sư phạm. [28]. Bùi Huy Ngọc (2003), Tăng cường khai thác nội dung thực tế trong dạy học số học và đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh THCS, Luận án Tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Vinh. [29]. Nguyễn Thị Lan Phương, Phan Doãn Thoại, “Đề xuất mô hình sách giáo khoa định hướng phát triển năng lực”, Tạp chí GD (Kì 3 tháng 8 năm 2017. [30]. OECD, Learning Mathematics for Life. A view perspective from PISA. 2009, tr.5. 123 [31]. Nguyễn Quang Uẩn, Trần Hữu Luyến, Trần Quốc Thành (2013), Tâm lí học đại cương, NXB ĐHQG Hà Nội, tr.178. [32]. Nguyễn Quang Uẩn, Trần Hữu Luyến, Trần Quốc Thành (2013), Tâm lí học đại cương, NXB ĐHQG Hà Nội, tr.180. [33]. Terry Chew B. SC, Đánh thức tài năng Toán học 03 (Dành cho 10 - 12 tuổi), NXB Thế giới. [34]. Terry Chew B. SC, Đánh thức tài năng Toán học 03 (Dành cho 9 - 10 tuổi), NXB Thế giới. [35]. Terry Chew B. SC, Thách thức Toán Singapore (Dành cho 10 - 12 tuổi), NXB Thế giới. [36]. Terry Chew B. SC, Thách thức Toán Singapore (Dành cho 8 - 10 tuổi), NXB Thế giới. [37]. Thái Huy Vinh (2014), Rèn luyện kĩ năng sử dụng ngôn ngữ toán học trong dạy học môn toán lớp 4, lớp 5 trường tiểu học, Luận án tiến sĩ, Đại học Vinh, Nghệ An. [38]. A.Cruchetxki (1973), Tâm lí năng lực toán học của HS, NXB Giáo dục, Hà Nội, tr.13-14. [39]. V.A.Shof, Mô hình và triết học, NXB Đại học Sư phạm. [40]. Xavier Roegiers (1996), Khoa sư phạm tích hợp hay làm thế nào để phát triển các năng lực ở nhà trường, NXB Giáo dục, tr.80. [41]. Xavier Roegiers (1996), Khoa sư phạm tích hợp hay làm thế nào để phát triển các năng lực ở nhà trường, NXB Giáo dục, tr.91. Tài liệu tham khảo bằng Tiếng Anh [42]. Barbosa, J. (2006), Mathematical Modelling in classrooms: a socio critical and discursive perpective. Zentralblattfur Didaktik der Mathematik, 38 (3), 293 - 30. 124 [43]. Blomh∅j,M., Jensen, T. (2007). What „s all the fuss about competencies? In W.Blum, P.L.Galbraith, H.Henn, M.Niss, (Eds): Modelling and Applications in Mathematics Education (ICMI Study 14), 45 - 56, Springer. [44]. Blum, W. & Leiβ, D. (2006). How do students and teachers deal with mathematical modelling problems? The example “Sugarloaf”. In Haines, C. Galbraith P., Blum, W. and Khan, S. (2006), Mathematical modelling (ICTMA 12): Education, engineering and economics. Chichester: Horwood Publishing, 222-231. [45]. Blum, W., & Niss, M. (1991), “Applied mathematical problem solving, modelling, applications, and links to other subjects-State, trends and issues in mathematics instruction”, Educational studies in mathematics, 22(1), pp.37-68. [46]. Clare Lee (2006), Language for learning Mathematics Assessment for learning in Practice, Open University Preess., tr.92. [47]. De Lange, J. (1996), “Using and applying mathematics in education”, International Handbook of Mathematics Education, vol. 1, pp. 49-97. [48]. Dr Evelyn Tan. Neo Seow Ling. Katharine Edgar, (2009), Maths Smart 4A, National Instilute of Education Education, Singapore. [49]. Dr Evelyn Tan. Neo Seow Ling. Katharine Edgar, (2009), Maths Smart 4B, National Instilute of Education Education, Singapore. [50]. Gellert, U., & Jablonka, E. (2007), “Mathematisation - Demathematisation”, Mathematisation and demathematisation: Social, philosophical and educational ramifications, pp.1-18. [51]. Heather Gould, Chair Diane, R. Murray, Andrew Sanfratello (2012), Mathematical Modeling Handbook, Colombia University, USA. 125 [52]. Maab, K. (2006). What are modelling competencies? The international Journal on Mathematics Education, 38 (2), 113 - 142. [53]. Niss Mogens (2003), “Quantitative Literacy and Mathematical Competencies”, Quantitative literacy, Princeton: National Council on Education and the Disciplines, pp. 215-220. [54]. Niss Mogens, Mathematical Competencies and the Learning of Mathematics: The Danish KOM Project, mn@mmf.ruc.dk. [55]. Pollak, H. (1969). How can we tech application of mathematics? Educational Studies in Mathematics, 2, 393 - 404. [56]. Stillman, G., Brown, J., & Galbraith, P. (2008). Research into the teaching and learning of applications and modelling in Australia. In H. Forgasz, A. Barkatsas, A. Bishop, B. Clarke, S. Keast, W. T. Seah, & P. Sullivan (Eds), Research in mathematics education in Australia 2004 - 2007 (141 - 164). Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers. [57]. Stillman, G., Brown, J., & Galbraith, P. (Eds) (2010). Applications and mathematical modelling in mathematics learning and teaching. Special issue. Mathematics Education Research Journal, 22(2). [58]. Swetz, F., & Hartzler, J. S. (Eds) (1991), Mathematical modelling in the secondary school curriculum. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. PL1 PHỤ LỤC Phụ lục 1 PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN Câu hỏi 1: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên quan tâm đến việc dạy học số học theo hướng tăng cường mô hình hóa toán học.  Thường xuyên  Thỉnh thoảng  Không bao giờ Câu hỏi 2: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu về những ứng dụng của mô hình hóa toán học trong dạy học số học  Thường xuyên  Thỉnh thoảng  Không bao giờ Câu hỏi 3: Thầy (cô) hãy đánh giá về tầm quan trọng của việc đưa mô hình toán học vào dạy học số học  Rất quan trọng  Quan trọng  Không quan trọng Câu hỏi 4: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên đưa mô hình toán học vào dạy học số học  Rất thường xuyên  Thường xuyên  Thỉnh thoảng  Không bao giờ 2 Câu hỏi 5: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên hướng dẫn HS giải quyết những tình huống thực tế ngoài SGK  Rất thường xuyên  Thường xuyên  Thỉnh thoảng  Không bao giờ Câu hỏi 6: Thầy (cô) hãy đánh giá tầm quan trọng của việc tăng cường các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán  Rất quan trọng  Quan trọng  Không quan trọng Câu hỏi 7: Thầy (cô) hãy đánh giá mức độ đưa các câu hỏi có nội dung thực tiễn vào kiểm tra môn Toán  Rất thường xuyên  Thường xuyên  Thỉnh thoảng  Không bao giờ Câu hỏi 8: Thầy (cô) cho biết những thuận lợi và khó khăn gặp phải trong quá trình tổ chức rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung số học cho HS lớp 4? ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... ............................................................................................................... 3 Câu hỏi 9: Thầy (cô) tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học mô hình hóa toán học trong dạy học nội dung số học cho HS lớp 4 ra sao? (Lưu ý: Mỗi thành tố chỉ tự nhận 1 mức.) Bảng tự đánh giá năng lực tổ chức dạy học mô hình hóa của GV TT 1. 2. 3. 4. 5. Các mức độ Thành tố của năng lực tổ chức dạy học mô hình hóa Năng lực liên hệ kiến thức toán học với những vấn đề trong thực tiễn Năng lực xây dựng và phát triển một bài toán nảy sinh từ tình huống thực tế Năng lực sử dụng công nghệ thông tin trong mô hình hóa các bài toán thực tiễn Năng lực hướng dẫn HS giải bài toán có nội dung thực tiễn Năng lực hướng dẫn HS xây dựng bài toán có nội dung thực tiễn 6. Năng lực đánh giá năng lực học sinh 7. Năng lực dạy học theo dự án Tốt Khá Trung bình 4 Phụ lục 2 PHIẾU ĐIỀU TRA HỌC SINH Câu hỏi 1: Em mong muốn biết thêm những kiến thức ứng dụng của thực tiễn Toán học như thế nào?  Rất muốn  Bình thường  Không muốn Câu hỏi 2: Em tự tìm hiểu những ứng dụng trong thực tiễn của toán học như thế nào?  Rất thường xuyên  Thường xuyên  Thỉnh thoảng  Không bao giờ Câu hỏi 3: Em đánh giá như thế nào về mức độ thường xuyên giảng giải mối liên hệ toán học với thực tiễn của GV?  Rất thường xuyên  Thường xuyên  Thỉnh thoảng  Không bao giờ Câu hỏi 4: Em đánh giá về mối liên hệ giữa toán học và các môn học khác như thế nào?  Mật thiết  Bình thường  Không liên quan Câu hỏi 5: Em hiểu tầm quan trọng của toán học như thế nào? 5  Rất quan trọng  Quan trọng  Không quan trọng Câu hỏi 6: Em cảm thấy mức độ khô khan của môn toán như thế nào?  Khô khan  Bình thường Khác: ……………………………… Câu hỏi 7: Em tự đánh giá mình thuộc biểu hiện năng lực mô hình hóa tình huống thực tiễn nào dưới đây: (chỉ chọn 1 biểu hiện) STT 1. Các biểu hiện HS không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề. HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và 2. đơn giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào. Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật qua 3. cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học. 4. HS có thể làm việc với bài toán với kiến thức toán học có sẵn theo dạng và có kết quả cụ thể. HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm 5. nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho. 6 Phụ lục 3 ĐỀ KIỂM TRA TRƢỚC THỰC NGHIỆM Bài toán 1: Trong một hội nghị có 100 đại biểu tham dự. Mỗi đại biểu nói 1, 2 hoặc 3 thứ tiếng Nga, Anh, Pháp. Biết có 39 đại biểu chỉ nói tiếng Anh, 35 đại biểu nói được tiếng Pháp, 8 đại biểu nói được cả tiếng Anh và tiếng Nga. Hỏi có bao nhiêu đại biểu chỉ nói được tiếng Nga? Bài toán 2: Không dùng cách thử chọn, hay giải bài toán sau: Cho bốn chữ số 0, 1, 2, 3 Viết được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ bốn chữ số đã cho? Bài toán 3: Mai, Lan và Hương làm 111 chiếc bánh nướng. Lan làm được số bánh nhiều gấp đôi Hương. Mai làm được ít hơn Lan 9 chiếc bánh. Hỏi Mai làm được bao nhiêu bánh? Bài toán 4: Cho bài toán và lời giải bài toán như sau. Hãy nhận xét lời giải và giải thích cách làm khác (nếu có)? Bài toán: Để làm được một giá sách người thợ mộc cần các bộ phận sau: 4 tấm gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 12 cái kẹp nhỏ, 2 cái kẹp lớn và 14 cái ốc vít. Người thợ mộc đang có 26 tấm gỗ dài, 33 tấm gỗ ngắn, 200 kẹp nhỏ, 20 kẹp lớn, 510 cái ốc vít. Câu hỏi: Người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là bao nhiêu cái giá sách? Lời giải: Liệt kê theo bảng dưới đây: 7 Tên vật liệu Vật liệu cần thiết để làm một cái giá sách Vật liệu cần thiết để làm hai cái giá sách Vật liệu cần thiết để làm ba cái giá sách Vật liệu cần thiết để làm bốn cái giá sách Vật liệu cần thiết để làm năm cái giá sách Vật liệu cần thiết để làm sáu cái giá sách So với vật liệu đang có Số tấm Số tấm Số kẹp Số kẹp gỗ dài gỗ ngắn nhỏ lớn Số ốc vít 4 6 12 2 14 8 12 24 4 28 12 18 36 6 42 16 24 48 8 56 20 30 60 10 70 24 36 72 12 84 26 33 200 20 510 Ta thấy rằng nếu làm 6 giá sách thì cần có 36 tấm gỗ ngắn trong khi theo dữ kiện đề bài ta chỉ có 33 tấm gỗ ngắn. Vậy người thợ mộc có thể làm được nhiều nhất là 5 giá sách. 8 Phụ lục 4 ĐỀ KIỂM TRA SAU THỰC NGHIỆM Bài toán 1: Nêu bài toán rồi giải bài toán theo sơ đồ sau ?l Thùng 1 180 l Thùng 2 ?l Bài toán 2: Lúc đầu An và Bình có số bi bằng nhau. Nếu An cho Bình 10 viên thì số bi của An bằng một nửa số bi của Bình hiện có. Số bi ban đầu của 2 bạn là bao nhiêu? Bài toán 3: Không dùng cách giải sử dụng yếu tố đại số, hãy giải bài toán sau và nêu kiến thức đã áp dụng để giải: Một người bán vải, lần (I) bán một nửa số vải và được một nửa số vải còn lại và và 1 m. Lần thứ 2 bán 2 1 m. Lần thứ 3 bán đi một nửa số vải còn lại 2 1 m thì vừa hết. Hỏi số vải lúc đầu có là bao nhiêu? 2 Bài toán 4: Cho bài toán và lời giải bài toán như sau. Biết rằng lời giải bài toán đã bị sai. Hãy chỉ ra lỗi sai, giải thích và trình bày lại mời giải đúng? Bài toán: Có 1 cái bánh pizza được chia cho nhiều người. Biết rằng 1 lần cắt chia bánh pizza thành 2 phần và 2 lần cắt chia bánh pizza thành 4 phần. Hỏi nếu sau 10 lần cắt chia bánh pizza thành mấy phần? 9 Lời giải 1 lần cắt: 2 phần 2 lần cắt: 4 phần 10 lần cắt: …? phần Bài toán rút về đơn vị Quy trình 2: 10 lần cắt thì có số phần là: 10× 2 = 20 (phần)