Định lý Con nhím và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

- Định lý Con nhím và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng Trần Mạnh Sang 1.
- Kiến thức: Biết định lý Con nhím và cách chứng minh định lý.
- Kĩ năng: Biết vận dụng định lý trong việc giải một số bài toán hình học phẳng, đặc biệt là chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
- Một trong các định lý về vecto có ứng dụng lớn là định lý Con nhím.
- Chúng ta cùng nghiên cứu định lý Con nhím và các ứng dụng của nó.
- Khi đó ta có.
- AC A BC BC Chứng minh Kẻ MN song song với AB N Theo định lý Talet, ta có.
- AB  BC.
- AB  BC .
- AC BC C M B Ta có.
- Chứng minh Kẻ phân giác AA’, BB’, CC’ lần lượt của góc A, B, C.
- AI  AM  AN A Áp dụng định lý Talet ta có  AM AB ' AB c M.
- AN  AC.
- Chứng minh rằng: aIM  bIN  cIP  0 .
- Chứng minh Ta có biến đổi.
- a AB  AC.
- b  BC  BA.
- Ta có điều phải chứng minh.
- Chúng ta cùng đến với kết quả chính của phần này Định lý Con nhím.
- Khi đó ta có đẳng thức.
- Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp.
- Với n=3, ta xét định lý trong tam giác ABC.
- Định lý đúng do bài toán trên.
- Giả sử định lý đúng với n=k, ta xét với n=k+1.
- Gọi e là vecto đơn vị vuông góc với A1 Ak và hướng ra ngoài tam giác A1 Ak Ak 1 .
- Trong tam giác A1 Ak Ak 1 , ta có.
- Ak ta có A.
- Ak Ak 1 ek  Ak 1 A1 ek 1  0 Vậy định lý được chứng minh.
- Chứng minh rằng: a.
- Từ hệ thức trên ta thấy, nếu các vecto IM , IN , IP có cùng độ lớn thì ta có hệ thức.
- Chứng minh rằng.
- aIA  bIB  cIC  0 Chứng minh.
- Áp dụng định lý con nhím cho ABC , ta có.
- aIA  bIB  cIC  0 Ta có.
- aMA  bNB  cPC Ta có.
- AB  AC  AM CM CM.
- AM  AC  AB  AC  AB CB CB a a Tương tự ta có.
- BN  BC  BA b b Vậy.
- AN .BC  CN .BA.
- Chứng minh rằng: IG  EF .
- e E Chứng minh F Với những bài toán sử dụng vecto để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau, ta thường chứng minh một vecto có giá là một trong hai đường cùng phương với Y một vecto vuông góc với đường còn lại.
- Z G I X C B  Gọi e là vecto vuông góc với EF, có độ dài bằng IX và hướng ra phía ngoài tứ giác BCFE Áp dụng định lý con nhím cho tứ giác BCFE, ta có.
- Chứng minh rằng AM  DE.
- Chứng minh Xét trong tam giác EAD, ta có: D  AB  AD.
- AE Gọi e là vecto đơn vị vuông góc với ED và hướng ra phía ngoài tam giác EAD.
- Áp dụng định lý con nhím trong EAD ta có: E AD.
- AB  AC  ED.e  0 A AB AC Do ta có hai tam giác ABD và ACE cân tại A nên AE  AC và AD=AB Vậy ta có.
- AB  AC  ED.e  0.
- Chứng minh A rằng: OG  CD .
- Chứng minh Gọi E là trung điểm của đoạn AC OD  AB  Nhận thấy , trong ADC , có OE  AC OD  OE D G E  Vậy ta có thể áp dụng định con nhím cho O ABC v B C  Gọi vecto v vuông góc với DC, có hướng ra phía ngoài miền tam giác ADC và có độ lớn bằng OD.
- AD.OD  AC .OE  DC.v  0 1.
- AC .OD  AC.OE  DC.v  0 2 1.
- Ta nhận thấy, muốn ứng dụng phương pháp vecto vào việc chứng minh 2 đường thẳng vuông góc thì chúng ta phải gắn được một đường vào cạnh của một đa giác.
- K là hình chiếu vuông góc của B trên AC.
- Chứng minh rằng: BM  MN .
- Chứng minh Bài toán đưa ra yêu cầu chứng minh BM  MN .
- Ta xem xét để tìm ra được một đa giác chứa một trong hai đường và chúng A B ta có thể áp dụng định lý con nhím cho đa giác đó.
- M Nhận thấy, BK  MC và BC  NC , vậy ta có thể áp dụng định lý con nhím cho MNC .
- D N C Áp dụng định lý con nhím cho tam giác MNC, ta có MC.
- BK  BC  MN .e  0 (1) BK BC MC.
- Nhận thấy BK  BM  BC MC MC Kết hợp với (1), ta có MC  KC.
- BM  BC  BC  MN .e 0 BK.
- BM  BC  BC  MN .e  0 BK MC BK MC BC KC.
- BM  BC  BC  MN .e  0 BK BK BC AK 2 MK AB 2 NC Ta có: cot BAC.
- BK BK BC BC Hay MK NC  BK BC Vậy ta có KC.
- H là hình chiếu vuông góc của B trên CM.
- Chứng minh rằng DH  HN Bài 8: Cho ABC cân tại A.H là trung điểm BC, D là hình chiếu của H trên AC, A M là trung điểm của HD.
- Chứng minh rằng: AM  BD .
- BD  AC  BH  DH D b H C F  Theo định lý Con nhím, có AD.
- Ta có nhận xét: BD  BA  BH Suy ra: AD AC DC.
- Ta có BD  AM  BD  HE Theo câu a, ta có: DH 2  DE.HB  a 2  DE.h a2 a h.
- B P Ta dựng một tam giác có một cạnh là một trong hai đường, sau đó áp dụng định lý Con nhím cho tam giác đó.
- BP  MN  Trong AMN có  BD  AM  BA  AN A C  D N Áp dụng định lý Con nhím trong AMN ta có: MN.
- BD  BN  BA AN AN Nên từ (1) ta có MN.
- Do ta có: BN  BP  BA nên ta suy ra c  b a 2 AD  a 2 DN.
- AB1  AC .
- Chứng minh rằng: AM  B1C1 Chứng minh Ta dựng một tam giác có một cạnh là một trong hai đường trên.
- Gọi e là vecto đơn vị vuông góc với B1C1 và A C1 N2 C hướng ra phía ngoài tam giác B1 AC1 .
- Áp dụng định lý Con nhím cho tam giác B1 AC1 ta có: AB1.
- AC1 nên ta có 2 AB1.
- MA  B1C1 e  0 AC.
- Chứng minh rằng: I, E, F thẳng hàng.
- Chứng minh Ta có kí hiệu như hình vẽ.
- C Ta có nhận xét sau: z M.
- xt xt x Áp dụng định lý Con nhím cho tứ y A x giác ABCD, ta có.
- Chứng minh rằng: C2 O là trọng tâm của tam giác A2 B2C2 .
- C1 O Chứng minh B C A1 Theo hình học thuần túy, để chứng minh O là trọng tâm của tam giác A2 B2C2 là không đơn giản.
- A2 Muốn chứng minh O là trọng tâm của tam giác A2 B2C2 , ta cần chứng minh.
- Thật vậy, ta có.
- OA1 OB1 OC1  0 ( do định lý Con nhím trong ABC.
- Vậy O là trọng tâm của tam giác A2 B2C2 .
- Khi đó ta có O là trọng tâm của đa giác A1 A2.
- Chứng minh.
- Nhận thấy, các vecto NA1 , NB1 , NC1 lần lượt A vuông góc với 3 cạnh của tam giác, vì thế ta có thể áp dụng định lý Con nhím trong ABC .
- Áp dụng định lý Con nhím cho N ABC , ta có.
- Do N thỏa mãn NA1  NB1  NC1  0 nên ta có: a b c.
- NA1 NB1 NC1 Lấy N1 đối xứng với N qua đường phân giác góc A, khi đó ta có Khoảng cách từ N1 đến AC bằng NC1 , Khoảng cách từ N1 đến AB bằng NB1 .
- Kết luận bài học Qua bài học này, các em cần nắm được định lý Con nhím, cách chứng minh và vận dụng trong giải một số bài hình học phẳng.
- Hầu hết các tính chất ta có trong hình học phẳng đều có thể mở rộng sang hình học không gian.
- Các em sẽ được biết Định lý Con nhím mở rộng trong không gian khi học về vecto trong không gian ở phần hình học 12.