Lý thuyết tập mờ và logic mờ Lý thuyết tập mờ và logic mờ Bởi: unknown Tổng quan về lý thuyết tập mờ & logic mờ Mục tiêu Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt được các vấn đề sau: - Thế nào là khái niệm của tập mờ, mệnh đề mờ, suy diễn mờ. - Các phép toán trên tập mờ và logic mờ. Kiến thức cơ bản cần thiết Các kiến thức cơ bản trong chương này bao gồm: - Nắm vững các phép toán logic trong chương 1. - Các suy luận ở chương 2. Tài liệu tham khảo Nguyễn Hoàng Cương, Bùi Công Cường, Nguyễn Doãn Phước, Phan Xuân Minh, Chu Văn Hỷ, Hệ mờ và ứng dụng. Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội - 1998. Nội dung cốt lõi - Giới thiệu khái niệm về tập mờ, các phép toán trên tập mờ. - Mệnh đề mờ và các phép toán logic mờ. - Suy diễn mờ. 1/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ Giới thiệu Như đã biết, trong những suy luận đời thường cũng như các suy luận khoa học, logic toán học đóng một vai trò rất quan trọng. Ngày nay, xã hội càng phát triển thì nhu cầu con người ngày càng cao. Do đó, sự tiến bộ của khoa học cũng rất cao. Suy luận logic mệnh đề đã giới thiệu trong chương 1 (tạm gọi là logic nguyên thủy hay logic rõ) với hai giá trị đúng, sai hay 1, 0 đã không giải quyết được hết các bài toán phức tạp nảy sinh trong thực tế. Ví dụ: quần áo như thế nào được gọi là dầy, là mỏng để máy giặt biết được mà có chế độ tự động sấy khô cho hợp lý ? Hay trong thơ văn có câu: " Trăng kia bao tuổi trăng già? Núi kia bao tuổi gọi là núi non? " Khái niệm trăng già hay núi non là không được định nghĩa rõ ràng. Những bài toán như vậy ngày một nhiều hơn trong các lĩnh vực điều khiển tối ưu, nhận dạng hệ thống,... nói chung là trong các quá trình quyết định nhằm giải các bài toán với các dữ liệu không đầy đủ, hoặc không được định nghĩa một cách rõ ràng (trong điều kiện thiếu thông tin chẳng hạn). Một cách tiếp cận mới đã mang lại nhiều kết quả thực tiễn và đang tiếp tục phát triển đó là cách tiếp cận của lý thuyết tập mờ (FUZZY SET THEORY), do giáo sư Lotfi Zadeh của trường đại học California - Mỹ đề ra năm 1965. Công trình này thực sự đã khai sinh một ngành khoa học mới là lý thuyết tập mờ và đã nhanh chóng được các nhà nghiên cứu công nghệ mới chấp nhận ý tưởng. Một số kết quả bước đầu và hướng nghiên cứu tiếp theo góp phần tạo nên những sản phẩm công nghiệp đang được tiêu thụ trên thị trường. Lý thuyết tập mờ ngày càng phong phú và hoàn chỉnh, đã tạo nền vững chắc để phát triển logic mờ. Có thể nói logic mờ (Fuzzy logic) là nền tảng để xây dựng các hệ mờ thực tiển, ví dụ trong công nghiệp sản xuất xi măng, sản xuất điện năng, các hệ chuyên gia trong y học giúp chuẩn đoán và điều trị bệnh, các hệ chuyên gia trong xử lý tiếng nói, nhận dạng hình ảnh,...Công cụ chủ chốt của logic mờ là tiền đề hóa và lập luận xấp xỉ với phép suy diễn mờ. Trong chương này, mục đích chính là giới thiệu khái niệm tập mờ, logic mờ, tập trung đi vào các phép toán cơ bản và bước đầu đi vào lập luận xấp xỉ với phép suy diễn mờ. 2/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ Khái niệm tập mờ (fuzzy set) Như chúng ta đã biết, tập hợp thường là kết hợp của một số phần tử có cùng một số tính chất chung nào đó. Ví dụ : tập các sinh viên. Ta có : T = { t / t là sinh viên } Vậy, nếu một người nào đó là sinh viên thì thuộc tập T, ngược lại là không thuộc tập T. Tuy nhiên, trong thực tế cuộc sống cũng như trong khoa học kỹ thuật có nhiều khái niệm không được định nghĩa một cách rõ ràng. Ví dụ, khi nói về một "nhóm sinh viên khá", thì thế nào là khá ? Khái niệm về khá không rõ ràng vì có thể sinh viên có điểm thi trung bình bằng 8.4 là khá, cũng có thể điểm thi trung bình bằng 6.6 cũng là khá ( dải điểm khá có thể từ 6.5 đến 8.5),... Nói cách khác, "nhóm sinh viên khá" không được định nghĩa một cách tách bạch rõ ràng như khái niệm thông thường về tập họp. Hoặc, khi chúng ta nói đến một "lớp các số lớn hơn 10" hoặc " một đống quần áo cũ",..., là chúng ta đã nói đến những khái niệm mờ, hay những khái niệm không được định nghĩa một cách rõ ràng. Các phần tử của nhóm trên không có một tiêu chuẩn rõ ràng về tính "thuộc về" ( thuộc về một tập họp nào đó). Đây chính là những khái niệm thuộc về tập mờ. Trong đối thoại hàng ngày chúng ta bắt gặp rất nhiều khái niệm mờ này. Ví dụ, một ông giám đốc nói: " Năm qua chúng ta đã gặt hái được một số thành tích đáng khen ngợi. Năm tới đây chúng ta phải cố gắng thêm một bước nữa". Đây là một câu chứa rất nhiều khái niệm mờ. Như vậy, logic rõ có thể biểu diễn bằng một đồ thị như sau Logic mờ cũng có thể biểu diễn bằng một đồ thị nhưng là đồ thị liên tục Định nghĩa tập mờ (Fuzzy set): Cho Ω là không gian nền, một tập mờ A trên ? tương ứng với một ánh xạ từ ? đến đoạn [0,1]. A : Ω →,1] được gọi là hàm thuộc về (membership function) Kí hiệu A = {(a, μA(a)) / a∈ Ω } Trong đó, μA(a) ∈ [0,1] chỉ mức độ thuộc về (membership degree) của phần tử a vào tập mờ A. Khoảng xác định của hàm μA(a) là đoạn [0, 1], trong đó giá trị 0 chỉ mức độ không thuộc về, còn giá trị 1 chỉ mức độ thuộc về hoàn toàn. μVí dụ 1: Một sự biểu diễn tập mờ cho số "integer nhỏ". 3/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ int Ví dụ 2: Một sự biểu diễn tập mờ cho các tập người đàn ông thấp, trung bình và cao. chiều caoμ Ví dụ 3: Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, tập mờ A trên ? tương ứng với ánh xạ μA như sau: μA : 1 → 0 2→1 3 → 0.5 4 → 0.3 5 → 0.2 Ta có tập mờ A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Cách viết trên là sự liệt kê các phần tử khác nhau cùng với mức độ thuộc về tập họp A. Từ định nghĩa trên chúng ta có thể suy ra: - Tập mờ A là rỗng nếu và chỉ nếu hàm thuộc về μA(a)= 0 ,∀a∈ Ω - Tập mờ A là toàn phần nếu và chỉ nếu μA(a) = 1 ,∀a∈ Ω 4/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ - Hai tập mờ A và B bằng nhau nếu μA(x) = μB(x) với mọi x trong Ω . Ví dụ 4: Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, tập mờ A trên Ω tương ứng với ánh xạ μA như ví du trên. A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Tập mờ B trên ? tương ứng với ánh xạ μB như sau: μB : 1 → 0 2→1 3 → 0.5 4 → 0.3 5 → 0.2 Ta có tập mờ B = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Nhận thấy, μA(x) = μB(x) với mọi x trong Ω . Vậy A= B. Các phép toán về tập mờ Để có thể tiến hành mô hình hóa các hệ thống có chứa tập mờ và biểu diễn các qui luật vận hành của hệ thống này, trước tiên chúng ta cần tới việc suy rộng các phép toán logic cơ bản với các mệnh đề có chân trị trên đoạn [0, 1]. Cho Ω = {P1, P2, ...} với P1, P2, ... là các mệnh đề. Tập mờ A trên Ω tương ứng với ánh xạ v như sau: v : Ω → [0, 1] ∀Pi ∈ Ω → v(Pi) Ta gọi v(Pi) là chân trị của mệnh đề Pi trên [0, 1]. Phép bù Phép phủ định trong logic kinh điển là một trong những phép toán cơ bản cho việc xây dựng phép bù của 2 tập hợp. Để suy rộng phép này trong tập mờ chúng ta cần tới toán tử v(NOT P). Toán tử này phải thỏa các tính chất sau : 5/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ - v(NOT P) chỉ phụ thuộc vào v(P). - Nếu v(P)=1 thì v(NOT P)=0 - Nếu v(P)=0 thì v(NOT P)=1 - Nếu v(P1) ≤ v(P2) thì v(NOT P1) ≥ v(NOT P2) Định nghĩa 1 : Hàm n : [0,1] → [0, 1] không tăng thỏa mãn các điều kiện n(0) = 1, n(1) = 0, được gọi là hàm phủ định. Ví dụ : n(x) = 1 - x hay n(x) = 1 - x2 là các hàm phủ định. Ta có nhận xét : - Nếu v(P1) < v(P2) thì v(NOT P1) > v(NOT P2) - v(NOT P) phụ thuộc liên tục vào v(P) - v(NOT (NOT P)) = v(P) Định nghĩa 2 (Phần bù của một tập mờ): Cho n là hàm phủ định, phần bù Ac của tập mờ A là một tập mờ với hàm thuộc về được xác định bởi : μAC(a) = n(μA(a)) , với mỗi a∈ Ω . Đồ thị của hàm thuộc về có dạng sau: xμAxxxμAcC Hình a Hình b Hình a : Hàm thuộc về của tập mờ A Hình b : Hàm thuộc về của tập mờ Ac Ví dụ : với n(x) = 1 - x thì ta có : μAC(a) = n(μA(a)) = 1-μA(a) , với mỗi a∈ ?. Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, và A là tập mờ trong Ω như sau: 6/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Ta có : Ac = {(1,1), (2,0), (3,0.5), (4,0.7), (5,0.8)} Định nghĩa 3: a. Hàm phủ định n là nghiêm ngặt (strict) nếu nó là hàm liên tục và giảm nghiêm ngặt. b. Hàm phủ định n là mạnh (strong) nếu nó là chặt và thỏa n(n(x)) = x , ∀x∈[0, 1]. Định nghĩa 4: Hàm φ = [a,b] → [a,b] gọi là một tự đồng cấu (automorphism) của đoạn [a,b] nếu nó là hàm liên tục, tăng nghiêm ngặt và φ(a) = a, φ(b) = b. Định lý 1: Hàm n:[0,1] → [0,1] là hàm phủ định mạnh khi và chỉ khi có một tự đồng cấu φ của đoạn [0,1] sao cho N(x) = Nφ(x) = φ-1(1 - φ(x)). Định lý 2 : Hàm n: [0,1] →[0,1] là hàm phủ định nghiêm ngặt khi và chỉ khi có hai phép tự đồng cấu Ψ, φ của [0,1] sao cho n(x) = Ψ (1- φ(x)). Phép giao Phép hội AND trong logic kinh điển là cơ sở để định nghĩa phép giao của 2 tập mờ. AND thoả các tính chất sau : - v(P1 AND P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2). - Nếu v(P1)=1 thì v(P1 AND P2) = v(P2) , với mọi P2 - Giao hoán v(P1 AND P2) = v(P2 AND P1) - Nếu v(P1) ≤ v(P2) thì v(P1 AND P3) ≤ v(P2 AND P3), với mọi P3 - Kết hợp v(P1 AND (P2 AND P3 )) = v((P1 AND P2 )AND P3 ) 7/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ Định nghĩa 5: Hàm T : [0,1]2 → [0,1] là phép hội (t-chuẩn) khi và chỉ khi thỏa các điều kiện sau: - T(1, x) = x, với mọi 0≤ x ≤1. - T có tính giao hoán, nghĩa là : T(x,y) = T(y,x), với mọi 0≤ x,y ≤1. - T không giảm theo nghĩa : T(x,y) ≤ T(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤ v. - T có tính kết hợp : T(x,T(y,z)) = T(T(x,y),x), với mọi 0≤ x,y,z ≤1. Từ các tính chất trên có thể suy ra T(0,x) = 0. Ví dụ : T(x,y) = min(x,y) T(x,y) = max(0,x+y-1) T(x,y) = x.y (tích đại số của x và y) Định nghĩa 6: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền Ω với hàm thuộc về μA(a), μB(a), cho T là một phép hội . Ứng với phép hội T, tập giao của hai tập mờ A, B là một tập mờ trên Ω với hàm thuộc về cho bởi : μAB(a) = T(μA(a), μB(a)) ∀a∈ Ω Với T(x,y)=min(x,y) ta có : μAB(a) = min(μA(a), μB(a)) Với T(x,y) = x.y ta có: μAB(a) = μA(a).μB(a) (tích đại số) Ta có thể biểu diễn phép giao của hai tập mờ qua hai hàm T(x,y)=min(x,y) và T(x,y) = x.y theo các đồ thị sau đây: - Hình a : Hàm thuộc về của hai tập mờ A và B 8/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ - Hình b: Giao của hai tập mờ theo T(x,y) = min(x,y) - Hình c: Giao của hai tập mờ theo T(x,y) = x.y μ x x x μ μ μ A (x) μ B (x) μ A (x) μ B (x) μ A (x) μ B (x) Hình a Hình b Hình c Ví dụ : Cho = {1, 2, 3, 4, 5}, và A, B là các tập mờ trong ? như sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)} Với T(x,y) = min(x,y), ta có : AB = {(1,0), (2,0.5), (3,0.5), (4,0.2), (5,0.2)} AAc = {(1,0), (2,0.1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} Phép hợp Phép tuyển OR trong logic kinh điển là cơ sở để định nghĩa phép hợp của 2 tập mờ. OR thoả các tính chất sau : - v(P1 OR P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2). - Nếu v(P1) = 0 thì v(P1 OR P2) = v(P2) , với mọi P2 - Giao hoán v(P1 OR P2) = v(P2 OR P1) - Nếu v(P1) ≤ v(P2) thì v(P1 OR P3) ≤ v(P2 OR P3), với mọi P3 - Kết hợp v(P1 OR (P2 OR P3 )) = v((P1 OR P2 ) OR P3 ). Định nghĩa 7: Hàm S :[0,1]2 → [0,1] được gọi là phép tuyển (t- đối chuẩn) nếu thỏa các tiên đề sau : - S(0, x) = x, với mọi 0≤ x ≤1. - S có tính giao hoán, nghĩa là : S(x,y) = S(y,x), với mọi 0≤ x,y ≤1. 9/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ - S không giảm theo nghĩa : S(x,y) ≤ S(u,v), với mọi x ≤ u, y ≤ v. - S có tính kết hợp : S(x,S(y,z)) = S(S(x,y),x), với mọi 0≤ x,y,z ≤1. Từ các tính chất trên suy ra S(1,x) = 1. Ví dụ : S(x,y) = max(x,y) S(x,y) = min(1, x+y) S(x,y) = x + y - x.y Định nghĩa 8: Cho hai tập mờ A, B trên cùng không gian nền Ω với hàm thuộc về μA(a), μB(a). Cho S là phép tuyển , phép hợp của hai tập mờ A, B là một tập mờ trên Ω với hàm thuộc về cho bởi : μA?B(a) = = S(μA(a), μB(a)) , ∀a∈ Ω Với S(x,y) = max(x,y) ta có : μA?B(a) = max(μA(a), μB(a)) ( xem hình a) Với S(x,y) = min(1, x+y) μA?B(a) = min(1, μA(a) + μB(a)) (xem hình b) Với S(x,y) = x + y + x.y μA?B(a) = μA(a) + μB(a) - μA(a).μB(a) (xem hình c) Có thể biểu diễn giao của các tập mờ với các phép toán trên bằng các đồ thị sau : μ x x x μ μ μ A (x) μ B (x) μ A (x) μ B (x) μ A (x) μ B (x) Hình a: Hình b Hình c Ví dụ : Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, và A, B là các tập mờ trong Ω như sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} 10/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)} Ta có : A B = {(1,0), (2,1), (3,0.7), (4,0.3), (5,0.4)} A Ac = {(1,1), (2,1), (3,0.5), (4,0.7), (5,0.8)} Một số qui tắc Trong logic rõ với hai giá trị đúng, sai, có nhiều qui tắc đơn giản mà chúng ta thường sử dụng xem như tính chất hiển nhiên. Ví dụ : với bất kỳ tập rõ A ⊂ Ω , ta có: A?Ac = ∅ và A ?Ac = Ω . Thực ra, những qui tắc này có được là nhờ vào sự xây dựng toán học trước đó. Chuyển sang lý thuyết tập mờ thì hai tính chất quen dùng này đã không còn đúng nữa. Do đó, chúng ta cần xem xét lại một số tinh chất. • Tính lũy đẳng (demportancy) Chúng ta nói T là lũy đẳng nếu T(x,x) = x, ∀x∈[0,1]. Tương tự, S là lũy đẳng nếu S(x,x) = x, ∀x∈[0,1]. • Tính hấp thu (absorption) Có hai dạng hấp thu : - T(S(x,y),x) = x , ∀x,y∈[0,1]. - S(T(x,y),x) = x , ∀x,y∈[0,1]. • Tính phân phối (distributivity) Có hai biểu thức xác định tính phân phối: - S(x,T(y,z)) = T(S(x,y), S(x,z)), ∀x,y,z∈[0,1]. - T(x,S(y,z)) = S(T(x,y), T(x,z)), ∀x,y,z∈[0,1]. • Luật De Morgan Cho T là t-chuẩn, S là t-đối chuẩn, n là phép phủ định. Chúng ta có bộ ba (T,S,n) là một bộ ba De Morgan nếu : 11/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ n(S(x,y)) = T(nx,ny) Phép kéo theo Chúng ta sẽ xét phép kéo theo như một mối quan hệ, một toán tử logic. Ta có các tiên đề sau cho hàm v(P1 → P2) : - v(P1 → P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2). - Nếu v(P1) ≤ v(P3) thì v(P1 → P2) ≥ v(P3 → P2), ∀P2 - Nếu v(P2) ≤ v(P3) thì v(P1 → P2) ≤ v(P1 → P3), ∀P1 - Nếu v(P1) = 0 thì v(P1 → P) = 1 , ∀P. - Nếu v(P1) = 1 thì v(P → P1) = 1 , ∀P. - Nếu v(P1) = 1 và v(P2) = 0 thì v(P1 → P2) = 0. Tính hợp lý của những tiên đề này dựa vào logic kinh điển và những tư duy trực quan của phép suy diễn. Từ tiên đề ban đầu (v(P1 → P2) chỉ phụ thuộc vào v(P1), v(P2)) khẳng định sự tồn tại của hàm số I(x,y) xác định trên [0,1]2 với mong muốn tính chân trị của phép kéo theo qua biểu thức v(P1 → P2) = I(v(P1), v(P2)) Định nghĩa 9: Phép kéo theo của một hàm số I : [0,1]2 → [0,1] thỏa các điều kiện sau : - Nếu x ≤ z thì I(x,y) ≥ I(z,y), ∀y∈[0,1]. - Nếu y ≤ u thì I(x,y) ≤ I(z,y), ∀x∈[0,1]. - I(0,x) = 1, ∀x∈[0,1]. - I(x,1) = 1, ∀x∈[0,1]. - I(1,0) = 0 12/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ Định nghĩa 10: Cho T là t-chuẩn, A là t-đối chuẩn, n là phép phủ định. Hàm IS(x,y) xác định trên [0,1]2 bằng biểu thức : IS(x,y) = S(n(x),y) Ví dụ : Cho Ω = {1, 2, 3, 4, 5}, và A, B là các tập mờ trong Ω như sau: A = {(1,0), (2,1), (3,0.5), (4,0.3), (5,0.2)} B = {(1,0), (2,0.5), (3,0.7), (4,0.2), (5,0.4)} Với S(x,y) = max(x,y) và n(x) = 1 - x ta có : Is (0,0) = S(n(0),0) = 1 Is (1,0.5) = S(n(1),0.5) = 0.5 Is (0.5,0.7) = S(n(0.5),0.7) = 0.7 Is (0.3,0.2) = S(n(0.3),0.2) = 0.7 Is (0.2,0.4) = S(n(0.2),0.4) = 0.8 Tổng kết chương lý thuyết mờ Tất cả những kiến thức trình bày trong chương này chỉ là phần cơ bản của lý thuyết tập mờ và logic mờ. Chúng tôi không đi sâu vào chi tiết mà chỉ nhằm mục đích trình bày các khái niệm và các phép toán để sinh viên nắm bắt được vấn đề là bên cạnh logic rõ còn có logic mờ. Sinh viên có thể tìm hiểu sâu hơn về logic mờ ở năm thứ tư trong phần ứng dụng logic mờ vào điều khiển tự động hóa (dành cho lớp điện tử) hay ứng dụng logic mờ trong trí tuệ nhân tạo. Tuy vậy, hy vọng rằng với các cơ sở kiến thức nền về logic mệnh đề, suy luận toán học, vị từ và lý thuyết tập mờ trong giáo trình này là hành trang hữu ích để đi vào các tri thức cao hơn. Bài tập lý thuyết mờ và logic mờ 1. Cho ? = {6, 2, 7, 4, 9}, các tập mờ A, B, C trên ? tương ứng với ánh xạ μA , μB và μC như sau: A = {(6,0.2), (2,0.9), (7,0.5), (4,0.3), (9,0.2)} 13/14 Lý thuyết tập mờ và logic mờ B = {(6,0), (2,1), (7,0.5), (4,0.6), (9,0.1)} C = {(6,0.3), (2,0.1), (7,1), (4,0), (9,0.5)} a/ Tính các tập AC, BC và CC với hàm thuộc về là 1-x b/ Tính A B, B C, A B C, A CC, A CC với T(x,y) = min(x,y) c/ Tính A B, B C, A B C, A CC, A CC với S(x,y) = max(x,y) 2. Cho các tập mờ A,B,C được định nghĩa trên nền số nguyên Ω = [0,5] với các hàm thuộc về như sau: μA = x +x 2 và μB = 1x Hãy xác định các tập mờ sau ở dạng liệt kê và đồ thị : a/ Tính các tập AC, BC và CC với hàm thuộc về là 1-x b/ Tính A B, B C, A B C, A CC, A CC với T(x,y) = min(x,y) c/ Tính A B, B C, A B C, A CC, A CC với S(x,y) = max(x,y) 3. Thiết lập mô hình phân loại sinh viên qua các tập mờ sinh viên cần cù, sinh viên thông minh và sinh viên lười. 4. Cho A là tập mờ xác định trên nền X. Hãy chỉ ra rằng biểu thức A CC = X không đúng như đối với tập họp kinh điển. 5. Kiểm tra xem tập mờ A, B với các hàm thuộc về xác định ở bài tập 2 là thỏa hai công thức của De Morgan. 14/14