ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN VĂN QUYNH DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ THEO PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thái Nguyên - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN VĂN QUYNH DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ THEO PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 8.14.01.11 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Danh Nam Thái Nguyên - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2019 Tác giả luận văn Phan Văn Quynh i LỜI CẢM ƠN Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự cố gắng lỗ lực của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý Thầy Cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ. Trước hết, Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Nguyễn Danh Nam, người Thầy hướng dẫn khoa học đã hết lòng giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành luận văn này. Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu cùng toàn thể quý Thầy cô trong khoa Toán, Bộ phận sau đại học - Phòng Đào tạo - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho em trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và cho đến khi thực hiện đề tài luận văn. Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và các anh chị đồng nghiệp đã luôn khích lệ, động viên và giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Tuy có nhiều cố gắng, nhưng trong đề tài nghiên cứu khoa học này không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong Quý thầy cô, các chuyên gia, những người quan tâm đến đề tài, đồng nghiệp, gia đình và bạn bè tiếp tục có những ý kiến đóng góp, giúp đỡ để đề tài được hoàn thiện hơn. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 8 năm 2019 Tác giả Phan Văn Quynh ii DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ CĐSP Cao đẳng sư phạm DH Dạy học ĐC Đối chứng ĐK Điều kiện ĐHSP Đại học Sư phạm GĐC Gợi động cơ GQVĐ Giải quyết vấn đề GV Giáo viên HS Học sinh KN Kỹ năng MHH Mô hình hóa NXB Nhà xuất bản PP Phương pháp PPDH Phương pháp dạy học PT Phương trình HPT Hệ phương trình SGK Sách giáo khoa THCS Trung học cơ sở THPT Trung học phổ thông TN Thực nghiệm iii MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 4 3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu 4 4. Giải thuyết khoa học 4 5. Nhiệm vụ nghiên cứu 4 6. Phương pháp nghiên cứu 5 7. Đóng góp của luận văn 5 8. Cấu trúc luận văn 6 Chương 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn 7 7 1.1.1. Toán học nảy sinh từ thực tiễn và quay trở lại phục vụ thực tiễn 7 1.1.2. Toán học là khoa học công cụ đối với nhiều lĩnh vực khoa học khác 8 1.2. Mô hình và phương pháp mô hình hóa 1.2.1. Một số khái niệm 9 9 1.2.1.1. Mô hình 9 1.2.1.2. Mô hình hóa trong toán học 10 1.2.2. Phương pháp mô hình hóa 13 1.2.3. Quy trình mô hình hóa 13 1.2.4. Vai trò của phương pháp mô hình hóa và năng lực mô hình hóa trong dạy học Toán 18 1.2.4.1. Năng lực MHH là một NL quan trọng trong giáo dục toán học 18 1.2.4.2. Vai trò của phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán 18 1.2.5. Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học giải toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS 1.3. Thực trạng vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS 1.3.1. Nội dung chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS 1.3.2. Tình hình dạy học nội dung “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” ở THCS iv 20 24 24 28 1.3.3. Tình hình vận dụng PP MHH trong DH giải bài toán bằng cách lập PT, HPT ở trường THCS 30 1.3.3.1. Cơ hội vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học toán THCS 30 1.3.3.2. Tổ chức khảo sát 30 1.3.3.3. Phân tích kết quả khảo sát 30 1.4. Kết luận chương 1 37 Chương 2: THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ 38 PHƯƠNG TRÌNH 2.1. Định hướng và nguyên tắc thiết kế hoạt động mô hình hóa 38 2.1.1. Định hướng 38 2.1.2. Nguyên tắc 38 2.2. Thiết kế hoạt động mô hình hóa 39 2.2.1. Chủ đề 1: Phương trình bậc nhất một ẩn 39 2.2.2. Chủ đề 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 41 2.2.3. Chủ đề 3: Phương trình bậc hai một ẩn 43 2.3. Vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS 2.3.1. Biện pháp 1: Sử dụng PP MHH để gợi động cơ mở đầu. 45 45 2.3.1.1. Cơ sở lý luận và ý nghĩa của biện pháp 45 2.3.1.2. Cách thức thực hiện biện pháp 47 2.3.2. Biện pháp 2: Sử dụng PP MHH trong DH kiến thức mới. 50 2.3.2.1. Cơ sở lý luận và ý nghĩa của biện pháp 50 2.3.2.2. Cách thức thực hiện biện pháp 50 2.3.3. Biện pháp 3: Sử dụng PP MHH trong DH vận dụng kiến thức. 57 2.3.3.1. Cơ sở lý luận và ý nghĩa của biện pháp 57 2.3.3.2. Cách thức thực hiện biện pháp 58 2.4. Kết luận chương 2 64 Chương 3 - THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích và kế hoạch thực nghiệm 65 65 3.1.1. Mục đích thực nghiệm 65 3.1.2. Kế hoạch thực nghiệm 65 3.2. Nội dung thực nghiệm 66 v 3.2.1. Nội dung thực nghiệm 66 3.2.2. Nội dung kiểm tra đánh giá 66 3.3. Kết quả thực nghiệm 67 3.3.1. Phân tích định tính 67 3.3.2. Phân tích định lượng 68 3.3.3. Kiểm định giả thuyết thống kê 70 3.4. Kết luận chương 3 71 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 PHỤ LỤC vi DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ 1. Hình 1.1 Trang 17 2. Hình 2.1 Trang 41 3. Hình 2.2 Trang 42 4. Hình 2.3 Trang 43 5. Hình 2.4 Trang 45 6. Hình 2.5 Trang 49 7. Hình 2.6 Trang 51 8. Hình 2.7 Trang 52 9. Hình 2.8 Trang 52 10. Hình 2.9 Trang 53 11. Hình 2.10 Trang 58 12. Hình 2.11 Trang 60 13. Hình 2.12 Trang 61 14. Hình 2.13 Trang 62 15. Hình 2.14 Trang 63 16. Hình 1p Trang 9 (phụ lục) 17. Hình 2p Trang 10 (phụ lục) 18. Bảng 2.1 Trang 40 19. Bảng 3.1 Trang 68 20. Bảng 3.2 Trang 68 21. Bảng 3.3 Trang 68 22. Bảng 3.4 Trang 69 23. Biểu đồ 3.1 Trang 69 24. Biểu đồ 3.2 Trang 69 25. Biểu đồ 3.3 Trang 69 26. Biểu đồ 3.4 Trang 70 vii MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bối cảnh phát triển và hội nhập quốc tế đặt ra những yêu cầu mới cho giáo dục. Ở Việt Nam, sự phát triển kinh tế - xã hội trong bối cảnh hội nhập quốc tế với những ảnh hưởng của xã hội tri thức và toàn cầu hóa tạo ra những cơ hội nhưng đồng thời đặt ra những yêu cầu mới đối với giáo dục trong việc đào tạo đội ngũ lao động. Đào tạo nguồn nhân lực có trình độ cao đáp ứng nhu cầu phát triển kinh tế tri thức đang là thách thức không chỉ của ngành giáo dục mà còn là của toàn Đảng, toàn dân. Nghị quyết 29 (2013) của Đảng Cộng sản Việt Nam đã đề ra định hướng đổi mới chương trình giáo dục phổ thông nhằm phát triển năng lực và phẩm chất, hài hòa đức, trí, thể, mỹ của học sinh. Cụ thể là: "Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện phẩm chất và năng lực người học. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”, [5]. Trong Luật Giáo dục (2005) đã quy định: "Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”, [18]. Trong nghị quyết 88/2014/QH13, Quốc hội nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam đã xác định mục tiêu đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông là “nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông; kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mỹ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi HS”, [19]. Triển khai nghị quyết 29 của Đảng, Chính phủ đã cụ thể hóa nguyên tắc xây dựng chương trình và SGK mới cần “bảo đảm tính tiếp nối, liên thông giữa các cấp 1 học, các lớp học, giữa các môn học, chuyên đề học tập và hoạt động trải nghiệm sáng tạo”, [3]. Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là chìa khóa trong rất nhiều hoạt động của con người. Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa các sự vật hiện tượng trong thực tiễn trên những bình diện khác nhau và có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, toán học trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng ta cần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kĩ năng và ý thức vận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những kết quả thiết thực. Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn đóng vai trò quan trọng trong quá trình tạo động cơ và hình thành tri thức toán học cho học sinh (HS). Để làm sáng tỏ mối liên hệ này, HS cần hiểu và vận dụng những kiến thức toán học đã học để giải thích, dự đoán, kiểm chứng và mô hình hóa các vấn đề trong cuộc sống. Xu hướng tăng cường tính thực tiễn trong DH Toán ở trường phổ thông đóng vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển năng lực cho HS. Liên hệ thực tiễn giúp HS học tập toán một cách tích cực, chủ động và có ý nghĩa hơn. Để thực hiện được mục tiêu đó, giáo viên (GV) dạy toán cần có năng lực vận dụng những khái niệm toán học ở trường phổ thông để thiết kế và mô tả các mô hình toán học trong cuộc sống. Khả năng xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tiễn được coi là cơ sở của việc "toán học hóa các tình huống thực tiễn”. Thuật ngữ "toán học hóa" có nghĩa là sử dụng ngôn ngữ toán học chuyển các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày về dạng biểu diễn toán học. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là tổng hợp của năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lực chuyển đổi thông tin giữa thực tế cuộc sống, toán học và năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tiễn. Để toán học hóa thực tiễn, người ta cần đến NL MHH - một NL có vai trò quan trọng trong giáo dục. NL MHH đã được PISA chọn là một trong tám năng lực 2 đặc trưng của toán học (theo [6]). Ở Việt Nam, NL MHH được đưa vào mục tiêu chương trình giáo dục phổ thông mới như một thành phần quan trọng của NL toán học [2, tr.6]. Với ý nghĩa này, Đỗ Đức Thái và các tác giả [20, tr.3] đã cụ thể hóa NL MHH thành những tiêu chí chỉ báo đối với HS trong môn Toán để GV có thể tác động cũng như đo lường được trong quá trình DH Toán. Trong DH toán ở trường phổ thông, mô hình được sử dụng có thể là hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hoặc mô hình ảo trên máy tính điện tử. Mô hình hóa trong DH toán là PP giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các phần mềm DH. Sử dụng PP này trong giảng dạy sẽ giúp GV phát huy được tính tích cực học tập của HS, giúp HS có thể tự trả lời câu hỏi "Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ học tập ngay từ đầu cho HS. Quá trình mô hình hóa các tình huống thực tiễn cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học. Do vậy, nó đòi hỏi HS cần vận dụng thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn Toán. Những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương trình và SGK, cũng như trong thực tế DH Toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên. Trong các SGK môn Toán và các tài liệu tham khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học, số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trong các SGK Đại số THCS để HS học và rèn luyện còn rất ít. Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế DH Toán ở trường phổ thông, GV không thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của toán học vào thực tiễn. Ở Việt Nam, chưa có nhiều nghiên cứu vận dụng PP mô hình hóa trong DH toán. Chương trình SGK và các PPDH hiện nay vẫn chưa giúp HS hiểu rõ về những ứng dụng của toán học trong thực tiễn. Vì vậy, kết quả của đề tài có thể tạo ra một diễn đàn trao đổi về khả năng giảng dạy toán học ứng dụng cũng như làm rõ mạch kiến thức về mối liên hệ giữa toán học với thực tiễn trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông. 3 Từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS theo phương pháp mô hình hóa”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Vận dụng PP mô hình hóa trong DH giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình giúp HS rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn, góp phần nâng cao hiệu quả DH môn Toán ở trường THCS. 3. KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình DH môn Toán ở trường THCS. 3.2. Đối tượng nghiên cứu: Việc vận dụng PP mô hình hóa trong DH giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. 3.3. Phạm vi nghiên cứu: Nội dung DH giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình trong môn Toán THCS. 4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu thiết kế được hệ thống các tình huống và bài tập có nội dung thực tiễn, vận dụng PP mô hình hóa để tổ chức các hoạt động học tập thì sẽ hình thành và phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS, góp phần đổi mới PPDH môn Toán theo định hướng phát triển năng lực cho HS ở trường THCS. 5. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 5.1. Nghiên cứu đặc điểm và cách thức vận dụng PP MHH vận dụng trong DH chủ đề: "Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT cho HS lớp 8, 9 trường THCS”. 5.2. Nghiên cứu đặc điểm của nội dung chương trình SGK môn toán lớp 8, 9 theo định hướng phát triển năng lực cho HS. 5.3. Xây dựng được một hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn vận dụng PP mô hình hóa để sử dụng trong DH chủ đề: "Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT cho học sinh lớp 8, 9 trường THCS”. 4 5.4. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng giả thuyết khoa học và đánh giá tính khả thi, hiệu quả của việc vận dụng PP mô hình hóa trong DH chủ đề: "Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT cho học sinh lớp 8, 9 trường THCS”. 6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu trong và ngoài nước về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn. 6.2. Phương pháp điều tra, quan sát: Quan sát, điều tra thực trạng về việc vận dụng PP mô hình hóa trong DH với các hình thức: sử dụng phiếu điều tra, dự giờ, quan sát, nhật kí ghi chép, phỏng vấn trực tiếp GV ở trường THCS. 6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THCS để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của nội dung nghiên cứu được đề xuất. 6.4. Phương pháp sử dụng thống kê toán học: Dùng trong xử lí số liệu điều tra thực trạng và kết quả thực nghiệm. 7. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN 7.1. Những đóng góp về mặt lý luận Góp phần làm rõ thêm cách thức vận dụng PP MHH trong DH Toán, thể hiện qua: - Cách thức thiết kế và sử dụng một số tình huống MHH trong DH giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình; - Cách thức vận dụng PP MHH khi gợi động cơ, trong dạy kiến thức mới, trong vận dụng kiến thức đối với nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. 7.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn - Cụ thể hóa việc vận dụng PP MHH vào DH nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, góp phần nâng cao hiệu quả DH môn Toán ở THCS, tăng cường tính ứng dụng thực tiễn của môn Toán THCS. 5 - Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS lớp 8, 9 trường THCS trong quá trình sử dụng PP MHH vào DH nội dung giải bài toán bằng cách lập PT, HPT. - Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu rộng và sâu hơn về những vấn đề có liên quan đến dạy học Toán gắn với thực tiễn, vận dụng phương pháp mô hình hóa toán học đối với các chủ đề nội dung khác của môn Toán, ... 8. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần "Mở đầu”,"Kết luận" và "Tài liệu tham khảo”, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương: Chương 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Chương 2 - THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chương 3 - THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 6 Chương 1 - CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VỚI THỰC TIỄN 1.1.1. Toán học nảy sinh từ thực tiễn và quay trở lại phục vụ thực tiễn Ăng – ghen đã chỉ rõ đối tượng của toán học thuần túy là những quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giới thực (theo Nguyễn Bá Kim [12], 2015). Những nghiên cứu về lịch sử toán học khẳng định: Nhu cầu thực tiễn làm nảy sinh toán học, và cũng là môi trường để vận dụng các kiến thức và PP toán học. Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn cuộc sống đấu tranh để tồn tại và phát triển, con người đã phát hiện các yếu tố toán học mà ban đầu là các con số, phép tính, hình, ... để hình thành và phát triển khoa học toán học (tham khảo [26]). Bản chất thực tiễn của toán học được thể hiện rõ ràng ở cách hiểu “Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và logic trong thế giới khách quan hay Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một hệ tiên đề” ([22]) Nhìn nhận từ góc độ DH môn Toán, Nguyễn Bá Kim ([12]) đã chỉ ra tính thực tiễn sâu sắc và tính trừu tượng cao độ là một trong hai đặc điểm chính của toán học. Toán học càng trừu tượng thì kiến thức và PP toán học càng tổng quát, nên phạm vi ứng dụng trong thực tiễn càng rộng lớn. Theo Trần Kiều [11]: các ứng dụng toán học có thể chia làm hai loại: những ứng dụng trong nội bộ môn toán và ứng dụng trong các lĩnh vực ngoài toán học. Điều cần lưu ý là: Theo thời gian, càng về gần đây thì khoảng cách giữa lý thuyết toán học và ứng dụng thực tế của toán học càng rút ngắn lại, đồng thời ứng dụng của toán học trong thực tiễn ngày càng phong phú hơn (tham khảo [26]). Trong [37, tr.59], khi tiếp cận vấn đề DH Toán gắn với thực tiễn, trên cơ sở phân tích mối liên hệ hai chiều giữa toán học và thực tiễn, Nguyễn Anh Tuấn đã làm rõ vai trò, chỉ ra cơ hội, yêu cầu và khả năng thực hiện giáo dục toán học gắn với thực tiễn. Theo khảo cứu một số công trình nghiên cứu trên thế giới của Hà Xuân Thành trong [21]: Ở những nước có nền giáo dục tốt trên thế giới đều chú trọng 7 DH liên hệ chặt chẽ với thực tiễn. Điều đó thể hiện không chỉ ở PPDH mà ngay từ việc đưa vào SGK nhiều bài tập có nội dung thực tiễn (gồm cả những bài tập lấy dữ liệu từ thực tế và bài tập sử dụng tình huống giả định; cả những bài tập kết nối môn Toán với các môn học khác trong nhà trường. Cũng theo khảo cứu một số công trình nghiên cứu ở Việt Nam của Nguyễn Anh Tuấn trong [37, tr.59-60]: Các tác giả Bùi Huy Ngọc (2003), Nguyễn Ngọc Anh (2004), Phan Thị Tình (2013), Nguyễn Thị Tân An (2014), … với nhiều góc độ tiếp cận và mục đích khác nhau, nhưng đều tập trung xây dựng một số biện pháp thực hiện giáo dục toán học gắn với thực tiễn trong dạy học những nội dung cụ thể ở các cấp, bậc học; thông qua biện pháp bổ sung, sử dụng những ví dụ thực tiễn, khai thác lịch sử toán học, tập luyện năng lực mô hình hóa toán học, gắn toán học với thực tiễn đào tạo nghề ở trường đại học, ... Ở những công trình kể trên, các tác giả đều cụ thể hóa, làm rõ hơn mối quan hệ chặt chẽ và nhiều mặt giữa toán học và thực tiễn, khẳng định sự cần thiết khai thác tốt sự gắn bó mật thiết giữa toán học và thực tiễn trong DH Toán. 1.1.2. Toán học là khoa học công cụ đối với nhiều lĩnh vực khoa học khác Để giải quyết thực tiễn con người cần đến nhiều khoa học. Với đặc thù của mình, toán học đóng vai trò một khoa học công cụ - giúp cho loài người “phương tiện” hữu hiệu để nghiên cứu và giải quyết những vấn đề ở những khoa học khác mà thực chất cuối cùng là phục vụ nhu cầu thực tiễn đời sống xã hội. Bất kì ai trong cuộc sống của mình và cộng đồng đều cần sử dụng kiến thức và PP toán học để giải quyết những vấn đề do thực tiễn đặt ra. Vì vậy, họ có nhu cầu học môn toán; sử dụng toán như công cụ trong lao động, học tập môn học khác, trong nghiên cứu khoa học, ... Đồng thời, những kiến thức và PP toán học đã có cũng lại là “công cụ” để con người sử dụng khi tiếp tục nghiên cứu, phát triển toán học. Theo Nguyễn Bá Kim [12], “Do tính trừu tượng cao độ mà Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng vào rất nhiều ngành khoa học: Vật lí học, Hoá học, Ngôn ngữ học, Thiên văn học, Địa lí, Sinh học, Tâm lí học v.v... và trở thành một công cụ có hiệu lực của các ngành đó”. 8 Như vậy, ứng dụng của toán học rất đa dạng, phong phú trong thực tiễn. Điều đó khẳng định vai trò to lớn của toán học đối với cuộc sống con người. 1.2. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA 1.2.1. Một số khái niệm 1.2.1.1. Mô hình a) Một số quan niệm và biểu đạt khác nhau về mô hình: - Theo [24, tr.107]: Khách thể T là mô hình của khách thể X đối với một hệ thống H các đặc trưng nào đó, nếu T được xây dựng hoặc chọn để bắt chước X theo những đặc trưng đó. - Còn theo Blum, Ferry (2009) trong [32, 45-58] thì mô hình là một “vật” hay “hệ thống” làm đại diện hoặc là vật thay thế cho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm. - Theo Jonathan Borwein, Keith Devlin (2009), [34, tr.347] thì diễn đạt mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu. Như vậy, mô hình được mô tả như một "vật" dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của sự vật (hoặc hệ thống sự vật) thực tế. Tức là mô hình xem như là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật gốc) nhằm một mục đích nào đó. Cũng cần lưu ý rằng: Mô hình có thể ở dạng đồ vật cụ thể, nhưng cũng có thể ở dạng hình ảnh, sơ đồ, ... thậm chí được biểu đạt một cách trừu tượng hơn thông qua sự mô tả ... (chẳng hạn mô hình kinh tế, mô hình tài chính, mô hình chính trị, ...) Thông qua mô hình, ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến (toàn bộ) sự vật thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó. b) Đặc trưng của mô hình: - Mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (chọn tính chất nào là cơ bản là do con người), tức là mô hình phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc (thể hiện được những tính chất và mối quan hệ chủ yếu). 9 - Mô hình là sản phẩm của quá trình trừu tượng hóa những đối tượng cụ thể nên mang tính khái quát, lí tưởng (thậm chí có cả những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn!); - Mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một số mặt nào đó của vật gốc nên không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. - Mô hình không phải là bất biến do nó phản ánh thực tiễn luôn vận động và biến đổi. 1.2.1.2. Mô hình hóa trong toán học a) Mô hình toán học Trong toán học, một mô hình toán học (hiểu theo nghĩa rộng) là mô hình trừu tượng ở đó người ta sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả một hệ thống nào đó trong hiện thực khách quan (tham khảo [14]). Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác (dẫn theo Nguyễn Danh Nam [14]). Mô hình toán học (nghĩa rộng) được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (như Vật lý, Sinh học, Kĩ thuật điện tử, ...) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế học, Xã hội học, Khoa học chính trị, ...). Tiếp cận mô hình theo nghĩa hẹp, Berinderjeet Kaur (2010) trong [29, tr.56] cho rằng: Mô hình toán học còn có thể là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng, ... Xem xét từ phạm vi dạy học Toán, chúng tôi thấy: Bên cạnh cách hiểu mô hình toán học như trên, cụm từ “mô hình toán học” hay còn gọi đơn giản là “mô hình” đôi khi được GV dùng theo nghĩa hẹp: chỉ đơn giản là một mô hình vật chất dưới dạng đồ dùng DH Toán cụ thể hoặc phần mềm toán học (trừu tượng) để phản ánh những đối tượng toán học cụ thể như mặt phẳng, đường thẳng, đồ thị hàm số, khối đa diện, ... Khi đó, cái cụ thể thể hiện ở mô hình này sẽ phản ánh một phần những yếu tố của loại mô hình toán học trừu tượng, tổng quát kể trên. 10 Để phân biệt với đồ dùng DH (trong đó có cả mô hình thu gọn, ...) ở môn học khác, GV cũng cần chú ý rằng: Trong toán học, với đặc thù trừu tượng cao độ của khoa học này, cho dù có ở dạng đồ vật cụ thể, sử dụng ngôn ngữ toán học hay là mô hình ảo trên máy vi tính ... để mô tả về đối tượng toán học thì mô hình thực chất cũng chỉ mang tính tượng trưng. Bởi lẽ, mọi đối tượng trong toán học mà mô hình phản ánh cũng đã là trừu tượng hoàn toàn, kể cả con số, hình, đồ thị, ... đều không phải là những đối tượng có thật trong thực tế; trong khi ở Vật lý, Hóa học, Sinh học, ... thì mô hình (kể cả thu gọn) hầu hết lại phản ánh sự vật, hiện tượng có thật trong cuộc sống. b) Mô hình hóa Theo nghĩa tiếng Việt, MHH được hiểu là hoạt động chuyển về dạng “mô hình”. Đối với mô hình toán học thì đó là việc chuyển từ sự vật, hiện tượng ở tình huống thực tế thành dạng mô hình toán học, diễn đạt thông qua ngôn ngữ, ký hiệu trừu tượng của toán học. Chẳng hạn: Trong sản xuất (hoặc kinh doanh) mặt hàng áo, quần, giày, người ta thường quan tâm đến các con số trung bình tiêu hao nguyên liệu, năng suất và sản lượng, lợi nhuận, ... trong một khoảng thời gian nhất định (tháng, quý, năm). Trong thực tế, nhiều khi người ta lại không quan tâm đến kích cỡ của áo, quần, giày, thậm chí không tính trung bình các con số này ... mà với mục đích tăng trưởng lợi nhuận trong sản xuất, kinh doanh thì cứ loại nào bán được nhiều nhất sẽ đầu tư sản xuất nhiều (hoặc nhập hàng về nhiều) ... Câu hỏi đặt ra là loại (kích cỡ) nào cần nhiều nhất? Điều đó được toán học phản ánh thông qua mô hình dãy số liệu, bảng thống kê, các tham số thống kê như “trung bình cộng”, “mode”, “tần số”, “tần suất”, ... c) Mô hình hóa toán học Mô hình hóa toán học (tham khảo [1]) là thuật ngữ được sử dụng để chỉ hoạt động quan trọng trong quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học. Trong DH toán, theo Trần Vui [28], mô hình hóa thường được sử dụng theo hai mục đích: - Mô hình hóa để học toán: Mô hình hóa là một phương tiện hỗ trợ việc học các khái niệm và quá trình học toán của HS, chẳng hạn như tạo động cơ giúp hình 11 thành và hiểu một khái niệm hoặc minh họa các nội dung toán học trừu tượng, phức tạp. - Học toán để mô hình hóa: Mô hình hóa là một mục đích của việc học toán, nhằm trang bị cho HS các NL để có thể sử dụng toán trong nhiều ngữ cảnh và tình huống bên ngoài lớp học. Từ những công trình nghiên cứu có liên quan, trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận MHHTH với mục đích: coi đây là một hoạt động của HS cần thiết để hỗ trợ quá trình học giải bài toán bằng cách lập PT, HPT ở trường THCS. d) Toán học hóa Theo Trần Vui ([28]), thuật ngữ “toán học hóa” được sử dụng với nghĩa: sử dụng ngôn ngữ toán học chuyển các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày về dạng biểu diễn toán học. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn là tổng hợp của năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn; năng lực chuyển đổi thông tin giữa thực tế cuộc sống, toán học và năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống thực tiễn. e) Năng lực mô hình hóa (modeling) NL MHH đã được PISA chọn là một trong tám năng lực đặc trưng của toán học (theo [6]), bao gồm: tư duy và lập luận; tranh luận về các nội dung toán học; giao tiếp toán học; mô hình hóa; đặt và giải quyết vấn đề; biểu diễn; sử dụng kí hiệu, thuật ngữ chuyên môn, phép toán hình thức; sử dụng phương tiện và công cụ tính toán. Trong DH toán, mô hình hóa được quan niệm là: Mô hình hóa trong DH toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học như hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, kí hiệu, sơ đồ, công thức,… [36, trang 26-32]. NL MHH được đưa vào mục tiêu chương trình giáo dục phổ thông mới như một thành phần quan trọng của NL toán học [2, tr.6]. Để có thể đo lường được, Đỗ Đức Thái và các tác giả [20, tr.3] đã cụ thể hóa NL MHH thành những tiêu chí chỉ báo đối với HS THCS trong học Toán thông qua việc các em thực hiện được các hành động: 12 - Sử dụng các mô hình toán học (công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ...) để mô tả các tình huống đặt ra trong các bài toán thực tế không quá phức tạp; - Giải quyết được các vấn đề toán học trong các mô hình được thiết lập; - Thể hiện được lời giải bài toán trong ngữ cảnh thực tế và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải, bước đầu biết điều chỉnh mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp. 1.2.2. Phương pháp mô hình hóa DH bằng mô hình hóa hay PP mô hình hóa trong DH là quá trình giúp học sinh xây dựng mô hình từ tình huống để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn. Theo Nguyễn Danh Nam [16], MHH là PP xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằm diễn đạt và mô tả các bài toán thực tiễn, đã được các nhà nghiên cứu trên thế giới quan tâm như Smith & Wood, 2001; Vasco, 1999; Martinez -Luacles, 2005; Carrejo & Marshall, 2007. Từ những công trình nghiên cứu có liên quan, trong DH Toán, chúng tôi hiểu PP mô hình hóa là con đường, cách thức để chuyển một tình huống thực tiễn trở thành dạng mô hình toán học và phát biểu dưới dạng một bài toán. Thông qua đó, GV giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học. Nhờ sử dụng PP MHH, GV có thể giúp HS tự trả lời câu hỏi “Môn Toán có ứng dụng gì trong thực tiễn và có vai trò gì trong việc giải thích các hiện tượng thực tiễn?”. Điều này có ý nghĩa rất lớn trong việc gợi động cơ, gây hứng thú học toán cho HS, góp phần thực hiện mục tiêu phát triển NL HS, đặc biệt là NL vận dụng toán học vào thực tiễn. 1.2.3. Quy trình mô hình hóa Quá trình MHHTH không chỉ cần đến nguyên tắc mà còn cần được thực hiện theo một quy trình. Mặc dù quá trình MHHTH không dễ quy trình hóa, những vẫn cần thiết chỉ ra các bước thực hiện theo một lộ trình nhất định. Theo Nguyễn Danh Nam trong [16]), có 4 giai đoạn cần thực hiện trong quá trình chung MHHTH (tham khảo Swetz và Hartzler, 1991): “1. Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố có tác động đến vấn đề đó. 13 2. Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngôn ngữ toán học, từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng. 3. Áp dụng các PP và công cụ toán học phù hợp để MHH bài toán và phân tích mô hình. 4. Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận.” Theo đó, có thể mô tả, hình dung quá trình MHHTH thông qua sơ đồ “khép kín” - tức là thể hiện được thực tiễn vừa là nguồn gốc, động lực vừa là môi trường ứng dụng của toán học như sau: Tình huống thực tiễn Quan sát, hiểu và xây dựng mô hình Áp dụng Kết luận, Thông báo Mô hình toán học Phân tích Hiểu và thông dịch Kết luận toán học Sơ đồ 1.1 - Quan hệ giữa 4 giai đoạn của MHH toán học Tham khảo tài liệu [16], chúng tôi thống nhất với quy trình 7 bước thực hiện MHHTH trong DH môn toán do tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) đề xuất: 1. Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế. 2. Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra. 3. Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó. 4. Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán. 5. Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế. 6. Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng. 7. Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn. Ở đề tài này, chúng tôi vận dụng vào phạm vi và đối tượng GV và HS 14 THCS, và giới hạn trong nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, trên cơ sở tham khảo [7], chúng tôi cụ thể hóa các hoạt động thực hiện MHHTH theo sáu bước như sau: Bước 1: Xuất phát từ việc tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức, PP toán học - ở đây là công cụ PT, HPT. Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động: - Chọn một tình huống thực tiễn có liên quan đến yêu cầu tìm, tính toán một vài đại lượng nào đó (chính là dẫn đến nhu cầu ẩn số của PT, HPT); - Tìm hiểu các mối liên hệ giữa những dữ kiện đã cho và phải tìm (ứng với loại PT, HPT); - Xác định sự phù hợp về mức độ khó khăn đối với HS THCS khi dùng công cụ PT, HPT (được học - ở đây chỉ hạn chế trong phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn); Bước 2: Xây dựng giả thuyết - mô phỏng tình huống và cấu trúc đường lối giải quyết; Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động: - Mô tả chi tiết tình huống để xác định câu hỏi đặt ra là gì? Đưa ra các giả thiết phù hợp. - Nhận ra yếu tố cố định, các đại lượng không đổi và đại lượng biến đổi trong tình huống để biểu diễn các mối quan hệ giữa chúng. - Thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình huống, những dữ liệu này sẽ gợi ý loại mô hình toán phù hợp với tình huống. - Chuyển từ tình huống ban đầu về dạng tình huống thực tiễn có dữ kiện và yêu cầu và cấu trúc rõ ràng bằng cách biểu đạt lại làm cho tình huống trở nên rõ ràng hơn, gần gũi với cấu trúc của một bài toán (cái đã cho - điều phải tìm). - GV gợi ý mối liên kết giữa tình huống thực tế và toán học; dự kiến những kiến thức, kĩ năng toán học và giúp HS tái hiện, chuẩn bị sử dụng để thiết lập mô hình toán học và giải bài toán. Bước 3: Xây dựng bài toán toán học; Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động: 15 - Rút gọn, đơn giản hóa tình huống bằng cách lược bỏ những chi tiết không bản chất, cụ thể hóa câu hỏi, vấn đề đặt ra. - Từ mô hình đã rút gọn - có cấu trúc giả thiết - kết luận, HS nhận dạng loại bài toán toán học tương thích. - Biểu đạt theo cấu trúc và hình thức của loại bài toán đó bằng cách dùng tư duy và ngôn ngữ, ký hiệu toán học để phát biểu bài toán đã xác định. Bước 4: Giải bài toán bằng công cụ toán học; Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động: - Ở bước này, GV hướng dẫn HS sử dụng kiến thức và kỹ năng toán học tương ứng để giải bài toán theo PP quen thuộc. Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu; Để để thấy rõ ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động: - Tìm hiểu lời giải theo cả hai mặt: mặt cú pháp (theo quy tắc, PP hình thức lôgic), mặt ngữ nghĩa (nghĩa của từng kiến thức, bước biến đổi tính toán và lập luận trong quá trình giải bài toán) - Đối chiếu với câu hỏi và cách thức giải quyết đời thường để thấy rõ ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế. Bước 6: Kiểm nghiệm đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác. Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động: - Đối chiếu mô hình vừa xây dựng với những tình huống thực tế và áp dụng thử để thấy được ưu, nhược điểm, tìm cách chỉnh sửa và rút ra kết luận cần thiết. Ví dụ 1.1: Tình huống thực tế dẫn đến phương trình bậc nhất. Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn Hai bạn An và Bình đi từ Giao Thuỷ đến Nam Định trên quãng đường 50km. An đi bằng xe đạp điện với vận tốc trung bình 20 km/h từ lúc 7g sáng, sau đó vào lúc 8g sáng Bình đi bằng xe xe máy với vận tốc trung bình 40 km/h. Vậy có thể đặt ra những câu hỏi: Sau bao nhiêu lâu hai bạn gặp nhau trên đường? Địa điểm gặp nhau cách Nam Định bao nhiêu km? 16 Bước 2: Xây dựng giả thuyết - mô phỏng tình huống và cấu trúc đường lối giải quyết; GV hướng dẫn HS đơn giản hóa bằng cách lược bỏ: tên người cụ thể  chỉ để lại A và B; Giao Thuỷ và Nam Định  chỉ để lại khoảng cách 50km; Phương tiện xe đạp điện và xe máy  chỉ để lại 2 vận tốc 20 và 40; Thời gian  chỉ còn lại 2 thời điểm 7g00 và 8g00. Tức là chỉ mới quan tâm đến mô hình và bài toán “chuyển động cùng chiều với vận tốc khác nhau” theo nghĩa vật lý. Bước 3: Xây dựng bài toán thuần túy toán học Bằng cách tiếp tục đơn giản hóa dữ kiện: tốc độ 20 từ lúc 7g; tốc độ 40 từ lúc 8g; thời điểm cách nhau 1 giờ. Như vậy, khoảng cách giữa A và B là 20 km. Từ đó, HS xác định được giả thiết - kết luận của bài toán; cấu trúc bài toán giải bằng cách lập phương trình: đặt ẩn x - lượng thời gian cần thiết để họ gặp nhau, đưa về phương trình 40x = 20x + 20. Rút gọn được: 2x = x+1. Bước 4: Giải bài toán bằng công cụ toán học Sử dụng PP toán học (ở đây là giải phương trình bậc nhất): 2x = x+1 Biểu thị trên cùng một hệ tọa độ, ta có hình 1.1. Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu Đối chiếu với tình huống thực tế  mô hình bài toán vật lý để trả lời câu hỏi cho tình huống ban đầu: Hình 1.1 Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác. HS đánh giá được ưu điểm của công cụ PT, HPT khi giải quyết bài toán thực tế dưới dạng chuyển động trong vật lý. Điều chỉnh: Trong trường hợp thay đổi vận tốc? Chiều chuyển động hay loại chuyển động không đều ... thì PP giải quyết và kết quả như thế nào? HS biết chuyển bài toán thành dạng chuyển động ngược chiều, thay đổi dữ kiện về thời điểm, vận tốc, ... và hơn thế là dạng bài toán về năng suất lao động, sản 17 phẩm và thời gian. Mặt khác cũng có thể thay đổi công cụ toán học từ phương trình bậc nhất sang phương trình bậc hai hoặc hệ phương trình, ... 1.2.4. Vai trò của phương pháp mô hình hóa và năng lực mô hình hóa trong dạy học Toán 1.2.4.1. Năng lực mô hình hóa là một năng lực quan trọng trong giáo dục toán học Trong tám năng lực được PISA lựa chọn, mô hình hóa là năng lực được nhiều quốc gia trên thế giới đề cập đến từ hai thập niên trước và giữ vị trí ngày càng quan trọng trong chương trình môn Toán phổ thông của nhiều nước như Hoa Kì, Đức, Pháp, Anh, Trung Quốc, Singapore,… [1, trang 55-63]. Ở Việt Nam, trong chương trình giáo dục phổ thông môn Toán [2, tr.6] mới ban hành (kèm theo thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT), cùng với kiến thức toán học, phẩm chất và NL chung, yêu cầu phát triển NL toán học cho HS trong DH môn Toán bao gồm 5 thành phần cốt lõi cần hình thành và phát triển qua môn Toán, trong đó có NL MHH: 1. NL tư duy và lập luận toán học; 2. NL mô hình hoá toán học; 3. NL giải quyết vấn đề toán học; 4. NL giao tiếp toán học; 5. NL sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Điều đó cho thấy vai trò của NL MHH trong DH môn Toán ở trường phổ thông. 1.2.4.2. Vai trò của phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán Từ đặc thù của các hoạt động trong quá trình mô hình hóa, mà thông qua PP mô hình hóa, học sinh nhận biết được ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; phát triển khả năng phân tích, suy luận, lập luận và giải quyết vấn đề toán học trong những tình huống, hoàn cảnh khác nhau; phát triển tư duy phê phán và khả năng liên hệ kiến thức toán học với các môn học khác. Trong DH toán, PP MHH giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các PPDH khác, trong đó có phần mềm DH. 18 Tham khảo Nguyễn Danh Nam [16], chúng tôi thấy PP MHH có những tác dụng chính sau đây: a) Do GV làm rõ hơn mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong sách giáo khoa dưới góc nhìn của toán học nên PP MHH giúp HS tăng cường vận dụng và thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn toán (Mason & Davis, 1991; Niss, 1989). b) Giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, PP toán học phù hợp nên giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Lesh & Zawojewski, 2007 khẳng định rằng MHH toán học giúp HS phát triển sự thông hiểu các khái niệm và quá trình toán học. Quá trình MHH giúp HS hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng toán học; nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó. Do vậy, GV nên phát triển các loại bài tập gắn với hoạt động MHH như: các bài tập ở dạng điều tra số liệu, khảo sát thực tế các vấn đề nảy sinh trong thực tiễn, phân tích các tin tức trên báo chí, số liệu trong sách giáo khoa hoặc trên mạng internet. c) Giúp HS phát triển các kỹ năng toán học, đồng thời hỗ trợ GV tổ chức DH theo PP phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn. d) Giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn. e) Giúp HS nâng cao năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề thực tiễn. g) Phát triển NL hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự tin cho HS thông qua hợp tác nhóm, sử dụng các công cụ phần mềm để MHH và GQVĐ thực tiễn. h) Tạo cơ hội và tăng cường tính liên môn, tích hợp trong học tập các môn học khác. Theo Nguyễn Danh Nam ([14]), khi DH Toán, GV có thể sử dụng PP MHH để hỗ trợ:  Tạo tình huống có vấn đề trong DH toán;  Làm sáng tỏ một số yếu tố toán học trong thực tiễn; 19  Giúp HS hiểu được ý nghĩa của các số liệu thông kê từ thực tiễn. Vận dụng quan điểm này, Phan Thị Thu Hiền (2015, [9]), đã xem xét làm rõ thêm việc sử dụng PP MHH để hỗ trợ phát triển các kĩ năng toán học, cụ thể hóa trong DH Đại số 10. Từ những kết quả nghiên cứu đã có, trong phạm vi luận văn này, chúng tôi thấy vai trò của PP MHH có tác dụng hỗ trợ quá trình DH Toán gắn bó hơn với thực tiễn, giúp HS tiếp cận kiến thức toán học theo cách tích cực, gây hứng thú học tập, tăng cường tính liên môn và tính tích hợp, đặc biệt là góp phần trực tiếp phát triển NL MHH và NL GQVĐ thực tiễn. Từ góc nhìn này, chúng tôi tập trung vào khai thác những thế mạnh - tác dụng sau của PP MHH trong DH Toán THCS: + Tác dụng 1: Giúp HS học toán một cách hứng thú, tích cực; từ đó hình thành thói quen và khả năng vận dụng môn toán vào việc học các môn học khác, vào thực tế cuộc sống (tác dụng này là cơ sở để chúng tôi xây dựng BP gợi động cơ ở chương 2). + Tác dụng 2: Rèn luyện các kỹ năng toán học, trong đó có kỹ năng sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu toán học; kỹ năng phân tích - tổng hợp; kỹ năng tính toán và suy luận toán học; kỹ năng thực hành liên môn và tích hợp với môn học khác và thực tiễn (tác dụng này là cơ sở để chúng tôi xây dựng các BP dạy hình thành kiến thức mới và vận dụng kiến thức ở chương 2). + Tác dụng 3: Góp phần phát triển NL MHHTH, NL GQVĐ, năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn (tác dụng này là cơ sở để chúng tôi xây dựng các BP dạy vận dụng kiến thức vào thực tiễn ở chương 2). 1.2.5. Vận dụng PP MHH trong DH giải bài toán bằng cách lập PT, HPT ở trường THCS Trên cơ sở quy trình MHHTH 6 bước đã xác định ở trên (mục 1.2.3), vận dụng vào DH giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS, chúng tôi vận dụng PP MHH theo 6 bước cụ thể như sau: - Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định cái phải tìm (ẩn số), cái đã cho (dữ kiện giả thiết) trong phạm vi của bài toán thực tế. - Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa những dữ kiện đã cho với ẩn số. 20 - Bước 3: Xây dựng bài toán giải phương trình ... bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống thực tế để lập phương trình đối với ẩn số đã chọn. - Bước 4: Sử dụng các quy tắc giải PT, HPT thích hợp để giải PT, HPT đã lập. - Bước 5: Hiểu ý nghĩa của kết quả bài toán, chuyển đổi về ngôn ngữ thực tế để trả lời câu hỏi của tình huống ban đầu. - Bước 6: Kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình và quá trình các bước giải (ưu điểm và hạn chế) đã xây dựng và thực hiện Cụ thể: HS thiết lập một mô hình dưới dạng sơ đồ các bước giải bài toán: Thâm nhập tình huống thực tiễn ở bài toán đã cho  diễn đạt vấn đề thực tiễn trên bằng ngôn ngữ toán học: ký hiệu, biểu thức, đẳng thức, ...  thiết lập phương trình, …  sử dụng quy tắc giải phương trình ... để tìm nghiệm  hiểu ý nghĩa nghiệm của phương trình đối với bài toán thực tiễn để chuyển đổi thành câu trả lời cần có. Cuối cùng, HS xem xét lại mô hình (hoặc chấp nhận mô hình), diễn đạt lại bài toán ban đầu (hoặc thông báo kết quả) và tìm hiều những hạn chế và khó khăn có thể gặp phải khi áp dụng mô hình vào giải bài toán tương tự. Ví dụ 1.2: Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP thuộc PT, HPT. Tình huống: Một ôtô đi từ Hà Nội đến Thanh Hoá với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ nghỉ lại ở Thanh Hoá, ôtô lại từ Thanh Hoá về Hà Nội với vận tốc 30 km/h. Tổng thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ). Tính quãng đường Hà Nội - Thanh Hoá. Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết; Lược bỏ những chi tiết không bản chất toán học để đưa về dạng toán lập và giải phương trình bậc nhất Sau khi đọc xong toàn bộ bài toán, học sinh xác định các đại lượng của bài toán như sau: + Đại lượng bài toán yêu cầu cần tìm được cho biết trong câu "Tính quãng đường Hà Nội - Thanh Hoá" 21 + Các đại lượng thời gian và vận tốc được bài toán cho biết trong câu: "Sau 2 giờ nghỉ lại ở Thanh Hoá", "Tổng thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút", "với vận tốc 40 km/h", "với vận tốc 30 km/h". + Mối liên hệ giữa các đại lượng là công thức S = v.t. + Căn cứ vào công thức, ta nhận thấy bài toán có các đại lượng trung gian là: "Thời gian đi Hà Nội - Thanh Hoá", "Thời gian đi Thanh Hoá - Hà Nội", "thời gian thực đi từ Hà Nội đến Thanh Hoá và từ Thanh Hóa về Hà Nội". + Phân tích câu "Tổng thời gian cả đi lẫn về là 10 giờ 45 phút (kể cả thời gian nghỉ)". Tính thêm đại lượng "thời gian thực đi từ Hà Nội đến Thanh Hoá và từ Thanh Hóa về Hà Nội" là 8 giờ 45 phút. Bước 3: Xây dựng bài toán Qua cách phân tích trên học sinh tìm được các đại lượng của bài toán là Tổng thời gian thực đi (cả đi lẫn về) là 8 giờ 45 phút, "vận tốc khi đi là 40 km/h", "vận tốc khi về là 30 km/h". Làm sáng tỏ vấn đề bài toán đặt ra: Biết "Tổng thời gian đi và về", tỉ số của "thời gian đi" và "thời gian về" có thể tính được dựa vào tỉ số hai vận tốc (Vì biết số liệu của hai đại lượng vận tốc nên ta tính được tỉ số này). Đây là dạng toán số học quen thuộc ở tiểu học “Tìm hai đại lượng khi biết tổng số và tỉ số”. Nhờ vậy HS THCS chuyển sang xây dựng bài toán giải hệ phương trình như sau: Dùng PP giải bài toán bằng cách lập PT, HPT bậc nhất một ẩn - Chọn ẩn: gọi thời gian xe chạy lúc đi là x và thời gian xe chạy lúc về là y. - Điều kiện của ẩn: x, y >0. Theo phân tích đề bài ở trên, ta có hệ phương trình: x+y = 8,75 (giờ) (1) 40x = 30y (2)  x  y  8,75 40 x  30 y Bài toán 1: Giải hệ phương trình  Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT bậc nhất một ẩn Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ta dùng một trong hai PP cộng (thế). Chẳng hạn: Từ (2) hay thế x = 0,75y vào phương trình (1), ta có: 22 1,75y = 8,75  y = 5 (thỏa mãn điều kiện). Từ đó x = 3,75 (thỏa mãn điều kiện). Hệ phương trình có một nghiệm (3,75; 5). GV sử dụng đồ thị để minh họa bài toán trên như sau: Từ hệ phương trình, ta có thể xây dựng hai hàm số: y1 = 8,75 - x và y2 = 4 x. 3 Sau đó vẽ hai đồ thị trên cùng một hệ tọa độ, gợi ý HS nhận xét tọa độ của giao điểm của hai đồ thị và so sánh với nghiệm của hệ tìm được bằng cách giải theo PP đại số ở trên. (Hình 1.1) 1.2??? Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu; - Mặt cú pháp: Quy tắc giải phương trình bậc nhất - Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chưa biết thỏa mãn một đẳng thức dựa trên tính chất của các phép tính. Hình 1.2??? - Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời: Vì thời gian lúc về là 5 (giờ) nên quãng đường là S = 30  5 = 150 (km). Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác - Mô hình bài toán chuyển động, đưa về lập và giải phương trình bậc nhất. - Vận dụng tương tự: Có thể áp dụng mô hình này để giải quyết bài toán lao động với năng suất khác nhau: Bài toán 2: Trong vòng 10 ngày, một tổ sản xuất cần phải phải thực hiện xong một kế hoạch lao động. Lúc đầu tổ sản xuất làm việc với năng suất 30 sản phẩm/ngày. Khi đã thực hiện được một nửa số sản phẩm, người ta nhận thấy cần tăng năng suất lao động để hoàn thành kế hoạch kịp tiến độ. Do vậy tổ sản xuất đã áp dụng sáng kiến và làm được 35 sản phẩm/ngày. Tính tổng sản phẩm theo kế hoạch dự kiến của tổ sản xuất đó. 23 Bài toán 3: Hai nhóm đi phượt bằng xe máy từ Thành phố Nam Định đến rừng Cúc Phương. Tốc độ lúc đi trung bình là 50 km/h; Tốc độ lúc quay về trung bình là 60 km/h. Khi đi đoàn nghỉ dọc đường 30 phút. Tổng thời gian cả đi lẫn về là 4 giờ 54 phút (kể cả thời gian nghỉ). Tính quãng đường từ Thành phố Nam Định đến rừng Cúc Phương? 1.3. THỰC TRẠNG VẬN DỤNG PP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THCS 1.3.1. Nội dung chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS a) Phân phối chương trình Toán 8: Chương III - Phương trình bậc nhất một ẩn Bài 1. Mở đầu về phương trình (1 tiết) Bài 2. Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải (1 tiết) Bài 3. Phương trình đưa về dạng ax + b = 0 (1 tiết) Luyện tập (1 tiết) Bài 4. Phương trình tích. (1 tiết) Luyện tập. (1 tiết) Bài 5. Phương trình chứa ẩn ở mẫu (2 tiết) Luyện tập. (1 tiết) Bài 6. Giải bài toán bằng cách lập phương trình (1 tiết) Bài 7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp) (1 tiết) Luyện tập (2 tiết) Ôn tập chương III (2 tiết) Kiểm tra. (1 tiết) Toán 9 Chương III. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn số (1 tiết) 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế (1 tiết) 3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số (1 tiết) 24 4. Luyện tập (2 tiết) 5. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (2 tiết) 6. Luyện tập (2 tiết) Chương IV - Hàm số y = ax2 (a  0). Phương trình bậc hai một ẩn. 1. Hàm số y = ax2 (a  0). Tính chất, Đồ thị và luyện tập (4 tiết) 2. Phương trình bậc hai một ẩn số. Luyện tập (6 tiết) 3.Định lý Vi ét và ứng dụng. Luyện tập (2 tiết) 4. Phương trình quy về phương trình bậc bai. Luyện tập. (2 tiết) 5. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai. Luyện tập. (2 tiết) Như vậy, nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình được đưa vào ở lớp 8 và 9 cùng với khái niệm, tính chất và PP giải phương trình (bậc nhất và bậc hai), hệ phương trình (bậc nhất hai ẩn) - xem như một PP toán học để giải những bài toán có tính thực tiễn (hầu hết cũng chỉ dưới dạng giả định) bằng công cụ PT, HPT (trong phạm vi những loại PT, HPT đã học). Có thể thấy, đây là một nội dung không có nhiều thời lượng trong phân phối chương trình SGK Toán 8, 9, nhưng ứng dụng khá phong phú, bởi lẽ trong thực tế cuộc sống rất nhiều các đại lượng có mối quan hệ biến đổi phụ thuộc lẫn nhau thông qua một hệ thức giữa chúng, trong đó có những đại lượng đã biết giá trị, và những đại lượng cần tìm giá trị sao cho thỏa mãn được hệ thức (mà trong toán học gọi là PT, HPT). Mặt khác, một số dạng toán như vậy đã được đưa vào môn toán ở tiểu học, và HS đã học cách giải theo PP số học. Đây là điều kiện thuận lợi để các em làm quen với dạng bài tập có tính thực tế, và học cách giải mới ngắn gọn, đơn giản hơn ... Vì vậy, cơ hội để vận dụng PP MHH trong DH nội dung này là thuận lợi, mặc dù thời gian trực tiếp trên lớp không nhiều, như GV có thể vận dụng các hình thức khác để tăng cường hoạt động MHHTH cho HS thông qua các tiết tự chọn, giờ ngoại khóa, tiết ôn tập, phụ đạo,... đồng thời cũng có thể lồng ghép với nhiệm vụ và hoạt động tự học của các em. b) Kiến thức lý thuyết và dạng bài tập Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình Bước 1: Chọn ẩn số, đơn vị và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. 25 Bước 2: Lập phương trình với ẩn đã chọn - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 3: Giải PT bậc nhất, HPT bậc nhất, PT bậc hai đã lập Bước 4: Chọn nghiệm thích hợp và trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thoả mãn, trả lời bài toán ban đầu. Bước 5: (tuỳ theo điều kiện: nội dung bài toán, đối tượng HS): Khái quát hóa bài toán (mức độ thấp là đề xuất bài toán tương tự) Một số dạng toán cơ bản (chủ yếu lấy từ những dạng bài toán số học đã học ở tiểu học)  Tìm hai đại lượng khi biết tổng và tỉ.  Tìm hai đại lượng khi biết tổng và hiệu.  Tìm hai đại lượng khi biết tích và hiệu.  Tìm hai đại lượng khi biết tích và tổng.  Tìm hai đại lượng khi biết tỉ số ban đầu và tỉ số sau khi có sự thay đổi của hai đại lượng.  Bài toán về chuyển động.  Bài toán về năng suất.  Bài tập tổng hợp (phối hợp các dạng toán trên). c) Đặc điểm nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình - Nhiều bài toán có liên hệ hoặc gắn với thực tế. - Phạm vi của các bài toán rộng, đòi hỏi người học phải hiểu biết nhiều kiến thức trong các môn học khác như: Vật lí, Hoá học, Sinh học… - Sử dụng đến nhiều kiến thức toán học như: giải phương trình, tính %, tính tần suất, tính nồng độ ... d) Mục tiêu và yêu cầu DH chủ đề  Về kiến thức: - Phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình được đưa về dạng a x + b = 0; - Phương trình tích; - Phương trình chứa ẩn ở mẫu; 26 - Phương trình bậc hai và quy về bậc hai; - Giải bài toán bằng cách lập PT bậc nhất, HPT bậc nhất, PT bậc hai.  Về kỹ năng 1 - Kỹ năng phân tích bài toán, chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn. 2 - Kỹ năng biểu thị các đại lượng khác theo ẩn đã chọn. Từ đó lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. 3 - Kỹ năng giải PT, HPT: dựa trên các PP giải PT bậc nhất, PT bậc hai, HPT, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích, phương trình đưa về dạng bậc nhất, bậc hai. 4 - Kỹ năng đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện của của ẩn để kết luận đúng nghiệm của bài toán. 5 - Kỹ năng khái quát hóa bài toán (mức độ thấp là đề xuất bài toán tương tự) Trong đó, NL MHHTH thể hiện qua các KN 1,2,4,5. e) Chú ý DH - Đặc điểm của các dạng phương trình và cách giải đã tạo nên vị trí rất quan trọng trong nội dung chương trình môn toán trong nhà trường phổ thông, giúp HS nhận thức dược về kiến thức, kỹ năng giải, định hướng về suy luận, phát triển tư duy sáng tạo, khả năng phân tích tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa ... - Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một trọng tâm của đại số 8, 9. Có thể gặp lại ở đây nhiều bài toán ở Tiểu học, chỉ khác là giải bằng PP đại số thay vì PP số học. Nó đòi hỏi khả năng phân tích và trừu tượng hóa các sự kiện cho trong bài toán thành các biểu thức và phương trình. Nó cũng đòi hỏi kỹ năng giải phương trình và lựa chọn nghiệm thích hợp. - Các bài toán trong chủ đề này chủ yếu là toán bậc nhất và toán bậc hai, nghĩa là các bài toán thực tiễn (giả định) dẫn đến phương trình bậc nhất, bậc hai. Tuy nhiên, để kiểm tra được kỹ năng giải phương trình tích (kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử) cũng có thể cho thêm một số rất hạn chế những bài toán đòi hỏi giải phương trình bậc hai không quá phức tạp. 27 1.3.2. Tình hình DH nội dung “Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” ở THCS a) Thuận lợi - Do xã hội phát triển về khoa học kỹ thuật tạo điều kiện tốt về cơ sở vật chất nên HS được học tập trong môi trường có nhiều thuận lợi, HS có cơ hội học hỏi kinh nghiệm, giao lưu với bạn bè về nhiều mặt thông qua các phương tiện truyền thông. - HS được học tập dưới sự chỉ dẫn tận tình và tâm huyết của đội ngũ GV đã được đào tạo một cách chính quy, bài bản. - Nội dung DH phần giải bài toán bằng cách lập phương trình được đưa vào chương trình với một hệ thống kiến thức phù hợp với trình độ của HS. Mặt khác, những kiến thức, PP giải loại toán này đã được chuẩn bị từ bậc tiểu học, thông qua cách tiếp cận giải bằng các PP số học. Đến THCS, khi kiến thức, kỹ năng và tư duy toán học của HS đã tích luỹ, rèn luyện tương đối đầy đủ, đồng thời các em cũng hiểu biết và “va chạm” với thực tế cuộc sống nhiều hơn. Điều đó đặt ra nhu cầu giải quyết những vấn đề thực tiễn, khiến cho HS cần đến công cụ toán học. Có thể nói, giải bài toán bằng cách lập phương trình là một môi trường rất tốt để HS tập luyện thói quen và NL vận dụng môn toán trong thực tế cuộc sống. b) Khó khăn - Xã hội phát triển, HS được tự do tiếp xúc, trao đổi với xã hội xung quanh, dẫn đến những tiêu cực như học sinh chán học, bỏ học, ỷ lại, chưa có ý thức tự học. Trong quá trình học toán, còn khá nhiều HS vận dụng công thức, quy tắc, PP một cách thụ động để giải những dạng bài tập quen thuộc theo lối mòn, thiếu sự sáng tạo, chưa linh hoạt. - Trong các giờ dạy GV đã có ý thức vận dụng PPDH gợi mở để DH nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình.Tuy nhiên, GV còn lúng túng trong việc: + Xác định các hoạt động tương ứng với từng kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình; + Xây dựng hệ thống các câu hỏi gợi mở, dẫn dắt HS tiến hành từng hoạt động; + Giải thích, chỉ dẫn và tập luyện cho HS sử dụng và chuyển đổi đúng đắn 28 ngôn ngữ, ký hiệu. Có thể kể đến một số nguyên nhân: + GV ngại nghiên cứu để đưa ra hệ thống câu hỏi dẫn dắt HS đi tìm lời giải trong việc giải bài tập bằng cách lập phương trình, chưa đưa ra hệ thống bài tập cho HS để vận dụng làm. Thậm chí, có một số không ít GV còn gặp khó khăn trong khả năng của bản thân khi cần vận dụng môn toán vào giải quyết vấn đề thực tế, thiếu hoặc quên những hiểu biết cần thiết ở những môn học khác, không thấy được những biểu hiện và ứng dụng đa dạng của toán học trong cuộc sống. Vì vậy, khi cần dạy cho HS vận dụng toán học vào thực tiễn thì họ ngại ngần, lúng túng, nhiều GV chỉ dạy Toán một cách hàn lâm, bám vào nội dung có sẵn trong SGK, ... + GV chưa hiểu rõ và đầy đủ, chi tiết từng kỹ năng thành phần cần rèn luyện cho HS trong DH dạng toán này. + Do thời gian tiết học bị hạn chế, khối lượng kiến thức khá nhiều. Chương trình toán THCS hiện nay có phần nặng hơn so với chương trình cũ, sách giáo khoa mới đòi hỏi học sinh phải tự tư duy để phát hiện ra bản chất của vấn đề, có kỹ năng phân tích cụ thể nhất định. Dẫn tới một số học sinh nhận thức chậm không thể tiếp thu được nên đã hạn chế cho việc học tập của các em. - Đối với HS khi học nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, mặc dù nọi dung kiến thức không phải quá khó nhưng thời gian được thực hành, vận dụng chưa nhiều nên khi đứng trước một bài toán giải bài toán bằng cách lập phương trình có liên quan đến thực tế thì các em thường tỏ ra lúng túng không xác định được phương hướng để giải bài toán. Mặt khác kỹ năng giải Toán và tính toán cơ bản của một số HS còn rất yếu. - Giải bài toán bằng cách lập phương trình ở lớp 8, 9 đặc biệt là những bài toán khó, phức tạp HS yếu về kỹ năng phân tích bài toán đối với từng dạng tình huống thực tiễn nên không hiểu những dữ kiện ẩn chứa trong vỏ ngôn ngữ thực tế ở đề bài, dẫn đến HS không tìm ra các mối liên hệ giữa chúng, nhiều khi không lập được phương trình, hệ phương trình ... Thậm chí giải sai PT, HPT ... hoặc khi chuyển đổi về dạng ngôn ngữ thông thường để trả lời thì gặp sai lầm. 29 1.3.3. Tình hình vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS 1.3.3.1. Cơ hội vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học toán THCS Theo các kết quả nghiên cứu ở tài liệu [35, tr.54-66] và [36, tr.26-32], trong chương trình sách giáo khoa toán của Việt Nam có tương đối ít các bài toán về mô hình hóa. Bài toán có thể được xây dựng từ vấn đề thực tiễn hoặc từ các vấn đề thuộc các môn học khác như Sinh học, Hóa học hay Vật lý. Sau đó, các công cụ và ngôn ngữ toán học được sử dụng để thiết lập các mô hình. Thực chất đó là là quá trình toán học hóa trong DH. Bài toán sau đó được giải bằng kiến thức toán học. Cuối cùng lời giải được biểu đạt trong ngữ cảnh thực tế ban đầu. 1.3.3.2. Tổ chức khảo sát - Đối tượng 24 GV Toán và 210 HS các lớp 8, 9 thuộc ba trường THCS của huyện Giao Thuỷ, Nam Định: THCS Bình Hòa; Giao Lạc và THCS Giao Hương. - Mục đích khảo sát: Nhận thức của GV và HS về: + Sự cần thiết dạy và học Toán gắn với thực tiễn; + Quan niệm - cấu trúc và biểu hiện của MHHTH; + Vai trò tác dụng của PP mô hình hóa toán học; + Mức độ thường xuyên tìm hiểu và vận dụng môn toán THCS vào thực tiễn - nói riêng là việc sử dụng PP mô hình hóa toán học và việc thiết kế câu hỏi bài tập vận dụng MHH; + Những thuận lợi, khó khăn và dự kiến cách khắc phục khi GV vận dụng PP MHHTH; - Phương pháp khảo sát: Sử dụng phiếu hỏi (phiếu dành cho GV ở phụ lục 1a), (phiếu dành cho HS ở phụ lục 1b). 1.3.3.3 Phân tích kết quả khảo sát Thống kê kết quả từ các phiếu điều tra đối với 24 GV Toán THCS và phiếu hỏi đối với 240 HS lớp 8,9 (ở phụ lục 1), chúng tôi thu được các kết quả sau: a) Kết quả khảo sát đối với GV Biểu đồ 1.1. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng cường liên hệ môn Toán THCS với thực tiễn 30 Rất quan trọng 5% 30% 25% Quan trọng Bình thường 40% Không quan trọng Biểu đồ 1.2. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức môn toán ở trường THCS 20% Rất thường xuyên Thường xuyên 15% 25% 40% Thỉnh thoảng Chưa bao giờ Biểu đồ 1.3. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế các hoạt động giúp HS THCS hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn 15% 10% 20% Rất thường xuyên Thường xuyên Thỉnh thoảng 55% Chưa bao giờ 31 Biểu đồ 1.4. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên sử dụng công nghệ thông tin giúp HS THCS hiểu những mô hình của toán học trong thực tiễn 15% Rất thường xuyên Thường xuyên 15% 25% 45% Thỉnh thoảng Chưa bao giờ Biểu đồ 1.5. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế bài tập, bài kiểm tra theo hướng vận dụng MHHTH để giải quyết bài toán nảy sinh từ thực tiễn Rất thường xuyên Thường xuyên 12% 34% 18% Thỉnh thoảng 36% Chưa bao giờ Biểu đồ 1.6. Tỷ lệ GV đánh giá về tầm quan trọng của MHHTH trong dạy học Toán ở trường THCS Rất quan trọng 12% 34% 18% Quan trọng Bình thường Không quan trọng 36% Biểu đồ 1.7. Tỷ lệ GV đánh giá về tác dụng rèn luyện kỹ năng cho HS THCS của hoạt động mô hình hóa toán học Rất tốt 25% 0% Khá tốt 50% 25% Bình thường Không có tác dụng Biểu đồ 1.8. Tỷ lệ GV đánh giá về những chủ đề môn toán THCS 32 có thể sử dụng PP MHH trong thiết kế các hoạt động dạy học 15% 25% 5% 20% 35% Hàm số Phương trình Thống kê Hệ thức lượng Chủ đề khác Biểu đồ 1.9. Tỷ lệ GV đánh giá về những hiểu biết cần thiết của GV để vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Toán học 5% 18% 20% Môn Toán phổ thông Môn học khác 12% Hiểu biết thực tế 45% Kiến thức khác Biểu đồ 1.10. Tỷ lệ GV đánh giá, nhận thức về thành phần của năng lực mô hình hóa trong môn toán 26% 36% 17% 21% Rất cần thiết Cần thiết Bình thường Không cần thiết Biểu đồ 1.11. Tỷ lệ GV đánh giá về sự cần thiết phát triển năng lực mô hình hóa trong dạy học toán ở THCS 26% 36% 17% 21% b) Nhận xét đối với GV 33 Rất cần thiết Cần thiết Bình thường Không cần thiết Căn cứ vào các câu trả lời ở phiếu điều tra dành cho GV (các câu hỏi từ 12 đến 16); cùng với thông tin thu được từ quan sát, dự giờ, phỏng vấn GV, chúng tôi rút ra một số nhận xét như sau về những vấn đề liên quan đến GV: + Về nội dung môn toán (thể hiện ở chương trình SGK): Toán học vốn là khoa học trừu tượng cao nên việc gắn với thực tiễn không hề đơn giản, đòi hỏi GV phải có hiểu biết sâu rộng nhiều lĩnh vực, và không phải bất cứ kiến thức toán học nào cũng có thể xây dựng được tình huống bài toán gắn với thực tiễn (ở tầm và phạm vi mà HS THCS có thể hiểu được). Trong khi đó: nội dung môn toán trong chương trình SGK hiện nay còn tương đối nặng nề (nhiều tri thức toán học khó); đồng thời trình bày còn khá hàn lâm và viết cô đọng, thậm chí chưa thực sự đồng bộ gắn kết với các môn học khác. Điều đó khiến cho việc lựa chọn, xây dựng, lồng ghép tình huống thực tiễn vào môn toán càng trở nên khó khăn, ... + Về lựa chọn nội dung chủ đề phù hợp với PP MHH: Đa số (75%) GV lựa chọn (ở câu hỏi 8) được những chủ đề gần gũi, thuận lợi để MHHTH như: - Hàm số và đồ thị; Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; - Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình; - Thống kê; - Hình học (phẳng và không gian) Về PPDH toán của GV: Một số GV còn thiếu sự trao dồi kiển thức về chuyên môn nên chưa có PPDH phù hợp với nội dung kiến thức, thường vẫn sử dụng những PPDH truyền thống như thuyết trình, giảng giải, vấn đáp giản đơn ... mà thiếu sự tìm hiểu, vận dụng những mô hình, cách thức DH mới: ít sử dụng vấn đáp gợi mở, tạo tình huống có vấn đề, ... Về nhận thức và kỹ năng sử dụng PP MHH của GV Toán THCS: - Có không ít GV chưa nắm được, hoặc không hiểu rõ cách thức thực hiện PP MHH ... nên gặp khó khăn, lúng túng khi muốn vận dụng. Điều đó dẫn đến động cơ cũng như khả năng áp dụng PP MHH hạn chế: bản thân GV không nắm được PP, ngại thay đổi, thiếu kỹ năng thực hành vận dụng PP MHH ... hoặc sử dụng không hiệu quả. - GV đánh giá về những khó khăn khi vận dụng PP mô hình hóa: 34 Nhiều GV cũng muốn sử dụng PP MHH, tuy nhiên họ đều cho biết là khó khăn lớn nhất là Toán học là kết quả của quá trình trừu tượng hóa nhiều lần và nhiều tầng từ thực tiễn. Mặt khác, do yêu cầu sư phạm, môn Toán trong chương trình SGK Toán THCS chỉ trình bày rất cô đọng và hạn chế cả về nội dung kiến thức và phương pháp toán học. Vì vậy, việc tìm được một bài toán thực tế để đưa vào MHH đối với HS THCS là không hề dễ dàng. Đa số các GV cũng thừa nhận cả GV và HS cũng cần bổ sung thêm những kiến thức ở ngoài môn Toán THCS mới có thể vận dụng được PP MHH. Ngoài ra cũng cần đầu tư thêm phương tiện, cơ sở vật chất để phục vụ dạy học Toán, nói riêng là áp dụng MHH toán học. c) Kết quả khảo sát đối với HS Biểu đồ 1.12. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn trong học Toán ở THCS. 5% 8% 21% 66% Rất cần thiết Cần thiết Bình thường Không cần thiết Biểu đồ 1.13. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với môn toán ở trường THCS. 9% 35% 17% Rất thường xuyên Thường xuyên Thỉnh thoảng 39% Chưa bao giờ Biểu đồ 1.14. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ thường xuyên được tiếp xúc với các bài tập, bài kiểm tra có yêu cầu vận dụng mô hình hóa toán học 35 Rất thường xuyên Thường xuyên 11% 24% 21% Thỉnh thoảng 44% Chưa bao giờ Biểu đồ 1.15. Tỷ lệ HS đánh giá nội dung môn Toán THCS gần gũi nhất với thực tế 5% Thống kê Phương trình 10% 20% 65% Hàm số Chủ đề khác d) Nhận xét đối với HS Căn cứ vào các câu trả lời ở phiếu hỏi dành cho HS; cùng với thông tin thu được từ quan sát, dự giờ, phỏng vấn HS, chúng tôi rút ra một số nhận xét như sau: Về nội dung môn toán gắn với thực tiễn, chủ yếu (65%) ý kiến của HS (thể hiện ở câu hỏi 7) cho rằng chủ đề thống kê là gần gũi nhất, sau đó đến hình học và tiếp theo là phương trình, hệ phương trình và hàm số. Về PP học tập của HS: HS chưa chủ động tích cực, tự giác do lâu nay quen học thụ động: nghe và ghi chép, làm theo mẫu, ... - Về phía HS cũng gặp một số khó khăn trước yêu cầu học toán gắn với thực tiễn (câu hỏi 5 và câu hỏi 6): + Hạn chế về vốn tri thức hiểu biết tổng hợp và năng lực ngôn ngữ nên không hiểu tình huống thực tiễn; + Hạn chế cả về kiến thức thực tế và toán học nên lúng túng khi cần mô hình hóa toán học; + Một số em còn gặp khó khăn ngay cả việc giải các PT, HPT sau khi đã MHHTH được. + Việc chuyển từ tình huống thực tế sang mô hình toán học các em còn gặp phải khó khăn cả về ngôn ngữ toán học. Về nhận thức và kỹ năng MHH của HS THCS: 36 Hầu hết HS đều không rõ thế nào là MHH, mặc dù đã có những khi được học giải bài toán có nội dung thực tiễn. Về kỹ năng MHH của HS còn yếu: các em lúng túng khi cần chuyển tình huống thực tiễn về mô hình toán học và phát hiện được công cụ toán học để giải quyết. 1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Chương 1 đã trình bày những kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn, bao gồm: Hệ thống hóa được một số vấn đề về cơ sở lý luận của đề tài: - Cụ thể hóa một số khái niệm: mô hình toán học, mô hình hóa, mô hình hóa toán học, toán học hóa, năng lực mô hình hóa, phương pháp mô hình hóa. - Tìm hiểu mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn; - Vai trò của PP MHH trong trong DH Toán; - Cụ thể hóa quy trình vận dụng PP MHH trong DH Toán. Tìm hiểu thực trạng DH nội dung giải bài toán bằng cách lập PT, HPT: - Kết quả dạy và học chủ đề, trong đó có yêu cầu gắn môn Toán với thực tiễn; - Tình hình sử dụng PP MHH trong DH chủ đề này (những khó khăn và nguyên nhân). Những kết quả nghiên cứu về lý luận và thực tiễn ở chương 1 cho thấy: - PP MHH có nhiều ưu điểm trong DH toán nhằm thực hiện đổi mới giáo dục tập trung vào phát triển năng lực HS. Đặc biệt là năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn. - Nội dung “giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” được đưa vào môn toán THCS với nội dung và thời lượng không nhiều. Tuy nhiên đây là một nội dung toán học có nhiều cơ hội để GV và HS liên hệ với thực tiễn, tạo điều kiện khá tốt để vận dụng PP MHH. Thực trạng dạy và học chủ đề này hiện nay ở trường THCS cho thấy vẫn còn những khó khăn, bất cập hạn chế về nhiều phía ... Những kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn này giúp chúng tôi rút ra kết luận: cần thiết và có cơ hội vận dụng PP MHH để thực hiện đổi mới PPDH, góp phần phát triển năng lực vận dụng thực tiễn của HS, nâng cao chất lượng DH nội dung này ở trường THCS. 37 Chương 2 - THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1. ĐỊNH HƯỚNG VÀ NGUYÊN TẮC THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA 2.1.1. Định hướng Để thiết kế hoạt động MHHTH, chúng tôi tiến hành theo định hướng: 1 - Lựa chọn, sưu tầm, tìm hiểu và khai thác một số tình huống thực tiễn có ngữ cảnh gắn với bài toán giải bằng cách lập PT, HPT trong SGK, sách bài tập, tài liệu tham khảo và các nguồn tài liệu trên mạng; 2 - Xây dựng mô hình toán học (sử dụng mô hình theo Nguyễn Danh Nam [14]) - ở đây là dạng bài toán giải bằng cách lập PT, HPT. 3 - Dựa trên 6 nguyên tắc và 7 bước thiết kế hoạt động MHH (tham khảo [14]). 2.1.2. Nguyên tắc Trong PP MHH, một khâu mang tính quyết định là thiết kế hoạt động MHHTH. Theo Lesh & Doerr, 2003 (dẫn theo [14, trang 120-121]), thiết kế hoạt động MHH dựa trên 6 nguyên tắc: Nguyên tắc 1: Nguyên tắc xây dựng mô hình; Nguyên tắc 2: Nguyên tắc thực tế; Nguyên tắc 3: Nguyên tắc tự đánh giá; Nguyên tắc 4: Nguyên tắc xây dựng tài liệu; Nguyên tắc 5: Nguyên tắc chia sẻ, khái quát hóa; Nguyên tắc 6: Nguyên tắc hiệu quả, đơn giản. Vận dụng trong thực tế DH Toán THCS ở Việt Nam, chúng tôi tập trung vào 3 nguyên tắc sau đây khi thiết kế hoạt động MHHTH: Nguyên tắc 1: Các hoạt động MHH vừa phải đảm bảo tính khoa học, chính xác, chặt chẽ của toán học nhưng cũng cần bám sát nội dung chương trình SGK và nhất là khả năng ứng dụng vào thực tiễn của kiến thức và phương pháp mà HS được học trong môn toán ở THCS. 38 Nguyên tắc 2: Các hoạt động MHH phải chú trọng rèn luyện thói quen và kỹ năng giải quyết vấn đề thực tế cho HS. Nguyên tắc 3: Các hoạt động MHH phải có tính khả thi và tính vừa sức (cả về vốn kiến thức và khả năng nhận thức) với đối tượng HS đồng thời phù hợp với phương tiện, điều kiện dạy và học môn toán ở THCS. Các hoạt động và bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Việc HS tự mình giải quyết được một bài toán có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm cho HS mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình tổ chức hoạt động tiếp theo. Do đó, trong khi thiết kế các hoạt động và hệ thống bài tập MHH, GV cần chú ý đến các các cấp độ sau đây: - Cấp độ 0: HS không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề. - Cấp độ 1: HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và đơn giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào. - Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học. - Cấp độ 3: HS có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch nó thành vấn đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong thế giới toán học. - Cấp độ 4: HS có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn, làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể. - Cấp độ 5: HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho. Tùy từng đối tượng HS mà GV giao nhiệm vụ ở những cấp độ phù hợp, vừa sức, đảm bảo đúng trình độ của HS nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt động MHH vấn đề thực tiễn trong dạy học môn Toán. 2.2. THIẾT KẾ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA 2.2.1. Chủ đề 1: Phương trình bậc nhất một ẩn Ví dụ 2.1: Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP thuộc PT, HPT. 39 Tình huống: Giao thông (đường bộ, đường thuỷ, ...) với các phương tiện khác nhau, vận tốc khác nhau, quãng đường cũng có thể khác nhau, ... Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết; Lược bỏ những chi tiết không bản chất toán học để đưa về dạng toán giải PT, HPT Bài có hai phương tiện tham gia chuyển động là Ca nô và Ô tô. Hướng dẫn học sinh lập bảng gồm các dòng, các cột như trên hình vẽ. Cần tìm vận tốc của chúng. Vì thế có thể chọn vận tốc của ca nô hay ô tô làm ẩn x (x>0). Từ đó điền các ô thời gian, quãng đường theo số liệu đã biết và công thức nêu trên. Vì bài toán đã cho thời gian nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường. Công thức lập phương trình: Sôtô -Scanô = 10 Bảng 2.1. Bảng tổng hợp thời gian - vận tốc - quãng đường của Ca nô và Ô tô t(h) Ca nô 3h20'= Ô tô 10 h 3 2 v(km/h) S(km) x 10 x 3 x+17 2(x+17) Bước 3: Xây dựng bài toán Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ AB là 10km, từ A đến B ca nô đi hết 2 giờ 20 phút, còn ô tô đi hết 2 (giờ). Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17 km mỗi giờ. Tính vận tốc của ca nô và ô tô? Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT bậc nhất Dùng PP giải bài toán bằng cách lập PT, HPT Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0). Vận tốc của ô tô là: x+17 (km/h). Quãng đường ca nô đi là: 10 x (km). 3 Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17) (km). Vì đường sông ngắn hơn đường bộ 10km nên ta có phương trình: 2(x+17) - 10 x =10. Giải phương trình ta được x = 18 (thỏa mãn ĐK). 3 Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu; 40 - Mặt cú pháp: Quy tắc giải phương trình bậc nhất - Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chưa biết thỏa mãn một đẳng thức dựa trên tính chất của các phép tính. - Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời Vậy vận tốc ca nô là 18 (km/h) và vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35 (km/h). (Hình 2.1.) Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác - Mô hình bài toán chuyển động, đưa về lập và giải phương trình bậc nhất. Hình 2.1 - Vận dụng tương tự: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33km với vận tốc xác định. Khi đi từ B đến A, người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29km, nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h.Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1h30'? 2.2.2. Chủ đề 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Ví dụ 2.2: Tìm vận tốc và chiều dài của một đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây. Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Tình huống: Chuyển động của tàu hỏa khi vào và ra khỏi ga. Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết; Xem xét mối quan hệ giữa quãng đường - thời gian - vận tốc của chuyển động; xác định đường lối đưa về mô hình toán học phương trình, hệ phương trình. Bước 3: Xây dựng bài toán Gọi x (m/s) là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga (x>0), gọi y (m) là chiều dài của đoàn tàu (y>0). 41 Tàu chạy ngang ga mất 7 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) mất 7 giây. Ta có phương trình: y = 7x (1) Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) mất 25 giây. Ta có phương trình: y + 378 = 25x (2) y  7x  y  378  25 x Kết hợp (1) và (2) ta được hệ phương trình  Như vậy, chúng ta đã chuyển được về bài toán: y  7x  y  378  25 x Giải hệ phương trình  (bài toán 1) Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập HPT bậc nhất hai ẩn Giải hệ phương trình bằng PP thế, ta có: x=21 ; y= 147 (thỏa mãn ĐK) (Hình 2.2) Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu; - Mặt cú pháp: Quy tắc giải HPT bậc nhất hai ẩn - Mặt ngữ nghĩa: Tìm 2 số chưa biết thỏa mãn hai đẳng thức dựa trên tính chất của các phép tính. Hình 2.2 - Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21m/s, Chiều dài của đoàn tàu là: 147m Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác - Mô hình bài toán chuyển động, đưa về lập và giải phương trình bậc nhất. - Vận dụng tương tự: Có thể thay thế tàu hỏa bởi ô tô, tàu thuỷ hoặc phương tiện giao thông khác và giữ nguyên các dữ kiện con số; hoặc chuyển sang dạng bài toán về diện tích của vật hình chữ nhật (cũng có mối quan hệ S = ab tương tự với S = vt). Bài toán 2: 42 Tìm vận tốc và chiều dài của một chiếc tàu thuỷ biết con tàu ấy chạy ngang qua bến Ninh Kiều (Cầu Thơ) tính từ mũi tàu đến đuôi tàu mất 7 giây. Cho biết bến tàu dài 378m và thời gian kể từ khi mũi tàu bắt đầu vào bến cho đến khi đuôi tàu rời khỏi bến là 25 giây. Bài toán 3: Một xe công - ten - nơ chạy ngang qua một trạm soát vé tự động (không dừng) mất 2 giây. Cho biết chiều dài toàn bộ của trạm 30 m và thời gian kể từ khi đầu xe bắt đầu đi vào trạm cho đến khi đuôi xe rời khỏi trạm là 3 giây. Tìm vận tốc và chiều dài của xe công - ten - nơ? 2.2.3. Chủ đề 3: Phương trình bậc hai một ẩn Ví dụ 2.3: Tình huống thực tế dẫn đến lập và giải phương trình bậc hai Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP thuộc phương trình bậc hai. Tình huống: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 4 m và diện tích bằng 320 m2. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất (Toán 9, tiết 54) Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết; (Hình 2.3) Bước 3: Xây dựng bài toán x+4 - Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là x (m), x > 0 thì chiều dài sẽ là (x + 4) x - Diện tích mảnh vườn là 320 m2 nên ta có phương trình: x(x + 4) = 320  x + 4x - 320 = 0 2 4 Hình 2.3 - Ta có bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn x2 + 4x - 320 = 0 (bài toán 1). Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai ' = 22 + 320 =324 =>  ' = 18 x1 = -2 - 18 = -16 (loại vì không thoả mãn ĐK) x2 = -2 + 18 = 16. Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu; - Mặt cú pháp: Quy tắc giải phương trình bậc hai - Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chưa biết thỏa mãn đẳng thức dựa trên tính chất của các phép tính. 43 - Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời. Chiều rộng mảnh vườn là 16m; khi đó chiều dài là 16+4 = 20 (m) Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác - Mô hình bài toán diện tích hình chữ nhật, đưa về lập và giải phương trình bậc hai. - Vận dụng tương tự: Có thể xây dựng bài toán tương tự về chuyển động, năng suất lao động, nhiệt lượng tỏa ra trong dây dẫn tỷ lệ với bình phương dòng điện chạy qua trong Vật lý, .... Bài toán 2: (Dạng tình huống công việc làm chung - làm riêng) Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó? Ví dụ 2.4: Tình huống thực tiễn ở môn học khác làm xuất hiện nhu cầu dẫn đến phương trình bậc hai: MHH để hình thành PT bậc hai trong môn Toán như sau: Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP thuộc phương trình bậc hai. Tình huống: Trong cuộc sống, một dây dẫn có dòng điện chạy qua sẽ sinh ra nhiệt lượng, người ta đo đạc được nhiệt lượng đó tỷ lệ với điện trở, thời gian và cường độ dòng điện. Vậy làm như thế nào để tính được nhiệt lượng? tính được cường độ dòng điện? ... Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết; Tình huống trên được nghiên cứu trong Vật lý, và người ta biết nhiệt lượng (Jun) toả ra ở một dây dẫn có điện trở cố định R (ôm) trong thời gian t (giây) phụ thuộc vào cường độ dòng điện I (ampe) theo công thức: Q = 0,24 I2Rt. Hãy tính xem khi người ta cần đến một nhiệt lượng 216 jun trong thời gian 1 giây đối với một điện trở R = 100 ôm thì cần đến dòng điện I là bao nhiêu ampe? Bước 3: Xây dựng bài toán - Gọi x (x>0) là cường độ dòng điện cần tìm, khi đó ta thay thế các giá trị đã biết vào công thức Vật lý Q = 0,24 I2Rt thu được: 216 = 0,24 x2 100 1 - Ta có bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn 24x2 = 216 hay x2 = 9 44 Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai Dùng quy tắc giải phương trình bậc hai, ta tìm được 2 nghiệm x =  3 (Hình 2.4) Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu; - Mặt cú pháp: Bài toán giải phương trình bậc hai, 2 nghiệm là 3, đối chiếu với điều kiện ta có một nghiệm x = 3; - Mặt ngữ nghĩa: Tìm hai số có bình phương bằng 9. Hình 2.4 - Ý nghĩa thực tế: chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời: cần cường độ dòng điện I = 3 (Ampe) để thỏa mãn yêu cầu tình huống ban đầu. Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác - Mô hình bài toán Vật lý về quan hệ giữa nhiệt lượng - điện trở - cường độ dòng điện và thời gian. - Vận dụng thực tế: Có thể thiết kế bài tập tương tự dẫn đến phương trình bậc hai. 2.3. VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THCS 2.3.1. Biện pháp 1: Sử dụng PP MHH để gợi động cơ mở đầu. 2.3.1.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp GĐC học tập là một thành tố cơ sở của PPDH. Qua tham khảo tác giả Nguyễn Bá Kim [12], (2015): “GĐC là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động và của đối tượng hoạt động. GĐC nhằm làm cho những mục tiêu sư phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân HS, chứ không phải chỉ là sự vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức ... GĐC không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri thức nào đó (thường là một bài học), mà phải xuyên suốt quá trình DH” [12, tr. 131 – 132]. Trong môn Toán có ba giai đoạn GĐC đó là: GĐC mở đầu, GĐC trung gian, GĐC kết thúc. 45 GĐC mở đầu là GĐC cho bước đặt vấn đề vào một vấn đề mới. Như vậy trong DH Toán GV có thể và cần thiết GĐC mở đầu khi đặt vấn đề tìm hiểu một chương, một bài, một mục, một khái niệm, một định lí, hay một qui tắc, một PP TH mới. Theo Nguyễn Bá Kim: “Thông thường khi bắt đầu một nội dung lớn, chẳng hạn một phân môn hay một chương, ta nên cố gắng GĐC xuất phát từ thực tế. Còn đối với từng bài hay từng phần của bài thì cần tính tới khả năng GĐC từ nội bộ TH” [12, tr. 134]. Như vậy, tác dụng của GĐC trong DH Toán là tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, kích thích hứng thú học tập cho HS, đảm bảo thu hút HS vào quá trình học tập và duy trì tính tích cực trong quá trình nhận thức học tập môn Toán. Các cách gợi động cơ trong môn Toán và quan điểm vận dụng GĐC theo hướng gắn TH với TT là dùng TT để GĐC, như đã trình bày ở mục 1.1.2 TT ở đây có ba loại: TT từ nội bộ TH, TT từ khoa học khác, TT từ đời sống. Chúng tôi vận dụng lí luận vào GĐC mở đầu gắn TH với TT như sau: +) GĐC từ nhu cầu trong nội bộ TH: lấy chính nhu cầu có thật của TH ra để làm TT nảy sinh kiến thức, ở đây là chúng ta sử dụng kiến thức cũ để đặt vấn đề cho kiến thức mới xem nhu cầu đó là một TT dẫn đến việc cần có kiến thức, PP TH mới. +) GĐC từ nhu cầu ở khoa học khác: từ nhu cầu kiến thức của các khoa học khác cần phải sử dụng kiến thức và PP toán học. +) GĐC từ nhu cầu thực tế đời sống: từ thực tế đời sống có nhiều tình huống cần phải sử dụng đến công cụ TH mới giải quyết được. 46 2.3.1.2. Cách thức thực hiện biện pháp Ở đề tài này, trong DH giải bài toán bằng cách lập PT, HPT chúng tôi quan tâm đến sử dụng PP MHH để thực hiện GĐC bằng việc sử dụng những tình huống TH gắn với TT. Để thực hiện điều đó chúng tôi có sử dụng những cách sau: a) Gợi động cơ từ nhu cầu thực tế phát triển của chính toán học Theo [12], GĐC xuất phát từ nội bộ TH có các cách: đáp ứng nhu cầu xóa bỏ sự hạn chế; hướng tới sự tiện lợi, hợp lí hóa công việc; chính xác hóa một khái niệm; hướng tới sự hoàn chỉnh và hệ thống; lật ngược vấn đề; xét tương tự; khái quát hóa; tìm sự liên hệ và phụ thuộc; tìm sai lầm, phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa sai lầm. Thường những cách trên dùng để GĐC mở đầu. Ngoài ra còn có GĐC xuất phát từ thực tế được sử dụng ở cả ba khâu GĐC. Ví dụ 2.4: Gợi động cơ mở đầu (hoặc kết thúc) khi dạy hàm số bậc nhất GV mô tả một tình huống quan sát thực tế khi chúng ta đi tàu hỏa: Tại sao khi đi tàu hỏa, hành khách thường nghe thấy những âm thanh tiếng động phát ra một cách đều đặn? Nhưng khi đi bằng ô tô thì tại sao chúng ta không thấy loại âm thanh giống như vậy? GV dùng câu hỏi dẫn dắt để HS phát hiện được: Đường tàu hỏa được tạo ra bằng cách ghép nối giữa các thanh ray. Vấn đề là tại sao cần phải để hở một khoảng cách nhất định giữa hai thanh ray? Phân tích dẫn đến kiến thức liên môn Vật lý “sự giãn nở vì nhiệt độ thay đổi” ... Từ đó đặt câu hỏi “Cần phải để hở một khoảng cách tối thiểu bao nhiêu và tối đa là bao nhiêu?”, dẫn đến nhu cầu xét giá trị của biểu thức ax+b, trong đó a là hệ số giãn nở vì nhiệt, b là chiều dài ban đầu của thanh ray, x là khoảng biến thiên nhiệt độ ... Để trả lời câu hỏi trên, chúng ta cần đến một kiến thức mới của toán học - đó là hàm số bậc nhất. +) GĐC bằng cách qui lạ về quen: GV yêu cầu HS liên hệ giữa giả thiết của bài toán với tri thức đã học, liên hệ tri thức cần giải quyết với những tri thức cũ tương tự bằng cách có thể đặt ra những câu hỏi: Em đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác? Khi HS đã nhớ lại được bài toán liên quan mà các em đã có lần giải rồi, GV đặt câu hỏi tiếp: có thể sử dụng bài toán đó được không? Hãy sử dụng PP giải 47 bài toán đó? Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới áp dụng được bài toán đó không? Ví dụ 2.5: Khi dạy giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, xuất phát từ bối cảnh HS đã biết một tình huống quen thuộc là các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn, GV gợi ý để đưa tình huống mới bài toán và các bước giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn về bối cảnh quen thuộc như đối với phương trình bậc nhất một ẩn: Phương trình bậc nhất một ẩn Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Bước 1: Chọn ẩn số, đơn vị và đặt điều Bước 1: Chọn hai ẩn số, đơn vị và đặt kiện thích hợp cho ẩn số. điều kiện thích hợp cho các ẩn số. Bước 2: Lập một phương trình với ẩn đã Bước 2: Lập các phương trình với hai ẩn chọn: đã chọn: - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. hai ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình một ẩn biểu thị mối - Lập hệ gồm hai phương trình hai ẩn quan hệ giữa các đại lượng. biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 3: Giải PT bậc nhất một ẩn theo Bước 3: Giải HPT bậc nhất hai ẩn theo quy tắc đã học. PP đã học (PP cộng; PP thế). Bước 4: Chọn nghiệm thích hợp và trả Bước 4: Chọn nghiệm thích hợp và trả lời với chú ý: Mỗi nghiệm của PT là chỉ lời với chú ý: Mỗi nghiệm của HPT là là một số x0 nào đó thỏa mãn PT. một cặp số (x0;y0) thỏa mãn HPT. b) GĐC xuất phát từ môn học khác Ví dụ 2.6: Từ tình huống môn Hóa học (Chương 3 - Hóa học 8): Phương trình phản ứng và tính số mol theo phương trình phản ứng, GV Toán có thể gợi động cơ như sau: + Gợi động cơ mở đầu khi dạy khái niệm phương trình: Từ tình huống phản ứng Hóa học giữa một Axit tác dụng với một Bazo tạo ra muối C và nước (D), sau khi viết được H2SO4 + NaOH  Na2SO4 + H2O. GV đặt vấn đề làm như thế nào để 48 cân bằng được phương trình phản ứng? Vì khối lượng các chất tham gia phản ứng và khối lượng các chất thu được sau phản ứng là bằng nhau, nên đối chiếu với hóa trị của các chất có mặt trong phản ứng ... ta cần xác định được các hệ số đối với H2SO4 ; NaOH ; Na2SO4 ; H2O để cân bằng về mặt hóa trị ... Từ đó cần đến công cụ phương trình ... và tìm được H2SO4 + 2NaOH = Na2SO4 + 2H2O + Gợi động cơ mở đầu khi dạy tỷ lệ thức; hoặc đại lượng tỷ lệ thuận; hoặc PT: Theo phương trình phản ứng thì ta có mối quan hệ tỷ lệ thuận giữa số mol của Chất A với số mol của Chất C thu được ... Từ đó dẫn đến nhu cầu tìm đại lượng thứ tư khi biết 3 đại lượng trong mối liên hệ theo tỷ số bằng nhau: a/c = a1/c1. Bài toán này cần đến công cụ giải bằng cách lập phương trình ... c) GĐC xuất phát từ thực tế đời sống Ví dụ 2.7: GV đưa ra tình huống thực tế về quá trình xây dựng cổng trường THCS Giao Lạc huyện Giao Thuỷ, Nam Định. Cổng có hình dạng một parabol (Hình 2.5) Giả sử lập một hệ tọa độ Oxy (Hình 2.5) sao cho đỉnh O của parabol trùng với gốc tọa độ, và parabol có phương trình là y = - x2. Người ta tính rằng: Cổng Parabol cần có thiết kế sao cho điểm cao nhất cách mặt đất 2,5 m; và nhà trường có thể chuyển được một kiện thiết bị có dạng một khối hộp chữ nhật kích thước 2m  Hình 2.5 2m  1,5 m vào trong trường. Khi đó khoảng cách nằm ngang dọc theo mặt đất giữa hai cạnh của cổng cần để bao nhiêu mét? Ở đây có thể dùng hàm số y = - x2 để tính toán: Ta có OH = 2,5m nên điểm H (0;-2,5). Thay y = - 2,5 vào y = - x2 thì tìm được x =  2,5   1,6. Từ hình vẽ 2.4, ta có khoảng cách MN cần lớn hơn 3,2 m. 49 2.3.2. Biện pháp 2: Sử dụng PP MHH trong DH kiến thức mới. 2.3.2.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp Khi hình thành kiến thức mới, để hiểu rõ và có hứng thú học tập cũng như thấy được lợi ích tác dụng của kiến thức toán học, HS cần biết đến nguồn gốc của kiến thức đó trong thực tiễn. Vì vậy PP MHH sẽ giúp cho GV và HS xây dựng kiến thức mới bằng cách tìm hiểu nhu cầu, hoàn cảnh thực tế dẫn đến kiến thức - “gần giống với hoàn cảnh, con đường, cách thức” mà loài người đã tìm đến, thu được kiến thức đó trong lịch sử. Sau đó GV tổ chức HS khái quát hóa để có kiến thức, quy luật toán học (điều đó cũng tương tự như quá trình loài người hình thành kiến thức toán học đó trong lịch sử). 2.3.2.2. Cách thức thực hiện biện pháp Việc sử dụng PP MHH hỗ trợ hình thành kiến thức mới cần được tiến hành đồng bộ với những PPDH (cả truyền thống và không truyền thống) thường được dùng trong môn Toán. Điểm lưu ý ở đây chỉ là: PP MHH lồng ghép vào đặt trong sự kết hợp các PPDH, với mục đích, tác dụng cụ thể là “giúp HS được tiếp cận với kiến thức không phải là ở dạng có sẵn, mà tìm tòi phát hiện kiến thức mới trong những tình huống có nội dung, nguồn gốc từ thực tiễn. Khi đó, GV phối hợp sử dụng các PPDH với PP MHH để thiết kế, khai thác những tình huống thực tiễn, tổ chức hướng dẫn HS học kiến thức mới theo con đường khám phá, GQVĐ. Minh họa thông qua hình thành phương trình bậc nhất và PP giải Ví dụ 2.9: Tình huống thực tiễn về chuyển động với các vận tốc khác nhau. a) Tình huống thực tiễn: Một ôtô dự định đi quãng đường AB dài 60km trong một thời gian nhất định. Trên nửa quãng đường đầu, do đường xấu nên mỗi giờ ôtô chỉ đi được với vận tốc ít hơn dự định là 6km. Để đến B đúng dự định, trên nửa quãng đường còn lại, ôtô cần phải đi với vận tốc cao hơn dự định 10km mỗi giờ. Tìm thời gian dự kiến ban đầu để ôtô đi hết quãng đường. b) Mô hình hóa toán học: Nếu ta đặt ẩn là cái cần tìm (thời gian dự định) thì phương trình lập được rất cồng kềnh. Ta thay đổi bằng cách đặt ẩn phụ là vận tốc dự định. Khi đó việc phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số dễ dàng hơn. Tìm được vận tốc dự định ta có 50 ngay thời gian vì đã biết quãng đường. Vậy ở bài toán này ta tiến hành MHHTH như sau: - Vận tốc dự định của ôtô là x (x>0). Khi đó lượng thời gian dự định đi sẽ là ( 30 60 ) . Vận tốc thực ở nửa quãng đường đầu sẽ là (x-6) và thời gian đi là x6 x - Vận tốc cần đi ở nửa quãng đường sau là (x+10) và thời gian cần đi nửa quãng đường sau là phải có: 30 . Như vậy, để đến được B đúng thời điểm dự kiến thì x  10 30 30 60   x  6 x  10 x (1) c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán: Phương trình (1) là ở dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu. Ta biến đổi đưa về dạng phương trình bậc nhất 3x-90 = 0 và tìm được x=30. (Hình 2.6) d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời: Vì quãng đường là 60 km mà vận Hình 2.6 tốc dự kiến là 30 (km/h) nên suy ra thời gian dự định là 60/30 = 2 giờ. Như vậy, ban đầu người ta dự định mất khoảng thời gian 2 giờ để vượt qua quãng đường AB. Ví dụ 2.10: a) Tình huống thực tiễn: GV đưa ra tình huống: Ở một khu du lịch có dự kiến trang bị hệ thống cáp treo để chở khách tham quan. Qua khảo sát thì có thể lắp đặt được 36 cabin gồm 2 loại cabin: loại chở được 2 người và loại chở được 4 người. Thời gian để mỗi cabin di chuyển hết một vòng là 1 giờ. Để mỗi giờ công ty du lịch chở được tối đa 100 khách thì phải lắp mỗi loại cabin bao nhiêu chiếc? (Hình 2.7) b) Mô hình hóa toán học: GV vấn đáp HS để phân tích tình huống và tiến hành MHHTH như sau: - Nếu ta xem x là số cabin chở được 2 người thì 36  x là số ca bin chở được 4 người. Chú ý: x phải là số nguyên không âm (x0). 51 - Số người do 36 cabin chở được là 2 x   36  x  4. Khi đó, chúng ta có bài toán: Tìm x sao cho 2 x   36  x  4. = 100 (thực chất là giải phương trình bậc nhất). c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán: Hình 2.8 Hình 2.7 Đây là dạng toán giải phương trình. Biến đổi phương trình, ta có: 2x = 144 100 = 44, tức là x = 22 (thỏa mãn điều kiện thực tế đặt ra ban đầu ở tình huống). Chú ý: Thực chất, bài toán này chính là một dạng biểu đạt khác đi của bài toán cổ “Gà, Chó” ... Ở đây GV cũng có thể đưa về dạng bài toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (x - số cabin chở 2 người; x - số cabin chở 4 người): x+y = 36 (1) và 2x+4y = 100 (2) Nhờ vậy, GV dùng được hình ảnh đồ thị để giải thích bản chất của kết quả tìm được (Hình 2.8). d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời: Và nhờ vậy, ta có thể trả lời được câu hỏi ban đầu: Cần lắp đặt 22 cabin loại chở được 2 người và 36-22 = 14 cabin loại chở được 2 người. Nhờ công cụ toán học, ta tính được số cabin của từng loại và lượng người chở được (ở đây là 100) ăn khớp với số lượng cabin, nhờ thế mà khai thác được tối đa năng suất của mỗi cabin, không thừa, cũng không thiếu. e) Hình thành kiến thức mới: 52 Sau khi phân tích và giải được bài toán, GV gợi ý HS so sánh, đối chiếu với bài toán “Gà, chó” giải bằng PP số học đã học ở tiểu học để thấy ta có thể giải bài toán theo cách trên một cách đơn giản, ngắn gọn hơn. GV tóm tắt lại quá trình giải và giúp HS rút ra khái niệm về phương trình bậc nhất một ẩn cùng với cách giải loại phương trình mới này. Minh họa thông qua hình thành kiến thức về phương trình bậc hai và PP giải Ví dụ 2.11: Tình huống thực tiễn về năng suất, thời gian và tổng sản phẩm Một xí nghiệp lắp máy dự định sản suất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do thi đua xí nghiệp đó đã tăng năng suất thêm 1 sản phẩm mỗi ngày và do đó đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày. Tính năng suất dự định ban đầu của xí nghiệp đó. Trước hết ta có thể hướng dẫn học sinh kí hiệu x là năng suất dự kiến của xí nghiệp (ở đây điều kiện x là số nguyên dương). Bằng cách gọi ra mối liên hệ “năng suất dự kiến cộng thêm 1 bằng năng suất thực tế, ta có thể biểu thị năng suất thực tế qua năng xuất dự kiến là x+1. Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối liên hệ “Tổng sản lượng bằng năng suất nhân với thời gian sản xuất", các em biểu thị được thời gian dự kiến là tế là 120 và thời gian sản xuất sẽ thực x 120 . x 1 Bằng cách gợi ý mối liên hệ “Thời gian dự kiến bớt đi 6 ngày bằng thời gian sản xuất thực tế”, ta có thể giúp học sinh đi đến lập phương trình: 120 120 -6= x x 1 Biến đổi về dạng phương trình bậc hai, ta sử dụng quy tắc giải đối với phương trình: Hình 2.9 6x2+6x-120=0 và tìm được 2 nghiệm x = 4 và x = -5. Đối chiếu với điều kiện x nguyên dương, và thử lại: (120/4) - 6 = (120/5) đúng. Ta có câu trả lời: Năng suất dự kiến của xí nghiệp là 4 sản phẩm trong một ngày. (Hình 2.9) 53 Ví dụ 2.12: Tình huống thực tiễn về chuyển động với các phương án khác nhau a) Tình huống thực tiễn: Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90km rồi ngược về 36km. Biết thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6km/h. Hỏi vận tốc thực tế của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng là bao nhiêu km/h? b) Mô hình hóa toán học: Đề bài có các phần khá rõ và mỗi phần đều có thể phiên dịch sang ngôn ngữ đại số dễ dàng như sau: Vận tộc ca nô lúc ngược dòng x (x km/h, x > 0) Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng x+6 Thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngược 90 36   2 (2) x6 x dòng 2 giờ Biến đổi phương trình (2) về phương trình: x2-21x+108=0, c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán: Đây là loại phương trình bậc hai. Giải phương trình này theo quy tắc, ta có: x1=9; x2= 12 d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời: Cả hai khả năng x = 9 và x = 12 đều thoả mãn điều kiện bài toán ban đầu. Như vậy, ta có hai phương án trả lời như sau: a) Trường hợp 1: Vận tốc lúc ngược dòng là 9km/h và xuôi dòng là 9+6=15km/h b) Trường hợp 2: Vận tốc lúc ngược dòng là 12km/h và xuôi dòng là 12+6=18km/h. e) Khai thác, mở rộng bài toán: + Thay “ thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2giờ” bằng “ tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng là 10 giờ”. Còn các phần khác của bài toán thì giữ nguyên. + Thay “Hỏi vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng?” bằng “Hỏi thời gian của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng?” các khác thì vẫn giữ nguyên. + Phát triển bài toán (dành cho học sinh là HS từ khá trở lên): 54 Một chiếc xuồng nhỏ chở những người du lịch phải hoàn thành một cuộc đi chơi dọc trên sông từ địa điểm A đến B và ngược trở lại mà không vượt quá 3 giờ. Chiếc xuồng đó phải có vận tốc riêng như thế nào, nếu vận tốc của nước sông là 5km/h, Khoảng cách từ A đến B là 28 km và xuồng dừng lại ở điểm B trong 40 phút. GV gợi ý để HS lập được bất PT như sau: - Gọi vận tốc riêng của xuồng là: x(km/h). Khi đó xuồng sẽ chạy xuôi dòng với vận tốc là (x+5) km/h và xuồng sẽ chạy ngược dòng với vận tốc là (x-5) km/h. - Do vậy, thời gian dành cho toàn bộ cuộc hành trình (kể cả thời gian dừng lại ở điểm B) sẽ là: t =( 28 28 2   ) giờ. x 5 x5 3 - Theo yêu cầu đề ra là tổng thời gian không vượt quá 3 (giờ), cho nên: - Ta có bất phương trình 28 28 2    3  (x+5)(x-5)(x2-24x+25)  0 x5 x5 3 - Biết rằng vận tốc của xuồng lớn hơn vận tốc của nước, nghĩa là: x>5. Khi đó các số (x+5), (x-5) đều dương. Sử dụng các phép biến đổi tương đương ta chuyển về bất PT bậc hai: x2-24x-25  0 . Để tìm được vận tốc riêng của xuồng thì ta phải giải bất PT trên. - Giải bất PT bậc hai trên theo quy tắc, ta tìm được x25 hoặc x-1. Do điều kiện x>5 nên ta suy ra x25. Tức là để thời gian hành trình không quá 3 giờ thì vận tốc riêng tối thiểu của xuồng phải là 25 km/h. Ví dụ 2.13: Tình huống liên môn a) Tình huống thực tiễn: (Từ tình huống về khối lượng riêng trong môn Vật lý 6 và tỷ khối và số mol trong Hoá học 8) Người ta hoà lẫn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng. b) Mô hình hóa toán học: Chú ý rằng bài tập đề cập đến vấn đề liên quan đến kiến thức vật lý, cụ thể ta phải chú ý công thức liên quan đến khối lượng riêng. Khi đó ta có thể phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số như sau: 55 Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (x đo bằng kg/m3, x>200) thì khối lượng riêng riêng của chất lỏng thứ hai sẽ là (x-200). Hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Sau khi đổi đơn vị g sang kg, dùng kiến thức Vật lý, ta có hệ thức: 0,008 0,006 0,014   (1) 700 x x  200 Về mặt toán học, đây là một phương trình bậc hai ẩn x (điều kiện x >200). c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán: Từ (1) biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai rút gọn: 1,4x2-1260x+112000 = 0 Giải phương trình bậc hai ta có nghiệm x1= 800, x2 = 100 (loại). d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời: Suy ra khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 800kg/m3, và khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là 600kg/m3. e) Khai thác bài toán: Thay đổi điều kiện ta có bài toán tương tự, chẳng hạn thay câu a được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3 “bằng” được một hỗn hợp có thể tích 0,2 lít, các phần còn lại giữ nguyên, … hoặc chỉ đơn giản là chuyển các số liệu trong đề bài toán trên sang đơn vị đo lường khác trong vật lý: 8g  0,008 kg; 200kg/m3  200g/lít; ... Minh họa thông qua hình thành khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và PP giải Ví dụ 2.14: Tình huống thực tiễn về tài chính a) Tình huống thực tiễn: GV tăng cường khai thác các ví dụ thuộc lĩnh vực thống kê tài chính, ngân hàng, chi tiêu, … (gần gũi với thực tế xung quanh HS) Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế gía trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng? b) Mô hình hóa toán học: 56 Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x (triệu) đồng cho loại hàng thứ nhất; y (triệu) đồng cho loại hàng thứ hai. - Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT 10%) là đồng, cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế VAT 8%) là - Ta có phương trình: 110 108 x y  2,17 100 100 110 x (triệu) 100 108 y (triệu) đồng. 100  1,1x+1,08y=2,17 (1) - Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là 109 ( x  y )  2,18 100 hay 1,09x+1,09y = 2,18 (2) 1,1x  1,08 y  2,17 1,09 x  1,09 y  2,18 - Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình:  c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán: Ở đây HS nhận dạng bài toán giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, sau đó dùng những PP đã biết (cộng hoặc thế) để giải hệ, tìm được một nghiệm (x=0,5; y=1,5). d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời: Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai. 2.3.3. Biện pháp 3: Sử dụng PP MHH trong DH vận dụng kiến thức. 2.3.3.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp Trong DH vận dụng kiến thức, PP MHH tỏ ra đặc biệt hữu hiệu, bởi lẽ kiến thức toán học ở dạng lý thuyết không dễ dàng vận dụng được vào thực tiễn, cho dù chỉ là “giả định”. Vì vậy, nhiều ưu điểm của PP MHH, GV có thể khai thác PP này trong tổ chức những HĐ giúp HS vận dụng được kiến thức mới, không chỉ trong giải bài tập toán thuần túy, mà còn rèn luyện những kỹ năng quan trọng để vận dụng toán học vào giải quyết những vấn đề gặp phải khi học các môn học khác, trả lời các câu hỏi từ thực tế cuộc sống đặt ra ... 57 2.3.3.2. Cách thức thực hiện biện pháp a) Quy trình sử dụng PP MHH tổ chức HS vận dụng kiến thức lý thuyết về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình: Bước 1: MHH những tình huống, câu hỏi và bài toán (có nội dung thực tiễn) gặp phải để đưa về dạng bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Bước 2: Đối chiếu quy tắc, PP giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình với những tình huống, câu hỏi và bài toán gặp phải để lựa chọn và sử dụng công cụ toán học phù hợp giải bài toán. Bước 3: Đối chiếu với câu hỏi ở tình huống ban đầu để chuyển kết quả bài toán (dưới dạng các nghiệm của PT, HPT) và trả lời câu hỏi thực tiễn. Bước 4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán b) Vận dụng quy trình để DH giải bài toán tìm 2 đại lượng khi biết các mối quan hệ giữa chúng Ví dụ 2.15: Một chi tiết máy có hình một tam giác vuông, tìm độ dài hai cạnh ngắn của nó biết rằng người ta đo được tổng độ dài là 14 (dm), và độ dài của cạnh huyền 10 (dm). Bước 1: Mô hình hóa toán học Áp dụng MHH toán học đối với bài toán đã cho: Vẽ hình (Hình 2.10) để chuyển về bài toán tìm các cạnh của tam giác vuông. Khi đó HS sử dụng tính chất tam giác vuông và nhận ra bài toán số học “khá quen thuộc” “Tìm hai số biết tổng của chúng và tổng các bình phương của chúng”. Từ đó các em thu gọn và phát biểu dưới một trong hai dạng: Hình 2.10 - Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn; - Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn; Bước 2: Lựa chọn công cụ và giải bài toán Cách 1: Sử dụng công cụ hệ phương trình 2 ẩn. - Thiết lập hệ phương trình: 58 + Nếu ta đặt độ dài của các cạnh cần tìm là x (x>0) và y (y>0) thì ta có x+y = 14; + Mặt khác, theo định lý Pitago, ta có x2+y2 = 102.  x  y  14 + Từ đó ta có hệ phương trình  2 2  x  y  100 - Giải hệ phương trình bằng PP cộng hoặc thế, tìm được một nghiệm (6;8) thỏa mãn điều kiện (x,y>0). Cách 2: Sử dụng công cụ phương trình bậc hai. - Nếu ta đặt độ dài của một cạnh cần tìm là x (x>0) thì cạnh thứ hai sẽ là (14-x); - Mặt khác, theo định lý Pitago, ta có x2+(14-x)2 = 102. - Từ đó ta có phương trình bậc hai x2+(14-x)2=100. - Giải phương trình bậc hai này theo quy tắc, ta tìm được 2 nghiệm x = 6, x = 8 (thỏa mãn điều kiện đối với ẩn x). Bước 3: Căn cứ vào tình huống ở bài toán ban đầu. HS kết luận và trả lời: Chi tiết máy hình tam giác vuông đã cho có độ dài các cạnh là 6 (dm), 8 (dm) và 10 (dm). Bước 4: Vận dụng MHH toán học để khai thác, phát triển bài toán. Đây là loại toán bậc hai, để tạo những bài toán tương tự, ta có thể thay đổi dữ kiện và tình huống, chẳng hạn: 1. Tìm 2 số biết hiệu hai số và tổng các bình phương của chúng; 2. Tìm 2 số biết tổng (hiệu) hai số và tổng (hiệu) các nghịch đảo của hai số; 3 - Mở rộng tìm ba số thỏa mãn … 4 - Đưa vào bài toán hình học đối với hình chữ nhật (chứa các tam giác vuông với cạnh là các cạnh và đường chéo của hình chữ nhật, ...). b) Vận dụng quy trình để DH giải bài toán về chuyển động Ví dụ 2.16: Hai người đi xe đạp trên hai con đường vuông góc với nhau, cùng một thời điểm xuất phát và hướng tới một ngã tư. Vận tốc của bạn An là 12km/h, của bạn Bình là 10 km/h. Hiện tại bạn An cách cách ngã tư là 40 km, còn bạn Bình cách ngã tư là 30 km. Hỏi sau bao nhiêu lâu thì hai người còn cách nhau 20 km (tính theo đường chim bay)? Bước 1: Mô hình hóa toán học Áp dụng MHH toán học đối với bài toán đã cho: 59 HS vẽ sơ đồ (Hình 2.11) biểu thị tình huống chuyển động dưới dạng mô hình tam giác C vuông ABC đỉnh A, trong đó cạnh AB thể hiện khoảng cách 40 km, cạnh AC thể hiện khoảng cách 30 km. Bạn An đang ở vị trí của điểm B, bạn Bình đang ở vị trí của điểm C. Khoảng cách C' A ban đầu giữa họ cũng như trong suốt quá trình B' B Hình 2.11 chuyển động chính là là độ dài cạnh huyền BC (trong thay đổi là B'C') Từ đó các em lược bỏ những chi tiết không quan trọng, thu gọn, sử dụng ngôn ngữ và ký hiệu toán học để phát biểu dưới dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn như sau: Tình huống này đòi hỏi tìm lượng thời gian t (giờ), điều này gợi chúng ta nghĩ đến gọi thời gian cần tìm là t, khi đó các khoảng cách giữa An và Bình so với điểm gặp nhau tại ngã tư lần lượt là: (40 - 12t) km và (30 - 10t) km. Chú ý rằng: Thời gian để An đến ngã tư là 40/12 = 3 giờ 20 phút; Thời gian để Bình đến ngã tư là 30/10 = 3 giờ, nên thời gian 0 < t  3. Theo định lý Pitago, ta có: (40-12t)2+(30-10t)2=(BC)2. Vì vậy, để thỏa mãn yêu cầu khoảng cách giữa họ là 20 (km) thì ta cần tìm t trong mối quan hệ (40-12t)2+(30-10t)2=(20)2. Nói cách khác, về mặt toán học ta cần phải giải phương trình bậc hai ẩn t sau: (40-12t)2+(30-10t)2=400. Bước 2: Lựa chọn công cụ và giải bài toán Đến đây, GV hướng dẫn HS sử dụng quy tắc giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm. Sau khi đối chiếu với điều kiện 0 < t  3, ta thu được một nghiệm t  1,935, thỏa mãn điều kiện đối với ẩn t. Bước 3: Căn cứ vào tình huống ở bài toán ban đầu. HS kết luận và trả lời cho câu hỏi ban đầu: Hai bạn sẽ ở vị trí cách nhau 20 (km) sau khi họ đã đi được gần 2 giờ ( 1,935 giờ). Bước 4: Vận dụng MHH toán học để khai thác, phát triển bài toán. Đây là loại toán bậc hai, để tạo những bài toán tương tự, ta có thể thay đổi dữ kiện và tình huống, chẳng hạn: 60 + Chỉ thay đổi các số liệu trong bài toán trên, các yếu tố thực tế khác về cơ bản vẫn giữ nguyên: Hai người đi ô tô trên hai con đường vuông góc với nhau, cùng xuất phát một thời điểm và đi về phía một ngã tư là giao lộ của hai con đường đó. Vận tốc của người thứ nhất là 50 km/h, của người thứ hai là 60 km/h. Hiện tại người thứ nhất cách cách ngã tư là 80 km, còn người thứ hai cách ngã tư là 60 km. Hỏi sau bao nhiêu lâu thì hai người còn cách nhau 40 km (tính theo đường chim bay)? + Thay đổi một số yếu tố khác ở bài toán trên: chẳng hạn đưa vào tình huống đối với tam giác vuông nhưng sử dụng hệ thức lượng đối với đường cao thuộc cạnh huyền, hình chiếu của các cạnh góc vuông ... (Hình Hình 2.12 2.12) d) Vận dụng quy trình để DH giải bài toán về năng suất Ví dụ 2.17: GV đưa ra tình huống: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch tất cả được 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1 ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là một tấn. GV gợi ý để HS thực hiện các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình như sau: Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn), điều kiện (x > 0); Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống cũ là y (tấn), điều kiện (y > 0). 60 x  40 y  460 4 y  3 x  1 Ta có hệ phương  Dùng quy tắc giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn trên, ta tìm được x=5; y=4. Trả lời: Năng suất của lúa giống mới là 5 tấn/1 ha. Năng suất của lúa giống cũ là 4 tấn/1 ha. Bài toán 2: a) Tình huống thực tiễn: 61 GV đưa ra tình huống: Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lô hàng, theo đó mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xưởng đã may được 120 áo mỗi ngày. Do đó, phân xưởng không những đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 9 ngày mà còn may thêm được 60 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu chiếc áo? b) Mô hình hóa toán học: GV hướng dẫn HS phân tích bài toán: Trong tình huống trên có những đại lượng nào? Quan hệ của chúng ra sao? Lập mô hình toán học đối với tình huống để biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng đó? Trong bài toán trên ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày (đã biết). - Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Mối quan hệ giữa chúng: Số các đại lượng số áo may trong một ngày  số ngày may = Tổng số áo may - MHHTH: Để toán học hóa các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng ta chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. Ta chọn x là số ngày may theo kế hoạch, khi đó tổng số áo may là 90x, nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên số ngày may là x-9 và tổng số áo may là: 120(x-9). Từ thông tin đã cho ở đề bài, ta có quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kế hoạch được biểu thị bởi PT bậc nhất: 120(x-9) = 90x+60. c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán: Rút gọn về 12(x-9) = 9x+6 và giải phương trình trên bằng quy tắc giải phương trình bậc nhất, ta tìm được x=38. (Hình 2.13) d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời: Vậy kế hoạch may áo ban đầu của xưởng may Hình 2.13 là trong 38 ngày. e) Khai thác bài toán: Có thể đưa ra và giải cho các bài toán tương tự về tăng trưởng kinh tế, tăng hàng hoá xuất khẩu, … Chẳng hạn: Tình huống thực tiễn: 62 Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc? Mô hình hóa toán học: Gọi x (tấn) và y (tấn) là số tấn thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái (ĐK: x>0, y>0). Theo điều kiện đầu bài ta có: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất thu hoạch được 720 tấn thóc, nghĩa là: x+y=720 (1) Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức15%, nghĩa là đơn vị thứ nhất thu hoạch được: x+ 15 x 115 x  100 100 (tấn) Khi đó, đơn vị thứ hai thu hoạch được: y+ 12 y 112 y  100 100 (tấn) Cả hai thu hoạch được 819 tấn, có nghĩa là: 115x 112 y   819 100 100 Ta có (2) hệ phương trình:  x  y  720(1)  115x 112 y   819(2)  100  100 Sử dụng công cụ toán học giải bài toán: Dùng PP giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, ta tìm được nghiệm: (x=420; y=300) Hình 2.14 (Hình 2.14) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời: Vậy năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được 420 tấn thóc,đơn vị thứ hai thu thu hoạch được 300 tấn thóc. Năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được 483 tấn thóc, đơn vị thứ hai thu hoạch được 336 tấn thóc. 63 2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 PP MHH là một trong những cách thức thực hiện DH toán gắn với thực tiễn, trực tiếp góp phần phát triển cho HS NL MHHTH và NL GQVĐ trong cuộc sống. Đây là một trong những hướng đổi mới PPDH Toán, làm cho môn toán trở nên gần gũi, thiết thực với người học. Sau khi những cơ sở lý luận và thực tiễn của PP MHH trong DH toán THCS, ở chương này, chúng tôi đã thiết kế một số hoạt động MHHTH đối với nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở lớp 8, 9 trường THCS và xây dựng một số biện pháp vận dụng PP MHH trong DH. Để xây dựng giải pháp, chúng tôi xác định 3 nguyên tắc thiết kế hoạt động MHH và ba định hướng xây dựng biện pháp vận dụng PP MHH trong DH chủ đề đã chọn. Trên cơ sở đó. chúng tôi đã xây dựng được ba biện pháp vận dụng PP MHH trong DH chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình cho HS lớp 8, 9 ở trường THCS. Để minh họa và gợi ý GV sử dụng các biện pháp, chúng tôi đã thiết kế một số tình huống DH nội dung “giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” cho HS các lớp 8,9 trường THCS bằng phương pháp mô hình hóa. 64 Chương 3 - THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. MỤC ĐÍCH VÀ KẾ HOẠCH THỰC NGHIỆM 3.1.1. Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm nghiệm giả thuyết khoa học, tính khả thi và tính hiệu quả của một số biện pháp đã xây dựng thông qua vận dụng PP MHH vào DH nội dung “Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”. 3.1.2. Kế hoạch thực nghiệm Tác giả tìm hiểu tình hình dạy và học toán lớp 8, 9 ở một số trường THCS của huyện Giao Thủy, tỉnh Nam Định. Trên cơ sở đó, xác định lựa chọn các trường, lớp HS và các GV tham gia thực nghiệm. Thực nghiệm được tiến hành đối với các lớp 8 và 9 tại hai trường THCS Bình Hòa và Giao Lạc, thuộc huyện Giao Thuỷ, tỉnh Nam Định. Tác giả cùng với GV Toán ở các trường tham gia thực nghiệm tiến hành: Lựa chọn, xác định GV và HS tham gia thực nghiệm, sinh hoạt chuyên môn trao đổi về nội dung và cách thức thực nghiệm, thiết kế và biên soạn tài liệu và giáo án thực nghiệm, ... Trong đó có một bài thu hoạch khảo sát nhận thức của GV về mô hình hóa toán học và các vấn đề liên quan đến DH Toán 9 gắn với thực tiễn. Chúng tôi lựa chọn GV tham gia giảng dạy trong các cặp lớp thực nghiệm và đối chứng có trình độ chuyên môn nghiệp vụ tương đương nhau. - Học sinh ở các lớp được lựa chọn tham gia thực nghiệm và đối chứng ở hai trường THCS Bình Hòa và Giao Lạc, thuộc huyện Giao Thuỷ, tỉnh Nam Định. Cụ thể: Trường THCS Bình Hòa: + Lớp thực nghiệm 9A (30 HS) do cô giáo Vũ Thị Hằng giảng dạy. + Lớp đối chứng 9B (30 HS) do cô giáo Trần Thị Nhiễn giảng dạy. Trường THCS Giao Lạc: + Lớp thực nghiệm 8C (30 HS) do cô giáo Nguyễn Thị Quy giảng dạy. + Lớp đối chứng 8B (30 HS) do cô giáo Trần Thị Tiến giảng dạy. - Kế hoạch thực nghiệm: 65 Chúng tôi tổ chức sinh hoạt chuyên môn với các GV tham gia, cùng với GV dạy thực nghiệm thiết kế giáo án, thực hành DH và rút kinh nghiệm theo hình thức nghiên cứu bài học. Tổ chức dạy thực nghiệm và đối chứng theo quy trình. Ở lớp thực nghiệm, GV tiến hành: + Giới thiệu về mô hình hóa toán học cho HS; + Tổ chức HS thực hiện các hoạt động theo kịch bản DH bằng PP MHH đã thiết kế; tập trung vào việc cho HS giải một số bài bài toán có nội dung thực tiễn, tập dượt xử lý một số tình huống thực tế bằng PP MHH toán học. + Theo dõi quan sát HS về khả năng thực hiện các hoạt động MHH; + Kiểm tra khả năng MHH thông qua phiếu hỏi, bài kiểm tra viết. Tác giả cùng với các GV Toán tham gia thực nghiệm tiến hành kiểm tra đánh giá và xử lý kết quả thực nghiệm. 3.2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM 3.2.1. Nội dung thực nghiệm Sử dụng PP MHHTH thực hiện DH sáu tiết trong chủ đề Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình thuộc phân môn Đại số lớp 8, 9 trường THCS: + Toán 8: Giải bài toán bằng cách lập phương trình và luyện tập; + Toán 9: Giải bài toán bằng cách lập PT bậc hai một ẩn và luyện tập. Cụ thể là 2 tiết lý thuyết và 4 tiết luyện tập: 1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình (Toán 8) 2. Luyện tập giải bài toán bằng cách lập PT, HPT (Toán 8) 3. Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn (Toán 9) 4. Luyện tập giải bài toán bằng cách lập PT bậc hai một ẩn (Toán 9) Nội dung và cách thức thiết kế một số giáo án thực nghiệm trình bày ở phụ lục số 03. 3.2.2. Nội dung kiểm tra đánh giá Sau khi triển khai dạy thực nghiệm theo kế hoạch đề ra, chúng tôi tiến hành kiểm tra, đo lường kết quả và nhận xét đánh giá tính hiệu quả và tính khả thi của các biện pháp đề xuất. Cụ thể là: 66 - Trong quá trình thực nghiệm, tác giả cùng với các GV Toán tham gia tiến hành quan sát, phỏng vấn, ghi chép những biểu hiện của HS, trao đổi ý kiến rút kinh nghiệm, ... về diễn biến hứng thú, nhận thức, kỹ năng MHH của HS các lớp thực nghiệm và đối chứng. - Cuối đợt thực nghiệm chúng tôi đã đánh giá kết quả thực nghiệm ở cả các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng thông qua 01 bài kiểm tra 45 phút với dụng ý đo lường NL MHH của HS. Nội dung bài kiểm tra: (phụ lục 2) 3.3. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 3.3.1. Phân tích định tính Dự giờ quan sát GV và HS trong quá trình thực nghiệm, nhận xét trong quá trình chấm bài kiểm tra, chúng tôi thấy: - Đối tượng HS giỏi: các em ở lớp thực nghiệm đã giải được trọn vẹn hầu hết các bài tập, biết cách chuyển từ tình huống thực tiễn sang dạng mô hình toán học rất tốt. Còn ở lớp đối chứng thì tỷ lệ giải được đủ và hoàn thiện thấp hơn. - Đối tượng HS khá: các em ở lớp thực nghiệm đã giải được trọn vẹn 3/4 bài tập, biết cách chuyển từ tình huống thực tiễn sang dạng mô hình toán học khá tốt. Còn ở lớp đối chứng thì tỷ lệ giải được đủ và hoàn thiện thấp hơn (50-60%). - Đối tượng HS trung bình: các em ở lớp thực nghiệm đã giải được tương đối chặt chẽ 2-3 bài tập, biết cách chuyển từ tình huống thực tiễn sang dạng mô hình toán học. Còn ở lớp đối chứng thì tỷ lệ giải được 2 bài chỉ đạt 50 % đồng thời lập luận tính toán cũng còn sai sót. - Đánh giá biểu hiện về năng lực mô hình hóa của HS: Thông qua quan sát, chấm bài kiểm tra của HS, chúng tôi nhận thấy NL MHH của HS ở lớp thực nghiệm tiến bộ hơn đáng kể so với HS ở lớp đối chứng, biểu hiện ở: Các em thực hiện được đa số các kỹ năng MHH như biết rút gọn để đơn giản tình huống ban đầu  Làm rõ mục tiêu và nhìn thấy vấn đề  Xác định được các biến, tham số, hằng số  Thiết lập được bài toán  Lựa chọn mô hình, công cụ toán học và biểu diễn bằng ngôn ngữ, ký hiệu toán học  giải được bài toán và liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. 67 + Mặt khác, qua dự giờ, phỏng vấn GV về tác động và hiệu quả của các biện pháp đã sử dụng, đa số các GV tham gia đều nhận thấy các BP là khả thi và bước đầu có ảnh hưởng tốt tới những thành phần và biểu hiện của NL MHH trong môn Toán. Như vậy, đối chiếu với những tiêu chí biểu hiện của NL MHH (xác định theo chương trình giáo dục phổ thông mới về môn Toán) trong [20], HS đã biết sử dụng những mô hình toán học được học để giải quyết được các vấn đề toán học trong các mô hình được thiết lập; đồng thời biểu đạt được lời giải bài toán theo ngữ cảnh thực tế và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải, bước đầu biết điều chỉnh mô hình khi nhận thấy cách giải quyết không phù hợp. 3.3.2. Phân tích định lượng Bảng 3.1. Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng Số Lớp Điểm HS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TB TN 30 0 0 0 1 2 3 4 8 6 4 2 7,0 ĐC 30 0 0 0 2 3 6 8 6 3 2 0 6,0 Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) Lớp Số bài kiểm tra đạt điểm tương ứng Số HS 0-4 5-6 7-10 TN 30 3 7 20 ĐC 30 5 14 11 Bảng 3.3. Bảng phân bố tần suất điểm kiểm tra 45 phút Lớp Tỷ lệ điểm số của bài kiểm tra Số HS 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TN 30 0% 0% 0% 3,3% 6,6% 9,9% 13,2% 26,5% 19,9% 13,2% 6.6% ĐC 30 0% 0% 0% 6,6% 9,9% 19,9% 26,5% 19,9% 9,9% 6,6% 0% 68 Bảng 3.4. Bảng phân bố (ghép lớp) tần suất điểm kiểm tra 45 phút Lớp Tỷ lệ điểm số của bài kiểm tra Số HS 0-4 5-6 7-10 TN 30 9,9% 23,1% 67% ĐC 30 16,7% 46,6% 36,7% Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần số điểm bài kiểm tra 45 phút Số HS 15 Series1 10 Series2 5 Series3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Điểm Số HS Biểu đồ 3.2. Biểu đồ phân bố tần số (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút 25 20 15 10 5 0 Series1 Series2 0 đến 4 5 đến 6 7 đến 10 Nhóm điểm số Biểu đồ 3.3. Biểu đồ cột phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút Tỷ lệ HS 30 20 Series1 Series2 10 0 1 2 3 4 5 6 7 Điểm số 69 8 9 10 11 Biểu đồ 3.4. Biểu đồ hình quạt tần suất (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút 0 đến 4 10% 5 đến 6 23% 7 đến 10 67% 0 đến 4 5 đến 6 7 đến 10 Lớp thực nghiệm 0 đến 4 17% 7 đến 10 37% 5 đến 6 46% 0 đến 4 5 đến 6 7 đến 10 Lớp đối chứng 3.3.3. Kiểm định giả thuyết thống kê Kết quả bài kiểm tra ở bảng 3.1 cho thấy điểm trung bình cộng X của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. Vấn đề đặt ra là sự khác nhau đó (trên các mẫu) có ý nghĩa không? Có phải thực sự do tác động của các BP DH hay chỉ do ngẫu nhiên mà có? Nếu ta áp dụng rộng rãi giải pháp mới thì nói chung kết quả có tốt hơn hiện nay hay không? Để giải quyết vấn đề trên, chúng tôi nêu giả thuyết thống kê H0: “Sự khác nhau về điểm trung bình cộng chỉ là ngẫu nhiên, các BP DH không có ảnh hưởng gì đến kết quả học tập”. Coi mẫu đã chọn là có tính đại diện, chúng tôi tính phương sai và độ lệch chuẩn để kiểm định giả thuyết thống kê H0. Kiểm định giả thuyết thống kê: Các tham số thống kê của lớp TN: n=30; x  7, 0 ; độ lệch chuẩn s1 = 1,76 Các tham số thống kê của lớp DC: n=30; x  6, 0 ; độ lệch chuẩn s2 = 1,58 +) Kiểm định phương sai (độ phân tán của điểm học sinh) 70 Giả thuyết H0: Độ phân tán điểm khác nhau không có ý nghĩa thống kê (coi độ phân tán là như nhau). Đối thuyết H1: Độ phân tán khác nhau có ý nghĩa thống kê. Tính test thống kê F có F  s12 1, 762   1, 24 s22 1,582 Tra bảng phân phối Fisher ta có f  30  1;30  1;0, 05  1,84 Vậy F  f  29; 29;0, 05 chấp nhận H0 tức độ phân tán điểm là như nhau. +) Kiểm định số trung bình Giả thuyết H0: Điểm trung bình hai lớp khác nhau không có ý nghĩa thống kê (coi là như nhau). Đối thuyết H1: Điểm trung bình hai lớp khác nhau có ý nghĩa thống kê. Do ở trên ta thấy độ phân tán điểm là như nhau nên tính: s2   n1  1 s12   n1  1 s22 n1  n2  2 Tính test t  x1  x 2 2 2   s s  n1 n 2 29.1, 762  29.1,582  2, 797 58 76 1   1 2,797     30 30   2,316 Tra bảng phân phối Student với độ tự do d = 58 ta có t58  0, 025  2, 00 . Vậy t  t58  0, 025 chấp nhận H1; bác bỏ H0 tức là điểm trung bình hai lớp khác nhau có ý nghĩa thống kê. Như vậy, tác động của các BP DH là có tác dụng: Kết quả của HS ở lớp thực nghiệm cao hơn kết quả của HS ở lớp đối chứng không phải là ngẫu nhiên, mà do ảnh hưởng tác động của các BP DH. Điều đó cho phép chúng tôi rút ra kết luận: Các HĐ MHH và các BP DH đã thiết kế và sử dụng đến bước đầu phát huy tác dụng, thu được kết quả tương đối tốt trong thực nghiệm DH “giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình”. 3.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 Để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đã đề xuất, chúng tôi tiến hành thực nghiệm sư phạm tại hai trường THCS thuộc huyện Giao Thuỷ - Nam Định. Các kết quả định tính và định lượng thu được giúp chúng tôi rút ra nhận xét: 71 - Sau thực nghiệm, kết quả hoạt động MHHTH của HS ở các lớp thực nghiệm tăng lên rõ rệt. Đa số HS đã thực hiện được một số hoạt động MHH ở những tình huống thực tiễn do GV thiết kế và đưa ra trong DH giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở các lớp 8, 9. - Các biện pháp đề xuất bước đầu có tính khả thi và hiệu quả nhất định, có thể đưa vào vận dụng trong dạy học chủ đề giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, góp phần phát triển năng lực MHHTH cho HS. Kết quả thực nghiệm cho thấy: Phương án đã xây dựng ở chương 2 bước đầu có tính khả thi và có tác dụng tốt trong thực tế DH giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS. 72 KẾT LUẬN PP MHH có vai trò quan trọng trong việc phát triển NL cho HS qua môn Toán, đáp ứng yêu cầu thực hiện chương trình giáo dục phổ thông mới, làm cho nội dung giáo dục không bị bó hẹp trong sách vở, mà gắn liền với đời sống thực tiễn xã hội, là con đường gắn lý thuyết với thực tiễn, tạo nên sự thống nhất giữa nhận thức với hành động, góp phần phát triển phẩm chất, tư tưởng, ý chí, kĩ năng sống, hình thành những năng lực cần có của con người trong xã hội hiện đại, là con đường để phát triển toàn diện nhân cách HS. Qua quá trình thực hiện đề tài, đối chiếu với mục đích nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu của đề tài chúng tôi đã đạt được những kết quả sau: 1. Hệ thống hóa cơ sở lý luận về PP MHH sử dụng trong DH Toán. 2. Đánh giá thực trạng về DH chủ đề nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS về tình hình sử dụng PP MHH nhằm phát triển NL MHH và GQVĐ thực tiễn cho HS. Tìm ra được những khó khăn, hạn chế và nguyên nhân cả về GV và HS khi xem xét từ yêu cầu vận dụng PP MHH trong DH chủ đề này. 3. Đề xuất quy trình vận dụng PP MHH trong DH Toán - áp dụng cho nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở THCS. 4. Đề xuất ba biện pháp sư phạm để vận dụng PP MHH trong DH giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình; minh họa thông qua những ví dụ minh họa việc thiết kế và sử dụng tình huống MHH toán học đối với chủ đề đã chọn. 5. Tổ chức thực nghiệm sư phạm theo định hướng và các biện pháp đề xuất với đối tượng GV và HS lớp 8, lớp 9 ở hai trường THCS cho thấy kết quả khả quan, chứng tỏ giải pháp đề ra có thể thực hiện được trong bước đầu mang lại hiệu quả tốt, đạt được những mục đích nghiên cứu của đề tài. Tuy nhiên, do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, tài liệu cụ thể về vấn đề này còn ít, điều kiện cơ sở vật chất, kinh phí ở trường phổ thông còn có những hạn chế, chưa đáp ứng được yêu cầu nên đề tài không thể tránh khỏi những hạn chế như: các phương án thiết kế sản phẩm chưa nhiều, kết quả thực hành của HS cũng còn những hạn chế, chưa có điều kiện thực nghiệm trên nhiều đối tượng khác nhau. 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt 1. Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga (2011), Mô hình hóa toán học các hiện tượng biến thiên trong DH nhờ hình học động dự án nghiên cứu Mira. Tạp chí Khoa học, Trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh, trang 55-63, 85. 2. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (Ban hành kèm theo Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT, ngày 26 tháng 12 năm 2018 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo), Hà Nội. 3. Chính phủ nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2014), Nghị quyết số 44/NQ-CP (9/6/2014). 4. Nguyễn Thị Hồng Cúc (2011), DH mô hình hóa hàm số thông qua bài toán tính diện tích trong môi trường tích hợp phần mềm Cabri II Plus. Luận văn Thạc sỹ Didactic Toán, Trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh. 5. Đảng Cộng sản Việt Nam (2013), Nghị quyết số 29-NQ/TW (04/11/2013). 6. Đỗ Tiến Đạt (2011), Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA – Môn toán, NXB Giáo dục. 7. Phạm Việt Hà (2016), Bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho học sinh THCS thông qua DH nội dung PT, HPT, Luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP - Đại học Thái Nguyên. 8. Nguyễn Hữu Hải (2014), Hướng dẫn học sinh trung học xây dựng mô hình toán học của một số tình huống thực tiễn, Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục, Trường ĐHSP Hà Nội. 9. Phan Thị Thu Hiền (2015), Vận dụng PP mô hình hóa trong DH Đại số lớp 10 ở trường Trung học phổ thông, Luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP - Đại học Thái Nguyên. 10. Nguyễn Thanh Hòa (2014), Rèn luyện kỹ năng giải bài toán bằng cách lập phương trình cho HS lớp 8 trường THCS, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP Hà Nội. 11. Trần Kiều (1988), Nội dung và phương pháp dạy thống kê mô tả trong chương trình toán cải cách ở trường phổ thông cơ sở Việt Nam, Luận án Phó tiến sĩ Khoa học Sư phạm - Tâm lý, Viện Khoa học Giáo dục. 12. Nguyễn Bá Kim (2017). PPDH môn Toán. NXB ĐHSP. 74 13. Cai Việt Long (2012), DH Toán ở trường trung học phổ thông theo định hướng phát triển năng lực giải quyết các vấn đề của thực tiễn, Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội. 14. Nguyễn Danh Nam (2013). Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Kỷ yếu Hội thảo khoa học “Cán bộ trẻ các trường đại học sư phạm toàn quốc”, NXB Đà Nẵng, tr.512-516. 15. Nguyễn Danh Nam, Đào Thị Liễu (2013), Bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh thông qua DH chủ đề xác suất - thống kê, Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt 08/2013, tr.104-106. 16. Nguyễn Danh Nam (2016). PP MHH trong DH môn Toán ở trường phổ thông, Sách chuyên khảo, NXB Đại học Thái Nguyên. 17. Lê Thị Thanh Phương (2008), Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy môn Toán Đại số nâng cao 10 - THPT. Luận văn Thạc sĩ Khoa học Giáo dục, Trường ĐHSP – Đại học Thái Nguyên. 18. Quốc hội nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2005, bổ sung năm 2009, theo văn bản 44/2009/QH12), Luật Giáo dục. 19. Quốc hội nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (2014), Nghị quyết 88/2014/QH13 (28/11/ 2014). 20. Đỗ Đức Thái, Đỗ Tiến Đạt và các thành viên Ban phát triển chương trình môn Toán (2017), Xác định năng lực toán học trong Chương trình giáo dục phổ thông mới, Tạp chí Khoa học Giáo dục, số 146-11/2017, trang 1-7. 21. Hà Xuân Thành (2017), Thiết kế các tình huống thực tiễn trong DH môn Toán trung học phổ thông nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề của học sinh, luận án tiến sỹ Giáo dục học, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam. 22. Nguyễn Cảnh Toàn, Hoàng Kỳ, Nguyễn Mạnh Quý, Trần Diên Hiển, Vũ Việt Yên (2001), Từ điển thuật ngữ toán học, Nxb Từ điển bách khoa, Hà Nội. 23. Trần Trung (2011), Vận dụng mô hình hóa vào DH môn Toán ở trường phổ thông, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Hà Nội, số 06, tr.104-108. 24. Trần Trung (chủ biên), Nguyễn Văn Hồng, Nguyễn Danh Nam, Đặng Xuân Cương (2011), Ứng dụng Công nghệ thông tin vào DH môn Toán ở trường phổ thông, NXB Giáo dục Việt Nam. 75 25. Ngô Anh Tuấn (2005), Hướng dẫn học sinh THCS tự học trong DH nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, luận văn Thạc sỹ PPDH Toán, Trường ĐHSP - Đại học Thái Nguyên. 26. Nguyễn Anh Tuấn (2012), Giáo trình Lôgic toán và lịch sử Toán, NXB ĐHSP, Hà Nội. 27. Viện Ngôn ngữ học - Trung tâm Từ điển học (2001), Từ điển Tiếng Việt, NXB Đà Nẵng. 28. Trần Vui (2009), Sử dụng toán học hóa để nâng cao hiểu biết định lượng cho HS trung học phổ thông. Tạp chí Khoa học Giáo dục, số 43, tr.23-26. Tiếng Anh 29. Berinderjeet Kaur, Jaguthsing Dindyal (2010), Mathematical applications and modelling. World Scientific Publishing. 30. Blum, Niss (1991), Applied mathematical problem solving, modeling, applications and links to other subjects, Educational Studies in Mathematics, 22 (1), 36-38. 31. Blum, Galbraith, Henn & Niss (2007), Modelling and applications in mathematics education, The 14th ICMI Study. Springer. 32. Blum, Ferry (2009). Mathematical Modelling: Can it be taught and learnt? Journal of Mathematical Modelling and Application. 1(1), 45-58 33. Jensen, T. H. (2007), Assessing mathematical modelling competency. In C. Haines, P. Galbraith, W. Blum and S. Khan (Eds.): Mathematical Modelling Education, Engineering and Economics (ICTMA12), 141-148, Horwood. 34. Jonathan Borwein, Keith Devlin (2009). Experimentelle Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 347. 35. Houston, K., & Neill, N. (2003). Investigating students’ modeling skills. In Q. Ye, W. Blum, S. K. Houston, & Q. Jiang (Eds.): Mathematical modelling in education and culture (ICTMA 10), 54-66, Horwood. 36. Danh Nam Nguyen, Trung Tran (2013), Recommendations for mathematics curriculum development in Vietnam. Proceedings of the 6th International Conference on Educational Reform, 26-32. 37. Anh Tuan Nguyen (2018), “Scientific basis and some measures to implement math education associated with practicality”, VIETNAM EDUCATION. Volume 5 (December-2018), 59-63. 76 JOURNAL OF PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1a: PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN Câu hỏi 1: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn trong dạy học môn Toán THCS. Không cần thiết Cần thiết Rất cần thiết Câu hỏi 2: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức toán học ở trường THCS. Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Câu hỏi 3: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc thiết kế các hoạt động giúp HS THCS hiểu những ứng dụng của Toán học trong giải quyết các tình huống nảy sinh từ thực tiễn. Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Câu hỏi 4: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc sử dụng công nghệ thông tin giúp HS THCS hiểu những mô hình của toán học trong thực tiễn. Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Câu hỏi 5: Các thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc thiết kế các bài tập, bài kiểm tra dành cho HS THCS theo hướng vận dụng mô hình toán học để giải quyết các bài toán nảy sinh từ thực tiễn. Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Câu hỏi 6: Các thầy (cô) hãy đánh giá về tầm quan trọng của mô hình hóa toán học trong dạy học Toán ở trường THCS? Không quan trọng Quan trọng Rất quan trọng Câu hỏi 7: Theo các thầy (cô), hoạt động mô hình hóa giúp phát triển ở HS THCS những kĩ năng nào sau đây? Giải quyết vấn đề Làm việc theo nhóm Thực hiện dự án Vận dụng toán học trong thực tiễn Sử dụng ngôn ngữ toán học Vận dụng công nghệ thông tin Các kĩ năng khác: ........................................ Câu hỏi 8: Theo các thầy (cô), trong môn toán THCS, những chủ đề nào dưới đây có thể sử dụng phương pháp mô hình hóa trong thiết kế các hoạt động dạy học? 1 Hàm số Phương trình, bất phương trình Đa thức, phân thức Hệ phương trình, hệ bất phương trình Thống kê Hình học Diện tích, thể tích Hệ thức lượng trong tam giác Bất đẳng thức Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Các chủ đề khác: ................................ Câu hỏi 9: Theo các thầy (cô), GV dạy toán THCS cần có những hiểu biết gì để có thể vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học? Kiến thức khoa học toán học Kiến thức về các vấn đề thực tiễn Kiến thức toán học phổ thông Vận dụng toán học trong thực tiễn Phương pháp dạy học Công nghệ thông tin Thiết kế mô hình toán học Tổ chức hoạt động ngoại khóa Kiến thức khác: ................................... Câu hỏi 10: Theo các thầy (cô), năng lực mô hình hóa gồm có những thành tố nào dưới đây? Phân tích tình huống thực tiễn Đơn giản hóa giả thuyết Xác định biến, tham số bài toán Xây dựng bài toán Lựa chọn mô hình toán học Thiết lập mô hình Liên hệ mô hình với thực tiễn Cải tiến mô hình Những thành tố khác: ................................ Câu hỏi 11: Theo các thầy (cô), có cần thiết tổ chức bồi dưỡng năng lực vận dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học cho GV toán THCS? Không cần thiết Cần thiết Rất cần thiết Câu hỏi 12: Các thầy (cô) cho biết những khó khăn và thách thức gặp phải trong quá trình tổ chức hoạt động mô hình hóa trong dạy học toán ở trường THCS? Câu hỏi 13: Theo các thầy (cô), làm thế nào để có thể vận dụng phương pháp mô hình hóa trong giờ học môn Toán THCS? Câu hỏi 14: Các thầy (cô) thường làm gì để giúp HS THCS giải quyết các bài toán mang tính thực tiễn được trình bày trong SGK môn Toán? Câu hỏi 15: Các thầy (cô) hãy liệt kê một số mô hình toán học có thể sử dụng trong dạy học Toán ở trường THCS? 2 Câu hỏi 16: Để tạo điều kiện thực hiện phương pháp mô hình hóa trong dạy học toán, các thầy (cô) có đề xuất thay đổi nội dung gì trong chương trình SGK môn Toán THCS hiện hành? Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy (cô)! 3 PHỤ LỤC 1b: PHIẾU HỎI HỌC SINH Câu hỏi 1: Em hãy cho biết về mức độ cần thiết của việc tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn trong học Toán ở THCS. Không cần thiết Cần thiết Rất cần thiết Câu hỏi 2: Em hãy cho biết mức độ thường xuyên của bản thân về việc tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức môn toán được học ở trường THCS. Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Câu hỏi 3: Em hãy cho biết trong học toán ở THCS mức độ thường xuyên được tiếp xúc với các bài tập, bài kiểm tra có vận dụng mô hình toán học để giải quyết tình huống nảy sinh từ thực tiễn. Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Câu hỏi 4: Em đánh giá như thế nào về tầm quan trọng của mô hình hóa toán học trong dạy học Toán ở trường THCS? Không quan trọng Quan trọng Rất quan trọng Câu hỏi 5: Em hãy cho biết khi học toán ở trường THCS gắn với thực tiễn sẽ gặp phải những khó khăn nào? Câu hỏi 6: Em hãy cho biết những khó khăn gặp phải khi chuyển từ tình huống thực tiễn sang mô hình toán học? Câu hỏi 7: Theo Em, trong môn Toán ở trường THCS, những nội dung nào gần gũi với thực tế để có thể vận dụng toán học? Cảm ơn các em đã tham gia trả lời các câu hỏi! 4 PHỤ LỤC 2: ĐỀ KIỂM TRA Đề kiểm tra số 1 và đáp án (sau thực nghiệm) Câu 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc nhất Quảng đường AB dài 156 km. Một người đi xe máy tử A, một người đi xe đạp từ B. Hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ gặp nhau. Biết rằng vận tốc của người đi xe máy nhanh hơn vận tốc của người đi xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe? Dụng ý sư phạm Đánh giá các KN thực hiện các HĐ MHH toán học của HS trong quá trình giải bài tập: 1. Rút gọn để đơn giản tình huống ban đầu 2. Làm rõ mục tiêu và nhìn thấy vấn đề 3. Xác định được các biến, tham số, hằng số 4. Thiết lập được bài toán và lựa chọn mô hình, công cụ toán học và biểu diễn bằng ngôn ngữ, ký hiệu toán học 5. Giải được bài toán và liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. Tóm tắt lời giải Gọi vận tốc của xe đạp là x (km/h), ĐK: x > 0, ta có: vận tốc của xe máy là x + 28 (km/h). Khi đó: Trong 3 giờ thì + Xe đạp đi được quãng đường 3x (km), + Xe máy đi được quãng đường 3(x + 28) (km). Theo đề bài ta có phương trình: 3x + 3(x + 28) = 156 Giải PT tìm được nghiệm x = 12 (thỏa mãn ĐK) Trả lời: Vận tốc của xe đạp là 12 km/h và vận tốc của xe máy là 12 + 28 = 40 (km/h) Câu 2: Giải bài tập toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) và một dung dịch khác chứa 55% axit nitơric .Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100lít dung dịch 50% axit nitơric? Dụng ý sư phạm Đánh giá các KN thực hiện các HĐ MHH toán học của HS trong quá trình giải bài tập: 1. Rút gọn để đơn giản tình huống ban đầu 2. Làm rõ mục tiêu và nhìn thấy vấn đề 5 3. Xác định được các biến, tham số, hằng số 4. Thiết lập được bài toán và lựa chọn mô hình, công cụ toán học và biểu diễn bằng ngôn ngữ, ký hiệu toán học 5. Giải được bài toán và liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. Tóm tắt lời giải +/ Gọi x,y theo thứ tự là số lít dung dịch loại 1 và 2 (Đơn vị: Lít, x,y>0) Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch loại 1 là 30 55 x và loại 2 là y 100 100  x  y  100  +/ Ta có hệ phương trình:  30 +/ Giải hệ này ta được: x=20 ;y=80 55   x y 50 100 100 Câu 3: Giải bài tập toán bằng cách lập phương trình bậc hai Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km. Cùng một lúc, một xe máy khởi hành từ Quy Nhơn đi Bồng Sơn và một xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn đi Quy Nhơn. Sau khi hai xe gặp nhau, xe máy đi 1 giờ 30 phút nữa mới đến Bồng Sơn. Biết vận tốc hai xe không thay đổi trên suốt quãng đường đi và vận tốc của xe máy kém vận tốc xe ô tô là 20 km/h. Tính vận tốc mỗi xe. Dụng ý sư phạm Đánh giá các KN thực hiện các HĐ MHH toán học của HS trong quá trình giải bài tập: 1. Rút gọn để đơn giản tình huống ban đầu 2. Làm rõ mục tiêu và nhìn thấy vấn đề 3. Xác định được các biến, tham số, hằng số 4. Thiết lập được bài toán và lựa chọn mô hình, công cụ toán học và biểu diễn bằng ngôn ngữ, ký hiệu toán học 5. Giải được bài toán và liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. Tóm tắt lời giải Đổi 1h30'  1,5h 1,5x 100-1,5x A C B Đặt địa điểm: - Quy Nhơn là điểm A; Vị trí hai xe gặp nhau là điểm C; Bồng Sơn là điểm B Gọi vận tốc của xe máy là x  km / h  . ĐK: x  0 . Suy ra: 6 Vận tốc của ô tô là x  20  km / h  . Quãng đường BC là: 1,5x  km  Quãng đường AC là: 100  1,5x  km  Thời gian xe máy đi từ A đến C là: 100  1,5x h x Thời gian ô tô máy đi từ B đến C là: 1,5 x h x  20 Vì hai xe khởi hành cùng lúc, nên ta có phương trình: 100  1,5 x 1,5 x  x x  20 Giải phương trình: 100  1,5 x 1,5 x   100  1,5 x  x  20   1,5 x 2  100 x  2000  1,5 x 2  30 x  1,5 x 2 x x  20 2  3x  70 x  2000  0  '  352  3.2000  1225  6000  7225  0   '  7225  85 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  x2  35  85  40 (thỏa mãn ĐK) 3 35  85 50  (không thỏa mãn ĐK) 3 3 Vậy vận tốc của xe máy là 40 km / h . Vận tốc của ô tô là 40  20  60  km / h  . 7 Đề kiểm tra số 2 (sau thực nghiệm) Câu 1: Một xưởng sản xuất giày lập kế hoạch thực hiện một đơn đặt hàng, theo đó để đảm bảo kế hoạch sản xuất của tháng, cứ mỗi tuần lễ xưởng phải làm được 120 đôi giày. Do vận hành dây chuyền máy móc mới, xưởng đã làm được 150 đôi giày mỗi tuần. Nhờ vậy, xưởng không những đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 7 ngày mà còn gia công thêm được 30 đôi giày so với dự kiến. Hỏi theo kế hoạch xưởng sản xuất giày phải làm được bao nhiêu đôi giày? Dụng ý sư phạm HS phát hiện được dạng bài toán có tình huống và dữ kiện tương tự như một bài toán đã học (Bài toán 2 trong ví dụ 2.17). Từ đó các em tập luyện KN tương tự hóa, KN sử dụng ngôn ngữ ký hiệu để nhận diện và biểu đạt bài toán, ... đồng thời kiểm tra được những KN thực hiện các HĐ MHH toán học khi giải bài tập. Tóm tắt lời giải a) Mô hình hóa toán học: GV hướng dẫn HS phân tích bài toán: Trong tình huống trên có những đại lượng nào? Quan hệ của chúng ra sao? Lập mô hình toán học đối với tình huống để biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng đó? Trong bài toán trên ta gặp các đại lượng: Số đôi giầy làm được trong một tuần lễ (đã biết là 120). - Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Mối quan hệ giữa chúng: Số các đại lượng số giầy làm được trong một tuần lễ  số tuần lễ = Tổng số giầy làm được (cần tìm) - MHHTH: Để toán học hóa các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng ta chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. Ta chọn x là số đôi giầy dự kiến làm theo kế hoạch, khi đó tổng số thời gian cần làm là x/120, nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên số đôi giày làm được trong thực tế là: x+30 Từ thông tin đã cho ở đề bài, ta có quan hệ giữa tổng số đôi giày đã làm được và số đôi giày theo kế hoạch biểu thị bởi phương trình: x + 30 = (x/120 -1).150 b) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán: 8 Biến đổi rút gọn phương trình và dùng quy tắc giải phương trình bậc nhất, ta tìm được nghiệm x= 720. (Hình 1p) c) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời: Vậy theo kế hoạch, số giầy dự kiến của xưởng là 720 (đôi giày) d) Khai thác bài toán: Có thể đưa ra và giải cho các bài toán tương tự về tăng trưởng kinh tế, tăng hàng hoá xuất khẩu, … Hình 1p Chẳng hạn: Một xưởng may quần áo lập kế hoạch để thực hiện một đơn đặt hàng, theo đó để đảm bảo kế hoạch sản xuất của tháng, cứ mỗi tuần lễ xưởng phải may xong 120 chiếc áo. Do mới nhập và vận hành một dây chuyền máy may mới, xưởng đã may được 150 chiếc áo mỗi tuần. Nhờ vậy, xưởng không những đã hoàn thành kế hoạch sớm 7 ngày mà còn may thêm được 30 chiếc áo so với kế hoạch. Hỏi theo kế hoạch xưởng may đó cần may được bao nhiêu chiếc áo dành cho đơn hàng? Câu 2: Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc? Dụng ý sư phạm HS phát hiện được dạng bài toán có tình huống và dữ kiện tương tự như một bài toán đã học (Bài toán 1 trong ví dụ 2.17). Từ đó các em tập luyện KN tương tự hóa, KN sử dụng ngôn ngữ ký hiệu để nhận diện và biểu đạt bài toán, ... đồng thời kiểm tra được những KN thực hiện các HĐ MHH toán học khi giải bài tập. Tóm tắt lời giải a) Mô hình hóa toán học: Gọi x (tấn) và y (tấn) là số tấn thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái (ĐK: x>0, y>0). Theo điều kiện đầu bài ta có: Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất thu hoạch được 720 tấn thóc, nghĩa là: 9 x+y=720 (1) Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức15%, nghĩa là đơn vị thứ nhất thu hoạch được: x+ 15 x 115 x  100 100 (tấn) Khi đó, đơn vị thứ hai thu hoạch được: y+ 12 y 112 y  100 100 Cả hai thu hoạch được 819 tấn, có nghĩa là: (tấn) 115x 112 y   819 100 100 (2) Nhờ vậy, ta thu được bài toán thuần túy toán học là giải hệ phương trình bậc nhất hai  x  y  720   100  100  819 ẩn: 115 x 112 y b) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:  x  y  720 và dùng một trong 1,15 x  1,12 y  819 Rút gọn đưa về hệ phương trình đơn giản hơn  hai PP (PP cộng, PP thế) để giải hệ, ta tìm được một nghiệm (x = 420; y = 300). (Hình 2p) c) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời: Do yêu cầu của tình huống ban đầu là: Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc? Nên HS cần chú ý để đưa ra câu trả lời đúng: Năm trước, đơn vị thứ nhất sản xuất được 420 (tấn thóc) và đơn vị thứ hai sản xuất được 300 (tấn thóc). Năm nay, đơn vị thứ nhất sản xuất được 1,15  420 = 483 (tấn thóc) và đơn vị thứ hai sản xuất được Hình 2p 1,12  300 = 336 (tấn thóc). d) Khai thác bài toán: Có thể đưa ra và giải cho các bài toán tương tự về sản xuất mặt hàng khác, hoặc chỉ cần thay đổi các con số ... Chẳng hạn: Tháng trước hai xưởng sản xuất hàng thủ công mỹ nghệ làm được 720 lọ gốm. Do cải tiến kỹ thuật, tháng này xưởng thứ nhất tăng năng suất được thêm 15%, xưởng thứ nhất 10 tăng năng suất được thêm 12% so với tháng trước. Nhờ vậy cả hai xưởng đã làm được được 819 lọ gốm. Hỏi tháng này mỗi xưởng làm được bao nhiêu lọ gốm? Câu 3: Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế gía trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng? Dụng ý sư phạm HS phát hiện được dạng bài toán có tình huống và dữ kiện tương tự như một bài toán đã học (dạng bài toán tài chính hoặc tìm hai đại lượng ... đưa về lập và giải phương trình bậc hai hoặc hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như ở bài toán 1 trong ví dụ 2.14). Từ đó các em tập luyện KN tương tự hóa, KN sử dụng ngôn ngữ ký hiệu để nhận diện và biểu đạt bài toán, ... đồng thời kiểm tra được những KN thực hiện các HĐ MHH toán học khi giải bài tập. Câu 4: Người ta hoà lẫn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng. Dụng ý sư phạm HS phát hiện được dạng bài toán có tình huống và dữ kiện tương tự như một bài toán đã học (Dạng bài toán đưa về lập và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như ở các bài toán 2 và 3 trong ví dụ 2.2). Từ đó các em tập luyện KN tương tự hóa, KN sử dụng ngôn ngữ ký hiệu để nhận diện và biểu đạt bài toán, ... đồng thời kiểm tra được những KN thực hiện các HĐ MHH toán học khi giải bài tập. 11 PHỤ LỤC 3: GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM Giáo án 1 - Bài Hàm số bậc nhất (Sử dụng PP MHH trong gợi động cơ, hình thành và vận dụng kiến thức mới) I - Mục tiêu: 1. Kiến thức 1.1. Hình thành những mô hình thực tế dẫn đến khái niệm hàm số bậc nhất. 1.2. Định nghĩa hàm số bậc nhất, tập xác định, tính chất của hàm số bậc nhất. 1.3. Ý nghĩa của hàm số bậc nhất. 2. Kỹ năng 2.1. Nhận biết được những mô hình thực tế dẫn đến khái niệm hàm số bậc nhất. 2.2. Nhận biết được hàm số bậc nhất, xác định được các hệ số a,b tương ứng. 2.3. Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc nhất. 2.4. Áp dụng được kiến thức về hàm số bậc nhất trong các bài tập thực tiễn. 3. Thái độ - HS thể hiện được sự hứng thú, mong muốn tìm hiểu ý nghĩa của hàm số bậc nhất. - HS thể hiện được sự hợp tác đối với GV, đối với những HS khác trong các HĐ HT 4. Định hướng phát triển năng lực - Có cơ hội phát triển năng lực GQVĐ thực tiễn. - Có cơ hội phát triển năng lực MHH toán học thông qua việc chuyển vấn đề thực tiễn thành vấn đề toán học liên quan đến hàm số bậc nhất. - Có cơ hội phát triển năng lực giao tiếp toán học thông qua HĐ nhóm, tương tác với GV. 5. Định hướng phát triển phẩm chất - Sự nhạy bén, linh hoạt trong tư duy. - Tính chính xác, tính kiên trì. II. Phương pháp, kỹ thuật, hình thức, thiết bị DH - Phương pháp và kỹ thuật DH: HĐ nhóm, vấn đáp, thuyết trình. - Hình thức tổ chức DH: cá nhân, nhóm. - Phương tiện thiết bị DH: Máy tính và máy chiếu, loa, bảng, phần mềm Geogebra. III. Chuẩn bị 1. Chuẩn bị của GV - phiếu học tập, bản trình chiếu bằng Power Point, bảng phụ, bút viết bảng. 2. Chuẩn bị của HS 12 - Vở ghi, bút. IV. Tiến trình dạy học Thời Hoạt động của HS - GV gian Nội dung bài dạy Hoạt động 1 - Khởi động Mục tiêu: Hình thành những mô hình thực tế dẫn đến khái niệm hàm số bậc nhất Phương pháp: Hoạt động nhóm Hình thức: Nhóm 4-5 HS Ví dụ 1: một xí nghiệp sản xuất giầy với năng suất lao động là 30 đôi/giờ. Hãy điền các dữ Nhiệm vụ: HS thảo luận nhóm và trả lời câu hỏi. Đáp án: Thời Ví dụ 1: gian gian 1 2 3 4 5 6 7 8 t giờ phẩm Số sản phẩm Số sản 1 2 3 4 5 6 7 8 t giờ Thời 10ph liệu vào bảng sau đây: y đôi 30 60 90 120 150 180 210 240 Ví dụ 2: Một xe ô tô khởi hành từ A, sau khi đi được 8km, xe y đôi Ví dụ 2: đi với vận tốc 40 km/h. a) 88 (km) a) Tính quãng đường đi được b) 128 (km) sau 2 giờ với vận tốc đó. c) y = 40x+8 (km) b) Tính quãng đường đi được sau 2 giờ với vận tốc đó. c) Tính quãng đường y đi được sau x giờ với vận tốc đó. HĐ 1 góp phần giúp HS phát triển NL MHH toán học (thông qua việc từ những mô hình thực tế hình thành khái niệm hàm số bậc nhất), NL giao tiếp (trình bày cách làm trước lớp) HĐ 2. Hình thành định nghĩa hàm số bậc nhất 15ph Mục tiêu: - Định nghĩa hàm số bậc nhất 13 - Xác định các hệ số a,b trong công thức của hàm số bậc nhất. Phương pháp: Thuyết trình, vấn đáp. Hình thức: HĐ cá nhân, nhóm đôi. 1. Hình thành định nghĩa hàm số bậc nhất - Theo ví dụ 1, có bảng sau: (sử dụng bảng phụ) Thời gian 1 2 3 4 5 6 7 8 30 60 90 120 150 180 210 240 t giờ Số sản 5ph phẩm y đôi + GV: Với mỗi giá trị thời gian thì có bao nhiêu sản phẩm hoàn thành được tương ứng? HS: Ứng với mỗi giá trị thời gian t chỉ có một giá trị tương ứng của y. + GV: Quy tắc tính giá trị y theo giá trị t là gì? HS: Giá trị y bằng 30 lần giá trị t. + GV: Biểu diễn quy tắc trên bằng công thức toán học. HS: y = 30t Tương tự ở ví dụ 2: + GV: Với mỗi giá trị thời gian x thì có bao nhiêu giá trị quãng đường y? HS: Ứng với mỗi giá trị thời gian x chỉ có một giá trị quãng đường y. 5ph + GV: Quy tắc tính giá trị y theo giá trị x là gì? HS: Giá trị y bằng 40 lần giá trị x cộng với 8. + GV: Biểu diễn quy tắc trên bằng công thức toán học. HS: y = 40x+8 GV: Hàm số có dạng như trên gọi là hàm số bậc nhất. 14 1. Định nghĩa hàm số bậc nhất: Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax+b, trong đó a,b là các số cho trước và a  0. 2. Xác định các hệ số a,b trong công thức của hàm số bậc nhất Hình thức: Nhóm đôi Bài 1: Trong các hàm số sau, Nhiệm vụ: HS hoàn thiện phiếu học tập. hàm số nào là hàm số bậc nhất, GV mời một nhóm lên trình bày, HS bên dưới đổi nếu là hàm số bậc nhất, hãy chỉ phiếu để đánh giá chéo. rõ các hệ số a,b. Là hàm số bậc nhất 5ph a = -5, b = 1 GV: Em hãy nhận xét về thứ tự của a và b trong a) y = 1-5x hàm số trên? Là hàm số bậc nhất a = -0,5, b = 0 GV: Em hãy nhận xét về giá trị của b trong hàm số b) y = -0,5x trên? Không là hàm số bậc nhất GV: Em hãy giải thích vì sao hàm số đó không c) y = 2x2+1 phải là hàm số bậc nhất? HĐ 2 góp phần giúp phát triển NL MHH toán học (thông qua việc hình thành khái niệm hàm số bậc nhất), NL giao tiếp (trình bày cách làm trước lớp) HĐ 3. Áp dụng giải bài tập thực tiễn 25ph Mục tiêu: Áp dụng được kiến thức về hàm số bậc nhất trong các bài tập thực tiễn. Phương pháp: HĐ nhóm Hình thức: Nhóm đôi / nhóm 4-5 HS 1. Áp dụng giải ví dụ 3: Ví dụ 3: Nam và Tuấn đang có Nhiệm vụ: Thảo luận, hoàn thiện phiếu học tập. một chuyến du lịch tại ngọn núi Thời gian: 5 phút Fansipan - Việt Nam. Hướng Hình thức: Nhóm đôi. dẫn viên nói với hai bạn: Ở GV chỉ định một nhóm lên giải thích cách làm, các chân núi, khoảng cách so với nhóm bên dưới đổi kết quả và chấm chéo nhau. mực nước biển là 600m, và ở Đáp án: trên đỉnh núi là 3143m. Để 15 a) Sau 7 phút (420 giây) thì cáp treo đang ở độ cao: chiêm ngưỡng hết cảnh đẹp của khu vực, hai bạn quyết định đi 600 + 3,5  420 = 2070 (m) Còn sau 6 phút (360 giây) thì cáp treo đang ở độ cáp treo từ chân núi lên đỉnh núi. Sau 7 phút, Nam nói với cao: 600 + 3,5  360 = 1860 (m) Tuấn: “Chúng ta đang ở hơn Vì thế, Nam nói đúng, Tuấn nói sai. 2km so với mực nước biển rồi đấy!”. Tuấn không đồng ý và b) y = 3,5t + 600 nói: “Không đúng, chúng ta đã đi qua vị trí cao hơn mực nước biển 2km từ một phút trước rồi”. Biết rằng vận tốc của cáp treo là 3,5m/s. a) Hãy xây dựng một lập luận để bảo vệ khẳng định của Nam. b) Hãy tính khoảng cách y của cáp treo so với mực nước biển sau những thời gian 2 phút; 10 phút 30 giây, t (giây) 2. Áp dụng giải ví dụ 4: Ví dụ 4: Bụi mịn, hay bụi PM Nhiệm vụ: Thảo luận, hoàn thiện phiếu học tập. 2.5 là những hạt bụi li ti trong Thời gian: 7 phút không khí có kích thước 2,5 Hình thức: Nhóm 4-5 HS. micron trở xuống (nhỏ hơn Hết thời gian thảo luận nhóm, GV gọi nhóm hoàn khoảng 30 lần so với sợi tóc thiện xong đầu tiên lên trình bày cách làm của người). Loại bụi này hình thành từ các chất như Carbon, Sulfur, nhóm. GV chữa và tổng kết lại các cách để đảm bảo sức Nitrogen và các hợp chất kim khỏe với tình trạng ô nhễm không khí ngày một gia loại khác, lơ lửng trong không tăng khí. Bụi PM 2.5 có khả năng Đáp án: len sâu vào phổi và đi trực tiếp a) y = 79 + 11t vào máu có khả năng gây ra b) hàng loạt bệnh về ung thư, hô Khoảng Chỉ số Kết luận 16 hấp. Chỉ số bụi PM 2.5 vào lúc 6 giờ sáng tại Hà Nội là 79 thời gian 6h - 8h 79 - 101 Mức độ trung bình AQI. Nồng độ này tăng trung 8h - 13h 101 - 156 không tốt đối với những bình khoảng 11 AQI mỗi giờ người nhạy cảm 13h - 18h 156 - 211 và chỉ giảm sau 6 giờ tối. không tốt cho sức khỏe. a) Gọi y là nồng độ bụi PM 2.5 Chạm mức rất không tốt sau t giờ. hãy biểu diễn mối quan hệ giữa y và t. Lời khuyên: b) Cho bảng chỉ số chất lượng - Luôn đeo khẩu trang có khả năng lọc bụi PM 2.5 không khí, cụ thể là mức độ bụi khi ra đường - các loại khẩu trang Y tế thông PM 2.5 như sau: thường gần như không có tác dụng. Chỉ số chất Mức độ an - Nên đeo thêm kính bảo hộ vì bụi PM 2.5 cũng có lượng không toàn tác động rất mạnh tới mắt. khí (AQI) - Hạn chế tối đa tham gia giao thông vào các giờ 301-500 Nguy hiểm cao điểm vì đây là thời điểm bụi PM 2.5 cao nhất. 201-300 Rất không tốt cho sức khỏe - Luyện tập nâng cao sức khỏe và khám sức khỏe thường xuyên, đặc biệt là bệnh về đường hô hấp và 151-200 không tốt cho sức khỏe tuần hoàn. 101-150 không tốt đối với những nhóm người nhạy cảm 51-100 Trung bình 0-50 Tốt Em hãy lập một bảng với thời gian cụ thể để thể hiện mức độ an toàn của PM 2.5 tại Hà Nội trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 18 giờ cùng ngày (sai số  6 AQI). Hãy đưa ra lời khuyên để đảm bảo sức khỏe cho người dân và giảm thiểu lượng ô nhiễm 17 không khí tại Hà Nội. HĐ 4 góp phần giúp HS có thể phát triển NL GQVĐ (HS áp dụng kiến thức về hàm số bậc nhất trong thực tiễn), NL giao tiếp toán học (trình bày trước lớp cách giải của bài toán thực tiễn) HĐ 5. Hướng dẫn tự học ở nhà Mục tiêu: 2.1. Nhận biết được những mô hình thực tế dẫn đến khái niệm hàm số bậc nhất. 10ph 2.2. Nhận biết được hàm số bậc nhất, xác định được các hệ số a,b tương ứng. 2.3. Thiết lập được bảng giá trị của hàm số bậc nhất. 2.4. Áp dụng được kiến thức về hàm số bậc nhất trong các bài tập thực tiễn. Phương pháp: Thuyết trình, vấn đáp. Hình thức: Cá nhân. 1. HS ôn tập nội dung bài học và trả lời các câu hỏi 3ph sau: - Nêu dạng tổng quát của hàm số bậc nhất. - Nêu tính chất của hàm số bậc nhất. 7ph 2. Thực hành giải bài tập Bài 2: Trong các hàm số sau, Bài 2: a) Là hàm số bậc nhất với b = 3 và a = - 0,5 b) Là hàm số bậc nhất với b = 0 và a = - 1,5 c) Không phải là hàm số bậc nhất d) Là hàm số bậc nhất với a = ( 2 -1) và b = 1 e) Là hàm số bậc nhất với b = - 2 - 3 và a = 1 hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số a,b. a) y = 3 - 0,5x b) y = - 1,5x c) y = 5 - 2x2 d) y = ( 2 -1)x + 1 e) y + 2 =x- 3 Bài 3: Bác Hùng đi thăm người Bài 3: a) y = 9000x+39004+15000+(9000x+39004) 0,2 y = 10.800 x + 61804,8 (đồng) b) Thay x = 30km vào biểu thức 10.800 x + 61804,8 (đồng) ta tìm được số tiền bác Hùng phải trả là: 10.800  30 + 61804,8 (đồng) = 385804,8 đ 18 thân từ nhà bằng xe taxi trên quãng đường x (km), (x  25). Vì bác chỉ vào thăm hỏi trong 30 phút nên nhắn chú lái xe chờ bác trong khoảng thời gian này. Sau đó chú lái xe chở bác Hùng Vậy bác Hùng không đủ tiền trả xe taxi với 300000 về tận nhà. đồng. a) Gọi y là số tiền bác Hùng phải trả. Hãy biểu diễn y theo x (km) với điều kiện như trên. b) Nếu bác Hùng đi 30 km và mang 300.000 đồng thì bác có đủ tiền trả taxi không? Dưới đây là bảng giá xe taxi G7 mà bác Hùng đi: 19 Giá mở km tiếp Từ km 21 cửa đến 20 trở đi 6000/km 11000/km 9000/km Giáo án 2 - Luyện tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (Sử dụng PP MHH trong vận dụng kiến thức) I - Mục tiêu: 1. Kiến thức 1.1. Củng cố những mô hình bài toán thực tế dẫn đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 1.2. Ý nghĩa của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 2. Kỹ năng 2.1. Nhận biết được những mô hình thực tế dẫn đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 2.2. Thể hiện được quy tắc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2.3. Áp dụng được kiến thức về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất trong các bài tập thực tiễn. 3. Thái độ - HS thể hiện được sự hứng thú, mong muốn tìm hiểu ý nghĩa của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. - HS thể hiện được sự hợp tác đối với GV, đối với những HS khác trong các HĐ HT 4. Định hướng phát triển năng lực - Có cơ hội phát triển năng lực GQVĐ thực tiễn. - Có cơ hội phát triển năng lực MHH toán học thông qua việc chuyển vấn đề thực tiễn thành vấn đề toán học liên quan đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. - Có cơ hội phát triển năng lực giao tiếp toán học thông qua HĐ nhóm, tương tác với GV. 5. Định hướng phát triển phẩm chất - Sự nhạy bén, linh hoạt trong tư duy. - Tính chính xác, tính kiên trì. II. Phương pháp, kỹ thuật, hình thức, thiết bị DH - Phương pháp và kỹ thuật DH: HĐ nhóm, vấn đáp, thuyết trình. - Hình thức tổ chức DH: cá nhân, nhóm. - Phương tiện thiết bị DH: Máy tính và máy chiếu, loa, bảng, phần mềm Geogebra. III. Chuẩn bị 1. Chuẩn bị của GV - phiếu học tập, bản trình chiếu bằng Power Point, bảng phụ, bút viết bảng. 2. Chuẩn bị của HS 20 - Vở ghi, bút. IV. Tiến trình dạy học Thời Hoạt động của HS - GV gian Nội dung bài dạy Hoạt động 1 - Khởi động Mục tiêu: Hình thành những tình huống, mô hình thực tế dẫn đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp: Hoạt động nhóm Hình thức: Nhóm 4-5 HS Nhiệm vụ: HS thảo luận nhóm và trả lời câu hỏi. Tình huống bài toán cổ “Gà-Chó”: Đáp án: “Vừa gà vừa chó, có ba sáu con; Khó khăn: Sau khi giả thiết rằng tất cả đều là gà, ta Bó lại cho tròn, đếm đủ trăm chân. thấy thiếu 44 cái chân. Tuy nhiên lập luận như thế nào Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu cho thật sự “thuyết phục” để dẫn đến được việc lấy 44 chó?” chia cho 2 được 22 con chó thì rất khó khăn, ... - GV cho HS thảo luận về cách Trong khi đó, nếu giải bằng cách đưa về bài toán giải giải bằng phương pháp giả thiết hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thì rất thuận lợi như tạm trong Số học và thấy được sau: những khó khăn trong quá trình 1 - Toán học hóa tình huống: Tìm số gà, số chó khi biết lập luận. 10ph tổng số con là 36 và tổng số chân là 100? Trong đó 36 - Từ đó hướng dẫn HS vận dụng là kết quả của việc cộng số gà với số chó; 100 là kết bài toán giải bằng cách lập hệ quả của việc nhân số gà với 2 (chân) rồi cộng với số phương trình bậc nhất hai ẩn: chó nhân với 4 (chân). + Quy trình 4 bước: phân tích đề 2 - Phát biểu bài toán dưới dạng toán học: Chọn và bài (giả thiết-kết luận; dạng toán) đặt ẩn x ... y ... rồi thiết lập hệ phương trình để tìm x và  chọn ẩn, biểu diễn các mối y: quan hệ giữa ẩn, các đại lượng đã x+y = 36 biết, ...  lập hệ phương trình 2x+4y = 100 (x+y=36; 2x+4y=100) giải hệ 3 - Sử dụng công cụ toán học để giải: phương trình (x = ; y = )  trả lời Dùng PP giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để giải ra kết quả. nghiệm (x = 22; y = 14). 4 - Chuyển đổi kết quả để trả lời câu hỏi yêu cầu đặt ra + HĐ ngôn ngữ: chuyển đổi giữa ngôn ngữ thông thường (gà 2 ban đầu: Trả lời câu hỏi đặt ra ban đầu: Số con gà là 22 và số chân, chó 4 chân) và ngôn ngữ, kí hiệu toán học (diễn đạt mối quan 21 hệ ở trên bằng ngôn ngữ hệ con chó là 14. phương trình). HĐ 1 góp phần giúp HS phát triển NL MHH toán học (thông qua việc từ những mô hình thực tế chuyển về mô hình bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn), NL giao tiếp (trình bày cách làm trước lớp) 15ph HĐ 2. Vận dụng các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Nhiệm vụ: HS thảo luận nhóm và trả lời câu hỏi. Tình huống bài toán 2: Tìm vận Đáp án: tốc và chiều dài của một đoàn tàu Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang kiến thức và PP về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. qua văn phòng ga từ đầu máy đến Tình huống: Chuyển động của tàu hỏa khi vào và ra hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho khỏi ga. biết sân ga dài 378m và thời gian Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân giải quyết; ga cho đến khi toa cuối cùng rời Xem xét mối quan hệ giữa quãng đường - thời gian - khỏi sân ga là 25 giây. vận tốc của chuyển động; xác định đường lối đưa về mô hình toán học phương trình, hệ phương trình. Bước 3: Xây dựng bài toán Gọi x (m/s) là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga (x>0), gọi y (m) là chiều dài của đoàn tàu (y>0). Tàu chạy ngang ga mất 7 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) mất 7 giây. Ta có phương trình: y = 7x (1) Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) mất 25 giây. Ta có phương trình: y + 378 = 25x (2) Kết hợp (1) và (2) ta được hệ phương trình y  7x   y  378  25 x Như vậy, chúng ta đã chuyển được về bài toán: y  7x Giải hệ phương trình   y  378  25 x Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập HPT bậc nhất hai 22 ẩn Giải hệ phương trình bằng PP thế, ta có: x=21 ; y= 147 (thỏa mãn ĐK) Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu; - Mặt cú pháp: Quy tắc giải HPT bậc nhất hai ẩn - Mặt ngữ nghĩa: Tìm 2 số chưa biết thỏa mãn hai đẳng thức dựa trên tính chất của các phép tính. - Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21m/s, Chiều dài của đoàn tàu là: 147m HĐ 2 góp phần giúp phát triển NL MHH toán học (thông qua việc vận dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn), NL giao tiếp (trình bày cách làm trước lớp) HĐ 3. Áp dụng giải bài tập thực tiễn 10ph Mục tiêu: Áp dụng được kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong các bài tập thực tiễn. Phương pháp: HĐ nhóm Hình thức: Nhóm đôi / nhóm 4-5 HS Hình thức: Nhóm đôi GV yêu cầu HS xem lại quá trình Nhiệm vụ: HS hoàn thiện phiếu học tập. giải bài toán ở tình huống 2, sau GV mời một nhóm lên trình bày, HS bên dưới đổi đó phân chia thành các bước giải phiếu để đánh giá chéo. bài toán có nội dung thực tiễn Đáp án: Quá trình gồm có 4 bước thực hiện bằng cách lập hệ phương trình bậc 1 - Chuyển tình huống về mô hình có hai đại lượng cần nhất hai ẩn. tìm và phát biểu bài toán. 2 - Chọn ẩn và đặt hệ phương trình bậc nhất hai ẩn; 3 - Giải hệ phương trình bằng PP cộng, PP thế; 4 - Chuyển về ngôn ngữ thông thường để trả lời. 2. Áp dụng giải bài toán 3: Tình huống bài toán 3: Nhiệm vụ: Thảo luận, hoàn thiện phiếu học tập. Một xe công - ten - nơ chạy ngang Thời gian: 7 phút qua một trạm soát vé tự động Hình thức: Nhóm 4-5 HS. (không dừng) mất 2 giây. Cho biết Hết thời gian thảo luận nhóm, GV gọi nhóm hoàn thiện chiều dài toàn bộ của trạm 30 m xong đầu tiên lên trình bày cách làm của nhóm. 23 và thời gian kể từ khi đầu xe bắt GV chữa và tổng kết lại các bước giải bài toán có nội đầu đi vào trạm cho đến khi đuôi dung thực tiễn bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất xe rời khỏi trạm là 3 giây. Tìm hai ẩn (GV treo bảng phụ quy trình 4 bước nêu trên). vận tốc và chiều dài của xe công - Đáp án: Giải tương tự như đối với bài toán ở tình ten - nơ? huống 2. Kết quả: Vận tốc của xe là 15m/s và chiều dài xe là 15m. HĐ 3 góp phần giúp HS có thể phát triển NL GQVĐ (HS áp dụng kiến thức về bài toán giải bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong thực tiễn), NL giao tiếp toán học (trình bày trước lớp cách giải của bài toán thực tiễn) HĐ 4. Hướng dẫn tự học ở nhà 10ph Mục tiêu: 2.1. Nhận biết được những mô hình thực tế dẫn đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 2.2. Thể hiện được quy tắc giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2.3. Áp dụng được kiến thức về giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất trong các bài tập thực tiễn. Phương pháp: Thuyết trình, vấn đáp. Hình thức: Cá nhân. 3ph 1. HS ôn tập nội dung bài học và trả lời câu hỏi sau: GV yêu cầu HS xem lại bài học; - Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương đặt 2 câu hỏi; trình bậc nhất hai ẩn. HS thảo luận cả lớp; - Khi giải quyết tình huống thực tiễn bằng cách lập hệ GV gọi HS xung phong trả lời. phương trình bậc nhất hai ẩn chúng ta có thể gặp Những HS khác nhận xét. những khó khăn gì? 7ph 2. Giao bài tập ở nhà và hướng dẫn Hướng dẫn: Bài tập 1: Một mảnh vườn hình Đưa về mô hình bài toán giải bằng cách lập hệ phương chữ nhật có chiều rộng bé hơn trình bậc nhất hai ẩn. chiều dài 4 m và diện tích bằng Kết quả: Chiều rộng mảnh vườn là 16m; chiều dài là 320 m2. Tính chiều dài và chiều 20 (m) rộng mảnh đất. Hướng dẫn: Bài tập 2: Đưa về mô hình bài toán giải bằng cách lập hệ phương Một ô tô đi từ A đến B với một vận trình bậc nhất hai ẩn. tốc xác định và trong một thời Kết quả: gian đã định. Nếu vận tốc ô tô 24 Vận tốc của ô tô dự định là 50km/h và thời gian dự giảm bớt 10km mỗi giờ thì thời kiến đi là 3 giờ. gian cần đi đường sẽ tăng thêm 45 phút. Còn nếu vận tốc ô tô tăng thêm 10km mỗi giờ thì thời gian để đi hết quãng đường giảm bớt được 30 phút. Tính vận tốc và thời gian dự định ban đầu của ô tô. 25