Tích chập tích phân và ứng dụng

- MAI MINH LONG TÍCH CHẬP TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC TOÁN ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.
- Một số kiến thức cơ sở Phép biến đổi Fourier Định nghĩa Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine Định nghĩa Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier cosine và Fourier sine.....181.3 Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev Định nghĩa Phép biến đổi ngược Kontorovich-Lebedev Tích chập Kontorovich-Lebedev Một số ứng dụng Phương trình vi phân Phương trình đạo hàm riêng Kết luận chương .
- Tích chập suy rộng Fourier Tích chập suy rộng Fourier sine - Fourier cosine Tích chập suy rộng Fourier - Fourier sine - Fourier cosine Một số ứng dụng Kết luận chương .
- Tích chập suy rộng Kontorovich - Lebedev Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev ngược Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev giao hoán Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev không giao hoán .
- Các tíchchập được nghiên cứu đầu tiên đó là: Tích chập đối với phép biến đổi tích phânFourier F của hai hàm f và g được xác định như sau [3,5](f ∗Fg)(x) =1√2π∞Z−∞f(x −y)g(y)dy, x ∈ R.Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóaF (f ∗Fg)(y.
- f, g ∈ L1(R).Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fccủa hai hàm fvà g được xác định như sau [5](f ∗Fcg)(x) =1√2π∞Z0f(y)[g(|x − y.
- g(x + y)]dy, x > 0.6 Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóaFc(f ∗Fcg)(y.
- (Fcf)(y).(Fcg)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1(R+).Tiếp đến là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert,Hankel và Stieltjes.Các tích chập nói trên đều có cùng một thuộc tính đặc trưng đó là trongđẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phântham gia.
- Điều này ít nhiều làm hạn chế đến cấu trúc và việc ứng dụng chúngvào giải các các phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập và các bàitoán thực tế.Năm 1951, I.N.Sneddon [11] đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiênđối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine và Fourier cosine(f ∗1g)(x) =1√2π+∞Z0f(t)[g(|x − t|) −g(x + t)]dt, x > 0.Tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóaFs(f ∗1g)(y.
- (Fsf)(y).(Fcg)(y), ∀y > 0, f, g ∈ L1(R+).Năm 1958, lần đầu tiên tích chập với hàm trọng ra đời.
- γ(y)(Kf)(y)(Kg)(y).Nhờ phương pháp này mà một số tích chập với hàm trọng đã được xâydựng và nghiên cứu.Đến đầu những năm 90 của thế kỷ trước, S.B.Yakubovich đã đưa ra mộtsố tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân với chỉ số, chẳng hạn7 như tích chập đối với phép biến đổi tích phân Mellin, tích chập đối với phépbiến đổi tích phân Kontorovich - Lebedev, biến đổi G, biến đổi H.Vào năm 1998, V.A.Kakichev và N.X.Thảo đã đưa ra phương pháp mớikiến thiết tích chập suy rộng của ba phép biến đổi tích phân bất kì K1, K2, K3với hàm trọng γ(y) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóaK1(fγ∗ g)(y.
- γ(y)(K2f)(y)(K3g)(y).Từ ý tưởng của bài báo này trong những năm trở lại đây N.X.Thảo vàN.M.Khoa đã xây dựng và nghiên cứu hàng chục tích chập, tích chập suy rộngvà đa chập đối với chùm ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine,Fourier sine.
- Chẳng hạn như: Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Fouriercosine và Fourier sine được xác định bởi(f ∗3g)(x) =1√2πZ+∞0f(t)[sign(t − x)g(|t − x.
- (0.2)Tích chập suy rộng với hàm trọng γ1(y.
- sin y đối với phép biến đổi Fouriercosine và Fourier sine được xác định bởi(fγ1∗3g)(x) =12√2π+∞Z0f(t)[g(|x + t −1|) +g(|x −t + 1.
- (0.4)Xây dựng và nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọngthực sự có ý nghĩa trong lý thuyết về các phép biến đổi tích phân, tích chập và8 phương trình vi, tích phân.
- Vì vậy, tôi đã chọn hướng nghiên cứu của luận vănlà "Tích chập tích phân và ứng dụng".
- Cụ thể luận văn nghiên cứu tích chập vàtích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine,Fourier sine, Kontorovich-Lebedev và ứng dụng chúng vào giải phương trình vàhệ phương trình tích phân dạng chập.2.
- Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứuTrình bày và nghiên cứu ba tích chập, tích chập suy rộng đối với các phépbiến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev vàứng dụng chúng để giải phương trình tích phân và hệ phương trình tích phândạng chập.3.
- Đối tượng và phạm vi nghiên cứuNghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phépbiến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev vàứng dụng vào giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập.4.
- Phương pháp nghiên cứu• Sử dụng các phép biến đổi tích phân và các kết quả của giải tích, giảitích hàm.• Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập với hàm trọng của V.A.Kakichev,N.X.Thảo và kỹ thuật trong các bài báo của N.X.Thảo, N.M.Khoa để tìm hiểu,nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng và các ứng dụng của chúng.5.
- Tích chập suy rộng FourierTrình bày định nghĩa và các tính chất của ba tích chập, tích chập suy rộngđối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine và Fourier sine và9 ứng dụng.• Chương 3.
- Tích chập suy rộng Kontorovich-LebedevTrình bày định nghĩa và một số tính chất của tích chập suy rộng mà đẳngthức nhân tử hóa có biến đổi Kontorovich-Lebedev, ứng dụng của tích chập này.6.
- Kết quả đạt đượcLuận văn đã trình bày làm rõ các vấn đề sau:• Các biến đổi tích phân Fourier, Kontorovich - Lebedev, Kontorovich -Lebedev ngược và các tính chất, ứng dụng.• Các tích chập đối với các phép biến đổi Fourier, Kontorovich - Lebedev,các đẳng thức và ứng dụng.• Các tích chập suy rộng của các phép biến đổi Fourier, Kontorovich -Lebedev, Kontorovich - Lebedev ngược và ứng dụng.• Mở ra các hướng nghiên cứu mới về đa chập và ứng dụng của tích chậpKontorovich - Lebedev trong các bài toán toán lý.Luận văn này đã được báo cáo tại Seminar Giải tích, Đại học Bách KhoaHà Nội.10 Một số kí hiệu dùng trong luận văn• R+là tập các số thực dương.• L1(R) là tập các hàm f xác định trên R sao cho:Z+∞−∞|f(x)|dx.
- L(R+,ex) là tập các hàm f xác định trên R sao cho:Z+∞0ex|f(x)|dx < +∞.11 Chương 1Một số kiến thức cơ sởTrong chương này, tôi sẽ trình bày một số kiến thức về các phép biếnđổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, phép biến đổi Kontorovich-Lebedev, tích chập tương ứng của các phép biến đổi này và ứng dụng của chúngtrong việc giải phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng.1.1.
- Phép biến đổi Fourier1.1.1 Định nghĩaĐịnh nghĩa 1.1.1: Cho f ∈ L1(R), hàm F(f) xác định bởi(F f)(y) =ˆf(y) =1√2πZ+∞−∞e−iyxf(x)dc, y ∈ R.
- (1.1.1)được gọi là biến đổi Fourier của f .Định nghĩa 1.1.2: (Biến đổi Fourier ngược) Nếu F (y.
- Các tính chất cơ bản của biến đổi FourierTính chất 1: Phép biến đổi Fourier là toán tử tuyến tính.Chứng minh: ∀f, g ∈ L1(R) và ∀λ, µ ∈ R, ta cóF [λ.f + µ.g](y) =1√2πZ+∞−∞e−iyx[λf(x.
- ∞.Định nghĩa 1.1.3: Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổiFourier kí hiệu là (f ∗Fg) và được xác định bởi(f ∗Fg) =1√2πZ+∞−∞f(x − t)g(t)dt.
- Khi đó, tích chập (1.1.3) thỏa mãn đẳng thức nhân tửhóaF (f ∗Fg)(y.
- (1.1.5)1.2 Phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine1.2.1 Định nghĩaĐịnh nghĩa 1.2.1: Cho f ∈ L1(R.
- (1.2.1)được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f.Ta có công thức biến đổi ngược làf(x.
- (1.2.2)17 được gọi là biến đổi Fourier sine của hàm f.Ta có công thức biến đổi ngược làf(x.
- −i(Fsf)(y), ∀y > 0.Ví dụ 1.2.1: Tìm biến đổi Fourier cosine và Fourier sine của hàmf(x.
- Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier cosine và Fouriersine18 Tính chất 1: Các phép biến đổi Fourier cosine và Fourier sine là các toántử tuyến tính.Chứng minh: ∀f, g ∈ L1(R+) và ∀λ, µ ∈ R, ta cóFc[λ.f(x.
- µFc(g).Chứng minh tương tự cho phép biến đổi Fourier sine.Tính chất 2: Với a > 0, đặt fa(x.
- Khi đó, ta có(Fcfa)(y) =1a(Fcf)(ya),(Fsfa)(y) =1a(Fsf)(ya).Chứng minh: Ta có(Fcfa)(y) =r2πZ+∞0f(ax)cosyxdx=1ar2πZ+∞0f(ax)cos(yaax)d(ax)=1ar2πZ+∞0f(t)cos(yat)dt, t = ax=1a(Fcf)(ya).Đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.19 Định nghĩa 1.2.3: Tích chập đối với phép biến đổi Fourier cosine của haihàm f và g được xác định bởi(f ∗1g)(x) =1√2πZ+∞0f(t)[g(x + t.
- Khi đó, tích chập (1.2.3) cũng thuộc L1(R+) và thỏamãn đẳng thức nhân tử hóaFc(f ∗1g)(y.
- g(|u − t|)du]cosytdt= Fc(f ∗Fcg)(y).21 Định nghĩa: Cho f, g ∈ L1(R+).Tích chập với hàm trọng η(y.
- sin y củahai hàm f và g đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine được xác định nhưsau:(fη∗Fsg)(x) =12√2πZ+∞0f(x)[g(x + t + t.
- (1.2.12)Tích chập (1.2.12) thuộc không gian L1(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhântử hóa:Fs(fη∗Fsg)(y.
- Phép biến đổi Kontorovich - Lebedev1.3.1 Định nghĩaPhép biến đổi Kontorovich-Lebedev (K) với hàm f được định nghĩa nhưsau:(Kf)(x) =Z+∞0Kix(t)f(t)dt, (1.3.1)với nhân là hàm Macdonal Kix(t) :Kix(t) =Z+∞0e−t cos hucos(xu)du, x ≥ 0, t > 0.
- L1(R+) nên tích phân (1.3.1) hội tụ.1.3.2 Phép biến đổi ngược Kontorovich - LebedevPhép biến đổi Kontorovich - Lebedev ngược (K−1) của một hàm được xácđịnh như sau:(K−1f)(x) =2π2Z+∞0x sin h(πx)Kix(t)f(t)dx, x > 0.
- Tích chập Kontorovich-LebedevCho f, g ∈ L1(R.
- Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Kontorovich-Lebedev (1.3.3) của hai hàm f và g, kí hiệu (f ∗Kg) được xác định bởi công thứcsau(f ∗Kg)(x) =12πZ+∞0Z+∞0exph−12xuv+xvu+uvxif(u)g(v)dudv, x Tích chập (1.3.4) thuộc không gian L1(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhântử hóa sauK(f ∗Kg)(y.
- (1.3.5)Để ý rằng tất cả các tích chập trình bày ở trên đều có một đặc điểm chunglà đẳng thức nhân tử hóa của chúng chỉ có duy nhất một phép biến đổi tíchphân tham gia.
- ỞChương 2 và Chương 3 sẽ trình bày các tích chập suy rộng với các phép biếnđổi tích phân và các ứng dụng của chúng.1.4 Một số ứng dụng1.4.1.
- Phương trình vi phânVí dụ 1.4: Áp dụng biến đổi Fourier vào giải phương trình vi phân thườngbậc n với hệ số hằngLy(x.
- (1.4.4)(trong đó f(x) là hàm cho trước) bằng phương pháp biến đổi Fourier.Giải: Áp dụng biến đổi Fourier vào hai vế của (1.4.4) ta được−(ik)2ˆu(k.
- a2ˆu(k) =ˆf(k)24 =>ˆu(k) =ˆf(k)k2+ a2.Áp dụng biến đổi Fourier ngược và công thức (1.1.5) ta đượcu(x.
- −k2ˆu(k, t).Như vậy, việc biến đổi Fourier hai vế của (1.4.6) cho ta phương trình viphân thường theo biến tˆut(k, t.
- Phép biến đổi Fourier, Fourier ngược, Fourier sine, Fourier cosine, Kontorovich-Lebedev, các tính chất cơ bản của chúng.• Các tích chập của hai hàm đối với các phép biến đổi tích phân.• Ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàmriêng.Tài liệu tham khảo Chương 2Tích chập suy rộng FourierChương này sẽ trình bày về tích chập suy rộng Fourier sine - Fourier cosine,tích chập suy rộng Fourier - Fourier sine - Fourier cosine, một số mệnh đề, đẳngthức, định lý của chúng và một số ứng dụng.2.1 Tích chập suy rộng Fourier sine - Fourier cosineĐịnh nghĩa 2.1.1: Tích chập suy rộng của f và g đối với các phép biếnđổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine được xác định bởi(f ∗2g)(x) =1√2πZ+∞0f(t)[g(|x − t.
- (2.1.1)Định lý 2.1.1: Nếu f và g là các hàm thuộc L1(R+) thì tích chập suy rộng(2.1.1) cũng thuộc L1(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sauFs(f ∗2g)(x.
- (Fsg)(y)(Fcf)(y).Suy ra tích chập suy rộng (2.1.1) không giao hoán.Mệnh đề 2.1.1: Trong không gian hàm L1(R.
- tích chập suy rộng (2.1.1)không giao hoán, không kết hợp nhưng thỏa mãn các đẳng thứca, (f ∗1g) ∗1h = (f ∗1h)∗1g).b, f ∗1(g ∗Fch.
- h ∗1(f ∗3g).Định nghĩa 2.1.2: Tích chập của hai hàm f và g đối với phép biến đổitích phân Laplace được xác định bởi [5](f ∗Lg)(x) =Zx0f(x − t)g(t)dt, x trong đó biến đổi tích phân Laplace được cho bởi [11](Lf)(y) =Z+∞0e−yxf(x)dx, y ∈ C.Mệnh đề 2.2.2: Cho f, g ∈ L1(R.
- Ta tiếp tục chứng minh vàng định chuẩnnày không có phần từ đơn vị.35 Giả sử e là phần tử đơn vị của phép toán tích chập (2.1.2) trong khônggian hàm L1(R.
- limy→+∞Z+∞0e(x)cosyxdx = 0.Điều này và đẳng thức (2.1.15) dẫn tới điều vô lí.Vậy, không gian L1(R+) được trang bị phép toán tích chập (2.1.1) là vànhđịnh chuẩn không giao hoán, không kết hợp và không có phần tử đơn vị.Định lý 2.1.3: (Định lý kiểu Titchmarch).
- Tích chập suy rộng đốivới phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Fourier sine của hai hàm f và g,kí hiêu là (f ∗3g)(x), được xác định bởi công thức(f ∗3g)(x) =1√2πZ+∞0f(u)[sign(u − x)(g(|u − x.
- (2.1.17)Tích chập (2.1.17) thuộc không gian L1(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhântử hóaFc(f ∗3g)(y.
- Tích chập suy rộng Fourier - Fourier sine - Fourier cosineĐịnh nghĩa 2.2.1: Tích chập suy rộng có hàm trọng γ3(y.
- signy đối vớiba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine của hai hàm fvà g được xác định bởi(fγ3∗5g)(x) =i√2πZ+∞0g(t)[f(|x − t.
- signy đối với ba phép biến đổi tích phân Fourier,38 Fourier cosine và Fourier sine của các hàm f và g thuộc L1(R) có đẳng thức nhântử hóaF (fγ3∗5g)(y.
- tích chập suy rộng (2.2.1)không giao hoán và có đẳng thức(fγ3∗5g)(y.
- f(|x + t|)]g(t)dt.Với phép biến đổi v = t − x, u = x + t ta nhận được41 (fγ3∗5g)(x) =i√2πZ+∞−xf(|v|)g(|x + v|)dv −Z+∞xf(|u|)g(|u − x|)du=i√2π{Z+∞−xf(|v|)g(|x + v|)dv −Z−x0f(v)g(|x + v|)dv−Z+∞0f(|u|)g(|u − x|)du −Z0xf(|u|)g(|u − x|)du}=i√2π{−Z+∞0[g(|x − u.
- tích chập suy rộng (2.2.1)không kết hợp nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức[fγ3∗(5gγ3∗5h)](x.
- Ta tiếp tục chứng minhvành định chuẩn này không có phần tử đơn vị.Giả sử e là phần tử đơn vị của phép toán tích chập (2.2.1) trong khônggian hàm L1(R.
- −1.Điều này mâu thuẫn với (2.2.8).Vậy không tồn tại phần tử đơn vị của phép toán tích chập (2.2.1) trongkhông gian hàm L1(R+).Định lý 2.2.3: (Định lý kiểu Titchmarch).
- Tích chập suy rộng Fourier sine - Fourier cosine và đẳng thức nhân tửhóa, một số đẳng thức, mệnh đề của tích chập này.• Tích chập suy rộng Fourier - Fourier sine - Fourier cosine và đẳng thứcnhân tử hóa, một số đẳng thức, mệnh đề của tích chập này.• Ứng dụng trong việc giải đúng phương trình tích phân Fredholm.Tài liệu tham khảo Chương 3Tích chập suy rộng Kontorivich-LebedevChương này trình bày về tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y.
- sinh−1(πy)đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev, tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev có tính giao hoán và không cótính giao hoán.
- Từ đó nghiên cứu sự tồn tại, đẳng thức nhân tử hóa của chúng,một số tính chất và ứng dụng của chúng.Các định lý chính của chương này là Định lý 3.1 và Định lý 3.2.3.1 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev ngượcTích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev là tích chập mà trong đẳng thứcnhân tử hóa có chứa nhiều phép biến đổi tích phân, trong đó có phép biến đổiKontorovich-Lebedev.
- Dưới đây sẽ giới thiệu hai tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev.• Định nghĩa:Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y.
- sinh−1(πy) của hai hàm f và gđối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine và Kontorovich-Lebedev được xác định như sau(fγ∗1g) =1π2Z+∞0Z+∞0[sinh(x + v)e−u cosh(x+v)+ sinh(x − v)e−u cosh(x−v)].f(u)g(v)dudv , x fγ∗2g) =1π2Z+∞0Z+∞0[sinh(x + v)e−u cosh(x+v)+ sinh(x − v)e−u cosh(x−v)].f(u)g(v)dudv, x > 0.
- (3.1.2)• Đẳng thức nhân tử hóa:54 Định lý 3.1: Chof ∈ L1(R+,1x), g ∈ L1(R+).Khi đó, tích chập (fγ∗1g), (fγ∗2g) thuộc L1(R+) và thỏa mãn các đẳng thức nhântử hóa:Fs(fγ∗1g)(y.
- (3.1.4)Trong đó, K−1là phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược.Chứng minh:Vìusinh(x + v)e−u cosh(x+v)→ 0khi u, v.
- nênZ+∞0Z+∞0sinh(x + v)e−u cosh(x+v)+ sinh(x − v)e−u cos h(x−v)|f(u)||g(v)|dudv≤ CR+∞01u|f(u)|duR+∞0|g(v)|dv < +∞.Do đó, tích chập (fγ∗1g) tồn tại.VìZ+∞0sinh(x + v)e−u cosh(x+v)dx = −1uZ+∞0d(e−u cosh(x+v ue−u cosh(x+v)|+∞0= −1u(0 − e−u cosh v)= −1ue−u cosh v55 và vìZ+∞0|sinh(x − v)e−u cosh(x−v)|dx=Zv0|sinh(x − v)e−u cosh(x−v)|dx +Z+∞v|sinh(x − v)e−u cosh(x−v)|dx= −Zv0sinh(x − v)e−u cosh(x−v)dx +Z+∞vsinh(x − v)e−u cosh(x−v)dx=1uZ+∞0d(e−u cosh(x−v)) −1uZ+∞vd(e−u cosh(x−v))=1ue−u cosh(x−v)|v0−1ue−u cosh(x−v)|+∞v=1u[e−u− e−u cosh v] −1u[0 − e−u]= 2e−uu−e−u cosh vunên từ (3.1.5) và (3.1.6) ta cóZ+∞0(fγ∗1g)(x)dx ≤1π2Z+∞0Z+∞0Z+∞0[sinh(x + v)e−u cosh(x+v)+ |sinh(x − v)|e−u cosh(x−v)]|f(u)||g(v)|dudvdx.=1π2Z+∞0Z+∞0|f(u)||g(v)|Z+∞0hsinh(x + v)e−u cosh(x+v)+ |sinh(x − v)|e−u cosh(x−v)idxdudx≤2π2Z+∞0Z+∞0|f(u)||g(v)|e−uududv=2π2Z+∞0e−u1u|f(u)|duZ+∞0|g(v)|dv≤Z+∞01u|f(u)|duZ+∞0|g(v)|dv < +∞.Vậy(fγ∗1g)(x.
- L1(R+).Bây giờ ta sẽ chứng minh tích chập suy rộng (3.1.1) thỏa mãn đẳng thứcnhân tử hóa (3.1.3).
- sinhxe−u cosh x.• Một số tính chất:Hệ quả 3.1: (xem [10])Cho các tích chập suy rộng (3.1.1) và (3.1.2).
- (sinh te−u cosh t∗2g(t))]du,trong đó các tích chập.
- (fγ∗2g)(x)=√2π√πZ+∞0f(u)k(t, u) ∗1g(t)(x)du +2π2Z+∞0Z+∞xk(x − v, u)f(u)g(v)dudv−√2π√πZ+∞0f(u)(k(t, u) ∗2g(t))du −2π2Z+∞0Z+∞xk(x − v, u)f(u)g(v)dudv=√2π√πZ+∞0f(u)hk(t, u) ∗1g(t)(x) −k(t, u) ∗2g(t)(x)idu.Vậy ta có điều phải chứng minh.61 Định lý 3.2: (xem [10])Với điều kiệnf, g ∈ L1(R+,1x), h ∈ L1(R+),các tích chập (3.1.1) và (3.1.2) không giao hoán, không kết hợp nhưng nó có cácđẳng thức sau:1,γf∗1(gγ∗2h.
- Với điều kiệnf, g ∈ L1(R+,1x), h, k ∈ L1(R+),các tích chập không giao hoán, không kết hợp nhưng nóthỏa mãn các đẳng thức sau:1,γf∗1(gγ∗2h)∗2k =γf∗1gγ∗2(h ∗2k).2,γf∗2(gγ∗1h)∗1k =γf∗2gγ∗1(h ∗1k).Trong đó, các tích chập.
- Fsγ(f∗1(gγ∗2h))(Fck)(y)= sinh−1(πy)(K−1f)(y)Fc(gγ∗2h)(y)(Fck)(y)= sinh−1(πy)(K−1f)(y)sinh−1(πy)(K−1g)(y)Fs(h ∗2k)(y)= sinh−2(πy)(K−1f)(y)(K−1g)(y)Fs(h ∗2k)(y)= sinh−1(πy)(K−1f)(y)Fcγ(g∗2(h ∗2k))(y)= Fsγf∗1(gγ∗2(h ∗2k))(y).Vậyγf∗1(gγ∗2h)∗2k =γf∗1gγ∗2(h ∗2k).2, Từ các đẳng thức nhân tử hóa và (3.1.4) ta cóFcfγ∗2gγ∗1h∗1k= Fcfγ∗2gγ∗1h(y)(Fck)(y)= sinh−1(πy)(K−1f)(y)Fs(gγ∗1h)(y)(Fck)(y)= sinh−1(πy)(K−1f)(y)sinh−1(πy)(K−1g)(y)(Fch)(y)(Fck)(y)= sinh−1(πy)(K−1f)(y)sinh−1(πy)(K−1g)(y)(h ∗1k)(y)= sinh−1(πy)(K−1f)(y)Fsgγ∗1h ∗1k(y)= Fcfγ∗2gγ∗1h ∗1k(y).Vậyγf∗2(gγ∗1h)∗1k =γf∗2gγ∗1(h ∗1k).Định nghĩa: Tích chập suy rộng của hai hàm f và g đối với các phép biếnđổi tích phân Fourier sine và Kontorovich-Lebedev (K) được xác định như sau:65 (f ∗ g) =1π2Z+∞0Z+∞01uhe−u cosh(x−v)− e−u cosh(x+v)if(u)g(v)dudv, x Đẳng thức nhân tử hóa:Giả sử f ∈ L1(R+,1√x3) và g ∈ L1(R.
- Khi đó, tích chập suy rộng (f ∗g)(x)thuộc không gian L1(R+) và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa:Fs(f ∗ g)(y.
- f ∗ (g ∗1h).Trong đó các tích chập (η.
- f ∗ (g ∗1h).3.2 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev giao hoánTích chập giao hoán:(f ∗ g)2(t) =Z∞0Z∞0f(τ)g(θ)κ(t, θ, τ)dθdτ, t và đẳng thức(Fc(f ∗ g)2)(x) =r2πKix[f]Kix[g], x > 0.
- (3.2.2)Định lý 3.2.1: Cho hai hàmf, g ∈ L0,β1, 0 < β ≤ 1.Tích chập (3.2.1) tồn tại với t > 0 và thuộc không gian L1(R+) và||(f ∗ g)2||L1(R.
- (3.2.5)Nhận xét: tính chất giao hoán của tích chập này thể hiện rõ ở các kết quảchứng minh trên.3.3 Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev không giao hoánTích chập giao hoán:(f ∗ g)1(t) =1πtZ∞0Z∞0f(τ)g(θ)κ(t, θ, τ)dτdθ, t và đẳng thức nhân tử hóaKix[(f ∗ g)1] =rπ2(Fcf)(x)Kix[g]x sinh πx, x > 0.
- L1(R+)vàg ∈ L0,β1, 0 < β ≤ 1.Khi đó, tích chập (3.3.1) được định nghĩa với t > 0 là một hàm liên tục và nằmtrong không gian L0,βpvới α > p − 1, 1 ≤ p.
- Trongchương này tôi đưa ra một lớp hệ phương trình tích phân dạng chập sau đó sửdụng công cụ tích chập suy rộng (3.1.14) và một số tích chập khác để giải đónghệ phương trình tích phân dạng chập.3.4.1.
- Để giải những phương trình này tôi dùngcông cụ tích chập suy rộng 3.1.14 cùng với một số tích chập đã biết để giải,nghiệm nhận được ở đây cho ta nghiệm đúng là những biểu thức giải tích tườngminh và thuộc không gian L1(R.
- Cần phải nhấn mạnh là các hệ phương trìnhtích phân dưới đây khó có thể giải được nếu không dùng công cụ tích chập suyrộng với hàm trọng Các ví dụ minh họa:Xét hệ phương trình tích phân:(f(x.
- λ2ψ ∗1ξ ∗2h∗1q(x)Ở đó, q ∈ L1(R+) và được xác định bởi(Fcq)(y) =λ1λ2Fc(ϕ ∗ ψ) ∗2ξ(y)1 − λ1λ2Fc(ϕ ∗ ψ) ∗2ξ(y), ∀y > 0,trong đó các tích chập (.∗1.
- (3.4.7)Từ công thức (3.4.6) và (3.4.7) ta thấy rằng nghiệm (f, g) nhận được ở đâylà một biểu thức giải tích biểu diễn thông qua tích chập (3.1.14) và một số tíchchập đã biết.
- Mà các tích chập này đều thuộc L1(R+).Định lý được chứng minh.Ví dụ (xem [9])Xét hệ phương trình tích phân:77 (f(x.
- λ2ψγ1∗1(h ∗2ξ)∗1l(x)với l ∈ L1(R+) và được xác định bởiλ1λ2Fcψγ1∗2(ϕ ∗ ξ)(y)1 − λ1λ2Fcψγ1∗2(ϕ ∗ ξ)(y)= (Fcl)(y),Trong đó các tích chập.
- (3.4.12)Từ (3.4.11) và (3.4.12) ta thấy rằng nghiệm của (f, g) nhận được ở đây làmột biểu thức giải tích biểu diễn thông qua tích chập (3.1.14) và một số tíchchập đã biết.
- Mà các tích chập này đều thuộc L1(R.
- vì vậy tập nghiệm nhậnđược ở đây hoàn toàn thuộc L1(R+).Định lý được chứng minh.81 Kết luận Chương 3Chương ba trình bày về:• Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phânKontorovich-Lebedev ngược, Fourier sine, Fourier cosine trên các không gianhàm, đẳng thức nhân tử hóa và các tính chất toán tử.• Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev giao hoán, tích chập suy rộngKontorovich-Lebdev không giao hoán.• Ứng dụng giải đúng hệ phương trình tích phân Fredholm dạng chập.Tài liệu tham khảo KẾT LUẬNLuận văn nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng đối với ba phépbiến đổi Fourier, Kontorovich-Lebedev cùng các tính chất toán tử của chúngtrong các không gian cũng như ứng dụng để giải phương trình vi phân, phươngtrình đạo hàm riêng và hệ phương trình tích phân dạng chập.
- Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Fourierngược, Kontorovich-Lebdev và các tính chất cơ bản của chúng.• Các tích chập Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedevđối với các phép biến đổi tích phân trên các không gian hàm và tính chất toántử của chúng.• Các tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân trên các khônggian hàm và tính chất toán tử.
- Ứng dụng giải đúng các phương trình và hệ phương trình Fredholm dạngchập.Luận văn mở ra hướng nghiên cứu mới là:• Xây dựng và nghiên cứu đa chập đối với các phép biến đổi tích phânKontorovich-Lebedev và các biến đổi tích phân khác.• Nghiên cứu ứng dụng của tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev trongcác bài toán toán lý.Tuy nhiên do thời gian và trình độ còn những hạn chế nên luận văn khôngtránh khỏi những thiếu sót

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt