- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘILÊ THỊ THÚYTẬP HÚT TOÀN CỤCĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNHPARABOLIC SUY BIẾNLUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCHà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘILÊ THỊ THÚYTẬP HÚT TOÀN CỤCĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNHPARABOLIC SUY BIẾNChuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phânMã số LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCTập thể hướng dẫn khoa học:1. - Nguyễn Đình Bình (HD2)Hà Nội - 2013 LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướngdẫn của TS. - Các kết quả đượcphát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trongcác công trình của các tác giả khác.Tác giả LỜI CẢM ƠNLuận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của các thầy TS. - Các thầy đã dẫn dắt tác giả làm quenvới nghiên cứu khoa học từ khi tác giả còn là học viên cao học. - Ngoàinhững chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của cácthầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả tự tin và say mêtrong nghiên cứu. - Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lòngquý mến đối với các thầy.Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô và các bạnđồng nghiệp trong Seminar Bộ môn Toán cơ bản, Đại học Bách khoa HàNội. - Seminar Bộ môn Giải tích, Đại học Sư phạm Hà Nội và Seminar Giảitích đại số, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạomột môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thànhluận án này. - Tại đây tác giả đã nhận được nhiều chỉ dẫn, góp ý cũng nhưmột môi trường khoa học sôi nổi và thân thiện, điều không thể thiếu trongquá trình nghiên cứu, hoàn thành luận án của tác giả.Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại họcĐiện lực, các anh chị đồng nghiệp công tác tại Bộ môn Toán, Khoa Khoahọc Cơ bản, trường Đại học Điện lực đã tạo điều kiện thuận lợi trong quátrình tác giả học tập, công tác và hoàn thành luận án này.Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình bố mẹ,các anh chị em và đặc biệt là người bạn đời đã luôn ở bên cạnh động viên,giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án này.Tác giả MỤC LỤCLỜI CAM ĐOAN. - 181.3 Tập hút toàn cục. - 191.3.1 Một số khái niệm. - 191.3.2 Tập hút toàn cục. - 211.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục. - 231.3.4 Số chiều fractal của tập hút toàn cục. - 261.4 Tập hút đều. - 271.4.1 Tập hút đều của quá trình đơn trị. - 271.4.2 Tập hút đều của nửa quá trình đa trị. - 291.5 Một số bất đẳng thức thường dùng. - 321.6 Một số bổ đề quan trọng. - TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNHPARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN MIỀN BỊ CHẶN 352.1 Đặt bài toán. - 352.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu. - 373 2.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2(Ω. - 432.4 Sự phụ thuộc nửa liên tục trên của tập hút toàn cục vào sốhạng phi tuyến. - 452.5 Tính trơn của tập hút toàn cục. - 492.5.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2p−2(Ω. - 492.5.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong D20(Ω, σ. - 562.6 Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục. - TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNHPARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN TOÀN KHÔNGGIAN 643.1 Đặt bài toán. - 643.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu. - 663.3 Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục. - 703.3.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2(RN. - 743.3.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong Lp(RN. - 803.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong H10(RN, σ) ∩Lp(RN) 83Chương 4. - TẬP HÚT ĐỀU ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLICSUY BIẾN TỰA TUYẾN TÍNH KHÔNG ÔTÔNÔM 864.1 Đặt bài toán. - 864.2 Sự tồn tại nghiệm yếu. - 884.3 Sự tồn tại tập hút đều trong L2(Ω. - 894.4 Tính trơn của tập hút đều trong trường hợp duy nhất nghiệmvà p = 2. - 944.4.1 Tập (L2(Ω), Lq(Ω. - hút đều. - 984 4.4.2 Tập (L2(Ω), D10(Ω, ρ. - 105DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUANĐẾN LUẬN ÁN. - Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tàiCác phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất hiện nhiềutrong các quá trình của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn các quátrình truyền nhiệt và khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chấtlỏng, các phản ứng hóa học, các mô hình quần thể trong sinh học. - Việcnghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoahọc và công nghệ. - Các vấn đề đặt ra là nghiên cứu tínhđặt đúng của bài toán (sự tồn tại duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tụccủa nghiệm theo dữ kiện đã cho) và các tính chất định tính của nghiệm(tính trơn, dáng điệu tiệm cận của nghiệm,...).Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiên cứu dángđiệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng là rất quan trọng vì nócho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triển của hệ động lực trong tươnglai, từ đó ta có thể có những điều chỉnh thích hợp để đạt được kết quảmong muốn. - Lí thuyết này nằm ở giaocủa 3 chuyên ngành là Lí thuyết hệ động lực, Lí thuyết phương trình viphân đạo hàm riêng và Lí thuyết phương trình vi phân thường (xem Bảngphân loại toán học năm 2010). - Bài toán cơ bản của lí thuyết này là nghiêncứu sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập hút, chẳng hạn đánh giá số6 chiều fractal hoặc số chiều Hausdorff, sự phụ thuộc liên tục của tập húttheo tham biến, tính trơn của tập hút, xác định các modes. - Tập húttoàn cục cổ điển là một tập compact, bất biến, hút tất cả các quĩ đạo củahệ và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệu tiệm cận của hệ. - Cụ thể vớimỗi quĩ đạo cho trước của hệ và một khoảng thời gian T tùy ý, ta đều tìmđược một quĩ đạo nằm trên tập hút toàn cục mà dáng điệu khi thời gianđủ lớn của hai quĩ đạo này sai khác đủ nhỏ trên một khoảng có độ dài T .Hơn nữa, trong nhiều trường hợp tập hút toàn cục có số chiều fractal hữuhạn và khi đó ta có thể qui việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của mộtnghiệm bất kì về nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm trên tậphút toàn cục, tức là qui việc nghiên cứu một hệ động lực vô hạn chiều vềnghiên cứu hệ động lực hữu hạn chiều trên tập hút toàn cục.Trong ba thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và thuđược nhiều kết quả về lí thuyết tập hút đối với nhiều lớp phương trình viphân đạo hàm riêng (xem, chẳng hạn, các cuốn chuyên khảo và các bài tổng quan gần đây . - Một trong nhữnglớp phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu nhiều nhất là lớp phươngtrình parabolic. - Lớp phương trình này mô tả nhiều quá trình trong vậtlí, hóa học và sinh học như quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứng -khuếch tán, mô hình toán học trong sinh học quần thể. - .Sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình và hệ phương trìnhparabolic nửa tuyến tính không suy biến đã được nghiên cứu bởi nhiềutác giả, trong cả miền bị chặn và không bị chặn (xem . - Tính liên tục của tập hút toàncục đối với các bài toán parabolic được nghiên cứu trong các công trình . - Trong những năm gần đây, sự tồn tại tập hút đã7 được chứng minh cho phương trình parabolic với điều kiện biên phi tuyến phương trình parabolic với điều kiện biên độnglực . - Cho đến nay, các kết quả về lí thuyết tập hút đốivới lớp phương trình parabolic không suy biến rất phong phú và đã kháhoàn thiện. - Tuy nhiên, các kết quả tương ứng trong trường hợp phươngtrình suy biến vẫn còn ít. - Các phương trình parabolic suy biến xuất hiệnmột cách tự nhiên trong nhiều bài toán của vật lí, hóa học, sinh học, vàđang thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trongvà ngoài nước.Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả gần đây về lí thuyết tậphút toàn cục đối với phương trình parabolic suy biến:• Phương trình parabolic suy biến có phần chính dạng:−∆Φ(u) hoặc −div(Φ(u)∇u), trong đó Φ(0. - 0.Trong những năm gần đây, sự tồn tại tập hút đã được chứng minh chonhiều lớp phương trình parabolic thuộc loại này, chẳng hạn phươngtrình tựa tuyến tính p-Laplacian và một số lớpphương trình khác . - Phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin: Đó là lớpphương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin (xem [53]),Gsu = ∆x1u + |x1|2s∆x2u, x = (x1, x2. - Ω ⊂ RN1× RN2, s ≥ 0.Dựa trên các kết quả về phép nhúng kiểu Sobolev thiết lập trong [86],sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm đã được nghiên cứu cho mộtsố lớp phương trình parabolic chứa toán tử này, trong cả hai trườnghợp ôtônôm và không ôtônôm. - Trong trường hợp ôtônôm, sự tồn tại8 tập hút toàn cục đã được chứng minh trong [13] khi số hạng phituyến là Lipschitz địa phương và thỏa mãn điều kiện tăng trưởng kiểuSobolev. - Trong trường hợp không ôtônôm, tứclà khi ngoại lực phụ thuộc vào cả biến thời gian t và biến không gianx, sự tồn tại tập hút đều và tập hút lùi đối với lớp phương trình nàyđã được chứng minh trong . - Gần đây, một số kết quả trênđây đã được mở rộng sang hệ parabolic có chứa toán tử Grushin, xem[20. - Phương trình parabolic kì dị hoặc suy biến liên quan đến bất đẳngthức Caffarelli-Kohn-Nirenberg: Đây là lớp phương trình chứa toán tửA = −div(|x|−pγ|∇u|p−2∇u). - Mặc dù đã có một số kết quả về sự tồntại nghiệm của lớp phương trình này (xem, chẳng hạn nhưng theo hiểu biết của chúng tôi kết quả trong bài báo [29] là kếtquả đầu tiên về dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình này.• Phương trình parabolic suy biến kiểu Caldiroli - Musina: Đây là lớpphương trình parabolic chứa toán tử −div(σ(x)∇u), ở đó hệ số khuếchtán σ là hàm không âm, đo được và có thể bằng không tại hữu hạnđiểm. - |x|α, α ∈ (0, 2), trong trường hợp miềnbị chặn, và σ(x. - |x|α+|x|β, α ∈ (0, 2), β > 2, trong trường hợp miềnkhông bị chặn.Để nghiên cứu lớp phương trình này, Caldiroli và Musina đã xét khônggian năng lượng tự nhiên D10(Ω, σ) được định nghĩa là bổ sung đủ củaC∞0(Ω) đối với chuẩnkukD10(Ω,σ):=ZΩσ(x)|∇u|2dx1/2và chứng minh một số định lí nhúng tương ứng. - Dựa trên kết quả này,trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệmcủa một số lớp phương trình parabolic có dạngut− div(σ∇u. - 0đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. - Phương trình này có thể xem làmô hình đơn giản của quá trình khuếch tán nơtron (điều khiển phảnhồi của phản ứng hạt nhân) (xem [42. - Trong trường hợp này u và σtương ứng chỉ sự chảy nơtron và sự khuếch tán nơtron.Các tác giả N.I. - Zographopoulos (xem [55, 56])đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm của bàitoán Cauchy-Dirichlet đối với lớp phương trình trên trong trường hợpđặc biệt f(u
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt