Tập hút toàn cục đối với một số lớp phương trình parabolic suy biến

- LÊ THỊ THÚY TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN Phương trình vi phân và tích phân Mã số TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Toán cơ bản, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
- MỞ ĐẦUCác phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất hiệnnhiều trong các quá trình của vật lí và sinh học.
- Việc nghiên cứunhững lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa họcvà công nghệ.
- Các vấn đề đặt ra lànghiên cứu tính đặt đúng của bài toán và các tính chất định tínhcủa nghiệm.Sau khi nghiên cứu tính đặt đúng của bài toán, việc nghiêncứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng là rấtquan trọng vì nó cho phép ta hiểu và dự đoán xu thế phát triểncủa hệ động lực trong tương lai, từ đó ta có thể có những điềuchỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn.
- Về mặt toán học,điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới, được phát triểnmạnh mẽ trong khoảng ba thập kỉ gần đây đó là Lí thuyết cáchệ động lực tiêu hao vô hạn chiều.
- Bài toán cơ bản của lí thuyếtnày là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập hút.Tập hút toàn cục cổ điển là một tập compact, bất biến, hút tấtcả các quĩ đạo của hệ và chứa đựng nhiều thông tin về dáng điệutiệm cận của hệ.
- Cụ thể với mỗi quĩ đạo cho trước của hệ và mộtkhoảng thời gian T tùy ý, ta đều tìm được một quĩ đạo nằm trêntập hút toàn cục mà dáng điệu khi thời gian đủ lớn của hai quĩđạo này sai khác đủ nhỏ trên một khoảng có độ dài T .
- Hơn nữa,trong nhiều trường hợp tập hút toàn cục có số chiều fractal hữuhạn và khi đó ta có thể qui việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cậncủa một nghiệm bất kì về nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của cácnghiệm trên tập hút toàn cục, tức là qui việc nghiên cứu một hệđộng lực vô hạn chiều về nghiên cứu hệ động lực hữu hạn chiềutrên tập hút toàn cục.Trong ba thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học đã nghiên cứuvà thu được nhiều kết quả về lí thuyết tập hút đối với nhiều lớpphương trình vi phân đạo hàm riêng.
- Trong đó, các kết quả đốivới lớp phương trình parabolic không suy biến rất phong phú vàđã khá hoàn thiện.
- Tuy nhiên, các kết quả tương ứng trong trườnghợp phương trình suy biến vẫn còn ít.
- Dưới đây, chúng tôi điểmqua một số kết quả gần đây về lí thuyết tập hút toàn cục đối với1 phương trình parabolic suy biến:– Phương trình parabolic suy biến có phần chính dạng −∆Φ(u)hoặc −div(Φ(u)∇u), trong đó Φ(0.
- 0: Trong những năm gầnđây, sự tồn tại tập hút đã được chứng minh cho nhiều lớp phươngtrình parabolic thuộc loại này, chẳng hạn phương trình tựa tuyếntính p-Laplacian và một số lớp phương trình khác.– Phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin: Đó làlớp phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin,Gsu = ∆x1u + |x1|2s∆x2u, x = (x1, x2.
- Ω ⊂ RN1× RN2, s ≥ 0.Dựa trên các kết quả về phép nhúng kiểu Sobolev thiết lập bởiN.T.C.
- Tri (2002), sự tồn tại và dáng điệu tiệmcận nghiệm đã được nghiên cứu cho một số lớp phương trìnhparabolic chứa toán tử này, trong cả hai trường hợp ôtônôm vàkhông ôtônôm.– Phương trình parabolic kì dị hoặc suy biến liên quan đếnbất đẳng thức Caffarelli-Kohn-Nirenberg: Đây là lớp phương trìnhchứa toán tử A = −div(|x|−pγ|∇u|p−2∇u).
- Mặc dù đã có một sốkết quả về sự tồn tại nghiệm của lớp phương trình này, nhưng theohiểu biết của chúng tôi kết quả trong bài báo của N.D.
- Anh (2012) là kết quả đầu tiên về dáng điệu tiệm cận nghiệmcủa lớp phương trình này.– Phương trình parabolic suy biến kiểu Caldiroli - Musina: Đâylà lớp phương trình parabolic chứa toán tử −div(σ(x)∇u), ở đó hệsố khuếch tán σ là hàm không âm, đo được và có thể bằng khôngtại hữu hạn điểm.
- Cụ thể, ta giả sử σ thỏa mãn các điều kiện doCaldiroli và Musina đưa ra năm 2000:(Hα) Khi miền Ω bị chặn, σ ∈ L1loc(Ω) và với α ∈ (0, 2),lim infx→z|x − z|−ασ(x.
- 0 với mọi z ∈ Ω;(H∞α,β) Khi miền Ω không bị chặn, σ thỏa mãn điều kiện (Hα)và lim inf|x|→∞|x|−βσ(x.
- Zographopoulos đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệmcủa bài toán Cauchy-Dirichlet đối với lớp phương trình trên với2 f(u.
- 0 với β > 2.Khi đó ta định nghĩa không gian D10(Ω, σ) là bổ sung đủ củaC∞0(Ω) đối với chuẩn kukD10(Ω,σ):=RΩσ(x)|∇u|2dx12.Kí hiệu D−1(Ω, σ) là không gian đối ngẫu của D10(Ω, σ).Chúng tôi nhắc lại một số bổ đề liên quan tới phép nhúngSobolev liên quan đến không gian D10(Ω, σ) (Caldiroli vàMusina, 2000.
- Không gian Sobolev có trọng D20(Ω, σ) là bao đóng của khônggian C∞0(Ω) với chuẩn kukD20(Ω,σ):=RΩ|div(σ(x)∇u)|2dx12.1.2 Không gian hàm phụ thuộc thời gianGiả sử X là một không gian Banach.
- Trong mục này, chúng tôinhắc lại định nghĩa các không gian: C([a, b].
- X).5 1.3 Tập hút toàn cục1.3.1 Một số khái niệmGiả sử X là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau:Định nghĩa 1.3.1.
- Một nửa nhóm (liên tục) trên X là một họcác ánh xạ S(t.
- X.Trong mục này, chúng tôi nhắc lại các định nghĩa tập bất biến(bất biến, bất biến dương, bất biến âm), nửa nhóm tiêu hao (tiêuhao điểm, tiêu hao bị chặn) và định nghĩa nửa nhóm compact tiệmcận.Nếu S(t) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B0⊂ X saocho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại T = T (B.
- Tập B0như vậy gọi là một tập hấp thụ đốivới nửa nhóm S(t).1.3.2 Tập hút toàn cụcĐịnh nghĩa 1.3.6.
- Một tập con khác rỗng A của X gọi là mộttập hút toàn cục đối với nửa nhóm S(t) nếu:1.
- A là một tập đóng và bị chặn;2.
- A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > 0;3.
- A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức làlimt→∞dist(S(t)B, A.
- supa∈Einfb∈Fd(a, b) là nửa khoảng cách Haus-dorff giữa hai tập con E và F của X.6 1.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cụcKết quả sau đây là định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn cục.Định lí 1.3.11.
- Giả sử S(t) là nửa nhóm liên tục trên không gianBanach X.
- Giả sử S(t) là tiêu hao và compact tiệm cận.
- Nếu Blà một tập hấp thụ bị chặn của S(t) thì A = ω(B) là một tậpcompact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với S(t).
- Hơn nữa,tập hút toàn cục A là liên thông trong X.Chúng tôi nhắc lại một vài khái niệm (nửa nhóm liên tục mạnh- yếu, nửa nhóm thỏa mãn Điều kiện (C)) và kết quả sẽ được sửdụng để chứng minh tính trơn của tập hút toàn cục.Định lí 1.3.17.
- Giả sử {S(t)}t≥0là một nửa nhóm liên tục mạnh- yếu trên Lq(Ω), liên tục hoặc liên tục yếu trên Lr(Ω) với r ≤ q,và có một tập hút toàn cục trong Lr(Ω).
- Khi đó {S(t)}t≥0có tậphút toàn cục trong Lq(Ω) nếu và chỉ nếu(i) {S(t)}t≥0có một tập hấp thụ bị chặn trong Lq(Ω);(ii) với bất kì.
- 0 và bất kì một tập con bị chặn B của Lq(Ω),tồn tại các hằng số dương M = M.
- (1.1)với bất kì u0∈ B và t ≥ T .Định lí 1.3.18.
- Giả sử X là không gian Banach và {S(t)}t≥0làmột nửa nhóm liên tục mạnh - yếu trên X.
- Khi đó {S(t)}t≥0cómột tập hút toàn cục trong X nếu các điều kiện sau thỏa mãn:(i) {S(t)}t≥0có một tập hấp thụ bị chặn trong X,(ii) {S(t)}t≥0thỏa mãn Điều kiện (C) trong X.1.3.4 Số chiều fractal của tập hút toàn cụcĐịnh nghĩa 1.3.19.
- Cho M là một tập compact trong không gian7 metric X.
- Khi đó số chiều fractal của nó được định nghĩa như saudimfM = lim→0ln n(M, )ln(1/),trong đó n(M.
- là số tối thiểu các hình cầu đóng có bán kính cần thiết dùng để phủ tập M.Định lí 1.3.20.
- Giả sử rằng M là một tập compact trong khônggian Hilbert H.
- Giả sử V là ánh xạ liên tục trong H sao choM ⊂ V (M.
- Giả sử rằng tồn tại một phép chiếu hữu hạn chiều Ptrong không gian H sao chokP (V u1− V u2)kH≤ lku1− u2kH, u1, u2∈ M, (1.2)k(I − P )(V u1− V u2)kH≤ δku1− u2kH, u1, u2∈ M, (1.3)trong đó δ < 1.
- Ta cũng giả sử rằng l ≥ 1 − δ.
- Khi đó tập compactM có số chiều fractal hữu hạn, cụ thể,dimf(M.
- (1.4)1.4 Tập hút đều1.4.1 Tập hút đều của quá trình đơn trịGọi Hw(g) là bao đóng của tập {g(·+h)|h ∈ R} trong L2b(R.
- Giả sử Σ là một tập tham số và X, Y là hai không gianBanach và Y nhúng liên tục vào X.
- Id, là ánh xạ đồng nhất với τ ∈ R8 trong đó Σ được gọi là không gian biểu trưng, σ ∈ Σ được gọi làbiểu trưng.
- Kí hiệu B(X) là tập tất cả các tập con bị chặn của X.Định nghĩa 1.4.3.
- Một tập B0∈ B(Y ) được gọi là tập (X, Y ) -hấp thụ đều của họ các quá trình Uσ(t, τ)σ∈Σnếu với mọi τ ∈ R vàmọi B ∈ B(X), tồn tại t0= t0(τ, B.
- Một tập P ⊂ Y được gọi là có tính chất (X, Y.
- hút đều nếu với mọi τ ∈ R cho trước và B ∈ B(X),limt→+∞supσ∈ΣdistY(Uσ(t, τ)B, P.
- 0.Định nghĩa 1.4.4.
- Một tập đóng AΣ⊂ Y được gọi là tập (X, Y.
- hút đều đối với họ các quá trình {Uσ(t, τ)}σ∈ Σ nếu nó có tínhchất (X, Y.
- hút đều và với bất kì tập đóng M có tính chất (X, Y.
- hút đều của họ các quá trình {Uσ(t, τ)}σ∈ Σ thì AΣ⊂ M.Định lí 1.4.5.
- Giả sử {Uσ(t, τ)}σ∈Σlà họ các quá trình trên Xthỏa mãn:(1) Uσ(t + h, τ + h.
- liêntục yếu, nghĩa là, với mọi t ≥ τ cho trước, τ ∈ R, ánh xạ(u, τ) 7→ Uσ(t, τ)u là liên tục yếu từ X × Σ vào Y ;(3) {Uσ(t, τ)}σ∈Σlà (X, Y.
- compact tiệm cận đều, nghĩa là, nócó một tập có tính chất (X, Y.
- hút đều và compact.Khi đó họ {Uσ(t, τ)}σ∈Σcó một tập (X, Y.
- hút đều AΣcompacttrong Y và hút mọi tập bị chặn trong X theo tôpô trong Y .
- hấp thụ bị chặn của {Uσ(t, τ)}σ∈Σ.1.4.2 Tập hút đều của nửa quá trình đa trịKí hiệu Rd= {(t, τ.
- Giả sử X là không gian metricđầy, P(X) là tập tất cả các tập con không rỗng của không gian9 X, và gọi Σ là không gian metric compact.Định nghĩa 1.4.6.
- Ánh xạ U : Rd× X → P(X) được gọi là nửaquá trình đa trị (MSP) nếu1.
- với mọi x ∈ X, t, s, τ ∈ R, τ ≤s ≤ t.Nó được gọi là nửa quá trình đa trị ngặt nếuU(t, τ, x.
- U (t, s, U(s, τ, x)).Ta xét họ các nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σvà định nghĩa ánhxạ UΣ: Rd× X → P(X) bởi UΣ(t, τ, x.
- ∪σ∈ΣUσ(t, τ, x), cũng làmột nửa quá trình đa trị.
- ∪t≥TUσ(t, τ, B).Chúng tôi nhắc lại định nghĩa tập họ nửa quá trình đa trị nửacompact trên tiệm cận đều, tiêu hao điểm hay ánh xạ w- nửa liêntục trên (w-u.s.c.).Định nghĩa 1.4.10.
- Một tập A được gọi là tập hút toàn cục đềuđối với họ các nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σnếu:1.
- với mọi B ∈ B(X) và τ ∈ R;3.
- Với bất kì tập đóng có tính chất hút đều Y , ta có A ⊂ Y(tính tối thiểu).Định lí 1.4.11.
- Giả sử F (R, Z) là không gian các hàm với giá trịtrong Z, trong đó Z là một không gian tôpô, và Σ ⊂ F (R, Z) làmột không gian metric compact.
- Giả sử rằng họ các nửa quá trìnhđa trị {Uσ}σ∈Σthỏa mãn các điều kiện sau:1.
- σ(t + s), s ∈R trên Σ sao cho T (h)Σ ⊂ Σ, và với bất kì (t, τ.
- {Uσ}σ∈Σlà nửa compact trên tiệm cận đều;3.
- Ánh xạ (x, σ) 7→ Uσ(t, 0, x) có giá trị đóng và là w- nửa liêntục.Khi đó họ các nửa quá trình đa trị {Uσ}σ∈Σcó tập hút toàn cụcđều compact A.
- Hơn nữa, nếu Σ là một không gian liên thông, ánhxạ (x, σ) 7→ Uσ(t, 0, x) là nửa liên tục trên với giá trị liên thông,và tập hút toàn cục đều A được chứa trong một tập con bị chặnliên thông của X, thì A là tập liên thông.1.5 Một số bất đẳng thức thường dùngTrong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bất đẳng thức sau:Bất đẳng thức H¨older, Bất đẳng thức Young, Bất đẳng thức Gron-wall, Bất đẳng thức Gronwall đều.1.6 Một số bổ đề quan trọngTrong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề sau: Bổ đề compactAubin-Lions, Bổ đề Lions (1969).11 Chương 2TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚPPHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC SUY BIẾN NỬATUYẾN TÍNH TRÊN MIỀN BỊ CHẶNTrong chương này, chúng tôi nghiên cứu một lớp bài toánbài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trên miền bị chặnΩ ⊂ RN, N ≥ 2, với số hạng phi tuyến tiêu hao và tăng trưởngkiểu đa thức.
- Nội dung của chương này được viết dựa trên các bàibáo [1, 2] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả liênquan đến luận án.2.1 Đặt bài toánTrong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán parabolic suybiến nửa tuyến tính sau trên miền bị chặn Ω ⊂ RN, N ≥ 2,∂u∂t− div(σ(x)∇u.
- −C3, với mọi u ∈ R, (2.3)với p ≥ 2 nào đó, ở đó C0, C1, C2và C3là các hằng số dương.(G) g ∈ L2(Ω).Giả sử hàm σ : Ω → R là hàm đo được, không âm thỏa mãnđiều kiện sau:12 (Hα) σ ∈ L1loc(Ω) và với α ∈ (0, 2), lim infx→z|x − z|−ασ(x) >0 với mọi z ∈ Ω.2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếuKí hiệu V = L2(0, T .
- D−1(Ω, σ))+Lp0(ΩT).Định nghĩa 2.2.1.
- Hàm u(x, t) được gọi là một nghiệm yếu củabài toán (2.1) trên (0, T ) nếu và chỉ nếuu ∈ V,dudt∈ V∗,u|t=0= u0hầu khắp trong Ω,vàZΩT∂u∂tϕ + σ∇u∇ϕ + f(u)ϕ + gϕdxdt = 0 (2.4)với mọi hàm thử ϕ ∈ V .Định lí 2.2.3.
- Hơn nữa, ánh xạ u07→ u(t) làliên tục trên L2(Ω), tức là nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiệnban đầu.2.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L2(Ω)Định lí 2.2.3 cho phép chúng ta định nghĩa một nửa nhóm liêntục S(t

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt