ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Duy Thắng CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Duy Thắng CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Hùng Thao Hà Nội - 2011 Lời mở đầu Phân tích dự báo giá tài sản tài chính như cổ phiếu, trái phiếu, tỷ giá. . . là một chủ đề thu hút rất nhiều sự quan tâm của các chuyên gia, nhà đầu tư, nhà khoa học. Chính vì tầm quan trọng của nó mà đã có rất nhiều nhà nghiên cứu dành công sức cho lĩnh vực này với nhiều phương pháp phân tích khác nhau. Cho đến nay có thể kể đến hai phương pháp phân tích đã quen thuộc với hầu hết các nhà đầu tư là phân tích kĩ thuật (Technical analysic) và phân tích cơ bản (Fundamental analysic). Bên cạnh hai phương pháp này còn có phương pháp phân tích định lượng thông qua các mô hình toán học. Dự báo thị trường bằng phương pháp phân tích định lượng hiện nay được sử dụng rất phổ biến trên thế giới. Hầu hết các quỹ đầu tư,quỹ phòng hộ (Hedge fund) và các phòng giao dịch (Trading desk) của các ngân hàng đầu tư đều có hệ thống giao dịch tự động bằng phương pháp định lượng (Quantitative trading). Hiệu quả của phương pháp này đã được chứng minh tại rất nhiều thị trường. Lí do hiệu quả của phương pháp này là tín hiệu đưa ra khách quan dựa trên những tiêu chí thống kê từ mô hình. Do đó sẽ giảm thiểu được sự sai sót do cảm xúc của con người. Phương pháp phân tích định lượng giả định rằng mối liên hệ giữa các yếu tố được thiết lập trong quá khứ sẽ có ảnh hưởng, lặp lại trong tương lai. Hay nói cách khác, phương pháp này dựa trên các dữ liệu từ quá khứ để phát hiện chiều hướng vận động của chúng trong tương lai theo một quy luật nào đó. Phổ biến nhất là sử dụng chuỗi thời gian (Time series analysis) hoặc sử dụng phân tích nhân quả. Ngoài ra, người ta còn sử dụng phương pháp khá phức tạp là Mạng thần kinh(Neural network). Trong phạm vi đề tài này chúng tôi để cập đến các mô hình chuỗi thời gian trong thị trường tài chính. Các mô hình chuỗi thời gian nhằm để dự báo giá trị tương lai của một tài sản tài chính chỉ dựa trên phân tích số liệu quá khứ và hiện tại của nó. Do đó với phương pháp này điều kiện quan trọng là chuỗi thời gian cần có tính ổn định thể hiện ở tính dừng của nó. Luận văn chia làm ba chương: Chương I: Trình bày những khái niệm cơ bản như phương trình sai phân, toán tử trễ, chuỗi thời gian dừng, kỳ vọng điều kiện và martingale. . . làm cơ sở cho các i chương sau Chương II: Trình bày một số mô hình chuỗi thời gian dừng và không dừng như MA, AR, ARMA, ARIMA. Chương III: Trình bày các mô hình dự báo rủi ro như ARCH, GARCH cùng các mô hình cải tiến của nó như IGARCH, TGARCH, EGARCH. . . cùng các ứng dụng trong thực tế phân tích tỷ giá. Đây cũng là phần chính của luận văn. Qua đây tôi cũng xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc tới PGS.TS.Trần Hùng Thao người đã tận tình giảng giải và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin cảm ơn các thày cô trong tổ bộ môn khoa Toán –Cơ-Tin trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên-Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã giúp tôi trong suốt quá trình học tập cao học, cảm ơn công ty tư vấn đầu tư MHT http://www.mhtgold.com mà tôi đã từng hợp tác trong 3 năm qua đã giúp tôi trong phần cung cấp số liệu, xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học và làm luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Vũ Duy Thắng ii Bảng ký hiệu ACF:Hàm tự tương quan ADF:Thống kê kiểm định Dickey-Fuller AIC:Tiêu chuẩn thông tin Akaike AR:Quá trình tự hồi quy ARMA:Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARIMA:Quá trình ARMA tích hợp ARCH:Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy BIC:Tiêu chuẩn thông tin Bayes hoặc tiêu chuẩn Schwartz GDP:Tổng sản phẩm quốc nội IID:Độc lập cùng phân bố MA:Quá trình trung bình trượt MSE:Sai số dự báo bình phương trung bình MLE:Ước lượng hợp lí cực đại PACF:Hàm tự tương quan riêng RMSE:Căn bậc hai của MSE GARCH:Mô hình ARCH tổng quát EGARCH:Mô hình GARCH dạng mũ TGARCH:Mô hình GARCH đồng tích hợp iii Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chuỗi thời gian và toán tử trễ . . . . . 1.1.1 Chuỗi thời gian . . . . . . . . 1.1.2 Chuỗi dừng . . . . . . . . . . 1.1.3 Toán tử trễ(Lag operator) . . . 1.2 Phương trình sai phân . . . . . . . . . 1.2.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Phương trình sai phân . . . . 1.2.3 Phương trình sai phân cấp 1 . 1.2.4 Phương trình sai phân cấp p . 1.3 Kỳ vọng điều kiện và martingale . . . 1.3.1 Không gian xác suất được lọc 1.3.2 Kỳ vọng điều kiện . . . . . . 1.3.3 Martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính 2.1 Quá trình trung bình trượt . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Quá trình trung bình trượt MA(1) . . . . . . . . 2.1.2 Quá trình trung bình trượt bậc q- MA(q) . . . . . 2.1.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn MA (∞) . . . . 2.2 Quá trình tự hồi quy AR(Autoregressive) . . . . . . . . . 2.2.1 Quá trình tự hồi quy cấp một AR(1) . . . . . . . 2.2.2 Quá trình tự hồi quy cấp p AR(p) . . . . . . . . 2.2.3 Xác định bậc của AR(p) bằng PACF . . . . . . . 2.2.4 Ước lượng tham số của quá trình AR(p) . . . . . 2.2.5 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA(p,q) 2.2.6 Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 Kiểm định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 3 3 3 4 4 6 9 10 10 11 . . . . . . . . . . . . 14 14 14 15 16 16 16 20 21 22 25 26 29 3 Các mô hình phi tuyến Gauss có điều kiện và ứng dụng 3.1 Rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Cấu trúc mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Mô hình ARCH(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Mô hình ARCH(1) . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Mối liên hệ giữa ARCH(p) và AR(p) . . . . . 3.3.3 Ước lượng mô hình ARCH(p) . . . . . . . . 3.3.4 Kiểm định hiệu ứng của ARCH . . . . . . . 3.3.5 Dự báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6 Mô hình AR(1)/ARCH(1) . . . . . . . . . . 3.3.7 Đánh giá về mô hình ARCH(p) . . . . . . . 3.4 Mô hình GARCH(p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Dạng mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Mối liên hệ GARCH và ARMA . . . . . . . 3.4.3 Mô hình GARCH(1,1) . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Dự báo phương sai . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Các mô hình GARCH khác . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Mô hình TGARCH(Threshold) . . . . . . . . 3.5.2 Mô hình EGARCH . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 38 38 39 39 41 43 43 44 45 48 48 48 49 50 52 54 54 54 57 66 v Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Mục đích của chương này là trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân, toán tử trễ, chuỗi dừng, toán tử kì vọng điều kiện và Martingale sẽ được sử dụng ở chương sau khi nghiên cứu về các mô hình chuỗi thời gian MA, ARMA, ARIMA. . . 1.1 Chuỗi thời gian và toán tử trễ 1.1.1 Chuỗi thời gian Chuỗi thời gian là dãy các quan sát về một biến số nào đó theo thời gian. Mẫu quan sát có thể xem như một đoạn hữu hạn của một chuỗi vô hạn quan sát (yt )+∞ −∞ = (...y−1 , y0 , y1 , y2 ...yn , ...)
Ví dụ: Chuỗi nhiễu trắng Gauss(white noise) εt ∼ N 0; σ 2 với các εt độc lập cùng phân phối. 1.1.2 Chuỗi dừng Chuỗi dừng là một khái niệm rất quan trọng trong phân tích chuỗi thời gian. Nó được chia làm hai loại là dừng yếu (weakly stationarity) và dừng chặt (strict stationarity) 1 1.1.2.1 Chuỗi dừng chặt Chuỗi yt được gọi là dừng chặt
nếu với các giá trị tùy ý j1 , j2 ... jn thì phân bố đồng thời của yt , yt+ j1 , ..., yt+ jn chỉ phụ thuộc vào khoảng j1 , j2 ... jn mà không phụ thuộc vào thời gian t. 1.1.2.2 Chuỗi dừng yếu Chuỗi thời gian yt được gọi là dừng yếu nếu Eyt = µ ∀t V aryt = σ 2∀t (1.1) cov (yt ; yt−k ) = γk ∀t Như vậy với chuỗi dừng yếu thì kì vọng,phương sai và hệ số tương quan của quá trình yt đều không phụ thuộc vào thời gian. Ngược lại chuỗi thời gian gọi là không dừng nếu nó không thỏa mãn một trong ba điều kiện trên. Trong phạm vi đề tài này nếu không có gì đặc biệt thì tính dừng ở đây được hiểu là dừng yếu. 1.1.2.3 Nhận xét + Một chuỗi dừng chặt với moment bậc 2 hữu hạn thì là dừng yếu song điều ngược lại không đúng. +Như vậy một chuỗi dừng yếu thì giá trị trung bình, phương sai, hiệp phương sai ở các độ trễ khác nhau sẽ giống nhau không cần biết ta đang đo lường chúng tại thời điểm nào. Một chuỗi dữ liệu như vậy sẽ có xu hướng trở về giá trị trung bình và những dao động xung quanh giá trị trung bình(đo bằng phương sai) là giống nhau. Câu hỏi là vì sao chuỗi thời gian dừng lại quan trọng như vậy? Vì cơ sở của dự báo chuỗi thời gian chúng ta luôn giả định rằng xu hướng vận động của dữ liệu trong quá khứ và hiện tại được duy trì cho các giai đoạn tương lai. Do đó,dữ liệu cần có tính ổn định được thể hiện ở tính dừng của nó. Theo Gujarati(2003) cho rằng một chuỗi thời gian không dừng thì chúng ta chỉ có thể nghiên cứu hành vi của nó trong khoảng thời gian đang xét mà thôi. Nghĩa là chúng ta không thể khái quát nó cho giai đoạn khác,không thể dự báo được điều gì cho tương lai nếu như bản thân dữ liệu luôn thay đổi, tất cả chỉ là ngẫu nhiên. Một ví dụ nổi tiếng cho chuỗi không dừng là bước ngẫu nhiên(Random walk) sẽ được đề cập ở chương sau. 2 1.1.3 Toán tử trễ(Lag operator) Toán tử trễ là một công cụ hữu hiệu khi nghiên cứu chuỗi thời gian. Các phương trình sai phân và mô hình chuỗi thời gian sẽ được trình bày nhất quán dưới công cụ này. Giả sử có chuỗi thời gian (xt )+∞ −∞ ta định nghĩa toán tử trễ như sau: Lxt = xt−1 L2 xt = L (Lxt ) = xt−2 (1.2) .... Lk xt = xt−k Từ định nghĩa (1.2) dễ dàng nhận thấy toán tử trễ L có các tính chất sau đây: a)Tuyến tính L (xt + wt ) = L (xt ) + L (wt ) = xt−1 + wt−1 L (β xt ) = β L (xt ) = β xt−1 b)Nếu (xt )+∞ −∞ = (c) thì: Lxt = xt−1 = c
α + β L + θ L2 c = (α + β + θ ) c 1.2 Phương trình sai phân 1.2.1 Sai phân Với quỹ đạo y = y(t) phụ thuộc liên tục vào t thì vi phân hàm số được xác định thông qua đạo hàm. Tuy nhiên,khi t biến thiên rời rạc t=1,2,3. . . n. . . thì khái niệm đạo hàm và vi phân không có ý nghĩa. Trong trường hợp này người ta dùng khái niệm sai phân. Sai phân cấp 1 ∆yt = yt − yt−1 (1.3) Sai phân cấp n  ∆ yt = ∆ ∆ n 3 n−1 yt  (1.4) 1.2.2 Phương trình sai phân Phương trình sai phân đề cập đến việc thiết lập hoặc phân tích định tính quỹ đạo y = y(t) thông qua các quan hệ sai phân. Phương trình sai phân cấp n Φ (t; yt ; ∆yt ; ...; ∆n yt ) = 0 (1.5) Vì ∆nyt biểu diễn qua yt ; yt+1 ; ...yt+n nên phương trình đưa về F (t; yt ; yt+1 ...yt+n ) = 0 Nghiệm của phương trình là hàm số đối số rời rạc yt = φ (t) thỏa mãn phương trình F (t; yt ; yt+1 ...yt+n ) = 0 Nghiệm tổng quát phương trình sai phân cấp n là hàm số đối số rời rạc yt = φ (t;C1 ;C2...Cn ) với C1;C2 ...Cn là các hằng số. Phương trình sai phân gọi là otonom nếu nó không chứa biến thời gian t dưới dạng hiện yt+n = f (yt ; yt+1 ...yt+n−1 ) (1.6) 1.2.3 Phương trình sai phân cấp 1 Phương trình sai phân cấp 1 mô tả mối quan hệ tuyến tính của yt (giá trị của biến số y nào đó thay đổi theo thời gian tại thời điểm t) theo biến trễ ở thời kì trước đó yt−1 và biến đầu vào (input variable) wt yt = ϕ yt−1 + wt Trong đó wt có thể là hàm tất định hoặc ngẫu nhiên còn ϕ là một hàm số. y1 = ϕ y0 + w1 y2 = ϕ y1 + w2 = ϕ 2y0 + ϕ w1 + w2 ... yt = ϕ t y0 + ϕ t−1w1 + ϕ t−2w2 + ... + wt 4 (1.7) Hoặc yt = ϕ t+1 y−1 + ϕ t w0 + ϕ t−1w1 + ... + wt với yt là một hàm tuyến tính của giá trị xuất phát y−1 và các giá trị quá khứ của w. Ảnh hưởng của w0 đến yt là ∂ yt = ϕt ∂ w0 Tương tự yt+ j = ϕ j+1yt−1 + ϕ j wt + ϕ j−1wt+1 + ... + wt+j Ảnh hưởng của wt đến yt là ∂ yt+ j (1.8) =ϕj ∂ wt Nhân tử này gọi là nhân tử động (dynamic multiplier). Nó chỉ phụ thuộc vào j là độ dài khoảng thời gian từ t đến t+j chứ không phụ thuộc vào thời gian t là thời điểm quan sát. Kết luận này đúng cho bất kì phương trình sai phân tuyến tính nào. -Nếu ∂ yt+ j −1 < ϕ < 1 : = ϕ j −−−→ 0 j→∞ ∂ wt -Nếu |ϕ | > 1 : ∂ yt+ j = ϕ j −−−→ ∞ ∂ wt j− →∞ Vậy nếu |ϕ | < 1 hệ thống sẽ ổn định. Tính ổn định ở đây được hiểu là tác động của sự thay đổi của wt sẽ bị triệt tiêu. Còn nếu |ϕ | ≥ 1 hệ thống sẽ phân kì. Bây giờ, ta sẽ xét phương trình trên dưới cái nhìn của toán tử trễ. Phương trình được viết dưới dạng: (1 − ϕ L) yt = wt

⇔ 1 − ϕ t+1Lt+1 yt = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... + ϕ t Lt wt ⇔ yt − ϕ t+1y−1 = wt + ϕ wt−1 + ... + ϕ t w0 ⇔ yt = ϕ t+1y−1 + wt + ϕ wt−1 + ... + ϕ t w0 Ta lại thu được kết quả giống phương pháp đệ quy ở trên. Hơn nữa, từ

1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... + ϕ t Lt (1 − ϕ L) yt = 1 − ϕ t+1Lt+1 yt = yt − ϕ t+1y−1 Nếu |ϕ | < 1; y−1 < ∞ thì ϕ t+1y−1 −−−−→ 0 do đó t→+∞
∃ (1 − ϕ L)−1 = Lim 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... + ϕ t Lt = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... t→+∞ 5 Từ đó, nếu |ϕ | < 1; y−1 < ∞ ta có thể viết
yt = (1 − ϕ L)−1 wt = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... wt = wt + ϕ wt−1 + ϕ 2wt−2 + ... Điều kiện |ϕ | < 1 chính là đảm bảo cho chuỗi yt là dừng. Điều này sẽ được trình bày kĩ hơn ở mô hình AR(1) chương 2. 1.2.4 Phương trình sai phân cấp p Phương trình sai phân bậc p mô tả mối quan hệ tuyến tính của yt theo p biến trễ của chính nó và giá trị hiện thời của biến đầu vào wt . yt = ϕ1 yt−1 + ϕ2yt−2 + ... + ϕ pyt−p + wt (1.9) Dạng vecto  yt    yt−1 trong đó ξt =    ...  yt−p+1 ξt = F ξt−1 +Vt    ϕ1 ϕ2 · · · ϕ p    1 ···0 0    F =  0 ···0 1       ··· ··· ···  0 0 ···0 (1.10)             p×p  w  t     0   Vt =     ···    0 Hay dưới dạng toán tử trễ   p 2 1 − ϕ1L − ϕ2 L − ... − ϕ pL yt = wt (1.11) Phân tích toán tử ở vế trái của
(1.11) 1 − ϕ1L − ϕ2 L2 − ... − ϕ pL p = (1 − λ1L) (1 − λ2L) ... (1 − λ pL) Việc phân tích này giống như việc tìm các giá trị (λ1, λ2 ...λ p) sao cho ta có đồng nhất thức của đa thức ẩn z   2 p 1 − ϕ1z − ϕ2z − ... − ϕ pz = (1 − λ1z) (1 − λ2z) ... (1 − λ pz) (1.12) Ta chuyển sang đa thức ẩn z vì thực hiện điều này với toán tử L là không có nghĩa. Chia hai vế cho z p và đặt λ = z−1 ta được   p p−1 p−2 λ − ϕ1 λ − ϕ2λ − ... − ϕ p = (λ − λ1) (λ − λ2) ... (λ − λ p) (1.13) 6 Vậy (λ1, λ2 ...λ p) là nghiệm của phương trình λ p − ϕ1λ p−1 − ϕ2λ p−1 − ... − ϕ p = 0 Việc phân tích đa thức toán tử
1 − ϕ1L − ϕ2 L2 − ... − ϕ pL p = (1 − λ1L) (1 − λ2L) ... (1 − λ pL) được thực hiện giốngnhư việc tìm các giá  trị riêng của ma trận      F =     ϕ1 ϕ2 1 0 0 1 ··· ··· 0 0 · · · ϕp   ···0    ···0    ···   ···0 p×p Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2.4.1 Các giá trị riêng của ma trận F thỏa mãn phương trình sau(phương trình đặc trưng) (1.14) λ p − ϕ1λ p−1 − ϕ2 λ p−2 − .... − ϕ p−1λ − ϕ p = 0 Chứng minh Các giá trị riêng λ của ma trận F là nghiệm của phương trình đặc trưng det (F − λ I p) = 0 Ta có   ϕ1 − λ   1   det (F − λ I p) = det  0    ···  0 ϕ2 −λ 1 ··· 0  · · · ϕp   ···0    ···0     ···  ··· − λ rồi cộng vào cột thứ p-1 ta được  ϕp ϕ − λ ϕ · · · · · · ϕ + 1 2 p−1 λ ϕp    1 ········· 0 0 −λ   det (F − λ I p) = det  0 ········· 0 1    ··· ········· ···  0 0 ······ 0 − λ Nhân cột thứ p với 1 λ 7            Sau đó nhân cột thứ p-1 với λ1 rồi cộng vào cột thứ p-2. Tiếp tục quá trình này ta nhận được ma trận tam giác trên   ϕ1 − λ     det      + ϕλ2 + λϕ32 det (F − λ I p) = ϕp + · · · + λ p−1 ϕ2 + ϕλ3 ϕp + · · · + λ p−2 0 −λ 0 0 ··· ··· 0 0 Do đó ϕ · · · · · · ϕ p−1 + λp  ϕp   ········· 0 0     ········· 0    ·········  ······ 0 − λ ϕp
det (F − λ I p) = ϕ1 − λ + ϕλ2 + · · · + λ p−1 (−λ ) p−1
= (−1) p λ p − ϕ1λ p−1 − ϕ2 λ p−2 − · · · − ϕ p Vì vậy các giá trị riêng của ma trận F phải thỏa mãn phương trình (1.14) do đó ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.2.4.2 Giả sử ma trận F có p giá trị riêng phân biệt nằm trong đường tròn đơn vị thì nhân tử động ∂ yt+ j ∂ wt p = ∑ k=1 j ck λk trong đó ci = p λip−1 ∏ (λi −λk ) . Hơn nữa k=1;k6=i p ∑ ck = 1 k=1 Chứng minh Do các giá trị riêng nằm trong đường tròn đơn vị nên tồn tại các toán tử khả nghịch (1 − λ1L)−1 ; (1 − λ2L)−1 ; ... (1 − λ pL)−1 Phương trình sai phân được viết thành (1 − λ1L) (1 − λ2L) ... (1 − λ pL) yt = wt ⇔ yt = (1 − λ1L)−1 (1 − λ2L)−1 ... (1 − λ pL)−1 wt ⇔ yt = 1 w (1−λ1 L)(1−λ2 L)...(1−λ p L) t với λi 6= λ j (i 6= j). Ta phân tích: cp c2 c1 1 + + ... + = (1 − λ1L) (1 − λ2L) ... (1 − λ pL) 1 − λ1L 1 − λ2L 1 − λ pL 8 (1.15) c1, c2 ...c p trong (1.15) có thể tìm từ đồng nhất thức c 1 = 1−cλ1 1 z + 1−cλ2 2 z + ... + 1−λp p z (1−λ1 z)(1−λ2 z)...(1−λ p z) ! p p
1 − λ jz ⇔ 1 = ∑ ck ∏ j=1; j6=k k=1 (1.16) thỏa mãn với mọi giá trị của z. Với z = λ1−1 thì c1 = Tương tự ck = p p λ1p−1 ∏ (λ1 −λi ) i=1;i6=1 p−1 λk ∏ ( λk − λi ) i=1;i6=k p Với z = 0 thì ∑ ck = 1. Như vậy ta có k=1 yt =  c1 1−λ1 L + 1−cλ2 2 L c + ... + 1−λp p L  wt

  yt = c1 1 + λ1L + λ12L2 + ... + ... + c p 1 + λ pL + λ p2L2 + ... wt   j j j yt = (c1 + c2 + ... + c p) wt + ... + c1λ1 + c2λ2 + ... + c pλ p wt− j + ... Từ đó nhân tử động ∂ yt+ j ∂ wt p = ∑ ck λk với ck = k=1 j p λkp−1 ∏ (λk −λi ) p và ∑ ck = 1 k=1 i=1;i6=k Như vậy phương trình sai phân là ổn định nếu các giá trị riêng có môdun nhỏ hơn 1 hoặc chúng nằm trong đường tròn đơn vị. Điều này tương đương với các nghiệm phương trình sau nằm ngoài đường tròn đơn vị: 1 − ϕ1z − ϕ2z2 − ... − ϕ pz p = 0 (1.17) 1.3 Kỳ vọng điều kiện và martingale Kỳ vọng điều kiện và martingale là những khái niệm đặc biệt quan trọng trong lí thuyết xác suất có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực toán tài chính. Ở đây chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm và các kết quả cơ bản nhằm mục đích sử dụng ở chương 3 trong phân tích các mô hình rủi ro như ARCH, GARCH. . . 9 1.3.1 Không gian xác suất được lọc Cho (Ω, ℑ, P) là không gian xác suất. Một họ σ -trường con ℑt ⊂ ℑ được gọi là bộ lọc nếu nó thỏa mãn i) Nó là một họ tăng tức là ℑs ⊂ ℑt (s < t) T ℑt+ε ii) Họ đó liên tục phải tức là ℑt = ε >0 iii) Mọi tập P-bỏ qua được A ∈ ℑ đều được chứa trong ℑ0 . Một không gian xác suất (Ω, ℑ, P) được gắn thêm bộ lọc ℑt ⊂ ℑ gọi là không gian xác suất được lọc. 1.3.2 Kỳ vọng điều kiện 1.3.2.1 Khái niệm Giả sử (Ω, ℑ, P) là không gian xác suất. G ⊂ ℑ là σ -trường con và X là biến ngẫu nhiên khả tích. Kỳ vọng điều kiện của X với σ - trường G là biến ngẫu nhiên kí hiệu là E (X |G ) thỏa mãn: i) E (X |G ) là G ⊂ ℑ đo được R R ii) E (X |G ) dP = XdP ∀A ∈ G A A Ta định nghĩa E (X |Y ) là kỳ vọng điều kiện của X theo σ -trường σ (Y ) 1.3.2.2 Tính chất của kỳ vọng điều kiện Các tính chất sau đều được hiểu là hầu chắc chắn(h.c.c) (1) Nếu c là hằng số thì E (c |G ) = c (2) Tính tuyến tính E (aX + bY |G ) = aE (X |G ) + bE (Y |G ) (3) Nếu G là σ -trường tầm thường {φ , Ω} thì E (X |G ) = X (4) E (E (X |G )) = EX (5) Nếu X độc lập với G tức là σ (X) độc lập với G thì E (X |G ) = EX (6) Nếu Y là G -đo được,E |Y | < ∞; E |XY | < ∞ thì E (XY |G ) = Y E (X |G ) (7) Nếu G1 ⊂ G2 thì E (E (X |G2 ) |G1 ) = E (E (X |G1 ) |G2 ) = E (X |G1 ) (8) Nếu X ≤ Y (h.c.c) thì E (X |G ) ≤ E (Y |G ) (9) |E (X |G )| ≤ E (|X| |G ) (10) Bất đẳng thức Jensen Giả sử φ : R → R lồi dưới, φ X khả tích. Khi đó φ (E (X |G )) ≤ E (φ (X) |G ) (11) Hội tụ đơn điệu Beppo-Levy Nếu Xn ≥ 0; Xn ↑ X và E |X| < ∞ thì E (Xn |G ) ↑ E (X |G ) 10 (12) Bổ đề Fatou Nếu 0 ≤ Xn thì E (LimXn |G ) ≤ LimE (Xn |G ) (13) Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue Giả sử Y là biến ngẫu nhiên khả tích và |Xn| ≤ Y (h.c.c). Nếu Xn → X(h.c.c) thì E (LimXn |G ) = LimE (Xn |G ) 1.3.3 Martingale Các khái niệm và định lý dưới đây được hiểu là martingale với thời gian rời rạc. 1.3.3.1 Định nghĩa Cho một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 thích nghi với bộ lọc ℑt và khả tích E |Xt | < ∞ với mỗi t. Với s, t là hai số không âm và s ≤ t i)Xt là martingale trên nếu E (Xt |ℑs ) ≤ Xs ii) Xt là martingale dưới E (Xt |ℑs ) ≥ Xs iii) Xt là martingale nếu nó vừa là martingale trên và dưới tức là E (Xt |ℑs ) = Xs Khi không nói rõ bộ lọc nào ta hiểu đó là bộ lọc tự nhiên sinh ra từ lịch sử của X nghĩa là ℑt = σ (Xs )s≤t . Theo lí thuyết trò chơi nếu coi Xt là số vốn ở thời điểm t,ℑt = σ (Xs )s≤t là thông tin tích lũy đến thời điểm t thì trò chơi thiệt hại nếu nó là martingale trên, trò chơi có lợi nếu nó là martingale dưới và công bằng nếu nó là martingale. Các kết quả chính của martingale là các bất đẳng thức và định lý hội tụ, nhất là các định lý của Doob. 1.3.3.2 Hiệu martingale(Martingale difference) Dãy tương thích (ξt ; ℑt ) là hiệu martingale nếu E |ξt | < ∞ và E (ξt+1 |ℑt ) = 0 Nhận xét +Nếu (Xt ; ℑt ) là martingale thì (ξt ; ℑt ) là hiệu martingale trong đó ξ0 = X0 ; ξt = ∆Xt = Xt − Xt−1 Thật vậy E (ξt+1 |ℑt ) = E (Xt+1 − Xt |ℑt ) = E (Xt+1 |ℑt ) − Xt = 0 +Ngược lại, nếu (ξt ; ℑt ) là hiệu martingale thì ta có thể tạo ra martingale (Xt ; ℑt ) t ở đó ξ0 = X0 ; Xt = ∑ ξk k=1 11 Thật vậy, dễ thấy Xt là ℑt -đo được và E |Xt | < ∞. Hơn nữa E (Xt+1 |ℑt ) = E (ξt+1 + Xt |ℑt ) = E (ξt+1 |ℑt ) + Xt = Xt 1.3.3.3 Khai triển Doob Kết quả chính là một martingale dưới được phân tích duy nhất qua một martingale và một dãy tăng dự báo được. Kết quả này được chứng minh không quá khó khăn chúng tôi không trình bày ở đây. Định lý 1.3.3.3(Xem [6], Chương 9, Định lý 9.3.7) Giả sử X = (Xt ; ℑt ) là martingale dưới khi đó tồn tại martingale M = (Mt ; ℑt ) và dãy tăng dự báo được A = (At ; ℑt−1 ) : 0 = A0 ≤ A1 ≤ .... ≤ At ≤ ... sao cho Xt = Mt + At (1.18) Khai triển Doob là duy nhất. Trong định lí này dãy (At ),(Mt ) được xác định bởi A0 = 0 t−1  
At = ∑ E X j+1 ℑ j − X j (1.19) j=0 và M0 = X0 t−1 
 Mt = X0 + ∑ X j+1 − E X j+1 ℑ j (1.20) Mt2 = mt + hMit (1.21) j=0 Bây giờ ta sẽ đề cập đến martingale bình phương khả tích. Giả sử M = (Mt ; ℑt ) là martingale bình phương khả tích tức là M = (Mt ; ℑt ) là martingale và E |Mt |2 < ∞. Do M = (Mt ; ℑt ) là martingale và áp dụng bất đẳng thức
Jensen kì vọng điều kiện 2 2 2 với hàm lồi g (x) = x suy ra quá trình M = Mt ; ℑt là martingale dưới. Theo khai triển Doob ta có trong đó m = (mt , ℑt ) là martingale và hMi = (hMit , ℑt−1 ) là dãy tăng dự báo được. Ta gọi hMi = (hMit , ℑt−1 ) trong (1.21) là đặc trưng bình phương của martingale M(quadratic characteristic) i t−1 h  i t−1 h 
2 2 2 hMit = ∑ E M j+1 ℑ j − M j = ∑ E ∆M j ℑ j−1 ∆M j = M j − M j−1 j=0 j=1 12 Đặc biệt nếu M0 = 0 thì EMk2 = E hMik Nhận xét Giả sử (ξt ) là các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho E ξt = 0; E ξt2 < ∞. Đặt M0 =  t t  2 2 0; Mt = ∑ ξk khi đó hMit = EMt = ∑ E ξk k=1 k=1 1.3.3.4 Luật mạnh số lớn martingale bình phương khả tích Định lý 1.3.3.4(Xem [6], Chương 9, Định lý 9.8.2) (i)Giả sử M = (Mt ; ℑt ) là martingale bình phương khả tích và giả sử A = (At ; ℑt−1 ) ∞ E [(∆Mi )2 |ℑi−1 ] < là dãy tăng dự báo được sao cho A1 ≥ 1, A∞ = ∞. Nếu với xác suất 1: ∑ A2 i=1 ∞ thì với xác suất 1 ta có i Mt =∞ (1.22) t→∞ At (ii)Giả sử M = (Mt ; ℑt ) là martingale bình phương khả tích và hMi∞ = ∞ (h.c.c) thì với xác suất 1 Mt Lim =0 (1.23) t→∞ hMit Lim 13 Chương 2 Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính Mục đích chương này nhằm giới thiệu các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính tiêu biểu như quá trình trung bình trượt MA, các quá trình tự hồi quy AR, hồi quy tích hợp ARMA và mô hình ARIMA cùng ứng dụng của nó vào phân tích và dự báo biến số kinh tế vĩ mô. 2.1 Quá trình trung bình trượt 2.1.1 Quá trình trung bình trượt MA(1) Quá trình MA(1) mô tả quá trình yt (giá tài sản tài chính,trái phiếu,cổ phiếu,tỷ giá...) theo thời gian phụ thuộc vào ut (nhiễu trắng) nhưng không phụ thuộc vào biến trễ của nó. (2.1) yt = µ + ut + θ ut−1 trong phương trình (2.1), µ là hằng số còn ut là nhiễu trắng (white noise), Eut = 0; varut = σ 2 và us (t 6= s) là độc lập. Ta có Eyt = µ (2.2)
V aryt = θ 2 + 1 σ 2 14 Mặt khác γ1 = cov (yt ; yt−1 ) = E (yt − µ ) (yt−1 − µ ) 2 = θσ2 = E (ut + θ ut−1) (ut−1 + θ ut−2) = θ Eut−1 (2.3) và γk = cov (yt ; yt−k ) = E (yt − µ ) (yt−k − µ ) = E (ut + θ ut−1) (ut−k + θ ut−k−1) = 0 (k > 1) (2.4) Như vậy với quá trình MA(1) thì từ (2.2), (2.3), (2.4) ta có Eyt ;V aryt ; cov (yt ; yt−k ) ∈ /t Do đó quá trình MA(1) là chuỗi dừng. Ta có ACF (k) = ρk = ρ1 = γ1 γ0 = γk γ0 θσ2 2 σ (θ 2 +1) = 0 (k > 1) = θ θ 2 +1 (2.5) 2.1.2 Quá trình trung bình trượt bậc q- MA(q) Quá trình MA(q) có dạng: yt = µ + ut + θ1 ut−1 + θ2 ut−2 + ... + θqut−q (2.6) với µ là hằng số còn ut là nhiễu trắng (white noise), Eut = 0; varut = σ 2 và us (t 6= s) là độc lập. Dễ thấy Eyt = µ
V aryt = θ12 + θ22 + ... + θq2 σ 2 γk = cov (yt ; yt−k ) = E (yt − µ ) (yt−k − µ )

= E ut + θ1 ut−1 + ... + θqut−q ut−k + θ1ut−k−1 + ... + θqut−k−q  q−k   σ 2 ∑ θi θi+k (k ≤ q) = i=0   0 (k > q) Vậy với bất kì các giá trị của θ1 ; θ2 ...θq thì giá trị trung bình, phương sai và hệ số tương quan của yt đều không phụ thuộc vào thời gian. Do đó MA(q) cũng là quá trình dừng. 15 2.1.3 Quá trình trung bình trượt vô hạn MA (∞) Quá trình trung bình trượt vô hạn có dạng: +∞ yt = µ + ∑ ψk ut−k (2.7) k=0 +∞ Điều kiện để chuỗi dừng là chuỗi ∑ ψk2 < +∞. k=0 Khi chuỗi dừng ta có Eyt = µ V aryt = Lim V ar ( µ + ψ0ut + ψ1ut−1 + ... + ψk ut−k ) k→∞   +∞
= Lim ψ02 + ψ12 + ... + ψk2 σ 2 = ∑ ψk2 σ 2 k→∞ (2.8) k=0 2.2 Quá trình tự hồi quy AR(Autoregressive) 2.2.1 Quá trình tự hồi quy cấp một AR(1) 2.2.1.1 Quá trìnhAR(1) không có hệ số chặn Quá trình AR(1) không có hệ số chặn có dạng như sau yt = ϕ yt−1 + ut (2.9) trong phương trình(2.9) ϕ là hàm số và ut là nhiễu trắng (white noise). Như vậy yt không những phụ thuộc vào ut mà còn phụ thuộc vào biến trễ của chính nó yt−1 Tính toán đệ quy ta được   t t−1 yt = ϕ y0 + ut + ϕ ut−1 + ... + ϕ u1 Do đó Eyt = ϕ t y0 Varyt = σ2   ϕ 2t 2 4 2(t−1) 1 + ϕ + ϕ + ... + ϕ = σ 2 1− 1−ϕ 2 Ta thấy khi −1 < ϕ < 1 và với t đủ lớn thì Lim Eyt = Lim ϕ t y0 = 0 t→∞ t− →∞ 1 − ϕ 2t σ2 = Lim Varyt = Lim σ 2 t→∞ 1 − ϕ2 t− →∞ 1 − ϕ 2 16 (2.10) Hệ số tương quan   t−1 γ1 = cov (yt ; yt−1 ) = cov (ϕ yt−1 + ut ; yt−1 ) = ϕ varyt - 1 + cov ut ; ϕ y0 + ut−1 + ... + ϕ u1 {z } | 0 = ϕ varyt - 1 Do đó ACF(1) = ρ1 = cov (yt ; yt−1 ) =ϕ varyt và  γ2 = cov (yt ; yt−2 ) = cov (ϕ yt−1 + ut ; yt−2 ) = cov ϕ yt−2 + ϕ ut−1 + ut ; yt−2 2 = ϕ 2 varyt - 2 + cov (ϕ ut−1 + ut ; yt−2 ) = ϕ 2 varyt - 2 {z } |  0 Tổng quát γk = ϕ k varyt - k = ϕ k varyt (với t đủ lớn) Suy ra ACF(k) = ρk = γk = ϕ k → 0 (k → ∞) γ0 (2.11) Từ (2.10), (2.11) thì ta vẫn có thể coi AR(1) là chuỗi dừng khi −1 < ϕ < 1 và với t đủ lớn. Như vậy ta có nhận xét là với chuỗi dừng thì ACF(k) sẽ giảm về 0 khi k tăng còn với chuỗi không dừng thì không có xu hướng đó. Nếu sử dụng toán tử trễ ta có yt = ϕ yt−1 + ut ⇔ (1 − ϕ L) yt = ut (2.12) Vì thế nếu |ϕ | < 1 thì yt là dừng và ∃ (1 − ϕ L)−1 = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... Do đó từ (2.12) yt = (1 − ϕ L) −1   2 2 ut = 1 + ϕ L + ϕ L + ... ut = ut + ϕ ut−1 + ϕ 2 ut−2 +... (2.13) 17 Điều này ngụ ý là AR(1) dừng có thể được trình bày như quá trình MA (∞).Tính toán ta cũng thu được kết quả tương tự như trên Eyt = 0
V aryt = σ 2 1 + ϕ 2 + ϕ 4 + ... = σ 2 1−1ϕ 2 γk = cov (yt ; yt−k ) = E (yt yt−k )

= E ut + ϕ ut−1 + ϕ 2 ut−2 + ... ut−k + ϕ ut−k−1 + ϕ 2ut−k−2 + ...

σ 2ϕ k 2 + ϕ k+2u 2 k 2 4 k = E ϕ k ut−k t−k−1 + .... = σ ϕ 1 + ϕ + ϕ + ... = 1−ϕ 2 = ϕ varyt Suy ra ACF(k) = ρk = γk = ϕ k → 0 (k → ∞) γ0 2.2.1.2 Bước ngẫu nhiên(Random walk) Bước ngẫu nhiên là trường hợp đặc biệt của AR(1) với ϕ = 1 yt = yt−1 + ut (2.14) Khi đó yt = y0 + (u1 + u2 + ... + ut ) Ta có Eyt = Ey0 = const nhưng varyt = t σ 2 phụ thuộc vào thời gian t nên bước ngẫu nhiên không phải là chuỗi dừng. Hơn nữa γ1 = cov (yt ; yt−1 ) = cov (yt−1 + ut ; yt−1 ) = cov(yt−1 ; yt−1 ) = varyt−1 = (t − 1) σ 2. ⇒ γk = cov (yt ; yt−k ) = (t − k) σ 2 ⇒ ACF(k) = γk varyt = t−k t ACF(k) cũng phụ thuộc thời gian t,nó không phải là chuỗi dừng. ACF(k) sẽ không có xu hướng giảm về 0 khi độ trễ k tăng lên. Để tạo một bước ngẫu nhiên trong Eviews ta làm như sau: Smpl 1 1 Genr yt=0 Smpl 2 500 Genr yt=yt(-1)+nrnd Smpl 1 500 18 Hình 2.1: Bước ngẫu nhiên Plot yt Những người theo trường phái lí thuyết thị trường hiệu quả (efficient market) cho rằng giá một tài sản tài chính ở thời điểm hiện tại là phản ánh đầy đủ thông tin hiện có trên thị trường. Điều đó có nghĩa là giá chuyển động là ngẫu nhiên (Random walk),do đó không thể dự báo và phân tích kĩ thuật (technical analysis) là hoàn toàn vô nghĩa. Ngược lại,những người theo trường phái kĩ thuật cho rằng giá tài sản tài chính phản ánh không phải tốt nhất thông tin hiện có, đôi khi chậm hơn thông tin được công bố và thị trường trong nhiều trường hợp là có thể dự báo được. 2.2.1.3 Quá trình AR(1) có hệ số chặn Quá trình AR(1) có hệ số chặn có dạng yt = α + ϕ yt−1 + ut (2.15) như vậy quá trình này chỉ khác AR(1) ở trên là có hệ số α Dùng toán tử trễ ta đưa về Nếu |ϕ | < 1 thì (1 − ϕ L) yt = α + ut ∃ (1 − ϕ L)−1 = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... 19 (2.16) Từ (2.16) ta suy ra

yt = 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... (α + ut ) = α 1 + ϕ + ϕ 2 + ... + ut + ϕ ut−1 + ϕ 2ut−2 + ... = α 1−ϕ + ut + ϕ ut−1 + ϕ 2ut−2 + ... Do đó Eyt = α 1−ϕ
V aryt = σ 2 1 + ϕ 2 + ϕ 4 + ... = ACF(k) = γk γ0 σ2 1−ϕ 2 (2.17) = ϕk Như vậy từ (2.17) thì AR(1) có thể coi là một chuỗi dừng khi |ϕ | < 1 và t đủ lớn. 2.2.2 Quá trình tự hồi quy cấp p AR(p) Trong mục này ta sẽ xem xét quá trình hồi quy tổng quát cấp p yt = ϕ0 + ϕ1yt−1 + ϕ2yt−2 + ... + ϕ pyt−p + ut (2.18) trong đó các ϕi (i = 0; p) là các hàm thực còn ut là nhiễu trắng. Như vậy yt ngoài phụ thuộc vào nhiễu trắng còn phụ thuộc vào p biến trễ của chính nó. Dạng toán tử trễ   p 2 1 − ϕ1L − ϕ2 L − ... − ϕ pL yt = ϕ0 + ut (2.19) Kí hiệu ϕ (L) = 1 − ϕ1L − ϕ2 L2 − ... − ϕ pL p thì ta có ϕ (L) yt = ϕ0 + ut Phương trình đặc trưng của AR(p) là 1 − ϕ1z − ϕ2z2 − ... − ϕ pz p = 0 (2.20) Quá trình AR(p) dừng khi các nghiệm của phương trình (2.20) nằm ngoài đường tròn đơn vị. Khi đó ϕ0 =µ Eyt = 1 − ϕ1 − ϕ2 − ... − ϕ p 20 Hệ số tương quan γk = E (yt − µ ) (yt−k − µ ) Vì yt − µ = ϕ1 (yt−1 − µ ) + ϕ2(yt−2 − µ ) + ... + ϕ p(yt−p − µ ) + ut Suy ra (yt − µ )(yt−k − µ ) = ϕ1(yt−1 − µ )(yt−k − µ )+...+ ϕ p (yt−p − µ )(yt−k − µ )+ut (yt−k − µ ) Lấy kì vọng hai vế ta được phương trình Yule-Walker   ϕ γ + ϕ γ + ... + ϕ γ p k−p (k = 1, 2...) 1 k−1 2 k−2 γk =  ϕ γ + ϕ γ + ... + ϕ pγ + σ 2 (k = 0) 1 k−1 2 k−2 (2.21) k−p 2.2.3 Xác định bậc của AR(p) bằng PACF Hàm tương quan riêng PACF là công cụ hữu ích trong việc xác định bậc của quá trình AR. PACF(k) được sử dụng để đo lường mức độ giữa yt và yt−k khi các ảnh hưởng của các độ trễ từ 1 đến k-1 đã được loại trừ. Giả sử akl là hệ số của quá trình AR(k) yt = ak1yt−1 + ak2yt−2 + ... + akk yt−k + ukt thì PACF(k) = ρkk = akk Ta có k phương trình Yule-Walker ρ j = ak1ρ j−1 + ak2ρ j−2 + ... + akk ρ j−k ( j = 1, 2...k) hoặc viết dưới dạng ma trận  ρ1 · · · ρk−1 1    ρ1 1 ρk−2   .. .. ..  . . .    ρk−2 ρ1  ρk−1 ρk−2 · · · 1 Từ (2.23) và theo quy tắc Cramer akk =    a   k1        ak2          ···  =          akk−1      akk det Pk∗ det Pk , k 21 = 1, 2... ρ1 (2.22)    ρ2    ···    ρk−1   ρk (2.23)   1 ρ1 · · · ρk−1      ρ1 ρk−2  1    ..  . . . . trong đó Pk =  . .  .      ρk−2 ρ1    ρk−1 ρk−2 · · · 1   ρ1 · · · ρk−2 ρ1   1      ρ1 1 ρk−3 ρ2     ..  . . ∗ . . và Pk =  .  . .      ρk−2      ρk−1 ρk−2 · · · ρ1 ρ k nhận được từ Pk bằng cách thay cột cuối cùng bằng ma trận ở vế phải Do cột cuối cùng của Pk∗ là tổ hợp tuyến tính của nhỏ hơn k-1 cột đầu tiên nên det Pk∗ = 0 với các quá trình AR bậc nhỏ hơn k. Nhận xét: -Như vậy với AR(p) thì PACF sẽ khác 0 cho đến độ trễ p và bằng 0 ngay sau đó. Tính chất này cho phép ta xác định được bậc quá trình AR từ việc quan sát PACF nhận được từ mẫu. -Với quá trình MA(q) thì ACF sẽ bằng 0 sau độ trễ thứ k=q. Hai nhận xét quan trọng này giúp ta xác định mô hình phù hợp cho chuỗi dữ liệu tuân theo MA hoặc AR bằng cách quan sát lược đồ tự tương quan của chuỗi dữ liệu đó. 2.2.4 Ước lượng tham số của quá trình AR(p) Trong mục này,ta viết lại quá trình AR(p) dưới dạng yt = µt + ut µt = ϕ0 + ϕ1yt−1 + ϕ2 yt−2 + ... + ϕ pyt−p (2.24) Một trong những vấn đề trọng tâm của thống kê là ước lượng tham số. Tham số cần ước lượng ở đây là θ = (ϕ0 , ϕ1 ...ϕ p ) với giả sử rằng y0 , y−1... là đã biết và nhiễu trắng ut là quá trình Gauss. 22 Một trong những phương pháp ước lượng phổ biến là ước lượng hợp lí cực đại(maximum likelihood). Ta tìm tham số ước lượng θb làm cực đại hàm hợp lí,tức là θbt = max pθ (y1, y2 ...yt ) θ trong đó pθ (y1, y2 ...yt ) là hàm mật độ đồng thời của vecto Gauss (y1 , y2 ...yt ) Để đơn giản ta xét quá trình AR(1) yt = ϕ0 + ϕ1yt−1 + ut (2.25) y0 = 0
Giả sử ut là quá trình Gauss và Luật(yt |ℑt−1 ) ∼ N µt ; σt2 trong đó µt = E (yt |ℑt−1 ) = ϕ0 + ϕ1yt−1   2 2 σt = E (yt − µt ) |ℑt−1 = Eut2 = 1 (2.26) Ta có kết quả ước lượng sau đây: Mệnh đề 2.2.4 Với các giả định trên thì ước lượng hợp lí cực đại của tham số Mt c1 = ϕ1 + hMi ϕ1 của quá trình AR(1) trong (2.25) là ϕ trong đó Mt là martingale t và hMit là đặc trưng bình phương(quadratic characteristic) của martingale đó. c1 là ước lượng vững cho ϕ1. Hơn nữa ϕ Chứng minh Hàm mật độ đồng thời là   t (y −ϕ −ϕ y )2 pθ (y1 , y2 ...yt ) = √ 1 t exp −1 ∑ k 0 2 1 k−1 2 ( 2π ) k=1 với tham số cần ước lượng θ = (ϕ0 , ϕ1 ).Lấy loga hai vế log pθ (y1 , y2 ...yt ) = log √1 t ( 2π ) 23 t − 12 ∑ k=1 (yk −ϕ0 −ϕ1 yk−1 )2 2 Ước lượng hợp lí cực đại là nghiệm của phương trình hợp lí  ∂ log pθ   =0  ∂ ϕ0 ∂ log pθ    =0 ∂ ϕ 1  t      ∑ (yk − ϕ0 − ϕ1yk−1) = 0 k=1 ⇔ t      ∑ (yk − ϕ0 − ϕ1yk−1) yk−1 = 0 (2.27) k=1 c0; ϕ c1 Giải hệ (2.27) ta thu được ϕ Trong trường hợp ϕ0 = 0 đã biết thì AR(1) viết thành yt = ϕ1 yt−1 + ut . Từ hệ trên ta có t ∑ yk yk−1 k=1 c1 = k=1t ϕ = ∑ y2k−1 k=1 Đặt t ∑ yk−1 (ϕ1 yk−1 + uk ) t ∑ k=1 t = ϕ1 + ∑ yk−1 uk k=1 t ∑ y2k−1 k=1 t Mt = (2.28) y2k−1 ∑ yk−1uk (2.29) k=1 t Ta chứng minh Mt là martingale với hMit = ∑ y2k−1 là đặc trưng bình phương(quadratic k=1 characteristic). Thật vậy E (Mt |ℑt−1 ) = E (Mt−1 + ut yt−1 |ℑt−1 ) = Mt−1 + yt−1Eut = Mt−1 + 0 = Mt−1 Vậy Mt là martingale với đặc trưng bình phương trong khai triển Doob là h i   t t t 2 2 2 hMit = ∑ E (∆Mk ) |ℑk−1 = ∑ E yk−1uk |ℑk−1 = ∑ y2k−1 k=1 k=1 (2.30) k=1 Mt c1 = ϕ1 + hMi (đpcm) Vậy từ (2.28),(2.29),(2.30) ta thu được: ϕ t Mặt khác vì hMit −−−→ ∞ nên theo định lý 1.3.3.4 về luật mạnh số lớn của mart→∞ tingale bình phương khả tích ta có Mt −−→ 0 hMit − t→∞ với xác suất 1. c1 là ước lượng vững c1 −−−→ ϕ1 với xác suất 1. Hay nói cách khác khác ϕ Do đó ϕ t→∞ cho ϕ1 . 24 2.2.5 Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARMA(p,q) Quá trình ARMA là quá trình tích hợp của hai quá trình tự hồi quy AR và trung bình trượt MA. Do đó nó có dạng tổng quát sau yt = ϕ0 + ϕ1yt−1 + ϕ2 yt−2 + ... + ϕ pyt−p + ut + θ1 ut−1 + θ2 ut−2 + ... + θqut−q (2.31) Hay dạng toán tử trễ

1 − ϕ1L − ϕ2L2 − ... − ϕ pL p yt = ϕ0 + 1 + θ1L + ... + θqLq ut (2.32) ⇔ ϕ (L) yt = ϕ0 + θ (L) ut Với ϕ (L) = 1 − ϕ1L − ϕ2L2 − ... − ϕ pL p θ (L) = 1 + θ1L + θ2 L2 + ... + θqLq Nếu các nghiệm của phương trình 1 − ϕ1z − ϕ2z2 − ... − ϕ pz p = 0 đều nằm ngoài đường tròn đơn vị thì −1 yt = [ϕ (L)] ϕ0 + = µ + ψ (L) ut  1+θ1 L+...+θq Lq 1−ϕ1 L−...−ϕ p L p  ut Trong đó ϕ0 µ = [ϕ (L)]−1 ϕ0 = 1−ϕ1 −...− ϕp 1+θ L+...+θ Lq ψ (L) = 1−ϕ11L−...−ϕqp L p = 1 + ψ1L + ψ2 L2 + ψ3L3 + ...   +∞ ∑ |ψk | < +∞ k=0 Ví dụ với p=1;q=1 thì ta có
1+θ1 L 2 L2 + ... ψ (L) = 1− = (1 + θ L) 1 + ϕ L + ϕ 1 1 1 ϕ1 L = 1 + L (ϕ1 + θ1 ) + L2 ϕ1 (ϕ1 + θ1 ) + L3 ϕ12 (ϕ1 + θ1 ) + .... Như vậy ψ1 = ϕ1 + θ1; ψ2 = ϕ1 (ϕ1 + θ1) ; ψ3 = ϕ12 (ϕ1 + θ1) ... Do ϕ (L) = ϕ0 + θ (L) u
t nên tính dừng của quá trình ARMA chỉ phụ thuộc
vào các tham số ϕi i = 1, p mà không phụ thuộc vào các tham số θi i = 1, q Chú ý: Ta nói chuỗi thời gian khả nghịch nếu ta có thể tái hiện các ut qua các giá trị hiện tại và quá khứ yt , yt−1 ....Ví dụ MA(1) là khả nghịch, AR(p) là khả nghịch. 25 2.2.6 Dự báo 2.2.6.1 Dự báo quá trình AR(p) Xét quá trình AR(1) yt = α + ϕ yt−1 + ut (2.33) với |ϕ | < 1 Ta có Eyt = µ = α 1−ϕ ⇒ α = µ (1 − ϕ ) Phương trình (2.33) viết dưới dạng toán tử trễ: (1 − ϕ L) yt = α + ut ⇔ (1 − ϕ L) (yt − µ ) = ut (2.34) ⇒ yt − µ = (1 − ϕ L)−1 ut
⇒ yt = µ + 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... ut Mặt khác ψ (L) Ls và
= ϕ s + ϕ s+1L + ϕ s+2L2 + ... = ϕ s 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... = ϕ s (1 − ϕ L)−1 yt Ls =µ+ (1−ϕ L)−1 ut Ls ⇔ yt+s = µ + (1 − ϕ L)−1 ut+s Dự báo h i −1 yd t+s = µ + E (1 − ϕ L) ut+s Từ ut = (1 − ϕ L) (yt − µ ) ⇒ ut+s = Ta có yd t+s = yd t+s = (1−ϕ L)(yt −µ ) Ls h i −1 µ + E (1−ϕLsL) (1 − ϕ L) (yt − µ ) µ + ϕ s (1 − ϕ L)−1 (1 − ϕ L) (yt − µ ) = 26 µ + ϕ s (yt − µ ) 2.2.6.2 Dự báo quá trình MA(q) Quá trình MA(q) có dạng yt = µ + ut + θ1 ut−1 + θ2 ut−2 + ... + θqut−q (2.35) Hay dạng toán tử trễ Suy ra   2 q yt − µ = 1 + θ1L + θ2 L + ... + θqL ut yt+s = µ + Từ phương trình (2.36) Kéo theo  1+θ1 L+...+θq Lq Ls  ut
yt+s = µ + 1 + θ1L + ...θq Lq ut+s   2 q yt − µ = 1 + θ1L + θ2 L + ... + θqL ut yt −µ 1+θ1 L+...+θq Lq t −µ ⇒ ut+s = Ls (1+θ1yL+...+ θq Lq ) ut = Do đó yt+s = µ +  1+θ1 L+...+θq Lq Ls    1 . 1+θ1 L+...+θq Lq (yt − µ ) Mặt khác 1+θ1 L+...+θq Lq Ls Ta được   θ + θ L + ... + θ Lq−s s = 1; q
s q s+1 =  0 (s ≥ q + 1)
q−s ut µ + θ θ L + ... + θ + L yd = s q t+s s+1 27 (2.36) 2.2.6.3 Dự báo quá trình ARMA(1;1) Dạng toán tử của ARMA(1;1) (1 − ϕ L) (yt − µ ) = (1 + θ L) ut (2.37) Quá trình này dừng với |ϕ | < 1 Dự báo (1+θ L) 1+θ L yd t+s = µ + (1−ϕ L)Ls ut = µ + 1−ϕ L ut+s 1+θ L 1−ϕ L = µ + (1− ϕ L)Ls . 1+θ L (yt − µ ) Mà θ L(1+ϕ L+ϕ 2 L2 +...) 1+ϕ L+ϕ 2 L2 +... 1+θ L + = Ls Ls (1−ϕ L)Ls

= ϕ s + ϕ s+1L + ϕ s+2 L2 + ... + θ ϕ s−1 + ϕ s L + ϕ s+1L2 + ... Suy ra

= ϕ s 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ... + θ ϕ s−1 1 + ϕ L + ϕ 2L2 + ...
= ϕ s + θ ϕ s−1 (1 − ϕ L)−1 1−ϕ L ϕ +θ ϕ ϕ +θ ϕ yd t+s = µ + 1−ϕ L . 1+θ L (yt − µ ) = µ + 1+θ L (yt − µ ) s ϕ y\ t+s−1 = µ + s−1 s−1 +θ ϕ s−2 1+θ L Và yd t+s − µ = ϕ y\ t+s−1 − µ Ví dụ với s=1
s s−1 (yt − µ ) ϕ +θ yd t+1 = µ + 1+θ L (yt − µ ) h i ϕ (1+θ L)+θ (1−ϕ L) ⇒ yd (yt − µ ) = ϕ (yt − µ ) + θ εt t+1 − µ = 1+θ L   1−ϕ L với εt = 1+θ L (yt − µ ) = yt − ybt 2.2.6.4 Dự báo quá trình ARMA(p;q) Xét quá trình dừng và khả nghịch ARMA(p;q)

1 − ϕ1L − ϕ2L2 − ... − ϕ pL p (yt − µ ) = 1 + θ1L + θ2L2 + ... + θqLq ut Tương tự như phần trên ta có yd t+1 − µ =
ϕ1 (yt − µ ) + ϕ2 (yt−1 − µ ) + ... + ϕ p yt−p+1 − µ + θ1 ε1 + θ2ε2 + ... + θqεq với εt = yt − ybt 28 2.2.6.5 Dự báo quá trình ARIMA(p;d;q) Ta hiểu quá trình này là quá trình ARMA(p;q) sau khi lấy sai phân bậc d. Kí hiệu yt∗ = ∆d (yt ):sai phân bậc d là chuỗi dừng. Gọi p là bậc tự hồi quy và q là bậc trung bình trượt của yt∗ = ∆d (yt ) ta có quá trình ARIMA(p;d;q)

1 − ϕ1L − ϕ2 L2 − ... − ϕ pL p (yt∗ − µ ) = 1 + θ1L + θ2L2 + ... + θqLq ut Khi dự báo ta sẽ dự báo cho chuỗi yt∗ = ∆d (yt ) sau đó suy ra cho chuỗi yt . Box và Jenkin(1976) đã đưa ra các bước để dự báo quá trình ARIMA(p;d;q) gọi là phương pháp Box-Jenkin được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khác nhau từ kinh tế,kĩ thuật,y tế...Nó gồm ba bước: -Định dạng mô hình,xác định các tham số p,d,q -Ước lượng các tham số -Kiểm định Ý nghĩa của mô hình ARIMA trong tài chính Thông thường các chuỗi dữ liệu kinh tế và tài chính như GDP, CPI, GNP, giá cổ phiếu...đều là các chuỗi không dừng, có yếu tố xu thế. Chính vì vậy để tạo ra chuỗi dừng ta phải khử yếu tố xu thế trong các chuỗi dữ liệu gốc thông qua quy trình lấy sai phân hoặc lợi nhuận logarit. Từ việc dự báo chuỗi dừng này ta suy ra dự báo cho chuỗi dữ liệu gốc. 2.2.7 Kiểm định 2.2.7.1 Kiểm định đơn vị(Unit Root Test) Đây là một kiểm định quan trọng khi phân tích tính dừng của chuỗi thời gian. Việc tìm ra kiểm định đơn vị là một trong các phát hiện quan trọng của kinh tế học hiện đại. Kiểm định ADF(Augument Dickey-Fuller) Dickey-Fuller đã nghiên cứu quá trình AR(1) yt = ρ yt−1 + ut (2.38) với y0 < ∞; ut ∼ IID. Dễ thấy với ρ = 1 thì nó là bước ngẫu nhiên và do đó nó là chuỗi không dừng. Do đó, để kiểm định tính dừng của yt ta sẽ kiểm định cặp giả thiết H0 : ρ = 1/H1 : ρ < 1 29 ρ −1 Test thống kê T = Se( có phân bố DF. ρb) Nếu |T | > |Tα | thì ta bác bỏ H0 chấp nhận H1 có nghĩa là chuỗi dừng. Bây giờ chúng ta sẽ xét đến việc ứng dụng quá trình ARIMA vào dự báo GDP của Mỹ tính theo giá năm 2005. Số liệu theo năm từ 1929 đến 2010(nguồn BEA-Cục phân tích kinh tế Mỹ: http://bea.gov/) b Hình 2.2: GDP của Mỹ tính theo giá 2005 30 Quan sát lược đồ tự tương quan thì đây không phải chuỗi dừng Hình 2.3: Lược đồ tự tương quan của chuỗi GDP2005 Lấy sai phân bậc một của chuỗi GDP_2005 trong Eviews: GenrDGDP_2005 = GDP_2005 − GDP_2005(−1) 31 Ta được chuỗi DGDP_2005 là chuỗi dừng. Hình 2.4: Đồ thị chuỗi DGDP2005 Kiểm định đơn vị Hình 2.5: Kiểm định đơn vị Thống kê |T | = 5.36 > 3.51 do đõ chuỗi sai phân là dừng với mức ý nghĩa 1% .Như vậy bậc sai phân d=1. 32 Lược đồ tự tương quan của chuỗi DGDP_2005 Nhìn vào lược đồ tự tương quan cho ta p=1 và q=2 vì ρ11 6= 0 và từ độ trễ thứ 2 Hình 2.6: Lược đồ tự tương quan của DGDP trở đi thì ρk ; ρkk giảm dần về 0.Ước lượng mô hình ARIMA(1;1;2) ta được. Nhập lệnh trong Eviews DGDP2005 c ar(1) ma(1) ma(2) Hình 2.7: Kết quả ước lượng Tức là DGDP_2005t = 295.4565+0.975993.DGDP_2005t−1 +ut −0.589753ut−1 −0.38185ut−2 33 Kiểm định phần dư sau khi ước lượng là một chuỗi ngẫu nhiên (nhiễu trắng). Nhìn vào lược đồ tương quan ta thấy phần dư là nhiễu trắng. Để dự báo DGDP_2005 Hình 2.8: Phần dư cho giai đoạn t+1 ta làm như sau -Từ kết quả ước lượng vào Forecast->Dynamic->OK.Eviews sẽ tạo ra một biến DGDP f _2005 trong đó có chứa giá trị của DGDP_2005 giai đoạn t+1 Dự báo Hình 2.9: DGDP_2005 giai đoạn t+1 theo công thức GDP_2005t+1 = GDP_2005t + DGDP_2005t+1 Nhập lệnh trong Eviews Plot DGDPF_2005 DGDP_2005 34 Hình 2.10: Đường GDP dự báo và thực tế 2.2.7.2 Một số tiêu chí để lựa chọn mô hình ARIMA 1.Phần dư của mô hình dự báo tuân thủ tính chất nhiễu trắng Sau khi ước lượng mô hình ARIMA ta cần kiểm tra phần dư RESID có tính chất nhiễu trắng hay không bằng cách sử dụng lược đồ tự tương quan. 2.Tiêu chuẩn thông tin AIC/BIC Những tiêu chuẩn chỉ dựa trên phương sai có những khiếm khuyết nhất định vì hiển nhiên mô hình có nhiều tham số càng phù hợp hơn do mỗi một tham số đưa thêm sẽ làm mô hình mềm dẻo hơn trong việc xấp xỉ các số liệu quan sát. Tuy nhiên việc sử dụng quá nhiều tham số để mô tả phần MA thì khả năng dự báo ngoài mẫu sẽ kém đi. Người ta đã đưa ra một số tiêu chuẩn khắc phục tình trạng quá nhiều tham số như AIC (Akaike Information Criterion), BIC (Bayesian Information Criterion)[12]. AIC = 2 −2 n log( f ) + n m Trong đó f là hàm hợp lí,m là số các tham số,n là cỡ mẫu. Với mô hình Gauss AR(p) thì AIC và BIC rút gọn thành   c2 + 2p AIC(p) = Log σ   n c2 + p log(n) BIC(p) = Log σ n Mô hình nào có AIC/BIC nhỏ nhất là mô hình tối ưu. 3.Sai số dự báo càng nhỏ càng tốt Sau khi dự báo kiểm tra RMSE(căn bậc hai sai số dự báo bình phương trung bình). 35 Mô hình nào có RMSE nhỏ hơn là mô hình tốt hơn. 4.So sánh giá trị dự báo và thực tế Mô hình nào có giá trị dự báo càng gần giá trị thực tế thì đó là mô hình tốt. Trên Eviews, sau khi dự báo ta vào View/Actual,Fitted,Residual Graph để kiểm tra. 5.Hệ số hồi quy có ý nghĩa thống kê hay không Mô hình nào có hệ số hồi quy có ý nghĩa thống kê cao thì mô hình đó tốt hơn. 36 Chương 3 Các mô hình phi tuyến Gauss có điều kiện và ứng dụng Trong phân tích kinh tế lượng cổ điển giả định phương sai của sai số là không đổi theo thời gian. Tuy nhiên, bất kì một chuỗi thời gian nào đều chịu ảnh hưởng ít nhiều của các tin tức tốt, xấu và nhà đầu tư trên thị trường đều ứng xử hành vi kiểu đám đông. Do đó, giả định phương sai không thay đổi theo thời gian thường không còn phù hợp. Vì thế sẽ nảy sinh ý tưởng là xem xét các dạng dữ liệu mà phương sai của nó phụ thuộc theo thời gian, ở đây là phụ thuộc vào các phương sai trong quá khứ (phương sai trễ). Chương này đề cập đến các mô hình ARCH của Engle, GARCH của Bollerslev, các mô hình cải tiến cùng các ứng dụng của chúng. 37 3.1 Rủi ro Rủi ro (Risk) là một nhân tố quan trọng trong phân tích kinh tế, quản lí quỹ đầu tư, định giá tài sản, giao dịch giao ngay (spot),giao dịch quyền chọn (option), kỳ hạn (forward), tương lai (future). . . Thiếu thông tin về rủi ro thì không thể đưa ra chiến lược đầu tư. Rủi ro có các tính chất -Không quan sát trực tiếp được. -Có tính chất tập kết (cluster property) tức là độ rủi ro có thể cao ở các thời kì nhất định và thấp ở các thời kì khác. -Rủi ro thường biến thiên trong một miền xác định nào đó. Về mặt toán học thì lợi suất tài sản,độ rủi ro của nó thường là một chuỗi dừng. 3.2 Cấu trúc mô hình Gọi Pt là giá của tài sản tài chính ở thời điểm t(cổ phiếu, trái phiếu, tỷ giá, giá vàng, dầu. . . ). Lợi suất logarit được định nghĩa như sau: rt = log Pt Pt−1 (3.1) Giá trị trung bình có điều kiện của lợi suất µt = E (rt |ℑt−1 ) (3.2) Rủi ro được hiểu ở đây là phương sai có điều kiện của lợi suất logarit   2 2 σt = V ar (rt |ℑt−1 ) = E (rt − µt ) |ℑt−1 (3.3) Trong đó ℑt−1 = σ (ε1 ; ε2 ; ...εt−1 ) là tập hợp thông tin có ở thời điểm t-1, bao gồm tất cả các hàm tuyến tính của lợi suất trong quá khứ. Giả thiết rằng rt tuân thủ chuỗi thời gian đơn giản chẳng hạn như quá trình dừng ARMA(p,q) với một vài biến số giải thích nào đó rt = µt + ut k p q i=1 i=1 i=1 µt = ϕ0 + ∑ βi xit + ∑ ϕi rt−i + ∑ θi ut−i (3.4) Trong phương trình (3.4) thì k,p,q là các số nguyên không âm và xit là các biến giải thích. Từ phương trình trên ta có σt2 = V ar (rt |ℑt−1 ) = V ar (ut |ℑt−1 ) là phương 38 sai có điều kiện biến đổi theo thời gian còn ut đặc trưng cho các cú sốc (shock or innovation) của lợi suất một loại tài sản ở thời điểm t. 3.3 Mô hình ARCH(p) Mô hình này do Engle đề xuất năm 1982.Nó có dạng rt = µt + ut ut = σt εt 2 + .... + α u2 σt2 = α0 + α1 u2t−1 + α2ut−2 p t−p (3.5) Trong đó µt đại diện cho trung bình của lợi suất rt , σt2 đại diện cho mức độ biến động của rt còn ut đại diện cho các “cú sốc”(shock) của lợi suất một loại tài sản ở thời điểm t. Với
α0 > 0; αi ≥ 0 i = 1, p εt ∼ IID; E εt = 0;V arεt = 1
Thông thường ta hay giả thiết ut ∼ N 0; σt2 hoặc phân phối Student. Để cụ thể hơn ta xét mô hình ARCH(1) 3.3.1 Mô hình ARCH(1) 3.3.1.1 Dạng mô hình ARCH(1) rt = µt + ut ut = σt εt 2 σt2 = α0 + α1ut−1 trong đó α0 > 0; α1 ≥ 0 39 (3.6) 3.3.1.2 Tính chất ARCH(1) (i) α0 (0 ≤ α1 < 1) 1 − α1 (ii)Nếu ut là dừng với moment cấp 4 và εt ∼ N (0; 1) thì (3.7) Eut = 0;V arut = 3α02 (1 + α1) 4
0 ≤ α1 < m4 = Eu t = (1 − α1) 1 − 3α12 r ! 1 3 (3.8) (iii)Hệ số nhọn Kurtoris Eut4 K=
2 − 3 > 0 Eut2 Chứng minh (i)Theo tính chất kì vọng có điều kiện ta có Eut = E (E (ut |ℑt−1 )) = E (E (σt εt |ℑt−1 )) = E (σt E (εt |ℑt−1 )) = E (σt E εt ) = 0 (do εt là độc lập với ℑt−1 và σt là ℑt−1 đo được) Hơn nữa



V arut = Eut2 = E E ut2 |ℑt−1 = E σt2 E εt2 |ℑt−1
2 2 2 E εt = α0 + α1Eut−1 = E α0 + α1ut−1 Do ut là chuỗi dừng với Eut = 0;V arut = V arut−1 = Eut2 Suy ra α0 V arut = α0 + α1V arut ⇒ V arut = > 0 (0 ≤ α1 < 1) 1 − α1 (ii)Do εt ∼ N (0; 1) nên E εt4 = 3 Ta có


Eut4 = E E ut4 |ℑt−1 = E(σt4 E εt4 |ℑt−1 )
2
2 = E σt4 E εt4 = 3E α0 + α1ut−1
4 + 2α α Eu2 = 3 α02 + α12Eut−1 0 1 t−1 Nếu ut là dừng với moment cấp 4 thì    
2α1 1+α1 2 2 2 m4 1 − 3α1 = 3α0 1 + 1−α1 = 3α0 1−α1 ⇒ m4 = 3α02 (1+α1 ) (1−α1 )(1−3α12 ) 40 (3.9) (iii) Từ (3.7) và (3.8): K=  với 0 ≤ α1 < = q  1 3 Eut4 2 (Eut2 ) 3(1−α12 ) 1−3α12 −3 = 3α02 (1+α1 ) (1−α1 )2 . α2 (1−α1 )(1−3α12 ) 0   2α12 − 3 = 3 1 + 1−3α 2 − 3 > 0 −3 1 (đpcm) Điều này có nghĩa là phân bố của ut bẹt hơn phân bố chuẩn hóa. Tính chất này vẫn đúng cho ARCH(p). Ý nghĩa mô hình ARCH(1) Mô hình này cho thấy khi có một cú sốc lớn xảy ra ở giai đoạn t-1 thì giá trị |ut | cũng sẽ lớn hơn. Các cú sốc lớn có xu hướng do các cú sốc lớn trong quá khứ gây ra. Đặc điểm này giống tính chất tập kết (cluster property) của độ rủi ro. 3.3.2 Mối liên hệ giữa ARCH(p) và AR(p) Từ rt = µt + ut ut = σt εt 2 + α u2 + .... + α u2 σt2 = α0 + α1 ut−1 p t−p 2 t−2 Ta viết thành Đặt 2 2 2 + ut2 − σt2 ut2 = α0 + α1ut−1 + α2ut−2 + .... + α put−p (3.10) vt = ut2 − σt2 ; xt = ut2 (3.11) xt = α0 + α1 xt−1 + ... + α pxt−p + vt (3.12) Từ (3.10) và (3.11) ta được Nhiễu vt là một hiệu martingale. Thật vậy


E (vt |ℑt−1 ) = E ut2 − σt2 |ℑt−1 = E σt2εt2 |ℑt−1 − E σt2 |ℑt−1 = σt2E εt2 − σt2 = σt2 − σt2 = 0 Vậy ARCH(p) có thể xem như quá trình AR(p) với nhiễu là một hiệu martingale.Với p = 1ta có xt = α0 + α1xt−1 + vt 41 và ACF(k) = ρk = α1k 42 3.3.3 Ước lượng mô hình ARCH(p) -Xác định bậc của ARCH(p):Ta dùng PACF với ut2 để xác định bậc của ARCH(p). Giả sử có phân bố chuẩn   u2t 1 exp − 2 f (ut |ℑt−1 ) = √ 2σt 2πσt Hàm hợp lí của ARCH(p) có dạng L = f (u1, u2 ...uT |α ) ; α = (α0 , α1 ...α p ) Từ đó
L = f (u1 , u2...uT |α ) = f (uT |ℑT −1 ) . f (uT −1 |ℑT −2 ) ... f u p+1 ℑ p . f (u1, u2 ...u p |α )   T u2t 1 = ∏ √ 2 exp − 2σ 2 f (u1, u2 ...u p |α ) t=p+1 2πσt t Dạng của hàm mật độ xác suất đồng thời f (u1, u2 ...u p |α ) của u1 , u2 ...u p khá phức tạp nên người ta hay bỏ thành phần này nhất là khi kích thước mẫu đủ lớn. Lúc đó   T u2t 1 exp − 2 L = f (u1, u2 ...uT |α ) = ∏ p 2 2σt 2 πσ t=p+1 t Với σt2 được tính đệ quy. Việc cực đại hàm hợp lý này tương đương cực đại hàm     T ut2 1 LogL = ∑ log √ 2 − 2σ 2 2πσt t=p+1 t Hoặc cực đại hàm (sau khi loại bỏ hằng số) i T h ut2 1 2 LogL = − ∑ 2 log σt + 2σ 2 t=p+1 t 2 + ... + α u2 trong đó σt2 = α0 + α1ut−1 p t−p được tính đệ quy. 3.3.4 Kiểm định hiệu ứng của ARCH Trước khi ước lượng các mô hình ARCH(p), điều quan trọng là chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại ảnh hưởng của ARCH hay không để biết các mô hình nào cần 43 ước lượng theo phương pháp ARCH thay vì ước lượng theo phương pháp OLS. Ta đặt ut = rt − µt là phần dư của phương trình trung bình. Chuỗi bình phương phân dư ut2 được sử dụng để kiểm định có ảnh hưởng của ARCH hay không. Một trong các phương pháp là dùng thống kê Ljung-Box với ut2 để kiểm định cặp giá thiết: Giả thiết H0 :m hệ số tự tương quan đầu ACF của ut2 đều bằng 0 Đối thiếtH1 : Có ít nhất một trong m hệ số tự tương quan trên khác 0 m Thống kê Q = n(n + 2) ∑ k=1 ρb2 n−k ∼ χ 2 (m) với n là kích thước mẫu. Cách thứ hai là dùng kiểm định nhân tử Lagrange của Engle. Kiểm định này được thực hiện qua các bước: -Ước lượng mô hình 2 + ... + α u2 + e (t = p + 1, ...n) ut2 = α0 + α1ut−1 p t−p t Với et là sai số,n là cỡ mẫu,p là một số nguyên dương xác định. -Cặp giả thiết cần kiểm định: H0 : α1 = α2 = ... = α p = 0; H1 : α12 + α22 + ... + α p2 > 0 n n
2 Đặt SSR0 = ∑ ut2 − ϖ trong đó ϖ = 1n ∑ ut2 là trung bình của ut2 . t=1 t=p+1 n Đặt SSR1 = ∑ ebt 2 trong đó ebt là ước lượng của et từ phương trình trên. Thông kê F t=p+1 (SSR0 −SSR1 )/p = SSR1 /(n−2p−1) ∼ χ p2 -Ta bác bỏ giả thiết nếu F > χ p2 (α ) . Ta cũng có thể dùng tiêu chuẩn khi bình phương χ 2 = nR2 trong đó n là kích thước mẫu và R2 thu được từ phương trình trên. Trong các kiểm định trên nếu giả thiết H0 bị bác bỏ thì có hiệu ứng ARCH và ngược lại. 3.3.5 Dự báo Thực hiện theo phương pháp đệ quy giống AR(p) 2 2 σt2 = α0 + α1 ut−1 + ... + α put−p (3.13) σh2 = α0 + α1u2h−1 + ... + α pu2h−p (3.14) Giả sử gốc dự báo ở h Dự báo 44 2 2 2 σh2 (1) = σd h+1 = α0 + α1 uh−1 + ... + α p uh+1−p 2 Tương tự 2 2 2 σh2 (2) = σd h+2 = α0 + α1 σh (1) + α2 uh ... + α p uh+2−p 2 2 2 2 σh2 (l) = σd h+l = α0 + α1 σh (l − 1) + α2 σh (l − 2) ... + α p σh (l − p) p = α0 + ∑ αi σh2 (l − i) i=1 Với σ 2 (l − i) = u2h+l−i (l − i ≤ 0) 3.3.6 Mô hình AR(1)/ARCH(1) Bây giờ ta sẽ xét đến một mô hình AR(1)/ARCH(1) tích hợp khi giả định rằng cú sốc ut thỏa mãn phương trình sau ut = β0 + β1ut−1 + σt εt σt2 Hoặc (3.15) 2 = α0 + α1ut−1 q 2 ε ut = β0 + β1ut−1 + α0 + α1ut−1 t (3.16) q 2 ε tuân theo ARCH(1). Ta nói ut tự hồi quy AR(1) với nhiễu α0 + α1ut−1 t
Với giả định rằng Luật(ut |ℑt−1 ) ∼ N µt ; σt2 . Từ đó ta có µt = E (ut |ℑt−1 ) = E (β0 + β1ut−1 + σt εt |ℑt−1 ) = β0 + β1ut−1 + σt E εt = β0 + β1ut−1 2 = V ar (u |ℑ σt2 = α0 + α1ut−1 t t−1 ) Mô hình này là mô hình có điều kiện Gauss do đó ta có thể biểu diễn hàm mật độ đồng thời của u1 , u2 ...ut với tham số θ = (α0 , α1 , β0 , β1).   −1 t (u −β −β u )2 t
t pθ (u1, u2 ...ut ) = (2π )− 2 ∏ α0 + α1 u2k−1 2 exp − 12 ∑ k α +0 α u12 k−1 0 1 k=1 k=1 k−1 Với giả thiết các tham số α0 , β0, α1 đã biết ta có kết quả sau cho bài toán ước lượng tham số β1 45 Mệnh đề 3.3.6 Giả sử cú sốc ut thỏa mãn mô hình AR(1)/ARCH(1). i)Với các tham số α0 , β0 , α1 đã biết thì ước lượng hợp lí cực đại (maximum likelihood) của tham số β1 là t βb1 = ii)Hơn nữa t 0 (uk −β0 )uk−1 α0 +α1 u2k−1 ∑ u2k−1 α0 +α1 u2k−1 k=1 t k=1 Mt βb1 = β1 + hMit với Mt = ∑ √ uk−1 εk 2 α +α u k=1 ∑ (3.17) (3.18) t là Martingale và hMit = ∑ 1 k−1 k=1 u2k−1 α0 +α1 u2k−1 là đặc trưng bình phương của martingale đó trong khai triển Doob. Mt iii)Lim hMi = 0 với xác suất 1 và do đó βb1 → β1 với xác suất 1. t t→∞ Chứng minh i)Hàm mật độ đồng thời của u1 , u2 ...ut là   −1 t t (u −β −β u )2
t pθ (u1, u2 ...ut ) = (2π )− 2 ∏ α0 + α1 u2k−1 2 exp − 12 ∑ k α +0 α u12 k−1 0 1 k=1 k−1 k=1 Lấy Logarit hai vế t
1 t 2 −2 ∑ Logpθ (u1, u2 ...ut ) = − 2t log 2π − 12 ∑ log α0 + α1 ut−1 k=1 k=1 βb1 cực đại hóa hàm hợp lí nên nó là nghiệm phương trình hợp lí ∂ log pθ (u1 ,u2 ...ut ) ∂ β1 =0 Do đó t (uk −β0 −β1 uk−1 )uk−1 α0 +α1 u2k−1 k=1 t u (u −β ) ∑ ⇒ ∑ k=1 t = β1 ∑ 0 α0 +α1 u2k−1 k−1 =0 k k=1 Vậy t ∑ (uk −β0 )uk−1 α0 +α1 u2 k−1 u2k−1 ∑ 2 k=1 α0 +α1 uk−1 βb1 = k=1t 46 u2k−1 α0 +α1 u2k−1 (uk −β0 −β1 uk−1 )2 α0 +α1 u2k−1 ii)Từ ut = β0 + β1ut−1 + trong (3.17) là q 2 ε thì tử số trong biểu thức ước lượng βb α0 + α1 ut−1 t 1 t (uk −β0 )uk−1 α +α u2 k=1 0 1 k−1 t β u2 ∑ = ∑ k=1 t = ∑ 1 k−1 α0 +α1 u2k−1 k=1 t   √ β1 uk−1 + α0 +α1 u2k−1 εk uk−1 α0 +α1 u2k−1 (3.19) + ∑ √ uk−1 εk 2 k=1 α0 +α1 uk−1 Do đó từ (3.17) và (3.19) ta có Mt βb1 = β1 + hMi t t với Mt = ∑ √ uk−1 εk 2 α +α u 0 k=1 1 k−1 Ta sẽ chứng minh Mt = t và hMit = ∑ k=1 u εk ∑ √α k−1 2 0 +α1 uk−1 k=1 t u2k−1 α0 +α1 u2k−1 t là martingale và hMit = ∑ k=1 đặc trưng bình phương của martingale đó trong khai triển Doob. Thật vậy, ta có    t u ε E (Mt |ℑt−1 ) = E ∑ √ k−1 k 2 |ℑt−1 = Mt−1 + E √ ut−1 εt α0 +α1 uk−1 k=1 ut−1 E εt 2 α0 +α1 ut−1 = Mt−1 + √ u2k−1 α0 +α1 u2k−1 2 α0 +α1 ut−1 = Mt−1 |ℑt−1 là  Vì Mt là martingale nên Mt2 martingale dưới. Theo khai triển Doob Mt2 = mt + hMit trong đó mt là một martingale còn hMit là dãy tăng dự báo được (đặc trưng bình phương của martingale) Hơn nữa ! t hMit = ∑ E k=1 u2k−1 εk2 α0 +α1 u2k−1 t u2k−1 α +α u2 k=1 0 1 k−1 = ∑ Vậy ta chứng minh xong ii. iii)Theo định lý 1.3.3.4 về luật mạnh số lớn với martingale bình phương khả tích ta có Mt Lim =0 (3.20) t→∞ hMit với xác suất 1 do đó βb1 → β1 với xác suất 1. Điều đó có nghĩa là βb1 là ước lượng vững cho β1 (đpcm) 47 3.3.7 Đánh giá về mô hình ARCH(p) Mô hình ARCH(p) đã mô hình hóa được động thái phương sai có điều kiện do đó có thể dự tính được độ rủi ro của lợi suất một loại tài sản. Đồng thời mô hình ARCH(p) cũng lí giải được tính chất bầy đàn của độ rủi ro và hình dáng phân bố cú sốc ut là bẹt hơn phân bố chuẩn hóa. Tuy vậy,mô hình ARCH(p) có những nhược điểm sau đây: r   1 -Để moment cấp 4 hữu hạn trong mô hình ARCH(1) thì hệ số 0 ≤ α1 < . 3 Các điều kiện ràng buộc sẽ phức tạp hơn rất nhiều trong mô hình ARCH bậc cao. -Mô hình ARCH giả thiết rằng cú sốc dương và cú sốc âm có cùng ảnh hưởng đến độ rủi ro vì trong phương trình phương sai các ut đều được bình phương. Điều này thường không phản ánh đúng thực tế vì giá một loại tài sản tài chính thường phản ánh khác nhau đối với các cú sốc dương và âm. Khắc phục các nhược điểm này người ta đã đưa ra các mô hình ARCH tổng quát hơn. Trong đó phải kể đến GARCH của Bollerslev, TGARCH của Glosten, Runkle, Zakoian và EGARCH của Nelson. 3.4 Mô hình GARCH(p,q) Năm 1986, Bollerslev đã mở rộng mô hình ARCH và đặt tên là mô hình ARCH tổng quát GARCH(p,q). 3.4.1 Dạng mô hình rt = µt + ut ut = σt εt 2 + α u2 + .... + α u2 + β σ 2 + β σ 2 + ... + β σ 2 σt2 = α0 + α1 ut−1 p t−p q t−q 2 t−2 1 t−1 2 t−2 p q i=1 j=1 2 + 2 = α0 + ∑ αi ut−i ∑ β j σt− j (3.21) 48 Trong đó α0 > 0; αi ≥ 0; β j ≥ 0; max(p;q) ∑ (αi + βi ) < 1 (3.22) i=1 εt ∼ IID; E εt = 0;V arεt = 1 Nếu p > q thì βi = 0 với i > q. Nếu q > p thì αi = 0 với i > p. Như vậy phương sai không những phụ thuộc vào cú sốc ở quá khứ mà còn phụ thuộc vào chính phương sai đó ở thời kì trước. 3.4.2 Mối liên hệ GARCH và ARMA Đặt ηt = ut2 − σt2 ⇒ ut2 p = α0 + ∑ i=1 2 + αi ut−i q ∑ j=1  2 −η β j ut− j j  + ηt = α0 + max(p;q) ∑ i=1 thì ηt là hiệu martingale. Thật vậy ta có

E (ηt |ℑt−1 ) = E ut2 − σt2 |ℑt−1 = E σt2 εt2 |ℑt−1 − σt2 = σt2 E εt2 − σt2 = σt2 − σt2 = 0 Vậy GARCH có thể coi như là một dạng của ARMA với ut2 và nhiễu ηt là hiệu martingale. Do đó α0 max(p;q) Eut2 = 1− ∑ (αi +βi ) i=1 với điều kiện max(p;q) ∑ (αi + βi ) < 1 i=1 Bây giờ chúng ta sẽ xét những điểm mạnh và yếu của mô hình GARCH. Để đơn giản ta xét mô hình GARCH(1;1). 49 q 2 − (αi + βi ) ut−i ∑ β j ηt− j j=1 3.4.3 Mô hình GARCH(1,1) rt = µt + ut ut = σt εt 2 + β σ2 σt2 = α0 + α1 ut−1 1 t−1 α0 > 0; α1 , β1 ≥ 0 (3.23) α1 + β1 < 1 2 2 hoặc đồng thời cả hai cùng lớn thì dẫn tới σ 2 lớn. Như vậy nếu ut−1 hoặc σt−1 t Hành vi này giống như tính chất bầy đàn của chuỗi tài chính theo thời gian. Tính chất GARCH(1,1) (i) α0 (3.24) Eut2 = 1 − α1 − β1 (ii) Nếu ut dừng với moment bậc 4 và εt ∼ N (0; 1) thì Eut4 Từ đó hệ số nhọn 3α02 (1 + α1 + β1)
= (1 − α1 − β1) 1 − β12 − 3α12 − 2α1β1 Eut4 K=

2 − 3 > 0 E ut2 Chứng minh (i)Theo tính chất kỳ vọng điều kiện


Eut2 = E σt2 εt2 = E E σt2 εt2 |ℑt−1


2 + β σ2 = E σt2E εt2 |ℑt−1 = E σt2 = E α0 + α1 ut−1 1 t−1 2 + β Eσ 2 = α0 + α1 Eut−1 1 t−1 Vì ut là dừng nên Eut2 = const. Do đó ta có (3.24) Eut2 = α0 1−α1 −β1 50 (3.25) (3.26) với α1 + β1 < 1. (ii)Ta có Eut4 = E E σt4 εt4 |ℑt−1 (Vì εt ∼ N (0; 1) nên E εt4 = 3) Suy ra



= E σt4E εt4 = 3E σt4
2
2 + β σ2 Eut4 = 3E σt4 = 3E α0 + α1ut−1 1 t−1 4 + β 2E σ 4 + 2α α Eu2 + 2α β E σ 2 + 2α β E u2 σ 2 = 3 α02 + α12Eut−1 0 1 0 1 1 1 t−1 t−1 t−1 1 t−1 t−1

2 = E σ 2 và Dễ thấy Eut−1 t−1



4 = E E σ 4 ε 4 |ℑ 4 E ε 4 |ℑ 4 Eut−1 = E( = 3E σ σ t−1 t−1 t−2 t−1 t−1 t−2 t−1




2 σ2 2 4 4 E ε 2 |ℑ 4 = E ut−1 = E σt−1 = E σt−1 t−1 = E E εt−1 σt−1 |ℑt−2 t−1 t−2 4 Eut−1 3 Ta thu được Eut4 = 3α02 +   2 4 2 2 4 + 2α1β1Eut−1 3α1 + β1 Eut−1 + 6α0 (α1 + β1) Eut−1 (3.27) Nếu ut dừng với moment cấp 4 thì từ (3.27)
1 − 3α12 − β12 − 2α1β1 Eut4 = 3α02 + 6α0 (α1 + β1) 1−αα10−β1 = ⇒ Eut4 = 3α02 (1+α1 +β1 ) (1−α1 −β1 )(1−β12 −3α12 −2α1 β1 ) 3α02 (1+α1 +β1 ) 1−α1 −β1 Suy ra Eut4 3α 2 (1+α +β ) 1 1 0 2 −3 = 2 −3α 2 −2α β . 2 − ) 1− (1− α β β ( 1 1 1 1) (E (ut )) 1 1 2 3(1−(α1 +β1 ) ) = 2 2 −3 > 0 K= (1−α1 −β1 )2 α02 −3 1−(α1 +β1 ) −2α1 Điều này có nghĩa là phân bố của ut thoải hơn so với phân bố chuẩn. 51 3.4.4 Dự báo phương sai Để đơn giản ta xét mô hình GARCH(1;1) -Dự báo tĩnh Giả sử ta đã dự báo phương sai có điều kiện đến thời kì h,ta dự báo tiếp cho thời kì h+1 2 σh2 (1) = σh+1 = α0 + α1u2h + β1σh2 (3.28) ở đây uh; σh đã biết. Từ đó 2 = α + α u2 2 σh2 (2) = σh+2 0 1 h+1 + β1 σh (1) 2 = α + α u2 2 σh2 (3) = σh+3 0 1 h+2 + β1 σh (2) ... -Dự báo động Phương pháp này có lợi thế là dự báo cho thời kì mẫu dài hơn.Nó được tiến hành như sau 2 σh+1 = α0 + α1 u2h + β1σh2 (3.29) Từ 2 = α + α u2 + β σ 2 = α + α σ 2 ε 2 + β σ 2 σt+1 0 1 t 1 t 0 1 t t 1 t
= α0 + σt2 (α1 + β1) + α1σt2 εt2 − 1 Với t = h + 1 ta có 2 σh+2 2 2 = α0 + σh+1 (α1 + β1) + α1 σh+1
2 − 1 |ℑ Vì E εh+1 h = 0 nên   2 εh+1 − 1 σh2 (2) = α0 + σh2 (1) (α1 + β1) Tổng quát σh2 (l) = α0 + σh2 (l − 1) (α1 + β1) (l > 1) Nên σh2 (l − 1) = α0 + σh2 (l − 2) (α1 + β1) ⇒ σh2 (l) = α0 + α0 (α1 + β1) + σh2 (l − 2) (α1 + β1)2 Truy hồi  σh2 (l) = α0 1 + (α1 + β1) + (α1 + β1)2 + ... + (α1 + β1)l−2 1−(α +β )l−1 = α0 1−α1 1 −1β1 + (α1 + β1)l−1 σh2 (1) 52  + (α1 + β1)l−1 σh2(1) α0 1−( α 1 + β1 ) l→∞ Từ đó suy ra σh2 (l) −−−→ do α1 + β1 < 1. Như vậy dự báo phương sai có điều kiện sẽ hội tụ tới phương sai không điều kiện V arut = 1−αα10−β1 khi độ dài dự báo tăng lên. 53 3.5 Các mô hình GARCH khác 3.5.1 Mô hình TGARCH(Threshold) Trên thị trường tài chính sự lên xuống của thị trường kèm theo nó là độ biến động (Volatility). Sự tác động của các tin tức tốt,xấu là không giống nhau. Mô hình TGARCH đưa vào phương trình phương sai một biến giả. Biến giả này đặc trưng cho các cú sốc dương và âm. Điều này khắc phục nhược điểm của các mô hình ARCH và GARCH. TGARCH(1,1) có dạng 2 2 2 2 σt2 = α0 + α1ut−1 ut−1 + β1σt−1 + γ dt−1 (3.30) Với dt là biến giả dt = 1 nếu ut < 0 và dt = 0 nếu ut > 0. TGARCH(p,q) có dạng 2 + α u2 + ... + α u2 + γ u2 d 2 2 σt2 = α0 + α1ut−1 p t−p 2 t−2 t−1 t−1 + β1 σt−1 + ... + βqσt−q Như vậy trong mô hình TGARCH những tin tức tốt (ut > 0 ) và những tin xấu (ut < 0 ) có ảnh hưởng khác nhau với phương sai có điều kiện. Những tin tức tốt có ảnh hưởng là α1 trong khi đó các tin xấu có ảnh hưởng α1 + γ . Nếu γ 6= 0 thì ảnh hưởng của các tin là bất đối xứng. Dạng tổng quátTGARCH(p;q) được Glosten, Jagannathan, Runkle (1993) và Zakoian (1994) tổng quát như sau σt2 p = α0 + ∑ 2 + (αi + γi dt−i ) ut−i q 2 ∑ β j σt− j (3.31) j= i=1 Trong đó αi , γi , β j ≥ 0 thỏa mãn các điều kiện của mô hình GARCH. Với dt−i là biến giả dt−i = 1 nếu ut−i < 0 và dt−i = 0 nếu ut−i > 0. 3.5.2 Mô hình EGARCH EGARCH cũng là mô hình khắc phục yếu điểm của GARCH, mô tả được hiệu ứng bất đối xứng (asymmetric effect) giữa các cú sốc dương và âm. 3.5.2.1 Mô hình EGARCH dạng 1 EGARCH(1;1) có dạng sau   ut−1 ut−1 2 +γ log σt2 = α0 + β log σt−1 +α σt−1 σt−1 54 (3.32) EGARCH(p;q) có dạng  p q    ut− j ut− j 2 2 log σt = α0 + ∑ βi log σt−i + ∑ α j +γj σ σt− j t− j i=1 j=1 (3.33) Như vậy các hệ số ở vế phải không cần điều kiện không âm. (α +γ )u Hơn nữa,từ phương trình trên nếu ut− j > 0 thì nó sẽ đóng góp một lượng j σt−j j t− j vào log σt2 . Còn nếu ut− j < 0 thì nó sẽ đóng góp một lượng là (γ j −α j )ut− j σt− j vào log σt2. 3.5.2.2 Mô hình EGARCH dạng 2 Một dạng khác của EGARCH được Nelson(1991) mô tả như sau ut = σt εt Đặt hàm g (εt ) = θ εt + γ [|εt | − E |εt |] (3.34) Với θ , γ là các hằng số thực. Do εt và |εt | − E |εt | là các biến ngẫu nhiên có kì vọng 0 từ (3.34) ta có Eg (εt ) = 0 Sự bất cân xứng của g (εt ) có thể thấy từ việc viết lại như sau   (θ + γ ) ε − γ E |ε | (ε ≥ 0) t t t g (εt ) = (3.35)  (θ − γ ) εt − γ E |εt | (εt < 0) Chú ý là nếu εt ∼ N (0; 1) thì E |εt | = hàm mật độ f (εt ) = thì E |εt | = q Γ( v+1 2 ) √ Γ( 2v ) (v−2)π √ 2 v−2Γ( v+1 2 ) v √ (v−1)Γ( 2 ) π  2 π còn nếu εt ∼ δ (v) với v bậc tự do và  v+1 εt2 − 2 (v > 2) 1 + v−2 Mô hình EGARCH(p;q) được mô tả ut = σt εt log σt2 = α0 + 1+β1 L+...+βq−1 Lq−1 1−α1 L−...−α p L p g (εt−1 ) 55 (3.36) Với α0 là hằng số, L là toán tử trễ Lg (εt ) = g (εt−1 ). Các đa thức toán tử 1 + β1L + ... + βq−1Lq−1 và 1 − α1L − ... − α p L p có nghiệm nằm ngoài đường tròn đơn vị và không có nhân tử chung. a)Mô hình EGARCH(1;1) ut = σt εt (3.37) log σt2 = α0 + 1−1α1 L g (εt−1 ) ⇔ (1 − α1L) log σt2 = α0 (1 − α1L) + g (εt−1 ) q Giả sử thêm rằng εt ∼ N (0; 1) do đó E |εt | = π2 -Nếu εt−1 ≥ 0 thì (1 − α1L) log σt2 = q α0 (1 − α1) + (γ + θ ) εt−1 − γ π2 q 2 -Nếu εt−1 < 0 thì (1 − α1L) log σt = α0 (1 − α1) + (θ − γ ) εt−1 − γ π2 q Đặt α∗ = α0 (1 − α1) − γ π2 thì ta có thể viết thành   α + (γ + θ ) ε (ε ≥ 0) ∗ t−1 t−1 2 (1 − α1L) log σt =  α∗ + (θ − γ ) ε (ε < 0) t−1 t−1 b)Dự báo EGARCH(1;1) (1 − α1L) log σt2 = α0 (1 − α1L) + g (εt−1 ) Suy ra 2 + g (ε ⇔ log σt2 = α0 (1 − α1) + α1 log σt−1 t−1 )  q  g (εt−1) = θ εt−1 + γ |εt−1 | − π2 2α1 exp [α0 (1 − α1)] . exp [g (εt−1 )] σt2 = σt−1  q  g (εt−1 ) = θ εt−1 + γ |εt−1 | − π2 Giả sử h là thời điểm ban đầu đã biết. Dự báo thời điểm tiếp theo h+1 2 = σ 2α1 exp [α (1 − α )] . exp [g (ε )] σh+1 0 1 h h Với σh , εh đã biết. c2 (1) = σ 2 ,dự báo thời điểm h+2 Đặt σ h+1 h 2α1 2 Từ σh+2 = σh+1 exp [α0 (1 − α1)] . exp [g (εh+1 )] Lấy kì vọng có điều kiện với σ -trường ℑh ta được 56 Mặt khác 2α1 c2 (2) = σd σ h h (1) exp [α0 (1 − α1 )] .E [exp (g (εh+1 )) |ℑh ]   q  E [exp g (ε )] = exp θ ε + γ |ε | − π2 f (ε ) d ε −∞  q   +∞  R0 1 (θ −γ )ε − ε 2 R 1 (θ +γ )ε − ε 2 2 √ e = exp −γ π .e 2 d ε + √ e .e 2 d ε 2π 2 π −∞  q   0 2 +∞  (θ −γ )2 R0 [(θ +γ )−ε ]2 [(θ −γ )−ε ]2 (θ + γ ) R √1 e− √1 e− 2 2 = exp −γ π2 dε + e 2 dε e 2 2π 2π −∞ 0  q   (θ −γ )2 (θ + γ )2 = exp −γ π2 e 2 Φ (θ + γ ) + e 2 Φ (γ − θ ) +∞ R Trong đó f (ε ) và Φ lần lượt là hàm mật độ và phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chuẩn ε ∼ N (0; 1). Vì vậy c2 (2) = σ   q hh i d (θ +γ )2 (θ −γ )2 2α1 2 σh (1) exp α0 (1 − α1) − γ π . exp 2 Φ (θ + γ ) + exp 2 Φ (γ − θ ) Tương tự c2 ( j) = σ  q h h i d (θ +γ )2 (θ −γ )2 2α1 2 σh ( j − 1) exp α0 (1 − α1) − γ π . exp 2 Φ (θ + γ ) + exp 2 Φ (γ − θ ) 3.6 Ứng dụng Phần này trình bày ứng dụng của các mô hình ARCH, GARCH, TGARCH...trong việc phân tích một cách hoàn chỉnh và lựa chọn mô hình phù hợp và dự báo chuỗi lợi suất của chỉ số SPX trên thị trường chứng khoán Mỹ từ 02/1/1990 đến 31/12/1999. 57 Đồ thị chuỗi lợi suất Hình 3.1: Đồ thị chuỗi lợi suất Lược đồ tự tương quan của chuỗi lợi suất Hình 3.2: Lược đồ tự tương quan Nhìn vào lược đồ tự tương quan ta thấy đây có thể là chuỗi dừng. Kiểm định ADF Thống kê |T | = 49.37636 lớn hơn rất nhiều so với các giá trị ở mức ý nghĩa 1%, 5%, 10% .Do đó đây là chuỗi dừng. 58 Hình 3.3: Kiểm định ADF Bước 1:Lựa chọn dạng mô hình phù hợp cho phương trình suất sinh lợi trung bình Nhìn vào lược đồ tự tương quan ta thấy các mô hình AR(1), MA(1), ARMA(0,0) có thể phù hợp với dữ liệu này. Để chọn mô hình phù hợp nhất, ta lần lượt ước lượng ba mô hình này rồi so sánh, đánh giá, lựa chọn mô hình tốt nhất dựa trên các tiêu chí Tiêu chuẩn thông tin Akaike(AIC), tiêu chuẩn Schwarz(SBC), căn bậc hai sai số dự báo bình phương trung bình(RMSE), ý nghĩa thống kê của các hệ số hồi quy. Ước lượng lần lượt ba mô hình trên ta được Hình 3.4: Ước lượng MA1 59 Hình 3.5: Ước lượng AR1 Trong ba mô hình trên ta thấy ARMA(0,0) là phù hợp do hai mô hình còn lại các Hình 3.6: Ước lượng ARMA hệ số hồi quy không có ý nghĩa thống kê. Bước 2:Kiểm định ảnh hưởng của ARCH và chọn mô hình thích hợp Sau khi chọn mô hình ARMA ta vào Residual tests chọn kiểm định ảnh hưởng của ARCH. Với ARCH(1) ta thấy thống kê F = 123.2670 lớn hơn rất nhiều so với giá trị khi bình phương một bậc tự do ở mức ý nghĩa 1%. Ta có thể tra giá trị này qua bảng hoặc hàm CHIINV(0.001,1)=6.64 trong Excel, nên có ảnh hưởng của ARCH(1) Tiếp tục tăng độ trễ lên 2, 3 ,4... thì ta thấy ARCH(3), ARCH(4), ARCH(5) có hệ số không có ý nghĩa thống kê. ARCH(6) có hệ số hồi quy mang 60 Hình 3.7: Kiểm định ảnh hưởng ARCH(1) dấu âm. Hình 3.8: Kiểm định ảnh hưởng của ARCH(3) Như vậy ta chỉ cần so sánh ARCH(1) và ARCH(2). Ước lượng lần lượt hai mô hình này ta được: 61 Hình 3.9: Kiểm định ảnh hưởng của ARCH(6) Hình 3.10: Ước lượng ARCH(1) Ta chọn mô hình ARCH(2) vì cho ta ước lượng phương sai nhẵn hơn. Phương trình ước lượng theo mô hình ARCH(2) là rt = 0.000679 + et 2 + 0.219541e2 σt2 = 5.21.10−5 + 0.124948et−1 t−2 Bước 3:ARCH(2) hay GARCH(1,1) Việc sử dụng ARCH có nhiều độ trễ sẽ có hạn chế do ảnh hưởng đến kết quả ước lượng do giảm đáng kể số bậc tự do trong mô hình, điều này càng nghiêm trọng với các chuỗi thời gian ngắn ví dụ như giá cổ phiếu mới lưu hành trên thị trường. Trong trường hợp như vậy ta nên dùng mô hình GARCH. Tiếp tục ước lượng GARCH(1,1) ta được 62 Hình 3.11: Ước lượng ARCH(2) Hình 3.12: Ước lượng mô hình GARCH(1,1) Phương trình ước lượng rt = 0.000598 + et 2 + 0.93994σ 2 σt2 = 5.83.10−7 + 0.053332et−1 t−1 63 Bước 4:Kiểm tra hiệu ứng bất cân xứng:GARCH(1,1) hay TGARCH(1,1). Ta muốn biết ảnh hưởng của các tin tốt, xấu có tác động như nhau đến lợi suất hay không. Ước lượng TGARCH(1,1) bằng cách chọn ô Threshold order 1 ta được Phương trình ước lượng Hình 3.13: Ước lượng TGARCH(1,1) rt = 0.000458 + et 2 + 0.085922d 2 2 σt2 = 1.01.10−6 + 0.016215.et−1 t−1.et−1 + 0.927825σt−1 Điều này có nghĩa là những tin xấu đóng góp một lượng 0.102137 vào σt2 trong khi những tin tốt chỉ đóng góp một lượng là 0.016215. Hệ số hồi quy của biến tương tác có ý nghĩa rất cao chứng tỏ có sự khác biệt đáng kể giữa ảnh hưởng của các tin tốt, xấu lên chỉ số SPX. 64 Kết Luận Chuỗi thời gian tài chính là một công cụ thống kê khá mạnh để phân tích các mô hình tài chính. Luận văn đã đề cập đến các mô hình chuỗi thời gian tài chính đang phát triển mạnh trong thời gian gần đây cùng các ứng dụng trong thực tế phân tích biến số kinh tế GDP và dự báo lợi suất, rủi ro trong phân tích tỷ giá, cổ phiếu. . . Các đóng góp chính của luận văn bao gồm: 1.Ước lượng tham số cho quá trình AR(1) thể hiện ở mệnh đề 2.2.4 chương 2. 2.Ứng dụng mô hình ARIMA trong phân tích,dự báo GDP của Mỹ tính theo năm gốc 2005. 3.Ước lượng tham số cho mô hình AR(1)/ARCH(1) tích hợp thể hiện ở mệnh đề 3.3.6 chương 3 cùng ứng dụng trong phân tích, lựa chọn mô hình ARCH, GARCH phù hợp để dự báo suất sinh lợi và phương sai của chỉ số SPX trên thị trường chứng khoán Mỹ. Luận văn có thể được mở rộng trong thời gian tới theo hướng kết hợp với lí thuyết cực trị EVT-Extreme Value Theory mà tác giả đã được tiếp cận trong Hội thảo quốc tế Toán Tài Chính tại Hải Phòng tháng 10/2011. Trong thời gian thực hiện luận văn,dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên luận văn còn có những sai sót nhất định. Rất mong nhận được sự đóng góp của các thày cô và bạn đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn. 65 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Quang Dong (2010) Phân Tích Chuỗi Thời Gian Trong Tài Chính, NXB Khoa Học Và Kỹ Thuật. [2] Đào Hữu Hồ-Nguyễn Văn Hữu-Hoàng Hữu Như (2004) Thống Kê Toán Học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [3] Nguyễn Văn Hữu-Nguyễn Hữu Dư (2003) Phân Tích Thống Kê Và Dự Báo, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Trọng Hoài-Phùng Thanh Bình-Nguyễn Khánh Duy (2009) Dự Báo Và Phân Tích Dữ Liệu Trong Kinh Tế Và Tài Chính, NXB Thống Kê. [5] Nguyễn Văn Ngọc(2010) Lí Thuyết Chung Về Thị Trường Tài Chính,Ngân Hàng Và Chính Sách Tiền Tệ, NXB Đại Học Kinh Tế Quốc Dân [6] Nguyễn Duy Tiến-Vũ Viết Yên(2009) Lí Thuyết Xác Suất,NXB Giáo Dục. [7] Trần Hùng Thao (2009) Nhập Môn Toán Học Tài Chính, NXB Khoa Học Và Kỹ Thuật. Tiếng anh [8] Albert N.Shiryaev (1999) Essentials Of Stochastic Finance Facts,Models,Theory, World Scientific Publishing Co.Pte.Ltd [9] Damien Lamberton and Bernard Lapeyer(1998) Introduction To Stochastic Calculus Applied To Finance, NXB Mc Graw-Hill, New York, Hoa Kỳ. 66 [10] James D.Hamilton (2004) Time Series Analysis, NXB Princeton. [11] Paul Embrechts-T.Mikosh(1996) Modelling Extremal Events For Insurance And Finance, NXB Springer-Verlag [12] Ruey S.Tsay(2005) Analysis Of Financial Time Series,NXB John Wiley and Sons,Inc,New Jersey. 67 Phụ lục 1)Dự báo suất sinh lợi và phương sai có điều kiện của chỉ số SPX bằng mô hình ARCH(2) Phương trình ước lượng rt = 0.000679 + et 2 + 0.219541e2 σt2 = 5.21.10−5 + 0.124948et−1 t−2 -Để dự báo cho giai đoạn t+1 ta cần thông tin của et , et−1 . Để lấy số liệu về phần dư ta vào Proc/Make residual series. Sau đó tạo giá trị bình phương phần dư. -Ta có bảng sau dự báo cho ngày kế tiếp như sau: Hình 3.14: Dự báo bằng mô hình ARCH(2) Như vậy lợi suất cho ngày kế tiếp là rt = 0.000679 với phương sai σt2 = 5.29.10−5. Hoặc lợi suất sẽ tăng lên 0.068% với độ lệch chuẩn 7.27% 68 2)Dự báo suất sinh lợi và phương sai có điều kiện của chỉ số SPX bằng mô hình GARCH(1,1) Phương trình ước lượng rt = 0.000598 + et 2 + 0.93994σ 2 σt2 = 5.83.10−7 + 0.053332et−1 t−1 Bảng dự báo Hình 3.15: Bảng dự báo bằng mô hình GARCH(1,1) Như vậy lợi suất cho ngày kế tiếp là rt = 0.000598 với phương sai σt2 = 6.22.10−5. Hoặc lợi suất sẽ tăng lên 0.06% với độ lệch chuẩn 7.8% vào ngày 1/1/2000. Kết quả này cũng không có nhiều khác biệt với mô hình ARCH(2) ở trên. 69