- ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Duy Thắng CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Duy Thắng CÁC MÔ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. - Bên cạnh hai phương pháp này còn có phương pháp phân tích định lượng thông qua các mô hình toán học. - Lí do hiệu quả của phương pháp này là tín hiệu đưa ra khách quan dựa trên những tiêu chí thống kê từ mô hình. - Trong phạm vi đề tài này chúng tôi để cập đến các mô hình chuỗi thời gian trong thị trường tài chính. - Các mô hình chuỗi thời gian nhằm để dự báo giá trị tương lai của một tài sản tài chính chỉ dựa trên phân tích số liệu quá khứ và hiện tại của nó. - làm cơ sở cho các i chương sau Chương II: Trình bày một số mô hình chuỗi thời gian dừng và không dừng như MA, AR, ARMA, ARIMA. - Chương III: Trình bày các mô hình dự báo rủi ro như ARCH, GARCH cùng các mô hình cải tiến của nó như IGARCH, TGARCH, EGARCH. - Hà Nội, tháng 12 năm 2011 Vũ Duy Thắng ii Bảng ký hiệu ACF:Hàm tự tương quan ADF:Thống kê kiểm định Dickey-Fuller AIC:Tiêu chuẩn thông tin Akaike AR:Quá trình tự hồi quy ARMA:Quá trình trung bình trượt tự hồi quy ARIMA:Quá trình ARMA tích hợp ARCH:Mô hình phương sai có điều kiện của sai số thay đổi tự hồi quy BIC:Tiêu chuẩn thông tin Bayes hoặc tiêu chuẩn Schwartz GDP:Tổng sản phẩm quốc nội IID:Độc lập cùng phân bố MA:Quá trình trung bình trượt MSE:Sai số dự báo bình phương trung bình MLE:Ước lượng hợp lí cực đại PACF:Hàm tự tương quan riêng RMSE:Căn bậc hai của MSE GARCH:Mô hình ARCH tổng quát EGARCH:Mô hình GARCH dạng mũ TGARCH:Mô hình GARCH đồng tích hợp iii Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Chuỗi thời gian và toán tử trễ. - 1 1.1.1 Chuỗi thời gian. - 3 1.2 Phương trình sai phân. - 3 1.2.2 Phương trình sai phân. - 4 1.2.3 Phương trình sai phân cấp 1. - 4 1.2.4 Phương trình sai phân cấp p. - 11 2 Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính 14 2.1 Quá trình trung bình trượt. - 25 2.2.6 Dự báo. - 29 iv 3 Các mô hình phi tuyến Gauss có điều kiện và ứng dụng 37 3.1 Rủi ro. - 38 3.2 Cấu trúc mô hình. - 38 3.3 Mô hình ARCH(p. - 39 3.3.1 Mô hình ARCH(1. - 41 3.3.3 Ước lượng mô hình ARCH(p. - 43 3.3.5 Dự báo. - 44 3.3.6 Mô hình AR(1)/ARCH(1. - 45 3.3.7 Đánh giá về mô hình ARCH(p. - 48 3.4 Mô hình GARCH(p,q. - 48 3.4.1 Dạng mô hình. - 49 3.4.3 Mô hình GARCH(1,1. - 52 3.5 Các mô hình GARCH khác. - 54 3.5.1 Mô hình TGARCH(Threshold. - 54 3.5.2 Mô hình EGARCH. - 57 Tài liệu tham khảo 66 v Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Mục đích của chương này là trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân, toán tử trễ, chuỗi dừng, toán tử kì vọng điều kiện và Martingale sẽ được sử dụng ở chương sau khi nghiên cứu về các mô hình chuỗi thời gian MA, ARMA, ARIMA. - Các phương trình sai phân và mô hình chuỗi thời gian sẽ được trình bày nhất quán dưới công cụ này. - Phương trình sai phân cấp n Φ (t. - yt+1 ...yt+n. - Điều này sẽ được trình bày kĩ hơn ở mô hình AR(1) chương 2. - 0 Ta có. - Ở đây chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm và các kết quả cơ bản nhằm mục đích sử dụng ở chương 3 trong phân tích các mô hình rủi ro như ARCH, GARCH. - (h.c.c) thì với xác suất 1 Mt Lim =0 (1.23) t→∞ hMit 13 Chương 2 Các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính Mục đích chương này nhằm giới thiệu các mô hình chuỗi thời gian tuyến tính tiêu biểu như quá trình trung bình trượt MA, các quá trình tự hồi quy AR, hồi quy tích hợp ARMA và mô hình ARIMA cùng ứng dụng của nó vào phân tích và dự báo biến số kinh tế vĩ mô. - Hai nhận xét quan trọng này giúp ta xác định mô hình phù hợp cho chuỗi dữ liệu tuân theo MA hoặc AR bằng cách quan sát lược đồ tự tương quan của chuỗi dữ liệu đó. - θqLq ut (2.32. - ut (2.34. - (1 + θ L) ut (2.37) Quá trình này dừng với |ϕ. - 1 Dự báo (1+θ L) 1+θ L t+s = µ + (1−ϕ L)Ls ut = µ + 1−ϕ L ut+s yd 1+θ L 1−ϕ L = µ + (1− ϕ L)Ls . - Box và Jenkin(1976) đã đưa ra các bước để dự báo quá trình ARIMA(p;d;q) gọi là phương pháp Box-Jenkin được ứng dụng rất nhiều trong các lĩnh vực khác nhau từ kinh tế,kĩ thuật,y tế...Nó gồm ba bước: -Định dạng mô hình,xác định các tham số p,d,q -Ước lượng các tham số -Kiểm định Ý nghĩa của mô hình ARIMA trong tài chính Thông thường các chuỗi dữ liệu kinh tế và tài chính như GDP, CPI, GNP, giá cổ phiếu...đều là các chuỗi không dừng, có yếu tố xu thế. - ρkk giảm dần về 0.Ước lượng mô hình ARIMA(1;1;2) ta được. - Để dự báo DGDP_2005 Hình 2.8: Phần dư cho giai đoạn t+1 ta làm như sau -Từ kết quả ước lượng vào Forecast->Dynamic->OK.Eviews sẽ tạo ra một biến DGDP f _2005 trong đó có chứa giá trị của DGDP_2005 giai đoạn t+1 Dự báo Hình 2.9: DGDP_2005 giai đoạn t+1 theo công thức GDP_2005t+1 = GDP_2005t + DGDP_2005t+1 Nhập lệnh trong Eviews Plot DGDPF_2005 DGDP_2005 34 Hình 2.10: Đường GDP dự báo và thực tế 2.2.7.2 Một số tiêu chí để lựa chọn mô hình ARIMA 1.Phần dư của mô hình dự báo tuân thủ tính chất nhiễu trắng Sau khi ước lượng mô hình ARIMA ta cần kiểm tra phần dư RESID có tính chất nhiễu trắng hay không bằng cách sử dụng lược đồ tự tương quan. - 2.Tiêu chuẩn thông tin AIC/BIC Những tiêu chuẩn chỉ dựa trên phương sai có những khiếm khuyết nhất định vì hiển nhiên mô hình có nhiều tham số càng phù hợp hơn do mỗi một tham số đưa thêm sẽ làm mô hình mềm dẻo hơn trong việc xấp xỉ các số liệu quan sát. - Với mô hình Gauss AR(p) thì AIC và BIC rút gọn thành AIC(p. - Log σ c2 + p log(n) n Mô hình nào có AIC/BIC nhỏ nhất là mô hình tối ưu. - 35 Mô hình nào có RMSE nhỏ hơn là mô hình tốt hơn. - 4.So sánh giá trị dự báo và thực tế Mô hình nào có giá trị dự báo càng gần giá trị thực tế thì đó là mô hình tốt. - 5.Hệ số hồi quy có ý nghĩa thống kê hay không Mô hình nào có hệ số hồi quy có ý nghĩa thống kê cao thì mô hình đó tốt hơn. - 36 Chương 3 Các mô hình phi tuyến Gauss có điều kiện và ứng dụng Trong phân tích kinh tế lượng cổ điển giả định phương sai của sai số là không đổi theo thời gian. - Chương này đề cập đến các mô hình ARCH của Engle, GARCH của Bollerslev, các mô hình cải tiến cùng các ứng dụng của chúng. - 3.2 Cấu trúc mô hình Gọi Pt là giá của tài sản tài chính ở thời điểm t(cổ phiếu, trái phiếu, tỷ giá, giá vàng, dầu. - 3.3 Mô hình ARCH(p) Mô hình này do Engle đề xuất năm 1982.Nó có dạng rt = µt + ut ut = σt εt (3.5) σt2 = α0 + α1 u2t−1 + α2ut−2 2. - Để cụ thể hơn ta xét mô hình ARCH(1) 3.3.1 Mô hình ARCH Dạng mô hình ARCH(1) rt = µt + ut ut = σt εt (3.6) σt2 = α0 + α1ut−1 2 trong đó α0 > 0. - Ý nghĩa mô hình ARCH(1) Mô hình này cho thấy khi có một cú sốc lớn xảy ra ở giai đoạn t-1 thì giá trị |ut | cũng sẽ lớn hơn. - ρk = α1k 42 3.3.3 Ước lượng mô hình ARCH(p) -Xác định bậc của ARCH(p):Ta dùng PACF với ut2 để xác định bậc của ARCH(p). - 3.3.4 Kiểm định hiệu ứng của ARCH Trước khi ước lượng các mô hình ARCH(p), điều quan trọng là chúng ta cần kiểm tra xem có tồn tại ảnh hưởng của ARCH hay không để biết các mô hình nào cần 43 ước lượng theo phương pháp ARCH thay vì ước lượng theo phương pháp OLS. - Kiểm định này được thực hiện qua các bước: -Ước lượng mô hình ut2 = α0 + α1ut−1 2. - β0 + β1ut−1 + σt E εt = β0 + β1ut−1 σt2 = α0 + α1ut−1 2 = V ar (u |ℑ t t−1 ) Mô hình này là mô hình có điều kiện Gauss do đó ta có thể biểu diễn hàm mật độ đồng thời của u1 , u2 ...ut với tham số θ = (α0 , α1 , β0 , β1). - 2 ∏ α0 + α1 u2k−1 2 exp − 12 ∑ k α +0 α u12 k−1 0 1k−1 k=1 k=1 Với giả thiết các tham số α0 , β0, α1 đã biết ta có kết quả sau cho bài toán ước lượng tham số β1 45 Mệnh đề 3.3.6 Giả sử cú sốc ut thỏa mãn mô hình AR(1)/ARCH(1). - Điều đó có nghĩa là βb1 là ước lượng vững cho β1 (đpcm) 47 3.3.7 Đánh giá về mô hình ARCH(p) Mô hình ARCH(p) đã mô hình hóa được động thái phương sai có điều kiện do đó có thể dự tính được độ rủi ro của lợi suất một loại tài sản. - Đồng thời mô hình ARCH(p) cũng lí giải được tính chất bầy đàn của độ rủi ro và hình dáng phân bố cú sốc ut là bẹt hơn phân bố chuẩn hóa. - 3 Các điều kiện ràng buộc sẽ phức tạp hơn rất nhiều trong mô hình ARCH bậc cao. - -Mô hình ARCH giả thiết rằng cú sốc dương và cú sốc âm có cùng ảnh hưởng đến độ rủi ro vì trong phương trình phương sai các ut đều được bình phương. - Khắc phục các nhược điểm này người ta đã đưa ra các mô hình ARCH tổng quát hơn. - 3.4 Mô hình GARCH(p,q) Năm 1986, Bollerslev đã mở rộng mô hình ARCH và đặt tên là mô hình ARCH tổng quát GARCH(p,q). - 3.4.1 Dạng mô hình rt = µt + ut ut = σt εt σt2 = α0 + α1 ut−1 2 + α u2. - 1 i=1 Bây giờ chúng ta sẽ xét những điểm mạnh và yếu của mô hình GARCH. - Để đơn giản ta xét mô hình GARCH(1;1). - 49 3.4.3 Mô hình GARCH(1,1) rt = µt + ut ut = σt εt σt2 = α0 + α1 ut−1 2 + β σ2 1 t−1 α0 > 0. - 51 3.4.4 Dự báo phương sai Để đơn giản ta xét mô hình GARCH(1;1) -Dự báo tĩnh Giả sử ta đã dự báo phương sai có điều kiện đến thời kì h,ta dự báo tiếp cho thời kì h+1 σh2 (1. - 53 3.5 Các mô hình GARCH khác 3.5.1 Mô hình TGARCH(Threshold) Trên thị trường tài chính sự lên xuống của thị trường kèm theo nó là độ biến động (Volatility). - Mô hình TGARCH đưa vào phương trình phương sai một biến giả. - Điều này khắc phục nhược điểm của các mô hình ARCH và GARCH. - βqσt−q 2 2 Như vậy trong mô hình TGARCH những tin tức tốt (ut > 0 ) và những tin xấu (ut < 0 ) có ảnh hưởng khác nhau với phương sai có điều kiện. - β j σt− 2 j (3.31) i=1 j= Trong đó αi , γi , β j ≥ 0 thỏa mãn các điều kiện của mô hình GARCH. - 3.5.2 Mô hình EGARCH EGARCH cũng là mô hình khắc phục yếu điểm của GARCH, mô tả được hiệu ứng bất đối xứng (asymmetric effect) giữa các cú sốc dương và âm. - 3.5.2.1 Mô hình EGARCH dạng 1 EGARCH(1;1) có dạng sau u log σt2 = α0 + β log σt−1 2 + α t−1 + γ ut−1 (3.32) σt−1 σt−1 54 EGARCH(p;q) có dạng p q u u log σt = α0. - 3.5.2.2 Mô hình EGARCH dạng 2 Một dạng khác của EGARCH được Nelson(1991) mô tả như sau ut = σt εt Đặt hàm g (εt. - v √ (v−1)Γ( 2 ) π Mô hình EGARCH(p;q) được mô tả ut = σt εt 1+β1 L+...+βq−1 Lq−1 (3.36) log σt2 = α0 + 1−α1 L−...−α p L p g (εt−1 ) 55 Với α0 là hằng số, L là toán tử trễ Lg (εt. - a)Mô hình EGARCH(1;1) ut = σt εt log σt2 = α0 + 1−1α1 L g (εt−1 ) (3.37. - exp 2 Φ (γ − θ ) 2 3.6 Ứng dụng Phần này trình bày ứng dụng của các mô hình ARCH, GARCH, TGARCH...trong việc phân tích một cách hoàn chỉnh và lựa chọn mô hình phù hợp và dự báo chuỗi lợi suất của chỉ số SPX trên thị trường chứng khoán Mỹ từ 02/1/1990 đến 31/12/1999. - 58 Hình 3.3: Kiểm định ADF Bước 1:Lựa chọn dạng mô hình phù hợp cho phương trình suất sinh lợi trung bình Nhìn vào lược đồ tự tương quan ta thấy các mô hình AR(1), MA(1), ARMA(0,0) có thể phù hợp với dữ liệu này. - Để chọn mô hình phù hợp nhất, ta lần lượt ước lượng ba mô hình này rồi so sánh, đánh giá, lựa chọn mô hình tốt nhất dựa trên các tiêu chí Tiêu chuẩn thông tin Akaike(AIC), tiêu chuẩn Schwarz(SBC), căn bậc hai sai số dự báo bình phương trung bình(RMSE), ý nghĩa thống kê của các hệ số hồi quy. - Ước lượng lần lượt ba mô hình trên ta được Hình 3.4: Ước lượng MA1 59 Hình 3.5: Ước lượng AR1 Trong ba mô hình trên ta thấy ARMA(0,0) là phù hợp do hai mô hình còn lại các Hình 3.6: Ước lượng ARMA hệ số hồi quy không có ý nghĩa thống kê. - Bước 2:Kiểm định ảnh hưởng của ARCH và chọn mô hình thích hợp Sau khi chọn mô hình ARMA ta vào Residual tests chọn kiểm định ảnh hưởng của ARCH. - Ước lượng lần lượt hai mô hình này ta được: 61 Hình 3.9: Kiểm định ảnh hưởng của ARCH(6) Hình 3.10: Ước lượng ARCH(1) Ta chọn mô hình ARCH(2) vì cho ta ước lượng phương sai nhẵn hơn. - Phương trình ước lượng theo mô hình ARCH(2) là rt et σt et e2 t−2 Bước 3:ARCH(2) hay GARCH(1,1) Việc sử dụng ARCH có nhiều độ trễ sẽ có hạn chế do ảnh hưởng đến kết quả ước lượng do giảm đáng kể số bậc tự do trong mô hình, điều này càng nghiêm trọng với các chuỗi thời gian ngắn ví dụ như giá cổ phiếu mới lưu hành trên thị trường. - Trong trường hợp như vậy ta nên dùng mô hình GARCH. - Tiếp tục ước lượng GARCH(1,1) ta được 62 Hình 3.11: Ước lượng ARCH(2) Hình 3.12: Ước lượng mô hình GARCH(1,1) Phương trình ước lượng rt et σt et σ 2 t−1 63 Bước 4:Kiểm tra hiệu ứng bất cân xứng:GARCH(1,1) hay TGARCH(1,1). - 64 Kết Luận Chuỗi thời gian tài chính là một công cụ thống kê khá mạnh để phân tích các mô hình tài chính. - Luận văn đã đề cập đến các mô hình chuỗi thời gian tài chính đang phát triển mạnh trong thời gian gần đây cùng các ứng dụng trong thực tế phân tích biến số kinh tế GDP và dự báo lợi suất, rủi ro trong phân tích tỷ giá, cổ phiếu. - 2.Ứng dụng mô hình ARIMA trong phân tích,dự báo GDP của Mỹ tính theo năm gốc 2005. - 3.Ước lượng tham số cho mô hình AR(1)/ARCH(1) tích hợp thể hiện ở mệnh đề 3.3.6 chương 3 cùng ứng dụng trong phân tích, lựa chọn mô hình ARCH, GARCH phù hợp để dự báo suất sinh lợi và phương sai của chỉ số SPX trên thị trường chứng khoán Mỹ. - 67 Phụ lục 1)Dự báo suất sinh lợi và phương sai có điều kiện của chỉ số SPX bằng mô hình ARCH(2) Phương trình ước lượng rt et σt et e2 t−2 -Để dự báo cho giai đoạn t+1 ta cần thông tin của et , et−1 . - -Ta có bảng sau dự báo cho ngày kế tiếp như sau: Hình 3.14: Dự báo bằng mô hình ARCH(2) Như vậy lợi suất cho ngày kế tiếp là rt với phương sai σt . - Hoặc lợi suất sẽ tăng lên 0.068% với độ lệch chuẩn Dự báo suất sinh lợi và phương sai có điều kiện của chỉ số SPX bằng mô hình GARCH(1,1) Phương trình ước lượng rt et σt et σ 2 t−1 Bảng dự báo Hình 3.15: Bảng dự báo bằng mô hình GARCH(1,1) Như vậy lợi suất cho ngày kế tiếp là rt với phương sai σt . - Kết quả này cũng không có nhiều khác biệt với mô hình ARCH(2) ở trên