Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân BÀI T P XÁC SU T TH NG KÊ 1 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CHƯƠNG 1: XÁC SU T 1.1. M t h p có 100 t m th như nhau ñư c ghi các s t 1 ñ n 100, Rút ng u nhiên hai th r i ñ t theo th t t trái qua ph i. Tính xác su t ñ n a/ Rút ñư c hai th l p nên m t s có hai ch s . b/ Rút ñư c hai th l p nên m t s chia h t cho 5. Gi i a/ A :“Hai th rút ñư c l p nên m t s có hai ch s ” A92 9.8 P ( A) = 2 = ≈ 0, 0073 A100 100.99 b/ B : “Hai th rút ñư c l p nên m t s chia h t cho 5” S chia h t cho 5 t n cùng ph i là 0 ho c 5. Đ có bi n c B thích h p v i ta rút th th hai m t cách tùy ý trong 20 th mang các s 5;10;15;20;…;95;100, và rút 1 trong 99 th còn l i ñ t vào v trí ñâu. Do ñó s trư ng h p thu n l i cho là 99.20 P ( B) = 99.20 = 0, 20 2 A100 1.2. M t h p có ch a 7 qu c u tr ng và 3 qu c u ñen cùng kích thư c. Rút ng u nhiên cùng m t lúc 4 qu c u. Tính xác su t ñ trong 4 qu c u rút ñư c có a/ Hai qu c u ñen. b/ Ít nh t 2 c u ñen c/ Toàn c u tr ng Gi i Rút ng u nhiên cùng 1 lúc 4 trong 10 qu c u nên s trư ng h p ñ ng kh năng là C104 a/ A :”trong 4 qu c u rút có 2 qu c u ñen” P ( A) = C32 .C72 = 0,30 C104 b/ B :”trong 4 qu c u ñư c rút có ít nh t 2 qu c u ñen” P ( B) = C32 .C72 + C33 .C71 1 = C104 3 c/ C :”trong 4 qu c u ñư c ch n có toàn c u tr ng” 2 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân P (C ) = C74 1 = C104 6 1.3. M t h p thu c có 5 ng thu c t t và 3 ng kém ch t lư ng. Ch n ng u nhiên l n lư t không tr l i 2 ng. Tính xác su t ñ : a/ C hai ng ñư c ch n ñ u t t. b/ Ch ng ñư c ch n ra ñ u tiên là t t. c/ trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t. Gi i Ch n ng u nhiên l n lư t không tr l i 2 trong 8 ng nên các trư ng h p ñ ng kh năng là A82 . a/ A :” C hai ng ñư c ch n ñ u t t” P ( A ) = b/ B :” Ch A52 ≈ 0,357 A82 C31.C51 ng ñư c ch n ra ñ u tiên là t t” P ( B ) = 2 ≈ 0, 268 A8 c/ C :” trong hai ng có ít nh t m t ng thu c t t” P ( C ) = 1 − A32 ≈ 0,893 A82 1.4. M t h p ñ ng 15 qu bóng bàn trong ñó có 9 qu m i. L n ñ u ngư i ta l y ng u nhiên 3 qu ñ thi ñ u, sau ñó l i tr vào h p. L n th hai l y ng u nhiên 3 qu . Tính xác su t ñ c 3 qu l y ra l n sau ñ u m i. Gi i Đ t A :” c 3 qu l y ra l n sau ñ u m i” Bi :” Trong 3 qu l y ra ñ thi ñ u có i qu m i” i ∈ {0;1; 2;3} Ta th y các { B0 ; B1 ; B2 ; B3 } l p thành nhóm ñ y ñ các bi n c , theo công th c xác su t toàn ph n ( )= =( + + + + + ) + ≈ 1.5. T m t l p có 8 n sinh viên và 12 nam sinh viên, ngư i ta ch n ng u nhiên 5 sinh viên ñ l p Ban cán b l p (BCB). Tính xác su t ñ 3 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân a/ BCB g m 3 n và 2 nam, b/ BCB có ít nh t m t n , c/ BCB có ít nh t hai nam và hai n . Gi i Đ t Ak : “BCB có k nam sinh viên” chúng ta có: ( k ∈ {0,1, 2,3, 4,5} ), 5− k P ( Ak ) = k .C C12 8 C520 a/ BCB g m 3 n và 2 nam. Xác su t ph i tính: 3 P( A2 ) = 2 .C C12 8 C 520 = 77 323 b/ Đ t N: “BCB có ít nh t m t n ”, thì N = A5 . Do ñó, P( N ) = P( A5 ) = 1 − P( A5 ) 0 =− 5 .C C12 8 C 520 = 1 − 33 = 613 646 646 c/ Đ t H: “BCB có ít nh t hai nam và hai n ”. Do ñó, P ( H ) = P ( A2 ) + P ( A3 ) = + = 1.6. T m t h p ch a 8 viên bi ñ và 5 viên bi tr ng ngư i ta l y ng u nhiên 2 l n, m i l n 1 viên bi, không hoàn l i. Tính xác su t ñ l y ñư c a/ 2 viên bi ñ ; b/ hai viên bi khác màu; c/ viên bi th hai là bi tr ng. Gi i V i i ∈ {1, 2} , ñăt: Ti : “viên bi l y ra l n th i là bi tr ng”, Di : “viên bi l y ra l n th i là bi ñ ”. a/ Đ t A :“l y ñư c 2 viên bi ñ ”, chúng ta có: P ( A) = P ( D1D2 ) = P ( D1 ) .P ( D2 / D1 ) = 8 . 7 = 14 13 12 39 b/ Đ t B : “l y ñư c hai viên bi khác màu”, chúng ta có: 4 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân P ( B ) = P (T1 D2 + D1T2 ) = P (T1 D2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) .P ( D2 / T1 ) + P ( D1 ) .P (T2 / D1 ) Suy ra: P ( B) = 5 8 + 8 5 = 20 13 12 13 12 39 c/ T2 = T1T2 + D1T2 , nên xác su t ph i tính là: P (T2 ) = P (T1T2 ) + P ( D1T2 ) = P (T1 ) .P (T2 / T1 ) + P ( D1 ) .P ( D2 / T1 ) suy ra P (T2 ) = 5 4 + 8 5 = 5 13 12 13 12 13 1.7. M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ngư i, g m 5 nam và 3 n n p ñơn xin d tuy n, và m i ngư i ñ u có cơ h i ñư c tuy n như nhau. Tính xác su t ñ trong 4 ngư i ñư c tuy n, a) có duy nh t m t nam; b) có ít nh t m t n . Gi i Đ t G i a) G i nam ñư c tuy n trong 4 nhân viên” : “Có : “có duy nh t 1 nam” 1 5 ( ) = ( 1) = . 3 3 4 8 ∈ = 5 70 : “có ít nh t 1 n ” ( ) = 1− ( 4 ) = 1− 4 5 4 8 = 13 14 1.8. M t công ty c n tuy n 4 nhân viên. Có 8 ngư i, g m 5 nam và 3 n n p ñơn xin d tuy n, và m i ngư i ñ u có cơ h i ñư c tuy n như nhau. Tính xác su t ñ trong 4 ngư i ñư c tuy n, a/ có không quá hai nam; b/ có ba n , bi t r"ng có ít nh t m t n ñã ñư c tuy n. Gi i Đ t a/ G i : “Có nam ñư c tuy n trong 4 nhân viên” : “có không quá 2 nam” ( )= b/ G i ∈ ( 1) + ( 2 1 5 )= . 3 3 + 4 8 2 5 . 2 3 = 1 2 : “ch n ra 3 n , bi t r"ng có ít nh t 1 n ñư c tuy n”. G i B : “Có ít nh t m t n ñư c ch n”. 5 Bài t p Xác su t th ng kê Ta có ( ) = 1− ( Di p Hoàng Ân 4 5 4 8 4) = 1− ( )= ( = 1 13 14 | )= ( 1) 1 = ( ) 13 1.9. M t c#a hàng sách ư c lư ng r"ng: Trong t$ng s các khách hàng ñ n c#a hàng, có 30% khách c n h i nhân viên bán hàng, 20% khách mua sách và 15% khách th c hi%n c hai ñi u trên. G p ng u nhiên m t khách trong nhà sách. Tính xác su t ñ ngư i này a/ không th c hi%n c hai ñi u trên; b/ không mua sách, bi t r"ng ngư i này ñã h i nhân viên bán hàng. Gi i Đ t : “khách hàng c n tư v n” : “khách hàng c n mua sách” Theo ñ ta có: ( ) = 0,3; ( ) = 0, 2; ( ) = 0,15 a/ Xác su t khách hàng không c n mua sách cũng không c n tư v n là: 15  13 ( . ) = ( ) + ( ) − ( ) = 1 − 103 + 1 − 102 − 1 − 100 =  20 b/ không mua sách, bi t r"ng ngư i này ñã h i nhân viên bán hàng. ( / ( )= )= ( ) ( )− ( ( ) 1.10. 3 15 ) = 10 − 100 = 1 3 10 2 M t cu c ñi u tra cho th y, ' m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i s n ph(m , 50% dùng lo i s n ph(m và trong s nh ng ngư i dùng , có 36,5% dùng . Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân trong thành ph ñó, tính xác su t ñ ngư i y và ; a/ Dùng c b/ Không dùng , cũng không dùng . Gi i Đ t : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ” : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ” Theo ñ bài ta có: ( ) = 0, 207; ( ) = 0,5; ( | ) = 0,365 a) Xác su t ngư i dân ñó dùng c và là ( ) = ( ). ( / ) = 0,5.0,365 = 0,1825 b) Xác su t ngư i dân ñó không dùng c và ( . ) = ( .) + ( ) − ( ) = 0, 4755 1.11. 6 là Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân M t cu c ñi u tra cho th y, ' m t thành ph , có 20,7% dân s dùng lo i s n ph(m , 50% dùng lo i s n ph(m và trong s nh ng ngư i dùng , có 36,5% dùng . Ph ng v n ng u nhiên m t ngư i dân trong thành ph ñó, tính xác su t ñ ngư i y và ; a/ Dùng c b/ Dùng , bi t r"ng ngư i y không dùng . Gi i Đ t : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ” : “ ngư i dân trong thành ph dùng s n ph(m ” Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,207; ( ) = 0,5; ( / ) = 0,365 a/ Xác su t ngư i dân ñó dùng c và là ( ) = ( ). ( / b/ Xác su t ngư i dân ñó dùng ( / )= ( . )= ( ) ) = 0,5.0,365 = 0,1825 , bi t r"ng không dùng ( )− ( ) ( ) = là 0,5 − 0,1852 = 0, 404 1 − 0, 207 1.12. Theo m t cu c ñi u tra thì xác su t ñ m t h gia ñình có máy vi tính n u thu nh p hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñư c ñi u tra thì 60% có thu nh p trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t ñ m t h gia ñình ñư c ch n ng u nhiên a/ có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u; b/ có máy vi tính, nhưng không có thu nh p trên 20 tri%u. Gi i Đ t : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có máy vi tính” : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u” Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,52; ( ) = 0, 6; ( / ) = 0, 75 a/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u là: P ( AB ) = P ( B ) .P ( A / B ) = 0, 6.0, 75 = 0, 45 b/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có máy vi tính nhưng thu nh p ít hơn 20 tri%u là: ( )= ( )− ( ) = 0,52 − 0, 45 = 0, 07 1.13. Theo m t cu c ñi u tra thì xác su t ñ m t h gia ñình có máy vi tính n u thu nh p hàng năm trên 20 tri%u (VNĐ) là 0,75. Trong s các h ñư c ñi u tra thì 60% có thu nh p trên 20 tri%u và 52% có máy vi tính. Tính xác su t ñ m t h gia ñình ñư c ch n ng u nhiên a/ Có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u; b/ Có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u, bi t r"ng h ñó không có máy vi tính. 7 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi i Đ t : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có máy vi tính” : “H gia ñình ñư c ch n ng u nhiên có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u” Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,52; ( ) = 0, 6; ( / ) = 0, 75 a/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có máy vi tính và có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u là: P ( AB ) = P ( B ) .P ( A / B ) = 0, 6.0, 75 = 0, 45 b/ Xác su t ñ h gia ñình ñư c ch n có thu nh p hàng năm trên 20 tri%u nhưng không có máy vi tính là: ( / ( )= ( ) )= ( )− ( ) = 0, 6 − 0, 45 = 0,3125 ( ) 1 − 0,52 1.14. Trong m t ñ i tuy n có hai v n ñ ng viên A và B thi ñ u. A thi ñ u trư c và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh hư'ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có 60% kh năng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh năng này c a B ch còn 30%. Tính xác su t c a các bi n c sau: a/ Đ i tuy n th ng hai tr n; b/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n. Gi i Đ t : “v n ñ ng viên Theo ñ bài ta có: ( th ng” v i ∈ { , ) = 0,8; ( } ) = 0, 6; / ( / ) = 0, 3 a/ Xác su t ñ i tuy n th ng 2 tr n là ( )= ( ). ( ) = 0,8.0, 6 = 0, 48 / b/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n nghĩa là có ít nh t m t trong hai v n ñ ng viên A, ho c B th ng. Xác su t c n tính là: P ( M A ∪ M B ) = P ( M B ) + P ( M A ) − P ( M A .M B ) = 0,54 + 0,8 − 0, 48 = 0,86 1.15. Trong m t ñ i tuy n có hai v n ñ ng viên A và B thi ñ u. A thi ñ u trư c và có hy v ng 80% th ng tr n. Do nh hư'ng tinh th n, n u A th ng tr n thì có 60% kh năng B th ng tr n, còn n u A thua thì kh năng này c a B ch còn 30%. Tính xác su t c a các bi n c sau: a/ B th ng tr n; b/ Đ i tuy n ch th ng có m t tr n. Gi i Đ t : “v n ñ ng viên Theo ñ bài ta có: ( th ng” v i ∈ { , ) = 0,8; ( } ) = 0, 6; / ( / ) = 0, 3 a/ Xác su t B th ng tr n là: ( ) ( ) P ( M B ) = P ( M A ) P ( M B | M A .) + P M A .P M B | M A = 0,54 8 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ Đ t : “ñ i tuy n ch th ng 1 tr n” Xác su t ñ i tuy n ch th ng 1 tr n là: ( ) ( ) P ( D ) = P M A .M B + P M A .M B = P ( M A ) − P ( M A .M B ) + P ( M B ) − P ( M A .M B ) = P ( M A ) + P ( M B ) − 2.P ( M A .M B ) = 0,8 + 0,54 − 2.0, 48 = 0,38 ` 1.16. Đ thành l p ñ i tuy n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t$ ch c m t cu c thi tuy n g m 3 vòng. Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vòng th hai l y 70% thí sinh ñã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ vào ñư c ñ i tuy n, thí sinh ph i vư t qua ñư c c 3 vòng thi. Tính xác su t ñ m t thí sinh b t kỳ a/ Đư c vào ñ i tuy n; b/ B lo i ' vòng th ba. Gi i Đ t : “thí sinh ñư c ch n ' vòng ” v i ∈ {1, 2,3} Theo ñ bài ta có: ( 1 ) = 0,8; ( 2 | 1 ) = 0, 7; ( 3 | 1 2 ) = 0, 45 a/ Xác su t ñ thí sinh ñó ñư c vào ñ i tuy n là ( 1 2 3 ) = ( 1 ). ( 2 | 1 ). ( 3 | 1 2 ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 b/ Xác su t ñ thí sinh ñó b lo i ' vòng th III là ( 1 2 3 )= = ( 1 ). ( ( 1 ). ( 2 / 2 | ). ( 3 / ( 1 ) . (1 − 1 1 3 2 | ) 1 2 ) ) = 0,8.0, 7.0,55 = 0, 308 1.17. Đ thành l p ñ i tuy n qu c gia v m t môn h c, ngư i ta t$ ch c m t cu c thi tuy n g m 3 vòng. Vòng th nh t l y 80% thí sinh; vòng th hai l y 70% thí sinh ñã qua vòng th nh t và vòng th ba l y 45% thí sinh ñã qua vòng th hai. Đ vào ñư c ñ i tuy n, thí sinh ph i vư t qua ñư c c 3 vòng thi Tính xác su t ñ m t thí sinh b t kỳ a/ Đư c vào ñ i tuy n; b/ B lo i ' vòng th hai, bi t r"ng thí sinh này b lo i. Gi i Đ t : “thí sinh ñư c ch n ' vòng ” v i ∈ {1, 2,3} Theo ñ bài ta có: ( 1 ) = 0,8; ( 2 | 1 ) = 0, 7; ( 3 | 1 2 ) = 0, 45 a/ Xác su t ñ thí sinh ñó ñư c vào ñ i tuy n là ( 1 2 3 ) = ( 1 ). ( 2 | 1 ). ( 3 | 1 2 ) = 0,8.0, 7.0, 45 = 0, 252 b/ Đ t K: “Thí sinh ñó b lo i” ( )= ( )+ ( 1 1 2 )+ ( 1 2 3 ) = 1− 9 ( 1) + ( 1)− ( 1 2 )+ ( 1 2 3 ) Bài t p Xác su t th ng kê ( 1 ). ( = 1− 2 / 1 )+ Di p Hoàng Ân ( 1 3 2 ) = 1 − 0,8.0, 7 + 0,308 = 0, 748 V y, xác su t ñ thí sinh ñó b lo i ' vòng II, bi t r"ng thí sinh ñó b lo i là: ( 2 )= | ( 2 )= ( . ( ) 1 . 2 ( ) )= ( ( 1 ). ( ) 2 | 1 ) = 0,8 (1 − 0, 7 ) = 0, 3209 0, 748 1.18. M t lô hàng có 9 s n ph(m gi ng nhau. M i l n ki m tra, ngư i ta ch n ng u nhiên 3 s n ph(m; ki m tra xong tr s n ph(m l i lô hàng. Tính xác su t ñ sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph(m ñ u ñư c ki m tra. Gi i Chia 9 s n ph(m thành 3 nhóm. G i : “Ki m tra nhóm ” ∈ {1, 2,3} Đ t :”Sau 3 l n ki m tra, 9 s n ph(m ñ u ñư c ki m tra” ( )= = = 1.19. M t l p h c c a Trư ng Đ i h c AG có 2/3 là nam sinh viên và 1/3 là n sinh viên. S sinh viên quê ' An Giang chi m t l% 40% trong n sinh viên, và chi m t l% 60% trong nam sinh viên. a) Ch n ng u nhiên m t sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ ch n ñư c m t sinh viên quê ' An Giang. N u bi t r"ng sinh viên v a ch n quê ' An Giang thì xác su t ñ sinh viên ñó là nam b"ng bao nhiêu? b) Ch n ng u nhiên không hoàn l i hai sinh viên c a l p. Tính xác su t ñ có ít nh t m t sinh viên quê ' An Giang, bi t r"ng l p h c có 60 sinh viên. Gi i a) Đ t : : “Ch n ñư c sinh viên nam” : “Ch n ñư c sinh viên n ” 2 3 1 )= 3 ( )= ( : “Ch n ñư c sinh viên quê ' An Giang” ( )= Do ñó, ( ) ( + ( | )= )= ( ) ( ( ) ( ) = | ) + ( ) ( | )= 8 15 ( ) ( | ) 3 = ( ) 4 b) L p có 60 sinh viên suy ra có 40 sinh viên nam và 20 sinh viên n S sinh viên Nam quê ' An Giang: 24 S sinh viên N quê ' An Giang: 8 Nên t$ng s sinh viên quê ' An Giang là 32 sinh viên : “ít nh t m t sinh viên quê ' An Giang” ( ) = 1− ( ) = 1− 2 28 2 60 = 232 295 1.20. 10 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Có ba h p A, B và C ñ ng các l thu c. H p A có 10 l t t và 5 l h ng, h p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C có 5 l t t và 5 l h ng a/ L y ng u nhiên t m i h p ra m t l thu c, tính xác su t ñ ñư c 3 l cùng lo i. b/ L y ng u nhiên m t h p r i t h p ñó l y ra 3 l thu c thì ñư c 1 l t t và 2 l h ng. Tính xác su t ñ h p A ñã ñư c ch n. Gi i a/ và là t t” ∈ { :“l l y ra t h p th } Nên, xác su t ñ ñư c 3 l cùng lo i + b/ Đ t t t” = :“L y ñư c h p th = ( = + ” ∈{ }; ) ( = + )+ ( + = :“L y ñư c 2 l h ng và 1 l ) ( + )+ ( ) ( ) = Khi ñó xác su t ñ h p A ñư c ch n = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = = 1.21. Có hai h p B và C ñ ng các l thu c. H p B có 6 l t t và 4 l h ng, h p C có 5 l t t và 5 l h ng. L y ng u nhiên hai l thu c t h p B b vào h p C, r i ti p theo l y ng u nhiên m t l thu c t h p C thì ñư c l h ng. Tính xác su t ñ a/ L h ng ñó là c a h p B b sang; b/ Hai l thu c b t h p B vào h p C ñ u là l h ng. Gi i G i : “Hai l thu c l y t h p B b vào h p C có l h ng” ∈ { } và ñ t : “l thu c l y t h p C (sau khi ñã b 2 l t B b sang) b h ng” = ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( )= a/ l h ng ñó là c a h p B b sang =  =   = + ( ) (     11 )+ ( ) ( ( ) = ) Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ hai l thu c b t h p B vào h p C ñ u là l h ng = = ( ) ( ( ) )  =       = 1.22. Trong m t ñ i tuy n có 3 v n ñ ng viên A, B và C thi ñ u v i xác su t chi n th ng l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngư i thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau.Tính xác su t ñ : a/ ñ i tuy n th ng ít nh t m t tr n, b/ ñ i tuy n th ng 2 tr n. Gi i Đ t: : “v n ñ ng viên A chi n th ng” ( ) = 0, 6 : “v n ñ ng viên B chi n th ng” ( ) = 0, 7 : “v n ñ ng viên C chi n th ng” ( ) = 0,8 a/ G i : “ ñ i tuy n th ng ít nh t 1 tr n” ( = − b/ G i )= − = : “ ñ i tuy n th ng 2 tr n” ( = )+ ( )+ ( )= 1.23. Trong m t ñ i tuy n có 3 v n ñ ng viên A, B và C thi ñ u v i xác su t chi n th ng l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Gi s# m i ngư i thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau.Tính xác su t ñ : a/ Đ i tuy n th ng ít nh t m t tr n, b/ A thua trong trư ng h p ñ i tuy n th ng 2 tr n. Gi i Đ t: : “v n ñ ng viên A chi n th ng” ( ) = 0, 6 : “v n ñ ng viên B chi n th ng” ( ) = 0, 7 : “v n ñ ng viên C chi n th ng” ( ) = 0,8 a/ G i : “ ñ i tuy n th ng ít nh t 1 tr n” ( = − )= − = b/ A thua trong trư ng h p ñ i tuy n th ng 2 tr n G i : “ ñ i tuy n th ng 2 tr n” = ( )+ ( )+ ( 12 )= Bài t p Xác su t th ng kê ( Di p Hoàng Ân )= = = ≈ 1.24. Trong năm h c v a qua, ' trư ng ñ i h c XYZ, t l% sinh viên thi trư t môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. G p ng u nhiên m t sinh viên c a trư ng XYZ. a/ Tính xác su t ñ anh ta trư t c hai môn Toán và Tâm lý; ñ u c hai môn Toán và Tâm lý. b/ N u bi t r"ng sinh viên này trư t môn Tâm lý thì xác su t ñ anh ta ñ u môn Toán là bao nhiêu? Gi i : “sinh viên thi trư t môn Toán” ( ) = 0,34 và : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” ( ) = 0, 205 khi ñó ( | ) = 0, 5 a/ Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý ( ) ( = )= = Xác su t sinh viên ñ u c môn Toán và Tâm Lý ( )= − ∪ = − ( )− ( )+ ( )= b/ Xác su t sinh viên ñ u môn Toán, bi t r"ng trư t môn Tâm Lý: ( ) = ( )= ( ) ( )− ( ) = ( ) . 1.25. Trong năm h c v a qua, ' trư ng ñ i h c XYZ, t l% sinh viên thi trư t môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. Ch n ng u nhiên 12 sinh viên c a trư ng XYZ. Nhi u kh năng nh t là s+ có bao nhiêu sinh viên thi trư t c hai môn Toán và Tâm lý. Tính xác su t tương ng. Đáp s G i : “sinh viên thi trư t môn Toán” ( ) = 0,34 và : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” ( ) = 0, 205 khi ñó Xác su t sinh viên tru t môn c môn Toán và Tâm Lý = ( ) ( )= ( | ) = 0, 5 = Nên, Sinh viên trư t c Toán và Tâm lý v i xác su t không ñ$i 13 = . Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Do ñó, ch n 12 sinh viên nghĩa là th c hi%n 12 phép th# Bernoulli v i xác .s sinh viên nhi u su t thành công (trư t c Toán và Tâm lý) không ñ$i = kh năng trư t c hai môn ( + =   2 2 12 ( 2 ) = 12 ( 0,17 ) . (1  Xác su t tương ng là ) = .  10 − 0,17 ) = 0, 296 . 1.26. Trong năm h c v a qua, ' trư ng ñ i h c XYZ, t l% sinh viên thi trư t môn Toán là 34%, thi trư t môn Tâm lý là 20,5%, và trong s các sinh viên trư t môn Toán, có 50% sinh viên trư t môn Tâm lý. Ph i ch n bao nhiêu sinh viên c a trư ng XYZ sao cho, v i xác su t không bé hơn 99%, trong s ñó có ít nh t m t sinh viên ñ u c hai môn Toán và Tâm lý. Gi i : “sinh viên thi trư t môn Toán” ( ) = 0,34 ( ) = 0, 205 và : “sinh viên thi trư t môn Tâm Lý” khi ñó ( | ) = 0, 5 Xác su t sinh viên ñ u c môn Toán và Tâm Lý ( )= − ∪ ( )− ( )+ ( = − )= G i n là s sinh viên c n ch n. Xác su t ñ sinh viên ñ u c hai môn Toán nên ta có quá trình Bernoulli B ( n, p ) . và Tâm Lý không ñ$i = Đ t : “ ít nh t m t sinh viên ñ u c hai môn Toán và Tâm Lý ”. Theo yêu c u bài toán ta ñư c ( )= − ⇔ ≥( ( ) = −( ) ) ≥ − ⇔ ( ≥ ) ⇔ ≥ V y, ch n ít nh t 5 sinh viên. 1.27. Ba máy 1, 2 và 3 c a m t xí nghi%p s n xu t, theo th t , 60%, 30% và 10% t$ng s s n ph(m c a m t xí nghi%p. T l% s n xu t ra ph ph(m c a các máy trên, theo th t , là 2%, 3% và 4%. L y ng u nhiên m t s n ph(m t lô hàng c a xí nghi%p, trong ñó ñ l n l n các s n ph(m do 3 máy s n xu t. a/ Tính xác su t ñ s n ph(m l y ra là s n ph(m t t. Ý nghĩa c a xác su t ñó ñ i v i lô hàng là gì? b/ N u s n ph(m l y ñư c là ph ph(m, thì nhi u kh năng nh t là do máy nào s n xu t? Gi i Đ t ( Và : “s n ph(m l y ra do máy 1 ) = 0, 6; ( 2 ) = 0,3; ( 3 s n xu t” v i ∈ {1, 2,3} ) = 0,1 :“s n ph(m l y ra là ph ph(m” ( )= ( )= ( 14 )= Bài t p Xác su t th ng kê a/ Di p Hoàng Ân :”s n ph(m l y ra là s n ph(m t t” ( )= ( ) ( )+ ( ) ( )+ ( ) ( )= Ý nghĩa, xác su t th hi%n t l% s n ph(m t t c a lô hàng. b/ Xác su t l y ra s n ph(m là ph ph(m ( )= ( )= − Theo công th c Bayes ( ) = ( ) = ( ) = ( () ( () ( () )= ( ) )= ( )= ( ( () ) ( () ) ( () )= = )= = )= = Do ñó, s n ph(m do máy 1 s n xu t ra ph ph(m nhi u nh t. 1.28. Chia ng u nhiên 9 t m vé s , trong ñó có 3 vé trúng thư'ng, ñ u cho 3 ngư i (m i ngư i 3 t m). Tính xác su t ñ c 3 ngư i ñ u ñư c trúng thư'ng. Gi i Đ t : “Ngư i mua vé th ñư c vé trúng thư'ng” v i ∈ {1, 2,3} ( )= ( ) ( ) ( )= = 1.29. Trong s các b%nh nhân ñang ñư c ñi u tr t i m t b%nh vi%n, có 50% ñi u tr b%nh A, 30% ñi u tr b%nh B và 20% ñi u tr b%nh C. T i b%nh vi%n này, xác su t ñ ch a kh i các b%nh A, B và C, theo th t , là 0,7; 0,8 và 0,9. Hãy tính t l% b%nh nhân ñư c ch a kh i b%nh A trong t$ng s b%nh nhân ñã ñư c ch a kh i b%nh trong b%nh vi%n. Gi i Đ t : “b%nh nhân ñi u tr b%nh ” v i ∈ { , , : “b%nh nhân ñư c kh i b%nh” Theo ñ bài ta có: ( ) = 0,5; ( ) = 0,3; ( và ( / ) = 0, 7; ( / ) = 0,8; Xác su t ñ b%nh nhân kh i b%nh là ( / 15 ) = 0,9 } ) = 0, 2 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân ( ) = ∑ ( ). ( ) = 0,5.0, 7 + 0,3.0,8 + 0, 2.0,9 = 0, 77 / = Xác su t ñ b%nh nhân tr kh i b%nh A là ( | )= ( ). ( | ( ) ) = 0,5.0, 7 = 45, 45% 0, 77 1.30. Có hai bình như sau: Bình A ch a 5 bi ñ , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ch a 3 bi ñ và 5 bi tr ng. Gieo m t con xúc x c vô tư: N u m t 3 ho c m t 5 xu t hi%n thì ch n ng u nhiên m t bi t bình B; các trư ng h p khác thì ch n ng u nhiên m t bi t bình A. Tính xác su t ñ ch n ñư c viên bi ñ . N u viên bi tr ng ñư c ch n, tính xác su t ñ m t 5 c a con xúc x c xu t hi%n. Gi i Đ t : “Gieo con xúc x c ñư c m t 3 hoăc m t 5”, = : “L y t bình ra m t bi là bi ñ ”. Ta có = G i + = + = = + = : “m t viên bi ñư c ch n là bi tr ng” = + Đ t : “gieo con xúc x c ñư c m t 5”. Xác su t m t 5 xu t hi%n, bi t r"ng bi ñư c ch n là bi tr ng là ( )= ( ) ( ) = ( ) = = 1.31. Có hai bình như sau: Bình A ch a 5 bi ñ , 3 bi tr ng và 8 bi xanh; bình B ch a 3 bi ñ và 5 bi tr ng. L y ng u nhiên 3 viên bi t bình A b vào bình B, r i t bình B l y ng u nhiên 1 viên bi thì ñư c bi ñ . Theo ý b n, viên bi ñó v n thu c bình nào? Gi i G i Đ t : “ có k bi ñ trong 3 viên bi l y t bình A b vào bình B” v i ∈ {0,1, 2,3} : “L y m t bi t bình B ra là bi ñ ”. =∑ = + + = + Đ t + : “bi ñ sau cùng l y t bình B”. 16 = Bài t p Xác su t th ng kê = Do ñó Di p Hoàng Ân = = ( ) ( ) = = ( ) ( ) = > . V y, bi ñ sau cùng nhi u kh năng nh t là c a bình B. 1.32. Có hai chu ng nuôi th . Chu ng th nh t có 1 con th tr ng và 5 con th nâu; chu ng th hai có 9 con th tr ng và 1 con th nâu. T m i chu ng b t ng u nhiên ra m t con ñ nghiên c u. Các con th còn l i ñư c d n vào m t chu ng th ba. T chu ng th ba này l i b t ng u nhiên ra m t con th . Tính xác su t ñ con th b t ra sau cùng là m t con th nâu. Gi i Đ t : “Th b t ' chu ng 1 ra nghiên c u là th nâu ” = : “Th b t ' chu ng 2 ra nghiên c u là th nâu” = : “Th b t ' chu ng 3 ra nghiên c u là th nâu ” G i = = ( = ( ) ( ) ( = ( ) ( ( ) ( ) + ( )+ ( )+ ( ) )+ ( ) ( )+ + ( ) ( )+ ( ) ( ) )+ ( ) ( ) ( )+ + ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) ( )+ () ( ) + () ( ) + ( ) () ) = 1.33. Ban giám ñ c m t công ty liên doanh v i nư c ngoài ñang xem xét kh năng ñình công c a công nhân ñ ñòi tăng lương ' hai nhà máy A và B. Kinh nghi%m cho h bi t cu c ñình công ' nhà máy A và B x y ra l n lư t v i xác su t 0,75 và 0,65. Ngoài ra, h cũng bi t r"ng n u công nhân ' nhà máy B ñình công thì có 90% kh năng ñ công nhân ' nhà máy A ñình công ng h . a/ Tính xác su t ñ công nhân ' c hai nhà máy ñình công. b/ N u công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác su t ñ công nhân ' nhà máy B ñình công ñ ng h b"ng bao nhiêu? Gi i Đ t: : “ Công nhân ñình công ' nhà máy A” 17 = Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân : “Công nhân ñình công ' nhà máy B” ( = )= a/ Xác su t công nhân ñình công ' 2 nhà máy là ( ) = ( ). ( | ) = , . , = , b/ N u công nhân ' nhà máy A ñình công thì xác su t ñ công nhân ' nhà máy B ñình công là ( )= | ( ( ) )= , , = , 1.34. M t nhân viên ki m toán nh n th y 15% các b n cân ñ i thu chi ch a các sai l m. Trong các b n ch a sai l m, 60% ñư c xem là các giá tr b t thư ng so v i các s xu t phát t g c. Trong t t c các b n cân ñ i thu chi thì 20% là nh ng giá tr b t thư ng. N u m t con s ' m t b ng cân ñ i t ra b t thư ng thì xác su t ñ s y là m t sai l m là bao nhiêu? Gi i = Đ t : “b n cân ñ i thu chi ch a sai l m” : “b n cân ñ i thu chi ch a giá tr b t thư ng” ( = )= Xác su t 1 con s ' 1 b ng cân ñ i t ra b t thư ng là 1 sai l m: ( )= | ( ) = ( ). ( ( ) ( ) | )= , . , = , , 1.35. M t hãng s n xu t m t lo i t l nh X ư c tính r"ng kho ng 80% s ngư i dùng t l nh có ñ c qu ng cáo t l nh do hãng y s n xu t. Trong s nh ng ngư i ñ c qu ng cáo, có 30% mua lo i t l nh X; 10% không ñ c qu ng cáo cũng mua lo i t l nh X. Tính xác su t ñ m t ngư i tiêu dùng ñã mua lo i t l nh X mà có ñ c qu ng cáo. Gi i Đ t : “ngư i ñó ñ c qu ng cáo” : “ngư i ñó mua t l nh X” = ( / )= , ; ( / )= , Trư c tiên tính xác su t ñ ngư i mua t l nh X ( )= ( )+ ( )= ( ). ( / )+ ( ). ( / )= , Xác su t ñ 1 ngư i tiêu dùng ñã mua lo i t l nh X mà có ñ c qu ng cáo: ( | )= ( ) = ( ). ( ( ) ( ) | )= , . , = , 1.36. Trên m t b ng qu ng cáo, ngư i ta m c hai h% th ng bóng ñèn ñ c l p. H% th ng I g m 4 bóng m c n i ti p, h% th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t,c là 0,1. Vi%c h ng c a m i bóng c a m i h% th ng ñư c xem như ñ c l p. Tính xác su t ñ a/ H% th ng I b h ng; 18 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ H% th ng II không b h ng. Gi i a/ Đ t trong h% th ng I bi h ng” ∈ { :”bóng ñèn th }. Xác su t h% th ng I b h ng = b/ Đ t + + + ( = − :”bóng ñèn th )= − = ∈{ trong h% th ng II bi h ng” }. Xác su t h% th ng II không b h ng + + = − = − = 1.37. Trên m t b ng qu ng cáo, ngư i ta m c hai h% th ng bóng ñèn ñ c l p. H% th ng I g m 4 bóng m c n i ti p, h% th ng II g m 3 bóng m c song song. Kh năng b h ng c a m i bóng trong 18 gi th p sáng liên t,c là 0,1. Vi%c h ng c a m i bóng c a m i h% th ng ñư c xem như ñ c l p. Tính xác su t ñ a/ C hai h% th ng b h ng; b/ Ch có m t h% th ng b h ng. Gi i a/ Đ t và trong h% th ng I bi h ng” ∈ { : “bóng ñèn th :”bóng ñèn th trong h% th ng II bi h ng” ∈{ }. }. Xác su t h% th ng I b h ng = + + + ( = − Xác su t h% th ng II b h ng là: )= ( )= − = = Nên, xác su t c hai h% th ng b h ng là = = = b/ Xác su t ch có m t h% th ng b h ng + = + = 1.38. M t lô hàng g m r t nhi u bóng ñèn, trong ñó có 8% bóng ñèn x u. M t ngư i ñ n mua hàng v i qui ñ nh: Ch n ng u nhiên 10 bóng ñèn ñem ki m tra và n u có nhi u hơn m t bóng ñèn x u thì không nh n lô hàng. Tính xác su t ñ lô hàng ñư c ch p nh n. Gi i Vi%c ki m tra 10 bóng ñèn, nghĩa là th c hi%n 10 phép th# Bernoulli, v i (không ñ$i). xác su t “thành công” g p bóng x u = Khi ñó ( ; , ) = , . , − , = , , ,..., ( :s l n thành công trong 10 phép th#) Đ t : “nh n lô hàng” 19 Bài t p Xác su t th ng kê ( )= ( )+ Di p Hoàng Ân ( )=( ) − ( ) = 1.39. M t nhóm nghiên c u ñang nghiên c u v nguy cơ m t s c t i m t nhà máy ñi%n nguyên t# s+ gây ra s rò r phóng x . Nhóm nghiên c u nh n th y các lo i s c ch có th là: ho ho n, s gãy ñ$ c a v t li%u ho c sai l m c a con ngư i, và 2 hay nhi u hơn 2 s c không bao gi cùng x y ra. N u có h a ho n thì s rò r phóng x x y ra kho ng 20% s l n. N u có s gãy ñ$ c a v t li%u thì s rò r phóng x x y ra kho ng 50% s l n, và n u có s sai l m c a con ngư i thì s rò r s+ x y ra kho ng 10% s l n. Nhóm nghiên c u cũng tìm ñư c xác su t ñ : Ho ho n và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0010, gãy ñ$ v t li%u và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0015, sai l m c a con ngư i và s rò r phóng x cùng x y ra là 0,0012. Tìm xác su t ñ a/ có ho ho n; có gãy ñ$ v t li%u và có sai l m c a con ngư i; b/ có m t s rò r phóng x ; c/ m t s rò r phóng x ñư c gây ra b'i s sai l m c a con ngư i. Gi i Đ t : “x : “x : “x : “s Ta có y ra h a ho n” y ra gãy ñ$” y ra sai l m c a con ngư i” rò r phóng x ” ( )= ( )= ( ( )= ( )= )= ( )= a/ Xác su t có ho ho n là ( )= ( ( | ) = ) , Xác su t có gãy ñ$ v t li%u là ( )= ( ( | ) = ) , và xác su t sai l m c a con ngư i ( )= ( ( ) | ) = , b/ Xác su t có s rò r phóng x x y ra: ( )= ( )+ ( )+ ( )= , + , + , = , c/ Xác su t m t s rò r phóng x ñư c gây ra b'i s sai l m c a con ngư i là = ( ) = ( ) = 1.40. 20 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân M t ñ a phương có t l% ngư i dân nghi%n thu c lá là 30%. Bi t r"ng t l% ngư i b viêm h ng trong s ngư i nghi%n thu c lá là 60%, còn t l% ñó trong s ngư i không nghi%n thu c lá là 40%. Ch n ng u nhiên m t ngư i t ñ a phương trên. a/ N u ngư i ñó b viêm h ng, tính xác su t ñ ngư i ñó nghi%n thu c lá. b/ N u ngư i ñó không b viêm h ng, tính xác su t ñ ngư i ñó nghi%n thu c lá. Gi i Đ t : “ngư i dân nghi%n thu c lá” ( )= , : “ngư i dân b viêm h ng” ( | ) = ( , ; )= | , a/ Trư c tiên ta tính xác su t ngư i này viêm h ng ( )= ( ( ) = ( ). ( )+ )+ | ( ). ( | )= , Xác su t ñ ngư i nghi%n thu c lá n u b viêm h ng là ( )= | ( ) = ( ). ( ( ) ( ) | )= , . , = , b/ Xác su t ñ ngư i nghi%n thu c lá n u không b viêm h ng là ( )= | ( )= ( ) ( )− ( ( ) ) = ( ) − ( ). ( − ( ) )= | 1.41. M t nhà xu t b n g#i b n gi i thi%u sách m i ñ n 80% gi ng viên c a m t trư ng ñ i h c. Sau m t th i gian, nhà xu t b n nh n th y: Có 30% gi ng viên mua sách trong s nh ng ngư i nh n ñư c b n gi i thi%u, và trong s nh ng gi ng viên không nh n ñư c b n gi i thi%u, có 10% mua sách . Tìm t l% nh ng gi ng viên nh n ñư c b n gi i thi%u trong s nh ng ngư i mua sách. Gi i Đ t : “gi ng viên nh n ñư c b n gi i thi%u sách m i” : “gi ng viên mua sách” ( | )= , ; ( | )= ( )= , , Trư c h t ta tính xác su t ñ gi ng viên mua sách = ( )+ ( )= () ( )+ ( ) ( )= Nên, xác su t ñ gi ng viên nh n ñư c b n gi i thi%u trong s nh ng ngư i mua sách: ( / )= ( ) = ( ). ( ( ) ( ) | )= , . , = , 1.42. Nhà trư ng mu n ch n m t s h c sinh t m t t$ g m 7 nam sinh và 6 n .sinh. L n ñ u ch n ng u nhiên 2 h c sinh; sau ñó, ch n ti p 1 h c sinh n a. a/ Tính xác su t ñ h c sinh ñư c ch n l n sau là nam sinh. 21 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ Bi t r"ng h c sinh ñư c ch n l n sau là n sinh, tính xác su t ñ c hai h c sinh ñư c ch n l n ñ u ñ u là nam sinh. Gi i a/ G i h c sinh nam trong 2 h c sinh l n ñ u” ∈ { : “ch n = = } = :”h c sinh ñư c ch n sau cùng là nam” ( )= + = + + + = b/ Xác su t h c sinh ch n l n sau cùng là n là = ( )= nên xác su t ñ 2 h c sinh ñư c ch n l n ñ u là nam: ( = )= () = 1.43. S li%u th ng kê v b%nh lao ph$i t i m t ñ a phương cho bi t: Có 15% s ngư i làm ngh ñ,c ñá (LNĐĐ) và b lao ph$i; có 50% s ngư i không LNĐĐ và không b lao ph$i; có 25% s ngư i LNĐĐ nhưng không b lao ph$i. Ngoài ra, t l% nh ng ngư i không LNĐĐ nhưng b lao ph$i là 10%. Chúng ta có th k t lu n gì v m i quan h% gi a ngh ñ,c ñá và b%nh lao ph$i? Gi i Đ t : “làm ngh ñ,c ñá” : “b lao ph$i” Theo s li%u ñ bài ta có: ( )= = = = Khi ñó, = + ( )= + = và D- th y = + ( )= ≠ ( )= = + = ( ) do ñó b%nh lao ph$i có liên quan ñ n ngh ñ,c ñá. Xét ( )= ( ) = ( ) ( 22 )= ( )= ( ) Bài t p Xác su t th ng kê Ta th y ( Di p Hoàng Ân ( )≈ ) . Ch ng t r"ng, xác su t ngư i b lao ph$i khi ngư i ñó làm ngh ñ,c ñá cao g n g p hai l n xác su t ngư i b lao ph$i nhưng ngư i ñó không làm ngh ñ,c ñá. 1.44. Gi s# m t xét nghi%m X cho k t qu dương tính (+) ñ i v i nh ng ngư i nhi-m HIV v i xác su t 95% và cho k t qu (+) ñ i v i nh ng ngư i không nhi-m HIV v i xác su t 1%. M t ngư i ñ n t ñ a phương có t l% nhi-m HIV là 1% ñư c làm xét nghi%m X và cho k t qu (+). Tính xác su t ñ ngư i này th c s nhi-m HIV. Gi i Đ t : “Ngư i b nhi-m HIV ñ n t ñ a phương” ( )= : “ngư i ñ n t ñ a phương làm xét nghi%m X cho k t qu dương tính v i HIV” ( )= ( ) ( )+ () ( )= + = Xác su t ñ ngư i ñ n t ñ a phương có t l% 1% ñư c xét nghi%m và cho k t qu dương tính là = = = 1.45. M t h p ch a 15 l thu c, trong ñó có 6 l h ng. L y l n lư t t ng l không hoàn l i ñ ki m tra, cho ñ n khi g p 3 l h ng thì d ng. a/ Tính xác su t ñ vi%c ki m tra d ng l i ' l th ba; ' l th sáu b/ N u vi%c ki m tra d ng l i ' l th sáu, tính xác su t ñ l ñư c ki m ra ñ u tiên là l h ng. Gi i ñư c l h ng” Đ t :” l n ki m tra th a/ Xác su t ñ vi%c ki m tra d ng l i ' l th ba Đ t ( )= = :” ki m tra liên ti p 5 l n ñư c 2 l h ng và 3 t t” = = = :”ki m tra d ng l i ' l th sáu” = = ( )= = b/ Vi%c ki m tra d ng l i ' l th sáu, xác su t ñ l ñư c ki m ra ñ u tiên là l h ng. ( )= ( ) ( ( ) ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 23 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân = = ≈ 1.46. T m t lô hàng có r t nhi u quy n v' v i t l% v' h ng là 5%, ngư i ta ch n ng u nhiên t ng quy n v' ñ ki m tra. a/ H i ph i ki m tra ít nh t bao nhiêu quy n v' ñ xác su t có ít nh t m t quy n v' h ng không bé hơn 90% ? b/ Gi s# vi%c ki m tra s+ d ng l i khi phát hi%n 3 quy n v' h ng. Tính xác su t ñ vi%c ki m tra d ng l i ' l n ki m tra th 10, Gi i G i là xác su t v' h ng trong m i lô hàng. = và g i là s quy n v' c n ki m tra. Ta có dãy phép th# Bernoulli v i xác su t thành công (v' h ng) là 0,05. Do ñó, ( ) a/ Đ t : “ít nh t m t quy n v' h ng” = − ( )= −( ) ≥ ⇔ ≥ Nên ph i ki m tra ít nh t 45 quy n v'. b/ Vi%c ki m tra phát hi%n 3 quy n v' h ng suy ra 9 l n ki m tra ñ u phát hi%n 2 quy n v' h ng và l n th 10 ph i là v' h ng. Đ t :”ki m tra d ng l i l n th 10” =( . ( )= ( ) ) = 1.47. H p th nh t có 8 s n ph(m lo i và 2 s n ph(m lo i ; h p th hai có 5 s n ph(m lo i và 3 s n ph(m lo i . L y ng u nhiên t m i h p ra 2 s n ph(m. a/ Tính xác su t ñ ñư c 3 s n ph(m lo i ; b/ Gi s# l y ñư c m t s n ph(m lo i và 3 s n ph(m lo i . Nhi u kh năng là s n ph(m lo i thu c h p nào? T i sao? Gi i L y ng u nhiên t m i h p ra 2 sp v i ∈ { } và ∈ { } Đ t a/ :” l y ñư c sp lo i t h p th nh t” :” l y ñư c sp lo i t h p th hai” : “l y ñư c 3 sp lo i ( )= ( b/ G i ( ) ( )l và 1 sp lo i )+ ( ” )= + n lư t là xác su t ñ sp lo i th hai 24 = thu c h p th nh t và h p Bài t p Xác su t th ng kê ( )= Ta có ( ) ( ) = ( ( )= Ta th y Di p Hoàng Ân = ) ( ) = = ( ) < ( ) nên sp lo i nhi u kh năng thu c h p th hai. 1.48. H p th nh t có 8 s n ph(m lo i và 2 s n ph(m lo i ; h p th hai có 5 s n ph(m lo i và 3 s n ph(m lo i . L y ng u nhiên m t h p, r i l y ng u nhiên t ñó ra 4 s n ph(m. a/ Tính xác su t ñ ñư c 3 s n ph(m lo i ; b/ Gi s# l y ñư c m t s n ph(m lo i và 3 s n ph(m lo i . Nhi u kh năng là s n ph(m lo i thu c h p nào? T i sao? Gi i a/ L y ng u nhiên ra 1 h p, r i l y ng u nhiên t ñó ra 4 sp Đ t g i ”, ∈ { :” l y ñư c h p th :” l y ñư c 3 sp lo i và 1 sp lo i ( )= ( ) ( = b/ G i     ( ) ( )l } suy ra ( ) = ( ) = ” )+ ( ) (   =  +     )  + =   n lư t là xác su t ñ sp lo i thu c h p th nh t và h p th hai Ta có ( )= ( ) ( ( ) ( )= Th y ) ( ) ( ( ) ( ) > ( ) nên sp lo = = ) i = = nhi u kh năng thu c h p th nh t. 1.49. 25 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân M t nhà máy s n xu t linh ki%n ñi%n t# v i 96% s n ph(m có ch t lư ng cao. M t qui trình ki m tra ch t lư ng s n ph(m có ñ c ñi m: 2% s n ph(m có ch t lư ng cao l i không ñư c công nh n và 5% s n ph(m không có ch t lư ng cao l i ñư c công nh n. Hãy tính xác su t ñ sau khi ki m tra, m t s n ph(m ñư c công nh n có ch t lư ng cao ñúng là s n ph(m có ch t lư ng cao. Gi i : “sp ñư c công nh n” : “sp ch t lư ng cao” và G i ( )= ( , Ta có ( suy ra ( L i có ( suy ra ( )= )= ( )= )= ( ) )= và ( )= ( )− ( ( ) ) ( )− ( ) = . )= ( )= () () = Xs ñ 1 sp ñó ñư c công nh n ch t lư ng cao ñúng là sp ch t lư ng cao là ( )= ( ) = ( ) = 1.50. Gi s# b n ñem giao m t lô hàng, r t nhi u s n ph(m, mà b n bi t r"ng nó có t l% ph ph(m là 10%. Ngư i nh n hàng ñ ngh l y ng u nhiên 6 s n ph(m ñ ki m tra, và n u có quá ph ph(m thì không nh n lô hàng. B n ñ ngh b"ng bao nhiêu ñ v a thuy t ph,c ñư c ngư i nh n, v a hy v ng kh năng lô hàng không b t ch i ít nh t là 95%? Gi i T l% ph ph(m là = Vi%c l y ng u nhiên 6 sp ñ ki m tra nghĩa là th c hi%n 6 phép th# Bernoulli v i xs thành công (g p ph ph(m) = (không ñ$i). Ta ñư c ( )= − Nh n xét: ( và )+ ( )< ( )+ ( )+ ( )= > nên theo yêu c u bài toán = . 1.51. M t khu dân cư A có t l% m c b%nh B là 30%. a/ Trong m t ñ t ñi u tra, ngư i ta ch n ng u nhiên 10 ngư i. Tính xác su t trong ñó có nhi u nh t ba ngư i m c b%nh B. 26 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ Đư c bi t trong khu v c ñó có 60% dân s có chích ng a b%nh B. T. l% ngư i kháng b%nh B ñ i v i ngư i ñư c chích ng a là 95%. Còn t. l% kháng b%nh B ñ i v i ngư i không chích ng a là 20%. Ch n ng u nhiên m t ngư i th y ngư i này không m c b%nh B. Tính xác su t ngư i này có chích ng a. Gi i ( )= : “Ngư i ñư c ch n m c b%nh B” G i . Ch n ng u nhiên 10 ngư i là th c hi%n 10 phép th# Bernuolli v i xác su t thành − (không ñ$i). Ta có . công (m c b%nh B) ( ) = ( )= a/ Xác su t trong ñó có nhi u nh t ba ngư i m c b%nh B ( )+ ( = b/ )= ( + :” chích ng a b%nh B” ( )+ và )+ + ( + )= = ( )= ( )= Xác su t ch n ng u nhiên m t ngư i th y ngư i này không m c b%nh B: ( )= ( ) ( )+ ( ) ( )= xác su t ngư i này có chích ng a: ( )= ( )= ( ) ( )= ( ) () . 1.52. T l% s n xu t ra ph ph(m c a m t máy là 8%. Kh o sát m t lô hàng g m 75 s n ph(m do máy ñó s n xu t ra. a/ Tính xác su t ñ trong lô hàng, có 10 ph ph(m b/ Trong lô hàng, nhi u kh năng nh t là có bao nhiêu ph ph(m? Tính xác su t tương ng. Gi i N u xem vi%c máy s n xu t ra m t s n ph(m là m t phép th# Bernoulli, v i xác su t cho “thành công” là p = 0, 08 , thì khi máy ñó s n xu t 75 s n ph(m, nó ñã th c hi%n quá trình P75 ( k ;0,08 ) a/ Xác su t ph i tính: 10 P75 10 = C75 0 08 10 0 92 65 = 0 03941 b/ S ph ph(m nhi u kh năng nh t trong lô hàng là: ( 75 + 1) .0, 08 = 6 v i xác su t tương ng: 27 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân P75 (6) = C756 (0, 08)6 .(0,92)69 = 0,16745 1.53. Ngư i ta mu n l y ng u nhiên m t s h t gi ng t m t lô h t gi ng có t l% h t lép là 3% ñ nghiên c u. H i ph i l y ít nh t bao nhiêu h t sao cho xác su t ñ có ít nh t m t h t lép không bé hơn 95% ?. Gi i G i n là s h t ph i l y, chúng ta có Pn ( k ;0, 03) . Xác su t ñ có ít nh t m t h t n lép là 1 − (1 − 0, 03) n =1 − ( 0,97 ) . Theo gi thi t, chúng ta có: n n 1 − ( 0,97 ) ≥ 0,95 ⇔ ( 0, 97 ) ≤ 0, 05 ⇔ n ≥ V y, ph i l y ít nh t 99 h t gi ng. 28 ln 0, 05 = 98,3523 ln 0, 97 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CHƯƠNG 2: BI N NG U NHIÊN 2.1. Có ba h p và ñ ng các l thu c. H p có 10 l t t và 5 l h ng, h p có 6 l t t và 4 l h ng, h p có 5 l t t và 7 l h ng. L y ng u nhiên t m i h p ra m t l thu c. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s l thu c t t trong 3 l l y ra. b/ Tìm xác su t ñ ñư c ít nh t 2 l t t; ñư c 3 l cùng lo i. Gi i G i là bi n ng u nhiên ch s l thu c t t trong 3 l l y ra ={ } : “ l thu c l y ra t h p th a) ( = là l t t”. )= = ( ) ( ) ( )= ( = )= + + = ( = )= + + = ( = )= = ( ) ( ) ( )= B ng phân ph i xác su t c a 0 1 2 3 ( ) b) Xác su t ñ ñư c ít nh t 2 l t t ( ≥ )= ( = )+ ( = )= Xác su t ñư c 3 l cùng lo i ( = )+ ( = )= 2.2. và thi ñ u v i xác xu t th ng Trong m t ñ i tuy n, 3 v n ñ ng viên tr n c a m i ngư i l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñ t thi ñ u, m i v n ñ ng viên thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a ñ i tuy n. b/ Tính xác su t ñ ñ i tuy n thua nhi u nh t m t tr n. Tính xác su t ñ ñ i tuy n th ng ít nh t m t tr n. Gi i a/ G i là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a ñ i tuy n. 29 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân ={ G i : “V n ñ ng viên : “V n ñ ng viên : “V n ñ ng viên } th ng” th ng” th ng” Ta có ( ( = = ( = )= ( = )= )= )= () = + = B ng phân ph i xác su t : 0 1 = + + + = = = ( ) = 2 3 ( ) b/ Xác su t ñ ñ i tuy n thua nhi u nh t m t tr n: ( ≥ )= ( )+ ( = )= = Xác su t ñ ñ i tuy n th ng ít nh t m t tr n : ( ≥ )= − ( )= = 2.3. Trong m t ñ i tuy n, 3 v n ñ ng viên và thi ñ u v i xác xu t th ng tr n c a m i ngư i l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñ t thi ñ u, m i v n ñ ng viên thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a ñ i tuy n. b/ Sau ñ t thi ñ u, ñ i tuy n có hai tr n th ng; tính xác su t ñ A thua tr n. Gi i a/ G i là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a ñ i tuy n. ={ } G i : “V n ñ ng viên th ng”; : “V n ñ ng viên th ng”; : “V n ñ ng viên th ng” Ta có ( ( = = ( = )= ( = )= )= )= B ng phân ph i xác su t = + = () = + + + = ( ) = = : 30 = Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 0 1 2 3 ( ) b/ Xác su t ñ ( thua tr n, bi t r"ng ñ i tuy n có hai tr n th ng = ( )= { ( }) = = ) ( = ( )= = ) = 2.4. Trong m t ñ i tuy n, 3 v n ñ ng viên và thi ñ u v i xác xu t th ng tr n c a m i ngư i l n lư t là 0,6; 0,7 và 0,8. Trong m t ñ t thi ñ u, m i v n ñ ng viên thi ñ u m t tr n ñ c l p nhau. a/ Tìm lu t phân ph i xác su t cho s trân th ng c a ñ i tuy n. b/ Tính s tr n th ng trung bình và phương sai c a s tr n th ng c a ñ i tuy n. Gi i a/ G i là bi n ng u nhiên ch s tr n th ng c a ñ i tuy n. ={ } G i : “V n ñ ng viên th ng”; : “V n ñ ng viên th ng”; : “V n ñ ng viên th ng” Ta có ( ( = = ( = )= ( = )= )= )= = + = B ng phân ph i xác su t : 0 1 () = + + + = ( ) = = = 2 3 ( ) b/ S tr n th ng trung bình = + + + = và phương sai c a s tr n th ng c a ñ i tuy n ( ) = ( )− ( ) Trong ñó, ( )= = + + + = . 2.5. M t cơ s' s n xu t các bao k/o. S k/o trong m i bao là m t bi n ng u nhiên có phân ph i xác su t như sau: 31 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân S k/o trong bao 18 19 20 21 22 Xác su t 0,14 0,24 0,32 0,21 0,09 a/ Tìm trung bình và phương sai c a s viên k/o trong m i bao. b/ Chi phí s n xu t c a m bao k/o là 3X + 16, trong ñó X là bi n ng u nhiên ch s k/o trong bao. Ti n bán m i bao k/o là 100$. Không phân bi%t s k/o trong bao. Tìm l i nhu n trung bình và ñ l%ch chu(n c a l i nhu n cho m i bao k/o. Gi i là bi n ng u nhiên ch s k/o trong bao. G i a/ Trung bình và phương sai c a s viên k/o trong m i bao : ( )= ∑ ( )= = = và phương sai c a s viên k/o trong m i bao: ( ) = ( )− ( ) b/ G i = là bi n ng u nhiên ch l i nhu n cho m i bao k/o. Ta có: = − l i nhu n trung bình ( )= ( )= − − ( )= và ñ l%ch chu(n c a l i nhu n cho m i bao k/o σ( )= ( )= ( − )= ( )= 2.6. M t cơ s' s n xu t các bao k/o. S k/o trong m i bao là m t bi n ng u nhiên có phân ph i xác su t như sau: S k/o trong bao 18 Xác su t 0,14 19 20 21 22 0,24 0,32 0,21 0,09 a/ Tìm xác su t ñ m t bao k/o ñư c ch n ng u nhiên s+ ch a t 19 ñ n 21 viên k/o. b/ Hai bao k/o ñư c ch n ng u nhiên. Tính xác su t ñ ít nh t m t trong hai bao ch a ít nh t 20 viên k/o. Gi i G i là bi n ng u nhiên ch s k/o trong bao. a/ Xác su t ñ bao ñư c ch n ng u nhiên có t 19 ñ n 21 viên k/o: ≤ b/ Đ t ≤ )+ ( = )+ ( t 20 viên k/o” ( ) = + = : “Bao ch a ít nh ( = = + Xác su t ñ ít nh t m t trong hai bao ch a ít nh t 20 viên k/o: 32 )= = Bài t p Xác su t th ng kê ( )= + Di p Hoàng Ân ( )+ ( )= () ( )+ ( )= 2.7. M t h p ñ ng 5 s n ph(m, trong ñó có hai ph ph(m. Ngư i ta l n lư t ki m tra t ng s n ph(m (không hoàn l i) cho ñ n khi g p hai ph ph(m thì d ng l i. Tìm lu t phân ph i xác su t cho s s n ph(m ñư c ki m tra. Tính s l n ki m tra trung bình. Gi i Goi là BNN ch s s s n ph(m ki m tra. ={ ñư c ph ph(m”.( = :“ l n ki m tra l n th ( = )= ( ( = )= = ( ( ) } )= ( ) ( )+ ( ( ) ( ) )= ) )+ ( ) ( ) ( )= Tương t ( = )= ( B ng phân ph i xác su t = )= : 2 3 4 5 ( ) S l n ki m tra trung bình: ( )= ∑ ( )= = = 2.8. M t ngư i ñi u khi n 3 máy t ñ ng ho t ñông ñ c l p v i nhau. Xác su t b h ng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n lư t là 0,1; 0,2 và 0,3. a/ L p b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t ñ ng t t trong m t ca s n xu t. b/ Sau s n xu t, ngư i ñi u khi n báo r"ng su t ca ch có m t máy ho t ñ ng t t. Tính xác su t ñ máy ho t ñ ng t t ñó là máy m t. Gi i a/ G i là BNN ch s máy ho t ñ ng t t trong 1 ca s n xu t. ={ Đ t “ máy th } b h ng trong 1 ca”. Suy ra, ( )= ( )= ( = )= ( ( )= )= ( ) ( ) ( )= 33 = Bài t p Xác su t th ng kê ( ( ( = = = Di p Hoàng Ân ( ) ( )+ + ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) )= ( ) ( ) ( )+ + ( ) ( ) ( )+ ( ) ( )= ( ) )= ( ( )= ) ( )= )= ( ) ( ) ( )= B ng phân ph i xác su t c a : 0 1 2 3 ( ) b/ Xác su t ñ máy ho t ñ ng t t ñó là máy m t, bi t r"ng su t ca ch có m t máy ho t ñ ng t t. ( = ( { )= ( }) = = ) = ( ( = )= = ) 2.9. M t ngư i ñi u khi n 3 máy t ñ ng ho t ñông ñ c l p v i nhau. Xác su t b h ng trong m t ca s n xu t c a máy 1,2 và 3 l n lư t là 0,1; 0,2 và 0,3. a/ L p b ng phân ph i xác su t cho s máy ho t ñ ng t t trong m t ca s n xu t. b/ Trung bình, trong m t ca, có bao nhiêu máy ho t ñ ng t t? Tính ñ l%ch chu(n c a s máy ho t ñ ng t t trong m t ca s n xu t. Gi i là BNN ch s máy ho t ñ ng t t trong 1 ca s n xu t. a/ G i ={ Đ t “ máy th b h ng trong 1 ca”. Suy ra, ( )= ( )= ( = )= ( ( ( ( = = = } ( )= )= ( ) ( ) ( )= )= ( ) ( ) ( )+ + ( ) ( ) ( )+ ( ) ( ) )= ( ) ( ) ( )+ + ( ) ( ) ( )+ ( ) ( )= ( = ( )= ) ( )= )= ( ) ( ) ( )= B ng phân ph i xác su t c a : 0 1 ( ) 34 2 3 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ Trung bình s máy ho t ñ ng t t trong m t ca: ( )= và ñ l%ch chu(n c a s máy ho t ñ ng t t trong m t ca s n xu t . σ( ) = 2.10. M t công ty có 3 t$ng ñ i lý. G i và theo th t là kh i lư ng hàng bán ñư c trong m t này c a 3 t$ng ñ i lý trên (tính b"ng t n). Bi t phân ph i xác su t c a các BNN và như sau: 5 ( = ) 6 = ) = 5 6 7 8 0,15 0,2 0,4 0,1 0,15 7 ( 8 0,1 0,3 0,4 0,2 4 ( 7 8 9 10 0,2 0,3 0,4 0,1 ) Tính kh i lư ng hàng hóa bán ñư c trung bình trong m t tháng (30 ngày) c a công ty trên. Gi i Trung bình kh i lư ng hàng hóa C bán ñư c trong 1 tháng. ( )= ∑ ( = )= = Trung bình kh i lư ng hàng hóa ( )= ∑ ( = bán ñư c trong 1 tháng. )= = Trung bình kh i lư ng hàng hóa ( )= ∑ ( = bán ñư c trong 1 tháng. )= = Nên kh i lư ng hàng hóa bán ñư c trung bình trong 1 tháng c a công ty là ( )+ ( )+ ( ) = 2.11. Ti n hành kh o sát s khách trên m t chuy n xe buýt (SK/1C) t i m t chuy n giao thông, ngư i ta thu ñư c s liêu sau: SK/1C 25 30 35 40 45 Xác su t 0,15 0,2 0,3 0,25 0,1 a/ Tính kỳ v ng và ñ l%ch chu(n c a SK/1C. b/ Gi s# chi phí cho m i chuy n xe buýt là 200 ngàn ñ ng, không ph, thu c vào s khách ñi trên xe, th2 công ty ph i quy ñ nh giá vé là bao nhiêu ñ có th thu ñư c s ti n l i trung bình cho m i chuy n xe là 100 ngàn ñ ng? 35 Bài t p Xác su t th ng kê Gi i G i Di p Hoàng Ân ={ là BNN ch s khách trên m t chuy n xe. ( )= a/ Kỳ v ng c a SK/1C: Đ l%ch chu(n c a SK/1C.: σ ( b/ G i } )= ( )− ( ) ( )= = là BNN ch s ti n l i cho m i chuy n xe. = − trong ñó, (ñ ng) là s ti n quy ñ nh giá vé. Yêu c u bài toán, ( ) = ( − )= ( )= ⇔ ⇔ ≈ . V y, công ty ph i quy ñ nh giá vé là 8,6 ñ ng. 2.12. M t ngư i tham gia trò chơi gieo 3 ñ ng ti n vô tư. Anh ta ñư c 500ñ n u xu t hi%n 3 m t s p, 300ñ n u xu t hi%n 2 m t s p, và 100ñ n u ch có m t m t s p xu t hi%n. M c khác, anh ta m t 900ñ n u xu t hi%n 3 m t ng a. Trò chơi này có công băng v i ngư i này không? ( Trò chơi ñư c g i là công b"ng ñ i v i ngư i chơi n u tham gia chơi nhi u l n thì trung bình anh ta hòa v n). Gi i là bi n ng u nhiên ch s ti n nh n ñư c khi tham gia trò chơi G i = {− Đ t :”Gieo l n th ( =− ( = xu t hi%n m t s p” ∈ { ( )= )= ( ( = Tương t , } } )= ( ) ( ) ( )= )+ ( )+ ( )= )= = = = B ng phân ph i xác su t c a -900 100 300 500 ( ) Và ( )= nên m i l n chơi anh ta th ng ñư c 100ñ. V y trò chơi không công b"ng. 2.13. M t ngư i tham gia trò chơi sau: Gieo m t con xúc x c vô tư ba l n ñ c l p nhau. N u xu t hiên “ m t 1” c 3 l n thì ñư c thư'ng 6 ngàn ñ ng; n u xu t hi%n “ m t 1” 2 l n thì ñư c thư'ng 4 ngàn ñ ng; xu t hi%n “m t 1” 1 l n thì ñư c thư'n 2 ngàn ñ ng; khi không có “m t 1” nào xu t hi%n thì không ñư c thư'ng. M i l n tham gia trò chơi, ngư i chơi ph i ñóng ngàn ñ ng. Hãy ñ nh ñ trò chơi công b"ng. 36 Bài t p Xác su t th ng kê Gi i G i Di p Hoàng Ân là BNN ch s ti n còn l i sau m i l n tham gia trò chơi. ={ − − − } ; = Ta có = = − − = = = ; = = − = = = B ng phân ph i xác su t c a − − − ( ) và ( )= ( − Trò chơi công b"ng ). ( )= ⇔ − = ⇔ = . V y, m i l n chơi ngư i tham gia ñóng 1 ngàn ñ ng thì trò chơi công b"ng. 2.14. Theo th ng kê dân s , xác su t ñ m t ngư i ' ñ tu$i 40 s+ s ng thêm 1 năm n a là 0,995. M t công ty b o hi m nhân th bán b o hi m m t năm cho nh ng ngư i ' ñ tu$i ñó là 10 ngàn, và trong trư ng h p ngư i mua b o hi m b ch t thì s ti n b i thư ng là 1 tri%u. H i l i nhu n trung bình c a công ty khi bán m i th b o hi m là boa nhiêu? Gi i G i là BNN ch l i nhu n c a công ty khi bán m i th b o hi m. = {− } B ng phân ph i xác su t c a − ( ) và ( )= . V y, trung bình công ty l i 5 ngàn ñ ng khi bán 1 th b o hi m. 2.15. S lư ng xe ô tô mà m t ñ i lý bán ñư c trong m t tu n là m t BNN có phân ph i xác su t như sau: S xe bán ñư c 0 1 2 3 4 5 Xác su t tương ng 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 a/ Tính xác su t ñ ñ i lý ñó bán ñư c nhi u nh t 3 xe trong m t tu n. Tính kỳ v ng và phương sai c a s xe mà ñ i lý bán ñư c trong m t năm. 37 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b/ Gi s# chi phí cho ho t ñ ng c a ñ i lý b"ng căn b c hai c a s xe bán ñư c v i 5 (tri%u ñ ng). Tìm chi phí cho ho t ñ ng trung bình cho ho t ñ ng c a ñ i lý trong m t tu n. G i X là BNN s xe bán ra trong 1 tu n. a/ Xác su t ñ ñ i lý ñó bán ñư c nhi u nh t 3 xe trong m t tu n P ( X ≤ 3) = 1 − P ( X = 4 ) − P ( X = 5 ) = 0, 6 Kỳ v ng và phương sai c a s xe mà ñ i lý bán ñư c trong m t năm. E ( X ) = 2,8; D ( X ) = 2,16 b/ G i là chi phí cho ho t ñ ng c a ñ i lý trong 1 tu n Y = X +5 Nên chi phí cho ho t ñ ng trung bình cho ho t ñ ng c a ñ i lý trong m t tu n E (Y ) = E ( X ) + 5 = 6,55 2.16. 2 x , x ∈ [ 0;1] 0 , x ∉ [ 0;1] Cho hàm f ( x) =  a/ Ch ng t f ( x ) là hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t,c X . b/ Tìm hàm phân ph i xác su t F ( x ) c a X 1   c/ Tính xác su t P  0 < X <  . 2  Gi i +∞ a/ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ và 1 ∫ f ( x)dx = ∫ 2 xdx =x 2 −∞ 0 1 = 1 . Do ñó, f ( x ) là hàm m t ñ xác 0 su t c a m t bi n ng u nhiên liên t,c X . x b/ F ( x ) = ∫ −∞   0 , x ≤ 0  f (t )dt =  x 2 , 0 < x ≤ 1 1 , x > 1  1 1 2 1 c/ P  0 < X <  = ∫ 2 xdx = . 2 4  0 2.17. 2 , x >1  Cho hàm f ( x) =  x3 0 , x ≤ 1 a/ Ch ng t f ( x ) là hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t,c X b/ Tìm hàm phân ph i xác su t F ( x ) c a X . c/ Tính xác su t P ( 0 < X < 3) Gi i 38 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân  1 b 2 dx = − 2 lim  2  = 1 . Do ñó, f ( x ) là 3 b →+∞ 2 x 1 x 1   −∞ hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t,c X . , x ≤1 0 x  1  b/ F ( x ) = ∫ f (t )dt = 1 − 2 ,1 < x < +∞ −∞  x , x = +∞ 1 +∞ a/ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ∫ và 3 +∞ f ( x)dx = ∫ 8 9 c/ P ( 0 < X < 3) = ∫ f ( x)dx = . 0 2.18. a , x >1  Cho hàm f ( x) =  x3 ( a là h"ng s ) 0 , x ≤ 1 a/ Tìm a ñ f ( x ) là hàm m t ñ xác su t c a m t bi n ng u nhiên liên t,c X b/ Tìm hàm phân ph i xác su t F ( x ) c a X . Gi i a/ ∀x ∈ R, f ( x) ≥ 0 ⇔ a ≥ 0 và  1 b a a dx = − a lim   = . Do ñó, f ( x ) là hàm m t ñ xác su t c a ∫ b →+∞ 2 x 2 1 x3   2 1 −∞ a ≥ 0  m t bi n ng u nhiên liên t,c X khi và ch khi  a ⇔a=2 .  2 = 1 , x ≤1 0 x  1  b/ F ( x ) = ∫ f (t )dt = 1 − 2 ,1 < x < +∞ −∞  x , x = +∞ 1 +∞ +∞ f ( x)dx = ∫ 2.19. Cho X là bi n ng u nhiên liên t,c có hàm m t ñ 2 x , x ∈ [ 0;1] f ( x) =  0 , x ∉ [ 0;1] Tìm kỳ v ng và phương sai c a X . Gi i +∞ E(X ) = 1 2 ∫ xf ( x)dx = ∫ 2 x dx = 3 2 −∞ +∞ ( ) ∫ E X2 = −∞ 0 1 x 2 f ( x)dx = ∫ 2 x3dx = 0 1 2 do ñó, 39 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 2 ( ) D ( X ) = E X 2 − ( E ( X )) = 1 4 1 − = 2 9 18 2.20. Cho X là bi n ng u nhiên liên t,c có hàm m t ñ 3 x 2 , x ∈ [ 0;1] f ( x) =  0 , x ∉ [ 0;1] Tìm kỳ v ng và phương sai c a X . Gi i 1 +∞ E(X ) = 3 ∫ xf ( x)dx =∫ 3x dx = 4 2 0 −∞ +∞ ( ) ∫ E X2 = 1 x 2 f ( x)dx = ∫ 3x 4 dx = −∞ 0 3 5 do ñó, ( ) 2 D ( X ) = E X 2 − ( E ( X )) = 3 9 3 . − = 5 16 80 40 Bài t p Xác su t th ng kê Chương 3: M T S Di p Hoàng Ân PHÂN PH I THƯ NG DÙNG 3.1. M t ki%n hàng có 10 s n ph(m, trong ñó có 8 s n ph(m lo i A. L y ng u nhiên 2 s n ph(m. Đ t X là bi n ng u nhiên ch s s n ph(m lo i A có trong các s n ph(m l y ra. Tìm lu t phân ph i xác su t c a X . Tính E ( X ) , D ( X ) . Gi i G i X là BNN ch s s n ph(m lo i A trong các s n ph(m l y ra l n th nh t. Im X = {0;1; 2} Ta có X ~ H (10;8; 2 ) C8k .C2k − 2 M ta có P ( X = k ) = ; p= = 0,8 2 C10 N Nên E ( X ) = np = 1,6; D ( X ) = np (1 − p ) N − n 64 = . N − 1 225 3.2. Có 2 ki%n hàng, ki%n th nh t và ki%n th 2. Bi t r"ng, ki%n th hai có 8 s n ph(m, trong ñó có 5 s n ph(m lo i A. L n ñ u, l y ng u nhiên 2 s n ph(m ' ki%n th nh t b vào ki%n th hai, sau ñó l y ng u nhiên t ki%n th hai ra 2 s n ph(m. Đ t X và Y l n lư t là bi n ng u nhiên ch s s n ph(m lo i A có trong các s n ph(m l y ra ' l n th nh t và l n th hai. Bi t r"ng b ng phân ph i xác su t c a 0 1 2 ( ) Tìm lu t phân ph i xác su t c a Y ; tính E (Y ) và D (Y ) . Bài gi i G i Y là BNN ch s s n ph(m lo i A trong các s n ph(m l y ra l n th hai. Im Y = {0;1; 2} Ta th y P ( X = 0 ) = 1 16 28 ; P ( X = 1) = ; P ( X = 2 ) = 45 45 45 Trong ñó, P (Y = 0 | X = 0 ) = C50 .C52 10 6 3 = P Y = X = = P Y = X = = ; 0 | 1 ; 0 | 2 ( ) ( ) C102 45 45 45 M t khác 41 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân P (Y = 0 ) = P ( X = 0 ) .P (Y = 0 | X = 0 ) + P ( X = 1) .P (Y = 0 | X = 1) + P ( X = 2 ) .P ( Y = 0 | X = 2 ) = Tương t P (Y = 1) = 997 838 ; P (Y = 2 ) = . 2025 2025 B ng phân ph i xác su t c a Y Y 0 190 2025 P (Y ) Nên E (Y ) = 190 2025 1 997 2025 2 838 2025 2673 = 1,32; D ( X ) = 0, 40525. 2025 3.3. M t ki%n hàng ch a 8 s n ph(m, trong ñó có 3 s n ph(m x u và 5 s n ph(m t t. L y ng u nhiên t ki%n hàng ra 4 s n ph(m (không hoàn l i). a/ Hãy l p b ng phân ph i xác su t cho s s n ph(m x u có trong 4 s n ph(m l y ra, và tính xác su t ñ trong ñó có ít nh t 2 s n ph(m t t. b/ Đem 4 s n ph(m v a l y ra ñi bán. Bi t r"ng bán m t s n ph(m t t ñư c l i 50 ngàn ñ ng, và bán m t s n ph(m x u b l 15 ngàn ñ ng. Tính l i nhu n thu ñư c trung bình và ñ l%ch chu(n c a l i nhu n khi bán 4 s n ph(m trên. Gi i a/ G i X là BNN ch s s n ph(m x u có trong 4 s n ph(m l y ra. Im X = {0;1; 2;3} C30 .C54 1 C31.C53 6 C32 .C52 6 P ( X = 0) = = ; P ( X = 1) = = ; P ( X = 2) = = ; 14 14 14 C84 C84 C84 C33 .C51 1 P ( X = 3) = = 14 C84 B ng phân ph i xác su t c a X X P( X ) 0 1 14 1 6 14 2 6 14 3 1 14 Xác su t ñ có ít nh t 2 s n ph(m t t: P ( X ≤ 2 ) = 1 − P ( X = 3) = 13 . 14 b/ G i Y là BNN ch l i nhu n thu ñư c khi bán 4 s n ph(m. Y = 200 − 65 X khi ñó E ( X ) = 6 6 1 15 2 + 2. + 3. = 1,5; D ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) = 14 14 14 28 42 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân E (Y ) = E ( 200 − 65 X ) = 200 − 65 E ( X ) = 102,5 và σ (Y ) = D (Y ) = D ( 200 − 65 X ) = 65 D ( X ) = 47,5735 3.4. M t lô hàng có r t nhi u s n ph(m, v i t l% hàng gi là 30%. a/ L y ng u nhiên t lô hàng ra 10 s n ph(m, tính xác su t ñ có nhi u nh t 2 s n ph(m gi . b/ Ngư i ta l y ng u nhiên ra t ng s n ph(m m t ñ ki m tra cho ñ n khi nào g p s n ph(m gi thì d ng. Tìm lu t phân ph i xác su t và tính kỳ v ng c a s s n ph(m th t ñã ki m tra Gi i G i p là xác su t ch hàng gi trong 1 lô hàng nên p = 0,3 . a/ G i X là BNN ch s s n ph(m gi . X B (10;0,3) Xác su t ñ có nhi u nh t 2 s n ph(m gi P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) = 0,710 + 0,3.0,79 + 0,32.0,78 = 0,0455 b/ G i Y1 là BNN ch s s n ph(m th t ñã ki m tra. Ta có Im Y1 = {0;1; 2;...} Ta th y P (Y1 = 0 ) = 0,3; P (Y1 = 1) = 0, 7.0,3 theo quy n p P (Y1 = n ) = 0,7 n.0,3 . Nên kỳ v ng c a s s n ph(m th t ñã ki m tra: +∞ +∞ E (Y1 ) = ∑ n.P (Y1 = n ) = 0, 7.0,3∑ n.0, 7 n −1 = 0, 21. n =0 n =1 1 (1 − 0,7 ) 2 = 7 3 3.5. M t lô hàng có r t nhi u s n ph(m, v i t l% hàng gi là 30%. a/ L y ng u nhiên t lô hàng ra 10 s n ph(m, tính xác su t ñ có nhi u nh t 2 s n ph(m gi . b/ Ngư i ta l y ng u nhiên ra t ng s n ph(m m t ñ ki m tra cho ñ n khi nào g p s n ph(m gi thì d ng. Tìm lu t phân ph i xác su t và tính kỳ v ng c a s s n ph(m ñã ki m tra. Gi i G i p là xác su t ch hàng gi trong 1 lô hàng nên p = 0,3 . a/ G i X là BNN ch s s n ph(m gi . X B (10;0,3) Xác su t ñ có nhi u nh t 2 s n ph(m gi 43 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1) + P ( X = 2 ) = 0,710 + 0,3.0,79 + 0,32.0,78 = 0,0455 b/ G i Y2 là BNN ch s s n ph(m ñã ki m tra. Ta có Im Y2 = {1; 2;3;...} P (Y2 = 1) = 0,3; P (Y2 = 2 ) = 0,7.0,3 theo quy n p P (Y2 = n ) = 0,7 n−1.0,3 . Nên kỳ v ng c a s s n ph(m ñã ki m tra: +∞ n =1 1 +∞ E (Y2 ) = ∑ n.P (Y2 = n ) = ∑ n.0, 7 n −1.0,3 = 0,3. n =1 (1 − 0,7 ) 2 = 10 3 3.6. M t khách hàng mua xe t i m t ñ i lý, n u xe có s c k4 thu t thì ñư c quy n tr xe trong vòng 3 ngày sau khi mua và ñư c l y l i nguyên s ti n mau xe. M i chi c xe b tr l i như th làm thi%t h i cho ñ i lý 250 ngàn VNĐ. Có 50 xe ñư c bán ra. Xác su t ñ m t xe b tr l i là 0,1. a/ Tìm kỳ vong và phương sai c a s xe b tr . Tính xác xu t ñ có nhi u nh t 2 xe b tr l i. b/ Tìm kỳ v ng và ñ l%ch chu(n c a t$ng thi%t h i mà t$ng ñ i lý ph i ch u do vi%c tr l i xe. Gi i G i p là xác su t ñ m t xe b tr l i. Nên p = 0,1 . G i X là BNN ch s xe b tr l i. X B ( 50;0,1) ta th y ( n = 50 > 30; n. p = 5 ≤ 5; npq = 4,5 ≤ 5 ) nên X Po ( 5 ) Suy ra E ( X ) = np = 5; D ( X ) = np (1 − p ) = 4,5. Xác su t nhi u nh t 2 xe b tr l i: P ( X ≤ 2 ) = Po( 0 ) (5) + Po(1) (5) + Po( 2) (5) = 0,1246 b/ G i Y là BNN ch t$ng thi%t h i c a ñ i lý ph i ch u do vi%c tr l i xe. Y = 250 X suy ra E (Y ) = E ( 250 X ) = 250 E ( X ) = 1250 và σ (Y ) = D (Y ) = D ( 250 X ) = 250 D ( X ) = 530,330 3.7. M t thí sinh tên M tham d m t kỳ thi môn XSTK . M ph i làm m t ñ thi tr c nghi%m khách quan g m 10 câu; m i câu có 4 l i Gi i khác nhau, trong ñó ch có m t l i Gi i ñúng. M s+ ñư c ch m ñ u n u tr l i ñúng ít nh t 6 câu. (a) Gi s# M không h c bài, mà ch ch n ng u nhiên l i Gi i trong c 10 câu. Tính xác su t ñ M thi ñ u. (b) Gi s M ch c ch n tr l i ñúng ñư c 2 câu; còn các câu khác, M ch n ng u nhiên m t trong 4 l i Gi i c a m i câu. Tính xác su t ñ M thi r t. 44 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi i G i p là xác su t ñ M tr l i ñúng m t câu h i. Nên p = 0, 25 . G i X là BNN ch s câu tr l i ñúng trong 10 câu. X B (10;0, 25 ) . Đ t A :”M thi ñ u” P ( A) = P ( X ≥ 6 ) = P ( X = 6 ) + P ( X = 7 ) + + P ( X = 8 ) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 ) = 0, 0197 b/ M ch c ch n tr l i dung 2 câu, mà các câu ñư c ñ c l p nhau và xác su t tr l i dung m i câu là 0,25. Do ñó, Xác su t ñ M r t trong trư ng h p tr l i ñúng 2 câu có nghĩa là ta tính xác su t ñ M r t tro G i Y là BNN ch s câu tr l i ñúng trong 8 câu. Y B ( 8;0, 25 ) . Đ t R :” M thi r t” P ( R ) = P (Y ≤ 3) = P (Y = 0 ) + P (Y = 1) + P (Y = 2 ) + P (Y = 3) = C80 0, 250 0, 758 + ... + C83 0, 2530, 755 = 0,8862. 3.8. M t thí sinh M tham d m t kỳ . M ph i làm m t ñ thi tr c nghi%m khách quan g m 10 câu; m i câu có 4 l i Gi i khác nhau, trong ñó ch có m t l i Gi i ñúng. M s+ ñư c ch m ñ u n u tr l i ñúng ít nh t 6 câu. a/ Gi s# M không h c bài, mà ch ch n ng u nhiên l i Gi i trong c 10 câu. Tính xác su t ñ M thi ñ u. b/ H i M ph i d thi ít nh t m y l n ñ xác su t có ít nh t m t l n thi ñ u không nh hơn 97%? Gi i a/ G i p là xác su t ñ M tr l i ñúng m t câu h i. Nên p = 0, 25 . G i X là BNN ch s câu tr l i ñúng trong 10 câu. X B (10;0, 25 ) . Đ t A :”M thi ñ u” P ( A) = P ( X ≥ 6 ) = P ( X = 6 ) + P ( X = 7 ) + + P ( X = 8 ) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 ) = 0, 0197 b/ G i n là s l n d thi c a M. Và B :“ít nh t m t l n ñ u” n P ( B ) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − (1 − 0,0197 ) ≥ 0,97 ⇔ n ≥ 176, 238 V y, M ph i thi th# 177 l n. 3.9. Nhà máy d%t mu n tuy n d,ng ngư i bi t rành v m t lo i s i. Nhà máy th# thách ngư i d tuy n 7 l n. M i l n nhà máy ñem ra 4 s i gi ng nhau, trong ñó ch có m t s i th t và yêu c u ngư i này ch n ra s i th t. N u ch n ñúng ít 45 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân nh t 6 l n thì ñư c tuy n d,ng. M t ngư i ñ n xin tuy n d,ng nói: "Ch c n nhìn qua là có th phân bi%t s i th t hay gi v i xác su t 80% ". a/ N u ngư i này nói ñúng kh năng c a mình thì xác su t ñư c tuy n d,ng là bao nhiêu? b/ Tính xác su t ñ ñư c tuy n d,ng trong trư ng h p, th t ra, ngư i này không bi t gì v s i c . Gi i a/ G i B :” năng l c nh n ra s i th t c a ngư i d tuy n” suy ra P ( B ) = 0,8 . G i X là BNN ch s s i th t trong 7 l n th . X B ( 7;0,8 ) . Đ t A :”Ngư i này ñư c ch n” P ( A) = P ( X = 6 ) + P ( X = 7 ) = C76 .0,86.0, 2 + C77 .0,87 = 0,5767 b/ G i p là xác su t ch n ñư c s i th t trong m t l n th# (không bi t gì v s i). p = 0, 25 . Khi ñó X B ( 7;0, 25 ) Đ t A :”Ngư i này ñư c ch n” P ( A) = P ( X = 6 ) + P ( X = 7 ) = C76 .0, 256.0, 75 + C77 .0, 257 = 0,0014. 3.10. T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c. a/ L y 3 chai ' lô A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng có trong 3 chai. Tính xác su t ñ có 2 chai h ng; có ít nh t 1 chai h ng. b/ Ph i l y bao nhiêu chai (' lô A) ñ xác su t có ít nh t m t chai h ng không nh hơn 94% ? Gi i a/ G i X là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô A. Im X = {0;1; 2;3} Và X B ( 3;0,1) v i P ( X = k ) = C3k 0,1k.0,93− k (k ∈ {0,1, 2,3}) B ng phân ph i xác su t c a X : 0 X P ( X ) 0,729 1 2 0, 243 0,027 3 0,001 Xác su t ñ có 2 chai h ng: P ( X = 2 ) = 0,027 và xác su t có ít nh t 1 chai h ng P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 0, 271 . b/ G i n là s chai l y ra. Ta có X B ( n;0,1) 1 − P ( X = 0 ) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n ⇔ n ≥ 26,7 46 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Do ñó, ít nh t l y 27 chai. 3.11. T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c. a/ L y 3 chai ' lô A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng có trong 3 chai. Tính xác su t ñ có 2 chai h ng; có ít nh t 1 chai h ng. b/ Ch n ng u nhiên 1 trong 3 lô r i l y t lô ñó ra 3 chai. Tính xác su t ñ có ít nh t 1 chai h ng. Gi i a/ G i X là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô A. Im X = {0;1; 2;3} Và X ~ B ( 3;0,1) v i P ( X = k ) = C3k 0,1k.0,93− k (k ∈ {0,1, 2,3}) B ng phân ph i xác su t c a X : 0 X P ( X ) 0,729 1 2 0, 243 0,027 3 0,001 Xác su t ñ có 2 chai h ng: P ( X = 2 ) = 0,027 và xác su t có ít nh t 1 chai h ng P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 0, 271 . b/ Ta có X i là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô i v i i ∈ {1; 2;3} 1 Đ t H i :”lô i ñư c ch n” i ∈ {1; 2;3} ⇒ P ( H i ) = . và 3 Đ t H :” ít nh t 1 chai h ng trong 3 chai l y ra” 3 1 P ( H ) = ∑ P ( H i ) .P ( H | H i ) =  P ( X 1 ≥ 1) + P ( X 2 ≥ 1) + P ( X 3 ≥ 1)  3 i =1 1 = 3 − P ( X 1 = 0 ) − P ( X 2 = 0 ) + P ( X 3 = 0 )  3 1 = 1 − ( 0,93 + 0,923 + 0,853 ) = 0, 2927 3 3.12. T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c. L y ' m i lô m t chai. Tìm phân ph i xác su t r i tính kỳ v ng và phương sai c a s chai h ng trong 3 chai l y ra. Gi i G i Y là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra. 47 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Im X = {0;1; 2;3} P (Y = 0 ) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 7038 P (Y = 1) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 1) + + P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 1) .P ( X 3 = 0 ) + P ( X 1 = 1) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 2636 Tương t P (Y = 2 ) = 0,0314; P (Y = 3) = 0,0012 0 1 2 3 Y P (Y ) 0,7038 0, 2636 0,0314 0,0012 Suy ra E (Y ) = 0, 2636 + 2.0,0314 + 3.0,0012 = 0,33 2 và D (Y ) = E (Y 2 ) − E (Y ) = ( 0, 2636 + 4.0, 0314 + 9.0,0012 ) − 0,332 = 0, 2911. 3.13. T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c. a/ L y ' m i lô m t chai. Tìm phân ph i xác su t c a s chai h ng trong 3 chai l y ra. b/ M t c#a hàng nh n v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô C r i ñ l n l n. M t ngư i ñ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t ñ ñư c chai t t. Gi i a/ G i Y là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra. Im X = {0;1; 2;3} P (Y = 0 ) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 7038 P (Y = 1) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 1) + + P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 1) .P ( X 3 = 0 ) + P ( X 1 = 1) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 2636 Tương t P (Y = 2 ) = 0,0314; P (Y = 3) = 0,0012 0 1 2 3 Y P (Y ) 0,7038 0, 2636 0,0314 0,0012 b/ Đ t A :” Ch n 1 chai h ng” P ( A ) = P ( H1 ) P ( A | H1 ) + P ( H 2 ) P ( A | H 2 ) + P ( H 3 ) P ( A | H 3 ) = 500 1 300 1 200 1 .C500 .0,1.0,9499 + .C300 .0,08.0,92299 + .C200 .0,15.0,85199 = 0,104 1000 1000 1000 Do ñó xác su t ñư c 1 chai t t: = ( ) P A = 1 − P ( A ) = 0,896 48 Bài t p Xác su t th ng kê 3.14. Di p Hoàng Ân T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c. a/ Ch n ng u nhiên 1 trong 3 lô r i l y t lô ñó ra 3 chai. Tính xác su t ñ có ít nh t 1 chai h ng. b/ M t c#a hàng nh n v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô C r i ñ l n l n. M t ngư i ñ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t ñ ñư c chai t t. Gi i 1 a/ Đ t H i :”lô i ñư c ch n” i ∈ {1; 2;3} ⇒ P ( H i ) = . và 3 Đ t H :” ít nh t 1 chai h ng trong 3 chai l y ra” 3 1 P ( H ) = ∑ P ( H i ) .P ( H | H i ) =  P ( X 1 ≥ 1) + P ( X 2 ≥ 1) + P ( X 3 ≥ 1)  3 i =1 1 = 3 − P ( X 1 = 0 ) − P ( X 2 = 0 ) + P ( X 3 = 0 )  3 1 = 1 − ( 0,93 + 0,923 + 0,853 ) = 0, 2927 3 Trong ñó X i là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô i v i i ∈ {1; 2;3} b/ Đ t A :” Ch n 1 chai h ng” P ( A ) = P ( H1 ) P ( A | H1 ) + P ( H 2 ) P ( A | H 2 ) + P ( H 3 ) P ( A | H 3 ) 500 1 300 1 200 1 .C500 .0,1.0,9499 + .C300 .0,08.0,92299 + .C200 .0,15.0,85199 1000 1000 1000 = 0,104 = Do ñó xác su t ñư c 1 chai t t: ( ) P A = 1 − P ( A ) = 0,896 3.15. T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c. a/ L y 3 chai ' lô A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng có trong 3 chai. Tính xác su t ñ có 2 chai h ng; có ít nh t 1 chai h ng. Ph i l y bao nhiêu chai (' lô A) ñ xác su t có ít nh t m t chai h ng không nh hơn 94% ? b/ M t c#a hàng nh n v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô C r i ñ l n l n. M t ngư i ñ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t ñ ñư c chai t t. 49 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi i a/ G i X là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô A. Im X = {0;1; 2;3} Và X B ( 3;0,1) v i P ( X = k ) = C3k 0,1k.0,93− k (k ∈ {0,1, 2,3}) B ng phân ph i xác su t c a X : 0 X P ( X ) 0,729 1 2 0, 243 0,027 3 0,001 Xác su t ñ có 2 chai h ng: P ( X = 2 ) = 0,027 và xác su t có ít nh t 1 chai h ng P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 0, 271 . G i n là s chai l y ra. Ta có X B ( n;0,1) 1 − P ( X = 0 ) ≥ 0,94 ⇔ 0,06 ≥ 0,9n ⇔ n ≥ 26,7 Do ñó, ít nh t l y 27 chai. b/ Đ t A :” Ch n 1 chai h ng” P ( A ) = P ( H1 ) P ( A | H1 ) + P ( H 2 ) P ( A | H 2 ) + P ( H 3 ) P ( A | H 3 ) 500 1 300 1 200 1 .C500 .0,1.0,9499 + .C300 .0,08.0,92299 + .C200 .0,15.0,85199 1000 1000 1000 = 0,104 = Do ñó xác su t ñư c 1 chai t t: ( ) P A = 1 − P ( A ) = 0,896 3.16. T l% thu c h ng ' lô A là PA = 0,1 ' lô B là PB = 0,08 và ' lô C là PC = 0,15 . Gi s# m i lô có r t nhi u chai thu c. a/ L y 3 chai ' lô A. Tìm lu t phân ph i xác su t c a s chai h ng có trong 3 chai. Tính xác su t ñ có 2 chai h ng; có ít nh t 1 chai h ng. b/ L y ' m i lô m t chai. Tìm phân ph i xác su t c a s chai h ng trong 3 chai l y ra. c/ M t c#a hàng nh n v 500 chai ' lô A, 300 chai ' lô B và 200 chai ' lô C r i ñ l n l n. M t ngư i ñ n mua 1 chai v dùng. Tính xác su t ñ ñư c chai t t. Gi i a/ G i X là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra ' lô A. Im X = {0;1; 2;3} Và X ~ B ( 3;0,1) v i P ( X = k ) = C3k 0,1k.0,93− k (k ∈ {0,1, 2,3}) 50 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân B ng phân ph i xác su t c a X : 0 X P ( X ) 0,729 1 2 0, 243 0,027 3 0,001 Xác su t ñ có 2 chai h ng: P ( X = 2 ) = 0,027 và xác su t có ít nh t 1 chai h ng P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 0, 271 . b/ G i Y là BNN ch s chai h ng có trong 3 chai l y ra. Im X = {0;1; 2;3} P (Y = 0 ) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 7038 P (Y = 1) = P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 1) + + P ( X 1 = 0 ) .P ( X 2 = 1) .P ( X 3 = 0 ) + P ( X 1 = 1) .P ( X 2 = 0 ) .P ( X 3 = 0 ) = 0, 2636 Tương t P (Y = 2 ) = 0,0314; P (Y = 3) = 0,0012 0 1 2 3 Y P (Y ) 0,7038 0, 2636 0,0314 0,0012 c/ Đ t A :” Ch n 1 chai h ng” P ( A ) = P ( H1 ) P ( A | H1 ) + P ( H 2 ) P ( A | H 2 ) + P ( H 3 ) P ( A | H 3 ) 500 1 300 1 200 1 .C500 .0,1.0,9499 + .C300 .0,08.0,92299 + .C200 .0,15.0,85199 1000 1000 1000 = 0,104 = Do ñó xác su t ñư c 1 chai t t: ( ) P A = 1 − P ( A ) = 0,896 3.17. Gi s# ngày sinh c a ngư i dân trong m t thành ph l n có th rơi ng u nhiên vào m t ngày b t kỳ trong m t năm (365) ngày. Ch n ng u nhiên 1095 ngư i trong thành ph ñó. Tính xác su t ñ : a/ Có hai ngư i có cùng ngày sinh ñã cho. b/ Có không quá 7 ngư i có cùng ngày sinh ñã cho. Gi i G i X là BNN ch s ngư i có cùng ngày sinh trong 1095 ngư i . 1   X ~ B 1095;  365   a/ Xác su t ñ có 2 ngư i có cùng ngày sinh ñã cho: 51 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 2 1093 1   1   364   2 P ( X = 2 ) = C1095     ≈ Po2  1095.  = Po2 ( 3) =0, 2565 365   365   365   b/ Xác su t ñ có không quá 7 ngư i có cùng ngày sinh ñã cho: P ( X ≤ 7 ) = Po0 ( 3) + Po1 ( 3) + Po2 ( 3) + Po3 ( 3) + Po4 ( 3) + Po5 ( 3) + Po6 ( 3) + Po7 ( 3) = 0,988 3.18. M t tr m bưu ñi%n chuy n ñi%n trong kho ng th i gian 10-5 giây. Trong quá trình tránh ñi%n có các ti ng n ng u nhiên. S tín hi%u n ng u nhiên trong 1 giây là 104 . n u trong th i gian truy n tín hi%u có dù cjir m t tín hi%u n ng u nhiên thì tr m s+ ng ng làm vi%c. tính xác su t ñ cho vi%c truy n tính hi%u b gián ño n. bi t r"ng s tín hi%u n ng u nhiên rơi vào trong kho ng th i gian truy n tín hi%u là bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i poison. Gi i G i X là BNN ch s các tín hi%u n trong kho ng th i gian 10−5 truy n tin. X ~ Po (104.10−5 ) ⇔ X ~ Po ( 0,1) Trong ñó, s tín hi%u n trong kho ng th i gian 10−5 giây truy n tin là 104.10−5 = 0,1 . Do ñó, xác su t vi%c truy n tin b gián ño n P ( X ≥ 1) = 1 − P ( X = 0 ) = 1 − e −0,1 ( 0,1) 0 = 0, 0952 0! 3.19. S l i trên 1 mét vuông v i là m t bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i poison. Ki m tra lô v i, ngư i ta th y 98% có l i. V y trung bình m i mét vuông v i có bao nhiêu l i? Gi i G i X là BNN ch s l i trên 1mét vuông v i X Po ( λ ) Lô v i th y có 98% l i P ( X ≥ 1) = 0,98 ⇔ 1 − P ( X = 0 ) = 0,98 ⇔ e −λ = 0, 02 ⇔ λ ≈ 3,9 V y, trung bình m i mét vuông v i có 3,9 l i. M t công nhân qu n lý 12 máy d%t. Các máy d%t ho t ñ ng ñ c l p 3.20. nhau, và xác su t ñ m i máy, trong ca làm vi%c, c n s chăm sóc c a công nhân (vi t t t là CCN) là 0,3. 52 (1,5ñ) Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân a/ Tính xác su t ñ , trong ca làm vi%c, có a1/ 4 máy CCN a2/ t 3 ñ n 7 máy CCN b/ Trung bình, trong ca làm vi%c, có bao nhiêu máy CCN? c/ Trong ca làm vi%c, tìm s máy CCN nhi u kh năng nh t; tính xác su t tương ng. Gi i. a/ G i X là BNN ch s máy CCN trong ca làm vi%c thì X ~ B (12;0,3) k P( X = k ) = C12 (0,3) k (0, 7)12 − k , k ∈ {0,1, 2,…,12} , k ∈ {0,1,2,…,12} a1/ Xác su t ph i tính: 4 P( X = 4) = C12 (0,3) 4 (0,7)8 = 0, 2311 b2/ Xác su t ph i tính: P(3 ≤ X ≤ 7) = 7 ∑ P( X = k ) k =3 = 0,2397 + 0,2311 + 0,1585 + 0,0792 + 0,0291 = 0,7376. b/ S máy CCN trung bình: E ( X ) = 12 × 0,3 = 3, 6 c/ S máy CCN nhi u kh năng nh t: Mod ( X ) = [13 × 0,3] = 3. Xác su t tương ng: P ( X = 3) = 0, 2397 . 3.21. Ngư i ta mu n l y m t s h t lúa t m t kho lúa có t l% h t lép là 0,2 ñ ki m tra. Bi t r"ng kho lúa có r t nhi u h t. a/ Ph i l y ít nh t bao nhiêu h t lúa ñ xác su t có ít nh t m t h t lép không bé hơn 95% ? b/ L y ng u nhiên 100 h t lúa, tính xác su t ñ trong ñó có 25 h t lép; có t 10 ñ n 40 h t lép. Gi i. a/ G i n là s h t lúa c n l y. Vì s h t lúa trong kho r t l n, nên các l n l y xem như ñ c l p. Xác su t ñ trong n h t lúa l y ra, không có h t lép nào là (0,8)n. Theo gi thi t: 53 Bài t p Xác su t th ng kê n Di p Hoàng Ân n 1 − ( 0,8 ) ≥ 0,95 ⇔ ( 0,8 ) ≤ 0, 05 ⇔ n ≥ ln (0,05) ln (0,8) V y, ph i l y ít nh t 14 h t lúa. b/ G i X là bi n ng u nhiên ch s h t lép trong m u thì X ~ B ( n, p ) , v i n = 100 và p = 0, 2 . Vì n > 30; n. p = 20 > 5 và n. (1 − p ) = 80 > 5 nên chúng ta có th áp d,ng các công th c g n ñúng DeMoivre − Laplace. (i) Xác su t ñ có 25 h t lép: 25 P( X = 25) = C100 (0, 2)25 (0,8)75 = 0,04388 (ii) Xác su t ñ có t 10 ñ n 40 h t lép:  40 − 100 × 0, 2   10 − 100 × 0, 2  − Φ P (10 ≤ X ≤ 40) ≈ Φ    100 × 0, 2 × 0,8   100 × 0, 2 × 0, 8      = Φ (5) − Φ (−2,5) = 1 − (1 − Φ (2,5)) = Φ (2,5) ⇒ P(10 ≤ X ≤ 40) ≈ 0,9938 3.22. C n xét nghi%m máu cho 5000 ngư i ñ tìm d u hi%u m t lo i b%nh B t i m t ñ a phương có t l% ngư i m c b%nh B theo th ng kê là 10%. Có 2 phương pháp: a/ Xét nghi%m t ng ngư i m t. b/ M i l n l y máu m t nhóm 10 ngư i tr n l n vào nhau r i xét nghi%m. N u k t qu âm tính thì thông qua, n u dương tính thì ph i làm thêm 10 xét nghi%m ñ xét nghi%m l i t ng ngư i m t trong nhóm. H i phương pháp nào có l i hơn, bi t r"ng m i xét nghi%m ñ u t n kém như nhau và kh năng m c b%nh c a m i ngư i ñ c l p nhau? Gi i. a/ N u dùng phương pháp (1) thì ph i th c hi%n 5000 xét nghi%m. b/ Bây gi chúng ta xem phương pháp (2): 10 Đ t X ch s nhóm có k t qu dương tính thì X ~ B (500; 1 − ( 0,9 ) ) Đ t Y ch s xét nghi%m theo phương pháp (2) thì Y = 500 + 10 X S xét nghi%m trung bình theo phương pháp (2) là: 10 E (Y ) = 500 + 10 E ( X ) = 500 + 5000(1 − ( 0,9 ) V y, áp d,ng theo phương pháp (2) có l i hơn. 54 ) ≈ 3757 . Bài t p Xác su t th ng kê 3.23. Di p Hoàng Ân M t cơ s' s n xu t, trung bình trong m t tu n, nh n ñư c 4 ñơn ñ t hàng. Bi t r"ng s ñơn ñ t hàng X mà cơ s' nh n ñư c trong m t tu n là m t BNN có phân ph i Poisson. Tính xác su t ñ cơ s' ñó a/ Nh n ñư c hơn 5 ñơn ñ t hàng trong m t tu n b/ Nh n ñư c 6 ñơn ñ t hàng trong hai tu n liên ti p Gi i. a/ X ~ Po ( 4 ) . Xác su t ph i tính: P ( X > 5 ) =1 − P ( X ≤ 5) 4k − 4 = 1 − ∑ e = 1 − 0,7851 = 0, 2149 k =0 k ! 5 b/ G i Y là BNN ch s ñơn ñ t hàng c a cơ s' trong hai tu n liên ti p thì Y ~ Po ( 8 ) . Xác su t ph i tính: P (Y = 6 ) = 86 − 8 e = 0,1221 6! 3.24. M t xe t i v n chuy n 1000 chai rư u vào kho. Xác su t ñ m i chai b v5 trong khi v n chuy n là 0,0035. Tính xác su t ñ sau khi v n chuy n, có 6 chai rư u b v5; có t 2 ñ n 8 chai rư u b v5. (gi s# r"ng s ki%n các chai rư u b v5 là ñ c l p nhau, do ch t lư ng riêng c a m i chai) Gi i. G i X là BNN ch s chai rư u b v5 sau khi v n chuy n, thì X ~ B (1000; 0,0035 ) . Xác su t ñ có 6 chai rư u b v5: 6 P( X = 6) = C1000 (0,0035)6 (0,9965)994 = 0,07709 Tính g n ñúng: Vì n = 1000 và n. p = 3,5 < 5 , nên có th xem: X ~ Po ( 3,5 ) . Do ñó: P( X = 6) ≈ (3,5)6 −3,5 e = 0,0771 6! Xác su t ñ có t 2 ñ n 8 chai rư u b v5 (3,5)k −3,5 P(2 ≤ X ≤ 8) ≈ ∑ e = 0, 8543 k! k =2 8 55 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 3.25. Th i gian ñ s n xu t m t s n ph(m lo i A là m t BNN tuân theo lu t phân ph i chu(n v i các tham s µ = 10 và σ = 1 (ñơn v là phút) a/ Tính xác su t ñ m t s n ph(m lo i A nào ñó ñư c s n xu t trong kho ng th i gian t 9 phút ñ n 12 phút. b/ Tính th i gian c n thi t ñ s n xu t m t s n ph(m lo i A b t kỳ. Gi i. G i X là BNN ch th i gian d X ~ N (10;1) . s n xu t m t s n ph(m lo i A , a/ Xác su t ph i tính:  12 −10   9 −10  P (9 ≤ X ≤ 12) = Φ   − Φ   1   1  = Φ ( 2 ) – Φ ( −1) = Φ ( 2 ) + Φ (1) – 1 = 0,9772 + 0,8413 – 1 = 0,88185. b/ Theo qui t c 3σ, h u như ch c ch n X l y giá tr trong kho ng: [10 − 3 × 1; 10 + 3 ×1] = [7; 13] V y, th i gian c n thi t ñ s n xu t m t s n ph(m lo i A b t kỳ là t 7 phút ñ n 13 phút (h u như ch c ch n). 3.26. Cho bi n ng u nhiên X tuân theo lu t phân ph i N (µ, σ 2 ) . Bi t r"ng X l y giá tr nh hơn 60 v i xác su t 0,1003 và l y giá tr l n hơn 90 v i xác su t 0,0516, hãy tính µ và σ. Gi i. Theo gi thi t,  P( X < 60) = 0,1003   P( X > 90) = 0, 0516 ⇔   60 − µ   Φ  σ  = 0,1003      1 − Φ  90 − µ  = 0, 0516     σ    µ − 60   µ − 60  Φ  σ  = 0,8997  σ = 1, 28    ⇔  ⇔  90 − µ    90 − µ = 1,64 Φ = 0,9484     σ   σ V y, µ = 73,15 và σ = 10, 27 . 56 Bài t p Xác su t th ng kê 3.27. Di p Hoàng Ân Đư ng kính c a m t lo i chi ti t do m t máy s n xu t có phân 2 ph i chu(n, kỳ v ng 20mm, phương sai ( 0, 2 ) mm. Tính xác su t l y ng u nhiên m t chi ti t a/ Có ñư ng kính trong kho ng 19,9mm ñ n 20,3mm. b/ Có ñư ng kính sai khác v i kỳ v ng không quá 0,3mm. Gi i G i X là BNN ch ñư ng kính c a m t chi ti t, ta có ( X ~ N 20; ( 0, 2 ) 2 ) a/ Có ñư ng kính trong kho ng 19,9mm ñ n 20,3mm  20,3 − 20   19,9 − 20  P (19,9 < X < 20,3) = Φ  − Φ    0, 2   0, 2  = Φ (1,5 ) + Φ ( 0,5 ) = 0,6247 b/ Có ñư ng kính sai khác v i kỳ v ng không quá 0,3mm  0,3  P ( X − 20 < 0,3) = 2Φ   − 1 = 0,8664  0, 2  57 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CHƯƠNG 7: LÝ THUY T M U 4. 1. Đ nghiên c u v s con trong m t gia ñình (SCTMGĐ) ' ñ a phương A, ngư i ta ñi u tra s con c a m i gia ñình trong 30 gia ñình ñư c ch n ng u nhiên ' ñ a phương A. K t qu ñư c ghi l i như sau: 0 2 5 3 7 4 3 3 1 4 2 4 3 1 6 1 0 2 4 1 1 2 3 2 0 5 5 1 3 2 a) Hãy l p b ng phân ph i t n s và t n su t tích lu4 cho d li%u trên m u. b) Trên m u v a nêu, tính SCTMGĐ trung bình ñ l%ch chu(n c a SCTMGĐ. Gi i: a) G i X là BNN ch s con trong m t gia ñình. B ng phân b t n s , t n su t và t n su t tích lũy cho X t d li%u trên. X 0 1 2 3 4 5 6 7 T ns 3 6 6 6 4 3 1 1 T n su t 0,100 0,200 0,200 0,200 0,133 0,100 0,033 0,033 T n su t tích lũy 0,100 0,300 0,500 0,700 0,833 0,933 0,967 1,000 b) Giá tr trung bình m u là: = 2,67 Giá tr phương sai m u: Đ l%ch chu(n: = 1,81 . 2 = 3, 2644 4. 2. Đ nghiên c u v thâm niên công tác (tính tròn năm) c a nhân viên ' m t công ty l n, ngư i ta kh o sát thâm niên c a 100 nhân viên ñư c ch n ng u nhiên trong công ty. K t qu như sau: Thâm niên 5-7 8 - 10 11 - 13 14 - 16 17 -19 S nhân viên 8 21 36 25 10 a) Hãy tính giá tr trung bình m u và giá tr ñ l%ch chu(n m u. b) Gi s# thâm niên công tác c a nhân viên c a công ty trên là BNN X có kỳ v ng là 12 năm và ñ l%ch chu(n là 3 năm. Tính xác su t ñ trung bình m u nh n giá tr l n hơn 12,5 năm. Gi i G i X là BNN ch thâm niên công tác c a nhân viên c a công ty trên. a) T d li%u ta tính ñư c: - Giá tr trung bình m u: = 12.24 58 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân = 3,27 . - Giá tr ñ l%ch chu(n m u: b) Theo ñ nh lý gi i h n trung tâm ta có: = −µ σ ~ ( 0,1) Do ñó xác su t ñ trung bình m u nh n giá tr l n hơn 12,5 là:   ( > 12,5) =  σ− µ > 12,5σ− µ  = ( > 1,67 ) = 1 −   ( ≤ 1,67 ) = 0,0478 4. 3. Đ nghiên c u chi u cao c a thanh niên l a tu$i t 18 ñ n 22 tu$i ' thành ph LX, ngư i ta ño trên m t m u g m m t s thanh niên ñư c ch n ng u nhiên ' thành ph LX. K t qu như sau (ñơn v cm): a) Tính giá tr trung bình m u và giá tr ñ l%ch chu(n m u. b) Theo tài li%u kh o sát trư c ñó chi u cao c a nh ng thanh niên l a tu$i trên tuân theo lu t phân ph i chu(n v i kỳ v ng là µ = 166 cm và ñ l%ch chu(n là σ = 7 cm. Hãy tính xác su t ñ trung bình m u có giá tr l n 167 cm. Gi i: G i X là BNN ch chi u cao c a thanh niên l a tu$i t LX. a) T d li%u ta tính ñư c: - Giá tr trung bình m u: = 166,55 cm - Giá tr ñ l%ch chu(n m u: = 5,865 cm. b) Theo ñ nh lý gi i h n trung tâm ta có: = −µ σ ~ Chi u cao (cm) S thanh niên [154, 158) 10 [158, 162) 16 [162, 166) 29 [166, 170) 37 [170, 174) 15 [174, 178) 10 [178, 182) 4 18 ñ n 22 tu$i ' thành ph ( 0,1) Do ñó xác su t ñ trung bình m u nh n giá tr l n hơn 12,5 là: ( > 167 ) =  −µ   σ > 167 − µ σ  =  ( > 1,57 ) = 1 − ( ≤ 1,57 ) = 0,058 . 4. 4. Gi s# ñ tăng theo ph n trăm lương hàng năm c a m i công nhân viên ch c trong công ty Alpha tuân theo lu t phân ph i chu(n v i trung bình 12,2% và 59 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân ñ l%ch chu(n 3,6%. M t m u ng u nhiên g m 9 ph n t# ñư c ch n t t$ng th Tìm xác su t ñ trung bình m u nh hơn 10%. Gi i: G i X là BNN ch ñ tăng lương theo ph n trăm. Ta có = ( −µ σ < 10 ) = ~ y. (12,2; 3,6 ) và 2 ~ ( 0,1)     − 12, 2 10 − 12,2  10 − 12, 2  9< 9  = Φ 9  = 0,0334 . 3,6 3,6  3,6   4. 5. Đ nghiên c u tu$i th c a m t lo i bóng ñèn, ngư i ta th p th# 100 bóng ñèn trư c c i ti n k4 thu t. Sau khi c i ti n k4 thu t, ngư i ta th p l i 100 bóng. S li%u có ñư c cho trong b ng sau: M u 1: Trư c c i ti n M u 2: Sau c i ti n Tu$i th (gi ) S bóng ñèn Tu$i th (gi ) S bóng ñèn < 1030 2 1150 10 [1030, 1050) 3 1160 15 [1050, 1070) 8 1170 20 [1070, 1090) 13 1180 30 [1090, 1110) 25 1190 15 [1110, 1130) 20 1200 10 [1130, 1150) 12 [1150, 1170) 10 [1170, 1200] 5 > 1200 2 a) Tính giá tr ñ i di%n cho m i l p ' m u 1 và l p b ng t n s , t n su t cho m u 1. b) Hãy so sánh giá tr trung bình và giá tr ñ l%ch chu(n c a hai m u trên. 60 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi i: a) (1 ñ) Trư c c i ti n Tu$i th (gi ) Giá tr ñ i di%n T ns T n su t < 1030 1020 2 0,02 [1030, 1050) 1040 3 0,03 [1050, 1070) 1060 8 0,08 [1070, 1090) 1080 13 0,13 [1090, 1110) 1100 25 0,25 [1110, 1130) 1120 20 0,20 [1130, 1150) 1140 12 0,12 [1150, 1170) 1160 10 0,10 [1170, 1200] 1185 5 0,05 > 1200 1215 2 0,02 T ng s 100 1 và l n lư t là các BNN ch tu$i th c a bóng ñèn trư c và sau b) G i c i ti n k4 thu t. Ta có = 1112,15 ; = 1175,5 ; = 39,26 và = 14,38 Như v y, trung bình m u 1 bé hơn trung bình m u 2 và ñ l%ch chu(n m u 1 l n hơn ñ l%ch chu(n m u 2. 4. 6. Theo H i sinh viên ' thành ph LX thì có 60% sinh viên hi%n ñang theo h c ñ i h c mu n tìm vi%c làm ngoài gi h c. M t m u g m 205 sinh viên ñư c ch n ng u nhiên. Tìm xác su t ñ trong s ñó có hơn 135 sinh viên mu n tìm vi%c làm ngoài gi h c. Gi i: G i h c, là t l% sinh viên hi%n ñang theo h c ñ i h c mu n tìm vi%c làm ngoài gi = 0,6 . T l% sinh viên mu n tìm vi%c làm ngoài gi trên m u là = Xác su t có hơn 135 sinh viên mu n tìm vi%c làm ngoài gi : 61 205 . Bài t p Xác su t th ng kê ( > 135 ) = − Vì Di p Hoàng Ân 135   >  =  205 205  0 (1 − 0 ) > 27   41  ( 0,1) ~ 0    Do ñó ( > 135 ) =      − 0 0 (1 − 0 ) > 27 − 41 0 (1 − 0 0 )       27   27  − 0  41   41 − 0, 6  = 1− Φ 205   =1− Φ  0 (1 − 0 )   0, 6 (1 − 0,6 )      = 1 − Φ (1,71) = 1 − 0,9564 = 0,0436 4. 7. M t m u kích thư c n ñư c thành l p t t$ng th tuân theo phân ph i chu(n v i kỳ v ng µ và ñ l%ch chu(n là 8. Hãy xác ñ nh n sao cho, v i xác su t b"ng 0,9524, trung bình m u n"m trong kho ng t µ - 4 ñ n µ + 4. Gi i: Ta có (µ − 4 ≤ ≤ µ + 4 ) = 0,9524 ⇔ ( − µ ≤ 4 = 0,9524 ) ⇔     −µ σ ≤ 4 (1 ñ)   = 0,9524 σ    ⇔ 2Φ   − 1 = 0,9524 2     ⇔ Φ  = 0,9762 2   (1 ñ) = 1,98 2 ⇒ = 16 ⇔ 4. 8. 62 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân S li%u th ng kê cho bi t có 40% các h gia ñình ' thành ph A có thu nh p hàng năm n"m trong kh ng t 1200 USD ñ n 2000 USD. V y, ph i ñi u tra m t m u g m bao nhiêu h gia ñình ñ , v i xác su t 0,95, t l% các gia ñình có thu nh p trong kho ng nói trên, sai l%ch so v i t l% chung c a thành ph không quá 4%? Gi i: Ta có t l% h gia ñình ' thành ph A có thu nh p hàng năm n"m trong kh ng t 1200 USD ñ n 2000 USD là = 0,4 . G i là t l% m u: ( ⇔ ) − 0,4 < 0,04 = 0,95     − 0, 4 < 0, 4 (1 − 0, 4 )  0,04 ⇔ 2Φ   0, 4 (1 − 0, 4 )   0,04 ⇔ Φ  0, 4 (1 − 0, 4 )  ⇔ ⇔ 0,04 0, 4 (1 − 0, 4 ) ≈ 576, 24 ⇒ 0,04 0, 4 (1 − 0, 4 )   = 0,95     − 1 = 0,95     = 0,975   = 1,96 = 577 4. 9. M t lô hàng ñ t tiêu chu(n xu t kh(u n u t l% ph ph(m không quá 5%. N u ki m tra ng u nhiên 100 s n ph(m thì v i t l% ph ph(m th c t t i ña là bao nhiêu, chúng ta có th cho phép lô hàng ñư c xu t kh(u mà kh năng không m c sai l m là 95%? Gi i: G i 0 là t. l% ph ph(m th c t t i ña. Lô hàng ñư c phép xu t kh(u mà không m c sai l m khi < bài: ( ⇔ Vì < 0 ) = 0,95   − 0, 05 0 − 0,05  100 < 100  = 0.95  0,05 (1 − 0, 05 )  0,05 (1 − 0,05 )   − 0,05 100 ~ ( 0,1) nên ñ6ng th c trên tương ñương: 0,05 (1 − 0,05 ) 63 0 . Theo ñ Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân   0 − 0,05 Φ 100  = 0,95  0,05 (1 − 0,05 )    ⇒ ⇔ 0 − 0,05 0,05 (1 − 0,05 ) 0 = 100 = 0,95 1,65 0,05 (1 − 0,05 ) 100 = 1,65 + 0,05 ⇔ 0 = 0,086 4. 10. Chi u cao (ñơn v cm) c a m t thanh niên ' thành ph l n A là BNN tuân theo lu t phân ph i N(165; 100). Ngư i ta ño ng u nhiên chi u cao c a 100 thanh niên ' thành ph A (TP.A). c) Xác su t ñ chi u cao trung bình c a 100 thanh niên ñó l%ch so v i chi u cao trung bình c a thanh niên TP.A không vư t quá 2cm là bao nhiêu? d) N u mu n ch u cao trung bình ño ñư c sai l%ch so v i chi u cao trung bình c a t$ng th không vư t quá 1cm v i xác su t không dư i 99% thì chúng ta ph i ti n hành ño chi u cao c a bao nhiêu thanh niên? Gi i: a) G i là BNN ch chi u cao c a m i thanh niên ' thành ph A. Ta có ~ (165;100 ) . Do ñó ⇒ ( b) G i ~ (165;1) và    ( 0,1) ) − 165 < 2 = 2Φ ( 2 ) − 1 = 0,9545 là s thanh niên c n ño chi u cao. Khi ñó, Theo ñ bài ta có: ⇔ − 165 ~ − 165 10 ( < ) − 165 < 1 ≥ 0,99   ≥ 0,99 10    ⇔ 2Φ   − 1 ≥ 0,99 10     1,99 ⇔ Φ = 0,995 ≥ 10 2   64 − 165 10 ~ ( 0,1) Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân ≥ Φ −1 ( 0,995 ) = 2,5758 ⇒ 10 ⇒ ≥ 663, 47 CHƯƠNG 5: Ư C LƯ NG THAM S 5. 1. a) Hãy thi t l p công th c tìm kho ng tin c y γ cho trung bình t$ng th trong trư ng h p t$ng th có phân ph i chu(n ñã bi t ñ l%ch chu(n. b) Tìm kho ng tin c y 95% cho trung bình t$ng th X bi t X ~ ( µ , σ 2 ) v i σ = 3 và m u ñ c trưng X có kích thư c n = 25 trung bình m u x = 10 . Gi i a) V i ñ tin c y γ cho trư c ta tìm kho ng ( x − e; x + e ) sao cho P ( X − e < µ < X + e) = γ ⇔ P (| X − µ |< e ) = γ | X −µ | n ⇔ P  n<e =γ σ   σ  n ⇔ P  | U |< e =γ σ   Vì U ~ N ( 0,1) nên ta có 2Φ ( a ) − 1 = γ , a = e ⇔ Φ (a) = n σ 1+ γ ⇒ a = u1+γ 2 2 Suy ra: u1+γ = e 2 n σ ⇒ e = u1+γ . 2 σ n V y, kho ng tin c y γ cho µ là ( x − e; x + e ) v i e = u1+γ . 2 σ n . b) Áp d,ng công th c trên, kho ng tin c y 95% cho trung bình c a X là: ( x − e; x + e ) e = u1+γ . 2 σ n = u1+ 0,95 . 2 3 3 = u0,975 . = 1,176 5 25 65 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân V y kho ng tin c y c n tìm là: ( 8,824;11,176 ) . 5. 2. a) Gi s# r"ng tu$i th c a m t lo i bóng ñèn hình TV có ñ l%ch chu(n b"ng 500, nhưng chưa bi t trung bình. Ngoài ra, tu$i th c a lo i bóng ñèn ñó tuân theo lu t phân ph i chu(n. Kh o sát trên m t m u ng u nhiên g m 15 bóng lo i trên, ngư i ta tính ñư c tu$i th trung bình là 8900 gi . Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho tu$i th trung bình c a lo i bóng ñèn hình nói trên. a) M t t$ng th X có phân ph i chu(n. Quan sát m t m u ng u nhiên kích thư c 25 ngư i ta tính ñư c trung bình là 15 và ñ l%ch chu(n là 3. Hãy ư c lư ng kỳ v ng c a X b"ng kho ng tin c y 95%. Gi i a) Kho ng tin c y 95% cho tu$i th trung bình c a bóng ñèn hình: ( x − e; x + e ) V i x = 8900 , và e = u1+ γ . 2 Do ñó ( σ 500 500 = u0,975 . = 1,96. = 253 n 15 15 ) b) Kho ng tin c y cho kỳ v ng c a X là: ( x - e; x + e ) v i x = 15 Vì X có phân ph i chu(n chưa bi t ñ l%ch chu(n nên: e = t1(+24γ) . 2 s 3 3 ) = t1(+240,95 . = 2, 0639. = 1, 24 5 n 25 2 V y, kho ng tin c y c n tìm là ( ) 5. 3. Gi s# r"ng tu$i th c a m t lo i bóng ñèn hình TV có ñ l%ch chu(n b"ng 500, nhưng chưa bi t trung bình. Tuy nhiên, trung bình m u b"ng 8900 ñư c tính trên m u c5 = 35 . a) Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho tu$i th trung bình c a lo i bóng ñèn hình ñang kh o sát. b) Gi s# r"ng tu$i th c a m t lo i bóng ñèn hình TV trên có phân ph i chu(n. Hãy tìm kho ng tin c y 90% cho trung bình t$ng th . Gi i a) Kho ng tin c y 95% cho tu$i th trung bình c a bóng ñèn hình: ( x − e; x + e ) , v i e = u1+γ . 2 x = 8900 và σ 500 500 = u0,975 . = 1, 96. = 165, 65 n 35 35 V y, kho ng tin c y c n tìm là: (8734; 9066) (gi ). 66 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b) Kho ng tin c y 90% cho tu$i th trung bình c a bóng ñèn hình: ( x − e; x + e ) , v i x = 8900 . Do X có phân ph i chu(n chưa bi t ñ l%ch chu(n nên: e = t1(+n −γ 1) . 2 s 500 500 = t1(+340,9) . = 1, 6909. = 142, 9 35 35 n 2 V y, kho ng tin c y c n tìm: (8757; 9043) (gi ). 5. 4. a) Ki m tra tu$i th c a m t lo i bóng ñèn hình TV trên m t m u ng u nhiên g m 100 bóng ñèn tính ñư c giá tr trung bình m u là 8900 gi và ñ l%ch chu(n m u b"ng 500 gi . Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho trung bình t$ng th . b) Đ tin c y s+ là bao nhiêu n u cùng m u trên sai s ư c lư ng b"ng 130 gi . Gi i a) Kho ng tin c y 95% cho tu$i th trung bình c a bóng ñèn hình: ( x − e; x + e ) , v i e = u1+ γ . 2 x = 8900 . s 500 500 = u1+ 0,95 . = 1,96. = 98 100 100 n 2 Kho ng tin c y c n tìm: (8802; 8998) (gi ). b) Gi s# γ là ñ tin c y, khi sai s ư c lư ng 500 100 = 130 ⇒ 1+γ = 130. = 2, 6 500 100 2 1+ γ = 0,9953 ⇔ γ = 0,9906 . Tra b ng 4 ta tìm ñư c 2   1+ γ ( =  < 1+γ  = ( < 2, 6 ) v i ~ ( 0,1) ) 2  2  V y, ñ tin c y γ = 99, 06% . = 1+γ 2 . 5. 5. Kh i lư ng X c a m t s n ph(m do m t nhà máy s n xu t tuân theo lu t phân ph i chu(n. L y m t m u ng u nhiên (không hoàn l i) g m 10% c a m t lô hàng g m 300 s n ph(m c a nhà máy ñó, ngư i ta tính ñư c x = 148,50 gam và s = 35,75 gam. a) Hãy xây d ng công th c tìm kho ng tin c y γ cho trung bình t$ng th h u h n trong trư ng h p l y m u không hoàn l i. b) Tìm kho ng tin c y 95% cho kh i lư ng trung bình c a m i s n ph(m trong lô hàng nói trên. 67 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi i a) G i N là kích thư c t$ng th , n là kích thư c m u. Vì l y m u có hoàn l i thì σ X = N −n N −1 σX n Theo ñ nh lý gi i h n trung tâm, U = Và T = U Y / n −1 7 ñây Y = ( n − 1) S σ = X −µ X −µ N −1 n = ~ N ( 0,1) N −n σX σX X −µ N −1 n ~ t ( n − 1) S N −n 2 ~ χ 2 ( n − 1) 2 X Do ñó v i ñ tin c y γ cho trư c ta tìm e sao cho P ( X − µ < e ) = γ T ñó P ( T < a ) = γ v i a = Suy ra P (T < a ) = e N −1 n s N −n 1+ γ v i T là BNN có phân ph i student n − 1 b c t do. 2 Suy ra a = t1(+n −γ 1) 2 V y ta tính ñư c e = t1(+nγ−1) 2 s n N −n N −1 b) Theo ñ bài ta có n = 30; s = 35, 75; N = 300; x = 148,5; γ = 0,95 ) Ta tính ñư c e = t1(+290,95 . 2 35, 75 270 = 12, 685 30 299 Kho ng tin c y 95% cho kh i lư ng trung bình là (135,815;161,185 ) 5. 6. M t lô bút bi c a xí nghi%p A s n xu t ra g m 1000 h p, m i h p 10 cây. Ki m tra ng u nhiên 50 h p, th y có 45 cây bút b h ng. a) Tìm kho ng tin c y 95% cho t l% bút b h ng và s bút b h ng c a lô hàng. b) V i m u trên, n u mu n ư c lư ng t l% bút h ng v i ñ chính xác 1,5% thì ñ tin c y ñ t ñư c là bao nhiêu? Gi i a) G i p là t l% bút h ng c a lô bút. 68 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân T. l% bút h ng trên m u p = 45 = 0, 09 500 Kho ng tin c y 95% cho t. l% bút h ng c a m u: ( p − e; p + e ) v i p (1 − p ) e = u1+0,95 n 2 = 1,96. 0, 09 (1 − 0, 09 ) 500 = 0, 025 Kho ng tin c y 95% cho t. l% bút h ng c n tìm là: ( 0, 065;0,115 ) và cho s bút h ng là ( 650;1150 ) (cây). b) Gi s# e = 0, 015 , ta có u1+γ p (1 − p ) n 2 ⇒ 1+ γ = 2 n = 1,172 p (1 − p ) = 0, 015 ⇒ u1+γ = 0, 015 2 − 1 = 0, 7588 =75,88%. ⇒γ= 5. 7. Quan sát ' m t m u, ngư i ta có k t qu v chi u cao X(m) c a lo i cây công nghi%p ' m t nông trư ng như sau: xi 3 4 5 6 7 2 8 23 32 23 8 s cây 12 a) Hãy ư c lư ng chi u cao trung bình c a lo i cây ñó b"ng kho ng tin c y 90%. b) Đ ư c lư ng chi u cao trung bình c a lo i cây ñó ' ñ tin c y 95%, v i sai s không quá 2 dm thì c n ph i quan sát thêm bao nhiêu cây n a? Gi i a) T s li%u ñã cho ta tính ñư c x = 6, 02 và ñ l%ch chu(n m u s = . Kho ng tin c y 90% cho chi u cao trung bình c a lo i cây ñó là: ( x − e; x + e ) , e = u1+ γ 2 Do ñó ( s 1, 206 1, 206 = u0,95 . = 1, 65. 10 10 100 ) b) Gi s# n1 là s cây c n quan sát v i ñ tin c y 95% và sai s không quá 0,2 (m) ta có: u0,975 1, 45 ≤ 0, 2 n1 69 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 2 ⇔ n1 ≥ u0,975 1, 206 1, 206   ⇔ n1 ≥ 1, 96. = 139, 6 ⇒ n1 = 140 0, 2 0, 2   V y ta c n quan sát thêm ít nh t 140 – 100 = 40 (cây) n a. 5. 8. Quan sát ' m t m u, ngư i ta có k t qu v chi u cao X(m) c a lo i cây công nghi%p ' m t nông trư ng như sau: xi 3 4 5 6 7 2 8 23 32 23 8 s cây 12 a) Hãy ư c lư ng chi u cao trung bình c a lo i cây ñó b"ng kho ng tin c y 90%. b) Nh ng cây cao t 7 m tr' lên g i là cây lo i A. Hãy tìm kho ng tin c y 95,44% cho t l% cây lo i A c a nông trư ng. Gi i a) T s li%u ñã cho ta tính ñư c x = 6, 02 và phương sai m u s 2 = Kho ng tin c y 90% cho chi u cao trung bình c a lo i cây ñó là: ( x − e; x + e ) , e = u1+ γ 2 s 1, 2059 1, 2059 = u0,95 . = 1, 65. 10 10 100 Do ñó K = ( ) b) T. l% cây lo i A trên m u là: p= 35 = 0,35 100 Kho ng tin c y 95,44% cho t. l% cây lo i A c a nông trư ng là: ( p − e; p + e ) v i e = u1+0,9544 2 p (1 − p ) n = u0,9772 0,35.0, 65 0,35.0, 65 = 2. = 0, 0954 100 10 Kho ng tin c y c n tìm là: ( 0, 2546;0, 4454 ) . 5. 9. Đ sâu c a bi n ñư c xác ñ nh b"ng m t máy ño có sai s h% th ng b"ng 0, còn sai s ng u nhiên c a nó tuân theo lu t phân ph i chu(n v i ñ l%ch chu(n 20m. a) C n ph i ti n hành bao nhiêu l n ño ñ xác ñ nh ñư c ñ sâu c a bi n v i sai s cho phép không quá 15m ' ñ tin c y 90% ? 70 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b) Tìm kho ng tin c y 95% cho sai s ng u nhiên trung bình. Bi t r"ng khi ti n hành ño ' m t ñ a ñi m xác ñ nh 25 l n ngư i ta tính ñư c sai s ng u nhiên trung bình m u là 100m. Gi i a) G i là s l n ño c n thi t. Ta có e = u1+γ 2 σ σ2 20 2 ≤ 15 ⇔ n ≥ 2 u12+γ = .1, 652 = 4,84 15 2 225 n V y c n ño ít nh t 5 l n. b) Kho ng tin c y 95% cho sai s trung bình ng u nhiên là: ( − ; + )v i = 1+0 ,95 2 . σ = 0,975 . 20 20 = 1,96. = 7,8 5 25 V y kho ng tin c y c n tìm là: ( 92, 2;107,8) . 5. 10. Ngư i ta mu n ư c lư ng t l% viên thu c b s t m trong m t lô thu c r t nhi u viên. a) N u mu n sai s cho phép không quá 1% ' ñ tin c y 95% thì ph i quan sát ít nh t m y viên? b) Quan sát ng u nhiên 200 viên, th y có 20 viên b s t m . Hãy tìm kho ng tin c y 95% cho t l% t$ng th . N u mu n sai s cho phép không quá 1% ' ñ tin c y 95% thì ph i quan sát ít nh t m y viên? Gi i a) Theo ñ bài ta có: 2  u1+ γ   u1+ 0,95 2  = 2 e ≤ ε = 0, 01 ; ⇔ n ≥   2.0, 01   0, 02    2   =   V y, ph i quan sát ít nh t 9604 viên. b) G i p là t l% viên thu c b s t m . Kho ng tin c y 95% cho p : ( p − e; p + e ) e = u1+γ 2 p (1 − p ) 0,1( 0,9 ) 0, 09 = u1+ 0,95 = 1,96. = n 200 200 2 V y kho ng tin c y 95% cho t l% viên thu c b s t m là: ( N u sai s không quá 1% ' ñ tin c y 95% ta c n quan sát bao nhiêu: 71 ) Bài t p Xác su t th ng kê  u1+ γ n≥ 2  ε  Di p Hoàng Ân 2 2   u1+ 0,95   . p (1 − p ) =  2  .0,1.0,9 =   0, 01     V y, ph i quan sát ít nh t 3458. 5. 11. Đ nghiên c u s n lư ng s a hàng ngày (SLSHN) c a m t ñàn bò, ngư i ta ñi u tra ng u nhiên trên 100 con bò c a nông trư ng và có k t qu sau: SLSHN (kg) 9 10 12 14 15 S con bò 10 24 42 16 8 a) Ư c lư ng s n lư ng s a trung bình m i ngày c a m t con bò b"ng kho ng tin c y 97%. b) V i ñ tin c y 97%, có th nói s n lư ng s a trung bình hàng ngày c a m t con bò nhi u nh t b"ng bao nhiêu? Gi i a) T s li%u ñã cho ta tính ñư c x = 11, 78 , s = 1, 79 Kho ng tin c y 97% cho SLSHN trung bình: ( x − e; x + e ) V i e = u1+ 0,97 . 2 s 1, 79 1, 79 = u0,985 . = 2,1707. = 0, 39 10 n 100 V y, kho ng tin c y c n tìm là: (11,39; 12,17) (kg) b) Ta tìm kho ng tin c y m t bên: ( −∞; x + e ) : v i e = uγ s 1, 79 1, 79 = u0,97 = 1,88. = 0,337 10 n 100 T ñó suy ra s n lư ng s a trung bình hàng ngày nhi u nh t: 11, 78 + 0,337 = 12,117 (kg) 5. 12. Đ nghiên c u s n lư ng s a hàng ngày (SLSHN) c a m t ñàn bò, ngư i ta ñi u tra ng u nhiên trên 100 con bò c a nông trư ng và có k t qu sau: SLSHN (kg) 9 10 12 14 15 S con bò 10 24 42 16 8 a) Tìm kho ng tin c y 90% cho t l% bò cho SLSHN trên 11kg. Mu n sai s khi ư c lư ng s n lư ng s a trung bình m i ngày không vư t quá 0,5kg và sai s khi ư c lư ng t l% bò cho SLSHN trên 11kg không vư t quá 12%, v i cùng ñ tin c y 98%, thì c n ñi u tra bao nhiêu con bò? Gi i 72 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân a) T s li%u ñã cho ta tính ñư c x = 11, 78 , s = 1, 79 G i p là t l% bò cho SLSHN trên 11 kg. T l% này trên m u kh o sát là: p = 66 = 0, 66 100 Kho ng tin c y 90% cho p: ( p − e; p + e ) V i e = u1+ 0,9 2 p (1 − p ) n = u0,95 . 0, 66 (1 − 0, 66 ) 100 = 1, 6449. V y, t l% bò cho SLSHN trên 11 kg t 0, 66 (1 − 0, 66 ) 100 = 0, 0779 58,21% ñ n 73,79%. b) G i n1 là s bò c n ñi u tra. Ta ph i có: 2  s2  2 2 1, 79 n u ≥ . n ≥ 2, 3263 . = 69, 4 1+ 0,98  1 2  1 0,5 0,52   2 ⇔  p p − 1 ( ) n ≥ u 2 . n ≥ 2, 32632. 0, 66.0, 34 = 84, 33 1+ 0,98 2  1  1 0,122 0,12  2 Ch n n1 = 85 . V y c n ñi u tra 85 con bò. 5. 13. Đ dài c a m t lo i chi ti t máy ñư c ño 25 l n b"ng m t máy ño có sai s h% th ng b"ng 0. Bi t r"ng sai s ng u nhiên c a vi%c ño có phân ph i chu(n v i phương sai 100cm2 và ñ dài trung bình trong 25 l n ño là 100cm. a) Hãy tìm kho ng tin c y 99% cho ñ dài c a lo i chi ti t máy trên. b) Ph i ti n hành bao nhiêu l n ño ñ b r ng kho ng tin c y 99% cho ñ dài c a lo i chi ti t máy trên không quá 8 cm. Gi i a) Kho ng tin c y 99% cho ñ dài chi ti t máy nói trên: ( x − e; x + e ) . V i e = u1+γ . 2 σ n = u0,995 . 10 10 = 2,5758. = 5,15 5 25 Đáp s : (94,85; 105,15). b) G i n1 là s l n ño. Ta c n có: 2e ≤ 8 ⇔ e ≤ 4 ⇔ u1+γ . 2 σ n1 ≤4 2 2   σ2 2 σ 100 ⇔ n1 ≥  u1+γ  . 2 = ( u0,995 ) . = 2,57582. = 41, 47 16 16  2  4 73 Bài t p Xác su t th ng kê Suy ra, n1 = 42 . Di p Hoàng Ân V y, c n ti n hành ño ít nh t 42 l n. 5. 14. Gi s# ñư ng kính c a m t lo i s n ph(m là bi n ng u nhiên có phân ph i N(µ, σ2). Đo 10 s n ph(m, ngư i ta có b ng s li%u: 4,1; 3,9; 4,7; 5,0; 4,4; 4,4; 4,2; 3,8; 4,4; 4,0 Tìm kho ng tin c y 95% cho µ và kho ng tin c y 99% cho µ và σ2. Gi i T s li%u ñã cho ta tính ñư c: x= s= ♣ Kho ng tin c y 95% cho ñư ng kính trung bình: s 9 = t0,975 10 1 e = t1n+−0,95 2 ( 4, 0257; 10 = 4,5543) ♣ Kho ng tin c y 99% cho ñư ng kính trung bình: ( 3,9102; 4, 6698) ♣ Kho ng tin c y 99% cho phương sai là: 2 χ12+ γ ( n − 1) = χ12+ 0,99 ( 9 ) = χ 0,995 ( 9 ) = 23,589 2 2 2 χ12−γ ( n − 1) = χ12− 0,99 ( 9 ) = χ0,005 ( 9 ) = 1, 735 2 2 ( n − 1) s 2 = 9.  2 2   ( n − 1) s ; ( n − 1) s  = 0, 0521;0, 7084 )  χ 2 ( n − 1) χ 2 ( n − 1)  ( 1−γ  1+γ  2  2  5. 15. Nghiên c u v ñ b n X (kg/mm2) c a m t lo i thép, ngư i ti n hành m t s quan sát m t s t m thép trên m u và có k t qu cho trong b ng sau: Đ b n (kg/mm2) S t m thép (95, 115] 15 (115,135] 19 (135,155] 23 (155,175] 31 74 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân (175,195] 29 (195,215] 21 > 215 6 a) Tìm kho ng tin c y 97% cho ñ b n trung bình c a lo i thép trên. b) S+ ñ t ñ tin c y bao nhiêu n u mu n ư c lư ng ñ b n trung bình c a lo i thép trên b"ng kho ng tin c y có ñ dài b"ng 6? Gi i a) T s li%u trên ta tính ñư c: x = 162, 6389; s = 33, 4076 Kho ng tin c y 97% cho trung bình ñ b n: ( x − e; x + e ) e = u1+ γ 2 s = u0,985 n 144 = 12 = 6, 0412 ( x − e; x + e ) = (156,6;168, 7 ) b) G i γ là ñ tin c y c n tìm Ta có: e = u1+γ 2 ⇒ 144 s n = 3 ⇒ u1+ γ = 3. = 3. = 1, 0814 33, 0476 s n 2 1+ γ = 0,86 ⇒ γ = 72% 2 5. 16. Nghiên c u v ñ b n X (kg/mm2) c a m t lo i thép, ngư i ti n hành m t s quan sát m t s t m thép trên m u và có k t qu cho trong b ng sau: Đ b n (kg/mm2) S t m thép (95, 115] 15 (115,135] 19 (135,155] 23 (155,175] 31 (175,195] 29 (195,215] 21 > 215 6 a) Tìm kho ng tin c y 97% cho ñ b n trung bình c a lo i thép trên. b) Thép có ñ b n trên 195kg/mm2 ñư c g i là thép lo i A. Tìm kho ng tin c y 98% cho t l% thép lo i A. Gi i 75 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân a) T s li%u trên ta tính ñư c: x = 162, 6389; s = 33, 4076 Kho ng tin c y 97% cho trung bình ñ b n: e = u1+ γ 2 s = u0,985 n 144 = = 6, 0412 12 ( x − e; x + e ) = (156,6;168, 7 ) b) G i p là t. l% thép lo i A. T l% m u: p = 27 = 0,1875 . 144 Kho ng tin c y 98% cho p : ( p − e; p + e ) e = u1+ 0,98 . 2 0,1875 (1 − 0,1875 ) p (1 − p ) = u0,99 . n 144 0,1875 (1 − 0,1875 ) = 2,3263. 144 = 0, 0106 V y, kho ng tin c y c n tìm: ( 0,1769; 0,1981) . 5. 17. M c tiêu hao nguyên li%u cho m t ñơn v s n ph(m là m t bi n ng u nhiên X tuân theo qui lu t chu(n. Quan sát 28 s n ph(m ñư c ch n ng u nhiên, ngư i ta thu ñư c k t qu cho trong b ng sau: x (gam) 19 19,5 20 20,5 s s n ph(m 5 6 14 3 Hãy xây d ng kho ng tin c y 90% cho phương sai t$ng th trong hai trư ng h p: a) bi t E(X) = 20g; b) chưa bi t E(X). Gi i n 2 2  n x − µ ( ) ( xk − µ )  ∑ ∑ k  k =1 a) Kho ng tin c y γ cho phương sai t$ng th :  ; k =1 2  2 χ 1−γ ( n )   χ 1+γ ( n )  2 2   2 χ12+ γ ( n ) = χ12+ 0,9 ( 28 ) = χ 0,95 ( 28 ) = 41, 337 2 2 2 χ12−γ ( n ) = χ12− 0,9 ( 28 ) = χ 0,05 ( 28) = 16,928 2 n ∑ ( xk − µ ) 2 2 = 7, 25 k =1 Kho ng tin c y c n tìm: 76 Bài t p Xác su t th ng kê  7, 25 7, 25   41,337 ; 16, 928  = ( 0,175; 0, 428 )   Di p Hoàng Ân   2 n − 1) s 2  (  ( n − 1) s b) Kho ng tin c y γ cho phương sai t$ng th :  2 ; 2 χ n − 1 χ 1−γ ( n − 1)  ( )  1+γ 2  2  2 χ12+ γ ( n − 1) = χ12+ 0,9 ( 27 ) = χ 0,95 ( 27 ) = 40,113 2 2 2 χ12−γ ( n − 1) = χ12− 0,9 ( 27 ) = χ 0,05 ( 27 ) = 16,151 2 2 ( n − 1) s 2 = 5, 74  5, 74 5, 74  ; Kho ng tin c y c n tìm:   = ( 0,143;0,355 ) .  40,113 16,151  5. 18. X (ñơn v tính b"ng %) là ch tiêu c a m t lo i s n ph(m. Đi u tra ' m t s s n ph(m (s.ph), ngư i ta có s li%u: Xi S s n ph(m [5,7) 2 [7,9) 8 [9,11) 14 [11,13) 19 [13,15) 22 [15,17) 20 [17,19) 10 [19,21) 5 a) Đ ư c lư ng trung bình ch tiêu X v i ñ tin c y 95% và ñ chính xác 0,3% thì c n ñi u tra thêm bao nhiêu s n ph(m n a? b) Ngư i ta xem các s n ph(m có ch tiêu X dư i m t m c qui ñ nh là lo i 2. T s li%u trên, b"ng phương pháp ư c lư ng kho ng t l% (lo i 2), ngư i ta tính ñư c kho ng tin c y là (4%, 16%). Tìm ñ tin c y c a ư c lư ng này. Gi i a) T s li%u ñã cho ta tính ñư c: x = 13,52 ; s = 3,35 . Đ ư c lư ng trung bình ch tiêu X v i ñ tin c y 95% và sai s 0,3 ta c n: 77 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 2 2  u1+ γ   u0,975  2 2 2   n1 ≥ .s =   .s =  0,3   0,3    × 11, 2420 = V y c n ñi u tra thêm 283 s n ph(m n a. b) G i p là t l% s n ph(m lo i 2 ' m u t kho ng tin c y γ c a t. l% s n ph(m lo i 2 ta có:  p − e = 0, 04  p = 0,1 ⇔   p + e = 0,16 e = 0, 06 M t khác, e = u1+γ p (1 − p ) n 2 p (1 − p ) 0, 06 0, 06 = 100 = 10 = 2 n 0,3 0,1× 0,9 ⇒ u1+γ = e / 2 1+ γ = 2 ⇔γ 5. 19. Vi%n th ng kê mu n ư c lư ng t l% p ngư i dân không ñ ng ý v m t ñi u lu t m i ñư c ñ ngh . a) N u mu n sai s cho phép không quá 2% ' ñ tin c y 90% thì ph i h i ý ki n ít nh t m y ngư i? b) Trên m t m u ng u nhiên 344 ngư i ñư c h i ý ki n, có 83 ngư i không ñ ng ý. Hãy tìm kho ng tin c y 90% cho p . D a vào s li%u c a m u này, hãy gi i l i câu a). Gi i a) G i n là s ngư i c n h i ý ki n. Ta ph i có: 2 2  1   1  n ≥  u1+ 0,9 .  =  u1+ 0,9 .  = 1691,1 2 ε 2.0, 02  2   2  V y, ph i h i ý ki n ít nh t 1692 ngư i. b) T l% m u: p = e = u1+ 0,9 . 2 p (1 − p ) n 83 = 0, 241 . Kho ng tin c y 90% cho p : ( p − e; p + e ) 344 = 1, 6449. 0, 241(1 − 0, 241) 344 = 0, 0379 V y, kho ng tin c y c n tìm là: ( 0, 2031;0, 2789 ) t c là t 27,89%. 78 20,31% ñ n Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi i l i câu a), trên cơ s' có m u thăm dò, kích thư c m u c n tìm: n1 ≥ u12+ 0,9 . p (1 − p ) 2 ε 2 = 1, 6449 2. 0, 241(1 − 0, 241) 0, 022 = 752, 2 V y, c n h i ý ki n ít nh t 753 ngư i. 5. 20. Đ nghiên c u ñư ng kính X (mm) c a m t lo i s n ph(m do m t xí nghi%p s n xu t, ngư i ta ño ng u nhiên 100 s n ph(m c a xí nghi%p và có k t qu cho trong b ng sau: xi 9,85 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 10,15 T ns 8 12 20 30 14 10 6 Theo qui ñ nh, nh ng s n ph(m có ñư ng kính t 9,9 mm ñ n 10,1 mm là nh ng s n ph(m ñ t tiêu chu(n k4 thu t. Tìm kho ng tin c y 95% cho t l% và ñư ng kính trung bình c a nh ng s n ph(m ñ t tiêu chu(n k4 thu t. Gi i B ng s li%u cho các s n ph(m ñ t tckt: xi 9,90 9,95 10,00 10,05 10,10 T ns 12 20 30 14 10 ♣ G i p là t l% s n ph(m ñ t tckt, t l% này trên m u là: p = 86 = 0,86 100 Kho ng tin c y 95% cho p : ( p − e; p + e ) e = u1+ 0,95 . p (1 − p ) 2 n = 1,96. 0,86 (1 − 0,86 ) 100 = 0, 068 V y, kho ng tin c y cho p là: ( 0, 792; 92,8 ) nghĩa là t 92,8%. 79,2% ñ n ♣ G i X 1 là BNN ch ñư ng kính c a nh ng s n ph(m ñ t tckt. T s li%u ta có: x1 = 9, 994; s1 = 0, 06 . Kho ng tin c y 95% cho ñư ng kính trung bình nh ng s n ph(m ñ t tckt: ( x1 − e; x1 + e ) e = u1+ 0,95 . 2 s1 0, 06 = 1, 96. = 0, 012 n1 86 Kho ng tin c y c n tìm: ( 9,982;10,006 ) (mm). 79 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 5. 21. X (tính b"ng %) và Y (tính b"ng cm) là 2 ch tiêu c a m t lo i s n ph(m. Ki m tra ng u nhiên ' m t s s n ph(m, ngư i ta có k t qu sau: 1 2 x3 (90, 95] 5 13 2 (95, 100] 19 23 15 (100, 105] 12 10 7 xi x4 yk (105, 110] 8 5 2 a) Đ ư c lư ng trung bình c a ch tiêu Y v i sai s cho phép 0,5 cm và ñ tin c y 90% thì c n ñi u tra thêm bao nhiêu s n ph(m n a? b) Cho bi t kho ng tin c y 96% c a ch tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính giá tr trung bình và ñ l%ch chu(n m u c a ch tiêu X. Gi i a) B ng phân b t n s ch tiêu Y: yk (90, 95] (95, 100] (100, 105] (105, 110] nk 20 65 29 7 T ñó: y = 98, 4504; s y = 3,89 G i n1 là s s n ph(m c n ñi u tra: 2   s2 3,892 n1 ≥  u1+ 0,9  . Y2 = 1, 6449 2. = 163,8 0, 52  2  ε ⇒ n1 = 164 V y, c n ñi u tra thêm 43 s n ph(m n a. b) Theo ñ bài ta có:  x − e = 1,59  x = 2,1 ⇔   x + e = 2, 61 e = 0, 51 M t khác, e = u1+ 0,96 . 2 0,51. 121 s e n ⇒s= = = 2, 732 2, 0537 u1+ 0,96 n 2 5. 22. 80 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân X (tính b"ng %) và Y (tính b"ng cm) là 2 ch tiêu c a m t lo i s n ph(m. Ki m tra ng u nhiên ' m t s s n ph(m, ngư i ta có k t qu sau: 1 2 x3 (90, 95] 5 13 2 (95, 100] 19 23 15 (100, 105] 12 10 7 xi x4 yk (105, 110] 5 8 2 a) Cho bi t kho ng tin c y 96% c a ch tiêu X là (1,59%; 2,61%). Hãy tính giá tr trung bình và ñ l%ch chu(n c a ch tiêu X. b) Hãy tìm các giá tr x3 và x4 . Gi i a) B ng d li%u ch tiêu X: Theo ñ bài ta có:  x − e = 1,59  x = 2,1 ⇔   x + e = 2, 61 e = 0, 51 M t khác, e = u1+ 0,96 . 2 0,51. 121 s e n ⇒s= = = 2, 732 2, 0537 u1+ 0,96 n 2 b) B ng d li%u ch tiêu X: xi 1 2 x3 x4 ni 36 46 29 10 Ta có nx = 36.1 + 46.2 + 29.x3 + 10.x4 ⇒ 29 x3 + 10 x4 = 126,1 (1) s2 = 1 4  ∑ ni xi2 − nx 2  n − 1  i =1  ⇒ ( n − 1) s 2 = n1 x12 + n2 x22 + n3 x32 + n4 x42 − nx 2 ⇔ n3 x32 + n4 x42 = ( n − 1) s 2 − n1 x12 − n2 x22 + nx 2 ⇔ 29 x32 + 10 x42 = 120.2, 732 2 − 36 − 46.4 + 121.2,12 ⇔ 29 x32 + 10 x42 = 120.2, 732 2 − 36 − 46.4 + 121.2,12 = 1209, 27 ⇔ 29 x32 + 10 x42 = 1209, 27 (2) T (1) suy ra: 10 x4 = 126,1 − 29 x3 Thay vào (2) ta ñư c: 81 Bài t p Xác su t th ng kê 1 2 ⇔ 29 x32 + (126,1 − 29 x3 ) = 1209, 27 10 Di p Hoàng Ân 2 ⇔ 290 x32 + (126,1 − 29 x3 ) = 12092, 7 ⇔ 1131x32 − 7313,8 x3 + 3808, 51 = 0  x3 = 5,9 ⇔  x3 = 0,57 V i x3 = 5,9 suy ra x4 = 126,1 − 29.5,9 = −4, 5 (lo i) 10 V i x3 = 0,57 suy ra x4 = 126,1 − 29.0, 57 = 10, 957 (nh n). 10 V y, x3 = 0,57 và x4 = 10,957 . 5. 23. M t gi ng lúa m i ñư c gieo trong 10 mi ng ñ t thí nghi%m có các ñi u ki%n gi ng nhau, cho các s n lư ng tính theo cùng m t ñơn v như sau: 25,4; 28,0; 20,1; 27,4; 25,6; 23,9; 24,8; 26,4; 27,0; 25,4. Bi t r"ng s n lư ng lúa là bi n ng u nhiên có phân ph i chu(n N(µ, σ2). Hãy tìm kho ng tin c y 90% cho µ và σ2. Gi i T s li%u ta tính ñư c: Giá tr trung bình m u: x = 25, 4 Giá tr ñ l%ch chu(n m u: s = 2, 24 Kho ng tin c y 90% cho s n lư ng trung bình µ : ( x − e; x + e ) V i e = t1(+9)0,9 . 2 s = n = 1,3 V y, Kho ng tin c y 90% cho µ: (24,1; 26,7) Kho ng tin c y 90% cho σ 2 :   2 2  ( n − 1) s ( n − 1) s  ;  χ2 χ 12− 0,9  1 + 0,9  2 2    9.2, 242 9.2, 242   45,1584 45,1584  = ; ;  =   = ( 2, 67; 13, 58 ) 2  χ2 χ 0,05   0,95   5. 24. 82 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Đ ñánh giá tr lư ng cá trong m t h l n, ngư i ta ñánh b t 2000 con cá t h ñó, ñánh d u r i th l i xu ng h . Vài ngày sau, h ñánh b t l i 400 con thì th y có 80 con có ñánh d u. a) Hãy ư c lư ng tr lư ng cá trong h b"ng kho ng tin c y 95%. b) N u mu n sai s c a ư c lư ng gi m ñi m t n#a thì l n sau ph i ñánh b t bao nhiêu con cá? Gi i a) G i p là t l% cá dư c ñánh d u trong h . Khi ñó, p = 2000 v i N là tr lư ng cá trong h . N Kho ng tin c y 95% cho t l% cá ñư c ñánh d u trong h : ( p − e; p + e ) . V i p= p (1 − p ) 0, 2. (1 − 0, 2 ) 80 và e = u1+ 0,95 . = u0,975 . = 0, 0392 400 n 400 2 V y kho ng tin c y cho p : ( 0,1608;0, 2392 ) t c là t 16,08% ñ n 23,92%. Do ñó, lư ng cá trong h ư c lư ng kho ng t 8361 ñ n 12438 con. b) G i n1 là s cá c n ñánh b t. Ta có: n1 ≥ u12+ 0,95 . 2 p (1 − p ) (e / 2) 2 = 1,962. 0, 2 (1 − 0, 2 ) ( 0, 0392 / 2 ) 2 = 1600 V y, l n sau c n b t 1600 con. 5. 25. M t máy s n xu t t ñ ng có t l% s n xu t ra s n ph(m lo i A lúc ñ u là 48%. Máy ñư c c i ti n và sau m t th i gian áp d,ng, ngư i ta ki m tra 40 h p, m i h p g m 10 s n ph(m và ghi l i s s n ph(m lo i A trong m i h p (SSPLA/h) như sau : SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S h p 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0 Hãy ư c lư ng t l% s n ph(m lo i A sau khi máy ñư c c i ti n b"ng kho ng tin c y 95% Gi i T$ng s s n ph(m lo i A trong 40 h p là 215. T l% s n ph(m lo i A trên m u kh o sát: p= 215 43 = 400 80 83 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Kho ng tin c y 95% cho t l% s n ph(m lo i A: ( p − e; p + e ) V i e = u1+0,95 . 2 p (1 − p ) p (1 − p ) = u0,975 . n n 43  43  1 −  80  80  = 1,96 = 0,0489 400 V y, t l% s n ph(m lo i A t 48,86% ñ n 58,64% 5. 26. Đ nghiên c u s phát tri n c a m t lo i cây tr ng, ngư i ta quan tâm ñ n ñư ng kính X (cm) và chi u cao Y (m) c a lo i cây ñó. Đo chi u cao và ñư ng kính c a 100 cây cùng ñ tu$i ñư c ch n ng u nhiên, k t qu thu ñư c cho trong b ng sau: yk 3 4 5 6 (20, 22] 5 7 (22, 24] 19 25 10 (24, 26] 5 17 8 xi (26, 28] 7 4 a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ñư ng kính trung bình c a lo i cây này. b) Đ ư c lư ng ñư ng kính trung bình c a lo i cây này v i ñ chính xác ñ t ñư c ' câu (a) và ñ tin c y 99% thì c n ño thêm bao nhiêu cây n a? Gi i a) B ng phân b t n s cho ñư ng kính trung bình c a cây: xi (20, 22] (22, 24] (24, 26] (26, 28] ni 5 54 30 11 T ñó giá tr trung bình m u: x = 23,94 và ñ l%ch chu(n m u: s X = 1,52 . Kho ng tin c y 95% cho ñư ng kính trung bình c a cây: ( x − e; x + e ) e = u1+ 0,95 . 2 sX 1,52 = 1,96. = 0, 298 100 n Kho ng tin c y c n tìm: ( 23, 64; 24, 24 ) . b) Gi s# n1 là s cây c n ño, ta ph i có: 84 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 2   s2 1,52 2 n1 ≥  u1+ 0,99  . X2 = 2,57582. = 172, 6 0, 2982  2  e Suy ra, n1 = 173 V y, s cây c n ño thêm là nt = 73 cây. 5. 27. Đ nghiên c u s phát tri n c a m t lo i cây tr ng, ngư i ta quan tâm ñ n ñư ng kính X (cm) và chi u cao Y (m) c a lo i cây ñó. Đo chi u cao và ñư ng kính c a 100 cây cùng ñ tu$i ñư c ch n ng u nhiên, k t qu thu ñư c cho trong b ng sau: yk 3 4 5 6 (20, 22] 5 (22, 24] 19 25 10 (24, 26] 5 17 8 7 xi (26, 28] 7 4 Nh ng cây cao t 6m tr' lên là cây lo i A. Hãy ư c lư ng t l% và ñư ng kính trung bình c a cây lo i A b"ng kho ng tin c y 99% (gi thi t ñư ng kính cây lo i A là bi n ng u nhiên phân ph i theo qui lu t chu(n). Gi i S cây lo i A trên m u: 29. Giá tr t l% cây lo i m u p = 0, 29 . Kho ng tin c y 99% cho t l% cây lo i A: ( p − e; p + e ) e = u1+ 0,99 2 p (1 − p ) n = 2,5758. 0, 29 (1 − 0, 29 ) 100 = 0,117 Kho ng tin c y 99% cho t. l% cây lo i A là: ( 0,173;0, 407 ) t c là t 17,3% ñ n 40,7%. S li%u cho cây lo i A: xi (22, 24] (24, 26] (26, 28] ni 10 8 11 G i X 1 là ñư ng kính cây lo i A, µ1 là ñư ng kính trung bình c a cây lo i A. Giá tr trung bình m u: x1 = 25, 07 , s1 = 1.73 . Kho ng tin c y 99% cho ñư ng kính trung bình c a cây lo i A: ( x1 − e; x1 + e ) 85 Bài t p Xác su t th ng kê s1 28 ) e = t1(+ 0,99 = n1 2 Di p Hoàng Ân = 0,89 V y, kho ng tin c y 99% cho ñư ng kính trung bình c a cây lo i A: (24,18; 25,96) (cm). 5. 28. Đ kh o sát m c tiêu hao nguyên li%u (tính b"ng gam) ñ s n xu t ra m t ñơn v s n ph(m c a m t nhà máy, ngư i ta quan sát m c tiêu hao nguyên li%u trên m t m u, và thu ñư c k t qu sau: (ñơn v gam) xi 18 19 20 21 22 ni 13 21 27 21 18 a) Tìm kho ng tin c y 98% cho s ti n trung bình ñư c dùng ñ mua nguyên li%u ñ s n xu t trong m i quí c a nhà máy. Bi t r"ng giá lo i nguyên li%u này là 800 ngàn ñ/kg và s n lư ng c a nhà máy trong m t quí là 40.000 s n ph(m. b) N u mu n ư c lư ng s ti n trung bình ñ mua nguyên li%u trong m i quí c a nhà máy b"ng kho ng tin c y 99% và sai s không quá 8 tri%u ñ ng thì ph i l y m u v i kích thư c là bao nhiêu? Gi i a) T s li%u ban ñ u ta xây d ng ñư c b ng sau: x = 20,1 s = 1, 29 Kho ng tin c y 98% cho m c tiêu hao nguyên li%u trung bình c a m i s n ph(m: ( x − e; x + e ) e = u1+ 0,98 2 s 1, 29 = u0,99 . = 100 n 10 = 0,3 Do ñó ( x − e; x + e ) = (19,8; 20, 4 ) T ñó suy ra kho ng tin c y 98% cho s ti n trung bình cho m i quý: (19,8 × 4 × 8 ×10 ; 20, 4 × 4 × 8 ×10 ) = ( 633600;652800 ) 3 3 (ngàn ñ ng) b) N u sai s ư c lư ng s ti n trung bình m i quý là 8 tri%u ñ ng thì sai s ư c lư ng m c tiêu hao nguyên li%u là ε = Khi ñó kích thư c m u quy ñ nh: 2  s n1 ≥  u1+ 0,99 .  = 176, 65  2 ε Ch n n1 = 177 . 86 8.106 = 0, 25 (g) 40000.800 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 5. 29. Đ nghiên c u lãi su t ngân hàng gi a hai nhóm nư c công nghi%p phát tri n và ñang phát tri n, ngư i ta ñi u tra lãi su t ngân hàng trong m t năm c a 7 nư c phát tri n và 11 nư c ñang phát tri n ñư c ch n ng u nhiên. V i các nư c phát tri n, lãi su t trung bình là 17,5% và ñ l%ch chu(n là 3,2%; còn ñ i v i các nư c ñang phát tri n, lãi su t trung bình là 15,3% và ñ l%ch chu(n là 2,9%. V i ñ tin c y 95%, hãy ư c lư ng s chênh l%ch v lãi su t trung bình gi a hai nhóm nư c trên. Bi t r"ng lãi su t ngân hàng c a c a hai nhóm nư c trên là các BNN tuân theo qui lu t chu(n có cùng phương sai. Gi i G i X, Y l n lư t là các bi n ng u nhiên ch lãi su t ngân hàng c a hai nhóm nư c phát tri n và ñang phát tri n. X, Y tuân theo lu t phân ph i chu(n v i cùng phương sai. Theo bài ta có x = 17,5%, s X = 3, 2%; n = 7; y = 15, 3%, sY = 2,9%; m = 11 x − y = 2, 2 Ta tính ñư c s 2 ( n − 1) s = 1 1  e = t116+ 0,95 s 2  +  = n m 2 2 X + ( m − 1) sY2 = n+m−2 6.3, 22 + 10.2, 92 = 16 1 1   + =  7 11  Kho ng tin c y 95% cho s chênh l%ch lãi su t ngân hàng trung bình gi a hai nhóm nư c trên là: ( -0,8912%;5, 2912% ) 5. 30. Đ nghiên c u lư ng ti n g#i ti t ki%m vào ngân hàng c a hai thành ph , ngư i ta ñi u tra ng u nhiên 23 ngân hàng ' thành ph A và tìm ñư c lư ng ti n g#i trung bình c a m i khách là 1,317 tri%u ñ ng. 7 thành ph B, nghiên c u 32 ngân hàng, tìm ñư c lư ng ti n g#i trung bình c a m i khách là 1,512 tri%u ñ ng. Hãy ư c lư ng s chênh l%ch trung bình gi a lư ng ti n g#i ti t ki%m trung bình c a dân hai thành ph A và B b"ng kho ng tin c y 95%. Bi t r"ng ti n ti t ki%m c a ngư i dân hai thành ph A và B là các BNN tuân theo lu n phân ph i chu(n, v i ñ l%ch chu(n theo th t , là 0,517 tri%u và 0,485 tri%u. Gi i G i X, Y l n lư t là bi n ng u nhiên ch ti n g#i c a ngư i dân thành ph A, B. Ta có x = 1, 317 , n = 23 , σ X = 0, 517 ; y = 1,512; m = 32; σY = 0, 485 . Kho ng tin c y 95% cho hi%u trung bình ti n g#i ti t ki%m c a dân hai thành ph A, B là: ( x − y − e; x − y + e ) t m u và ñ tin c y ta tính ñư c 87 x − y = 1,317 − 1,512 = 0,195 Bài t p Xác su t th ng kê e = u1+ γ . 2 2 X Di p Hoàng Ân 2 Y 2 σ σ 0, 517 0, 485 + = u0,975 + 23 32 n m Do ñó ( x − y − e; x − y + e ) = ( ) 5. 31. M t k4 sư lâm nghi%p nghiên c u chi u cao c a m t lo i cây v i gi thi t là nó có phân ph i chu(n. Trên m t m u có kích thư c n = 10, anh ta tính ñư c chi u cao trung bình c a m i cây là 13,78 và kho ng tin c y 90% c a trung bình t$ng th là (13,063; 14,497). Không may, b s li%u c a m u b th t l c, anh ta ch còn nh các s sau: 12,2; 15; 13; 13,5; 12,8; 15,2; 12; 15,2. B n có th giúp anh ta tìm l i ñư c các s li%u b th t l c không? Gi i Gi s# hai s li%u th t l c là x và y ta có: x= 108, 9 + x + y = 13, 78 10 Suy ra x + y = 137,8 − 108,9 = 28,9 M t khác t kho ng tin c y và trung bình m u ta tính ñư c e = 0, 717 Mà 9 e = t1(+)0,9 2 s= s s 1,8331 (9 ) = t0,95 = s = 0,5797 s 10 10 10 suy ra 0, 717 e = = 1, 2368 0,5797 0,5797 Suy ra s 2 = 1,5298 M t khác s 2 = 1 1 1495, 01 + x 2 + y 2 − 10.13, 782 = x 2 + y 2 − 403,874 9 9 ( ) ( ) Như v y ta có h% phương trình:  x + y = 28, 9  2 2  x + y = 417, 6422 Gi i h% phương trình ta ñư c x = 14,59; y = 14,31 . 5. 32. Công ty ABC mu n nghiên c u nhu c u tiêu dùng v lo i hàng c a công ty ' m t khu v c có 4000 h gia ñình, h ti n hành ñi u tra v nhu c u c a m t hàng ñó ' 400 h gia ñình, ñư c ch n ng u nhiên ' khu v c ñó. K t qu ñi u tra như sau: Nhu c u (kg/tháng) S gia ñình <1 10 88 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [1, 2) 35 [2,3) 86 [3,4) 132 [4,5) 78 [5,6) 34 [6,8) 15 >8 10 a) Hãy ư c lư ng nhu c u trung bình v m t hàng này c a toàn khu v c trong m t năm b"ng kho ng tin c y 95%. b) V i m u trên, khi ư c lư ng nhu c u trung bình v m t hàng này c a toàn khu v c trong m t năm, n u mu n sai s ư c lư ng là 5,7 t n, thì ñ t ñư c ñ tin c y b"ng bao nhiêu? Gi i a) T s li%u ta tính ñư c: n = 400 ; x = 3, 6688 (kg/tháng); s = 1,5870 Kho ng tin c y cho nhu c u trung bình c a m i h là: ( x − e; x + e ) v i e = u0,975 s n N −n 1,5870 3600 = 1, 96. = 0,1476 20 3999 N −1 V y ( x − e; x + e ) = ( 3,5212; 3,8164 ) . Kho ng tin c y cho nhu c u trung bình c a toàn khu v c: ( 3,5212 × 4000 ×12; 3,8164 × 4000 ×12 ) = (169017;183187 ) b) Kho ng tin c y cho nhu c u trung bình c a m i h : ( x − e; x + e ) Do ñó kho ng tin c y cho nhu c u trung bình c a toàn khu v c là: ( x − e; x + e ) × 4000 ×12 . Như v y sai s ư c lư ng nhu c u trung bình cho toàn khu v c là 4000 × 12 × e . Theo ñ bài 5, 7 4000 × 12e = 5700 ⇒ e = = 0,1188 4 × 12 T ñó ta có: u1+γ . 2 ⇒ 1+ γ = 2 s n N −n n N −1 . .0,1188 = 1,578 = 0,1188 ⇒ u1+γ = − N −1 s N n 2 ⇔γ V y, ñ tin c y c n tìm là 88,54%. 5. 33. 89 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân M t lô trái cây c a m t c#a hàng ñ ng trong các s t, m i s t 100 trái. Ngư i ta ti n hành ki m tra ng u nhiên 50 s t, thì th y có 450 trái không ñ t tiêu chu(n. a) Tìm kho ng tin c y 96% cho t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng. b) N u mu n ư c lư ng t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng, v i sai s b"ng 0,5% thì ñ tin c y ñ t ñư c là bao nhiêu? Gi i a) G i p là t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng. Giá tr t l% m u: p = 450 = 0, 09 5000 Kho ng tin c y 96% cho p : ( p − e; p + e ) p (1 − p ) e = u1+ 0,96 . n 2 = u0,98 0, 09 (1 − 0, 09 ) = 2, 0537. 5000 0, 09 (1 − 0, 09 ) 5000 = 0, 008 Kho ng tin c y cho p : ( 0, 082;0, 098) t c là t 8,2% ñ n 9,8%. b) Gi s# γ là ñ tin c y c m tìm. Theo ñ bài: e = u1+γ . 2 ⇒ p (1 − p ) n = 0, 005 ⇔ u1+γ = 0, 005. = 1, 2354 n p (1 − p ) 2 1+ γ = 0,8917 ⇔ γ = 0, 7833 2 Do ñó ñ tin c y là: 78,33% . 5. 34. M t lô trái cây c a m t c#a hàng ñ ng trong các s t, m i s t 100 trái. Ngư i ta ti n hành ki m tra ng u nhiên 50 s t, thì th y có 450 trái không ñ t tiêu chu(n. a) Tìm kho ng tin c y 96% cho t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng. b) N u mu n ư c lư ng t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng, v i ñ tin c y 99% và sai s không l n hơn 1%, thì c n ki m tra bao nhiêu s t? Gi i a) G i p là t l% trái cây không ñ t tiêu chu(n c a lô hàng. Giá tr t l% m u: p = 450 = 0, 09 5000 90 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Kho ng tin c y 96% cho p : ( p − e; p + e ) e = u1+ 0,96 . p (1 − p ) n 2 = 2, 0537. = u0,98 0, 09 (1 − 0, 09 ) 5000 0, 09 (1 − 0, 09 ) 5000 = 0, 008 Kho ng tin c y cho p : ( 0, 082;0, 098) t c là t 8,2% ñ n 9,8%. b) G i n1 là s trái cây c n ki m tra. Khi ñó: n1 ≥ u12+ 0,99 . p (1 − p ) 2 ε 2 = 2,57582. 0, 09 (1 − 0, 09 ) 0, 012 = 5433,9 Do ñó, n1 = 5434 trái, do ñó s s t c n ki m tra là: S = [5434 /100] + 1 = 55 (s t) 5. 35. M t công ty s n xu t b t gi t mu n thăm dò m c ñ tiêu th, s n ph(m này trong thành ph H. Công ty ti n hành ñi u tra 500 h gia ñình và có k t qu sau: Nhu c u (kg/tháng) <1 [1; 1,5) [1,5; 2) [2; 2,5) [2,5; 3) [3; 3,5) ≥ 3,5 S h gia ñình 21 147 192 78 34 16 12 Gi s# thành ph H có 10.000 h gia ñình. a) Hãy ư c lư ng nhu c u b t gi t trung bình l n nh t c a toàn thành ph H trong m t năm v i ñ tin c y 96% b) Đ ư c lư ng nhu c u b t gi t trung bình c a m t h trong m t tháng v i sai s ư c lư ng không quá 50 gam và ñ tin c y 95% thì c n ñi u tra thêm bao nhiêu h gia ñình n a? Gi i a) T d li%u ñã cho ta tính ñư c: Giá tr trung bình m u: x = 1,803 Giá tr ñ l%ch chu(n m u: s = 0, 6233 Sai e = u0,96 s ư c s s = = n n lư ng cho kho ng tin = Do ñó nhu c u b t gi c trung bình c a m t h l n nh t là: x + e = 1,803 + 0, 0488 = 1,8518 (kg) V y nhu c u l n nh t c a thành ph trong m t năm là: 91 c y 96% là: Bài t p Xác su t th ng kê × × Di p Hoàng Ân ( ). 2 2 u   1,96.0, 6233  s ≤ 0, 05 ⇒ n ≥  0,975 .s  =   = 596, 9134 0, 05 n   0, 05   b) Ta có u0,975 Suy ra, n1 = 597 V y c n ñi u tra thêm ít nh t 97 h n a. 5. 36. M t công ty s n xu t b t gi t mu n thăm dò m c ñ tiêu th, s n ph(m này trong thành ph H. Công ty ti n hành ñi u tra 500 h gia ñình và có k t qu sau: Nhu c u (kg/tháng) <1 [1; 1,5) [1,5; 2) [2; 2,5) [2,5; 3) [3; 3,5) ≥ 3,5 S h gia ñình 21 147 192 78 34 16 12 Gi s# thành ph H có 10.000 h gia ñình. a) Nh ng h có nhu c u trên 2 kg trong m t tháng ñư c g i là nh ng h có nhu c u sao. Tìm kho ng tin c y 95% cho t l% nh ng h có nhu c u cao ' thành ph H. b) Đ ư c lư ng nhu c u b t gi t trung bình c a m t h trong m t tháng v i sai s ư c lư ng không quá 50 gam và ñ tin c y 95% thì c n ñi u tra thêm bao nhiêu h gia ñình n a? Gi i a) T d li%u ñã cho ta tính ñư c: Giá tr trung bình m u: x = 1,803 Giá tr ñ l%ch chu(n m u: s = 0, 6233 Giá tr t l% m u: p = 140 = 0, 28 500 Kho ng tin c y 95% cho t. l% nh ng h có nhu c u cao: ( x − e; x + e ) sai s e = u1+ γ . 2 p (1 − p ) = u0,975 .0, 0201 = n Kho ng tin c y 95%: ( 0, 2406;0,3194 ) 2 b) Ta có u0,975 2 u   1,96.0, 6233  s ≤ 0, 05 ⇒ n ≥  0,975 .s  =   = 596, 9134 0, 05 n   0, 05   Suy ra n1 = 597 V y c n ñi u tra thêm ít nh t 97 h n a. 92 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 5. 37. Đ ñánh giá m c tiêu hao nhiên li%u c a m t lo i xe ô tô, ngư i ta theo dõi lư ng tiêu hao nhiên li%u (lít/100 km) c a 100 chuy n xe và có k t qu sau: Lư ng tiêu hao S chuy n xe [35; 40) [40; 45) [45; 50) [50; 55) 14 20 36 [55; 60) 22 8 a) Tìm kho ng tin c y 95% cho lư ng tiêu hao nhiên li%u trung bình c a lo i xe nói trên b) Xe c n ñưa vào ki m tra k4 thu t là xe có m c tiêu hao nhiên li%u t 55 lít/100 km tr' lên. Hãy ư c lư ng t l% xe c n ñưa vào ki m tra k4 thu t t i thi u ' ñ tin c y 95%. Gi i a) G i X là bi n ng u nhiên ch m c tiêu hao nguyên li%u cho m i chuy n xe. T s li%u trên ta xây d ng ñư c b ng sau: x = 47 1  5  s 2 =  ∑ ni xi2 − nx 2  = 99  i =1  s = u1+ 0,95 . = e = u1+ γ . 100 n 2 2 100 Do ñó kho ng tin c y 95% cho lư ng tiêu hao nguyên li%u trung bình: ( 45,88; 48,12 ) b) T. l% xe c n ki m tra k4 thu t c a m u: p = 8 = 0, 08 100 T l% xe c n ñưa vào ki m tra k4 thu t t i thi u ' ñ tin c y 95% là p ≥ p − e v i e = uγ p (1 − p ) n = u0,95 0, 08.0,92 = 0, 045 10 Suy ra p ≥ 0, 08 − 0, 045 = 0, 035 . 93 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CHƯƠNG 6: KI M Đ NH GI THI T 6. 1. Trong m t cu c ñi u tra v nh p m ch c a 64 thanh niên làm ngh A, k t qu là nh p m ch trung bình 74 l n/phút và ñ l%ch chu(n b"ng 9 l n/phút. Hãy ki m ñ nh xem ñ c ñi m ngh A có làm cho nh p m ch c a thanh niên tăng quá m c bình thư ng không, bi t r"ng nh p m ch bình thư ng c a thanh niên là 72 l n / phút. ( k t lu n v i m c α = 1% ). Gi i: G i X là bi n ng u nhiên ch nh p m ch c a thanh niên làm ngh A. Ta c n ki m ñ nh gi thi t: H 0 : µ = 72; H1 : µ > 72 , ' m c α = 1% . N u H 0 ñúng thì bi n ng u nhiên U = X − 72 64 ~ N ( 0,1) . s V i α = 1% , gtth = u1−α = u0,99 = 2,5758 . 74 − 72 16 = 1, 778 < gtth . .8 = 9 9 V y, ta ch p nh n gi thi t H 0 nghĩa ngh A không làm tăng nh p ñ p c a thanh V i m u c, th ta có u = niên. 6. 2. Đi u tra Cholesterol toàn ph n trong huy t thanh c a 25 b%nh nhân b m t lo i b%nh B, ta có trung bình c ng c a lư ng Cholesterol là 172 mg% và ñ l%ch chu(n b"ng 40 mg%. Theo tài li%u v h"ng s sinh hoá bình thư ng c a ngư i Vi%t Nam thì lư ng Cholesterol trung bình toàn ph n trong huy t thanh là 156 mg% và tuân theo lu t phân ph i chu(n. H i lư ng Cholesterol c a các b%nh nhân m c b%nh B có cao hơn bình thư ng không? (k t lu n ' m c α = 5% ) . Gi i: Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ = 156 ( mg % ) ; H1 : µ > 156 ( mg ) ' m c α = 5% . X − 156 25 ~ t ( 24 ) S ( 24 ) = t0,95 = 1, 7109 N u H 0 thì bi n ng u nhiên T = ) V i m c α = 0, 05 ta có t1(−240,05 V i m u c, th ta tính ñư c: t= 172 − 156 24 5 = 2 > t0,95 . V y H 0 b bác b nghĩa là lư ng Cholesterol c a b%nh 40 nhân m c b%nh B cao hơn bình thư ng. 6. 3. M t công ty bào ch m t lo i thu c ch a d ng tuyên b r"ng thu c c a h có hi%u qu không dư i 90% trong vi%c làm gi m cơn d ng trong vòng 8 gi . M t m u g m 200 ngư i b d ng s# d,ng lo i thu c trên, có 160 ngư i gi m cơn d ng. Hãy xác ñ nh xem l i tuyên b c a công ty có giá tr không? ( ' m c ý nghĩa α = 0,07). Gi i: 94 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân G i p là t l% ngư i gi m d ng khi dùng thu c c a công ty trong vòng 8 gi . Ta c n xác ñ nh xem p có b"ng 90% tr' lên hay không. Mu n v y ta ki m ñ nh gi thi t: H 0 : p = p0 = 90%; H1 : p < p0 = 90% ' m c ý nghĩa α = 0,07. P − p0 n ~ N ( 0, 1) N u H 0 ñúng thì bi n ng u nhiên U = p0 (1 − p0 ) V i m c α = 0, 07 ta có gtth = −u1−α = −u0,93 = −1, 4758 . V i m u c, th ta có: u = 160 / 200 − 0, 9 200 = −4, 714 < gtth = −1, 4758 . 0, 9.0,1 V y ta bác b gi thi t H 0 nghĩa là tuyên b c a công ty không có giá tr . K t lu n ' m c ý nghĩa 0,07. 6. 4. (3 ñi m) Trư c ñây, Nhà máy Alpha s n xu t ra m t lo i s n ph(m v i t l% ph ph(m 5%. Năm nay, sau ñ t c i ti n k4 thu t, ñ ki m tra hi%u qu , ngư i ta l y ra ra m t m u g m 800 s n ph(m ñ ki m tra thì th y có 24 ph ph(m. a) V i m c ý nghĩa α = 5%, hãy ki m ñ nh xem ñ t c i ti n k4 thu t có th c s làm gi m t l% ph ph(m không?. b) Sau ñ t c i ti n k4 thu t, n u nhà máy báo cáo t l% ph ph(m là 2% thì có ch p nh n ñư c không? (' m c ý nghĩa α = 3%). Gi i: a) G i p là t. l% ph ph(m sau ñ t c i ti n kĩ thu t, t l% m u . Ta c n ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : p = p0 = 5%; ñ i thi t H1 : p < p0 ' m c ý nghĩa α = 5%. N u H 0 ñúng thì U = P − p0 p0 (1 − p0 ) n ~ N ( 0,1) V i m c α = 5% ta có gtth = −u1−α = −u0,95 = −1, 65 . V i m u c, th ta tính ñư c u= p − p0 p0 (1 − p0 ) V y, ta bác b ph(m. n= 0, 03 − 0, 05 800 = −2, 6 < gtth 0, 05.0, 95 H 0 nghĩa là ñ t c i ti n kĩ thu t th t s làm gi m t. l% ph b) Ta ki m ñ nh gi thi t H 0 : p = p0 = 2%; ñ i thi t H1 : p ≠ p0 ' m c α = 3% . N u H 0 ñúng thì U = P − p0 p0 (1 − p0 ) n ~ N ( 0,1) . 95 Bài t p Xác su t th ng kê Vơi s m c α = 3% ta có gtth = u Di p Hoàng Ân 1− α 2 = u0,985 = 2,17 . T m u c, th ta tính ñư c. u = p − p0 p0 (1 − p0 ) n= 0, 03 − 0, 02 800 = 2, 02 < gtth 0, 02.0,98 V y ta ch p nh n H 0 nghĩa là ch p nh n l i tuyên b c a công ty. 6. 5. Ti n lương hàng tu n trung bình trên m t m u g m 30 công nhân trong m t xí nghi%p l n là 180 (ngàn ñ ng) v i v i ñ l%ch chu(n 14 (ngàn ñ ng). Trong m t xí nghi%p l n khác, m t m u g m 40 công nhân ñư c ch n ng u nhiên có ti n lương hàng tu n trung bình là 170 (ngàn ñ ng) v i ñ l%ch chu(n 10 (ngàn ñ ng). Ti n lương hàng tu n trung bình ' hai xí nghi%p trên có khác nhau không? ( ' m c ý nghĩa α = 5%). Gi s# ti n lương hàng tu n c a hai xí nghi%p là bi n ng u nhiên có phân ph i chu(n có cùng phương sai. Gi i: G i X, Y là ti n lương hàng tu n c a m i công nhân c a hai xí nghi%p trên tương ng. Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ X = µY ; H1 : µ X ≠ µY ' m c α = 5% . X −Y N u H 0 ñúng thì T = v i S2 = S 2 ( 1 n + 1 m ) ~ t ( n + m − 2) (n − 1) S X2 + (m − 1) SY2 n+m−2 ( 68) = 1,9955 v i m c α = 5% ta có gtth = t ( nα+ m −2) = t0,975 1− 2 V i m u c, th ta tính ñư c s 2 = Do ñó ttn = V y ta bác b trên là khác nhau. x − y s 2 ( n1 + 1 m ) = 29.14 2 + 39.102 = 140 ,94 78 180 − 170 1   1 140 ,94  +   30 40  = 3, 4876 > gtth H 0 nghĩa là ti n lương hàng tu n trung bình ' hai xí nghi%p 6. 6. G i X và Y l n lư t là bi n ng u nhiên ch kh i lư ng c a tr sơ sinh trai và tr sơ sinh gái. Cho bi t X và Y tuân theo lu t phân ph i chu(n có cùng phương sai. Kh o sát ng u nhiên 20 tr sơ sinh trai, ngư i ta tính ñư c x = 3200 g, s X = 400 g và 17 tr sơ sinh gái, ngư i ta tính ñư c y = 3000 g, sY = 380 g. Ph i chăng kh i lư ng c a tr sơ sinh trai l n hơn kh i lư ng c a tr sơ sinh gái? (k t lu n v i m c ý nghĩa α = 5%) Gi i: 96 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ X = µY ; H1 : µ X > µY ' m c α = 5%. X −Y N u H 0 ñúng thì T = 2 v i S = S2 ( 1 n + 1 m (n − 1) S X2 + (m − 1) SY2 n+m−2 ~ t ( n + m − 2) ) ; n = 20; m = 17 . Giá tr t i h n gtth = t1(−nα+ m −2) = t035,95 = 1,6896 V i m u c, th ta có s 2 = ttn = x − y s 2 ( 1 n + 1 m = ) 19.4002 + 16.3802 = 152868,57 35 3200 − 3000  1 1 152868,57  +   20 17  = 1,55 < gtth Ta ch p nh n H 0 nghĩa là tr ng lư ng c a tr sơ sinh trai không l n hơn tr ng lư ng c a tr sơ sinh gái (α = 5%). 6. 7. Kh i lư ng c a m t lo i s n ph(m do m t nhà máy s n xu t là m t bi n ng u nhiên tuân lu t phân ph i chu(n N(500; (8,5)2). Sau m t th i gian s n xu t, ban lãnh ñ o nhà máy nghi ng r"ng kh i lư ng c a lo i s n ph(m này có xu hư ng gi m, nên ti n hành cân th# 25 s n ph(m và thu ñư c k t qu sau: Kh i lư ng (g) 480 485 490 495 500 510 S s n ph(m 2 3 8 5 3 4 V i m c ý nghĩa α = 5% , hãy cho k t lu n v ñi u nghi ng trên. Gi i: T s li%u ta tính ñư c x = 494 ; s = 8,9 n = 25 . Ta ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ = µ0 = 500; H1 : µ < µ0 ' m c α = 5% . N u H 0 ñúng thì BNN U = X − µ0 n ~ N ( 0 ,1) v i n = 25;σ = 8,5; µ0 = 500 σ V i m c α = 5% ta có gtth = −u1−α = −u0 ,95 = −1,65 V i m u c, th giá tr c a U là u = 494 − 500 .5 = −3,53 < gtth nên H 0 b bác 8 ,5 b nghĩa là ñi u nghi ng trên là ñúng. 6. 8. M t công ty mu n ñánh giá v hi%u qu c a m t ñ t qu ng cáo ñ i v i s s n ph(m bán ra c a công ty. 10 c#a hàng bán s n ph(m c a công ty ñư c ch n ng u nhiên ñ theo dõi s lư ng s n ph(m bán ra trong m t tu n trư c ñ t qu ng cáo (TĐQC) và m t tu n sau ñ t qu ng cáo (SĐQC). C# a 1 2 3 4 5 97 6 7 8 9 10 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân hàng TĐQC 53 114 81 86 34 66 89 113 88 111 SĐQC 137 135 83 125 47 46 114 157 57 144 Hãy cho k t lu n v hi%u qu c a ñ t qu ng cáo (' m c α = 5%). Gi i: G i D là hi%u s gi a s s n ph(m bán ra sau qu ng cáo và trư c qu ng cáo c a m i c a hàng. B ng hi%u s : D 84 21 2 39 13 -20 25 44 -31 33 T ñó ta tính ñư c d = 21;sD = 32,98 . Ta c n ki m ñ nh gi thi t sau ' m c α = 5% . H 0 : µ D = 0; H 1 : µ D > 0 N u H 0 ñúng thì T = D n ~ t ( n − 1) SD V i α = 5% gtth = t1(−9α) = V i m u c, th ta có t = 21 10 = 2 , 01 > gtth 32 ,98 Nên H 0 b bác b . V y, ñ t qu ng cáo th t s làm tăng s lư ng s n ph(m bán ra. 6. 9. M t máy s n xu t t ñ ng có t l% s n xu t ra s n ph(m lo i A lúc ñ u là 48%. Máy ñư c c i ti n và sau m t th i gian áp d,ng, ngư i ta ki m tra 40 h p, m i h p g m 10 s n ph(m và ghi l i s s n ph(m lo i A trong m i h p (SSPLA/h) như sau : SSPLA/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S h p 2 0 4 6 8 10 4 5 1 0 Hãy cho k t lu n v hi%u qu c a vi%c c i ti n máy ' m c ý nghĩa α = 0,05. Gi i: G i là t l% s n ph(m l o A sau ñ t c i ti n k4 thu t. T l% s n ph(m lo i A trên m u kh o sát: p= 215 43 = 400 80 Ki m ñ nh gi thi t: H 0 : p = p0 = 48%; H1 : p > p0 ' m c α = 5% . 98 Bài t p Xác su t th ng kê N u H 0 ñúng thì BNN U= P − p0 p0 (1 − p0 ) Di p Hoàng Ân n ~ N ( 0,1) V i m c ý nghĩa α = 0, 05 giá tr t i h n b"ng: u1−α = u0,95 = 1, 6449 V i m u c, th , ta tính ñư c: u= 43 − 0, 48 80 400 = 2,3018 n= 0, 48 (1 − 0, 48 ) p − p0 p0 (1 − p0 ) Vì u > gtth nên H 0 b bác b nghĩa là vi%c c i ti n k4 thu t th t s mang l i hi%u qu . 6. 10. Kh i lư ng trung bình khi xu t chu ng ' m t tr i chăn nuôi gà công nghi%p năm trư c là 3,3 kg/con. Năm nay ngư i ta s# d,ng lo i th c ăn m i. Sau m t th i gian, cân th# 15 con khi xu t chu ng, có các s li%u sau: (ñơn v kg) 3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02; 3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50, Gi thi t kh i lư ng gà là bi n ng u nhiên phân ph i theo qui lu t chu(n v i phương sai 0,04. V i m c ý nghĩa α = 0,05, hãy cho k t lu n v tác d,ng c a lo i th c ăn m i. Gi i: G i X là BNN ch kh i lư ng gà khi xu t chu ng. Theo gi X ~ N ( µ ; 0, 22 ) . T s li%u ñã cho ta tính ñư c: x = 3, 62 ; s = 0, 405 . thi t N u th c ăn m i có tác d,ng t t thì kh i lư ng trung bình c a gà xu t chu ng năm nay s+ cao hơn. Mu n k t lu n v ñi u ñó ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : µ = µ0 = 3,3 ( N u H 0 ñúng thì BNN U = ) ; H1 : µ > µ0 ' m c ý nghĩa α = 5% . X − µ0 σ n ~ N ( 0,1) V i m c ý nghĩa α = 0, 05 gtth = u1−α = u1=0,05 = u0,95 = 1,6449 V i m u c, th ta tính ñư c: u= x − µ0 σ n= 3, 62 − 3,3 15 = 6, 2 0, 2 Vì u > gtth nên H 0 b bác b . V y, kh i lư ng trung bình c a gà xu t chu ng năm nay cao hơn năm trư c, nghĩa là th c ăn m i có tác d,ng tăng tr ng lư ng gà. 6. 11. Đ ñi u tra kh i lư ng gà xu t chu ng ' m t tr i chăn nuôi gà công nghi%p năm nay. Ngư i ta cân th# 15 con khi xu t chu ng, có các s li%u sau: (ñơn v kg) 3,25; 2,50; 4,00; 3,75; 3,80; 3,90; 4,02; 99 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 3,60; 3,80; 3,20; 3,82; 3,40; 3,75; 4,00; 3,50, Gi thi t kh i lư ng gà là bi n ng u nhiên phân ph i theo qui lu t chu(n v i phương sai 0,04. Có nên báo cáo kh i lư ng trung bình c a gà xu t chu ng năm nay là 3,7 kg/con hay không? (' m c ý nghĩa α = 0,05). Gi i: G i X là BNN ch kh i lư ng gà xu t chu ng năm nay. Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ = µ0 = 3,7 ( kg ) ; H1 : µ ≠ µ0 ' m c α = 5% . X − µ0 N u H 0 ñúng thì BNN U = σ n ~ N ( 0,1) V i m c ý nghĩa α = 0, 05 gtth = u1−α / 2 = u1=0,025 = u0,975 = 1,96 V i m u c, th ta tính ñư c: u= x − µ0 n= 3, 62 − 3, 7 15 = −1,55 0, 2 σ Vì | u |< gtth nên H 0 không b bác b . V y, ' m c ý nghĩa 5% ta công nh n báo cáo c a tr i chăn nuôi. 6. 12. M t cu c ñi u tra c a H i ph, n ñ ñánh giá v m t dư lu n xã h i cho r"ng lương c a ph, n th p hơn lương c a nam gi i. M t m u nhiên g m 4 ñàn ông có lương trung bình là 78,0 (ngàn ñ ng), v i ñ l%ch chu(n m u là 24,4; m t m u ng u nhiên khác ñ c l p v i m u trên g m 4 ph, n có lương trung bình là 63,5 (ngàn ñ ng), v i ñ l%ch chu(n là 20,2. Gi s# r"ng lương c a c nam và n gi i ñ u là các bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu(n có cùng phương sai. Hãy cho k t lu n v cu c ñi u tra trên ' m c ý nghĩa 10%. Gi i: G i X , Y theo th t là lương c a ñàn ông và ph, n . Ta ki m ñ nh gi thi t: H 0 : µ X = µY ; H1 : µ X > µY ' m c α = 10% . X −Y N u H 0 ñúng thì BNN U = Vơi S 2 1 1  S2  +  n m ~ t ( n + m − 2) n − 1) S X2 + ( m − 1) SY2 ( = n+m−2 ( 6) V i m c ý nghĩa α = 10% , gtth = t1(−nα+ m−2) = t0,9 = V i m u c, th : s 2 = 22, 42 Và t = x−y 1 1  s  +  n m 2 = 78 − 63,5 1 1 22, 4  +  4 4 = 0,915 2 100 Bài t p Xác su t th ng kê Vì t < gtth nên H 0 không b bác b . Di p Hoàng Ân V y, k t lu n c a cu c ñi u tra chưa ñúng. 6. 13. Ngư i ta mu n nghiên c u tác d,ng c a vi%c cho sinh viên ñi th c t xem s ti p thu ki n th c có t t hơn không b"ng cách so sánh ñi m thi c a nhóm sinh viên không ñi th c t (SVKĐTT) v i nhóm sinh viên có ñi th c t (SVCĐTT). K t qu như sau: Đi m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 SVCĐTT 0 0 3 9 7 5 17 10 11 4 1 SVKĐTT 3 3 6 1 1 7 13 10 12 4 1 3 G i X và Y l n lư t là bi n ng u nhiên bi u th ñi m s c a sinh viên có ñi th c t và sinh viên không ñi th c t . Đi m thi c a nhóm sinh viên có ñi th c t có th c s t t hơn không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 0,01 ) Gi i: Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ X = µY ; H1 : µ X > µY ' m c ý nghĩa α = 0,01 N u H 0 ñúng thì BNN U = X −Y s X2 sY2 + n m ~ N ( 0 ,1) V i α = 0,01 ta có gtth = u1−α = u1−0 ,01 = u0 ,99 = V i m u c, th ta tính ñư c T b ng s li%u ta có: n = 67 x = 5,85 ; s X = 2 ; m = 73 ; y = 4,88; sY = 2 ,39 . utn = 5,85 − 4 ,88 22 2 ,392 + 67 73 = 2 , 6116 > gtth Nên H 0 b bác b nghĩa là SVCĐTT có ñi m cao hơn SVKĐTT. 6. 14. M t công ty v n t i, mu n ñánh giá tác d,ng c a m t lo i ch t ph, gia pha vào xăng, ñã ch n 10 chi c xe. Cho m i chi c ch y hai l n v i cùng ñi u ki%n như nhau; nhưng l n ñ u v i xăng không có ch t ph, gia (KPG), l n sau, v i cùng m t lư ng xăng như l n ñ u, có ch t ph, gia (CPG). Ngư i ta ghi l i s d m ñã ñi ñư c c a 10 chi c xe trên trong hai l n như sau: Xe KPG CPG Xe 101 KPG CPG Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 1 26,2 26,7 6 15,8 15,7 2 25,7 25,8 7 13,9 14,2 2 22,3 21,9 8 12,0 12,6 4 19,6 19,3 9 11,5 11,9 5 18,1 18,4 10 10,0 10,3 Có s khác nhau gi a s d m trung bình ñi ñư c v i xăng không có ch t ph, gia và có ch t ph, gia không? (k t lu n ' m c ý nghĩa 5%) Gi i: G i X , Y l n lư t là các BNN ch s dăm ñi ñư c c a xe KPG và xe CPG. Đ t D = X − Y . B ng s li%u cho D : Xe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 di -0,5 -0,1 0,4 0,3 -0,3 0,1 -0,3 -0,6 -0,4 -0,3 T ñó ta tính ñư c: d = −0,17, sD = 0, 3368 Đ xét xem khác nhau v s d m trung bình gi a xe KPG và xe CPG ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : µ D = 0; µ D ≠ 0 ' m c α = 5% . N u H 0 ñúng thì BNN T = D 10 ~ t ( 9 ) SD ( 9) = 2, 2622 V i α = 5% = 0, 05 : gtth = t (9)0,05 = t0,975 1− V i m u c, th ta có: t = 2 −0,17 10 = 1,596 0, 3368 Vì | t |< gtth nên H 0 ñư c ch p nh n. V y, ' m c ý nghĩa α = 5% không có s khác nhau gi a s d m trung bình ñi ñư c v i xăng không có ch t ph, gia và có ch t ph, gia. 6. 15. Kh i lư ng bao g o (KLBG) là bi n ng u nhiên có phân ph i chu(n N ( 50;0, 01) . Có nhi u ý ki n c a khách hàng ph n ánh là kh i lư ng b thi u. M t nhóm thanh tra ñã cân ng u nhiên 25 bao g o trong kho và ñư c k t qu như sau: KLBG (kg) (48; 48,5] (48,5; 49] (49; 49,5] (49,5; 50] (50; 50,5] S bao g o 2 5 10 6 2 Hãy ki m ñ nh xem ý ki n c a khách hàng ph n ánh có ñúng không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5%). Gi i: 102 Bài t p Xác su t th ng kê G i X là BNN ch kh i lư ng bao g o. T x = 49, 27; s = 0,53 . Di p Hoàng Ân s li%u ñã cho ta tính ñư c Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : µ = µ0 = 50 ( ) ; H1 : µ < µ0 ' m c ý nghĩa α = 5% N u H 0 ñúng thì BNN U = X − µ0 n ~ N ( 0,1) σ V i m c ý nghĩa α = 5% gtth = −u1−0,05 = −1,6449 V i m u c, th : = 49, 27 − 50 25 = −36,5 0,1 Vì u < gtth nên H 0 b bác b . Nghĩa là ý ki n c a khách hàng ph n ánh là ñúng (α = 5%). 6. 16. M t m u g m 300 c# tri ' khu v c A và m t m u g m 200 c# tri ' khu v c B cho th y có 56% và 48%, theo th t , ng h ng c# viên X. 7 m c ý nghĩa 5%, hãy ki m ñ nh gi thi t: a) Có s khác bi%t gi a hai khu v c v s ng h ng c# viên X. b) :ng c# viên X ñư c ng h hơn ' khu v c A. Gi i: G i p A và pB theo th t là t. l% ng h ng c# viên X ' khu v c A và B. a) Ta ki m ñ nh gi thi t H 0 : p A = pB ; H1 : p A ≠ pB ' m c ý nghĩa α = 5% . N u p0 = H0 ñúng thì U= PA − PB 1 1  p0 (1 − p0 )  +  n m ~ N ( 0 ,1) v i np A + mpB = 0 ,528 n+m V i α = 5% ta có gtth = u 1− Giá tr th c nghi%m u = α = u0 ,975 = 1,96 2 0 ,56 − 0 , 48 1   1 + 0 ,528.0 , 472    300 200  = 1, 755 < gtth Do ñó H 0 không b bác b nghĩa là s khác nhau gi a t. l% ng h gi a hai khu v c A, B ñ i v i ng c# viên X không có ý nghĩa v m t th ng kê. b) Ta ki m ñ nh gi thi t H 0 : p A = pB ; H1 : p A > pB ' m c ý nghĩa α = 5% . N u H 0 ñúng thì U = PA − PB 1 1  p0 (1 − p0 )  +  n m 103 ~ N ( 0 ,1) Bài t p Xác su t th ng kê np + mpB p0 = A = 0 ,528 n+m Di p Hoàng Ân V i α = 5% ta có gtth = u1−α = u0 ,95 = 1,65 u= 0 ,56 − 0 , 48 1   1 + 0 ,528.0 , 472    300 200  = 1, 755 > gtth Nên H 0 b bác b nghĩa là ng c# viên X ñư c ng h nhi u hơn ' khu v c A. 6. 17. Đi u tra ng u nhiên 200 ngư i có hút thu c lá, th y có 28 ngư i b lao ph$i; 170 ngư i không hút thu c lá, th y có 12 ngư i b lao ph$i. T l% lao ph$i gi a nh ng ngư i có và không hút thu c lá có khác khau không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 1%). Gi i: G i p1 , p2 l n lư t là t l% lao ph$i nh ng ngư i có hút thu c lá và không hút thu c lá. Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : p1 = p2 ; H1 : p1 ≠ p2 ' m c α = 1% . N u H 0 ñúng thì BNN U = V i p0 = 1 1  p0 (1 − p0 )  +  n m ~ N ( 0,1) np1 + mp2 28 + 12 40 4 = = = n+m 370 370 37 V i m c α = 1% , gtth = u 1− V i u= P1 − P2 α c, m u p1 − p2 1 1  p0 (1 − p0 )  +  n m = = u0,995 = 2,5758 2 th ta có: 28 12 − 200 170 = 2,1428 4  4  1 1  1 −   +  37  37   n m  Ta có | u |< gtth nên H 0 không b bác b nghĩa là t l% lao ph$i gi a nh ng ngư i có và không hút thu c lá không khác khau (α = 1%). 6. 18. M t nhà máy có hai phân xư'ng A và B cùng s n xu t m t lo i tr,c máy. Sau m t th i gian ho t ñ ng, ch n ng u nhiên 20 tr,c máy do phân xư'ng A s n xu t, ngư i ta ño ñư c ñư ng kính c a chúng như sau (ñơn v mm) 250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245; 248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249. 104 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi s# ñư ng kính c a các tr,c máy ' hai phân xư'ng A và B tuân theo lu t phân ph i chu(n có cùng phương sai. Đo ng u nhiên ñư ng kính 20 tr,c máy do phân xư'ng B s n xu t, ngư i ta tính ñư c ñư ng kính trung bình là 249,8 v i phương sai 56,2. Hãy ki m ñ nh, ' m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t H 0 cho r"ng ñư ng kính trung bình các tr,c máy ñư c s n xu t ' hai phân xư'ng là như nhau ñ i v i gi thi t H1 cho r"ng chúng khác nhau. Gi i: G i X , Y l n lư t là ñư ng kính tr,c máy do phân xư'ng A, B tương ng s n xu t. Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ X = µY ; H1 : µ X ≠ µY ' m c ý nghĩa α = 5%. N u H 0 ñúng thì BNN T = V i n = 20; m = 20 và S 2 X −Y 1 1  S2  +  n m ~ t ( n + m − 2) n − 1) S X2 + ( m − 1) SY2 ( = n+m−2 ( 38) V i ' m c ý nghĩa α = 5%, gtth = t ( nα+ m− 2) = t0,975 = 1− 2 V i m u c, th : x = 251, 25 và s X = 7, 7111 s2 = t= 19.s X2 + 19 sY2 19.7, 71112 + 19.56, 2 = = 57,83 38 38 x−y 1 1  s2  +  n m = 251, 25 − 249,8 1   1 57,83  +   20 20  = 0, 6029 Vì | t |< gtth nên H 0 ñư c ch p nh n. Đư ng kính trung bình các tr,c máy ñư c s n xu t ' hai phân xư'ng là như nhau (' m c ý nghĩa α = 5%). 6. 19. Phân xư'ng A c a m t nhà máy s n xu t m t lo i tr,c máy. Sau m t th i gian ho t ñ ng, ch n ng u nhiên 20 tr,c máy do phân xư'ng A s n xu t, ngư i ta ño ñư c ñư ng kính c a chúng như sau (ñơn v mm) 250; 249; 251; 253; 248; 250; 250; 252; 257; 245; 248; 247; 249; 250; 280; 250; 247; 253; 256; 249. Gi s# ñư ng kính c a các tr,c máy c a phân xư'ng A tuân theo lu t phân ph i chu(n. Bi t ñư ng kính c a m t tr,c máy do phân xư'ng A s n xu t, theo qui ñ nh là 250 mm. Hãy cho k t lu n v ch t lư ng s n xu t c a phân xư'ng A ' m c ý nghĩa α = 5%. 105 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Gi i: G i X l n lư t là ñư ng kính tr,c máy do phân xư'ng A s n xu t. T s li%u ta có: x = 251, 25 và s = 7, 7111 Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : µ X = µ0 = 250; H1 : µ X ≠ µ0 ' m c α = 5%. N u H 0 ñúng thì BNN T = X − µ0 n ~ t ( n − 1) S (19) V i m c α = 5% gtth = t (19α) = t0,975 = 2, 0930 1− V i m u c, th ta có: t = 2 251, 25 − 250 20 = 0, 786 7,111 Vì | t |< gtth nên H 0 ñư c ch p nh n. Do ñó Tình hình s n xu t c a phân xư'ng A bình thư ng (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5%). 6. 20. S n ph(m c a m t xí nghi%p ñúc cho phép s khuy t t t trung bình cho m t s n ph(m là 3. Sau m t ñ t c i ti n k4 thu t, ngư i ta l y ng u nhiên 36 s n ph(m ñ ki m tra s khuy t t t trên m i s n ph(m (SKTTMSP). K t qu thu ñư c như sau: SKTTMSP 0 6 1 2 S s n ph(m 7 1 4 4 3 6 4 5 8 6 Hãy cho k t lu n v hi%u qu c a ñ t c i ti n k4 thu t ñ i v i s khuy t t t trung bình c a m t s n ph(m ' m c ý nghĩa α = 10%. Gi i: T s li%u ta tính ñư c x = 2, 7222; s = 1,86 Đ k t lu n v hi%u qu ñ t c i ti n k4 thu t ta ki m ñ nh gi thi t: H 0 : µ = µ0 = 3; H1 : µ < µ0 ' m c ý nghĩa α = 10% X − µ0 n ~ N ( 0,1) s V i ' m c ý nghĩa α = 10% gtth = −u1−α = −u0,9 = − N u H 0 ñúng thì BNN U = V i m u c, th u = 2, 722 − 3 36 = −0,896 1,86 Vì u > gtth nên H 0 không b bác b nghĩa là ñ t c i ti n k4 thu t không mang l i hi%u qu (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 10%). 106 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 6. 21. S n ph(m c a m t xí nghi%p ñúc cho phép s khuy t t t trung bình cho m t s n ph(m là 3. Sau m t ñ t c i ti n k4 thu t, ngư i ta l y ng u nhiên 36 s n ph(m ñ ki m tra s khuy t t t trên m i s n ph(m (SKTTMSP). K t qu thu ñư c như sau: SKTTMSP 0 6 1 2 S s n ph(m 7 1 4 4 3 6 4 5 8 6 S n ph(m có không quá 2 khuy t t t ñư c g i là s n ph(m lo i A. T l% s n ph(m lo i A trư c ñ t c i ti n k4 thu t là 40%. Đ t c i ti n k4 thu t có th c s làm tăng t l% s n ph(m lo i A không? (k t lu n ' m c ý nghĩa 5%). Gi i: G i p là t l% s n ph(m lo i A. T l% m u: p = 15 5 = . 36 12 Ki m ñ nh gi thi t H 0 : p = p0 = 40%; H1 : p > p0 ' m c ý nghĩa α = 5% N N u H 0 ñúng thì BNN U = P − p0 p0 (1 − p0 ) n ~ N ( 0,1) V i ' m c ý nghĩa α = 5%, gtth = u1−α = u0,95 = 1, 6449 V i m u c, th ta có: u = 5 /12 − 0, 4 0, 4 (1 − 0, 4 ) 36 = 0, 204 Vì u < gtth nên H 0 không b bác b . V y, ñ t c i ti n k4 thu t không làm tăng t l% s n ph(m lo i A. (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5%). 6. 22. Nh ng th ng kê trong năm trư c cho th y m t ngư i M4 ñi du l ch ' châu Âu trong vòng 3 tu n s+ chi h t 1010 USD cho vi%c mua s m. Năm nay, ngư i ta th ng kê trên 50 khách du l ch thì th y s ti n trung bình mà h chi tiêu là 1090 USD và ñ l%ch chu(n là 300 USD. V i m c ý nghĩa α = 1% hãy cho bi t m c chi tiêu c a nh ng khách du l ch năm nay có tăng so v i năm trư c không? Gi i: G i X là BNN ch m c chi tiêu c a m i khách du l ch trong năm nay, µ = EX . Ta ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ = µ 0 = 1010; H1 : µ > µ 0 ' ý nghĩa α = 1% N u H 0 ñúng thì BNN U = X − µ0 n ~ N ( 0,1) s V i ý nghĩa α = 1% , gtth = u1−α = u0,99 = 2,3263 107 Bài t p Xác su t th ng kê V i m u c, th ta có: u = Di p Hoàng Ân 1090 − 1010 50 = 1,8856 300 Vì u < gtth nên H 0 không b bác b . V y, chưa ñ cơ s' ñ k t lu n m c chi tiêu c a nh ng khách du l ch năm nay tăng. 6. 23. M t hãng bào ch thu c ñang th# nghi%m hai lo i thu c gây mê A và B m i. Vi%c th# nghi%m ñư c ti n hành trên hai nhóm thú v t khác nhau. Nhóm th nh t g m 100 con dùng thu c A thì có 71 con b mê; nhóm th hai g m 90 con dùng thu c B thì có 58 con b mê. Hãng bào ch mu n ki m ñ nh xem tác d,ng c a hai lo i thu c trên có khác nhau không ' m c ý nghĩa 5%. Hãy cho bi t k t lu n. Gi i: G i p1 và p2 l n lư t là t l% con v t b mê khi dùng thu c A, B tương ng. Giá tr t l% m u ñ i v i 2 lo i thu c ñó là p1 = 71 58 ; p2 = . 100 90 71 + 58 129 = = 0, 6789 . 190 190 H 0 : p1 = p2 ; H1 : p1 ≠ p2 ' m c ý nghĩa α = 5% . T l% chung là p= N u H 0 ñúng thì BNN U = P1 − P2 1 1  p (1 − p )  +  n m V i ' m c ý nghĩa α = 5% , gtth = u 1− α 2 Ta ki m ñ nh gi thi t ~ N ( 0,1) = u0,975 = 1,96 V i m u c, th ta tính ñư c: u= 71 58 − p1 − p2 100 90 = = 0, 017 129  129  1 1  1 1  p (1 − p )  +  +  1 −  190  190  100 90  n m Vì | u |< gtth nên H 0 không b bác b . V y, tác d,ng c a hai lo i thu c trên không khác nhau ' m c ý nghĩa 5%. 6. 24. V i ý mu n làm tăng ch s m5 s a c a lo i gi ng bò A, m t tr i chăn nuôi cho lai bò gi ng A v i m t lo i bò gi ng B. Đo ch s m5 s a c a 130 con bò lai gi ng ñư c ch n ng u nhiên trong ñàn bò c a tr i, ngư i ta có k t Ch s m5 s a 108 S bò lai Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [3,0; 3,6) 2 [3,6; 4,2) 8 [4,2; 4,8) 35 [4,8; 5,4) 43 [5,4; 6,0) 22 [6,0; 6,6) 15 [6,6; 7,2) 5 Bi t r"ng ch s m5 s a trung bình c a gi ng bò A thu n ch ng là 4,95. Hãy cho k t lu n v hi%u qu c a vi%c lai gi ng ' m c ý nghĩa 1%. Gi i: G i X là BNN ch ch s m5 s a c a gi ng bò lai. T s li%u ta tính ñư c: x = 5,15 và s = 0, 77 . Ta ki m ñ nh gi thi t: H 0 : µ = µ 0 = 4,95; H1 : µ > µ 0 ' m c ý nghĩa α = 1%. X − µ0 n ~ N ( 0,1) s V i ' m c ý nghĩa α = 1%, gtth = u1−α = u0,99 = 2,3263 N u H 0 ñúng thì BNN U = V i m u c, th ta tính ñư c: 5,15 − 4, 95 130 = 2,96 0, 77 Vì u > gtth nên H 0 b bác b . u= V y, ch s m5 s a c a gi ng bò lai cao hơn bò thu n ch ng. 6. 25. Đi u tra v m t nguyên nhân gây ung thư ph$i: Thăm dò trong 200 ngư i có hút thu c lá, th y có 28 ngư i b K ph$i; trong 170 ngư i không không hút thu c lá, có 12 ngư i b K ph$i. H i t l% ngư i b K ph$i trên nh ng ngư i hút thu c lá có cao hơn t l% ñó trên nh ng ngư i không hút thu c lá không? (K t lu n ' m c α = 5% ). Gi i: G i p1 , p2 l n lư t là t l% ngư i b K ph$i trong s nh ng ngư i hút thu c và không hút thu c. Ta ki m ñ nh gi thi t: H 0 : p1 = p2 ; H1 : p1 > p2 ' m c α = 5% N u H 0 ñúng thì BNN U = V i α = 5% , gtth = u1−α = u0,95 V i m u c, th ta tính ñư c: p1 = P1 − P2 1 1  p (1 − p )  +  n m = 1, 6449 28 7 6 28 + 12 4 = ; p2 = ; p = = 200 50 85 200 + 170 37 109 ~ N ( 0,1) Bài t p Xác su t th ng kê p1 − p2 u= = 2,14 1   1 p (1 − p )  +   200 170  Di p Hoàng Ân Ta có u > gtth nên H 0 b bác b . V y t l% b K ph$i trong s nh ng ngư i hút thu c là cao hơn t l% ñó trên nh ng nguoif không hút thu c lá. 6. 26. N u máy móc ho t ñ ng bình thư ng thì kh i lư ng m t s n ph(m tuân theo lu t phân ph i chu(n v i ñ l%ch chu(n không quá 1kg. Có th coi máy móc còn ho t ñ ng bình thư ng hay không n u cân th# 30 s n ph(m do máy ñó s n xu t ra, thì tính ñư c ñ l%ch chu(n là 1,1 kg. Yêu c u k t lu n ' m c ý nghĩa α = 1% . Gi i: Ki m ñ nh gi thi t v phương sai: H 0 : σ 2 = σ 02 = 1; H1 : σ 2 ≠ σ 02 ' m c ý nghĩa α = 1% N u H 0 ñúng thì Y = (n −1) S 2 σo2 ~ χ 2 ( n − 1) 29.1,12 = 35, 09 V i m u c, th ta có y = 1 V i α = 0,01 ta có χ 2α (n − 1) = χ 20,01 (29) = 13,121 2 χ2 1− α 2 (n − 1) = χ 2 1− 2 0,01 2 (29) = 52,336 Do χ 2α ( n − 1 ) < y < χ12− α ( n − 1 ) nên H 0 không b bác b nghĩa là: 2 2 Chưa ñ cơ s' ñ nói r"ng máy móc ho t ñ ng không bình thư ng. 6. 27. M t nhà s n xu t bóng ñèn cho r"ng ch t lư ng bóng ñèn ñư c coi là ñ ng ñ u n u tu$i th c a bóng ñèn có ñ l%ch chu(n b"ng 1000 ho c ít hơn. L y ng u nhiên 10 bóng ñ ki m tra, thì ñư c ñ l%ch chu(n m u là 1150, V y, v i m c ý nghĩa 5%, có th coi ch t lư ng bóng ñèn do công ty ñó s n xu t là ñ ng ñ u không? Bi t r"ng tu$i th c a bóng ñèn là m t BNN có phân ph i chu(n. Gi i: Ki m ñ nh gi thi t v phương sai d ng H 0 : σ 2 = σ 02 = 10002 ; H1 : σ 2 > σ 02 ' m c α = 5% . N u H 0 ñúng thì Y = (n −1) S 2 σo2 ~ χ 2 ( n − 1) 2 Giá tr tơi h n: gtth = χ12− α (n − 1) = χ0,95 (9) = 16,919 V i m u c, th ta có y = 9.11502 = 11,9025 < gtth 1000 2 110 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân H 0 ñư c ch p nh n nghĩa là có th coi ch t lư ng bóng ñèn do công ty ñó s n xu t là ñ ng ñ u. 6. 28. T i m t nông trư ng, ñ ñi u tra kh i lư ng c a m t lo i trái cây, sau m t ñ t bón m t lo i phân m i, ngư i ta cân th# m t s trái cây ñư c ch n ng u nhiên và ñư c k t qu sau: Kh i lư ng (gam) S trái cây [45, 50) 2 [50, 55) 11 [55, 60) 25 [60, 65) 74 [65, 70) 187 [70, 75) 43 [75, 80) 16 ≥ 80 3 Trư c kia, kh i lư ng trung bình c a m i trái là 65 gam. Hãy ñánh giá xem lo i phân bón m i có mang l i hi%u qu không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 1%). Gi i: T s li%u ñã cho ta tính ñư c n = 361; x = 66,38; s = 5, 41 Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ = µ 0 = 65( g ); H1 : µ > µ 0 ' m c α = 1% N u H 0 ñúng thì U = X − µ0 s n ~ N ( 0,1) V i α = 0, 01 ta suy ra: gtth = u1−α = u0,99 = 2,33 V i m u c, th ta tính ñư c: u = 66, 38 − 65 361 = 4,85 > gtth 5, 41 V y H 0 b bác b nghĩa là: lo i phân bón m i có mang l i hi%u qu . (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 1%). 6. 29. M t công ty thương m i, d a vào kinh nghi%m quá kh , ñã xác ñ nh r"ng vào cu i năm thì 80% s hoá ñơn ñã ñư c thanh toán ñ y ñ , 10% kh t l i 1 tháng, 6% kh t l i 2 tháng, và 4% kh t l i hơn 2 tháng. Vào cu i năm nay, công ty ki m tra m t m u ng u nhiên g m 400 hoá ñơn và th y r"ng: 287 hoá ñơn ñã ñư c thanh toán ñ y ñ , 49 kh t l i 1 tháng, 30 kh t l i 2 tháng và 34 kh t l i hơn 2 tháng. Như v y, vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay có còn theo qui lu t như nh ng năm trư c không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5% ). Gi i: Ta ki m ñ nh gi thi t v phân ph i. H 0 : Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay theo qui lu t năm trư c 111 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân H1 : Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay không theo qui lu t năm trư c. 7 m c ý nghĩa α = 5%. B ng t n s lý thuy t và th c nghi%m: l i Thanh toán Khu t l i 1 Khu t l i 2 Khu t hơn 2 tháng ñ y ñ ( x1 ) tháng ( x2 ) tháng ( x3 ) ( x4 ) T n s sát quan 287 49 30 34 lý 320 40 24 16 T n s thuy t Ta có: 4 ( oi − ei ) i =1 ei Q =∑ 2 2 ( 287 − 320 ) = 2 320 ( 49 − 40 ) + 2 40 ( 30 − 24 ) + 24 2 ( 34 − 16 ) + 16 2 = 27,178 2 V i α = 5% , gtth = χ12−α ( 3) = χ0,95 ( 3) = 7,815 Ta th y Q 2 > χ12−α ( 3) nên: Vi%c thanh toán hoá ñơn năm nay không còn theo qui lu t như nh ng năm trư c. (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 5%). 6. 30. Đ l p k ho ch s n xu t m t hàng m i, m t công ty ñã ti n hành ñi u tra v s' thích c a khách hàng v 3 lo i m u khác nhau c a cùng m t lo i hàng. K t qu ñư c trình bày ' b ng sau: M u A B C Thích 43 30 42 Không thích 35 53 39 Không có ý ki n 22 17 19 hàng Ý ki n Có hay không s phân bi%t v s' thích c a khách hàng ñ i v i 3 lo i m u nói trên? K t lu n ' m c ý nghĩa 5%. Gi i: Ta ki m ñ nh gi thi t v phân ph i. H 0 : Không có s phân bi%t v s' thích H1 : Có s phân bi%t v s' thích ñ i v i 3 m t hàng (m c ý nghĩa 5%). B ng ñ i chi u t n s : Trong ngo c là t n s lý thuy t: M u A 112 B C Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân hàng Ý ki n Thích 43 30 42 (38,33) (38,33) (38,33) Không thích 35 53 39 (42,33) (42,33) (42,33) Không có ý ki n 22 17 19 (19,33) (19,33) (19,33) 9 ( oi − ei ) i =1 ei Q =∑ 2 2 = 7, 606 2 χ12−α ( 4 ) = χ0,95 ( 4 ) = 9, 488 Ta th y Q 2 < χ12− α (8 ) nên H 0 ñư c ch p nh n nghĩa là: Không có s phân bi%t v s' thích ñ i v i 3 m t hàng. 6. 31. Đi u tra m t s s n ph(m c a m t xí nghi%p v chi u dài (X (cm)) và hàm lư ng ch t A (Y (%)), ngư i ta có k t qu sau: Y 8 10 12 14 16 100 5 5 110 4 6 7 5 9 8 4 6 9 5 7 X 120 130 140 Các s n ph(m có chi u dài không quá 110cm và hàm lư ng ch t A không hơn 12% ñư c g i là s n ph(m lo i II. N u xí nghi%p báo cáo r"ng s n ph(m lo i II có ch tiêu Y trung bình là 10% thì có th ch p nh n ñư c không? K t lu n ' m c ý nghĩa 5% (gi thi t hàm lư ng này có phân ph i chu(n) Gi i: B ng s li%u cho ch tiêu Y c a nh ng s n ph(m lo i A. yj 8 10 12 nj 9 11 7 Giá tr trung bình m u: y = 9,85 và giá tr ñ l%ch chu(n m u: sY = 1, 56 , c5 m u n = 27 . 113 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : µY = µ0 = 10 ( % ) ; H1 : µY ≠ µ0 ' m c ý nghĩa 5% N u H 0 ñúng thì BNN T = Y − µ0 n ~ t ( n − 1) SY ) = 2, 0555 V i m c ý nghĩa α = 5% ta tính ñư c gtth = t ( 260,05 1− 2 9,85 − 10 V i m u c, th ta tính ñư c: t = 27 = −0,5 1, 56 Ta có t < gtth nên H 0 không b bác b . V y, ch p nh n báo cáo c a xí nghi%p (' m c ý nghĩa 5%). 6. 32. G o ñ tiêu chu(n xu t kh(u là g o có t l% h t nguyên, h t v5 và t m, theo th t , là: 90%, 6% và 4%. Ki m tra 1000 h t g o c a m t lô g o, ngư i ta th y trong ñó có: H t nguyên: 880; h t v5: 60 và t m: 60 H i lô g o có ñ tiêu chu(n xu t kh(u không? Cho k t lu n ' m c ý nghĩa 5%. Gi i: Đ k t lu n v tiêu chu(n c a lô g o ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : Lô g o ñ tiêu chu(n xu t kh(u. H1 : Lô g o không ñ tiêu chu(n xu t kh(u (' m c ý nghĩa 5%). N u H 0 ñúng thì trong 1000 h t g o có 900 h t nguyên, 60 h t v5 và 40 h t t m. Ta có Q 2 ( 880 − 900 ) = 900 2 ( 60 − 60 ) + 60 2 ( 60 − 40 ) + 40 2 = 10, 44 ) = V i α = 5%, gtth = χ1(−30,05 Vì Q 2 > gtth nên H 0 b bác b . V y, lô g o không ñ tiêu chu(n xu t kh(u (k t lu n ' m c ý nghĩa 5%). 6. 33. Giám ñ c tr i gà Alpha xem l i h sơ c a m t ñ t kh o sát v kh i lư ng c a gà xu t chu ng ' tr i gà thì th y s li%u ñư c ghi như sau: Kh i lư ng (kg) 114 S con gà Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [2,3; 2,7) 5 [2,7; 2,9) 30 [2,9; 3,1) 41 [3,1; 3,3) 25 [3,3; 3,5) 10 [3,5; 3,7) 5 [3,7; 3,9) 5 Ban giám ñ c tr i gà Alpha báo cáo r"ng kh i lư ng trung bình c a gà trên 3 kg. Hãy cho nh n xét v báo cáo trên ' m c ý nghĩa 2%. Gi i: T s li%u ta tính ñư c: n = 121; x = 3, 06; s = 0, 2826 . Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : µ X = µ0 = 3; H1 : µ X > µ0 ' m c α = 2% . N u H 0 ñúng thì BNN U = X − µ0 n ~ N ( 0,1) sX V i α = 2% , gtth = u1−α = u0,95 = 1, 6449 V i m u c, th : u = x − µ0 3, 06 − 3 n= 121 = 2, 3354 sX 0, 2826 Vì u > gtth nên H 0 b bác b nghĩa là báo cáo c a Ban giám ñ c là ñúng (' m c ý nghĩa 5%). 6. 34. Đ so sánh th i gian c t trung bình c a m t máy ti%n lo i cũ v i m t máy ti%n lo i m i, ngư i ta cho m i máy c t th# 10 l n và ño th i gian c t (tính b"ng giây) . K t qu thu ñư c như sau: Máy lo i cũ: 58, 58, 56, 38, 70, 38, 42, 75, 68, 67. Máy lo i m i: 57, 55, 63, 24, 67, 43, 33, 68, 56, 54.. Bi t r"ng th i gian c t c a máy lo i cũ và c a máy lo i m i là các bi n ng u nhiên tuân theo lu t phân ph i chu(n có ñ l%ch chu(n, theo th t , là 13,5 giây và 14,5 giây. V i m c ý nghĩa 5%, có th cho r"ng máy lo i m i t t hơn (có th i gian c t trung bình ít hơn) máy lo i cũ hay không? Gi i: G i X , Y theo th t là BNN ch th i gian c t c a máy ti%n cũ và máy ti%n m i. 115 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân Ta ki m ñ nh gi thi t sau: H 0 : µ X = µY ; H1; µ X > µY ' m c ý nghĩa 5%. N u H 0 ñúng thù BNN U = X −Y σ X2 n + σ Y2 ~ N ( 0,1) m V i α = 5% , gtth = u1−0,05 = u0,95 = 1, 6449 V i m u c, th ta tính ñư c: x = 57; s X = 13, 6; y = 52; sY = 14, 46 Do ñó u = 57 − 52 = 2, 988 13, 5 14,5 + 10 10 Vì u > gtth nên H 0 b bác b . V y, có th cho r"ng máy lo i m i t t hơn (có th i gian c t trung bình ít hơn) máy lo i cũ. 116 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân CHƯƠNG 7: TƯƠNG QUAN VÀ H I QUY 7.1. Xem vectơ ng u nhiên (X,Y) tuân theo lu t phân ph i chu(n hai chi u mà m t m u ng u nhiên g m 8 c p ñư c ch n ra như sau: xi 1 2 3 4 5 6 7 8 yi 5 7 11 17 21 25 29 32 a) Hãy tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y và cho nh n xét. b) Hãy ki m ñ nh gi thi t v s tương quan gi a X à Y ' m c α = 5% . c) Hãy l p hàm h i quy tuy n tính m u và d ñoán n u X l y giá tr b"ng 20 thì Y nh n giá tr bao nhiêu? Gi i: a) r = ∑ xi yi − n x . y (n −1)s X .sY = 0,996 . X và Y có quan h% g n như tuy n tính. b) Ki m ñ nh gi thi t 0 : ρ = 0; N u 0 1 : ρ ≠ 0 ' m c α = 5% ñúng thì T = R ( = 8 và ! = ∑( ).( − − n−2 1 − R2 ~ t ( n − 2) ) =1 ( − 1) là h% s tương quan m u) V i α = 5% , gtth = "1(−6α) / 2 = 2,4469 . −2 6 = 0,996 = 27,3 2 1− # 1 − 0,9962 V i m u c, th , ta có # = 0,996 và " = # Vì " > $""% nên 0 b bác b nghĩa là th t s tương quan. , c) Phương trình h i quy tuy n tính m u: y = −0.107 + 4,107 x . T ñó, n u X = 20 thì Y = 82,036 . 7.2. M t cơ s' s n xu t ñã ghi l i s ti n ñã chi cho vi%c nghiên c u phát tri n và l i nhu n hàng năm c a cơ s' trong 6 năm v a qua như sau: (ñơn v 106 VNĐ) Chi nghiên c u 5 11 4 5 3 2 L i nhu n 31 40 30 34 25 20 117 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân a) Hãy tính giá tr h% s tương quan m u gi a chi nghiên c u và l i nhu n. b) Chi nghiên c u và l i nhu n có th c s tương quan không? (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 2%). c) Vi t phương trình ñư ng h i qui tuy n tính m u c a l i nhu n theo chi phí nghiên c u. Gi i: a) r = 0, 909 b) Ki m ñ nh gi thi t H 0 : ρ = 0; H1 : ρ ≠ 0 ' m c ý nghĩa α = 1% N u H 0 ñúng thì BNN T = R n−2 1 − R2 ~ t ( n − 2) gtth = t1−α / 2 ( t − 2 ) = t0,99 ( 4 ) = 3,7469 V i m u c, th ta có t = 0,909 4 = 4,361 1 − 0,9092 Vì t > gthh nên H 0 b bác b . Nghĩa là X và Y th c s tương quan. (k t lu n ' m c ý nghĩa α = 2%). c) Phương trình ñư ng h i quy tuy n tính m u: y = 2 x + 20 7.3. Đo chi u cao Y (cm) và chi u dài chi dư i X (cm) c a m t nhóm thanh niên, ngư i ta thu ñư c s li%u sau: yi 160 161,5 163 165 167 168 171 172 xi 78 79 80 81 82 83 84 85 (a). Tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y. (b). 7 m c ý nghĩa α = 5%, hãy cho nh n xét v tài li%u cho r"ng h% s tương quan c a X và Y là 0,9. (c). Vi t phương trình ñư ng h i quy m u c a Y theo X. Đáp s : (a) r = 0,996 (b) Ki m ñ nh gi thi t H0: ρ = 0,9 ñ i v i H1: ρ ≠ 0,9. Tr c nghi%m U 2 ñuôi ñư c s# d,ng, v i 118 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân U = Z − µZ ~ N (0,1) . σZ V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; v i m u c, th , chúng ta có : ( ) 1 + 0,996 z = 1 ln = 3,106 , 2 ( ) 1 + 0,9 µ Z = 1 ln + 2 1 − 0,9 và 1 − 0,996 0,9 = 1,5365; 2(8 −1) u= σZ = 1 , 5 z − µZ = 3,509 σZ u > gtth nên ' m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t H0 b bác b , nghĩa là tài li%u không ñư c ch p nh n (' m c ý nghĩa α = 5%). Vì (c) y = 1,768x + 21,857. 7.4. M t gi ng viên d y môn th ng kê yêu c u m i sinh viên ph i làm m t ñ án phân tích d li%u và d kỳ thi h t môn. Sau ñó, m t m u g m 10 sinh viên ñư c ch n ng u nhiên, ñi m s ñư c ghi l i như sau: Đi m thi 81 62 74 78 93 69 72 83 Đi m ñ án 76 71 69 76 87 62 80 75 90 84 92 79 (a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ñi m thi trung bình c a m t sinh viên (gi thi t ñi m thi c a sinh viên tuân theo lu t phân ph i chu(n). (b) 7 m c ý nghĩa 5%, hãy ñánh giá v s tương quan tuy n tính gi a hai lo i ñi m trên. Gi i: (a) G i X là ñi m thi c a sinh viên. Ta có: x = 78,6 s = 9,57 . Kho ng tin c y 95% cho ñi m thi trung bình c a m t sinh viên: ( x − e; x + e ) e = t1(+γ) . 9 2 s 5,97 = 2,2622. = 4, 27 10 10 Kho ng tin c y c n tìm ( 74,33; 82,87 ) . (b) G i Y là ñi m ñ án c a sinh viên. Đ t ρ = ρ , . Chúng ta ph i có quy t ñ nh gi a hai gi thi t: H 0: ρ = 0 và N u H0 ñúng thì BNN 119 H1: ρ ≠ 0, Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân T= R 10 − 2 ~ t(8) 1 − R2 (8) t0,975 = 2,3060 ; V i m c α = 5% , giá tr t i h n là: v i m u c, th , chúng ta có h% s tương quan m u: r = 0,776 . Do ñó: t= 0, 776. 8 1 − (0, 776) 2 = 3, 48 Vì |t| >2,306 nên gi thi t H0 b bác b ' m c ý nghĩa α = 5%. khác, chúng ta ch p nh n r"ng X và Y tương quan ' m c ý nghĩa 5%. Nói cách 7.5. Đ th c hi%n m t công trình nghiên c u v m i quan h% gi a chi u cao Y(m) và ñư ng kính X(cm) c a m t lo i cây, ngư i ta quan sát trên m t m u ng u nhiên và có k t qu sau: xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 yi 5 6 5 6 10 5 7 8 9 10 (a). Hãy tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y và cho nh n xét. (b) Vi t phương trình ñư ng th6ng h i quy m u c a Y theo X. Hãy d báo chi u cao c a cây có ñư ng kính 45 cm. Gi i: (a) r = 0,939. Vì r r t g n 1 nên gi a X và Y có h i qui tuy n tính. (b) y = 0,166x + 1,041. D báo chi u cao c a cây có ñư ng kính 45 cm là: y = 0,166 × 45 + 1,041 = 8,5 m 7.6. X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m. Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau: X Y T ns 2 5 2 2 10 1 4 10 2 6 10 4 4 15 2 6 15 6 8 15 4 6 20 3 8 20 3 6 25 1 8 25 2 a) Hãy tính các giá tr trung bình m u c a X, Y; phương sai m u c a X, Y và h% s tương quan m u gi a X và Y. b) Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X. T ñó d ñoán xem n u ch tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu? Gi i: a) Ta có trung bình m u: 120 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân x = 5,93; y = 15,17; Phương sai m u: σ X2 = 3, 44; σ Y2 = 28, 42 H% s tương quan m u: r = 0,66 b) Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x N u X có giá tr là 9 thì Y s+ nh n giá tr là 21. 7.7. X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m. Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau: X Y T ns 2 5 2 2 10 1 4 10 2 6 10 4 4 15 2 6 15 6 8 15 4 6 20 3 8 20 3 6 25 1 8 25 2 a) Tính giá tr h% s tương quan m u gi X và Y. Vi t Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X. b) Ki m ñ nh gi thi t xem X và Y có tương quan không ' m c ý nghĩa 5%? Gi i: a) Giá tr h% s tương quan m u: r = 0,66 . Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x . b) Ki m ñ nh gi thi t H 0 : ρ = 0; H1 : ρ ≠ 0 ' m c ý nghĩa 5% N u H 0 ñúng thì BNN T= R n−2 1 − R2 ~ t (n − 2) ( ) = 2,0484 V i m c ý nghĩa 5%, gtth = t0,975 28 V i m u c, th ta có t=r n−2 = 4, 69 1− r2 Vì t > gtth nên H 0 b bác b , nghĩa là X và Y tương quan ' m c ý nghĩa 5%. 7.8. X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m. Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau: X Y T ns 2 5 2 2 10 1 4 10 2 6 10 4 4 15 2 6 15 6 8 15 4 6 20 3 8 20 3 6 25 1 8 25 2 a) Tìm kho ng tin c y 95% cho ch tiêu Y (gi thi t ch tiêu Y tuân theo lu t phân ph i chu(n). 121 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân b) Vi t phương trình h i quy m u c a Y theo X. T ñó d ñoán xem n u ch tiêu X là 9 thì ch tiêu Y là bao nhiêu? Gi i: a) Trung bình m u ch tiêu Y là: y = 15,17; sY = 5,33 Kho ng tin c y 95% cho trung bình ch tiêu Y là: ( y − e; y + e ) ( ) . V i e = t0,975 29 sY 5,33 = 2, 0452. = 1,99 ≈ 2 30 30 V y kho ng tin c y c n tìm là: (13,18;17,16 ) b) Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x N u X có giá tr là 9 thì Y s+ nh n giá tr là 21. 7.9. X (%) và Y(kg/mm2) là hai ch tiêu ch t lư ng c a m t lo i s n ph(m. Đi u tra ' m t s s n ph(m, b ng sau: X Y T ns 2 5 2 2 10 1 4 10 2 6 10 4 4 15 2 6 15 6 8 15 4 6 20 3 8 20 3 6 25 1 8 25 2 a) Có tài li%u cho r"ng trung bình ch tiêu X là 6,5%. Hãy cho nh n xét v tài li%u trên ' m c ý nghĩa 5%. Gi thi t các ch tiêu X, Y tuân theo lu t phân ph i chu(n. b) Tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y. Vi t phương trình ñư ng th6ng h i quy m u c a Y theo X. Gi i: a) Ki m ñ nh gi thi t H 0 : µ X = µ0 = 6,5; H1 : µ X ≠ µ0 ' m c ý nghĩa 5%. N u H 0 ñúng thì BNN T = X − µ0 n ~ t ( n − 1) S ( ) = 2,0452 V i ' m c ý nghĩa 5%, gtth = t0,975 29 Vói m u c, th ta tính ñư c: t = 5,93 − 6,5 30 = 0,908 3, 44 Vì t < gtth nên H 0 không b bác b nghĩa là ta ch p nh n tài liêu trên ' m c ý nghĩa 5%. b) Giá tr h% s tương quan m u: r = 0,66 . Phương trình h i quy Y theo X: y = 3,86 + 1.91x . 122 Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân 7.10. Nghiên c u lư ng phân bón (X kg) ñư c dùng ñ bón cho ru ng trong m t v,; Y(kg/1000m2) là năng su t lúa. Th ng kê ' 30 h gia ñình, k t qu như sau: S h 3 5 2 6 4 3 5 2 xi 40 40 50 50 50 60 60 60 yi 270 280 280 290 300 300 310 320 a) Tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y. Vi t phương trình h i quy m u Y theo X. b) Ki m ñ nh gi thi t cho r"ng h% s tương quan c a X và Y b"ng 0,9 ' m c ý nghĩa α = 5%. Gi i: a) Giá tr h% s tương quan m u: r = 0,891 . Phương trình ñư ng h i quy m u: Y = 210,15 + 1,64 X . b) Ki m ñ nh gi thi t H 0 : ρ = ρ 0 = 0,9; H1 : ρ ≠ ρ 0 ' m c ý nghĩa α = 5%. Tr c nghi%m U 2 ñuôi ñư c s# d,ng, v i U = Z − µZ ~ N (0,1) . σZ V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; V i m u c, th , ta có  1 + 0,891  z = z = 12 ln   = 1,427  1 − 0,891  ( ) 1 + 0,9 µ Z = 1 ln + 2 u = 1 − 0,9 0,9 = 1, 488; 2(30 −1) σZ = 1 27 z − µZ = 0,317 σZ Vì | u |< gtth nên H 0 ñư c ch p nh n nghĩa là gi thi t h% s tương quan c a X và Y b"ng 0,9 là ñúng ' m c ý nghĩa α = 5%. 7.11. Đ nghiên c u s tương quan gi a chi u cao X (cm) và s c n ngY (kg) con ngư i, quan sát trên m t m u ng u nhiên, ngư i ta có k t qu sau: yk xi [40, 45) 65) [45, 50) 123 [50, 55) [55, 60) [60, Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [140, 145) 1 [145, 150) 4 2 6 1 [150, 155) 10 8 2 [155, 160) 8 6 3 1 1 [160, 165) (a) Hãy l p b ng phân b t n s , t n su t cho các giá tr c a X, Y. (b) Tính các giá tr trung bình m u, ñ l%ch chu(n m u và h% s tương quan m u c a X và Y. Vi t phương trình ñư ng th6ng h i quy tuy n tính m u c a Y theo X. Gi i: a) B ng t n s , t n su t c a X và Y: Bi n X Bi n Y L p T ns T n su t L p T ns T n su t [140, 145) 5 0,094 [40, 45) 1 0,019 [145, 150) 9 0,170 [45, 50) 6 0,113 [150, 155) 20 0,377 [50, 55) 24 0,453 [155, 160) 17 0,321 [55, 60) 16 0,302 [160, 165) 2 0,038 [60, 65) 6 0,113 b) = 152,69; = 54, 23; = 5,14; = 4, 41 # = 0,6544 Phương trình h i quy: = −31,59 + 0,56 7.12. Đ nghiên c u s tương quan gi a chi u cao X (cm) và s c n ngY (kg) con ngư i, quan sát trên m t m u ng u nhiên, ngư i ta có k t qu sau: yk xi [40, 45) 65) [45, 50) 124 [50, 55) [55, 60) [60, Bài t p Xác su t th ng kê Di p Hoàng Ân [140, 145) 1 4 [145, 150) 2 6 1 [150, 155) 10 8 2 [155, 160) 8 6 3 1 1 [160, 165) a) Tính giá tr h% s tương quan m u c a X và Y. Vi t phương trình ñư ng th6ng h i quy tuy n tính m u c a Y theo X. b) Có tài li%u cho bi t h% s tương quan gi a X và Y là 0,65. Hãy cho nh n xét v tài li%u ñó, ' m c α = 5%. Gi i: a) # = 0,6544 Phương trình h i quy: = −31,59 + 0,56 b) Ki m ñ nh gi thi t 5%. 0 : ρ = 0,65 ñ i v i H1: ρ ≠ 0,65 ' m c α = Tr c nghi%m U 2 ñuôi ñư c s# d,ng, v i U = Z − µZ ~ N (0,1) . σZ V i m c α = 5% , gtth = u0,975 = 1, 96 ; v i m u c, th , chúng ta có : ( ) 1 + 0,6544 z = 1 ln = 0,783 , 2 ( ) 0,65 = 0,7816; 2(53 −1) u= z − µZ = 0,01 σZ 1 + 0,65 µ Z = 1 ln + 2 và Vì 1 − 0,65 1 − 0,6544 σZ = 1 , u < gtth nên ' m c ý nghĩa α = 5%, gi thi t tài li%u ñư c ch p nh n (' m c ý nghĩa α = 5%). 125 50 0 ñư c ch p nh n, nghĩa là