"SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH"

- 1.2/ Cơ sở lý luận: Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x.
- Chứng minh: Giả sử phương trình f(x.
- k nên phương trình f(x.
- Chú ý:* Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: Bài toán yêu cầu giải pt: F(x.
- Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x.
- f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm.
- Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm.
- Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x.
- Chứng minh: Giả sử x = a là một nghiệm của phương trình: f(x.
- g(x) dẫn đến phương trình f(x.
- Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f(x) và g(x) khác tính đơn điệu.
- Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
- Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút ta sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x =1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất.
- 4 nên phương trình vô nghiệm *Nếu x  D và x < 1 suy ra f(x.
- 4 nên phương trình vô nghiệm Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
- Do đó phương trình này có nghiệm duy nhất x=1 (Cách giải tương tự như bài 1).
- 3) Với đường lối như hai bài trên thì ta khó khăn để giải quyết được phương trình x  2  3 x  1  3 2 x x 2 này.
- 2 1 Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x.
- 2  x2  x  3  4) Phương trình: log3  2.
- x  3x  2 2  2 x  4 x  5  TXĐ: D = R Nhận xét các biểu thức tham gia trong phương trình ta thấy ( 2x2+4x +5.
- u = v  x2 +3x +2 = 0  x = -1, x = -2 Vậy phương trình có nghiệm x = -1, x = -2 Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 1/ 3x + 4x = 5x.
- Tuy nhiên với phương trình (1) ta dễ dàng đoán được một nghiệm của phương trình là x =2.
- Ta chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất cúa phương trình.
- x x Thật vậy, phương trình (1.
- Từ hai phương trình trên ta có thể tổng quát: Cho phương trình ax + bx = cx.
- vô nghiệm 3) Phương trình 9x + 2(x - 2)3x + 2x – 5 = 0 Đặt 3x = t > 0, phương trình trở thành: t2 + 2(x - 2)t + 2x–5 = 0  t = -1(loại), t = 5-2x Với t = 5 – 2x ta có 3x = 5 – 2x Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của phương trình.
- x x x 1 Ví dụ 3: Giải phương trình x  1 2 2 x 2x 2x x1 x1 Giải: Ta có phương trình x 1 (1) x Nếu đặt u = 2x và v = x + 1 thì phương trình (1) trở thành 2u + 3u + u = 2v + 3v + v  f(u.
- u = v ta được phương trình 2x = x + 1 Cách 1: Ta có 2x = x + 1  2x – x = 1 Đặt g(x.
- Phương trình g(x.
- 2) nên phương trình 2x = x + 1 có đúng hai nghiệm là x = 0 và x = 1 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 0, x = 1 3 x Ví dụ 4: Giải phương trình 2.
- 1, nên phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 3  Ví dụ 5: Giải phương trình: log 2 1  x  log3 x (1.
- Suy ra (1) có nghiệm duy nhất x = 9 Ví dụ 6: Giải phương trình: 4(x  2) log2 (x  3.
- 15(x 1) (1) Giải: Điều kiện x > 3 15( x  1) Phương trình (1.
- 4( x Với 0 < a ≠ 1 và b > 0, c > 0 ta có blog c  c log b a a Nên phương trình (1.
- ey = 1 + x ex  1 y (1) Kết hợp với phương trình đã cho ta được hệ phương trình.
- Phương trình (4) không có nghiệm x  (-1.
- Phương trình (4) không có nghiệm x  (0.
- Suy ra phương trình (4) có nghiệm duy nhất x = 0 Vậy phương trình có nghiệm x = 0 Ví dụ 9: Chứng minh rằng phương trình: x5 – x2 – 2x –1 = 0 có nghiệm duy nhất.
- Giải: Để chứng minh phương trình f(x.
- Chứng minh phương trình f(x.
- 0 luôn có nghiệm 6 Giả sử x0 là nghiệm của phương trình f(x.
- Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất.
- Điều này ta có được là nhờ vào bản thân của phương trình.
- Để chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm duy nhất trên D ta còn có cách khác đó là khảo sát hàm f(x) trên D, lập bảng biên thiên và từ bảng biến thiên ta suy ra được đồ thị của hàm f(x) chỉ cắt Ox tại một điểm.
- B/ VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH I/ Giải bất phương trình Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau x.
- 3  2 2) ĐK : 1≤ x ≤ 3 Bất phương trình tương đương: x 2  2 x  3  x  1  3  x  x 2  6 x  11.
- Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với f(x - 1.
- x – 1 > 3 – x x>2 Vậy nghiệm của bất phương trình là: 2 < x ≤ 3 .
- Đặt log7x = t  x = 7t Bất phương trình đã cho trở thành t.
- Nên bất phương trình f(t.
- C/ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: e  e  (log2 y  log2 x)( xy 1) (1) x y  2 2 x  y  1 (2) Giải: Điều kiện x > 0 và y > 0 Vì hàm số y = e t, y = ln t đều đồng biến trên tập xác định của nó, nên.
- (1) không đúng khi x < y + Nếu x = y > 0 thì (1) có VT = VP = 0 =>(1) đúng khi x = y > 0 (3) 1 Từ (2) và (3) giải ta được nghiệm hệ phương trình là x = y = 2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình.
- log 5 z  log 3 ( x  4) Giải: Hệ phương trình không đổi qua phép hoán vị vòng quanh nên x = y = z Từ đó ta có log5 x  log3 ( x  4) 8 Đặt t = log5 x  x = 5t.
- Ta được phương trình t  5 1 t t  log3 ( 5  4.
- t  5 t Phương trình có một nghiệm t = 2 duy nhất vì hàm số f(t.
- nghịch biến trên tập R Vậy hệ phương trình có một nghiệm x = y = z = 25 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình.
- Giải: Ta có phương trình (2.
- 2  2  x = 2 x x 3 Vậy hệ phương trình có một nghiệm: x = 2, y.
- 4 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình  y2  x2 x 2  1 e  2 (1.
- là hàm số nghịch biến trên R nên phương trình (6) có nghiệm duy nhất là u = 1.
- y = 7 (thõa điều kiện) x  3 x  7 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm.
- y  3  y  7 Ví dụ 5: Giải hệ phương trình  x2 1 8 y y  x.
- f (4 y ) Hệ phương trình.
- 5 4 1 Vậy hệ phương trình có một nghiệm x.
- ln(1  y ) Cho hệ phương trình.
- y  x  a Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ có nghiệm duy nhất Giải: y  x  a Hệ phương trình.
- 0 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  Phương trình f ( x.
- 1 x  a x 1 10 Như vậy do tính liên tục của hàm số f suy ra phương trình f(x.
- 3  2x 2 x 3/ 4 x  1  4 x Bài 2: Giải các bất phương trình sau 12 2) Giải hệ phương trình.
- 3  x = 3 13 3/ Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: (2 x  1)[ln(x + 1.
- f(x) là hàm số tăng ln  ln  0 x1 x2  Từ phương trình (1.
- 0 ≤ X < 1 x 1 Vậy hệ có nghiêm khi phương trình: X2 – 2X + m = 0 có nghiệm 0 ≤ X < 1 Đặt f(X.
- hệ có nghiêm  -1 < m ≤ 0 x  7x  6  0 2 Bài 3 : Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.
- x  7 x Giải: Hệ bất phương trình  2.
- m x II/ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có k nghiệm Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH khối B – 2006) Cho phương trình: x 2  mx  2  2 x  1 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Giải.
- 2 Phương trình.
- x (Vì x = 0 không là nghiệm phương trình.
- 0 - f(t Từ đó suy ra -1 < m  3 Ví dụ 3: (Đề thi tuyển sinh ĐH khối B – 2007) Cho phương trình x 2  2 x  8  m( x  2) (1) Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình luôn có hai nghiệm thực Giải: x  2 Ta có với m > 0, phương trình.
- 0, nên từ BBT suy ra với m > 0, phương trình f(x.
- Vậy với m > 0, phương trình (1) luôn luôn có 2 nghiệm x1 = 2 và x2  (2.
- Cho phương trình: m 1  x 2  1  x x 4  1  x 2  1  x 2 (1) Tìm m để (1) có nghiệm Giải: Đặt t = 1  x 2  1  x 2 .
- Khi đó phương trình (1) trở thành m(t + 2.
- m (2) t2 Bài toán trở thành tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm t  [0.
- thì 1 ≤ t ≤ 2 Phương trình (1) trở thành: t2 + t – 2m – 2 = 0  f(t.
- f(t) 4 0 Từ BBT ta được 0 ≤ 2m ≤ 4  0 ≤ m ≤ 2 Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x  2x  4  x  2x  4 = m 2 2 Giải: TXĐ: D = R Xét hàm số f(x.
- f(x) 2 -2 Dựa vào BBT ta có: Phương trình đã cho có nghiệm  đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m có giao điểm trên R  -2 < m < 2 Ví dụ 7: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 17 1 x  8  x  (1 x)(8  x.
- 2 2 t2  9 2 Phương trình (1) trở thành : t.
- f(t) 96 2 6 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(t) và đường thẳng y = 2m trên đoạn [3;3 2.
- Dựa vào BBT ta suy ra phương trình có 96 2 nghiệm  6  2m m  2 II/ Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm.
- Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình m x 2  2 x  2  1  x(2  x.
- 0 + t 2 2 1 Từ BBT ta có 1 ≤ t ≤ 2 t2  2 Khi đó bất phương trình (1) trở thành: m(t + 1.
- Bất phương trình (2) có nghiệm 2 t  [1.
- [1;2] 3 Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm: mx  x  3  m  1 (1) Giải: Đặt t = x  3  0 ta được x = t2 + 3 Bất phương trình (1) trở thành m(t2 + 3.
- 4 3 1 Vậy với m  thì bất phương trình (1) có nghiệm 4 II/ Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH khối D – 2007.
- 1 1 x  x  y  y  5  Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm.
- x y u  v  5 u  v  5  3 3 Hệ phương trình trở thành u  v  3(u  v.
- 2 Từ đó suy ra hệ (1) và (2) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình f(t.
- 1;4] 2 2 m + 15m  m + 15m m ≤ 1 Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm  -16 ≤ m ≤ 1 Ví dụ 4.
- x3  y 3  3 y 2  3x  2  0 Tìm m để hệ phương trình.
- Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1  m 2 21