ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG TRUNG HÒA DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA CHỦ ĐỀ HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán Mã số: 8.14.01.11 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Danh Nam Thái Nguyên, 2021 i LỜI CẢM ƠN Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự cố gắng lỗ lực của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy, cô, Ban giám hiệu nhà trường, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ. Trước hết, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS, TS Nguyễn Danh Nam, người Thầy hướng dẫn khoa học đã hết lòng giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cùng toàn thể quý Thầy cô trong khoa Toán, Bộ phận sau đại học - Phòng Đào tạo - trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn luận văn. Xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Cách Linh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong công tác để người viết hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên, khích lệ em trong suốt quá trình làm luận văn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 6 năm 2021. Tác giả Hoàng Trung Hòa ii LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của PGS, TS Nguyễn Danh Nam. Em không sao chép từ công trình nào khác. Các tài liệu trong luận văn là trung thực, em kế thừa và phát huy các thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành. Thái nguyên, tháng 6 năm 2021 Người viết luận văn Hoàng Trung Hòa Xác nhận của Xác nhận của Khoa chuyên môn Người hướng dẫn khoa học iii MỤC LỤC Trang Trang bìa phụ Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Danh mục chữ cái viết tắt Danh mục các hình vẽ, bảng biểu, sơ đồ MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài …………………………………………………….......…… 2. Mục đích nghiên cứu ……………………………………………….......……. 3. Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu ……………………………. 4. Giả thuyết khoa học ……………………………………………..........……… 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………………………...............………… 6. Phương pháp nghiên cứu …………………………………….......…………. 7. Dự kiến đóng góp của luận văn ……………………………………………. 8. Cấu trúc của luận văn ………………………………………….........………. 1.1. Mô hình và mô hình hóa ……………………………......................……… 1.1.1. Mô hình và mô hình hóa …………………………….......……………… 1.1.2. Mô hình hóa trong toán học ……………………………….............…… 1.1.3. Năng lực mô hình hóa trong toán học …………………………..…… 1.1.4. Các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học ……………..…… 1.2. Quy trình mô hình hóa trong toán học………………………………...… 1.2.1. Quy trình mô hình hóa ………………………………......................…… ii iii v vi vii 1 1 5 6 6 6 6 7 7 8 8 8 11 12 14 15 15 1.2.2. Quy trình mô hình hóa trong toán học ……………………………… 1.2.3. Vai trò của mô hình hóa trong toán học ……………………………… 1.3. Dạy học bằng mô hình hóa toán học…………………………..………… 1.3.1. Dạy học bằng mô hình hóa …………………………………...............… 16 19 22 22 1.3.2. Thiết kế hoạt động mô hình hóa ………………………..…………… 1.3.3. Tổ chức hoạt động học tập với với mô hình hóa …………………… 1.4. Nội dung chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit trong chương trình trung học phổ thông ………………………………………..........……………… 24 29 31 1.5. Thực trạng của việc dạy học mô hình hóa chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit ở trường trung học phổ thông …………………………………… 1.6. Tiểu kết chương 1 ………………………………………………….… 35 48 Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC BẰNG MÔ HÌNH HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT. 2.1. Một số biện pháp dạy học bằng phương pháp mô hình hóa cho học iv 49 sinh trong dạy học hàm số mũ, hàm số logarit. ……………………………. 49 2.1.1. Rèn luyện các thành tố của năng lực mô hình hóa ……………….. 49 2.1.2. Tổ chức các hoạt động dạy học bằng mô hình hóa ……………….. 54 2.1.3. Tăng cường các hoạt động vận dụng toán học trong thực tiễn ..… 67 2.2. Tiểu kết chương 2 ………………………………………………….… 81 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 82 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm …………………………………………. 82 3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm …………………………………………. 82 3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ………………………………………… 82 3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm …………………………………………. 83 3.4.1. Phân tích định tính …………………………………….…………………. 83 3.4.2. Phân tích định lượng…………………………………….……………….. 85 3.5. Tiểu kết chương 3 ………………………………………………….… 91 KẾT LUẬN 92 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 94 PHỤ LỤC v DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT Viết tắt Viết đầy đủ DH Dạy học GĐC Gợi động cơ GDĐT Giáo dục và đào tạo GV Giáo viên HS Học sinh MHH Mô hình hóa PPDH Phương pháp dạy học SGK Sách giáo khoa vi DANH MỤC BẢNG BIỂU, HÌNH VẼ TT 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Bảng biểu, Hình vẽ, sơ đồ Sơ đồ 1.1 Sơ đồ 1.2 Sơ đồ 1.3 Sơ đồ 1.4 Biểu đồ 1.1 Biểu đồ 1.2 Biểu đồ 1.3 Biểu đồ 1.4 Biểu đồ 1.5 Biểu đồ 1.6 Biểu đồ 1.7 Biểu đồ 1.8 Biểu đồ 1.9 Biểu đồ 1.10 Biểu đồ 1.11 Biểu đồ 1.12 Biểu đồ 1.13 Bảng 3.1 Bảng 3.2 Bảng 3.3 Bảng 3.4 Biểu đồ 3.1 Biểu đồ 3.2 Biểu đồ 3.3 Biểu đồ 3.4 Biểu đồ 3.5 vii Trang 16 17 23 25 38 38 39 39 40 40 41 41 42 43 44 44 45 85 85 86 86 86 87 87 88 88 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Giáo dục và đào tạo (GDĐT) luôn được coi là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng, Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước trong các chương trình, kế hoạch phát triển kinh tế – xã hội. Nghị quyết số 29- NQ/TW về đổi mới căn bản, toàn diện GDĐT, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế đã nêu rõ mục tiêu: [6] “Tạo chuyển biến căn bản, mạnh mẽ về chất lượng, hiệu quả giáo dục, đào tạo; đáp ứng ngày càng tốt hơn công cuộc xây dựng, bảo vệ Tổ quốc và nhu cầu học tập của nhân dân. Giáo dục con người Việt Nam phát triển toàn diện và phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân; yêu gia đình, yêu Tổ quốc, yêu đồng bào; sống tốt và làm việc hiệu quả. Xây dựng nền giáo dục mở, thực học, thực nghiệp, dạy tốt, học tốt, quản lý tốt; có cơ cấu và phương thức giáo dục hợp lý, gắn với xây dựng xã hội học tập; bảo đảm các điều kiện nâng cao chất lượng; chuẩn hóa, hiện đại hóa, dân chủ hóa, xã hội hóa và hội nhập quốc tế hệ thống giáo dục và đào tạo; giữ vững định hướng xã hội chủ nghĩa và bản sắc dân tộc. Phấn đấu đến năm 2030, nền giáo dục Việt Nam đạt trình độ tiên tiến trong khu vực”. Quốc hội đã ban hành Nghị quyết số 88/2014/QH ngày 28/11/2014 về đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông góp phần đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo [7]. Ngày 27/3/2015 Thủ tướng chính phủ đã ban hành Quyết định số 404/QĐ- TTg phê duyệt đề án đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông. Mục tiêu của đổi mới được Nghị quyết 88/2014/QH13 quy định: “Đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông nhằm tạo chuyển biến căn bản, toàn diện về chất lượng và hiệu quả giáo dục phổ thông, kết hợp dạy chữ, dạy người và định hướng nghề nghiệp, góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm 1 chất và năng lực, hài hòa đức, trí, thể, mĩ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh”. [13] Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2019 tại khoản 1 điều 29 đã quy định: “Mục tiêu của Giáo dục phổ thông nhằm phát triển toàn diện cho người học về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo; hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho người học tiếp tục học chương trình giáo dục đại học, giáo dục nghề nghiệp hoặc tham gia lao động, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc.” [5] . Chương trình giáo dục phổ thông mới được xây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh, tạo môi trường học tập và rèn luyện giúp học sinh phát triển hài hòa cả về thể chất và tinh thần, trở thành người học tích cực, tự tin, biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để hoàn chỉnh các tri thức và kĩ năng nền tảng, có ý thức lựa chọn nghề nghiệp và học tập suốt đời, có những phẩm chất tốt đẹp và năng lực cần thiết để trở thành người công dân có trách nhiệm, người lao động có văn hóa, cần cù, sáng tạo, đáp ứng nhu cầu phát triển của cá nhân và yêu cầu của sự nghiệp xây dựng, bảo vệ đất nước trong thời đại toàn cầu hóa và cách mạng công nghiệp mới. 1.2. Để thực hiện các mục tiêu trên, Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành Thông tư số 32/2018/TT- BGDĐT ngày 26/12/2018 ban hành chương trình giáo dục phổ thông với mục tiêu cấp THPT: “Chương trình giáo dục trung học phổ thông giúp học sinh tiếp tục phát triển những phẩm chất, năng lực cần thiết đối với người lao động, ý thức và nhân cách công dân, khả năng tự học và ý thức học tập suốt đời, khả năng lựa chọn nghề nghiệp phù hợp với năng lực và sở thích, điều kiện và hoàn cảnh của bản thân để tiếp tục học lên, học nghề hoặc tham gia vào cuộc sống lao động, khả năng thích ứng với những đổi thay trong bối cảnh toàn cầu hoá và cách mạng công nghiệp mới” [16]. 2 Chương trình giáo dục phổ thông mới sẽ hình thành và phát triển cho học sinh 5 phẩm chất là yêu nước, nhân ái, chăm chỉ, trung thực, trách nhiệm. Ngoài ra, chương trình cũng hình thành và phát triển cho học sinh 10 năng lực cốt lõi được chia ra thành 2 nhóm năng lực chính là năng lực chung và năng lực chuyên môn. Năng lực chung là những năng lực cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi, làm nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề nghiệp. Các năng lực này được hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con người, quá trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng yêu cầu của nhiều loại hình hoạt động khác nhau. Nhưng năng lực chung sẽ được nhà trường và giáo viên giúp các em học sinh phát triển trong chương trình giáo dục phổ thông là: năng lực tự chủ và tự học; năng lực giao tiếp và hợp tác; năng lực giải quyết vấn đề. Năng lực chuyên môn là những năng lực được hình thành và phát triển trên cơ sở các năng lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các loại hình hoạt động, công việc hoặc tình huống, môi trường đặc thù, cần thiết cho những hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu hạn hẹp hơn của một hoạt động. Đây cũng được xem như một năng khiếu, giúp các em mở rộng và phát huy bản thân mình nhiều hơn. Các năng lực chuyên môn được rèn luyện và phát triển trong chương trình giáo dục phổ thông mới là: Năng lực ngôn ngữ; Năng lực tính toán; Năng lực tin học; Năng lực thể chất; Năng lực thẩm mỹ; Năng lực ông nghệ; Năng lực tìm hiểu tự nhiên và xã hội Mục tiêu chung của Chương trình môn Toán giúp HS hình thành và phát triển năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán. Bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng liên quan đến toán học như khái niệm, định lí, công thức, quy tắc thì dạy toán cần 3 giúp học sinh phát triển kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giải quyết những vấn đề thực tiễn. Khi sử dụng toán học để giải quyết vần đề ngoài lĩnh vực toán học thì mô hình toán học và quá trình mô hình hóa toán học là những công cụ cần thiết. Dạy học theo định hướng phát triển năng lực và phẩm chất là mục tiêu quan trọng và chủ yếu của công cuộc đổi mới giáo dục hiện nay. Mỗi học sinh có một nền tảng bẩm sinh, di truyền khác nhau, có một năng lực nhận thức khác nhau, có kiến thức, kỹ năng khác nhau, do đó để phát triển được năng lực cho HS đòi hỏi dạy học phải sát đối tượng để các em có thể đạt được mục tiêu giáo dục và phát huy tối đa tiềm năng của bản thân. 1.3. Lịch sử hình thành và phát triển toán học đã cho thấy toán học có nguồn gốc từ thực tế, chính sự phát triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với các nội dung toán học. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và hoàn thiện các lý thuyết toán học. Toán học không phải là một sản phẩm thuần túy của trí tuệ mà được phát sinh và phát triển do nhu cầu thực tế của cuộc sống, trở lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực tiễn phát triển với vai trò là công cụ, toán học sẽ giúp giải quyết các bài toán do chính thực tiễn đặt ra. Toán học có mối quan hệ chặt chẽ với thực tế và có thể ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, toán học là công cụ học tập các môn học khác trong nhà trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học và có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. 1.4. Bên cạnh việc cung cấp cho HS những kiến thức và kỹ năng liên quan đến toán học như khái niệm, định lí, công thức, quy tắc thì dạy toán cần giúp học sinh phát triển kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giải quyết những vấn đề thực tiễn. Khi sử dụng toán học để giải quyết vần đề ngoài lĩnh vực toán học thì mô hình toán học và quá trình hóa toán học là những công cụ cần thiết. Mô hình hóa toán học cho phép học sinh hiểu được giữa toán học với cuộc sống môi trường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán 4 trở nên ý nghĩa hơn; trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán học như một công cụ để giải quyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ đó giúp học sinh thấy được tính hữu ích của toán học trong thực tế, khả năng sử dụng toán học vào các tình huống ngoài toán không phải là kết quả tự động của sự thành thạo toán học thuần túy mà đòi hỏi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện. Nội dung “hàm số mũ, hàm số logarit” được đề cập trong chương trình toán bậc trung phổ thông, SGK – Giải tích lớp 12 chương trình chuẩn [14], SGK – Giải tích lớp 12 Chương trình nâng cao [15]. Đây là nội dung kiến thức mới mà thời lượng dành cho nội dung này chỉ có 16 tiết dạy học đối với chương chình chuẩn, 25 tiết dạy học đối với chương trình nâng cao, trong khi đó mục tiêu của phần này ngoài việc học sinh phải hiểu được các tính chất và đồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit, nhớ và vận dụng được các công thức tính đạo hàm, biết lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị của các hàm số nói trên SGK còn đưa ra thêm các bài toán thực tế như: bài toán lãi suất trong tiền gửi ngân hàng, bài toán vay mua, trả góp; bài toán tăng trưởng về dân số, sinh trưởng của vi sinh vật; bài toán liên quan đến sự phân rã của phóng xạ; tính toán cường độ dư chấn do động đất; cường độ và mức độ của âm thanh; độ PH trong hóa học …. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THPT và tìm hiểu về tâm lý của đối tượng học sinh tôi thấy các dạng toán về hàm số mũ, hàm số logarit học sinh còn rất lúng túng trong việc nhớ các công thức, tính chất, dạng đồ thị của chúng, cũng như khó có thể giải quyết được các bài toán thực tế. Với những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Dạy học mô hình hóa chủ đề hàm số mũ và hàm số logarit ở trường trung học phổ thông”. 2. Mục đích nghiên cứu Trên cơ sở nghiên cứu về phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán và một số thành tố của năng lực môn hình hóa đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm nâng cao chất lượng dạy học cho học sinh trong việc dạy học môn 5 Toán ở trường THPT áp dụng vào Dạy học mô hình hóa chủ đề hàm số mũ và hàm số logarit ở trường THPT. 3. Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học ở trường THPT. 3.2. Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán, đi sâu vào năng lực mô hình hóa toán học và vận dụng quy trình dạy học bằng mô hình hóa cho học sinh THPT trong dạy học hàm số mũ, hàm số logarit 3.3. Phạm vi nghiên cứu: HS ở trường THPT. 4. Giả thuyết khoa học Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp thì sẽ nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THPT bằng phương pháp mô hình hóa toán học cho học sinh. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu các quan điểm mang tính lý luận về năng lực mô hình hóa toán học. 5.2. Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh THPT, áp dụng trong dạy học hàm số mũ, hàm số logarit để phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh. 5.3. Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng và đánh giá tính khả thi của giả thuyết khoa học và các câu hỏi nghiên cứu. 6. Phương pháp nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn. 6.2. Phương pháp điều tra - quan sát: Nghiên cứu thực trạng dạy và học nội dung toán học tại một số trường THPT thông qua các hình thức sử dụng phiếu điều tra, quan sát hoặc phỏng vấn trực tiếp giáo viên ở các trường THPT. 6 6.3. Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Phỏng vấn, nghiên cứu một số nhóm HS lớp thực nghiệm. 6.4. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THPT để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất. 6.5. Phương pháp thống kê toán học: Phân tích các số liệu điều tra thực trạng và số liệu thực nghiệm sư phạm. 7. Dự kiến đóng góp của luận văn 7.1. Những đóng góp về mặt lý luận Đề xuất được một số biện pháp sư phạm mang tính khả thi nhằm phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh. 7.2. Những đóng góp về mặt thực tiễn - Nâng cao hiệu quả dạy và học ở trường THPT. - Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập ở trường THPT. - Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề có liên quan trong luận văn. 8. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương: Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC BẰNG MÔ HÌNH HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT. Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 7 Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Mô hình và mô hình hóa 1.1.1. Mô hình và mô hình hóa Chương trình tổng thể Ban hành theo Thông tư 32/2018/TT- BGDĐT ngày 26/12/2018 của Bộ Giáo dục và đào tạo nêu rõ “Giáo dục toán học hình thành và phát triển cho HS những phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học với các thành tố cốt lõi: năng lực tư duy và lập luận toán học, năng lực mô hình học toán học, năng lực giải quyết vấn đề toán học, năng lực giao tiếp toán học, năng lực sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa toán học với các môn học khác và giữa toán học với đời sống thực tiễn’’. [16] Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho HS; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để HS được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn, giữa Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí, Hoá học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM. Do đó, định hướng cho việc đổi mới PPDH ở nước ta hiện nay là PPDH cần tạo cơ hội cho người học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo. Việc đổi mới PPDH để phát triển năng lực MHH toán học cho HS chưa được chú trọng nhiều, do áp lực khối lượng kiến thức môn học quá nhiều, thời lượng ngắn nên việc rèn luyện kĩ năng để vận dụng kiến thức vào giải các bài 8 toán thực tiễn gặp khó khăn. Các bài toán thực tiễn trong SGK không nhiều, rời rạc và ít đa dạng. Nội dung kiến thức trong bài học còn quá nhiều, không thích ứng với thời gian quy định của mỗi tiết học, cho nên khi gặp các bài toán thực tiễn GV chỉ giải thích cho xong mà không chú trọng khai thác nó một cách bài bản. Chính vì vậy trong đề tài này tôi đề cập đến PPDH toán bằng MHH. Một số quan điểm về mô hình và mô hình hóa Theo Jonathan Borwein, Keith Devlin (2009), [22, Tr347] thì diễn đạt mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu. Còn theo Blum, Ferry (2009) trong [20, Tr45-58] thì mô hình là một “vật” hay “hệ thống” làm đại diện hoặc là vật thay thế cho “vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm. Mô hình được mô tả như một vật được thay thế mà qua đó ta có thể thấy được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế. Thông qua mô hình ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật. Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bối cảnh áp dụng của mô hình đó. Mô hình sử dụng trong dạy toán là một mô hình trừu tượng sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó. Nó có thể hiểu là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính [10,tr15] Như vậy có thể hiểu mô hình phải bảo toàn được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc (chọn tính chất nào là cơ bản là do con người), mô hình là sản phẩm của quá trình trừu tượng hóa những đối tượng cụ thể nên mang tính khái quát, lí tưởng (thậm chí có cả những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn); Mô hình chỉ phản ánh đến một mức độ nào đó, một số mặt nào đó của vật gốc nên không thể thay thế hoàn toàn vật gốc. 9 Mô hình hóa (MHH) được hiểu là hoạt động tạo ra “mô hình” để tiện cho việc nghiên cứu một đối tượng nào đó. Đối với mô hình toán học thì đó là việc chuyển từ sự vật, hiện tượng ở tình huống thực tế thành dạng mô hình toán học, diễn đạt thông qua ngôn ngữ, ký hiệu trừu tượng của toán học. [12] Ví dụ: việc phân tích phổ điểm thi các môn thi Kỳ thi tốt nghiệp THPT trong năm 2020 người ta quan tâm đến số lượng các điểm số, điểm trung bình, điểm trung vị, số lượng thí sinh có điểm nhỏ hơn hoặc bằng 1, số HS có điểm nhỏ hơn 5, số lượng thí sinh đỗ tốt nghiệp, …. Điều đó được toán học phản ánh thông qua mô hình dãy số liệu, bảng thống kê, biểu đồ, đồ thị, các tham số thống kê như “trung bình cộng”, “số trung vị”, “tần số”, “tần suất”, .... hay có những bài toán về chuyển động, bài toán tăng năng suất trong sản xuất, kinh doanh, bài toán lãi suất … được toán học MHH thông qua các đồ thị, công thức, phương trình … Trong toán học, một mô hình toán học (hiểu theo nghĩa rộng) là mô hình trừu tượng ở đó người ta sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả một hệ thống nào đó trong hiện thực khách quan (tham khảo [9]). Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng: mô hình toán học khác các mô hình trong các khoa học khác ở chỗ nó bỏ qua các thuộc tính về “chất” mà chỉ cần một ngôn ngữ nào đó chính xác để diễn tả đúng những quan hệ số lượng cơ bản, từ đó có thể suy ra quan hệ số lượng khác (dẫn theo Nguyễn Danh Nam [9]). Mô hình toán học (nghĩa rộng) được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (như Vật lý, Sinh học, Kĩ thuật điện tử, ...) đồng thời trong cả khoa học xã hội (như Kinh tế học, Xã hội học, Khoa học chính trị, ...). Tiếp cận mô hình theo nghĩa hẹp, Berinderjeet Kaur (2010) trong [18, tr.56] cho rằng: Mô hình toán học còn có thể là các hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng, ... Xét trong phạm vi dạy học môn Toán đôi khi được GV dùng theo nghĩa hẹp: chỉ đơn giản là một mô hình vật chất dưới dạng đồ dùng DH Toán cụ thể 10 hoặc phần mềm toán học (trừu tượng) để phản ánh những đối tượng toán học cụ thể như mặt phẳng, đường thẳng, đồ thị hàm số, khối đa diện, ... Khi đó, cái cụ thể thể hiện ở mô hình này sẽ phản ánh một phần những yếu tố của loại mô hình toán học trừu tượng, tổng quát kể trên. Để phân biệt với đồ dùng DH (trong đó có cả mô hình thu gọn, ...) ở môn học khác, GV cũng cần chú ý rằng: Trong toán học, với đặc thù trừu tượng cao độ của khoa học này, cho dù có ở dạng đồ vật cụ thể, sử dụng ngôn ngữ toán học hay là mô hình ảo trên máy vi tính ... để mô tả về đối tượng toán học thì mô hình thực chất cũng chỉ mang tính tượng trưng. Bởi lẽ, mọi đối tượng trong toán học mà mô hình phản ánh cũng đã là trừu tượng hoàn toàn, kể cả con số, hình, đồ thị, ... đều không phải là những đối tượng có thật trong thực tế; trong khi ở Vật lý, Hóa học, Sinh học, ... thì mô hình (kể cả thu gọn) hầu hết lại phản ánh sự vật, hiện tượng có thật trong cuộc sống. 1.1.2. Mô hình hóa trong toán học Theo Nguyễn Thị Nga (2011) [1], MHH toán học là thuật ngữ được sử dụng để chỉ hoạt động quan trọng trong quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng công cụ toán học. Trong dạy học toán, theo Trần Vui [17] , MHH thường được sử dụng theo hai mục đích: - MHH để học toán: MHH là một phương tiện hỗ trợ việc học các khái niệm và quá trình học toán của HS, chẳng hạn như tạo động cơ giúp hình thành và hiểu một khái niệm hoặc minh họa các nội dung toán học trừu tượng, phức tạp. - Học toán để MHH: MHH là một mục đích của việc học toán, nhằm trang bị cho HS các năng lực để có thể sử dụng toán trong nhiều ngữ cảnh và tình huống bên ngoài lớp học. Khi tiếp cận một vấn đề thực tiễn có liên quan đến toán học, HS gặp khó khăn không chỉ ở việc giải một bài toán cụ thể mà còn ở giai đoạn chuyển tình huống thực tế cần giải quyết vào toán học. Việc chuyển tình huống thực tế vào 11 toán học gây rất nhiều trở ngại cho các em HS bởi vì để giải quyết vấn đề đó các em phải lựa chọn và sử dụng những kiến thức tổng hợp trong toán học và cả ở những môn khoa học khác có liên quan. MHH trong dạy học toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học. Quá trình này đòi hỏi HS cần có các kĩ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, MHH diễn tả mối quan hệ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hội với nội dung kiến thức toán học trong SGK thông qua ngôn ngữ toán học như kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phương trình. Từ đó có thể thấy hoạt động MHH giúp HS phát triển sự thông hiểu các khái niệm, hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng toán học và nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó. Cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học toán [11]. Từ những công trình nghiên cứu có liên quan, trong luận văn này tiếp cận MHH toán học là hoạt động của GV và HS cần thiết để hỗ trợ quá trình học chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit ở trường phổ thông. 1.1.3. Năng lực mô hình hóa trong toán học Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực MHH và nó gồm nhiều kĩ năng thành phần. Blomhøj M và Jensen định nghĩa năng lực MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH trong một tình huống cho trước [19]. Maab định nghĩa năng lực MHH bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình MHH nhằm đạt được mục tiêu xác định [21]. Như vậy có thể hiểu năng lực MHH là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình MHH nhằm giải quyết vấn đề được đặt ra. Mục tiêu quan trọng của chương trình toán học phổ thông đó là hình thành và phát triển cho HS khả năng vận dụng tri thức toán học để giải quyết những tình huống nảy sinh từ thực tiễn cuộc sống. Nhiều nhà nghiên cứu đã thiết kế hệ thống các tình huống và bài tập MHH để xác định những kĩ năng mà 12 HS cần đạt được để giải quyết tình huống thực tiễn dựa theo quy trình MHH. Từ đó, các nghiên cứu đã chỉ ra các kĩ năng thành phần của năng lực MHH toán học đó là: (1) Đơn giản giả thuyết; (2) Làm rõ mục tiêu; (3) Thiết lập vấn đề; (4) Xác định biến, tham số, hằng số; (5) Thiết lập mệnh đề toán học; (6) Lựa chọn mô hình; (7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị; (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn [10,tr48]. GV cần có những kĩ năng hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động MHH mà không phải hỗ trợ các em quá nhiều. GV đóng vai trò là người tổ chức, điều phối, hỗ trợ tư vấn hơn là người giảng dạy trong lớp, HS tích cực, phối hợp để hoàn thành hoạt động. do đó năng lực quản lý lớp học của GV là rất quan trọng. Tình huống đưa ra phải phù hợp với trình độ HS, phải kích thích được sự tò mò của HS và HS có thể sử dụng những kiến thức toán học đã biết để giải quyết tình huống đó. Trong nghiên cứu này chú trọng đến các năng lực sau trong việc dạy học MHH trong toán học: [10,Tr85-86] 1) Năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn: Khả năng quan sát tình huống thực tiễn; Khả năng liên tưởng, kết nối các ý tưởng toán học với các yếu tố thực tiễn; Khả năng ước tính, dự đoán các kết quả của tình huống. 2) Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống: Khả năng xác định yếu tố trung tâm của tình huống; Khả năng xác lập mối quan hệ giữa các yếu tố; khả năng đánh giá mức độ phụ thuộc; Khả năng loại bỏ những gì không bản chất; Khả năng đặt ra bài toán có nội dung thực tiễn. 3) Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học: Khả năng diễn đạt tình huống bằng ngôn ngữ tự nhiên ngắn gọn chính xác; Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học; Khả năng diễn đạt một vấn đề dưới nhiều hình thức khác nhau. 13 4) Năng lực xây dựng mô hình toán học: Khả năng phát hiện ra quy luật của tình huống thực tiễn; Khả năng biểu diễn các yếu tố (đại lượng) thực tế bằng ký hiệu, khái niệm toán học; Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng các mệnh đề toán học, các biểu thức chứa biến; Khả năng biểu đạt các mối quan hệ bằng đồ thị, biểu đồ,..; Khả năng khái quát hóa các tình huống thực tiễn theo quan điểm của Toán học. 5) Năng lực làm việc với mô hình toán học: Khả năng giải toán trên mô hình; Khả năng biến đổi mô hình toán học theo dụng ý riêng; Khả năng dùng mô hình phán đoán tình huống thực tiễn. 6) Năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình: Khả năng kiểm tra, đối chiếu kết quả; Khả năng phê phán, phát hiện giới hạn của mô hình; Khả năng vận dụng suy luận có lý vào việc đưa ra các mô hình toán cho tình huống thực tiễn và biết so sánh tìm ra mô hình hợp lý hơn (để điều chỉnh mô hình toán học). 1.1.4. Các thành tố của năng lực mô hình hóa toán học Dựa trên các định nghĩa về năng lực MHH của Blomh j và Jensen [19], của Maab [21]. Theo Nguyễn Danh Nam (2016) [10,Tr50] những thành tố của năng lực mô hình hóa và dạy học mô hình hóa của giáo viên bao gồm: Phân tích tình huống thực tiễn, đơn giản giả thuyết toán học, loại bỏ các yếu tố phi toán học, xử lý điều kiện của bài toán; Làm rõ mục tiêu bài toán, hiểu tính thực tế của bài toán; Thiết lập vấn đề từ tình huống thực tế; Xác định biến, tham số, hằng số liên quan, tìm mối liên hệ giữa các biến số; Thiết lập mệnh đề toán học, chuyển bài toán thực tiễn sang ngôn ngữ toán học; Lựa chọn mô hình toán học; Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị, xử lý số liệu thực tế; Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. Muốn làm rõ được các thành tố của năng lực MHH trong dạy học toán GV phải hướng dẫn HS xây dựng bài toán xuất phát từ tình huống thực tiễn; xây dựng và lựa chọn mô hình toán học và đối chiếu với vấn đề trong thực tiễn. 14 Đây là những thành tố năng lực mà bản thân giáo viên không được hình thành trong quá trình đào tạo ở trường sư phạm. Điều này dẫn đến việc nhiều giáo viên không thường xuyên liên hệ với thực tiễn trong quá trình dạy học. Để giúp giáo viên có khả năng liên hệ toán học với thực tiễn và biết cách xây dựng các mô hình toán học; thiết kế hoạt động MHH; sử dụng công nghệ thông tin trong mô hình hóa; sưu tầm các mô hình toán học; lập kế hoạch và thực hành dạy học mô hình hóa cần phải làm rõ cho GV về các thành tố của năng lực tổ chức dạy học MHH. Theo Nguyễn Danh Nam (2016), [10,Tr51] các thành tố của năng lực tổ chức dạy học MHH gồm những năng lực sau: - Năng lực liên hệ kiến thức toán học với những vấn đề trong thực tiễn. - Năng lực xây dựng và phát triển một bài toán nảy sinh từ tình huống thực tiễn. - Năng lực sử dụng công nghệ thông tin trong MHH các bài toán thực tiễn. - Năng lực giáo dục tích hợp cho HS thông qua các mô hình toán học. - Năng lực dạy học hợp tác. - Năng lực dạy học theo dự án. - Năng lực tổ chức các hoạt động trải nghiệm sáng tạo cho HS. - Năng lực đánh giá năng lực HS. - Năng lực hướng dẫn HS giải bài toán có nội dung thực tiễn. - Năng lực hướng dẫn HS xây dựng bài toán có nội dung thực tiễn. 1.2. Quy trình mô hình hóa trong toán học 1.2.1 Quy trình mô hình hóa Theo Nguyễn Danh Nam trong [10,tr27], Quy trình MHH có 4 giai đoạn cần thực hiện (tham khảo Swetz và Hartzler, 1991 [20]): “1. Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố có tác động đến vấn đề đó. 15 2. Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngôn ngữ toán học, từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng. 3. Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp để MHH bài toán và phân tích mô hình. 4. Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận.” Theo đó, có thể mô tả, hình dung quy trình MHH thông qua sơ đồ “khép kín”, tức là thể hiện được thực tiễn vừa là nguồn gốc, động lực vừa là môi trường ứng dụng của toán học như sau: Sơ đồ 1.1 - Quy trình MHH (theo Swetz & Hartzler, 1991) 1.2.2. Quy trình mô hình hóa trong toán học Ngày nay trong qua trình dạy học người ta chú trọng việc tự học, tự nghiên cứu của người học nhằm hướng đến sự lĩnh hội tri thức và trang bị những kỹ năng sống cho người học. Vì thế, việc truyền đạt kiến thức của GV đến HS dần chuyển hướng đến mục tiêu liên hệ tri thức với thực tiễn, GV hướng dẫn HS tìm tòi, khám phá tự chiếm lĩnh tri thức. Việc tiếp thu kiến thức của HS không chỉ dừng lại ở phương diện lý thuyết mà còn hướng đến sự liên kết các kiến thức với nhau, sử dụng những kiến thức đó để giải quyết vấn đề thực tiễn. Do vậy PPDH bằng MHH có những điều kiện nhất định và những đặc điểm nổi bật để phục vụ tốt trong quá trình dạy học đặc biệt là bộ môn Toán. Ở bậc học THPT hiện nay, chúng ta thường gặp không ít những ý kiến 16 của HS khi thắc mắc về các ứng dụng của những kiến thức được học, chẳng hạn như HS đưa ra những câu hỏi “Đạo hàm là cái gì? Học đạo hàm để làm gì? Hàm số mũ, hàm số logatit có ứng dụng gì trong thực tiễn …”. Nắm bắt được quan điểm trên, chúng tôi tiến hành nghiên cứu MHH trong giảng dạy môn Toán, cụ thể trong nghiên cứu này với việc dạy học chủ đề “hàm số mũ, hàm số logarit”. Dạy học bằng MHH hay phương pháp MHH trong dạy học là quá trình GV tổ chức các hoạt động giúp HS xây dựng mô hình toán học để giải quyết các vấn đề trong thực tiễn hay từ một mô hình có sẵn, HS đã biết để hình thành kiến thức mới. Theo nghiên cứu của Nguyễn Danh Nam [10,tr29] về quy trình MHH trong dạy học môn Toán. Sơ đồ 1.2. Quy trình MHH toán học trong dạy học môn Toán Để vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học toán, GV cần giúp HS nắm được các yêu cầu cụ thể của từng bước sau đây trong quá trình MHH các bài toán [10,tr29]: - Bước 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học. Đây là quá trình chuyển các vấn đề từ thực tiễn sang toán học bằng cách tạo ra các mô hình toán học tương ứng của 17 chúng. Quá trình này đòi hỏi phải hiểu vấn đề, có thể là vấn đề mở hoặc có độ phức tạp khác nhau. Lập các giả thuyết, đơn giản hóa vấn đề để có thể giải được bài toán. Xác định các khái niệm toán học liên quan, các biến số, biểu diễn vấn đề bằng ngôn ngữ toán học và lập mô hình toán học như bảng biểu, hình vẽ, đồ thị, hàm số hay phương trình hay công thức toán học. - Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa. Yêu cầu HS lựa chọn, sử dụng các phương pháp và công cụ toán học thích hợp để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học. Ở giai đoạn này, công nghệ thông tin sẽ hỗ trợ HS phân tích dữ liệu, thực hiện tính toán phức tạp và đưa ra đáp số của bài toán. - Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu), trong đó cần nhận ra được những hạn chế và khó khăn có thể có khi áp dụng kết quả này vào tình huống thực tiễn. - Bước 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng. Đây là giai đoạn đòi hỏi HS có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng như việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Từ đó, xem lại các phương pháp và công cụ toán học đã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến. Ví dụ 1.1. Số lượng cá thể của một loài sinh vật bị suy giảm trong 10 năm tính theo cách: số lượng năm sau bằng 95% số lượng năm trước đó. Tại thời điểm chọn làm mốc thời gian, loài này có 5000 cá thể. Hỏi sau 8 năm, số lượng cá thể của loại này là bao nhiêu? 18 Bước 1: Toán học hóa Xây dựng công thức: Số lượng cá thể. Sau 1 năm: N1 = 0,95.5000 . Sau 2 năm: N 2 = 0,95.N1 = 5000 ( 0,95) 2 Sau 3 năm: N3 = 0,95.N 2 = 5000 ( 0,95 ) 3 …….. Sau t năm: Nt = 5000 ( 0,95) t Vậy bài toán trở thành : với t = 8 thì Nt bằng bao nhiêu ? Bước 2: Giải bài toán với t = 8 thì N8 = 5000 ( 0,95)  3371 con. 8 Bước 3: Hiểu và thông dịch Giá trị của N8 là số lượng cá thể còn lại sau 8 năm tính từ thời gian mốc. Vậy sau 8 năm, số lượng cá thể của sinh vật đó còn lại là khoảng 3371 (cá thể). Bước 4: Đối chiếu thực tế - Số lượng cá thể tính được chỉ là số gần đúng. - Điều kiện sống và tác động của con người sẽ ảnh hưởng đến số lượng của loài theo từng năm. 1.2.3. Vai trò của mô hình hóa trong toán học Dạy học môn Toán bằng MHH ở trường phổ thông giúp HS giải quyết các bài toán thực tiễn bằng phương pháp toán học, từ đó hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. Chuyển các vấn đề thực tiễn sang các vấn đề toán học, hiểu, đánh giá, chọn lọc và cải tiến cho phù hợp với thực tiễn. Hoạt động MHH gắn kết giữa không gian lớp học với các vấn đề của thế giới bên ngoài. Nó giúp HS phát triển các kỹ năng hợp tác và nhận thức ở mức độ cao. Dạy học môn Toán bằng MHH xây dựng và cải tiến một mô hình toán học nhằm diễn đạt và mô tả các bài toán thực tiễn. Qua các nghiên cứu thực nghiệm, các nhà giáo dục toán học đã nhận ra được tầm quan trọng của Dạy học môn Toán bằng MHH ở 19 trường phổ thông. Phương pháp này giúp HS phát triển nhiều kỹ năng toán học, đồng thời nó cũng đòi hỏi nhiều kỹ năng, kiến thức và kinh nghiệm từ GV hơn là PPDH giải quyết vấn đề. Phương pháp này cũng giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công cụ, phương pháp toán học phù hợp. Lesh &Caylor (2007) khẳng định rằng MHH toán học giúp HS phát triển sự thông hiểu các khái niệm và quá trình toán học. Quá trình MHH giúp HS hệ thống hóa các khái niệm, ý tưởng toán học; nắm được cách thức xây dựng mối quan hệ giữa các ý tưởng đó [23]. Hơn nữa, thông qua MHH, HS được khuyến khích tham gia các hoạt động “hệ thống các khái niệm toán học” giúp các em có được cái nhìn hệ thống hơn về lập luận và chứng minh toán học dưới các dạng ngôn ngữ nói, kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phương trình (Lesh & Doerr, 2003, [24]). Từ đặc thù của các hoạt động trong quá trình MHH, mà thông qua dạy học bằng MHH, HS nhận biết được ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; phát triển khả năng phân tích, suy luận, lập luận và giải quyết vấn đề toán học trong những tình huống, hoàn cảnh khác nhau; phát triển tư duy phê phán và khả năng liên hệ kiến thức toán học với các môn học khác. Trong dạy học toán bằng MHH giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của các PPDH khác, chúng tôi thấy dạy học bằng MHH có những tác dụng chính sau đây: a) Giúp HS tăng cường vận dụng và thành thạo các thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. Ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toán của HS trở nên thiết thực và có ý nghĩa hơn, tạo động cơ và niềm say mê học tập môn Toán. b) Giúp HS làm quen với việc sử dụng các loại biểu diễn dữ liệu khác nhau; giải quyết các bài toán thực tiễn bằng cách lựa chọn và sử dụng các công 20 cụ, phương pháp toán học phù hợp nên giúp HS hiểu sâu và nắm chắc các kiến thức toán học. c) Giúp HS phát triển các kỹ năng toán học, đồng thời hỗ trợ GV tổ chức dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề có hiệu quả hơn. d) Giúp việc học toán của HS trở nên có ý nghĩa hơn bằng cách tăng cường và làm sáng tỏ các yếu tố toán học trong thực tiễn. e) Giúp HS nâng cao năng lực phân tích và giải quyết các vấn đề thực tiễn. g) Phát triển năng lực hợp tác trong học tập, tăng cường tính độc lập và tự tin cho HS thông qua hợp tác nhóm, sử dụng các công cụ phần mềm để MHH và giải quyết vấn đề thực tiễn. h) Tạo cơ hội và tăng cường tính liên môn, tích hợp trong học tập các môn học khác. Ngoài ra MHH trong toán học còn có thể sử dụng để Tạo tình huống có vấn đề trong dạy học toán; Làm sáng tỏ một số yếu tố toán học trong thực tiễn; và giúp HS hiểu được ý nghĩa của các số liệu thông kê từ thực tiễn. Từ những kết quả nghiên cứu đã có, trong phạm vi luận văn này thấy vai trò của của MHH trong toán học có tác dụng hỗ trợ quá trình dạy học Toán gắn bó hơn với thực tiễn, giúp HS tiếp cận kiến thức toán học theo cách tích cực, gây hứng thú học tập, tăng cường tính liên môn và tính tích hợp, đặc biệt là góp phần trực tiếp phát triển năng lực MHH và năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn. Do vậy, khi tổ chức các hoạt động dạy học cần tập trung khai thác những tác dụng sau của việc dạy học bằng MHH: Tác dụng 1: Giúp HS học toán một cách hứng thú, tích cực; từ đó hình thành thói quen và khả năng vận dụng môn Toán vào việc học các môn học khác, vào thực tế cuộc sống. Tác dụng 2: Rèn luyện các kỹ năng toán học, trong đó có kỹ năng sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu toán học; kỹ năng phân tích - tổng hợp; kỹ năng 21 tính toán và suy luận toán học; kỹ năng thực hành liên môn và tích hợp với môn học khác và thực tiễn. Tác dụng 3: Góp phần phát triển năng lực MHH trong dạy học toán, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn. 1.3. Dạy học bằng mô hình hóa toán học 1.3.1. Dạy học bằng mô hình hóa Trong nghiên cứu này coi MHH ở hai khía cạnh cơ bản sau đây: Thứ nhất, MHH như một PPDH: Cung cấp cho HS hiểu khái niệm toán học; giúp HS đọc, hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên tình huống thực tế, phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán. Để áp dụng PPDH này, GV có thể lựa chọn các chủ đề thuộc bất kì lĩnh vực nào mà HS quan tâm hoặc yêu thích (dựa trên nội dung kiến thức của bài học) và thiết kế các mô hình toán học để dạy [10, tr17]. MHH trong dạy học toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin. Quá trình này đòi hỏi các kỹ năng và thao tác tư duy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa. MHH cũng cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong SGK dưới góc nhìn của toán học. MHH toán học được đặc trưng bởi môi trường mà trong đó HS được yêu cầu khám phá tri thức thông qua môn Toán hoặc các tình huống thực tế. Vì vậy, tích hợp các tình huống thực tế hàng ngày vào các tình huống dạy học trên lớp học đóng vai trò rất quan trọng, với mục đích cho HS thấy tính ứng dụng thực tiễn của toán học. Theo Nguyễn Danh Nam (2016), Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông, Nxb Đại học Thái Nguyên [10,tr86] quy trình dạy học bằng MHH được tiến hành theo các bước sau đây: Xuất phát từ một vấn đề thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học → Trả lời cho bài toán thực tiễn → Thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa hay định lý, công thức → Vận dụng vào 22 giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp. Sơ đồ 1.3. Quy trình MHH trong dạy học bằng MHH Các phương pháp dạy học nhằm giúp học sinh hiểu bản chất các khái niệm toán học; biết đọc, hiểu, thiết lập và giải quyết vấn đề cụ thể dựa trên các tình huống thực tế, phát triển tư duy sáng tạo và tư duy phê phán. Để vận dụng được phương pháp này, GV có thể lựa chọn các chủ đề thuộc bất kì lĩnh vực nào mà HS quan tâm hoặc yêu thích (dựa trên nội dung kiến thức của bài học) và thiết kế các mô hình toán học để tổ chức dạy học. Trong đề tài này đưa ra các bước dạy học với MHH theo Nguyễn Danh Nam (2016), Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông, Nxb Đại học Thái Nguyên [10,tr88]: - Bước 1 (Nêu vấn đề): GV mô tả cho cả lớp ngắn gọn về chủ đề và hướng dẫn HS đặt câu hỏi về chủ đề đó. - Bước 2 (Đơn giản hóa vấn đề): GV lựa chọn một hoặc một vài câu hỏi để phát triển kiến thức. Có thể khuyến khích HS tìm hiểu vấn đề, đọc lịch sử nghiên cứu hoặc đặt câu hỏi về vấn đề nghiên cứu. - Bước 3 (Thiết lập vấn đề): GV thiết lập vấn đề bằng cách đưa ra giả thuyết, tính toán và sắp xếp dữ liệu theo cách mà HS có thể sử dụng kiến thức toán học trong bài để giải quyết vấn đề. - Bước 4 (Phát triển kiến thức của bài học): GV đưa ra khái niệm, định nghĩa hay tính chất toán học có liên hệ chặt chẽ đến vấn đề vừa giải quyết. 23 - Bước 5 (Trình bày ví dụ tương tự): Ngay sau các bước trên, các vấn đề tương tự được nêu ra, trình bày ứng dụng của toán học. Hướng dẫn HS sử dụng phương tiện kĩ thuật như máy vi tính, máy tính cầm tay để thực hành trong lớp. - Bước 6 (Thiết lập mô hình toán học và giải bài toán): GV yêu cầu HS quay trở lại vấn đề nghiên cứu, tổng quát hóa và giải bài toán. - Bước 7 (Hiểu lời giải và cải tiến mô hình): Kết thúc giai đoạn này, GV yêu cầu HS đánh giá lời giải, từ đó giúp HS hiểu sâu hơn về kết quả đã đạt được. Thứ hai, MHH như một phương pháp nghiên cứu: Giúp HS biết cách nghiên cứu và ứng dụng các mô hình toán học vào các lĩnh vực khác hoặc để hình thành kiến thức mới. HS được làm việc theo nhóm tùy theo sở thích và thế mạnh cá nhân. Có thể chia làm 5 giai đoạn sau đây [10,tr19]: - Lựa chọn chủ đề: - Làm quen với chủ đề rồi mô hình: - Đơn giản vấn đề và thiết lập công thức: - Thiết kế mô hình toán học, giải và đối chiếu: - Tổ chức viết báo cáo của nhóm và thuyết trình. 1.3.2. Thiết kế hoạt động mô hình hóa Hoạt động MHH là một nhiệm vụ không có sẵn quy trình giải bởi vì mỗi nhiệm vụ đòi hỏi HS hiểu toán học trong thực tiễn cuộc sống và biết cách sử dụng tri thức, phương pháp toán học để giải quyết. Đặc điểm của những hoạt động này là: phát triển mô hình mô tả tình huống thực tiễn; mô hình được phát triển để khuyến khích HS mô tả, chỉnh sửa và cải tiến những ý tưởng và cách tiếp cận; mô hình khuyến khích nhiều dạng biểu diễn khác nhau [10,tr117]. Đặc điểm của hoạt động MHH đó là: (i) Xuất phát từ tình huống thực tiễn (toán ứng dụng hoặc từ công nghiệp); (ii) Đơn giản hóa vấn đề; (iii) Không có lời giải chính xác; (iv) Là các tình huống có vấn đề, HS phải xây dựng, phát triển các câu hỏi để có thể giải quyết vấn đề; (v) Hiểu vấn đề theo nhiều cách 24 khác nhau; (vi) HS tự khám phá, tìm hiểu vấn đề; (v) Không cần nhanh chóng can thiệp bởi GV nếu HS chưa giải được[ 10,tr117]. Từ cơ chế điều chỉnh quá trình MHH, trong luận văn này đề xuất các bước tổ chức hoạt động MHH trong dạy học môn Toán như sau (Tham khảo tài liệu [10], trong luận văn này thống nhất với quy trình 7 bước thực hiện MHH trong dạy học môn Toán do tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) đề xuất) Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế. Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra. Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó. Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán. Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế. Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng. Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn. Sơ đồ 1.4. Các bước tổ chức hoạt động MHH 25 Dưới đây là nguyên tắc thiết kế hoạt động MHH (được trình bày theo Lesh & Doerr, 2003, [24]): (1) Nguyên tắc xây dựng mô hình: Nguyên tắc này đảm bảo rằng lời giải cần được mô tả rõ ràng, giải thích, quy trình, xác minh dự đoán cho những tình huống toán học ý nghĩa. HS hiểu tình huống, nhận ra các mối quan hệ định lượng, các phép toán, các mẫu. (2) Nguyên tắc thực tế: Đây là nguyên tắc có ý nghĩa, liên quan đến hai vấn đề quan trọng đó là HS hiểu hoạt động có ý nghĩa với nhiều trình độ khác nhau và kiến thức cơ bản, kết nối với tri thức đã biết. (3) Nguyên tắc tự đánh giá: Đảm bảo rằng hoạt động MHH chứa tiêu chuẩn để HS có thể xác định và sử dụng kiểm tra và thay đổi cách nghĩ của mình. MHH bao gồm thông tin mà HS sử dụng để đánh giá tính hữu ích của lời giải thay thế. (4) Nguyên tắc xây dựng tài liệu: HS phải viết ra những gì mình nghĩ về cách giải quyết vấn đề. Điều này giúp GV có thể hiểu HS nghĩ gì về tình huống đã cho. Thứ hai là giúp HS diễn đạt, trình bày được ý tưởng và suy nghĩ của mình. Nguyên tắc này có thể thực hiện theo hai cách. Thứ nhất, HS học theo nhóm 3 người, các em thảo luận để cùng tìm ra lời giải, lập kế hoạch, điều khiển và đánh giá lời giải. Thứ hai, vấn đề được diễn đạt, giải thích, mô tả. (5) Nguyên tắc chia sẻ, khái quát hóa: Đảm bảo HS đưa ra lời giải có thể chia sẻ, sử dụng được. Khái quát hóa mô hình đối với các tình huống tương tự. (6) Nguyên tắc hiệu quả, đơn giản: Tình huống cần đơn giản, gần gũi với thực tiễn cuộc sống của HS, tăng hiệu quả thực hiện thành công các hoạt động MHH trong lớp học. Đề tài này vận dụng vào phạm vi và đối tượng GV và HS THPT và giới hạn trong nội dung hàm số mũ, hàm số logarit, trên cơ sở tham khảo quy trình 7 bước ở trên. Ví dụ 1.2. Bài toán “lãi kép” dành cho tiền gửi (một lần) ngân hàng 26 Bài toán: Gửi ngân hàng số tiền P, lãi suất hàng tháng r% (hoặc kỳ hạn), thời gian gửi n tháng (hoặc kỳ hạn), tính số tiền thu được P n sau n tháng. Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn Bài toán: Bà Mai gửi tiết kiệm ngân hàng A số tiền 50 triệu đồng với lãi suất hàng tháng là 0,79% , theo phương thức lãi kép. Câu hỏi đặt ra là: 1) Sau 2 năm bà Mai nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu? Sau bao nhiêu tháng bà Mai nhận được gấp đôi số tiền ban đầu? (giả sử lãi suất không thay đổi). 2) Có bài toán nào tương tự như bài toán lãi kép hay không? Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra. GV giải thích thuật ngữ lãi kép: tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau. Đơn giản giả thuyết: sử dụng ký hiệu số tiền gửi ban đầu là 50 triệu đồng. lãi suất hàng tháng r = 0,79% = 0,0079 , GV yêu cầu HS tính số tiền lãi sau 1 tháng và đưa ra công thức tính tiền lãi trong 1 tháng là 50x0,0079 triệu đồng, GV hỏi HS vậy tháng thứ hai số vốn của bà Mai là bao nhiêu? HS trả lời được ngay là 50 + 50x0,0079 triệu đồng Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó. GV đưa ra câu hỏi: nếu cứ tính toán như trên thì số tiền bà Mai nhận được sau 2 năm (24 tháng) chúng ta sẽ rất vất vả để tính được. từ đó tiếp tục đơn giản hóa giả thuyết: sử dụng ký hiệu số tiền gửi ban đầu là P. lãi suất hàng tháng r = 0,79% = 0,0079 , số tiền lãi sau n tháng là Ln , số tiền bà Mai nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau tháng thứ n là Pn . Từ đó ta xây dựng công thức: Tháng thứ 1 Số tiền vốn sau tháng thứ Tiền lãi L1 = Pr (số tiền tính lãi tháng tiếp theo) P1 = P + Pr = P(1 + r ) 27 2 L2 = Pr 1 2 P2 = P1 + Pr 1 = P1 (1 + r ) = P (1 + r ) 3 L3 = P2r P3 = P2 + P2 r = P2 (1 + r ) = P(1 + r )3 ….. Tương tự Cho HS dự đoán công thức (không chứng minh) Pn = P(1 + r ) n n Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán. 1) Thay số ta có: Pn = P(1 + r )n = 50. (1,0079 ) n Với n = 24 ta có: P24 = 50. (1,0079 ) = 60,393290 (triệu đồng) 24 Sau hai năm (24 tháng) Bà Mai nhận được số tiền là 60,393290 (triệu đồng) Với Pn = 2 P  2 P = P(1 + r ) n  2 = (1 + r ) n  (1,0079 ) = 2  n = log1,0079 2  88,1 (tháng) n Sau 89 tháng bà Mai nhận được gấp đôi số tiền ban đầu. Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế. Sau 89 tháng (7 năm 5 tháng) bà Mai nhận được gấp đôi số tiền ban đầu. Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng. HS phải nhận biết được bài toán này là bài toán tìm ứng dụng của hàm số mũ, phương trình mũ, phép tính logarit để giải, đánh giá với thực tiễn số tiền bà Mai nhận được sau 89 tháng là P89 = 50. (1,0079 ) = 100,721603 (triệu đồng) 89 nhiều hơn gấp đôi số tiền ban đầu do kỳ hạn gửi n phải là số nguyên dương. Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn. 2) Có bài toán nào tương tự như bài toán lãi kép hay không? HS phải tìm hiểu thêm các tình huống thực tiễn khác (có thể trên internet). GV đưa ra tình huống thực tiễn khác: 28 Đầu năm 2016, ông Minh thành lập một công ty. Tổng số tiền ông Minh dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi đến năm bao nhiêu là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông Minh dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm lớn hơn 2 tỷ đồng? GV đưa ra các gợi ý. - Cứ sau mỗi năm số tiền dùng để trả lương cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Đây giống như mô hình bài toán lãi suất kép. - Áp dụng công thức lãi kép, Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên sau năm thứ n là: Pn = P(1 + r ) n trong đó r = 15% = 0,15 , P= 1 tỷ đồng, Pn  2 tỷ đồng. Thay số ta có: (1,15)n  2  n  log1,15 2  4,96 (năm), do n nguyên dương nên chọn n=5 Vậy tới năm 2016+5 = 2021 là kết quả của bài toán. Đối chiếu thực tế số tiền ông A trả cho nhân viên có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn dự tính tùy thuộc vào tình hình kinh doanh của công ty. Ông A có thể giảm hoặc tăng số tiền trả lương hằng năm cho nhân viên. - Trong thực tế mô hình bài cho vay, đầu tư, trả lương, tăng trưởng dân số như hình thức trên chính là mô hình bài toán lãi suất kép. 1.3.3. Tổ chức hoạt động học tập với mô hình hóa Nhiệm vụ MHH cần phải: (i) cho phép HS được tự do suy nghĩ; (ii) khuyến khích sự tò mò của HS; (iii) tự do trong lựa chọn công nghệ; (iv) sử dụng biểu diễn bội trong kết nối. Đối với HS cần: hiểu tình huống theo nhóm; sử dụng các hoạt động liên quan đến nhiệm vụ phát triển kiến thức; tham gia thảo luận, đối thoại trong nhóm. Đối với GV cần biết hỗ trợ nhóm; tạo động cơ; đánh giá [10,tr130]. Để tổ chức hoạt động học tập với MHH GV phải giúp HS: Hiểu, làm rõ, phân tích và xác định giả thuyết, tham số, biến số trong vấn đề thực tiễn; Kết nối sử dụng các giả thuyết khác nhau; Lựa chọn và sử dụng chiến lược giải quyết vấn đề và MHH; Lựa chọn và sử dụng mô hình toán học trong tình huống 29 thực tiễn với sự phức tạp khác nhau; Kết nối những điểm mạnh và hạn chế của mô hình được xây dựng và điều chỉnh; Hiểu kết quả của giải mô hình toán học trong tình huống thực tiễn với sự phức tạp tăng dần; Kiểm chứng tính chính xác của mô hình đã sử dụng. Hiểu, làm rõ, phân tích, xác định giả thuyết, tham số và biến số với những tình huống thực tiễn có quy trình và những tình huống không có quy trình đơn giản. Các hoạt động dạy học chủ yếu: - Hoạt động khởi động. - Hoạt động hình thành kiến thức. - Hoạt động luyện tập. - Hoạt động vận dụng. - Hoạt động tìm tòi mở rộng. Ví dụ 1.3. Tổ chức hoạt động dạy học “Hình thành khái niệm phương trình mũ trong chương II Hàm số mũ, hàm số lũy thừa. Bài 5. Phương trình mũ, phương trình logarit SGK Giải tích 12 chương trình chuẩn” Để hình thành khái niệm phương trình mũ SGK Giải tích 12 chương trình chuẩn giới thiệu khái niệm này thông qua một bài toán thực tiễn dẫn đến việc giải phương trình mũ đó là bài toán “lãi kép”. Trên cơ sở HS đã học xong bài hàm số mũ và đã được xây dựng công thức (mô hình) cho bài toán “lãi kép”. HS sử dụng mô hình đã có để thiết lập công thức dẫn đến bài toán giải phương trình mũ. GV đưa ra nội dung bài toán: một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu. - Phân tích bài toán: GV yêu cầu HS phân tích và xác định giả thuyết và đặt câu hỏi bài toán này đã được gặp ở đâu chưa, có quen thuộc không? - Lựa chọn và sử dụng mô hình toán học: HS trả lời quen thuộc (đã được xây dựng bài toán lãi kép ở bài 4. Hàm số mũ, hàm số logarit) từ đó HS có thể 30 đưa ra được công thức tổng quát (mô hình) để tính số tiền lãi sau năm thứ n theo ví dụ 1.2 ta sử dụng mô hình sau: Pn = P (1 + r )  Pn = P (1,084 ) n n (Với số tiền gửi ban đầu là P, sau n năm số tiền thu được là Pn và lãi suất là r) - Giải bài toán: dựa vào dữ kiện của bài toán suy ra: cần tìm n (nguyên dương) để Pn = 2P . Thay vào công thức ta có:  2P = P (1,084 )  (1,084 ) = 2 n n  n = log1,084 2  8,59 chọn  n = 9 vì n nguyên dương. - Từ lời giải bài toán thực tiễn dẫn đến khái niệm phương trình mũ: Bài toán thực tế trên đưa về việc giải phương trình chứa ẩn số ở số mũ của lũy thừa ta gọi đó là phương trình mũ. Chẳng hạn, các phương trình 3x = 4 , x 8 1   − x − 9 = 0 … là những phương trình mũ. 9 3 1.4. Nội dung chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit trong chương trình trung học phổ thông Theo Chương trình giáo dục phổ thông kèm theo Quyết định 16/2006/QĐ- BGDĐT ngày 05/5/2006 chủ đề “hàm số mũ, hàm số logarit” được đề cập trong chương trình toán bậc phổ thông ở chương II SGK – Giải tích lớp 12 chương trình chuẩn và tài liệu chuẩn kiến thức kỹ năng; theo chương trình giáo dục phổ thông kèm theo Thông tư số 32/2018/TT- BGDĐT ngày 26/12/2018 chủ đề “hàm số mũ, hàm số logarit” được đề cập trong chương trình toán bậc phổ thông ở lớp 11 với một số nội dung cụ thể như sau: Yêu cầu cần đạt Nội dung Phép Chương trình GDPT 2006 Chương trình GDPT 2018 - Nhận biết được khái niệm luỹ thừa Về kiến thức : tính luỹ - Biết các khái niệm luỹ thừa với với số mũ nguyên của một số thực thừa với số mũ nguyên của số thực, luỹ khác 0; luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và số mũ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa luỹ thừa với số mũ thực của một số 31 nguyên, số với số mũ thực của số thực thực dương. mũ dương. hữu - Giải thích được các tính chất của tỉ, - Biết các tính chất của luỹ thừa phép tính luỹ thừa với số mũ mũ với số mũ nguyên, luỹ thừa với nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số luỹ thừa với số mũ thực. thực. - Sử dụng được tính chất của phép Các tính mũ thực. số chất tính luỹ thừa trong tính toán các biểu Về kỹ năng: - Biết dùng các tính chất của luỹ thức số và rút gọn các biểu thức thừa để đơn giản biểu thức, so chứa biến (tính viết và tính nhẩm, sánh những biểu thức có chứa luỹ tính nhanh một cách hợp lí). thừa. - Tính được giá trị biểu thức số có Được trình bày ở §1. Luỹ thừa (2 chứa phép tính luỹ thừa bằng sử tiết) và §2. Hàm số lũy thừa (2 dụng máy tính cầm tay. tiết) đối với chương trình cơ bản - Giải quyết được một số vấn đề có liên quan đến môn học khác hoặc có liên quan đến thực tiễn gắn với phép tính luỹ thừa (ví dụ: bài toán về lãi suất, sự tăng trưởng,...). - Nhận biết được khái niệm logarit Phép Về kiến thức : tính - Biết khái niệm logarit cơ số a ( cơ số a ( a  0, a  1) của một số logarit. a  0, a  1) của một số thực thực dương. Các tính dương. chất - Giải thích được các tính chất của - Biết các tính chất của logarit (so phép tính logarit nhờ sử dụng định sánh hai logarit cùng cơ số, quy nghĩa hoặc các tính chất đã biết tắc tính logarit, đổi cơ số của trước đó. - Sử dụng được tính chất của phép logarit). - Biết các khái niệm logarit thập tính logarit trong tính toán các biểu phân và logarit tự nhiên. thức số và rút gọn các biểu thức Về kỹ năng: chứa biến (tính viết và tính nhẩm, 32 - Biết vận dụng định nghĩa để tính nhanh một cách hợp lí). tính một số biểu thức chứa logarit - Tính được giá trị (đúng hoặc gần đơn giản. đúng) của logarit bằng cách sử dụng - Biết vận dụng các tính chất của máy tính cầm tay. logarit vào các bài tập biến đổi, - Giải quyết được một số vấn đề có tính toán các biểu thức chứa liên quan đến môn học khác hoặc có liên quan đến thực tiễn gắn với phép logarit. Được trình bày ở §3. logarit (2 tính logarit (ví dụ: bài toán liên quan tiết) đối với chương trình cơ bản Hàm số Về kiến thức : đến độ pH trong Hoá học,...). - Nhận biết được hàm số mũ và hàm mũ hàm - Biết khái niệm, tính chất và số logarit. Nêu được một số ví dụ số logarit công thức tính đạo hàm của hàm thực tế về hàm số mũ, hàm số số mũ, hàm số logarit. logarit. - Biết dạng đồ thị của các hàm số - Nhận dạng được đồ thị của các mũ, hàm số logarit. hàm số mũ, hàm số logarit. Về kỹ năng: - Giải thích được các tính chất của - Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số logarit thông hàm số mũ, hàm số logarit vào qua đồ thị của chúng. việc so sánh hai số, hai biểu thức - Giải quyết được một số vấn đề có chứa mũ và logarit. Biết vẽ đồ thị liên quan đến môn học khác hoặc có các hàm số mũ, hàm số logarit. liên quan đến thực tiễn gắn với hàm - Tính được đạo hàm các hàm số số mũ và hàm số logarit (ví dụ: lãi mũ, hàm số logarit. suất, sự tăng trưởng,...). Được trình bày ở §4 . hàm số mũ, hàm số logarit (3 tiết) đối với chương trình cơ bản Phương - Giải được phương trình, bất - Giải được phương trình, bất trình, bất phương trình mũ, logarit ở dạng phương trình mũ, logarit ở dạng đơn phương giản đơn giản. 33 trình mũ Được trình bày ở §5 . Phương - Giải quyết được một số vấn đề có liên quan đến môn học khác hoặc có và trình mũ và phương trình logarit logarit (2 tiết); §6 . Bất phương trình mũ liên quan đến thực tiễn gắn với và bất phương trình logarit (2 phương trình, bất phương trình mũ tiết) đối với chương trình cơ bản và logarit (ví dụ: bài toán liên quan đến độ pH, độ rung chấn,...). Các dạng toán thường gặp: Dạng 1: Tính toán, rút gọn, biến đổi các biểu thức lũy thừa, mũ, logarit. Dạng 2: Tìm tập xác định của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit. Dạng 3: Tính đạo hàm của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit. Dạng 4: Tính chất của đồ thị hàm số lũy thừa, mũ, logarit. Dạng 5: Phương trình mũ, phương trình logarit. Dạng 6: Bất phương trình mũ, bất phương trình logarit. Dạng 7: Bài toán thực tế, liên môn. Đây là một chủ đề khó, có rất nhiều công thức, việc ghi nhớ và áp dụng được các phép tính lũy thừa, logarit, tính đơn điệu và hình dáng đồ thị của ba loại hàm số lũy thừa , hàm số mũ, hàm số logarit gây khó khăn cho nhiều HS. Chưa kể đến các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ, phương trình, bất phương trình logarit cũng khiến các em bối rối. Một bộ phận HS còn lúng túng trong việc xử lý giả thiết tìm ra lời giải, hoặc biết cách làm nhưng quên điều kiện xác định, kết hợp điều kiện sai dẫn đến không có kết quả đúng”, khi dạy nội dung này GV nhấn mạnh, HS cần nắm được một số nội dung như: Tính chất lũy thừa với số mũ thực, khái niệm logarit, các tính chất logarit; Tập xác định, đạo hàm, tính đơn điệu, tiệm cận và đồ thị của ba loại hàm số lũy thừa , mũ và logarit (học sinh nên tự rút ra sự giống và khác nhau của ba loại hàm số này, tránh nhầm lẫn); Trên cơ sở kiến thức trên, học sinh cần biết cách làm các dạng bài tập sau: Dùng tính chất lũy thừa để đơn giản biểu thức chứa lũy thừa, so sánh biểu thức chứa lũy thừa…. Vận dụng định nghĩa, tính chất 34 logarit tính một vài biểu thức logarit đơn giản, biểu diễn logarit này qua logarit khác, kiểm tra tính đúng sai của các phép tính logarit… . Ngoài ra, các em cần nhận diện đồ thị hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit, tính đạo hàm, kiểm tra tính đơn điệu, tiệm cận, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số mũ, hàm số logarit. HS cũng cần biết cách giải phương trình mũ, phương trình logarit, bất phương trình mũ, bất phương trình logarit (phương pháp đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, phương pháp mũ hóa, phương pháp logarit hóa, phương pháp hàm số…). GV yêu cầu HS nên thực hiện một số cách sau: Tự hệ thống lại lý thuyết giúp ghi nhớ tốt hơn; Sử dụng máy tính hợp lý; Rèn luyện kĩ năng làm bài tập. 1.5. Thực trạng của việc dạy học bằng mô hình hóa chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit ở trường trung học phổ thông “Hàm số mũ và hàm số logarit” là một trong những chủ đề cơ bản, quan trọng trong chương trình môn Toán ở phổ thông. Dạy học chủ đề này không những trang bị cho HS những tri thức, kĩ năng cần thiết về hàm số mũ, hàm số logarit, mà còn có nhiều cơ hội giúp các em vận dụng vào nghiên cứu môn học khác và giải thích các hiện tượng trong thực tiễn. Vì vậy, một trong những mục tiêu quan trọng trong dạy học chủ đề “Hàm số mũ và hàm số logarit” là giúp HS thấy được ứng dụng thực tiễn của chủ đề này, đồng thời rèn luyện cho các em khả năng sử dụng kiến thức về “Hàm số mũ và hàm số logarit” để giải quyết vấn đề trong các môn học khác. Tuy nhiên, thực tế dạy học “Hàm số mũ và hàm số logarit” ở phổ thông mới chỉ tập trung trang bị cho HS vốn tri thức, kĩ năng về hàm số mũ, hàm số logarit, chưa tạo cơ hội cho HS vận dụng những tri thức, kĩ năng này vào thực tiễn. Bài viết đề cập việc xây dựng bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề “Hàm số mũ và hàm số logarit” ở trường trung học phổ thông. Hiện nay chương trình SGK giải tích lớp 12, phần chương II: Chương hàm số mũ- hàm số logarit chỉ nêu phần lí thuyết mà có rất ít ví dụ thực tế. 35 Trong khi cấu trúc đề thi THPT quốc gia, đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi thử của các trường, các sở giáo dục thường xuyên có câu hỏi về dạng toán thực tế, trong đó có rất nhiều dạng toán lãi suất ngân hàng, tăng trưởng dân số, sự phân rã phóng xạ, .... Nội dung kiến thức nhiều mà thời lượng ít nên gây rất nhiều khó khăn trong việc dạy, học nội dung này. 1.5.1. Phân phối chương trình chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit. Phân phối chương trình nội dung hàm số mũ, hàm số logarit trong chương trình chuẩn SGK Giải tích lớp 12 có tổng số tiết 16 tiết. Bài học /Chủ đề Số tiết §1. Lũy thừa 2 §2. Hàm số lũy thừa 2 §3. Logarit 2 §4. Hàm số mũ, hàm số logarit 3 §5. Phương trình mũ và phương trình logarit 3 §6. Bất phương trình mũ và logarit 3 Ôn tập chương II 1 Phân phối chương trình nội dung hàm số mũ, hàm số logarit trong chương trình nâng cao SGK Giải tích lớp 12 có tổng số tiết 25 tiết. Bài học /Chủ đề Số tiết §1. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ 2 Luyện tập 1 §2. Lũy thừa với số mũ thực 1 Luyện tập 1 §3. Logarit 3 Luyện tập 2 36 Bài học /Chủ đề Số tiết §4. Số e và logarit tự nhiên 1 §5. Hàm số mũ, hàm số logarit 3 §6. Hàm số lũy thừa 1 Luyện tập 2 §7. Phương trình mũ và phương trình logarit 2 §8. Hệ phương trình mũ và logarit 1 Luyện tập 2 §9. Sơ lược về bất phương trình mũ và logarit 1 Ôn tập chương II 2 1.5.2. Tình hình dạy học mô hình hóa trong chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit ở trường phổ thông. 1.5.2.1. Tổ chức khảo sát - Đối tượng khảo sát là 22 GV Toán trên địa bàn tỉnh Cao Bằng và 230 HS các lớp 12 thuộc ba trường THPT Cách Linh, THPT Phục Hòa, THPT Quảng Uyên của huyện Quảng Hòa, tỉnh Cao Bằng: - Mục đích khảo sát: Nhận thức của GV và HS về: + Sự cần thiết dạy và học Toán gắn với thực tiễn; + Cấu trúc và các thành tố của MHH trong toán học; + Vai trò tác dụng của dạy học bằng mô hình hóa; + Mức độ thường xuyên tìm hiểu và vận dụng môn Toán THPT vào thực tiễn; + Việc sử dụng quy trình MHH trong dạy học môn Toán và việc thiết kế câu hỏi bài tập vận dụng MHH; + Những thuận lợi, khó khăn khi GV vận dụng tổ chức dạy học bằng MHH; 37 - Phương pháp khảo sát: Sử dụng phiếu hỏi (phiếu dành cho GV ở phụ lục 1a; phiếu dành cho HS ở phụ lục 1b). 1.5.2.2. Phân tích kết quả khảo sát * Kết quả khảo sát đối với GV. Biểu đồ 1.1. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng cường liên hệ môn Toán THPT với thực tiễn. Bình thường 1% Quan trọng 34% Rất quan trọng 65% Không quan trọng Bình thường Quan trọng Rất quan trọng Biểu đồ 1.2. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức môn Toán ở trường THPT. Chưa bao giờ Thường xuyên 2% 11% Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Rất thường xuyên Thỉnh thoảng 87% 38 Biểu đồ 1.3. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế các hoạt động giúp HS THPT hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn. Chưa bao giờ Thường xuyên 2% 11% Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Rất thường xuyên Thỉnh thoảng 87% Biểu đồ 1.4. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên sử dụng công nghệ thông tin giúp HS THPT hiểu những mô hình của toán học trong thực tiễn. Thường xuyên 11% Chưa bao giờ 2% Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Rất thường xuyên Thỉnh thoảng 87% 39 Biểu đồ 1.5. Tỷ lệ GV đánh giá về mức độ thường xuyên thiết kế bài tập, bài kiểm tra theo hướng vận dụng MHH toán học để giải quyết bài toán nảy sinh từ thực tiễn. Chưa bao giờ 2% Thường xuyên 11% Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Rất thường xuyên Thỉnh thoảng 87% Biểu đồ 1.6. Tỷ lệ GV đánh giá về tầm quan trọng của MHH toán học trong dạy học Toán ở trường THPT. Bình thường 1% Quan trọng 34% Không quan trọng Bình thường Quan trọng Rất quan trong 65% Rất quan trong 40 Biểu đồ 1.7. Tỷ lệ GV đánh giá về việc rèn luyện kỹ năng cho HS THPT của hoạt động MHH toán học. 25 20 15 10 5 0 Giải quyết vấn đề Thực hiện dự án Sử dụng Làm việc Vận dụng Vận dụng ngôn ngữ nhóm trong CNTT toán học thực tiễn Khác Biểu đồ 1.8. Tỷ lệ GV đánh giá về những hiểu biết cần thiết của GV trong việc dạy học bằng MHH. Tổ chức hoạt động ngoại khóa Thiết kế mô hình toán học Vận dụng toán học trong thực tiễn Kiến thức về các vấn đề thực tiễn Phương pháp dạy học Công nghệ thông tin Kiến thức toán học phổ thông Kiến thức khoa học toán Khác 0 5 41 10 15 20 25 Biểu đồ 1.9. Tỷ lệ GV đánh giá, nhận thức về thành tố của năng lực MHH trong môn Toán. Phân tích tình huống thực tiễn Xác định biến, tham số bài toán Lựa chọn mô hình toán học Liên hệ mô hình với thực tiễn Đơn giản hóa giả thuyết Xây dựng bài toán Thiết lập mô hình Cải tiến mô hình 0 5 10 15 20 25 Nhận xét đối với GV: Căn cứ vào các câu trả lời ở phiếu điều tra dành cho GV; cùng với thông tin thu được từ quan sát, dự giờ, phỏng vấn GV rút ra một số nhận xét như sau về những vấn đề liên quan đến GV: - Về nội dung môn Toán (thể hiện ở chương trình SGK): Toán học vốn là khoa học trừu tượng và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn nhưng việc gắn dạy học môn Toán với thực tiễn không hề đơn giản, đòi hỏi GV phải có hiểu biết sâu rộng nhiều lĩnh vực, và không phải bất cứ kiến thức toán học nào cũng có thể xây dựng được tình huống bài toán gắn với thực tiễn. Trong khi đó: nội dung môn Toán trong chương trình SGK hiện nay còn tương đối nặng nề (nhiều kiến thức toán học khó); đồng thời trình bày còn khá hàn lâm, thậm chí chưa thực sự đồng bộ gắn kết với các môn học khác. - Về PPDH toán của GV: Một số GV còn thiếu sự trau dồi kiến thức về chuyên môn nên chưa có PPDH phù hợp với nội dung kiến thức, thường vẫn sử dụng những PPDH truyền thống như thuyết trình, giảng giải, vấn đáp giản đơn 42 ... mà thiếu sự tìm hiểu, vận dụng những mô hình, cách thức DH mới: ít sử dụng vấn đáp gợi mở, tạo tình huống có vấn đề, ... - Về nhận thức và kỹ năng sử dụng MHH của GV Toán THPT: + Đa số GV chưa nắm được, hoặc không hiểu rõ cách thức thực hiện dạy học bằng MHH ... nên gặp khó khăn, lúng túng khi muốn vận dụng. Một số ít GV ngại thay đổi, thiếu kỹ năng thực hành MHH trong dạy học toán. + GV đánh giá về những khó khăn khi dạy học bằng MHH: Nhiều GV cũng muốn sử dụng MHH trong dạy học, tuy nhiên họ đều cho biết là khó khăn lớn nhất trong Toán học là kết quả của quá trình trừu tượng hóa nhiều lần và nhiều tầng từ thực tiễn. Đa số các GV cũng thừa nhận cả GV và HS cũng cần bổ sung thêm những kiến thức ở ngoài môn Toán THPT mới có thể tổ chức được việc dạy học bằng MHH. Ngoài ra cũng cần đầu tư thêm phương tiện, cơ sở vật chất để phục vụ dạy học môn Toán, nói riêng là áp dụng MHH toán học. * Kết quả khảo sát đối với HS. Biểu đồ 1.10. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn trong học Toán ở THPT. Bình thường 3% Cần thiết 29% Không cần thiết Bình thường Cần thiết Rất cần thiết Rất cần thiết 68% 43 Biểu đồ 1.11. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ thường xuyên tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với môn Toán ở trường THPT. Chưa bao giờ 2% Thường xuyên 11% Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Rất thường xuyên Thỉnh thoảng 87% Biểu đồ 1.12. Tỷ lệ HS đánh giá về mức độ thường xuyên được tiếp xúc với các bài tập, bài kiểm tra có yêu cầu vận dụng MHH toán học. Chưa bao giờ 2% Thường xuyên 11% Chưa bao giờ Thỉnh thoảng Thường xuyên Rất thường xuyên Thỉnh thoảng 87% 44 Biểu đồ 1.13. Tỷ lệ HS đánh giá về tầm quan trọng của MHH toán học trong dạy học Toán ở trường THPT. 1% Không quan trọng 34% Bình thường Quan trọng 65% Rất quan trọng Nhận xét đối với HS: Căn cứ vào các câu trả lời ở phiếu hỏi dành cho HS; cùng với thông tin thu được từ quan sát, dự giờ, phỏng vấn HS rút ra một số nhận xét như sau: - Về phương pháp học tập: HS chưa chủ động tích cực, tự giác do lâu nay quen học thụ động: nghe và ghi chép, làm theo mẫu, ... - Về phía HS cũng gặp một số khó khăn trước yêu cầu học toán gắn với thực tiễn (câu hỏi 5 và câu hỏi 6): + Hạn chế về vốn tri thức hiểu biết tổng hợp và năng lực ngôn ngữ nên không hiểu tình huống thực tiễn; + Hạn chế cả về kiến thức thực tế và toán học nên lúng túng khi cần MHH toán học; + Việc chuyển từ tình huống thực tế sang mô hình toán học các em còn gặp phải khó khăn cả về ngôn ngữ toán học. Về nhận thức và kỹ năng MHH của HS THPT: Hầu hết HS đều không rõ thế nào là MHH, mặc dù đã có những khi được học giải bài toán có nội dung thực tiễn. Về kỹ năng MHH của HS còn yếu: các em lúng túng khi cần chuyển tình huống thực tiễn về mô hình toán học và phát hiện được công cụ toán học để giải quyết. 45 Thông qua phiếu khảo sát đối với GV và HS và việc dự giờ dạy học đối với giáo viên trong dạy học nội dung này chúng tôi nhận thấy một số thuận lợi và khó khăn trong việc dạy học bằng MHH như sau: * Thuận lợi - Do xã hội phát triển về khoa học kỹ thuật tạo điều kiện tốt về cơ sở vật chất nên HS có nhiều cơ hội học hỏi kinh nghiệm, giao lưu với bạn bè về nhiều mặt thông qua các phương tiện truyền thông. - Đội ngũ GV đạt chuẩn, đã được đào tạo một cách chính quy, bài bản, tâm huyết với nghề. - Nội dung dạy học chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit được đưa vào chương trình với một hệ thống kiến thức phù hợp với trình độ của HS. Các dạng toán trong phần này có nhiều nội dung gắn với thực tiễn. * Khó khăn - Xã hội phát triển, HS được tự do tiếp xúc, trao đổi với xã hội xung quanh, dẫn đến những tiêu cực như HS chán học, bỏ học, ỷ lại, chưa có ý thức tự học. Trong quá trình học toán, còn khá nhiều HS vận dụng công thức, quy tắc, phương pháp một cách thụ động để giải những dạng bài tập quen thuộc theo lối mòn, thiếu sự sáng tạo, chưa linh hoạt. - Nội dung kiến thức trong SGK nhiều với các bài toán thực tế chỉ mang tính lý thuyết, ít thực hành. Đặc biệt, dạy học MHH đòi hỏi GV cần nhiều thời gian hơn so với phương pháp truyền thống, trong khi đó GV không có nhiều thời gian để hướng dẫn HS tham gia hoạt động ngoài giờ lên lớp. - Trong các giờ dạy GV đã có ý thức vận dụng phương pháp MHH để dạy chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit. Tuy nhiên, GV còn lúng túng trong việc: + Xác định các hoạt động tương ứng với từng kỹ năng giải bài toán bằng phương pháp MHH. 46 + Xây dựng hệ thống các câu hỏi gợi mở, dẫn dắt HS tiến hành từng hoạt động. + Giải thích, chỉ dẫn và tập luyện cho HS sử dụng và chuyển đổi đúng đắn ngôn ngữ, ký hiệu. Cho HS vận dụng toán học vào thực tiễn thì họ ngại ngần, lúng túng, nhiều GV chỉ dạy Toán một cách hàn lâm, bám vào nội dung có sẵn trong SGK, ... GV chưa hiểu rõ và đầy đủ, chi tiết từng kỹ năng thành phần cần rèn luyện cho HS trong dạy học nội dung này. + Do thời gian tiết học bị hạn chế, khối lượng kiến thức khá nhiều. - Chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit có nhiều kiến thức mới, số lượng công thức cần nhớ nhiều, HS chưa nhận thấy được mối liên hệ trong thực tiễn đối với nội dung này. - HS gặp khó khăn trong việc đơn giản bài toán, xử lý điều kiện của bài toán, thiết lập vấn đề từ tình huống thực tế, làm rõ mục tiêu bài toán; khó khăn trong xác định biến số phù hợp, tham số, hằng số liên quan, tìm mối liên hệ giữa các biến số, thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin về tình huống, loại bỏ các yếu tố phi toán học và chuyển đổi bài toán sang ngôn ngữ toán học. - Kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số HS còn rất yếu. 47 1.6. Tiểu kết chương 1 Qua thực trạng dạy học chủ đề “hàm số mũ, hàm số logarit ở trường phổ thông” và các phiếu khảo sát, điều tra đối với GV, HS. Trong Chương 1 của đề tài này đã trình bày những kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn. Hệ thống hóa được một số vấn đề về cơ sở lý luận của đề tài cụ thể là: Cụ thể hóa một số khái niệm: mô hình, MHH, MHH toán học, toán học hóa, năng lực MHH, MHH như là một PPDH; Tìm hiểu mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn; Vai trò của MHH trong trong dạy học toán; Cụ thể hóa quy trình vận dụng phương pháp MHH trong dạy học Toán. Tìm hiểu thực trạng dạy học chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit. Kết quả dạy và học chủ đề, trong đó có yêu cầu gắn môn Toán với thực tiễn, Tình hình sử dụng phương pháp MHH trong chủ đề này. Những kết quả nghiên cứu về lý luận và thực tiễn ở chương 1 cho thấy dạy học bằng MHH có nhiều ưu điểm trong dạy học toán nhằm thực hiện đổi mới giáo dục tập trung vào phát triển năng lực HS. Đặc biệt là năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn. Nội dung “hàm số mũ, hàm số logarit” được đưa vào môn Toán THPT với nội dung và thời lượng không nhiều. Tuy nhiên đây là một nội dung toán học có nhiều cơ hội để GV và HS liên hệ với thực tiễn, tạo điều kiện khá tốt để vận dụng phương pháp MHH. Thực trạng dạy và học chủ đề này hiện nay ở trường phổ thông cho thấy vẫn còn những khó khăn, bất cập hạn chế về nhiều phía ... Những kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn này giúp chúng tôi rút ra kết luận: cần thiết và có cơ hội vận dụng dạy học bằng MHH để thực hiện đổi mới PPDH, góp phần phát triển năng lực MHH của HS, nâng cao chất lượng dạy học nội dung này ở trường phổ thông. 48 Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC BẰNG MÔ HÌNH HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT. 2.1. Một số biện pháp dạy học bằng phương pháp mô hình hóa cho học sinh trong dạy học hàm số mũ, hàm số logarit. 2.1.1. Rèn luyện các thành tố của năng lực mô hình hóa Khả năng xây dựng mô hình toán của HS, là một thành tố quan trọng của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn, là cơ sở hình thành phương pháp MHH ở người học. Quá trình xây dựng mô hình toán cho tình huống thực tiễn là quá trình mô tả sự kiện, hiện tượng bằng ngôn ngữ toán học. Đối với các tình huống thực tiễn dạng này, cần rèn luyện cho HS các kĩ năng sau để dự đoán quy luật: Kĩ năng thu thập dữ liệu; Kĩ năng xây dựng mô hình thực nghiệm; Kĩ năng dự đoán quy luật. Thông qua việc xây dựng mô hình toán học cho các tình huống thực tiễn, GV có thể rèn luyện cho HS các kĩ năng sau đây: a) Rèn luyện cho HS kĩ năng đặt biến cho các yếu tố (đại lượng). b) Rèn luyện cho HS kĩ năng biểu thị tình huống thực tiễn thông qua những biểu thức chứa biến và bằng biểu đồ, đồ thị, hình vẽ. c) Tập luyện cho HS quen dần với việc khái quát hóa tình huống thực tiễn theo quan điểm của toán học. d) Tổ chức cho HS khai thác các chức năng của mô hình, đồng thời kiểm tra và điều chỉnh mô hình toán học. e) Khai thác các bài toán trên một số mô hình phục vụ cho mục đích DH đồng thời giúp HS nắm chắc công cụ này trong việc vận dụng vào thực tiễn. f) Tổ chức cho HS hoạt động sử dụng mô hình để dự đoán, ước tính kết quả của tình huống trong thực tiễn. g) Tổ chức cho HS biến đổi mô hình toán học theo dụng ý của mình nhằm phát triển trí tuệ cho người học, đồng thời rèn luyện kĩ năng điều chỉnh 49 mô hình, góp phần giúp họ đưa toán học xâm nhập sâu rộng vào tình huống thực tiễn. Để rèn luyện các thành tố của năng lực MHH GV hướng dẫn HS giải bài toán theo quy trình dạy học bằng MHH đã được trình bày ở mục 1.3.1 trong chương 1 của đề tài này. Ví dụ 2.1. Hiện tại Anh Hoàng có số tiền 800 triệu đồng, anh muốn góp vốn đầu tư vào công ty B, nhưng theo kế hoạch huy động vốn đầu tư của công ty B còn 54 tháng nữa mới đến kỳ hạn huy động. Anh Hoàng dự kiến sẽ gửi tiết kiệm vào ngân hàng C theo thể thức lãi kép, đến kỳ góp vốn sẽ rút tiền để đầu tư và được tư vấn về lãi suất tiết kiệm ngân hàng C như sau: BẢNG LÃI SUẤT NGÂN HÀNG C Kỳ hạn Lãi suất (%/năm) 1 tháng 3.75% 3 tháng 3.90% 6 tháng 5.50% 9 tháng 5.70% 12 tháng 6.00% Anh Hoàng nên gửi tiết kiệm vào ngân hàng C theo kỳ hạn nào để số tiền cả vốn lẫn lãi cao nhất và kịp thời gian huy động vốn của công ty B. Để tổ chức hoạt động MHH bài toán này, GV đã thực hiện theo quy trình gồm 7 bước: * Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn. Trước hết GV đã tổ chức cho HS suy nghĩ và thảo luận về những số liệu cần thiết, cần thu thập nhằm đơn giản hóa bài toán. Có 5 kỳ hạn gửi với các lãi suất khác nhau, thời gian gửi chỉ được 54 tháng, cần chọn kỳ hạn gửi nào để số tiền có được nhiều nhất. * Bước 2: Lập giả thuyết: Các dữ kiện cần tính toán trong bài toán: Số tiền gửi ban đầu P = 800 triệu đồng, gửi theo hình thức lãi kép; thời gian gửi 54 50 tháng vậy cần phải tính số kỳ hạn gửi cho 5 kỳ hạn trên, số tiền lãi sau 54 tháng, kịp thời gian để rút tiền. * Bước 3: Xây dựng bài toán: Áp dụng công thức lãi kép: Pn = P (1 + r ) n với lãi suất là r, số kỳ hạn là n. (n nguyên và nhỏ hơn mức làm tròn để kịp thời gian). * Bước 4: Giải bài toán. Lập công thức, điền số liệu vào bảng Excel để tính toán. Kỳ hạn gửi Số kỳ hạn Làm tròn kỳ hạn Lãi suất (%/năm) Lãi suất mỗi kỳ hạn Số tiền thu được 1 tháng 54 54 3.75% 0.003125 946.810 (triệu đồng) 3 tháng 18 18 3.90% 0.009750 952.663 (triệu đồng) 6 tháng 9 9 5.50% 0.027500 1,021.237 (triệu đồng) 9 tháng 6 6 5.70% 0.042750 1,028.422 (triệu đồng) 12 tháng 4.5 4 6.00% 0.060000 1,009.982 (triệu đồng) Số kỳ hạn = 54 (tháng)/kỳ hạn gửi. Là tròn kỳ hạn, (chỉ lấy phần nguyên vì nếu lấy thập phân sẽ không kịp với thời gian huy động vốn) và được ký hiệu là n. Lãi suất mỗi kỳ hạn = (kỳ hạn gửi) x (lãi suất %/năm)/12. Số tiền thu được áp dụng công thức Pn = P (1 + r ) . n Với P = 800 triệu đồng, kỳ hạn n (của mỗi kỳ hạn gửi) lấy dữ liệu ở cột làm tròn kỳ hạn, r là lãi suất của mỗi kỳ hạn. * Bước 5: Hiểu lời giải bài toán: Quay lại yêu cầu của bài toán, Anh Hoàng nên chọn gửi theo kỳ hạn 9 tháng. * Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình: Bài toán này áp dụng công thức bài toán “lãi kép” nhưng phải tính nhiều lần, do vậy HS nên sử dụng máy tính cầm tay hoặc sử dụng bảng tính Excel trên máy tính. 51 * Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán. Thông báo do nhóm hoặc đại diện nhóm trình bày nhằm giúp GV đánh giá sản phẩm. Từ đó, GV hướng dẫn HS biết sử dụng ngôn ngữ và công cụ của toán học để mô tả các ý tưởng toán học, biểu diễn các vấn đề trong thực tiễn. Ví dụ 2.2. Theo kết quả điều tra dân số, dân số trung bình nước Việt Nam qua một số mốc thời gian (Đơn vị: 1.000 người): Năm 1976 1980 1990 2000 2010 Số dân 49160 53722 66016,7 77635 88434,6 a) Tính tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm trong các giai đoạn 19761980, 1980-1990, 1990-2000, 2000-2010. Kết quả chính xác tới 4 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Giả sử tỉ lệ % tăng dân số trung bình mỗi năm không đổi trong mỗi giai đoạn. b) Nếu cứ duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2015 và 2020 dân số của Việt Nam là bao nhiêu? c) Để kìm hãm đà tăng dân số, người ta đề ra phương án: Kể từ năm 2010, mỗi năm phấn đấu giảm bớt x% ( x không đổi) so với tỉ lệ % tăng dân số năm trước (nghĩa là nếu năm nay tỉ lệ tăng dân số là a% thì năm sau là ( a − x ) % ). Tính x để số dân năm 2015 là 92,744 triệu người. * Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn. Trước hết GV tổ chức cho HS suy nghĩ và thảo luận về những số liệu cần thiết cần thu thập nhằm đơn giản hóa bài toán. Bài toán này được chia thành 4 giai đoạn: giai đoạn 1: 4 năm; giai đoạn 2, 3, 4: 10 năm. * Bước 2: Lập giả thuyết: Giai đoạn 1: từ năm 1976 đến năm 1980 có số dân lần lượt là 49160 (nghìn người) và 53722 nghìn người, số năm n=4; Tương tự cho các giai đoạn tiếp theo (số liệu lấy trong bảng) …. * Bước 3: Xây dựng bài toán: Mô hình đã biết: Dân số thế giới được ước tính theo công thức S = A.eni : Trong đó A : Dân số của năm lấy làm mốc tính. S : Dân số sau n năm. i : Tỉ lệ tăng dân số hằng năm. 52 * Bước 4: Giải bài toán. a) Từ công thức ước tính dân số: S = A.eni e ni = S 1 S  i = ln   ta có: A n  A 1  53722  Giai đoạn 1 (1976-1980): i1 = ln    0,0222 = 2, 22% 4  49160  Giai đoạn 2 (1980-1990): i2 = 1  66016,7  ln    0,0206 = 2,06% 10  53722  Giai đoạn 3 (1990-2000): i3 = 1  77635  ln  0,0162 = 1,62% 10  66016,7  Giai đoạn 4 (2000-2010): i4 = 1  88434,6  ln    0,013 = 1,3% 10  77635  b) Nếu cứ duy trì tỉ lệ tăng dân số như ở giai đoạn 2000-2010 thì đến năm 2015 và 2020 dân số của Việt Nam là: S = A.eni = 88434,6.e5.0,013 = 94373,8 (nghìn người). * Bước 5: Hiểu lời giải bài toán: HS phải biết chia ra từng giai đoạn để tính tỉ lệ tăng dân số, ở ý b học sinh áp dụng được công thức ước tính dân số khi đã biết số năm, tỉ lệ tăng dân số. Đối với ý c chúng ta phải xây dựng mô hình khác. Giải ý c) Năm làm mốc tính 2020 có số dân là S = 88434,6 (nghìn người), tỉ lệ tăng dân số là i = 1,3% = 0,013 Năm n 2011 1 i−x S1 = Sei − x 2012 2 i − 2x S2 = S1ei −2 x = Se2i −3 x 2013 3 i − 3x S3 = S2ei −3 x = Se3i −6 x …. 2010+n Tỉ lệ tăng dân số Số dân sau năm thứ n …. n i − nx ….. Sn = Se 53 ni − n( n +1) x 2 Đến năm 2015 ta có: S5 = Se5i −15 x e5i −15 x = S5 S  S   5i − 15 x = ln  5   15 x = 5i − ln  5  S S  S   92747  Thay số ta có: 15 x = 5.0,013 − ln   x  0,0012 = 0,12%  88434,6  * Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình: Bài toán phải tính nhiều lần, do vậy HS nên sử dụng máy tính cầm tay hoặc sử dụng bảng tính Excel trên máy tính. * Bước 7: Thông báo do nhóm hoặc đại diện nhóm trình bày nhằm giúp GV đánh giá sản phẩm Từ đó, GV hướng dẫn HS biết sử dụng ngôn ngữ và công cụ của toán học để mô tả các ý tưởng toán học, biểu diễn các vấn đề trong thực tiễn. 2.1.2. Tổ chức các hoạt động dạy học bằng mô hình hóa. 2.1.2.1. Tổ chức các hoạt động dạy học bằng MHH để gợi động cơ mở đầu (Hoạt động khởi động). a) Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp GĐC học tập Gợi động cơ (GĐC) học tập là một thành tố cơ sở của PPDH. Qua tham khảo tác giả Nguyễn Bá Kim [8, (2017): “GĐC là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những hoạt động và của đối tượng hoạt động. GĐC nhằm làm cho những mục tiêu sư phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân HS, chứ không phải chỉ là sự vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức ... GĐC không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt đầu dạy một tri thức nào đó (thường là một bài học), mà phải xuyên suốt quá trình dạy học” [8, tr. 131 –132]. Trong môn Toán có ba giai đoạn GĐC đó là: GĐC mở đầu, GĐC trung gian, GĐC kết thúc. GĐC mở đầu là GĐC cho bước đặt vấn đề vào một vấn đề mới. Như vậy trong DH Toán GV có thể và cần thiết GĐC mở đầu khi đặt vấn đề tìm hiểu một chương, một bài, một mục, một khái niệm, một định lí, hay một qui tắc, một phương pháp toán học mới. 54 Tác dụng của GĐC trong dạy học Toán là tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, kích thích hứng thú học tập cho HS, đảm bảo thu hút HS vào quá trình học tập và duy trì tính tích cực trong quá trình nhận thức học tập môn Toán. Chúng tôi vận dụng lí luận vào GĐC mở đầu trong đề tài này như sau: + GĐC từ nhu cầu trong nội bộ toán học: lấy chính nhu cầu có thật của toán học ra để làm thực tiễn nảy sinh kiến thức, ở đây là chúng ta sử dụng kiến thức cũ để đặt vấn đề cho kiến thức mới xem nhu cầu đó là một thực tiễn dẫn đến việc cần có kiến thức, phương pháp toán học mới. + GĐC từ nhu cầu ở khoa học khác: từ nhu cầu kiến thức của các khoa học khác cần phải sử dụng kiến thức và phương pháp toán học. + GĐC từ nhu cầu thực tế đời sống: từ thực tế đời sống có nhiều tình huống cần phải sử dụng đến công cụ toán học mới giải quyết được. b) Cách thức thực hiện biện pháp. Ở đề tài này, trong dạy học chủ đề hàm số mũ, hàm số chúng tôi quan tâm đến dạy học bằng MHH để thực hiện GĐC bằng việc sử dụng những tình huống Toán học gắn với thực tiễn. Để thực hiện điều đó chúng tôi có sử dụng những cách sau: Cách 1: Gợi động cơ từ nội bộ toán học. Ví dụ 2.2. Tổ chức hoạt động học tập để GĐC hình thành khái niệm logarit. (HS đã học xong bài lũy thừa và hàm số lũy thừa). * Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ, tạo tình huống vào bài mới. GV: trình chiếu nội dung câu hỏi kiểm tra bài cũ. −2 1 Câu hỏi 1: Tính: 2 = ? 2 = ?   = ? 5 3 −3 Câu hỏi 2: Tìm x để: a) 2 = 8 . x 1 b) 3 = . 9 x x 1 c)   = 125 . 5 55 Câu hỏi 3: có tồn tại giá trị của x trong các trường hợp sau hay không? a) 3x = 0 . b) 2x = −3 . c) 2x = 5 . HS: Thực hiện yêu cầu của GV, lên bảng trình bày lời giải. −2 1 1 Câu hỏi 1: Tính: 2 = 8 2 =   = 25 . 8 5 3 −3 1 Câu hỏi 2: a) 2 = 8  x = 3 . b) 3 =  x = −2 . c) 9 x Câu hỏi 3: ý a) 3x = 0 . x x 1   = 125  x = −3 . 5 b) 2x = −3 . Dự kiến của GV: HS có thể kết luận được ngay là không tồn tại giá trị của x dựa vào việc tính nhẩm các giá trị của hai biểu thức đó khi cho x các giá trị âm, dương, bằng không, ý c) 2x = 5 HS sẽ phân vân. GV: Đối với câu hỏi 1 thực chất là việc tính lũy thừa với số mũ thực của một số, câu hỏi 2 là bài toán cho hai số thực dương a ( a  1 ) và b tìm số  thỏa mãn đẳng thức a = b các em có thể tính được vì nó rơi vào trường hợp đặc biệt. Người ta chứng minh được rằng luôn tồn tại duy nhất số  sao cho a = b với a và b là hai số dương và a  1 . Tức là ở câu hỏi 3 ý c) sẽ có giá trị của x để 2x = 5 . Bài toán này dẫn đến một khái niệm mới là khái niệm logarit. * Hoạt động 2. Hình thành khái niệm logarit. GV: vào bài mới, trình chiếu khái niệm logarit: * Định nghĩa: Cho hai số dương a và b với a  1 . Số  thỏa mãn đẳng thức a = b được gọi là logarit cơ số a của b và ký hiệu là log a b . a = b   = log a b Mô hình toán học mà HS đã biết ở đây là công thức lũy thừa an và hàm số lũy thừa y = a x , HS đã biết tính toán lũy thừa, tính giá trị của hàm số mũ. Trong định nghĩa này GV nhấn mạnh cho học sinh việc sử dụng MHH là ký hiệu, công thức logarit và giải thích rõ cho HS các thành phần trong ký hiệu 56 log a b , điều kiện của a, b từ đó trả lời câu hỏi 3 và lấy ví dụ từ các câu hỏi phần kiểm tra bài cũ. Trả lời câu hỏi 3: ý a) 3x = 0 tức là b = 0 , ý b) 2x = −3 tức là b = −3 không tồn tại x vì vi phạm điều kiện b  0 , ý c) 2 x = 5  x = log 2 5 * Ví dụ 1: −3 1 1 1 a) 2 = 8  3 = log 2 8 . b) 3 =  −2 = log 3 . c)   = 125  −3 = log 1 125 . 9 9 5 5 −2 3 * Ví dụ 2: Tính: a) log3 27 . b) log 1 9 . c) log 2 3 1 . 16 Kết quả: a) log3 27 = 3 . b) log 1 9 = −2 . c) log 2 3 1 = −4 . 16 * Chú ý: không có logarit của số âm và số 0. Trong hoạt động dạy học này GV đã sử dụng mô hình có sẵn để dạy khái niệm logarit đó là các công thức lũy thừa, HS đã có mô hình sẵn, sử dụng mô hình và dẫn dắt của GV để hình thành khái niệm, khái niệm logarit cũng là một mô hình, HS học mô hình đó và tiếp tục sử dụng nó (mô hình công thức logarit) để thực hiện kỹ năng tính toán, khắc sâu khái niệm. Cách 2: Gợi động cơ từ các tình huống thực tiễn. Tình huống thực tiễn trong dạy học toán là tình huống chứa nội dung thực tế được GV phát hiện hoặc thiết kế nhằm giúp HS khai thác, củng cố kiến thức, luyện tập các kỹ năng vận dụng kiến thức toán học đã biết hoặc từ tình huống thực tiễn đó GV dẫn dắt đến một khái niệm toán học mới. Ví dụ 2.3. Tổ chức hoạt động dạy học GĐC bài bất phương trình mũ. Bài toán: Dân số thế giới được ước tính theo công thức S = Aenr (công thức tăng trưởng mũ) trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là số dân sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. 57 Đây là bài toán thực tế để ước tính dân số và đã được cho sẵn công thức (mô hình). GV tra cứu internet để dẫn đến bài toán thực tiễn tại Việt Nam như sau: Năm 2019 dân số Việt Nam là 96,46 triệu người, với tỉ lệ tăng dân số hàng năm là 1,14% . Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi thì đến năm bao nhiêu dân số Việt Nam sẽ trên 100 triệu người. HS phân tích bài toán, đơn giản hóa giả thuyết: Mốc tính năm 2019, có A = 96,46 (triệu người); r = 0,0114 Cần ước tính dân số đến năm bao nhiêu dân số Việt Nam lớn hơn 100 triệu người tức là S  100 . Yêu cầu của bài toán sẽ là tìm n để S  100 . Thay số ta có: 96,46e0,0114 n  100 GV: từ mô hình toán học của bài toán trên dẫn đến việc giải bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ, những bài toán như vậy dẫn đến nội dung kiến thức bất phương trình mũ. 2.1.2.2. Tổ chức các hoạt động dạy học bằng MHH để dạy học kiến thức mới (Hoạt động hình thành kiến thức) và tổ chức hoạt động luyện tập. a) Cơ sở khoa học của biện pháp. * Bản chất và ý nghĩa của hoạt động hình thành kiến thức. Hoạt động hình thành kiến thức giúp HS lĩnh hội được kiến thức, kỹ năng mới bằng cách tổ chức các hoạt động thành phần tương thích với từng nội dung học tập; Các hoạt động thành phần này nhằm vào một mục tiêu cụ thể, ví dụ như phát triển tư duy, kiến tạo kiến thức, tri thức phương pháp, củng cố tại chỗ (ví dụ về nhận dạng và thể hiện). Việc dạy học bằng MHH hỗ trợ hình thành kiến thức mới cần được tiến hành đồng bộ với những PPDH (cả truyền thống và không truyền thống) thường được dùng trong môn Toán. Điểm lưu ý ở đây chỉ là: dạy học bằng MHH lồng ghép vào đặt trong sự kết hợp các PPDH, với mục đích, tác dụng cụ thể là “giúp HS được tiếp cận với kiến thức không phải là ở dạng có sẵn, mà 58 tìm tòi phát hiện kiến thức mới trong những tình huống có nội dung, nguồn gốc từ thực tiễn. Khi đó, GV phối hợp sử dụng các PPDH với việc dạy học bằng MHH để thiết kế, khai thác những tình huống thực tiễn, tổ chức hướng dẫn HS học kiến thức mới theo con đường khám phá, giải quyết vấn đề. * Bản chất và ý nghĩa của hoạt động luyện tập. Thông thường khi dạy xong một nội dung kiến thức mới GV sẽ tiến hành hoạt động luyện tập để giúp HS củng cố, hoàn thiện kiến thức, kỹ năng vừa lĩnh hội được. GV sẽ tổ chức cho HS các hoạt động nhận dạng, thể hiện và hoạt động ngôn ngữ. Sau đó áp dụng trực tiếp kiến thức, kỹ năng đã biết để giải quyết các tình huống/vấn đề trong học tập. Ở đề tài này, chúng tôi quan tâm đến sử dụng dạy học bằng MHH để thực hiện hoạt động hình thành kiến thức chủ yếu với nội dung kiến thức về hàm số mũ, hàm số logarit. b) Cách thức thực hiện biện pháp. Bước 1: Phân tích tình huống thực tiễn (bài toán), MHH những tình huống, câu hỏi và bài toán (có nội dung thực tiễn) gặp phải. Bước 2: giải bài toán: Đối chiếu quy tắc, phương pháp giải bài toán với những tình huống, câu hỏi và bài toán gặp phải để lựa chọn và sử dụng công cụ toán học phù hợp giải bài toán. Bước 3: Hiểu bài toán: Đối chiếu với câu hỏi ở tình huống ban đầu để chuyển kết quả bài toán và trả lời câu hỏi thực tiễn. Bước 4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán. Ví dụ 2.4. Tổ chức hoạt động dạy học MHH hình thành khái niệm phương trình mũ và củng cố khái niệm. Hoạt động hình thành khái niệm phương trình mũ đã trình bày ví dụ 1.3 trong đề tài này. Sau khi đã có khái niệm và cách giải phương trình mũ cơ bản GV tiến hành hoạt động củng cố bằng cách sử dụng (mô hình) đồ thị của hàm số mũ để minh họa trực quan cho cách giải và nghiệm phương trình mũ. 59 Bước 1: GV: Chia lớp học thành 4 nhóm thực hiện nhiệm vụ trên phiếu học tập (GV trình chiếu nội dung các phiếu học tập). PHIẾU HỌC TẬP 01 (nhóm 1) PHIẾU HỌC TẬP 02 (nhóm 2) Vẽ đồ thị hàm số y = a x (với a  1) và Vẽ đồ thị hàm số y = a x (với 0  a  1 ) đường thẳng y = b (với b  0 ) trên và đường thẳng y = b (với b  0 ) trên cùng một hệ trục tọa độ. cùng một hệ trục tọa độ. PHIẾU HỌC TẬP 03 (nhóm 3) PHIẾU HỌC TẬP 04 (nhóm 4) Vẽ đồ thị hàm số y = a x (với a  1) và Vẽ đồ thị hàm số y = a x (với 0  a  1 ) đường thẳng y = b (với b  0 ) trên và đường thẳng y = b (với b  0 ) trên cùng một hệ trục tọa độ. cùng một hệ trục tọa độ. Mô hình ở hoạt động này là đồ thị của hàm số mũ y = a x (với a  1) và đường thẳng y = b , cộng với kiến thức về sự tương giao của các đồ thị với nghiệm của phương trình HS đã được học, từ đó HS có thể thực hiện được các phiếu học tập mà GV đã nêu. Mô hình kiến thức mới học sinh tìm tòi được là hình ảnh trực quan để biểu diễn nghiệm của phương trình mũ a x = b . Bước 2: HS: Thực hiện nhiệm vụ và đưa ra kết quả. PHIẾU HỌC TẬP 01 PHIẾU HỌC TẬP 02 60 PHIẾU HỌC TẬP 03 PHIẾU HỌC TẬP 04 Bước 3: Dựa vào sản phẩm của HS minh họa bằng đồ thị về nghiệm của phương trình mũ. Bước 4: GV chốt lại kiến thức về nghiệm của phương trình mũ. Ví dụ 2.5. Tổ chức hoạt động dạy học bằng MHH rèn luyện kỹ năng tìm tập xác định của hàm số logarit. Bước 1: Sau khi dạy xong khái niệm hàm số logarit, đã có mô hình hàm số logarit là: y = loga x với cơ số a  0, a  1 và điều kiện x  0 GV đưa ra ví dụ cụ thể như sau: Tìm tập xác định của các hàm số. a) y = log 2 (1 − 2 x ) . b) y = ln ( x 2 − x − 2 ) . Sai lầm của HS ở đây là nhớ luôn điều kiện của định nghĩa là x  0 . GV xây dựng mô hình tổng quát để HS dễ hình dung: - Xét hàm số logarit dưới dạng tổng quát hơn: y = log a f ( x) với a  0, a  1. - Điều kiện của hàm số là: f ( x)  0 . - Giải bất phương trình f ( x)  0 tìm điều kiện của x (hoặc viết tập xác định của hàm số dưới dạng tập hợp). Bước 2: GV hướng dẫn HS giải bài toán 1  a) Tập xác định của hàm số y = log 2 (1 − 2 x ) là: D =  −;  . 2  61 Bước 3: Dựa trên mô hình đã xây dựng ở bước 1, học sinh hiểu bài toán đã nêu tiến hành giải ý b). Đáp án y = ln ( x 2 − x − 2 ) là: D = ( −; −1)  ( 2; + ) . Bước 4: GV chốt lại kiến thức, sử dụng mô hình là công thức để tìm tập xác định của hàm số logarit. Ví dụ 2.6. Tổ chức hoạt động dạy học bằng MHH nội dung các phương pháp giải phương trình mũ đơn giản. Trong chương trình chuẩn SGK Giải tích lớp 12 có trình bày ba cách giải phương trình mũ đơn giản đó là phương pháp đưa về cùng cơ số, phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp logarit hóa. Để tổ chức hoạt động dạy học này SGK không đưa ra một mô hình cụ thể nào mà chỉ đưa ra các ví dụ cụ thể [6,tr80]. Khi dạy học phần này GV có thể xây dựng một số mô hình để HS dễ nhận dạng các bài toán cụ thể. Phương pháp đưa về cùng cơ số: GV: Đưa nội dung bài toán. Hướng dẫn học sinh giải bài toán thông qua 4 bước. Hướng dẫn HS giải phương trình: 16.2x = 28−3 x−3 x 2 Bước 1: Phân tích bài toán: các phương trình này có thể giải bằng phương pháp đưa về cùng cơ số. Xây dựng mô hình toán học: Sử dụng các phép biến đổi tương đương đưa phương trình mũ về dạng (mô hình): a f ( x ) = ag( x )  f ( x) = g( x) . Bước 2: GV: Hướng dẫn học sinh giải ý. HS sử dụng các kiến thức đã học để giải bài toán. 16.2x = 28−3 x−3 x  24.2x = 28−3 x−3 x 2 2 x+4 8−3 x −3 x2 =2 2  x = −2  x + 4 = 8 − 3x − 3x  3 x + 4 x − 4 = 0   x = 2 3  2 2 Bước 3: HS hiểu bài toán, có thể giải các bài toán tương tự. Biểu diễn các cơ số theo cơ số nhỏ nhất. Bước 4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán tương tự. GV: Chốt lại kết quả. 62 Phương pháp đặt ẩn phụ: Bước 1: Đưa nội dung bài toán, xây dựng mô hình. - Khi giải phương trình mũ nếu nhận xét được trong phương trình có chứa các biểu thức: a x , a 2 x , a 3 x , a 4 x ,..... ta đặt ẩn phụ: t = a x (điều kiện: t  0 ) khi đó ta có: a 2 x = t 2 , a 3 x = t 3 , a 4 x = t 4 ,..... đưa phương trình mũ về phương trình đại số. chẳng hạn giải các phương trình sau: a) 9x+1 + 26.3x − 3 = 0 b) 27x + 12x = 2.8x Bước 2 : Giải bài toán. a) 9x+1 + 26.3x − 3 = 0  9.9x + 26.3x − 3 = 0 Đặt: t = 3x (điều kiện: t  0 )  9x = 32 x = t 2 Ta có phương trình: t = −3 (loại) 9t + 26t − 3 = 0   1 t =  9 2 1 1 Với t =  3x = = 3−2  x = −2 9 9 Bước 3: HS hiểu bài toán, có thể giải các bài toán tương tự. Biểu diễn các cơ số theo cơ số nhỏ nhất. Bước 4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán tương tự. GV: Chốt lại kết quả. b) 27x + 12x = 2.8x Chia cả hai vế phương trình cho 8x ta có: x x 3x x 27 x 12 x  27   12  3 3 27 + 12 = 2.8  x + x = 2    +   = 2    +   = 2 8 8  8  8 2 2 x x x 3x x 3 3 Đặt: t =   (điều kiện: t  0 )    = t 3 ta có phương trình: 2 2 t 3 + t = 2  t 3 + t − 2 = 0  ( t − 1) ( t 2 + t + 2 ) = 0  t = 1 x 3    =1 x = 0 2 63 Xây dựng tiến trình dạy học tương tự theo 4 bước với dạng bài tập. - Nếu trong phương trình mũ có chứa hai biểu thức: a x và b x và hai cơ số a , b thỏa mãn điều kiện: a.b = 1 thì ta đặt t = a x (điều kiện: t  0 ) thì b x = 1 t . Ví dụ giải các phương trình sau: a) ( 4 − 15 ) +( x 4 + 15 ) =8 x 2 b) 4.(1,5 ) + 18.  = 17 3 x x Giải: a) Nhận xét: ( 4 − 15. 4 + 15 = Đặt: ( 4 − 15 ) =t x (t  0)  ( )( )( ) ( ) = 1t Ta có phương trình: 4 − 15 4 + 15 = 1  4 + 15 x 4 − 15 . 4 + 15 ) =1 x t = 4 − 15 1 t + = 8  t 2 − 8t + 1 = 0   t t = 4 + 15 ) = 4 − 15 = ( 4 − 15 )  x = 2 1 1 15  =  ( 4 + 15 ) = ( 4 + 15 )  x = −2 t 4 + 15 Với: t = 4 − 15  ( 4 − 15 2 x −2 x Với: t = 4 + x 2 b) 4.(1,5 ) + 18.  = 17 3 x x x 3  2 Phương trình đã cho tương đương với: 4.  + 18.  = 17 2 3 x x 3 2 1 Đặt: t =      = (điều kiện: t  0 ) 2 3 t  9 t= 1 2 Ta có: 4t + 18 = 17  4t −17t + 18 = 0   4  t t = 2 64 x x 9 3 9 Với: t =    =  x = 2 4 2 4 x 3 Với: t = 2    = 2  x = log 3 2 2 2 - Khi giải phương trình mũ nếu nhận xét được phương trình mũ có dạng:  .a 2 x +  ( a.b ) +  .b2 x = 0 . Để giải phương trình này ta sẽ chia cả hai vế x 2x x a a phương trình cho b . Ta được phương trình dạng:  .  +    +  = 0 . b b 2x x a Đặt: t =   (với t  0 ) đưa về phương trình bậc hai ẩn t. b Ví dụ giải phương trình: 4.9x + 12x − 3.16x = 0 Giải: 4.9x + 12x − 3.16x = 0  4.32 x + ( 3.4 ) − 3.42 x = 0 x 2x Chia hai vế phương trình cho 4 2x x 3 3 ta có phương trình: 4.  +   − 3 = 0 4  4 x 3 Đặt: t =   điều kiện: t  0 khi đó ta có phương trình: 4 t = −1 (loại) 4t + t − 3 = 0   3 t =  4 x 3 3 3 Với t =    =  x = 1 4 4 4 2 2.1.2.3. Tổ chức các hoạt động dạy học bằng MHH để dạy vận dụng kiến thức. a) Cơ sở khoa học của biện pháp dạy học để vận dụng kiến thức. Hoạt động vận dụng giúp HS vận dụng được các kiến thức, kỹ năng để giải quyết các tình huống/vấn đề tương tự hoặc mới trong học tập hoặc trong cuộc sống. Đây có thể là những hoạt động mang tính nghiên cứu, sáng tạo, vì thế cần giúp HS gần gũi với các tình huống thực tiễn để hoàn thành nhiệm vụ học tập. 65 Trong DH vận dụng kiến thức, dạy học bằng MHH tỏ ra đặc biệt hữu hiệu, bởi lẽ kiến thức toán học ở dạng lý thuyết không dễ dàng vận dụng được vào thực tiễn, cho dù chỉ là “giả định”. Vì vậy, nhiều ưu điểm của việc dạy học bằng MHH, GV có thể khai thác cách thức dạy học này trong tổ chức những HĐ giúp HS vận dụng được kiến thức mới, không chỉ trong giải bài tập toán thuần túy, mà còn rèn luyện những kỹ năng quan trọng để vận dụng toán học vào giải quyết những vấn đề gặp phải khi học các môn học khác, trả lời các câu hỏi từ thực tế cuộc sống đặt ra ... Sau khi tổ chức dạy học vận dụng kiến thức GV tổ chức hoạt động tìm tòi, mở rộng để giúp HS không bao giờ dừng lại với những gì đã học và hiểu rằng ngoài những kiến thức được học trong nhà trường còn rất nhiều điều có thể và cần phải tiếp tục học, ham mê học tập suốt đời. GV cần khuyến khích HS tiếp tục tìm tòi và mở rộng kiến thức ngoài lớp học. HS tự đặt ra các tình huống có vấn đề nảy sinh từ nội dung bài học, từ thực tiễn cuộc sống, vận dụng các kiến thức, kỹ năng đã học để giải quyết bằng những cách khác nhau. b) Cách thức thực hiện biện pháp. Bước 1: Phân tích tình huống thực tiễn (bài toán), HS nhận nhiệm vụ học tập; HS thảo luận nhóm hoặc làm việc cá nhân; HS thảo luận trước lớp. GV yêu cầu các nhóm có ý kiến khác nhau, nhưng không kết luận vấn đề. Bước 2: giải bài toán: Đối chiếu quy tắc, phương pháp giải bài toán với những tình huống, câu hỏi và bài toán gặp phải để lựa chọn và sử dụng công cụ toán học phù hợp giải bài toán. GV cùng HS kết luận chính xác hóa vấn đề. HS nhận nhiệm vụ học tập với bài tập; HS nhận nhiệm vụ tiếp theo. Bước 3: Hiểu bài toán: Đối chiếu với câu hỏi ở tình huống ban đầu để chuyển kết quả bài toán và trả lời câu hỏi thực tiễn. Bước 4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán. Ví dụ 2.7. Vận dụng kiến thức giải bất phương trình mũ. 66 Bài toán: Năm 2019, diện tích rừng trồng mới của tỉnh A là 600 ha. Giả sử diện tích rừng trồng mới của tỉnh A mỗi năm tiếp theo đều tăng 6% so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước. Kể từ sau năm 2019, năm nào dưới đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng mới trong năm đó đạt trên 1000 ha? A. Năm 2028. B. Năm 2047. C. Năm 2027. D. Năm 2046. Bước 1: Phân tích bài toán đơn giản giả thuyết và xây dựng MHH: Đây là dạng toán thực tế về sự tăng trưởng được áp dụng công thức (mô hình) giống với bài toán lãi kép. Ta sử dụng mô hình đã có như sau: S = S0 (1 + r ) . Trong n đó S0 = 600 ha, là diện tích rừng trồng mới trong năm 2019, r = 0,06 tỉ lệ tăng diện tích rừng, S là diệc tích rừng trồng mới sau n năm. Bước 2: Áp dụng công thức ta có: S = 600 (1 + 0,06 ) = 600 (1,06 ) n n Bước 3: Câu hỏi đặt ra là tìm n để: S  1000  600 (1,06 )  1000 n  (1,06 )  n 1000 5 5 n  (1,06 )   n  log1,06  8,8 (năm). 600 3 3 Do n nguyên dương nên chọn n = 9 vậy sau 9 năm tỉnh A có diện tích rừng trồng mới đạt trên 1000 ha. Năm đó là: 2019 + 9 = 2028. Chọn đáp án A. Bước 4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán: GV khắc sâu cho học sinh công thức tăng trưởng mũ. 2.1.3. Tăng cường các hoạt động vận dụng toán học trong thực tiễn. a) Bài toán ứng dụng trong kinh tế. * Bài toán lãi suất. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số vốn gốc mà không tính trên số tiền lãi do số vốn gốc sinh ra trong một khoảng thời gian cố định. (Chỉ có vốn gốc mới phát sinh tiền lãi). Xét bài toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P với lãi suất r mỗi kỳ theo hình thức lãi đơn trong thời gian n kỳ. 67 Vào cuối mỗi kỳ ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính tổng giá trị đạt được Pn (vốn và lãi) sau n kỳ. Phân tích bài toán tổng quát, xây dựng mô hình toán học. Chú ý: Đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày. Cuối kỳ Tiền lãi Số tiền vốn và lãi sau kỳ thứ n 1 L = Pr P1 = P + Pr = P(1 + r ) 2 L = Pr P2 = P (1 + r ) + Pr = P(1 + 2r ) 3 L = Pr P3 = P (1 + 2r ) + Pr = P(1 + 3r ) Tương tự Cho HS dự đoán công thức (không chứng minh) ….. Pn = P(1 + nr ) n Ví dụ 2.8. Ông A bỏ vốn 450 triệu đồng, đầu tư vào một công ty bất động sản với lãi suất đầu tư 12% một năm (theo hình thức lãi đơn) trong vòng 2 năm 9 tháng. a) Tính số tiền cả vốn lẫn lãi ông A nhận được vào cuối đợt đầu tư. b) Với lãi suất không đổi trong quá trình đầu tư ông A muốn nhận được 1 tỷ đồng thì phải đầu tư ít nhất bao nhiêu tháng. Giải: Bước 1: Phân tích bài toán, nhận xét được đây là bài toán lãi đơn, xây dựng mô hình toán học (mô hình này đã được xây dựng): Ta có: Pn = P(1 + nr ) a) Trong đó: P = 450 (triệu đồng) là số vốn ban đầu; lãi suất đầu tư r = 0,12 (12%/năm); Pn là số tiền (cả vốn lẫn lãi) ông A nhận được sau n (đơn vị tính năm) kỳ. Trong bài toán này thời gian đầu tư là 2 năm 9 tháng tức là 33 tháng, đưa đơn vị thời gian về năm ta có n = 33 11 = . 12 4 Bước 2: giải bài toán. Thay số ta có: Pn = 450(1 + 11 .0,12) = 598,5 (triệu đồng). 4 68 b) cho biết số tiền mong muốn đạt được là 1 tỷ, tức là Pn = 1 tỷ = 1.000 (triệu đồng), yêu cầu của bài toán là tìm kỳ hạn n. từ mô hình toán học của bài toán ta có: Pn = P(1 + nr )  n = 1000 − 450 Pn − P  10, 2 (năm). . Thay số ta có: n = 450.0,12 Pr Vậy để nhận được số tiền 1 tỷ ông A phải gửi thời gian ít nhất là 123 tháng (10 năm 3 tháng). Bước 3: Thông hiểu: Một là, khi tính toán các yếu tố trong bài toán đầu tư này các em cần lưu ý là dữ kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào: Lãi đơn hay loại lãi khác... từ đó xác định đúng công thức tính toán cho từng trường hợp. Hai là, nếu lãi suất và thời hạn gửi không cùng đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức. Bước 4: Đối chiếu: Bài toán này sử dụng mô hình bài toán lãi đơn, các dữ kiện của bài toán là P, Pn , r , n . Nội dung của các bài toán là cho biết 3 dữ kiện, tìm dữ kiện còn lại. Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kỳ sau. Trong khái niệm này, số tiền lãi không chỉ tính trên số vốn gốc mà còn tính trên số tiền lãi do số vốn gốc sinh ra. Công thức tính lãi kép đã được xây dựng trong ví dụ 1.2 đó là: Pn = P(1 + r ) n . Trong đó: P là số vốn ban đầu, r là lãi suất, n là kỳ hạn và Pn là số tiền nhận được sau kỳ hạn n. Cũng như bài toán lãi đơn, bài toán này có các dữ kiện là P, Pn , r , n nội dung các bài toán trong phần này cũng cho 3 dữ kiện, tìm dữ kiện còn lại từ đó ta có các bài toán như sau: Bài toán 1: Cho biết vốn P , lãi suất r và kỳ hạn n. Tìm tổng số tiền có được sau n kỳ Pn . Bài toán này áp dụng trực tiếp công thức: Pn = P(1 + r ) n . 69 Bài toán 2: Cho biết vốn P , lãi suất r và tổng số tiền có được sau n kỳ Pn . Tìm kỳ hạn n. Từ công thức: Pn = P(1 + r ) n  (1 + r ) n = Pn P  n = log1+ r n . P P Bài toán 3: Cho biết lãi suất r, tổng số tiền có được sau n kỳ Pn và kỳ hạn n. Tìm số vốn ban đầu P . Từ công thức: Pn = P(1 + r ) n  P = Pn . (1 + r ) n Bài toán 4: Cho biết vốn P , kỳ hạn n và tổng số tiền có được sau n kỳ Pn . Tìm lãi suất r Từ công thức: Pn = P(1 + r ) n  (1 + r )n = Lấy logrit cơ số 10 hai vế ta có: n log(1 + r ) = log 1 P P  log(1 + r ) = log n = log n n  1 + r = n P P n Pn . P Pn P Pn r= P n Pn −1 P Ví dụ 2.9. Chị Hương gửi tiết kiệm 300 triệu đồng vào ngân hàng A theo kỳ hạn 3 tháng với lãi suất 3,4% một năm theo thể thức lãi kép. a) Hỏi sau 5 năm chị Hương nhận được số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng chị không rút lãi ở tất cả các kỳ trước đó. b) Chị Hương muốn nhận được số tiền lãi ít nhất là 100 triệu đồng thì phải gửi bao nhiêu tháng. Phân tích bài toán. Khi tính toán các yếu tố trong bài toán lãi kép này các em cần lưu ý là dữ kiện ban đầu từ đó xác định đúng công thức tính toán cho từng trường hợp. Lãi suất và thời hạn gửi không cùng đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức. Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức ta có: Pn = P(1 + r ) n a) Trong đó: P = 300 triệu đồng là số vốn ban đầu. Thời gian gửi là 5 năm tức là 60 tháng, mỗi kỳ hạn là 3 tháng nên số kỳ hạn gửi tiền là: n = 60 = 20 kỳ hạn. 3 70 Lãi suất 3,4% một năm, lãi suất một tháng là suất mỗi kỳ hạn là r = 3. 3, 4% 0,034 . Suy ra lãi = 12 12 0,034 0,034 = = 0,0085 . 12 4 Pn = 300.(1,0085) 20 = 355,336 triệu đồng. b) Số tiền lãi sau n kỳ hạn được tính theo công thức: Pn − P theo đầu bài ta có: P(1 + r ) n − P  100  P(1 + r ) n  P + 100  (1 + r ) n  Thay số ta có: (1,0085) n  P + 100 P 400 4  n  log1,0085  33,99 chọn n =34 kỳ hạn 300 3 Vậy để nhận được số tiền lãi ít nhất là 100 triệu đồng thì chị Hương phải gửi ít nhất 3.34 = 102 tháng (tức là 8 năm 6 tháng). Ví dụ 2.10. Năm 2015 ông Cường gửi tiền vào ngân hàng với số tiền là 820 triệu đồng, theo thể thức lãi kép, kỳ hạn 1 năm với lãi suất r% một năm. Đến năm 2020, sau 5 năm ông Cường nhận được số tiền cả gốc lẫn lãi là 1 tỷ 200 triệu đồng. Xác định lãi suất r. (Biết lãi suất hàng năm không thay đổi). * Phân tích bài toán. - Ta xác định giả thiết đề bài cho những dữ kiện nào? Số tiền ban đầu P =820.000.000 đồng, tổng số tiền có được sau 5 năm là Pn = 1200.000.000 đồng. - Đề bài yêu cầu tìm lãi suất mỗi kỳ, ta áp dụng công thức đã xây dựng trong bài toán 4. Hướng dẫn giải: Gọi P là số tiền gửi năm 2015, r là lãi suất, n là kỳ hạn và Pn là số tiền nhận được sau kỳ hạn n. Từ công thức: Pn = P(1 + r ) n  (1 + r )n = Pn . P Lấy logrit cơ số 10 hai vế ta có: n log(1 + r ) = log 71 Pn P 1 P P  log(1 + r ) = log n = log n n  1 + r = n P P Thay số ta có: r = 5 n Pn r= P n Pn −1 P 1.200.000.000 − 1  0,0791 . 820.000.000 Vậy lãi suất của ngân hàng là 7,91%/năm. Ví dụ 2.11. Một doanh nghiệp vay ngân hàng một số vốn, theo thể thức lãi kép, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần với lãi suất 9,6% một năm. Tổng số tiền doanh nghiệp đó phải trả sau 4 năm 3 tháng là 3.536.258.000 đồng. Xác định số vốn doanh nghiệp đó đã vay. (Biết lãi suất hàng năm không thay đổi). * Phân tích bài toán: Ta xác định giả thiết đề bài: Số tiền phải trả sau 4 năm 3 tháng là 3.536.258.000 đồng, hình thức đầu tư theo lãi kép, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần với lãi suất 9,6% một năm, từ đó suy ra lãi suất trong 1 kỳ là: 1 r = .9,6% = 4,8% = 0,048 . Thời gian vay là 4 năm 3 tháng, tức là 48+3=51 2 tháng, từ đó suy ra số kỳ vay là: n = 8,5. * Hướng dẫn giải : Gọi P là số tiền vay, r là lãi suất, n là kỳ hạn và Pn là số tiền phải trả sau kỳ hạn n. Từ công thức Pn = P(1 + r ) n  P = Thay số ta có: P = Pn . (1 + r ) n 3.536.258.000  2.373.958.000 . (1,048)8,5 Bài toán vay trả góp – góp vốn Ví dụ 2.12. Chị H cần mua một căn nhà nhưng không có đủ tiền. Chị đã đi vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,75% mỗi tháng, nếu sau mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất chị trả ngân hàng 6 triệu đồng thì ít nhất bao nhiêu tháng chị trả hết số tiền đã vay (giả sử lãi suất cho vay của ngân hàng không thay đổi). - Bước 1: Phân tích bài toán: số tiền vay ban đầu là 200 triệu đồng, lãi suất r = 0,0075 . Số tiền trả mỗi kỳ hạn, số tiền còn nợ sau kỳ hạn thứ n. Cần tìm kỳ hạn n để trả nợ hết. 72 Mô hình toán học của bài toán: Gọi số tiền vay là A = 200 triệu đồng, lãi suất r = 0,0075 , số tiền trả sau mỗi tháng là a=6 triệu đồng và N n là số tiền còn nợ sau tháng thứ n. Kỳ hạn n Số tiền còn nợ sau tháng thứ n (kỳ hạn) (tháng) 1 N1 = A (1 + r ) − a 2 N 2 = N1 (1 + r ) − a = A (1 + r ) − a (1 + r ) − a 3 N3 = N 2 (1 + r ) − a = A (1 + r ) − a (1 + r ) − a (1 + r ) − a 2 3 …… 2 …… HS dự đoán n=4, từ đó dự đoán công thức tổng quát n N n = A (1 + r ) − a (1 + r ) n n −1 Suy ra: N n = A (1 + r ) − a (1 + r )  n N n = A (1 + r ) n (1 + r ) −a n − a (1 + r ) n −1 n−2 + (1 + r ) − .... − a (1 + r ) − a n−2 + .... + (1 + r ) + 1  −1 r Đây là công thức (mô hình) tổng quát cho bài toán vay trả góp. Bước 2: giải bài toán: Cần tìm kỳ hạn n để trả nợ hết. Tức là N n = 0  A (1 + r )  (1 + 0,0075 ) = n n (1 + r ) −a r n −1 = 0  (1 + r ) = n a a − rA 6 4  1,0075n = 6 − 0,0075.200 3 4  n = log1,0075    38,5 tháng. 3 Vậy người đó cần tối thiểu 39 tháng để trả hết số tiền đã vay. Bước 3: Hiểu bài toán: đây là dạng toán vay trả góp, các dữ kiện của bài toán là: số tiền vay A , lãi xuất r , kỳ hạn n, số tiền trả sau mỗi kỳ hạn a và N n là số tiền còn nợ sau kỳ hạn thứ n. 73 Bước 4: Đối chiếu: bài toán có 5 dữ kiện A, r, a, n, Nn , các dạng toán tương tự là cho 4 dữ kiện tìm dữ kiện còn lại. Ví dụ 2.13. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng, theo hình thức lãi kép, kỳ hạn 1 tháng. Biết rằng lãi suất hàng tháng là 0,29%. a) Sau 2 năm người đó nhận được số tiền là bao nhiêu? b) Với lãi suất không thay đổi người đó muốn nhận được 200 triệu thì phải gửi ít nhất bao nhiêu lâu? Giải: Bước 1: Phân tích bài toán: các dữ kiện số tiền gửi hàng tháng (kỳ hạn), lãi suất, số tiền nhận được sau kỳ hạn thứ n. Mô hình toán học: Gọi số tiền gửi hàng tháng là a = 3 triệu đồng, kỳ hạn n, lãi suất r = 0,0029 , số tiền nhận được sau kỳ hạn thứ n là Pn . + Sau kỳ hạn thứ 1 số tiền có được là: P1 = a + ar = a (1 + r ) + Đầu kỳ hạn thứ 2 số tiền có được là: P1 + a = a (1 + r ) + a + Cuối kỳ hạn thứ 2 số tiền có được là: P2 = P1 + a + ( P1 + a ) r P2 = a (1 + r ) + a +  a (1 + r ) + a  r = a (1 + r ) + a  (1 + r ) P2 = a (1 + r ) + a (1 + r ) 2 2 P2 = a (1 + r ) + (1 + r )    + Đầu kỳ hạn thứ 3 số tiền có được là: 2 2 P2 + a = a (1 + r ) + (1 + r )  + a = a (1 + r ) + (1 + r ) + 1     + Cuối kỳ hạn thứ 3 số tiền có được là: P3 = P2 + a + ( P2 + a ) r 2 2 P3 = a (1 + r ) + (1 + r ) + 1 + a (1 + r ) + (1 + r ) + 1 r     2 P3 = a (1 + r ) + (1 + r ) + 1 (1 + r )   3 2 P3 = a (1 + r ) + (1 + r ) + (1 + r )    ……………………….. 74 + Cuối kỳ hạn thứ n số tiền có được là: Pn = a (1 + r ) + (1 + r )  n Pn = a (1 + r ) (1 + r ) n n −1 + ... + (1 + r )   −1 r Bước 2: Giải bài toán: a) cho biết kỳ hạn n = 2 (năm) = 24 (tháng), tìm Pn P24 = 3 (1 + 0,0029 ) (1 + 0,0029 ) 24 −1 0,0029  74,7 b) cho biết: Pn = 200 triệu đồng, tìm kỳ hạn n Từ công thức: Pn = a (1 + r ) Thay số ta có: (1,0029 ) = n (1 + r ) n −1 r  (1 + r ) = n Pn r +1 a (1 + r ) 200.0,0029 +1 3.1,0029  200.0,0029   n = log1,0029  + 1  60,9 vì n nguyên dương,  3.1,0029  Chọn n= 61 (tháng) = 5 năm 1 tháng. Bước 3: Hiểu bài toán: đây là dạng toán góp vốn, các dữ kiện của bài toán là số tiền góp hàng kỳ là a, lãi suất r , kỳ hạn n, số tiền và Pn là số tiền có được sau kỳ hạn thứ n. Bước 4: Đối chiếu: bài toán có 4 dữ kiện a, r , n, Pn , các dạng toán tương tự là, cho 3 dữ kiện tìm dữ kiện còn lại. Bài toán tăng trưởng mũ. Bài toán lãi kép liên tục. Ta đã biết: nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là P với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép thì sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là Pn = P (1 + r ) . n 75 Giả sử ta chia mỗi năm thành m kỳ để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi r r  năm là và số tiền thu được n năm là (hay sau nm kỳ) là Pn = P 1 +  m  m m. n Hiển nhiên khi tăng số kỳ m trong một năm thì số tiền thu được sau n năm cũng tăng theo. Tuy nhiên nó không thể tăng lên vô cực được. Thể thức tính lãi khi m → + gọi là thể thức lãi kép liên tục. Như vậy với số vốn ban đầu là P với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép liên tục thì ta chứng minh được rằng sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: Pn = Penr Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục. Ví dụ : Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 3,4%/năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là: P2 = 100e2.0,034  107,037 triệu đồng. Nhiều bài toán, hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy giảm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự tăng trưởng dân số, cũng được tính theo công thức. Vì vậy công thức còn được gọi là công thức tăng trưởng (suy giảm) mũ. b) Bài toán ứng dụng trong khoa học kỹ thuật (Bài toán liên quan đến sự phóng xạ, tính toán các cơn dư chấn do động đất, cường độ và mức cường độ âm thanh …) Ví dụ 2.14. (sự phân rã của các chất phóng xạ) Biết chu kỳ bán hủy của chất phóng xạ plutôni Pu 239 là 24360 năm(tức là một lượng Pu 239 sau 24360 năm phân hủy thì chỉ còn lại một nửa). Sự phân hủy được tính theo công thức S = Aert , trong đó A là lượng chất phóng xạ ban đầu, r là tỉ lệ phân hủy hàng năm ( r  0 ), t là thời gian phân hủy, S là lượng còn lại sau thời gian phân hủy t . Hỏi 10 gam Pu 239 sau khoảng bao nhiêu năm phân hủy sẽ còn 1 gam? A. 82230 (năm). B. 82232 (năm). C. 82238 (năm). D. 82235 (năm). Hướng dẫn giải. - Pu 239 có chu kỳ bán hủy là 24360 năm, do đó ta có: 76 5 = 10.er .24360  r = ln 5 − ln10  −0,000028 . 24360 - Vậy sự phân hủy của Pu - Theo đề: 1 = 10.e ln 5−ln10 t 24360 239 được tính theo công thức: S = A.e t = ln 5−ln10 t 24360 . − ln10 − ln10   82235 (năm). ln 5 − ln10 −0,000028 24360 Chọn D Ví dụ 2.15. Cường độ một trận động đất M Richte được cho bởi công thức M = log A − log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu? Bước 1: Phân tích bài toán: Sử dụng mô hình cho sẵn để giải bài toán thực tiễn, cần so sánh biên độ của hai trận động đất từ đó tính được cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ. Để tính cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ ta sử dụng công thức đề bài cho M = log A − log A0 Trong đó A0 là hằng số, vậy muốn tính M ta phải tính được biên độ A. Bước 2: Giải bài toán. - Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức ta có: M = log A − log A0  log A − log A0 = 8 - Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là: 4A, khi đó cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là: M ' = log 4 A − log A0  M ' = log 4 + log A − log A0 = log 4 + 8  8,6 độ Richte Bước 3: Hiểu bài toán: Vậy trận động đất ở San Prancisco có biên độ gấp 100 lần biên độ trận động đất ở Nam Mỹ. Qua bài toán này các em thấy được những ứng dụng của hàm logarit trong các bài toán khoa học kĩ thuật. 77 Bước 4: Đối chiếu Trong thực tiễn về các trận động đất, với cường độ động đất đã cho, có thiệt hại như thế nào? Ví dụ 2.16. Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là dB). Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: L ( dB ) = 10log I trong đó, I là cường độ của âm tại thời điểm đang xét, I0 I 0 là cường độ âm ở ngưỡng nghe ( I 0 = 10−12 w / m2 ). Một cuộc trò chuyện bình thường trong lớp học có mức cường độ âm trung bình là 68dB. Hãy tính cường độ âm tương ứng ra đơn vị w / m2 . * Phân tích bài toán. Đề bài cho biết mức cường độ âm một cuộc nói chuyện trong lớp là L(dB) = 68dB yêu cầu ta tính cường độ âm I? Ở đây các em biết rằng cường độ âm ở ngưỡng nghe bình thường là I 0 = 10−12 w / m2 . Từ những phân tích trên ta chỉ cần áp dụng công thức: L ( dB ) = 10log I I0 và sử dụng kiến thức về giải phương trình logarit cơ bản là tìm được câu trả lời cho bài toán. * Hướng dẫn giải. Theo giả thiết ta có: L ( dB ) = 68dB, I 0 = 10−12 w / m2 , tính I Áp dụng công thức ta có: 68 = 10log I I I  log = 6,8  = 106,8 I0 I0 I0  I  6,3.10−6 w / m2 . c) Bài toán ứng dụng trong lĩnh vực đời sống và xã hội: Bài toán vận dụng về tăng, giảm). Ví dụ 2.17. Các loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của cây 78 xanh đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng dừng và nó sẽ không nhận thêm cacbon 14 nữa. Lượng cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp và chuyển hóa thành nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P(t) là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một cây sinh trưởng từ t năm trước đây thì P(t) được tính theo công thức P(t ) = 100 ( 0,5) t 500 (%). Phân tích mẫu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon 14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65% . Hãy xác định niên đại của công trình đó. Bước 1: Phân tích bài toán. - Trong bài toán này để xác định niên đại của công trình kiến trúc t, các em sử dụng công thức (mô hình) đề bài cho, trong đó ta đã biết P(t) = 65, từ đó sử dụng kiến thức về giải phương trình mũ các em tìm t dễ dàng. Bước 2: Giải bài toán. t - Theo đề bài ta có P(t) = 65 . Vậy ta có phương trình 100 ( 0,5) 500 = 65 t  ( 0,5 ) 500 = 0,65  t = log 0,5 0,65  t  310,7 (năm). 500 Vậy tuổi của công trình kiến trúc đó là khoảng 311 năm. Bước 3: Hiểu bài toán: Đây là một bài toán có ý nghĩa về khảo cổ học, nghiên cứu về lịch sử thời xưa. Bằng những kiến thức toán học các nhà khảo cổ học hoàn toàn biết được công trình kiến trúc đó được xây dựng từ năm nào, để từ đó có những kết luận chính xác nhất. Bước 4: Đối chiếu: Bài toán sử dụng mô hình cho sẵn, các dữ kiện cần quan tâm P(t ), P0 , t bài toán cho 2 dữ kiện tìm dữ kiện thứ 3. Ví dụ 2.18. Ngày 1/7/2016, dân số Việt Nam khoảng 91,7 triệu người. Nếu tỉ lệ tăng dân số Việt Nam hàng năm là 1,2% và tỉ lệ này ổn định 10 năm liên tiếp thì ngày 1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng bao nhiêu triệu người? A. 104,3 triệu người. B. 105,3 triệu người. C. 103,3 triệu người. D. 106,3 triệu người. 79 Bước 1: Phân tích bài toán: Trong bài toán này để ước tính dân số thế giới các em sử dụng công thức S = A.eni .Trong đó: A là dân số của năm lấy làm mốc tính; S là dân số sau n năm; i là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Bước 2: Giải bài toán: - Theo công thức: S = A.eni = 91,7.e10.0,012 = 103,3 triệu người. Chọn C. Bước 3: Hiểu bài toán: Đây là một bài toán có ý nghĩa về ước tính dân số thế giới, từ đó đưa ra các chính sách dân số phù hợp. Bước 4: Đối chiếu: Bài toán sử dụng mô hình cho sẵn, các dữ kiện cần quan tâm: A là dân số của năm lấy làm mốc tính; S là dân số sau n năm; i là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. 80 2.2. Tiểu kết chương 2 Trong chương 2 của đề tài này đã trình bày được nội dung chủ đề “hàm số mũ, hàm số logarit” và một số chú ý của GV khi dạy học chủ đề này, đặc biệt đã đưa ra được một số biện pháp dạy học bằng MHH để nâng cao chất lượng dạy học nội dung này trong chương trình phổ thông. Dạy học bằng MHH là một trong những cách thức thực hiện dạy học toán gắn với thực tiễn, trực tiếp góp phần phát triển cho HS năng lực MHH toán học và góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt trong đề tài này góp phần nâng cao chất lượng trong dạy học chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit. Đây cũng là một trong những hướng đổi mới PPDH môn Toán, làm cho môn Toán trở nên gần gũi, thiết thực với người học. Sau khi những cơ sở lý luận và thực tiễn của dạy học bằng MHH trong dạy học toán, ở chương này đã thiết kế một số hoạt động MHH toán học đối với nội dung của chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit và xây dựng một số hoạt động vận dụng việc dạy học bằng MHH trong dạy học. Để xây dựng giải pháp, chúng tôi xác định 3 nguyên tắc thiết kế hoạt động MHH và ba định hướng xây dựng biện pháp vận dụng dạy học bằng MHH trong dạy học chủ đề đã chọn. Trên cơ sở đó. Đề tài đã xây dựng được ba biện pháp vận dụng dạy học bằng MHH. Để minh họa và gợi ý GV sử dụng các biện pháp, chúng tôi đã thiết kế một số hoạt động dạy học với nội dung dạy học bằng MHH để giải quyết. 81 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm nghiệm giả thuyết khoa học, tính khả thi và tính hiệu quả của một số biện pháp đã xây dựng thông qua việc dạy học bằng MHH vận dụng vào dạy học chủ đề “Hàm số mũ, hàm số logarit” 3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm Sử dụng dạy học bằng MHHchủ đề hàm số mũ, hàm số logarit thực hiện dạy học 4 tiết. Cụ thể như sau: Bài dạy Số tiết §4. Hàm số mũ, hàm số logarit. 2 §5. Luyện tập phương trình mũ, phương trình logarit 2 Nội dung và cách thức thiết kế một số giáo án thực nghiệm trình bày ở phụ lục số 03. 3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm Tác giả tìm hiểu tình hình dạy và học toán lớp 12 ở một số trường THPT của huyện Quảng Hòa, tỉnh Cao Bằng. Trên cơ sở đó, xác định lựa chọn các trường, lớp HS và các GV tham gia thực nghiệm. Tác giả cùng với GV Toán ở các trường tham gia thực nghiệm tiến hành: Lựa chọn, xác định GV và HS tham gia thực nghiệm, sinh hoạt chuyên môn trao đổi về nội dung và cách thức thực nghiệm, thiết kế và biên soạn tài liệu và giáo án thực nghiệm, ... lựa chọn GV tham gia giảng dạy trong các cặp lớp thực nghiệm và đối chứng có trình độ chuyên môn nghiệp vụ tương đương nhau. Thực nghiệm được tiến hành đối với hai lớp 12 có trình độ tương đương nhau tại trường THPT Cách Linh, thuộc huyện Quảng Hòa, tỉnh Cao Bằng. Cụ thể: + Lớp thực nghiệm 12A (38 HS) do cô giáo Lý Thị Nhã giảng dạy. + Lớp đối chứng 12 B (38 HS) do cô giáo Nông Thị Hoài Thu giảng dạy. 82 + Chọn ngẫu nhiên các nhóm HS ở lớp thực nghiệm để phỏng vấn, nghiên cứu kết quả của các nhóm học sinh đó. - Kế hoạch thực nghiệm: Tổ chức sinh hoạt chuyên môn với các GV tham gia, cùng với GV dạy thực nghiệm thiết kế giáo án, thực hành DH và rút kinh nghiệm theo hình thức nghiên cứu bài học. Tổ chức dạy thực nghiệm và đối chứng theo quy trình. Ở lớp thực nghiệm. GV tiến hành: + Giới thiệu về quy trình MHH toán học cho HS; + Tổ chức HS thực hiện các hoạt động theo kịch bản dạy học bằng MHH đã thiết kế; tập trung vào việc cho HS giải một số bài bài toán có nội dung thực tiễn, tập dượt xử lý một số tình huống thực tế bằng MHH toán học. + Theo dõi quan sát HS về khả năng thực hiện các hoạt động MHH; + Kiểm tra khả năng MHH thông qua phiếu hỏi, bài kiểm tra viết. + Chọn 03 em HS ở nhóm có điểm dưới 5,0; 03 em HS có điểm từ 5,0 đến dưới 8,0; 03 em HS có điểm từ 8,0 trở lên, tiến hành phỏng vấn, nghiên cứu bài kiểm tra để đánh giá năng lực MHH của HS. Tác giả cùng với các GV Toán tham gia thực nghiệm tiến hành kiểm tra đánh giá và xử lý kết quả thực nghiệm. 3.4. Kết quả thực nghiệm sư phạm 3.4.1. Phân tích định tính. Dự giờ quan sát GV và HS trong quá trình thực nghiệm, nhận xét trong quá trình chấm bài kiểm tra, kết quả như sau: - Đối tượng HS giỏi: các em ở lớp thực nghiệm đã giải được trọn vẹn hầu hết các bài tập, biết cách chuyển từ tình huống thực tiễn sang dạng mô hình toán học rất tốt. Còn ở lớp đối chứng thì tỷ lệ giải được đủ và hoàn thiện thấp hơn. 83 - Đối tượng HS khá: các em ở lớp thực nghiệm đã giải được trọn vẹn 3/4 bài tập, biết cách chuyển từ tình huống thực tiễn sang dạng mô hình toán học khá tốt. Còn ở lớp đối chứng thì tỷ lệ giải được đủ và hoàn thiện thấp hơn (5060%). - Đối tượng HS trung bình: các em ở lớp thực nghiệm đã giải được tương đối chặt chẽ 2-3 bài tập, biết cách chuyển từ tình huống thực tiễn sang dạng mô hình toán học. Còn ở lớp đối chứng thì tỷ lệ giải được 2 bài chỉ đạt 50 % đồng thời lập luận tính toán cũng còn sai sót. - Đánh giá biểu hiện về năng lực MHH của HS: Thông qua quan sát, chấm bài kiểm tra của HS, chúng tôi nhận thấy năng lực MHH của HS ở lớp thực nghiệm tiến bộ hơn đáng kể so với HS ở lớp đối chứng, biểu hiện ở: Các em thực hiện được đa số các kỹ năng MHH như biết rút gọn để đơn giản tình huống ban đầu → Làm rõ mục tiêu và nhìn thấy vấn đề → Xác định được các biến, tham số, hằng số → Thiết lập được bài toán → Lựa chọn mô hình, công cụ toán học và biểu diễn bằng ngôn ngữ, ký hiệu toán học → giải được bài toán và liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn. + Qua phỏng vấn và nghiên cứu bài kiểm tra của HS, đối với nhóm HS có điểm dưới 5,0 các em cho rằng vì số tiết dạy học ít, đây là nội dung mới, khi học chưa tập trung nên khi làm bài kiểm tra kết quả không đạt điểm trung bình, năng lực MHH của các em chưa đạt tuy nhiên số lượng rất ít. Đối với nhóm HS có điểm từ 5,0 đến dưới 8,0 các em đã có năng lực MHH tuy nhiên điểm bài kiểm tra chưa đạt mức cao như mong muốn do kỹ năng tính toán của các em chưa cao, không kịp thời gian làm bài, tuy nhiên đã có sự tiến bộ. Đối với nhóm HS có điểm từ 8,0 trở lên nhận thấy năng lực MHH của các em đạt ở mức độ cao, tức là các biện pháp đã đưa ra là khả thi. + Mặt khác, qua dự giờ, phỏng vấn GV về tác động và hiệu quả của các biện pháp đã sử dụng, đa số các GV tham gia đều nhận thấy các biện pháp là khả thi và bước đầu có ảnh hưởng tốt tới những thành phần và biểu hiện của 84 năng lực MHH trong môn Toán. Như vậy, đối chiếu với những tiêu chí biểu hiện của năng lực MHH (xác định theo chương trình giáo dục phổ thông mới về môn Toán) trong dạy học HS đã biết sử dụng những mô hình toán học được học để giải quyết được các vấn đề toán học trong các mô hình được thiết lập; đồng thời biểu đạt được lời giải bài toán theo ngữ cảnh thực tế và làm quen với việc kiểm chứng tính đúng đắn của lời giải, bước đầu biết điều chỉnh mô hình khi nhận thấy cách giải quyết không phù hợp. Việc HS tiếp nhận một tri thức như thế nào, thao tác tri thức đó ra sao, điều đó phụ thuộc chủ yếu vào cách tiếp cận tri thức đó của HS thông qua cách tổ chức dạy học của GV. Là GV dạy toán, cần phải có bài giảng chất lượng, tạo được động cơ học tập, giúp HS hứng thú, thấy được ý nghĩa thực tiễn của tri thức. 3.4.2. Phân tích định lượng Bảng 3.1. Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC). Lớp Số HS TN 38 ĐC 38 Điểm số của bài kiểm tra 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Điểm TB 2 3 3 5 6 10 7 2 7.1 5 3 8 7 5 3 5 5.7 Bảng 3.2. Bảng phân bố tần số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC). Lớp Điểm số của bài kiểm tra Số HS [0;2] [2;4] (4;6] (6;8] (8;10] TN 38 0 5 8 16 9 ĐC 38 2 8 15 8 5 85 Bảng 3.3. Bảng phân bố tần suất điểm kiểm tra 45 phút Điểm số của bài kiểm tra Số Lớp HS TN 38 ĐC 38 0 1 2 5% 3 4 5 6 7 8 9 10 5% 8% 8% 13% 16% 26% 18% 5% 13% 8% 21% 18% 13% 8% 13% 0% Bảng 3.4. Bảng phân bố (ghép lớp) tần suất điểm kiểm tra 45 phút Lớp Điểm số của bài kiểm tra Số HS [0;2] [2;4] (4;6] (6;8] (8;10] TN 38 0% 13% 21% 42% 24% ĐC 38 5% 21% 39% 21% 13% Biểu đồ 3.1. Biểu đồ phân bố tần số điểm bài kiểm tra 45 phút Lớp TN Lớp ĐC 12 10 10 8 8 SỐ HS 8 7 6 5 5 4 3 3 2 7 3 3 5 3 2 2 2 0 0 1 2 3 4 5 Điểm 86 6 7 8 9 10 Biểu đồ 3.2. Biểu đồ phân bố tần số (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút SỐ HS Lớp TN 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 Lớp ĐC 18 15 8 6 5 0 9 8 5 2 [0;2] [2;4] (4;6] ĐIỂM (6;8] (8;10] Biểu đồ 3.3. Biểu đồ cột phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút 30 26 25 21 21 18 Tỉ lệ HS 20 19 18 15 13 15 13 8 8 10 8 13 8 8 5 5 0 0 0 1 2 3 4 5 6 Điểm Lớp TN Lớp ĐC 87 7 8 9 10 Tỉ lệ HS Biểu đồ 3.4. Biểu đồ hình quạt tần suất (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 [0;2] [2;4] (4;6] (6;8] (8;10] Điểm Lớp TN Lớp ĐC Biểu đồ 3.5. Biểu đồ hình quạt tần suất (ghép lớp) điểm bài kiểm tra 45 phút Lớp TN Lớp ĐC [0;2] 0% [2;4] 13% (8;10] 24% [2;4] [2;4] 21% (6;8] 21% (4;6] 21% (6;8] 42% [0;2] [0;2] 5% (8;10] 13% (4;6] 40% (4;6] (6;8] [0;2] (8;10] [2;4] (4;6] (6;8] (8;10] Kiểm định giả thuyết thống kê. Kết quả bài kiểm tra ở bảng 3.1 cho thấy điểm trung bình cộng X của lớp thực nghiệm cao hơn so với lớp đối chứng. Vấn đề đặt ra là sự khác nhau đó (trên các mẫu) có ý nghĩa không? có phải thực sự do tác động của các biện pháp dạy học hay chỉ do ngẫu nhiên mà có? Nếu ta áp dụng rộng rãi giải pháp mới thì nói chung kết quả có tốt hơn hiện nay hay không? 88 Để giải quyết vấn đề trên, chúng tôi nêu giả thuyết thống kê H 0 : “Sự khác nhau về điểm trung bình cộng chỉ là ngẫu nhiên, các biện pháp dạy học không có ảnh hưởng gì đến kết quả học tập”. Coi mẫu đã chọn là có tính đại diện, chúng tôi tính phương sai và độ lệch chuẩn để kiểm định giả thuyết thống kê H 0 Kiểm định giả thuyết thống kê: Các tham số thống kê của lớp TN: n1 = 38; X1 = 7,1; Độ lệch chuẩn 1 = 1,86 Các tham số thống kê của lớp ĐC: n2 = 38; X 2 = 5,7; Độ lệch chuẩn 1 = 2,02 +) Kiểm định phương sai (độ phân tán của điểm HS) . Giả thuyết H 0 : Độ phân tán điểm khác nhau không có ý nghĩa thống kê (coi độ phân tán là như nhau). Đối thuyết H1 : Độ phân tán khác nhau có ý nghĩa thống kê. Tính test thống kê F có: F = 12 1,862 =  0,85  2 2 2,022 Tra bảng phân phối Fisher ta có f (38 −1;38 −1;0,05)  1,79 Vậy F  f (37;37;0,05) chấp nhận H 0 tức độ phân tán điểm là như nhau. +) Kiểm định số trung bình. Giả thuyết H 0 : Điểm trung bình hai lớp khác nhau không có ý nghĩa thống kê (coi là như nhau). Đối thuyết H1 : Điểm trung bình hai lớp khác nhau có ý nghĩa thống kê. Do ở trên ta thấy độ phân tán điểm là như nhau nên tính: n1 − 1) 12 + ( n2 − 1)  2 2 37.1,862 + 37.2,022 (  = = = 3,77 2 n1 + n2 − 2 Tính test t = X 12 − X 22 2 n1 + 2 n2 74 = 7,1 − 5,7  3,14 3,77 3,77 + 38 38 89 Tra bảng phân phối Student với độ tự do d = 74 ta có t74 ( 0,025)  2 Vậy t  t74 ( 0,025) chấp nhận H1 1; bác bỏ H 0 tức là điểm trung bình hai lớp khác nhau có ý nghĩa thống kê. Như vậy, tác động của các biện pháp dạy học là có tác dụng: Kết quả của HS ở lớp thực nghiệm cao hơn kết quả của HS ở lớp đối chứng không phải là ngẫu nhiên, mà do ảnh hưởng tác động của các biện pháp dạy học. Điều đó cho phép chúng tôi rút ra kết luận: Các hoạt động MHH và các biện pháp dạy học đã thiết kế và sử dụng đến bước đầu phát huy tác dụng, thu được kết quả tương đối tốt trong thực nghiệm dạy học chủ đề “Hàm số mũ, hàm số logarit” 90 3.5. Tiểu kết chương 3 Trong quá trình thực nghiệm sư phạm, để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đã đề xuất, tôi đã xây dựng kế hoạch tiến hành thực nghiệm sư phạm tại trường THPT Cách Linh. Các kết quả định tính và định lượng thu được rút ra nhận xét: Sau thực nghiệm, kết quả hoạt động MHH toán học của HS ở lớp thực nghiệm tăng lên rõ rệt. Đa số HS đã thực hiện được một số hoạt động MHH ở những tình huống thực tiễn do GV thiết kế và đưa ra trong dạy học hàm số mũ, hàm số logarit; Các biện pháp đề xuất bước đầu có tính khả thi và hiệu quả nhất định, có thể đưa vào vận dụng trong dạy học chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit, góp phần phát triển năng lực MHH toán học cho HS. Kết quả thực nghiệm cho thấy các phương án đã xây dựng ở chương 2 của đề tài này bước đầu có tính khả thi và có tác dụng tốt trong thực tế dạy học chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit ở trường phổ thông. 91 KẾT LUẬN Dạy học bằng MHH có vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực cho HS qua môn Toán, đáp ứng yêu cầu thực hiện chương trình giáo dục phổ thông mới, làm cho nội dung giáo dục không bị bó hẹp trong sách vở, mà gắn liền với đời sống thực tiễn xã hội, là con đường gắn lý thuyết với thực tiễn, tạo nên sự thống nhất giữa nhận thức với hành động, góp phần phát triển phẩm chất, tư tưởng, ý chí, kĩ năng sống, hình thành những năng lực cần có của con người trong xã hội hiện đại, là con đường để phát triển toàn diện nhân cách HS. Qua quá trình thực hiện đề tài, đối chiếu với mục đích nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu của đề tài chúng tôi đã đạt được những kết quả sau: 1. Hệ thống hóa cơ sở lý luận về quy trình MHH sử dụng trong dạy học Toán. 2. Đánh giá thực trạng về dạy học chủ đề hàm số mũ, hàm số logarit ở trường phổ thông về tình hình sử dụng MHH trong dạy học nhằm phát triển năng lực MHH và giải quyết vấn đề thực tiễn cho HS. Tìm ra được những khó khăn, hạn chế và nguyên nhân cả về GV và HS khi xem xét từ yêu cầu vận dụng quy trình MHH trong DH chủ đề này. 3. Đề xuất các biện pháp dạy học bằng MHH trong DH Toán - áp dụng cho nội dung hàm số mũ, hàm số logarit, tăng cường các hoạt động vận dụng giải bài toán thực tiễn. 4. Đề xuất các biện pháp sư phạm để vận dụng dạy học bằng MHH, DH minh họa để rèn luyện các kỹ năng MHH, tổ chức dạy học (GĐC, hình thành kiến thức mới, hoạt động luyện tập, hoạt động vận dụng) thông qua những ví dụ minh họa việc thiết kế và sử dụng tình huống MHH toán học đối với chủ đề đã chọn. 5. Tổ chức thực nghiệm sư phạm theo định hướng và các biện pháp đề xuất với đối tượng GV và HS lớp 12 ở trường THPT Cách Linh cho thấy kết 92 quả khả quan, chứng tỏ giải pháp đề ra có thể thực hiện được trong bước đầu mang lại hiệu quả tốt, đạt được những mục đích nghiên cứu của đề tài. Tuy nhiên, do thời gian thực hiện đề tài không nhiều, tài liệu cụ thể về vấn đề này còn ít, điều kiện cơ sở vật chất, kinh phí ở trường phổ thông còn có những hạn chế, chưa đáp ứng được yêu cầu nên đề tài không thể tránh khỏi những hạn chế như: các phương án thiết kế sản phẩm chưa nhiều, kết quả thực hành của HS cũng còn những hạn chế, chưa có điều kiện thực nghiệm trên nhiều đối tượng khác nhau. 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO A. TIẾNG VIỆT 1. Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga (2011), Mô hình hóa toán học các hiện tượng biến thiên trong DH nhờ hình học động dự án nghiên cứu Mira. Tạp chí Khoa học, Trường ĐHSP TP. Hồ Chí Minh. 2. Đoàn Nhật Duật (2014), Mô hình hóa trong dạy học khái niệm logarit ở trường phổ thông, luận văn thạc sĩ giáo dục học. 3. Lê Hoài Châu, Vũ Như Thư Hương (2013), Mô hình hóa với phương pháp tích cực trong dạy học toán (tài liệu bồi dưỡng giáo viên), Kiên Giang. 4. Lê Hoài Châu, Vũ Như Thư Hương (2013), tích hợp trong dạy học toán (tài liệu bồi dưỡng giáo viên), Kiên Giang. 5. Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2019 6. Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa XI (Nghị quyết số 29-NQ/TW) về đổi mới căn bản, toàn diện về giáo dục và đào tạo. 7. Nghị quyết số 88/2014/QH ngày 28/11/2014 về đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông góp phần đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. 8. Nguyễn Bá Kim (2017). PPDH môn Toán. NXB ĐHSP. 9. Nguyễn Danh Nam (2013). Phương pháp MHH trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông. Kỷ yếu Hội thảo khoa học “Cán bộ trẻ các trường đại học sư phạm toàn quốc”, NXB Đà Nẵng, tr.512-516. 10. Nguyễn Danh Nam (2016), Phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn toán ở trường phổ thông, Nxb Đại học Thái Nguyên. 11. Nguyễn Danh Nam, Quy trình mô hình hóa trong dạy học toán ở trường phổ thông, Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Nghiên cứu Giáo dục, Tập 31, Số 3 (2015) 1-10. 12. Phan Văn Quynh, Dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình ở trường THCS theo phương pháp mô hình hóa. 94 13. Quyết định số 404/QĐ-TTg ngày 27/3/2015 phê duyệt đề án đổi mới chương trình, SGK giáo dục phổ thông. 14. SGK giải tích lớp 12 chương trình chuẩn. 15. SGK giải tích lớp 12 chương trình nâng cao. 16. Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 ban hành chương trình giáo dục phổ thông. 17. Trần Vui (2009), Sử dụng toán học hóa để nâng cao hiểu biết định lượng cho HS trung học phổ thông. Tạp chí Khoa học Giáo dục. B. TIẾNG ANH 18. Berinderjeet Kaur, Jaguthsing Dindyal (2010), Mathematical applications and modelling. World Scientific Publishing. 19. Blomhøj, M., Jensen, T. (2007). What's all the fuss about competencies? In W. Blum, P. L. Galbraith, H. Henn, M. Niss, (Eds.): Modelling and Applications in Mathematics Education (ICMI Study 14), 4556, Springer. 20. Blum, Ferry (2009). Mathematical Modelling: Can it be taught and learnt? Journal of Mathematical Modelling and Application. 1(1), 45-58 21. Blum, W., Galbraith, P. L., Henn, H.-W. & Niss, M. (2007) (Eds.). Modelling and applications in mathematics education, 45-56. The 14th ICMIstudy 14. New York: Springer-Verlag. 22. Jonathan Borwein, Keith Devlin (2009). Experimentelle Mathematik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 347. 23. Lesh, R. & Caylor, B. (2007). Modeling as application versus modeling as a way to create mathematics. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 12, 173-194. 24. Lesh, R. & Doerr, H. (Eds.) (2003). Beyond Constructivism –Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning and Teaching. Mahwah: Lawrence Erlbaum. 95 PHỤ LỤC PHỤ LỤC 1a: PHIẾU ĐIỀU TRA GIÁO VIÊN Câu hỏi 1: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ cần thiết của việc tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn trong dạy học môn Toán THPT. Không cần thiết. Bình thường. Cần thiết. Rất cần thiết. Câu hỏi 2: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức toán học ở trường THPT. Chưa bao giờ. Thỉnh thoảng. Thường xuyên. Rất thường xuyên. Câu hỏi 3: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc thiết kế các hoạt động giúp HS hiểu những ứng dụng của Toán học trong giải quyết các tình huống nảy sinh từ thực tiễn. Chưa bao giờ. Thỉnh thoảng. Thường xuyên. Rất thường xuyên. Câu hỏi 4: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc sử dụng công nghệ thông tin giúp HS hiểu những mô hình của toán học trong thực tiễn. Chưa bao giờ. Thỉnh thoảng. Thường xuyên. Rất thường xuyên. Câu hỏi 5: Thầy (cô) hãy đánh giá về mức độ thường xuyên của việc thiết kế các bài tập, bài kiểm tra dành cho HS theo hướng vận dụng mô hình toán học để giải quyết các bài toán nảy sinh từ thực tiễn. Chưa bao giờ. Thỉnh thoảng. Thường xuyên. Rất thường xuyên. Câu hỏi 6: Thầy (cô) hãy đánh giá về tầm quan trọng của mô hình hóa toán học trong dạy học Toán ở trường THPT? không quan trọng Bình thường Quan trọng Rất quan trọng. Câu hỏi 7: Theo các thầy (cô), hoạt động mô hình hóa giúp phát triển ở HS THPT những kĩ năng nào sau đây? (có thể chọn nhiều kỹ năng và thêm các kỹ năng khác) ☐ ☐ ☐ Giải quyết vấn đề Thực hiện dự án Sử dụng ngôn ngữ toán học ☐ ☐ ☐ Làm việc theo nhóm Vận dụng toán học trong thực tiễn Vận dụng công nghệ thông tin Các kĩ năng khác: ......................................................................................................... ........................................................................................................................................ Câu hỏi 8: Theo các thầy (cô), GV dạy toán THPT cần có những hiểu biết gì để có thể vận dụng phương pháp MHH trong dạy học? ? (có thể chọn nhiều hoặc thêm kiến thức) ☐ ☐ Tổ chức hoạt động ngoại khóa 96 Phương pháp dạy học ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ Thiết kế mô hình toán học Vận dụng toán học trong thực tiễn Kiến thức về các vấn đề thực tiễn Công nghệ thông tin Kiến thức toán học phổ thông Kiến thức khoa học toán Các kiến thức khác: ......................................................................................................... ........................................................................................................................................ Câu hỏi 9: Theo thầy (cô), năng lực mô hình hóa gồm có những thành tố nào dưới đây? ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ ☐ Phân tích tình huống thực tiễn Xác định biến, tham số bài toán Lựa chọn mô hình toán học Liên hệ mô hình với thực tiễn Đơn giản hóa giả thuyết Xây dựng bài toán Thiết lập mô hình Cải tiến mô hình Các thành tố khác: ......................................................................................................... ........................................................................................................................................ Câu hỏi 10: Thầy (cô) cho biết những khó khăn và thách thức gặp phải trong quá trình tổ chức hoạt động mô hình hóa trong dạy học toán ở trường THPT? ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... Câu hỏi 11: Thầy (cô) thường làm gì để giúp HS THPT giải quyết các bài toán mang tính thực tiễn được trình bày trong SGK môn Toán? ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... Câu hỏi 12: Thầy (cô) hãy liệt kê một số mô hình toán học có thể sử dụng trong dạy học Toán ở trường THPT? ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... Xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy (cô)! 97 PHỤ LỤC 1b: PHIẾU HỎI HỌC SINH Câu hỏi 1: Em hãy cho biết về mức độ cần thiết của việc tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn trong học Toán ở trường THPT. ☐ Không cần thiết ☐ Chưa bao giờ ☐ Chưa bao giờ ☐ Không quan trọng ☐ Cần thiết. ☐ Thỉnh thoảng. ☐ Thỉnh thoảng. ☐ Quan trọng. ☐ Rất cần thiết ☐ Thường xuyên ☐ Thường xuyên ☐ Rất quan trọng Câu hỏi 2: Em hãy cho biết mức độ thường xuyên của bản thân về việc tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức môn toán được học ở trường THPT. Câu hỏi 3: Em hãy cho biết trong học toán ở THCS mức độ thường xuyên được tiếp xúc với các bài tập, bài kiểm tra có vận dụng mô hình toán học để giải quyết tình huống nảy sinh từ thực tiễn. Câu hỏi 4: Em đánh giá như thế nào về tầm quan trọng của mô hình hóa toán học trong dạy học Toán ở trường THPT? Câu hỏi 5: Em hãy cho biết khi học toán ở trường THPT gắn với thực tiễn sẽ gặp phải những khó khăn nào? ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... Câu hỏi 6: Em hãy cho biết những khó khăn gặp phải khi chuyển từ tình huống thực tiễn sang mô hình toán học? ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... Câu hỏi 7: Theo Em, trong môn Toán ở trường THPT, những nội dung nào gần gũi với thực tế để có thể vận dụng toán học? ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... Cảm ơn các em đã tham gia trả lời các câu hỏi! 98 PHỤ LỤC 1b: PHIẾU HỎI HỌC SINH Câu hỏi 1: Em hãy cho biết về mức độ cần thiết của việc tăng cường liên hệ toán học với thực tiễn trong học Toán ở trường THPT. Không cần thiết. Bình thường. Cần thiết. Rất cần thiết. Câu hỏi 2: Em hãy cho biết mức độ thường xuyên của bản thân về việc tìm hiểu những ứng dụng của Toán học trong thực tiễn và liên hệ với kiến thức môn toán được học ở trường THPT. Chưa bao giờ. Thỉnh thoảng. Thường xuyên. Rất thường xuyên. Chưa bao giờ. Thỉnh thoảng. Thường xuyên. Rất thường xuyên. Câu hỏi 3: Em hãy cho biết trong học toán ở THPT mức độ thường xuyên được tiếp xúc với các bài tập, bài kiểm tra có vận dụng mô hình toán học để giải quyết tình huống nảy sinh từ thực tiễn. Câu hỏi 4: Em đánh giá như thế nào về tầm quan trọng của mô hình hóa toán học trong dạy học Toán ở trường THPT? không quan trọng Bình thường Quan trọng Rất quan trọng. Câu hỏi 5: Em hãy cho biết khi học toán ở trường THPT gắn với thực tiễn sẽ gặp phải những khó khăn nào? ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... Câu hỏi 6: Em hãy cho biết những khó khăn gặp phải khi chuyển từ tình huống thực tiễn sang mô hình toán học? ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... Câu hỏi 7: Theo Em, trong môn Toán ở trường THPT, những nội dung nào gần gũi với thực tế để có thể vận dụng toán học? ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................... Cảm ơn các em đã tham gia trả lời các câu hỏi! 99 PHỤ LỤC 2 ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1 ( Câu 1 (1đ). Tìm tập xác định, tính đạo hàm của hàm số y = ln x 2 − 4 x + 2 ) Câu 2 (3đ). Giải các phương trình sau ( ) ( x ) x a) 2 + 3 + 2 − 3 − 4 = 0 3 2 4 + = 1 + log x 3log x 3 c) log 4 2 x + 2log ( 3x + 4 ) = 3 Câu 3 (4đ). Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi xuất 0,75% mỗi tháng, nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất người đó trả ngân hàng 6 triệu đồng. Cần tối thiểu bao nhiêu tháng để người đó trả hết số tiền đã vay (giả sử lãi xuất cho vay của ngân hàng không thay đổi) Câu 4 (2đ). Để đặc trưng cho độ to nhỏ cua âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là dB). Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công b) thức: L ( dB ) = 10 log I trong đó, I là cường độ của âm tại thời điểm đang xét, I 0 là I0 cường độ âm ở ngưỡng nghe ( I0 = 10−12 w / m2 ). Một cuộc trò chuyện bình thường trong lớp học có mức cường độ âm trung bình là 68dB. Hãy tính cường độ âm tương ứng ra đơn vị w / m2 100 ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA SỐ 1 ( Câu 1 (2đ). Tìm tập xác định, tính đạo hàm của hàm số y = ln x 2 − 4 x + 2 ) Câu 2 (3đ). Giải các phương trình sau ( ) ( x ) x a) 2 + 3 + 2 − 3 − 4 = 0 3 2 4 + = 1 + log x 3log x 3 c) log 4 2 x + 2log ( 3x + 4 ) = 3 Dụng ý sư phạm câu 1 và câu 2: Đánh giá các kỹ năng sử dụng các mô hình, các hoạt động MHH toán học của HS trong quá trình giải bài tập: - Nhớ được các mô hình đã xây dựng - Giải được bài toán bằng các kiến thức đã học Câu 1 (2đ). Tìm tập xác định, tính đạo hàm của hàm số y = ln x 2 − 4 x + 2 b) ( ) Điều kiện: x2 − 4 x + 2  0 Giải phương trình x2 − 4 x + 2 = 0 vô nghiệm. Suy ra x2 − 4 x + 2  0 x  R . Tập xác định của hàm số: D = R (x Ta có: y = 2 )= − 4x + 2 ' x2 − 4 x + 2 2x − 4 x2 − 4x + 2 Câu 2 (3đ). Giải các phương trình sau ( ) ) ( Nhận xét : ( 2 + 3 ) .( 2 − 3 ) = 1 Đặt : ( 2 + 3 ) = t , ( t  0 )  ( 2 − 3 ) x x a) 2 + 3 + 2 − 3 − 4 = 0 x x 1 = . t t = 2 + 3 1 Ta có phương trình : t + − 4 = 0  t 2 − 4t + 1 = 0   t t = 2 − 3 ( (  2+ 3    2 + 3 ) ) x x =2+ 3 x =1  x = −1 =2− 3  3 2 4 + = Điều kiện: ( x  0 ) 1 + log x 3log x 3 Đặt: log x = t , điều kiện : ( t  0, t  −1) b) 101 3 2 4 + =  4t 2 − 7t − 2 = 0 1 + t 3t 3  x = 100 t = 2 log x = 2   1 1 1 t = − log x = − x= 4 10 4  4   c) log 4 2 x + 2log ( 3x + 4 ) = 3 Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình vì log 4 2.2 + log ( 3.2 + 4 ) = 2 Ta có phương trình : Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất. Xét hàm số f ( x) = log 4 2 x + log ( 3x + 4 ) 1 3 Vì x  0  f '( x)  0 + x ln 4 ( 3x + 4 ) ln10  hàm số f ( x) luôn đồng biến với x  0  phương trình f ( x) = 2 có một nghiệm duy nhất với x  0 Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm x = 2 . Dụng ý sư phạm câu 3 và câu 4: Đánh giá các kỹ năng sử dụng các mô hình, các hoạt động MHH toán học của HS trong quá trình giải bài tập: - Nhớ được các mô hình đã xây dựng - Xây dựng được mô hình toán học từ bài toán thực tiễn - Giải được bài toán bằng các kiến thức đã học Câu 3 (3đ). Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi xuất 0,75% mỗi tháng, nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất người đó trả ngân hàng 6 triệu đồng. Cần tối thiểu bao nhiêu tháng để người đó trả hết số tiền đã vay (giả sử lãi xuất cho vay của ngân hàng không thay đổi) Giải: Gọi số tiền vay là A = 200 triệu đồng, lãi xuất r = 0,0075 , số tiền trả sau mỗi tháng là a=6 triệu đồng và N n là số tiền còn nợ sau tháng thứ n.  f '( x) = Số tiền còn nợ sau tháng thứ nhất là: N1 = A (1 + r ) − a Số tiền còn nợ sau tháng thứ hai là: N 2 = N1 (1 + r ) − a = A (1 + r ) − a (1 + r ) − a 2 Số tiền còn nợ sau tháng thứ ba là: N3 = N 2 (1 + r ) − a = A (1 + r ) − a (1 + r ) − a (1 + r ) − a 3 2 .................. Số tiền còn nợ sau tháng thứ n là: N n = A (1 + r ) − a (1 + r ) n n −1 − a (1 + r ) n−2 − .... − a (1 + r ) − a 102 N n = A (1 + r ) − a (1 + r )  n N n = A (1 + r ) n (1 + r ) −a n n −1 + (1 + r ) n−2 + .... + (1 + r ) − 1  −1 r Nếu N n = 0  A (1 + r )  (1 + 0,0075 ) = n n (1 + r ) −a n −1 r = 0  (1 + r ) = n a a − rA 6 4  1,0075n = 6 − 0,0075.200 3 4  n = log1,0075    38,5 3 tháng Vậy người đó cần tối thiểu 39 tháng để trả hết số tiền đã vay Câu 4 (2đ). Để đặc trưng cho độ to nhỏ cua âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đềxinben (viết tắt là dB). Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: L ( dB ) = 10 log I trong đó, I là cường độ của âm tại thời điểm đang xét, I 0 là I0 cường độ âm ở ngưỡng nghe ( I0 = 10−12 w / m2 ). Một cuộc trò chuyện bình thường trong lớp học có mức cường độ âm trung bình là 68dB. Hãy tính cường độ âm tương ứng ra đơn vị w / m2 Giải Theo giả thiết ta có L ( dB ) = 68dB, I 0 = 10−12 w / m2 , tính I Áp dụng công thức ta có: 68 = 10 log I I I  log = 6,8  = 106,8 I0 I0 I0  I  6,3.10−6 w / m2 103 ĐỀ KIỂM TRA SỐ 2 Câu 1 (1đ). Cho hàm số y = esin x . Chứng minh rằng: y 'cosx − y sin x − y '' = 0 . Câu 2 (3đ). Giải các phương trình sau a) 4.9 x + 12 x − 3.16 x = 0 b) 8log 24 x − 21log8 x + 3 = 0 c) x + 2.3log2 x = 3 Câu 3 (4đ). Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng. Biết rằng lãi suất hàng tháng là 0,29%. a) Sau 2 năm người đó nhận được số tiền là bao nhiêu? b) Với lãi suất không thay đổi người đó muốn nhận được 200 triệu thì phải gửi ít nhất bao nhiêu lâu? Câu 4 (2đ). Cường độ một trận động đất M (Richte) được cho bởi công thức M = log A − log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richte. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản. 104 ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA SỐ 2 Câu 1 (1đ). Cho hàm số y = esin x . Chứng minh rằng: y 'cosx − y sin x − y '' = 0 . Câu 2 (3đ). Giải các phương trình sau a) 4.9 x + 12 x − 3.16 x = 0 b) 8log 24 x − 21log8 x + 3 = 0 c) x + 2.3log2 x = 3 Dụng ý sư phạm câu 1 và câu 2: Đánh giá các kỹ năng sử dụng các mô hình, các hoạt động MHH toán học của HS trong quá trình giải bài tập: - Nhớ được các mô hình đã xây dựng - Giải được bài toán bằng các kiến thức đã học Câu 1 (1đ). Cho hàm số y = esin x . Chứng minh rằng: y 'cosx − y sin x − y '' = 0 .  y ' = ( esin x ) ' = ( sin x ) ' esin x = cosx.esin x  y '' = ( cosx ) ' esin x + cosx ( esin x ) ' = − sin xesin x + cos 2 x.esin x VT = cos2 xesin x − sin xesin x + sin xesin x − cos2 xesin x = 0 = VP đcpm Câu 2 (3đ). Giải các phương trình sau Giải a) 4.9 x + 12 x − 3.16 x = 0 Giải: 4.9 x + 12 x − 3.16 x = 0  4.32 x + ( 3.4) − 3.42 x = 0 x 2x Chia hai vế phương trình cho 4 2x 3 Đặt: t =   4 x 3  3 ta có phương trình: 4.  +   − 3 = 0 4  4 x điều kiện: t  0 khi đó ta có phương trình: t = −1 (loại) 2 4t + t − 3 = 0   3 t =  4 x 3 3 3 Với t =    =  x = 1 4 4 4 (nhận) b) 8log 24 x − 21log8 x + 3 = 0 Điều kiện: ( x  0 ) Biến đổi phương trình về dạng: 2 2 1 1  8 ( log 22 x ) − 21log 23 x + 3 = 0  8  log 2 x  − 21. log 2 x + 3 = 0 3 2  105  2 ( log2 x ) − 7log2 x + 3 = 0 Đặt: log2 x = t , ta có phương trình log 2 x = 3 t = 3 x = 8 2      2t − 7t + 3 = 0  1 log 2 x = 1  x = 2 t =  2  2 log2 x c) x + 2.3 =3 Ta có x = 1 là nghiệm của phương trình vì 1 + 2.3log2 1 = 3 Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất. Xét hàm số f ( x) = x + 2.3log2 x 2ln 3 log2 x  f '( x) = 1 + 3 Vì x  0  f '( x)  0 x ln 2  hàm số f ( x) luôn đồng biến với x  0  phương trình f ( x) = 3 có một nghiệm duy nhất với x  0 Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm x = 1 . Dụng ý sư phạm câu 3 và câu 4: Đánh giá các kỹ năng sử dụng các mô hình, các hoạt động MHH toán học của HS trong quá trình giải bài tập: - Nhớ được các mô hình đã xây dựng - Xây dựng được mô hình toán học từ bài toán thực tiễn - Giải được bài toán bằng các kiến thức đã học Câu 3 (4đ). Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng 3 triệu đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng. Biết rằng lãi suất hàng tháng là 0,29%. a) Sau 2 năm người đó nhận được số tiền là bao nhiêu? b) Với lãi suất không thay đổi người đó muốn nhận được 200 triệu thì phải gửi ít nhất bao nhiêu lâu? Giải Bước 1: Phân tích bài toán: các dữ kiện số tiền gửi hàng tháng (kỳ hạn), lãi suất, số tiền nhận được sau kỳ hạn thứ n - Mô hình toán học: Gọi số tiền gửi hàng tháng là a = 3 triệu đồng, kỳ hạn n, lãi suất r = 0, 0029 , số tiền nhận được sau kỳ hạn thứ n là Pn . 2 + Sau kỳ hạn thứ 1 số tiền có được là: P1 = a + ar = a (1 + r ) + Đầu kỳ hạn thứ 2 số tiền có được là: P1 + a = a (1 + r ) + a + Cuối kỳ hạn thứ 2 số tiền có được là: P2 = P1 + a + ( P1 + a ) r P2 = a (1 + r ) + a + a (1 + r ) + a  r = a (1 + r ) + a  (1 + r ) = a (1 + r ) + a (1 + r ) 2 106 2 P2 = a (1 + r ) + (1 + r )    + Đầu kỳ hạn thứ 3 số tiền có được là: 2 2 P2 + a = a (1 + r ) + (1 + r )  + a = a (1 + r ) + (1 + r ) + 1     + Cuối kỳ hạn thứ 3 số tiền có được là: P3 = P2 + a + ( P2 + a ) r P3 = a (1 + r ) + (1 + r ) + 1 + a (1 + r ) + (1 + r ) + 1 r = a (1 + r ) + (1 + r ) + 1 (1 + r )       2 2 2 3 2 P3 = a (1 + r ) + (1 + r ) + (1 + r )    ……………………….. + Cuối kỳ hạn Pn = a (1 + r ) + (1 + r )  n Pn = a (1 + r ) n −1 thứ n + ... + (1 + r )   (1 + r ) n số tiền có được là: −1 r Bước 2: Giải bài toán: a) cho biết kỳ hạn n = 2 (năm) = 24 (tháng), tìm Pn P24 = 3 (1 + 0,0029 ) (1 + 0,0029) 24 −1 0,0029  74,7 b) cho biết Pn = 200 triệu đồng, tìm kỳ hạn n Từ công thức Pn = a (1 + r ) Thay số ta có: (1,0029 ) = n (1 + r ) n −1 r  (1 + r ) = n Pn r +1 a (1 + r ) 200.0,0029 +1 3.1,0029  200.0,0029   n = log1,0029  + 1  60,9 vì n nguyên dương,  3.1,0029  Chọn n= 61 (tháng) = 5 năm 1 tháng. Bước 3: Hiểu bài toán: đây là dạng toán góp vốn, các dữ kiện của bài toán là số tiền góp hàng kỳ là a, lãi xuất r , kỳ hạn n, số tiền và Pn là số tiền có được sau kỳ hạn thứ n. Bước 4: Đối chiếu: bài toán có 4 dữ kiện a, r , n, Pn , các dạng toán tương tự là cho 3 dữ kiện tìm dữ kiện còn lại. Câu 4 (2đ). Cường độ một trận động đất M (Richte) được cho bởi công thức M = log A − log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ 107 chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richte. Hỏi trận động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản. Giải Bước 1: Phân tích bài toán: Sử dụng mô hình cho sẵn để giải bài toán thực tiễn, cần so sánh biên độ rung chấn tối đa của hai trận động đất Bước 2: Giải bài toán Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức M1 = log A1 − log A0  log A1 − log A0 = 8  log A1 = log A0 + 8 Biên độ rung chấn tối đa trận đất ở San Francisco là:  A1 = 10log A0 +8 = 10log A0.108 Trận động đất ở Nhật bản có cường độ 6 độ Richte khi đó áp dụng công thức M 2 = log A2 − log A0  log A2 − log A0 = 6  log A2 = log A0 + 6 Biên độ rung chấn tối đa trận đất ở Nhật bản là:  A2 = 10log A0 +6 = 10log A0.106 A1 10log A0 .108  = = 100  A1 = 100 A2 A2 10log A0 .106 Bước 3: Hiểu bài toán Vậy trận động đất ở San Prancisco có biên độ gấp 100 lần biên độ trận động đất ở Nhật bàn. Bước 4: Đối chiếu Trong thực tiễn về các trận động đất, với cường độ động đất đã cho, có thiệt hại như thế nào 108 §4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARIT Thời lượng dự kiến: 2 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức - Khái niệm và tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit. - Công thức tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số logarit từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số (theo 2 trường hợp của cơ số). - Dạng đồ thị của hàm số mũ, hàm số logarit. 2. Kĩ năng - Biết tìm tập xác định của hàm số mũ, đạo hàm của hàm số mũ, khảo sát hàm số mũ đơn giản. - Biết tìm tập xác định của hàm số logarit, đạo hàm của hàm số logarit, khảo sát hàm số logarit đơn giản. - Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số logarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và logarit. - Vận dụng hàm số mũ – logarit vào giải một số bài toán thực tế. 3.Về tư duy, thái độ - Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của GV. - Năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới ,biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao. - Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ 4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác, năng lực sử dụng ngôn ngữ và năng lực mô hình hóa. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên: Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ... Phân chia thời lượng và nội dung dạy Tiết 1: Dạy phần I. Hàm số mũ Tiết 2: Dạy phần II. Hàm số logarit Tiết 3: Chữa bài tập SGK 2. Học sinh: - Đọc trước bài - Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng … III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC 109 Tiết 1: §4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARIT - Ngày soạn: - Giảng ở các lớp: Lớp Ngày dạy Học sinh vắng mặt Ghi chú 12B HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY Hoạt động 1 (8 phút). Khởi động – tạo động cơ vào bài mới - Mục tiêu: Làm cho hs thấy vấn đề cần thiết phải nghiên cứu hàm số mũ, logarit và việc nghiên cứu xuất phát từ nhu cầu thực tiễn. Giúp học sinh biết xây dựng mô hình toán học từ tình huống thực tiễn. - Phương pháp: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình. - Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân, cặp đôi. GV: Trình chiếu nội dung bài toán: lãi kép. Hướng dẫn HS tìm hiểu bài toán, xây dựng Bài toán: (SGK-Tr70) mô hình toán học: Bài toán: Một người gởi số tiền 1 triệu đồng Gọi số tiền gửi ban đầu là P. lãi suất vào một nhân hàng với lãi suất 7%/năm. Biết hàng tháng r = 0, 7% = 0, 007 , số tiền lãi rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì sau n tháng là Ln , số tiền nhận được cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào (cả vốn lẫn lãi) sau năm thứ n là P . n vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Hỏi người đó lĩnh được bao nhiêu tiền sau n năm Với n  2 . (n ∈ N*), nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi ? GV: yêu cầu học sinh tính số tiền lãi, số tiền vốn sau năm thứ 1, 2 theo các ký hiệu đã gọi. HS: Trình bày lời giải Từ đó ta xây dựng công thức: - Sau năm thứ nhất ( n = 1 ) L1 = Pr P1 = P + Pr = P(1 + r ) - Sau năm thứ hai ( n = 2 ) L2 = Pr 1 2 P2 = P1 + Pr 1 = P1 (1 + r ) = P (1 + r ) GV: Yêu cầu HS dự đoán số tiền vốn sau năm thứ 3, dự đoán sau năm thứ n. HS: Dự đoán công thức, kết luận bài toán - Sau năm thứ 3 số tiền người đó nhận được là: P3 = P (1 + r )3 GV: Công thức Pn = P(1 + r ) n là mô hình toán học của bài toán lãi kép. Việc thiết lập công thức như vậy là quá trình xây dựng mô hình toán học từ bài toán thực tiễn GV: cho học sinh sử dụng máy tính để tính số tiền có được sau 5 năm, 10 năm để minh họa trong thực tiễn. 110 - Sau năm thứ n số tiền người đó nhận được là: Pn = P(1 + r ) n Vậy sau năm thứ n người đó nhận được số tiền là: Pn = (1,07) n HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY HS: P5 = (1,07)5  1, 4 triệu đồng P10 = (1,07)10  1,98 triệu đồng GV: Giới thiệu cho học sinh hai mô hình toán học trong ví dụ 2, 3 SGK. Những bài toán thực tế như vậy dẫn đến việc xét các hàm sô có dạng y = a x được gọi là hàm số mũ. Hoạt động 2 (15 phút). Hình thành kiến thức - Mục tiêu: Học sinh nắm được định nghĩa hàm số mũ, hàm số lôgarit. Học sinh nắm được và biết áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số lôgarit. HS biết dạng đồ thị hàm số mũ,lôgarit và vẽ phác họa. - Phương pháp: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình. - Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân, nhóm nhỏ. HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY GV: Trình bày định nghĩa hàm số mũ, nhẫn mạnh cho học sinh điều kiện của cơ số, sự biến thiên của số mũ. Coi hàm số mũ là một mô hình toán học I. HÀM SỐ MŨ 1. Định nghĩa Cho a > 0, a  1. Hàm số y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a. VD1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ: GV: Đưa ra ví dụ, yêu cầu học sinh trả lời. HS: ý c không phải hàm số mũ vì cơ số biến thiên, số mũ không đổi, đây là hàm số lũy thừa. a) y = ( 3) x c) y = x−4 x b) y = 53 d) y = 4− x Chú ý: Cơ số Hàm số mũ: Không đổi thiên Hàm số lũy thừa: Biến thiên đổi Số mũ Biến Không 2. Đạo hàm của hàm số mũ et − 1 = 1 (1) Ta thừa nhận công thức: lim t →0 t Gv gợi ý cho học sinh chứng minh định lí 1 HS: Các nhóm thảo luận và chứng minh C/M : Giả sử x là số gia của x, ta có : y = e x +x − e x = e x ( e x − 1) x a) Định lí 1. Hàm số y = e có đạo x x hàm tại mọi x và (e ) ' = e y ex − 1 ex − 1 mà lim = ex =1 x →x x x x y = ex Nên y’= lim x →x x Học sinh biết đạo hàm một số hàm số mũ đơn Do đó: giản 111 CM: (SGK) Chú ý 1: (eu ) ' = u ' eu VD2: Tính đạo hàm của hàm số HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY GV hoàn thiện kết quả y = e2 x +1 2 x +1 Đạo hàm của hàm số y = e là GV: Nêu định lý 2, công thức hàm số hợp y ' = (e2 x +1 ) ' = (2 x + 1) ' e2 x +1 = 2e2 x +1 b) Định lí 2: Hàm số y = a (a  0, a  1) có đạo hàm tại mọi x và x (a x ) ' = a x .ln a CM: (SGK) Chú ý 2: (au ) ' = u ' au .ln a VD3: Tính đạo hàm của hàm số HS giải ví dụ x x a) y = 2  y ' = 2 .ln 2 ; x a) y = 2 x +x 2 x +x b) y ' = (3 ) ' = ( x + x) ' 3 .ln 3 2 2 x b) y = 3 2 +x x Kết quả a) y ' = 2 .ln 2 y ' = (2 x + 1)3 x + x.ln 3 2 x +x b) y ' = (2 x + 1)3 .ln 3 2 GV: Trình chiếu nội dung về dạng đồ thị và 3. Dạng đồ thị và tính chất của hàm bảng tóm tắt các tính chất của hàm số mũ. số mũ Nhấn mạnh mô hình toán học của hàm số mũ Đồ thị : là đồ thị Bảng tóm tắt cáctính chất của hàm số mũ y = ax (a > 0, a ≠ 1) Tập xác định Đạo hàm Chiều biến thiên Tiệm cận Đồ thị (- ; + ) y’ = (ax)’ = axlna a > 1: hàm số luôn đồng biến. 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến. Trục Ox là tiệm cận ngang. Đi qua điểm (0; 1) và (1; a), nằm phía trên trục hoành. (y = ax> 0,  x. R) Hoạt động 3 (12 phút). Hoạt động luyện tập 112 HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY - Mục tiêu: Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập về nhận diện hàm số mũ, đồ thị hàm số mũ, áp dụng được công thức tính đạo hàm của hàm số mũ. - Phương pháp: Nêu và giải quyết vấn đề. - Hình thức tổ chức: hoạt động nhóm. HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY GV: Chia lớp thành 4 nhóm PHIẾU HỌC TẬP 1 x Phát phiếu học tập 1 cho nhóm 1,3. Bài 1. Chọn C. y = 1 − 2 . Không Phát phiếu học tập 2 cho nhóm 2,4. Các nhóm hoạt động trong 5 phút. phải hàm số mũ vì cơ số 1 − 2  0 . (đồng thời trình chiếu nội dung 2 phiếu học Bài 2. Chọn C. 103,3 triệu người. tập để học sinh các nhóm biết được nội Sử dụng mô hình cho sẵn S = A.eni dung) Thay số ta có: HS: đại diện nhóm 1 hoặc 3 trình bày lời giải S = A.eni = 91, 7.e10.0,012 = 103,3 triệu phiếu học tập 1. Cả lớp theo dõi, nhận xét nội dung phiếu học người. PHIẾU HỌC TẬP 2 tập, gọi ngẫu nhiên HS trong 3 nhóm còn lại ( nhận xét bài giải. GV: Chốt lại kiến thức. Tương tự với phiếu học tập số 2. Bài 1. Chọn D. y = ) æ1 ÷ ö çç ÷ . ÷ çè3 ø x Dựa vào đồ thi nhận xét cơ số 0  a 1 Thay giá trị x = −1  y = 3 . Bài 2. Chọn B. y ' = e x ( cosx − sinx ) . Áp dụng công thức tính đạo hàm Hoạt động 4 (10 phút). Hoạt động vận dụng, tìm tòi mở rộng - Mục tiêu: Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập về hàm số mũ, đồ thị hàm số mũ, áp dụng được công thức đã học, liên hệ được với thực tiễn. - Phương pháp: Nêu và giải quyết vấn đề. - Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân, nhóm nhỏ theo bàn. HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY GV: Trình chiếu nội dung phiếu học tập số 3 PHIẾU HỌC TẬP 3 Yêu cầu cả lớp giải các bài toán trong vòng 4 Bài 1. Chọn B. 0  b  1  a phút. Dựa vào đồ thị của hai hàm số nhận GV: gọi đại diện 01 học sinh lên trình bày lời xét được: giải. Cơ số a  1, b  1 HS: lên trình bày lời giải. Bài 2. Chọn A. 10.(1,005)36 GV: gọi ngẫu nhiên 2 HS nhận xét cuối cùng Áp dụng mô hình đã thực hiện trong chốt lại lời giải. phần khởi động thay số ta có GV: Củng cố lại các kiến thức cho học sinh về hàm số mũ, dạng đồ thị và các tính chất của hàm số mũ. GV: Chỉ rõ mô hình bài toán lãi kép, mô hình của bài toán tăng trưởng dân số, bài 113 HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY toán sự phân rã của phóng xạ PHIẾU HỌC TẬP 1 Bài 1. Trong các hàm số sau hàm số nào không phải là hàm số mũ ? B. y = ( 2,021) A. y = 52 x−1 x ( C. y = 1 − 2 ) x D. y = ( ) 3 x 3 Bài 2. Dân số thế giới được ước tính theo công thức S = A.eni : Trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Ngày 1/7/2016, dân số Việt Nam khoảng 91, 7 triệu người. Nếu tỉ lệ tăng dân số Việt Nam hàng năm là 1, 2% và tỉ lệ này ổn định 10 năm liên tiếp thì ngày 1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng bao nhiêu triệu người? A. 104,3 triệu người. B. 105,3 triệu người. C. 103,3 triệu người. D. 106,3 triệu người. PHIẾU HỌC TẬP 2 Bài 1. Đồ thị hình bên là của hàm số nào? x B. y = æ1 ÷ ö çç ÷ . çè 2 ÷ ø x D. y = æ1 ÷ ö çç ÷ . ÷ çè3 ø A. y = ( 3) . C. y = ( 2 ) . x x Bài 2. Đạo hàm của hàm số sau: y = e xcosx là: B. y ' = e x ( cosx − sinx ) . C. y ' = e x ( cosx + sinx ) . A. y ' = e xsinx . D. y = e xcosx PHIẾU HỌC TẬP 3 Bài 1. (ĐỀ THPT QG 2017) Cho hai hàm số y = ax, y = bx với a, b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là (C1) và (C2) như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ? A. 0  a  b  1 B. 0  b  1  a C. 0  a  1  b D. 0  b  a  1 Bài 2. Ông An gửi số tiền 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,5% / tháng. Biết 114 rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Hỏi sau 3 năm ông An lãnh được bao nhiêu tiền, biết rằng trong khoảng thời gian đó ông An không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi? (Đơn vị: triệu đồng) A. 10.(1,005)36 B. 10.(1,5)36 C. 10.(1,005)3 D. 10.(1,5)3 Tiết 2: §4. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARIT - Ngày soạn: - Giảng ở các lớp: Lớp Ngày dạy Học sinh vắng mặt Ghi chú 12B HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY Hoạt động 1 (8 phút). Khởi động – tạo động cơ vào bài mới - Mục tiêu: Làm cho hs thấy vấn đề cần thiết phải nghiên cứu logarit và việc nghiên cứu xuất phát từ nhu cầu thực tiễn. - Phương pháp: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình. - Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân, cặp đôi. GV: Trình chiếu lại nội dung Bài toán: Bài toán: Một người gởi số tiền 1 triệu đồng vào một nhân hàng với lãi suất GV: Trong giờ học trước chúng ta đã biết số 7%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền tiền người đó nhận được sau n năm là ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, n số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban Pn = (1,07) đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Hỏi Trong đó số tiền gửi ban đầu là P. lãi suất người đó lĩnh được bao nhiêu tiền sau n hàng tháng r = 0, 7% = 0, 007 , số tiền nhận năm (n ∈ N*), nếu trong khoảng thời được (cả vốn lẫn lãi) sau năm thứ n là Pn . gian này không rút tiền ra và lãi suất Với n  2 . không thay đổi. Số tiền người đó nhận được sau n năm là GV: Đưa ra câu hỏi: Pn = (1,07) n H1: Sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền cả gốc lã lãi là 1,5 triệu Thay Pn = 1,5 ta có: (1,07)n = 1,5 đồng?  n = log1,07 1,5  5,99 chọn n=6 năm Hs: Thay số vào công thức (mô hình) cho sẵn dẫn đến việc giải bài toán: (1,07)n = 1,5 Để nhận được 2 triệu đồng thì GV: Nhắc lại khái niệm logarit đã học n = log1,07 2  10,2 chọn n=11 năm Từ đó học sinh tính được n H2: vậy sau bao nhiêu năm người đó nhận Để nhận được 3 triệu đồng thì được 2 triệu đồng, 3 triệu đồng Dựa vào kết quả đã tính học sinh có thể tính n = log1,07 3  16,2 chọn n=17 năm được như sau: GV: Những bài toán như vậy dẫn đến việc xét hàm số dạng: y = log a x 115 HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY Hoạt động 2 (12 phút). Hình thành kiến thức - Mục tiêu: HS nắm được định nghĩa hàm số lôgarit. Học sinh nắm được và biết áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit, biết dạng đồ thị hàm số lôgarit và vẽ phác họa. - Phương pháp: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình. - Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân, nhóm nhỏ. HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY Học sinh đưa ra đúng định nghĩa hàm số II. Hàm số lôgarit. lôgarit. 1. Định nghĩa: Cho số thực dương a khác 1. Hàm số y = log a x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a. VD4: Các hàm số log2 x , log3 4 x , log x , Hs lấy ví dụ và cho biết cơ số bằng bao ln x là các hàm số lôgarit. nhiêu. VD5: Tìm tập xác định các hàm số a) y = log 2 ( x − 1) . b) y = log 1 ( x 2 − x) 2 2. Đạo hàm của hàm số lôgarit. - Gv giới thiệu với Hs định lý sau: Định lý 3: Hàm số y = logax (a > 0, a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi Nhận biết được y có nghĩa khi: a) x - 1 > 0 b) x2 - x > 0 x > 0 và: y’ = (logax)’ = Đặc biệt (lnx)’ = 1 x ln a 1 x Đối với hàm số hợp, ta có : u' u ln a 3. Dạng đồ thị và tính chất của hàm số lôgarit y = logax (a > 0, a ≠ 1) Đồ thị : y’ = (logau)’ = Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số lôgarit y = logax (a > 0, a ≠ 1) Tập xác định (0; + ) 116 HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY y’ = (logax)’ = Đạo hàm 1 x ln a Chiều biến thiên a > 1: hàm số luôn đồng biến. 0 < a < 1: hàm số luôn nghịch biến. Trục Oy là tiệm cận đứng. Đi qua điểm (1; 0) và (a; 1), nằm phía bên phải trục tung. Tiệm cận Đồ thị Hoạt động 3 (15 phút). Hoạt động luyện tập - Mục tiêu: Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập về nhận diện hàm số logarit, đồ thị hàm số mũ, áp dụng được công thức tính đạo hàm của hàm số mũ. - Phương pháp: Nêu và giải quyết vấn đề. - Hình thức tổ chức: hoạt động nhóm. HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY GV: Trình chiếu nội dung 3 bài toán, cho Bài tập 1: Tìm tập xác định của các học sinh làm các bài tập trong khoảng 5 hàm số: a) y = log3 (4 − 2 x) phút. Bài tập 1: b) y = log 1 ( x 2 − 4 x + 3) GV: Gợi ý xây dựng mô hình toán học để 5 tìm tập xác định của hàm số logarit với cơ số a  0, a  1. Tìm điều kiện của x trong hàm số y = log a x Điều kiện: x  0. Tổng quát ta có: y = log a  f ( x )  điều kiện sẽ là f ( x )  0. GV: Gọi ngẫu nhiên học sinh lên bảng giải bài tập. Gọi HS nhận xét lời giải, chốt lại kết quả cho học sinh a) y = log3 (4 − 2 x) Điều kiện: 4 − 2 x  0  x  2 Tập xác định của hàm số là: ( −; 2 ) b) y = log 1 ( x 2 − 4 x + 3) 5 117 HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY x  1 Điều kiện: x2 − 4 x + 3  0   x  3 Tập xác định của hàm số là: ( −;1)  ( 3; + ) Bài tập 2: GV: Sử dụng công thức (mô hình) có sẵn áp dụng tính đạo hàm HS: trình bày lời giải ( x 2 − 4 x + 1)' 2x − 4 = 2 a) y ' = 2 ( x − 4 x + 1)ln 2 ( x − 4 x + 1)ln 2 ( x + 1) 'ln x − ( ln x ) ' ( x + 1) b) y ' = ln 2 x x ln x − x − 1 y' = x ln 2 x Bài tập 3: GV: Mô hình của hàm số logarit ở đây là đồ thị hàm số. HS: Dựa vào đồ thị, tính chất của hàm số logarit trình bày lời giải - Đồ thị (C1) của hàm số y = log a x nghịch biến nên cơ số 0  a  1 - Đồ thị (C2) của hàm số y = logb x đồng biến nên cơ số b  1 Vậy a  b Bài tập 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = log 2 ( x 2 − 4 x + 1) x +1 b) y = ln x Bài tập 3: Cho hai hàm số y = log a x và y = logb x lần lượt có đồ thị (C1) và (C2) như hình vẽ. So sánh hai cơ số a và b Hoạt động 4 (10 phút). Hoạt động vận dụng, tìm tòi mở rộng - Mục tiêu: Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập về hàm số logarit, đồ thị hàm số logarit, áp dụng được công thức đã học, liên hệ được với thực tiễn. - Phương pháp: Nêu và giải quyết vấn đề. - Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân, nhóm nhỏ theo bàn. HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY Phiếu học tập 4. GV: Trình chiếu nội dung phiếu học tập 4, 5 Chia lớp thành 4 nhóm, nhóm 1,3 thực hiện Độ pH của bia là: phiếu học tập số 4; nhóm 2,4 thực hiện pH = -log(0,00008)  4,1 < 7 phiếu học tập số 5. GV: gọi đại diện 01 học sinh nhóm 1,3 lên Độ pH của bia là: 118 HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY trình bày lời giải phiếu học tập 4 pH = -log(0,0004)  3, 4 < 7 HS: lên trình bày lời giải. Vậy bia và rượu có tính axít GV: gọi ngẫu nhiên 2 HS nhận xét cuối cùng chốt lại lời giải. Tương tự với phiếu học tập 5 Phiếu học tập 5 Đáp án Phiếu học tập 5 TT 1 2 3 4 5 Mức cường độ âm trong các trường hợp sau Loại âm thanh Ngưỡng nghe Nhạc êm dịu Nhạc mạnh phát ra từ loa Tiếng máy bay phản lực Ngưỡng đau tai I/I0 1 4000 6,8.108 2,3.1012 1023 Độ lớn L 0 dB 36 dB 88 dB 124 dB 130 dB PHIẾU HỌC TẬP 4 Trong mỗi dung dịch người ta dùng độ pH để đánh giá dung dịch có tính axit hay bazo. Độ pH của dung dịch được tính dựa vào nồng độ [H3O+](mol/lit), theo công thức pH = -log[H3O+] pH < 7 thì dung dịch có tính axit. pH = 7 thì dung dịch trung hòa. pH > 7 thì dung dịch có tính bazo. Nồng độ [H3O+] trong bia và rượu lần lượt là 0,00008(mol/l) và 0,0004(mol/l). Hỏi các dung dịch trên có tính axit hay bazo. PHIẾU HỌC TẬP 5 Đặc trưng cho độ to nhỏ của âm thanh người ta đưa ra khái niệm mức cường độ âm thanh, ký hiệu là L, đợn vị đo là (dB) – đề xi ben. Được tính bằng công thức L(dB) = 10log(I/ I0) I là cường độ âm (tức là năng lượng truyền đi bởi sóng âm trong một đơn vị thời gian qua 1 đơn vị diện tích bề mặt vuôn góc với phương sóng truyền. Đơn vị là W/m2), I0 là cường độ âm ở ngưỡng nghe. I0 = 10-12 W/m2. Tính mức cường độ âm trong các trường hợp sau TT Loại âm thanh I/I0 Độ lớn L 1 Ngưỡng nghe 1 2 Nhạc êm dịu 4000 119 3 4 5 Nhạc mạnh phát ra từ loa Tiếng máy bay phản lực Ngưỡng đau tai 6,8.108 2,3.1012 1023 120 LUYỆN TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Thời lượng dự kiến: 02 tiết I. MỤC TIÊU 1. Kiến thức - Biết dạng phương trình mũ, lôgarit cơ bản. - Biết cách giải một số phương trình mũ, lôgarit đơn giản. 2. Kĩ năng - Biết giải phương trình mũ, logagit cơ bản và các dạng phương trình mũ, lôgarit đơn giản. 3. Thái độ - Tích cực, chủ động và hợp tác trong học tập. - Say mê hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn. 4. Các năng lực chính hướng tới sự hình thành và phát triển ở học sinh - Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống. - Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học. - Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động. - Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình. - Năng lực sử dụng ngôn ngữ: Học sinh biết sử dụng các ngôn ngữ ký hiệu của toán học. II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH 1. Giáo viên - Giáo án, bảng phụ vẽ hình, phiếu học tập, thước, compa, máy chiếu, phần mền dạy học… - Thiết kế hoạt động học tập hợp tác cho học sinh tương ứng với các nhiệm vụ cơ bản của bài học. - Tổ chức, hướng dẫn học sinh thảo luận, kết luận vấn đề. 2. Học sinh - Nghiên cứu bài học ở nhà theo sự hướng dẫn của giáo viên, sách giáo khoa, bảng phụ và tranh, ảnh minh họa (nếu cần) - Mỗi cá nhân hiểu và trình bày được kết luận của nhóm bằng cách tự học hoặc nhờ bạn trong nhóm hướng dẫn. - Mỗi người có trách nhiệm hướng dẫn lại cho bạn khi bạn có nhu cầu học tập. III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC 121 LUYỆN TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ, PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT - Ngày soạn: - Giảng ở các lớp: Lớp Ngày dạy Học sinh vắng mặt Ghi chú 12B HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY Hoạt động 1 (25 phút). Luyện tập giải phương trình mũ. - Mục tiêu: Giúp cho học sinh tiếp cận với các kiến thức phương trình mũ, phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản. - Phương pháp: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình. - Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân, cặp đôi. GV: Đưa nội dung bài toán. Hướng dẫn học Dạng 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số sinh giải bài toán thông qua 4 bước. B1: Phân tích bài toán: các phương trình này Bài 1. (SGK) Giải các phương trình mũ x có thể giải bằng phương pháp đưa về cùng  1 3x − 2 a) (0,3) = 1 b)   = 25 cơ số.  5 Xây dựng mô hình toán học x2 −3x+2 d) c) 2 =4 - Sử dụng các phép biến đổi tương đương x + 7 − 1 2 x đưa phương trình mũ về dạng (mô hình): (0,5) .(0,5) =2 f ( x) g( x ) f ( x ) = g( x )  a =a . Giải B2: HS sử dụng các kiến thức đã học để giải a) (0,3)3x−2 = 1 bài toán B3: HS hiểu bài toán, có thể giải các bài Ta có: (0,3)0 = 1 toán tương tự B4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển Suy ra ta có phương trình: bài toán (0,3)3x−2 = (0,3)0 GV: Hướng dẫn học sinh giải ý a. GV: Gọi học sinh lên bảng giải các ý còn lại. 2 3x − 2 = 0  x = HS: lên bảng giải bài tập, nhận xét lời giải 3 GV: Chốt lại kết quả x  1 b)   = 25  5− x = 52  x = −2  5 c) 2x 2 −3x+2 = 22  x2 − 3x + 2 = 2 x = 0 hoặc x = 3 d) (0,5) x+7.(0,5)1−2x = 2 2− x−7.2−1+2x = 2 2 x −8 = 2  x = 9 GV: Đưa nội dung bài toán Dạng 2. Phương pháp đổi biến số 122 HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY Bài 2. Giải phương trình: * Đổi biến số dạng 1 a) 9 x +1 a) 9 x+1 + 26.3x − 3 = 0 + 26.3 − 3 = 0 x Xây dựng mô hình: nếu nhận xét được trong phương trình có chứa các biểu thức: a x , a 2 x , a3 x , a 4 x ,..... ta đặt ẩn phụ: t = a x (điều kiện: t  0 ) khi đó ta có: a 2 x = t 2 , a3 x = t 3 , a 4 x = t 4 ,..... đưa ( b) 2 − 3 ) ( x + 2+ 3 ) x =4 c) 3.4x − 2.6x = 9x Giải a) 9 x+1 + 26.3x − 3 = 0 phương trình mũ về phương trình đại số. 9.9 x + 26.3x − 3 = 0 Đặt: t = 3x (điều kiện: t  0 )  9 x = 32 x = t 2 ta có phương trình t = −3 (loại) 2 9t + 26t − 3 = 0   1 t =  9 1 1 Với t =  3x = = 3−2  x = −2 9 9 ( b) 2 − 3 ( ) + (2 + 3) x + 2+ 3 ( ) x )( =4 ) Nhận xét: 2 − 3 . 2 + 3 = 1 * Đổi biến số dạng 2 b) 2 − 3 ) ( x x =4 ( ) ( ) Đặt : 2 − 3 Xây dựng mô hình: Nếu trong phương trình x x mũ có chứa hai biểu thức a và b và hai cơ số a , b thỏa mãn điều kiện: a.b = 1 thì 1 bx = x t. ta đặt t = a (điều kiện: t  0 ) thì Đưa phương trình mũ về phương trình đại số. Suy ra 2 + 3 x = t với t  0 x = 1 t Ta có phương trình: 1 t + = 4  t 2 − 4t + 1 = 0 t t = 2 − 3  x = 1   t = 2 + 3  x = −1 c) 3.4x − 2.6x = 9x  3.22x − 2.( 2.3) = 32x x 123 HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY Chia cả hai vế cho 32 x ta có phương trình * Đổi biến số dạng 3 c) 3.4x − 2.6x = 9x Xây dựng mô hình: nhận xét được phương trình mũ có dạng:  2 3.    3  .a2 x +  ( a.b ) +  .b2 x = 0 . Để giải x 2x x  2 − 2.   = 1  3 x  2 Đặt   = t với t  0 ta có  3 phương trình này ta sẽ chia cả hai vế phương 2x trình cho b . Ta được phương trình dạng: a   2x a   x  .  +    +  = 0 b b t = 1 3t − 2t − 1 = 0   t = − 1 3  2 . a t =   b  (với t  0 ) đưa về phương Đặt: x=0 Bài 3. Phân tích bài toán B1: Khi tính toán các yếu tố trong bài toán lãi kép này các em cần lưu ý là dữ kiện ban đầu từ đó xác định đúng công thức tính toán cho từng trường hợp. Lãi suất và thời hạn gửi không cùng đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức. Sử dụng công thức (mô hình) đã có: Pn = P (1 + r ) n B2: giải bài toán a) Trong đó: P = 300 triệu đồng là số vốn ban đầu, Thời gian gửi là 5 năm tức là 60 tháng, mỗi kỳ hạn là 3 tháng nên số kỳ hạn Dạng 3. Bài toán thực tiễn x (loại) ) trình bậc hai ẩn t. Hoạt động 2 (20 phút). Sử dụng phương pháp mô hình hóa giải bài toán thực tiễn. - Mục tiêu: Giúp cho học sinh tiếp cận với các kiến thức phương trình mũ, phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản. - Phương pháp: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình. - Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân, cặp đôi. n= 60 = 20 3 kỳ hạn. gửi tiền là: Lãi suất 3,4% một năm, lãi suất một tháng là 3, 4% 0,034 = 12 12 . Suy ra lãi suất mỗi kỳ hạn là 124 Bài 3. Chị Hương gửi tiết kiệm 300 triệu đồng vào ngân hàng AGRIBANK theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 3,4% một năm theo thể thức lãi kép. a) Hỏi sau 5 năm chị Hương nhận được số tiền là bao nhiêu (cà vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó. b) Chị Hương muốn nhận được số tiền lãi là 100 triệu đồng thì phải gửi ít nhất bao nhiêu tháng. HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS r = 3. NỘI DUNG BÀI DẠY 0,034 0,034 = = 0,0085 12 4 Pn = 300.(1,0085) 20 = 355,336 triệu đồng. B3: Hiểu bài toán: ở ý a sử dụng mô hình đã có trả lời yêu cầu của bài toán B4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán để giải ý b b) Số tiền lãi sau n kỳ hạn được tính theo công thức: Pn − P theo đầu bài ta có: P(1 + r ) n − P = 100  P(1 + r ) n = P + 100 P + 100  (1 + r ) n = P 400 Thay số ta có: (1,0085)n = 300 4  n = log1,0085  33,99 chọn n =34 kỳ hạn 3 Vậy để nhận được số tiền lãi ít nhất là 100 triệu đồng thì chị Hương phải gửi ít nhất 3.34 = 102 tháng (tức là 8 năm 6 tháng) Hoạt động 3 (25 phút). Luyện tập giải phương trình logarit. - Mục tiêu: Giúp cho học sinh luyện tập giải phương trình logarit cơ bản, đưa về cùng có số, đổi biến số - Phương pháp: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình. - Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân, cặp đôi. GV : Đưa nội dung bài toán Bài 4. Giải phương trình B1 : Phân tích bài toán, xây dựng mô hình log 2 x + log 2 x + log 1 x = 6 nếu trong phương trình có nhiều cơ số 2 nhưng có thể đưa về cung một cơ số thì ta sử dụng các phép biến đổi của lôgarit đưa phương trình về cùng một cơ số (thường đưa về cơ số nguyên dương nhỏ nhất) biến đổi đưa phương trình về dạng cơ bản hoặc biến đổi phương trình về dạng:  f ( x)  0  loga f ( x) = log ag( x)  g( x)  0  f ( x) = g ( x)  Nhận xét các cơ số trong phương trình ta thấy có thể đưa về cùng cơ số 2 125 HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY B2 : Giải bài toán (HS giải bài toán) log 2 x + log 2 x + log 1 x = 6 2  log2 x + 2log2 x − log2 x = 6  log2 x = 3  x = 8 B3 : Hiểu bài toán, khi giải phương trình logarit có chứa nhiều cơ số, trước hết ta xem các cơ số đó có thể biểu diễn dưới dạng lũy thừa của một cơ số nào đó hay không. B4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán GV : Đưa nội dung bài toán HS : Qua bài 4. Nhận biết được là bài toán đưa về cung cơ số HS biến đổi đưa về cùng cơ số B1 : Phân tích bài toán GV : nhận xét trong phương trình có chứa log 2 x và log 22 x = ( log 2 x ) để đơn giản 2 Bài tập tương tự 1) log3 x + log9 x − log27 x = 1 2 2) log 2 4 x 2 − log 4 2 x + 3log 2 = 0 x 3) 2log 4 ( x − 2 ) − log0,5 ( 3x − 1) = 2 Bài 5. Giải phương trình 4log 22 x + log 2 x = 2 (ĐK : x  0 )  4log 22 x + 2log 2 x = 2  2log 22 x + log 2 x − 1 = 0 hóa việc giải phương trình này đặt ẩn phụ Đặt: log 2 x = t Mô hình của bài toán này là học sinh nhận ra được trong phương trình logarit có chứa  2t 2 + t − 1 = 0 log2 x = t log a f ( x ) ; log a f ( x ) .... 2  2t 2 + t − 1 = 0 t = −1  x = 1 2  1   t =  x = 2  2 Đặt log a f ( x ) = t đưa về phương trình đại số B2: Giải bài toán (HS trình bày lời giải) B3 : Hiểu bài toán : trong phương trình logarit nếu biến đổi đưa về phương trình chỉ Bài tập tương tự có chưa log a f ( x ) và các lũy thừa của nó ta 1 2 sử dụng phương pháp đổi biến số + =1 1) 4 − logx 2 + log x B4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán 2) log 2 x + log 2 x + 1 − 5 = 0 3 3 3) 2log x − 14log 4 x + 3 = 0 2 2 B1 : Phân tích bài toán Nhận xét : các cơ số khác nhau, không đưa về cùng cơ số được. Để giải bài toán ta áp dụng được các tính chất của logarit. Dễ nhẩm được nghiệm của phương trình là 126 Bài 6. Giải phương trình log 2 x + log5 ( 2 x + 1) = 2 HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY x = 2 , nghiệm này có duy nhất không hay còn các nghiệm khác. GV : Sử dụng phần mềm Graph để vẽ đồ thị y = f ( x) = log 2 x + log5 ( 2 x + 1) và y = 2 x  0  x0  2x + 1  0  Điều kiện: ; Ta có x = 2 là nghiệm của phương trình vì log 2 2 + log5 ( 2.2 + 1) = 2 Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất. Xét hàm số f ( x) = log 2 x + log5 ( 2 x + 1) − 2 1 2  f '( x) = + x ln 2 ( 2 x + 1) ln5 Nhận thấy phương trình chỉ có 1 nghiệm duy nhất hàm số f(x) đồng biến Mô hình ở đây là phần mềm toán học và đồ thị của hàm số. B2 : Giải bài toán B3: Hiểu bài toán dựa vào mô hình là đồ thị của hai hàm số, HS đưa ra được cách giải đó là sử dụng tính đơn điệu của hàm số B4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán Vì x  0  f '( x)  0  hàm số f ( x) luôn đồng biến với x  0  phương trình f ( x) = 0 có một nghiệm duy nhất với x  0 Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm x = 2 . Bài tập tương tự 1) x + 2.3 2 = 3 2) log 4 2 x + 2log ( 3x + 4 ) = 3 log x Hoạt động 2 (20 phút). Sử dụng phương pháp mô hình hóa giải bài toán thực tiễn. - Mục tiêu: Giúp cho học sinh tiếp cận với các kiến thức phương trình mũ, phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản. - Phương pháp: Gợi mở vấn đáp, thuyết trình. - Hình thức tổ chức: hoạt động cá nhân, cặp đôi. B1: phân tích bài toán Để tính cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ ta sử dụng công thức đề bài cho M = log A − log A0 A0 Trong đó là hằng số, vậy muốn tính M ta phải tính được biên độ 127 Bài 7. Cường độ một trận động đất M Richte được cho bởi công thức M = log A − log A0 A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và là một biên độ chuẩn (hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động HOẠT ĐỘNG CỦA GV – HS NỘI DUNG BÀI DẠY A. B2: giải bài toán B3: Qua bài toán này các em thấy được những ứng dụng của hàm logarit trong các bài toán khoa học kĩ thuật. B4: Sử dụng MHH để khai thác, phát triển bài toán đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Hỏi cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là bao nhiêu? Giải - Trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richte khi đó áp dụng công thức ta có: M = log A − log A0  log A − log A0 = 8 - Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là: 4A, khi đó cường độ của trận động đt ở Nam Mỹ là: M ' = log 4 A − log A0  M ' = log 4 + log A − log A0 = log 4 + 8  8, 6 128 độ Richte