TNU Journal of Science and Technology 226(11): 316 - 322 ABOUT THE ORDER OF STABILITY OF THE CONTINUOUS BLOCK BACKWARD DIFFERENCE FORMULA METHODS Dinh Van Tiep*, Pham Thi Thu Hang TNU - University of Technology ARTICLE INFO Received: 10/8/2021 Revised: 27/8/2021 Published: 27/8/2021 KEYWORDS Backward difference formula Block multistep methods Ordinary differential equations Order of stability Stability polynomial ABSTRACT This article aims to present two important and nice properties for the stability of the continuous block backward difference formula used to solve the initial value problems for ordinary differential equations. These results are extensions (to the step 𝑘 ≥ 2) of the observations stated for the simple cases of the step 𝑘 ≤ 6 which was given by the author (Dinh Van Tiep, Pham Thi Thu Hang, 2020). These extensions are the useful junctions which enable the proof for the results in that paper to be correct for the general case of the step 𝑘. Besides, these extensions also provide very nice properties for a class of symmetric polynomials established as a byproduct of the continuous block backward difference formula. These properties are not obvious and not easy to prove. The basis used to prove the results in this article is from the foundation of linear algebra. This basis is even simple, but it gives very nice proof. VỀ BẬC ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN LÙI DẠNG KHỐI LIÊN TỤC Đinh Văn Tiệp*, Phạm Thị Thu Hằng Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - ĐH Thái Nguyên THÔNG TIN BÀI BÁO TÓM TẮT Ngày nhận bài: 10/8/2021 Bài báo này trình bày hai kết quả quan trọng về tính ổn định cho họ các phương pháp sai phân lùi dạng khối liên tục để giải bài toán xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu. Đây là những mở rộng (với số bước 𝑘 ≥ 2) các khẳng định đã từng được đề cập bởi cùng tác giả (Đinh Văn Tiệp, Phạm Thị Thu Hằng, 2020) với số bước 𝑘 ≤ 6. Ngoài tạo ra cầu nối giữa các kết quả mở rộng này với các kết quả ở bài báo đó, các mở rộng này đưa các chứng minh ở bài báo đó đúng cho trường hợp tổng quát của 𝑘. Bên cạnh đó, sự mở rộng này tạo ra những kết quả thú vị về tính chất một lớp các đa thức đặc biệt được xây dựng mà việc chứng minh trực tiếp các tính chất của chúng là không đơn giản. Ngày hoàn thiện: 27/8/2021 Ngày đăng: 27/8/2021 TỪ KHÓA Phương pháp sai phân lùi Phương pháp đa bước dạng khối Phương trình vi phân thường Bậc ổn định của phương pháp Đặc trưng của tính ổn định DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.4875 * Corresponding author. Email: tiepdinhvan@tnut.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn 316 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 316 - 322 1. Giới thiệu Ta xem xét phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu: 𝑦 ′ = 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏, 𝑦(𝑎) = 𝛼. (1) Phương pháp giải tích số bằng họ các công thức sai phân lùi (BDF) dạng khối liên tục được trình bày trong các bài báo [1]-[3]. Họ các phương pháp này thể hiện tính hiệu quả vượt trội đặc biệt trong việc xấp xỉ nghiệm cho lớp các bài toán stiff [4]-[6]. Tuy nhiên, các nghiên cứu này chỉ đưa ra các nhận định cho trường hợp 𝑘 ≤ 6 hoặc không có chứng minh cụ thể các kết quả sẽ được đề cập sau đây. Công thức BDF dạng khối liên tục với số bước 𝑘 ≥ 2 được đưa ra trong [2], [3] là: 𝐴(1) 𝑌𝑛+1 = 𝐴(0) 𝑌𝑛 + ℎ𝐵(1) 𝐹𝑛+1 , (2) Với: 𝑌𝑛+1 = (𝑦𝑛+1 , 𝑦𝑛+2 , … , 𝑦𝑛+𝑘 )𝑇 , 𝑌𝑛 = (𝑦𝑛−𝑘+1 , 𝑦𝑛+𝑘 , … , 𝑦𝑛 )𝑇 , 𝐹𝑛+1 = (𝑓𝑛+1 , 𝑓𝑛+2 , … , 𝑓𝑛+𝑘 )𝑇 , 𝑦𝑗 ≈ 𝑦(𝑡𝑗 ), 𝑓𝑗 ≈ 𝑓 (𝑡𝑗 , 𝑦(𝑡𝑗)) , ∀𝑗 = 1,2, …, 𝐴(1) , 𝐴(0) , 𝐵(1) là các ma trận cấp 𝑘 × 𝑘. Ở đây, phương pháp BDF cho bởi công thức: 𝑘−1 ℎ𝑓𝑛+𝑖 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑦𝑛+𝑗 + ℎ𝑏𝑖 𝑓𝑛+𝑘 , ∀𝑖 = 1, … , 𝑘 − 1 , 𝑗=0 𝑘−1 𝑦𝑛+𝑘 = ∑ 𝑎𝑗 𝑦𝑛+𝑗 + ℎ𝑏𝑘 𝑓𝑛+𝑘 , 𝑗=0 −𝑎11 −𝑎21 ⋮ = −𝑎𝑘−1,1 [ −𝑎1 (3) −𝑎12 ⋯ −𝑎1,𝑘−1 0 𝑎10 0 ⋯ 0 −𝑎22 ⋯ −𝑎2,𝑘−1 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ 𝐴(1) ⋮ ⋮ , 𝐴(0) = [ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑘−1,0 ] , 𝑎0 = 1, −𝑎𝑘−1,2 ⋯ −𝑎𝑘−1,𝑘−1 0 𝑎0 0 ⋯ 0 −𝑎2 ⋯ −𝑎𝑘−1 1] 0 𝑏1 −1 0 ⋯ 0 −1 ⋱ ⋮ 𝑏2 ⋮ 0 ⋱ 𝐵(1) = 0 ⋮ . −1 𝑏 0 ⋮ ⋱ 𝑘−1 0 𝑏𝑘 ] [ 0 0 ⋯ Trong bài báo [1], [2], các tác giả đã đưa ra nhận xét bậc ổn định 𝑟 > 0 với từng giá trị của bước 𝑘 = 2, … ,6 dựa vào quan sát cho các phương pháp này. Từ đó suy ra: 𝑘−1 ∑ 𝑎𝑗𝑙 = 0, ∀𝑗 = 1, … , 𝑘 − 1, 𝑙=0 𝑘−1 ∑ 𝑎𝑗 = 1. 𝑗=0 (4), ∀𝑘 = 2, … ,6. Ngoài ra, trong bài báo đó, các lập luận về sự khả nghịch của ma trận 𝐴(1) được đưa ra từ những quan sát cho trường hợp bước 𝑘 = 2, … 6. Nội dung chính của bài báo này là sẽ đưa ra các chứng minh cho hai lập luận này với giá trị 𝑘 ≥ 2 tổng quát và dạng phát biểu của hai lập luận này cũng tổng quát hơn, thay vì xét 𝑘 + 1 điểm lưới với khoảng chia cách đều ℎ là 𝑡𝑛 , 𝑡𝑛 + ℎ, 𝑡𝑛 + 2ℎ, … , 𝑡𝑛 + 𝑘ℎ, ta đi xét bộ 𝑘 + 1 điểm lưới tổng quát: 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑘 . 1.1. Xây dựng hệ số của phương pháp dạng ma trận Giả sử nghiệm đúng của (1) được biểu diễn thành: 𝑦(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡 + 𝑐2 𝑡 2 +. . . +𝑐𝑘 𝑡 𝑘 . http://jst.tnu.edu.vn 317 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 316 - 322 Để thu được (3) ta cần tính giá trị của 𝑦(𝑡) tại các điểm lưới 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑘−1 và 𝑦′(𝑡) tại 𝑡𝑘 rồi đồng nhất các kết quả tương ứng với 𝑦𝑛 , 𝑦𝑛+1 , … , 𝑦𝑛+𝑘−1 , và 𝑓𝑛+𝑘 . Sau đó thu được: 𝑘−1 𝑦(𝑡) = ∑ 𝛾𝑗 (𝑡)𝑦𝑛+𝑗 + 𝛽(𝑡)𝑓𝑛+𝑘 . 𝑗=0 (5) Từ nghiệm nhận được ở (5), thực hiện tính giá trị 𝑦 ′ (𝑡) tại 𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑘−1 và 𝑦(𝑡) tại 𝑡𝑘 ta thu được (3). Quá trình này có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: … 𝑡0𝑘 1 𝑡0 𝑡02 𝑦𝑛 𝑦𝑛 2 𝑘 𝑦 𝑦 𝑐0 1 𝑡1 𝑡1 … 𝑡1 𝑛+1 𝑛+1 ⋮ ⋮ := 𝐴 , … ⋮ [⋮]= ⋮ ⋮ ⋮ 𝑘 2 𝑦 𝑦 𝑐𝑘 𝑛+𝑘−1 𝑛+𝑘−1 𝑡𝑘−1 1 𝑡𝑘−1 𝑡𝑘−1 … [ 𝑓𝑛+𝑘 ] 1 2𝑡𝑘 … 𝑘𝑡𝑘𝑘−1 ] [ 𝑓𝑛+𝑘 ] [ 0 𝑘−1 … 𝑘𝑡1 0 1 2𝑡1 𝑓𝑛+1 𝑘−1 𝑐 0 1 2𝑡 𝑐0 … 𝑘𝑡 2 0 2 𝑓𝑛+2 ⋮ = … ⋮ [ ] : = 𝐵 [ ⋮ ]. ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑘−1 𝑐𝑘 0 1 2𝑡𝑘−1 … 𝑘𝑡𝑘−1 𝑐𝑘 𝑓𝑛+𝑘−1 [ 𝑦𝑛+𝑘 ] 𝑡𝑘2 … 𝑡𝑘𝑘 ] [ 1 𝑡𝑘 Khi đó, ta thấy rằng, 𝐴 ∈ 𝕄(𝑘 + 1), 𝐵 ∈ 𝕄(𝑘, 𝑘 + 1) và nếu các điểm lưới 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑘−1 , 𝑡𝑘 có các điểm chia cách đều với bước chia ℎ thì các hệ số ở (3) được cho bởi đẳng thức: 𝑎10 𝑎11 ⋯ 𝑎1,𝑘−1 ℎ𝑏1 𝑎 𝑎21 ⋯ 𝑎2,𝑘−1 ℎ𝑏2 1 20 1 ⋮ ⋮ ⋱ (6) 𝐶≔ = 𝐵𝐴−1 ∈ 𝕄(𝑘, 𝑘 + 1). ⋮ ⋮ ℎ 𝑎 ℎ 𝑎 ⋯ 𝑎 ℎ𝑏 𝑘−1,0 𝑘−1,1 𝑘−1,𝑘−1 𝑘−1 𝑎1 ⋯ 𝑎𝑘−1 ℎ𝑏𝑘 ] [ 𝑎0 1.2. Dạng ma trận của các kết luận cần chứng minh Đối với kết luận rằng ma trận 𝐴(1) là khả nghịch, từ phân tích (6) ta thấy rằng nó là đủ để kết luận này đúng nếu ma trận vuông con gồm 𝑘 cột đầu tiên của ma trận tích 𝐵𝐴−1 khả nghịch, tức hạng của ma trận 𝐵𝐴−1 bằng 𝑘. Đối với kết luận (4), ta cần chứng minh rằng, tổng 𝑘 cột đầu tiên của ma trận 𝐵𝐴−1 bằng véctơ cơ sở chính tắc 𝒆𝒌 = (0,0, … ,0,1)𝑇 ∈ ℝ𝑘 . Thực tế, trong bài báo này ta sẽ chứng minh một kết quả mạnh hơn thể hiện đặc tính của ma trận 𝐴−1 , ma trận nghịch đảo của 𝐴, đó là tổng 𝑘 véctơ cột đầu tiên của 𝐴−1 bằng véctơ cơ sở chính tắc 𝒆̂𝒌 = (0,0, … ,0,1) ∈ ℝ𝑘+1 . 2. Tính khả nghịch của ma trận 𝑨(𝟏) Ma trận vuông cấp 𝑘 −𝑎11 −𝑎12 ⋯ −𝑎1,𝑘−1 0 −𝑎21 −𝑎22 ⋯ −𝑎2,𝑘−1 0 ⋮ ⋮ ⋱ 𝐴(1) = ⋮ ⋮ , −𝑎𝑘−1,1 −𝑎𝑘−1,2 ⋯ −𝑎𝑘−1,𝑘−1 0 −𝑎2 ⋯ −𝑎𝑘−1 1] [ −𝑎1 (1) thu được ở (3), là khả nghịch nếu hạng bằng 𝑘, 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐴 ) = 𝑘. Điều này được thỏa mãn nếu trong (6) ta có 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵𝐴−1 ) = 𝑘. Kết quả này được chứng minh trong Định lý 1 dưới đây. Trước hết ta xét hai bổ đề sau. Bổ đề 1. Cho hai ma trận 𝑃 ∈ 𝕄(𝑟, 𝑝), 𝑄 ∈ 𝕄(𝑝). Khi đó, nếu 𝑄 khả nghịch thì 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑃) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑃𝑄). http://jst.tnu.edu.vn 318 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 316 - 322 Chứng minh. Giả sử {𝒆𝟏 , 𝒆𝟐 , … , 𝒆𝒑 } là cơ sở chính tắc của ℝ𝑝 . Vì 𝑄 khả nghịch nên {𝑄𝒆𝟏 , 𝑄𝒆𝟐 , … , 𝑄𝒆𝒑 } lập thành một cơ sở của ℝ𝑝 . Do đó: 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑃) = dim(𝐼𝑚(𝑃)) = dim (𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛({𝑃𝒆𝟏 , 𝑃𝒆𝟐 , … , 𝑃𝒆𝒑 })) = dim (𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛({𝑃𝑄𝒆𝟏 , 𝑃𝑄𝒆𝟐 , … , 𝑃𝑄𝒆𝒑 })) = dim(𝐼𝑚(𝑃𝑄)) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝑃𝑄), Trong đó, 𝐼𝑚(. ), 𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛(. ) là các ký hiệu của không gian ảnh của ma trận và bao tuyến tính của tập véctơ tương ứng. Chẳng hạn, 𝐼𝑚(𝑃) = {𝑃𝒙|𝒙 ∈ ℝ𝑝 }, 𝑆𝑝𝑎𝑛𝑛({𝑃𝒆𝟏 , 𝑃𝒆𝟐 , … , 𝑃𝒆𝒑 }) = {∑ 𝑝 𝑗=1 𝜆𝑗 𝒆𝑗 |𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑝 ∈ ℝ} . ฀ Bổ đề 2. Xét hai ma trận 𝐴, 𝐵 cho bởi: … 𝑡0𝑘 1 𝑡0 𝑡02 … 𝑘𝑡1𝑘−1 0 1 2𝑡1 0 1 2𝑡2 1 𝑡1 𝑡12 … 𝑘𝑡2𝑘−1 … 𝑡1𝑘 … ⋮ ,𝐵 = . … ⋮ 𝐴= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑘 𝑘−1 2 𝑡𝑘−1 0 1 2𝑡𝑘−1 … 𝑘𝑡𝑘−1 1 𝑡𝑘−1 𝑡𝑘−1 … 𝑘−1 0 1 2𝑡 1 𝑡𝑘 𝑡𝑘2 … 𝑡𝑘𝑘 ] … 𝑘𝑡𝑘 ] [ [ 𝑘 Khi đó, ma trận 𝐴 là khả nghịch và hạng của ma trận 𝐵 bằng 𝑘, với mọi bộ điểm lưới đôi một phân biệt 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑘 và 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑘−1 đều khác không. Chứng minh. Xét ma trận vuông con 𝐴∗ cấp 𝑘 của 𝐴 gồm 𝑘 hàng đầu tiên (từ trên xuống) và 𝑘 cột cuối cùng (từ trái qua phải), 𝑡0 𝑡02 … 𝑡0𝑘 𝑡1 𝑡12 … 𝑡1𝑘 𝐴∗ ≔ … ⋮ ⋮ ⋮ 2 𝑘 … 𝑡𝑘−1 [ 𝑡𝑘−1 𝑡𝑘−1 ] thỏa mãn det(𝐴∗ ) = 𝑡0 𝑡1 … 𝑡𝑘−1 det(𝑉𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑚𝑜𝑛𝑑𝑒(𝑡0 , … , 𝑡𝑘−1 )) = 𝑡0 𝑡1 … 𝑡𝑘−1 ∏ (𝑡𝑖 − 𝑡𝑗 ) ≠ 0. 0≤𝑗<𝑖≤𝑘−1 Ở đây, 𝑉𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑚𝑜𝑛𝑑𝑒(𝑡0 , … , 𝑡𝑘−1 ) là ma trận Vandermonde với hàng thứ 𝑗 được tạo thành từ 𝑖 các đơn thức 𝑡𝑗−1 , ∀𝑖 = 0, … , 𝑘 − 1 sắp xếp theo thứ tự tăng dần của 𝑖. Xét ma trận vuông con 𝐵∗ cấp 𝑘 − 1 của 𝐵 gồm 𝑘 − 1 hàng đầu tiên (từ trên xuống) và 𝑘 − 1 cột (trái qua phải) từ cột thứ 2 đến cột thứ 𝑘, (𝑘 − 1)𝑡1𝑘−2 … … 𝑡1𝑘−2 1 0 1 2𝑡1 1 𝑡1 … 0 𝑘−2 𝑘−2 1 2𝑡2 1 𝑡 (𝑘 … − 1)𝑡 … 𝑡 0 2 ⋱ ⋮ ] 2 2 2 = 𝐵∗ ≔ [ ⋮ ⋱ ⋱ 0 … ⋮ … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑘−2 𝑘−2 0 … 0 𝑘 − 1 [ 1 2𝑡𝑘−1 … (𝑘 − 1) 𝑡𝑘−1 ] [ 1 𝑡𝑘−1 … 𝑡𝑘−1 ] 1 0 … 0 0 2 ⋱ ⋮ ]. = 𝑉𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑚𝑜𝑛𝑑𝑒(𝑡1 , 𝑡2 , … , 𝑡𝑘−1 ) [ ⋮ ⋱ ⋱ 0 0 … 0 𝑘−1 det(𝐵∗ ) = (𝑘 − 1)! ∏ (𝑡𝑖 − 𝑡𝑗 ) ≠ 0. 1≤𝑗<𝑖≤𝑘−1 Do đó, 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵∗ ) = 𝑘 − 1, 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵) = 𝑘. ◻ Định lý 1. Hạng của ma trận tích 𝐵𝐴−1 bằng 𝑘. Chứng minh. Vì 𝐴 khả nghịch, nên 𝐴−1 tồn tại và khả nghịch, theo Bổ đề 1 và Bổ đề 2 ta có ◻ 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵𝐴−1 ) = 𝑟𝑎𝑛𝑘(𝐵) = 𝑘. http://jst.tnu.edu.vn 319 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 316 - 322 Rõ ràng, kết quả 𝐴(1) khả nghịch là rất ý nghĩa. Nó cho phép ta có thể chuyển đổi phương trình (2) về dạng lặp như đã trình bày trong công thức (4) của [1]. Công thức này cho phép chúng ta xây dựng thuật toán, trình thực thi và chứng minh sự hội tụ của phương pháp BDF dạng khối liên tục. Trong Bổ đề 2, chúng ta đặt ra điều kiện rằng các điểm lưới 𝑡0 , 𝑡1 , … , 𝑡𝑘−1 đều khác không. Nhưng điều kiện này thực sự không quá quan trọng, bằng các phương pháp đơn bước, ta hoàn toàn có thể thay thế 𝑘 giá trị xấp xỉ ban đầu bằng 𝑘 giá trị khác mà không chứa lưới gồm có một điểm lưới là 0. Sau đó, việc sinh ra ma trận 𝐴 sẽ thỏa mãn điều kiện của Bổ đề 2. Do đó, trong suốt bài báo này, ta luôn có thể giả sử 𝐴−1 tồn tại. 3. Bậc ổn định của phương pháp BDF dạng khối liên tục với số bước 𝒌 ≥ 𝟐 Phần này trình bày chứng minh các đẳng thức (4) cho trường hợp bước số bước 𝑘 tổng quát. Điều này cho thấy các phương pháp BDF dạng khối liên tục với 𝑘 ≥ 2 đều có bậc ổn định 𝑟 > 0. 3.1. Dạng ma trận của (𝟒) Từ đẳng thức (6), ta thấy rằng (4) tương đương với đẳng thức: 𝑘−1 ∑ 𝐵𝐴𝑗−1 = 𝒆𝒌 = (0, … ,0,1)𝑇 ∈ ℝ𝑘 , (7) 𝑗=0 với 𝒆𝒌 = (0, … ,0,1)𝑇 là véctơ cơ sở chính tắc thứ 𝑘 của ℝ𝑘 , và 𝐴𝑗−1 ∈ ℝ𝑘+1 là véctơ cột thứ 𝑗 + 1 (0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘) của ma trận 𝐴−1 . Giả sử: 𝛼00 𝛼01 … 𝛼0𝑘 𝛼10 𝛼11 … 𝛼1𝑘 −1 −1 𝐴−1 ≔ [𝐴−1 0 , 𝐴1 , … , 𝐴𝑘 ] = [ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ]. 𝛼𝑘0 𝛼𝑘1 … 𝛼𝑘𝑘 Giả sử 𝐴𝑗 là véctơ cột thứ 𝑗 + 1 (0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘) của ma trận 𝐴, ta có 𝐴 = [𝐴0 , 𝐴1 , … , 𝐴𝑘 ] và (8) 𝐴𝐴𝑗−1 = 𝒆̂𝒋+𝟏 = (0, … ,0,1,0, … ,0)𝑇 ∈ ℝ𝑘+1 , ∀𝑗 = 0, … , 𝑘, 𝑘+1 mà chỉ có một thành với véctơ cột 𝒆̂𝒋+𝟏 là véctơ thứ 𝑗 + 1 trong cơ sở chính tắc của ℝ phần khác không là 1 ở vị trí thứ 𝑗 + 1. 3.2. Bậc ổn định dương của các phương pháp BDF k bước dạng khối liên tục Kết quả chính được trình bày trong Định lý 2. Trước hết, ta có kết quả sau: −1 ̂ 𝟏 = (1,0, … ,0)𝑇 ∈ ℝ𝑘+1 . Bổ đề 3. Với các véctơ cột xác định 𝐴−1 ở (8) thì ∑𝑘−1 𝑗=0 𝐴𝑗 = 𝒆 Chứng minh. Với mọi 𝑗 = 0, … , 𝑘 − 1, từ (8) ta có: 𝑘−1 ∑ 𝛼𝑖𝑗 𝐴𝑖 = 𝒆̂𝒋+𝟏 . 𝑖=0 𝑘−1 𝑘−1 ̂ 𝒋+𝟏 = (1,1, … ,1,0)𝑇 = 𝐴0 ∈ ℝ𝑘+1 . Từ đó ta được: Do đó, ∑𝑘−1 𝑗=0 (∑𝑖=0 𝛼𝑖𝑗 𝐴𝑖 ) = ∑𝑗=0 𝒆 𝑘−1 𝑘−1 𝑘−1 𝑗=0 𝑖=1 𝑗=0 ̂ = (0, … ,0)𝑇 ∈ ℝ𝑘+1 . (∑ 𝛼𝑖𝑗 − 1) 𝐴0 + ∑ (∑ 𝛼𝑖𝑗 ) 𝐴𝑖 = 𝟎 (9) Từ Bổ đề 2, vì 𝐴 khả nghịch, các véctơ cột của 𝐴 độc lập tuyến tính. Điều này làm cho đẳng thức (9) kéo theo: 𝑘−1 𝑘−1 𝑗=0 𝑗=0 −1 ̂ 𝟏. Tức là ∑𝑘−1 𝑗=0 𝐴𝑗 = 𝒆 http://jst.tnu.edu.vn ∑ 𝛼𝑖𝑗 = 1, ∑ 𝛼𝑖𝑗 = 0, ∀𝑖 = 1,2, … , 𝑘 − 1. ◻ 320 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 316 - 322 Định lý 2. Các phương pháp BDF 𝑘 bước dạng khối liên tục (3) với mọi 𝑘 ≥ 2 đều có bậc 𝑟 ≥ 0 thỏa mãn điều kiện (4). Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh (7) là đủ. Thật vậy, từ Bổ đề 3, ta có: 𝑘−1 ∑ 𝑗=0 𝐵𝐴𝑗−1 𝑘−1 = 𝐵 (∑ 𝐴𝑗−1 ) = 𝐵𝒆̂𝟏 = 𝒆𝒌 = (0, … ,0,1)𝑇 ∈ ℝ𝑘 . 𝑗=0 Điều này có được từ thực tế rằng cột véctơ đầu tiên của ma trận 𝐵 chính là 𝒆𝒌 . ◻ 3.3. Các hệ quả về mặt đại số Phần này, ta sẽ trình bày các kết quả về lớp các đa thức với hệ số đối xứng thu được từ chứng minh của Định lý 2. Lớp các đa thức bậc 𝒌 này là: 𝑃𝑗 (𝑥) = 𝛼0𝑗 + 𝛼1𝑗 𝑥+. . . +𝛼𝑘𝑗 𝑥 𝑘 , ∀𝑗 = 0, . . . , 𝑘, (10) thỏa mãn các điều kiện, với mọi 𝑗 = 0, … , 𝑘 − 1, 𝑃𝑗 (𝑡𝑠 ) = 0, ∀𝑠 = 0, . . . , 𝑘 − 1, 𝑠 ≠ 𝑗. 𝑃𝑗 (𝑡𝑗 ) = 1, (11) ′ 𝑃𝑗 (𝑡𝑘 ) = 0. 𝑃 (𝑡 ) = 0, ∀𝑠 = 0, … , 𝑘 − 1, (12) { 𝑘 𝑠 𝑃𝑘′ (𝑡𝑘 ) = 1. Kết quả sau đây cho ta cách biểu diễn dạng tường minh của họ các đa thức này. Định lý 3. Các đa thức cho bởi điều kiện (11) và (12) là: 𝑘−1 − ∑𝑘−1 𝑠=0 ∏ 𝑖=0, (𝑡𝑘 − 𝑡𝑖 ) 𝑘−1 ∏𝑖=0,𝑖≠𝑗(𝑥 − 𝑡𝑖 ) 𝑖≠𝑠,𝑖≠𝑗 𝑃𝑗 (𝑥) = 𝑘−1 , ∀𝑗 = 0, … , 𝑘 − 1, [𝜃𝑗 (𝑥 − 𝑡𝑗 ) + 1], 𝜃𝑗 = 𝑘−1 𝑘−1 ∑𝑠=0 ∏𝑖=0,𝑖≠𝑠(𝑡𝑘 − 𝑡𝑖 ) ∏𝑖=0,𝑖≠𝑗(𝑡𝑗 − 𝑡𝑖 ) ∏𝑘−1 𝑖=0 (𝑥 − 𝑡𝑖 ) . 𝑃𝑘 (𝑥) = 𝑘−1 𝑘−1 ∑𝑠=0 ∏𝑖=0,𝑖≠𝑠(𝑡𝑘 − 𝑡𝑖 ) { Định lý sau là hệ quả thu được từ Định lý 2. Kết quả này cho chúng ta những tính chất đẹp của các đa thức (11). Định lý 4. Các đa thức (10) thỏa mãn: 𝑘−1 𝑘−1 𝑗=0 𝑗=0 ∑ 𝑃𝑗 (𝑡𝑘 ) = 1, ∑ 𝑃𝑗′ (𝑡𝑠 ) = 0, ∀𝑠 = 1, … , 𝑘 − 1. Chứng minh. Từ định nghĩa (10) của các đa thức 𝑃𝑗 ta có, với mọi 𝑗 = 0, … , 𝑘 − 1, thành phần thứ 𝑠 của véctơ cột 𝐵𝐴𝑗−1 là 𝑃𝑗′ (𝑡𝑠 ), ∀ 𝑠 = 1, … , 𝑘 − 1, và thành phần thứ 𝑘 của véctơ cột 𝐵𝐴𝑗−1 là ′ 𝑃𝑗 (𝑡𝑘 ). Do đó, theo Định lý 2, ∑𝑘−1 𝑗=0 𝑃𝑗 (𝑡𝑠 ) = 0 là thành phần thứ 𝑠 (𝑠 = 0, … , 𝑘 − 1) của véctơ cột 𝑘−1 −1 −1 𝑘−1 ∑𝑘−1 ◻ 𝑗=0 𝐵𝐴𝑗 và ∑𝑗=0 𝑃𝑗 (𝑡𝑘 ) = 1 là thành phần thứ 𝑘 của véctơ ∑𝑗=0 𝐵𝐴𝑗 . 4. Kết luận Bài báo đã trình bày chứng minh chặt chẽ cho trường hợp 𝑘 bước tổng quát của họ các phương pháp BDF dạng khối liên tục. Các kết quả quan trọng này làm cơ sở lý thuyết tổng quan cho các phương pháp. Đồng thời các kết quả thu được ở [1] nhờ đó có thể mở rộng cho trường hợp 𝑘 ≥ 2 tổng quát, làm cho các phương pháp này càng thể hiện rõ ràng tính ưu việt. Ngoài ra, các kết quả này là cơ sở cho những sự cải tiến tiếp theo có thể được phát minh trong tương lai. http://jst.tnu.edu.vn 321 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(11): 316 - 322 Lời cám ơn Đề tài nhận được tài trợ kinh phí từ trường Đại học Kỹ thuật Công Nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ đáng quý này. TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] V. T. Dinh and T. T. H. Pham, “Constructing the implimentation to the continuous block BDF methods,” (in Vietnamese), TNU Journal of Science and Technology, vol. 204, no. 11, pp. 23-30, 2019. [2] O. A. Akinfenwa, S. N. Jator, and N. M. Yao, “Continuous block backward differentiation formula for solving stiff ordinary differential equations,” Computers & Mathematics with Applications, vol. 65, no. 7, pp. 996-1005, 2013. [3] O. A. Akinfenwa, S. N. Jator, and N. M. Yao, “On The Stability of Continuous Block Backward Differentiation Formula For Solving Stiff Ordinary Differential Equations,” J. of Mod. Meth. in Numer. Math., vol. 3, no. 2, pp. 50-58, 2012. [4] A. A. Izzati, S. A. M. Yatim, Z. Ibrahim, and Z. Nooraini, “High Order Block Method for Third Order ODEs,” Computers, Materials & Continua, vol. 67, pp. 1253-1267, 2021, doi: 10.32604/cmc.2021.014781. [5] A. Naghmeh, S. Mohamed, A. Neda, and H. Musa, “2-Point Block BDF Method with Off-Step Points for Solving Stiff ODEs,” Journal of Soft Computing and Applications, 2014, doi: 10.5899/2014/jsca00039. [6] A. A. Nasarudin, Z. B. Ibrahim, and H. Rosali, “On the Integration of Stiff ODEs Using Block Backward Differentiation Formulas of Order Six,” Symmetry, vol. 12, 2020, doi: 10.3390/sym12060952. http://jst.tnu.edu.vn 322 Email: jst@tnu.edu.vn