- TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Đề tài: Tích chập tích phân và ứng dụng Tên tác giả luận văn: Mai Minh Long Khóa: 2014B Người hướng dẫn: PGS.TS. - Nguyễn Xuân Thảo Nội dung tóm tắt: Phép biến đổi tích phân là một trong những vấn đề quan trọng của toán giải tích và được phát triển liên tục trong khoảng hai trăm năm gần đây. - Phép biến đổi tích phân đóng vai trò quan trọng trong toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt là trong việc giải các bài toán với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, và các bài toán của vật lý - toán. - Các phép biến đổi tích phân là những công cụ để chuyển các toán tử vi phân, toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân về toán tử đại số và đưa các hệ phương trình vi phân, tích phân về hệ phương trình đại số tuyến tính. - Những phép biến đổi tích phân phổ biến nhất, có ứng dụng lớn và ra đời sớm nhất là ba phép biến đổi tích phân Fourier. - Cùng với sự phát triển của lý thuyết các phép biến đổi tích phân, một hướng phát triển mới là tích chập của các phép biến đổi tích phân xuất hiện đầu thế kỷ 20. - Các tích chập được nghiên cứu đầu tiên đó là: Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier F của hai hàm f và g, tiếp đến là tích chập đối với các phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel và Stieltjes. - Các tích chập nói trên đều có cùng một thuộc tính đặc trưng đó là trong đẳng thức nhân tử hóa chỉ có duy nhất một phép biến đổi tích phân. - Điều này làm hạn chế cấu trúc và ứng dụng chúng vào giải các các phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập và các bài toán thực tế. - Xây dựng, nghiên cứu các tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng thực sự có ý nghĩa trong lý thuyết về các phép biến đổi tích phân, tích chập và phương trình vi, tích phân. - Vì vậy tôi đã chọn hướng nghiên cứu của luận văn là Tích chập tích phân và ứng dụng, cụ thể đi vào tích chập và tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev và ứng dụng chúng vào giải phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập. - Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày và nghiên cứu ba tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev và ứng dụng chúng để giải phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân dạng chập. - Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev và ứng dụng vào giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập. - Một số kiến thức cơ sở: Nhắc lại định nghĩa, các tính chất cơ bản của các phép biến đổi Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Kontorovich-Lebedev và một số ví dụ áp dụng các phép biến đổi này trong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. - Tích chập suy rộng Fourier: Trình bày định nghĩa và các tính chất của ba tích chập, tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier-cosine. - Tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev: Trình bày định nghĩa và một số tính chất của tích chập suy rộng mà đẳng thức nhân tử hóa có biến đổi Kontorovich-Lebedev, ứng dụng của tích chập này. - Các vấn đề này mở ra các hướng nghiên cứu mới về đa chập và ứng dụng của tích chập suy rộng Kontorovich-Lebedev trong các bài toán toán lý, có tiềm năng trở thành các đề tài nghiên cứu để tìm ra những ứng dụng hữu ích của nó.
Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn hoặc xem
Tóm tắt