Bài toán cân bằng: Một số phương pháp giải

- PHẠM THỊ THU BÀI TOÁN CÂN BẰNG: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN ỨNG DỤNG HÀ NỘI – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI.
- PHẠM THỊ THU BÀI TOÁN CÂN BẰNG: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: CB140958 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN ỨNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.
- Hà Nội, tháng 9 năm 2016 Phạm Thị Thu [iii] LỜI NÓI ĐẦU Bài toán cân bằng lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H.
- Isoda nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác.
- Đến năm 1972 bài toán này được xét đến dưới dạng một bất đẳng thức minimax bởi tác giả Ky Fan, người đã có nhiều đóng góp quan trọng cho bài toán, nên bài toán này còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan inequality).
- Bài toán này còn được sử dụng để thiết lập điểm cân bằng trong lý thuyết trò chơi (Game theory), bởi thế nó còn có tên gọi khác là Bài toán cân bằng (Equilibrium problem) theo cách gọi của tác giả L.
- Bài toán cân bằng được phát biểu như sau: Tìm điểm *xCsao cho f x y y C.
- ()EP trong đó C là tập lồi đóng, khác rỗng trong không gian n và :f C C là một ánh xạ thỏa mãn.
- 0f x x với mọi xC.
- Bài toán cân bằng khá đơn giản về mặt hình thức, tuy nhiên nó bao hàm được nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc các lĩnh vực khác nhau như bài tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác.
- Các nhà nghiên cứu cũng chỉ ra rằng, nhiều bài toán thực tế trong kinh tế và kỹ thuật có thể mô tả được dưới dạng bài toán cân bằng.
- Cho tới nay bài toán cân bằng đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.
- Hai hướng nghiên cứu chính về bài toán cân bằng nhận được sự quan tâm của các nhà toán học là nghiên cứu những vấn đề định tính như: Sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định.
- Đến nay đã có nhiều kết quả đạt được cho một số lớp bài toán cân [iv] bằng với các giả thiết lồi và đơn điệu của song hàm cân bằng, có thể kể tới một số phương pháp điển hình như: Phương pháp điểm gần kề, phương pháp bài toán cân bằng phụ, phương pháp đạo hàm tăng cường, phương pháp chiếu, phương pháp hàm chắn,… Mục đích của luận văn là giới thiệu những kiến thức cơ bản nhất về bài toán cân bằng cùng các trường hợp đặc biệt của nó.
- trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm, đặc trưng tập nghiệm của bài toán cân bằng và một số phương pháp cơ bản giải bài toán cân bằng đơn điệu và giả đơn điệu.
- Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, cấu trúc của luận văn gồm ba chương như sau: Chương 1 “Bài toán cân bằng và một số trường hợp đặc biệt” trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, cực trị hàm lồi,… làm cơ sở cho các phần trình bày trong các chương sau.
- bài toán cân bằng và một số trường hợp đặc biệt của bài toán cân bằng cũng được đề cập trong nội dung của chương này.
- Chương 2 “Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng” trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng cùng một số đặc trưng của tập nghiệm bài toán cân bằng.
- Chương 3 “Một số phương pháp giải bài toán cân bằng” trình bày hai phương pháp cơ bản tương ứng cho việc giải bài toán cân bằng bằng đơn điệu và giả đơn điệu đó là phương pháp bài toán cân bằng phụ và phương pháp đạo hàm tăng cường.
- iii Chương 1 Bài toán cân bằng và một số trường hợp đặc biệt.
- 1 1.1.1 Tập lồi và hàm lồi.
- 1 1.1.2 Tính liên tục của hàm lồi.
- 7 1.1.3 Dưới vi phân của hàm lồi.
- 8 1.1.4 Cực trị của hàm lồi.
- 9 1.2 Bài toán cân bằng và một số trường hợp đặc biệt.
- 14 1.2.1 Bài toán cân bằng.
- 14 1.2.2 Bài toán tối ưu.
- 15 1.2.3 Bài toán điểm bất động Kakutani.
- 16 1.2.4 Bài toán bù phi tuyến.
- 17 1.2.5 Bài toán bất đẳng thức biến phân.
- 18 1.2.6 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác.
- 19 Chương 2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
- 22 2.1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.
- 22 2.2 Đặc trưng tập nghiệm của bài toán cân bằng.
- 36 Chương 3 Một số phương pháp giải bài toán cân bằng.
- 40 3.1 Phương pháp bài toán cân bằng phụ.
- 40 3.1.1 Bài toán phụ cho bài toán cân bằng.
- 40 3.1.2 Phương pháp bài toán cân bằng phụ.
- 46 3.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường.
- 62 [vii] MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Tập các số tự nhiên Tập các số thực n Không gian Euclide n chiều ,xy Tích vô hướng của hai véc tơ x và y ,x x x Chuẩn của véc tơ x.
- )f x f x Đạo hàm của hàm f tại x ()fx Dưới vi phân của hàm f tại x f x x2.
- Dưới vi phân của hàm.
- )xf x y Đạo hàm của hàm.
- )yf x y Đạo hàm của hàm.
- Đồ thị hàm lồi.
- 7 1 Chương 1 Bài toán cân bằng và một số trường hợp đặc biệt Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, bài toán qui hoạch lồi,… Bài toán cân bằng và một số trường đặc biệt của bài toán cân bằng cũng được đề cập trong nội dung của chương này.
- 1.1 Kiến thức bổ trợ Mục này giới thiệu một số khái niệm và các kết quả của giải tích lồi như: Tập lồi và hàm lồi, dưới vi phân của hàm lồi, tính liên tục của hàm lồi, cực trị của hàm lồi.
- 1.1.1 Tập lồi và hàm lồi Cho hai điểm ,.nxy Đoạn thẳng nối x và y là tập các điểm có dạng z x y y x y.
- Tập nC  được gọi là tập lồi (convex set) nếu Cchứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó, tứclà x y C.
- Tập lồi đóng kín với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số và phép lấy tổ hợp tuyến tính, tức nếu A và B là hai tập lồi trong n thì các tập sau cũng là tập lồi.
- Bao lồi (convex hull) của tập nC  là giao của tất cả các tập lồi chứa C và được ký hiệu là conv .C Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa C.
- Cho nC  là một tập lồi và xC.
- Ta gọi f là i) Hàm lồi (Convex function) trên Cnếu với mọi 12,x x Cvà với mọi 0,1t.
- ii) Hàm lồi chặt (Strictly convex function) trên Cnếu với mọi x x C12,,xx12 và với mọi (0,1)t.
- iii) Hàm lồi mạnh (Strongly convex function) trên Cvới hệ số 0, nếu với mọi 12,x x Cvà với mọi (0,1)t.
- iv) Hàm lõm (Concave function) trên C nếu f là hàm lồi trên C.
- v) Hàm lõm chặt (Strictly concave function) nếu f là hàm lồi chặt trên C.
- Hình vẽ dưới đây biểu diễn đồ thị của hàm lồi, chỉ ra đồ thị luôn nằm dưới dây cung nối hai điểm bất kỳ của nó.
- Hình 1.2 Đồ thị của hàm lồi Cho hàm f xác định trên tập lồi nC.
- khi đó miền xác định hữu hiệu (Effective domain) của hàm f là tập  f x C f x.
- ;dom Trên đồ thị (Epigraph) của hàm f là tập  f x C f x.
- với mọi xf .dom Cho hàm số f xác định trên tập lồi mở .nC  5 Hàm f khả vi tại *xC nếu tồn tại các đạo hàm riêng của f theo mọi biến và với mọi nd.
- là véc tơ Gradient của hàm f tại *.x Hàm f khả vi hai lần tại *x nếu tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2 của f theo mọi biến và với mọi ,nd  d đủ nhỏ sao cho *,x d C ta có  2.
- là ma trận Hesse của hàm f tại *.x Các định lý sau đây cho ta điều kiện cần và đủ để nhận biết hàm lồi, lồi chặt.
- Cho f là hàm khả vi trên tập lồi mở .nC  Khi đó, f là hàm lồi trên C khi và chỉ khi.
- Cho f là hàm khả vi hai lần trên tập lồi mở .nC  Khi đó: i) Hàm f là hàm lồi trên C khi và chỉ khi ma trận Hesse 2()fx là nửa xác định dương trên ,C nghĩa là với mỗi ,xC 2.
- 6 ii) Hàm f là hàm lồi chặt trên C khi và chỉ khi ma trận Hesse 2()fx là xác định dương trên ,C nghĩa là với mỗi ,xC.
- Ta nói hàm f là i) Tựa lồi (Quasiconvex) trên Cnếu với mọi ,x y C và với mọi 0,1.
- ii) Tựa lồi nửa chặt (Semistrictly quasiconvex) trên Cnếu với mọi ,,x y C ta có.
- iii) Tựa lồi chặt (Strictly quasiconvex) trên Cnếu với mọi ,,x y C x y và vói mọi (0,1.
- Hình ảnh dưới đây minh họa đồ thị của hàm tựa lồi chặt.
- Hình 1.3 Đồ thị hàm tựa lồi chặt

Xem thử không khả dụng, vui lòng xem tại trang nguồn
hoặc xem Tóm tắt