TNU Journal of Science and Technology
225(15): 63 - 70
SỬ DỤNG TOÁN HỌC HÓA TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN LỚP 10
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Nguyễn Danh Nam*, Âu Minh Toán
Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên
TÓM TẮT
Bài viết phân tích nội hàm của khái niệm toán học hóa và mô hình hóa, trong đó mô hình hóa được
coi như là một giai đoạn của quá trình toán học hóa. Phương pháp nghiên cứu tài liệu thứ cấp và
phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn qua phiếu hỏi được sử dụng trong bài viết. Đối tượng tham
gia khảo sát là 553 học sinh và 136 giáo viên của 13 trường trung học phổ thông của tỉnh Thái
Nguyên. Nghiên cứu đã đánh giá thực trạng của việc sử dụng toán học hóa trong dạy học môn Toán
lớp 10 ở các trường trung học phổ thông, từ đó đưa ra một số ví dụ minh họa cho việc áp dụng các
giai đoạn của quá trình toán học hóa trong dạy học. Kết quả nghiên cứu cho thấy, sử dụng toán học
hóa trong dạy học giúp hình thành và phát triển các năng lực toán học cho học sinh, đặc biệt là năng
lực mô hình hóa toán học, góp phần tăng cường tính thực tiễn trong dạy học môn Toán.
Từ khóa: Toán học hóa; mô hình; mô hình hóa; dạy học toán; toán học trong thực tiễn.
Ngày nhận bài: 26/8/2020; Ngày hoàn thiện: 06/12/2020; Ngày đăng: 09/12/2020
USING MATHEMATISING IN TEACHING GRADE 10 MATHEMATICS
AT HIGH SCHOOLS
Nguyen Danh Nam*, Au Minh Toan
TNU - University of Education
ABSTRACT
The paper analyzes the nature of the concepts of mathematising and modeling, in which modeling
is considered as a phase of the mathematising process. The methods of studying documnents and
practical survey through questionnaire were used in this research. Participants of the survey were
553 students and 136 teachers at 13 high schools in Thai Nguyen province. The research has also
examined the current situation of using mathematising in teaching mathematics in grade 10,
thereby proposed some illustrative examples for the application of phases of the mathematising
process in teaching. The research results show that using mathematising in teaching helps to form
and develop students‟ mathematical competencies, especially mathematical modeling competency,
making a contribution to strengthen real-life mathematics at schools.
Keywords: mathematisation; model; modeling; teaching mathematics; realistic mathematics
education.
Received: 26/8/2020; Revised: 06/12/2020; Published: 09/12/2020
* Corresponding author. Email: danhnam.nguyen@tnue.edu.vn
http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn
63
Nguyễn Danh Nam và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
1. Đặt vấn đề
Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong
cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán
học cơ bản đã giúp con người giải quyết các
vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách có hệ
thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội
phát triển. Môn Toán ở trường phổ thông góp
phần hình thành và phát triển phẩm chất, năng
lực học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng
then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải
nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo
lập sự kết nối giữa các ý tưởng toán học, giữa
toán học với thực tiễn, giữa toán học với các
môn học khác, đặc biệt với các môn học
thuộc lĩnh vực giáo dục STEM. Nội dung
môn Toán thường mang tính lôgic, trừu tượng
và khái quát. Do đó, để hiểu và học được
toán, chương trình môn Toán ở trường phổ
thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến
thức và “vận dụng” kiến thức vào giải quyết
vấn đề cụ thể [1].
Đổi mới phương pháp dạy học, trong đó chú
trọng dạy học thông qua các hoạt động trải
nghiệm, những hoạt động mà ở đó học sinh
vận dụng kĩ năng và kiến thức để giải quyết
các vấn đề, tạo động lực cho người học tìm
tòi, khám phá, từ đó phát triển năng lực của
học sinh [2]. Một trong những năng lực được
nhiều quốc gia trên thế giới như Hoa Kỳ,
Singapore, Đức, Pháp,… cũng như Việt Nam
đang được chú trọng trong chương trình môn
Toán phổ thông đó là năng lực toán học hóa.
Năng lực này được hình thành và phát triển
thông qua quá trình học sinh tìm hiểu, khám
phá các tình huống có tính thực tiễn được xây
dựng trên các công cụ và ngôn ngữ toán học.
Toán học hóa giúp học sinh nhận biết và hiểu
được ý nghĩa, vai trò của toán học đối với đời
sống thực tế, phát triển khả năng phân tích
suy luận và giải quyết các vấn đề toán học,
phát triển tư duy phê phán và khả năng liên hệ
các kiến thức toán với các môn học khác.
Toán học hóa trong dạy học toán là quá trình
giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình
huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và
64
225(15): 63 - 70
ngôn ngữ toán học với sự hỗ trợ của công
nghệ thông tin. Quá trình này đòi hỏi học sinh
cần có các kĩ năng và thao tác tư duy toán học
như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát
hóa, trừu tượng hóa [3]. Ngoài ra, chương
trình PISA đánh giá học sinh quốc tế xác định
tám năng lực đặc trưng của toán học đó là: tư
duy và lập luận; suy luận và chứng minh
toán học; giao tiếp toán học; mô hình hóa;
nêu và giải quyết vấn đề; biểu diễn, sử dụng
kí hiệu và ngôn ngữ toán học; sử dụng công
cụ tính toán. Các năng lực trên cũng được đề
cập trong chương trình môn Toán phổ thông
2018 của Việt Nam nhằm giúp hình thành và
phát triển cho học sinh khả năng vận dụng tri
thức toán học để giải quyết những tình
huống nảy sinh từ thực tiễn cuộc sống [4],
[5]. Bài viết đề cập đến khái niệm toán học
hóa và mô hình hóa, từ đó làm rõ nội hàm và
mối quan hệ của hai khái niệm này trong dạy
học môn Toán.
2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Khái niệm mô hình hóa và toán học hóa
Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi
một vấn đề thực tế sang một vấn đề toán học
bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình
toán học, thể hiện và đánh giá lời giải trong
ngữ cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cách
giải quyết không thể chấp nhận. Mô hình hóa
toán học là một hoạt động phức tạp, bao gồm
sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo
cả hai chiều, vì vậy đòi hỏi học sinh phải có
nhiều năng lực khác nhau trong các lĩnh vực
toán học khác nhau cũng như có kiến thức
liên quan đến các tình huống thực tế được
xem xét [6]. Liên hệ mật thiết đến khái niệm
mô hình hóa và quá trình mô hình hóa toán
học đó là toán học hóa. Có nhiều quan điểm
khác nhau về khái niệm toán học hóa. Tuy
nhiên, có thể hiểu theo ba quan điểm sau đây:
Thứ nhất, Freudenthal quan niệm rằng “toán
học có quan hệ mật thiết với thực tế” và “toán
học là kết quả hoạt động của con người” [2],
[3]. Vì vậy, học toán không phải là tiếp nhận
http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn
Nguyễn Danh Nam và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
kiến thức có sẵn mà học toán là quá trình thiết
lập và giải quyết vấn đề xuất hiện từ thực tế
hay trong nội tại toán học để xây dựng lại
kiến thức toán và gọi quá trình đó là toán học
hóa (mathematisation). Nói cách khác, học
toán gắn với thực tiễn chính là thực hiện quá
trình toán học hóa vì sự liên hệ mật thiết giữa
toán học với thực tiễn cuộc sống.
Thứ hai, Treffer đã trình bày khái niệm này rõ
ràng hơn bằng cách phân biệt hai hình thức
khác nhau của toán học hóa đó là toán học
hóa theo chiều ngang và chiều dọc [3], [7].
Toán học hóa theo chiều ngang chỉ quá trình
mô tả một vấn đề thực tế theo ngôn ngữ toán
học để có thể giải quyết vấn đề đó với công
cụ toán học. Nói cách khác, đây là hoạt động
chuyển đổi từ thế giới thực vào thế giới toán
học. Toán học hóa theo chiều dọc là quá trình
xảy ra trong nội bộ thế giới toán học. Thông
qua quá trình này, học sinh đạt được một trình
độ toán học cao hơn. Trong quá trình mô hình
hóa, thực tế và toán học thường được xem
như hai thế giới riêng biệt và có một số bước
biến đổi giữa hai môi trường này cũng như
trong mỗi môi trường để giải quyết tình
huống đặt ra. Theo Blum và Leiß [3] thì bước
biến đổi từ mô hình thực tế sang mô hình toán
học trong quá trình mô hình hóa được gọi là
toán học hóa. Theo quan điểm này thì toán
học hóa là một giai đoạn của quá trình mô
hình hóa (Hình 1).
225(15): 63 - 70
chỉ cần chuyển đổi các đối tượng và quan hệ
ngoài toán thành các đối tượng và quan hệ
toán học, chuyển đổi câu hỏi đặt ra trong tình
huống thực tế sang câu hỏi toán học, mục tiêu
là biểu diễn mô hình thực tế bằng ngôn ngữ
toán học. Nói cách khác, toán học hóa theo
quan điểm này là một giai đoạn gắn liền với
quá trình mô hình hóa nhằm biểu diễn hoặc
giải thích mô hình thực tế bằng các phương
tiện và công cụ của toán học.
Thứ ba, trong chương trình đánh giá học sinh
quốc tế PISA, khái niệm toán học hóa được
mô tả là quá trình cơ bản mà học sinh sử dụng
các kiến thức, kĩ năng toán học tích lũy được
từ trường học cùng với kinh nghiệm sống để
giải quyết các vấn đề thực tế [8]-[10]. Quá
trình toán học hóa này bao gồm 5 bước: Bắt
đầu từ một vấn đề thực tế được đặt ra trong
thế giới thực; Nhận ra các kiến thức toán phù
hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo các
khái niệm toán học; Không ngừng cắt tỉa các
yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một bài
toán thể hiện trung thực cho tình huống; Giải
quyết bài toán; Làm cho lời giải của bài toán
có ý nghĩa đối với tình huống thực tế, xác
định những hạn chế của lời giải. Như vậy,
toán học hóa theo quan điểm của PISA là toàn
bộ quá trình mô hình hóa, hay nói cách khác
mô hình hóa là một giai đoạn của quá trình
toán học hóa. Trong bài viết này, chúng tôi đề
cập đến quan điểm thứ ba đó là toán học hóa
bao gồm cả quá trình mô hình hóa.
2.2. Các giai đoạn toán học hóa
Hình 1. Quá trình mô hình hóa [3]
Khi chuyển sang giai đoạn toán học hóa, tình
huống thực tế đã được lý tưởng hóa, học sinh
http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn
Trong quá trình toán học hóa, tình huống toán
học hóa đóng vai trò quan trọng trong việc
hình thành động cơ và nhu cầu nhận thức của
học sinh. Nó là tình huống tương ứng với mô
hình thực tế, chứa đựng những yếu tố quan
trọng của tình huống thực tế ban đầu, nhưng
đã được đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể
hóa, thêm các điều kiện, giả thiết phù hợp,
hạn chế những yếu tố không cần thiết cho
phép học sinh có thể sử dụng một số công cụ
và ngôn ngữ toán học để mô tả về tình huống
ban đầu. Có thể xây dựng được nhiều tình
65
Nguyễn Danh Nam và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
huống toán học hóa khác nhau cho cùng một
tình huống thực tế tùy thuộc vào kinh nghiệm,
kiến thức, mục đích và sự quan tâm của học
sinh [11]-[13]. Trong khuôn khổ bài báo này,
chúng tôi sử dụng quá trình toán học hóa gồm
các giai đoạn sau đây:
Giai đoạn 1 (Thiết lập mô hình toán): Chuyển
đổi từ tình huống toán học hóa sang mô hình
toán học: Học sinh xác định các thông tin cần
thiết, sử dụng các cấu trúc, biểu diễn, đặc
trưng toán liên quan để xây dựng tình huống
đã cho theo ngôn ngữ toán học. Quá trình này
bao gồm các hoạt động: Nhận ra các yếu tố
toán học và các biến quan trọng của tình
huống; Nhận ra các cấu trúc toán trong tình
huống như các quy tắc, các mối quan hệ toán
học; Phân biệt giữa các thông tin liên quan và
không liên quan đến yêu cầu của tình huống;
Sử dụng các biến, kí hiệu, sơ đồ, đồ thị, hình
vẽ phù hợp để biểu diễn tình huống một cách
toán học; Chuyển các đối tượng, dữ liệu, mối
quan hệ, điều kiện, giả thiết, yêu cầu của tình
huống sang ngôn ngữ toán; Thiết lập mô hình
toán từ tình huống toán học hóa.
Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Học sinh phân
tích, lựa chọn, sử dụng các công cụ toán học
phù hợp để giải quyết vấn đề đã được thiết lập
dưới dạng toán học và sản phẩm cuối cùng là
một kết quả toán. Quá trình này bao gồm các
hoạt động: Lựa chọn và thực hiện một
phương án giải; Sử dụng các công cụ toán học
như khái niệm, quy tắc, công thức, thuật toán
để tìm ra kết quả; Thực hiện các quá trình
toán học như: các phép toán số học, giải
phương trình, suy luận lôgic từ các giả thiết
toán học, lấy thông tin từ bảng và đồ thị, phân
tích dữ liệu; Sử dụng và chuyển đổi giữa các
biểu diễn khác nhau trong quá trình tìm lời
giải; Thiết lập các quy tắc, nhận ra các kết nối
giữa các đối tượng toán học, tạo ra các lập
luận toán học.
Giai đoạn 3 (Chuyển đổi kết quả bài toán
sang thực tế): Giải thích kết quả toán học
trong ngữ cảnh của tình huống ban đầu. Quá
trình này bao gồm các hoạt động: Nhận ra các
66
225(15): 63 - 70
yếu tố thực tế tương ứng với kết quả toán có
được; Hiểu được kết quả toán cho biết điều gì
về tình huống ban đầu; Cố gắng giải thích kết
quả toán theo ngôn ngữ thực tế thông thường;
Đôi khi, một câu trả lời đầy đủ đòi hỏi sử
dụng những lập luận để có được kết quả thực
tế phù hợp.
Giai đoạn 4 (Phản ánh): Học sinh phản ánh
quá trình toán học hóa và kết quả ngược trở
lại tình huống ban đầu để xác định tính hợp lý
và ý nghĩa của kết quả đối với tình huống.
Quá trình này bao gồm các hoạt động: Kiểm
tra tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả với
thông tin được cho ban đầu; Xem xét ảnh
hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả và
các tính toán của mô hình để điều chỉnh hay
áp dụng kết quả; Hiểu phạm vi và hạn chế của
mô hình toán, phương pháp giải cũng như
công cụ toán học được sử dụng trong quá
trình giải quyết tình huống; Giải thích tại sao
kết quả không phù hợp với tình huống được
cho, xem lại một số bước hoặc thực hiện lại
quá trình toán học hóa nếu kết quả không phù
hợp với tình huống; Tìm kiếm các khả năng
khác của tình huống (nếu có).
Như vậy, thông qua quá trình toán học hóa,
học sinh từng bước được làm quen, thích ứng
với việc sử dụng kiến thức toán đã học vào
giải quyết các tình huống toán học hóa đặt
trong ngữ cảnh thực tế ở mức độ vừa phải,
đồng thời tạo cơ sở cho việc thực hiện dạy
học toán học hóa ở những mức độ cao hơn.
2.3. Thực trạng sử dụng toán học hóa trong
dạy học môn Toán
Trước hết, có thể thấy chương trình môn Toán
phổ thông hiện hành chưa có nhiều tình
huống, bài tập thực tiễn để giúp học sinh sử
dụng toán học hóa trong giải quyết các bài
toán này. Thống kê số tình huống toán học
trong sách giáo khoa Toán 10 cơ bản và nâng
cao (chương trình hiện hành) cho thấy: số
lượng tình huống toán học (ban cơ bản có 264
tình huống; ban nâng cao có 567 tình huống);
tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế (ban cơ
bản có 28 tình huống; ban nâng cao có 46 tình
http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn
Nguyễn Danh Nam và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
huống) [12]. Thống kê tỷ lệ các tình huống
toán học trong sách giáo khoa và sách bài tập
Toán 10 ban nâng cao cũng cho thấy các tình
huống toán học hóa (sách giáo khoa là 0,53%;
sách bài tập là 0,96%); tình huống mô hình
hóa (sách giáo khoa là 7,58%; sách bài tập là
5,6%); tình huống toán học không đặt trong
ngữ cảnh thực tế (sách giáo khoa là 91,89%;
sách bài tập là 93,43%) [12]. Nhiều ví dụ, bài
tập mang tính chất thực tiễn cuộc sống và
khoa học được chọn lọc, đưa vào sách giáo
khoa chẳng hạn như những tình huống liên
quan đến xuất khẩu gạo, thuê xe taxi, khẩu
phần thức ăn, phối hợp vitamin, điểm thi, sĩ
số học sinh, chiều cao, cân nặng, mua máy
bơm nước, quỹ đạo tàu vũ trụ, cường độ dòng
điện, cường độ lực tổng hợp. Sử dụng các tình
huống thực tiễn để dẫn dắt học sinh đi đến
những khái niệm, kiến thức mới. Thông qua
các ví dụ thực tiễn để củng cố khái niệm,
công thức, quy tắc. Chỉ ra khả năng vận dụng
của kiến thức toán vào thực tiễn đời sống.
Kết quả khảo sát giáo viên và học sinh tại 13
trường trung học phổ thông của tỉnh Thái
Nguyên cho thấy: 92,6% giáo viên cho rằng
việc tăng cường sử dụng toán học hóa nhằm
phát triển năng lực vận dụng toán học trong
thực tiễn của học sinh là rất cần thiết; 89,7%
giáo viên cho rằng cần giới thiệu một số ứng
dụng toán học vào giải quyết các vấn đề trong
cuộc sống và việc cần thiết phải bổ sung các
ví dụ, bài tập có chứa tình huống thực tiễn
vào sách giáo khoa, sách bài tập môn Toán.
Tuy nhiên, kết quả khảo sát cho thấy chỉ có
18,4% giáo viên thường xuyên sưu tầm các
tình huống thực tiễn ngoài sách giáo khoa để
đưa vào bài giảng của mình, 62,5% giáo viên
sử dụng thêm các nguồn tài liệu tham khảo
trên mạng Internet, 39% giáo viên tham khảo
từ các sách tham khảo và 30% giáo viên sưu
tầm các tình huống trong sách giáo khoa của
các môn học khác. Qua thực tiễn dạy học cho
thấy 70% giáo viên cho rằng học sinh rất có
hứng thú khi được sử dụng toán học hóa để
giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn,
http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn
225(15): 63 - 70
75% giáo viên cho rằng các hoạt động sau
đây là rất cần thiết trong dạy học môn Toán:
(i) khai thác ví dụ và bài tập có nội dung thực
tiễn đã được trình bày trong sách giáo khoa,
sách bài tập; (ii) khai thác sâu (về phía giả
thiết hay kết luận) của các bài toán có nội
dung thực tiễn trong trong giảng dạy; (iii) đưa
ra những ví dụ ứng dụng của kiến thức đó vào
giải quyết vấn đề liên quan trong thực tiễn,
hoặc cho học sinh thấy được sự gắn kết của
toán học với thực tiễn khi dạy nội dung kiến
thức mới; (iv) yêu cầu học sinh sưu tầm các
tình huống, bài tập có nội dung thực tiễn liên
quan đến chủ đề đã học; (v) yêu cầu học sinh
xây dựng các bài tập có nội dung thực tiễn liên
quan đến kiến thức đã học. Kết quả khảo sát
cũng cho thấy 69,6% học sinh chỉ thỉnh thoảng
có tìm hiểu và giải bài toán có nội dung thực
tiễn, trong khi đó 22,8% học sinh chưa bao giờ
sử dụng toán học hóa trong giải các bài toán
này, tuy nhiên có 40,1% học sinh cho rằng các
em thấy có hứng thú khi tìm hiểu và giải các
bài toán có nội dung thực tiễn.
2.4. Sử dụng toán học hóa trong dạy học
môn Toán
Thông qua việc giải bài toán có nội dung thực
tiễn, cần làm rõ quá trình toán học hóa bài
toán nhằm giúp học sinh thấy được cách thức
xây dựng bài toán có nội dung thực tiễn. Các
ví dụ dưới đây minh họa các giai đoạn của
quá trình toán học hóa trong giải quyết các
bài toán thực tiễn.
Ví dụ 1 [12]. Một cầu thang nhà ở được thiết
kế an toàn khi mỗi bậc có chiều cao tối đa là
19 cm và chiều sâu tối thiểu là 25 cm. Hãy
thiết kế một cầu thang an toàn đi từ tầng 1 lên
tầng 2 của ngôi nhà có khoảng cách giữa hai
sàn là 2,8 m và chiều dài cầu thang là 3,6 m
bằng cách chỉ ra số bậc, chiều cao và chiều
sâu của mỗi bậc (Hình 2).
Giải.
Thiết lập mô hình toán học: Gọi n là số bậc
cầu thang (n nguyên dương), y là chiều cao
bậc và x là chiều sâu bậc. Khi đó, tùy thuộc
67
Nguyễn Danh Nam và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
225(15): 63 - 70
vào số biến ta chọn mà mô hình toán sẽ là
những hệ bất phương trình khác nhau.
nguyên dương nên từ hai bất phương
Do
. Khi đó, chiều
trình (1) và (2) suy ra
cao bậc
cm và chiều sâu bậc
cm.
Hình 2. Thiết kế mô hình cầu thang
, ta có hệ
Trường hợp 3 biến
Trường hợp 2 biến
, ta có hệ
Trường hợp 1 biến
trình bậc nhất một ẩn
, ta có hệ bất phương
Giải bài toán: Cả ba hệ trên đều có thể biến đổi
để đưa về hệ phương trình bậc nhất một ẩn:
Chuyển đổi kết quả bài toán sang thực tế:
Cầu thang có thể được thiết kế với 15 bậc,
chiều cao bằng 18,7 cm và chiều sâu của bậc
là 25,7 cm.
Phản ánh: Trong thực tế, không phải khi nào
yếu tố an toàn của cầu thang cũng được tính
đến, vì thiết kế cầu thang còn phụ thuộc vào
không gian của ngôi nhà. Ngoài ra, theo văn
hóa, phong tục ở Việt Nam, người ta quan
niệm số bậc cầu thang phải lẻ hoặc số bậc
phải rơi vào trực Sinh, trực Lão thì mới tốt.
Ví dụ 2 [4]. Gia đình bạn Minh ở Hà Nội có
kế hoạch thuê xe taxi về thăm quê nội và quê
ngoại (không đi, về trong ngày). Quê nội cách
nhà 40 km, quê ngoại cách nhà 95 km. Qua
tìm hiểu, bạn Minh biết được bảng giá của hai
hãng taxi có uy tín (Hình 3) và quyết định
chọn lựa chỉ đi một trong hai hãng taxi đó là
Mai Linh hoặc Taxi Group. Hãy đưa ra lời
khuyên cho bạn Minh để lựa chọn hãng taxi
với chi phí thấp nhất.
Hình 3. Bảng giá taxi của hãng Mai Linh và hãng Taxi Group
Giải. Sau đây là bảng thống kê tính giá cước đi một chiều của hai hãng taxi (đơn vị tính: đồng).
10.500 (cho 0,7 km)
Tiếp theo
đến km 30
14.800
Từ km 31
trở đi
12.200
3.000 đồng/mỗi 5 phút
14.000 (cho 0,506 km)
14.900
11.700
2.000 đồng/mỗi 6 phút
Hãng taxi
Giá mở cửa
Mai Linh
Taxi Group
68
Phí chờ
http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn
Nguyễn Danh Nam và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
Kinh phí phải trả taxi một chiều về quê nội là:
- Số tiền phải trả khi đi hãng Mai Linh là:
10500 + 29,3×14800 + 10×12,200
= 566140 (đồng)
- Số tiền phải trả khi đi hãng Taxi Group là:
14000 + 29,494×14900 + 10×11700
= 570460 (đồng)
Vì cước phí cầu phà (nếu có) là như nhau nên
bạn Minh nên chọn hãng taxi Mai Linh.
Kinh phí phải trả taxi một chiều về quê ngoại là:
- Số tiền phải trả khi đi hãng Mai Linh là:
10500 + 29,3×14800 + 65×12200
= 1237140 (đồng).
- Số tiền phải trả khi đi hãng Taxi Group là:
14000 + 29,494×14900 + 65×11700
= 1213961 (đồng).
Vì cước phí cầu phà (nếu có) là như nhau nên
bạn Minh nên chọn hãng Taxi Group. Như
vậy, có thể thấy lúc thì chọn hãng này, có lúc
lại chọn hãng kia. Câu hỏi tự nhiên đặt ra cho
học sinh là khi nào thì bạn Minh nên chọn
hãng nào?
Thiết lập mô hình toán học:
- Số tiền phải trả khi đi hãng Mai Linh là:
10500 + 29,3 × 14800 + x ×12200
= 1237140 (đồng).
- Số tiền phải trả khi đi hãng Taxi Group là:
14000 + 29,494 × 14900 + x × 11700
= 1213961 (đồng).
Giải bài toán:
Khi đó, ta sẽ tìm xem với điều kiện nào thì
giá tiền đi bằng hãng Mai Linh lớn hơn đi
bằng hãng Taxi Group. Tức là ta có bất
phương trình:
444140 + 12200x > 453461 + 11700x
500x > 9321 x > 18,64
Chuyển đổi kết quả bài toán sang thực tế:
Nếu bạn Minh đi về quê xa khoảng từ 30 +
18,64 = 48,64 km trở lên thì nên đi bằng hãng
Taxi Group vì phải trả ít tiền hơn, còn nếu đi
http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn
225(15): 63 - 70
về quê khoảng 48 km trở xuống đến 30 km thì
nên đi bằng hãng taxi Mai Linh.
Phản ánh: Giáo viên có thể hướng dẫn học
sinh tiếp tục đặt ra các tình huống để khai
thác thêm bài toán, ví dụ như: Trên đường về
quê ngoại thì phải đi qua quê nội, gia đình ở
thăm quê nội 5 giờ sau đó về quê ngoại? Gia
đình bạn Minh đi và về trong ngày? Hình
thức thanh toán có đa dạng? Đối với các tình
huống này, học sinh phải tính thêm kinh phí
xe taxi chờ, ưu đãi nếu về ngay trong ngày.
Các ví dụ trên cho thấy rằng sử dụng quá
trình toán học hóa trong hướng dẫn học sinh
giải quyết các bài toán thực tiễn giúp phát
triển năng lực toán học cho học sinh, cụ thể:
thông qua biểu diễn các khoản tiền phải chi
trả thông qua số km đi bằng biểu thức; so
sánh hai biểu thức bậc nhất một ẩn (tức là giải
bất phương trình bậc nhất một ẩn); sử dụng kết
quả giải bất phương trình bậc nhất một ẩn để
đưa ra câu trả lời cho tình huống thực tiễn. Qua
đó, có thể thấy thông qua quá trình toán học
hóa, giáo viên có cơ hội phát triển cho học sinh
các năng lực như: năng lực toán học hoá, năng
lực giải toán và năng lực chuyển từ kết quả
giải toán về giải quyết vấn đề thực tiễn.
Kết quả nghiên cứu cũng cho thấy học sinh
thực hiện tốt bước giải toán và trả lời yêu cầu
của tình huống sau khi có kết quả toán. Tuy
nhiên, nhiều học sinh chưa thực hiện được
bước phản ánh, nghĩa là đối chiếu kết quả lời
giải của bài toán với tình huống trong thực
tiễn, suy xét để điều chỉnh thực tiễn. Như vậy,
phần lớn học sinh đã nắm được ba trong bốn
bước của quá trình toán học hóa, bảo đảm thứ
tự của các bước nhưng chưa nhận ra được
tính “quy trình” trong giải quyết tình huống
toán học hóa, nghĩa là phải thường xuyên đối
chiếu với tính đúng đắn trong thực tiễn để
thay đổi các điều kiện của bài toán hoặc thậm
chí điều chỉnh mô hình toán học để đảm bảo
tính tối ưu của lời giải bài toán và đưa ra lời
giải của bài toán phù hợp với thực tiễn.
69
Nguyễn Danh Nam và Đtg
Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ ĐHTN
3. Kết luận
Thông qua quá trình toán học hóa, học sinh
được luyện tập giải bài toán theo bốn bước
của quá trình toán học hóa, từ việc chuyển
tình huống thực tiễn sang tình huống toán
học, mô hình bài toán để thiết lập mô hình,
giải bài toán và chuyển đổi kết quả của bài
toán sang kết quả thực tế. Kết quả nghiên cứu
cho thấy, nhiều học sinh còn gặp khó khăn
khi thực hiện một trong các bước trên. Tuy
nhiên, sử dụng quá trình toán học hóa trong
dạy học môn Toán góp phần hình thành và
phát triển các năng lực toán học cho học sinh,
đặc biệt là năng lực mô hình hóa, năng lực
giải quyết vấn đề toán học và năng lực vận
dụng toán học vào thực tiễn. Vì vậy, giáo viên
cần tăng cường sử dụng các bài toán gắn với
tình huống thực tiễn, xây dựng các tình huống
toán học hóa trong dạy học khái niệm, dạy
học định lý và dạy học giải bài tập toán học.
TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES
[1]. A. Bessot, and T. N. Nguyen, “Mathematical
modeling of variations in teaching thanks to
dynamic geometry - Mira research project,”
(in Vietnamese), Journal of Science, Ho Chi
Minh City University of Education, vol. 85,
pp. 55-63, 2011.
[2]. W. Blum, and D. Leiss, “How do students and
teachers deal with mathematical modelling
problems? The example „Sugarloaf‟,” in
Mathematical modelling (ICTMA 12):
Education, engineering and economics, C.
Haines, P. Galbraith, W. Blum, and S. Khan
eds. Chichester: Horwood Publishing, 2007,
pp. 222-231.
[3]. W. Blum, P. Galbraith, and M. Niss,
Introduction: Modelling and applications in
mathematics education. Springer, 2007, pp.
3-32.
[4]. X. T. Ha, and S. N. Pham, “Designing
exercises with real life situations in teaching
mathematics at schools,” (in Vietnamese),
Journal of Educational Science, vol. 111, pp.
11-12, 2014.
70
225(15): 63 - 70
[5]. D. N. Nguyen, “Modeling method in teaching
mathematics at high schools,” in Proceeding
of the conference for young lecturers’ in the
universities of education, Danang: Danang
Publishing House, 2013, pp. 512-516.
[6]. G. Kaiser, “Modelling and modelling
competencies in school,” in Mathematical
modelling
(ICTMA
12):
Education,
engineering and economics, C. Haines, P.
Galbraith, W. Blum, and S. Khan eds.
Chichester: Horwood Publishing, 2007, pp.
110-119.
[7]. G. Stillman, P. Galbraith, J. Brown, and I.
Edwards, “A framework for success in
implementing mathematical modelling in the
secondary
classroom,”
Mathematics:
Essential Research, Essential Practice, vol. 2,
pp. 688-697, 2007.
[8]. D. N. Nguyen, “Modelling in Vietnamese
school mathematics,” International Journal of
Learning,
Teaching
and
Educational
Research, vol. 15, no. 06, pp. 114-126, 2016.
[9]. D. N. Nguyen, “The process of modeling in
teaching mathematics at high schools,” (in
Vietnamese), VNU Journal of Science,
Educational Research, vol. 31, no. 3, pp. 0110, 2015.
[10]. Ministry of Education and Training,
“Circular No.32/2018/TT-BGDĐT dated on
26/12/2018 of Minister of Ministry of
Education and Training on promulating
general
education
curriculum,”
(in
Vietnamese), Hanoi, 2018.
[11]. T. T. A. Nguyen, “Building teaching
situations to support mathematising process,”
(in Vietnamese), Journal of Science, Ho Chi
Minh City University of Education, vol. 48,
no. 82, pp. 5-13, 2013.
[12]. T. T. A. Nguyen, “Using mathematising in
teaching probability at schools,” (in
Vietnamese), Journal of Science, Hanoi
National University of Education, vol. 58, pp.
18-27, 2013.
[13]. T. T. A. Nguyen, “Building a rubric to
measure quantitative literacy competencies of
students when they face with mathematisation
situations,” (in Vietnamese), Journal of
Science and Education, Hue University of
Education, vol. 1, pp.5-15, 2014.
http://jst.tnu.edu.vn; Email: jst@tnu.edu.vn