http://thayquocvuong.com Các hướng tiếp cận một bài toán hình giải tích phẳng Hình giải tích phẳng là một nội dung thường được đề cập đến trong các kì thi, qua quan sát thầy thấy rất nhiều học sinh gặp kho khăn trong việc học nội dung này một phần do các em nắm chưa chắc kiến thức , một phần do bài toán hình học phẳng thường gắn với tam giác, tứ giác, đường tròn khi làm bài các em chưa vận dụng được tính chất của tam giác, tứ giác, đường tròn vào trong quá trình giải. Sau đây thầy hướng dẫn một số cách tiếp cận một bài toán hình học phẳng, thầy hy vọng qua ví dụ này các em rút ra được một phương pháp cho riêng mình. Ví dụ (ĐH D-2012): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ oxy cho hình chữ nhật ABCD; các 1 đường thẳng AC và AD lần lượt có PT x+ 3y=0 và x-y+4=0, đường thẳng BD đi qua (− , 1). 3 Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD? Giải: Nhận xét: Bài này yêu cầu tìm tọa độ điểm nên trước tiên các em phải nghĩ đến một trong hai hướng sau : Hướng thứ nhất là viết hai PT đường thẳng cùng qua điểm cần tìm tọa độ rồi giải hệ. Hướng thứ hai là gọi tọa độ điểm đó ra rồi đi lập hệ PT để giải. Trên cơ sở đó ta có các cách giải sau: Cách 1: +3 =0 ↔ − +4=0 +Tọa độ điểm A : → ( −3, 1) A = −3 A =1 B I =( , ) +Gọi VTPT của BD là B (a, b không đồng thời bằng 0) *M PT BD có dạng: + 1 3 −1 =0 + D = 1, −1 ; Từ giả thiết có C = (1,3) Theo tính chất hình chữ nhật ta có: ↔ cos = ↔ 1−3 2 10 = 2 − 2+ 2 , ↔2 = cos 2 + 2 , = 10 ↔ − 1 . ↔3 = 2 − 10 . +3 2 =3 =0↔[ 3 = http://thayquocvuong.com Với a=3b thay vào PT BD: 3 + Với 3a=b thay vào PT BD : + Vậy: PT BD là 3 + +Tọa độ điểm D: +Tọa độ điểm I: 1 3 1 3 −1 =0 ↔3 + + −1 =0 ↔ +3 =0 − +4 =0 ↔ 3 + =0 3 + =0 ↔ +3 =0 = −1 → =3 =0 8 + 3 − = 0 → BD//AC (loại). 3 (−1, 3) =0 → �(0,0) =0 + Vì I là trung điểm AC và BD áp dụng CT trung điểm ta được C(3,-1), B(1,-3). Cách 2: +Tọa độ điểm A : = −3 (a là tham số) = +PT tham số của AC: Vì � ∈ nên I(-3a, a). +PT tham số AD: ∈ Vì = −3 → ( −3, 1) =1 +3 =0 ↔ − +4=0 = = +4 (b là tham số) nên D(b,b+4) + Có D,M, I thẳng hàng nên: 1 3 −3 + 1 + 3 = −1 +3 ↔3 +7 − +Mặt khác theo tính chất hình chữ nhật: IA=ID ↔� ↔ 2 2 =� +2 2 ↔ −3 + 3 2 + −1 2 = 3 + 2 + + 6 + 4 + 3 = 0 (2) − 1 = 0 (1) − − 2 Từ (1) và (2) ta được hệ PT giải hệ PT bằng cách từ PT(1) rút a thay vào (2) ta được: b= -1, a=0 Vậy I(0, 0) ; D(-1, 3) ; Vì I là trung điểm AC, BD nên áp dụng CT trung điểm ta được C(3, -1), B(1, -3). Cách 3: +Tọa độ điểm A : +3 =0 ↔ − +4=0 = −3 → ( −3, 1) =1 2 http://thayquocvuong.com +Gọi d là đường thẳng qua M //AC = 1,3 → Có = (1, 3) A B PT đường thẳng d: 1 −1 =0 +3 1 + ↔ +3 − =0 3 8 I N 3 Gọi N, P lần lượt là giao điểm của d với M AD, DC. D Tọa độ N: − +4 =0 8 +3 − =0 3 =− ↔ = 3 3 − = 3 1= 7 3 − + 2 = ↔ 5 + 3 2 = +PT đường thẳng DC qua P và vuông góc với AD → 1 − 5 3 +1 +Tọa độ D: +Tọa độ C: + − − 1 3 =0↔ −2=0 ↔ +4=0 + −2 =0 ↔ +3 =0 + I là trung điểm AC nên I(0, 0) + −2=0 = −1 → =3 5 3 1 3 5 1 → ( , ) 3 3 = 1, −1 = (−1, 3) =3 → (3, −1) = −1 Mà I lại là trung điểm BD nên áp dụng CT trung điểm ta được B(1, -3). Cách 4: +Tọa độ điểm A : +PT tham số AD: = −3 → ( −3, 1) =1 +3 =0 ↔ − +4=0 = = + 4 (a là tham số) Vì D thuộc AD nên D(a,a+4) → C 5 1 Vì M là trung điểm của NP nên P 7 = 1 = ( + , + 3) 3 3 → = (1,1) http://thayquocvuong.com 1 =− + Suy ra PT tham số MD: + 3 =1+ 1 3 +3 = 1, −1 = +Có AB qua A vuông góc với AD nên PT: 1 −1 =0↔ +3 +1 1 =− + 3 +Tọa độ B: + + → +2=0 = (1,1) 1 3 ↔ =− =1+ +3 + +2 =0 4 3 +5 , = + I là trung điểm BD áp dụng CT trung điểm ta có �( −5 −3 , 3 +5 3 2 −3 2 3 +5 , = − −7 → ( 3 +5 3 2 +16 +13 2 3 +5 −5 −3 − −7 3 +5 , 3 +5 ) Vì I thuộc AC nên thay tọa độ vào PT x+3y=0 thỏa mãn: 3 2 −3 2 3 +5 + 3. 3 2 +16 +13 =0↔ 2 3 +5 2 Với a=-1 suy ra D(-1,3 ) , B(1, -3) = −1 = −3 +4 +3 =0 ↔ [ Với a=-3 suy ra D(-3,1) , B(-3,1) ( Loại vì B trùng với D) Khi đó I(0,0); I là trung điểm AC áp dụng CT trung điểm suy ra C(3,-1). Cách 5: +Tọa độ điểm A : A = −3 → ( −3, 1) =1 +3 =0 ↔ − +4 =0 +Kẻ MN//AD N Có MN đi qua M và có 1 ↔ + − 1 3 P Q = (1, −1) suy ra PT: = −1 4 +3 =0 − 4 D + =0 3 ↔ II M −1 =0 + =0 3 + Tọa độ N: B = −1 1 = → 1 (−1, ) 3 3 4 C ) http://thayquocvuong.com 2 2 + Gọi d là đường trung trực MN , d đi qua trung điểm P của MN: (− , 3 ) , = 3 1, −1 → PT d: 1 = = (1,1) + 2 3 +1 − 2 3 =0↔ + Tọa độ giao điểm Q của d và AD: + =0 + − =0 ↔ +4 =0 = −2 → (−2,2) =2 Vì theo tính chất hình chữ nhật tam giác AID cân tại I nên d đi qua I và Q là trung điểm AD Suy ra tọa độ Q: + =0 ↔ +3 =0 =0 → �(0,0) =0 + Q là trung diểm AD áp dụng CT trung điểm suy ra: D(-1,3) Mà I là trung điểm AC, BD áp dụng CT trung điểm ta được C(3, -1), B(1, -3). Nhận xét: Với cách 1 các em cần phải nắm chắc bài toán viết PT đường thẳng đi qua một điểm và tạo với một đường thẳng cho trước một góc �, đồng thời phải khai thác được tính chất hình chữ nhật 2 góc bằng nhau. Cách 2 thiên nhiều về đại số các em dễ tư duy nhưng gặp khó khăn trong bước giải hệ PT tìm a, b. Cách 3 tư duy tính toán đơn giản nhưng các em phải khai thác được hình vẽ. Cách 4 lối tư duy đơn giản nhưng các em cần kiên trì tính toán các phép toán. Cách 5 lối tư duy tương tự cách 3 các em cần khai thác triệt để tính chất hình vẽ. Bài tập áp dụng: 1) (ĐH A-2012): Trong mặt phẳng với hệ trục oxy cho hình vuông ABCD, gọi M là trung điểm của BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho =2 . Giả sử 11 1 ( , ) và đường 2 2 thẳng AN: 2x-y-3=0. Tìm tọa độ điểm A. 2) (ĐH D-2010): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ oxy cho tam giác ABC biết A(3, -7), trực tâm H(3, -1) tâm đường tròn ngoại tiêp tam giác là I(-2, 0). Xác định tọa độ C biết C có hoành độ dương. 5