Chương 3 GIẢI TÍCH MA TRẬN VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 3.1 GIẢI TÍCH MA TRẬN

- Chương 3 GIẢI TÍCH MA TRẬN VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 3.1 GIẢI TÍCH MA TRẬN Để các bạn làm quen với các công cụ của Matlab trong đại số tuyến tính, trước hết chúng tôi cần nhắc lại một số khái niệm về ma trận và các phép toán trên ma trận.
- 3.1.1 Chuyển vị ma trận Cho ma trận A=(aij)mxn.
- Ma trận chuyển vị của A là ma trận A' =(a'ij)nxm sao cho a'ij=aji.
- Nếu A’=A thì A được gọi là một ma trận đối xứng.
- Định thức của ma trận vuông Cho ma trận vuông A cấp n .
- Ta gọi ma trận con của ma trận A tương ứng với phần tử a ij là ma trận vuông cấp n-1 suy từ A bằng cách bỏ đi các phần tử hàng i và cột j .
- Sau đây là ma trận A và các ma trận con M23 và M12 tương ứng với các phần tử a23 và a12 của nó.
- Định thức của ma trận A vuông cấp n, gọi là định thức cấp n, được định nghĩa theo phương pháp qui nạp như sau.
- Nếu A là ma trận cấp 1 hay A=(a11), thì det(A)=a11.
- Nếu A là ma trận cấp 2 hay A.
- Tổng quát: Nếu A là ma trận cấp n≥2 thì det( A.
- (3.1) j 1 Để tính định thức của ma trận cấp n theo công thức qui nạp, ta phải tính n định thức cấp n-1.
- Do đó số phép tính để tính định thức của ma trận cấp n sẽ tăng theo tốc độ của n!.
- 3.1.3 Ma trận trận nghịch đảo Giả sử A là ma trận vuông cấp n.
- Nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB=BA=E (E là ma trận đơn vị cấp n) thì A được gọi là ma trận khả nghịch.
- Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và được kí hiệu là B =A-1 .
- Chỉ ma trận có định thức khác không (hay ma trận không suy biến) mới khả nghịch đảo và ma trận nghịch đảo của A có thể tính được bằng công thức.
- 1n c2 n trong đó C=(cij)nxn, với cij=(-1)i+jdet(Mij) gọi là phần phụ đại số của phần tử a ij của ma trận A.
- j 1 i 1 Với công thức trên, để tính ma trận nghịch đảo của ma trận cấp n thì cần phải tính n 2 định thức cấp n-1.
- Sau đây là một số các hàm ma trận và vector trong Matlab: 63 Bảng 3-1 Một số hàm ma trận và vector trong Matlab Hàm Ý nghĩa inv(A) Tính ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A.
- det(A) Tính định thức của ma trận vuông A.
- A' hoặc A.' Tạo ma trận chuyển vị của ma trận A.
- trace(A) Hàm vết của ma trận hay tổng các phần tử trên đường chéo của ma trận A.
- rank(A) Tính hạng của ma trận A.
- Nếu x là ma trận thì kết quả là vector hàng gồm giá trị min của các cột.
- Nếu x là ma trận thì kết quả là vector hàng gồm giá trị max của các cột.
- mean(x) Tính giá trị trung bình của các phần tử của vector x.
- Nếu x là ma trận thì kết quả là vector hàng gồm giá trị trung bình của các cột.
- [y,k]=sort(x) Sắp xếp lại các phần tử của x theo thứ tự tăng dần, kết quả trả cho vector y.
- Vector k là vector số thứ tự cũ trong x của các phần tử trong y.
- Nếu x là ma trận thì các cột của x được sắp xếp tăng dần.
- sum(x) Tính tổng các phần tử của vector x.
- Nếu x là một ma trận thì kết quả là 1 vector hàng, mà mỗi phần tử của vector là tổng các phần tử của một cột tương ứng.
- cumsum(x) Cộng dồn các phần tử của vector x.
- prod(x) Tính tích các phần tử của vector x.
- Nếu x là một ma trận thì kết quả là 1 vector hàng, mà mỗi phần tử của vector là tích các phần tử của một cột tương ứng.
- cumprod Nhân dồn các phần tử của vector x.
- [M,k]=max(x) M = 65 5 k= 7 Chú ý k là vị trí đầu tiên của phần tử đạt max trong x.Tương tự ta có.
- Từ đó có 3 loại chuẩn của ma trận tương thích với chuẩn vector.
- Cho A là một ma trận vuông A.
- với  j là các trị riêng của ma trận đối xứng ATA.
- j còn được gọi là các trị kì dị (single value) của ma trận A.
- Các chuẩn của ma trận cũng thỏa mãn các tính chất 1)-3) của chuẩn vector.
- Ngoài ra, giữa chuẩn loại p=0,1,2 của vector và chuẩn loại tương ứng của ma trận thoả mãn tính chất sau: Ax p  A p x p .
- Bất đẳng thức trên gọi là tính tương thích của chuẩn ma trận đối với chuẩn vector.
- Để tính các tích vô hướng và các chuẩn ma trận và chuẩn vector trong Matlab có thể làm như sau: 68.
- Hàm NORM tính chuẩn loại p của ma trận và vector V.
- Nếu V là một ma trận thì p chỉ có thể 1, 2, inf hoặc 'fro' và norm (V.
- 3.1.6 Phân loại ma trận Khi nghiên cứu các bài toán trong đại số tuyến tính, người ta thường chia ma trận thành 2 loại.
- Ma trận lưu trữ được: Các ma trận mà các phần tử của chúng có thể lưu trữ và xử lí được trong bộ nhớ của MTĐT.
- Kích thước của các ma trận này thường không lớn lắm n = 0(103.
- Ma trận thưa: Ma trận có kích thước rất lớn, nhưng phần lớn các phần tử của chúng đều bằng 0 hoặc ma trận có phần tử không cần lưu trữ mà có thể tính được bằng qui tắc nào đó.
- Một ma trận thưa có dạng 3 đường chéo: 4 1 0 0.
- 3.1.7 Số điều kiện của ma trận Giả sử .
- là một chuẩn nào đó của vector và ma trận và A là một ma trận vuông.
- A -1 .được gọi là số điều kiện của ma trận A và được ký m hiệu là cond(A).
- Ma trận A được gọi là ma trận có số điều kiện xấu (ill-conditioned-matrix ) nếu cond(A)>>1.
- Vì vậy việc giải gần đúng một hệ phương trình với ma trận hệ số A có số điều kiện xấu rất kém ổn định.
- Số điều kiện của ma trận có các tính chất: i) cond(A.
- ii) Nếu A là ma trận trực giao (tức là A'=A-1) thì con(A)=1.
- Giả sử A=diag 0,11 , khi đó det(A)=10-100 nên A là ma trận gần suy biến.
- Tuy nhiên do A=0,1E nên A là ma trận có số điều kiện rất tốt và hệ phương trình Ax=1 dễ dàng giải được một cách chính xác là: xi =10, i  1,100.
- Hàm COND tính số điều kiện của ma trận A theo chuẩn loại p