- ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 15 tháng 11 năm 2004 Hạng Của Ma Trận Cùng với định thức, ma trận (đặc biệt là hạng của ma trận) là các công cụ cơ bản để giải quyết các bài toán về hệ phương trình tuyến tính nói riêng và đại số tuyến tính nói chung. - Bài viết này sẽ giới thiệu định nghĩa, các tính chất cơ bản của hạng ma trận, và hai phương pháp cơ bản để tính hạng của ma trận. - 1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản Trước hết, cần nhớ lại khái niệm định thức con cấp k của một ma trận. - Cho A là ma trận cấp m × n. - Các phần tử thuộc giao của k dòng, k cột này tạo thành ma trận vuông cấp k, gọi là ma trận con cấp k của ma trận A. - Định thức của ma trận con cấp k này gọi là một định thức con cấp k của A. - 1.1 Định nghĩa hạng của ma trận Cho A là ma trận cấp m × n khác không. - Hạng của ma trận A là số tự nhiên r, 1 ≤ r ≤ min{m, n} thỏa mãn các điều kiện sau: 1. - Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0. - Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0. - Nói cách khác, hạng của ma trận A 6= O chính là cấp cao nhất của các định thức con khác không của ma trận A. - Hạng của ma trận A ký hiệu là r(A) hoặc rank(A). - Qui ước: hạng của ma trận không O là 0. - 1.2 Các tính chất cơ bản về hạng của ma trận 1.2.1 Tính chất 1 Hạng của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị, tức là rank At = rank A. - 1 1.2.2 Tính chất 2 Nếu A là ma trận vuông cấp n thì rank A = n. - det A = 0 Nếu xảy ra trường hợp đầu, ta nói A là ma trận vuông không suy biến. - Nếu xảy ra trường hợp thứ hai, ta nói A là ma trận vuông suy biến. - 1.2.3 Tính chất 3 Nếu A, B là các ma trận cùng cấp thì rank(A + B. - rank A + rank B 1.2.4 Tính chất 4 Cho A, B là các ma trận sao cho tồn tại tích AB. - Nếu A là ma trận vuông không suy biến thì rank(AB. - 2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức 2.1 Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy ra ngay thuật toán sau đây để tìm hạng của ma trận A cấp m × n (A 6= O) Bước 1 Tìm một định thức con cấp k khác 0 của A. - Giả sử định thức con cấp k khác không là Dk . - Bước 2 Xét tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức Dk . - Không có một định thức con cấp k + 1 nào của A. - Tất cả các định thức con cấp k + 1 của A chứa định thức con Dk đều bằng 0. - Tồn tại một định thức con cấp k + 1 của A là Dk+1 chứa định thức con Dk khác 0. - 2 2.2 Ví dụ Tìm hạng của ma trận. - Giải 1 2 Đầu tiên ta thấy A có định thức con cấp 2, D2. - 3 6= 0 (Định thức này được −1 1 tạo thành bởi 2 dòng đầu, 2 cột đầu của A) Xét các định thức con cấp 3 của A chứa D2 , ta thấy có định thức con cấp 3 khác 0. - Đó là định thức 1 2 1 D Định thức này được thành bởi các dòng 1, 2, 3, các cột 1, 2, 4 của A) Tiếp tục, xét các định thức con cấp 4 của A chứa D3 . - Có tất cả 2 định thức như vậy, đó là D và D Cả 2 định thức này đều bằng 0. - Việc tìm hạng của ma trận bằng định thức như trên phải tính toán khá phức tạp nên trong thực tế người ta ít sử dụng mà người ta thường sử dụng phương pháp tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp sau đây. - 3 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) Trước khi giới thiệu phương pháp này, ta cần nhớ lại một số khái niệm sau 3.1 Ma trận bậc thang 3.1.1 Định nghĩa Ma trận A cấp m × n khác không gọi là một ma trận bậc thang nếu tồn tại số tự nhiên r, 1 ≤ r ≤ min{m, n} thỏa các điều kiện sau: 3 1. - Các phần tử (A)kik gọi là các phần tử được đánh dấu của ma trận A. - ir ) gọi là cột đánh dấu của ma trận A. - Và như vậy, ma trận bậc thang có dạng như sau: i1 i2 ir 0. - ...0 (m) Ta có nhận xét quan trọng sau: Nếu A là ma trận bậc thang thì số r trong định nghĩa chính là rank A. - Thật vậy, có thể chỉ ra một định thức con cấp r của A khác 0 chính là định thức Dr tạo bởi r dòng đầu và r cột đánh dấu i1 , i2. - (A)r ir Ngoài ra, các định thức con cấp r + 1 của A đều tạo bởi r + 1 dòng nào đó nên có ít nhất một dòng bằng không. - 3.1.2 Ví dụ về các ma trận bậc thang 1. - Các ma trận A, B đều là các ma trận bậc thang, và ta có rank A = 4 (bằng số dòng khác không của A), rank B = 5 (bằng số dòng khác không của B). - 4 3.2 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ba phép biến đổi sau gọi là phép biến đổi sơ cấp trên các dòng của ma trận: 1. - Tương tự, bằng cách thay dòng thành cột, ta có 3 phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận. - 3.3 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp Nội dung của phương pháp này dựa trên hai nhận xét khá đơn giản sau 1. - Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. - Một ma trận khác O bất kỳ đều có thể đưa về dạng bậc thang sau một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. - Như vậy, muốn tìm hạng của ma trận A, ta dùng các phép biến đổi sơ cấp để đưa A về dạng bậc thang, do nhận xét (1), hạng của A bằng hạng của ma trận bậc thang, và ta đã biết hạng của ma trận bậc thang chính bằng số dòng khác không của nó. - Cần lưu ý bạn đọc rằng: kỹ năng đưa một ma trận về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp là một kỹ năng cơ bản, nó cần thiết không chỉ trong việc tìm hạng của ma trận mà còn cần để giải nhiều bài toán khác của Đại số tuyến tính. - Sau đây, chúng tôi xin đưa ra một thuật toán để đưa một ma trận về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp: Xét ma trận. - a11 Ta nhận được ma trận 5. - 3.3.2 Bước 2 Xét ma trận. - bmn Nếu B = O hoặc B có dạng bậc thang thì A1 là ma trận bậc thang, thuật toán kết thúc. - Trong trường hợp ngược lại, tiếp tục lặp lại bước 1 cho ma trận B. - Cần chú ý rằng ma trận B có ít hơn ma trận A 1 dòng và 1 cột. - Do đó, sau một số hữu hạn bước lặp, B sẽ là ma trận không hoặc ma trận bậc thang. - 3.4 Ví dụ 3.4.1 Ví dụ 1 Tìm hạng của ma trận. - d4 →3d 2+d Vậy rank A Ví dụ 2 Tìm hạng của ma trận vuông cấp n. - a 6= 1 − n, a 6= 1, khi đó ma trận C là ma trận bậc thang và rank B = rank C = n 2. - a = 1, khi đó ma trận C là ma trận bậc thang và rank B = rank C = 1 3. - −n Do đó, C không là ma trận bậc thang nhưng có định thức con cấp n − 1 khác không, đó là định thức con tạo bởi n − 1 dòng cuối, n − 1 cột cuối −n 0. - 7 BÀI TẬP Tìm hạng của các ma trận sau. - 1 a Tìm hạng của các ma trận vuông cấp n