ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Chương IV. GIỚI HẠN ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP KIỂM TRA I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho dãy (un ) thỏa un ≥ 0, ∀n ∈ N∗ và lim un = a. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng? √ √ B. a ≥ 0 và lim un = 0. A. a ≥ 0 và lim un = a. √ √ √ √ D. a ≤ 0 và lim un = −a. C. a ≥ 0 và lim un = a. Câu 2. Cho dãy (un ) và dãy (vn ) thỏa mãn lim un = a và lim vn = b. Trong các đẳng thức cho dưới đây, đẳng thức nào sai?

A. lim un + vn = a + b. B. lim un − vn = a − b.
a un = . C. lim un .vn = a.b. D. lim vn b   3 Câu 3. Biết lim un = 2 và lim vn = +∞. Tính lim un + . vn A. 2. B. +∞. C. 0. D. −2. n−1 Câu 4. Tính lim . n+2 1 A. − . B. +∞. C. 0. D. 1. 2 7n2 − 3 Câu 5. Tính lim . 1 − 2n − 3n2 7 7 C. −3. D. − . A. −7. B. − . 3 2 2 3 n − 3n . Câu 6. Tính lim 3 2n + 5n − 2 1 1 3 B. . C. − . D. 0. A. . 2 5 2 3n − 1 Câu 7. Tính lim n . 2 − 2.3n + 1 1 3 1 A. − . B. . C. . D. −1. 2 2 2 √ √
Câu 8. Tính lim n + 1 − n . A. +∞. B. −∞. C. 0. D. 1. 1 Câu 9. Tính lim √ . 2 n +n−n A. +∞. B. 0. C. 2. D. −2. √  Câu 10. Tính lim n n2 + 1 − n . 1 B. +∞. C. −∞. D. 0. A. . 2 1 . Câu 11. Tính lim √ 2 n +n+n 1 C. 0. D. −2. A. +∞. B. . 2 n2 − n + 1 Câu 12. Tính lim . (2018n)2 + 5n + 2017 1 1 . C. +∞. D. . A. 0. B. 2 2018 2018 (10n)4 + n3 + 1 Câu 13. Tính lim . 5n − n4 A. 2. B. −104 . C. −∞. D. 104 . GV: PHÙNG HOÀNG EM - St 1 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Câu 14. A. −3. Câu 15. A. 2. Câu 16. A. 2. Chương IV. GIỚI HẠN   1 Biết lim un = −3. Tính lim un − . n B. 2. C. 0.   n Biết lim un = 2. Tính lim un − . n+2 B. 0. C. 1.   2un + 1 . Biết lim un = +∞. Tính lim un − 1 B. +∞. C. 0. 4n2 +n+2 Câu 17. Cho dãy số (un ) có un = . Tìm a để lim un = 2. a.n2 + 5 A. a = 5. B. a = 4. C. a = 3. Câu 18. Biết lim un = +∞ và lim vn = 0. Khẳng định nào sau đây sai ? A. lim (2un ) = +∞. B. lim (vn .un ) = 0. C. lim (−un ) = −∞. D. 1. D. +∞. D. −2. D. a = 2. D. lim (−3vn ) = 0. Câu 19. Biết lim un = +∞ và lim vn = +∞. Khẳng định nào  đây sai ?  sau 1 = 0. A. lim (un + vn ) = +∞. B. lim un C. lim (un − vn ) = 0. D. lim (−3vn ) = −∞. 2 Câu 20. Dãy số (un ) với un = 3n − n2 + 2018 có giới hạn bằng 3 2 A. 5. B. − . C. −∞. 3 2n + 3n3 Câu 21. Tính lim 2 . 4n + 2n + 1 3 B. +∞. C. 0. A. . 4
Câu 22. Tính lim 3n2 − 4n + 1 . A. −∞. D. +∞. D. 5 . 7 1 . 3 B. +∞. C. 3. D. Câu 23. Tính lim (2n − 4n − 3). A. −∞. B. +∞. C. 0. D. −2. Câu 24. Tìm công thức tính tổng S của cấp số nhân lùi vô hạn (un ) có công bội q. u1 u1 u1 A. S = . B. S = . C. S = . D. S = u1 (1 − q). q−1 1−q q+1 (−1)n 1 1 1 , ... bằng Câu 25. Tổng của cấp số nhân vô hạn − , , − , ..., 2 4 8 2n 1 1 1 A. − . B. . C. −1. D. − . 4 2 3 1 1 1 (−1)n Câu 26. Tổng của cấp số nhân vô hạn − ; ; − ; ...; ; ... có giá trị là bao nhiêu ? 3 9 27 3n 1 1 3 1 A. . B. . C. . D. − . 4 2 4 4 1 1 (−1)n+1 Câu 27. Gọi S = − + ... + + .... Tính giá trị của S. 3 9 3n 1 1 3 B. S = . C. S = . A. S = . 4 2 4 1 1 1 Câu 28. Cho S = 9 + 3 + 1 + + + ... + n−3 + .... Giá trị của S là 3 9 3 27 A. 16. B. 14. C. . 2 GV: PHÙNG HOÀNG EM - St D. S = 1. D. 15. 2 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Chương IV. GIỚI HẠN √ 4n2 − n − 1 = 2. Khẳng định nào sau đây là đúng? an − 1 A. a ∈ (−3; −2). B. a ∈ [−2; 3). C. a ∈ [3; 5). D. a ∈ [5; +∞). 
 Câu 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a thuộc khoảng (−5; 5) để lim n − a2 − 3 n2 = −∞? A. 1. B. 3. C. 6. D. 0. 1 + a + a2 + ... + an 2 Câu 31. Cho 0 < |a| < 1 và 0 < |b| < 1, (a, b ∈ Q) thỏa mãn lim = . Tính 2 n 1 + b + b + ... + b 3 T = 2a − 3b. 1 4 B. T = . C. T = −1. D. T = 0. A. T = . 3 3 √
2 √
n √ Câu 32. Cho dãy số (un ) với un = 2 + 2 + ... + 2 . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? √ 2 √ . A. lim un = B. lim un = −∞. 1− 2 C. lim un = +∞. D. (un ) không có giới hạn khi n → +∞. Câu 29. Biết rằng lim an − Câu 33. Cho dãy số (un ) với un = A. lim un = 0. C. lim un = 1. 1 + 2 + 3 + ... + n . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? n2 + 1 1 B. lim un = . 2 D. (un ) không có giới hạn khi n → +∞. Câu 34. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, bạn An quết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Bạn ấy tô màu đỏ các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, ..., n, ..., trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (hình vẽ). Giả sử quy trình tô màu của An có thể tiến ra vô hạn. Hỏi bạn An tô màu đến hình vuông 1 ? thứ mấy thì diện tích của hình vuông được tô nhỏ hơn 1000 A. 4. B. 3. C. 5. D. 10. 3 2 1 Câu 35. Tính lim x3 − 3x + 2 . x→2 A. 2. B. 1. 2 2x + x − 3 . Câu 36. Tính lim x→1 1−x A. −5. B. 2.
x2 C. 3. D. 4. C. −3. D. 4. − 12x + 35 có giá trị là bao nhiêu ? x→5 5x − 25 2 1 C. . A. +∞. B. . 5 5 2 x + 2x − 15 Câu 38. lim có giá trị là bao nhiêu ? x→−5 2x + 10 1 A. 0. B. – 4. C. . 2 x2 − 3x + 2 Câu 39. lim có giá trị là bao nhiêu ? x→1 x3 − 1 1 1 B. . C. 0. A. − . 3 3 x3 − x2 − x + 1 Câu 40. Tính lim . x→1 x2 − 3x + 2 A. 3. B. 2. C. 1. Câu 37. lim GV: PHÙNG HOÀNG EM - St 2 D. − . 5 D. +∞. D. 1. D. 0. 3 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Chương IV. GIỚI HẠN xm − 1 . Câu 41. Tính lim n x→1 x − 1 m m A. . B. − . n n √ √ x+2− 2 Câu 42. lim bằng x→0 x √ 2 . A. 0. B. 2 √ √ 2x + 2 − 3x + 1 . Câu 43. Tính lim x→1 x−1 1 A. 0. B. . 4 √ √ 3 1+x− 1+x Câu 44. Tính lim . x→0 x 1 1 A. . B. . 6 3 x2 − 5x + 6 Câu 45. Tính lim . x→2 |x − 2| A. Không tồn tại. Câu 46. Tính lim A. +∞. x→2+ B. −1. x − 15 . x−2 B. −∞. Câu A. Câu A. Câu A. Câu A. Câu A. n . m √ 2 . 4 1 C. − . 4 D. −∞. 1 C. − . 6 D. 1 . 2 C. 1. D. 5 . 2 C. 0. D. −13. x→1+ x3 D. 0. D. 1 . 2 D. 1. D. 4. D. 8 . 10 D. 0. 2 (x + a) − a2 bằng x B. 2a. Câu 54. Biết lim A. −1. n . m D. −1 . − 2x2 + x 1. B. −∞. C. +∞. |2 − x| 48. Tính lim . 2 x→2− 2x − 5x + 2 1 − . B. +∞. C. 0. 3 √ x2 − 4 . 49. Tính lim x→2+ x − 2 +∞. B. −∞. C. 0. √ 2 x +1−1 . 50. Tính lim √ x→0 x2 + 16 − 4 8. B. −4. C. 0. √ √ 3 2 1+x− 8−x 51. Tính lim . x→0 x 13 1 9 . B. . C. . 12 12 10 x2 − ax + 1 = 3. Khi đó, giá trị của a là 52. Biết lim x→1 x+1 3. B. 4. C. −4. Câu 53. lim x→0 A. 0. D. − C. 1. x4 Câu 47. Tính lim A. C. x→1 x2 + ax − 5 và lim x→−2 x−1 B. 2. −x2 C. −2a. D. 1. + 2x + b đều ra kết quả hạn, (a, b ∈ R). Tính 2a − b + 2. 4 − x2 C. 0. D. 1. x2 + ax + b −x2 + 2x + c và lim đều ra kết quả hữu hạn (a, b, c ∈ R). Tính a − b + x→2 (x − 2)2 x→−2 4 − x2 Câu 55. Biết lim c. A. 4. B. 0. GV: PHÙNG HOÀNG EM - St C. 10. D. 8. 4 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Chương IV. GIỚI HẠN 2x4 + x3 − 2x2 − 1 có giá trị là bao nhiêu ? x − 2x4 B. – 1. C. 1. 4 3x − 2x + 3 57. lim có giá trị là bao nhiêu ? x→+∞ 5x4 + 3x + 1 3 4 C. . 0. B. . 9 5 √  58. lim x x2 + 5 − x có giá trị là bao nhiêu ? x→+∞ √ 5 0. B. . C. 5. 2
3 59. Tính lim −2x + 3x2 − 1 . x→−∞ +∞. B. −2. C. −∞.  √ 60. Tính lim x2 + 1 + x . x→+∞ 0. B. +∞. C. −∞. Câu 56. lim x→+∞ A. – 2. Câu A. Câu A. Câu A. Câu A. D. 2. D. +∞. D. +∞. D. 0. D. 1. Câu 61. Tìm tất cả giá trị của tham số a ∈ R để lim a2 x3 − 3x + 2 = −∞ x→−∞ A. a 6= 0. B. a = ±1. C. a > 0. D. a = 0.
Câu 62. ax + b a Cho hàm số y = có đồ thị như hình bên. Tính tỉ số . cx + d c 1 A. −1. B. − . 2 3 C. 2. D. . 2 y x = −1 3 2 y=2 1 x −3 −2 −1 D. y = 3x − 4 . x−2 O 1 √ 3 2x + 8 − 2 Câu 63. Cho hàm f (x) = √ , với x 6= 0. Cần bổ sung giá trị f (0) bằng bao nhiêu để hàm số 3x + 4 − 2 liên tục tại x = 0? 1 2 D. . A. 1. B. 2. C. . 9 9 Câu 64. Hàm số nào sau đây gián đoạn tại x = 2 ? A. y = x4 − 2x2 + 1. B. y = sin x. C. y = tan x. Câu 65. Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục tại x = 0 ? √ x2 − 2x + 1 B. y = cot x. C. y = x3 − 2x + 1. D. y = . A. y = x2 − 1. x √   x − 1 nếu x 6= 1 x−1 . Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1. Câu 66. Cho hàm số f (x) =  a nếu x = 1 1 1 A. a = 1. B. a = 0. C. a = . D. a = − . 2 2  2   x − x − 2 nếu x > 2 x−2 Câu 67. Cho hàm số f (x) = . Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 2.  5a − x nếu x ≤ 2 A. a = 0. B. a = 1. C. a = −1. D. a = 2.  2   3x − 4x + 1 nếu x 6= 1 x−1 Câu 68. Cho hàm số f (x) = . Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1.  5a2 − 3 nếu x = 1 GV: PHÙNG HOÀNG EM - St 5 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Chương IV. GIỚI HẠN A. a = 1. B. a = −1. √   x+3−2 x−1 Câu 69. Cho hàm số f (x) =  2a − 1 5 5 B. a = . A. a = . 4 8 √   2−x−2 x+2 Câu 70. Cho hàm số f (x) =  4m + 5 đoạn tại x = −2. A. m > 2. B. m 6= −2. √ D. a = ± 5. C. a = ±1. nếu x 6= 1 . Tìm a để hàm số liên tục tại x0 = 1. nếu x = 1 5 C. a = . 2 nếu x 6= −2 nếu x = −2 D. a = 1. . Tìm các giá trị của tham số m để f (x) gián C. m 6= ±1. D. m 6= − 21 . 16 II. PHẦN TỰ LUẬN Bài 1. Tính giới hạn a) lim 2n2 + 3n − 1 2 − 3n2 d) lim (2n + 3) (1 − 3n) 2n2 − n + 5 3n3 + 2n2 + n n3 + 4   1 n+1 − e) lim n2 + 2n n − 1 b) lim n2 + 1 2n4 + n + 1  2  2n + 3n 2n3 − 3 − 2 f) lim n+1 n −1 c) lim Bài 2. Tính giới hạn a) lim 1 + 3n 4 + 3n b) lim 4.3n + 7n 2.5n − 7n c) lim 4n+1 + 6n+2 5n + 8 n d) lim 2n + 5n+1 1 + 5n e) lim 1 + 2.3n − 7n 5n − 7n+1 f) lim 1 − 2.3n + 7n 2n (4n+1 − 5) Bài 3. Tính giới hạn √ 4n2 + 3n − 1 a) lim n−3 √ 4n4 + 1 d) lim √ n4 + 4n + 1 + n2 Bài 4. Tính giới hạn √  2 a) lim n + 2n − n d) lim n √ g) lim √ n2 + 2 − n  1 √ n2 + 2n − n2 + 4 2n − 1 b) lim √ 4n2 + 4n − 3 √ √ n2 − 4n − 4n + 1 √ e) lim 3n2 + 1 + n  b) lim 2n − √ 4n2 e) lim √ h) lim √ b) lim 2n3 + n + 4 5n − n2 3 +n   n2 + 2n − n − 1 n3 + 2 − n  √ n2 + 1 + 2n 2n − 5 √ 3 8n3 + n2 − n f) lim 2n − 3 c) lim c) lim √ f) lim √ i) lim n2 n2 √ 3 +n− √ n2 +2  1 + 3n − n n3 + 1 − √ n2 + n  Bài 5. Tính giới hạn a) lim 2n4 + n2 − 3 3n3 − 2n2 + 1 d) lim √ 2n + 5 n2 + 1 − n e) lim √ 2n + 5 √ n+1− n c) lim f) lim (3n − 1) (n − 2) 2n − 1 (3n − 1)4 (n − 2) (1 − 2n)2 Bài 6. Tính giới hạn GV: PHÙNG HOÀNG EM - St 6 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Chương IV. GIỚI HẠN
a) lim 2n3 + 2n − 1 √  √ d) lim n2 − 3n − n + 2 √
b) lim n − 2n3   √ e) lim 1 − 1 + 3n2 c) lim 2x2 − 3x + 5 x→1 2x + 1 c) lim 2x2 − 3x + 1 x→1 3x − 3 c) lim 2x2 + 3x − 2 x→−2 x2 − 4 f) lim x3 − x2 − x + 1 x→1+ x2 − 3x + 2 i) lim n2 + 2n + 7 f) lim (3n − 2.5n ) Bài 7. Tính giới hạn a) lim 2x2 − 3x + √ x→2 x−1 Bài 8. Tính giới hạn
x2 − 3x + 2 x→1 x−1 b) lim x−3 x→3 x2 − 9 e) lim x−1 3 x→1 x − 2x2 + x h) lim a) lim d) lim g) lim Bài 9. Tính giới hạn √ x+4−2 a) lim x→0 x b) lim f) x2 − 1 x→1+ (x − 1)2 2x3 + 5x − 1 x→−∞ 2 − 4x3 c) 2x2 + 1 x→−∞ x3 − 3x2 + 2 3x + 2 √ x→−∞ 3x − 4x2 − x f) x2 + 2x − 3 √ x→−∞ 3x2 − x4 + 1 e) Bài 12. Tính giới hạn lim x→+∞ 2x3 − 3x + 5 x→6+ b) lim lim
Bài 13. Tính giới hạn √  a) lim x2 + x − x x→+∞ lim b) lim x→−∞ b) lim x→−∞ Bài 14. Tính các giới hạn sau: 2x2 − x + 1 x→+∞ x−2 2x2 + x − 1 lim √ x→−1 1 − 3x − 2 −x2 − 2x + 3 x→1+ (x − 1)2 e) lim x2 + 3x − 1 x→+∞ 2x2 − x + 1 √ x + x2 + 3 d) lim x→+∞ 2x + 1 √ 2− 1−x c) lim x→−3 x2 − 9 2x + 5 − 3 x−2 c) lim x2 − 2x − 1 6 − 2x x→3+ Bài 11. Tính giới hạn x3 − 5x2 + 3x + 9 x→3 9 − x2 x2 − x + 1 x−1 x→1− b) lim d) lim x2 − 3x + 2 x→2 2x2 + 2x − 12 f) x+3 + x→2 x − 2 a) lim a) √ 2x + 4 −x−6 x→−2 x2 3x2 − 8 − x x→2 2x2 − 5x + 2 e) lim Bài 10. Tính giới hạn a) √ x→2 2x − 4 d) lim √ x→2 3x − 2 − 2 x2 − 3x + 2 2x + 1 x→3+ b) lim
c)  c) −x3 + 3x2 + 5  x+ √ x2 + 2x x−1 6−x lim lim lim lim x→−∞ √ x4 − 2x + 3 lim √ x→+∞ 4x2 1 + 2x − 2x 3x3 − 2x2 + 1 5x3 − 2x2 + 1 c) lim x→−∞ x2 + x + 2 x→−∞ 1 − x2  2   x − 6x + 5 nếu x 6= 1 x2 − 1 tại điểm x0 = 1. Bài 15. Xét tính liên tục hàm số f (x) =  −2 nếu x = 1 a) lim GV: PHÙNG HOÀNG EM - St b) lim 7 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Bài 16. Bài 17. Bài 18. Bài 19. Bài 20. Chương IV. GIỚI HẠN  √   1 − 2x − 3 nếu x 6= 2 2−x tại điểm x0 = 2. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =  1 nếu x = 2   √ x − 1 khi x 6= 1 x+8−3 tại điểm x0 = 1. Xét tính liên tục của hàm số f (x) =  −6 khi x = 1  2   x + x − 6 nếu x 6= 2 x−2 . Tìm m để hàm số liên tục tại x0 = 2. Cho hàm số f (x) =   m2 + m nếu x = 2 √ √   1 − x − 1 + x nếu x < 0 x Tìm m để hàm số f (x) = liên tục tại x0 = 0.  m + 1 nếu x ≥ 0 √ √   8 − 4x + x + 3 − 4 nếu x < 1 x−1 Tìm a để hàm số f (x) = liên tục tại x0 = 1.   1 ax nếu x ≥ 1 4 Bài 21. Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm trên R. a) 2x3 − 10x − 7 = 0; b) x5 − 3x + 3 = 0; c) x5 + x − 1 = 0. Bài 22. Chứng minh phương trình x4 + x3 − 5x2 + x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0; 3).   √ 3 3 4 2 Bài 23. Chứng minh phương trình x + 3 x − 2x − 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm thuộc −3; − . 2 √ Bài 24. Chứng minh phương trình x4 + 3x2 − x + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm thuộc (−1; 2). Bài 25. Chứng minh phương trình x4 + (1 − sin m) x3 − 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m. Bài 26. Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh phương trình ab(x − a)(x − b) + bc(x − b)(x − c) + ca(x − c)(x − a) = 0 luôn có nghiệm với mọi a, b, c. Bài 27. Cho 3 số thực a, b, c thoả 5a + 4b + 6c = 0. Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn có nghịêm. Bài 28. Cho 3 số thựca, b, c thoả 12a + 15b + 20c = 0. Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn 4 có nghịêm thụôc đọan 0; . 5 √ √ Bài 29. Cho a, b, c là các số thực thỏa a + b − c = 0. Chứng minh phương trình a 3x + 1 + 3b x = √ 4cx 3x + 1 luôn có nghiệm. ——HẾT—— GV: PHÙNG HOÀNG EM - St 8 ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 Chương IV. GIỚI HẠN BẢNG ĐÁP ÁN TRẮC NGHIÊM 1 C 8 C 15 C 22 B 29 B 36 A 43 C 50 D 57 C 64 D 2 D 9 C 16 A 23 A 30 C 37 D 44 A 51 A 58 B 65 C 3 A 10 A 17 D 24 B 31 C 38 B 45 A 52 C 59 A 66 C 4 D 11 C 18 B 25 D 32 C 39 A 46 B 53 B 60 B 67 B 5 B 12 B 19 C 26 D 33 B 40 D 47 C 54 B 61 A 68 C 6 C 13 B 20 C 27 D 34 C 41 A 48 A 55 B 62 C 69 B 7 A 14 A 21 B 28 C 35 D 42 D 49 A 56 B 63 C 70 D GV: PHÙNG HOÀNG EM - St 9