Ch ng IV B T Đ NG TH C-B T PH NG TRÌNH BƠi 1: B T Đ NG TH C 1. Định nghĩa 1 Số thực a gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu ab > 0. Khi đó ta cũng kí hiệu b<a (b nhỏ hơn a) a > b  a-b > 0 (ba<0) a  b  a-b  0 (ba≤0) 2. Định nghĩa 2: Các mệnh đề "a > b"; "a  b"; "a < b" ; "a  b" được gọi là các bất đẳng thức. + a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức; + a>b và c>d (hoặc a<b và c<d) là hai bất đẳng thức cùng chiều; + a>b và c<d là hai bất đẳng thức trái chiều; + Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d". Nếu "a>b  c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b" "a>b  c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b" 3. Các tính ch t a, b, c, d  R ta có : 1) a > b  a+c > b+c (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số) a > b+ c  ac > b (chuyển vế) ac  bc neáu c  0 (nhân hai vế cùng 1 số) 3) a > b   ac  bc neáu c  0 a  b 4)  ac bd c  d a  b  0  ac  bd 5)  c  d  0 6) Với n nguyên dương: a > b  a2n+1 > b2n+1 a > b>0  a2n > b2n 7) Nếu b>0 thì a>b  a  b ; a>b  3 a  3 b a  b ac 8)  (bắc cầu) b  c 1 1  a  b neáu ab  0 9) a > b    1  1 neáu ab  0  a b 10) a > b > 0  an > bn ( n  N  ) 11) a > b > 0  n a  n b ( n  N  ) Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều 1 Ph ng pháp chung: PH NG PHÁP CH NG MINH B T Đ NG TH C Một số h ng đ ng th c: (ab)2= a2  2ab +b2 (a+b+c)2= a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (ab)3= a3  3a2b+3ab2  b3 a2 b2 = (ab)(a+b) a3b3= (ab)(a2 +ab +b2) a3b3= (a+b)(a2 ab +b2) Ví d : Chứng minh rằng a) Nếu a,b  0 thì a+b  2 ab b) Chứng minh a2+b2-ab  0. Khi nào thì đẳng thức xảy ra. Giải a) Cách 1: ta có a+b  2 ab  a+b- 2 ab  0  ( a  b )2  0 đúng với mọi a,b  0. Dấu '=' xảy ra khi a = b Cách 2: ta đã biết ( a  b )2  0 a, b  0  a+b- 2 ab  0  a+b  2 ab  đpcm. b 2 3b 2 1 2 3 2 2 2 2  0 a, b  R b) Ta có: a +b -ab = a  b  b  ab = (a- ) + 4 2 4 4 b  a 0  2 dấu '=' xảy ra    2  3b  0   4 4. B t đ ng th c Côsi a/ Định lý: Nếu a  0, b  0 thì a  0  đpcm  b  0 ab  ab hay a+b  2 ab 2 Dấu '=' xảy ra  a=b b/ Các hệ qu : b.1. Nế a  0,b  0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max  a = b b.2. Nếu a  0,b  0 có a.b = const thì a + b là min  a = b 2 b.3. Nếu a1, a2, a3,…..,an  0 thì: b.4. a  a1  a 2  ...  a n n  a1 .a 2. a3 ...a n n 1  2, a > 0 a * Ý nghĩa hình học: + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nh t. + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nh t. c. Ví d : a b Ví d 1: cho hai số a, b> 0. Chứng minh rằng   2 b a Giải a b Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ,  0 ,ta có: b a a b a b a b   2 .  2    2 => đpcm. b a b a b a Ví d 2: Chứng minh rằng với a,b>0 thì (a+b)(ab+1)  4ab Giải Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a,b>0 ta có: a+b  2 ab (1) Ap dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ab,1>0 ta có: ab + 1  2 ab (2) Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1)  4ab => đpcm 5. B t đ ng th c ch a giá trị tuyệt đối  x neáu x  0 ; Định nghĩa: |x| =  - x neáu x  0 a, b  R ta có a  b  a  b , dấu '=' xảy ra  a.b  0 a  b  a  b , dấu '=' xảy ra khi a.b  0 a  b  a  b  a.b  0 a  b  a  b  a.b  0 Ví d : chứng minh rằng | x-y | + | y-z |  | x- z| Giải Ta có |x-y|+|y-z|  |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm 6. Bất đẳng thức Bunhiacopxki Cho 4 số thực a, b, c, d bất kỳ thì: (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2)  ab  cd  (a 2  c 2 )(b 2  d 2 ) Chứng minh: Ta có (ab+cd)2  (a2+c2)(b2+d2) 2 2  a b +c2d2+2abcd  a2b2+a2d2+b2c2+c2d2  a2d2+b2c2-2abcd  0  (ad-bc)2  0 đúng a, b, c, d  R => đpcm Ví d 1: cho x2+y2=1,chứng minh rằng 3  2  x y  2 Giải Ap dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có: (1.x+1.y)2  (12+12)(x2+y2)  (x+y)2  2   2  x  y  2 => đpcm. 4 Ví d 2: Cho x+2y = 2 , chứng minh rằng x2+y2  5 Giải Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y BÀI T P ÁP D NG 1/ Với mọi số thực x, y, z . Chứng minh rằng: 2 xyz  x 2  y2 z 2 HD: Đưa về hằng đẳng thức 1  a  1  a  1 , a  1 2/ Chứng minh rằng: a Gi i   2  1   a 1  a 1     a 1  a 1 a  a 1 1 1   (a  1)  (a  1)  2 a 2  1  2 a 2  1  2a  . Vì 2a   0 nên a a a 2 1 1 1   4(a  1)   2a    2  0 ñuù ng a a  1  a  1  a  1 , a  1 đpcm Vậy a 1 1 3/ Tìm Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=  với 0<x<1 x 1 x 1 1 Vì >0, >0 nên Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương ta được: 1 x x 2 2 y= 1 1 1 1 1 + 2 . 2 x 1 x x 1 x x(1  x) 1 1 x  (1  x)  x(1  x)   2 x  (1  x) x(1  x) 2 1 1 1 1 1 1 2 . 2 2 4 vậy y= + x 1 x x 1 x x  (1  x) x(1  x) 2 1 1 1 1 1    y= +  4. Dấu "=" xảy ra   x 1  x  x  x 1 x 2 x  (0;1)  mà 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1 1 1 + bằng 4 khi x = 2 x 1 x BÀI T P 1/ Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: a) x 4  y4  x3 y  xy3 Gi i 4 3 4 3 3 (a )  x  x y  y  y x  0  x ( x  y )  y3 ( y  x )  0  x 3 ( x  y )  y3 ( x  y )  0  ( x  y )( x 3  y3 )  0 2  y  3y2   ( x  y ) ( x  xy  y )  0  ( x  y )  x      0 ñúng 2 4   Vậy x 4  y4  x3 y  xy3  đpcm 2 2 2 2 b) x 2  4y2  3z 2  14  2 x  12 y  6 z Gi i (b)  x  2 x  1  4y  2.2 y.3  9  3 z 2  2. 3.z. 3  3  1  0 2 2  ( x  1) 2  (2 y  3) 2  ( 3.z  3) 2  1  0 ñuù ng Vậy x 2  4y2  3z 2  14  2 x  12 y  6 z  đpcm a b   a b c)* b a Gi i (c )  a a b b b a  a  a  b b  ( a  b )(a  a b  b)  3 b a 3 b a( a  b)  a b  ( a  b )(a  a b  b)  b a ( a  b )  0  ( a  b )(a  a b  b  b a )  0  ( a  b )(a  2 a b  b)  0  ( a  b )( a  b ) 2  0  đpcm 1 1 4 d)   a b ab Gi i Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: a  b  2 ab (1) 1 1 1 1 1 , :  2 (2) a b a b ab 1 1 1 1 4 . đpcm Lấy (1) nhân (2) ta được: (a  b)(  )  4    a b a b ab abcd 4  abcd (bđt Cô-si cho 4 số) e)* 4 Gi i Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương 5 a  b  2 ab  4   a  b  c  d  2( ab  cd )  2.2 ab cd  4 abcd c  d  2 cd  abcd 4   abcd 4 1 1 1 1 16 f)     a b c d abcd Gi i Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương a, b, c, d ta được: a  b  c  d  4 4 abcd (1) 1 1 1 1 Áp dụng bđt Cô-si cho 4 số dương , , , ta được; a b c d 1 1 1 1 1     44 (2) a b c d abcd 1 1 1 1 Nhân (1) với (2) ta được: (a  b  c  d )(    )  16 a b c d 1 1 1 1 16 Vậy     a b c d abcd 1 g) a 2b   2a b Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a2b, 1/b h) (a  b)(b  c)(c  a)  8abc Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a. i)  a b  2  2 2(a  b) ab Khai triển hằng đẳng thức rồi áp dụng bđt Cô-si cho (a  b) và 2 ab 1 1 1 9 j)    a b c abc Gi i Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta được: a  b  c  3 3 abcd (1) 1 1 1 Áp dụng bđt Cô-si cho 3 số dương , , ta được; a b c 1 1 1 1    33 (2) a b c abc 1 1 1 Nhân (1) với (2) ta được: (a  b  c)(   )  9 a b c 1 1 1 9 Vậy    a b c abc 2/ Ch ng minh các b t đ ng th c sau x4 2 a) Với x>3. Chứng minh x3 HD: x  4  2 x  3 Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3 6 x2 y2   1 . Chứng minh |x.y|≤3 4 9 x2 y2 HD: Áp dụng bđt Cô-si cho , 4 9 c)* Với a, b, c0 và a+b+c=1. Chứng minh: b+c  16abc  (b+c)2  4bc HD: b+c  2 bc b) Với (1) (2) a+(b+c)  2 a(b  c)  1 4a(b+c) lấy (1)x(2) ta được đpcm d) Cho a, b, c, d  0. Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1)  32abcd HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1 a b c e) Cho a,b,c >0. CMR : (1  )(1  )(1  )  8 b c a a b c HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1, ; 1, ; 1, b c a f) Với a,b,c,d không âm. CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)  16abcd. HD: b g) Cho a,b,c > 0. CMR : ca   2 ab c HD: 1 1 1 h) Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)(   )  9 a b c HD: 1 1 k) Cho a,b > 0. CMR : (a+b)(  )  4 a b HD: a  bc 4  ab l) Cho a,b,c > 0. CMR : 2c 2 a  bc 4 a  2 ab  2  bc 2  2 ab HD: 2 c c 1 1 1 m) Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1. CMR : (1  )(1  )(1  )  64 a b c HD: a n) Cho a > 1 . CMR : a  1  2 HD: bình phươn 2 vế 1 1 1 1 1 1   o) Cho a,b,c >0 . CMR :    a b c ab bc ac 3/ Ch ng minh b t đ ng th c 1 1  b a b) a 2  b2  c 2  ab  bc  ca, a,b,c  . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra? a) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì c) a 2  b2  ab  0, a, b  . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.? d) (a+b+c)2  3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c  . 7 e) a2b+ab2  a3+b3 , với a, b dương. Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ? 4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với  3  x  5 . Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất? 5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau 1 3 a) f(x)= x  vôùi x  0 b) f(x)= x  với x > 1 x 1 x 4 9  với 0<x<1 x 1 x Gi i 4 9 4( x  1  x) 9( x  1  x) y    x 1 x x 1 x 2*/ Tìm giá trị nhỏ nh t của hàm số y= 4(1  x) 9 x 4(1  x) 9 x   13  2  25 . x 1 x x 1 x  y  25 ,x  (0;1)  49 9x  4(1  x)  6 5  Đẳng thức xảy ra   x x 1 x 2  x  (0;1) 3*/ Tìm giá trị lớn nh t của hàm số y= 4x3  x4 với 0≤ x ≤ 4 Gi i x  x  x  12  3 x   x3 y  27   x x 2 12 2    0  x  4 8 BÀI T P B T Đ NG TH C I. CMR 1. a2 – 3a + 3 > 0 , aR 2. a2 + b2  2ab , a, bR a2 +3a +3 > 0 aR 3. a2 + b2 + 4  ab + 2(a +b) , a, bR 4. a2+ b2 + c2 + d2 + e2  a(b +c + d + e) , a, b, c, d, eR a2 1 a2 b2  , a  R . Suy ra 4   1 , a, bR 5. a4  1 2 a  1 b4  1 2 2 2  abc  a b c , a, b, cR 6.    3 3   7. a3 + b3  ab(a+b) , a, b  0 8. a3b + ab3  a4 + b4 , a, bR 9. a4 + 16  2a3 + 8a , aR 10. (a  b)(c  d )  ac  bd , a, b, c, d > 0 a b   a  b , a, b > 0 11. b a 2 12. a 2  ab  b 2  3 a  b , a, bR 2 1  a  1  a  1 , a  1 a a 2 b2 c2    a  b  c , a, b, c > 0 14. b c a 4 15. a + 2a3 +3a2 -12a +19 > 0 , aR 13.  x5 ( x3  1)  x( x  1)  1  0 neáu x  1 16. x8 – x5 + x2 – x + 1 > 0 , xR. Hd: BĐT   8 2 3  x  x (1  x )  (1  x) neáu x < 1 II.CMR 1. a/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: a ac a ac a a   ii. Nếu  1 thì i. Nếu  1 thì b bc b bc b b a b c   2 b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 . CMR: 1  ab bc ca 2. Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR: a. a2+ b2 + c2 < 2(ab +bc +ca) b. abc  (a + b – c).(b + c – a).(c + a – b) > 0 1 3. Cho a + b = 1. CMR: a2 + b2  2 1 4. Cho x + y + z = 1. CMR: x 2  y 2  z 2  3 5. CMR: a. x  2  x  5  7 , xR b. x  1  y  2  x  y  3  6 , x, yR III.CMR abcd 4  abcd . (a, b , c, d  0) 1. 4 9 abc 3  abc . (a, b , c  0) 3 1 1 1 9    3. (a, b , c > 0) a b c abc a b c 1 1 1      (a, b , c > 0) 4. bc ca ab a b c ab bc ca    abc 5. (a, b , c > 0) c a b 1 1 6. x 2  y 2    2( x  y ) (x , y > 0) x y 7. (a + b)(b+c)(c+a)  8abc (a, b , c  0)  a  b  c  8. 1  1  1    8 (a, b , c > 0)  b  c  a  9. (a + 2)(b + 8) (a + b)  32ab (a, b  0) 10. (1 –a)(1 – b)(1 – c)  8abc với a + b + c = 1 và a, b, c  0  1  1  11. 1   1    9 với x+y =1 và x , y > 0. y  x  12. (a + 2) (b + 8)  36 với ab = 4 và a, b > 0 13. a b  1  b a  1  ab a, b  1 2. 14. 4a  1  4b  1  4c  1  5 với a + b + c = 1 và a, b, c  - 1 4 IV.CMR: 1. (ab +by)2  (a2 + b2)(x2 +y2) ,a, b, x, yR. Dấu bằng xảy ra khi nào? 2. 2 x  3 y  13 với x2 + y2 = 1 3. 3x  2 y  2 với 9x2 + 4y2 = 1 4. 2 x  3 y  35 với 2x2 + 3y2 = 7 5. 4 x 2  9 y 2  1 biết 4x + 6y = 1. Dấu bằng xảy ra khi nào? 8 9 6. 4 x 2  3 y 2  biết 4x - 3y = 3. Dấu bằng xảy ra khi nào? 7 V.Tìm GTLN của hàm số sau: 1. y = (x + 5)(7 – x) với -5  x  7 (maxy = 36 khi x = 1) 3 10 2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với  x  2 3 1 x4 với x  4 (maxy = khi x = 8) 3. y = 8 2x 4. y = x + 8  x 2 VI.Tìm GTNN của hàm số sau: x5 8  1. y = với x > -5 2 x5 9 2. y = x  với x > 2 x2 (maxy = 4 khi x =  2) (miny = 4 khi x = -1) (miny = 8 khi x = 5) 10 9 với x  0 x2 x4  1 4. y = với x  0 x2 (4  x)(1  x) với x > 0 5. y = x 6. y = x  2  x  4 3. y = x 2  (miny = 6 khi x =  3 ) (miny = 2 khi x = 1) (miny = 9 khi x = 2) (miny = 2 khi 2 < x < 4) VII. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S = xy + yz + zx biết x2 + y2 + z2 = 1 11 BÀI T P B T Đ NG TH C Dùng định nghĩa:Chứng minh các bất đẳng thức sau 1/ Cho a,b,c,d > 0 a+c a a) nếu a < b thì b < b + c a a+c b) nếu a > b thì b > b + c a b c c) 1 < a + b + b + c + c + a < 2 b+c c+d d+a a+b d) 2 < a + b + c + b + c + d + c + d + a + d + a + b < 3 a c a a+c c 2/ Cho b < d và b,d > 0, Chứng minh rằng b < b + d < d 3/ Chứng minh rằng  a , b ,c a) a2 – ab + b2 ≥ ab b) a2 + 9 ≥ 6a c) a2 + 1 > a d) (a3 – 1)(a – 1) ≥ 0 2 2 2 e) 2abc  a + b c f) (a + b)2 ≥ 4ab g) a2 + ab + b2 ≥ 0 h) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 2 2 2 2 i) 4ab(a – b)  (a – b ) j) a2 + 2b2 + 2ab + b + 1 > 0 b a + ≥ a+ b l) 2 + a2(1 + b2) ≥ 2a(1 + b) k) b a a2 1 a + b 2 a2 + b2 m) 1 + a4  2 n) ( 2 )  2 2 2 2 2 a+b+c 2 a a +b +c ≥( ) p) 4 + b2 + c2 ≥ ab – ac + 2bc o) 3 3 q) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) r) a4 + b4 + c2 + 1 ≥ 2a(ab2 – a + c + 1) s) 2a2 + 4b2 + c2 ≥ 4ab + 2ac 3 t) a2 + ab + b2 ≥ 4 (a + b)2 u) a + b + 2a2 + 2b2 ≥ 2ab + 2b a + 2a b v) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 4/ Cho a ,b  [– 1;1] . Chứng minh rằng : |a + b|  |1 + ab| x y a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì 1 + x ≥ 1 + y |a – b| |a| |b| b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có 1 + |a – b| ≤ 1 + |a| + 1 + |b| 5/ Cho a ≥ 2 , b ≥ 2. Chứng minh rằng : ab ≥ a + b 6/ Cho x ≥ 0,chứng minh rằng: x4 – x5 + x – x + 1 > 0 7/ Cho ba số a ,b ,c  [0;1],chứng minh rằng : a + b + c – ab – bc – ca  1 1 1 1 1 1 8/ Cho 0 < a  b  c . Chứng minh rằng : b(a + c ) + b (a + c)  (a + c )(a + c) c+a c+b 9/ Cho a > b > 0 và c ≥ ab . Chứng minh rằng 2 2 ≥ c +a c2 + b2 a3 + b3 + c3 – 3abc 10/ Cho a + b + c  0. Chứng minh rằng : ≥0 a+b+c 11/ Cho ba số dương a ,b ,c ,chứng minh rằng : 12 1 1 1 1 + +  3 3 3 3 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 12/ Cho các số a,b,c,d thoả a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ 0. Chứng minh rằng : a) a2 – b2 + c2 ≥ (a – b + c)2 b) a2 – b2 + c2 – d2 ≥ (a – b + c – d)2 1 1 2 13/ a) Cho a.b ≥ 1,Chứng minh rằng : 1 + a2 + 1 + b2 ≥ 1 + ab 1 1 3 1 b) Cho a ≥ 1, b ≥ 1 .Chứng minh rằng : 1 + a3 + 1 + b3 + 1 + c3 ≥ 1 + abc c) Cho hai số x ,y thoả x + y ≥ 0.Chứng minh rằng : 1 1 2 x+ y ≥ 1+4 1+4 1 + 2x+y 14/  a,b,c,d chứng minh rằng a) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2 b c d a b) 1 < a + b + c + a + b + d + b + c + d + a + c + d < 2 15/ Cho a ,b ,c là độ dài các cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng : a b c a c b a) b+c+a–c–b–a <1 3 b) abc < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) c) a(b – c)2 + b(c – a)2 + c(a – b)2 > a3 + b3 + c3 *d) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 *e) (a + b + c)2  9bc với a  b  c *f) (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)  abc 16/ Cho hai số a ,b thoả a + b ≥ 2 ,chứng minh rằng : a4 + b4 ≥ a3 + b3 17/ Cho a ,b ,c ≥ 0 , chứng minh rằng : a) a3 + b3 + c3 ≥ 3abc b) a3b + b3c + c3a ≥ a2bc + b2ca + c2ab c) a3(b2 – c2) + b3(c2 – a2) + c3(a2 – b2) < 0 18*/ Cho a ,b ,c là độ dài 3 cạnh một tam giác,với a  b  c Chứng minh rằng : (a + b + c)2  9bc aA + bB + cC  ≥3 19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : a + b + c 20*/ Cho a ,b ,c  [0;2] . Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca)  4 1 1 1 1 21/ Chứng minh rằng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …+ n(n + 1) < 1  n  N 1 2 3 n–1 22/ Chứng minh rằng : 2! + 3! + 4! + …+ n! < 1  n  N n ≥ 2 23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng : 1 3  a + b + c  abc 24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : a) a2 + b2 + c2 ≥ 3 b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3 Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) 1/ Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng : a b 1 a) b + a ≥ 2 a , b > 0 b) a2b + b ≥ 2a b > 0 13 2a2 + 1 ≥1 4a2 + 1 e) a4 + a3b + ab + b2 ≥ 4a2b c) g) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2 4 1 1 i) a + b ≥ a + b j) (1 + a)(1 + b) ≥ (1 + ab )2 a6 + b9 ≥ 3a2b3 – 16 k) 4 a2 b2 c2 a c b m) b2 + c2 + a2 ≥ c + b + a d) a3 + b3 ≥ ab(a + b) f) (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab a2 1 h) a4 + 1  2 1 1 1 2 2 2 j) a + b + c ≥ a + b + b + c + c + a a2 + 2 h) ≥2 a2 + 1 a2 + 6 l) 2 ≥4 a +2 1 2  2/ Cho a > 0 , chứng minh rằng : (1 + a)2a2 + a + 1 ≥ 16   3/ Cho 3 số a ,b ,c > 0 tùy ý . Chứng minh rằng: 1 a) a2b + b ≥ 2a 1 1 1 1 b) a + b + c ≤ 2 ( a2b + b2c + c2a + a + b + c ) 2 a +b 4/ Cho 0 < a < b , chứng minh rằng: a < 1 1 < ab < 2 a+b 5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a b – 1 + b a – 1  ab 6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng : c a) ab + b ≥ 2 ac (b  0) b) a + b + c ≥ ab + bc + ca c) (a + 1)(b + 1)(a + c)(b + c) ≥ 16abc d) ( a + b )2 ≥ 2 2(a + b) ab e) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac 1 f) a2 + b2 + c2 ≥ 3 (a + b + c)2 g) ab(a + b) + bc(b + c) + ca(a + c) ≥ 6abc h) a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b i) a2 + b2 + c2 ≥ 2(a + b + c) – 3 i) (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (1 + 3 abc )3 7/ Chứng minh rằng x (0; /2) ta có: 1 1 cosx + sinx + tgx + cotgx + sinx + cosx > 6 8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1. Chứng minh rằng : a4 + b4 + c4 ≥ abc 9/ Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng : a)(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc bc ac ab b) a + b + c ≥ a + b + c a b a c c b c)(b + a )( c + a )(b + c ) ≥ 8 14 a b c d) (1 + b )(1+ c )(1+ a ) ≥ 8 1 1 1 e) (a + b + c)(a + b + c ) ≥ 9 1 1 9 1 f) (a + b + c)(a + b + b + c + c + a ) ≥ 2 a+b b+c c+a c + a + b ≥6 a b c 3 h) b+ c + c + a + a + b ≥ 2 i) 3a3 + 7b3 ≥ 9ab2 j) 3a + 2b + 4c ≥ ab + 3 bc + 5 ac a+b+c+6 ≥ a + b+1 + c+2 k) 2 10/ Cho 4 số dương a ,b ,c ,d ,chứng minh rằng : 1 1 a) (ab + cd)(ac + bd ) ≥ 4 b) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b)(c + d) 1 1 8 c) ab + cd ≥ (a + b)(c + d) d) (a2 + 1)(b2 + 2)(c2 + 4)(d2 + 8) ≥ (ac + 2)2(bd + 4)2 e) (a + b)(c + d) + (a + c)(b + d) + (a + d)(b + c) ≥ 6 4 abcd 1 1 1 9 f) a + b + c ≥ a + b + c 16 1 1 1 1 g) a + b + c + d ≥ a + b + c + d a6 + b9 h) ≥ 3a2b3 – 16 4 1 1 1 a c b i) (abc + 1)( a + b + c )(c + b + a ) ≥ a + b + c + 6 b a 11/ Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng: (1 + b )n + (1 + a )n ≥ 2n+1 n  N 12/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng : 1 1 a) ab  4 b)a2 + b2 ≥ 2 1 1 b) c)a4 + b4 ≥ 8 d)a3 + b3 ≥ 4 a2 + b2 13/*.Cho a > b và ab = 1 ,chứng minh rằng : a – b ≥ 2 2 1 (a + b)(1 – ab) 1 14/*. Chứng minh rằng – 2  (1 + a2)(1 + b2)  2 b+c 4 15/ a) Chứng minh rằng nếu b > 0 , c > 0 thì : bc ≥ b + c b)Sử dụng kết quả trên chứng minh rằng nếu a ,b ,c là ba số không âm có tổng a + b + c = 1 thì b + c ≥ 16abc 1 1 16/ Cho a + b = 1,Chứng minh rằng: (1 + a )(1+ b ) ≥ 9 g) 15 17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 a) (1 + a )(1+ b )(1+ c ) ≥ 64 8 b) (a + b)(b + c)(c + a)abc  729 1 1 1 1 18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn 1 + a + 1 + b + 1 + c + 1 + d ≥ 3 1 Chứng minh rằng abcd  81 19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng : a) ab + bc + ca < a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) b) abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b) abc c) (p – a)(p – b)(p – c)  8 1 1 1 1 1 1 d) p – a + p – b + p – c ≥ 2( a + b + c ) e) p < p – a + p – b + p – c < 3p 20/.Cho 3 số a ,b ,c ≥ 0 ,thoả mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8 21/. Cho 3 số x, y, z thoả mãn: x2 + y2 + z2 = 1. Chứng minh rằng – 1 ≤ x + y + z + xy + yz + zx ≤ 1 + 3 23/ .Cho n số dương a1 ,a2 ,….,an. Chứng minh rằng an a1 a2 a) a + a + … + a ≥ n 3 1 2 1 1 1 b) (a1 + a2 + … + an)(a + a + …+ a ) ≥ n2 1 2 n c) (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n với a1.a2….an = 1 24/ Cho n số a1 ,a2 ,….,an  [0;1] ,chứng minh rằng : (1 + a1 + a2 + …+ an)2 ≥ 4(a12 + a22 + …+ an2) 1 25/ Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + b(a – b) ≥ 3 .Khi nào xảy ra dấu = 26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 . Chứng minh rằng : 3 5 a) 2 a + 3 b ≥ 5 ab b) 55 a  1212 b  1717 ab a6 + b9 c) 4 ≥ 3a2b3 – 16 27/ Chứng minh rằng 1.3.5….(2n – 1) < nn 28*.Cho ba số không âm a ,b ,c chứng minh rằng : a + b + c ≥ m n  k a m b n c k  m n  k a n b k c m  m n  k a k b m c n 29*.Cho 2n số dương a1 ,a2 ,….,an và b1 ,b2 ,….,bn. Chứng minh rằng : n a1.a2....an + n b1.b2....bn  n (a1 + b1)(a2 + b2)….(an + bn) 4 1 (a + 1)(b + 4)(c – 2)(d – 3) ≤ 4 a+b+c+d  a ≥ – 1 , b ≥ – 4 , c ≥ 2 ,d > 3 31/*.  n  N chứng minh rằng : 30/ Chứng minh rằng : 16 n ( n 1) 2 n ( n 1)  2n  1  2 b) 1.2 .3 .4 …n <    3  1 1 32/*.Cho m,n  N ;m > n . Chứng minh rằng : ( 1 + m ) m > ( 1 + n )n 33/*.Cho x1,x2,…xn > 0 và x1 + x2 + ….+ xn = 1 Chứng minh rằng 1 1 1 (1 + x )(1+ x )…(1+ x ) ≥ (n + 1)n 1 2 n 34/*.Cho các số x1, x2 ,y1, y2, z1, z2 thoả mãn x1.x2 > 0 ; x1.z1 ≥ y12 ; x2.z2 ≥ y22 Chứng minh rằng : (x1 + x2)(z1 + z2) ≥ (y1 + y2)2 35/*.Cho 3 số a ,b ,c  (0;1). Chứng minh rằng trong 3 bất đẳng thức sau phải có một bất đẳng thức sai: a(1 – b) > 1/4 (1) ; b(1 – c) > 1/4 (2) ; c(1 – a) > 1/4 (3) 36/*.Cho 3 số a,b,c > 0. Chứng minh rằng : 2 a 2 b 2 c 1 1 1 3 2 + 3 2 + 3 2  2+ 2+ 2 a +b b +c c +a a b c 81 37/** Cho x ,y ,z  [0;1] ,chứng minh rằng : (2x + 2y + 2z)(2– x + 2– y + 2– z)  8 (ĐHBK 78 trang 181,BĐT Trần Đức Huyên) 38/*.Cho a , b , c > 1. Chứng minh rằng : a + b a) log2a + log2b  2 log2 2    log a log b log c 9 b c a   b) 2a + b + b + c + c + a  ≥ a + b + c   39/ Cho a ,b ,c > 0,chứng minh rằng : b c 3 a a) b + c + c + a + a + b ≥ 2 a2 b2 c2 a+b+c b) b + c + c + a + a + b ≥ 2 a+b b+c c+a c) c + a + b ≥ 6 a3 b3 c3 d) b + c + a ≥ ab + bc + ca e) (a + b + c)(a2 + b2 + c2) ≥ 9abc bc ac ab f) a + b + c ≥ a + b + c a2 b2 c2 a+b+c ab bc ca g) b + c + c + a + a + b ≥ ≥ + + 2 a+b b+c c+a 40/ Cho ba số a ,b ,c tuỳ ý . Chứng minh rằng : a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 +ab2) ≥ 6abc a+b c+b 1 1 2 41/ Cho a ,b ,c > 0 thoả : a + c = b . Chứng minh rằng : 2a – b + 2c – b ≥ 4 42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 a) a + b + c ≥ 9 b) a2 + 2bc + b2 + 2ac + c2 + 2ab ≥ 9 43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c  k. Chứng minh rằng : 1 1 1 3 (1 + a )(1 + b )(1 + c ) ≥ (1 + k )3 1 1 1 1  2  a) 1 22 . 33. 44…..nn <    n 1 . 2 3 4 n 17 a2 b2 c2 a b c 44/ Cho ba số a ,b ,c  0. Chứng minh rằng : b2 + c2 + a2 ≥ b + c + a 45/ Cho tam giác ABC,Chứng minh rằng : a–b b–c c–a 1 a) ha + hb + hc ≥ 9r b) a + b + b + c + c + a < 8 Dùng tam th c b c hai 1/  x , y  R Chứng minh rằng : a) x2 + 5y2 – 4xy + 2x – 6y + 3 > 0 a) x2 + 4y2 + 3z2 + 14 > 2x + 12y + 6z b) 5x2 + 3y2 + 4xy – 2x + 8y + 9 ≥ 0 c) 3y2 + x2 + 2xy + 2x + 6y + 3 ≥ 0 d) x2y4 + 2(x2 + 2)y2 + 4xy + x2 ≥ 4xy3 e) (x + y)2 – xy + 1 ≥ 3 (x + y) 2 2 x y x y  f) 3y2 + x2 – 8y + x + 10 ≥ 0     2 g) (xy + yz + zx) ≥ 3xyz(x + y + z) 2/ Cho 4 số a ,b ,c ,d thoả b< c < d chứng minh rằng : (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) 3/ Chứng minh rằng : (1 + 2x + 3x)2 < 3 + 3.4x + 32x+1 4/ Cho ax + by ≥ xy , x,y > 0. Chứng minh rằng : ab ≥ 1/4 5 2 1 5*/ Cho – 1  x  2 và – 6 < y < 3 ,chứng minh rằng : x2 + 3xy + 1 > 0 a2 6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc + 3 a) Chứng minh rằng : f(x) > 0 x a2 b) Chứng minh rằng: 3 + b2 + c2 > ab + bc + ca 7/ Cho hai số x , y thoả mãn: x  y . Chứng minh rằng x3 – 3x  y3 – 3y + 4 .Tìm Giá trị nhỏ nhất của các hàm số : 4 a) y = x2 + x2 1 b) y = x + 2 + x + 2 với x > – 2 1 với x > 1 c) y = x + x – 1 x 1 d) y = 3 + x + 2 với x > – 2 x2 + x + 1 e) y = với x > 0 x 9 4 với x  (0;1) f) y = x + 1 – x 8/ Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau: y = x(2 – x) 0 x  2 5 3 y = (2x – 3)(5 – 2x) 2  x  2 2 y = (3x – 2)(1 – x) 3  x  1 18 1 4  x  2 3 3 4 y = 4x – x với x  [0;4] 11/ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính R = 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất 12/*.Cho a ≥ 3 ; b ≥ 4 ; c ≥ 2 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ab c – 2 + bc a – 3 + ca b – 4 A= abc 13/* Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x – 1 + 5 – x y = (2x – 1)(4 – 3x) 19 §2 B t ph ng trình b c nh t I. Khái niệm b t ph ng trình một ẩn 1. Định nghĩa Cho hai hàm số f(x),g(x) cócác tập xác định Df,Dg. Đặt Df  Dg=D, mệnh đề chứa biến x D dạng f(x)>g(x) gọi là bất phương trình một ẩn. Ví dụ: 2x+3>3x+6; 2x2+3x < 2x+5; 3x3+6x  5x+3 2. T p h p nghiệm Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị x0  D : f ( x0 )  g ( x0 ) 3. Điều kiện c a b t ph ng trình Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình 3  x  x  1  x 2 là 3x0 và x+10 4. B t ph ng trình ch a tham số Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn. Ví dụ: mx+2>5 (tham số m) 5. Hệ b t ph ng trình một ẩn Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc nhất một ẩn. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao các tập nghiệm đó. 3  x  0 Ví dụ: Giải hệ  x  1  0 III. B t ph ng trình t ng đ ng 1. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm. 2. Định lý 2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ): Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D. Nếu h(x) xác định trên D thì: f(x) > g(x)  f(x) + h(x) > g(x) + h(x) * Hệ qu : Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. 2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi x  D thì bất phương trình: f(x) > g(x) f(x).h(x) > g(x).h(x) + Nếu h(x) xác định trên D và h(x)<0 với mọi x  D thì bất phương trình: f(x) > g(x)f(x).h(x) < g(x).h(x) 2.3. Định lí 3 (bình ph ng): Nếu f(x)  0, g(x) 0 thì f(x) > g(x)  f2(x) > g2(x) * Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau + Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình. + Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương, hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương. + Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu. + Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) <g(x)  f(x) > g(x). Khi đó ta có thể bình phương 2 vế. * Ví d 1: Giải các bất phương trình sau a) 2x+3 > x+7  x > 4 => tập nghiệm là T=(4;  ) b) 2x-10  3x-2  -x  8  x  8 => T=(  ;8] 20 * Ví d 2: Giải các bất phương trình sau a) ( x  2)(2 x  1)  2  x 2  ( x  1)( x  3) b) x2  x  1 x2  x  2 x2  2 x 1 Đáp án: x≤1 Đáp án: x<1 Đáp án: x> ¼ c) x 2  2 x  2  x 2  2 x  3 * Ví d 2: Giải các bất phương trình sau x 43 3 x 5x  2 3  x a) Đáp án: 1/3<x≤3 1   4 4 6 1 1 Đáp án: 1<x≤2 b) x 1 17 1  x c) x 2  Đáp án: x<4 4 2 Chú ý: Các dạng cơ bản của bất phương trình căn thức: A  0 A  0 A B A B ; A  B A  B A  0 A  0   A  B  B  0 A  B  B  0 ; A  B2 A  B2    A  0  A  0   B  0 B  0  A  B   AB ; B  0 B  0    A  B 2  A  B 2 3 A 3 B  A B IV. B t ph ng trình ax+b > 0 Từ bất phương trình ax+b > 0  ax > -b (1) Biện luận: + Nếu a = 0 => (1)  0x > -b . nếu b > 0 => bpt VSN . nếu b < 0 => bpt VN . nếu b = 0 => bpt VN b + Nếu a > 0 => bpt có nghiệm x >  a b + Nếu a < 0 => bpt có nghiệm x <  a Ví d : giải và biện luận bất phương trình (m-1)x -2+3m > 0 (1) Giải (1) (m-1)x > 2-3m (2) . Nếu m-1= 0  m=1 (2) 0x > -1 => bpt VSN . Nếu m-1> 0  m > 1 => bpt có nghiệm x> 2  3m m 1 21 . Nếu m-1 < 0  m < 1 => bpt có nghiệm Kết luận: . m =1 bpt VN x< 2  3m m 1 2  3m m 1 2  3m . m < 1 bpt có nghiệm x < m 1 . m > 1 bpt có nghiệm x > 22 1/ Giải các bất phương trình sau a) x  x  (2 x  3)( x  1) ( x  4) 2 ( x  1)  0 x3 3 e) 2(x1)+x > 3 c) BÀI T P b) ( 1  x  3)(2 1  x  5)  1  x  3 ( x  2) 2 ( x  3)  0 d) f) ( x  2)2  ( x  2)2  2 k) ( x  2) x  3 x  4  0 x  2 x  2 x 1 x    3 2 3 4 2 l) ( x  2) x  3 x  4  0 m) n) g) x(7x)+6(x1)<x(2x) ( x  1) 2 ( x  2)  0 h) 2 x  8  4 x  21  0 Đáp số: a) S= [0;3) b) S= (;5) c) S=(1;4)  (4;+) d) S= (3;+) e) S=(9/4;+); f) S=(; 2 / 4 ); g) (;6/11); h) S=[5;+); k) S=[3;2] l) S=(;4) (3;2) m) S={1}[2;;+) n) S=[21/4;13/2) 2/ Giải các hệ bất phương trình sau: 3x  5  2 x  1  4x  7  8  x 5 x  2  4 x  5 a)  b)  c)  4 x  1  3 x  2 2 x  3  12  x 5 x  4  x  2 2 x  1  3x  4 d)  5 x  3  8 x  9  x  8  3 x  15  e) 8 x  5  6 x  7 2 x  4  5 x  3  3 3(2 x  7)  2 x  5  3 h)   x  1  5(3x  1)  2 2 Đáp số: h) S=(4/13;19/10); i) S=(;13/27]  6x  5  2x  4  g)  6 x  2 4 x  3  3  2 3/ Tìm điều kiện của các bất phương trình sau: x 1 2x 1 a. 2 b.  x 4 ( x  1)2 4/ CMR các bất phương trình sau vô nghiệm: a/ x 2  x  1  1 3 b/ 2  x  x  7  2 c/ x  x 1 x  2   2  f)  2 3 6  4 x  3  2 x  5  3x  1 3  x x  1 2 x  1  2  3  4  3 i)  3  2 x  1  x  4  5 3 x2  5x  3 x  3x  4 2 4 x x2  x  8 ( x  1)( x  3) d/ x  1  1 2 x 1 5/Giải các bất phương trình sau: 1 ( x  3) x  1 1 5 b. x2 > x c. x 4  x 2 d. a. x x 1 6/ Giải và biện luận bất phương trình sau: a. mx + 4 > 2x – m b. m(x-1) ≤ x + 3m 7/ Tìm k để hai bất phương trình sau tương đương: a/ 3x + 2 > x – 5 và 4x + k > 2x – 5 b/ 2x +3 ≤ x + 6 và 5x – 1 ≤ 3x + 2  x2  4 x 8/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm:  (ĐS: m<1) (1  m) x  4m 23 9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm:  x4 m 2 x  5  x  2 a.  b.  3 x  1  5 x  2  mx  2  3m  5 x  m  3x  1 10/ Tìm m để hệ bpt sau có nghiệm duy nhất :  3  2 x  3x  m (ĐS: m= 1 ) 7 24 §3 D u c a nhị th c b c nh t 1. Định nghĩa: Nhị thức bậc nhất là biểu thức được biến đổi về dạng f(x) = ax+b (a  0) 2. Định lý : Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a. b   x a f(x) traùi daáu a 0 cuøng daáu a * Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3 Giải Đặt f(x)=0  2x+3= 0  x =  x  3 2 f(x) 3  2 0 + 3/ Xét d u biểu th c đ c quy về tích hoặc th ng các nhị th c b c nh t Phương pháp: ta xét dấu từng nhị thức bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu,sau đó tổng hợp dấu lại ta được dấu của biểu thức. * Ví d 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x) Giải Đặt x-2=0 x= 2 5 5-3x= 0 x  3 lập bảng xét dấu:   53 x 2 x-2 5-3x A + - 0 0 + 0 0 + - 5 5 A < 0  x  (; )  (2; ) ; A > 0  x  ( ;2) ; A= 0  x=2; 5/3 3 3 (2 x  1)(3  x) * Ví d 2: xét dấu biểu thức B = 4 x  17 4/ Gi i b t ph ng trình (có ẩn ở m u số) quy về tích, th ng các nhị th b c nh t Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất đó. Sau đó kết hợp với chiều củ bất phương trình ta sẽ tìm được tập nghiệm củ bất phương trình đó. ( phần nào không lấy thì gạch bỏ) Ví d : Giải cácbất phương trình sau 4 3 3x  4  1 a) b) 3x  1 2  x x2 Gi i a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho 3x  4 3x  4 2x  2 1  0  0  1 x2 x2 x2 đặt 2x-2 = 0  x=1 x-2 = 0  x = 2 x 1 2   Vậy 2x-2 x-2 f(x) + 0 0 + - 0 // + + + 25 xét dấu biểu thức f(x)= vậy S= (;1)  (2;) 2x  2 x2 b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho  5 x  11 3 4 4 3 0 0     (3 x  1)( 2  x) 3x  1 2  x 3x  1 2  x  5 x  11 Xét dấu biểu thức f(x)= (3 x  1)( 2  x) 11 1 x     11 Đặt -5x-11 = 0  x = 5 3 5 -5x-11 + 0 1 3x  1  0  x   3x+1 - 0 3 2-x + + 2 x  0  x  2 f(x) 0 + // 2 + + 0 - //  + + Vậy S = (; 11 1 )  ( ;2) 15 3 5/ Ph ng trình, b t ph ng trình ch a trị tuyệt đối 1. Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x trong phương trình 2. Ph ng pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình. Nếu có từ hai biểu thức trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức trên cùng một bảng, sau đó căn cứ vào bảng xét dấu để giải. * Chú ý 1: Các dạng cơ bản của bpt chứa trị tuyệt đối | f ( x) |  | g ( x) | ( f (x)  g(x) )( f(x)  g(x) )  0  f ( x)  g ( x) |f(x)|  g(x)    f ( x)   g ( x) f(x)> g(x) |f(x) |  g(x)   f(x)   g(x) 3. Ví d 3.1 Ví d 1: giải phương trình | x-1| + | 2x-4 | = 3 (1) Giải Ta xét dấu các biểu thức x-1;2x-4  x x-1 2x-4 - 1 0 + - 2 0 + +  nhìn vào bảng xét dấu ta có: * nếu x  (;1) thì (1) -(x-1)-(2x-4)=3 2 -3x = -2  x = (nhận) 3 * nếu x  [1;2) thì (1) x-1-(2x-4) = 3  x = 0  [1;2) (loại) 26 * nếu x  [2;) thì (1) x-1+2x-4 = 3 8  3x=8 x = (nhận) 3 2 8 Vậy S =  ;  3 3 3.2 Ví d 2: giải các bất phương trình sau: a) | x-2 | > x+1 b) | 2x+1 | < x Tóm tắt lý thuyết ng trình b c nh t dạng ax + b >0ax > -b (1) 1. Gi i vƠ biện lu n ph Biện lu n: + Nếu a = 0 thì (1) 0.x > -b - nếu b > 0 thì bất phương trình có vô số nghiệm. - nếu b  0 thì bất phương trình vô nghiệm. b + Nếu a > 0 thì bpt có nghiệm x >  . a b + Nếu a < 0 thì bpt có nghiệm x   . a Kết lu n 2. Xét d u nhị th c b c nh t f(x) = ax+b (a  0) x - -b/a + f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a * Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc th ng các nhị thức bậc nhất (ax  b)(cx  d )...(ex  f ) ( ví dụ : (ax+b)(cx+d)…(fx+k); …) ta xét dấu tất cả các nhị thứ bậc nhất trên ( gx  h)( kx  m) cùng một bảng xét dấu. * Các b ớc xét d u biểu th c : B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất. B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc nhất. B3 : Xét dấu tất cả các nhị thức trên cùng một bảng xét dấu. B4 : Tổng hợp => kết luận. 3. Gi i b t ph ng trình b c nh t B1 : Đưa bất phương trình về dạng f(x)>0 hoặc f(x)<0 hoặc f(x)  0 hoặc f(x)  0. B2 : Xét dấu biểu thức f(x). B3 : Kết hợp với chiều của bất phương trình => tập nghiệm. 4. Gi i hệ gồm 2 b t ph ng trình b c nh t dạng Baát pt (1) (I)  Baát pt (2) B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1. B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2 . B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S1  S2. 1/ Xét dấu các biểu thức sau: a) f(x)= (2x1)(x+3) BÀI T P 1 b) f(x)= (3x3)(x+2)(x+3) 27 4 3  3x  1 2  x 2/ Giải các bất phương trình sau 2 5 a)  x  1 2x  1 d) f(x)= 4x21 c) f(x)= b) 1 1  x  1 ( x  1)2 1 2 x 2  3x  1 3 d)   1 x x4 x3 x2  1 Đáp số: a) S=(1/2;1) [3;+) b) S= (;1)  (0;1)  (1;3) c) S= (12;4)  (3;0) d) S= (;5)  (1;1)  (1;+) c) 3/ Giải bất phương trình 5 10  x2 x 1 c) |2x1|≤ x+2 c) |x1|≤ 2+x4|+x2 Đáp số: a) S= (;2/5)  [2;+) b) S= (;5)  (1;1)  (1;+) c) S= [1/3;3] d) S= [5/4; +) 4/ Xét dấu các biểu thức sau 2x  1 a) f(x)= (2x+3)(x2)(x+4) b) f(x)= ( x  1)( x  2) 3 1  c) f(x)= d) f(x)= (4x1)(x+2)(3x5)(2x+7) 2x  1 x  2 5/ Giải các bất phương trình sau x2  x  3 3 1 1 b) a) 2 x x2  4 1 1 1   d) |x3| > 1 c) x 1 x  2 x  2 e) |58x|≤ 11 f) |x+2|+|2x+1| ≤ x+1 Đáp số: a) S= (;1)  (2;+) b) S= (2;1]  (2;+) c) S= (2;0)  (1;2)  (4;+) d) S= R e) S= [3/4;2] f) Vô nghiệm 6*/ Lập bảng xét dấu các biểu thức sau 4  3x 2 x A C  x( x  2) 2 (3  x) B=1  2x  1 3x  2 2 x( x  3) E   x2  x  6 D= F= 2x 2  (2  3) x  3 ( x  5)(1  x) 2  3x K= (x+1)(x+2)(3x+1) G=(3x1)(x+2) H= 5x  1 2 x M= 9x2 1 N= x3+7x6 L= 2  3x  2 1 1  O= x3+x25x+3 P=x2x 2 2 Q= 3 x 3 x 2 2 x  6x  8 x  4x  4 | x  1 | 1 R= 2 S= 4 T= 2 2 x  8x  9 x  2x x  x 1 7/ Giải các bất phương trình sau a) |5x4| 6 b) 28 a) (3  x)( x  2) 0 x 1 c) | 2 x  2 |  | 2  x | 3x  2 e) (  2 x+2)(x+1)(2x3)>0 Đáp số: a) S=(1;2]  [3;+) c) S= (;1) e) S=(;1) ( 2 ;3/2) 8/ Giải và biện luận bất phương trình a) mx+4>2x+m2 d) x(m21) < m41 9/ Giải các bất phương trình sau a) ( 3 x  2)( x  1)(4 x  5)  0 b) 3 5  1  x 2x  1 d) | ( 2  3) x  1 | 2  3 4 x  1  3 f) 3x  1 b) S=(;1/2)  [2/11;1) d) [52 6  3  2; 5+2 6  3  2 ] f) S=[4/5;1/3) b) 2mx+1 x+4m2 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x1) 3  2x 0 (3x  1)( x  4) x2 x2  d) 3x  1 2 x  1 b) S=(1/3;3/2) hop (4;+) d) S=(;1/3)[0;1/2)[8;+) b) 3x  1  2 2x  1 Đáp số: a) S=(;1)  ( 2 3 /3;5/4) c) S= [3;1/2) 10/ Giải hệ bất phương trình ( x  3)( 2  x)  0 1  2    b)  2 x  1 3  x a)  4 x  3  x3  | x | 1  2 b) S=(1;1/2) Đáp số: a) S= ( 2 ;3) 11/ Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình 5 1   6 x  7  4 x  7 15 x  2  2 x  3 b)  a)   8 x  3  2 x  25 2( x  4)  3x  14  2  2 Đáp số: a) S={4;5;6;7;8;9;10;11} b) S={1} 12/ Giải các phương trình và bất phương trình sau | 2x  1 | 1  c) |5+x|+|x3|=8 a) |x+1|+|x1|=4 b) ( x  1)( x  2) 2 d) |x25x+6|=x25x+6 e) |2x1|= x+2 f) |x+2|+|x1|=5 2 x g) |3x5|<2 h) k) |x2|>2x3 2 x 1 l) |x+1|≤ |x|x+2 Đáp số: a) S={2;2} b) S= (4;1)(2;5) c) S=[5;3] d) S= x≤2 hoặc x>3 e) S={1/3;3} f) S={3;2} g) S=(1;7/3) h) S=(4;1)(1;0] k) S=(;5/3) l)S=(;1] 13. Giaûi baát phöông trình (chöùa giaù trò tuyeät ñoái) : c) 29 a / x 2  1  2 x  0; b / 2x  5  7  4x ; d / 4  x  3 x 2  6 x  2 x  6; e/ x 2  4x 1 x 2  3x  2 14. Giaûi baát phöông trình (chöùa caên thöùc) : a / x  18  2  x; d / 5  x 2  x  2; b / x  24  5 x ; c / 1  13  3x 2  2 x; e / x 2  3x  2  2 x  4 15/* Giải và biện luận phương trình a) (2x 2 )(xm)>0 16/* Giải và biện luận hệ phương trình ( x  5)( 7  2 x)  0 a)   x  m  0 c / 5  4 x  2 x  1; b) f /  2  3x  x 2  x  1 3x 0 x  2m  1 5  2   b)  x  1 2 x  1  x  m  0 30 BÀI T P 2 Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m a) m(x-m)  x-1 b) mx+6 > 2x+3m c) (m+1)x + m < 3x+4 Bài 2: Giải các bất phương trình sau: 3x  4 2x  5 1  1 b) a) x2 2 x 2 4 5 3   c) d) 3x  1 2  x x  1 2x  1 Đáp số: a) S=(;1)  (2;+) b) S=(2;3] c) S=(1/2;1) [3;+) d) S=(;11/5)(1/3;2) Bài 3: Giải các bất phương trình sau: a) | 2x-5 |  x+1 b) | 2x+1 | < x c) | x-2 | > x+1 d) | x+2 |  x+1 Đáp số: a) S=[4/3;6] b) Vô nghiệm c) S=(;1/2) d) S=R Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) | 2x-1 | = x+m b) | x-1 | =x+m Bài 5: Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) m2x+4m-3 < x+m2 b) m2x+1  m+(3m-2)x Bài 6: Giải các hệ bất phương trình sau 15  8  4x  5   7  x  3 8 x  5  2 b)  a)   3x  8  x  5 2(2 x  3)  5 x  3   4 4 Đáp số: a) Vô nghiệm b) S=(26/3;28/5) Bài 7: Tìm các nghiệm nguyên của hệ các bất phương trình sau: 5 1   6 x  7  4 x  7 15 x  2  2 x  3 a)  b)   8 x  3  2 x  25 2( x  4)  3x  14  2  2 Đáp số: a) S={4;5;…;11} b) S= {1} Bài 8: Tìm số nguyên lớn nhất thoả mãn hệ bất phương trình: 5  3x  3x  1 3( x  2) 1   4  2 8  3  4 x  1  x  1  4  5 x  18 12 9 Đáp số: S= {4} 31 BÀI T P 3 1/ Giải và biện luận các bất phương trình sau a) (m +1)2x > 2mx + m b) (m2+m)x - m2 - 2m  0 c) (m+1)x  2m(x+1)+2+x. d) m2x-1 > x+m mx  1 mx  1 x -1 x 1    (m  2)x m  -1. m  1 f) x  e) m -1 m 1 m 1 m 1 2/ Giải bất phương trình a) 2x2 - 5x + 2 > 0 b) (x-2)2(x-4) < 0 c) -4 + x2  0 10 0 d) 25(x+10)(-x+1)  0 e) 16x2 + 40x + 25 < 0 f) x ( x  1)  25 x  1  2x  1 2 4 5x  1 0  1   2 g) h) k) ( x  2)( 3 x  2) x3 x3 x 9 18 9 1 2 x 1 2 1  m) n) l) 1  0 2 1 3 x  1 2x  1  x3 x  3x  2 x x 1 1  o) x2  x  2 x 1 3/ Giải các hệ bất phương trình sau 2 3 x  1  2 x  7 a)  4 x  3  2 x  19  x 1  2x  1  0  c)  1  2  x  2 x  x  4  x 1 x  3 x  2  x  4  e)   2 x  5 3x  2  3 x  2  2 x  5  (4 x 2  x)(1  3x)  0 2x  1  g)   (4  x)(3  2 x) 0  2 9 x  (5 x  1)(9  25 x 2 )  0  i)  2  x  3x  2  2( x  1)  x  1 Đáp số: a) S = [6 ; 8) 2  2x  3  x 1  1  b)   ( x  2)( 2 x  4) 0  x 1 1  1 x  2  x  2 d)   2 2 (5 x  19)  ( x  23) ( x  2 )( x  3 )( x  5 )  0  f)  ( x  1)(3  2 x)( x  2) 0   2  x2 2 1  2x  1   x 1 x 2  x  1 x3  1  h)   3x(1  x 2 ) 0   2x  1 b) S =(-  ; -4]  (1;2] 1 c) S = (-  ;-1]  (- ;+  ) 2 32 5 3 e) S = (- 4; - ) f) S = (-2;- 3 )  [-1; 2 )  [ ;+  ) 2 2 3 1 1 1 g) S = (-  ; -3)  (  ;- )  (0; )  ( ;3)  [4;+  ) 2 4 3 2 1 3 h) S = (-1 ; - )  (0;1) i) S = (-  ; -3 ]  [0 ; ) 2 5 4/ Giải các hệ bất phương trình sau x 1  2x  2 2     2x  1 x  2 ( x  2) ( x  3)  0 ( x  1)  0 a)  b)  c)  2 x3    x2 ( x  1)( x  2)  0 2 x  3x  1  0  2 x  1  2 x  5  x 2  3x  1  x 2  2x  5 x  4   x   x3 x  2  3  2  x   x 1 e)  f)  d)  9 x2   ( x  1) 3 ( x  2) 2 ( x  6) x2 x 4 0     x2   3x  1 2 x  1  ( x  7) 3 ( x  2) 2  x 2  2x  4  2x  3   x4  x 1  1 2 x  5x  4   x 1 g)  h) i)  1  x2 x2  4  ( x  2)( 2 x  4) x4 0    x 1  2x  3 2x  1 1 5 Đáp số: a) Vô nghiệm b) Vô nghiệm c) S = (-2;- )  (1; ) 2 2 1 1 d) S = (- ;0)  ( ;8) e) S = [1;2) f) S = (-2;-1) 3 2 8 5 g) Vô nghiệm h) S = [0; ]  [ ;+  ) i) S = (-  ;-4]  (1;2] 5 2 d) S = (-1;2) 33 §4 B t ph ng trình b c nh t hai ẩn I/ B t ph ng trình b c nh t hai ẩn 1. Định nghĩa: là những bất phương trình có dạng ax+by+c > 0 ; ax+by+c < 0 ,trong đó a,b,c  R , a2+b2  0 . 2. Cách gi i : để giải bpt ax+by+c > 0 ta vẽ đồ thị của đường thẳng ax+by+c = 0. Khi đó: + Nếu đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm. + Nếu đường thẳng đi qua góc toạ độ thì ta lấy một điểm bất kì trong mặt phẳng thay vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm. * Ví d : Giải các bất phưng trình sau: a) x-3y < -3  x-3y+3 < 0 (1) Vẽ đường thẳng x-3y+3= 0 y x-3y+3=0 1 -3 0 x Thay O(0;0) vào (1) 3<0  O(0;0) không thỏa (1)  ta gạch bỏ phần chứa gốc toạ độ. Miền không gạch là miền nghiệm . b) x-2y > 0 vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = 0 , thay (0;1) vào vế trái ta được VT= -2 > 0 (!) => miền chứa (0;1) không phải là miền nghiệm. y 1/2 x 0 1 II. Hệ b t ph ng trình b c nh t hai ẩn 1. Định nghĩa: là hệ có từ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn trở lên. 2. Cách gi i: để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta giải từng bất phương trình trong hệ rồi biểu diễn chúng lên cùng một hệ trục toạ độ, miền còn trống là miền nghiệm của hệ bất phương trình. (1) x  y  0  Ví d 1: giải hệ  x  3 y  3 (2) x  y  5 (3)  Ta vẽ các đường thẳng (d1): x-y= 0 (d2): x-3y+3= 0 Gi i (d3): x+y-5= 0 34 (d3) 5 (d1) 1 (d2) -3 0 I x 5 1  x  0 Giải hệ  y  0  x  y  0 Miền I là miền nghiệm. Ví d 2: Giải Vẽ các đường thẳng : (d1): x= 0 (d2): y= 0 (d3): x+y= 0 y S 1 -1 x 35 BÀI T P Bài 1: Giải các bất phương trình bậc nhất hai ẩn a) x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) b) 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9 c) 2x-y≤ 3 d) 3+2y >0 e) 2x-1<0 f) x-5y < 2 g) 2x+y> 1 h) -3x+y+2 ≤ 0 k) 2x-3y+5 ≥ 0 Bài 2: Giải các hệ bất phương trình hai ẩn x y 2  3 1  0 x  y  0  3y   a)  x  3 y  3 b) 2( x  1)  4 2 x  y  5   x  0   3x  y  9 x  y  3 3 y  0  d)  e) 2x  3y  1  0 2 y  8  x  y  6 Bài 3: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:   2 x  y  2 x  2 y  2  .Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F = y-x đạt giá trị nhỏ nhất.  x  y  5  x  0 Bài 4: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:  x  y  2  0   x  y  1  0 .Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F =2x+3y đạt giá trị max, min. 2 x  y  1  0 §5 D U TAM TH C B C HAI I/ Tam th c b c hai 1. Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax2+bx+c 2. Định lý (về dấu tam thức bậc hai) Cho tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c (a  0) và  = b2-4ac + Nếu  < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x. b + Nếu  = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với    . 2a + Nếu  > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ( giả sử x1< x2) :  - x1 x2 + x Daáu cuûa Cuøng daáu f(x) heä soá a 0 Traùi daáu heä soá a * Chú ý : ta có thể thay  bởi ' Ví d 1: xét dấu các tam thức sau a) f(x) = 3x2-2x+1 b) f(x) = -4x2+12x-9 0 (a  0). Cuøng daáu heä soá a c) f(x) = x2-4x-5 36 Giải a) cho f(x) = 0  3x -2x+1 = 0. tính ' = -2 < 0 vậy f(x) > 0  x. b) cho f(x) = 0  -4x2+12x-9 = 0. tính ' = 0 3 vậy f(x) < 0 x  . 2 c) cho f(x)= 0 x2-4x-5 = 0. tính ' = 9 => x1=-1 ;x2 = 5 - -1 x 2 + f(x) 5 _ 0  + + 0 f(x) > 0 x  (;1)  (5;) f(x) < 0 x  (1;5) f(x) = 0 khi x= -1 , x = 5 Ví d 2: Xét dấu các biểu thức sau a) A = (2x2+9x+7)(x2+x-6) vậy b) B = 2 x 2  5 x  7  x 2  3 x  10  x1  1 2 a) Đặt 2x +9x+7 = 0    x2   7 2   x1  2 x2+x-6 = 0    x 2  3 x x2+9x+7 x2+x-6 Gi i - + + + A 7 2 - 0 0 -3 -1 2  + - 0 + + + 0 -0 + - 0 + 0 - 0 + II/ B t ph ng trình b c hai 1. Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có một trong các dạng sau: ax2+bx+c > 0 ; ax2+bx+c < 0 ; ax2+bx+c  0 ax2+bx+c  0 ( a  0). 2 .Cách gi i: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai đó , kết hợp với chiều của bất phương trình ta sẽ tìm được nghiệm của bất phương trình. Ví d 1: Giải các bất phương trình sau a) 3x2+2x+5 > 0 S=R b) -2x2+3x+5> 0 S=(-1;5/2) c) -3x2+7x-4 < 0 S=(-;1) (4/3;+) d) 4x2-3x+1<0 Vô nghiệm e) 9x2-24x+16 < 0 S=R\{4/3} Ví d 2 . Giải các bất phương trình sau 2 2 a) A = (2x +9x+7)(x +x-6) > 0 b) B = 2 x 2  5 x  7  x 2  3 x  10 <0 37 Ví d 3. Xác định m để phương trình x2+2(m+2)x-2m-1=0 có nghiệm HD:  ' =m2+6m+5 0  m≤5 hoặc m1 * Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R + Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số) a  0 a  0 ; f ( x)  0, x  R   + Nếu a0 thì: f ( x)  0, x  R     0   0 III/ Hệ b t ph ng trình b c hai (10NC) 1. Định nghĩa : Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc hai trở lên. 2. Cách gi i: - Giải bất phương trình (1) tìm được S1 - Giải bất phương trình (2) tìm được S2 ---------------------------------------------- Giải bất phương trình (n) tìm được Sn Khi đó tập nghiệm của hệ là: S = S1  S2  …  Sn Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau 2 x 2  9 x  7  0 a)  2  x  x  6  0 Gi i 7 Giải bpt(1) được S1 = (; )  (1; ) ; Giải bpt(2) dược S2 = (-3;2) 2 Vậy nghiệm của hệ là S = S1  S2= (-1;2) 2 x 2  5 x  4  0 b)  2  x  11x  18  0 Ví dụ 2. Tìm m thì bpt phương trình sau (2m+1)x2+3(m+1)x+m+1 < 0 (*) vô nghiệm. Giải 1 1 3 1 1 + với a = 0 m=   (*)  x   0  x   . vậy m =  không thoả 2 2 2 2 3 1 + với a  0  m   khi đó phương trình đã cho vô nghiệm 2 1  2 m  1  0 a  0 m     S     2 2   0 9(m  1)  4(2m  1)( m  1)  0  5  m  1 vậy không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm. 38 * Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax2+bx+c không đổi dấu (>0, <0, 0, ≤0) trên R + Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số) + Nếu a0 thì: a  0 f ( x)  0, x  R     0 a  0 f ( x)  0, x  R     0 * Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì: x1< 0 < x2  P < 0 (hai nghiệm trái dấu) P  0  x1  x2 < 0    0 ( hai cùng âm) S  0  P  0  0 < x1  x2    0 (hai cùng dương) S  0  1/ Xét dấu các tam thức bậc hai sau a) 2x2 +5x+2 b) 4x2 3x1 2/ Giải các bất phương trình sau a) x2 2x+3>0 b) x2 +9>6x x 2  9 x  14 0 x 2  9 x  14 x 1 x 1 2 h) x 1 x e) BÀI T P 1 c) 3x2 +5x+1 d) 3x2 +x+5 c) 6x2 x20 d) x2  1 0 x 2  3 x  10 1 2 3   i) x 1 x  3 x  2 f) 1 2 x +3x+6<0 3 10  x 1  g) 5  x2 2 Đáp số: a) e) S=(;7)(2;2][7;+) 3/ Cho phương trình mx22(m1)x+4m1=0. Tìm m để phương trình có: a) Hai nghiệm phân biệt. b) Hai nghiệm trái dấu. c) Hai nghiệm dương. d) Hai nghiệm âm. 1  13 2 HD: ' = 12 m 4 m4 =0  m  3 4/ Tìm m để các phương trình sau nghiệm đúng với mọi x 2 a) mx24(m1)x+m5≤ 0 = 12 m 12 m16 b) 5x2x+m> 0 = 20m+1 c) mx210x5<0 = 5m+25 x 2  mx  2  1 Vì x2  3x  4 >0 với mọi x nên qui dồng bỏ mẫu d) 2 x  3x  4 39 2 = m 6 m7 e) m(m+2)x2+2mx+2>0 = 4m216m Đáp số: a) không có m b) m> 1/20 c) m< 5 d) 7<m<1 e) m<4 hoặc m0 5/ Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm a) 5x2x+m ≤0 mx210x50 6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt a) (m2+m+1)x2+(2m3)x+m5=0 b) x26mx+22m+9m2=0 Đáp số: a) không có m b) 0<m<1 BÀI T P 2 Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai a) 3x2-2x+1 b) -x2+4x+5 2 c) -4x +12x-9 d) 3x2-2x-8. Bài 2: Giải các bất phương trình sau a) 2x2-5x+2 < 0 b) -5x2+4x+12 < 0 c) 16x2+40x+25 > 0 d) -2x2+3x-7 > 0 2 f) x2-x-6  0. e) 3x -4x+4  0 Bài 3: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm a) (m-5)x2-4mx+m-2 = 0 b) (m-2)x2+2(2m-3)x+5m-6 = 0 c) (3-m)x2-2(m+3)x+m+2 = 0. Bài 4: Xác định m để các tam thức sau dương với mọi x 5 69 5 69 2 ,  a) 3x2+2(m-1)x+m+4 = 4 m 20 m44 =0 m=  2 2 2 2 2 b) x2+(m+1)x+2m+7 = m 6 m27 =0 m=9;3 2 c) 2x2+(m-2)x-m+4. = m 4 m28 =0m= 2 4 2 , 2 4 2 Bài 5: Giải các bất phương trình sau 1 5  1 a) ; Kq2: 2<x<2 2 x 2 x 3 1 b) 2 ; Kq2: 1≤x≤2 x  x 1 Bài 6: Tìm m để a) (m+2)x22(m1)x+m2<0,  x  R = 8m+20 2 b) (m m6)x2+2(m+2)x+1>0,  x  R = 20m+40 BÀI T P THÊM Bài 1 : Giải các phương trình sau : ; x = 1 ; -2. a) x2 - x  1  1  0 b) c) d) e) f) g) h) | -3x2 + 4x + 4 | = | 4 -x2 | ; x = -1; 0 ; 2. | -2x + 3| - |-4x + 3 | = 3 - | 2x + 3 | ; x = 0 hoặc x  3/2. | x-1 | + | x - 2 | = 3 ; x = 0 ; 3. | 3|x-2| - 3 | = 3 ; x = 0 ; 2 ; 4. | 3x - 2 | + x = 11 ; x = 13/4 ; -9/2. |x|-|x-2|=2 ; x  2. | x - 3 | + 2| x - 1 | = 4 ; x = 3 ; 1/3. 40 17  409 6 ; x = 3. i) 3 | x2 - 4x + 2 | = 5x +16 ; x = j) 2 x  3  6  3x k) x 2  2x  4  2  x l) x 2  x  12  x  1 ; S = (-169/25 ; -1]  [0;+  ). n) x 2  3x  10  x  2 o) 2 1  x 2  x  2 p) 1  4 x  2 x  1 ; S = R. q) x 2  2x  2x  3 ;  1  x  4 / 5 hoặc 0 < x  1. ; 0 < x < 1/4 . ;x>3. ; x = -1 ; -2. 4  2x  x 2  x  2 l) ; x = 3. m) 15  x  3  x  6 ; x = -1. n) 3x  12  5 x  6  2 ; x = -1. x  4  4  x  2 x  16 ; x = -4 ; 0. o) 2 x  6  x  4  x  4 ; x = 5. p) q) 3x  1  x  4  1 ; x = 5. 11  x  x  1  2 r) ; x = 2. Bài 2 : Giải các bất phương trình sau : ; x = -1 hoặc x  0 . a) | 1 - x2 |  (1+x)2 b) | x2 - x +1 |  | 3x - 4 - x2 | ; x  3/2. c) | x2-3x+2 | > | x2 + 3x + 2 | ; x < 0.  7  53  5  77 d) | x2 + 6x -7 | < x + 6 ;S=( ). ; 2 2 e) 2 | x+1 | > x + 4 ; x < -2 hoặc x > 2.  1  21  1  21 f) | x2 + x | - 5 < 0 ; S =( ). ; 2 2 g) x2 - | 5x + 8 | > 0 ; S= (; 5  57 )  ( 5  57 ;) . 2 2 2 h) x + 4  | 3x + 2 | - 7x ; S = (;5  19 ]  [2  2 ;) . | x  3 | x 1 ; S = (-5 ; -2 )  (-1 ; +  ) . i) x2 j) | x +1 | + | x - 4 | > 7 ; x < -2 hoặc x > 5. x 2  6x  2  x  1 k) ; x < 1/8. m) r) s) x 2  x  12  7  x ; x  -3 hoặc 4 < x < 61/13. 22 7 ; ). 3 7  x   3  2 x  2  x ; x < -2. x 1  x 1  x  2 ;S=( 41 14  7  x  9. 2 Bài 3 : Giải các phương trình,bất phương trình sau ( Đặt ẩn số phụ ) a) x2 - 4x = 2 x 2  8 x  12  6 ;x=2. t) x 5  9 x 1 b) 3 x 2  2 x  15  3 x 2  2 x  8  7 c) ; ; x = 1 ; -1/3. x 2  x  7  x 2  x  2  3x 2  3x  19 ; x = -2;1. d) (x + 1)(x + 4) - 3 x 2  5 x  2 = 6 e) x2 + 2 x 2  3x  11  3x  4 f) (x + 5)(x - 2) + 3 x( x  3) > 0 3x 2  5 x  7  3x 2  5 x  2  1 ; x = -7 ; 2. ; x  [1;2]. ; x < -4 hoặc x >1. ; x  [-2;-1]  [-2/3;1/3]. 42 43